ĐỀ THI OLIMPIC TOÁN HỘI TOÁN TRUYỀN THỐNG NĂM 2006

Chia sẻ: Ly Tran Hiep | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

67
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Câu 1: Với mỗi n ∈ N,cho un = 4n n4+2n2+9 . Đặt Sn = u1 + u2 + ... + un. Tìm lim n→∞ Sn. Câu 2: Cho f là một hàm có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên (a, b). Giả sử có M 0 để |f00 (x)|≤ M với mọi x ∈ (a, b). Chứng minh rằng f là liên tục đều trên (a, b)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐỀ THI OLIMPIC TOÁN HỘI TOÁN TRUYỀN THỐNG NĂM 2006

H I TOÁN TRUY N TH NG NĂM 2006 Đ THI OLIMPIC TOÁN Môn thi: Gi i tích Th i gian làm bài: 180’ Câu 1: 4n V i m i n ∈ N, cho un = n4 +2n2 +9 . Đt Sn = u1 + u2 + ... + un . Tìm lim Sn . n→∞ Câu 2: Cho f là m t hàm có đ o hàm liên t c đ n c p 2 trên (a, b). Gi s có M > 0 đ |f (x)| ≤ M v i m i x ∈ (a, b). Ch ng minh r ng f là liên t c đ u trên (a, b). Câu 3: Cho f : − π , π → (−1, 1) là m t hàm s kh vi, f không âm và liên t c. 22 Ch ng minh r ng t n t i x0 ∈ − π , π sao cho 22 (f (x0 ))2 + (f (x0 ))2 < 1. Câu 4: Cho hàm f liên t c trên R th a mãn f (0) = 0 và |f (x) − f (y )| ≤ | sin x − sin y |, x, y ∈ R. Ch ng minh r ng π 2 π f (x)2 − f (x) dx ≤ + 1. 4 0 Tìm t t c các hàm f đ đ ng th c x y ra. Câu 5: Cho hàm f kh vi đ n c p 2 trên [a, b] và f (a) = f (b) = 0. Ch ng minh r ng t n t i c ∈ (a, b) sao cho 4 |f (c)| ≥ |f (b) − f (a)|. (b − a)2 1
ĐÁP ÁN Câu 1: Ta có 1 1 1 1 , n ∈ N. un = −2 = − n2 − 2n + 3 n + 2n + 3 (n − 1)2 + 2 (n + 1)2 + 2 1 Đ t ϕ(x) = thì un = ϕ(n − 1) − ϕ(n + 1). Do đó v i n ≥ 2, x2 +2 Sn = ϕ(0) − ϕ(2) + ϕ(1) − ϕ(3) + ... + ϕ(n − 1) − ϕ(n + 1) = ϕ(0) + ϕ(1) − ϕ(n + 1) − ϕ(n) 11 1 1 =+− −2 . 2 3 (n + 1)2 + 2 n + 2 T đó ta có lim Sn = 5 . 6 n→∞ Câu 2: C đ nh x0 ∈ (a, b). Theo đ nh lý Lagrange, v i m i x ∈ (a, b) \ {x0 } t n t i cx ∈ (a, b) sao cho f (x) − f (x0 ) = f (cx)(x − x0 ). Do đó |f (x)| ≤ |f (x) − f (x0 )| + |f (x0 )| ≤ M |x − x0 | + |f (x0 )| ≤ M (b − a) + |f (x0 )|. Đ t K = M (b − a) + |f (x0 )| > 0, ta có |f (x)| ≤ K v i m i x ∈ (a, b). Lúc đó v i x, x ∈ (a, b), d th y |f (x) − f (x )| ≤ K |x − x |. ε V i ε > 0 tùy ý cho trư c, ch n δ = . N u |x − x | < δ thì |f (x) − f (x )| < ε. K V y f liên t c đ u trên (a, b). Câu 3: Xét hàm s g (x) = arcsin(f (x)). Khi đó g : − π , π → − π , π liên t c trên 22 22 − π , π , kh vi trên − π , π . Theo đ nh lý Largange, t n t i x0 ∈ − π , π sao 22 22 22 cho π π f (x0 ) g ( ) − g (− ) = .π. 1 − (f (x0 ))2 2 2 Theo gi thi t, v trái không âm và v ph i nh hơn π . Vì v y f (x0 ) 0≤ < 1. 1 − (f (x0 ))2 2
T đây d dàng nh n đư c (f (x0 ))2 + (f (x0 ))2 < 1. Câu 4: V i m i x ∈ R, ta có |f (x)| = |f (x) − f (0)| ≤ | sin x − sin 0| = | sin x| và |f (x)2 − f (x)| = |f (x)||f (x) − 1| ≤ | sin x|(| sin x| + 1). Vy π π 2 2 π f (x)2 − f (x) dx ≤ sin x(sin x + 1) = + 1. 4 0 0 Đ ng th c x y ra khi và ch khi f liên t c trên R và v i m i x ∈ [0, π ], 2 |f (x)| = sin x và |f (x) − 1| = sin x +1, t c là f liên t c trên R và f (x) = − sin x trên [0, π ]. 2 Câu 5: Áp d ng khai tri n Taylor c a hàm f đ n c p 2 t i a và b ta có: 2 a+b f (x1 ) b−a f = f (a) + 2 2! 2 và 2 a+b f (x2 ) b−a f = f (b) + , 2 2! 2 v i x1 ∈ a, a+b và x2 ∈ a+b ,b . Do đó 2 2 2 2 b−a 1 b−a |f (b) − f (a)| = . |f (x2 ) − f (x1 )| ≤ |f (c)|, 2 2 2 trong đó |f (c)| = max{|f (x1 )|, |f (x2 )|} (c = x1 ho c c = x2 ). V y t n t i c ∈ (a, b) sao cho 4 |f (c)| ≥ |f (b) − f (a)|. (b − a)2 3