I - M ĐU.Ở Ầ
1. Lý do ch n đ tài.ọ ề
tr ng THPT d y toán là ho t đng toán h c cho h c sinh, trong đóỞ ườ ạ ạ ộ ọ ọ
gi i toán là hình th c ch y u. Đ rèn luy n k năng gi i toán cho h c sinhả ứ ủ ế ể ệ ỹ ả ọ
ngoài vi c trang b t t ki n th c c b n cho các em giáo viên c n h ng d nệ ị ố ế ứ ơ ả ầ ướ ẫ
h c sinh phát tri n, m r ng k t qu các bài toán c b n có trong sách giáoọ ể ở ộ ế ả ơ ả
khoa đ các em có c h i suy nghĩ tìm tòi nh ng k t qu m i sau m i bài toán.ể ơ ộ ữ ế ả ớ ỗ
Th c t , các nhà tr ng ph thông hi n nay ph n l n giáo viên ch a có thóiự ế ở ườ ổ ệ ầ ớ ư
quen khai thác và phát tri n m t bài toán thành chu i các bài toán liên quan choể ộ ỗ
h c sinh. Mà ch y u ch d ng l i các bài t p đn l làm cho h c sinh thọ ủ ế ỉ ừ ạ ở ậ ơ ẻ ọ ụ
đng, khó tìm đc m i liên h gi a các ki n th c đã h c. Cho nên khi g pộ ượ ố ệ ữ ế ứ ọ ặ
m t bài toán m i các em không bi t xu t phát t đâu?. Nh ng ki n th c c nộ ớ ế ấ ừ ữ ế ứ ầ
s d ng là gì?. Nó liên quan nh th nào v i các bài toán đã h c?. Trong th cử ụ ư ế ớ ọ ự
ti n gi ng d y c a b n thân tôi th y vi c tìm tòi m r ng các bài t p sách giáoễ ả ạ ủ ả ấ ệ ở ộ ậ
khoa là ph ng pháp h c khoa h c, có hi u qu nh t c a m t ti t bài t p.ươ ọ ọ ệ ả ấ ủ ộ ế ậ
Phát tri n t d đn khó là con đng phù h p cho h c sinh khi rèn luy n kể ừ ễ ế ườ ợ ọ ệ ỹ
năng gi i toán. Vi c tìm tòi đ phát tri n, m r ng các bài toán làm tăng thêmả ệ ể ể ở ộ
h ng thú h c t p, óc sáng t o c a h c sinh. T đó giúp các em có c s khoaứ ọ ậ ạ ủ ọ ừ ơ ở
h c khi phân tích, phán đoán tìm l i gi i cho các bài toán khác và ngày càng tọ ờ ả ự
tin h n vào kh năng gi i toán c a mình.ơ ả ả ủ
Trong quá trình giảng d y b môn Toán, đc bi t là b i d ng ạ ộ ặ ệ ồ ưỡ h c sinhọ
gi i đi v i giáo viên g p không ít khó khăn, nh t là ngu n t i li u đ ph cỏ ố ớ ặ ấ ồ ạ ệ ể ụ
v cho gi ng d y ph i có tính h th ng theo t ng chuyên đ khai thác sâu tụ ả ạ ả ệ ố ừ ề ừ
nh ng ki n th c c b n c a sách giáo khoa. Đ có đc đi u đó, đi v i giáoữ ế ứ ơ ả ủ ể ượ ề ố ớ
viên không ng ng nghiên c u và có ý th c tích lũy m t cách có h th ng theoừ ứ ứ ộ ệ ố
t ng m ng ki n th c trong su t quá trình gi ng d y cũng nh s p x p nó theoừ ả ế ứ ố ả ạ ư ắ ế
m t h th ng có tính logic cao. Đc bi t là khai thác sâu t nh ng ki n th cộ ệ ố ặ ệ ừ ữ ế ứ
n n trong sách giáo khoa.ề
M c dù có r t nhi u tài li u vi t v ng d ng c a ph ng pháp t s thặ ấ ề ệ ế ề ứ ụ ủ ươ ỉ ố ể
tích, nh ng cũng ch d ng l i vi c ng d ng ph ng pháp t s th tích đư ỉ ừ ạ ở ệ ứ ụ ươ ỉ ố ể ể
tính th tích, tính t s th tích, tính kho ng cách ch ch a đi sâu vào ng d ngể ỉ ố ể ả ứ ư ứ ụ
nó đ gi i các bài toán m r ng. T nh ng lý do trên, tôi ch n đ tài nghiên c uể ả ở ộ ừ ữ ọ ề ứ
c a mình là: ủ“H ng d n h c sinh khai thác và v n d ng m t bài t p sáchướ ẫ ọ ậ ụ ộ ậ
giáo khoa hình h c 12 nh m rèn luy n năng l c t duy lôgíc cho h c sinh”.ọ ằ ệ ự ư ọ
2. M c đích nghiên c u.ụ ứ
- Nh m m c đích đa l i hi u qu trong gi ng d y đc bi t là ôn thi HSG và ằ ụ ư ạ ệ ả ả ạ ặ ệ
ĐH cho HS Kh i 12 . Bên c nh đó qua qúa trình nghiên c u trình đ chuyên ố ạ ứ ộ
môn c a b n thân đc nâng cao đa l i hi u qu t t trong gi ng d y.ủ ả ượ ư ạ ệ ả ố ả ạ
- Nh m nâng cao năng l c t duy logíc cũng nh ch t l ng d y h c ch đằ ự ư ư ấ ượ ạ ọ ủ ề
hình h c không gian cho h c sinh tr ng THPT Nh Thanh..ọ ọ ườ ư
3. Đi t ng nghiên c uố ượ ứ .
Đi t ng nghiên c u là các bài toán ng d ng c a t s th tích trongố ượ ứ ứ ụ ủ ỉ ố ể
các bài toán tính th tích và các bài toán hình h c không gian có liên quan. Đ tàiể ọ ề
này áp d ng r ng rãi cho các em h c sinh THPT, h c sinh l p 12 ôn thi Đi h c,ụ ộ ọ ọ ớ ạ ọ
Cao đng, các em h c sinh gi i và t t c giáo viên d y Toán tr ng THPTẳ ọ ỏ ấ ả ạ ở ườ
tham kh o.ả
4. Ph ng pháp nghiên c u. ươ ứ
- Nghiên c u ng d ng và phát tri n bài t p 4 trang 25 SGK hình h c 12 ban cứ ứ ụ ể ậ ọ ơ
b n.ả
- Nghiên c u tài li u liên quan đn đ tài.ứ ệ ế ề
II - N I DUNG C A SÁNG KI N KINH NGHI M.Ộ Ủ Ế Ệ
1. C s lý lu n c a sáng ki n kinh nghi m.ơ ở ậ ủ ế ệ
Gi i toán là quá trình suy lu n, nh m khám phá ra quan h lôgíc gi a cáiả ậ ằ ệ ữ
đã cho và cái ch a bi t. M i bái toán có m t cách gi i, cách suy lu n riêng, nênư ế ỗ ộ ả ậ
khi đng tr c m t bài toán h c sinh th ng không bi t b t đu t đâu? ph iứ ướ ộ ọ ườ ế ắ ầ ừ ả
làm nh th nào?. Trong quá trình d y h c, chunggs ta không th d y h t choư ế ạ ọ ể ạ ế
h c sinh t t c các bài t p cũng nh các em cúng không th làm h t các bài t pọ ấ ả ậ ư ể ế ậ
đó. Vì v y, đ t o m i liên h gi a các bài t p, khi h ng d n cho h c sinhậ ể ạ ố ệ ữ ậ ướ ẫ ọ
gi i m t bài toán, giáo viên không nên d ng l i m t bài toán c th ; mà sauả ộ ừ ạ ở ộ ụ ể
khi gi i bài toán này, h c sinh ph i gi i quy t m t lo t các v n đ liên quan màả ọ ả ả ế ộ ạ ấ ề
giáo viên đã đnh h ng. Quá trình này ph i b t đu t các bài t p đn gi nị ướ ả ắ ầ ừ ậ ơ ả
đn ph c t p đ rèn luy n năng l c t duy cho h c sinh. T đó giúp các em cóế ứ ạ ể ệ ự ư ọ ừ
c s khoa h c khi phân tích, đnh h ng tìm tòi l i gi i cho các bài toán khácơ ở ọ ị ướ ờ ả
và đc bi t là cũng c cho các em lòng tin vào kh năng gi i toán c a mình.ặ ệ ố ả ả ủ
A
B
S
C
H
H'
A'
B'
C'
2. Th c tr ng c a v n đ nghiên c u.ự ạ ủ ấ ề ứ
Qua quá trình d y h c tr ng THPT Nh Thanh nhi u năm nay tôiạ ọ ở ườ ư ề
nh n th y vi c h c môn toán c a h c sinh là r t khó khăn, đc bi t là phànậ ấ ệ ọ ủ ọ ấ ặ ệ
hình h c không gian. Các em không bi t b t đu t đâu, v n d ng ki n th cọ ế ắ ầ ừ ậ ụ ế ứ
liên quan nào…. Chính nh ng khó khăn đó đã nh h ng không nh đn ch tứ ả ưở ỏ ế ấ
l ng h c t p môn Toán nói chung và ph n hình h c nói riêng, d n đn các emượ ọ ậ ầ ọ ẫ ế
không h ng thú trong vi c h c môn Toán.ứ ệ ọ
3. Gi i pháp và t ch c th c hi n.ả ổ ứ ự ệ
Xu t phát t bài toánấ ừ trong SGK hình h c 12 c b n và xem nó nh là bàiọ ơ ả ư
toán g c cho trình t nghiên c u c a ố ự ứ ủ sáng ki n kinh nghi m ế ệ này.
Bài toán: Cho kh i chóp S.ABC trên các c nh SA, SB, SC l n l t l y cácố ạ ầ ượ ấ
đi m A’, B’, C’ khácể v i Sớ. Ch ng minh r ng: ứ ằ
S.A ' B 'C '
S.ABC
V SA' SB' SC'
. .
V SA SB SC
=
. Trong
đó VS.A’B’C’ và VSABC l n l t là th tích c a kh i chóp S.A’B’C’ và S.ABCầ ượ ể ủ ố
(Bài t p 4- Tr25 - SGK hình h c 12 ban c b n)ậ ọ ơ ả
L i gi i:ờ ả
G i H’ và H l n l t là hình chi u c a A’ và A lên m t ph ng (SBC) khi đó taọ ầ ượ ế ủ ặ ẳ
có:
?
?
A 'H '.SB'.SC 'sin BSC A 'H '.SB'.SC '
AH.SB.SC
AH.SB.SCsin BSC
=
Ta có: ∆SH’A’∼∆ SHA. Nên:
A 'H ' SA '
AH SA
=
Do đó:
V y, ta có đi u ph i ch ng minh.ậ ề ả ứ
S.A ' B ' C '
S.ABC
VSA ' SB' SC'
. .
V SA SB SC
=
Xem bài toán nêu trên là bài toán g c,ố ta l n l t khai thác bài toán trên d iầ ượ ướ
nh ng góc đ khác nhau. Sau đây, tôi xin đa ra b n h ng khai thác bài toánữ ộ ư ố ướ
trên đ h ng d n h c sinh gi i quy t t t các bài toán hình h c không gian.ể ướ ẫ ọ ả ế ố ọ
H ng 1: ng d ng bài toán g c đ gi i bài toánướ Ứ ụ ố ể ả
tìm t s th tíchỷ ố ể .
Ví d 1: ụCho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác
vuông cân t i C c nh bên SA vuông góc v i m tạ ạ ớ ặ
ph ng (ABC) có SA=AB. M t ph ng ẳ ặ ẳ (α) qua A và
vuông góc v i SB c t SB t i B’ c t SC t i C’ (B’ vàớ ắ ạ ắ ạ
C’ khác S). Tìm t s th tích hai ph n c a kh i chópỉ ố ể ầ ủ ố
c t b i (ắ ở α)?
L i gời i: ả
Ta đtặ: CB = CA = a; AB =SA = a
2
;
SB = 2a; SC = a
3
S.AB 'C '
S.ABC
V SA SB' SC' SB' SC'
. . .
V SA SB SC SB SC
= =
D dàng ch ng minh đc tam giác AC’B’ vuông C’ễ ứ ượ ở . Nên ta có:
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
S.AB'C'
2 2
2 2 2 2
S.ABC
VSA SB' SC' SB' SC' SB'.SB SC'.SC 4 1
= . . = . = . = . = =
V SA SB SC SB SC SB SC 4 .3 3
SA SA a
a a
SB SC
S.AB'C' S.ABC
1
V = V
3
A.BCC ' B' S.ABC
2
V V
3
=
. Hay
S.AB' C '
A.BCC'B'
V 1
V 2
=
Ví d ụ2: Cho kh i chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. G i B’,ố ọ
D’ l n l t là trung đi m c a SB và SD. M t ph ng (AB’D’) c t SC t i C’.ầ ượ ể ủ ặ ẳ ắ ạ
Tính t s th tích ỉ ố ể
S.AB 'C ' D '
ABCDD ' C ' B '
V
V
.
L i gi iờ ả :
G i O là giao đi m c a AC và BD và I làọ ể ủ
giao đi m c a SO và B’D’. Khi đó AIể ủ
c t SC t i C’.ắ ạ
Ta có:
S.AB' C '
S.ABC
V SB' SC' 1 SC'
.
V SB SC 2 SC
= =
I
D'
B'
A
C
D
B
O
S
C'
O'
S
A
B
C
C
’
B’
A
I
S
C
B
M
D
J
N
E
S.AC ' D '
S.ACD
V SC ' SD' 1 SC'
.
V SC SD 2 SC
= =
Suy ra:
S.AB 'C ' S.AC ' D ' S.ABC S.ACD S.ABCD
1 SC' 1 SC'
V V . (V V ) . .V
2 SC 2 SC
+ = + =
K OO’//AC’ (O’ẻ∈SC). Ta có SC’ = C’O’ = O’C.
Do đó:
S.A ' B' C ' D ' S.ABCD
1 1
V . .V
2 3
=
Hay
S.A ' B' C 'D '
S.ABCD
V 1
V 6
=
Suy ra:
ABCDD ' C ' B '
5
V6
=
. V y ậ
S.AB 'C ' D '
ABCDD ' C ' B '
V 1
V 5
=
Ví d ụ3: Cho hình chóp S.ABC l y Mấ và N l n l t trên các c nh ầ ượ ạ SA và SB
sao cho
SM 1
MA 2
=
,
SN 2
NB
=
. M t ph ng (ặ ẳ α) qua MN song song v i SC chia kh iớ ố
chóp thành hai ph n, tìm t s th tích c a hai ph n đó.ầ ỉ ố ể ủ ầ
L i gi iờ ả :
Kéo dài MN c t AB t i I, k MD song song SC (Dắ ạ ẻ
AC); E =DI
CB. Khi đó tứ
giác MNED là thi t di n kh i chóp c t b i (ế ệ ố ắ ở α).
Ta có:
A.MDI
A.SCB
V
V
AM AD AI 2 2 4 16
. . . .
AS AC AB 3 3 3 27
= = =
V y ậ
A.MDI
V
A.SCB
16 V
27
=
(Do k MJ//AB ta có : ẻ
NMJ NIB
∆ = ∆
,
1 4
BJ NJ BI AB ;AI AB)
3 3
= = =�
Ta l i có: ạ
IBNE
IAMD
V
V
IB IN IE 1 1 1 1
. . . .
IA IM ID 4 2 2 16
= = =