Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 5
Ch−¬ng 1
Sè phøc
§1. Tr−êng sè phøc
• KÝ hiÖu ∀ = 3 × 3 = { (x, y) : x, y ∈ 3 }. Trªn tËp ∀ ®Þnh nghÜa phÐp to¸n céng v phÐp
to¸n nh©n nh− sau
∀ (x, y), (x’, y’) ∈ ∀
(x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’)
(x, y) × (x’, y’) = (xx’  yy’, xy’
+ x’y) (1.1.1)
VÝ dô (2, 1) + (1, 1) = (1, 2) v (2, 1) × (1, 1) = (3, 1)
§Þnh lý (∀, +, × ) l mét tr−êng sè.
Chøng minh
KiÓm tra trùc tiÕp c¸c c«ng thøc (1.1.1)
PhÐp to¸n céng cã tÝnh giao ho¸n, tÝnh kÕt hîp, cã phÇn tö kh«ng l (0, 0)
∀ (x, y) ∈ ∀, (x, y) + (0, 0) = (x, y)
Mäi phÇn tö cã phÇn tö ®èi l (x, y) = (x, y)
∀ (x, y) ∈ ∀, (x, y) + (x, y) = (0, 0)
PhÐp to¸n nh©n cã tÝnh giao ho¸n, tÝnh kÕt hîp, cã phÇn tö ®¬n vÞ l (1, 0)
∀ (x, y) ∈ ∀, (x, y) × (1, 0) = (x, y)
Mäi phÇn tö kh¸c kh«ng cã phÇn tö nghÞch ®¶o l (x, y)
1
= (
22
yx
x
+,
22
yx
y
+
−
)
∀ (x, y) ∈ ∀  {(0, 0)}, (x, y) × (
22
yx
x
+,
22
yx
y
+
−
) = (1, 0)
Ngoi ra phÐp nh©n l ph©n phèi víi phÐp céng
• Tr−êng (∀, +, × ) gäi l tr−êng sè phøc, mçi phÇn tö cña ∀ gäi l mét sè phøc.
Theo ®Þnh nghÜa trªn mçi sè phøc l mét cÆp hai sè thùc víi c¸c phÐp to¸n thùc hiÖn
theo c«ng thøc (1.1.1). Trªn tr−êng sè phøc phÐp trõ, phÐp chia v phÐp luü thõa ®Þnh
nghÜa nh− sau.
∀ (n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀
*
víi ∀
*
= ∀  { (0, 0) }
z  z’ = z + ( z’),
'
z
z = z
×
(z’)
1
v z
0
= 1, z
1
= z v z
n
= z
n1
×
z (1.1.2)
•
B»ng c¸ch ®ång nhÊt sè thùc x víi sè phøc (x, 0)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Giáo trình hình thành công thức ứng dụng trong
hình học phẳng theo dạng đại số của số phức
.
Ch−¬ng 1. Sè Phøc
Trang 6 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
x ≡ (x, 0), 1 ≡ (1, 0) v 0 ≡ (0, 0)
tËp sè thùc trë thnh tËp con cña tËp sè phøc. PhÐp céng vphÐp nh©n c¸c sè phøc h¹n
chÕ lªn tËp sè thùc trë thnh phÐp céng v phÐp nh©n c¸c sè thùc quen thuéc.
x + x’ ≡ (x, 0) + (x’, 0) = (x + x’, 0) ≡ x + x’, ...
Ngoi ra trong tËp sè phøc cßn cã c¸c sè kh«ng ph¶i lsè thùc. KÝ hiÖu i = (0, 1) gäi l
®¬n vÞ ¶o. Ta cã
i
2
= (0, 1) × (0, 1) = (1, 0) ≡ 1
Suy ra ph−¬ng tr×nh x
2
+ 1 = 0 cã nghiÖm phøc l x =
1−
∉ 3.
Nh− vËy tr−êng sè thùc (3, +, ×) l mét tr−êng con thùc sù cña tr−êng sè phøc (∀, +, ×).
§2. D¹ng ®¹i sè cña sè phøc
• Víi mäi sè phøc z = (x, y) ph©n tÝch
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1)
§ång nhÊt ®¬n vÞ thùc (1, 0) ≡ 1 v ®¬n vÞ ¶o (0, 1) ≡ i, ta cã
z = x + iy (1.2.1)
D¹ng viÕt (1.2.1) gäi l d¹ng ®¹i sè cña sè phøc. Sè thùc x = Rez gäi l phÇn thùc, sè
thùc y = Imz gäi l phÇn ¶o v sè phøc
z
= x  iy gäi l liªn hîp phøc cña sè phøc z.
KÕt hîp c¸c c«ng thøc (1.1.1)  (1.2.1) suy ra d¹ng ®¹i sè cña c¸c phÐp to¸n sè phøc.
(x + iy) + (x’ + iy’) = (x + x’) + i(y + y’)
(x + iy) × (x’ + iy’) = (xx’  yy’) + i(xy’ + x’y)
yix
iyx
′
+
′
+
=
22
yx
yyxx
′
+
′
′
+
′
+ i
22
yx
yxyx
′
+
′
′
−
′
, ... (1.2.2)
VÝ dô Cho z = 1 + 2i v z’ = 2  i
z × z’ = (2 + 2) + i(1 + 4) = 4 + 3i,
'
z
z =
i
2
i21
= i
z
2
= (1 + 2i) × (1 + 2i) = 3 + 5i, z
3
= z
2
× z = (3 + 5i) × (1 + 2i) = 13  i
• Tõ ®Þnh nghÜa suy ra
z
= z ⇔ z ∈ 3
z
=  z ⇔ z ∈ i3
z
= z
z +
z
= 2Rez z 
z
= 2iImz z
z
= Re
2
z + Im
2
z (1.2.3)
Ngoi ra liªn hîp phøc cßn cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y.
§Þnh lý
∀
(n, z, z’)
∈
∠
×
∀
×
∀
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Ch−¬ng 1. Sè Phøc
Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 7
1.
'
z
z
=
z
+
'
z
2.
'
zz
=
z
'
z
n
z
=
n
)z(
3.
1
z
−
=
1
)z(
−
z
z
′ =
z
z
′
Chøng minh
1. Suy ra tõ ®Þnh nghÜa
2. Ta cã
'
zz
=
)yix(iy) (x ′
+
′
×+ = (xx’  yy’)  i(xy’ + x’y)
z
'
z
= (x  iy) × (x’  iy’) = (xx’  yy’) + i(xy’ x’y)
Qui n¹p suy ra hÖ thøc thø hai.
3. Ta cã
1
zz
−
=
z
1
z
−
= 1 ⇒
1
z
−
= (
z
)
1
Suy ra z/z ′ =
1
)z(z
−
′ =
z
1
z
−
′
• Víi mäi sè phøc z = x + iy, sè thùc | z | =
22
yx + gäi l
module
cña sè phøc z.
NÕu z = x ∈ 3 th× | z | = | x |. Nh− vËy module cña sè phøc l më réng tù nhiªn cña kh¸i
niÖm trÞ tuyÖt ®èi cña sè thùc. Tõ ®Þnh nghÜa suy ra
| Rez |, | Imz | ≤ | z | | z | = | z | = |
z
| = |
z
| z
z
=
z
z = | z |
2
z
1
= z
|
z
|
1
2
'
z
z = z(z’)
1
=
2
|
'
z
|
1z
'
z
(1.2.4)
Ngoi ra module cña sè phøc cßn cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y.
§Þnh lý
∀ (n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀
1. | z | ≥ 0 | z | = 0 ⇔ z = 0
2. | z z’ | = | z || z’ | | z
n
| = | z |
n
3. | z
1
| = | z |
1
z
z
′ =
|
z
|
|z|
′
4. | z + z’ | ≤ | z | + | z’ | || z || z’|| ≤ | z  z’ |
Chøng minh
1. Suy ra tõ ®Þnh nghÜa
2. Ta cã | zz’ |
2
= zz’
'
zz
= (z
z
)(z’
z
′) = (| z || z’| )
2
Qui n¹p suy ra hÖ thøc thø hai.
3. Ta cã | z z
1
| = | z || z
1
| = 1
⇒
| z
1
| = 1 / | z |
Suy ra | z / z’ | = | z (z’)
1
| = | z | | (z’)
1
|
4. Ta cã z
z
′ +
z
z’ = 2Re(z
z
′) ≤ | z
z
′ = | z || z’|
Suy ra | z + z’ 
2
= (z + z’)(
'
z
z
) =  z 
2
+ 2Re(z
z
′) + | z’|
2
≤ (| z | + | z’|)
2
§3. D¹ng l−îng gi¸c cña sè phøc
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Ch−¬ng 1. Sè Phøc
Trang 8 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
• Víi mäi sè phøc z = x + iy ∈ ∀
*
tån t¹i duy nhÊt sè thùc ϕ ∈ (π, π] sao cho
cosϕ =
|
z
|
x v sin
ϕ
=
|
z
|
y (1.3.1)
TËp sè thùc Argz = ϕ + k2π, k ∈ 9 gäi l argument, sè thùc argz = ϕ gäi l argument
chÝnh cña sè phøc z. Chóng ta qui −íc Arg(0) = 0.
KÝ hiÖu r = | z | tõ c«ng thøc (1.3.1) suy ra
x = rcosϕ v y = rsinϕ
Thay vo c«ng thøc (1.2.1) nhËn ®−îc
z = r(cos + isinϕ) (1.3.2)
D¹ng viÕt (1.3.2) gäi l d¹ng l−îng gi¸c cña sè phøc.
• Tõ ®Þnh nghÜa suy ra
argz = ϕ ⇒ arg(z) = ϕπ, arg
z
=  ϕ v arg(
z
) = πϕ
x > 0, argx = 0 x < 0, argx = π
y > 0, arg(iy) = π/2 y < 0, arg(iy) = π/2 ... (1.3.3)
Ngoi ra argument cña sè phøc cßn cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y.
§Þnh lý ∀ (n, z, z’) ∈ ∠ × ∀ × ∀
1. arg(zz’) = argz + argz’ [2π] arg(z
n
) = n argz [2π]
2. arg(z
1
) =  argz [2π] arg(z / z’) = argz  argz’ [2π]
Chøng minh
1. Gi¶ sö z = r(cosϕ + isinϕ) v z’ = r’(cosϕ’ + isinϕ’)
Suy ra
zz’ = rr’[(cosϕcosϕ’  sinϕsinϕ’) + i(sinϕcosϕ’ + cosϕsinϕ’)]
= rr’[cos(ϕ + ϕ’) + isin(ϕ + ϕ’)]
Qui n¹p suy ra hÖ thøc thø hai.
2. Ta cã
arg(zz
1
) = arg(z) + arg(z
1
) = 0 [2π] ⇒ arg(z
1
) =  arg(z) [2π]
Suy ra
arg(z / z’) = arg(zz’
1
) = argz + arg(z’
1
)
VÝ dô Cho z = 1 + i v z’ = 1 +
3
i
Ta cã zz’ = [
2
(cos
4
π + isin
4
π)][2(cos
6
π + isin
6
π)] = 2 2(cos
12
5π + isin
12
5π)
z
100
= ( 2)
100
[cos(100
4
π) + isin(100
4
π)] = 2
50
• Víi mäi sè thùc ϕ ∈ 3, kÝ hiÖu
e
i
ϕ
= cosϕ + i sinϕ (1.3.4)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Ch−¬ng 1. Sè Phøc
Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 9
Theo c¸c kÕt qu¶ ë trªn chóng ta cã ®Þnh lý sau ®©y.
§Þnh lý ∀ (n, ϕ, ϕ’) ∈ ∠ × 3 × 3
1. e
i
ϕ
≠ 0 e
i
ϕ
= 1 ⇔ ϕ = k2π
ϕi
e
= e
i
ϕ
2. e
i(
ϕ
+
ϕ
’)
= e
i
ϕ
e
i
ϕ
’
(e
i
ϕ
)
1
= e
i
ϕ
(e
i
ϕ
)
n
= e
in
ϕ
Chøng minh
Suy ra tõ c«ng thøc (1.3.4) v c¸c kÕt qu¶ ë trªn
HÖ qu¶ ∀ (n, ϕ) ∈ ∠ × 3
1. (cosϕ + isinϕ)
n
= cosnϕ + isinnϕ (1.3.5)
2. cosϕ =
2
1(e
i
ϕ
+ e
i
ϕ
) sin
ϕ
=
i
2
1(e
i
ϕ
 e
i
ϕ
) (1.3.6)
C«ng thøc (1.3.5) gäi l c«ng thøc Moivre, c«ng thøc (1.3.6) gäi l c«ng thøc Euler.
VÝ dô TÝnh tæng C =
∑
=
ϕ
n
0k
kcos v S =
∑
=
ϕ
n
0k
ksin
Ta cã C + iS =
∑
=
ϕ
n
0k
ik
e=
1
e
1e
i
)1n(i
−
ϕ
ϕ+
Suy ra C = 1cos
1cosncos)1ncos(
2
1
−ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
v S = 1cos
sinnsin)1nsin(
2
1
−ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
• Sè phøc w gäi l c¨n bËc n cña sè phøc z v kÝ hiÖu l w =
n
z
nÕu z = w
n
NÕu z = 0 th× w = 0
XÐt tr−êng hîp z = re
i
ϕ
≠ 0 v w = ρe
i
θ
Theo ®Þnh nghÜa w
n
= ρ
n
e
in
θ
= re
i
ϕ
Suy ra ρ
n
= r v nθ = ϕ + m2π
Hay ρ =
n
r
v θ = n
ϕ
+ m
n
2π
víi m ∈ 9
Ph©n tÝch m = nq + k víi 0 ≤ k < n v q ∈ 9. Ta cã
n
ϕ
+ m
n
2π
≡ n
ϕ
+ k
n
2π
[2π]
Tõ ®ã suy ra ®Þnh lý sau ®©y.
§Þnh lý
C¨n bËc n cña sè phøc kh¸c kh«ng cã ®óng n gi¸ trÞ kh¸c nhau
w
k
=
n
r
[cos ( n
ϕ
+ k
n
2π
) + isin( n
ϕ
+ k
n
2π
)] víi k = 0 ... (n  1) (1.3.7)
VÝ dô
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e
V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.