Xây dựng các quá trình ngẫu
nhiên
Trong quá trình tiên đề lý thuyết xác suất bằng lý thuyết đo, vấn
đề là xây dựng một sigma-đại số của các tập đo được của không
gian các hàm số, và đặt lên đó một độ đo hữu hạn. Với mục đích
này theo truyền thống người ta sử dụng một phương pháp gọi là
mở rộng Kolmogorov.
Có một cách tiên đề hóa lý thuyết xác suất khác thông qua các
giá trị mong đợi trên đại số C-sao của các biến ngẫu nhiên.
Trong trường hợp này phương pháp đó được gọi là xây dựng
Gelfand-Naimark-Segal.
Điều này giống như là hai cách tiếp cận lý thuyết độ đo và tích
phân, khi người ta có chọn lựa xây dựng độ đo trên các tập hợp
trước và định nghĩa tích phân sau đó, hay là xây dựng các tích
phân trước và định nghĩa độ đo tập hợp như là tích phân của các
hàm số đặc trưng.
Phép mở rộng Kolmogorov
Phép mở rộng Kolmogorov được diễn đạt theo quá trình sau: giả
sử một độ đo xác suất trên không gian của các hàm số
tồn tại, thì nó có thể được sử dụng để chỉ ra phân bố xác suất
liên kết của các biến ngẫu nhiên hữu hạn chiều .
Bây giờ, từ phân bố xác suất n-chiều này ta có thể suy ra một
phân bố xác suất biên (n − 1)-chiều cho . Chú ý
rằng điều kiện tương thích hiển nhiên, rằng phân bố xác suất
biên này là cùng loại với phân bố được suy ra từ quá trình ngẫu
nhiên, là không cần thiết. Một điều kiện như vậy là đúng, ví dụ,
nếu như quá trình ngẫu nhiên là quá trình Wiener (trong trường
hợp này các phân bố biên là tất cả các phân bố gaussian của loại
hàm mũ) nhưng không tổng quát cho tất cả các quá trình ngẫu
nhiên. Khi điều kiện này được biễu diễn dưới các hàm mật độ
xác suất, kết quả được gọi là phương trình Chapman-
Kolmogorov.
Định lý mở rộng Kolmogorov bảo đảm sự tồn tại của một quá
trình ngẫu nhiên với một họ của các phân bố xác suất hữu hạn
chiều thỏa mãn điều kiện tương thích Chapman-Kolmogorov.
khả ly, hay là thứ mà phép mở rộng Kolmogorov không
cung cấp
Nhớ lại rằng, trong hệ tiên đề Kolmogorov, các tập hợp đo được
là các tập có xác suất, hay nói các khác, là các tập hợp liên quan
tới các câu hỏi có/không có một câu trả lời mang tính xác suất.
Phép mở rộng Kolmogorov bắt đầu bằng các tuyên bố rằng để
gọi là đo được tất cả các tập hợp hàm số với hữu hạn tọa độ
được giới hạn nằmg trong các tập con đo được
của Yn. Nói một cách khác, nếu một câu hỏi có/không về hàm số
f có thể được trả lời bằng cách xem xét các giá trị của nhiều nhất
là hữu hạn tọa độ, thì nó có một câu trả lời mang tính xác suất.
Trong lý thuyết độ đo, nếu chúng ta có một họ vô hạn đếm được
của các tập hợp đo được, thì hợp và giao của chúng là một tập
đo được. Cho mục đích của chúng ta, điều này nghĩa là các câu
hỏi có/không phụ thuộc vào bao nhiêu tọa độ đếm được mà
chúng ta có câu trả lời xác suất.
Điều khả quan là phép mở rộng Kolmogorov làm chúng ta có
thể xây dựng một quá trình ngẫu nhiên với các phân bố hữu hạn
chiều khá là tùy ý. .
[sửa] Các ví dụ và các trường hợp đặc biệt
[sửa] Thời gian
Một trường hợp đặc biệt là khi thời gian là một tập hợp rời rạc,
ví dụ các số tự nhiên không âm {0, 1, 2, 3, ...}. Trường hợp đặc
biệt quan trọng khác là khi .
Các quá trình ngẫu nhiên có thể được định nghĩa trên các chiều
không gian cao hơn bằng cách gắn một biến ngẫu nhiên đa chiều
vào từng điểm của tập chỉ số, tương đương với việc sử dụng một
tập chỉ số đa chiều (multidimensional index set). Thật vậy một
biến ngẫu nhiên đa chiều tự nó có thể được xem như là một quá
trình ngẫu nhiên với tập chỉ số T = {1, ..., n}.
[sửa] Các ví dụ
Các quá trình ngẫu nhiên liên tục được gọi là các quá trình
Wiener. Trong dạng nguyên thủy bài toán liên quá đến chuyển
động của một hạt chuyển động trên một bề mặt chất lỏng, nhận
các cú "hích" từ các phân tử của chất lỏng. Hạt đó được xem
như là chịu một lực ngẫu nhiên mà, bởi vì các phân tử là rất nhỏ
và rất gần nhau, được xem như là liên tục và, bởi vì hạt đó bị
giới hạn trong mặt chất lỏng bởi sức căng bề mặt, tại mỗi điểm
của thời gian nó là một vecto song song với bề mặt