HỘI TOÁN TRUYỀN THỐNG NĂM 2006
ĐỀ THI OLIMPIC TOÁN
Môn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 180’
Câu 1:
Với mỗi n∈N,choun=4n
n4+2n2+9 .Đặt
Sn=u1+u2+... +un.
Tìm lim
n→∞ Sn.
Câu 2:
Cho flà một hàm có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên (a, b). Giả sử có
M>0để |f00 (x)|≤Mvới mọi x∈(a, b). Chứng minh rằng flà liên tục đều
trên (a, b).
Câu 3:
Cho f:−π
2,π
2→(−1,1) là một hàm số khả vi, f0không âm và liên tục.
Chứng minh rằng tồn tại x0∈−π
2,π
2sao cho
(f(x0))2+(f0(x0))2<1.
Câu 4:
Cho hàm fliên tục trên Rthỏa mãn f(0) = 0 và
|f(x)−f(y)|≤|sin x−sin y|,x,y∈R.
Chứng minh rằng
π
2
Z
0f(x)2−f(x)dx ≤π
4+1.
Tìm tất cả các hàm fđể đẳng thức xảy ra.
Câu 5:
Cho hàm fkhả vi đến cấp 2 trên [a, b]và f0(a)=f0(b)=0. Chứng minh
rằng tồn tại c∈(a, b)sao cho
|f00 (c)|≥ 4
(b−a)2|f(b)−f(a)|.
1
ĐÁP ÁN
Câu 1:
Ta có
un=1
n2−2n+3−1
n2+2n+3 =1
(n−1)2+2−1
(n+1)
2+2,n ∈N.
Đặt ϕ(x)= 1
x2+2 thì un=ϕ(n−1) −ϕ(n+1).Do đó với n≥2,
Sn=ϕ(0) −ϕ(2) + ϕ(1) −ϕ(3) + ... +ϕ(n−1) −ϕ(n+1)
=ϕ(0) + ϕ(1) −ϕ(n+1)−ϕ(n)
=1
2+1
3−1
(n+1)
2+2−1
n2+2
.
Từ đó ta có lim
n→∞ Sn=5
6.
Câu 2:
Cố định x0∈(a, b). Theo định lý Lagrange, với mỗi x∈(a, b)\{x0}tồn tại
cx∈(a, b)sao cho f0(x)−f0(x0)=f00 (cx)(x−x0). Do đó
|f0(x)|≤|f0(x)−f0(x0)|+|f0(x0)|≤M|x−x0|+|f0(x0)|≤M(b−a)+|f0(x0)|.
Đặt K=M(b−a)+|f0(x0)|>0, ta có |f0(x)|≤Kvới mọi x∈(a, b). Lúc
đó với x, x0∈(a, b), dễ thấy
|f(x)−f(x0)|≤K|x−x0|.
Với ε>0tùy ý cho trước, chọn δ=ε
K. Nếu |x−x0|<δthì |f(x)−f(x0)|<ε.
Vậy fliên tục đều trên (a, b).
Câu 3:
Xét hàm số g(x) = arcsin(f(x)). Khi đó g:−π
2,π
2→−π
2,π
2liên tục trên
−π
2,π
2, khả vi trên −π
2,π
2. Theo định lý Largange, tồn tại x0∈−π
2,π
2sao
cho
g(π
2)−g(−π
2)= f0(x0)
p1−(f(x0))2.π.
Theo giả thiết, vế trái không âm và vế phải nhỏ hơn π.Vìvậy
0≤f0(x0)
p1−(f(x0))2<1.
2
Từ đây dễ dàng nhận được
(f(x0))2+(f0(x0))2<1.
Câu 4:
Với mỗi x∈R, ta có
|f(x)|=|f(x)−f(0)|≤|sin x−sin 0|=|sin x|
và
|f(x)2−f(x)|=|f(x)||f(x)−1|≤|sin x|(|sin x|+1).
Vậy
π
2
Z
0f(x)2−f(x)dx ≤
π
2
Z
0
sin x(sin x+1)= π
4+1.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi fliên tục trên Rvà với mỗi x∈[0,π
2],
|f(x)|= sin xvà |f(x)−1|= sin x+1, tức là fliên tục trên Rvà f(x)=−sin x
trên [0,π
2].
Câu 5:
Áp dụng khai triển Taylor của hàm fđến cấp 2 tại avà bta có:
fa+b
2=f(a)+f00 (x1)
2! b−a
22
và
fa+b
2=f(b)+f00 (x2)
2! b−a
22
,
với x1∈a, a+b
2và x2∈a+b
2,b
. Do đó
|f(b)−f(a)|=b−a
22
.1
2|f00 (x2)−f00 (x1)|≤b−a
22
|f00 (c)|,
trong đó |f00 (c)|=max{|f00 (x1)|,|f00 (x2)|} (c=x1hoặc c=x2). Vậy tồn tại
c∈(a, b)sao cho
|f00 (c)|≥ 4
(b−a)2|f(b)−f(a)|.
3