Giải tích hàm nâng cao
21
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| ( )| | ( )|
|| || sup sup 1
|| || || ||
x G x G
g x g x v
gx x v
Ta có
Vì
d v M
1
( ,0 1) || ||
z M r v z r
|| ||
r v z
Khi đó
| ( )| || ||
g v z r v z
Vậy
| ( )|
|| ||
|| ||
g v z
g r
v z
Vì rtùy ý, r < 1, nên
|| || 1
g
|| || 1
g
22
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Theo hệ quả 1, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục Ftrên E:
và ■.
|| || || || 1
F g
|
G
F g
( ) ( ) ( ) 0
x M F x g x
23
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ quả 3
Giả sử Mlà không gian con của không gian định chuẩn Evà
Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục Ftrên E,
sao cho
\ : ( , ) inf || || 0
x M
v E M d v M v x
1. ( ) ( ) 0
x M F x
2. ( ) 1
F v
1
3. || ||
( , )
F
d v M
24
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
Đặt
,
G M v

:
g G R
( )
g x v
Tương tự phần chứng minh hệ quả 3.
25
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 1
Với mọi của không gian định chuẩn E, tồn tại phiếm
hàm tuyến tính liên tục Ftrên Esao cho
1. || || 1
F
2. ( ) || ||
F v v
0
v
Giải
Sử dụng Hệ quả 2 (slide 19), đặt M = {0}
26
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Bài tập 2
Cho M là không gian con đóng của không gian định chuẩn E,
.Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục Ftrên E
sao cho
1. ( ) 1
F v
2. ( ) ( ) 0
x M F x
v M
Vì Mđóng, . Khi đó tồn tại hình cầu nằm
ngoài M, suy ra
v M
( , )
B v M
( , ) 0
d v M
Sử dụng hệ quả 3.
27
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0
x y x y
Giải
Sử dụng bài tập 1.
Bài tập 3
Cho xvà ylà hai véctơ khác nhau của không gian định chuẩn
E. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục Ftrên Esao
cho
( ) ( )
F x F y
28
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 2
( ) , ,...,
m
L M x x x

Giải
Khi đó L(M) là không gian con đóng của E.Sử dụng bài tập 2.
Bài tập 4
Cho họ véctơ của không gian định chuẩn E,
véctơ xkhông là tổ hợp tuyến tính của M.Chứng minh rằng tồn
tại phiếm hàm tuyến tính liên tục Ftrên Esao cho
1. ( ) 1
F x
1 2
{ , ,..., }
m
M x x x
1
2. ( ) ( ) 0
i
x M F x
30
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 6
Cho Elà không gian định chuẩn và flà phiếm hàm tuyến tính
liên tục trên E,fkhác không. Chứng minh rằng siêu phẳng
{ : ( ) }
x E f x
là một tập khác rỗng.
Hướng dẫn.Sử dụng bài tập 1.