Đề tài nghiên cứu khoa học cấp cơ sở: Nhóm cơ bản của đường tròn và ứng dụng

Nghiên cứu về tô pô đại số đóng vai trò trung tâm trong Toán học hiện đại, cung cấp các công cụ đại số mạnh mẽ để phân tích và hiểu rõ hơn cấu trúc của không gian tô pô. Trong bối cảnh đó, khái niệm nhóm cơ bản nổi lên như một nền tảng cốt yếu, cho phép chuyển đổi các vấn đề tô pô phức tạp thành các bài toán đại số dễ tiếp cận hơn. Báo cáo này đi sâu vào việc tìm hiểu nhóm cơ bản của đường tròn, một đối tượng cơ bản nhưng có ý nghĩa sâu sắc, nhằm làm nổi bật tầm quan trọng của đồng luân và các phương pháp đại số trong việc khám phá các tính chất tô pô.

Đối tượng độc giả chính là các nhà nghiên cứu, giảng viên và sinh viên sau đại học chuyên ngành Toán học, đặc biệt là Tô pô đại số và Đại số, quan tâm đến nhóm cơ bản và lý thuyết đồng luân.

Báo cáo này trình bày một tổng quan chi tiết về nhóm cơ bản của không gian tô pô, đồng luân của các con đường và đồng luân của các ánh xạ, những khái niệm trọng tâm trong tô pô đại số. Nghiên cứu được thực hiện theo phương pháp lý thuyết, thông qua phân tích và tổng hợp các kết quả đã biết, với mục tiêu chính là tính toán nhóm cơ bản của đường tròn và trình bày các ứng dụng quan trọng của nó. Cụ thể, báo cáo tập trung vào việc chứng minh một định lí then chốt về nhóm cơ bản của đường tròn, dựa trên hai bổ đề nền tảng là bổ đề nâng và bổ đề đồng luân. Giá trị ứng dụng của công trình thể hiện rõ qua việc minh họa cách công cụ đại số có thể được sử dụng hiệu quả để suy ra các tính chất tô pô của không gian tô pô, đặc biệt là đối với đường tròn. Ngoài ra, kết quả nghiên cứu cũng mở ra hướng tiếp cận mới để khảo sát nhóm cơ bản của các đối tượng tô pô quen thuộc khác, khẳng định vai trò cầu nối của tô pô đại số giữa đại số và hình học. Báo cáo góp phần củng cố nền tảng kiến thức về nhóm cơ bản và đồng luân, từ đó nâng cao năng lực giải quyết các bài toán tô pô thông qua lăng kính đại số.