Tài liệu tóm tắt lý thuyết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và hướng dẫn giải bài 4,5,6,7,8,9,10,11 trang 11,12 SGK Toán 9 tập 2 là tài liệu hữu ích giúp các em nắm vững khái niệm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, nắm được phương pháp minh họa hình học tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, hiểu khái niệm hai hệ phương trình tương đương từ đó vận dụng vào giải bài tập. Mời các em cùng tham khảo.
Tóm tắt lý thuyết và Giải bài 4,5,6 trang 11; bài 7,8,9,10,11 trang 12 SGK Toán 9 tập 2:
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
A. Tóm tắt lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: (I) trong đó ax + by = c và
a’x + b’y = c’ là những phương trình bậc nhất hai ẩn. Nếu hai phương trình của hệ có nghiệm
chung thì nghiệm chung ấy gọi là nghiệm của hệ phương trình (I). Trái lại, nếu hai phương
trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) là vô nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Đối với hệ phương trình (I), ta có:
Nếu (d) cắt (d’) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.
Nếu (d) song song với (d’) thì hệ (I) vô nghiệm.
Nếu (d) trùng với (d’) thì hệ (I) có vô số nghiệm.
3. Hệ phương trình tương đương:
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
B. Hướng dẫn giải bài tập SGK trang 11, 12 Toán 9 bài: Hệ hai phương trình bậc nhất
hai ẩn
Bài 4 trang 11 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì
Trang | 1
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
sao:
Đáp án và hướng dẫn giải bài 4:
a)
Ta có a = -2, a’ = 3 nên a ≠ a’
=> Hai đường thẳng cắt nhau.
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ là
hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất).
b)
Có a =-1/2, a’ =-1/2, b = 3, b’ = 1 nên a = a’, b ≠ b’.
⇒ Hai đường thẳng song song.
Vậy hệ phương trình vô nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ là hai
đường khác nhau và cso cùng hệ số góc nên chúng song song với nhau).
c)
Có a =-3/2, a’ =2/3 nên a ≠ a’
=> Hai đường thẳng cắt nhau.
Trang | 2
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Vậy hệ phương trình có một nghiêm.
d)
Có a = 3, a’ = 3, b = -3, b’ = -3 nên a = a’, b = b’.
⇒ Hai đường thẳng trùng nhau.
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ
trùng nhau).
Bài 5 trang 11 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:
Đáp án và hướng dẫn giải bài 5:
a)
Vẽ (d1): 2x – y = 1
Cho x = 0 => y = -1, ta được A(0; -1).
Cho y = 1 => x = 1, được B(1;1).
Vẽ (d2): x – 2y = -1
Trang | 3
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Cho x = -1 => y = 0, được C (-1;0).
Cho y = 2 => x = 3, được D = (3; 2).
Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M có tọa độ (x = 1, y = 1).
Thay x = 1, y = 1 vào các phương trình của hệ ta được:
2 . 1 – 1 = 1 (thỏa mãn)
1 – 2 . 1 = -1 (thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = (1; 1).
b)
Vẽ (d1): 2x + y = 4
Cho x = 0 => y = 4, được A(0; 4).
Cho y = 0 => x = 2, được B(2; 0).
Vẽ (d2): -x + y = 1
Cho x = 0 => y = 1, được C(0; 1).
Cho y = 0 => x = -1, được D(-1; 0).
Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm N có tọa độ (x = 1; y = 2).
Thay x = 1, y = 2 vào các phương trình của hệ ta được:
2 . 1 + 2 = 4 và -1 + 2 = 1 (thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x; y) = (1; 2).
Bài 6 trang 11 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Đố: Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương
với nhau. Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số
nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau.
Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai? Vì sao? (có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ
Trang | 4
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
thị).
Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chũng cùng có
tập nghiệm bằng Φ.
Bạn Phương nhân xét sai. Chẳng hạn, hai hệ phương trình:
đều có vô số nghiệm nhưng tập nghiệm của hệ thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng y =
x, còn tập nghiệm của phương trình thứ hai được biểu diện bởi đường thẳng y = -x. Hai
đường thẳng này là khác nhau nên hai hệ đang xét không tương đương (vì không có cùng
tập nghiệm).
Giải bài 7,8,9,10,11 trang 12 Luyện tập Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 7 trang 12 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5.
a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một hệ trục tọa
độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 7:
a) 2x + y = 4 ⇔ y = -2x + 4 ⇔ x = -1/2y + 2.
Do đó phương trình có nghiệm dạng tổng quát như sau:
b) Vẽ (d1): 2x + y = 4
– Cho x = 0 => y = 4 được A(0; 4).
Trang | 5
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
– Cho y = 0 => x = 2 được B(2; 0).
Vẽ (d2): 3x + 2y = 5
– Cho x = 0 => y = 5/2 được C(0;5/2).
– Cho y = 0 => x =5/3 được D(5/3; 0).
Hai đường thẳng cắt nhau tại M(3; -2).
Thay x = 3, y = -2 vào từng phương trình ta được: 2 . 3 + (-2) = 4 và 3 . 3 + 2 . (-2) = 5 (thỏa
mãn)
Vậy (x = 3; y = -2) là nghiệm chung của các phương trình đã cho.
Bài 8 trang 12 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Cho các hệ phương trình sau:
Đáp án và hướng dẫn giải bài 8:
Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau
đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 8:
a)
Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng x = 2 song song với trục tung, còn một
Trang | 6
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
đồ thị là đường thẳng y = 2x – 3 cắt hai trục tọa độ
.
Vẽ (d1): x = 2
Vẽ (d2 ): 2x – y = 3
– Cho x = 0 => y = -3 được A(0; -3).
– Cho y = 1 => x = 2 được B(2;1)
Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại M(2; 1).
Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 1).
b)
Hệ có nghiệm duy nhất vì một đồ thị là đường thẳng y =-x/3 +2/3 cắt hai trục tọa độ, còn
một đồ thị là đường thẳng y = 2 song song vơi trục hoành.
Vẽ (d1): x + 3y = 2
– Cho x = 2 => y = 0 được A(2;0)
– Cho y = 1 => x = -1 được B(-1; 1).
Vẽ (d2): y = 2
Trang | 7
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại M(-4; 2).
Thay x = -4, y = 2 vào phương trình x + 3y = 2 ta được -4 + 3 . 2 = 2 (thỏa mãn).
Vậy hệ phương trình có nghiệm (-4; 2).
Bài 9 trang 12 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:
Đáp án và hướng dẫn giải bài 9:
a)
Ta có: a = -1, a’ = -1, b = 2, b’ = 2/3 nên a = a’, b ≠ b’
=> Hai đường thẳng song song nhau.
Vậy hệ phương trình vô nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của hai
phương trình trong hệ song song với nhau.
b)
Ta có: a = 3/2, a’ =3/2, b = -1/2, b’ = 0 nên a = a’, b ≠b’.
=> Hai đường thẳng song song với nhau.
Vậy hệ phương trình vô nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của hai
phương trình trong hệ song song với nhau.
Bài 10 trang 12 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Trang | 8
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:
a)
Ta có:
a = a’ = 1, b = b’ = -1/2
=> Hai đường thẳng trùng nhau.
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn các tập nghiệm của hai
phương trình trong hệ là trùng nhau.
b)
Ta có a = a’ =1/3, b = b’ = -2/3 nên hai đường thẳng trùng nhau.
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
Bài 11 trang 12 SGK Toán 9 tập 2 – Đại số
Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là
hai nghiệm được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt) thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ
phương trình đó ? Vì sao ?
Hướng dẫn giải bài 11:
Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì ta có thể kết
luận hệ phương trình có vô số nghiệm, vì hệ có hai nghiệm phân biệt nghĩa là hai đường
thẳng biểu diễn tập nghiệm của chúng có hai điểm chung phân biệt, suy ra chúng trùng
Trang | 9
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
nhau.
- Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.
- H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.
- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 6 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.
- Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.
- Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH. Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…
- Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.
- Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.
- Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.
Trang | 10
W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807
