Đ THI TH Đ I H C NĂM 2010-2011Ề Ử Ạ Ọ
Môn: Toán A. Th i gian: ờ180 phút ( Không k giao đ ).ể ề
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 đi m).Ầ Ấ Ả ể
Câu I (2 đi m): ểCho hàm s ố
2 4
1
x
yx
+
=−
.
1) Kh o sát và v đ th ả ẽ ồ ị
( )
C
c a hàm s trên.ủ ố
2) G i (ọd) là đ ng th ng qua ườ ẳ A( 1; 1 ) và có h s góc ệ ố k. Tìm k sao cho (d) c t ( ắC ) t i hai đi m ạ ể M,
N và
3 10MN =
.
Câu II (2 đi m):ể
1) Gi i ph ng trình: ả ươ
sin 3 3sin 2 cos2 3sin 3cos 2 0x x x x x− − + + − =
.
2) Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2 2
2 2
1 4
( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y
+ + + =
+ = + +
.
Câu III (1 đi m):ể Tính tích phân:
2
3
0
3sin 2cos
(sin cos )
x x
I dx
x x
π
−
=+
Câu IV (1 đi m):ể
Cho hình chóp t giác ứS.ABCD có đáy là hình ch nh t v i ữ ậ ớ SA vuông góc v i đáy, ớG là tr ng tâm tam giácọ
SAC, m t ph ng (ặ ẳ ABG) c t ắSC t i ạM, c t ắSD t i ạN. Tính th tích c a kh i đa di n ể ủ ố ệ MNABCD bi tế
SA=AB=a và góc h p b i đ ng th ng ợ ở ườ ẳ AN và mp(ABCD) b ng ằ
0
30
.
Câu V (1 đi m):ể Cho các s d ng ố ươ
, , : 3.a b c ab bc ca+ + =
Ch ng minh r ng: ứ ằ
II. PH N RIÊNG (3 đi m) (Ầ ể Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n 1 ho c ph n 2)).ỉ ượ ộ ầ ầ ặ ầ
1. Theo ch ng trình Chu n :ươ ẩ
Câu VI.a (2 đi m):ể
1) Trong m t ph ng v i h t a đ ặ ẳ ớ ệ ọ ộ Oxy cho đ ng tròn hai đ ng trònườ ườ
2 2
( ) : – 2 – 2 1 0,C x y x y+ + =
2 2
( ') : 4 – 5 0C x y x+ + =
cùng đi qua M(1; 0). Vi t ph ngế ươ
trình đ ng th ng qua ườ ẳ M c t hai đ ng tròn ắ ườ
( ), ( ')C C
l n l t t i ầ ượ ạ A, B sao cho MA= 2MB.
2) Trong không gian v i h t a đ ớ ệ ọ ộ Oxyz, hãy xác đ nh to đ tâm và bán kính đ ng tròn ngo i ti p tamị ạ ộ ườ ạ ế
giác ABC, bi t ếA(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Câu VII.a (1 đi m):ể
Khai tri n đa th c: ể ứ
20 2 20
0 1 2 20
(1 3 ) ... .x a a x a x a x− = + + + +
Tính t ng: ổ
0 1 2 20
2 3 ... 21S a a a a= + + + +
.
2. Theo ch ng trình Nâng cao :ươ
Câu VI.b (2 đi m)ể
1) Trong m t ph ng v i h to đ ặ ẳ ớ ệ ạ ộ Oxy, hãy vi t ph ng trình các c nh c a tam giác ế ươ ạ ủ ABC bi t tr c tâmế ự
(1;0)H
, chân đ ng cao h t đ nh ườ ạ ừ ỉ B là
(0; 2)K
, trung đi m c nh ể ạ AB là
(3;1)M
.
2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai đ ng th ng: ớ ệ ọ ộ ườ ẳ
1
( ) : 1 1 2
x y z
d= =
và
2
1 1
( ) : 2 1 1
x y z
d+ −
= =
−
.
Tìm t a đ các đi m ọ ộ ể M thu c ộ
1
( )d
và N thu c ộ
2
( )d
sao cho đ ng th ng ườ ẳ MN song song v i m t ph ngớ ặ ẳ
( )
: – 2010 0P x y z+ + =
đ dài đo n ộ ạ MN b ng ằ
2
.
Câu VII.b (1 đi m): ểGi i h ph ng trình ả ệ ươ
2
1 2
1 2
2log ( 2 2) log ( 2 1) 6
log ( 5) log ( 4) = 1
x y
x y
xy x y x x
y x
− +
− +
− − + + + − + =
+ − +
………………………………….....................H T……………………………………………………Ế
Câu Ph nầN i dungộĐiể
m
I
(2,0) 1(1,0)
Làm đúng, đ các b c theo S đ kh o sát hàm s cho đi m t i đa.ủ ướ ơ ồ ả ố ể ố 1,0
2(1,0) T gi thi t ta có: ừ ả ế
( ) : ( 1) 1.d y k x= − +
Bài toán tr thành: Tìm ởk đ h ph ng trìnhể ệ ươ
sau có hai nghi m ệ
1 1 2 2
( ; ), ( ; )x y x y
phân bi t sao cho ệ
( ) ( )
2 2
2 1 2 1
90(*)x x y y− + − =
2 4 ( 1) 1( )
1
( 1) 1
xk x I
x
y k x
+
= − +
− +
= − +
. Ta có:
2
(2 3) 3 0
( ) ( 1) 1
kx k x k
Iy k x
− − + + =
= − +
D có (ễI) có hai nghi m phân bi t khi và ch khi ph ng trìnhệ ệ ỉ ươ
2
(2 3) 3 0(**)kx k x k− − + + =
có hai nghi m phân bi t. Khi đó d có đ c ệ ệ ễ ượ
3
0, .
8
k k <
Ta bi n đ i (*) tr thành: ế ổ ở
( ) ( )
2 2
2 2
2 1 2 1 2 1
(1 ) 90 (1 )[ 4 ] 90(***)k x x k x x x x+ − = + + − =�
Theo đ nh lí Viet cho (**) ta có: ị
1 2 1 2
2 3 3
, ,
k k
x x x x
k k
− +
+ = =
th vào (***) ta cóế
ph ng trình: ươ
3 2 2
8 27 8 3 0 ( 3)(8 3 1) 0k k k k k k+ + − = + + − =�
3 41 3 41
3, ,
16 16
− + − −
= − ==k k k
.
KL: V y có 3 giá tr c a ậ ị ủ k tho mãn nh trên.ả ư
0,25
0,5
0,25
Câu Ph nầN i dungộĐiể
m
II
(2,0) 1(1,0)
sin 3 3sin 2 cos2 3sin 3cos 2 0x x x x x− − + + − =
(sin 3 sin ) 2sin 3sin 2 (cos 2 2 3cos ) 0x x x x x x+ + − − + − =
2
2sin 2 .cos 2sin 6.sin.cos (2cos 3cos 1) 0x x x x x x+ − − − + =�
2 2
2sin .cos 2sin 6.sin.cos (2cos 3cos 1) 0x x x x x x+ − − − + =�
2
1
sin 2
(2sin 1)(2cos 3cos 1) 0 cos 1
1
cos 2
x
x x x x
x
=
− − + = =� � =
+)
2
6, ( )
5
1
2
i
6
s n .
2
= +
= +
=
x k
Z
k
xk
x
ππ
ππ
+)
2
3, ( )
2
3
1
cos .
2
= +
= − +
=
x
x
k
k Z
x k
ππ
ππ
+)
cos 1 .2 , ( )= = x k k Zx
π
KL:V y ph ng trình có 5 h nghi m nh trên.ậ ươ ọ ệ ư
0,25
0,25
0,25
0,25
2(1,0)
D th y ễ ấ
0y
, ta có:
2
2 2
2 2 2
2
14
1 4 .
( ) 2 7 2 1
( ) 2 7
xx y
y
x y xy y
y x y x y x
x y y
++ + =
+ + + =
� �
+ = + + +
+ − =
Đ t ặ
2
1,
x
u v x y
y
+
= = +
ta có h : ệ
2 2
4 4 3, 1
2 7 2 15 0 5, 9
u v u v v u
v u v v v u
+ = = − = =
� � �
� �
� �
− = + − = = − =
� � �
+) V i ớ
3, 1v u= =
ta có h :ệ
2 2 2
1, 2
1 1 2 0
2, 5
3 3 3
x y
x y x y x x
x y
x y y x y x
= =
���
+ = + = + − =
� � �
��� = − =
+ = = − = −
���
.
+) V i ớ
5, 9v u= − =
ta có h : ệ
, hệ
này vô nghi m.ệ
KL: V y h đã cho có hai nghi m: ậ ệ ệ
( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.= −x y
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu Ph nầN i dungộĐiể
m
III
(1,0) Đ t ặ
, 0 , 0.
2 2 2
x t dx dt x t x t
π π π
= − = − = = = =� � �
Suy ra:
2 2 2
3 3 3
0 0 0
3sin 2cos 3cos 2sin 3cos 2sin
(sin cos ) (cos sin ) (cos sin )
x x t t x x
I dx dt dx
x x t t x x
π π π
− − −
= = =
+ + +
� � �
(Do tích phân
không ph thu c vào kí hi u c u bi n s ).ụ ộ ệ ả ế ố
Suy ra:
2 2 2
3 3 2
0 0 0
3sin 2cos 3cos 2sin 1
2(sin cos ) (cos sin ) (sin cos )
x x x x
I I I dx dx dx
x x x x x x
π π π
− −
= + = + =
+ + +
� � �
=
=
2 2
2
2 2
0 0 0
1 1 1 1 tan 1
2 4 2 4
2cos cos
4 4
dx d x x
x x
π π
π
π π
π π
� � � �
= − = − =
� � � �
� � � � � � � �
− −
� � � �
� � � �
� �
. KL: V y ậ
1.
2
=I
0,25
0,25
0,5
Câu Ph nầN i dungộĐiể
m
IV
(1,0)
+ Trong mp(SAC) k ẻAG c t ắSC t i ạM, trong mp(SBD) k ẻBG c t ắSD t i ạN.
+ Vì G là tr ng tâm tam giác ọABC nên d cóễ
2
3
SG
SO =
suy ra G cũng là tr ng tâm tam giác ọSBD.
T đó suy ra ừM, N l n l t là trung đi m c a ầ ượ ể ủ
SC, SD.
+ D có: ễ
. . .
1 1
2 2
S ABD S BCD S ABCD
V V V V= = =
.
Theo công th c t s th tích ta có:ứ ỷ ố ể
.
.
.
1 1 1 1
. . 1. .
2 2 4 8
S BMN
S ABN
S BCD
VSB SM SN V V
V SB SC SD
= = = =�
T đó suy ra:ừ
0,25
0,25
M
N
O
C
AD
B
S
G
. . .
3.
8
S ABMN S ABN S BMN
V V V V= + =
+ Ta có:
1. ( )
3
V SA dt ABCD=
; mà theo gi thi t ả ế
( )SA ABCD⊥
nên góc h p b i ợ ở AN v iớ
mp(ABCD) chính là góc
ﾷ
NAD
, l i có ạN là trung đi m c a ể ủ SC nên tam giác NAD cân t iạ
N, suy ra
ﾷ
ﾷ
0
30 .NAD NDA= =
Suy ra:
0
3
tan 30
SA
AD a= =
.
Suy ra:
3
1 1 3
. ( ) . . 3
3 3 3
V SA dt ABCD a a a a= = =
.
Suy ra: th tích c n tìm là: ể ầ
3
. .
3 5
8 8
5 3 .
24
= − = − = =
MNABCD S ABCD S ABMN
a
V V V V V V
0,5
Câu Ph nầN i dungộĐiể
m
V
(1,0) Áp d ng BĐT Cauchy cho 3 s d ng ta có:ụ ố ươ
2
3
3 3 ( ) 1ab bc ca abc abc + + =�
.
Suy ra:
2
2
2
1 ( ) ( ) ( 1 1
1 ( ) 3
) 3 (1).+ + + + = + +
+ +
=a b c abc a b c a ab b a b c a
c ca a
T ng t ta có: ươ ự
2 2
1 1 1 1
(2), (3).
1 ( ) 3 1 ( ) 3b c a b c a b c
+ + + +
C ng (1), (2) và (3) theo v v i v ta có:ộ ế ớ ế
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3
ab bc ca
a b c b c a c a b c b c abc abc
+ +
+ + + + = =
+ + + + + + W
.
D u “=” x y ra khi và ch khi ấ ả ỉ
1, 3 1, ( , , 0).abc ab bc ca a b c a b c= + + = = = = >�
0,25
0,25
0,5
Câu Ph nầN i dungộĐiể
m
VI
a
(2,0)
1(1,0) + G i tâm và bán kính c a (ọ ủ C), (C’) l n l t là ầ ượ I(1; 1) , I’(-2; 0) và
1, ' 3R R= =
, đ ngườ
th ng (ẳd) qua M có ph ng trình ươ
2 2
( 1) ( 0) 0 0, ( 0)(*)a x b y ax by a a b− + − = + − = +� �
.
+ G i ọH, H’ l n l t là trung đi m c a ầ ượ ể ủ AM, BM.
Khi đó ta có:
2 2 2 2
2 2 ' ' 'MA MB IA IH I A I H= − = −�
( ) ( )
2 2
1 ( ; ) 4[9 ( '; ) ]d I d d I d− = −�
,
.IA IH>
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
9
4 ( '; ) ( ; ) 35 4. 35
a b
d I d d I d a b a b
− = − =� � + +
2 2
2 2
2 2
36 35 36
a b a b
a b
−= =� �
+
D th y ễ ấ
0b
nên ch n ọ
6
16
= −
= =
a
ba
.
Ki m tra đi u ki n ể ề ệ
IA IH>
r i thay vào (*) ta có hai đ ng th ng tho mãn.ồ ườ ẳ ả
0,25
0,25
0,25
0,25
2(1,0) + Ta có:
(2; 2; 2), (0; 2;2).AB AC= − =
uuur uuur
Suy ra ph ng trình m t ph ng trung tr c c aươ ặ ẳ ự ủ
AB, AC là:
1 0, 3 0.x y z y z+ − − = + − =
+ Vecto pháp tuy n c a mp(ế ủ ABC) là
, (8; 4;4).n AB AC
� �
= = −
� �
r uuur uuur
Suy ra (ABC):
2 1 0x y z− + + =
.
0,25
0,25
+ Gi i h : ả ệ
1 0 0
3 0 2
2 1 0 1
x y z x
y z y
x y z z
+ − − = =
� �
� �
+ − = =�
� �
� �
− + + = =
� �
. Suy ra tâm đ ng tròn là ườ
(0; 2;1).I
Bán kính là
2 2 2
( 1 0) (0 2) (1 1 .)5= = − − + − + − =R IA
0,5
Câu Ph nầN i dungộĐiể
m
VII
.a
(1,0)
+ Ta có:
( )
20 2 20
0 1 2 20
(1 3 ) 2 3 ... 21 .x x a a x a x a x
− = + + + +
20 19 2 20
0 1 2 20
(1 3 ) 60 (1 3 ) 2 3 ... 21x x x a a x a x a x− − − = + + + +�
(*).
Nh n th y: ậ ấ
( )
k k
k k
a x a x= −
do đó thay
1x= −
vào c hai v c a (*) ta có:ả ế ủ
0 1 2 20
22
2 3 ... 21 4= + + + + =S a a a a
.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu Ph nầN i dungộĐiể
m
VI
b
(2,0)
1(1,0)
+ Đ ng th ng ườ ẳ AC vuông góc v i ớHK nên nh n ậ
( 1; 2)HK = −
uuur
làm vtpt và AC đi qua K nên
( ) : 2 4 0.AC x y− + =
Ta cũng d có:ễ
( ) : 2 2 0BK x y+ − =
.
+ Do
,A AC B BK� �
nên gi s ả ử
(2 4; ), ( ; 2 2 ).A a a B b b− −
M t khác ặ
(3;1)M
là
trung đi m c a ể ủ AB nên ta có h :ệ
2 4 6 2 10 4.
2 2 2 2 0 2
a b a b a
a b a b b
− + = + = =
� � �
� �
� � �
+ − = − = =
� � �
Suy ra:
(4; 4), (2; 2).A B −
+ Suy ra:
( 2; 6)AB = − −
uuur
, suy ra:
( ) : 3 8 0AB x y− − =
.
+ Đ ng th ng ườ ẳ BC qua B và vuông góc v i ớAH nên nh n ậ
(3; 4)HA =
uuur
, suy ra:
( ) : 3 4 2 0.BC x y+ + =
KL: V y : ậ
( ) : 2 4 0,− + =AC x y
( ) : 3 8 0− − =AB x y
,
( ) : 3 4 2 0.+ + =BC x y
0,25
0,5
0,25
2(1,0) +
1 2
, ( ), ( )M N d d
nên ta gi sả ử
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
( ; ; 2 ), ( 1 2 ; ;1 ) ( 2 1; ;2 1)M t t t N t t t NM t t t t t t− − + = + + − − −�uuuur
.
+ MN song song mp(P) nên:
1 2 1 2 1 2
. 0 1.( 2 1) 1.( ) 1(2 1) 0
P
n NM t t t t t t= + + − − + − − =�
uur uuuur
2 1 1 1 1
( 1; 2 ;3 1)t t NM t t t= − = − + −� � uuuur
.
+ Ta có:
1
2 2 2 2
1 1 1 1 1
1
0
2 ( 1) (2 ) (3 1) 2 7 4 0 4
7
t
MN t t t t t t
=
= − + + + − = − =� � � =
.
+ Suy ra:
(0; 0; 0), ( 1; 0;1)−M N
ho c ặ
4 4 8 1 4 3
( ; ; ), ( ; ; )
7 7 7 7 7 7
−M N
.
+ Ki m tra l i th y c hai tr ng h p trên không có tr ng h p nào ể ạ ấ ả ườ ợ ườ ợ
( ).M P
KL: V y có hai c p ậ ặ M, N nh trên tho mãn.ư ả
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu Ph nầN i dungộĐiể
m
M
H
K
C
B
A