Giáo trình Vi tích phân 1C
Bộ môn Giải tích (Khoa Toán–Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh)
Bản ngày 19 tháng 8 năm 2018
ii
Đây là giáo trình cho các môn toán Vi tích phân 1 cho khối C do Bộ môn Giải tích
(Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh) chủ trì biên
soạn.
•Tham gia biên soạn: Vũ Đỗ Huy Cường, Lý Kim Hà, Nguyễn Vũ Huy, Bùi Lê Trọng
Thanh, Nguyễn Thị Thu Vân, Huỳnh Quang Vũ
•Tham gia biên tập LaTeX: Hồ Thị Kim Vân
•Tham gia vẽ hình: Nguyễn Hoàng Hải
•Người biên tập hiện nay: Huỳnh Quang Vũ. Liên hệ: hqvu@hcmus.edu.vn
Trang web Tài liệu hỗ trợ môn học của Bộ môn Giải tích có ở:
http://www.math.hcmus.edu.vn/giaitich
Đây là bản thảo, đang được tiếp tục chỉnh sửa bổ sung.
Mục lục
1 Số thực và Hàm số thực 1
1.1 Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Tập hợp và ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Vài quy tắc suy luận toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Tập hợp các số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Đồ thị. Đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Hàm số liên tục 16
2.1 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Tiếp tuyến. Vận tốc. Tỉ lệ thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Một số tính chất căn bản của giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.4 Các giới hạn mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 Tính chất của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Định lý giá trị trung gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Phép tính vi phân 38
3.1 Đạo hàm và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.1 Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.2 Tính chất của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Các công thức cho đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1 Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2 Đạo hàm của hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.3 Đạo hàm của hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.4 Đạo hàm của hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.5 Đạo hàm bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Ứng dụng của đạo hàm 53
4.1 Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.1 Sự tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.2 Các định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Đạo hàm và tính chất của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.1 Tính tăng, giảm, và cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.2 Tính lồi, lõm, và điểm uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.3 Xấp xỉ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
iii
iv MỤC LỤC
4.2.4 Qui tắc l’Hôpital và ứng dụng trong tính giới hạn . . . . . . . . . . . 66
5 Phép tính tích phân 74
5.1 Định nghĩa và tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.1 Bài toán diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.2 Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.3 Các tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2 Định lý Cơ bản của phép tính vi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.1 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2.2 Công thức Newton-Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Một số phương pháp biến đổi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3.1 Phép đổi biến trong tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3.2 Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3.3 Một số phương pháp tính tích phân cho các hàm đặc biệt . . . . . . 85
5.3.4 Sự tồn tại công thức cho tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3.5 Tính tích phân bằng phương pháp số . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.6 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4.1 Diện tích, thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4.2 Giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4.3 Một số ứng dụng trong khoa học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4.4 Xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6 Chuỗi 105
6.1 Tiếp theo về Dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 Chuỗi số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.1 Sự hội tụ của chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.2 Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.3 Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3 Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7 Phương trình vi phân 122
7.1 Phương trình vi phân và mô hình toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.1.1 Mô hình với phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2 Giải phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2.1 Phương trình vi phân cấp một tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2.2 Phương trình vi phân cấp một đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.2.3 Phương trình vi phân cấp một tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 131
Tài liệu tham khảo 139
Chương 1
Số thực và Hàm số thực
1.1 Số thực
1.1.1 Tập hợp và ánh xạ
Trong toán học hiện nay, tập hợp được coi là một trong những khái niệm ban đầu, từ đó
dùng một số qui tắc suy luận nhất định người ta xây dựng các kết quả trong toán học.
Có những lý thuyết sâu sắc hơn về tập hợp và về các tập hợp cơ sở như tập hợp các số tự
nhiên, tập hợp các số thực, nhưng ở môn học này chúng ta không thảo luận chúng mà chỉ
thừa nhận và sử dụng một số tính chất của chúng mà phù hợp với kinh nghiệm của đa số
người.
Chúng ta có thể hiểu một tập hợp là một sự ghép nhóm các đối tượng có tính chất
chung nào đó. Các đối tượng đó gọi là các phần tử của tập hợp đang xét.
Người ta thường dùng các chữ cái in hoa như A,B,C,X,Y,Z, . . . để chỉ các tập hợp
và thường dùng các chữ các in thường như a,b,c,x,y,z, . . . để chỉ các phần tử trong tập
hợp. Nếu xlà phần tử thuộc A, ta kí hiệu x∈Avà đọc là “xthuộc A”. Nếu xkhông là
phần tử của Ata kí hiệu là x /∈Avà đọc là “xkhông thuộc A” .
Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu là ∅.
Để mô tả một tập hợp người ta thường dùng hai phương pháp sau:
(a) Liệt kê các phần tử của tập hợp đó. Ví dụ nếu tập hợp Achứa đúng 4phần tử x,
y,zvà t, thì ta viết A={x, y, z, t}. Hay tập hợp Bgồm các ngày trong tuần được
viết là
B={thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy, chủ nhật}.
Phương pháp này thường được dùng để mô tả các tập hợp có ít phần tử.
(b) Chỉ ra những tính chất mà mọi phần tử của tập hợp đó đều có. Giả sử tập hợp A
chứa các phần tử có cùng tính chất P. Ta viết
A={x|P(x)}.
Ví dụ tập hợp Cgồm các sinh viên năm nhất là nam có thể được viết là:
C={sinh viên năm nhất |sinh viên là nam}.
Phương pháp này thường dùng để mô tả các tập hợp có nhiều phần tử.
Để biểu diễn một tập hợp một cách trực quan ta có thể dùng biểu đồ.
Nếu mọi phần tử của tập Acũng là phần tử của tập Bthì ta nói Alà tập con của B
và kí hiệu A⊂B.
1