1. M ĐUỞ Ầ
Trong ch ng trình Toán tr ng THPT n i dung “ph ng trình vô t ”ươ ở ườ ộ ươ ỉ
chi m m t v trí vô cùng quan tr ng. Ki n th c v căn th c H c sinh m iế ộ ị ọ ế ứ ề ứ ọ ớ
đc làm quen l p 9 nh ng cũng ch a nhi u và th t s sâu s c. Ki n th cượ ở ớ ư ư ề ậ ự ắ ế ứ
v căn th c đi v i h c sinh còn r t tr u t ng và khó hi u thì b c và l pề ứ ố ớ ọ ấ ừ ượ ể ướ ớ
10 h c sinh l i ph i ti p c n ngay v i ki n th c v Ph ng trình vô t . Trongọ ạ ả ế ậ ớ ế ứ ề ươ ỉ
ch ng trình Toán l p 10 h c sinh đc cung c p ki n th c đ gi i các lo iươ ớ ọ ượ ấ ế ứ ể ả ạ
ph ng trình vô t c b n và đn gi n. Trong toàn b ch ng trình Toán cònươ ỉ ơ ả ơ ả ộ ươ
l i b c THPT H c sinh không đc cung c p thêm ki n th c đ gi iạ ở ậ ọ ượ ấ ế ứ ể ả
ph ng trình vô t n a, trong khi đó vi c gi i ph ng trình vô t H c sinhươ ỉ ử ệ ả ươ ỉ ọ
th ng xuyên g p trong các n i dung khác nhau trong ch ng trình Toán. M tườ ặ ộ ươ ặ
khác gi i ph ng trình vô t là m t n i dung l n th ng xuyên có trong cácả ươ ỉ ộ ộ ớ ườ
đ thi THPT qu c gia. Do đó vi c rèn luy n cho h c sinh nh ng k năng gi iề ố ệ ệ ọ ữ ỷ ả
ph ng trình vô t là vi c làm r t c p thi t. Ng i giáo viên không ch cungươ ỉ ệ ấ ấ ế ườ ỉ
c p ki n th c c b n trong Sách giáo khoa mà quan tr ng h n cũng ph i bi tấ ế ứ ơ ả ọ ơ ả ế
tìm tòi, v n d ng ki n th c đã có nghĩ ra nh ng cách gi i hi u qu Ph ngậ ụ ế ứ ữ ả ệ ả ươ
trình vô t đ cung c p cho H c sinh giúp h c sinh không ch n m v ng ki nỉ ể ấ ọ ọ ỉ ắ ữ ế
th c mà còn gi i quy t t t nh ng ph ng trình vô t khi g p. Đ giúp h cứ ả ế ố ữ ươ ỉ ặ ể ọ
sinh gi i t t h n ph ng trình vô t b n thân tôi đa ra đ tài “ả ố ơ ươ ỉ ả ư ề H ng d nướ ẫ
H c sinh l p 10 s d ng nhân liên h p đ gi i ph ng trình vô t ọ ớ ử ụ ợ ể ả ươ ỉ ”.
Sáng ki n kinh nghi m này h ng t i gi i quy t m t s v n đ sau điế ệ ướ ớ ả ế ộ ố ấ ề ố
v i h c sinh:ớ ọ
- B sung, hoàn thi n cách gi i ph ng trình vô t b ng vi c phát hi nổ ệ ả ươ ỉ ằ ệ ệ
và s d ng bi u th c liên h pử ụ ể ứ ợ
- Phân lo i các d ng bài t p th ng g p đ s d ng ph ng phápạ ạ ậ ườ ặ ể ử ụ ươ
- Rèn luy n k năng phát hi n nghi m c a ph ng trình và liên hệ ỹ ệ ệ ủ ươ ệ
gi a nghi m phát hi n v i cách gi iữ ệ ệ ớ ả
- Rèn luy n k năng v n d ng ph ng pháp gi i trên thông qua hệ ỹ ậ ụ ươ ả ệ
th ng bài t p có h ng d n l p và bài t p t rèn luy n nhà.ố ậ ướ ẫ ở ớ ậ ự ệ ở
Sáng ki n kinh nghi m này cũng nh m trao đi kinh nghi m v i cácế ệ ằ ổ ệ ớ
đng nghi p và là m t tài li u tham kh o đi v i h c sinh đ góp ph n nângồ ệ ộ ệ ả ố ớ ọ ể ầ
cao hi u qu d y và h c toán tr ng THPT Nh Xuân nói riêng và cácệ ả ạ ọ ở ườ ư
tr ng THPT nói chung. ườ
Đ th c hi n Sáng ki n kinh nghi m này tôi đã s d ng hai l p 10 ể ự ệ ế ệ ử ụ ớ ở
tr ng THPT Nh Xuân. Đây là hai l p t ng đng nhau v h c l c mônườ ư ớ ươ ươ ề ọ ự
toán và t t c h c sinh đu có h c l c khá, gi i v môn toán là l p 10C3 l pấ ả ọ ề ọ ự ỏ ề ớ ớ
10C4. L p 10C3 s th c hi n d y th c nghi m, l p 10C4 là l p đi ch ngớ ẽ ự ệ ạ ự ệ ớ ớ ố ứ
sau đó ki m tra, đánh giá so sánh k t qu . Th i gian th c hi n sáng ki n kinhể ế ả ờ ự ệ ế
nghi m t tháng 12/2015 đn tháng 03/2016.ệ ừ ế
Sau đây là n i dung c th c a Sáng ki n kinh nghi m này.ộ ụ ể ủ ế ệ
1
2. N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI MỘ Ế Ệ
2.1. C S LÍ LU N C A SÁNG KI N KINH NGHI MƠ Ở Ậ Ủ Ế Ệ
Ph ng trình n xươ ẩ là m nh đ ch a bi n có d ng ệ ề ứ ế ạ
( ) ( )f x g x
=
(1)
trong đó
( )f x
và
( )g x
là nh ng bi u th c c a x. Ta g i ữ ể ứ ủ ọ
( )f x
là v trái, ế
( )g x
là
v ph i c a ph ng trình (1)ế ả ủ ươ
N u có s th c ế ố ự
0
x
sao cho
0 0
( ) ( )f x g x
=
là m nh đ đúng thì ệ ề
0
x
đcượ
g i là m t ọ ộ nghi m c a ph ng trìnhệ ủ ươ (1)
Gi i ph ng trìnhả ươ (1) là tìm t t c các nghi m c a nó (nghĩa là tìm t pấ ả ệ ủ ậ
nghi m)ệ
N u ph ng trình không có nghi m nào c thì ta nói ph ng trình ế ươ ệ ả ươ vô
nghi mệ (ho c nói t p nghi m c a nó là r ng)ặ ậ ệ ủ ỗ
Ki n th c v h ng đng th c h c sinh bi t t r t s m, ngay t nh ngế ứ ề ằ ẳ ứ ọ ế ừ ấ ớ ừ ữ
năm h c c p 2 H c sinh đã đc cung c p 7 h ng đng th c đáng nh :ọ ấ ọ ượ ấ ằ ẳ ứ ớ
1)
22
2
2bababa
2)
22
2
2bababa
3)
22
bababa
4)
3223
3
33 babbaaba
5)
6)
2233
babababa
7)
2233
babababa
Nh ng h ng đng th c h c sinh đã đc h c ch c n khéo léo bi n điữ ằ ẳ ứ ọ ượ ọ ỉ ầ ế ổ
và v n d ng ta có:ậ ụ
1)
2 2
( , 0, 0)
a b
a b a b a b
a b
−
− = +
+
2)
( , 0, )
a b
a b a b a b
a b
−
+ =
−
3)
( )
2 2
3 3
2 2
3 3
3
0
a b
a b a b
a ab b
−
− = +
+ +
4)
( )
2 2
3 3
2 2
32
3
0
a b
a b a b
a ab b
+
+ = +
− +
Nh ng phép bi n đi ph ng trình vô t c b n mà H c sinh đã đcữ ế ổ ươ ỉ ơ ả ọ ượ
h c ch ng trình Đi S 10.ọ ở ươ ạ ố
1)
)()(
0)(
)()( xgxf
xf
xgxf
2
2)
)()(
0)(
)()(
2
xgxf
xg
xgxf
Ph ng pháp gi i ph ng trình d ng tích các bi u th c:ươ ả ươ ở ạ ể ứ
0)(
0)(
0)().( xg
xf
xgxf
Ngày nay v i vi c s d ng các lo i máy tính c m tay nh Casio fx-ớ ệ ử ụ ạ ầ ư
570VN PLUS, Casio fx-570ES, Casio fx-570ES PLUS, Casio fx-570MS...
nhi u bài toán h c sinh d dàng phát hi n nghi m tr c khi gi i đcề ọ ễ ệ ệ ướ ả ượ
ph ng trình.ươ
Ki n th c v đng nh t hai bi u th c:ế ứ ề ồ ấ ể ứ
1
1 1 0
( ) ... a
n n
n n
f x a x a x x a
−
−
= + + + +
1
1 1 0
( ) ...
n n
n n
g x b x b x b x b
−
−
= + + + +
1 1
1 1
0 0
( ) g(x) ...
n n
n n
a b
a b
f x
a b
a b
− −
=
=
=
=
2.2. TH C TR NG V N Đ TR C KHI ÁP D NG SÁNG KI NỰ Ạ Ấ Ề ƯỚ Ụ Ế
KINH NGHI MỆ
Qua quá trình d y h c sinh gi i ph ng trình tôi phát hi n ra h c sinhạ ọ ả ươ ệ ọ
th ng v ng m c m t s v n đ sau:ườ ướ ắ ộ ố ấ ề
- Nh n d ng bài toán s d ng đc ph ng pháp ch a nhanh nh y.ậ ạ ử ụ ượ ươ ư ạ
- R t nhi u ph ng trình h c sinh phát hi n ra nghi m nh ng khôngấ ề ươ ọ ệ ệ ư
liên h đc cách gi i.ệ ượ ả
- Ch a có thói quen t nghiên c u, ki m tra l i gi i.ư ự ứ ể ờ ả
- Ch a bi t h th ng và phân lo i các d ng bài t p đ rèn luy n kư ế ệ ố ạ ạ ậ ể ệ ỹ
năng.
- Ch a bi t s d ng, khai thác máy tính c m tay trong vi c gi iư ế ử ụ ầ ệ ả
ph ng trình vô t .ươ ỉ
T th c tr ng trên khi ôn thi cho h c sinh l p 10C3, tôi đã kh c ph cừ ự ạ ọ ớ ắ ụ
b ng cách:ằ
- Trang b cho h c sinh c s lý thuy t đy đ và c th ị ọ ơ ở ế ầ ủ ụ ể
- Rèn luy n k năng s d ng máy tính c m tay đ gi i nghi m ph ngệ ỹ ử ụ ầ ể ả ệ ươ
trình
- Trang b cho h c sinh n i dung ph ng pháp thông qua các d ngị ọ ộ ươ ạ
ph ng trình sau đó giúp h c sinh n m v ng ph ng pháp thông qua hươ ọ ắ ữ ươ ệ
th ng ví d đc ch n l c c n th n, đi n hình. ố ụ ượ ọ ọ ẩ ậ ể
- Giúp h c sinh rèn luy n k năng thông qua h th ng bài t p v nhà vàọ ệ ỹ ệ ố ậ ề
sau đó có ki m tra, h ng d n, s a ch a. ể ướ ẫ ử ữ
3
Sau đây là các gi i pháp ti n hành c th .ả ế ụ ể
2.3. CÁC GI I PHÁP S D NG Đ GI I QUY T V N ĐẢ Ử Ụ Ể Ả Ế Ấ Ề
2.3.1. N I DUNG H NG D N H C SINHỘ ƯỚ Ẫ Ọ
Đ có th h ng d n h c sinh s d ng đc nhân liên h p vào gi iể ể ướ ẫ ọ ử ụ ượ ợ ả
ph ng trình vô t b n thân tôi ti n hành phân lo i các d ng bài t p có thươ ỉ ả ế ạ ạ ậ ể
dùng nhân liên h p, ch ra nh ng đc tr ng c a t ng lo i và h ng d n cợ ỉ ữ ặ ư ủ ừ ạ ướ ẫ ụ
th cách dùng liên h p đ gi i t ng ng v i t ng lo i, đng th i ra bài t pể ợ ể ả ươ ứ ớ ừ ạ ồ ờ ậ
v nhà cho H c sinh cũng c .ề ọ ố
Lo i 1: ạNhân liên h p t chính liên h gi a các bi u th c trong ph ngợ ừ ệ ữ ể ứ ươ
trình.
Ví d 1:ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
10 1 3 5 9 4 2 2x x x x
+ + − = + + −
Ta có
( ) ( )
10 1 9 4 3x x x
+ − + = −
,
( ) ( )
3 5 2 2 3x x x
− − − = −
t đc đi m chungừ ặ ể
đó đa ra h ng gi i:ư ướ ả
ĐK:
10 1 0
3 5 0 5
9 4 0 3
2 2 0
x
xx
x
x
+
−
۳
+
−
10 1 3 5 9 4 2 2x x x x
+ + − = + + −
10 1 9 4 3 5 2 2 0x x x x
+ − + + − − − =�
( ) ( ) ( ) ( )
10 1 9 4 10 1 9 4 3 5 2 2 3 5 2 2
0
10 1 9 4 3 5 2 2
x x x x x x x x
x x x x
+ − + + + + − − − − + −
+ =�+ + + − + −
3 3 0
10 1 9 4 3 5 2 2
x x
x x x x
− −
+ =�+ + + − + −
( )
1 1
3 0
10 1 9 4 3 5 2 2
xx x x x
� �
− + =�� �
+ + + − + −
� �
3 0x
− =�
3x
=�
(t.m)
KL:
3x
=
Ví d 2:ụ Gi i ph ng trình:ả ươ
215343373
2222
xxxxxxx
Ta có:
( ) ( )
( )
2 2
3 7 3 3 5 1 2 4 2 2x x x x x x
− + − − − = − + = − −
( ) ( )
( )
2 2
3 4 2 3 6 3 2x x x x x
− + − − = − + = − −
ĐK:
6
157
2
02
0153
043
0373
2
2
2
2
x
x
x
xx
xx
xx
4
2 2 2 2
3 7 3 3 4 3 5 1 2x x x x x x x
− + + − + = − − + −
2 2 2 2
3 7 3 3 5 1 3 4 2 0x x x x x x x
− + − − − + − + − − =�
2 2 2 2
2 4 3 6 0
3 7 3 3 5 1 3 4 2
x x
x x x x x x x
− + − +
+ =�− + + − − − + + −
( )
2 2 2 2
2 3
2 0
3 7 3 3 5 1 3 4 2
x
x x x x x x x
� �
− −
− + =�� �
− + + − − − + + −
� �
2x
=�
(t.m)
KL: x = 2
Ví d 3:ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
21
293
2
2
2
x
x
x
Ta có:
( )
2
2
3 9 2 2x x
− + = −
suy ra
( )
2
2
2 2
3 9 2 4x x
� �
− + =
� �
� �
bây gi ta th yờ ấ
đc s gi ng nhau gi a m u và t c a v trái ph ng trình.ượ ự ố ữ ẫ ử ủ ế ươ
ĐK:
0
2
9
0293
029
x
x
x
x
( )
2
2
221
3 9 2
xx
x
= +
− +
( )
2
2
2
2 3 9 2
21
4
x x
x
x
+ + = +�
( )
2
3 9 2 2 42x x+ + = +�
9 2 4x+ =�
7
2
x
=�
(t.m)
KL:
2
7
x
Ví d 4:ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
( ) ( )
( )
2
2
4 1 2 10 1 3 2x x x
+ = + − +
Ta có:
( )
( )
2
2
1 3 2 2 1x x
− + = − +
suy ra
( )
( )
( )
2
22
2
1 3 2 4 1x x
− + = +
ĐK:
3
3 2 0 2
x x
+ −�۳
( ) ( )
( )
2
2
4 1 2 10 1 3 2x x x
+ = + − +
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2
4 1 . 1 3 2 2 10 . 1 3 2 . 1 3 2x x x x x
+ + + = + − + + +�
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
4 1 . 1 3 2 2 10 .4 1x x x x
+ + + = + +�
5