Điều khiển số (Digital Control Systems)
Các ví dụ: Đánh số thứ tự theo chương của giáo trình cùng tên (Version 5, 8/2011)
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
1
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z
=
=
( ) U z
1
Ví dụ 1.2.1 Một tín hiệu gián đoạn về thời gian được mô tả bởi:
z −
1
z
1 z− − 1 Hãy đi tìm ảnh U(z) và miền hội tụ của tín hiệu ! Lời giải: Dễ dàng tìm ảnh z của tín hiệu kể trên bằng cách tính tổng Laurent:
k
∞
∞
−
k
=
=
k a z
( ) U z
)
(
∑
∑
⎛ ⎞⎟⎜ a ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ z
=
=
k
k
0
0
a z <
Chuỗi trên chỉ hội tụ khi
1 , tức là ở vùng phía ngoài đường tròn có bán kính a.
Hãy đi tìm ảnh z của hàm bước nhẩy đơn vị 1(t) !
Ví dụ 1.2.2
∞
∞
k
−
−
k
( ) u t
( ) 1 1
( ) U z
k
(
)1
∑
∑
=
=
0
0
k
k
s
= … ≥ k 0, 1, 2, t 0 = = ⇒ = = ⇒ = ⋅ 1 z z u < k 0 0 ⎧ 1 khi ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ 0 khi ⎪ ⎩ ⎧ 1 khi ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ 0 khi ⎪ ⎩ t ∞
Khi thay vào chuỗi: các giá trị q = z-1 và r = 1 ta thu được:
)
∑
=
0
s
= r q < ( r − 1
1
Kết quả trên đúng với mọi giá trị trên toàn miền z, trừ điểm z = 1.
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
2
= = q ( ) U z z − 1 z 1 z− − 1
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z
Hãy tìm ảnh z của hàm e mũ (hàm exponent) !
∞
∞
k
−
−
at
akT
akT
k
aT e z
= = … ⇒ = = e f ; t ≥ ⇒ 0 e ; k 0, 1, 2, e z
Ví dụ 1.2.3 ( ) t
( f kT
)
( ) F z
(
)1
∑
∑
=
=
0
0
k
k
aT
= = f k
Kết quả tính tổng của chuỗi là:
( ) F z
−
1
− e − aT e
= = − z − 1 aT e z 1 z 1
Ví dụ 1.2.4
≥
=
=
0;
a
const
f
Hãy tìm ảnh z của hàm dốc tuyến tính !
at t ; ∞
−
k
( ) F z
Dễ dàng viết được ảnh F(z) dưới dạng chuỗi như sau:
( ) t = ∑ a
0
k
−
−
−
1
2
3
+
−
−
2
3
+ +
Tz Tz
Tz Tz
( ) F z
−
3
Tz
Để tính tổng trên ta phải áp dụng nguyên lý tịnh tiến và sử dụng ảnh z của hàm bước nhẩy 1(t) và viết lại công thức trên:
= ⎤ + (cid:34) ⎥ ⎥ + (cid:34) ⎥ ⎥+ (cid:34) ⎥ ⎥ (cid:35) ⎥ ⎦
⎡ Tz ⎢ ⎢ ⎢ = ⎢ a ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
−
−
−
−
2
1
2
1
=
+
+
+
aT
z
aT
z
z
z
⎡ ⎢ ⎣
⎤ (cid:34) ⎥ ⎦
z −
z −
1
1
1
z
z
z
⎤ ⎥ + = (cid:34) ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
−
1
=
=
aT
z
2
1
z − z z − − 1 z
z
−
z
aTz ) 1
(
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
3
kTz
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z
Ví dụ 1.2.5
Bổ xung lý thuyết: Tìm hàm gốc của ảnh z cho trước bằng phương pháp tách phân thức hữu tỷ thành các phân thức tối giản. Sau đó lần lượt tìm hàm gốc của các phân thức tối giản.
z
− +
k m
•Điểm cực đơn:
•Điểm cực lặp lại m lần:
=
⇔
(cid:34)
1;
1, 2,
a
m
m
⎛ ⎞⎟ k ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ 1 m ⎠
−
z
a
(
)
k
⇔
a
−
m
z −
z
a
− k m
−
z
a
a
(
)
⎛ ⎞− ⎟ 1 k ⎜ ⎟ ⇔ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ 1 m ⎠
Ví dụ:
=
=
−
( ) F z
2
z − 0,5
z
z + 0, 4
z
−
Cho trước ảnh z có dạng phân thức: z 0,9 − z 0,1
z
0, 2
Áp dụng công thức để tìm hàm gốc:
k
k
0,5
0, 4
( − −
)
kf =
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
4
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z
Ví dụ 1.2.6
− 1
m
m
− 1
− 1
k
k
−
F z
z
z
( ) F z z
( )(
)
z ν
− 1
m
⎡ ⎢ ⎣
Bổ xung lý thuyết: Tìm hàm gốc của ảnh z cho trước bằng phương pháp tính Residuum. Khi z = zν là điểm cực ⎤ = - lặp lại m lần: Res ⎥ ⎦ z
lim → z z ν
ν
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
1 −
m
d dz
(
) 1 !
k
k
− 1
− 1
- đơn:
=
−
F z
z
z
( ) F z z
( )(
)
z ν
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
Res z
lim → z z ν
ν
n
− 1
k
=
Res
Hàm gốc có dạng:
( ) F z z
kf
∑
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
ν
= 1
=
( ) F z
Xét hàm ảnh cho ở ví dụ 1.2.5:
−
+
0,5
0, 4
z
z 0,9 )( z
(
)
− 1
k
z
k
− 1
k
=
=
0,5
0,5
( ) F z z
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
lim → z 0,5
Res z 1
−
z
( z z 0,5
) 0,5 + 0, 4
z
0,9 (
− )(
)
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
Có hai điểm cực z1, z2, vậy khi:
k
− 1
0, 4
z
k
k
− 1
=
z
= − ⇒ 0, 4
0, 4
( ) F z z
( = − −
)
2
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
z
lim →− 0,4
Res z
2
−
z
( z z 0,5
) + 0, 4
z
0,9 (
+ )(
)
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ = ⇒ z ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩⎪
k
k
0,5
0, 4
Hàm gốc có dạng sau:
( − −
)
kf =
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
5
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.1 Mô tả khâu có bản chất gián đoạn bằng phương trình sai phân
Hãy tìm giá trị trung bình [xk], tính từ 4 giá trị mới nhất của dãy [uk] ! Chú ý: Còn gọi là phép tính trung bình trượt.
=
+
+
+
u
u
u
( u
)
−
x k
k
k
− 1
k
2
k
− 3
1 4
Có thể giảm nhu cầu tính toán bằng cách sử dụng giá trị vừa tính trước đó:
=
+
+
+
=
+
−
u
u
u
u
( u
)
( u
)
Vậy:
−
−
−
x k
− 1
k
− 1
k
2
k
− 3
k
4
x k
x k
− 1
k
k
4
1 4
1 4
Phép tính trên được gọi là thuật toán tính giá trị trung bình trượt, đặc trưng cho một khâu có bản chất gián đoạn.
Ví dụ 1.3.2 Mô tả khâu có bản chất gián đoạn bằng hàm truyền đạt
−
4
=
⇒
−
+
−
=
+
=
u
Tiếp ví dụ 1.3.1: ( u
− ( ) 1 z X z
( ) X z
)
( ) U z
−
− 1
4
x k
x k
k
k
−
1
⎤ − ( ) 4 z U z ⎥ ⎦
⎡ ( ) U z ⎢ ⎣
1 4
1 4
1 1 4 1
− z − z Thuật toán tính giá trung bình trượt có thể được mô tả bởi hàm truyền đạt sau:
−
4
=
=
( ) G z
−
1
− −
z z
1 1 4 1
( ) X z ( ) U z
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
6
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.3 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng hàm
truyền đạt
=
Hãy tìm hàm truyền đạt của khâu tỷ lệ có quán tính bậc nhất (khâu PT1):
( ) G s
1
1 + sT 1
Cách 1:
t
T 1
⇒
⇒
=
=
e
( ) G s
( ) h t
( ) H s
1 +
1
•Từ ảnh G(s) ta tìm ảnh H(s) để sau đó tìm hàm gốc h(t) ⎛ ⎜ = − 1 ⎜ ⎜ ⎝
kT
T 1
⇒
=
−
− e
) sT 1 kT = − 1
⎞⎟ ( ) ⎟ 1 t ⎟ ⎟ ⎠ ( ) H z
h k
T T 1
z −
z
1
−
z − e
z
T T 1
1
=
= − 1
1 ( + 1 sT s 1 •Sau khi gián đoạn hóa hàm gốc h(t), ta tìm ảnh z của tín hiệu gián đoạn hk: •Vậy hàm truyền đạt có dạng:
( ) G z
( = − 1
) − ( ) z H z
T T 1
z −
− −
− 1 − T T e 1
z
1 z
− e − e
1
=
( ) H s
1 = − s
+
s
Cách 2: •Có thể tách ảnh H(s) thành 2 phân thức tối giản:
+
s s
(
)
Ζ
=
=
−
1 T 1 1 T 1 ( ) H z
{
} ( ) H s
T T 1
z −
z
1
z
T T 1
1
•Dễ dàng tìm ảnh z của H(s) bằng cách tìm ảnh của từng phân thức tối giản:
⇒
=
( ) G z
( = − 1
) − ( ) z H z
T T 1
1 T 1 z − e − −
− 1 z
− e − e
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
7
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.4 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng hàm
truyền đạt
Hãy tìm hàm truyền đạt trên miền ảnh z cho đối tượng sau:
=
=
≠
…
≠
( ) G s S
T 1
T 2
T m
+
+
)
( ) x s ( ) u s
( 1
)( 1
( ) … 1
K sT 2
sT 1
sT m
+ •Tách HS(s) thành các phân thức tối giản:
(cid:34)
K
A m
A 1
A 2
=
=
=
+
+
+ + (cid:34)
( ) H s S
( ) G s S s
A 0 s
+
+
+
s
s
s
+
+
s
1 T m
1 T 1
1 T 2
⎛ ⎜ s s ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠⎝
1 T m ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ +⎜ … s ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝
1 T m
1 1 T T 1 2 1 T 2
1 T 1
m
m
…
=
=
= −
1, 2,
,
i
m
K
; K A i
A 0
∏
∏
1 T
1 T
j
i
j
j
i
j
= ≠ 1;
= ≠ 1;
j
j
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ 1 ⎜ ⎜ − + ⎜ ⎜ T ⎜ ⎝ i
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ •Chuyển HS(s) sang miền ảnh z: m
m
A i
A i
=
+
⇒ Ζ
=
+
( ) H s S
{
} ( ) H s S
−
1
∑
∑
A 0 s
A 0 − z
1
= 1
= 1
i
i
T T i
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
−
− − 1 z e
1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ + s ⎜ ⎜⎝
⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
1 T i
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
8
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.4 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng hàm
truyền đạt
m
m
m
•Quy đồng mẫu số:
T T
−
1
j
T T i
−
+
−
−
− − 1 z e
z
− − 1 z e
A 0
( 1
) A i
∑
∏
∏
i
j
i
= 1
= ≠ j 1;
i
= 1
⎛ ⎜ ⎜ 1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ 1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
−
1
Ζ
=
z
( ) G z S
{
} ( ) H s S
( = − 1
)
m
T T i
− − 1 z e
∏
i
= 1
⎛ ⎜ ⎜ − 1 ⎜ ⎜ ⎜⎝
⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
•Ví dụ bằng số cụ thể: m = 3; K = 1; T1 = 10s; T2 = 7,5s; T3 = 5s Bảng: Hệ số của GS(z) với các chu kỳ trích mẫu T khác nhau
T [s]
2
4
6
8
10
12
(cid:19)
(cid:19)
1
a b ;i 3
a 3
b i
Nhận xét: Khi tăng dần T •Giá trị các tham số ai nhỏ dần. •Giá trị các tham số bi tăng dần. •Tổng ∑bi=1+∑ai tăng dần. •Khi T lớn, ta có: + ∑
∑ và vì vậy có thể bỏ qua a3, b3. Mô hình ban đầu thực tế chỉ còn là mô hình bậc 2.
0,00269 0,00926 0,00186 -2,25498 1,68932 -0,42035 0,01399
0,0186 0,0486 0,0078 -1,7063 0,958 -0,1767 0,0750
0,05108 0,1086 0,01391 -1,2993 0,54723 -0,07427 0,17362
0,09896 0,17182 0,01746 -0,99538 0,31484 -0,03122 0,28824
0,15867 0,22570 0,01813 -0,76681 0,18243 -0,01312 0,40250
0,22608 0,26433 0,01672 -0,59381 0,10645 -0,00552 0,50712
b1 b2 b3 a1 a2 a3 ∑bi=1+∑ai
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
9
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.5 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng hàm
truyền đạt
Ví dụ xét khâu tỷ lệ có quán tính bậc 2 (khâu PT2), được điều khiển bởi tín hiệu vào có dạng bậc thang. Đây là khâu liên tục mang tính điển hình. Để dễ so sánh, ta chọn đối tượng là động cơ một chiều (ĐCMC), được điều khiển bởi điện áp nuôi ở phần ứng.
Gọi uA(t) là điện áp nuôi và n(t) là tốc độ quay, ĐCMC có mô hình trên miền ảnh Laplace sau:
=
=
( ) G s
K +
+
1
2 s T
sT
( ) N s ( ) U s A
J Mômen quán tính của các khối gắn vào trục ĐCMC Từ thông (coi là const)
−
=
=
=
=
=
=
K
sec;
sec;
sec
( V
) 1
Với:
T mech
T el
L A R
c
6 5
mech 1 6
1 8
A
T mech el 1 ψ 0
J R A 2 ψ ck 0
ψ0 RA Điện trở mạch phần ứng LA Điện cảm mạch phần ứng c, k Các hằng số của ĐCMC
1 8
=
=
( ) G s
2
+
+
( 1
)
K )( 1
sT 1
sT 2
•Sau khi thay số cụ thể, ta biết rằng khâu PT2 trên có thể được thay thế bởi 2 khâu PT1, với T1 = 1sec và T2 = 0,2sec:
s
1
−
1
•Ta đã biết công thức:
= Ζ
⇔
Ζ
z
( ) G z S
H
( ) G z S
} { ( ) ( ) G s G s
1 5 } ( ) H s
{
( = − 1
6 + + s 5 )
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
10
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.5 (tiếp)
−
1
=
−
Ζ
=
;
K
z
K
•Thay H(s) vào ta có:
( ) SG z
( 1
)
+
+
1 8
s
1 )( 1
( 1
)
sT 1
sT 2
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
•Sau khi tách phân thức trong ngoặc {…} thành các phân thức tối giản và áp dụng công thức (trang 17, mục 1.3.2b của giáo trình) ta có:
−
−
T
T 5
1
T
T 5
6
T
2
−
+
−
+
+
− e
− e
z
− e
− e
− e
z
⎛ ⎜ 1 ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
5 4
1 4
=
=
;
K
K
( ) G z S
−
−
1
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ T
T
1 8
−
+
+
1
z
5 4 − 6 e
− e
− e
z
⎛ 1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 4 ) 5 T
(
•Nếu chọn chu kỳ trích mẫu là T = 0,2 sec ta có hàm truyền đạt của ĐCMC trên miền ảnh z sau đây:
−
−
1
2
=
( ) G z S
−
−
2
+ z 0, 00575 1 + 0,30119
z 0, 00857 − 1 1,18661 z
z
Dễ dàng kiểm tra kết quả trên bằng cách chọn tín hiệu vào U(z) = z/(z-1) để tìm đáp ứng ra X(z) = GS(z) U(z). Sau đó, chuyển X(z) sang chuỗi số tại các thời điểm t = 0,2k (với k = 0, 1, 2, …). Bằng cách đó có thể so sánh với tín hiệu x(t) trên miền gốc.
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
11
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.6 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng mô
hình trạng thái gián đoạn
Ví dụ này sử dụng ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 để minh họa phương thức mô tả bằng mô hình trạng thái gián đoạn. Vì ĐCMC là đối tượng SISO, mô hình có cấu trúc như hình bên.
••
•
•ĐCMC có thể được mô tả bởi phương trình vi phân bậc 2 (xuất phát điểm của khâu PT2 ở ví dụ 1.3.5) sau đây:
+
u
a n a n a n 2 1
0
A
=
=
=
=
=
=
3 sec ;
2 sec ;
V
V
c
8 sec V
a 2
a 1
a 0
ψ 0
Với:
8 5
= 48 5
L J A ψ k 0
q 2
• q 1
+ R J A ψ k 0 •Mô hình trạng thái có dạng bên:
•Các biến điều khiển và biến trạng thái được chọn như sau:
−
+
u
⎨
• q 2
q 1
q 2
x
n
a 0 a 2
a 1 a 2
1 a 2
=
u
u
;A
x
q 1
• n
⎧ = = q ⎪⎪⎪ 1 ⎨ ⎪ =⎪⎪⎩ q 2
⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = − ⎪⎪⎪⎪ =⎪⎪⎪⎩⎪
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
12
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.6 (tiếp)
•Có thể viết lại mô hình trạng thái dưới dạng ma trận:
0
1
0
T
=
+
A q
b
( ) u t
với:
=
=
=
=
=
=
A
b
c
;
;
0
d
[ ] 1 0 ;
−
⎡ 0 1 ⎢ ⎢ − − 6 5 ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
=
T c q
( ) t ( ) x t
( ) t ( ) t
0 5 8
1 a 2
a 0 a 2
a 1 a 2
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
•⎧⎪⎪ q ⎪⎪⎨ ⎪⎪ ⎪⎪⎩
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ − ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
Φ
Φ
+
=
−
ν
=
(cid:34)
b
q
t
t
k
0, 1, 2,
) ( ) q t
( t
( );
)
(
k
k
k
t
k
h
•Để tìm được phương trình chuyển trạng thái: t ( ) ∫ ν − d u t t (cid:8)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:9)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:10) ( − t t
)
k
ta cần phải tìm được Φ(t) và h(t):
−
t
1
A
Φ
=
=
e
− L
− I A s
( ) t
)
{ (
}1
•Có thể tìm ma trận chuyển trạng thái bằng biến đổi Laplace ngược:
−
+
s
−
⇒
=
s
s
I A
− I A
(
) − =
(
) 1
•Từ:
2
1 +
s −
s
s
6
5
5
s
1 + + s 6
5
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ 6 1 ⎥ ⎥ ⎦
5
t
5
t
−
−
− t e
Φ
ta thu được:
( ) t
5
t
5
t
− e +
− t e 5
− e 5
− e − t − + e
− e 5
⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − t e 5 1 ⎢ = ⎢ − 4 ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
13
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
ν
=
t
Ví dụ 1.3.6 (tiếp)
=
−
ν
ν
h
t
b
d
( ) t
(
)
∫ Φ
=
ν
0
•Có thể tính tích phân theo từng bước như sau:
t
ϑ
5
5
t
0
− e
− t − + e
− e
ϑ
ϑ
ν = − ⇒
= −
=
=
thay
t
h
b
d
( ) t
( ) ϑ
4 5
∫ Φ
t
1 5 4 8
5 32
ϑ
ϑ
5
t
−
−
− e
1 5 − e
1 5 − 5 e
− t e
0
⎡ − ϑ ⎢ − + e ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
T
T 5
T
T 5
T
T 5
−
+
− e
− e
=
+
( ) u k
4 5
T
T 5
T 5
− − e − + e 5
− − − e e − − T − + e e 5
1 4
5 32
T
⎤ ( ) q k ⎥ 1 ⎥ ( ) q k ⎥ ⎦ 2
•Với T = tk+1 - tk ta có: ⎡ ⎤ ⎡ − ) ( e 5 + q k 1 ⎢ ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎢ − ) ( − e 5 + q k 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎣ 2
⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦
−
1 5 − T 5 e
− e
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
Ví dụ 1.3.7 Tìm hàm truyền đạt từ mô hình trạng thái gián đoạn cho trước
•Với mô hình: Theo giáo trình (mục 1.3.2d) ta có:
=
+
Φ
q
h
( ) T
( ) T u
k
k
+ 1k
−
I
=
h
( ) G z
−
Φ
=
( T adj z c ( I z det
) Φ )
T c q
x k
k
⎧⎪ q ⎪⎪⎨ ⎪ ⎪⎪⎩
Giả sử, ĐCMC có mô hình trạng thái gián đoạn cho trước như kết quả của ví dụ 1.3.5. Hãy tìm hàm truyền đạt gián đoạn của động cơ !
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
14
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.7 (tiếp)
Bổ sung công thức: Ký hiệu adj(A) được gọi là ma trận bù của ma trận A. Ma trận bù adj(A) có kích cỡ giống A, với các phần tử được tính theo công thức det(Aik) nhân với (-1)i+k. Trong đó, Aik là ma trận thu được từ A sau khi bỏ hàng thứ i và cột thứ k của A.
21
n
2
=
⇒
=
adj
A
A
(
)
a 11 a 21 (cid:35)
A 11 A 12 (cid:35)
(cid:34) a a 1 12 n (cid:34) a a 2 22 (cid:35) (cid:37) (cid:35) (cid:34)
(cid:34) A A n 1 (cid:34) A A n 22 (cid:35) (cid:37) (cid:35) (cid:34)
A
a n 1
a nn
a n
2
A 1 n
A 2
nn
n
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
A bỏ hàng thứ i
n
với:
A
A
det
(
)
( = −
+ i k ) 1
A ik
ik
ik
a 11 a 21 (cid:35)
(cid:34) a a 1 n 12 (cid:34) a a 2 22 (cid:35) (cid:37) (cid:35) (cid:34)
a nn
a n
a n 1
2
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
A bỏ cột thứ k
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
15
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
T
T 5
T
T 5
Ví dụ 1.3.7 (tiếp)
+
−
−
+
z
− e
− e
− e
− e
1 4
5 4
− =
I Φ z
•Với:
T
T 5
T
T 5
−
+
−
− e
− e
z
− e
− e
5 4
5 4
1 4 5 4
2
T
T 5
T 6
T
T 5
Φ
+
+
−
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − = − I z
z
det
− e
− e
− e
z
− e
)
(
1 4 1 4 )
)(
)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ( − = − e z
ta tính được:
T
T 5
T
T 5
+
−
−
z
− e
− e
− e
− e
1 4
1 4
( I adj z
) Φ − =
T
T 5
T
T 5
−
+
−
+
− e
− e
z
− e
− e
( 1 4 5 4
5 4 5 4
5 4
1 4
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎧⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩
•Với:
T
−
+
− e
− 5 T e
=
=
Tc
h
[ ] 1 0 ;
( ) T
4 5
5 32
Dễ dàng kiểm tra sau khi thay vào:
T
1 5 − T 5 e
− e
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
I
h
=
T c
h
I
( adj z
T
T
T 5
T 5
T 6
+
−
−
+
+
− e
− e
− e
z
− e
− e
⎡ ⎤− T adj z ( ) Φ c ⎣ ⎦ ( ) Φ − I z det Ta sẽ thu được hàm truyền đạt GS(z) đúng như ví dụ 1.3.5.
⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠
− ta tính đa thức tử số của hàm truyền đạt: ⎤− ) Φ ⎦ 1 4
1 4
5 4
5 4
1 8
⎡ ⎣ ⎡ ⎛ ⎜⎢ 1 ⎜ ⎜⎢ ⎝ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
16
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.8 Mô tả hệ trong khoảng giữa 2 thời điểm trích mẫu bằng
phép biến đổi z mở rộng
•ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 được nuôi bởi điện áp dạng bậc thang với ảnh Laplace:
sT
=
− e
( ) ( ) G s G s
( ) G s S
H
( = − 1
)
+
+
5 8 )( 1 s
( s s
) 5
•Tra bảng biến đổi z mở rộng ta có công thức:
ε
ε
aT
bT
⇔
+
−
aT
bT
+
+
z −
b
1
b − a b
a − a b
− z e − z
− e
− z e − z
− e
1 )( a s
( s s
)
⎡ 1 ⎢ ⎢ ab z ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
•Áp dụng vào trường hợp ĐCMC ta thu được kết quả:
ε
ε
2
0,2
0,2
−
+
−
+
z
− ε e 0, 25
z
− ε e 0, 45468
)
ε
0,2
+
+
− ε e 0, 20468
− − 0,30119 0, 45985 e
( − e 1 1, 25 (
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
=
ε
,
)
( G z S
−
−
z
z
0,81873
1 8
( − − 1,18661 1, 70985 e ) ) 0,36788
)(
(
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
17
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.8 (tiếp)
=
( ) G z S
z
•Để kiểm tra ta thay giá trị biên ε = 0 vào và thu được hàm truyền đạt ở ví dụ 1.3.5 + 0, 00575 0, 00857 z )( − − z 0,81873
) 0,36788
(
=
ε
,
•Với ảnh z mở rộng của hàm truyền đạt tổng quát: )
( ) ε G z U z ,
( X z
)
S
( ta có một công cụ để khảo sát các giá trị nằm trong khoảng giữa hai thời điểm trích mẫu
−
•Ví dụ: Khi tín hiệu vào có dạng bước nhẩy
và ε = 0,5 (chính giữa k và k+1)
( ) U z
( z= z
)1
2
−
+
z
z
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
=
,
ta có:
( X z
)
1 2
z −
−
−
1
z
z
z
0,81873
0, 002573 (
0, 010595 )(
0, 001156 ) 0,36788
•Khi áp dụng phép biến đổi z ngược ta thu được tín hiệu số, cho phép tính giá trị của chuỗi [xk+½], trùng với các giá trị của x(t) ở chính giữa hai thời điểm trích mẫu.
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
18
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống 1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.9 Mô tả hệ gián đoạn có trễ khi tín hiệu vào có dạng bậc thang
•Hãy tìm hàm truyền đạt Gd(z) của hệ có trễ ở hình dưới đây khi KS = 1, TS = 1sec:
sT
dsT
− e
− e
( ) dG z
)
•Công thức tổng quát tính Gd(z):
s
⎧ ⎪ ⎪ ( = Ζ −⎨ 1 ⎪ ⎪ ⎩
⎫ ⎪ 1 ⎪ ⎬ ⎪+ ( ) 1 s ⎪ ⎭
a) Khi d = Td/T là số nguyên lần:
− 3
− 1
−
z
− e
( 1
− 1
− 1
− 2
− 2 Ζ
=
=
z
z
z
z
− 2 ( ) z H z
( ) G z d
( = − 1
)
( = − 1
)
− 1
s
−
1
)1 − − 1 1 e z
z 0,6321 − 1 0,3679
z
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
⎫ ⎪ 1 ⎪ ⎬ ) ( ⎪+ s 1 ⎪ ⎭
−
−
0,4
0,4
3
1
2
−
1
−
−
+
− e
− e
− e
z
z
b) Khi d = Td/T không phải là số nguyên lần: Phải sử dụng phép biến đổi z mở rộng. Giả sử ta có T = 1sec và Td = 1,6 sec → Vậy: Td = (dT - εT) với d = 2 và ε = 0,4 ( 1
(
)
)
z
−
−
1
2
=
=
z
;0, 4
z
− 2 ( z H z
)
( ) G z d
( = − 1
)
1
0,3297 −
−
+ 1 0,3679
0,3024 − 1 z
1
− − 1 z e
Chú ý: Việc tìm ảnh z (có hay không có mở rộng) được tiến hành với sự trợ giúp của bảng
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
19
2. ĐK có phản hồi đầu ra 2.1 Xét ổn định của hệ thống ĐK số
=
w
→ = z
− +
+ −
z z
w w
1 1
1 1
Ví dụ 2.1.1 Sử dụng phép biến đổi tương đương Ví dụ a):
+
2 = + z
•Cho trước đa thức đặc tính bên:
( ) N z
a z 1
a 2
=
+
+
=
•Thay
z
( ) N w 1
a 1
a 2
vào N(z) thu được N1(w):
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
+ −
+ −
w w
w w
1 1
1 1
+ −
1 1
w w
+
−
+
w
( = + 1
2 ) w
( 1
)( 1
) − + w
2 ) w
( 1
( ) N w 2
•Nhân N1(w) với (1-w)2 thu được N2(w):
2
= − +
+ + +
( 1
( + − 2 1
a 2 ( 1
)
a 1
a 2
− + >
a
1
a 1 ) a w 2 1;1
Tiêu chuẩn HURWITZ -Điều kiện 1:
a 1 a 0; 2
) a w 2 < + + > a 0 1
a 2
a 1
2
-Điều kiện 2: Các định thức HURWITZ phải dương
−
1
−
−
1
2
=
=
=
;
K
Ví dụ b): Dùng phép biến đổi ở trên để xét ổn định cho vòng ĐC với:
( ) G z S
( ) G z R
−
+ − 1
2
−
1
1
b z 1 + a z 1
b z 2 + a z 2
( B z ( A z
) )
−
−
1
1
2
=
+
+
+
=
•Phương trình đặc tính:
= ⇒ 0
0
z
(
)
( ) N z
( + + a 1
) b K z 1
a 2
b K 2
( K B z
)
−
K
)
•Sau khi tìm được N2(w) và áp dụng cả 2 điều kiện:
⎨
a 2
b 1 +
K
)
Giả sử: b1=0,1087; b2=0,0729; a1= -1,1197; a2=0,3012 Vậy: K<9,58; K<67,62; K>-1
a 1
) ( 1 b 2 ) ( b 2
a 2
b 1
( ) A z ⎧⎪ < − ( ) 1 K a b ⎪⎪⎪⎪ > − − 2 2 ( a 1 ⎪⎪⎪ > − + + ( 1 ⎪⎪⎩
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
20
2. ĐK có phản hồi đầu ra 2.1 Xét ổn định của hệ thống ĐK số
Ví dụ 2.1.2 Sử dụng quỹ đạo điểm cực Tiếp tục xét ĐCMC với tham số cho ở ví dụ 1.3.5.
•Có thể GS(z) viết lại như sau:
T 5
T 6
T
− e
+
z
T
T
T 5
+
−
− e
− e
( ) G z S
T 5
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜= 1 K ⎜ ⎜⎝
5 4
1 4
−
Hàm truyền đạt GS(z) đã tìm được ở trang 9. − + 4 e − 5 T + e − − e
z
z
)
(
=
0, 06856
r K 0
( ) G z 0
−
− − 5 e − − 4 5 e )( − T e •Với T = 0,2sec và GR(z) = r0 ta có hàm truyền đạt vòng hở như sau: + z 0,8187
0,3679
z
0, 6714 )( − z
)
(
•Mô hình trên có 1 điểm không zD = -0,6714 và 2 điểm cực z1 = 0,8187; z2 = 0,3679
Theo mục 2.1.3, cấu trúc trên sẽ có quỹ đạo điểm cực dạng hình tròn với bán kính r = 1,244 như bên. Tâm của đường tròn quỹ đạo trùng với vị trí điểm không zD. Điểm giới hạn của ổn định là giao điểm của quỹ đạo với đường tròn K0 = r0K = 15,18.
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
21
2. ĐK có phản hồi đầu ra 2.1 Xét ổn định của hệ thống ĐK số
Ví dụ 2.1.3 Dự báo quá trình quá độ trên cơ sở vị trí điểm cực (mục 2.1.4a)
•Giả sử, ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 được ĐC tốc độ quay như mạch vòng chuẩn (mục 2.3.1). Trong đó GR(z) chỉ là khâu tỷ lệ với hệ số KĐ là r0. Phương trình đặc tính (khi T = 0,2 sec) là:
−
+
+
=
2 = + z
z
0, 00857
0,30119
0
( ) N z
(
) 1,18661
(
)
r 0
r 0, 00575 0
•Chọn: r0 = 40; K0 = 5
+
z 0,84381
( ) N z
−
−
+
=
z
0, 422
j
0,594
0, 422
j
0,594
0
2 = − z ( = − z
0,53119 )(
)
+
z 0,50101
( ) N z
−
−
+
=
z
0, 251
j
0,836
0, 251
j
0,836
0
•Chọn: r0 = 80; K0 = 10 2 = − z ( = − z
0, 76119 )(
)
Nhận xét: Theo biểu đồ ở mục 2.1.4, trường hợp đa thức đặc tính là bậc 2 với cặp điểm cực phức liên hợp nằm trong đường tròn đơn vị sẽ có đáp ứng đầu ra ổn định chứa thành phần điều hòa (có thành phần hình sin).
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
22
2. ĐK có phản hồi đầu ra 2.1 Xét ổn định của hệ thống ĐK số
Ví dụ 2.1.4 Dự báo đặc tính của hệ thống ĐK số (mục 2.1.4b)
Hệ thống ĐK số với ĐCMC ở ví dụ 2.1.2, khi áp dụng kiến thức thiết kế ta sẽ thu được phạm vi chất lượng như hình dưới (bên trái). Đáp ứng quá độ ổn định (bên phải) là của trường hợp T = 0,2sec và r0 = 40 (K0 = 5), ứng với điểm cực z1,2 = 0,422 ± j0,594.
−
1
=
0,96
55
4,8sec
T e
ω ⇒ = e
δ ω e
e
=
−
1
=
( (cid:23) 0, 73
1,55sec
− e π ω
=
0,363 0, 65sec
)0 δ ⇒ = e
⇒
−
1
≈
=
3
1,94sec
5, 04sec
2 δ e
2 + = ω e
≈
=
4
2,58sec
0
e δ e δ e
⎧⎪Δ = h ⎪ ⎪ ⎪ = T ⎪ ⎪ m ⎨ ⎪ T ⎪ 5% ⎪ ⎪ ⎪ T ⎪⎩ 2%
=
ϕ ⇒ =
=
D
0,308
arccos
72
0
δ ω e
⎧⎪ ω ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − δ T ⎪ e e ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ = ω ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ = D ⎪⎪⎩
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
23
2. ĐK có phản hồi đầu ra 2.2 Thiết kế trên miền thời gian xấp xỉ liên tục
Ví dụ 2.2.1 Khâu ĐC theo luật PI đã biết trước
Lấy ĐCMC với tham số cho trước ở ví dụ 1.3.5, có ảnh Laplace sau làm xuất phát điểm:
=
=
( ) G s
+
+
+
s
s
( 1
)
( 1
SK )( 1
1 8 )( + 1 0, 2
)
sT 1
sT 2
1
sT C
⇒
=
=
=
=
0, 645sec;
48,19;
1sec;
K
K
1, 6sec
= = T 1
T 2%
( ) G s R
T m
T C
R
R
Vòng ĐC đã được thiết kế trên miền tần số với khâu ĐC (theo Reinisch) theo luật PI, tạo quá ĐC Δh = 20%. Điểm không của khâu ĐC bù điểm cực lớn nhất, hằng số thời gian lớn nhất T1. + sT C
Khi áp dụng xấp xỉ thành phần I theo phương pháp hình chữ nhật và thành phần D theo khai triển chuỗi gần đúng bậc nhất ta có khâu ĐC (gián đoạn) thiết kế xấp xỉ liên tục sau.
−
1
z
=
( ) G z R
−
1
z
− 48,19 38,55 − 1
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
24
2. ĐK có phản hồi đầu ra 2.3 Thiết kế trên miền thời gian gián đoạn
Ví dụ 2.3.1 Thiết kế trên cơ sở các tiêu chuẩn tích phân (mục 2.3.1c)
Bổ xung lý thuyết: •Vì việc tính bộ tham số tối ưu chính xác theo TC tích phân thường khó khăn, ta có thể đơn giản hóa vấn đề bằng cách đưa ra một số hạn chế trước. Từ đó ta sẽ dễ dàng thu được bộ tham số cận tối ưu (suboptimal). •Cố gắng chọn khâu ĐC có phương trình sai phân bậc càng thấp càng tốt.
−
1
=
=
( ) G z Minh họa: Ta chọn khâu ĐC có đặc tính PI và chọn p1 = -1. Vậy ta R
−
1
+ r 0 + 1
( ) U z ( ) E z
r z 1 p z 1
chỉ phải tìm r0 và r1.
u
u
=
+
+
và ta có:
k
k
r e 0 k
r e 1 k
1 −
1 −
•Hệ có trễ: Sai lệch ĐC có dạng ek = 1k, các giá trị đầu ra là
u
=
r 0
0
2
u
=
=
+
u 1
r 0
r + + 1
0
r 0
r 1
(cid:35)
(cid:34)
;
0, 1, 2,
u
u
k
k
=
=
+
+
=
(
) 1
r 0
r + + 1
r 0
k r 1
k
k
1 −
Vì biên độ đầu tiên u0 do chính r0 quyết định, ta có thể cho trước biên độ đó để xác định r0. Vậy:
≤
u 1
u 0
r ⇒ ≤ − 1
r 0
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
25
2. ĐK có phản hồi đầu ra 2.3 Thiết kế trên miền thời gian gián đoạn
Ví dụ 2.3.1 Thiết kế trên cơ sở các tiêu chuẩn tích phân (mục 2.3.1c)
1
1
1
1 −
1 −
−
−
−
+
=
Bổ xung lý thuyết (tiếp): •Hệ không có trễ: Ta phải xét cả phần hồi tiếp về để tìm r1: ) 1 −
( R z
( B z
( A z
)
)
)
( ( ) W z R z
)
( A z
)
⎤ ⎦
1
1
1
1
1 −
−
−
−
−
U z
z
+
+
+
+
+
=
+
+
+
( ) w z
r z 1
r 0
b z 1
r 0
r z 1
a z 1
)( 1
) (cid:34)
(
(
)( 1
) (cid:34)
( ⎡ ( ) U z P z ⎣ •Với b0 = 0 và a0 = 1 ta có: ( ) ( ⎡ 1 − a z 1 − 1 ⎣
) (cid:34) =
u
≤
0
⎤ ⎦ r 0
⇒
≤ −
−
2
=
−
+
( 1
)
r 1
0 r 0
r b 0 1
)( •Sau khi nhân ra và chuyển trở lại miền gốc ta sẽ thu được giá trị của hai biên độ đầu tiên cũng như điều kiện ràng buộc giữa hai tham số ở bên:
r 0
2 r b 0 1
r 1
u ⎧ ⎪ 1 ⎨ ⎪ ⎩
u ⎧ ⎪ ⎨ u ⎪ ⎩ 1
•Hãy thiết kế khâu ĐC thuật PI cho vòng dưới đây. Đối tượng là ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 đã biết:
−
−
1
2
=
( ) G z S
−
−
2
+ 0, 00575 z 1 + 0,30119
0, 00857 z − 1 1,18661 z
z
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
26
2. ĐK có phản hồi đầu ra 2.3 Thiết kế trên miền thời gian gián đoạn
Ví dụ 2.3.1 Thiết kế trên cơ sở các tiêu chuẩn tích phân (mục 2.3.1c)
N
I
2 e k
Q
= ∑
=
0
k
−
1
=
=
ta tính được sai lệch ĐC: ( ) = E z W z
( )
;
•Chọn sẵn p1 = -1. Giả sử biên độ umax = 20 ta có r0 = 20. Với b1 = 0,00857 và điều kiện ràng buộc ở trang trước ta sẽ có: r1 ≤ -16,57. Việc tìm chính xác r1 phải dựa trên một TC chất lượng cụ thể. Giả sử ta chọn: •Với: − 1 − 2 ( ) G z S
( ) G z R
−
1
−
−
1
2
−
+ − 1
2
r z 1 − 1 z
1
+ r 0 − 1
b z 1 + a z 1
b z 2 + a z 2
+
1
−
+ − 1
2
+ r 0 − 1
1
r z 1 − 1 z
1 b z 1 + a z 1
b z 2 + a z 2
−
−
•Viết sai lệch ĐC dưới dạng sai phân: ) 1 − + =
(
(
w w + k
w k
a 1
a 1
2
k
e k
a 2
r b 0 1
1 −
−
1 −
w a 3 2 k −
−
1
=
G R
−
−
) +
−
+
−
− 20 17 z − 1 − 1 z
1 a − + 1 (
) )
a 1
a 2
−
e k +
=
−
+
2
3
w k
−
1 −
+
−
e − k ) r b r b 1 1 0 2 w 0,30119 k − ( 0,30119 0, 00575 −
w 2,18661 1 k − ( 1, 6028 0, 00857 +
( ( a e 2 k 2 − w 1, 4878 k ) r e 1 k
2
r b 1 2 3 − e 2, 01521 k ) r e 1 k
3
−
−
Khi đã cho trước p1, r0 và wk = 1k, ta có thể thay ek vào IQ và tính thử với N = 3. Phương trình bậc 2 của r1 có điểm cực tiểu (hình bên) tại điểm r1 ≈ -16, chọn r1 = -17.
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
27
2. ĐK có phản hồi đầu ra 2.3 Thiết kế trên miền thời gian gián đoạn
Ví dụ 2.3.2 Tìm bộ tham số ĐC theo phương pháp gán điểm cực (mục 2.3.1e)
−
−
1
2
=
( ) G z S
−
−
2
Hãy tìm bộ tham số ĐC cho đối tượng ĐCMC có mô hình ở ví dụ 1.3.5. Đối tượng ĐK có hàm truyền đạt bên:
+ z 0, 00575 1 + 0,30119
z 0, 00857 − 1 1,18661 z
z
−
1
•Các tham số: b1 = 0,00857; b2 = 0,00575
=
•Chọn khâu ĐC là khâu PI:
( ) G z R
−
1
+ r 0 + 1
r z 1 p z 1
3
2
−
z
z
z
z
a1 = -1,18661; a2 = 0,301119 ) − = +
)(
2
z 1
z 3
' a z 2
' a 0
−
( ) N z ' a 0
' a 0
0
=
−
0,30119
0,30119
1
0, 2909 15, 2374 82, 7402
0, 4336 22, 7104 50,5909
p 1 r 1 r 0
p 1 r 1 r 0
⎡ 0,30119 0, 00575 ⎢ ⎢ − 1,18661 0, 00857 0, 00575 ⎢ ⎢ 0, 00857 0 ⎢ ⎣
⎡ 0, 6462 ⎢ ⎢ 140, 0639 ⎢ ⎢ − 75, 4023 ⎢ ⎣
)( ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
•Theo mục 2.3.1e) của giáo trình đa thức bên được coi là đã biết: ⎡ ⎢ ⎢ ' = −⎢ a 1 ⎢ ' ⎢ + a ⎢ 2 ⎣
' + + a z 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ' −⎢ a ⎥ ⎢ 1 ⎥ ' ⎢ ⎥ + a ⎦ ⎢ 2 ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1,18661 ⎥ ⎦
2
3
+
−
−
+
+
+
−
0,55
0,55
0, 4
0, 4
z
z
z
z
j
j
0, 4625
) − = −
( = − z
( 1,1
)(
)
(
z 3
z 3
( = − z ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1,18661 ⎥ ⎦ •Theo mục 2.3.1b) ta có: p1 = -1. Theo ví dụ 2.1.3 ta chọn: z1,2 = 0,55 ± j 0,4. Vậy: ( ) ) )( N z z z 0, 4625 1,1 z 3 3 •Theo mục 2.3.1e) của giáo trình, việc đặt p1 = -1 dẫn đến điểm cực thứ 3: z3 = 0,895. Vậy: =
= −
= −
0, 4139;
1, 447;
1,995
' a 1
' a 2
' a 0
•So sánh hệ số của hai công thức N(z):
=
= −
22, 29;
19, 63
r 0
r 1
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
28
2. ĐK có phản hồi đầu ra 2.3 Thiết kế trên miền thời gian gián đoạn
Ví dụ 2.3.3 Thiết kế khâu ĐC theo kiểu bù, phương án tối giản (mục 2.3.3)
−
1
−
−
1
2
=
=
( ) G z S
−
−
2
−
1
Hãy tìm bộ tham số ĐC cho đối tượng ĐCMC có mô hình ở ví dụ 1.3.5:
z
z 0, 00857 − z 1 1,18661
+ z 0, 00575 1 + 0,30119
( B z ( A z
) )
−
−
1
2
−
1
=
=
z
;
( ) G z R
( ) G z w
−
1
−
a) Khâu ĐC kiểu bù với đa thức truyền đạt bậc 1: 35,12 z − 2 z
− + z 116, 604 138,364 − 0, 6705 1 0,329
z
4
2
3
−
+
z
276, 729
z
234, 424
z
( 116, 604
+
83,348
z
=
( ) U z
4
3
− 2
−
+
+
−
0, 0218
0, 6963
) 10,578 0, 2019
z
1,5161 z
z
z
−
−
1
=
( + − 1
b) Khâu ĐC kiểu bù với đa thức truyền đạt bậc 2: 2 ( ) G z w
) x z 1
x z 1
−
1
+
( − 116, 604 254,97
x 1
) x z 1
−
−
2
3
⎡ 116, 604 ⎢⎣ +
−
+
−
138,364
z
( 173, 484
)
( 35,12 1
x 1
) x z 1
=
( ) G z R
−
−
−
1
2
3
+
−
+
−
+
⎤ ⎥⎦ −
1
0, 6705
0,3295
0, 6705
z
z
(
(
) 1
(
) 1
) x z 1
x 1
x 1
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
29
2. ĐK có phản hồi đầu ra 2.3 Thiết kế trên miền thời gian gián đoạn
Ví dụ 2.3.4 Thiết kế khâu ĐC theo kiểu Dead - Beat (mục 2.3.3)
−
1
−
−
1
2
=
=
( ) G z S
−
−
2
−
1
Hãy tìm bộ tham số ĐC cho đối tượng ĐCMC có mô hình ở ví dụ 1.3.5:
z
z 0, 00857 − z 1 1,18661
+ z 0, 00575 1 + 0,30119
( B z ( A z
) )
a) Khâu Dead - Beat với L(z-1) = l0
(Đồ thị bên trái)
=
=
69,83
l 0
1 +
b 1
b 2
−
−
1
2
⇒
=
( ) G z R
z 1
z 2
−
−
z
21, 03 − z
− 69,83 82,86 − 1 0,598
+ 0, 402
b) Khâu Dead - Beat với
L(z-1) = l0+l1z-1
(Đồ thị bên phải)
=
=
31,936;
37,896
l 0
l 1
−
−
3
2
⇒
=
( ) G z R
−
1
3
L(z-1) = l0
L(z-1) = l0+l1z-1
−
−
11, 414 2 −
− 31,936 35,348 − z
+ − z
z
z 0,5084
1 0, 2737
z 0, 2179
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
30
3. ĐK có phản hồi trạng thái 3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở
Ví dụ 3.1.1 Kiểm tra tính ĐK và QS được của khâu PT2 (mục 3.1.1a, b)
•Khâu PT2 được mô tả bởi:
( ) u t
A x b = A b
T c
[
]
; ; ; = = = c 1 c 2 − 0 b 1 b 2 ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 ⎤ ⎥ 1 ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦
T c x
( ) t ( ) y t
( ) t + ( ) t
=
•⎧ x ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
b 2
,
Q
b A b
=
[
]
C
b 1 b 2
b − + 1 b 2
⎡ = ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
det
Q
0
=
=
)
(
•Tính ĐK được kiểm tra trên cơ sở QC: Đối tượng sẽ là không ĐK được hoàn toàn nếu: b − 2
b 2 1
b 2
C
T c
Q
O
T c A
•Tính QS được kiểm tra trên cơ sở QO: ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ = ⎢ ⎢ ⎣
Đối tượng sẽ là không QS được hoàn toàn nếu:
det
Q
0
=
+
=
)
O
( c c 1 1
c 2 2
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
31
3. ĐK có phản hồi trạng thái 3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở
Ví dụ 3.1.2 Thiết kế khâu ĐC trạng thái theo phương pháp gán cực (mục 3.1.2a)
•Đối tượng là khâu PT2 viết dưới dạng:
•Mô hình trạng thái của khâu viết dưới dạng chuẩn ĐK là:
=
( ) G s S
2
s
+
0
1
• x
2 K ω 0 S 2 D s 2 + ω ω 0 0
x
( ) t
R 1
+
( ) u t
R 1 •
x
D
2 −
( ) t ( ) t
R
2
0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦
2 − ω 0
ω 0
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦
x
( ) t
2
R
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ = ⎥ ⎥ ⎦
1 R
0
K
=
( ) y t
S
2 ω 0
⎡ ⎣
⎤ ⎦
x x
( ) t ( ) t
2
R
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
,
]
[
2
•Khi hồi tiếp trạng thái, khâu ĐC (hình ở trang tiếp theo) có dạng: r 1 R
T =r R
r R
Hình bên: Đồ thị của đại lượng ĐK u(t) và của hai biến trạng thái xR1,2(t) khi có hồi tiếp trạng thái.
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
32
3. ĐK có phản hồi trạng thái 3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở
Ví dụ 3.1.2 (tiếp)
* và D* được đặt trước theo tiêu chuẩn chất
•Ví dụ: Phải thiết kế khâu ĐC sao cho hệ thống khép kín cũng có đặc tính PT2, trong đó các giá trị ω0 lượng.
•Đa thức mẫu số của G*(s) sẽ đồng thời là đa thức đặc tính với dạng:
2
*
s
2
=
+
+
* ( ) N s
* *2 D sω ω 0 0
Đối tượng ĐK (dạng chuẩn ĐK)
•Dễ dàng tính được các giá trị của khâu ĐC:
=
*2 0
r 1 R
Khâu ĐC trạng thái
D
D
2
=
2
* − ω ω 0
* 0
r R
2 − ω ω 0 (
)
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
33
3. ĐK có phản hồi trạng thái 3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở
Ví dụ 3.1.3 Thiết kế hệ ĐK trạng thái có khâu lọc đầu vào (mục 3.1.3a)
1 −
1 −
K
A
b
=
−
VF
R
R
( T T c b c R R R
)
•Khi thiết kế khâu lọc đầu vào (còn gọi là tầng tiền khuếch đại) cho hệ thống SISO ở ví dụ 3.1.2 ta sử dụng công thức:
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
•Với các kết quả của ví dụ 3.1.2 ta có ngay:
K
=
VF
2 ω 0 K
r + 1 R 2 ω 0 S
Ví dụ 3.1.4 Thiết kế hệ ĐK trạng thái kết hợp hồi tiếp đầu ra (mục 3.1.3b)
Hình bên: Kết hợp giữa khâu ĐC trạng thái cho đối tượng SISO với vòng ngoài PI, trong đó KP = 0.
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
34
3. ĐK có phản hồi trạng thái 3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở
Ví dụ 3.1.4 (tiếp)
A 0
• x
x
( ) t
+
+
( ) w t
( ) u t
0
T -c
( ) t ( ) q t
b ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦
0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
• ( ) q t
•Mô hình của hệ thống sau khi mở rộng có dạng dưới đây: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ = ⎥ ⎥ ⎦
x
T
Lợi thế của giải pháp thể hiện rõ nhất qua ví dụ đối tượng là khâu quán tính bậc nhất PT1. =
( ) SG s
;
T c x
K
=
−
=
−
=
( ) u t
( ) e t
( ) w t
( ) y t
( ) w t
( ) t
• ( ) q t
I
s
2
1 +
⎡ r = − ⎣
⎤ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
a
0
+
+
2 0
( ) u t
( ) w t
2
1 0 -
I
s
r K
s
det
2
−
+
−
=
+
+
( ) x t ( ) e t
(
) r s K +
[
]
I
I
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦
0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
•⎡ ( ) x t ⎢ ⎢ ( ) e t ⎣
⎤ ⎥ = ⎥ ⎦
1 0
( ) ⎤ t ⎥ ( ) q t ⎦ Đa thức đặc tính: −⎡ ⎢ −⎣
⎤ ⎥ ⎦
1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
r K
( ) u t
]
[ = −
I
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
2
16
8
4
s
s
s
+
+
=
( ) x t ( ) e t •Giả sử cần gán cặp cực s1,2 = - 4. Tức là cần có đa thức đặc tính: )2 * ( ) N s =
(
Đối tượng là khâu PT1
+ •So sánh hệ số ta thu được r = 6 và KI = 16 dẫn tới:
;
1
=
=
( ) 0
( ) G s w
G w
2
s
16 s 8
16
+
+
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
35
3. ĐK có phản hồi trạng thái 3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở
Ví dụ 3.1.5 Thiết kế khâu QS trạng thái cho đối tượng SISO (mục 3.1.3d)
n
1 −
=
•Khi thiết kế khâu ĐC trạng thái ta nên xuất phát từ dạng chuẩn ĐK của mô hình đối tượng. Tương tự, khi thiết kế khâu QS trạng thái ta sẽ xuất phát từ dạng chuẩn QS. Xét đối tượng SISO có hàm truyền đạt sau đây: ( ) G s S
n
+ (cid:34)
s
b s 1 +
(cid:34) +
+
a 0
b s + n 1 − n 1 − a s n 1 −
−
(cid:34)
(cid:34) (cid:34) (cid:34)
;
;
0,
A
b
=
=
=
−
O
O
T c O
[
] , 0, 1
b 0 b 1 (cid:35)
•Mô hình trạng thái của khâu đó, khi chuyển sang dạng chuẩn QS sẽ chứa các ma trận như ở bên:
1 −
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ b ⎢ ⎣ n
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
1
0
−
a n
1 −
b + 0 a s + 1 a − ⎤ 0 ⎥ a ⎥ 1 ⎥ a 2 ⎥ (cid:35) ⎥ ⎥ ⎦
0 ⎡ ⎢ 1 0 ⎢ ⎢ 0 1 0 ⎢ (cid:35) (cid:35) (cid:35) ⎢ ⎢ (cid:34) ⎣
•Ma trận động học của khâu QS có dạng dưới đây:
Áp dụng cho khâu PT2:
1
K
− −
− −
;
;
A
b
=
=
=
2
O
O
T c O
[
] 0 1
ω S 0 0
−
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
(cid:34) (cid:34) (cid:34)
A
−
=
−
O
T k c O O
a 0 a 1 a 2
k O k O k O
3
− (cid:35)
2
det
s
−
=
+
+
+
+
0
1
−
−
( s D 2
)
T k c O O
O
ω 0
k O
2
2 ω 0
k O
1
a n
k On
1 −
0 ⎡ ⎢ 1 0 ⎢ ⎢ 0 1 0 ⎢ (cid:35) (cid:35) (cid:35) ⎢ ⎢ (cid:34) ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
2 ⎤ ⎡ 0 ω − 0 ⎥ ⎢ 1 2 D ω ⎦ ⎣ 0 với đa thức đặc tính: )
( I A s −
⎡ ⎣
⎤ ⎦
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
36
3. ĐK có phản hồi trạng thái 3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở
Ví dụ 3.1.5 (tiếp)
•Tương tự ví dụ 3.1.2, sau khi cho trước (gán) vị trí cặp điểm cực, ta sử dụng so sánh hệ số của đa thức đặc tính để tìm kO1 và kO2.
ở dạng chuẩn QS. Bởi
(cid:109) ( )O t x
ở dạng
(cid:109) ( ) R t x
=
(cid:109) ( ) x t
(cid:109) ( ) x t
O
R
ω
2
1 D
•Với kO1 và kO2 ta đã giả quyết xong nhiệm vụ tính toán (quan sát) vector trạng thái vì khâu ĐC trạng thái luôn được thiết kế (xem ví dụ 3.1.2) ở dạng chuẩn ĐK và vì vậy cần vector trạng thái chuẩn ĐK, ta sẽ phải thực hiện phép chuyển đổi tương đương giữa hai dạng chuẩn đó. Sơ đồ cấu trúc của hệ ĐK trạng thái cho đối tượng PT2, sử dụng khâu QS trạng thái đầy đủ được minh họa ở hình thuộc trang kế tiếp. 1 ω
K
0
2 0
S
⎡ 0 ⎢ ⎢ −⎣ 1
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
Kết quả mô phỏng của cấu trúc với tham số chọn ở trang kế tiếp
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
37
3. ĐK có phản hồi trạng thái 3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở
Ví dụ 3.1.5 (tiếp)
*
=
=
ω
•Tham số đã chọn cho khâu ĐC (ví dụ 3.1.2) ứng với D = 0: 1;
ω 2
D
Đối tượng ĐK (ở dạng chuẩn ĐK)
0
* 0 •Điểm cực của khâu QS ứng với: ω= 10
0
* QSω 0
Khâu QS trạng thái
(ở dạng chuẩn QS)
2
+
ω
10
s
•So sánh hệ số giữa đa thức đặc tính cho trước với các tham số trên và đa thức đặc tính tổng quát: )2
( = + s
s k O
2 + + ω 0
k O 1
2
0
+
ω
ω
2 = + s
s
20
100
0
2 0
Chuyển hệ cho các biến trạng thái
=
ω
ω
99
;
20
k O
⇒ = k O 1
2 0
2
0
Kết quả mô phỏng khi chọn ω0 = 1 và KS = 1 đã được giới thiệu ở trang trước.
Khâu ĐC trạng thái
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
38
3. ĐK có phản hồi trạng thái 3.2 Mô hình trạng thái gián đoạn
Ví dụ 3.2 Mô hình gián đoạn của đối tượng bao gồm DAC, khâu I2 và ADC
0 1
• x
A x b = ; ; ; 0 d A b
T c
[ ] 1 0 ;
= = = = 0 0 ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦
T c x
( ) t ( ) y t
( ) t + ( ) t
( ) u t ( ) d u t
•Khâu I2 liên tục được mô tả bởi mô hình trạng thái bao gồm:
= + ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
( ) t
( ) t
[
]
• ( ) x t 1
; , = = x 2 x 2 x 1
T x •Vì Ak = 0 khi k ≥ 2, ta sẽ dễ dàng tìm được Φ(T) nhờ khai triển chuỗi:
A
T
=
= +
=
⇒
Φ
I A
e
T
( ) T
T 1 0 1
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
T
T
T
2
0
2
=
=
=
=
Φ
ν
ν
ν
h
b
d
d
d
( ) T
( ) ν
∫
∫
∫
⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ( ) σ ν 0
1
T
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ν ⎥ ⎥ ( ) σ ν ⎦
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎤ ⎡ ν ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ( ) σ ν ⎥ ⎣ ⎦
0
0
0
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ •Để kiểm tra ta hãy tính hàm truyền đạt trên miền ảnh z từ kết quả trên:
⎡ T ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ •Kết quả GS(z) hoàn toàn trùng với kết quả tìm được theo phương pháp:
=
−
T c
I
z
(
hΦ − 1 )
( ) SG z
( ) G z S
H
S
−
1
2
2
−
3
1
z
1
+
2
z
s
z
= Ζ ( = − 1
{ } ( ) ( ) G s G s } ) { Ζ 1
=
=
[ 1 0
]
z
0
T 2
T
−
z
1 2 ) 1
(
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ − − T ⎥ ⎥− 1 ⎦
⎡ T ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
39
3. ĐK có phản hồi trạng thái 3.3 Tính ĐK được và tính QS được
Ví dụ 3.3.1 Sự phụ thuộc vào chu kỳ trích mẫu T của tính ĐK và QS được
1
B u A x
•Bổ xung lý thuyết: Chuyển mô hình trạng thái ta có:
( ) s
( ) s
( ) s
( ) t ( + − s
sang miền ảnh Laplace ( ) s
+ 1 + ⇒ A X B U X s X
− ) I A B U
( ) t = ( = − s
0
− = x 0
1
1
1
− L
− L
( t t ,
)
− )
0
{ (
}
( s (
adj Φ ⇒ = = s − I A det s
• x ( ) s ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
( ) t − ) I A x ⎫ ) ⎪− I A ⎪ ⎬ ⎪− ) I A ⎪ ⎭
1 ; ; A b
T c
[ 1 0
]
= = = 1 0 0 ⎡ ⎢ −⎣ ⎤ ⎥ ⎦ 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦
rang Q Q 0 = ≠ 0 1
T c
C
C
[
]
O
C
1 0 b A b Q Q ; = = = = ⇒ 1 0 0 1 rang Q Q 0 = ≠
T c A
( 2; det ( 2; det
) )
O
O
−
1
⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
1
1
− L
− L
( ) t
2
T
•Đối tượng là khâu PT2 như các ví dụ 3.1.2 và 3.1.5. Khi ω0 = 1, D = 0 và KS = 1 (đối tượng có cặp điểm cực kép s1,2 = ±j) ta có: •Vậy theo công thức: hệ là ĐK và QS được hoàn toàn •Áp dụng phần bổ xung lý thuyết ta tính được các ma trận của mô hình gián đoạn:
− Φ = = = t t t sin cos 1 + s 1 ⎤ 1 ⎥ ⎥ s ⎦ ⎡ s ⎢ ⎢ 1 ⎣ ⎡ s ⎢ ⎢ − 1 ⎣ ⎤ 1 ⎥ ⎥ s ⎦ ⎡ t cos ⎢ ⎢ − sin ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∫
0
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
40
ν ν T T T sin sin 0 ν Φ ⇒ = = = h d ; ν ν T T T sin cos sin cos 1 sin ⎡ cos ⎢ ⎢ − ⎣ ⎡ cos ⎢ ⎢ − ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ − 1 cos ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
3. ĐK có phản hồi trạng thái 3.3 Tính ĐK được và tính QS được
Ví dụ 3.3.1 (tiếp)
•Trên cơ sở mô hình gián đoạn ta hãy đi tìm các ma trận ĐK và QS. Để phân biệt với ma trận ĐK và QS của đối tượng trên miền ảnh Laplace, ta bổ xung gạch ngang bên trên các ký hiệu:
•Ma trận ĐK:
CQ
=
Q
hΦ
h
]
C
Ta có rang = 2 chỉ khi T ≠ ν π (ν = ±1, ±2, …). Khi đó, đối tượng là ĐK được hoàn toàn. Ngược lại, khi T = π ta có:
−
T
T
T
=
CQ
=
2 0
cos −
cos 2 +
sin
T
sin 2
T
sin
T
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
[ ⎡ − 1 cos ⎢ ⎢ ⎣
⎤− 2 ⎥ ⎥ 0 ⎦ = 0, đối tượng là không ĐK được.
tức là det
CQ
•Ma trận QS:
OQ
T c
Ta có rang = 2 chỉ khi T ≠ ν π (ν = ±1, ±2, …). Khi đó, đối tượng là QS được hoàn toàn. Ngược lại, khi T = π ta có:
=
=
Q
O
T
T
1 cos
0 sin
=
T c Φ
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
OQ
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ 0 1 ⎢ ⎢ −⎣ 1 0
⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = 0, đối tượng là không QS được.
tức là det
OQ
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
41
3. ĐK có phản hồi trạng thái 3.3 Tính ĐK được và tính QS được
Dạng chuẩn ĐK:
Ví dụ 3.3.2 Xây dựng QC để kiểm tra tính ĐK được của các đối tượng quán tính bậc 1, 2 và 3
−
1
= = ⇒
;
h
1;
c
Q
= = h
1
a) Đối tượng bậc 1:
( ) G z S
C
Φ ⇒ = − a 1
b 1
−
1
1
−
2
b z 1 + a z 1 − 1
b) Đối tượng bậc 2:
=
=
⇒ = Φ
;
;
h
c
( ) G z S
−
+ − 1
2
0 1
1
1 − a 1
b 2 b 1
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ 0 ⎢ ⎢ − a ⎣ 2
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
b z 2 + a z 2
b z 1 + a z 1
=
=
= −
Φ
det
det
det
1
Q
h
h
[
]
C
−
−
−
1
2
3
Φ ⇒ =
=
=
h
c
( ) G z S
−
+ − 1
+ − 2
3
1
c) Đối tượng bậc 3: b z 1 + a z 1
b z 2 + a z 2
b z 3 + a z 3
1 0 − a 2
b 3 b 2 b 1
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ; ⎥ ⎥ 1 ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎤ 0 1 ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎢ 1 a ⎦ 1 ⎡ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ − a ⎣ 3
⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 ; ⎥ ⎥ − a ⎦ 1
2
=
=
=
det
det
0 1
1
Q
h
Φ Φ h
h
1 − a 1
C
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
−
1
− a 1
2 a 1
a 2
⎡ 0 ⎢ ⎢ det 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
Nhận xét: Cả 3 đối tượng đều ĐK được và không phụ thuộc các tham số ai, bi.
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
42
3. ĐK có phản hồi trạng thái 3.3 Tính ĐK được và tính QS được
Ví dụ 3.3.3 Xây dựng QO để kiểm tra tính QS được của các đối tượng quán tính bậc 1, 2 ở dạng chuẩn ĐK
−
1
=
⇒
Q
= = c
a) Đối tượng bậc 1:
Đối tượng là QS được khi b1≠0
( ) G z S
O
b 1
−
1
1
b z 1 + a z 1
−
−
1
2
T c
b) Đối tượng bậc 2:
=
⇒
=
=
det
det
det
Q
( ) G z S
O
−
+ − 1
2
1
b 1 − a b 1 1
( b 2
T c Φ
b z 1 + a z 1
b z 2 + a z 2
⎡ b 2 ⎢ ⎢ − b a ⎣ 1 2
⎤ ⎥ ⎥ ) ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
+
≠
0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 2 a b 2 1
2 = + b 2
a b b 1 1 2
z
+
=
=
( ) G z S
2
01 −
) z
z
z
− )(
(
)
b z 1 +
b 2 +
z
( b z 1 − z 1
2
a z 1
a 2
= −
= −
±
−
z
2
4
2
;
b b z 1 2
2 a 1
a 2
a 1
1,2
01
+
=
0
a b b 1 1 2
2 a b 2 1
2 b 2
1. Đối tượng bậc 2 là không QS được: •khi b1 = b2 = 0, hoặc •khi hàm truyền đạt bên: có điểm không z01 nhận giá trị giống 1 trong 2 điểm cực z1, z2, vì khi ấy với z01= z1 điểm không sẽ giản ước + bớt 1 điểm cực và dẫn đến: 2. Đối tượng bậc 2 là QS được đối với mọi bộ tham số còn lại nhưng phải có b1≠0 hoặc b2≠0. Nếu b2=0 thì bắt buộc a2≠0.
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
43
3. ĐK có phản hồi trạng thái 3.4 Cấu trúc cơ bản trên không gian trạng thái
Ví dụ 3.4 Thiết kế khâu ĐC kiểu Dead – Beat cho đối tượng I2 (mục 3.4)
2
2
=
Φ
•Theo ví dụ 3.2, đối tượng có mô hình với:
;
h
( ) T
( ) T
T 1 0 1
T
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ T ⎢ = ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
x
( ) 0
T r =
[
]
r 2
r 1
⎤ ⎡ 1 ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎦ ⎣
•Bằng khâu ĐC ta phải đưa được đối tượng từ trạng thái ban đầu tới được trạng thái cuối x(N) = 0 chỉ sau lượng tối thiểu N = n = 2 chu kỳ T.
2
2
z
− + T
− + 1
r 2
det
T 2
T 2
r 1
•Thực hiện gán 2 điểm cực vào gốc tọa độ trên cơ sở công thức (mục 3.4):
=
r 1
z
− + 1
⇒
T r 1
T r 2
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
T
2
2
2
det
z
I
z
−
h rΦ −
=
=
r 2
(
)
⎡ ⎣
⎤ ⎦
1 2 T 3 T 2
−
−
+
2 = − z
z
2
+ − 1
r 1
T r 2
T r 2
r 1
T 2
T 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎪
T
Φ
h r
x
x
=
−
•Có thể kiểm tra kết quả bằng cách tính:
2
0
2
(
2
4
T
−
=
=
h r
0
)2 •Dễ dàng thấy rằng với x0 bất kỳ ta luôn có xk = 0 (k ≥ 2) vì:
( Φ
)
T −
T
1 2
⎡ 1 2 ⎢ ⎢ − 1 ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
= −
= −
u
T r x
x
•Chuỗi giá trị ĐK sẽ là:
k
k
k
3 T 2
1 2 T
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
u = − −
•Với trạng thái ban đầu đã cho
ta tính được giá trị ĐK đầu tiên:
x
( ) 0
0
3 2T
T càng bé, u0 càng lớn 1 2 T
⎤ ⎡ 1 ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎦ ⎣
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
44
4. Thực hiện kỹ thuật hệ thống ĐK số 4.1 Ảnh hưởng của số hóa (lượng tử hóa) biên độ
Ví dụ 4.1.1 Hiệu ứng lượng tử hóa các biến (mục 4.1.2a)
Tác động của sai số lượng tử hóa tại khâu ADC vào đại lượng ĐK. Đối tượng ĐK là khâu PT1. Đối với nhiễu ngẫu nhiên, khâu ĐC được thiết kế (tối ưu tham số) có đặc tính PD. −
= −
= −
•Với sai lệch ĐC: , thuật toán ĐC có dạng:
u
( ) y k
( ) e k
(
) − k 1
( ) k
( ) k
r y 0
r y 1
−
δ
(
•Do „tạp âm lượng tử hóa“, đại lượng ĐK được xếp chồng thêm: ( ) k
) − k 1
( ) k
u δ
= − r 0
δ r 1
≈
0
( )k
( )kuδ
yδ
•Nếu đã được khâu PT1 (đặc điểm lọc thông thấp) lọc tới mức đáp ứng ra . Khi ấy phương sai của tín hiệu ngẫu nhiên được tích lũy sẽ là:
( )kuδ
2
σ
σ
2 δ
2 δ u
2 r 0
r 1+
⎡ ≈ ⎣
⎤ ⎦
•Giả sử r0 = 3 và r1 = -1,5. Theo công thức phương sai tại mục 4.1.2a), ta sẽ tìm được sai lệch như sau:
σ
≈
σ
=
Δ =
Δ
3,35
0,97
δ
uδ
( 3,35 12
)
•Nhận xét: Đại lượng ĐK đã bị tạp âm do lượng tử hóa tại khâu ADC gây nên sai lệch lớn cỡ gấp 3 lần sai lệch của khâu ADC. Vì kỳ vọng xuất hiện sai lệch là khác không, nên ưu tiên chọn giải pháp „làm tròn“, không nên „cắt bỏ“.
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
45
4. Thực hiện kỹ thuật hệ thống ĐK số 4.1 Ảnh hưởng của số hóa (lượng tử hóa) biên độ
Ví dụ 4.1.2 Hiệu ứng lượng tử hóa các biến (mục 4.1.2b)
= −
= −
=
0,5867;
0,4133
a 1
b 1
Sai lệch tĩnh xuất hiện do lượng tử hóa trong khâu ADC. •Xét đối tượng PT1 được mô tả bởi: ( ) ) k + k+1 ( ) u k ( ) e k
( ) k
y Q
( ) ( b u y a y k ; 1 1 ( ) r e= •Khâu ĐC có đặc tính tỷ lệ P: k 0 ( ) − = w k •Sai lệch ĐC được tính bởi: •Trong khâu ADC, đại lượng ĐC y(k) được làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy thành yQ(k). Bảng sau cho thấy diễn biến của các biến ĐK và ĐC trong 2 trường hợp cắt bỏ và làm tròn khi w(k) = 1(k), các giá trị ban đầu là y(k) = u(k) = 0 và tham số r0 = 1,3.
k
yQ(k)
Đơn vị lượng tử Δ = 0,01. Đại lượng ĐC sau khi làm tròn đã giữ cố định tại giá trị yQ = 0,56. Sai lệch tĩnh Δy ≈ 0,005 là có thể bỏ qua được.
Không làm tròn u(k) 1,3000 0,6015 0,5670 0,5653 0,5652
Làm tròn u(k) 1,3000 0,5980 0,5720 0,5720 0,5720
0 1 2 3 4 5
y(k) 0 0,5373 0,5638 0,5651 0,5652 0,5652
y(k) 0 0,5373 0,5640 0,5649 0,5649 0,5649
0,54 0,56 0,56 0,56 0,56
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
46
4. Thực hiện kỹ thuật hệ thống ĐK số 4.1 Ảnh hưởng của số hóa (lượng tử hóa) biên độ
Ví dụ 4.1.3 Hiệu ứng lượng tử hóa các biến (mục 4.1.2b)
k
Dao động xuất hiện do lượng tử hóa trong khâu ADC
Không làm tròn u(k) y(k) 2,0000 0 0,3468 0,8266 0,7434 0,6283 0,6482 0,6759 0,6711 0,6644 0,6656 0,6672 0,6669 0,6665 : 0,6667 : : : :
Hệ số khuếch đại của vòng ĐC trong ví dụ 4.1.2 được nâng lên r0 = 2,0. Cách làm tròn được giữ nguyên và ta thu được bảng giá trị ở bên. Dễ dàng nhận thấy đã xuất hiện dao động bang-bang với chu kỳ M = 3. Biên độ sai lệch ĐC là |Δy| ≈ 0,003 (rất nhỏ). Biên độ dao động của đại lượng ĐK Là |Δu| = 0,01, đúng bằng đơn vị lượng tử của đại lượng ĐC y.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Làm tròn u(k) 2,0000 0,3400 0,7400 0,6600 0,6600 0,6800 0,6600 0,6600 0,6600 0,6800 0,6600 0,6600 0,6800 0,6600 0,6600 0,6800
y(k) 0 0,8266 0,6254 0,6727 0,6675 0,6644 0,6708 0,6663 0,6664 0,6637 0,6705 0,6661 0,6636 0,6703 0,6661 0,6636
yQ(k) 0 0,83 0,63 0,67 0,67 0,66 0,67 0,67 0,67 0,66 0,67 0,67 0,66 0,67 0,67 0,66
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
47
4. Thực hiện kỹ thuật hệ thống ĐK số 4.1 Ảnh hưởng của số hóa (lượng tử hóa) biên độ
Ví dụ 4.1.4 Hiệu ứng lượng tử hóa các kết quả tính trung gian (mục 4.1.4a)
k
Dao động xuất hiện do làm tròn các tích trung gian
Không làm tròn u(k) 2,0000 0,3468 0,7434 0,6482 0,6711 0,6656 0,6669 : : :
y(k) 0 0,8266 0,6283 0,6759 0,6644 0,6672 0,6665 0,6667 : :
Tiếp tục xét vòng ĐC trong ví dụ 4.1.2. Các thừa số và tích số được làm tròn tới 2 chữ số sau dấu phẩy. Hệ số khuếch đại r0 = 2,0. Đơn vị lượng tử Δ = 0,01. Kết quả tính được cất trong bảng bên. Dễ dàng nhận thấy đã xuất hiện dao động bang-bang với chu kỳ M = 3. Biên độ sai lệch ĐC là |Δy| ≈ 0,0034 (rất nhỏ) và biên độ dao động của đại lượng ĐK là |Δu| = 0,01, mặc dù chỉ có một phép nhân duy nhất trong thuật toán.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Làm tròn uQ(k) 2,00 0,34 0,74 0,66 0,66 0,68 0,66 0,66 0,68 0,66 0,66 0,68 0,66 0,66 0,68 0,66
y(k) 0 0,8266 0,6255 0,6728 0,6675 0,6644 0,6708 0,6664 0,6637 0,6705 0,6661 0,6636 0,6704 0,6661 0,6636 0,6704
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
48
