1
HM NHIU BIN
Đo hm riêng v ng dng
Lecture 1
Nguyen Van Thuy
Hm hai bin
Hm 2 bin l mt quy tc gn mi cp s thc
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 vi duy nht mt s thc k hiu 𝑓(𝑥, 𝑦).
Tp 𝐷 đưc gi l min xc đnh v min gi tr
ca hm 𝑓 l tp 𝑇 = *𝑓(𝑥, 𝑦)|(𝑥, 𝑦)𝐷+
2/26/2011
𝑓(𝑥, 𝑦)
(𝑥, 𝑦)
𝐷
𝑥
𝑦
𝑓 𝑧
𝑂
Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-2
V d
Cho hm s
𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦
𝑥2+ 𝑦2
a) b)
c) không xc đnh
d) Min xc đnh: 𝐷 = *(𝑥, 𝑦)|(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)+
2/26/2011
22
2.1.2 4
(1,2) 1 2 5
f
22
2.1.0
(1,0) 0
10
f
22
2.0.0 0
(0,0) :
0 0 0
f
Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-3
2
V d
Cho hm
𝑓 𝑥, 𝑦 = ln (𝑥 + 𝑦 − 1)
a) Tnh 𝑓(1,1) b) Tnh 𝑓(𝑒, 1)
c) Tm v v min xc đnh ca hm 𝑓
d) Tm min gi tr ca hm 𝑓
Tm v v min xc đnh ca hm
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 4 − 𝑥2− 𝑦2
2/26/2011 Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-4
Đ th
Đ th ca hm 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 l tp hp
2/26/2011
3
{( , , ) | ( , ),( , ) }G x y z z f x y x y D
(𝑥, 𝑦, 0)
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑆
𝐷
𝑥
𝑦
𝑧
𝑂
Mt cong S
Min xc đnh
Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-5
Đ th
V đ th hm s 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2+ 𝑦2
Mathematica
Plot3D[Sqrt[x^2+y^2],{x,-2,2},{y,-2,2}]
2/26/2011
-2
0
2
-2
0
2
0
1
2
3
4
-2
0
2
Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-6
3
Đ th
Maple
plot3d(sqrt(x^2+y^2),x=-2..2,y=-2..2)
2/26/2011 Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-7
Đ th
V d. Dng Mathematica hoc Maple, v đ
th cc hm sau
𝑎) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2+ 𝑦2
𝑏) 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥2+ 3𝑦2)𝑒−𝑥2−𝑦2
𝑐) 𝑓 𝑥, 𝑦 = sin 𝑥 sin 𝑦
𝑥𝑦
2/26/2011 Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-8
Đường mức
Cho mt cong (S): 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Đường cong
(C): 𝑓𝑥, 𝑦 = 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ đưc gi l đường
mc ca mt cong (S)
Ứng dng: bản đ
V đường mc ca hm 2 bin
Mathematica
Contour[f(x,y),{x,a,b},{y,c,d}]
2/26/2011 Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-9
4
Đo hm riêng
Đnh ngha. Đo hm riêng ca hm 𝑓 theo
bin 𝑥 ti đim (𝑎, 𝑏)
Tương t
2/26/2011
'
0
( , ) ( , )
( , ) lim
xh
f a h b f a b
f a b h

Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-10
Đo hm riêng
Nhn xt
Khi tnh , ta xem 𝑦 l hng s
Khi tnh , ta xem 𝑥 l hng s
V d. Cho hm
Tnh
 ngha hnh hc ca đo hm riêng?
2/26/2011
'
x
f
'
y
f
32
( , ) 3 2 1f x y x y x
''
(1,2), (1,2)
xy
ff
Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-11
V d
Tnh cc đo hm riêng cp 1 ca cc hm
s sau
a) b)
c) d)
Mathematica
D[f(x,y),x]; D[f(x,y),y]
2/26/2011
( , ) xy
f x y xy
( , ) ( 0)
y
f x y x x
10
(2 3 )z x y
( , ) arctan( )f x t x t
Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-12
5
Vi phân
Vi phân cp 1 ca hm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑧 = 𝑧′𝑥𝑑𝑥 + 𝑧′𝑦𝑑𝑦
V d. Tm vi phân cp 1 ca hm 𝑧 =
ln 𝑥 − 𝑦
𝑎) 𝑑𝑧 =𝑑𝑥 −𝑑𝑦
𝑥 − 𝑦 𝑏) 𝑑𝑧 =𝑑𝑦 −𝑑𝑥
𝑥 − 𝑦
𝑐) 𝑑𝑧 =𝑑𝑥 −𝑑𝑦
2(𝑥 − 𝑦) 𝑏) 𝑑𝑧 =𝑑𝑦 −𝑑𝑥
2(𝑥 − 𝑦)
2/26/2011 Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-13
Ý nghĩa hình học của vi phân
2/26/2011 Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-14
Đo hm riêng cp 2
Đo hm riêng cp 2
Vi phân cp 2
𝑑2𝑓 = 𝑓′′𝑥𝑥(𝑑𝑥)2+2𝑓′′𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑓′′𝑦𝑦(𝑑𝑦)2
V d. Tm vi phân cp hai 𝑑2𝑧 ca hm
𝑧 = 𝑥2𝑦3
2/26/2011
" ' ' " ' '
" ' ' " ' '
( ) ( )
( ) ( )
xx x x xy x y
yx y x yy y y
f f f f
f f f f


Giai tich B2-Nguyen Van Thuy 1-15