Giáo trình phương trình vi phân

Chia sẻ: Nguyen Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:126

Thêm vào BST

Báo xấu

533
lượt xem 171
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình vi phân hay phương trình sai phân là một phương trình toán học nhằm biễu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa được biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình sai phân đóng vai trò cực kì quan trọng trong kĩ thuật, vật lí, kinh tế và một số ngành khác. Ví dụ: một phương trình sai phân đơn giản

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình phương trình vi phân

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Muïc luïc 1 Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 5 1.1 Môû ñaàu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Caùc khaùi nieäm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Baøi toaùn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Phöông phaùp xaáp xæ Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Phaân loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Caùc ñònh nghóa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 YÙ nghóa hình hoïc cuûa phöông trình vi phaân: . . . . . . . . . . . 13 1.4 Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Phöông trình vôùi bieán soá phaân ly: . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Phöông trình vi phaân thuaàn nhaát: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.3 Phöông trình vi phaân toaøn phaàn: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp I: . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.5 Phöông trình Bernoully . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.6 Phöông trình Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.7 Phöông trình Riccati: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Phöông trình vi phaân caáp I chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm 27 2.1 Caùc PTVP chöa giaûi ra ñoái vôùi ñaïo haøm daïng ñaëc bieät . . . . . . . . . 27 2.1.1 F chæ phuï thuoäc vaøo y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Daïng coù theå giaûi ra ñoái vôùi y hay x: . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3 F khoâng phuï thuoäc vaøo y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Tröôøng hôïp toång quaùt − Phöông trình Clairaut vaø phöông trình Lagrange 29 2.2.1 Tham soá hoaù toång quaùt: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Phöông trình Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Muïc luïc 2.2.3 Phöông trình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.1 Söï toàn taïi nghieäm kyø dò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.2 Tìm nghieäm kyø dò theo p−bieät tuyeán . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.3 Tìm nghieäm kyø dò theo C−bieät tuyeán . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Phöông trình vi phaân caáp cao 39 3.1 Phöông trình vi phaân caáp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1 Caùc khaùi nieäm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.3 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao giaûi ñöôïc baèng caàu phöông: 40 3.1.4 Moät soá phöông trình vi phaân caáp cao coù theå haï caáp: . . . . . . . 43 3.1.5 Tích phaân trung gian vaø tích phaân ñaàu: . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Lyù thuyeát toång quaùt veà phöông trình vi phaân tuyeán tính. . . . . . . . . . 46 3.3 Ñònh thöùc Wronski - Nghieäm toång quaùt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.1 Ñoàng nhaát thöùc Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3.2 Phöông phaùp bieán thieân haèng soá tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4 Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp cao heä soá haèng . . . . . . . . . . . 53 3.4.1 Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát heä soá haèng . . . . . . . . . 53 3.4.2 Tìm nghieäm rieâng cuûa phöông trình khoâng thuaàn nhaát: . . . . . 55 4 Heä phöông trình vi phaân caáp I 61 4.1 Heä phöông trình vi phaân caáp I toång quaùt. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1.1 Caùc ñònh nghóa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1.2 Lieân heä giöõa heä phöông trình vaø phöông trình vi phaân caáp cao: 62 4.1.3 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.1.4 Caùc phöông phaùp giaûi heä phöông trình vi phaân: . . . . . . . . . 64 4.2 Moät soá ñònh lyù cô baûn cuûa phöông trình vi phaân . . . . . . . . . . . . . 67 4.2.1 Söï toàn taïi nghieäm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2.2 Thaùc trieån nghieäm vaø söï toàn taïi toaøn cuïc: . . . . . . . . . . . . 68 4.3 Heä phöông trình vi phaân tuyeán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3.1 Heä tuyeán tính thuaàn nhaát: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.2 Heä PTVP tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát: . . . . . . . . . . . . . . 72 4.4 Heä PTVP tuyeán tính heä soá haèng soá. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4.1 Phöông trình ñaëc tröng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Muïc luïc 3 4.4.2 Heä nghieäm cô baûn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5 Phöông phaùp soá giaûi phöông trình vi phaân 79 5.1 Caùc phöông phaùp giaûi tích giaûi gaàn ñuùng PTVP. . . . . . . . . . . . . . 79 5.1.1 Xaáp xæ Picard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.1.2 Phöông phaùp chuoãi Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.2 Caùc phöông phaùp soá giaûi PTVP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.2.1 Phöông phaùp chuoãi Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.2.2 Phöông phaùp Euler vaø Euler caûi tieán. . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.2.3 Caùc phöông phaùp Runge−Kutta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.2.4 Caùc phöông phaùp ña böôùc (multi-step): . . . . . . . . . . . . . . 89 5.3 Phöông trình vi phaân vaø phaàn meàm tính toaùn MAPLE. . . . . . . . . . . 90 5.3.1 Giôùi thieäu chung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.3.2 Veõ ñöôøng cong tích phaân vaø tröôøng caùc höôùng . . . . . . . . . . 91 5.3.3 Giaûi phöông trình vi phaân baèng MAPLE. . . . . . . . . . . . . . 91 5.3.4 Giaûi gaàn ñuùng phöông trình vi phaân baèng MAPLE . . . . . . . . 92 6 Nghieäm chuoãi cuûa phöông trình vi phaân 99 6.1 Khaùi nieäm chuoãi luyõ thöøa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.2 Nghieäm cuûa phöông trình vi phaân döôùi daïng chuoãi luyõ thöøa. . . . . . . 101 6.2.1 Caùc ví duï. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.2.2 Ñieåm kyø dò cuûa phöông trình vi phaân. . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.3 Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.3.1 Sô löôïc veà khai trieån tieäm caän. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.3.2 Daùng ñieäu tieäm caän cuûa nghieäm gaàn ñieåm kyø dò khoâng chính qui.111 6.3.3 Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.3.4 Sô löôïc veà phöông phaùp WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) . . 114 A Bieán ñoåi Laplace vaø phöông trình vi phaân. 117 A.1 Bieán ñoåi Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 A.2 Giaûi phöông trình vi phaân baèng pheùp bieán ñoåi Laplace: . . . . . . . . . 119 Taøi lieäu tham khaûo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4 Muïc luïc
Chöông 1 Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 1.1 Môû ñaàu Trong raát nhieàu lónh vöïc öùng duïng, chuyeån ñoäng cuûa moät heä ñöôïc moâ hình hoaù bôûi caùc phöông trình vi phaân, töùc laø phöông trình coù chöùa caùc ñaïo haøm cuûa aån haøm caàn tìm. Chaúng haïn, trong cô hoïc coå ñieån (ñònh luaät Newton), trong thieân vaên hoïc (söï chuyeån ñoäng cuûa caùc haønh tinh), trong hoaù hoïc (caùc phaûn öùng hoaù hoïc), trong sinh hoïc (söï phaùt trieån cuûa daân soá), trong ñieän töû... Trong haàu heát caùc lónh vöïc nhö theá, baøi toaùn chung nhaát laø moâ taû nghieäm cuûa caùc phöông trình naøy (caû veà ñònh tính laãn veà ñònh löôïng). 1.1.1 Caùc khaùi nieäm Phöông trình vi phaân thöôøng laø phöông trình coù daïng F (x, y, y , y , . . . , y (m) ) = 0 (1.1) trong ñoù y = y(x) laø aån haøm caàn tìm vaø nhaát thieát phaûi coù söï tham gia cuûa ñaïo haøm (ñeán caáp naøo ñoù) cuûa aån. Thoâng thöôøng ta xeùt caùc phöông trình vôùi aån haøm laø haøm soá moät bieán thöïc y = y(x) xaùc ñònh treân khoaûng môû I ⊂ R naøo ñoù; khi ñoù haøm F trong ñaúng thöùc treân xaùc ñònh trong moät taäp môû G cuûa R × Rm+1. Trong tröôøng hôïp aån haøm caàn tìm laø vector-haøm (haøm vôùi giaù trò vector) y(x) = (y1(x), . . . , yn(x))T , F laø moät aùnh xaï nhaän giaù trò trong Rn vaø (1.1) ñöôïc hieåu laø heä phöông trình vi phaân. Trong tröôøng hôïp aån haøm caàn tìm laø haøm nhieàu bieán thì phöông trình vi phaân coøn goïi laø phöông trình ñaïo haøm rieâng Ta noùi moät phöông trình vi phaân coù caáp m neáu m laø caáp lôùn nhaát cuûa ñaïo haøm cuûa aån coù maët trong phöông trình. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I coù daïng toång quaùt F (x, y, y ) = 0 (1.2)
6 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I trong ñoù F (x, y, z) ñöôïc giaû thieát lieân tuïc cuøng vôùi caùc ñaïo haøm rieâng cuûa noù treân mieàn G ⊂ R3. Vôùi moät soá ñieàu kieän naøo ñaáy, phöông trình vi phaân caáp I coù theå vieát ñöôïc döôùi daïng sau, goïi laø daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm y = f (x, y) (1.3) vôùi f lieân tuïc trong moät mieàn D ⊂ R2 . Ví duï: Caùc phöông trình ey + y 2 cos x = 1 y 2 − 2xy = ln x ∂2u ∂2u + =0 ∂x2 ∂y 2 laàn löôït laø phöông trình vi phaân thöôøng caáp I, caáp III vaø phöông trình ñaïo haøm rieâng caáp II. Xeùt phöông trình (1.1), haøm giaù trò vector y : I → R n (I = (a, b) laø khoaûng naøo ñoù cuûa R) laø nghieäm cuûa phöông trình (1.1) neáu noù coù caùc ñaïo haøm lieân tuïc ñeán caáp m treân I vaø thoaû maõn F (x, y(x), y (x), y (x), . . . , y (m) )(x) = 0 vôùi moïi x ∈ I (1.4) Trong tröôøng hôïp phöông trình vi phaân caáp I, nghieäm laø moät haøm thöïc moät aån y = y(x) maø khi thay vaøo (1.2), ta ñöôïc moät ñaúng thöùc ñuùng. Ví duï: Deã kieåm tra raèng hoï haøm (phuï thuoäc vaøo hai tham soá tuyø yù) y = C1 cos x + C2 sin x laø nghieäm cuûa phöông trình vi phaân y +y =0 Ví duï: (Saên moài vaø moài) Söï phaùt trieån cuûa hai quaàn theå ñoäng vaät (chaúng haïn, x= x(t) laø soá con meøo vaø y = y(t) laø soá con chuoät) ñöôïc moâ taû bôûi (heä) phöông trình Volterra−Lotka sau ñaây y = y(α − βx), x = x(γy − δ) (1.5) vôùi α, β, γ vaø δ laø nhöõng haèng soá cho tröôùc. Ñeå tìm nghieäm cuûa phöông trình naøy ta coù theå xem y nhö laø haøm theo x, phöông trình coù theå vieát döôùi daïng dy y(α − βx) (γy − δ) (α − βx) = hay dy = dx dx x(γy − δ) y x Nghieäm cuûa phöông trình naøy cho bôûi γy − δ ln y = α ln x − βx + C trong ñoù C laø haèng soá tuyø yù. Hình 1.1 moâ taû caùc ñöôøng möùc cuûa nghieäm khi α = β = γ = 1, δ = 2.
1.2. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 7 z X 3 2 1 1 2 3 4 y Hình 1.1: Nghieäm cuûa phöông trình Volterra−Lotka. 1.1.2 Baøi toaùn Cauchy Ta nhaän xeùt raèng noùi chung, nghieäm cuûa moät phöông trình vi phaân phuï thuoäc vaøo moät hay nhieàu tham soá tuyø yù naøo ñoù; noùi caùch khaùc ta coù töøng hoï nghieäm. Ñeå xaùc ñònh nghieäm cuï theå naøo ñoù, noùi chung ta caàn theâm moät hay vaøi ñaëc tröng khaùc veà nghieäm (tuyø theo caáp cuûa phöông trình vi phaân). Chaúng haïn, y = x3 + C laø (hoï) nghieäm cuûa 3 phöông trình y = x2 . Deã thaáy y = x3 + 1 laø nghieäm (duy nhaát) thoaû ñieàu kieän y(0) = 1. 3 Ta xeùt baøi toaùn sau ñaây ñaët ra ñoái vôùi phöông trình (1.2), goïi laø baøi toaùn Cauchy (coøn goïi laø baøi toaùn giaù trò ban ñaàu): Tìm nghieäm y(x) cuûa phöông trình (1.2) thoaû y(x0 ) = y0 (1.6) trong ñoù (x0 , y0) ∈ D ñöôïc goïi laø caùc ñieàu kieän ban ñaàu. Caâu hoûi töï nhieân ñaët ra laø vôùi ñieàu kieän ban ñaàu (1.6), coù hay khoâng vaø bao nhieâu nghieäm thoaû maõn ñieàu kieän naøy. Traû lôøi caâu hoûi naøy töùc laø giaûi baøi toaùn Cauchy ñoái vôùi phöông trình (1.2). Ta löu yù raèng khoâng phaûi luùc naøo baøi toaùn Cauchy cuõng coù nghieäm, vaø khi coù nghieäm cuõng khoâng nhaát thieát coù duy nhaát nghieäm. Trong muïc sau ta seõ phaùt bieåu vaø chöùng minh moät ñònh lyù giaûi quyeát troïn veïn baøi toaùn Cauchy cho phöông trình vi phaân caáp I. 1.2 Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 1.2.1 Phöông phaùp xaáp xæ Picard Ta xeùt baøi toaùn Cauchy ñoái vôùi phöông trình caáp I daïng giaûi ra ñöôïc ñoái vôùi ñaïo haøm: y = f (x, y), y(x0 ) = y0 (1.7)
8 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I trong ñoù f xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân mieàn môû D ⊂ R2. Giaû söû y(x) laø nghieäm cuûa baøi toaùn (1.7), tích phaân hai veá cuûa phöông trình trong (1.7) ta ñöôïc phöông trình tích phaân cho y(x) laø x y(x) = y0 + f (t, y(t))dt (1.8) x0 Roõ raøng moãi nghieäm cuûa (1.7) cuõng laø nghieäm cuûa (1.8) vaø ngöôïc laïi, moãi nghieäm cuûa (1.8) ñeàu khaû vi lieân tuïc (töùc laø thuoäc lôùp C 1 ) treân moät khoaûng I naøo ñoù vaø thoaû phöông trình (1.7). Pheùp laëp Picard−Lindelof. ¨ Veà maët toaùn töû, nghieäm cuûa phöông trình tích phaân (1.8) chính laø lôøi giaûi cuûa baøi toaùn ñieåm baát ñoäng cuûa caùc aùnh xaï co trong khoâng gian metric ñaày ñuû (ôû ñaây ta xeùt khoâng gian caùc haøm khaû vi lieân tuïc treân I ) maø lôøi giaûi coù theå cho bôûi phöông phaùp xaáp xæ lieân tieáp Picard−Lindelof sau ñaây. ¨ Xeùt daõy caùc haøm xaùc ñònh moät caùch ñeä qui bôûi y0 (x) = y0 (hay moät haøm naøo ñoù) yk+1 (x) = y0 + x0 f (t, yk (t))dt, vôùi k ∈ N x Boå ñeà 1.2.1. Giaû söû f lieân tuïc treân hình chöõ nhaät D = {(x, y)/|x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b} b Ñaët M := max(x,y)∈D |f (x, y)| vaø h := min a, . Khi ñoù vôùi moïi x ∈ I := [x0 − M h, x0 + h] ta coù |yk (x) − y0 | ≤ b, vôùi moïik Noùi caùch khaùc, caùc haøm yk khoâng ñi ra khoûi hình chöõ nhaät D. Chöùng minh: Ta coù, vôùi x0 − h ≤ x ≤ x0 + h: x x |yk − y0 | = f (t, yk−1(t))dt ≤ |f (t, yk−1(t))| dt ≤ M |x − x0 | ≤ Mh ≤ b x0 x0 Ví duï: Xeùt phöông trình y = −y 2 ,vôùi y(0) = 1. Nghieäm chính xaùc cuûa noù laø 1 y= . Vaøi xaáp xæ ñaàu tieân trong pheùp laëp Picard-Lindelof laø y0 = 1, y1 = 1 − x, ¨ x+1 x3 y2 = 1 − x + x2 − ...(xem Hình 1.2). Ta nhaän thaáy caùc xaáp xæ yk hoäi tuï nhanh khi x 3 beù, vôùi caùc giaù trò x lôùn pheùp laëp laø phaân kyø.
1.2. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 9 Y0(x) Y2(x) Y4(x) Y1(x) Y3(x) 1 2 3 4 Hình 1.2: Pheùp laëp Picard−Lindelof cho phöông trình y = −y 2 , vôùi y(0) = 1 1.2.2 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm Trong phaàn naøy ta seõ phaùt bieåu vaø chöùng minh ñònh lyù cô baûn cuûa lyù thuyeát phöông trình vi phaân, khaúng ñònh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy. Ñònh nghóa 1.2.1. Cho haøm f (x, y) xaùc ñònh treân mieàn D ⊂ R2 . Ta noùi f thoaû ñieàu kieän Lipschitz treân D theo bieán y neáu toàn taïi haèng soá döông L (goïi laø haèng soá Lipschitz) sao cho: |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L |y1 − y2 | , vôùi moïi (x, y1), (x, y2) ∈ D Nhaän xeùt: Ñieàu kieän Lipschitz laø yeáu hôn so vôùi ñieàu kieän giôùi noäi cuûa ñaïo haøm ∂f ∂f ∂f rieâng treân D. Thaät vaäy, giaû söû lieân tuïc vaø ≤ M. Khi ñoù, aùp duïng ñònh ∂y ∂y ∂y lyù Lagrange cho haøm f (x, y) theo bieán y ta ñöôïc ∂f f (x, y1 ) − f (x, y2 ) = (y1 − y2 ) [x, y1 + θ(y2 − y1 )] ∂y Töø ñoù suy ra ñieàu kieän Lipschitz. Ñònh lyù 1.2.2 (Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm). Giaû söû haøm soá f (x, y) trong (1.3) lieân tuïc vaø thoaû ñieàu kieän Lipschitz theo bieán y treân hình chöõ nhaät D = {(x, y)/ |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b} Khi ñoù nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy (1.7) laø toàn taïi vaø duy nhaát trong ñoaïn I := [x0 − h, x0 + h], vôùi h := min(a, M ) vaø M := max(x,y)∈D |f (x, y)|. b Chöùng minh: Chöùng minh chia laøm hai böôùc:
10 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I Söï toàn taïi: Ta chöùng minh raèng pheùp laëp Picard hoäi tuï ñeàu treân I ñeán moät nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy. Tröôùc tieân ta chöùng minh, baèng qui naïp raèng k |x − x0 |k+1 |yk+1(x) − yk (x)| ≤ ML , vôùi moïi x ∈ I (k + 1)! Vôùi k = 0, baát ñaúng thöùc treân chính laø xx f (t, yk−1(t))dt ≤ M |x − x0|, baát ñaúng thöùc 0 naøy ñuùng. Giaû söû ta coù ñieàu ñoù vôùi k − 1, khi ñoù vôùi x0 ≤ x ≤ x0 + h ta coù x |yk+1 (x) − yk (x)| = [f (t, yk (t)) − f (t, yk−1(t))] dt x0 x x ≤ |f (t, yk (t)) − f (t, yk−1(t))| dt ≤ L |yk (t) − yk−1 (t)| dt x0 x0 x ≤L |yk (t) − yk−1(t)| dt x0 x |x − x0 |k k |x − x0 | k+1 ≤ ML k dt = ML x0 k! (k + 1)! (vôùi x0 − h ≤ x ≤ x0 ta ñaùnh giaù töông töï). Xeùt daõy haøm {yk (x)} treân I , ta coù |yk+p (x) − yk (x)| ≤ |yk+p(x) − yk+p−1(x)| + |yk+p−1(x) − yk+p−2(x)| + · · · + |yk+1(x) − yk (x)| M (L |x − x0 |)k+p (L |x − x0 |)k+1 ≤ +···+ L (k + p)! (k + 1)! j M (Lh) ≤ L j! j≥k+1 (Lh)j Chuoåi soá ∞ j=0 laø hoäi tuï, neân phaàn dö cuûa noù maø xuaát hieän trong bieåu thöùc cuoái j! cuøng coù theå laøm cho beù tuyø yù khi k ñuû lôùn. Theo tieâu chuaån Cauchy, daõy {yk (x)} hoäi tuï ñeàu treân I ñeán haøm y(x). Ñeå chöùng minh y(x) laø nghieäm chæ caàn qua giôùi haïn trong ñaúng thöùc x yk+1(x) = y0 + f (t, yk (t))dt x0 Vì daõy haøm {yk (x)} hoäi tuï ñeàu, f lieân tuïc (ñeàu) treân hình chöõ nhaät D neân daõy haøm {f (t, yk (t))} hoäi tuï ñeàu treân I ñeán haøm f (t, y(t)). Do ñoù coù theå chuyeån giôùi haïn qua daáu tích phaân ñeå ñöôïc ñaúng thöùc (1.8). Vaäy y(x) chính laø nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy (1.7).
1.2. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 11 Tính duy nhaát: Giaû söû baøi toaùn Cauchy (1.7) coøn coù nghieäm z(x), khi ñoù ta coù x y(x) − z(x) = [f (t, y(t)) − f (t, z(t))] dt x0 Suy ra x |y(x) − z(x)| = [f (t, y(t)) − f (t, z(t))] dt ≤ 2M |x − x0 | x0 Laëp laïi caùc böôùc qui naïp nhö treân, ta deã daøng chöùng minh ñöôïc raèng vôùi moïi soá töï nhieân k: |x − x0 |k+1 |y(x) − z(x)| ≤ 2MLk , vôùi moïi x ∈ I (k + 1)! Cho k −→ +∞ ta coù |y(x) − z(x)| = 0 treân I . Nhö vaäy, moät caùch ñòa phöông, nghieäm y(x) laø duy nhaát. Nhaän xeùt: Ñieàu kieän Lipschitz laø quan troïng, ngay caû khi f (x, y) lieân tuïc treân R2 . Chaúng haïn xeùt phöông trình y = 2 |y|, y(0) = 0 Ta thaáy ngay y≡0 laø moät nghieäm. Ngoaøi ra coøn coù voâ soá nghieäm khaùc (xem hình 1.3) laø (x − C)2 neáu x ≥ C 0 neáu x ≥ C y(x) = 0 neáu x ≤ C vaø y(x) = −(x − C)2 neáu x ≤ C Noùi caùch khaùc, tính duy nhaát nghieäm bò vi phaïm. Nhaän xeùt: Thöïc chaát chöùng minh laø duøng nguyeân lyù aùnh xaï co trong caùc khoâng gian metric ñuû. Ñònh nghóa 1.2.2. Cho khoâng gian metric E vôùi metric d. AÙnh xaï T : E → E ñöôïc goïi laø aùnh xaï co neáu toàn taïi soá α ∈ (0, 1) sao cho vôùi moïi caëp phaàn töû x, y ∈ E ta ñeàu coù d(T x, T y) ≤ αd(x, y) Ñònh lyù 1.2.3 (Nguyeân lyù aùnh xaï co). Moïi aùnh xaï co T trong khoâng gian metric ñuû ñeàu coù duy nhaát moät ñieåm baát ñoäng. Töùc laø ñieåm x ∈ E sao cho ∗ T (x∗ ) = x∗
12 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 1 -3 -2 -1 1 2 3 -1 Hình 1.3: Nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy y = 2 |y|, y(0) = 0 1.3 Phaân loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân 1.3.1 Caùc ñònh nghóa: Veà maët hình hoïc, baøi toaùn Cauchy cho phöông trình vi phaân caáp I coù theå hieåu laø tìm nghieäm y = y(x) cuûa (1.3) maø ñoà thò cuûa haøm soá y = y(x) (coøn goïi laø ñöôøng cong tích phaân cuûa phöông trình vi phaân) ñi qua ñieåm (x0 , y0). Noùi caùch khaùc, baøi toaùn Cauchy laø tìm ñöôøng cong tích phaân cuûa phöông trình (1.3) ñi qua ñieåm (x0 , y0) ∈ D cho tröôùc. Ñònh nghóa 1.3.1. Giaû söû D ⊂ R2 sao cho veá phaûi cuûa phöông trình (1.3) xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân D. Haøm soá y = y(x, C) phuï thuoäc lieân tuïc vaøo haèng soá C ñöôïc goïi laø nghieäm toång quaùt cuûa (1.3) neáu: a) Vôùi moãi ñieàu kieän ban ñaàu (x0 , y0) ∈ D ta luoân giaûi ñöôïc C döôùi daïng C = ϕ(x0 , y0 ) (∗) trong ñoù ϕ laø haøm lieân tuïc. b) Haøm y = y(x, C) thoaû maõn phöông trình (1.3) vôùi moãi giaù trò cuûa C cho bôûi (∗) khi (x0 , y0) chaïy khaép D. Khi ñoù heä thöùc ϕ(x, y) = C (hoaëc chính haøm ϕ(x, y)) ñöôïc goïi laø tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình (1.3). Ví duï: Phöông trình y +y = 0 coù nghieäm toång quaùt laø y(x) = Ce−x vôùi C laø haèng soá tuyø yù. Ñònh nghóa 1.3.2. Nghieäm cuûa phöông trình (1.3) maø taïi moãi ñieåm cuûa noù tính • chaát duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy ñöôïc thoaû maõn ñöôïc goïi laø nghieäm rieâng. • Nghieäm cuûa phöông trình (1.3) maø taïi moãi ñieåm cuûa noù tính chaát duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy bò vi phaïm ñöôïc goïi laø nghieäm kyø dò.
1.3. Phaân loaïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân 13 Nhaän xeùt: Töø ñònh nghóa nghieäm toång quaùt, ta suy ra raèng vôùi moãi ñieàu kieän ban ñaàu (x0 , y0 ) ∈ D , ta luoân tìm ñöôïc C0 = ϕ(x0, y0) sao cho y = y(x, C0) laø nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy töông öùng. Noùi caùch khaùc, baèng caùch choïn caùc giaù trò thích hôïp cho haèng soá, ta coù theå thu ñöôïc caùc nghieäm rieâng tuyø yù cuûa phöông trình, khoâng keå caùc nghieäm kyø dò. Giaûi (hay coøn goïi laø tích phaân) moät phöông trình vi phaân laø tìm taát caû caùc nghieäm (bieåu thöùc nghieäm toång quaùt) cuûa phöông trình ñoù hoaëc nghieäm cuûa baøi toaùn Cauchy vôùi ñieàu kieän ban ñaàu cho tröôùc. Ví duï: Tìm nghieäm rieâng y(x) cuûa phöông trình y = 3y + x thoaû ñieàu kieän y(0) = 1. x 1 Ta deã kieåm tra raèng nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø y = − − +Ce3x . 3 9 Ñeå tìm nghieäm rieâng thoaû ñieàu kieän nhö treân ta chæ caàn thay caùc giaù trò ban ñaàu vaø tính C . 1 1 = y(0) = − + Ce0 9 10 x 1 10 Suy ra C = , nghieäm caàn tìm laø y = − − + e3x . 9 3 9 9 1.3.2 YÙ nghóa hình hoïc cuûa phöông trình vi phaân: Xeùt phöông trình vi phaân (1.3), vôùi f (x, y) lieân tuïc treân mieàn môû trong R 2. Taïi moãi ñieåm M(x, y) thuoäc mieàn naøy, ta gaùn cho noù moät höôùng vôùi heä soá goùc laø dy k= = f (x, y) dx Khi ñoù ta thu ñöôïc moät tröôøng caùc höôùng xaùc ñònh bôûi (1.3), vaø dó nhieân höôùng cuûa tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong taïi moãi ñieåm truøng vôùi höôùng cuûa tröôøng taïi ñieåm ñoù. Giaûi moät phöông trình vi phaân daïng (1.3) veà maët hình hoïc laø tìm taát caû caùc ñöôøng cong sao cho taïi moãi ñieåm cuûa noù höôùng cuûa tieáp tuyeán truøng vôùi höôùng cuûa tröôøng. Ngöôïc laïi, cho tröôùc hoï ñöôøng cong y = ϕ(x, C) (∗) phuï thuoäc vaøo tham soá C sao cho qua moãi ñieåm chæ coù duy nhaát moät ñöôøng cong cuûa hoï ñi qua. Ta seõ laäp phöông trình vi phaân nhaän hoï ñöôøng cong naøy laøm nghieäm toång quaùt nhö sau. Ñaïo haøm hai veá cuûa phöông trình treân theo x, ta ñöôïc dy ∂ϕ = (x, C) dx ∂x Töø phöông trình (∗), vôùi moãi (x, y) ta luoân tìm ñöôïc duy nhaát giaù trò C = C(x, y). Thay C vaøo ñaúng thöùc treân ta nhaän ñöôïc ∂ϕ y = (x, C(x, y)) =: f (x, y) ∂x
14 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 2 y(x) 1 –3 –2 –1 1 x 2 3 –1 –2 –3 y Hình 1.4: Tröôøng höôùng cuûa phöông trình y =− x vaø ñaây laø phöông trình vi phaân caàn tìm. Ví duï: Tìm phöông trình vi phaân cuûa hoï ñöôøng cong sau: y = Cx2 Ñaïo haøm hai veá theo x ta ñöôïc y = 2Cx. Khöû C ta thu ñöôïc phöông trình vi phaân: y y =2 x 1.4 Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I Trong baøi naøy ta seõ giôùi thieäu moät soá daïng phöông trình vi phaân caáp I maø coù theå tích phaân ñöôïc theo nghóa coù theå vieát bieåu thöùc cuûa nghieäm toång quaùt döôùi daïng töôøng minh hoaëc phuï thuoäc tham soá. Löu yù raèng ta khoâng coù phöông phaùp giaûi toång quaùt cho phöông trình vi phaân, thaäm chí caáp I. 1.4.1 Phöông trình vôùi bieán soá phaân ly: Phöông trình vi phaân caáp I daïng M(x)dx + N(y)dy = 0 (1.9) ñöôïc goïi laø phöông trình vôùi bieán soá phaân ly (hay coøn goïi phöông trình taùch bieán).
1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 15 Caùch giaûi: Caùc haøm M(x), N(y) ñöôïc giaû thieát lieân tuïc treân caùc khoaûng naøo ñoù. Khi ñoù chæ caàn tích phaân hai veá cuûa (1.9) ta thu ñöôïc tích phaân toång quaùt cuûa noù laø M(x)dx + N(y)dy = C Ví duï: Giaûi phöông trình y 2y = x(1 + x2 ). Phöông trình naøy coù daïng taùch bieán y 2 dy − x(1 + x2 )dx = 0 Tích phaân hai veá ta thu ñöôïc nghieäm toång quaùt laø: y 3 x2 x4 − − =C 3 2 4 Nhaän xeùt: Phöông trình daïng M1 (x)N1 (y)dx + M2 (x)N2 (y)dy (1.10) cuõng ñöa ñöôïc veà daïng (1.9) vôùi bieán soá phaân ly, baèng caùch chia hai veá cho M2 (x)N1 (y) (vôùi giaû thieát bieåu thöùc naøy khaùc 0) M1 (x) N2 (y) dx + dy = 0 M2 (x) N1 (y) Do ñoù tích phaân toång quaùt laø M1 (x) N2 (y) dx + dy = C M2 (x) N1 (y) Ví duï: Giaûi phöông trình x(1 + y 2)dx + y(1 + x2 )dy = 0 Chia hai veá cho (1 + x2 )(1 + y 2) ta ñöôïc xdx ydy 2 + =0 1+x 1 + y2 Tích phaân hai veá ta ñöôïc xdx ydy + =C 1 + x2 1 + y2 töùc laø 1 1 1 ln(1 + x2 ) + ln(1 + y 2 ) = C := ln C1 2 2 2 Vaäy tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø (1 + x2 )(1 + y 2) = C1 trong ñoù C1 laø haèng soá tuyø yù.
16 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I 1.4.2 Phöông trình vi phaân thuaàn nhaát: Haøm soá f (x, y) ñöôïc goïi laø thuaàn nhaát baäc m neáu vôùi moïi t > 0 ta coù f (tx, ty) = tm f (x, y) Phöông trình vi phaân y = f (x, y) ñöôïc goïi laø thuaàn nhaát (hay coøn goïi ñaúng caáp) neáu haøm soá ôû veá phaûi laø haøm thuaàn nhaát baäc 0, töùc laø f (tx, ty) = f (x, y) vôùi moïi t > 0. Nhaän xeùt: Neáu ñaët u := y ta coù f (x, y) = f (± |x| , |x| y ) = f (±1, ±u) =: g(u). x |x| Caùch giaûi: dy du Ñaët y = xu, ta coù = x + u. Töø ñoù dx dx du x + u = g(u) dx hoaëc döôùi daïng taùch bieán du dx = g(u) − u x Tích phaân hai veá ta ñöôïc du x = ln g(u) − u C hay du x = C exp vôùi C = 0 g(u) − u y Thay u = vaøo bieåu thöùc treân ta tìm ñöôïc tích phaân toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn x nhaát. Ví duï: Giaûi phöông trình (x2 + y 2)dx + xydy = 0 Ta coù theå vieát phöông trình ñaõ cho döôùi daïng dy y x =− − dx x y Veá phaûi cuûa phöông trình naøy laø haøm thuaàn nhaát. du 1 Ñaët y = xu ta coù x + u + u + = 0, hay töông ñöông vôùi dx u dx udu =− x 1 + 2u2 Tích phaân phöông trình naøy ta ñöôïc x 1 ln = − ln(1 + 2u2 ) C 4
1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 17 y Thay u = vaøo ñaúng thöùc naøy ta ñöôïc nghieäm x C 4 x2 x4 = x2 + 2y 2 vôùi C = 0. Phöông trình ñöa veà thuaàn nhaát: Caùc phöông trình daïng dy ax + by + c = f( ) dx a1 x + b1 y + c1 coù theå ñöa veà daïng thuaàn nhaát baèng pheùp bieán ñoåi x = ξ + x0 y = η + y0 trong ñoù x0 vaø y0 ñöôïc choïn sao cho: ax0 + by0 + c = 0 a1 x0 + b1 y0 + c1 = 0 Khi ñoù dη aξ + bη =f dξ a1 ξ + b1 η a + bηξ η =f =g a1 + b1 η ξ ξ vaø ñaây chính laø phöông trình daïng thuaàn nhaát. Ví duï: Giaûi phöông trình (2x − 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy = 0. Tröôùc heát ta xeùt heä phöông trình sau 2x0 − 4y0 + 6 = 0 x0 + y0 − 3 = 0 Heä naøy coù nghieäm laø x0 = 1, y0 = 2. Tieáp ñeán ta thöïc hieän pheùp ñoåi bieán x=ξ+1 y =η+2 Khi ñoù phöông trình ñaõ cho ñöôïc bieán ñoåi thaønh phöông trình thuaàn nhaát: (2ξ − 4η)dξ + (ξ + η)dη = 0 Ñeå giaûi phöông trình naøy ta ñaët η = uξ thì thu ñöôïc (2 − 3u + u2 )dξ + ξ(1 + u)du = 0
18 Chöông 1. Phöông trình vi phaân thöôøng caáp I Phöông trình naøy chaáp nhaän nghieäm u = 1 vaø u = 2. Ñeå tìm nghieäm toång quaùt ta chia 2 veá cho 2 − 3u + u2: dξ (1 + u)du + =0 ξ 2 − 3u + u2 dξ 3 2 ⇔ + − du = 0 ξ u−2 u−1 Tích phaân 2 veá ta ñöôïc |u − 2|3 ln |ξ| + ln = ln C1 (u − 1)2 (u − 2)3 hay ξ =C (u − 1)2 Trôû laïi bieán x, y ban ñaàu ta coù nghieäm toång quaùt (y − 2x)3 = C(y − x − 1)2 cuøng vôùi hai nghieäm y = x + 1 vaø y = 2x töông öùng vôùi u = 1 vaø u = 2. 1.4.3 Phöông trình vi phaân toaøn phaàn: Phöông trình vi phaân daïng P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (1.11) ñöôïc goïi laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn neáu veá traùi cuûa noù laø vi phaân toaøn phaàn cuûa haøm naøo ñoù, töùc laø toàn taïi haøm U(x, y) sao cho dU(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy Khi ñoù tích phaân toång quaùt cuûa (1.11) cho bôûi U(x, y) = C Nhaän xeùt: Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå phöông trình (1.11) laø phöông trình vi phaân toaøn phaân laø ∂P ∂Q = ∂y ∂x Vaø khi ñoù haøm U(x, y) coù theå tìm döôùi daïng: x y U(x, y) = P (x, y)dx + Q(x0 , y)dy x0 x y0 y (1.12) hay U(x, y) = P (x, y0)dx + Q(x, y)dy x0 y0
1.4. Phöông phaùp giaûi moät soá phöông trình vi phaân caáp I 19 trong ñoù (x0 , y0) laø moät ñieåm naøo ñoù sao cho caùc tích phaân treân toàn taïi. Ví duï: Giaûi phöông trình (x3 + xy 2)dx + (x2 y + y 3)dy = 0. Ta coù P (x, y) = x3 + xy 2 vaø Q(x, y) = x2 y + y 3 neân ∂P ∂Q = 2xy = ∂y ∂x Heä thöùc naøy chöùng toû raèng phöông trình ñaõ cho laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn vôùi haøm U(x, y) coù theå choïn laø x y U(x, y) = (x3 + xy 2 )dx + (0.y + y 3 )dy 0 0 x4 x2 y 2 y 4 hay U(x, y) = + + 4 2 4 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø (x2 + y 2)2 = 4C1 := C 2 hay x2 + y 2 = C vôùi C ≥ 0 Thöøa soá tích phaân: Coù nhöõng tröôøng hôïp phöông trình (1.11) chöa phaûi laø phöông trình vi phaân toaøn phaàn, nhöng coù theå tìm ñöôïc haøm soá µ(x, y) sao cho phöông trình sau trôû thaønh phöông trình vi phaân toaøn phaàn: µ(x, y){P (x, y)dx + Q(x, y)dy} = 0 Haøm µ(x, y) nhö theá ñöôïc goïi laø thöøa soá tích phaân cuûa phöông trình (1.11). Ñieàu kieän ñeå µ laø thöøa soá tích phaân laø µ phaûi thoaû maõn phöông trình: ∂ ∂ (µP ) = (µQ) ∂y ∂x Hay töông ñöông ∂µ ∂µ ∂P ∂Q Q −P =µ − (∗) ∂x ∂y ∂y ∂x Khoâng coù phöông phaùp toång quaùt ñeå giaûi phöông trình ñaïo haøm rieâng naøy. Tuy nhieân trong moät vaøi tröôøng hôïp ñaëc bieät ta coù theå tìm ñöôïc µ. Tröôøng hôïp I: µ chæ phuï thuoäc vaøo x. Giaû söû µ > 0, khi ñoù chia hai veá cuûa (∗) cho µ, ta ñöôïc d ln µ ∂P ∂y − ∂Q ∂x = =: ϕ dx Q