T
T
Tr
r
rư
ư
ườ
ờ
ờn
n
ng
g
g
T
T
TH
H
HP
P
PT
T
T
N
N
Ng
g
gu
u
uy
y
yễ
ễ
ễn
n
n
B
B
Bỉ
ỉ
ỉn
n
nh
h
h
K
K
Kh
h
hi
i
iê
ê
êm
m
m
Đại số & Giải tích 11.
Tiểu luận :
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƢƠNG
DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN.
Người thực hiện : Nguyễn Công Tuấn . Lớp : A6
Chương 3 : DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN.
I.Kiến thức cần nhớ :
1. Phƣơng pháp chứng minh quy nạp:
Để chứng minh 1 mệnh đề chứa biến F(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dƣơn n ≥ p
( p
N٭ cho trƣớc ) ta cần thực hiện 2 bƣớc cơ bản :
Bƣớc 1: Chứng minh F(n) là một mệnh đề đúng khi n = p.
Bƣớc 2 : Với k là số nguyên dƣơng tuỳ ý , xuất phát từ giả thiết F(n) là mệnh đề đúng với
n = k, ta đi chứng minh F(n) đúng đến n = k + 1.
VD1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có:
1.2 + 2.5 + … +n(3n – 1 ) =
2
n
( n + 1). (*)
Giải :
Với n = 1 , ta có :
1(3.1 – 1) = 1 (1 + 1)
(*) đúng với n = 1.
Giả sử (*) đúng với n = k , k
N*, tức là :
1.2 + 2.5 + …+ k(3k- 1) =
2
k
( k + 1),
Ta sẽ chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là :
1.2 + 2.5 +…+ (k + 1)(3k + 2) =
2
1k
( k + 2).
Thật vậy , từ giả thiết quy nạp, ta có :
1.2 + 2.5 + …+ k(3k – 1 ) + (k + 1)(3k + 2) =
21kk
+ (k + 1)(3k + 2)
= (k + 1)(
2
k
+ 3k +2)
= (k + 1)(k + 1)(k + 2) =
2
1k
(k + 2).
ĐPCM .
VD2: Chứng minh rằng :
n
u
=
113
n
chia hết cho 6
n
N*.(1)
Giải :
Khi n = 1, ta có :
n
u
= 13 – 1 = 12
6
1
đúng .
Giả sử rằng (1) đúng với n = k ( k
N* , k ≥ 1) tức là :
6113
k
Ta chứng minh rằng (1) đúng tới n = k + 1, tức là :
6113 1
k
Thật vậy , ta có :
113 1
k
=
121313.13
k
=
1211313
k
6
ĐPCM.
2. Dãy số :
a) Các định nghĩa :
Dãy số vô hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dƣơng N*.
Dãy số hữu hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp m số nguyên dƣơng đầu tiên
( m là số nguyên dƣơng cho trƣớc).
Dãy số tăng :
n
u
là dãy số tăng
nn uun 1
,
> 0.
Dãy số giảm :
n
u
là dãy số giảm
nn uun 1
,
< 0.
Dãy số không đổi :
n
u
là dãy số không đổi
nn uun 1
,
= 0.
Dãy số bị chặn trên :
n
u
là dãy số bị chặn trên nếu
M:
n
u
M ,
n
N*.
Dãy số bị chặn dƣới :
n
u
là dãy số bị chặn dƣới nếu
m:
n
u
m,
n
N*.
Dãy số bị chặn : là dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dƣới .
b) VD:
1) Cho dãy
n
u
với
n
u
=
3
1n
.Chứng minh
n
u
là dãy số tăng.
Ta có :
nn uu
1
=
33 12 nn
=
793 2 nn
> 0,
n
N*
Dãy số tăng.
2) Cho dãy số
n
u
với
n
u
=
56
65
n
n
. Chứng minh
n
u
là dãy số giảm.
Ta có:
nn uu
1
=
56
65
116
115
n
n
n
n
=
56116
11
nn
< 0,
n
N*
Dãy số giảm.
3) Chứng minh rằng dãy
n
v
với
n
v
=
32
1
2
2
n
n
, là dãy số bị chặn.
Ta có :
n
v
=
32
22
2
1
2
2
n
n
=
32
5
1
2
1
2
n
=
322
5
2
1
2
n
.
Dễ thấy
n
N* , thì
5
1
32
1
12
n
. Do đó
-2 ≤
n
v
≤ 1 (
n
1).
Vì vậy,
n
v
là dãy số bị chặn.
3. Cấp số cộng & Cấp số nhân:
a) Cấp số cộng :
Định nghĩa : dãy
n
u
là cấp số cộng
n
,
1n
u
=
n
u
+ d ( d là một hằng số &
đƣợc gọi là công sai).
Các tính chất của cấp số cộng :
Định lí về 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng :
n
u
là cấp số cộng
k
u
=
2
211
k
uu kk
.
Công thức của số hạng tổng quát của cấp số cộng
n
u
:
n
u
=
dnu 1
1
(d là công sai)
Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
n
u
:
n
S
=
2
1n
uun
hoặc
n
S
=
2
12 1dnun
.
VD : Cho dãy
n
u
với
n
u
= 20n – 2010.
Chứng minh rằng
n
u
là cấp số cộng. Tìm công sai.
Tính
2009
u
&
2011
u
. Từ đó suy ra
2010
u
.
Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên.
Giải :
Ta có :
nn uu
1
= 20(n + 1) – 2010- (20n-2010) = 20.
n
u
là cấp số cộng , công sai d = 20.
2009
u
= 20.2009 – 2010 = 38170.
2011
u
= 20.2011- 2010 = 38210.
2010
u
=
220112009 uu
=
2
3821038170
= 38190.
Ta có :
12
S
=
2
12.2011221u
.
Mà :
= 20.1 – 2010 = - 1990.
12
S
= - 22560.
b) Cấp số nhân :
Định nghĩa : dãy
n
u
là cấp số nhân
n
,
1n
u
=
qun.
( q là hằng số & đƣợc gọi
là công bội).
Các tính chất của cấp số nhân :
Định lí về 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân :
n
u
là cấp số nhân
2
k
u
=
11. kk uu
(k ≥ 2 ).
Công thức của số hạng tổng quát của cấp số nhân
n
u
:
n
u
=
1
1.n
qu
( q là công bội ).
Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
n
u
với q
1:
n
S
=
.
1
1
.
1q
q
un
VD:
Cho cấp số nhân
n
v
có
3
v
= 24 ,
4
v
= 48.
Tìm
, công bội q của dãy số. Từ đó hãy suy ra số hạng tổng quát.
Tính tổng 200 số hạng đầu tiên.
Giải:
Vì
n
v
là cấp số nhân
q =
3
4
v
v
= 2.
=
3
4
q
v
=
3
2
48
= 6.
Số hạng tổng quát :
n
v
=
1
2.6 n
(
n
1).
Ta có :
200
S
=
q
qv
1
1200
1
=
21
216 200
=
200
6 2 1
.
II. Các dạng bài tập :
Dạng 1: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học :
Bài1 : Chứng minh rằng :
2222 ....321 n
=
6
121 nnn
( n
N * ).
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có bất đẳng thức sau :
13
1
...
2
1
1
1
nnn
> 1.
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n
2, ta luôn có các bất đẳng thức sau :
i.
n
1
....
3
1
2
1
1
>
n
;
ii.
12
1
....
3
1
2
1
1
n
< n.
Bài 4: Cho số thực
2kx
. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n , ta luôn có :
nxxx cos....2coscos1
=
2
sin
2
cos
2
1
sin
x
nxxn
.
Bài 5 : Chứng minh rằng :
121 1211 nn
133 (
n
N*).
Bài 6: Tính tổng :
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1).
( HD : vận dụng đẳng thức ở câu 1 để giải ).
Bài 7: Chứng minh rằng : 1+ 3 + 5 +…+ (2n – 1) =
2
n
, (
n
N*).
Bài 8: Chứng minh rằng :
n
U
=
1222 32.7 nn
5 (
n
N*).
Bài 9: Chứng minh rằng :
3333 ...321 k
=
4
12
2kk
, (
k
N*).
Bài 10: Cho mệnh đề “ với k là số nguyên dƣơng tuỳ ý , nếu
18
k
7 thì
18 1
k
7”
Một bạn học sinh chứng minh nhƣ sau :
Ta có :
18 1
k
=
7188
k
. Từ giả thiết “
18
k
7”
18 1
k
7 . Hỏi rằng từ
lập luận của mình , bạn học sinh đó có thể kết luận đƣợc “
18
k
7 , (
k
N*)” hay
không ? Vì sao ?
Dạng 2: Tính đơn điệu của dãy số :
Bài 1: Tính 6 số hạng đầu tiên của các dãy số sau :
i. Dãy số
n
v
với
n
v
=
3
3
n
n
.
ii. Dãy số
n
u
với
n
u
=
nn 20092010
.
iii. Dãy số
n
v
với
n
v
=
32
sin
n
. (HD : Thay lần lƣợt n = 1,2,3,4,5,6).