40
Ch−¬ng 3: §Þnh thøc, ma trËn,
hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
3.1. Ma trËn
3.1.1. §Þnh nghÜa: Cho ,mn
∈
฀
. Mét b¶ng gåm mn
×
sè (thùc hoÆc phøc) s¾p
thµnh m dßng, n cét, kÝ hiÖu:
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
mm mn
aa a
aa a
A
aa a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
hoÆc
11 12 1
21 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
mm mn
aa a
aa a
A
aa a
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
®−îc gäi lµ mét ma trËn cì (,)mn (hoÆc mn
×
). Trong ®ã:
+)
ij
a víi mäi 1,1im jn≤≤ ≤ ≤ ® −îc gäi lµ phÇn tö n»m ë dßng thø i, cét
thø j cña ma trËn A. i, j ®−îc gäi t−¬ng øng lµ chØ sè dßng vµ chØ sè cét cña phÇn
tö ij
a.
+) m, n ®−îc gäi t−¬ng øng lµ sè dßng, sè cét cña ma trËn A
Ma trËn A cì (m, n) cã phÇn tö n»m ë dßng thø i, cét thø j ®−îc ký hiÖu
lµ (,)
() ()
ij m n ij m n
Aa a
×
== .
+) NÕu
mn≠ th× A ®−îc gäi lµ ma trËn (ch÷ nhËt) cì (m, n).
mn= th× A ®−îc gäi lµ ma trËn vu«ng cÊp n.
m=1 th× A ®−îc gäi lµ ma trËn dßng.
n =1 th× A ®−îc gäi lµ ma trËn cét.
+) NÕu
ij
a∈฀ víi mäi 1,1im jn
≤
≤≤≤
th× A ®−îc gäi lµ ma trËn thùc.
NÕu ij
a∈฀ víi mäi 1,1im jn
≤
≤≤≤ th× A ®−îc gäi lµ ma trËn phøc.
KÝ hiÖu: Mat(m,n) lµ tËp c¸c ma trËn cì (m,n).
*) VÝ dô: +) 102
23 1
A⎛⎞
=⎜⎟
−−
⎝⎠
lµ mét ma trËn ch÷ nhËt cì (2,3) víi c¸c phÇn tö
11 12 13 21 22 23
1; 0; 2; 2; 3; 1aaaa aa== = =−= =−
.
41
+) 13
24
A⎛⎞
=⎜⎟
⎝⎠
lµ ma trËn vu«ng cÊp 2 víi c¸c phÇn tö 11 12
1; 3;aa==
21 22
2; 4aa==.
+)
()
1203A=− lµ ma trËn dßng cì (1, 4).
+)
0
1
2
A
⎛⎞
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
lµ ma trËn cét cì (3,1).
Tõ ®©y vÒ sau ta chØ xÐt c¸c ma trËn thùc.
3.1.2. Mét sè ma trËn d¹ng ®Æc biÖt
a) Ma trËn kh«ng
§Þnh nghÜa: Mét ma trËn mµ mäi phÇn tö ®Òu b»ng kh«ng ®−îc gäi lµ ma trËn
kh«ng, kÝ hiÖu: 0.
VÝ dô: 0 0
0 0
A⎛⎞
=⎜⎟
⎝⎠
, 0
0
B⎛⎞
=⎜⎟
⎝⎠
, 0 0 0
0 0 0
C⎛⎞
=⎜⎟
⎝⎠
b) Ma trËn chÐo
§Þnh nghÜa: Mét ma trËn vu«ng cÊp n ()
ij
A
a
=
®−îc gäi lµ ma trËn chÐo nÕu
0
ij
a= ij∀≠ , tøc lµ A cã d¹ng
11
22
0..........0
0 .........0
......................
0 0.......... nn
a
a
A
a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
. §−êng th¼ng ®i qua ii
a
®−îc gäi lµ ®−êng chÐo, c¸c phÇn tö ii
a ®−îc gäi lµ phÇn tö chÐo cña ma trËn A.
VÝ dô: 1 0
0 -1
A⎛⎞
=⎜⎟
⎝⎠
;
100
000
002
A
⎛⎞
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
c) Ma trËn ®¬n vÞ
§Þnh nghÜa: Mét ma trËn chÐo mµ mäi phÇn tö chÐo ii
a®Òu b»ng 1 ®−îc gäi lµ
ma trËn ®¬n vÞ, ký hiÖu I (hoÆc n
InÕu muèn chØ râ cÊp cña I).
42
Nãi c¸ch kh¸c: ma trËn vu«ng cÊp n mµ mäi phÇn tö ii
a ®Òu b»ng 1, mäi phÇn tö
ij
a, ij∀≠ ®Òu b»ng 0 ®−îc gäi lµ ma trËn ®¬n vÞ.
VÝ dô: 1 0
0 1
A⎛⎞
=⎜⎟
⎝⎠
,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
B
⎛⎞
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
, (1)C
.
d) Ma trËn tam gi¸c
§Þnh nghÜa: Ma trËn vu«ng cÊp n ()
ij
A
a
=
®−îc gäi lµ ma trËn tam gi¸c trªn
(d−íi) nÕu 0,
ij
a= ij∀> ( ij∀< )
Tæng qu¸t:
11
11 12 1
21 22
22 2
(1)1 (1)(1)
(1)(1) (1)
12 (1)
0 ... 0 0
... ...
... 0 0
0 ... ...
... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ;
... ... 0
0 0 ...
...
0 0 ... 0
n
n
nnn
nn nn
nn nn nn
nn
a
aa a
aa
aa
AA
aa
aa
aa a a
a
−−−
−− −
−
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
Ma trËn tam gi¸c trªn Ma trËn tam gi¸c d−íi
VÝ dô:
1 2 1
0 2 -1
0 0 3
A
⎛⎞
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
lµ ma trËn tam gi¸c trªn.
1 0 0
-1 2 0
4 1 -2
B
⎛⎞
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
lµ ma trËn tam gi¸c d−íi.
3.1.3. Hai ma trËn b»ng nhau
a) §Þnh nghÜa
Hai ma trËn A, B ®−îc gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã cïng cì vµ c¸c phÇn
tö ë cïng vÞ trÝ ®Òu b»ng nhau, tøc lµ () , ()
ij m n ij m n
Aa Bb
×
×
=
= vµ ijij ba = mi ,1=∀ ,
nj ,1=∀ . KÝ hiÖu: A = B .
b) VÝ dô
1 2 -3 1 2 a
0 1 - 2 ; 0 1 b
3 0 -1 3 0 c
AB
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
==
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
th× 3; 2; 1
A
Ba b c
=
⇔=− =− =−
.
43
3.1.4. Céng ma trËn
a) §Þnh nghÜa: Cho hai ma trËn cïng cì () , ()
ij m n ij m n
Aa Bb
×
×
=
=. Tæng cña hai
ma trËn A, B kÝ hiÖu lµ A + B lµ ma trËn ()
ij m n
Cc
×
=
x¸c ®Þnh bëi: ij ij ij
cab=+
mi ,1=∀ , nj ,1=∀ .
NhËn xÐt: Tæng hai ma trËn cïng cì lµ mét ma trËn cïng cì ®ã mµ phÇn tö ë
dßng thø i cét j b»ng tæng cña c¸c phÇn tö ë dßng i cét j cña hai ma trËn ®· cho.
b) VÝ dô: +) 10 21 31
13 42 35
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
.
+) 12 1 2 10 31 1
034 31 2 322
−− −
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
−−−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
c) TÝnh chÊt : Víi A, B, C lµ c¸c ma trËn cïng cì, dÔ thÊy:
+) A + B = B + A,
+) A + 0 = 0 + A = A.
+) Cho
()
ij m n
Aa×
=. KÝ hiÖu ()
ij m n
Aa
×
−
=− ⇒ A + (- A) = (- A) + A = 0
+) A + (B + C) = (A + B) + C.
Chó ý. TËp Mat (m,n) cïng víi phÐp céng hai ma trËn lµ mét nhãm giao ho¸n.
3.1.5. Nh©n mét sè víi mét ma trËn
a) §Þnh nghÜa: Cho ma trËn ()
ij m n
Aa
×
=
vµ k
∈
฀
. Ma trËn (. )
ij m n
ka × ®−îc gäi lµ
tÝch cña ma trËn A víi sè k kÝ hiÖu lµ kA mµ c¸c phÇn tö lµ .ij
ka , mi ,1=∀ ,
nj ,1=∀ .
*) NhËn xÐt: Nh©n mét ma trËn víi mét sè ta nh©n tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña ma trËn
víi sè ®ã.
b) VÝ dô: 12 48
4. 10 40
⎛⎞⎛⎞
=
⎜⎟⎜⎟
−−
⎝⎠⎝⎠
c) TÝnh chÊt: BA,∀ cïng cì, ,kh
∈
฀
, tõ tÝnh chÊt cña c¸c phÐp to¸n trªn tËp c¸c
sè thùc ta dÔ dµng chøng minh c¸c tÝnh chÊt sau:
+) k.(A + B) = k.A + .kB.
44
+) (k + h).A = k.A + h.A.
+) k.(h.A) = (k.h).A.
+) 1.A = A, 0.A = 0 (ma trËn kh«ng cïng cì víi A).
+) k.0 = 0 (ma trËn kh«ng).
3.1.6. Nh©n ma trËn víi ma trËn
a) §Þnh nghÜa: Cho hai ma trËn () , ( )
ij m n jk n p
Aa Bb
×
×
=
=. Ma trËn ()
ik m p
Cc
×
=
x¸c ®Þnh bëi
1
,1,;1,
n
ik ij jk
j
cabimkp
=
=∀==
∑ ®−îc gäi lµ tÝch cña hai ma trËn A, B
theo thø tù ®ã vµ kÝ hiÖu A.B hoÆc
A
B
×
.
* NhËn xÐt: +) PhÇn tö ë dßng i cét k cña ma trËn tÝch A.B b»ng tæng cña c¸c
tÝch cña c¸c phÇn tö trªn dßng i cña ma trËn A t−¬ng øng víi c¸c phÇn tö trªn cét
k cña ma trËn B.
+) §Ó cã tÝch A.B sè cét cña ma trËn A ph¶i b»ng sè dßng cña ma trËn B.
b) VÝ dô
+)
10 10 12
12 12
2 1, . 2 1 1 7
13 13
-1 1 -1 1 -2 1
AB AB
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
==⇒= =
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
−−
⎝⎠ ⎝⎠
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
.
Kh«ng cã tÝch B.A v× sè cét cña B lµ 2 kh¸c sè dßng cña A lµ 4.
+) 10 0 2 0 2 2 4
;.;.
12 1 3 2 8 2 6
AB AB BA
−
−−
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞
==⇒= =
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟
−−
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠
.
+) 12 2 6 00 10 20
;.;.
24 1 3 00 5 10
AB ABBA
−−−
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞
==⇒= =
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟
−
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠
c) Chó ý
+) Cã thÓ cã tÝch A.B nh−ng ch−a ch¾c cã tÝch B.A.
+) Cã c¶ tÝch A.B vµ B.A nh−ng ch−a ch¾c A.B = B.A.
+) Cã nh÷ng ma trËn 0
≠
A, 0
≠
B nh−ng A.B = 0.
+) TËp hîp c¸c ma trËn vu«ng cïng víi phÐp céng hai ma trËn vµ phÐp
nh©n nh©n hai ma trËn t¹o thµnh mét vµnh kh«ng giao ho¸n.