intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Hình học 10: Chương 2 - Tích vô hướng và ứng dụng

Chia sẻ: Nguyen Van Thuan Thuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST
Báo xấu
121
lượt xem 14
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và ôn thi môn Hình học, mời các bạn cùng tham khảo nội dung chương 2 "Tích vô hướng và ứng dụng" dưới đây. Nội dung tài liệu cung cấp cho các bạn những kiến thức và những câu hỏi bài tập về tích vô hướng và ứng dụng tích vô hướng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hình học 10: Chương 2 - Tích vô hướng và ứng dụng

  1. Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa H ÌNH H ỌC 10 Ch ư ơng 2. Tích Vô Hướng Và Ứng Dụng http://www.saosangsong.com.vn/ Save Your Time and Money Sharpen Your Self-Study Skill Suit Your Pace
  2. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 2 §1.Tích vô hướng của hai vectơ A .Tóm tắt giáo khoa : 1 . Góc giữa hai vectơ : a) Góc hình học : Góc hình học là hình tạo bởi hai tia có chung gốc .Số đo a ( tính bằng độ ) của một góc hình học thỏa : 0o ≤ a ≤ 180o • Nếu 0o ≤ a ≤ 90o và a không phải là góc đặc biệt (0o ;30o ; 45o ;60o ;90o ) càc giá trị lượng giác của a được tính bằng máy tính bỏ túi y • Nếu 90o < a ≤ 180o , ta dùng góc bù để tính giá G a trị lượng giác của a : sin a = sin(180o − a ) G b cos a = − cos(180o − a ) tan a = − tan(180o − a ) cot a = − cot(180o − a ) O x G G G b) Góc giữa hai vectơ : Cho 2 vectơ a ; b ( ≠ 0 ) ; JJJG G JJJG G G G Vẽ các vectơ OA = a ; OB = b Góc AOB được gọi là góc giữa 2 vectơ a ; b G JJG Ký hiệu : (a, b) 2 . Tích vô hướng của hai vectơ : GG G G a ) Định nghĩa : Tích vô hướng của hai vectơ a , b ký hiệu là a.b là một số xác định bởi : JGG G G G G a.b = a b cos(a, b) b) Tính chất : GG GG D a.b = b.a G G G JGG G G a.(b + c) = a.b + ac C G G G G G JJG (k a )b = k (a.b) = a.(kb) Ta cũng có các kết qủa sau : G2 G 2 GG G G A F E B a = a ; a.b = 0 ⇔ a ⊥ b Chú ý : Sử dụng các tính chất ta sẽ có các hệ thức : JJG G G2 G G G2 (a + b) 2 = a + 2a.b + b G G G G G2 G2 (a + b)(a − b) = a − b JJJG JJJG c) Công thức hình chiếu : Cho hai vectơ bất kỳ , AB ; CD . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C , D xuống đường thẳng AB . Ta có công thức : JJJG JJJG JJJG JJJG AB.CD = AB.EF d) Công thức về tọa độ G : G Cho các vectơ : a = ( a1 , a2 ) ; b = (b1 , b2 ) . Ta có các công thức : 2 www.saosangsong.com.vn/
  3. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 3 G 2 2 a = a1 + a2 GG a.b = a1b1 + a2b2 G G a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 = 0 G G a1b1 + a2b2 cos(a, b) = 2 2 2 2 a1 + a2 . b1 + b2 3 . Áp dụng : JJJG JJJG Bài toán 1 : Tìm tập hợp điểm M thỏa : MA.MB = k (1) ( A , B cố định ; k là hằng số ) Gọi I là trung điểm của AB , ta có : JJJG JJG JJJG JJG (1) ⇔ ( MI + IA)( MI + IB ) = k ⇔ MI 2 − IA2 = k ⇔ IM 2 = k + IA2 • k + IA2 > 0: Tập hợp các điểm M là đường tròn ( I , k + IA2 ) • k + IA2 = 0: Tập hợp các điểm M là : { I } • k + IA2 < 0 : Tập hợp các điểm M là tập rỗng Bài toán 2 : Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . Cho đường tròn tâm I JJJ , bán kính R và một điểm M . Một đường thẳng bất kỳ qua M cắt đường G JJJG tròn taị A và B . Biểu thức MA.MB được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (I) . Ta có : JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJG JJJG JJJG Ρ M /( I ) = MA.MB = MB.MB ' = ( MI + IB).( MI + IB ') JJJG JJG = MI 2 − IB 2 (do IB ' = − IB) T A = MI 2 − R 2 Chú ý : Do biểu thức trên , ta cũng có : Ρ M /( I ) = MT 2 M B ( MT là tiếp tuyến vẽ từ M đến đường tròn (I) ) I B' B . Giải toán : Dạng toán 1 : Sử dụng máy tính fx-500MS để tính giá trị lượng giác của một góc Ví dụ 1 : Tính các giá trị sau a) sin 65o 43'36"; b) tan(62o 25'16"); c) cot(42o12 ') Giải : Ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ Deg Rad Gra 1 2 Ấn phím 1 để chọn đơn vị đo góc là độ a) Ấn liên tíêp các phím : sin 6 5 o’” 4 3 o’” 3 6 o’” = 0,9115 b) Ấn liên tiếp các phím :tan 6 2 o’” 2 5 o’” 1 6 o’” = 1,9145 c) Ấn liên tiếp các phím : 1 ÷ tan 4 2 o’” 1 2 o’” = 1,1028 Vậy sin 65o 43'36" = 0,9115; tan(62o 25'16") = 1,9145;cot(42o12 ') = 1,1028 Ví dụ 2 : Tính x biết : a) sinx = 0,3502 b) tanx = 2 c) cotx = 2,619 Giải : 3 www.saosangsong.com.vn/
  4. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 4 a) Ấn liên tiếp các phím : shift sin 0 . 3 5 0 2 = o’” màn hình hiện lên 20o 29 '58" Vậy : x = 20o 29 '58" b) Ấn liên tíêp các phím : shift tan 2 = o’” màn hình hiện lên 63o 26 '5" Vậy : x = 63o 26 '5" c) Án liên tiếp các phím :shift tan ( 1 ÷ 2 . 6 1 9 ) = o’” màn hình hiện lên 20o 53'53" Vậy : x = 20o 53'53" Dạng toán 2 : Tính giá trị lượng giác của góc giữa 2 vectơ Ví dụ 1 :JJJ Cho hình JG JJJG vuông JJJG ABCD JJJJJG ; tính giá trị lượng giác của góc giữa các cặp vectơ sau : ( AC ; BC ) . (CA ; DC ) Giải : Ta cóJJJ : G JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG : BC = AD ⇒ ( AC , BC ) = ( AC , AD ) = DAC = 45o JJJG JJJG 2 B Do đó : sin( AC , BC ) = sin 45o = A 2 JJJG JJJG 2 cos( AC , BC ) = cos 45o = 2 JJJG JJJG JJJG JJJG tan( AC , BC ) = tan 45 = 1 = cot( AC , BC ) o D C E JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG Tương tự , vẽ CE = DC ; α = (CA, DC ) = (CA, CE ) = 135o và ta có : 2 − 2 sin α = sin135o = sin 45o = ;cos α = cos135o = − cos 45o = ; 2 2 (vì 135o ; 45o bù nhau ) tan α = tan135o = − tan 45o = −1; cot α = −1 Ví dụ 2 : Cho JJJG hình JJJG chữ nhật JJJG ABCD JJJG có AB = 4cm ; AD =3cm . Tính các góc : a = ( AC , AD ) ; b = (CA, BC ) Giải : Ta có : a = góc CAD Suy ra : A B CD 4 tan a = = = 1,333 ⇒ a = 53o 7 ' JJJG JJJG AD 3G JJJG JJJ JJJG JJJG b = (CA, BC ) = (CA, CE ) ; (CE = BC ) Suy ra b = gócACE .Mà gócACE và góc CAD bù nhau D C Nên b = 180o − 53o 7 ' = 126o53 ' Dạng toán 3 : Tinh tích vô hướng E A Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 3a . M , N là hai điểm thuộc cạnh AC sao cho AM = MN = NC Tính những JJJtích vôG hướng M G JJJ JJJG Jsau JJG : JJJJG JJJG AB. AC ; AC.CB ; BM .BN N Giải : C Ta có B JJJG JJJG 1 9a 2 AB. AC = AB. AC cos 60 = 3a.3a. = o 2 2 4 www.saosangsong.com.vn/ E
  5. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 5 JJJG JJJG JJJJGJJJJG JJJJGJJJG Vẽ CE = AC ; ( AC , CB ) = (CE ,CB ) = BCE = 120o JJJG JJJG −1 −9a 2 AC.CB = AC.CB cos120 = 3a.3a.( ) = o 2 2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG BM .BN = ( AM − AB )( AN − AB ) JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG 2 = AM . AN − AB. AM − AB. AN + AB = AM . AN cos 0o − AB. AM cos 60o − AB. AN cos 60o + AB 2 1 1 = a.2a.1 − 3a.a ( ) − 3a.2a ( ) + 3a.3a 2 2 13 2 = a 2 Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , trọng tâm G ; JJJG M là m JJJộGt điJJJ ểmJG trJJJ ênGđường thẳng (d) qua G và vuông góc với cạnh BC . Chứng minh rằng ( MA + MB + MC ).BC = 0 Giải : JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG Ta có : MA + MB + MC = 3MG ⇒ ( MA + MB + MC ).BC = 3MG.BC = 0 vì MG ⊥ BC Ví dụ 3 : Cho hình vuông ABCD cJJJ ạnh bằng G aJJJJ G JJJJ ; GJJJG M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD . Tính các tích vô hướng sau : AB. AM ; AM AN Giải : Ta có : JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG 2 JJJG JJJJG AB. AM = AB( AB + BM ) = AB + AB.BM JJJG JJJJG JJJG JJJJG A B = a 2 + 0 = a 2 ( AB ⊥ BM ⇒ AB.BM = 0) JJJJGJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG AM AN = ( AB + BM )( AD + DN ) JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG = AB. AD + AB.DN + BM . AD + BM .DN M = 0 + AB.DN cos 0o + BM . AD cos 0o + 0 D C a a = a. .1 + .a.1 = a 2 ( AB ⊥ AD; BM ⊥ DN ) N 2 2 Dạng toán 4 : Sử dụng định lý chiếu JJJG JJJG JJJG JJJG Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A và AB.CB = 4 ; AC.BC = 9 . Tính ba cạnh của tam giác Giải : Ta cóJJJ:G C JJJ,G B có JJJGhình JJJG chiếu2 xuống đường thẳng AB lần lượt là A , B .Do đó : 4 = AB.CB = AB. AB = AB ⇒ AB = 2 . Tương tự : JJJG JJJG JJJG JJJG C 9 = AC.BC = AC. AC = AC ⇒ AC = 3 2 BC = AB 2 + AC 2 = 4 + 9 = 13 Ví dụ 2 : Cho JJJG tam JJJgiác JG JJJABC G . Tìm tập hợp các điểm M thỏa hệ thức: BC.(2 AM − BC ) = 0 (1) M Giải : JJJJG JJJG JJJG 2 AA B (1) ⇔ 2 AM .BC = BC JJJJG JJJG BC 2 ⇔ AM .BC = 2 Gọi A’ , M’ lần lượt là hình chiếu của A , M xuống đường B C A' M' 5 www.saosangsong.com.vn/
  6. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 6 JJJJG JJJG JJJJJJG JJJG JJJJJJG JJJG BC 2 thẳng BC , theo định lý hình chiếu , ta có : AM .BC = A ' M '.BC Do đó : A ' M '.BC = >0 JJJJJJG JJJG 2 Suy ra 2 vectơ A ' M ' , BC cùng hướng JJJJJJG JJJG BC 2 BC 2 BC Do đó ; A ' M '.BC = ⇔ A ' M '.BC = ⇔ A'M '= 2 2 2 Vậy điểm M’ cố định ( vì A’ cố định và BC khôngđổi ) Do đó : Tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) vuông góc với BC tại M’ Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có ba đường caoJJJJJ là :GAA’ JJJG , BB’ JJJJJG,CC’. GọiG JJJ JJJG JJJJ MG, N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB . Chứng minh : A ' M .BC + B ' N .CA + C ' P. AB = 0 Giải : Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp và H là trực tâm của tam giác , ta có : C A’ , B’ , C’ lần lượt là hìmh chiếu của H xuống BC , CA , AB . M , N , PJJJJJ lần lưGợt làJJJhìmh G JJJ G JJJGchiếu của O xuông BC , CA , AB Do đó : A ' M .BC = HO.BC (theo định lý hình chiếu ) A' Tương tự JJJJJ : G JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG N M B ' N .CA = HO.CA : C ' P. AB = HO. AB JJJJJG JJJG JJJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JG B' O Do đó : A ' M .BC + B ' N .CA + C ' P. AB = HO.( BC + CA + AB ) = HO.O = 0 A B Dạng toán 5 : Chứng minh một hệ thức giữa các độ dài C' P JJJG 2 Ta thường sử dụng các tính chất của tích vô hướng và tính chất AB = AB 2 Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có góc BAC = 120o ; AB =3 ; AC = 6 Tính cạnh BC Giải : Ta có JJJG 2 JJJG JJJG JJJG 2 JJJGJJJG JJJG 2 BC 2 = BC = ( AC − AB) 2 = AC − 2 AC AB + AB = 36 − 2.6.3cos120o + 9 = 36 + 18 + 9 = 63 ⇒ BC = 63 = 3 7 Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC trọng tâm G ; BC = a ; CA = b ; AB = c JJJG JJJG AB 2 + AC 2 − BC 2 a) Chứng minh rằng AB. AC = 2 b) Tính AG theo ba cạnh a , b , c Giải : JJJG 2 JJJG JJJG JJJGJJJG JJJG JJJG AB 2 + AC 2 − BC 2 Ta có : BC 2 = BC = ( AC − AB ) 2 = AC 2 + AB 2 − 2 AC AB ⇔ AB. AC = 2 Gọi M là trung điểm của BC , ta có : JJJG 2 JJJJG 2 1 JJJG JJJG AG = AM = . ( AB + AC ) 3 3 2 JJJG 2 1 JJJG JJJG 1 JJJG JJJG AG 2 = AG = ( AB + AC ) 2 = ( AB 2 + AC 2 + 2 AB. AC ) 9 9 1 1 = (b 2 + c 2 + b 2 + c 2 − a 2 ) = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 9 9 1 Vậy : AG = 2b 2 + 2c 2 − a 2 3 6 www.saosangsong.com.vn/
  7. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 7 Ví dụ 3 : Cho hình vuông ABCD tâm là O , cạnh bằng a .Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có : MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 4 MO 2 + 2a 2 Giải : Ta có : JJJG 2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG MA2 = MA = ( MO + OA) 2 = MO 2 + OA2 + 2MO.OA JJJG 2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG MB 2 = MB = ( MO + OB) 2 = MO 2 + OB 2 + 2 MO.OB JJJJG 2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG MC 2 = MC = ( MO + OC ) 2 = MO 2 + OC 2 + 2 MO.OC JJJJG 2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG MD 2 = MD = ( MO + OD)2 = MO 2 + OD 2 + 2MO.OD JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 4MO 2 + 4OA2 + 2MO(OA + OB + OC + OD) a 2 2 = 4 MO 2 + 4( ) +0 2 = 4MO 2 + 2a 2 JJJG JJJG JJJG JJJG JG a 2 (OA + OB + OC + OD = O ; OA = OB = OC = OD = ) 2 Dạng toán 6 : Chứng minh 2 vectơ vuông góc (hay 2 đường thẳng vuông góc) G G JGJJG 1 G G G JJJG Ví dụ 1 : Cho a = 6 ; b = 4 ; cos(a,b) = Chứng minh rằng hai vectơ ( a + b) ; (a − 2b) 6 vuông góc Giải : Ta có G G G G G2 G G G G G2 GG (a + b).(a − 2b) = a − 2ab + b.a − 2b = 36 − a.b − 2.16 G G 1 1 = 36 − a b . − 32 = 36 − 6.4. − 32 = 0 6 6 G G G G ⇒ (a + b) ⊥ (a − 2b) Ví dụ 2 : Cho hình thang vuông ABCD có 2 đáy là AD = 2a ; BC = 4a ; đường cao AB = 2a 2 . Chứng minh rằng hai đừơng chéo AC và BD thì vuông góc với nhau Giải : Ta có JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG AC.BD = ( AB + BC )( BA + AD) = AB.BA + AB. AD + BC.BA + BC. AD A D = AB.BA cos180o + 0 + 0 + BC. AD cos 0o = 2a 2.2a 2(−1) + 4a.2a.1 = −8a 2 + 8a 2 = 0 JJJG JJJG ⇒ AC ⊥ BD Vậy hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau B C Dạng toán 7 : Sử dụng công thức về tọa độ Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vớí A( 10 , 5 ) ; B( 3 , 2 ) ; C( 6 , -5 ) .Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại B . Giải : JJJG JJJG Ta có : AB = (3 − 10, 2 − 5) = (−7, −3) ; BC = (6 − 3, −5 − 2) = (−3, −7) 7 www.saosangsong.com.vn/
  8. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 8 JJJG JJJG JJJG JJJG Suy ra : AB.BC = ( −7).(3) + (−3).( −7) = 0 ⇒ AB ⊥ BC . Vậy tam giác ABC vuông tại B Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có A( 3 , 1 ) ; B( -1 , -1 ) ; C( 6 , 0 ) a) Tính góc A của tam giác ABC . *b) Tính tọa độ giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường tròn đường kính OC Giải : JJJG JJJG Ta có : AB = ( −4, −2) ; AC = (3, −1) JJJG JJJG −4.3 + (−2).(−1) −10 −1 cos A = cos( AB, AC ) = = = 16 + 4. 9 + 1 10 2 2 o Vậy góc A bằng 135 *b) Gọi MJJJ làGgiao điểm của đườngJJJG tròn đường kínhJJJ ABJG và đường tròn JJJđường JG kính OC , ta có : M ( x , y ) ; MA = (3 − x,1 − y ); MB = (−1 − x, −1 − y ); MC = (6 − x, − y ); MO = (− x, − y ) và JJJG JJJG ⎧⎪ MA ⊥ MB ⎧⎪ MA.MB = 0 ⎧(3 − x)(−1 − x) + (1 − y )(−1 − y ) = 0 ⎨ ⇔ ⎨ JJJJG JJJJG ⇔⎨ ⎪⎩ MC ⊥ MO ⎩⎪ MC.MO = 0 ⎩ (6 − x)(− x) + (− y )(− y ) = 0 ⎧ x 2 + y 2 − 2 x − 4 = 0 (1) ⎧4 x − 4 = 0 [ (1) − (2)] ⇔⎨ 2 ⇔⎨ 2 ⎩ x + y − 6x = 0 2 ⎩x + y − 6x = 0 2 (2) ⎧ x =1 ⎪⎧ x = 1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩1 + y − 6 = 0 2 ⎩⎪ y = ± 5 Vậy có hai giao điểm M : M 1 (1, − 5) ; M 2 (1, 5) Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có A( 5 , 3 ) ; B( 2 , - 1 ) ; C( -1 , 5 ) a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác b) Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ A Giải : JJJJa) G Gọi H( x , y ) là JJJtọa G độ trực JJJ tâmG , ta có : JJJG AH = ( x − 5, y − 3); BC = (−3, 6); BH = ( x − 2, y + 1); AC = (−6, 2) JJJJG JJJG ⎪⎧ AH ⊥ BC ⎪⎧ AH .BC = 0 ⎧( x − 5)(−3) + ( y − 3)(6) = 0 ⎨ ⇔ ⎨ JJJG JJJG ⇔⎨ ⎪⎩ BH ⊥ AC ⎩⎪ BH . AC = 0 ⎩( x − 2)(−6) + ( y + 1)(2) = 0 ⎧ x − 2 y = −1 ⎧ x = 3 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩ 3 x − y = 7 ⎩y = 2 Vậy tọa độ trực tâm H là : H( 3 , 2 ) b) Gọi A’(JJJxJG, y JJJ ) là G tọa độ chân đường cao vẽ từ A , ta có : AA ' ⊥ BC ⇔ x − 2 y = −1 (1) ( tương tự câu a ) JJJG JJJG JJJG BA ' = ( x − 2, y + 1) ; BA ' cùng phương BC = ( −3, 6) . Suy ra : 6( x – 2 ) + 3( y + 1 ) = 0 (2) .Giải (1) và (2) ta có : x = y = 1 Vậy tọa độ chân đường cao A’ vẽ từ A là : A’( 1 , 1 ) Dạng toán 8 : Tìm tập hợp điểm JJJG JJJG JJJJG JJJG a ) ( MA + MB ).( MC − MB ) = 0 (1) Ví dụ 1 :Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJG JJJG b) MA2 + MA.MB = 0 (2) 8 www.saosangsong.com.vn/
  9. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 9 Giải : JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG a) Ta có : MA + MB = 2 MI ; MC − MB = BC ( I là trung điểm của AB ) JJJG JJJG ( 1 ) ⇔ 2MI .BC = 0 ⇔ MI ⊥ BC : Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) qua I và vuông góc với BC JJJG 2 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG (2) ⇔ MA + MA.MB = 0 ⇔ MA.( MA + MB ) = 0 b) JJJG JJJG ⇔ 2MA.MI = 0 ⇔ MA ⊥ MI Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AI ( I là trung điểm của AB ) *Ví dụ 2 : Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJG JJJJG a2 a) MA.MC = − 4 JJJG JJJJG JJJG JJJJG b) MA.MC + MB.MD = a 2 JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG c)( MA + MB + MC ).( MA + MC ) = a 2 Giải : Gọi O là tâm hình vuông ( cũng là trung điểm AC ) . Ta có : JJJG JJJJG a2 JJJJG JJJG JJJJG JJJG a2 MA.MC = − ⇔ ( MO + OA).( MO + OC ) = − 4 4 a 2 JJJG JJJG ⇔ MO 2 − OA2 = − (do OC = −OA) 4 2 a 2a 2 a 2 a 2 a ⇔ OM = OA − 2 2 = − = ⇔ OM = 4 4 4 4 2 a Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng 2 TJJJ ươG ng JJJJGtự ,JJJ ta Gcó JJJ:JG MA.MC + MB.MD = a 2 ⇔ MO 2 − OA2 + MO 2 − OB 2 = a 2 a 2 ⇔ MO 2 = a 2 ⇔ OM = a (do OA = OB = ) 2 Vậy tậpJJJhợp cácG điểm G JJJ JJJJG M làJJJđường JG JJJGtrònJJJ tâm JG OJJJ , bán JG kính bằng a Ta có MA + MB + MC = 3MG ; MA + MC = 2 MO ( G là trọng tâm tam giác ABC ) . Do đó : JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJJG a 2 ( MA + MB + MC ).( MA + MC ) = a 2 ⇔ MG.MO = 6 2 2 2 a a 1 a 1 a 2 2 26a 2 ⇔ MJ 2 − JO 2 = ⇔ JM 2 = + ( GO) 2 = +( . ) = 6 6 2 6 6 2 144 a 26 ⇔ JM = 12 1 1 1 a 2 ( J là trung điểm của OG ; JO = GO ; GO = BO = . ) 2 3 3 2 a 26 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng 12 Dạng toán 9 : Tính phương tích . Tính đoạn tiếp tuyến . Ví dụ 1 : Cho 4 điểm A( - 2 , 1 ) ; B( 4 , 7 ) ; M( 0 , 2) ; N(- 3 , - 5 ) Tính phương tích của điểm M , N đối với đường tròn đường kính AB 9 www.saosangsong.com.vn/
  10. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 10 Giải : Ta có : tọa độ tâm I của đường tròn ( cũng là trung điểm của AB ) : −2 + 4 1 + 7 I( , ) ⇒ I( 1 , 4 ) 2 2 Ta cũng có : JJG IA = (−2 − 1,1 − 4) = (−3, −3) ⇒ R 2 = IA2 = 9 + 9 = 18 JJJG IM = (0 − 1, 2 − 4) = (−1, −2) ⇒ Ρ M /( I ) = IM 2 − R 2 = (1 + 4) − 18 = −13 JJG IN = (−3 − 1, −5 − 4) = (−4, −9) ⇒ Ρ N /( I ) = IN 2 − R 2 = (16 + 81) − 18 = 79 Ví dụ 2 : Cho 4 điểm A( - 2 , - 1 ) ; B( - 1 , 4 ) ; C( 4 , 3 ) ; M( 5 ,- 2 ). Chứng minh rằng điểm M ở ngoài đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và tính đoạn tiếp tuyến MT vẽ từ M đến đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC ( T là tiếp điểm ) Giải : Gọi I ( x , y ) là tâm đường tròn (ABC) ,ta có : JJG JJG JJG IA = ( x + 2, y + 1) ; IB = ( x + 1, y − 4) ; IC = ( x − 4, y − 3) ⎪⎧ IA = IB ⎧ ( x + 2) 2 + ( y + 1) 2 = ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 2 2 ⎨ 2 ⇔ ⎨ ⎩⎪ IA = IC ⎩( x + 2) + ( y + 1) = ( x − 4) + ( y − 3) ` 2 2 2 2 2 ⎧ x + 5y = 6 ⎧x =1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩3x + 2 y = 5 ⎩ y = 1 Suy ra : I( 1 , 1 ) ; MI 2 = (5 − 1) 2 + (−2 − 1) 2 = 16 + 9 = 25 ; R 2 = IA2 = 9 + 4 = 13 Do đó : Ρ M /( ABC ) = MI 2 − R 2 = 25 − 13 = 12 ⇒ MI > R Vậy điểm M ở ngoài đường tròn (ABC) Ta cũng có : MT 2 = Ρ M /( ABC ) = 12 ⇔ MT = 12 = 2 3 . C . Bài tập rèn luyện : 2 .1 Cho tam JJJG JJJG giác đều JJJG JJJJG ABC JJJG JJJcạnh G JJJbằng G a . Tinh các tích vô huớng sau : AB.GB ; AB.CM ; AB ( AB − 2 AC ) ( G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của BC ) 2 . 2 .Cho JJJGtam JJJGgiác ABC vuông JJJG JJJ G tại A : AB = 3 ; AC = 4. TJJJ ínGhJJJ cá Gcg óc JJJJGJJJG ( AB, BC ) ; ( AC , BC ) và các tích vô hướng sau : AB.BC ; AC .BC 2. 3 .Cho tam giác ABC vuông tại A ; AB = G3 ,JAC JJJJG JJJ = 4 . Trên tia AB lấy điểm D sao cho JJG JJG BD = 4 Tính các tích vô hướng sau : BC .BD ; AC.BI ( I là trung điểm của CD ) 2 .4 . Cho tam giác ABC đềuJJJ , cGạJnh JJG bằng JJJG JaJJG, GJJJJ làGtrọn JJJG g tâm tam giác ; M là một điểm bất kỳ . Chứng minh rằng T = ( MA.GB + MB.GC + MC.GA ) có giá trị không đổi . Tính giá trị này . 2 .5 . Cho hình vuông ABCD , cạnh bằng a . Dùng định lý hình chiếu tính các tích vô hướng sJJJ au : G JJJJG JJJG JJJG JJJG G JJJ JJJG JJJG JJJG JJJG AB.BD ; ( AB + AD ).( BD − BC ) ; (OA + OB + OC ). AB ( O là tâm hình vuông ) * 2 .6 . Cho tam giác ABC đều , cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJG JJJG JJJJG 3a 2 (CA + 2 BC ).CM = 4 2 . 7 .Cho tam giác ABC có trọng tâm là G .Chứng minh rằng : 10 www.saosangsong.com.vn/
  11. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 11 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 1 GA.GB + GB.GC + GC.GA = − (GA2 + GB 2 + GC 2 ) 2 2 .8. Cho hìnhJJJvuông ABCD G JJG JJJGJJJG cạnh bằng a ; I là trung điểm của CD . Tính các tích vô hướng sau : BD.BI ; BI .BG ( G là trọng tâm tam giác ABD ) JJJJG JJG J 2 .9 .Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 ; AD = 3 và điểm M thỏa AM = k AB .Định k để 2 đường thẳng AC và DM vuông góc 2 . 10 . Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên tia đối của tia AB ,lấy điểm D sao cho AD = AC ; trên tia đối của tia AC , lấy điểm E saocho AE = AB . Chứng minh rằng đường trung tuyến của tam giác ADE thì vuông góc với BC G G G G G JJG 2 . 11 . Cho : a = 6 ; b = 3 .Định x để hai vectơ sau vuông góc với nhau ( a + xb) ; (a − xb) 2 . 12. Cho tam giác ABC vuông tại A ; D thuộc tia AC và AD = 3AC Chứng minh rằng 1 AG 2 = ( AB 2 + 16 AC 2 ) (G là trọng tâm tam giác BCD ) 9 * 2 .13. Cho tứ giác ABCD JJJGJJJG a) Chứng minh rằng ; AB 2 − BC 2 + CD 2 − DA2 = 2 AC DB b)Suy ra rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc là AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2 2 . 14 . Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : JJJG JJJG JJJJG a ) ( AB + AC ). AM = 0 JJJG JJJG JJJG JJJJG * b) MA.( MA + 2 MB + MC ) = 0 * JJJG 2 .15JJJG . Cho JJJJtam G giác ABC đều , cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa : ( MA + MB ).MC = a 2 2 . 16 . Cho hai điểm A( 1 , 2 ) ; B( 6 , 3 ) . Tìm tọa độ điểm C nằm trên trục Ox biết rằng tam giác ABC vuông tại C . 2 . 17 . Cho 4 điểm A( - 1 , 0 ) ; B( 0 , 3 ) ; C( 3 , 2 ) ; D( 5 , - 2) . Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình thang vuông . Tính diện tích của hình thang này . D. Hướng dẫn giải hay đáp số JJJG JJJG a 3 3 a2 2 .1 AB.GB = AB.GB.cos 30 = a. o . = 3 2 2 JJJG JJJJG a 1 a 2 AB.CM = AB.CM .cos 60o = a. . = . 2 2 4 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 1 AB.( AB − 2 AC ) = AB 2 − 2 AB. AC = a 2 − 2a.a.cos 60o = a 2 − 2a 2 . = 0 JJJG JJJG 2 2 .2 . ( AB, BC ) vá góc ABC bù nhau ;cosABC = (3 : 5) = 0,6 Suy ra JJJG JJJG ABC = 53o 7 ' 48" ⇒ ( AB, BC ) = 180o − 53o 7 ' 48" = 126o52 '12" 11 www.saosangsong.com.vn/
  12. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 12 AC 4 cosACB= = = 0,8 BC 5 JJJG JJJG ( AC , BC ) = ACB = 90o − ABC = 36o52 '12 " C JJJG JJJG 3 −3 AB.BC = AB.BC.(− ) = 3.5.( ) = −9 5 5 I JJJG JJJG 4 4 AC.BC = AC.BC. = 4.5. = 16 JJJG JJJG 5 5 2.3 BC.BD = BC.BD.cos CBD A D 3 B = 5.4.(− ) = −12 5 JJJJG JJG JJJG JJG JJJG JJJG JJG JJJG JJJG AC.BI = AC ( AI − AB) = AC. AI ( AC. AB = 0) JJJG 1 JJJG JJJG 1 = AC. ( AC + AD) = AC 2 = 8 2 2 2 . 4 .TaJJJGcó J:JJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG MA = GA − GM ; MB = GB − GM ; MC = GC − GM JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG T = GA.GB + GB.GC + GC.GA − GM (GA + GB + GC ) = GA.GB.cos120o + GB.GC.cos120o + GC.GA.cos120o − 0 a 3 2 1 a2 2 a 3 a 3 = 3( ) .(− ) = − (do GA = GB = GC = . = 3 JJJG JJJG JJJG JJJG 2 2 3 2 3 2.5. AB.BD = AB.BA = − a 2 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG ( AB + AD)( BD − BC ) = AC.CD = DC.CD = − a 2 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG a 2 2 a2 (OA + OB + OC ). AB = OB. AB = OB.OB = OB 2 = ( ) = 2 2 *2 .6JJG. Ta JJJ cóG : JJJG JJJG JJJG JJG JJG Vẽ AI = 2 BC ; CA + 2 BC = CA + AI = CI M ( I cố định và tam giác ACI là nửa tam giác đều) JJJG JJJG JJJJG JJG JJJJG A I (CA + 2 BC ).CM = CI .CM JJG JJJJJG = CI .CM ' M' JJG JJJJG 3a 2 B C a 3 1 Theo giả thiết : CI .CM ' = ⇔ CM ' = = CI 4 2 2 Vậy tậphợp các điểm M là đường trung trực của đoạn CI 2 . 7 .Ta có : JJJG JJJG JJJG G JJJGJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG GA + GB + GC = 0 ⇔ GA2 + GB 2 + GC 2 + 2GA.GB + 2GB.GC + GC.GA = 0 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 1 ⇔ GA.GB + GB.GC + GC.GA = − (GA2 + GB 2 + GC 2 ) 2 2 .8 . 12 www.saosangsong.com.vn/
  13. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 13 JJJG JJG JJJJG 1 JJJG JJJG 1 JJJG 2 1 JJJG JJJG JJJG BD.BI = BD. ( BD + BC ) = BD + BC.( BC + CD) 2 2 2 1 1 1 1 3a 2 = BD 2 + BC 2 + 0 = (a 2) 2 + a 2 = 2 2 2 2 2 . JJG JJJG JJJG JJJG JJJ G JJJG JJJ G 1 1 BI .BG = ( BC + BD) ( BA + BD + BB ) 2 3 1 2a 2 = (0 + a 2 + a 2 + 2a 2 ) = 6 3 JJJG JJJJG 2.9. AC ⊥ DM ⇔ AC.DM = 0 JJJJG JJJG JJJJG JJJG ⇔ ( AB + AD)( AM − AD) = 0 JJJG JJJG JJJG JJJG ⇔ ( AB + AD)(k AB − AD) = 0 9 ⇔ kAB 2 − AD 2 = 0 ⇔ k .16 − 9 = 0 ⇔ k = 16 2 . 10 . Gọi AI là trung tuyến của tam giác ADE , ta có : JJG 1 JJJG JJJG AI = ( AD + AE ) 2 JJG JJJG 1 JJJG JJJG JJJG JJJG 1 AI .BC = ( AD + AE ).( AC − AB) = (0 + AD. AB − AE. AC − 0) 2 2 1 = ( AC. AB − AB. AC ) = 0 ⇔ AI ⊥ BC 2 2. 11 . x = ± 2 2 .12 .Ta có : JJJG 1 JJJG JJJG JJJG 1 JJJG JJJG JJJJJG AG = ( AB + AC + AD) = ( AB + AC + 3 AC ) 3 3 JJJG 2 1 JJJG JJJG AG 2 = AG = ( AB 2 + 16 AC 2 + 8 AB. AC ) 9 1 = ( AB 2 + 16 AC 2 ) 9 JJJG 2 JJJG 2 JJJG 2 JJJG 2 2.13. a) AB 2 − BC 2 + CD 2 − DA2 = AB − BC + CD − DA JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG = ( AB + BC )( AB − BC ) + (CD + DA)(CD − DA) JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG = AC ( AB − BC − CD + DA) = AC ( DB − BD) JJJG JJJG = 2 AC.DB JJJG JJJG b) AC ⊥ BD ⇔ AC.BD = 0 ⇔ AB 2 − BC 2 + CD 2 − DA2 = 0 ⇔ AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2 2 .14 . a) Tập hợp các điểm M là đường thẳng d qua A và vuông góc với trung tuyến AI của tam giác ABC JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG MA( MA + 2 MB + MC ) = 0 ⇔ MA.( MA + MB + MB + MC ) = 0 b) JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG ⇔ MA.(2 MJ + 2 MI ) = 0 ⇔ 4 MA.MK = 0 ⇔ MA ⊥ MK ( J , I , K lần lươt là trung điểm của AB , BC , IJ) .Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn dường kính AK 13 www.saosangsong.com.vn/
  14. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 14 JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG a2 2.15.( MA + MB).MC = a 2 ⇔ 2MI .MC = a 2 ⇔ MJ 2 − JC 2 = 2 . a 2 a 3 2 8a + 3a 2 2 11a 2 a 11 JM = + ( 2 ) = = ⇔ JM = 2 4 16 16 4 ( I , J lần lượt là trung điểm của AB , CI ) . Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn ( J , a 11 ) 4 2 16 , Có hai điểm C : C( 2 , 0 ) ; C( 7 , 0 ) 2 17 . Hình thang ABCD vuông tại A và D . Diện tích của hình thang này bằng 15 §2. Hệ thức lượng trong tam giác A . Tóm tắt giáo khoa 1 .Định lý cosin : Trong một tam giác ABC , bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng . a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A A b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B b c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C c Suy ra : B a C b2 + c2 − a 2 c2 + a 2 − b2 a 2 + b2 − c2 cos A = ;cos B = ;cos C = 2bc 2ca 2ab 2 .Định lý sin : Trong một tam giác ABC , tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác a b c = = = 2R sin A sin B sin C 3 .Công thức tính độ dài đường trung tuyến . A 2 2(b 2 + c 2 ) − a 2 ma = ma 4 2 2(c + a 2 ) − b 2 2 mc mb = mb 4 2(a + b 2 ) − c 2 2 2 mc = B C 4 (AB = c ; BC = a ; CA = b ; ma ; mb ; mc là các trung tuyến vẽ t ừ A ,B ,C ) 4 . Công thức tính diện tích : Diện tích S của tam giác ABC được tính bởi các công thức sau : 14 www.saosangsong.com.vn/
  15. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 15 1 1 1 A S= ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 2 2 abc S= c ha b 4R S = pr S= p( p − a)( p − b)( p − c) B a C 1 ( với p = (a+b+c) ; R là bán kính đường tròn ngọai tiếp ; r là bán kính đường tròn nội tiếp ) 2 5 . Giải tam giác : Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó B . Giải toán Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có BC = 40cm ; CA = 13cm ; AB = 37cm Tinh góc nhỏ nhất của tam giác ABC . Giải : Ta biết rằng : đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất .Ta lại có : CA < AB < BC nên B < C < A . Vậy B là góc nhỏ nhất . Theo công thức ta có : c 2 + a 2 − b 2 37 2 + 402 − 132 2800 cos B = = = = 0,9459 2ca 2.37.40 2960 ⇒ B = 18o55' Vậy góc nhỏ nhất của tam giác ABC là góc B và B = 18o 55 ' Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3 ; AC = 4 . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = CB . Tính các cạnh BD , AD ; các góc B , D , A của tam giác ABD ; bán kính đường tròn ngọai tiếp và diện tích của tam giác này Giải BC = AB 2 + AC 2 = 9 + 16 = 5 ; BD = 2 BC = 10 D AB 3 AC 4 cos B = = ; sin B = = BC 5 BC 5 Ta có AD 2 = BA2 + BD 2 − 2 BA.BD cos B 3 C = 9 + 100 − 2.3.10. = 73 5 AD = 73 Ta cũng có A B 15 www.saosangsong.com.vn/
  16. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 16 3 cos B = = 0, 6 ⇒ B = 53o 7 ' 5 4 3. AB AD AB sin B = ⇒ sin D = = 5 = 0, 2808 sin D sin B AD 73 D = 16 18' o Suy ra : BAD = 180o − (53o 7 '+ 16o18') = 110o 25' Bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABD cho bởi công thức : AD 73 5 73 R= = = = 5,34 2sin B 2 4 8 5 Ta lại có 2 tam giác ABC và ACD có diện tích bằng nhau (vì có chung đường cao vẽ từ A và 2 cạnh đáy BC ,CD bằng nhau ) Do đó : 1 S ABD = 2 S ABC = 2. . AB. AC = 3.4 = 12 2 4 Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có AB = 5cm ; AC = 7cm ; cosA= Tính diện tích , bán kính 5 đường tròn ngọai tiếp , nội tiếp của tam giác và đường cao vẽ từ A Giải : Ta có : 16 3 1 1 3 21 sin A = 1 − cos 2 A = 1 − = ; S = AB. AC.sin A = 5.7. = = 10, 5cm2 25 5 2 2 5 2 4 BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos A = 25 + 49 − 2.5.7. = 18 ⇔ BC = 3 2cm 5 BC BC 3 2 5 2 2R = ⇔R= = = cm sin A 2sin A 2. 3 2 5 21 S 2 21 r= = = cm p 5 + 7 + 3 2 12 + 3 2 2 1 2S 21 7 2 S = AH .BC ⇔ AH = = = cm 2 BC 3 2 2 Ví dụ 4 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 6cm ; E là trung điểm của CD . Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ACE và càc góc của tam giác này Giải : Tacó A B D C E 16 www.saosangsong.com.vn/
  17. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 17 AC = AB 2 = 6 2cm ; AE = AD 2 + DE 2 = 3 5cm; ACE = 45o AE 3 5 3 10 R( ACE ) = = = cm 2sin ACE 2 2 AD 6 sin AED = = = 0,8944 => AED = 63o 25' AE 3 5 AEC = 180 − 63o 25' = 116o 35' => CAE = 180o − (116o35'+ 45o ) = 18o 25' o Ví dụ 5 : Trong một tam giác ABC bất kỳ , chứng minh rằng : a) ha = 2 R sin B sin C b) S = 2 R 2 sin A sin B sin C ( ha là đường cao vẽ từ A ; R là bán kính đường tròn ngọai tiếp và S là diện tích của tam giác ABC ) Giải : Ta có : 1 2 S bc 2 R sin B.2 R sin C S= aha ⇔ ha = = = = 2 R sin B sin C 2 a a 2 R sin A ⎧a = 2 R sin A a b c ⎪ (do = = = 2 R ⇔ ⎨b = 2 R sin B sin A sin B sin C ⎪ c = 2 R sin C ⎩ Theo câu a) ta cũng có : 1 1 S = aha = (2 R sin A).(2 R sin B sin C ) = 2 R 2 sin A sin B sin C 2 2 a 6 Ví dụ 6 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Một đường tròn có bán kính bằng , qua 2 3 đỉnh A , C và cắt cạnh BC tại E . Tính đoạn AE và góc BAE Giải : Ta có :ACE = 45o và bán kính đường tròn ngọai tiếp a 6 tam giác ACE bằng Do đó , theo định lý sin A D 3 AE a 6 a 6 2 2a 3 o = 2. ⇔ AE = 2. . = sin 45 3 3 2 3 Tam giác vuông ABE cho : AB a 3 cos BAE = = = => BAE = 30o AE 2a 3 2 B 3 E C o Ví dụ 7 : Cho tam giác ABC có BAC = 120 .AD là phân giác trong của góc A (D thuộc cạnh BC ) .Chứng minh rằng tổng hai bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABD và tam giác ADC bằng bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC Giải : Ta có 17 www.saosangsong.com.vn/
  18. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 18 BAD = DAC = 60o ⇒ 3 sin BAD = sin DAC = sin BAC = 2 Theo định lý sin , ta có : BD BD DC DC 2 R( ABD ) = = ; 2 R( ADC ) = = sin BAD 3 sin DAC 3 2 2 BC BC BD + DC 2 R( ABC ) = = = = 2 R( ABD ) + 2 R( ADC ) sin BAC 3 3 2 2 ⇔ R( ABC ) = R( ABD ) + R( ADC ) Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC vá điểm M thuộc cạnh BC .Biết rằng : bc sin(α + β ) BAM = α ; CAM = β .Chứng minh rằng AM = c sin α + b sin β Giải : Ta có : 1 1 S( ABC ) = AB. AC.sin A = bc sin(α + β ) 2 2 1 1 S( ABM ) = AB. AM .sin BAM = AM .c.sin α 2 2 1 1 S( ACM ) = AC. AM .sin CAM = AM .b.sin β 2 2 Mà : 1 1 bc sin(α + β ) = AM (c sin α + b sin β ) S( ABC ) = S( ABM ) + S( ACM ) ⇔ 2 2 bc sin(α + β ) Suy ra AM = c sin α + b sin β Ví dụ 9 : Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là 2 2 2 mb + mc = 5ma (ma , mb , mc là 3 trung tuyến vẽ từ A,B,C ) Giải : Ta có : 2 2 2 2(c 2 + a 2 ) − b 2 2(a 2 + b 2 ) − c 2 2(b 2 + c 2 ) − a 2 mb + mc = 5ma ⇔ + =5 4 4 4 ⇔ 2c + 2a − b + 2a + 2b − c = 10b + 10c − 5a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ 9a 2 = 9(b 2 + c 2 ) ⇔ a 2 = b2 + c2 Vậy tam giác ABC vuông tại A Ví dụ 10 : Cho tam giác ABC có AB = c = 45 ; AC = b = 32 ; BAC = 87 o . Tính các cạnh và các góc còn lại Giải : Ta có : 18 www.saosangsong.com.vn/
  19. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 19 a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos87 o = 322 + 452 − 2.32.45.cos87o = 2898 ⇒ a = 2898 = 53,8 c 2 + a 2 − b 2 452 + 2898 − 322 cos B = = = 0,8052 2ca 2.45.53,8 ⇒ ABC = 36o 22 ' ⇒ ACB = 180o − (87 o + 36o 22 ') = 56o38' C. Bài tập rèn luyện . 2 . 18 .Cho tam giác ABC có ba cạnh bằng 10cm ; 13cm ; 17cm . Tính diện tích ,bán kính đường tròn ngọai tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác 2 . 19 . Cho tam giác ABC vuông tại A ; AB = 3 ; AC = 4 . Trên tia BC lấy điểm D saocho CD = 7 ; trên tia BA lấy điểm E sao cho AE = 5 .Tính các cạnh và các góc của tam giác ADE c 2 . 20 Tam giác ABC có 3 cạnh là BC = a ; CA = b ; AB = c và trung tuyến AM = 2 Chứng minh rằng 2b = a − c ; sin A = 2sin B + sin C 2 2 2 2 2 2 2 .21 Cho tam giác ABC nhọn có AB = 3cm ; AC = 4cm và diện tích S = 3 3cm 2 Tính cạnh BC và .đường cao AH của tam giác này . 2 .22 . Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a , O là tâm của hình vuông và E là trung điểm của AB . Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp , diện tích và các góc của tam giác OCE 2 .23 .Cho tam giác ABC có BC = a ; CA = b ; AB = c .Chứng minh rằng tan A c 2 + a 2 − b 2 = tan B b 2 + c 2 − a 2 2 . 24 . Cho tam giác ABC có : BAC = 60o ; BC = 7 ; AC = 2 . Tính cạnh AB và các góc của tam giác này 2 .25. Cho tam giác ABC có BC = a ; CA = b ; AB = c và các cạnh này thỏa điều kiện b 2 + c 2 = 5a 2 Chứng minh rằng hai trung tuyến vẽ từ B và C thì vuông góc với nhau 2 . 26 . Cho tam giác ABC có : AB = 3cm ; AC = 2x(cm) ; BC = 5cm . a) Định điều kiện của x (để ABC là một tam giác ) b) Định x để góc BAC = 60o * 2 . 27 . a) Cho tam giác MPQ có trung tuyến là MR .Chưng minh rằng PQ 2 MP 2 + MQ 2 = 2 MR 2 + 2 b) Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 6 . Trên đường thẳng BC lấy 2 điểm D và E sao cho BD = BE = 1 .Chứng minh rằng AD 2 + AE 2 + 2 AC 2 = 74 2 .28 .Cho hình thang vuông ABCD ( A = B = 90o )và AB =4cm ;AD = 3cm ; BC = 11cm . Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác BCD .. D . Hướng dẫn giải hay đáp số 2 .18 . 19 www.saosangsong.com.vn/
  20. Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng 20 1 p= (10 + 13 + 17) = 20cm 2 S = p( p − a)( p − b)( p − c) = 20.10.7.3 = 10 42 = 64,80cm 2 abc 10.13.17 221 R= = = = 8,52cm 4 S 4.10 42 4 42 S 10 42 r= = = 3, 24cm p 20 2.19. BC = AB 25 + AC 2 = 9 + 16 = 5 ⇒ BD = 5 + 7 = 12 BE = 3 + 5 = 8 DE 2 = BD 2 + BE 2 − 2 BD.BE.cos B 3 464 = 144 + 64 − 2.12.8. = ⇒ DE = 9, 63 5 5 3 cos B = = 0, 6 ⇒ B = 53o 7 ' 5 4 DE BE BE sin B sin B = = 0,8 ; = ⇒ sin D = 5 sin B sin D DE 8.0,8 sin D = = 0, 6645 ⇒ D = 41o38' 9, 63 E = 180o − (41o38'+ 53o 7 ') = 75o15' 2 .20 . Áp dụng công thức về đường trung tuyến : 2 2(b 2 + c 2 ) − a 2 c 2 2(b 2 + c 2 ) − a 2 AM 2 = ma = ⇔ = 4 4 4 ⇔ a − c = 2b 2 2 2 Theo định lý sin , ta có : a = 2RsinA ; b =2RsinB ; c = 2RsinC nên : 4 R 2 sin 2 A − 4 R 2 sin 2 C = 2( 4 R 2 sin 2 B) ⇔ sin 2 A − sin 2 C = 2sin 2 B ⇔ sin 2 A = 2sin 2 B + sin 2 C 2 .21 .Ap dụng công thức : 1 1 S= AB. AC.sin A ⇔ 3 3 = 3.4.sin A 2 2 ( vì góc A nhọn ) 3 ⇔ sin A = ⇒ A = 60 o 2 Ta lại có : 1 BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos 60o = 9 + 16 − 2.3.4. = 13 => BC = 13 2 2S 2.3 3 6 39 AH = = = BC 13 13 2 . 22 . Ta có : 20 www.saosangsong.com.vn/
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.02: Bộ 500+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2020
576 tài liệu
913 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
11=>2