Giáo án toán cao cấp A3 - ThS. Đoàn Vương Nguyên

Chia sẻ: Nguyen Van Toan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

1.835
lượt xem 569
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo slide bài giảng Giáo án toán cao cấp A3, tài liệu dành cho học sinh sinh viên của các trường giúp các bạn học tốt môn toán cao cấp. Mời các bạn cùng tham khảo để củng cố kiến thức toán cao cấp nhé.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án toán cao cấp A3 - ThS. Đoàn Vương Nguyên

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH TOÁN CAO C P A 3 ð I H C Tài li u tham kh o: 1. Giáo trình Toán cao c p A3 – Nguy n Phú Vinh – ðHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu h i Toán cao c p – Nguy n Phú Vinh – ðHCN TP.HCM. 3. Gi i tích hàm nhi u bi n (Toán 3) – ð Công Khanh (ch biên) – NXBðHQG TP. HCM. 4. Gi i tích hàm nhi u bi n (Toán 4) – ð Công Khanh (ch biên) – NXBðHQG TP. HCM. 5. Phép tính Vi tích phân (t p 2) – Phan Qu c Khánh – NXB Giáo d c. 6. Phép tính Gi i tích hàm nhi u bi n – Nguy n ðình Trí (ch biên) – NXB Giáo d c. 7. Tích phân hàm nhi u bi n – Phan Văn H p, Lê ðình Th nh – NXB KH và K thu t. 8. Bài t p Gi i tích (t p 2) – Nguy n Th y Thanh – NXB Giáo d c. Chương 1. HÀM S NHI U BI N S §1. KHÁI NI M CƠ B N 1.1. ð nh nghĩa • Cho D ⊂ ℝ 2 . Tương ng f : D → ℝ , ( x, y ) ֏ z = f ( x, y ) duy nh t, ñư c g i là hàm s 2 bi n x và y. • T p D ñư c g i là MXð c a hàm s và f ( D ) = {z ∈ ℝ z = f ( x, y ), ∀( x, y ) ∈ D} là mi n giá tr . Hình a Hình b – N u M(x, y) thì D là t p h p ñi m M trong ℝ 2 sao cho – N u M(x, y) thì D là t p h p ñi m M trong ℝ 2 sao cho f(M) có nghĩa, thư ng là t p liên thông. (T p liên thông D f(M) có nghĩa, thư ng là mi n liên thông (n u M, N thu c là t n t i ñư ng cong n i 2 ñi m b t kỳ trong D n m hoàn mi n D mà t n t i 1 ñư ng n i M v i N n m hoàn toàn toàn trong D). trong D thì D là liên thông-Hình a)). – Tr trư ng h p D = ℝ 2 , D thư ng ñư c gi i h n b i 1 VD 1. ñư ng cong kín ∂D (biên) ho c không. Mi n liên thông D Hàm s z = f(x, y) = x3y + 2xy2 – 1 xác ñ nh trên ℝ 2 . là ñơn liên n u D ñư c gi i h n b i 1 ñư ng cong kín (Hình VD 2. Hàm s z = f ( x, y ) = 4 − x 2 − y 2 có MXð là hình a); ña liên n u ñư c gi i h n b i nhi u ñư ng cong kín r i nhau t ng ñôi m t (Hình b). tròn ñóng tâm O(0; 0), bán kính R = 2. – D là mi n ñóng n u M ∈ ∂D ⇒ M ∈ D , mi n m n u M ∈ ∂D ⇒ M ∉ D . VD 3. Hàm s z = f ( x, y ) = ln(4 − x 2 − y 2 ) có MXð là Chú ý hình tròn m tâm O(0; 0), bán kính R = 2. • Khi cho hàm s f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hi u MXð D là t p t t c (x, y) sao cho f(x, y) có nghĩa. VD 4. Hàm s z = f ( x, y ) = ln(2 x + y − 3) có MXð là n a • Hàm s n bi n f(x1, x2,…, xn) ñư c ñ nh nghĩa tương t . mp m biên d: 2x + y – 3 không ch a O(0; 0). 1.2. Gi i h n c a hàm s hai bi n – Hàm s liên t c Nh n xét • Dãy ñi m Mn(xn; yn) d n ñ n ñi m M0(x0; y0) trong ℝ 2 , • N u khi M n → M 0 trên 2 ñư ng khác nhau mà dãy ký hi u M n → M 0 hay ( xn ; yn ) → ( x0 ; y0 ) , khi n → +∞ {f(xn, yn)} có hai gi i h n khác nhau thì ∃ lim f ( M ) . M →M0 n u lim d ( M n , M 0 ) = lim ( xn − x0 ) + ( yn − y0 ) = 0 . 2 2 n →∞ n →∞ 2 x 2 y − 3x − 1 • Cho hàm s f(x, y) xác ñ nh trong mi n D (có th không VD 5. Cho f ( x, y ) = , tính lim f ( x, y ) . xy 2 + 3 ( x , y ) → (1, −1) ch a M0), ta nói L là gi i h n c a f(x, y) khi ñi m M(x, y) d n ñ n M0 n u m i dãy ñi m Mn (Mn khác M0) thu c D xy d n ñ n M0 thì lim f ( xn , yn ) = L . VD 6. Cho f ( x, y ) = , tính lim f ( x, y ) . n →∞ x + y2 2 ( x , y ) → (0,0) Ký hi u: lim f ( x, y ) = lim f ( M ) = L . ( x , y ) →( x0 , y0 ) M →M0 3xy • Hàm s f(x, y) liên t c trong D n u liên t c t i m i ñi m VD 7. Cho hàm s f ( x, y ) = . M thu c D. Hàm s f(x, y) liên t c trong mi n ñóng gi i n i x + y2 2 D thì ñ t giá tr l n nh t và nh nh t trong D. Ch ng t lim f ( x, y ) không t n t i. ( x , y ) → (0,0) VD 8. Xét tính liên t c c a hàm s : • Hàm s f(x, y) xác ñ nh trong D ch a M0, ta nói f(x, y)  xy  , ( x, y ) ≠ (0, 0) liên t c t i M0 n u t n t i lim f ( x, y ) và f ( x, y ) =  x 2 + y 2 . ( x , y ) → ( x0 , y0 )  0, ( x, y ) = (0,0) lim f ( x , y ) = f ( x0 , y 0 ) .  ( x , y ) → ( x0 , y0 ) Trang 1
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §2. ð O HÀM RIÊNG – VI PHÂN 2.1. ð o hàm riêng • Tương t ta có ñ o hàm riêng theo y t i (x0, y0) là: a) ð o hàm riêng c p 1 f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) f y/ ( x0 , y0 ) = lim . ∆y →0 ∆y • Cho hàm s f(x, y) xác ñ nh trên D ch a M0(x0, y0). N u VD 1. Tính các ñ o hàm riêng c a z = x4 – 3x3y2 + 2y3 – hàm s 1 bi n f(x, y0) (y0 là h ng s ) có ñ o hàm t i x = x0 3xy t i (–1; 2). thì ta g i ñ o hàm ñó là ñ o hàm riêng theo bi n x c a f(x, VD 2. Tính các ñ o hàm riêng c a f(x, y) = xy (x > 0). y) t i (x0, y0). x ∂f VD 3. Tính các ñ o hàm riêng c a z = cos t i (π ; 4) . Ký hi u: f x ( x0 , y0 ) hay f x/ ( x0 , y0 ) hay ( x0 , y0 ) . y ∂x • V i hàm n bi n ta có ñ nh nghĩa tương t . f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) V y f x/ ( x0 , y0 ) = lim . VD 4. Tính các ñ o hàm riêng c a f ( x, y , z ) = e x y sin z . 2 ∆x → 0 ∆x b) ð o hàm riêng c p cao VD 5. Tính các ñ o hàm riêng c p hai c a • Các hàm s fx, fy có các ñ o hàm riêng (fx)x, (fy)y, (fx)y, z = x 3e y + x 2 y 3 − y 4 t i ( −1; 1) . (fy)x ñư c g i là các ñ o hàm riêng c p hai c a f. −y VD 6. Tính các ñ o hàm riêng c p hai c a f ( x, y ) = xe x 2 . ∂ ∂f ∂2 f Ký hi u: ( f x ) x = f xx = f x/2/ =   = 2 ,   ∂x  ∂x  ∂x • Các ñ o hàm riêng c p hai c a hàm n bi n và ñ o hàm ∂  ∂f  ∂ 2 f (f )y y = f yy = f // y2 =  = 2 , ∂y  ∂y  ∂y riêng c p cao hơn ñư c ñ nh nghĩa tương t . ð nh lý (Schwarz) ∂  ∂f  ∂ 2 f ( fx )y = f xy = f xy = //  = , ∂y  ∂x  ∂y∂x • N u hàm s f(x, y) có các ñ o hàm riêng fxy và fyx liên t c ∂  ∂f  ∂ 2 f trong mi n D thì fxy = fyx. (f ) y x = f yx = f // yx =  = ∂x  ∂y  ∂x∂y . 2.2. Vi phân • Hàm s f(x, y) kh vi trên mi n D n u f(x, y) kh vi t i a) Vi phân c p 1 m i (x, y) thu c D. • Cho hàm s f(x, y) xác ñ nh trong D ⊂ ℝ 2 và M 0 ( x0 , y 0 ) ∈ D , M ( x0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) ∈ D . Nh n xét N u s gia ∆f ( x0 , y0 ) = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) có • N u f(x, y) kh vi t i M0 thì f(x, y) liên t c t i M0. th bi u di n dư i d ng: • T ∆f ( x0 , y0 ) = A.∆x + B.∆y + α∆x + β∆y , ta suy ra: ∆f ( x0 , y0 ) = A.∆x + B.∆y + α∆x + β∆y , f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) = A.∆x + α∆x trong ñó A, B là nh ng s không ph thu c ∆x, ∆y và f ( x0 + ∆ x , y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) α , β → 0 khi ( ∆x, ∆y ) → (0, 0) , ta nói f kh vi t i M0. ⇒ lim = A, ∆x →0 ∆x • Bi u th c A.∆x + B.∆y ñư c g i là vi phân c p 1 (toàn f ( x0 , y 0 + ∆ y ) − f ( x0 , y 0 ) ph n) c a f(x, y) t i M0(x0, y0) ng v i ∆x, ∆y . tương t lim =B. ∆y → 0 ∆y Ký hi u df(x0, y0). V y df ( x0 , y0 ) = f x/ ( x0 , y0 ).∆x + f y/ ( x0 , y0 ).∆y hay b) Vi phân c p cao df ( x0 , y0 ) = f x/ ( x0 , y0 )dx + f y/ ( x0 , y0 )dy . T ng quát: • Vi phân c p 2: df ( x, y ) = f x/ ( x, y )dx + f y/ ( x, y )dy , ( x, y ) ∈ D . d 2 f ( x, y ) = d ( df ( x, y ) ) . VD 7. = f x/2/ ( x, y )dx 2 + 2 f xy ( x, y )dxdy + f y// ( x, y )dy 2 // 2 Tính vi phân c p 1 c a z = x 2 e x − y + xy 3 − y 5 t i (–1; 1). −y VD 8. Tính vi phân c p 1 c a f ( x, y ) = e x 2 sin( xy 2 ) . • Vi phân c p n: n d n f ( x, y ) = d n −1 ( df ( x, y ) ) = ∑ Cn f x(kny)n −k ( x, y )dx k dy n − k . k ð nh lý k =0 • N u hàm s f(x, y) có các ñ o hàm riêng liên t c t i M0 trong mi n D ch a M0 thì f(x, y) kh vi t i M0. Trang 2
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH VD 9. Tính vi phân c p 2 c a f ( x, y ) = x 2 y 3 + xy 2 − 3x 3 y 5 2.3. ð o hàm c a hàm s h p t i (2; –1). • Cho hàm s f(u, v), trong ñó u = u(x) và v = v(x) là nh ng hàm s c a x. N u f(u, v) kh vi c a u, v và u(x), v(x) kh VD 10. Tính vi phân c p 2 c a f ( x, y ) = ln( xy 2 ) . df du dv df du dv vi c a x thì = f u/ . + f v/ . . V i , , là các dx dx dx dx dx dx c) ng d ng vi phân c p 1 vào tính g n ñúng giá tr hàm ñ o hàm toàn ph n theo x. s • N u hàm s f(x, y) kh vi c a x, y và y = y(x) là hàm s df dy f ( x0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) ≈ kh vi c a x thì = f x/ + f y/ . . . dx dx ≈ f ( x0 , y0 ) + f x/ ( x0 , y0 ).∆x + f y/ ( x0 , y0 ).∆y dz VD 12. Cho z = u 2 − uv + 2v 2 , u = e − x , v = sin x . Tính . 1,02 dx VD 11. Tính g n ñúng arctg . 0,97 df VD 13. Cho f ( x, y ) = ln( x 2 + y 2 ), y = sin 2 x . Tính . dx 2.4. ð o hàm c a hàm s n y • Cho hai bi n x, y th a phương trình F(x, y) = 0 (*). VD 17. Cho ln x 2 + y 2 = arctg . Tính y′ . x N u y = y(x) là hàm s xác ñ nh trong 1 kho ng nào ñó sao • Cho hàm s n hai bi n z = f(x, y) xác ñ nh b i cho khi th y(x) vào (*) ta ñư c ñ ng nh t th c thì y = y(x) F(x, y, z)) = 0, v i Fz/ ( x, y , z ) ≠ 0 ta có: là hàm s n xác ñ nh b i (*). • Fx/ ( x, y , z ) + Fz/ ( x, y , z ). z x ( x, y ) = 0 / VD 14. Fx/ ( x, y, z ) Xác ñ nh hàm s n y(x) trong phương trình x2 + y2 – 4 = 0. ⇒ z x ( x, y ) = − / , Fz/ ( x, y, z ) • ð o hàm hai v (*) theo x, ta ñư c: F / ( x, y ) • Fy/ ( x, y , z ) + Fz/ ( x, y , z ). z y ( x, y ) = 0 / Fx/ ( x, y ) + Fy/ ( x, y ). y ′ = 0 ⇒ y ′ = − x/ , Fy/ ( x, y ) ≠ 0 . Fy ( x, y ) Fy/ ( x, y , z ) ⇒ z y ( x, y ) = − / . VD 15. Cho xy − e x + e y = 0 . Tính y′ . Fz/ ( x, y , z ) VD 16. Cho y 3 + ( x 2 + 1) y + x 4 = 0 . Tính y′ . VD 18. Cho xyz = cos( x + y + z ) . Tính z x , z y . / / §3. C C TR C A HÀM HAI BI N S 3.1. ð nh nghĩa Chú ý. ði m M0 th a f x/ ( x0 , y0 ) = f y/ ( x0 , y0 ) = 0 ñư c g i • Hàm s z = f(x, y) ñ t c c tr (ñ a phương) t i ñi m là ñi m d ng, có th không là ñi m c c tr c a z. M0(x0; y0) n u v i m i ñi m M(x, y) khá g n nhưng khác b) ði u ki n ñ . Gi s f(x, y) có ñi m d ng là M0 và có M0 thì hi u f(M) – f(M0) có d u không ñ i. ñ o hàm riêng c p hai t i lân c n ñi m M0. • N u f(M) – f(M0) > 0 thì f(M0) là c c ti u và M0 là ñi m c c ti u; f(M) – f(M0) < 0 thì f(M0) là c c ñ i và M0 là ñi m ð t A = f x// ( x0 , y0 ), B = f xy/ ( x0 , y0 ), C = f y// ( x0 , y0 ) . 2 / 2 c c ñ i. C c ñ i và c c ti u g i chung là c c tr . Khi ñó: VD 1. Hàm s f(x, y) = x2 + y2 – xy ñ t c c ti u t i O(0; 0). + N u AC – B2 > 0 và A > 0 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñ i m M 0; 3.2. ð nh lý AC – B2 > 0 và A < 0 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m M0. a) ði u ki n c n + N u AC – B2 < 0 thì hàm s không có c c tr (ñi m M0 • N u hàm s z = f(x, y) ñ t c c tr t i M0(x0, y0) và t i ñó ñư c g i là ñi m yên ng a). hàm s có ñ o hàm riêng thì: + N u AC – B2 = 0 thì chưa th k t lu n hàm s có c c tr f x/ ( x0 , y0 ) = f y/ ( x0 , y0 ) = 0 . hay không (dùng ñ nh nghĩa ñ xét). 3.3. C c tr t do + N u ∆ < 0 thì k t lu n hàm s không ñ t c c tr . Cho hàm s z = f(x, y). ð tìm c c tr c a f(x, y) trên MXð + N u ∆ = 0 thì không th k t lu n (trong chương trình h n D, ta th c hi n các bư c sau: ch lo i này). Bư c 1. Tìm ñi m d ng M0(x0; y0) b ng cách gi i h :  f x/ ( x0 , y0 ) = 0  VD 2.  / . Tìm ñi m d ng c a hàm s z = xy(1 – x – y).  f y ( x0 , y0 ) = 0  Bư c 2. Tính A = f x// ( x0 , y0 ), B = f xy/ ( x0 , y0 ) , 2 / VD 3. Tìm c c tr c a hàm s z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8. C = f y/2/ ( x0 , y0 ) ⇒ ∆ = AC − B 2 . Bư c 3. VD 4. + N u ∆ > 0 và A > 0 thì k t lu n hàm s ñ t c c ti u t i Tìm c c tr c a hàm s z = x3 + y3 – 3xy – 2. M0 và c c ti u là f(M0); + N u ∆ > 0 và A < 0 thì k t lu n hàm s ñ t c c ñ i t i VD 5. M0 và c c ñ i là f(M0). Tìm c c tr c a hàm s z = 3x2y + y3 – 3x2 – 3y2 + 2. Trang 3
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 3.4. C c tr có ñi u ki n VD 7. Tìm c c tr c a hàm s f(x, y) = xy v i ñi u ki n: • Cho hàm s z = f(x, y) xác ñ nh trên lân c n c a ñi m 2x + 3y – 5 = 0. M0(x0; y0) thu c ñư ng cong ϕ ( x, y ) = 0 . N u t i ñi m M0 hàm s f(x, y) ñ t c c tr thì ta nói ñi m M0 là ñi m c c tr Phương pháp nhân t Lagrange c a f(x, y) v i ñi u ki n ϕ ( x, y ) = 0 . Bư c 1. L p hàm Lagrange: • ð tìm c c tr có ñi u ki n c a hàm s f(x, y) ta dùng L( x, y , λ ) = f ( x, y ) + λϕ ( x, y ) , λ là nhân t Lagrange. phương pháp kh ho c nhân t Lagrange. Phương pháp kh Bư c 2. Gi i h : T phương trình ϕ ( x, y ) = 0 , ta rút x ho c y th vào f(x, y)  L'x = 0  ' và tìm c c tr hàm 1 bi n.  Ly = 0 ⇒ ñi m d ng M0(x0; y0) ng v i λ0. VD 6. Tìm c c tr c a hàm s f(x, y) = x2 + y2 – xy + x + y  ' v i ñi u ki n x + y + 3 = 0.  Lλ = 0 Bư c 3 Bư c 4 T ñi u ki n (1) và (2), ta có: Tính d 2 L( x0 , y0 ) + N u d 2 L( x0 , y0 ) > 0 thì hàm s ñ t c c ti u t i M0. = L''x 2 ( x0 , y0 )dx 2 + 2 L''xy ( x0 , y0 )dxdy + L''y 2 ( x0 , y0 )dy 2 . + N u d 2 L( x0 , y0 ) < 0 thì hàm s ñ t c c ñ i t i M0. + N u d 2 L( x0 , y0 ) = 0 thì ñi m M0 không là ñi m c c tr . ði u ki n ràng bu c: VD 9. dϕ ( x0 , y0 ) = 0 ⇒ ϕ x/ ( x0 , y0 )dx + ϕ y ( x0 , y0 )dy = 0 (1) / Tìm c c tr c a hàm s z = 2x + y v i ñi u ki n x2 + y2 = 5. và VD 10. (dx)2 + (dy)2 > 0 (2). x2 y2 Tìm c c tr c a hàm s z = xy v i ñi u ki n + = 1. 8 2 Chương 2. TÍCH PHÂN B I §1. TÍCH PHÂN B I HAI (KÉP) 1.1. Bài toán m ñ u (th tích kh i tr cong) • Xét hàm s z = f(x, y) liên t c, không âm và m t m t tr có các ñư ng sinh song song Oz, ñáy là mi n ph ng ñóng D trong Oxy. ð tính th tích kh i tr , ta chia mi n D thành n ph n không d m lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si (i=1,2,…,n). Như v y kh i tr cong ñư c chia thành n kh i tr nh . Trong m i ∆Si ta l y ñi m Mi(xi; yi) tùy ý. Ta có th tích ∆Vi c a G i d i = max {d ( A, B ) A, B ∈ ∆Si } là ñư ng kính c a ∆Si . kh i tr nh là: n ∆Vi ≈ f ( xi ; yi )∆Si ⇒ V ≈ ∑ f ( xi , yi )∆Si . n i =1 Ta có: V = lim max d i →0 ∑ f ( x , y ) ∆S i =1 i i i . 1.2. ð nh nghĩa Ký hi u I = ∫∫ f ( x, y )dS . D • Cho hàm s z = f(x, y) xác ñ nh trên mi n ñóng gi i n i, ð nh lý. Hàm f(x, y) liên t c trong mi n b ch n, ñóng D thì ño ñư c D trong Oxy. Chia mi n D m t cách tùy ý thành n kh tích trong D. ph n không d m lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si • N u t n t i tích phân, ta nói f(x, y) kh tích; f(x, y) là hàm (i=1,2,…,n). Trong m i ∆Si ta l y ñi m Mi(xi; yi) tùy ý. Khi dư i d u tích phân; x, y là các bi n tích phân. n ñó I n = ∑ f ( xi , yi )∆Si ñư c g i là t ng tích phân c a hàm i =1 Chú ý 1) N u chia D b i các ñư ng th ng song song v i các tr c f(x, y) trên D ( ng v i phân ho ch ∆Si và các ñi m Mi). n t a ñ thì ∆Si = ∆xi.∆yi hay dS = dxdy. N u I = lim max d i →0 ∑ f ( x , y ) ∆S i =1 i i i t n t i h u h n, không ph V y I = ∫∫ f ( x, y )dS = ∫∫ f ( x, y )dxdy . D D thu c vào phân ho ch ∆Si và cách ch n ñi m Mi thì s I ñư c g i là tích phân b i hai c a f(x, y) trên D. 2) ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (u, v )dudv . D D Trang 4
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH Nh n xét • Tính ch t 3 1) ∫∫ dxdy = S ( D ) (di n tích mi D n D). 2) f(x, y) > 0, liên t c ∀(x, y) ∈ D thì ∫∫ f ( x, y )dxdy D là th tích hình tr có các ñư ng sinh song song v i Oz, hai ñáy gi i h n b i các m t z = 0 và z = f(x, y). 1.3. Tính ch t c a tích phân kép • Tính ch t 1. Hàm s f(x, y) liên t c trên D thì f(x, y) kh tích trên D. N u chia D thành D1 và D2 b i ñư ng cong có di n tích • Tính ch t 2. Tính tuy n tính: b ng 0 thì: ∫∫ [ f ( x, y ) ± g ( x, y )]dxdy = ∫∫ fdxdy ± ∫∫ gdxdy ; D D D ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdy . D D1 D2 ∫∫ kf ( x, y )dxdy = k ∫∫ f ( x, y )dxdy, k ∈ ℝ . D D 1.4. Phương pháp tính tích phân kép Tương t , D = {( x, y ) : x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ), c ≤ y ≤ d } thì: 1.4.1. ðưa v tích phân l p d  x2 ( y )  d x2 ( y ) ð nh lý (Fubini) ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫  ∫ f ( x, y )dx  dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx .   • Gi s tích phân ∫∫ f ( x, y )dxdy D t n t i, v i D c  x1 ( y )  c x1 ( y ) D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x )} và v i m i Chú ý y2 ( x ) 1) Khi D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } = [a , b] × [c, d ] x ∈ [a, b] c ñ nh ∫ y1 ( x ) f ( x, y )dy t n t i thì: (hình ch nh t) thì: b d d b b  y2 ( x )  b y2 ( x ) ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫  ∫  f ( x, y )dy  dx = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy .  D a c (hoán v c n). c a D a  y1 ( x )  a y1 ( x ) 2) D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x )} và VD 1. Xác ñ nh c n tích phân l p khi tính tích phân f(x, y) = u(x).v(y) thì: I = ∫∫ f ( x, y )dxdy trong các trư ng h p sau: b y2 ( x ) D ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ u( x )dx ∫ v ( y )dy . D a y1 ( x ) 1) D gi i h n b i các ñư ng y = 0, y = x và x = a. 2) D gi i h n b i các ñư ng y = 0, y = x2 và x + y = 2. Tương t , D = {( x, y ) : x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ), c ≤ y ≤ d } thì: d x2 ( y ) VD 2. ∫∫ D f ( x, y )dxdy = ∫ v ( y )dy c ∫ x1 ( y ) u( x )dx . Tính I = ∫∫ xydxdy v i D gi i h n b i y = x – 4, y2 = 2x. D 3) N u D là mi n ph c t p thì ta chia D ra thành nh ng mi n ñơn gi n như trên. ð i th t l y tích phân d x2 ( y ) y2 ( x ) I = ∫ dy ∫ b f ( x, y )dx I = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy c x1 ( y ) a y1 ( x ) Trang 5
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 1.4.2. Phương pháp ñ i bi n VD 3. ð i th t l y tích phân trong các tích phân sau: a) Công th c ñ i bi n t ng quát ð nh lý. Gi s x = x(u, v), y = y(u, v) là hai hàm s có các 1 2 − x2 ñ o hàm riêng liên t c trên mi n ñóng gi i n i Duv trong mp 1) I = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy ; Ouv. G i Dxy = {( x, y ) : x = x (u, v ), y = y (u, v ), (u, v ) ∈ Duv } . 0 x 2y N u hàm f(x, y) kh tích trên Dxy và ñ nh th c Jacobi 3 2) I = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx ; ∂ ( x, y ) J= ≠ 0 trong Duv thì: 1 0 ∂ (u, v ) 1 x 3 1 3) I = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx ∫ f ( x, y )dy . ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(u, v ), y (u, v )) Dxy Duv J dudv . 0 2 1 2 x x 9 9 ∂ ( x, y ) xu xv / / 1 1 Trong ñó: J = = / = = / / . ∂ (u, v ) yu yv/ ∂ (u, v ) u x u y ∂ ( x, y ) / / vx v y VD 4. Cho mi n Duv là hình tam giác O(0;0), A(2;0), B(0;2) b) ð i bi n trong t a ñ c c trong mpOuv. G i mi n Dxy là nh c a Duv qua phép bi n hình g: (x, y) = g(u, v) = (u+v, u2–v). 1 Tính tích phân c a hàm f ( x, y ) = trên mi n 1+ 4x + 4 y bi n hình Dxy = g(Duv). VD 5. Cho mi n Duv là ph n tư hình tròn ñơn v trong mpOuv. G i mi n Dxy là nh c a Duv qua phép bi n hình g: (x, y) = g(u, v) = (u2–v2, 2uv). Tính tích phân c a hàm 1 f ( x, y ) = trên mi n bi n hình Dxy. x + y2 2  x = r cos ϕ • ð i bi n:  , v i r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π VD 6. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i b n Parapol:  y = r sin ϕ y = x2, y = 2x2, x = y2 và x = 3y2. ho c −π ≤ ϕ ≤ π . Khi ñó, mi n Dxy tr thành: Chú ý Drϕ = {( r, ϕ ) : ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2 , r1 (ϕ ) ≤ r ≤ r2 (ϕ )} 1) ð i bi n trong t a ñ c c thư ng dùng khi biên D là ∂ ( x , y ) xr / / xϕ cos ϕ − r sin ϕ ñư ng tròn ho c elip. và J = = / = =r. ∂ ( r, ϕ ) yr / yϕ sin ϕ r cos ϕ  x = r cos ϕ 2) ð tìm r1 (ϕ ), r2 (ϕ ) ta thay  vào phương  y = r sin ϕ V y ta có: trình c a biên D. 3) N u c c O n m trong D và m i tia t O c t biên D không ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( r cosϕ , r sin ϕ )rdrdϕ Dxy Drϕ quá 1 ñi m thì: 2π r (ϕ ) ϕ2 r2 (ϕ ) . ∫∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ = ∫ dϕ ∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ ) rdr . = ∫ dϕ ∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ )rdr Drϕ 0 0 ϕ1 r1 (ϕ ) 4) N u c c O n m trên biên D thì: VD 9. Tính tích phân I = ∫∫ e − ( x 2 + y2 ) dxdy v i D là hình tròn ϕ2 r (ϕ ) ∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ = ϕ∫ dϕ ∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ ) rdr . D Drϕ 0 x2 + y 2 ≤ R2 . 1 5) N u biên D là elip thì ñ t: VD 10. Tính di n tích mi n D gi i h n b i:  x = r a cos ϕ y = –x, x 2 + y 2 = 3 x 2 + y 2 − 3x và y ≥ 0 .  ⇒ Drϕ = {( r , ϕ ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 1} .  y = r b sin ϕ Công th c Walliss VD 7. Bi u di n tích phân ∫∫ f ( x, y )dxdy trong t a ñ c c.  (n − 1)!!  n !! , n leû π π D  2 2 2 2 Bi t mi n D là mi n ph ng n m ngoài (C1): (x – 1) + y = 1 ∫ sin n xdx = ∫ cos n xdx =  . và n m trong (C2): (x – 2)2 + y2 = 4. 0 0  π . (n − 1)!! , n chaün x2 y2  2 n !! VD 8. Tính di n tích hình ellip: 2 + 2 ≤ 1 . a b Trang 6
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH M T S M T B C HAI TRONG KHÔNG GIAN Oxyz • Trong không gian Oxyz, m t b c hai là t p h p t t c các x2 y 2 z2 ñi m M(x; y; z) có t a ñ th a phương trình: 5) + − = 0 (nón eliptic); a 2 b2 c 2 Ax2 + 2Bxy + 2Cxz+ Dy2 + 2Eyz + Fz2 + 2Gx + 2Hy+ 2Kz x2 y2 + L = 0. 6) 2 + 2 = 2 z (parabolit eliptic); Trong ñó A, B, C, D, E, F không ñ ng th i b ng 0. a b • Các d ng chính t c c a m t b c hai: x2 y2 7) 2 − 2 = 2 z (parabolit hyperbolic – yên ng a); 1) x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (m t c u); a b x2 y2 z2 x2 y2 2) + + = 1 (m t elipxoit); 8) 2 + 2 = 1 (m t tr eliptic); a 2 b2 c 2 a b x2 y2 z2 x2 y2 3) 2 + 2 − 2 = 1 (hyperboloit 1 t ng); 9) 2 − 2 = 1 (m t tr hyperbolic); a b c a b x 2 y 2 z2 10) y 2 = 2 px (m t tr parabolic). 4) 2 + 2 − 2 = −1 (hyperboloit 2 t ng); a b c Trang 7
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §2. TÍCH PHÂN B I BA 2.1. Bài toán m ñ u (kh i lư ng v t th ) 2.2. ð nh nghĩa • Gi s ta c n tính kh i lư ng c a v t th V không ñ ng • Cho hàm s f(x, y, z) xác ñ nh trong mi n ño ñư c V c a ch t, bi t m t ñ (kh i lư ng riêng) t i P(x, y, z) là không gian Oxyz. Chia mi n V m t cách tùy ý thành n ph n ρ = ρ ( P ) = ρ ( x, y , z ) . Ta chia V tùy ý thành n ph n không không d m lên nhau, th tích m i ph n là ∆Vi (i=1,2,…,n). d m lên nhau, th tích m i ph n là ∆Vi (i=1,2,…,n). Trong Trong m i ∆Vi ta l y Pi(xi; yi; zi) tùy ý và l p t ng tích phân m i ∆Vi ta l y ñi m Pi(xi; yi; zi) và ñư ng kính c a ∆Vi là n I n := ∑ f ( xi , yi , zi ) ∆Vi . di. Kh i lư ng V x p x : i =1 n n m ≈ ∑ ρ ( Pi ) ∆Vi = ∑ ρ ( xi , yi , zi ) ∆Vi . n i =1 i =1 N u I = lim max d i → 0 ∑ f ( x , y , z )∆V t i =1 i i i i n t i h u h n, không n ph thu c vào cách chia V và cách ch n ñi m Pi thì s th c N ut nt i lim max d i →0 ∑ ρ ( x , y , z )∆V i =1 i i i i thì ñó là kh i lư ng m I ñư c g i là tích phân b i ba c a f(x, y, z) trên V. c a v t th V. Ký hi u I = ∫∫∫ f ( x, y , z )dV . V ð nh lý. Hàm f(x, y, z) liên t c trong mi n b ch n, ñóng V 3) Tích phân b i ba có các tính ch t như tích phân kép. thì kh tích trong V. • N u t n t i tích phân, ta nói f(x, y, z) kh tích; f(x, y, z) là 2.3. Phương pháp tính tích phân b i ba hàm dư i d u tích phân; x, y, z là các bi n tích phân. 2.3.1. ðưa v tích phân l p Nh n xét a) Gi s mi n V có gi i h n trên b i m t z = z2(x, y), gi i 1) N u chia V b i các ñư ng th ng song song v i các tr c h n dư i b i z = z1(x, y), gi i h n xung quanh b i m t tr t a ñ thì ∆Vi = ∆xi.∆yi.∆zi hay dV = dxdydz. có ñư ng sinh song song v i tr c Oz. G i D là hình chi u c a V trên mpOxy. V y I = ∫∫∫ f ( x, y , z )dV = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz . Khi ñó: V V  z2 ( x , y )  2) N u f ( x, y , z ) ≥ 0 trên V thì I = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz là ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫  ∫ f ( x, y , z )dz  dxdy  D  z1 ( x , y )  V V  . kh i lư ng v t th V, v i kh i lư ng riêng v t ch t chi m z2 ( x , y ) th tích V là f(x, y, z). = ∫∫ dxdy ∫ f ( x, y , z )dz N u f(x, y, z) = 1 thì I là th tích V. D z1 ( x , y ) • N u D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x )} thì:  y2 ( x , z )  b y2 ( x ) z2 ( x , y ) ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫  ∫ f ( x, y , z )dy  dxdz   ∫∫∫ V f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dx a ∫ y1 ( x ) dy ∫ z1 ( x , y ) f ( x, y , z )dz . V D  y1 ( x , z )  . y2 ( x , z ) • N u D = {( x, y ) : x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ), c ≤ y ≤ d } thì: = ∫∫ dxdz ∫ f ( x, y , z )dy D y1 ( x , z ) d x2 ( y ) z2 ( x , y ) • N u D = {( x, z ) : a ≤ x ≤ b, z1 ( x ) ≤ z ≤ z2 ( x )} thì: ∫∫∫ V f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dy c ∫ x1 ( y ) dx ∫ z1 ( x , y ) f ( x, y , z )dz . b z2 ( x ) y2 ( x , z ) ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dx ∫ dz ∫ f ( x, y , z )dy . b) G i D là hình chi u c a V trên mpOxz. V a z1 ( x ) y1 ( x , z ) Gi s mi n V có gi i h n (theo chi u ngư c v i tia Oy) • N u D = {( x, z ) : x1 ( z ) ≤ x ≤ x2 ( z ), e ≤ z ≤ f } thì: b i hai m t y = y2(x, z) và m t y = y1(x, z), gi i h n xung f x2 ( z ) y2 ( x , z ) quanh b i m t tr có ñư ng sinh song song Oy. Khi ñó: ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ dz ∫ V e x1 ( z ) dx ∫ y1 ( x , z ) f ( x, y , z )dy . Trang 8
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH c) G i D là hình chi u c a V trên mpOyz. • N u D = {( y , z ) : y1 ( z ) ≤ y ≤ y2 ( z ), e ≤ z ≤ f } Gi s mi n V có gi i h n (theo chi u ngư c v i tia Ox) thì: b i hai m t x = x2(y, z) và m t x = x1(y, z), gi i h n xung f y2 ( z ) x2 ( y , z ) quanh b i m t tr có ñư ng sinh song song Ox. Khi ñó: ∫∫∫ V f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dz e ∫ y1 ( z ) dy ∫ x1 ( y , z ) f ( x, y , z )dx .  x2 ( y , z )  ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫  ∫ f ( x, y , z )dx  dydz  D  x1 ( y , z )  V  . ð c bi t x2 ( y , z ) D = {( x, y , z ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , e ≤ z ≤ f } = ∫∫ dydz ∫ f ( x, y , z )dx •N u D x1 ( y , z ) = [a, b] × [c, d ] × [e, f ] thì: • N u D = {( y , z ) : c ≤ y ≤ d , z1 ( y ) ≤ z ≤ z2 ( y )} thì: b d f ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x, y , z )dz . d z2 ( y ) x2 ( y , z ) ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ dy ∫ V c z1 ( y ) dz ∫ x1 ( y , z ) f ( x, y , z )dx . V a c e 2.3.2. ð i bi n t ng quát VD 1. Tính tích phân I = ∫∫∫ 8 xyzdxdydz v i  x = x (u, v , w) xu xv/ xw / /  ∂ ( x, y , z ) V • ð t  y = y (u, v, w) và J = = yu yv y w . / / / V = [1, 2] × [–1, 3] × [0, 2].  z = z ( u , v , w) ∂ (u, v , w)  zu zv/ z w / / 1 1 2 Gi s các hàm x, y, z có ñ o hàm riêng liên t c trong mi n VD 2. Tính tích phân l p I = ∫ dx ∫ dy ∫ (4 + z )dz và d ng ñóng, gi i n i ño ñư c Vuvw trong không gian Ouvw và −1 x2 0 J ≠ 0 thì: mi n l y tích phân V. ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz V VD 3. Tính tích phân I = ∫∫∫ ydxdydz v i V gi i h n b i . V = ∫∫∫ f ( x (u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)). J .dudvdw Vuvw x + y + z – 1 = 0 và 3 m t ph ng t a ñ . VD 4. Tính tích phân I = ∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz v i Ta có: V xr/ / xϕ xθ/ ∂ ( x, y, z ) J= = yr/ / yϕ yθ/ = r 2 sin θ . V : −x + y + z + x − y + z + x + y − z ≤ 2 . ∂( r , ϕ , θ ) zr/ zϕ/ zθ/ x2 y 2 z 2 VD 5. Tính th tích c a kh i elipxoit V : + + ≤ R2 . Khi ñó ta có: a 2 b2 c 2 2.3.3. ð i bi n trong t a ñ tr ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (r cosϕ , r sin ϕ , z ).r.drdϕ dz . V Vrϕ z  x = r cos ϕ  VD 6. Tính th tích kh i V gi i h n b i các m t ð t  y = r sin ϕ , v i x 2 + y 2 = 4 − z , x 2 + y 2 ≥ 2 và z = 0. z = z  VD 7. Tính tích phân I = ∫∫∫ z x 2 + y 2 dxdydz v i V là r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π ho c V −π ≤ ϕ ≤ π . mi n hình tr gi i h n b i: x 2 + y 2 = 2 y , z = 0 và z = 1. VD 8. Tính tích phân I = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz v i V là Ta có: V xr/ / xϕ x z/ cos ϕ − r sin ϕ 0 mi n hình nón gi i h n b i các m t: x + y = z và z = 1. ∂ ( x, y, z ) J= = yr/ y = sin ϕ r cos ϕ 0 =r. 2 2 2 / / yϕ ∂(r,ϕ , z ) z zr/ zϕ/ z / z 0 0 1 2.3.3. ð i bi n trong t a ñ c u  x = r sin θ cos ϕ Khi ñó ta có:  ð t  y = r sin θ sin ϕ , v i  z = r cos θ ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz  V . r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π ho c = ∫∫∫ f ( r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cos θ ).r 2 sin θ .drdϕ dθ −π ≤ ϕ ≤ π . Vrϕθ Trang 9
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §3. NG D NG C A TÍCH PHÂN B I 3.1. Di n tích, th tích 1 (xem nh n xét tích phân b i hai, ba). VD 9. Tính tích phân I = ∫∫∫ dxdydz v i V là 3.2. Giá tr trung bình c a hàm s trên mi n ñóng V x + y2 + z2 2 • Giá tr trung bình c a hàm s f(x, y) trên mi n ñóng D là: mi n gi i h n b i các m t c u: 1 S ( D ) ∫∫ x 2 + y 2 + z 2 = 1 và x 2 + y 2 + z 2 = 4 . f = f ( x, y )dxdy . D VD 1. Tính giá tr trung bình c a f(x, y) = xcosxy trong VD 10. Tính tích phân I = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdydz v i V là hình ch nh t 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ 1 . • Giá tr trung bình c a hàm s f(x, y, z) trên mi n ñóng Ω V mi n gi i h n b i: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 và z ≥ 0 . 1 V (Ω) ∫∫ là: f = f ( x, y , z )dxdydz . Ω VD 2. Tính giá tr trung bình c a f(x, y, z) = xyz trong hình l p phương [0, 2] × [0, 2] × [0, 2]. 3.3. Kh i lư ng 3.4. Momen tĩnh • Cho m t b n ph ng chi m mi n D ñóng trong Oxy có kh i ð nh nghĩa lư ng riêng (m t ñ kh i lư ng) t i ñi m M(x, y) thu c D là • Momen tĩnh c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t t i hàm ρ ( x, y ) liên t c trên D. Kh i lư ng c a b n ph ng là: ñi m M(x, y) trong Oxy ñ i v i tr c Ox, Oy theo th t là: My=0 = my, Mx=0 = mx. m = ∫∫ ρ ( x, y )dxdy . • Momen tĩnh c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t t i D ñi m M(x, y, z) trong Oxyz ñ i v i các m t ph ng t a ñ • Cho m t v t th chi m mi n V ñóng trong Oxyz có kh i Oxy, Oyz, Oxz theo th t là: lư ng riêng t i ñi m M(x, y, z) thu c V là hàm ρ ( x, y , z ) Mz=0 = mz, Mx=0 = mx, My=0 = my. liên t c trên V. Kh i lư ng c a v t th là: Công th c tính m = ∫∫∫ ρ ( x, y , z )dxdydz . • Momen tĩnh c a b n ph ng chi m di n tích D trong Oxy V có kh i lư ng riêng t i ñi m M(x, y) là hàm ρ ( x, y ) liên VD 3. Tính kh i lư ng b n ph ng chi m mi n D gi i h n t c trên D là: b i x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 và y ≥ 0 . Bi t kh i lư ng riêng là M y = 0 = ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy , M x = 0 = ∫∫ x ρ ( x, y )dxdy . hàm ρ ( x, y ) = xy . D D 3.5. Tr ng tâm • Momen tĩnh c a v t th chi m mi n V trong Oxyz có kh i • Cho b n ph ng chi m di n tích D trong Oxy có kh i lư ng lư ng riêng t i ñi m M(x, y, z) là hàm ρ ( x, y , z ) liên t c riêng t i ñi m M(x, y) là hàm ρ ( x, y ) liên t c trên D. Khi trên V là: ñó, t a ñ tr ng tâm G c a b n ph ng là: M z = 0 = ∫∫∫ z ρ ( x, y , z )dxdydz , ∫∫ xρ ( x, y )dxdy 1 x ρ ( x, y )dxdy , m ∫∫ V xG = D = M x = 0 = ∫∫∫ x ρ ( x, y , z )dxdydz, ∫∫ ρ ( x, y )dxdy D D V M y =0 = ∫∫∫ y ρ ( x, y , z )dxdydz. ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy 1 y ρ ( x, y )dxdy. m ∫∫ V yG = D = ∫∫ ρ ( x, y )dxdy D D Khi b n ph ng ñ ng ch t thì ρ ( x, y ) là h ng s nên: Khi v t th ñ ng ch t thì ρ ( x, y , z ) là h ng s nên: 1 1 1 S ( D ) ∫∫ S ( D ) ∫∫ xG = xdxdy, yG = ydxdy . xG = ∫∫∫ xdxdydz , D D V V • Cho v t th chi m th tích V trong Oxyz có kh i lư ng 1 riêng t i ñi m M(x, y, z) là hàm ρ ( x, y , z ) liên t c trên V. yG = V ∫∫∫ ydxdydz, . V Khi ñó, t a ñ tr ng tâm G c a v t th là: 1 V ∫∫∫ 1 zG = zdxdydz. xG = ∫∫∫ x ρ ( x, y , z )dxdydz , V m V VD 4. Tìm t a ñ tr ng tâm hình ph ng D gi i h n b i 1 x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1 . Bi t ρ ( x, y ) = 2 x + y . y ρ ( x, y , z )dxdydz , m ∫∫∫ yG = V VD 5. Tìm t a ñ tr ng tâm c a v t th ñ ng ch t chi m th 1 z ρ ( x, y , z )dxdydz. tích V gi i h n b i m t nón z 2 = x 2 + y 2 , z ≥ 0 và m t c u m ∫∫∫ zG = V x2 + y2 + z2 = 1 . Trang 10
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 3.4. Momen quán tính ð nh nghĩa Công th c tính • Momen quán tính c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t t i ñi m M(x, y) ñ i v i tr c Ox, Oy và g c t a ñ O theo • Cho b n ph ng chi m di n tích D trong mpOxy có kh i th t là: lư ng riêng t i ñi m M(x, y) là hàm ρ ( x, y ) liên t c trên D. Ix = my2, Iy = mx2 và IO = Ix + Iy = m(x2 + y2). Khi ñó: • Momen quán tính c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t t i ñi m M(x, y, z) ñ i v i tr c Ox, Oy, Oz và g c t a ñ O I x = ∫∫ y 2 ρ ( x, y )dxdy , D theo th t là: Ix = m(y2 + z2), Iy = m(x2 + z2), Iz = m(x2 + y2) I y = ∫∫ x 2 ρ ( x, y )dxdy , và IO = Ix + Iy + Iz = m(x2 + y2 + z2). D • Momen quán tính c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t I O = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y )dxdy. t i ñi m M(x, y, z) ñ i v i các m t ph ng t a ñ Oxy, Oyz, D Oxz th t là: Iz=0 = mz2, Ix=0 = mx2, Iy=0 = my2. • Cho v t th chi m mi n V trong Oxyz có kh i lư ng riêng I z = 0 = ∫∫∫ z 2 ρ ( x, y , z )dxdydz , t i ñi m M(x, y, z) là hàm ρ ( x, y , z ) liên t c trên V. Khi V ñó: và I x = 0 = ∫∫∫ x 2 ρ ( x, y , z )dxdydz , I x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) ρ ( x, y , z )dxdydz, V V I y = 0 = ∫∫∫ y 2 ρ ( x, y , z )dxdydz. I y = ∫∫∫ ( x + z 2 2 ) ρ ( x, y, z)dxdydz, V V I z = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y, z )dxdydz , VD 6. Tính Ix, Iy c a hình D gi i h n b i y2 = 1 – x, x = 0, V y = 0. Bi t kh i lư ng riêng là ρ ( x, y ) = y . I O = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 ) ρ ( x, y , z )dxdydz VD 7. Tính IO c a hình tròn x 2 + y 2 − 2 Rx ≤ 0 . Bi t ρ ( x, y ) = x 2 + y 2 . V Chương 3. TÍCH PHÂN ðƯ NG – TÍCH PHÂN M T §1. TÍCH PHÂN ðƯ NG LO I I n 1.1. ð nh nghĩa Gi i h n lim max ∆si → 0 ∑ f ( x , y )∆s i =1 i i i t n t i ñư c g i là tích phân ñư ng lo i 1 c a f(x, y) trên ñư ng cong L. • Gi s ñư ng cong L trong m t ph ng Oxy có phương trình tham s x = x (t ) , y = y (t ) v i a ≤ t ≤ b và f(x, y) là Ký hi u là ∫ f ( x, y )ds . L hàm s xác ñ nh trên L. Chia L thành n cung không d m lên Nh n xét nhau b i các ñi m chia ng v i a = t0 < t1 < ... < tn = b . 1) Tích phân ñư ng lo i 1 có t t c các tính ch t c a tích G i ñ dài cung th i là ∆si . Trên cung th i l y ñi m phân xác ñ nh. n 2) Tích phân ñư ng lo i 1 không ph thu c vào chi u c a M i ( xi , yi ) . T ng I n = ∑ f ( xi , yi ) ∆si ñư c g i là t ng tích i =1 L: ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y )ds . phân ñư ng (lo i 1) c a hàm f(x, y) trên ñư ng cong L. AB BA 1.2. Phương pháp tính b) ðư ng cong L trong Oxy có phương trình t ng quát a) ðư ng cong L có phương trình tham s • N u L có phương trình y = y ( x ) v i a ≤ x ≤ b thì: • N u L có phương trình x = x (t ) , y = y (t ) v i a ≤ t ≤ b b f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y ( x )) 1 + ( y x ) dx . 2 ∫ / thì: b L a ( xt/ ) + ( yt/ ) dt . 2 2 ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x (t ), y (t )) L a • N u L có phương trình x = x ( y ) v i a ≤ y ≤ b thì: • N u L trong không gian có phương trình x = x (t ) , b y = y (t ) , z = z (t ) v i a ≤ t ≤ b thì: ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x ( y ), y ) (x ) / 2 y + 1dy . L a b ∫ f ( x, y , z )ds = ∫ f ( x (t ), y (t ), z (t )) ( x ) + ( y ) + ( z ) dt . / 2 t / 2 t / 2 t L a Trang 11
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH ð c bi t • N u L có phương trình y = α (h ng s ) v i a ≤ x ≤ b thì: b VD 1. Tính ∫ zds v L i L là ñư ng xo n c tr tròn xoay có ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x, α )dx . L a phương trình x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 ≤ t ≤ 2π . • N u L có phương trình x = α (h ng s ) v i a ≤ y ≤ b thì: b VD 2. Tính ∫ ( x + y )ds v i L là tam giác có các ñ nh ∫ f ( x, y )ds = ∫ f (α , y )dy . L L a O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1). c) ðư ng cong L trong t a ñ c c • N u L ñư c cho trong t a ñ c c r = r (ϕ ) v i α ≤ ϕ ≤ β VD 3. Tính ∫ xyds v i L là ph n giao tuy n gi a m t thì ta xem ϕ là tham s . Khi ñó, phương trình c a L là L x = r (ϕ ) cos ϕ , y = r (ϕ ) sin ϕ , α ≤ ϕ ≤ β và: z = 2 − x 2 − 2 y 2 và z = x 2 n m trong góc ph n tám th β nh t t ñi m A(0; 1; 0) ñ n B(1; 0; 1). f ( x, y )ds = ∫ f ( r (ϕ ) cos ϕ , r (ϕ ) sin ϕ ) r 2 + ( rϕ/ ) dϕ . 2 ∫ L α 1.3. ng d ng Tr ng tâm G c a L là: 1) ð dài cung L là ∫ ds , v L i f(x, y) = 1 ho c f(x, y, z) = 1. 1 mL 1 xG = ∫ x ρ ( x, y , z )ds , yG = ∫ y ρ ( x, y , z )ds , mL 2) N u dây v t d n có hình d ng L và hàm m t ñ kh i 1 lư ng ρ ( x, y ) ph thu c vào ñi m M(x, y) trên L thì kh i zG = ∫ z ρ ( x, y, z )ds . mL lư ng c a dây v t d n là m = ∫ ρ ( x, y )ds . VD 4. Tính ñ dài cung tròn x 2 + y 2 − 2 x = 0 n m trong L Tr ng tâm G c a L là: 1 3 góc th nh t t A(2; 0) ñ n B  ; . 1 1 xG = ∫ x ρ ( x, y )ds , yG = ∫ y ρ ( x, y )ds . 2 2  mL mL VD 5. Cho m t dây thép d ng n a ñư ng tròn trong mpOyz 3) N u dây v t d n có hình d ng L và hàm m t ñ kh i v i phương trình y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 . Bi t m t ñ kh i lư ng lư ng ρ ( x, y , z ) ph thu c vào ñi m M(x, y, z) trên L thì ρ ( x, y , z ) = 2 − z . kh i lư ng c a dây v t d n là m = ∫ ρ ( x, y , z )ds . Tìm kh i lư ng và tr ng tâm c a dây thép. L §2. TÍCH PHÂN ðƯ NG LO I II 2.1. Bài toán m ñ u • Tính công sinh ra do l c F = F ( M ) tác d ng lên ch t Khi ñó, công W sinh ra: n n ñi m M(x, y) di chuy n d c theo ñư ng cong L. W ≈ ∑Wi = ∑ F ( M i ) Ai −1 Ai N u L là ño n th ng AB thì công sinh ra là i =1 i =1 W = F . AB = F AB cos F , AB . ( ) n = ∑ [ P (ξi ,ηi )∆xi + Q (ξi ,ηi ) ∆yi ]. i =1 Chia L thành n cung nh b i các ñi m chia A0 , A1 ,..., An . V y Trên m i cung Ai −1 Ai l y ñi m Mi(xi, yi) tùy ý. Chi u n F ( M i ) và Ai −1 Ai lên tr c Ox, Oy ta ñư c: W= lim max Ai −1 Ai → 0 ∑ [ P(ξ ,η )∆x i =1 i i i + Q (ξi ,ηi ) ∆yi ] . F ( M i ) = P(ξi ,ηi ).i + Q (ξi ,ηi ). j và Ai −1 Ai = ∆xi .i + ∆yi . j . 2.2. ð nh nghĩa • Cho hai hàm P(x, y), Q(x, y) xác ñ nh trên ñư ng cong L. Ký hi u là ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy . L Chia L thành n cung nh b i các ñi m chia A0 , A1 ,..., An . Trên m i cung Ai −1 Ai l y ñi m Mi(xi, yi) tùy ý. G i Nh n xét Ai −1 Ai = ( ∆xi , ∆yi ) . T ng 1) Tích phân ñư ng lo i 2 có t t c các tính ch t như tích n phân xác ñ nh. I n = ∑ [ P (ξi ,ηi )∆xi + Q (ξi ,ηi )∆yi ] ñư c g i là t ng tích i =1 2) Tích phân ñư ng lo i 2 ph thu c vào chi u c a L vì khi phân ñư ng (lo i 2) c a hàm P(x, y) và Q(x, y) trên ñư ng thay ñ i chi u thì Ai −1 Ai = ( ∆xi , ∆yi ) ñ i d u, do ñó khi vi t cong L. Gi i h n lim I n t n t i ñư c g i là tích phân ñư ng tích phân ta c n ghi rõ ñi m ñ u và cu i: max Ai−1 Ai → 0 lo i 2 c a P(x, y) và Q(x, y) trên ñư ng cong L. ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = − ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy . AB BA Trang 12
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 3) T ñ nh nghĩa t ng tích phân, ta có th vi t: 2.3. Phương pháp tính a) ðư ng cong L có phương trình tham s ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = ∫ P( x, y )dx + ∫ Q ( x, y )dy . • N u L có phương trình x = x (t ) , y = y (t ) thì: AB AB AB ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy AB • N u L là ñư ng cong ph ng, kín l y theo chi u dương tB (ngư c chi u kim ñ ng h ) thì ta dùng ký hi u: = ∫  P( x (t ), y (t )) xt/ + Q ( x(t ), y (t )) yt/  dt.   ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy . L tA • N u L trong không gian có pt x = x (t ) , y = y (t ) , z = z (t ) : • ð nh nghĩa tương t : ∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z)dy + R( x, y, z )dz AB ∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z)dy + R( x, y, z)dz . tB  P ( x(t ), y (t ), z (t )) xt/ + Q ( x (t ), y (t ), z (t )) yt/  L = ∫  dt. tA   + R( x (t ), y (t ), z (t )) zt/  b) ðư ng cong L trong Oxy có phương trình t ng quát ð c bi t • N u L có phương trình y = α (h ng s ) thì: • N u L có phương trình y = y ( x ) thì: xB xB ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = ∫ P( x, α )dx . ∫ Pdx + Qdy = ∫  P( x, y ( x )) + Q ( x, y ( x)). y x  dx . /   AB xA AB xA • N u L có phương trình x = α (h ng s ) thì: yB • N u L có phương trình x = x ( y ) thì: ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = ∫ Q (α , y )dy . yA yB AB ∫ Pdx + Qdy = ∫  P( x( y ), y ). x + Q ( x ( y ), y )  dy . /   x2 y2 ∫ xdy − ydx v i L là elip + = 1 l y theo y yA VD 1. Tính AB L a 2 b2 chi u dương. 2.4. Công th c Green (liên h v i tích phân kép) VD 2. Tính ∫ ( x − y )dx + ( x + y )dy L v i L là ñư ng n i • Cho mi n D là mi n liên thông, b ch n, có biên L Jordan ñi m O(0; 0) v i A(1; 1) trong các trư ng h p: kín trơn t ng khúc. Chi u dương c a L là chi u mà khi di a) ñư ng th ng y = x; chuy n ta th y mi n D n m v phía tay trái. b) ñư ng y = x2; c) ñư ng y = x . VD 3. Tính ∫ dx − ydy + dz L v i L là ñư ng xo n c tr tròn • N u các hàm s P(x, y) và Q(x, y) có các ñ o hàm riêng xoay có phương trình x = cos t , y = sin t , z = 2t t ñi m c p 1 liên t c trên D thì: A(1; 0; 0) ñ n B(0; 1; π ) . ∫∫ (Q − Py/ )dxdy = ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy . / x D L H qu 2.5. ði u ki n tích phân ñư ng không ph thu c ñư ng 1 l y tích phân S ( D ) = ∫ xdy − ydx . ð nh lý 2 ∂D • Gi s các hàm s P(x, y), Q(x, y) và các ñ o hàm riêng c p 1 c a chúng liên t c trong mi n ñơn liên D. Khi ñó, b n x2 y2 m nh ñ sau tương ñương: VD 4. Tính di n tích c a elip + = 1. a 2 b2 1) Py/ = Qx/ , ∀( x, y ) ∈ D . VD 5. Tính ∫ ( xarctgx + y 2 )dx + ( x + 2 xy + y 2 e − y )dx , v i L 2) ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0 L d c theo m i ñư ng kín L L n m trong D. là x 2 + y 2 − 2 y = 0 . xdy − ydx 3) ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy , trong ñó AB n m trong D, ch VD 6. Tính ∫ 2 trong các trư ng h p: AB L x + y2 ph thu c vào hai mút A, B mà không ph thu c vào ñư ng a) L là ñư ng cong kín không bao g c O; n i A v i B. b) L là ñư ng cong kín bao g c O. 4) Bi u th c P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn ph n c a hàm u(x, y) nào ñó trong mi n D. Trang 13
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §3. TÍCH PHÂN M T LO I I H qu 3.1. ð nh nghĩa • N u P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn ph n c a hàm • Cho hàm s f(x, y, z) xác ñ nh trên m t S. Chia S m t cách u(x, y) nào ñó trong mi n D, nghĩa là Py/ = Qx/ , ∀( x, y ) ∈ D tùy ý thành n ph n không d m lên nhau, di n tích m i ph n thì: là ∆Si (i=1,2,…,n). Trong m i ∆Si ta l y ñi m M i (ξi ,ηi , ζ i ) n ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = u( B) − u( A) . tùy ý và l p t ng tích phân I n = ∑ f (ξi ,ηi , ζ i ) ∆Si . AB i =1 n x− y x+ y N u I= lim max d ( ∆Si ) →0 ∑ f (ξ ,η , ζ )∆S i i i i t n t i h u h n, không VD 7. Tính ∫ x 2 + y 2 dx + x 2 + y 2 dy v i L là ñư ng trơn L i =1 ph thu c vào cách chia S và cách ch n ñi m Mi thì s I t ng khúc n i A(1; 1) và B(2; 2) n m trong mi n D không ñư c g i là tích phân m t lo i 1 c a f(x, y, z) trên S. ch a g c t a ñ O. Ký hi u I = ∫∫ f ( x, y , z )dS . S 3.2. Phương pháp tính c) Chi u S lên Oyz a) Chi u S lên Oxy • N u S có phương trình x = x(y, z) và S có hình chi u trên • N u S có phương trình z = z(x, y) và S có hình chi u trên Oyz là D thì: 1 + ( x y ) + ( xz/ ) dydz . Oxy là D thì: 2 2 ∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x( y, z ), y, z ) / ∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x, y, z( x, y )) 1+ (z x) + ( z ) dxdy . / 2 / 2 y S D S D VD 1. Tính I = ∫∫ zdS , trong ñó S là ph n m t nón b) Chi u S lên Oxz S • N u S có phương trình y = y(x, z) và S có hình chi u trên z = x + y v i 0 ≤ z ≤1. 2 2 2 Oxz là D thì: VD 2. Tính I = ∫∫ z 2 ( x 2 + y 2 )dS , trong ñó S là ph n m t f ( x, y , z )dS = ∫∫ f ( x, y ( x, y ), z ) 1 + ( y x ) + ( y z/ ) dxdz . 2 2 ∫∫ / S S D c u x2 + y2 + z2 = 4 v i x ≥ 0 , y ≥ 0 . §4. TÍCH PHÂN M T LO I II 3.3. ng d ng c a tích phân m t lo i 1 4.1. ð nh nghĩa 4.1.1. M t ñ nh hư ng 1) Di n tích m t S là ∫∫ dS . S • M t trơn S ñư c g i là m t ñ nh hư ng n u pháp vector 2) N u m t S có hàm m t ñ kh i lư ng là ρ ( x, y , z ) thì ñơn v n xác ñ nh t i m i ñi m M thu c S (có th tr biên kh i lư ng c a m t S là: S) bi n ñ i liên t c khi M ch y trên S. M t ñ nh hư ng có m = ∫∫ ρ ( x, y, z )dS . hai phía, phía mà n u ñ ng trên ñó thì n hư ng t chân lên S ñ u là phía dương, ngư c l i là phía âm. Khi ñó, t a ñ tr ng tâm G c a m t S là: 1 1 xG = ∫∫ x ρ ( x, y , z )dS , yG = ∫∫ y ρ ( x, y , z )dS , m S m S 1 z ρ ( x, y, z )dS . m ∫∫ zG = S • Hư ng c a biên S là hư ng ngư c chi u kim ñ ng h khi nhìn t ng n c a n . G i Di là hình chi u c a ∆Si lên Oxy kèm theo d u dương • Khi m t S không kín, ta g i phía trên là phía mà n l p v i n u ∆Si có ñ nh hư ng trên, ngư c l i là d u âm. n tia Oz góc nh n, ngư c là là phía dư i. L p t ng tích phân I n = ∑ f (ξi ,ηi , ζ i ).S ( Di ) . Khi m t S kín ta g i phía trong và phía ngoài. i =1 • M t trơn t ng khúc S là ñ nh hư ng ñư c n u hai ph n n trơn b t kỳ c a S n i v i nhau b i ñư ng biên C có ñ nh N u I= lim max d ( ∆Si ) →0 ∑ f (ξ ,η , ζ ).S ( D ) t i =1 i i i i n t i h u h n, hư ng ngư c nhau. không ph thu c vào cách chia S và cách ch n ñi m Mi thì s I ñư c g i là tích phân m t lo i 2 c a f(x, y, z) trên m t 4.1.2. ð nh nghĩa tích phân m t lo i 2 ñ nh hư ng S. • Cho hàm s f(x, y, z) xác ñ nh trên m t ñ nh hư ng, trơn t ng khúc S. Chia S m t cách tùy ý thành n ph n không Ký hi u ∫∫ f ( x, y, z)dxdy . d m lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si (i=1,2,…,n). Trong S m i ∆Si ta l y ñi m M i (ξi ,ηi , ζ i ) tùy ý. Trang 14
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH • Tương t , khi chi u S lên Ozx và Oyz ta có 4.2. Liên h v i tích phân m t lo i 1 • Cho m t ñ nh hư ng trơn t ng khúc S có pháp vector ñơn ∫∫ f ( x, y, z )dzdx S và ∫∫ f ( x, y, z )dydz . S v n . G i α , β , γ l n lư t là góc h p b i n v i các tia Ox, Oy, Oz. Khi ñó: • K t h p c 3 d ng trên ta ñư c tích phân m t lo i 2 c a các hàm P, Q, R trên S: ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S ∫∫ P( x, y, z )dydz + Q ( x, y, z)dzdx + R( x, y, z)dxdy . S = ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dS . S Trong ñó: Nh n xét 1 • N u ñ i hư ng c a m t S thì tích phân ñ i d u. cos α = , 1 + ( x y ) + ( x z/ ) 2 2 • N u S kín thì tích phân còn ñư c ký hi u là: / ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy . S cosβ = 1 , cosγ = 1 . 1 + ( yx ) + ( y ) 1 + ( z x ) + ( z /y ) / 2 / 2 / 2 2 z 4.3. Phương pháp tính a) N u S có hình chi u ñơn tr lên Oxy là mi n Dxy và có phương trình z(x, y) thì: VD 1. Tính ∫∫ zdxdy , v i S là phía ngoài c a m t c u ∫∫ R( x, y, z )dxdy = ± ∫∫ R( x, y, z( x, y ))dxdy . S S Dxy x2 + y 2 + z2 = R2 . (d u + hay – tùy thu c vào m t phía trên hay dư i). b) N u S có hình chi u ñơn tr lên Oxz là mi n Dxz và có VD 2. Cho I = ∫∫ ( y − z )dydz + ( z − x )dzdx + ( x − y )dxdy , phương trình y(x, z) thì: S ∫∫ Q ( x, y, z )dzdx = ± ∫∫ Q ( x, y ( x, z), z)dzdx . S Dxz v i S là phía ngoài c a m t nón x 2 + y 2 = z 2 , 0 ≤ z ≤ 4 . Chuy n tích phân v lo i 1 r i tính I. c) N u S có hình chi u ñơn tr lên Oyz là mi n Dyz và có phương trình x(y, z) thì: ∫∫ P( x, y, z )dydz = ± ∫∫ P( x( y, z), y, z )dydz . S D yz 4.4. Công th c Stokes 4.5. Công th c Gauss – Ostrogradski • Cho S là m t ñ nh hư ng trơn t ng khúc có biên ∂S trơn t ng khúc và không t c t. Gi s P, Q, R là các hàm có ñ o • Cho V là m t kh i gi i n i v i biên S trơn t ng khúc. Gi hàm riêng liên t c trong mi n m ch a S. Khi ñó: s P, Q, R là các hàm có ñ o hàm riêng liên t c trong mi n m ch a V. Khi ñó: ∫ Pdx + Qdy + Rdz ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫ ( P + Q y + Rz/ ) dxdydz . / / ∂S x = ∫∫ ( R y − Qz/ ) dydz + ( Pz/ − Rx/ ) dzdx + (Qx/ − Py/ ) dxdy. / S V S (Tích phân ∫∫ l y theo phía ngoài c a S). (Hư ng c a ∂S là hư ng dương phù h p v i hư ng c a S). S VD 3. Tính ∫ ydx + zdy + xdz , v i C là ñư ng tròn giao ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy , v 3 3 3 C VD 4. Tính i S là phía c a m t c u x + y + z = R và m t ph ng x + y + z = 0 2 2 2 2 S ngoài c a m t c u x 2 + y 2 + z 2 = R 2 . và hư ng tích phân trên C là hư ng dương khi nhìn t ng n tia Oz. Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – H PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P I §1. KHÁI NI M CƠ B N V PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • M t phương trình ch a ñ o hàm ho c vi phân c a 1 ho c • D ng t ng quát c a ptvp c p n là F(x, y, y’,…, y(n)) = 0(*), vài hàm c n tìm ñư c g i là phương trình vi phân. n u t (*) ta gi i ñư c theo y(n) thì ptvp có d ng: y(n) = f(x, y, y’,…, y(n–1)). VD 1. y’ – 2y = 1; (x + y)dy – 2ydx = 0; • Nghi m c a ptvp F(x, y, y’,…, y(n)) = 0 trên kho ng K là 1 dy dz hàm s y = φ(x) xác ñ nh trên K sao cho khi thay y = φ(x) 2y’’ – 3y’ + y = 0; +2 =0. vào ptvp ta ñư c ñ ng nh t th c trên K. dx dx Phương trình vi phân có vô s nghi m sai khác h ng s C. • C p cao nh t c a ñ o hàm ch a trong phương trình vi • Gi i phương trình vi phân là tìm t t c các nghi m c a nó. phân (ptvp) ñư c g i là c p c a ptvp ñó. • ð th c a nghi m y = φ(x) ñư c g i là ñư ng cong tích dy phân. VD 2. y’ = 3x và = x 2 là ptvp c p 1; dx VD 3. Các hàm s y = ex, y = e–x, y = C1ex + C2e–x ñ u là y’’ + 4y’ – 3y = 0 là ptvp c p 2. nghi m c a y’’ – y = 0. Trang 15
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 1 2.1. Khái ni m cơ b n v phương trình vi phân c p 1 • Nghi m c a ptvp ch a h ng s C là nghi m t ng quát, • Phương trình vi phân c p 1 là phương trình có d ng t ng nghi m ch a h ng s C0 c th là nghi m riêng và nghi m quát F(x, y, y’) = 0 (*), n u t (*) ta gi i ñư c theo y’ thì không nh n ñư c t nghi m t ng quát là nghi m kỳ d . y’ = f(x, y). VD 2. • Gi i ptvp c p 1 v i ñi u ki n ñ u y(x0) = y0 là ñi tìm Tìm nghi m kỳ d c a ptvp y ′ = 1 − y 2 . nghi m th a ñi u ki n ñ u, hay tìm 1 ñư ng cong tích phân c a ptvp ñi qua ñi m M0(x0; y0). VD 3. VD 1. Gi i ptvp y ′ − x = 0 , bi t ñư ng cong tích phân ñi Tìm ptvp c a h ñư ng cong y = Cx2. qua ñi m M(2; 1). 2.2. M t s phương trình vi phân c p 1 cơ b n Chú ý 2.2.1. Phương trình vi phân c p 1 có bi n phân ly Ptvp f1 ( x ) g1 ( y )dx + f 2 ( x ) g 2 ( y )dy = 0 (1’) ñư c ñưa v • Ptvp có bi n phân ly có d ng: d ng (1) như sau: f ( x )dx + g ( y )dy (1) . + N u g1(y0) = 0 thì y = y0 là nghi m c a (1). + N u f2(x0) = 0 thì x = x0 là nghi m c a (1). Phương pháp gi i + N u g1 ( y ) ≠ 0, f 2 ( x ) ≠ 0 thì: • L y tích phân hai v (1) ta ñư c nghi m t ng quát: f ( x) g ( y) (1') ⇒ 1 dx + 2 dy = 0 (d ng (1)). ∫ f ( x )dx + ∫ g ( y )dy = C . f2 ( x) g1 ( y ) VD 5. Gi i ptvp y ′ = xy ( y + 2) . xdx ydy VD 6. Gi i ptvp x 2 ( y + 1)dx + ( x 3 − 1)( y − 1)dy = 0 . VD 4. Gi i ptvp + = 0. 1 + x2 1 + y2 1 VD 7. Gi i ptvp xy’ + y = y2 th a ñi u ki n ñ u y (1) = . 2 2.2.2. Phương trình vi phân ñ ng c p c p 1 Phương pháp gi i y • Hàm hai bi n f(x, y) ñư c g i là ñ ng c p b c n n u v i • ð t u = ⇒ y ′ = u + xu′ . x m i k > 0 thì f(kx, ky) = knf(x, y). Ch ng h n, các hàm du dx x− y x 2 − xy • (2) ⇒ u + xu ′ = ϕ (u ) ⇒ = (ϕ (u ) − u ≠ 0 ≠ x ) f ( x, y ) = , f ( x, y ) = , f(x, y) = x2 + xy là ϕ (u ) − u x 2x + 3y 2x + 3y (ptvp có bi n phân ly). ñ ng c p b c 0, 1, 2 tương ng. x 2 − xy + y 2  y VD 9. Gi i ptvp y ′ = . • Cho hàm f(x, y) ñ ng c p b c 0 hay f ( x, y ) = ϕ  . xy  x x+ y Khi ñó, ptvp ñ ng c p có d ng: VD 10. Gi i ptvp y ′ = v i ñi u ki n ñ u y(1) = 0. x− y y ′ = f ( x, y ) (2) . 2.2.3. Phương trình vi phân toàn ph n Bư c 3. ð o hàm (3c) theo y: • Cho ptvp có d ng: P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0 (3) v i ñi u u y = ϕ y + C ′( y ) (3d). / / ki n Qx/ = Py/ trong mi n ph ng D. N u t n t i hàm u(x, y) Bư c 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm ñư c C(y), thay vào sao cho du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy thì (3) ñư c g i là (3c) ta ñư c u(x, y). ptvp toàn ph n. • Nghi m t ng quát c a (3) là u(x, y) = C. VD 11. Cho phương trình vi phân: (3 y 2 + 2 xy + 2 x )dx + ( x 2 + 6 xy + 3)dy = 0 (*). Phương pháp gi i a) Ch ng t (*) là ptvp toàn ph n. Bư c 1. T (3) ta có ux = P (3a) và u y = Q (3b). / / b) Gi i ptvi (*). Bư c 2. L y tích phân (3a) theo x: VD 12. Gi i ptvp ( x + y − 1)dx + (e y + x )dy = 0 . u( x, y ) = ∫ P( x, y )dx = ϕ ( x, y ) + C ( y ) (3c), v i C(y) là hàm theo bi n y. Trang 16
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 2.2.4. Phương trình vi phân tuy n tính c p 1 Chú ý • Phương trình vi phân tuy n tính c p 1 có d ng: y ′ + p( x ) y = q( x ) (4) . • Khi tính các tích phân trên, ta ch n h ng s là 0. • Khi f(x) = 0 thì (4) ñư c g i là ptvp tuy n tính c p 1 thu n • Phương pháp bi n thiên h ng s là ñi tìm nghi m t ng nh t. quát c a (4) dư i d ng: y = C ( x )e ∫ − p ( x ) dx . Phương pháp gi i (phương pháp bi n thiên h ng s Lagrange) VD 13. Gi i pt y ′ − x 2 y = 0 th a ñi u ki n x = 3, y = – e9. Bư c 1. Tìm bi u th c A( x ) = e ∫ − p ( x ) dx . Bư c 2. Tìm bi u th c B( x ) = ∫ q( x ).e ∫ p ( x ) dx dx . VD 14. Gi i pt y ′ + y cos x = e − sin x . Bư c 3. Nghi m t ng quát là y = A( x ) [ B( x ) + C ] . VD 15. Gi i pt y ′( x + y 2 ) = y . 2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli có d ng: Chú ý y ′ + p( x ) y = q( x ) y α (5) . • Phương trình Bernoulli luôn có nghi m kỳ d là y = 0. • Khi α = 0 ho c α = 1 thì (5) là tuy n tính c p 1. VD 16. • Khi p(x) = q(x) = 1 thì (5) là phương trình có bi n phân ly. y Gi i ptvp y ′ + = xy 2 v i ñi u ki n x = 1, y = 1. Phương pháp gi i (v i α khác 0 và 1) x + V i y ≠ 0 , bi n ñ i: VD 17. Gi i ptvp y ′ − 2 xy = x 3 y 2 . y′ y (5) ⇒ α + p( x ) α = q( x ) ⇒ y ′y −α + p( x ) y1−α = q( x ) . y y dy dy + ð t z = y1−α ⇒ z ′ = (1 − α ) y ′y −α thì VD 18. Gi i ptvp x 3 sin y + 2y = x . dx dx (5) ⇒ z ′ + (1 − α ) p( x ) z = (1 − α ) q( x ) (pt tuy n tính c p 1). §3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 2 3.1. Các d ng phương trình cơ b n 3.1.2. Phương trình khuy t y 3.1.1. Phương trình khuy t y và y’ • D ng phương trình: • D ng phương trình: y ′′ = f ( x, y ′) (2) . y ′′ = f ( x ) (1) . Phương pháp gi i Phương pháp gi i • ð t z = y’ ñ ñưa (2) v phương trình tuy n tính c p 1. • L y tích phân hai v (1) hai l n. y′ VD 3. Gi i ptvp y ′′ = x − . VD 1. Gi i ptvp y ′′ = x 2 . x y′ VD 4. Gi i ptvp y ′′ − − x ( x − 1) = 0 v i 7 3 x −1 VD 2. Gi i ptvp y ′′ = e 2 x v i y (0) = − , y ′(0) = . 4 2 y(2) = 1 và y’(2) = –1. 3.1.3. Phương trình khuy t x 3.2. Phương trình vi phân c p 2 tuy n tính v i h s • D ng phương trình: h ng y ′′ = f ( y , y ′) (3) . 3.2.1. Phương trình thu n nh t • D ng phương trình: Phương pháp gi i y ′′ + a1 y ′ + a2 y = 0 (4) (a1, a2 là các h ng s ). dz dz dy dz • ð t z = y ′ ⇒ y ′′ = z ′ = = . =z ñ ñưa v pt Phương pháp gi i dx dy dx dy bi n s phân ly. • Xét phương trình ñ c trưng c a (4): k 2 + a1k + a2 = 0 (5). VD 5. Gi i ptvp 2 yy ′′ = ( y ′) + 1 . 1) Trư ng h p 1: (5) có hai nghi m th c phân bi t k1, k2. 2 Khi ñó, (4) có hai nghi m riêng y1 = e k1 x , y2 = e k2 x và VD 6. Gi i ptvp y ′′ + 2 y ′(1 − 2 y ) = 0 v i 1 nghi m t ng quát là y = C1e k1 x + C2 e k2 x . y (0) = 0, y ′(0) = . 2 Trang 17
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 2) Trư ng h p 2: (5) có nghi m kép th c k. 3.2.2. Phương trình không thu n nh t Khi ñó, (4) có hai nghi m riêng y1 = e kx , y2 = xe kx và • D ng phương trình: y ′′ + a1 y ′ + a2 y = f ( x ) (6) (a1, a2 là các h ng s ). nghi m t ng quát là y = C1e kx + C2 xe kx . Phương pháp gi i 3) Trư ng h p 3: (5) có hai nghi m ph c liên h p • N u (4) có hai nghi m riêng y1(x), y2(x) thì (6) có nghi m k = α ± i β . Khi ñó, (4) có hai nghi m riêng t ng quát là y = C1 ( x ) y1 ( x ) + C2 ( x ) y2 ( x ) . y1 = eα x cos β x, y2 = eα x sin β x và nghi m t ng quát: • ð tìm C1(x) và C2(x), ta gi i h Wronsky: y = eα x ( C1 cos β x + C2 sin β x ) . C1′( x ) y1 ( x ) + C2 ( x ) y2 ( x ) = 0 ′  . VD 7. Gi i ptvp y ′′ + 2 y ′ − 3 y = 0 . C1′( x ) y1 ( x ) + C2 ( x ) y2 ( x ) = f ( x ) ′ ′ ′ VD 8. Gi i ptvp y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0 . 1 VD 10. Gi i ptvp y ′′ + y = . VD 9. Gi i ptvp y ′′ + 2 y ′ + 7 y = 0 . cos x ð nh lý (nguyên lý ch ng nghi m) ð nh lý • Nghi m t ng quát c a (6) b ng t ng nghi m t ng quát c a • Cho ptvp y ′′ + p( x ) y ′ + q( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) (9) . (4) v i 1 nghi m riêng c a (6). Gi s y1(x) và y2(x) l n lư t là nghi m riêng c a y ′′ + p( x ) y ′ + q( x ) y = f1 ( x ) , y ′′ + p( x ) y ′ + q( x ) y = f 2 ( x ) VD 11. Cho phương trình vi phân: thì y(x) = y1(x) + y2(x) là nghi m riêng c a (9). y ′′ − 2 y ′ + 2 y = (2 + x 2 )e x (*). a) Ch ng t (*) có 1 nghi m riêng là y = x 2 e x . VD 14. Tìm nghi m t ng quát c a ptvp y ′′ − y ′ = 2 cos 2 x . b) Tìm nghi m t ng quát c a (*). Bi t: y ′′ − y ′ = 1 có nghi m riêng y1 = − x , y ′′ − y ′ = cos 2 x có VD 12. Tìm nghi m t ng quát c a ptvp: 2 1 y ′′ + y ′ = 2sin 2 x + 4 cos 2 x nghi m riêng y2 = − cos 2 x − sin 2 x . 10 10 bi t 1 nghi m riêng là y = − cos 2 x . §4. H PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 1 4.1. Khái ni m cơ b n • M i ptvp c p n d ng y ( n ) = f ( x, y , y ′,..., y ( n −1) ) ñ u có th ñưa v d ng h ptvp chu n t c c p 1 b ng cách ñ t • H phương trình vi phân chu n t c c p 1 có d ng: y = y1 , y ′ = y2 ,..., y ( n −1) = yn .  y1/ = f1 ( x, y1 , y2 ,..., yn )  /  y1/ = y2  y2 = f 2 ( x, y1 , y2 ,..., yn )  /  ,  y2 = y3 .................................   y / = f ( x, y , y ,..., y ) Khi ñó, ta ñư c h : .......... .  n n 1 2 n  y/ = y trong ñó x là bi n s ñ c l p và y1(x), y2(x),…, yn(x) là các  n −1 n hàm s c n tìm.  yn = f ( x, y1 , y2 ,..., yn )  / • B n hàm s yi = ϕi ( x, C1 , C2 ,..., Cn ), i = 1, n th a h ptvp là nghi m. 4.2. Phương pháp gi i b) Phương pháp ma tr n a) Phương pháp kh ñưa v phương trình vi phân c p cao  y1/ = a11 y1 + a12 y2 + ... + a1n yn  y1/   y1   /  / y   y′ = 5 y + z  y = a21 y1 + a22 y2 + ... + a2 n yn y •  2 ⇔  2  = A 2  , VD 1. Gi i h phương trình:  .    ...   z ′ = 4 y + 5z ...............................................  ...   y / = a y + a y + ... + a y  y/     n n1 1 n2 2 nn n  n  yn   y′ = z VD 2. Gi i h phương trình:  . v i A = ( aij ) .  z′ = y Gi s phương trình ñ c trưng det( A − λ I ) = 0 có n nghi m phân bi t λi , i = 1, n . V i m i λi có vector riêng ( p1i , p2i ,..., pni ) . Trang 18
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH Khi ñó, h ptvp có h nghi m cơ b n là:  y′ = y + 2 z VD 3. Gi i h phương trình:  .  y11 = p11eλ1 x , y21 = p21eλ1 x ,..., yn1 = pn1eλ1 x  z ′ = 4 y + 3z  λ x λ x λ x  y12 = p12 e 2 , y22 = p22 e 2 ,..., yn 2 = pn 2 e 2 ð c bi t  • H ptvp có d ng ................................................................  y = p eλn x , y = p eλn x ,..., y = p eλn x  y1/   λ11 0 ... 0   y1   y1   C11eλ11 x   1n  /       λ22 x   y2  =  0 λ22 ... 0   y2  ⇔  y2  =  C22 e  . 1n 2n 2n nn nn  y1 = C1 y11 + C2 y12 + ... + Cn y1n  ...   ... ... ... ...   ...   ...   ...   y = C y + C y + ... + C y  /           0 ... λnn   yn   yn   Cnn e λnn x  và nghi m t ng quát là  2 1 21 2 22 n 2n .  yn   0   .................................................  yn = C1 yn1 + C2 yn 2 + ... + Cn ynn  y′ = − y   VD 4. Gi i h phương trình:  z ′ = 3z . u ′ = 2u  …………………………………..H t………………………………… Trang 19