Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 2/2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
-------------------------
ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KÌ II NĂM HỌC 2019-2020
Môn: TOÁN CAO CẤP CHO KỸ SƯ 1
Mã môn học: MATH133101
Đề số/Mã đề:1 Đề thi có 2 trang.
Thời gian: 90 phút.
Được phép sử dụng tài liệu giấy
Câu 1: (2,5 điểm) Giải và biện luận hệ phương trình
x y z m
x y m z
x m y z
3 7
2 1 3
3 3 8
Câu 2: (2 điểm) (Mô hình tuyến tính – Tốc độ hòa tan) Xét một bể ban đầu chứa
V
0
lít
nước. Nước muối có nồng độ
m
gam/lít được bơm vào bể với tốc độ
v
0
lít/phút. Hỗn hợp
trong bể được khuấy đều đồng thời cho chảy ra ngoài với tốc độ
v
1
lít/phút. Gọi
y t
là
lượng muối trong bể ở thời điểm t. Vận tốc thay đổi lượng muối trong bể theo thời gian thỏa
phương trình
.
'v y t
y t mv
V v v t
1
0
0 0 1
Giả sử ban đầu bể chứa 20 lít nước, nước muối có nồng độ 1,5 gam/lít chảy vào bể với tốc độ
2 lít/phút. Hỗn hợp trộn đều đồng thời cho chảy ra với tốc độ 1 lít/phút. Tìm lượng muối y(t)
ở thời điểm t bất kì biết ban đầu bể chứa 5 gam muối. Sau bao lâu lượng muối trong bể là 10
gam?
Câu 3: (2 điểm) (Mô hình chuyển động tự do không có lực cản) Xét một hệ bao gồm một
lò xo được cố định một đầu lên trần và một vật có khối lượng m được treo vào đầu tự do của
lò xo. Dưới tác dụng của trọng lực, vật kéo dãn lò xo thêm một độ dài nhất định rồi đứng yên
ở một vị trí gọi là vị trí cân bằng. Không xét lực cản của môi trường, chọn chiều dương hướng
xuống, chuyển động của vật theo thời gian thỏa phương trình
d x
m kx
dt
2
2
0
trong đó
x x t
là độ lệch của vật so với vị trí cân bằng ở thời điểm t,
k
là hệ số của lò xo.
Xét một hệ như trên.
a) Tìm độ cứng k của lò xo biết khi treo vật có khối lượng
m
50
kg vào đầu tự do của
lò xo thì vật kéo dài lò xo thêm 2 m lúc đạt đến vị trí cân bằng. (Lấy gia tốc trọng
trường
/
g m s
2
10
).
b) Với lò xo ở câu a, tìm phương trình dao động của vật có khối lượng
m
40
kg mắc
vào đầu tự do của lò xo, biết vật được thả ra từ vị trí bên dưới vị trí cân bằng 1 m với
vận tốc ban đầu 10 m/s hướng lên.
Câu 4. (2 điểm) Áp dụng biến đổi Laplace tìm nghiệm của bài toán giá trị đầu
'' ' cos
, '
y y y t
y y
8 20 5
0 0 0 3
