Chương 3
Ánh xạ Gauss
Khi nghiên cứu tốc độ thay đổi của tiếp tuyến của một đường cong Ctại một điểm dẫn ta đến
một bất biến hình học quan trọng, độ cong tại điểm đang xét của đường cong. Khi nghiên cứu tốc
độ thay đổi của mặt phẳng mật tiếp, hay một cách tương đương tốc độ thay đổi của các vector
trùng pháp, ta có khái niệm độ xoắn, là bất biến hình học quan trọng thứ hai của đường cong.
Hai bất biến này phản ánh hình dáng địa phương tại từng điểm của đường cong. Một cách hoàn
toàn tương tự, chúng ta sẽ xét tốc độ biến thiên của mặt phẳng tiếp xúc trong một lân cận của
điểm pcủa một mặt chính qui hay một cách tương đương là tốc độ của trường pháp vector đơn vị
trong lân cận đó. Tốc độ biến thiên này không được đặc trưng bởi một con số mà được đặc trưng
bởi một tự đồng cấu tuyến tính tự liên hợp của TpS. Nhiều tính chất địa phương đáng ngạc nhiên
được tìm thấy từ sự nghiên cứu ánh xạ tuyến tính này.
Cho Slà một mặt chính qui và X:−→ Slà một tham số hóa địa phương của S. Như đã biết nếu
chúng ta chọn các vector pháp đơn vị tại mỗi điểm của X(U)như sau
N(p) = Xu∧Xv
|Xu∧Xv|(p), p ∈X(U);
chúng ta nhận được một ánh xạ khả vi
N:X(U)−→ R3
p7−→ N(p).
Cho V⊂Slà tập mở. Một trường vector trên Vlà ánh xạ F:V−→ R3.Trường vector Fđược
gọi là liên tục, khả vi nếu ánh xạ Fcó các tính chất như vậy. Nếu F(p)∈TpS, ∀p∈V, thì ta nói
Flà trường vector tiếp xúc trên V. Nếu F(p)⊥TpS, ∀p∈V, ta nói Flà trường pháp vector trên
V. Nếu F(p)⊥TpS, |F(p)|= 1,∀p∈V, ta nói Flà trường pháp vector đơn vị trên V. Theo định
nghĩa này N(p)xác định như trên là một trường pháp vector đơn vị trên X(U).
3.1 Mặt định hướng
Định nghĩa 1. Một mặt chính qui Sgọi là định hướng được nếu có một trường pháp vector đơn
vị liên tục Nxác định trên toàn bộ mặt. Khi đó trường pháp vector Nđược gọi là một định hướng
1
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
của S. Một mặt chính qui định hướng là mặt chính qui định hướng được cùng hướng xác định N.
Do trên mỗi lân cận tọa độ X(U)đều có trường pháp vector đơn vị khả vi N(p) = Xu∧Xv
|Xu∧Xv|nên
chúng ta có thể nói mọi mặt chính qui đều định hướng được một cách địa phương. Hơn nữa, theo
Mệnh đề ?? thì mọi mặt chính qui liên thông có đúng hai hướng.
Ví dụ 1. Dễ thấy rằng mặt phẳng là một mặt định hướng được.
Ví dụ ngay sau đây cho ta thấy có những mặt không định hướng được.
Ví dụ 2. Mặt M¨obius. Lấy một dải giấy hình chữ nhật. Dán hai cạnh đối diện lai với nhau sau
khi đã xoắn 1800.Mặt nhận được chính là mặt M¨obius. Chúng ta dễ nhận thấy rằng một vector
pháp sẽ đổi chiều sau khi trượt dọc theo đường chính giữa mặt đúng 1 vòng. Điều này cho thấy
mặt M¨obius là không thể định hướng được.
Hai mệnh đề tiếp theo cho ta các ví dụ khác về các mặt chính qui định hướng được.
Mệnh đề 3.1.1. Cho h:U⊂R2−→ Rlà một hàm khả vi. Khi đó đồ thị của hlà một mặt chính
qui định hướng được.
Chứng minh. Xét tham số hóa
X(u, v) = (u, v, h(u, v)),(u, v)∈U.
Khi đó X(U) = Ghvà Xlà đơn ánh. Xét
N◦X=Xu∧Xv
|Xu∧Xv|=(−hu, hv,1)
p1 + h2
u+h2
v
Vì 1 + h2
u+h2
v>0,nên Nlà liên tục. ✷
Mệnh đề 3.1.2. Cho f:U⊂R3−→ Rlà hàm khả vi và alà một giá trị chính qui của f. Khi
đó S=f−1(a)là một mặt chính qui định hướng được.
Chứng minh. Lấy điểm bất kỳ p∈S, giả sử p= (x0, y0, z0).Xét đường tham số c(t) =
(x(t), y(t), z(t)), t ∈(−ǫ, ǫ)⊂Rtrên mặt Sđi qua pvới c(0) = p. Vì đường cong nằm trên
mặt nên
f(x(t), y(t), z(t)) = a, ∀t∈I.
Đạo hàm cả hai vế tại t= 0, ta nhận được
fx(p)x′(0) + fy(p)y′(0) + fz(p)z′(0) = 0.
Từ đây suy ra vector tiếp xúc của ctại t= 0 trực giao với (fx, fy, fz)tại p. Do điểm pvà đường
tham số cđược lấy tùy ý nên ta suy ra rằng
N(x, y, z) = fx
pf2
x+f2
y+f2
z
,fy
pf2
x+f2
y+f2
z
,fz
pf2
x+f2
y+f2
z!
xác định trên toàn bộ S. Do alà điểm chính qui nên f2
x+f2
y+f2
z>0tại mọi điểm của mặt. Do
đó Nlà liên tục. ✷
2
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Bài tập 3.1. Giả sử rằng một mặt chính qui Slà hợp của hai mặt chính qui S1và S2, S =S1∪S2.
Chứng minh nếu S1và S2định hướng được và S1∩S2liên thông thì Sđịnh hướng được.
Bài tập 3.2. Cho S=S1∪S2,với S, S1, S2là các mặt chính qui, S1, S2liên thông và S1∩S2có
hai thành phần liên thông Avà B. Chứng minh rằng nếu S1và S2có thể định hướng sao cho các
định hướng cảm sinh trên Alà trùng nhau còn các định hướng cảm sinh trên Blà đối nhau thì S
là mặt không định hướng được. Chứng minh đây cũng là trường hợp của băng Mobius.
Rất dễ nhận thấy rằng mọi mặt chính qui đều định hướng được một cách địa phương. Điều này
có nghĩa là cho dù mặt chính qui là không định hướng được, nhưng tại mỗi điểm, mỗi lân cận của
độ của mặt đều được định hướng bởi trường pháp vector đơn vị
N=Xu∧Xv
|Xu∧Xv|.
Cho (S, N)là một mặt chính qui định hướng, Plà một điểm trên mặt S. Chúng ta sẽ nói cở sở
của không gian tiếp xúc TpSlà định hướng dương nếu det(a, b, Np)>0.Trong trường hợp ngược
lại chúng ta sẽ nói cơ sở {a, b}là định hướng âm. Nếu f:S1−→ S2là ánh xạ khả vi, với S1, S2
là hai mặt chính qui, có tính chất đạo hàm Dfptại mỗi điểm p∈Sbiến một cơ sở định hướng
dương thành một cơ sở định hướng dương thì ta nói flà ánh xạ bảo toàn hướng.
Một cách trực giác mỗi hướng của mặt cho ta một phía của mặt. Rất dễ hình dung mặt phẳng,
mặt cầu, mặt trụ . . . có hai phía. Mệnh đề sau đây cho phép ta khẳng định rằng, mọi mặt chính
qui liên thông định hướng được có đúng hai phía, hay nói cách khác có đúng hai định hướng trên
mỗi mặt chính qui liên thông định hướng được.
Mệnh đề 3.1.3. Nếu Slà một mặt chính qui định hướng được và Nvà Nlà hai định hướng trên
mặt Sthì ta phải có hoặc N=N, hoặc N=−N.
Chứng minh. Tại mỗi điểm p∈S, Npvà Npsẽ là hai vector trùng nhau hoặc chúng là hai vector
đối nhau.Đặt A={p∈S:Np=Np}và B={p∈S:Np=−Np},chúng ta có Avà Blà hai
tập rời nhau và S=A∪B. Do Nvà Nliên tục ta có Avà Blà hai tập đóng. Nhưng do Slà liên
thông nên ta phải có A=S, B =∅hoặc A=∅, B =S. ✷
3.2 Ánh xạ Gauss và dạng cơ bản thứ hai
Cho (S, N)là mặt chính qui định hướng. Do |Np|= 1,∀p∈Snên có thể xem Nlà ánh xạ khả
vi từ mặt chính qui Svào mặt cầu đơn vị S2Ánh xạ N:S−→ S2được gọi là ánh xạ GaussƯ
của mặt định hướng S. Theo định nghĩa ánh xạ Gauss là khả vi. Khi đó đạo hàm của Ntại điểm
p∈Slà ánh xạ tuyến tính
DNp:TpS−→ TNpS2.
Do TpS⊥Npvà TNpS2⊥Np,∀p∈Snên ta có TpS≡TNpS2,∀p∈S. Như vậy DNplà một tự
đồng cấu tuyến tính của TpS.
3
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Ví dụ 3. Xét mặt phẳng Qcó phương trình
ax +by +cz +d= 0.
Khi đó
N=1
a2+b2+c2(a, b, c)
Là một hàm hằng nên ta có DNp= 0,∀p∈Q.
Ví dụ 4. Xét mặt cầu S(O, r)tâm Obán kính rcó phương trình
x2+y2+z2=r2.
Giả sử α(t) = (x(t), y(t), z(t)) là một đường tham số trên mặt cầu S(O, r),ta có
x2(t) + y2(t) + z2(t) = r2.
Đạo hàm hai vế theo tta nhận được
2xx′+ 2yy′+ 2zz′= 0.
Với chú ý rằng (x′(t), y′(t), z′(t)) là một vector tiếp xúc của mặt cầu S(O, r)tại α(t),ta có vector
(x, y, z)là pháp vector của mặt cầu S(O, r)tại điểm (x, y, z).Do đó chúng ta có hai trường pháp
vector đơn vị trên mặt cầu S(O, r)
N(x, y, z) = 1
r(x, y, z),N(x, y, z) = 1
r(−x, −y, −z).
Dễ thấy Nlà trường pháp vector hướng ra ngoài còn Nlà trường pháp vector hướng vào tâm của
mặt cầu và
DNp(v) = v, DNp(v) = −v;
với p∈S(O, r)và v∈TpS(O, r).
Ví dụ 5. Xét mặt tru Ccó phương trình x2+y2=r2.Mặt tru Ccó hai trường pháp vector đơn
vị
N(x, y, z) = 1
r(x, y, 0),N(x, y, z) = 1
r(−x, −y, 0).
Dễ thấy Nlà trường pháp vector hướng ra ngoài còn Nlà trường pháp vector hướng vào trục của
mặt trụ và
DNp(v) = π(v), DNp(v) = −π(v);
với p∈S(O, r), v ∈TpS(O, r)và πlà phép chiếu lên mặt phẳng xy.
Nếu v∈TpCvà vcùng phương với e3thì DNp(v) = DNp(v) = 0,tức là vlà vector riêng ứng
với giá trị riêng 0của DNpvà DNp.Nếu v∈TpCvà vtrực giao với e3thì DNp(v) = vcòn
DNp(v) = −v, tức là vlà vector riêng ứng với giá trị riêng 1của DNpvà là vector riêng ứng với
giá trị riêng −1của DNp.
Bài tập 3.3.
Mệnh đề sau cho ta một tính chất quan trọng của ánh xạ DNp.
4
Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý)
Mệnh đề 3.2.1. Đạo hàm DNp:TpS−→ TpScủa ánh xạ Gauss là tự liên hợp, nghĩa là với mọi
α, β ∈TpS
hDNp(α), βi=hα, DNp(β)i.(3.1)
Chứng minh. Giả sử X(u, v)là một tham số hóa của Stại pvà {Xu, Xv}là một cơ sở của TpS.
Đối với cơ sở này ánh xạ DNpcó ma trận dạng
∂N 1
∂u
∂N 1
∂v
∂N 2
∂u
∂N 2
∂v .
Từ đây chúng ta có
DNp(Xu) = Nu;DNp(Xv) = Nv.
Do đó nếu α=aXu+bXv;β=cXu+dXv,thì
hDNp(α), βi=haNu+bNv, cXu+dXvi
=achNu, Xui+adhNu, Xvi+bchNv, Xui+bdhNv, Xvi;
và hα, DNp(β)i=haXu+bXv, cNu+dNvi
=achXu, Nui+adhXu, Nvi+bchXv, Nui+bdhXv, Nvi.
Ta có hN, Xui= 0 và hN, Xvi= 0 nên
hNv, Xui+hN, Xuvi= 0.(3.2)
hNu, Xvi+hN, Xuvi= 0.(3.3)
Từ 3.2 và 3.3, ta có hNv, Xui=hNu, Xvivà do đó
hDNp(α), βi=hα, DNp(β)i.
✷
Định nghĩa 2. Dạng toàn phương IIp(α) := −hDNp(α), αiđược gọi là dạng cơ bản thứ hai của
Stại p.
3.3 Độ cong pháp và công thức Euler
3.3.1 Độ cong pháp
Định nghĩa 3. Cho Clà đường cong chính qui trên mặt Sđi qua điểm p. Gọi klà độ cong của
Ctại p, nlà vector pháp (đơn vị) của Ctại pvà Nlà vector pháp (đơn vị) của Stại p. Khi đó số
kn(p) = khn, Ni
được gọi là độ cong pháp của C⊂Stại p.
5