6
https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16401
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
KHOA HỌC
TẠP CHÍ
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Quy Nhơn, 2022, 16(4), 5-16
Định lí Trung Quốc về phần dư
trong các sách toán Hán - Nôm
Trn Đi An1, Phm Văn Hong2, Đon Th L3,
T Duy Phưng4,*, Cung Th Kim Thnh5, Phan Th nh Tuyt6
1Trường Đại học Sư phạm H Ni, Việt Nam
2Đại học Gio dc, Đại học Quc gia H Ni, Việt Nam
3Đại học Quc lập Thanh Hoa, Đi Loan
4Viện Ton học, Viện Hn lâm Khoa học v Công nghệ, Việt Nam
5 Viện Trần Nhân Tông, Đại học Quc gia H Ni, Việt Nam
6Đại học Sư phạm Quc lập Đi Loan, Đi Loan
Ngy nhận bi: 21/01/2022; Ngy nhận đăng: 28/04/2022; Ngy xuất bản: 28/08/2022
TÓM TẮT
Định lí Trung Quc về phần dư đượccoilàmộttrongnhữngđónggópquantrọngcủangườiTrungQuốc
vàokhotàngkiếnthứctoánhọcthếgiới.Định lí Trung Quc về phần dư đượcngườiTrungQuốcsửdụngtrong
thiênvănvàtnhtoánlịchtừthếkỉIItrướcCôngnguyênvàđượcphátbiểudướingônngữtoánhọcvàokhoảng
thếkỉV.NhưngchỉđếnthếkỉXIIIĐịnhlnàymớiđượcnhàtoánhọcTrungQuốcTnCửuThiuchứngminh
bằngtoánhọcmộtcáchchặtchẽ.
BàiviếttrìnhbàyĐịnh lí Trung Quc về phần dư trongcácsáchtoánTrungQuốcvàsáchtoánHán-Nôm
(sáchtoáncủaViệtNamviếtbằngchữHánvàchữNôm).Quađócóthểphnnàohìnhdungvkhảnăngtiếpnhận
vàpháttriểntoánhọccủacácnhàtoánhọcViệtNamthờitrungđại,cũngnhưýnghĩathờisựcủakiếnthứctoán
họctrongcácsáchtoánHán-Nômtronggiảngdạytoánhiệnnay.
Từ khóa: Định lí Trung Quc về phần dư, sch ton Hn-Nôm, lịch s ton học, ton học Việt Nam thời Trung
đại, giảng dạy ton học.
*Tc giả liên hệ chính.
Email: tdphuong@math.ac.vn
1. MỞ ĐẦU
Định lí Trung Quc về phần dư (The Chinese
RemainderTheorem)cónguồngốctừbàitoán
Vật bất tri kỳ strongcuốnsáchchữHánTôn
T ton kinh(khoảngthếkỉV).1 MặcdùĐịnh
lí Trung Quc về phần dư làcơsởđểxâydựng
thuậttoángiảihệphươngtrìnhđồngdưbậcnhất,
đãđượcsửdụngtrongtnhtoánthiênvănvàtnh
toánlịchtạiTrungQuốccổđạivàothếkỉIItrước
Côngnguyên.2 Nhưngnóchỉđượcnhàtoánhọc
TrungQuốcTnCửuThiuchứngminhchặtchẽ
vàothếkỉXIII.3TrìnhĐạiVịcũnggọibàitoán
Vật bất tri kỳ slàbàitoánHn Tín điểm binh.4
Định lí Trung Quc về phần dư cóbảnchất
toánhọcsâusắcvàcónhiuứngdụngthựctế,vì
vậynóluônmangýnghĩathờisự.Nónằmtrong
chương trình chnh khóa cho học sinh chuyên
Toán-TinvàchosinhviêncácngànhToán-Khoa
họcmáytnhvàđượcgiảngdạytrongcácmôn
Lýthuyếtsố,Lýthuyếtthuậttoán…Hiệnnay
7
https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16401
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
KHOA HỌC
TẠP CHÍ
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Quy Nhơn, 2022, 16(4), 5-16
toánđồngdưđượcpháttriểntheonhiuhướng:
Hệphươngtrìnhđồngdưnhiuẩn,phươngtrình
đồngdưphituyếnápdụngtrongcácbàitoánthi
họcsinhgiỏiQuốcgiavàQuốctế;5 Đồngdưtrên
cáctrườngsốtổngquát;ứngdụngcủađồngdư
trongmậtmã,máytnh,...6
CóthểkhẳngđịnhrằngngườiViệtNam
đãbiếtđếnĐịnh lí Trung Quc về phần dư qua
bàitoánĐiểm binh php(phépđiểmbinh)trong
cuốnsáchTon php đại thnh7củaLươngThế
Vinh (1441-1496).
Trong Chương 6 của cuốn sách Ý Trai
ton php nhất đắc lc (Một điu tâm đắc v
toáncủaÝTrai)8gồm8QuyểndoNguyễnHữu
Thận(1757-1831,tênchữ:ÝTrai)bắtđuviết
từnăm1812vàhoànthànhnăm1829,Định lí
Trung Quc về phần dư đượcbiếtđếndướitên
bàitoán Vật bất tri k svàđượcNguyễnHữu
ThậngọilàdạngtoánDĩ dư s tri nguyên s (Từ
sốdưtìmrasốbanđu).
HoàngXuânHãnđãviếtmộtbàibáovới
têngọiHn Tín điểm binh.9 Tuy nhiên,Hoàng
XuânHãnchỉbànvcáchgiảibàitoánmàchưa
khảocứucácsáchtoánHán-Nôm.Bàiviếtnày
cólẽlàbàibáođutiêntìmhiểuĐịnh lí Trung
Quc về phần dưtrongcácsáchtoánHán-Nôm
củacáctácgiảViệtNam.Nhằmlàmrõvấnđ
vàsosánhvớicácsáchtoánHán-Nôm,chúng
tôicũngđiểmquanhữngtưliệucủacáctácgiả
TrungQuốctrướcthếkỉXVIviếtvbàitoánnày.
2. NỘI DUNG
2.1. Đnh lí Trung Quốc về phn dư trong các
sách toán Trung Quốc
2.1.1. Mt s bi ton Định lí Trung Quc về
phần dư cónguồngốctừbàitoánVật bất tri kỳ
strongcuốnsáchchữHánTôn T ton kinh
(khoảngthếkỉIV-thếkỉV).1
Bi 2.1.1(Bàitoánsố26,Quyểnhạ)1 Nay
có mt đng đồ, không rõ s lượng, chỉ biết xếp
mỗi nhóm 3 ci th thừa ra 2, xếp theo nhóm 5
th thừa 3, theo nhóm 7 th thừa 2. Hỏi s lượng
đồ vật l bao nhiêu?
Lưu ý:Đểtrìnhbàygọn,chúngtôikhông
chéplạinguyênvănbàitoánbằngchữHán,mà
chỉdịchĐubàivàLờigiảitrongcácsáchtoán
cổ. Sau đó giải thch Lời giải bằng ngôn ngữ
hiệnđại.
Bàitoánnàyđãđượcnhiunhàtoánhọc
Trung Quốctiếptụcnghiêncứu,chứngminh
thuật giải và phát triển. Dương Huy (楊輝,
1238-1298)có4bàikhóhơnmộtchútnhưng
cùngdạng.
Bi 2.1.2(DươngHuy)10 Xếp mỗi nhóm
7 th thừa 1, xếp 8 thừa 2, xếp 9 thừa 3. Hỏi s
lượng vật l bao nhiêu?
Bi 2.1.3(DươngHuy)10 Xếp mỗi nhóm
11 th dư 3, xếp 12 dư 2, xếp 13 dư 1. Hỏi s
lượng vật l bao nhiêu?
Bi 2.1.4 (DươngHuy)10 Xếp mỗi nhóm 2
th dư 1, xếp 5 dư 2, xếp 7 dư 3, xếp 9 dư 4. Hỏi
s lượng vật l bao nhiêu?
Bi 2.1.5 (Dương Huy)10 Dùng mt đi
công nhân không biết s lượng. Sai người khao
họ. Cho mỗi nhóm 3 người 1 cân thịt th thừa 5
lạng 8 thù, tức l đếm 3 thừa 2. Cho mỗi nhóm
5 người 1 quan tiền th thừa 400 tiền, tức l đếm
5 thừa 3. Mỗi nhóm 7 người hứng mt lần, thu
chén lại m hứng (tức l đếm 7 không thừa).
Hỏi tổng s công nhân v mỗi thứ chi ra l bao
nhiêu?
TrongsáchChí Nhã Đường tạp sao11 của
ChuMật(1232-1298)cóbàithơsauđây,cólẽlà
phiênbảnthơđutiêncủabàiVật bất tri k s:
三歲孩兒七十稀
五留廿一事尤奇
七度上元重相會
寒食清明便可知
Phiên âm:
Tam tuế hi nhi thất thập hi
Ngũ lưu chấp nhất, sự vưu k
Thất đ Thượng Nguyên trùng tương hi
Hn Thực, Thanh Minh tiện khả tri.
8Tạp chí Khoa học Trường Đại học Quy Nhơn, 2022, 16(4), 5-16
https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16401
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
KHOA HỌC
TẠP CHÍ
Giải thích: Hàn Thực, Thanh Minh:
KhoảngthờigiantừĐông chtới ngàyThanh
Minh là 105 ngày, gọi là tiết Hàn thực. “Hàn
thực”ámchỉsố105.
Dch:
Đứatrẻ3tuổi,[khiôngbố]70,hiếm
5lưu21,việccànglạ
7lnThượngNguyênlạigặplại
HànThực,ThanhMinhtiệnbiếtđược.
TrìnhĐạiVịcóbàithơVật bất tri tổng
(Tôn T ca,haycòngọilàHn Tín điểm binh):4
三人同行七十稀
五樹梅花廿一枝
七子團 圓 正半月
除百零五便得知
Phiên âm (HoàngXuânHãn):9
Tam nhân đồng hnh thất thập hi
Ngũ th mai hoa trấp nhất chi
Thất t đon viên chính bn nguyệt
Trừ bch linh ngũ tiện đắc tri.
Dch (HoàngXuânHãn):9
Bangườicùngđitbảychục
Nămcỗihoamaihămmốtcành
Bảygãxumvyvừanửatháng
Trừtrămlinhnămbiếtsốthành.
2.1.2. Phương trnh đồng dư tuyến tính
Cho a, b, mlàcácsốnguyênchotrước.Tanói
a đồng dưvớib theo modul m (hay avàbcùng
thuộcmộtlớpđồngdư)vàkhiệua ≡ b (mod m)
nếua - blàbộicủam
Phươngtrìnhax ≡ b (mod m)đượcgọilà
phương trnh đồng dư tuyến tính mt biến.
Nghiệmcủaphươngtrìnhax ≡ b (mod m)
làsốnguyênx sao cho ax chia cho mcòndưb.
Xétphươngtrìnhđặcbiệtdạngax ≡ 1(mod m).
Tn Cửu Thiu (秦九韶, 1202-1261)
trong S thư Cu chương (数书九章, 1247)3đã
đưaraphươngphápgiảiphươngtrìnhđồngdư
ax ≡ 1(mod m).Phươngphápnàytươngđương
với việc giải phương trình nghiệm nguyên
ax + my =1đãđượccácnhàtoánhọcẤnĐộđưa
rathuậttoángiảivàothếkỉVII.2,12
Khiệu(a, b)làước s chung lớn nhấtcủa
haisốnguyênavàb.
Nếu(a, b)=1thìtanóiavàblàhaisố
nguyên t cùng nhau.
Nhận xét 1.1.2.1 Nếu (a, m) = 1, thì
phươngtrìnhax≡ 1(mod m)códuynhấtnghiệm
và có thể tìm nghiệm nhờ giải phương trình
nghiệmnguyênax + my = 1.13
2.1.3. Định lí Trung Quc về phần dư
Định lí Trung Quc về phần dư phátbiểunhưsau:
Cho ksốnguyêndươngđôimộtnguyên
tốcùngnhaum1, m2,..., mkvàa1, a2,..., aklàksố
nguyêntùyý.Khiấyhệphươngtrìnhđồngdư
códuynhấtnghiệm(theonghĩacácnghiệmcùng
thuộclớpđồngdư)theomodulom1m2...mk.
Chứng minh:3,5,13
Tính duy nhất:Giảsửhệcóhainghiệm
x, y sao cho
x ≡ y (mod mi), i = 1, 2,..., k.
Vìm1, m2,..., mk đôi một nguyêntốcùng
nhau nên x ≡ y (mod m1m2... mk),tứclàxvàycùng
thuộcmộtlớpđồngdưtheomodulom1m2...mk.
Sự tồn ti:Tìm nghiệm x dưới dạng tổ
hợptuyếntnhcủaai:
vớicácAi thỏamãn Aj ≡ 0 (mod mi)∀j ≠i và
Aj ≡ 1 (mod mj).
ĐặtNi = m1m2...mi-1mi+1...mk, i = 1, 2,..., k.
KhiấyNjchiahếtchomj vớimọi ∀j ≠ i. Vì
(mi, m1) = ... = (mi, mi-1) = (mi, mi+1) = ... = (mi, mk) = 1
nên (Ni, mi)=1.Dođó(xemNhậnxét1.1.2.1)
4
ấ đ ệ
ừ ũ ệ đắ
(HoàngXuânHãn)
Ba ngườ cùng đ tbả ụ
N m cỗ oa ma m mốtcành
ảgãxumv ừ ử tháng
ừ tr m n m ế ố thành
P ơ đồ ến tính
,,m
là các số nguy n c o trước.Tanói
a
đồ ớ
b
m
a
b
cùng t uộc một ớp đồ dư) v k ệ
ế
ab
bộ của
.m
P ương tr n
ax b m
đượ ọi là
ơ đồ ến tính m ế
ệủa p ương tr n
ax b m
là số
x
ax
m
còn dư
.b
Xét p ương tr n đặ ệ ạ
ax m
ử 秦九韶
ơ 数书九章đã đưa ra
p ương p p g ả p ương tr n đồng dư
ax m
P ương p p n y tương đương
ớ ệ ả p ương tr n ng ệ
1,ax my
đã được các nhà toán họ Ấn Độ
đưa ra t uậttoángiảivàothế ỉ VII.
Khiệ
là ớ ớ ấ ủ
ố
a
và
.b
ế
thìtanói
a
và
b
làhaisốnguyên
ận xét ế
t p ương
trình
ax m
có duy nhấ ệ và có
ểtìm nghiệ ờ ả p ương tr n ng ệ
1.ax my
ịnh lí Trung ề ầ
ịnh lí Trung ề ầ phát biểu n ư
k
ố nguy n dương đô mộ ố
cùng nhau
...,m
và
...,a
là
k
ố
nguyêntùyý.Khiấ ệ p ương tr n đồng dư
11
22
(mod )
(mod ) (1)
...
(mod )
kk
xa m
xa m
xa m
có duy nhấ ệm (t eo ng ĩa c c ng ệ
cùng thuộ ớ đồ dư) t eo modu o
... .
ứ
Tính duy nhấả ử ệ cóhai nghiệ
,xy
xy mi k
Vì
...,m
đô mộ ố cùng nhau
x y mm m
ức là
x
và
y
cùng
ộ ộ ớ đồ dư t eo modu o
... .
ự ồ : Tìm nghiệ
x
dướ ạ ổ ợ
ếntnhcủ
:a
x Aa Aa Aa
ớicác
A
ỏamãn
và
Đặ
... ,
..., .ik
ấ
N
ế
m
ớ ọ
.ji
Vì
Do đó (xem ậ
ồ ạ ấ
x
lànghiệ ủa p ương tr n
Nx m
Đặ
x Aa Aa Aa
Nxa N xa N x a
ấ
A Nx m A m j i
ậ
x Nxa a m
ứng m n tr n, để ả ệ p ương tr n
đồng dư tuyếntnh(1),taphả m c c bướ
Bước 1: Đặ
..., .k
4
ấ đ ệ
ừ ũ ệ đắ
(HoàngXuânHãn)
Ba ngườ cùng đ tbả ụ
N m cỗ oa ma m mốtcành
ảgãxumv ừ ử tháng
ừ tr m n m ế ố thành
P ơ đồ ến tính
là các số nguy n c o trước.Tanói
đồ ớ
cùng t uộc một ớp đồ dư) v k ệ
ế
bộ của
P ương tr n
ax b m
đượ ọi là
ơ đồ ến tính m ế
ệủa p ương tr n
ax b m
là số
x
ax
còn dư
Xét p ương tr n đặ ệ ạ
ax m
ử 秦九韶
ơ 数书九章đã đưa ra
p ương p p g ả p ương tr n đồng dư
ax m
P ương p p n y tương đương
ớ ệ ả p ương tr n ng ệ
1,ax my
đã được các nhà toán họ Ấn Độ
đưa ra t uậttoángiảivàothế ỉ VII.
Khiệ
là ớ ớ ấ ủ
ố
a
và
.b
ế
thìtanói
a
và
b
làhaisốnguyên
ận xét ế
t p ương
trình
ax m
có duy nhấ ệ và có
ểtìm nghiệ ờ ả p ương tr n ng ệ
1.ax my
ịnh lí Trung ề ầ
ịnh lí Trung ề ầ phát biểu n ư
k
ố nguy n dương đô mộ ố
cùng nhau
...,m
và
...,a
là
k
ố
nguyêntùyý.Khiấ ệ p ương tr n đồng dư
xa m
xa m
xa m
có duy nhấ ệm (t eo ng ĩa c c ng ệ
cùng thuộ ớ đồ dư) t eo modu o
ứ
Tính duy nhấả ử ệ có hai nghiệ
xy
xy mi k
Vì đô mộ ố cùng nhau
x y mm m
ức là
x
và cùng
ộ ộ ớ đồ dư t eo modu o
ự ồ : Tìm nghiệ
x
dướ ạ ổ ợ
ếntnhcủ
11 2 2 ... kk
x Aa Aa Aa
ớicác
A
ỏamãn
và
Đặ
... ,
,2,...,ik
ấ
N
ế
m
ớ ọ
ji
Vì
Do đó (xem ậ
ồ ạ ấ
x
lànghiệ ủa p ương tr n
Nx m
Đặ
x Aa Aa Aa
Nxa N xa N x a
ấ
A Nx m A m j i
ậ
x Nxa a m
ứng m n tr n, để ả ệ p ương tr n
đồng dư tuyếntnh(1),taphả m c c bướ
Bước 1: Đặ
1,2,
9
https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16401
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
KHOA HỌC
TẠP CHÍ
Tạp chí Khoa học Trường Đại học Quy Nhơn, 2022, 16(4), 5-16
tồntạiduynhấtxilànghiệmcủaphươngtrình
Nix ≡ 1(mod mi).Đặt
Theochứngminhtrên,đểgiảihệphương
trình đồng dư tuyến tnh (1), ta phải làm các
bướcsau.
Bước1:Đặtm = m1m2...mk = Nimi, i = 1, 2,..., k.
Bước 2: Tìm nghiệm xi của các phương
trìnhNi x ≡ 1(mod mi)(thdụ,theothuậttoán
giảiphươngtrìnhvôđịnh).3,12
Bước3:Nghiệmcủahệđượctìmdướidạng
Bước4:Kếtluậnnghiệmx ≡ x0(mod m).
2.1.4. Áp dng MụcnàyápdụngĐịnhlTrung
Quốcvphn dư đểgiảicác bàitoánđã phát
biểutrongMục2.1.1.
Giải bi 2.1.1:1
Cách tính rng:3,lấyvậtnóchiacho3,
dư2,đặt140;5,lấynóchiacho5,dư3,đặt63;
7,lấynóchiacho7,dư2,đặt30.Cộngchúnglại
được233.Lấy210trừđinó,thìtnhđược.
Cứ3,lấynóchiacho3,dư1,thìđặt70;5,
lấynóchiacho5,dư1thìđặt21;7,lấynóchia
cho7,dư1thìđặt15.Từ106trởlên,lấy105trừ
vớinóthìtnhđược.
Giải thích Gọisốcntìmlàx. Tacó hệ
Suyratồntạicácsốx1 = 2, x2 = 1, x3 = 1
tươngứnglàcácnghiệmcủacácphươngtrình
Vậy
Trừ233chohailn3× 5 × 7 = 105 được
nghiệmnhỏnhấtlà23.
Nhận xétDươngHuygọithuậttrừ105là
“tiễnquản”(cắtđốt),10nghĩalànếusốvượtquá
3 × 5 ×7=105thì“cắtđốt”:trừchobộicủa105
đểđượcnghiệmnhỏnhấtthỏamãnhệphương
trìnhđồngdư.
Giải bi 2.1.2:10
Thuật rng:7dư1viếtxuống288,trong
đdư1;8dư1viếtxuống441,trongđdư2viết
xuống882;9dư1viếtxuống280,trongđdư3
viếtxuống840.Gộplạiđược2010,đủ504thì
trừđi.Trừ3ln504còn498,hợpvớicâuhỏi.
Giải thích Gọisốđãcholàx.Tacó hệ
Tồn tại các số x1 = 4, x2 = 7, x3 = 5
tương ứng là các nghiệm của phương trình
Nixi ≡ 1(mod mi).
Vậy
Trừ2010balncho7×8×9 = 504 được498.
Giải bi 2.1.3:10
Thuật rng: 11 dư 1 viết xuống 936,
trong đ dư 3 viết xuống 2808; 12 dư 1 viết
4
ấ đ ệ
ừ ũ ệ đắ
(HoàngXuânHãn)
Ba ngườ cùng đ tbả ụ
N m cỗ oa ma m mốtcành
ảgãxumv ừ ử tháng
ừ tr m n m ế ố thành
P ơ đồ ến tính
là các số nguy n c o trước.Tanói
đồ ớ
cùng t uộc một ớp đồ dư) v k ệ
ế
bộ của
P ương tr n
ax b m
đượ ọi là
ơ đồ ến tính m ế
ệủa p ương tr n
ax b m
là số
x
ax
còn dư
Xét p ương tr n đặ ệ ạ
ax m
ử 秦九韶
ơ 数书九章đã đưa ra
p ương p p g ả p ương tr n đồng dư
ax m
P ương p p n y tương đương
ớ ệ ả p ương tr n ng ệ
ax my
đã được các nhà toán họ Ấn Độ
đưa ra t uậttoángiảivàothế ỉ VII.
Khiệ
là ớ ớ ấ ủ
ốvà
ế
thìtanói và làhaisốnguyên
ận xét ế
t p ương
trình
ax m
có duy nhấ ệ và có
ểtìm nghiệ ờ ả p ương tr n ng ệ
1.ax my
ịnh lí Trung ề ầ
ịnh lí Trung ề ầ phát biểu n ư
k
ố nguy n dương đô mộ ố
cùng nhau
...,m
và
...,a
là
k
ố
nguyêntùyý.Khiấ ệ p ương tr n đồng dư
xa m
xa m
xa m
có duy nhấ ệm (t eo ng ĩa c c ng ệ
cùng thuộ ớ đồ dư) t eo modu o
ứ
Tính duy nhấả ử ệ có hai nghiệ
xy
xy mi k
Vì đô mộ ố cùng nhau
x y mm m
ức là
x
và cùng
ộ ộ ớ đồ dư t eo modu o
ự ồ : Tìm nghiệ
x
dướ ạ ổ ợ
ếntnhcủ
x Aa Aa Aa
ớicác ỏamãn
và
Đặ
ấế ớ ọ
Vì
Do đó (xem ậ
ồ ạ ấ
x
lànghiệ ủa p ương tr n
Nx m
Đặ
11 2 2
111 2 2 2
...
... .
kk
kkk
x Aa Aa Aa
Nxa N xa N x a
Khi ấy
1 mod , 0 mod .
i ii i i j
A Nx m A m j i
Vậy
mod .
iii i i
x Nxa a m
ứng m n tr n, để ả ệ p ương tr n
đồng dư tuyếntnh(1),taphả m c c bướ
Bước 1: Đặ
..., .k
5
Bước 2: Tìm nghiệ
x
ủa c c p ương tr n
Nx m
(th dụ ật toán giả
p ương tr n vô đị
Bướ ệ ủ ệ được t m dướ ạ
0
1
.
k
iii
i
x Nxa
Bướ ế ậ ệ
xx m
ụcnàyápdụng ĐịnhlTrung
ố n dư để ả c c b to n đã p t
ể ụ
Giải bi
Cách tính r ấ ậ ó c a c o 3, dư 2,
đặt140;5,lấ ó c a c o 5, dư 3, đặt63;7,lấ
ó c a c o 7, dư 2, đặ ộngchúnglạ đượ
ấ ừ đ nó, t t n đượ
ứ ấy nó c a c o 3, dư 1, t đặt70;5,lấ
nó c a c o 5, dư 1 t đặt21;7,lấynóchiacho
7, dư 1 t đặ ừ ở ấ ừ ớ
nó t t n đượ
Giải thích ọ ố ntìmlà
.x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
5 7 35;
3 7 21;
15.
Vì
ồ ạicácsố
xxx
tương
ứng c c ng ệ ủ p ương tr n
Nx m i
ậ
15 1 2x
ừ
105
đượ ệ
ỏ ấtlà23.
ậ Dương Huy gọ ật trừ 105 “t ễ
ản” (cắ đố ng ĩa nế ố vượt quá
105
t “cắ đố ”: trừ ộ ủ
để đượ ệ ỏ ấ ỏamãnhệ p ương
tr n đồng dư.
Giải bi
ậ : 7 dư 1 v ế ống 288, trong đ dư
1; 8 dư 1 v ế ống 441, trong đ dư 2 v ế
ống 882; 9 dư 1 v ế ống 280, trong đ dư 3
ế ố ộ ạ được 2010, đủ 504thì
ừ đ . rừ ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố đã c o
x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
8 9 72;
7 9 63;
ồ ạ ố
xxx
tương ứng
cácnghiệ ủa p ương tr n
Nx m
ậ
x
ừ
đượ
Giải bi
ậ : 11 dư 1 v ế ống 936, trong đ
dư 3 v ế ống 2808; 12 dư 1 v ế ố
trong đ dư 2 v ế ống 3146; 13 dư 1 v ế
ống 924, trong đ dư 1. Gộ ạ đượ
p p đ ổ ừ đ ừ
ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố ntìmlà
x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
12 13 156;
11 13 143;
5
Bước 2: Tìm nghiệ
x
ủa c c p ương tr n
Nx m
(th dụ ật toán giả
p ương tr n vô đị
Bướ ệ ủ ệ được t m dướ ạ
x Nxa
Bướ ế ậ ệ
xx m
ụcnàyápdụng ĐịnhlTrung
ố n dư để ả c c b to n đã p t
ể ụ
Giải bi
Cách tính r ấ ậ ó c a c o 3, dư 2,
đặt140;5,lấ ó c a c o 5, dư 3, đặt63;7,lấ
ó c a c o 7, dư 2, đặ ộngchúnglạ đượ
ấ ừ đ nó, t t n đượ
ứ ấy nó c a c o 3, dư 1, t đặt70;5,lấ
nó c a c o 5, dư 1 t đặt21;7,lấynóchiacho
7, dư 1 t đặ ừ ở ấ ừ ớ
nó t t n đượ
Giải thích ọ ố ntìmlà
x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
5 7 35;
3 7 21;
Vì
ồ ạicácsố
xxx
tương
ứng c c ng ệ ủ p ương tr n
Nx m i
ậ
35 2 2 21 1 3 15 1 2 233.x
Trừ 233 cho hai l n
105
được nghiệ
ỏ ấtlà23.
ậ Dương Huy gọ ật trừ 105 “t ễ
ản” (cắ đố ng ĩa nế ố vượt quá
105
t “cắ đố ”: trừ ộ ủ
để đượ ệ ỏ ấ ỏamãnhệ p ương
tr n đồng dư.
Giải bi
ậ : 7 dư 1 v ế ống 288, trong đ dư
1; 8 dư 1 v ế ống 441, trong đ dư 2 v ế
ống 882; 9 dư 1 v ế ống 280, trong đ dư 3
ế ố ộ ạ được 2010, đủ 504thì
ừ đ . rừ ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố đã c o
x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
8 9 72;
7 9 63;
ồ ạ ố
xxx
tương ứng
cácnghiệ ủa p ương tr n
Nx m
ậ
x
ừ
đượ
Giải bi
ậ : 11 dư 1 v ế ống 936, trong đ
dư 3 v ế ống 2808; 12 dư 1 v ế ố
trong đ dư 2 v ế ống 3146; 13 dư 1 v ế
ống 924, trong đ dư 1. Gộ ạ đượ
p p đ ổ ừ đ ừ
ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố ntìmlà
x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
12 13 156;
11 13 143;
5
Bước 2: Tìm nghiệ
x
ủa c c p ương tr n
Nx m
(th dụ ật toán giả
p ương tr n vô đị
Bướ ệ ủ ệ được t m dướ ạ
x Nxa
Bướ ế ậ ệ
xx m
ụcnàyápdụng ĐịnhlTrung
ố n dư để ả c c b to n đã p t
ể ụ
Giải bi
Cách tính r ấ ậ ó c a c o 3, dư 2,
đặt140;5,lấ ó c a c o 5, dư 3, đặt63;7,lấ
ó c a c o 7, dư 2, đặ ộngchúnglạ đượ
ấ ừ đ nó, t t n đượ
ứ ấy nó c a c o 3, dư 1, t đặt70;5,lấ
nó c a c o 5, dư 1 t đặt21;7,lấynóchiacho
7, dư 1 t đặ ừ ở ấ ừ ớ
nó t t n đượ
Giải thích Gọi số c ntìmlà
.x
Tacó hệ
2(mod3)
3(mod5)
2(mod7).
x
x
x
Đặt
1
5 7 35;N
2
3 7 21;N
3
3 5 15.N
Vì
5,7 7,3 3,5 1
nên
123
,3 ,5 ,7 1.NNN
ồ ạicácsố
1xxx
tương
ứng c c ng ệ ủ p ương tr n
Nx m i
ậ
233.x
ừ
105
đượ ệ
ỏ ấtlà23.
ậ Dương Huy gọ ật trừ 105 “t ễ
ản” (cắ đố ng ĩa nế ố vượt quá
105
t “cắ đố ”: trừ ộ ủ
để đượ ệ ỏ ấ ỏamãnhệ p ương
tr n đồng dư.
Giải bi
ậ : 7 dư 1 v ế ống 288, trong đ dư
1; 8 dư 1 v ế ống 441, trong đ dư 2 v ế
ống 882; 9 dư 1 v ế ống 280, trong đ dư 3
ế ố ộ ạ được 2010, đủ 504thì
ừ đ . rừ ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố đã c o
x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
8 9 72;
7 9 63;
ồ ạ ố
xxx
tương ứng
cácnghiệ ủa p ương tr n
Nx m
ậ
x
ừ
đượ
Giải bi
ậ : 11 dư 1 v ế ống 936, trong đ
dư 3 v ế ống 2808; 12 dư 1 v ế ố
trong đ dư 2 v ế ống 3146; 13 dư 1 v ế
ống 924, trong đ dư 1. Gộ ạ đượ
p p đ ổ ừ đ ừ
ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố ntìmlà
x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
12 13 156;
11 13 143;
5
Bước 2: Tìm nghiệ
x
ủa c c p ương tr n
Nx m
(th dụ ật toán giả
p ương tr n vô đị
Bướ ệ ủ ệ được t m dướ ạ
x Nxa
Bướ ế ậ ệ
xx m
ụcnàyápdụng ĐịnhlTrung
ố n dư để ả c c b to n đã p t
ể ụ
Giải bi
Cách tính r ấ ậ ó c a c o 3, dư 2,
đặt140;5,lấ ó c a c o 5, dư 3, đặt63;7,lấ
ó c a c o 7, dư 2, đặ ộngchúnglạ đượ
ấ ừ đ nó, t t n đượ
ứ ấy nó c a c o 3, dư 1, t đặt70;5,lấ
nó c a c o 5, dư 1 t đặt21;7,lấynóchiacho
7, dư 1 t đặ ừ ở ấ ừ ớ
nó t t n đượ
Giải thích ọ ố ntìmlà
x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
5 7 35;
3 7 21;
Vì
ồ ạicácsố
xxx
tương
ứng c c ng ệm của c c p ương tr n
1 mod , 1,2,3.
ii
Nx m i
Vậy
233.x
ừ
105
đượ ệ
ỏ ấtlà23.
ậ Dương Huy gọ ật trừ 105 “t ễ
ản” (cắ đố ng ĩa nế ố vượt quá
105
t “cắ đố ”: trừ ộ ủ
để đượ ệ ỏ ấ ỏamãnhệ p ương
tr n đồng dư.
Giải bi
ậ : 7 dư 1 v ế ống 288, trong đ dư
1; 8 dư 1 v ế ống 441, trong đ dư 2 v ế
ống 882; 9 dư 1 v ế ống 280, trong đ dư 3
ế ố ộ ạ được 2010, đủ 504thì
ừ đ . rừ ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố đã c o
x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
8 9 72;
7 9 63;
ồ ạ ố
xxx
tương ứng
cácnghiệ ủa p ương tr n
Nx m
ậ
x
ừ
đượ
Giải bi
ậ : 11 dư 1 v ế ống 936, trong đ
dư 3 v ế ống 2808; 12 dư 1 v ế ố
trong đ dư 2 v ế ống 3146; 13 dư 1 v ế
ống 924, trong đ dư 1. Gộ ạ đượ
p p đ ổ ừ đ ừ
ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố ntìmlà
x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
12 13 156;
11 13 143;
5
Bước 2: Tìm nghiệ
x
ủa c c p ương tr n
Nx m
(th dụ ật toán giả
p ương tr n vô đị
Bướ ệ ủ ệ được t m dướ ạ
x Nxa
Bướ ế ậ ệ
xx m
ụcnàyápdụng ĐịnhlTrung
ố n dư để ả c c b to n đã p t
ể ụ
Giải bi
Cách tính r ấ ậ ó c a c o 3, dư 2,
đặt140;5,lấ ó c a c o 5, dư 3, đặt63;7,lấ
ó c a c o 7, dư 2, đặ ộngchúnglạ đượ
ấ ừ đ nó, t t n đượ
ứ ấy nó c a c o 3, dư 1, t đặt70;5,lấ
nó c a c o 5, dư 1 t đặt21;7,lấynóchiacho
7, dư 1 t đặ ừ ở ấ ừ ớ
nó t t n đượ
Giải thích ọ ố ntìmlà
.x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
5 7 35;
3 7 21;
15.
Vì
ồ ạicácsố
1xxx
tương
ứng c c ng ệ ủ p ương tr n
Nx m i
ậ
233.x
ừ
105
đượ ệ
ỏ ấtlà23.
ậ Dương Huy gọ ật trừ 105 “t ễ
ản” (cắ đố ng ĩa nế ố vượt quá
105
t “cắ đố ”: trừ ộ ủ
để đượ ệ ỏ ấ ỏamãnhệ p ương
tr n đồng dư.
Giải bi
ậ : 7 dư 1 v ế ống 288, trong đ dư
1; 8 dư 1 v ế ống 441, trong đ dư 2 v ế
ống 882; 9 dư 1 v ế ống 280, trong đ dư 3
ế ố ộ ạ được 2010, đủ 504thì
ừ đ . rừ ợ ớicâuhỏ
Giải thích Gọi số đã c o
.x
Tacó hệ
1(mod 7)
2(mod8)
3(mod9).
x
x
x
Đặt
1
8 9 72;N
2
7 9 63;N
3
7 8 56.N
8,9 7,9 7,8 1
nên
123
,7 ,8 ,9 1.NNN
ồ ạ ố
5xxx
tương ứng
cácnghiệ ủa p ương tr n
Nx m
ậ
5 3x
ừ
504
đượ
Giải bi
ậ : 11 dư 1 v ế ống 936, trong đ
dư 3 v ế ống 2808; 12 dư 1 v ế ố
trong đ dư 2 v ế ống 3146; 13 dư 1 v ế
ống 924, trong đ dư 1. Gộ ạ đượ
p p đ ổ ừ đ ừ
ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố ntìmlà
.x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
12 13 156;
11 13 143;
132.
5
Bước 2: Tìm nghiệ
x
ủa c c p ương tr n
Nx m
(th dụ ật toán giả
p ương tr n vô đị
Bướ ệ ủ ệ được t m dướ ạ
x Nxa
Bướ ế ậ ệ
xx m
ụcnàyápdụng ĐịnhlTrung
ố n dư để ả c c b to n đã p t
ể ụ
Giải bi
Cách tính r ấ ậ ó c a c o 3, dư 2,
đặt140;5,lấ ó c a c o 5, dư 3, đặt63;7,lấ
ó c a c o 7, dư 2, đặ ộngchúnglạ đượ
ấ ừ đ nó, t t n đượ
ứ ấy nó c a c o 3, dư 1, t đặt70;5,lấ
nó c a c o 5, dư 1 t đặt21;7,lấynóchiacho
7, dư 1 t đặ ừ ở ấ ừ ớ
nó t t n đượ
Giải thích ọ ố ntìmlà
x
Tacó ệ
d5)
x
x
x
Đặ
5 7 35;
3 7 21;
15.
Vì
ồ ạicácsố
1xxx
tương
ứng c c ng ệ ủ p ương tr n
Nx m i
ậ
233.x
ừ
105
đượ ệ
ỏ ấtlà23.
ậ Dương Huy gọ ật trừ 105 “t ễ
ản” (cắ đố ng ĩa nế ố vượt quá
105
t “cắ đố ”: trừ ộ ủ
để đượ ệ ỏ ấ ỏamãnhệ p ương
tr n đồng dư.
Giải bi
ậ : 7 dư 1 v ế ống 288, trong đ dư
1; 8 dư 1 v ế ống 441, trong đ dư 2 v ế
ống 882; 9 dư 1 v ế ống 280, trong đ dư 3
ế ố ộ ạ được 2010, đủ 504thì
ừ đ . rừ ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố đã c o
x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
8 9 72;
7 9 63;
ồ ạ ố
xxx
tương ứng
cácnghiệ ủa p ương tr n
Nx m
Vậy
72 4 1 63 7 2 56 5 3
288 882 840 2010.
x
ừ
504
đượ
Giải bi
ậ : 11 dư 1 v ế ống 936, trong đ
dư 3 v ế ống 2808; 12 dư 1 v ế ố
trong đ dư 2 v ế ống 3146; 13 dư 1 v ế
ống 924, trong đ dư 1. Gộ ạ đượ
p p đ ổ ừ đ ừ
ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố ntìmlà
.x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
12 13 156;
11 13 143;
132.
10 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Quy Nhơn, 2022, 16(4), 5-16
https://doi.org/10.52111/qnjs.2022.16401
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
KHOA HỌC
TẠP CHÍ
xuống1573,trongđdư2viếtxuống3146;13
dư1viếtxuống924,trongđdư1.Gộplạiđược
6878,phápđytổngtrừđi1716.Trừ4ln1716
còn14,hợpvớicâuhỏi.
Giải thích Gọisốcntìmlàx.Tacó hệ
Tồntạicácsốx1 = 6, x2 = 11, x3 = 7 làcác
nghiệmcủacácphươngtrìnhNixi ≡ 1(mod mi).
Vậy
Trừ6878bốnlncho11× 12 × 13 = 1716
đượcnghiệmnhỏnhấtlà14.
Giải bi 2.1.4:10
Thuật rng:Đếm2dư1viếtxuống315,
trongđdư1;đếm5dư2viếtxuống126,trong
đdư2,viếtxuống252;đếm7dư1viếtxuống
540,trongđdư3viếtxuống1620;đếm9dư1
viếtxuống280,trongđdư4viếtxuống1120.
Gộplạiđược3307,phápđytổngtrừđi630.Trừ
đi5ln630còn157làđápsố,hợpvớicâuhỏi.
Giải thích Gọisốđãcholàx.Tacó hệ
Khiệu(a, b, c)làướcsốchunglớnnhất
củabasốnguyêndươnga, b, c.
Tồntạicácsốx1 = 1, x2 = 1, x3 = 6, x4 = 4
làcácnghiệmcủaphươngtrình Nixi ≡ 1(mod mi).
Dođó
Trừ3307nămlncho2× 5 × 7 × 9 = 630
đượcnghiệmnhỏnhấtlà157.
Nhận xét Đây là bài giải hệ 4 phương
trìnhđồngdư,khôngthấycótrongcácsáchtoán
Hán-Nôm,thậmchhiếmthấytrongcáctàiliệu
toánhiệnnaycủaViệtNam.
Giải bi 2.1.5:10
Thảo rng:Đếm3thừa2viếtxuống140,
đếm5thừa3viếtxuống63,7khôngthừakhông
viếtxuống.Gộplại được 203,trừ105còn 98
người.Lấy200nhânvớisốngườiđượcsốtin,
sốngườichia7đượcsốrượu,chia3đượcsốthịt.
Giải thích1cân=16lạng;1lạng=24
thù,vậy1cân=16×24=384thù;mỗilnchia
1cân=384thùcho3người,mỗingườiđược
128thù.Gọisốngườilàxvày1làsốlnchiathịt
(khôngkểlncuốichiabịthừa),mỗilnchia1
cân=384thùcho3người,cứmỗi3ngườiđược
chia1cânthịtthìthừa5lạng8thù=128thù=
1/3cân,vậyphảithêm2ngườicuốicùngnhận
2/3cân=256thù.Theobàiratacó:
Nghĩalàx ≡ 2(mod 3).
1 quan = 1000 tin, chia cho 5 người thì mỗi
ngườinhận200tin.Gọiy2làsốlnchiatin
(khôngkểlncuốithừa400,tứclàthêm3người
nhậnmỗingười200).Theobàiratacó
Gọiy3làsốlnđãrótrượu,mỗilnrót
cho7người(thuchénlạiđểrótchongườikhác).
5
Bước 2: Tìm nghiệ
x
ủa c c p ương tr n
Nx m
(th dụ ật toán giả
p ương tr n vô đị
Bướ ệ ủ ệ được t m dướ ạ
x Nxa
Bướ ế ậ ệ
xx m
ụcnàyápdụng ĐịnhlTrung
ố n dư để ả c c b to n đã p t
ể ụ
Giải bi
Cách tính r ấ ậ ó c a c o 3, dư 2,
đặt140;5,lấ ó c a c o 5, dư 3, đặt63;7,lấ
ó c a c o 7, dư 2, đặ ộngchúnglạ đượ
ấ ừ đ nó, t t n đượ
ứ ấy nó c a c o 3, dư 1, t đặt70;5,lấ
nó c a c o 5, dư 1 t đặt21;7,lấynóchiacho
7, dư 1 t đặ ừ ở ấ ừ ớ
nó t t n đượ
Giải thích ọ ố ntìmlà
x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
5 7 35;
3 7 21;
Vì
ồ ạicácsố
xxx
tương
ứng c c ng ệ ủ p ương tr n
,2,3.
ii
Nx m i
ậ
233.x
ừ
105
đượ ệ
ỏ ấtlà23.
ậ Dương Huy gọ ật trừ 105 “t ễ
ản” (cắ đố ng ĩa nế ố vượt quá
105
t “cắ đố ”: trừ ộ ủ
để đượ ệ ỏ ấ ỏamãnhệ p ương
tr n đồng dư.
Giải bi
ậ : 7 dư 1 v ế ống 288, trong đ dư
1; 8 dư 1 v ế ống 441, trong đ dư 2 v ế
ống 882; 9 dư 1 v ế ống 280, trong đ dư 3
ế ố ộ ạ được 2010, đủ 504thì
ừ đ . rừ ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố đã c o
x
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
8 9 72;
7 9 63;
ồ ạ ố
xxx
tương ứng
cácnghiệ ủa p ương tr n
Nx m
ậ
x
ừ
đượ
Giải bi
ậ : 11 dư 1 v ế ống 936, trong đ
dư 3 v ế ống 2808; 12 dư 1 v ế ố
trong đ dư 2 v ế ống 3146; 13 dư 1 v ế
ống 924, trong đ dư 1. Gộ ạ đượ
p p đ ổ ừ đ ừ
ợ ớicâuhỏ
Giải thích Gọi số c ntìmlà
.x
Tacó hệ
3 mod11
2(mod12)
1(mod13).
x
x
x
Đặt
1
12 13 156;N
2
11 13 143;N
3
11 12 132.N
6
12,13 11,13 11,12 1
nên
12 3
,11 ,12 ,13 1.NN N
ồ ạ ố
7xx x
là các
ệ ủa c c p ương tr n
Nx m
ậ
7 1x
ừ ố
1716
đượ
ệ ỏ ấtlà14.
Giải bi
ậ Đếm 2 dư 1 v ế ố
đ dư 1; đếm 5 dư 2 v ế ống 126, trong đ dư
ế ống 252; đếm 7 dư 1 v ế ố
trong đ dư 3 v ế ống 1620; đếm 9 dư 1 v ế
ống 280, trong đ dư 4 v ế ố ộ
ạ được 3307, p p đ ổ ừ đ 630. rừ đ 5
n 630 còn 157 đ p số ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố đã c o
.x
Tacó ệ
x
x
x
x
Đặ
5 7 9 315;
2 7 9 126;
2 5 9 90;
70.
Khiệ
ướ ố ớ ấ ủ
ố nguy n dương
,.abc
ồ ại các số
4xxx x
là các
ệ ủa p ương tr n
Nx m
Do đó
4 4x
ừ 3307 n m
đượ
ệ ỏ ấtlà157.
ận xét Đây b g ả ệ 4 p ương tr n đồ
dư, k ông t ấy có trong các sách toán Hán
Nôm ậmch ế ấytrongcáctàiliệtoán
ệ ủ ệ
Giải bi
ả : Đế ừ ế ống 140, đế
ừ ế ống63,7khôngthừakhôngviế
ố ộ ạ đượ ừ 105 còn 98 ngườ
ấy 200 nhân vớ ố ngườ đượ ố ố
ngườ c a 7 đượ ố rượu, c a 3 đượ ố ị
Giải thích 1cân=16lạng;1lạng=24thù,vậ
cân=
thù; mỗ n chia 1 cân=384
t ù c o 3 ngườ ỗ ngườ được128thù. ọ
ốngườilà
x
và làsố ịt(khôngkể
ố ị ừ ỗ n chia 1 cân=384
t ù c o 3 ngườ , cứ mỗ 3 ngườ đượcchia1cân
ịtthìthừ ạng8thù=128thù=1/3cân,vậ
ả t m 2 ngườ ốicùngnhận2/3cân=256
thù.Theobàiratacó:
y xy x
Ng ĩa
x
n, c a c o 5 người thì mỗ
ngườ ậ ọ làsố
(khôngkể ố ừ ức t m 3 ngườ
ậ ỗ người200).Theobàiratacó
y xxy
x
ọlàsố n đã rót rượ ỗ nrótcho7
ngườ ạ để rót c o ngườikhác).Và
khôngcósốngườ dư, tứclà
xy
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
5 7 35;
3 7 21;
Vì
6
ồ ạ ố
xx x
là các
ệ ủa c c p ương tr n
Nx m
ậ
156 6 3 143 11 2 132 7 1
2808 3146 924 6878.
x
Trừ 6878 bốn l n cho
11 12 13 1716
được
ệ ỏ ấtlà14.
Giải bi
ậ Đếm 2 dư 1 v ế ố
đ dư 1; đếm 5 dư 2 v ế ống 126, trong đ dư
ế ống 252; đếm 7 dư 1 v ế ố
trong đ dư 3 v ế ống 1620; đếm 9 dư 1 v ế
ống 280, trong đ dư 4 v ế ố ộ
ạ được 3307, p p đ ổ ừ đ 630. rừ đ 5
n 630 còn 157 đ p số ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố đã c o
.x
Tacó ệ
x
x
x
x
Đặ
5 7 9 315;
2 7 9 126;
2 5 9 90;
70.
Khiệ
ướ ố ớ ấ ủ
ố nguy n dương
,.abc
ồ ại các số
4xxx x
là các
ệ ủa p ương tr n
Nx m
Do đó
4 4x
ừ 3307 n m
đượ
ệ ỏ ấtlà157.
ận xét Đây b g ả ệ 4 p ương tr n đồ
dư, k ông t ấy có trong các sách toán Hán
Nôm ậmch ế ấytrongcáctàiliệtoán
ệ ủ ệ
Giải bi
ả : Đế ừ ế ống 140, đế
ừ ế ống63,7khôngthừakhôngviế
ố ộ ạ đượ ừ 105 còn 98 ngườ
ấy 200 nhân vớ ố ngườ đượ ố ố
ngườ c a 7 đượ ố rượu, c a 3 đượ ố ị
Giải thích 1cân=16lạng;1lạng=24thù,vậ
cân=
thù; mỗ n chia 1 cân=384
t ù c o 3 ngườ ỗ ngườ được128thù. ọ
ốngườilà
x
và làsố ịt(khôngkể
ố ị ừ ỗ n chia 1 cân=384
t ù c o 3 ngườ , cứ mỗ 3 ngườ đượcchia1cân
ịtthìthừ ạng8thù=128thù=1/3cân,vậ
ả t m 2 ngườ ốicùngnhận2/3cân=256
thù.Theobàiratacó:
y xy x
Ng ĩa
x
n, c a c o 5 người thì mỗ
ngườ ậ ọ làsố
(khôngkể ố ừ ức t m 3 ngườ
ậ ỗ người200).Theobàiratacó
y xxy
x
ọlàsố n đã rót rượ ỗ nrótcho7
ngườ ạ để rót c o ngườikhác).Và
khôngcósốngườ dư, tứclà
xy
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
5 7 35;
3 7 21;
Vì
6
ồ ạ ố
xx x
là các
ệ ủa c c p ương tr n
Nx m
ậ
x
ừ ố
đượ
ệ ỏ ấtlà14.
Giải bi
ậ Đếm 2 dư 1 v ế ố
đ dư 1; đếm 5 dư 2 v ế ống 126, trong đ dư
ế ống 252; đếm 7 dư 1 v ế ố
trong đ dư 3 v ế ống 1620; đếm 9 dư 1 v ế
ống 280, trong đ dư 4 v ế ố ộ
ạ được 3307, p p đ ổ ừ đ 630. rừ đ 5
n 630 còn 157 đ p số ợ ớicâuhỏ
Giải thích Gọi số đã c o
.x
Tacó hệ
1 mod 2
2 mod5
3 mod 7
4 mod9 .
x
x
x
x
Đặt
15 7 9 315;N
2
2 7 9 126;N
3
2 5 9 90;N
4
2 5 7 70.N
Khiệu
,,abc
ước số chung lớn nhất của ba
ố nguy n dương
,.abc
ồ ại các số
xxx x
là các
ệ ủa p ương tr n
Nx m
Do đó
4 4x
ừ 3307 n m
đượ
ệ ỏ ấtlà157.
ận xét Đây b g ả ệ 4 p ương tr n đồ
dư, k ông t ấy có trong các sách toán Hán
Nôm ậmch ế ấytrongcáctàiliệtoán
ệ ủ ệ
Giải bi
ả : Đế ừ ế ống 140, đế
ừ ế ống63,7khôngthừakhôngviế
ố ộ ạ đượ ừ 105 còn 98 ngườ
ấy 200 nhân vớ ố ngườ đượ ố ố
ngườ c a 7 đượ ố rượu, c a 3 đượ ố ị
Giải thích 1cân=16lạng;1lạng=24thù,vậ
cân=
thù; mỗ n chia 1 cân=384
t ù c o 3 ngườ ỗ ngườ được128thù. ọ
ốngườilà
x
và làsố ịt(khôngkể
ố ị ừ ỗ n chia 1 cân=384
t ù c o 3 ngườ , cứ mỗ 3 ngườ đượcchia1cân
ịtthìthừ ạng8thù=128thù=1/3cân,vậ
ả t m 2 ngườ ốicùngnhận2/3cân=256
thù.Theobàiratacó:
y xy x
Ng ĩa
x
n, c a c o 5 người thì mỗ
ngườ ậ ọ làsố
(khôngkể ố ừ ức t m 3 ngườ
ậ ỗ người200).Theobàiratacó
y xxy
x
ọlàsố n đã rót rượ ỗ nrótcho7
ngườ ạ để rót c o ngườikhác).Và
khôngcósốngườ dư, tứclà
xy
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
5 7 35;
3 7 21;
Vì
6
ồ ạ ố
xx x
là các
ệ ủa c c p ương tr n
Nx m
ậ
x
ừ ố
đượ
ệ ỏ ấtlà14.
Giải bi
ậ Đếm 2 dư 1 v ế ố
đ dư 1; đếm 5 dư 2 v ế ống 126, trong đ dư
ế ống 252; đếm 7 dư 1 v ế ố
trong đ dư 3 v ế ống 1620; đếm 9 dư 1 v ế
ống 280, trong đ dư 4 v ế ố ộ
ạ được 3307, p p đ ổ ừ đ 630. rừ đ 5
n 630 còn 157 đ p số ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố đã c o
x
Tacó ệ
x
x
x
x
Đặ
5 7 9 315;
2 7 9 126;
2 5 9 90;
Khiệ
ướ ố ớ ấ ủ
số nguy n dương
,,.abc
5,7,9 2,7,9 2,5,9 1
nên
1234
,2 ,5 ,7 ,9 1.NNNN
ồ ại các số
4xxx x
là các
ệ ủa p ương tr n
Nx m
Do đó
4 4x
ừ 3307 n m
đượ
ệ ỏ ấtlà157.
ận xét Đây b g ả ệ 4 p ương tr n đồ
dư, k ông t ấy có trong các sách toán Hán
Nôm ậmch ế ấytrongcáctàiliệtoán
ệ ủ ệ
Giải bi
ả : Đế ừ ế ống 140, đế
ừ ế ống63,7khôngthừakhôngviế
ố ộ ạ đượ ừ 105 còn 98 ngườ
ấy 200 nhân vớ ố ngườ đượ ố ố
ngườ c a 7 đượ ố rượu, c a 3 đượ ố ị
Giải thích 1cân=16lạng;1lạng=24thù,vậ
cân=
thù; mỗ n chia 1 cân=384
t ù c o 3 ngườ ỗ ngườ được128thù. ọ
ốngườilà
x
và làsố ịt(khôngkể
ố ị ừ ỗ n chia 1 cân=384
t ù c o 3 ngườ , cứ mỗ 3 ngườ đượcchia1cân
ịtthìthừ ạng8thù=128thù=1/3cân,vậ
ả t m 2 ngườ ốicùngnhận2/3cân=256
thù.Theobàiratacó:
y xy x
Ng ĩa
x
n, c a c o 5 người thì mỗ
ngườ ậ ọ làsố
(khôngkể ố ừ ức t m 3 ngườ
ậ ỗ người200).Theobàiratacó
y xxy
x
ọlàsố n đã rót rượ ỗ nrótcho7
ngườ ạ để rót c o ngườikhác).Và
khôngcósốngườ dư, tứclà
xy
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
5 7 35;
3 7 21;
Vì
6
ồ ạ ố
xx x
là các
ệ ủa c c p ương tr n
Nx m
ậ
x
ừ ố
đượ
ệ ỏ ấtlà14.
Giải bi
ậ Đếm 2 dư 1 v ế ố
đ dư 1; đếm 5 dư 2 v ế ống 126, trong đ dư
ế ống 252; đếm 7 dư 1 v ế ố
trong đ dư 3 v ế ống 1620; đếm 9 dư 1 v ế
ống 280, trong đ dư 4 v ế ố ộ
ạ được 3307, p p đ ổ ừ đ 630. rừ đ 5
n 630 còn 157 đ p số ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố đã c o
x
Tacó ệ
x
x
x
x
Đặ
5 7 9 315;
2 7 9 126;
2 5 9 90;
Khiệ
ướ ố ớ ấ ủ
ố nguy n dương
ồ ại các số
xxx x
là các
ệ ủa p ương tr n
Nx m
Do đó
315 1 1 126 1 2 90 6 3 70 4 4
315 252 1620 1120 3307.
x
ừ 3307 n m
đượ
ệ ỏ ấtlà157.
ận xét Đây b g ả ệ 4 p ương tr n đồ
dư, k ông t ấy có trong các sách toán Hán
Nôm ậmch ế ấytrongcáctàiliệtoán
ệ ủ ệ
Giải bi
ả : Đế ừ ế ống 140, đế
ừ ế ống63,7khôngthừakhôngviế
ố ộ ạ đượ ừ 105 còn 98 ngườ
ấy 200 nhân vớ ố ngườ đượ ố ố
ngườ c a 7 đượ ố rượu, c a 3 đượ ố ị
Giải thích 1cân=16lạng;1lạng=24thù,vậ
cân=
thù; mỗ n chia 1 cân=384
t ù c o 3 ngườ ỗ ngườ được128thù. ọ
ốngườilà
x
và làsố ịt(khôngkể
ố ị ừ ỗ n chia 1 cân=384
t ù c o 3 ngườ , cứ mỗ 3 ngườ đượcchia1cân
ịtthìthừ ạng8thù=128thù=1/3cân,vậ
ả t m 2 ngườ ốicùngnhận2/3cân=256
thù.Theobàiratacó:
y xy x
Ng ĩa
x
n, c a c o 5 người thì mỗ
ngườ ậ ọ làsố
(khôngkể ố ừ ức t m 3 ngườ
ậ ỗ người200).Theobàiratacó
y xxy
x
ọlàsố n đã rót rượ ỗ nrótcho7
ngườ ạ để rót c o ngườikhác).Và
khôngcósốngườ dư, tứclà
xy
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
5 7 35;
3 7 21;
Vì
6
ồ ạ ố
xx x
là các
ệ ủa c c p ương tr n
Nx m
ậ
x
ừ ố
đượ
ệ ỏ ấtlà14.
Giải bi
ậ Đếm 2 dư 1 v ế ố
đ dư 1; đếm 5 dư 2 v ế ống 126, trong đ dư
ế ống 252; đếm 7 dư 1 v ế ố
trong đ dư 3 v ế ống 1620; đếm 9 dư 1 v ế
ống 280, trong đ dư 4 v ế ố ộ
ạ được 3307, p p đ ổ ừ đ 630. rừ đ 5
n 630 còn 157 đ p số ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố đã c o
x
Tacó ệ
2x
x
x
x
Đặ
5 7 9 315;
2 7 9 126;
2 5 9 90;
70.
Khiệ
ướ ố ớ ấ ủ
ố nguy n dương
,.abc
ồ ại các số
4xxx x
là các
ệ ủa p ương tr n
Nx m
Do đó
4 4x
ừ 3307 n m
đượ
ệ ỏ ấtlà157.
ận xét Đây b g ả ệ 4 p ương tr n đồ
dư, k ông t ấy có trong các sách toán Hán
Nôm ậmch ế ấytrongcáctàiliệtoán
ệ ủ ệ
Giải bi
ả : Đế ừ ế ống 140, đế
ừ ế ống63,7khôngthừakhôngviế
ố ộ ạ đượ ừ 105 còn 98 ngườ
ấy 200 nhân vớ ố ngườ đượ ố ố
ngườ c a 7 đượ ố rượu, c a 3 đượ ố ị
Giải thích 1cân=16lạng;1lạng=24thù,vậ
cân=
thù; mỗ n chia 1 cân=384
t ù c o 3 ngườ ỗ ngườ được128thù. ọ
ốngườilà
x
và làsố ịt(khôngkể
ố ị ừ ỗ n chia 1 cân=384
t ù c o 3 ngườ , cứ mỗ 3 ngườ đượcchia1cân
ịtthìthừ ạng8thù=128thù=1/3cân,vậ
ả t m 2 ngườ ốicùngnhận2/3cân=256
thù.Theobàiratacó:
11
384 256 128 3 2y xy x
Ng ĩa
x
n, c a c o 5 người thì mỗ
ngườ ậ ọ
y
làsố
(khôngkể ố ừ ức t m 3 ngườ
ậ ỗ người200).Theobàiratacó
3y xxy
x
ọ
y
làsố n đã rót rượ ỗ nrótcho7
ngườ ạ để rót c o ngườikhác).Và
khôngcósốngườ dư, tứclà
7.xy
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
5 7 35;
3 7 21;
15.
Vì
6
ồ ạ ố
xx x
là các
ệ ủa c c p ương tr n
Nx m
ậ
x
ừ ố
đượ
ệ ỏ ấtlà14.
Giải bi
ậ Đếm 2 dư 1 v ế ố
đ dư 1; đếm 5 dư 2 v ế ống 126, trong đ dư
ế ống 252; đếm 7 dư 1 v ế ố
trong đ dư 3 v ế ống 1620; đếm 9 dư 1 v ế
ống 280, trong đ dư 4 v ế ố ộ
ạ được 3307, p p đ ổ ừ đ 630. rừ đ 5
n 630 còn 157 đ p số ợ ớicâuhỏ
Giải thích ọ ố đã c o
x
Tacó ệ
x
x
x
x
Đặ
5 7 9 315;
2 7 9 126;
2 5 9 90;
70.
Khiệ
ướ ố ớ ấ ủ
ố nguy n dương
,.abc
ồ ại các số
4xxx x
là các
ệ ủa p ương tr n
Nx m
Do đó
4 4x
ừ 3307 n m
đượ
ệ ỏ ấtlà157.
ận xét Đây b g ả ệ 4 p ương tr n đồ
dư, k ông t ấy có trong các sách toán Hán
Nôm ậmch ế ấytrongcáctàiliệtoán
ệ ủ ệ
Giải bi
ả : Đế ừ ế ống 140, đế
ừ ế ống63,7khôngthừakhôngviế
ố ộ ạ đượ ừ 105 còn 98 ngườ
ấy 200 nhân vớ ố ngườ đượ ố ố
ngườ c a 7 đượ ố rượu, c a 3 đượ ố ị
Giải thích 1cân=16lạng;1lạng=24thù,vậ
cân=
thù; mỗ n chia 1 cân=384
t ù c o 3 ngườ ỗ ngườ được128thù. ọ
ốngườilà
x
và làsố ịt(khôngkể
ố ị ừ ỗ n chia 1 cân=384
t ù c o 3 ngườ , cứ mỗ 3 ngườ đượcchia1cân
ịtthìthừ ạng8thù=128thù=1/3cân,vậ
ả t m 2 ngườ ốicùngnhận2/3cân=256
thù.Theobàiratacó:
y xy x
Ng ĩa
x
n, c a c o 5 người thì mỗ
ngườ ậ ọ làsố
(khôngkể ố ừ ức t m 3 ngườ
ậ ỗ người200).Theobàiratacó
22
1000 600 200 5 3y xxy
hay
3 mod5 .x
Gọi
y
làsố l n đã rót rượu, mỗi l nrótcho7
ngườ ạ để rót c o người khác).Và
khôngcósốngườ dư, tứclà
7.xy
Tacó ệ
x
x
x
Đặ
5 7 35;
3 7 21;
15.
Vì
![Xác Suất Toán Học: [Thêm từ mô tả/định tính để tăng CTR]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2012/20120219/nkt_bibo47/135x160/xac_suat_voi_toan_hoc_7302.jpg)
![Mật mã học: Tổng quan và ứng dụng [chuẩn SEO]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2012/20120219/nkt_bibo47/135x160/1119142_2410.jpg)
![Bài tập Đại số tuyến tính [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250930/dkieu2177@gmail.com/135x160/79831759288818.jpg)
