www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá
Së gi¸o dôc vμ ®μo t¹o Kú thi tuyÓn sinh vμo líp 10 THPT chuyªn Lam S¬n
Thanh Hãa N¨m häc 2011 - 2012
M«n : To¸n (dïng chung cho tÊt c¶ thÝ sinh)
Thêi gian lμm bμi 120 phót kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò
Ngμy thi: 18 th¸ng 6 n¨m 2011
C©u1 (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc A 3
32
1
23
32
1115
x
x
x
x
xx
x
1.Rót gän biÓu thøc A (víi x 0,x 1
)
2. Chøng minh r»ng A3
2
C©u 2(2 ®iÓm)
Cho parabol (P): 2
2
1xy vμ ®−êng th¼ng (d): y= mx –m +2 (víi m lμ tham sè)
1. T×m m ®Ó (d) c¾t (P ) t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é x=4
2. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m, (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt
C©u 3 : (2 ®iÓm)
1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :
19
25
12
32
yx
yx
2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 26
9
3
2
x
x
x
C©u 4: (3 ®iÓm) Gäi C lμ mét ®iÓm n»m trªn ®o¹n th¼ng AB ( BCAC
,). Trªn nöa mÆt
ph¼ng cã bê lμ ®−êng th¼ng AB, kÎ tia Ax, By cïng vu«ng gãc víi AB. Trªn tia Ax lÊy
®iÓm I (IA). §−êng th¼ng vu«ng gãc víi CI t¹i C c¾t tia By t¹i K ; ®−êng trßn ®−êng
kÝnh IC c¾t IK t¹i P.
1.Chøng minh r»ng:
a) Tø gi¸c CPKB néi tiÕp ®−îc trong ®−êng trßn. X¸c ®Þnh t©m cña ®−êng trßn ®ã.
b)Tam gi¸c ABP lμ tam gi¸c vu«ng.
2. Cho A, I, B cè ®Þnh. T×m vÞ trÝ cña ®iÓm C trªn ®o¹n th¼ng AB sao cho tø gi¸c ABKI cã
diÖn tÝch lín nhÊt.
C©u 5: (1 ®iÓm)Cho a, b, c lμ ba sè thùc d−¬ng tháa m·n a+b+c = 2. TÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt
cña biÓu thøc: P= bca
ca
abc
bc
cab
ab
222
------------HÕt-------------
(c¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm)
Hä vμ tªn thÝ sinh……………………..Sè b¸o danh…………………………
Ch÷ ký cña gi¸m thÞ sè 1: ……………..ch÷ ký cña gi¸m thÞ sè 2……………
§Ò CHÝNH THøC
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá
§¸p ¸n
C©u1 : Rút gọn biÓu thøc A 3
32
1
23
32
1115
x
x
x
x
xx
x
A= 3
32
1
23
)3)(1(
1115
x
x
x
x
xx
x = )3)(1(
)1)(32()3)(23(1115
xx
xxxxx
A= )3)(1(
332262931115
xx
xxxxxxx =)3)(1(
527
xx
xx =
)3)(1(
)52)(1(
xx
xx
A= )3(
)52(
x
x
2- với A3
2 ta có )3(
)52(
x
x3
2 nên
3
2- )3(
)52(
x
x 0
)3.(3
)52.(3)3(2
x
xx 0
)3.(3
15662
x
xx 0 )3.(3
17
x
x 0 là đúng vì x0 nên 17 x0 và 3.( x+3) > 0
vậy A3
2 được chứng minh
C©u 5-a)V× a + b+ c = 2 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+( bc + ab)
= c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b)
vì a ; b ; c > 0 nên 0
1
ca và 0
1
cb áp dụng cosi ta có
ca
1
cb
12. ))((
1
cbca dấu (=) khi
ca
1
cb
1 a + c = b + c a = b
hay )
11
(
2
1
))((
1
bcac
bcac

bc
ab
ac
ab
bcac
ab
abc
ab
2
1
)(2 (1)
Chøng minh t−¬ng tù ;
ca
bc
ba
cb
abc
bc
2
1
2 (2) dấu = khi b = c
ab
ca
bc
ca
cab
ac
2
1
2 (3) dấu = khi a = c
cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có
: P= bca
ca
abc
bc
cab
ab
222
2
1
(bc
ab
ac
ab
+ac
cb
ab
cb
+bc
ac
ab
ac
)
P 2
1
ba
ac
ba
cb
bc
ac
cb
ab
ac
cb
ac
ab ()()( = 2
1
ba
abc
cb
cba
ac
bca ).().().(
P= bca
ca
abc
bc
cab
ab
222

12.
2
1
2
1 cba
min P = 1 khi a = b = c = 3
2
C©u 2:Cho parabol (P): 2
2
1xy vμ ®−êng th¼ng (d): y= mx –m +2 (víi m lμ tham sè)
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá
y
P
A
B
x
K
C
I
O
O'
3. T×m m ®Ó (d) c¾t (P ) t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é x=4
4. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m, (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt
Giải :
a) toạ độ giao điểm của parabol (P): 2
2
1xy vμ ®−êng th¼ng (d): y= mx –m +2
là nghiệm của hệ
2.
2
12
mxmy
xy phương trình hoành độ giao điểm là :
2.
2
12 mxmx vi (d) c¾t (P ) t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é x=4 thay vào ta có :
8 = 4m - m +2 3m = 6 m = 2 vậy thì (d) c¾t (P ) t¹i ®iÓm cã hoμnh ®é x=4
b) để (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt khi và chỉ khi hệ
2.
2
12
mxmy
xy
hay 2.
2
12 mxmx x2 -2mx +2m - 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt > 0
mà = 4m2 -4(2m - 4 ) = 4m2 -8m + 16 = (2m)2 – 2.2m.2+ 4+12 = ( 2m – 2)2 + 12 > 0
với mọi giá trị của m .Vậy víi mäi gi¸ trÞ cña m, (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt
C©u 3 : 1- Giải hệ phương trình :
19
25
12
32
yx
yx
Đặt a = y
1 và b = x
1 ta có hệ
1925
1232
ab
ab
57615
2464
ab
ab
3311
1232
b
ab
3
1232
b
ab
3
2
b
ay
1=2 y = 2
1
và x
1= 3 x = 3
1 vậy nghiệm của hệ
2
1
3
1
y
x
2-Gi¶i ph−¬ng tr×nh 26
9
3
2
x
x
x điều kiện x >3 hoặc x <-3
ta thấy x = 0 không phải là nghiệm ư
nên x
x
26
9
3
12
1
26
9
3
2
x
x
1
21272
9
3
22
x
x
x
C©u 4: 1.Chøng minh r»ng:
a) Tø gi¸c CPKB néi tiÕp ®−îc trong ®−êng trßn. X¸c ®Þnh
t©m cña ®−êng trßn ®ã.
Xét đường tròn tâm O đường kính IC ta có P
(O)
Nên CPI ˆ = 900 do đó CPK ˆ = 900 ( kề bù với
CPK ˆ = 900 )
theo bài ra ta có By
AB mà K
By ; C
AB
CBK ˆ = 900 CPK ˆ + CBK ˆ= 1800 mà CBK ˆ và CPK ˆ
www.VNMATH.com
Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá
là hai góc đối của tứ giác CPKB vậy CPKB néi tiÕp ®−îc trong ®−êng trßn mà CBK ˆ= 900
nên KC là đường kính
b)Tam gi¸c ABP lμ tam gi¸c vu«ng.
Xét ( O ; 2
IC ) ta có PICCAP ˆ
ˆ ( nội tếp cùng chắn cung PC ) (1)
Xét ( O’ ; 2
KC ) ta có CBPCKP ˆˆ ( nội tếp cùng chắn cung PC ) (2)
Theo bài ra thì IC KC tại C nên KCI ˆ = 1V nên IKCPIC ˆˆ = 1V (3) thay (1) ; (2) vào
(3) ta có CAP ˆ + CBP ˆ = 1V vậy Tam gi¸c ABP lμ tam gi¸c vu«ng.tại P
2-Cho A, I, B cè ®Þnh. T×m vÞ trÝ cña ®iÓm C trªn ®o¹n th¼ng AB sao cho tø gi¸c ABKI cã
diÖn tÝch lín nhÊt . Ta có tứ giác ABKI có AI//BK ( cùng
AB) và
B
ˆ = 1V nên ABKI
là hình thang vuông nhận AI và BK là hai đáy và AB là đường cao
SABKI = 2
1(AI+ BK) . AB mà A ; B ; I cố đinh nên AI ; AB không đổi nên để SABKI đạt
Max khi BK đạt Max BK =AI lúc bấy giờ (O) và (O’) bằng nhau nên CI = CK
CIK cân CP và đường cao nên PI = PK
mà PC // BK ( cùng vuông góc AB) nên PC là đường trung bình của hình thang ABKI
nên C là trung điểm của AB