H NG D N H C SINHƯỚ Ẫ Ọ
GI I M T S BÀI TOÁN C C TR HÌNH H CẢ Ộ Ố Ự Ị Ọ
TRONG HÌNH TO Đ KHÔNG GIANẠ Ộ
Phân 1 : ĐT V N ĐẶ Ấ Ề
I . Lý do ch n đ tài : ọ ề
Trong vi c d y h c toán ta luôn coi m c đích ch y u c a bài t p toánệ ạ ọ ụ ủ ế ủ ậ
là hình thành và phát tri n t duy toán h c , t o cho h c sinh v n ki n th c vàể ư ọ ạ ọ ố ế ứ
v n d ng ki n th c vào th c ti n . Vì v y vi c xây d ng và hình thành choậ ụ ế ứ ự ễ ậ ệ ự
h c sinh ph ng pháp gi i t ng d ng toán là h t s c c n thi t .ọ ươ ả ừ ạ ế ứ ầ ế
Trong các đ thi t t nghi p trung h c ph thông hay thi tuy n sinh vàoề ố ệ ọ ổ ể
các tr ng Đi h c , Cao đng ,Trung h c chuyên nghi p th ng xu t hi nườ ạ ọ ẳ ọ ệ ườ ấ ệ
các bài toán v ph ng pháp t a đ trong không gian . Có th nói r ng toánề ươ ọ ộ ể ằ
v ph ng pháp t a đ trong không gian r t đa d ng phong phú . C c tr hìnhề ươ ọ ộ ấ ạ ự ị
h c trong ph ng pháp t a đ trong không gian là m t d ng toán khó đòi h iọ ươ ọ ộ ộ ạ ỏ
h c sinh v a ph i bi t t duy hình h c v a ph i bi t k t h p s d ngọ ừ ả ế ư ọ ừ ả ế ế ợ ử ụ
ph ng pháp t a đ trong không gian ươ ọ ộ
Trong năm h c 2012- 2013 đc phân công gi ng d y l p 12 tr c khiọ ượ ả ạ ớ ướ
d y ch ng ph ng pháp t a đ trong không gian b n thân tôi luôn trăn tr :ạ ươ ươ ọ ộ ả ở
làm th nào đ khi h c sinh đc đ thi th y xu t hi n câu c c tr hình h cế ể ọ ọ ề ấ ấ ệ ự ị ọ
trong không gian nh ng h c sinh không c m th y s .V i suy nghĩ nh v yư ọ ả ấ ợ ớ ư ậ
tôi đã chu n b m t chuyên đ xem nh m t đ tài c i ti n ph ng pháp d yẩ ị ộ ề ư ộ ề ả ế ươ ạ
h c : ọ
“ H ng d n h c sinh gi i m t s bài toán c c c i tr hình h c trong hình t aướ ẫ ọ ả ộ ố ự ả ị ọ ọ
đ không gian “ộ
II Ph m vi ng d ng ạ ứ ụ
Đ tài đc áp d ng vào gi ng d y t i l p 12B, 12ề ượ ụ ả ạ ạ ớ E tr ng THPT Ba ườ
Đình năm h c 2012- 2013ọ
Ph n 2 GI I QUY T V N Đ :ầ Ả Ế Ấ Ề
A . C s lý lu n:ơ ở ậ
Trong ch ng trình hình h c 12 ph ng pháp t a đ trong không gianươ ọ ươ ọ ộ
t p trung ch y u vào các d ng toán xác đnh t a đô đi m th a mãn đi u ki nậ ủ ế ạ ị ọ ể ỏ ề ệ
1
cho tr c, l p ph ng trình đng th ng ,m t ph ng .vì v y vi c cung c pướ ậ ươ ườ ẳ ặ ẳ ậ ệ ấ
n i dung ph ng pháp là h t s c c n thi tộ ươ ế ứ ầ ế
B . C s th c ti n : ơ ở ự ễ
Đi v i h c sinh : Khi ch a c i ti n ph ng pháp m i l p ch đc 10/45ố ớ ọ ư ả ế ươ ỗ ớ ỉ ượ
em t p trung làm bài t p d ng này ậ ậ ạ
Đi v i giáo viên : Sách giáo khoa h u nh b qua d ng bài t p này, m t số ớ ầ ư ỏ ạ ậ ộ ố
tài li u cũng có đi m qua nh ng không có tính ch t h th ng .ệ ể ư ấ ệ ố
Bài toán 1 : TÌM TO Đ ĐI M TH A MÃN H TH C.Ạ Ộ Ể Ỏ Ệ Ứ
D ng1: Tìm đi m M thu c m t ph ng ạ ể ộ ặ ẳ
sao cho:
T = aMA2 + bMB2 + cMC2
Rcba ,,
l n nh t (nh nh t)ớ ấ ỏ ấ
Cách gi i: ả
G i G là đi m th a mãn : ọ ể ỏ
0 GCcGBbGAa
T đc bi u di n:ượ ể ễ
222 GCMGcGBMGbGAMGaT
=
GCcGBbGAaMGMGcba 2
2
+ a.GA2 + b.GB2 + c.GC2
+) N u a + b + c > 0 ta có Tếmin
MGmin
M là hình chi u c a G lên (P)ế ủ
+) N u a + b + c < 0 ta có Tếmax
MGmin
M là hình chi u c a G lên (P)ế ủ
Các ví d :ụ
Ví d 1: ụ
a, Trong không gian v i h Oxyz cho m t ph ng ớ ệ ặ ẳ
: x –y – 2z = 0 và
đi m A(1; 3; 1); B(3; 2; 2); C(1; 1; -1). ể
Tìm đi m M ể
sao cho T = MA2 + 2MB2 + MC2 nh nh t.ỏ ấ
b, Trong không gian v i h Oxyz cho ớ ệ
: x – y + 2z = 0 và các đi mể
A(1; 2; -1); B(3; 1; -2); C(1; -2; 1). Tìm M
sao cho P = MA2 - MB2 - MC2
l n nh t.ớ ấ
L i gi i: ờ ả
a. Gi s G th a mãn: ả ử ỏ
02 GCGBGA
T = MA2 + 2MB2 + MC2 =
222 2GCMGGBMGGAMG
= 4MG2 + GA2 + 2GB2 + GC2
2
Vì G, A, B, C c đnh nên T nh nh t khi và ch khi MG nh nh t ố ị ỏ ấ ỉ ỏ ấ
M
là hình chi u vuông góc c a G trên m t ph ng ế ủ ặ ẳ
.
G i d là đng th ng qua G và vuông góc v i ọ ườ ẳ ớ
tz
ty
tx
d
21
2
2
:
T a đ c a M là nghi m c a h : ọ ộ ủ ệ ủ ệ
02
21
2
2
zyx
tz
ty
tx
3
1
;
3
7
;
3
5
M
b. G i G là đi m th a mãn: ọ ể ỏ
0 GCGBGA
0;3;3 G
MA2 - MB2 - MC2 =
222 GCMGGBMGGAMG
= -MG2 + GA2 – GB2 – GC2
Vì G, A, B, C c đnh nên P l n nh t khi và ch khi MG nh nh t ố ị ớ ấ ỉ ỏ ấ
M
là hình chi u vuông góc c a G lên (P) ế ủ
M(2; -2; -2)
Ví d 2:ụ
Trong không gian v i h Oxyz, cho ba đi m A(3; 1; 1); B(7; 3; 9); C(2;ớ ệ ể
2; 2) và m t ph ng (P) có ph ng trình: x + y – z + 3 = 0. Tìm trên (P) đi m Mặ ẳ ươ ể
sao cho
MCMBMA 32
nh nh t.ỏ ấ
L i gi i:ờ ả
G i I là đi m th a mãn ọ ể ỏ
032 GCIBIA
PI
6
25
;
6
13
;
6
23
Ta có
MCMBMA 32
ICMIIBMIIAMI 32
=
MIICIBIAMI 6326
MIMCMBMA 632
Do đó,
MCMBMA 32
nh nh t khi và ch khi MI nh nh t, suy ra Mỏ ấ ỉ ỏ ấ
là hình chi u c a I trên (P).ế ủ
D ng 2: Tìm đi m M thu c m t ph ng (P) sao cho (MA + MB )min, ạ ể ộ ặ ẳ
MBMA
max
Cách gi iả
* Tìm
)(PM
sao cho MA + MB min
3
P
A
M
B
+ N u A, B khác phía đi v i (P).ế ố ớ
MA + MBmin khi M, A, B th ng hàng ẳ
)(PABM
+ N u A, B cùng phía đi v i (P).ế ố ớ
G i Aọ1 là đi m đi x ng v i A qua (P)ể ố ứ ớ
Có MA + MB = MA1 + MB
Do A1 và B khác phía đi v i (P) nên (MA + MB) minố ớ
(MA1 + MB) min
khi và ch khi M, Aỉ1, B th ng hàng ẳ
)(
1PBAM
* Tìm
)(PM
sao cho
MBMA
max
+ N u A, B khác phía đi v i (P).ế ố ớ
G i Aọ1 là đi m đi x ng v i A qua (P), ta có:ể ố ứ ớ
MBMA
=
BAMBMA 11
MBMA
max = A1B
M, A1, B th ng hàng ẳ
PBAM 1
T đó tìm đc to đ đi m M.ừ ượ ạ ộ ể
+ N u A, B cùng phía đi v i (P)ế ố ớ
ABMBMA
MBMA
max = AB
th ng hàng ẳ
)(PABM
Ví d 1: ụ
Cho A(1; 1; 2); B(2; 1; -3) và m t ph ng (P): 2x + y -3z – 5 = 0. ặ ẳ
Tìm đi m M thu c (P) sao cho (MA + MB) nh nh t.ể ộ ỏ ấ
L i gi i:ờ ả
Xét v trí t ng đi c a A, B đi v i m t ph ng (P) ta có: ị ươ ố ủ ố ớ ặ ẳ
tA.tB = (2.1 + 1 – 3.2 + 5).(2.2 + 1 – 3.(-3) -5) = -72 < 0. V y A, B khácậ
phía đi v i (P).ố ớ
4
P
A
M
B
A1
P
A
M
B
A1
Đng th ng AB qua A(1; 1; 2) và nh n ườ ẳ ậ
5;0;1 AB
làm véc t chơ ỉ
ph ng, suy ra AB có ph ng trình: ươ ươ
tz
y
tx
52
1
1
G i N là giao đi m c a AB và (P), suy ra t a đ đi m N là nghi m c aọ ể ủ ọ ộ ể ệ ủ
h :ệ
17
6
1
17
25
52
1
1
0532
z
y
x
tz
y
tx
tyx
Ta ch ng minh MA + MB nh nh t khi và ch khi Mứ ỏ ấ ỉ
N
Th t v y, l y Mậ ậ ấ
)(P
ta có MA + MB
NBNAAB
D u “=” x y ra khi và ch khi Mấ ả ỉ
N. V y ậ
17
6
;1;
17
25
M
Ví d 2:ụ
Cho A(-7; 4; 4); B(-6; 2; 3) và m t ph ng (P): 3x – y -2t + 19 = 0. Tìmặ ẳ
đi m M thu c (P) sao cho AM + BM nh nh t.ể ộ ỏ ấ
L i gi i:ờ ả
Xét v trí t ng đi c a A, B đi v i ị ươ ố ủ ố ớ
m t ph ng (P) ta có: tặ ẳ A.tB = 98 > 0
Suy ra A, B cùng phía đi v i (P).ố ớ
G i Aọ1 là đi m đi x ng v i A qua (P)ể ố ứ ớ
MA + MB = MB + MA1
Mà MB + MA1
BA1
MB + MA1min = BA1
B, M, A1 th ng hàng.ẳ
Hay
PBAM 1
L p ph ng trình đng th ng BAậ ươ ườ ẳ 1, gi i h tìm đc to đi đi m Mả ệ ượ ạ ộ ể
2;2;
8
13
Ví d 3ụ: Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2; 3); B(4; 4;5). Vi t ph ng trìnhế ươ
đng th ng AB, tìm giao đi m P c a đng th ng AB và (Oxy). ườ ẳ ể ủ ườ ẳ
5
A
B
M
A1