Sáng ki n kinh nghi mế ệ
I.Đ TÀI: KH C PH C M T S SAI L M CHO H C SINH L PỀ Ắ Ụ Ộ Ố Ầ Ọ Ớ
10 KHI GI I PH NG TRÌNH VÀ B T PH NG TRÌNH Ả ƯƠ Ấ ƯƠ
II.ĐT V N ĐẶ Ấ Ề
Trong d y h c Toán vi c v n d ng lý thuy t đã h c đ gi i bài toán c aạ ọ ệ ậ ụ ế ọ ể ả ủ
h c sinh còn g p m t s khó khăn và sai l m.Chính vì v y giáo viên c nọ ặ ộ ố ầ ậ ầ
h ng d n h c sinh s d ng ph ng pháp nào đ giúp h c sinh gi i bài toánướ ẫ ọ ử ụ ươ ể ọ ả
mà không m c ph i sai l m là c n thi t và phù h p .ắ ả ầ ầ ế ợ
M t khác khi đng tr c m t bài toán v ph ng trình hay b t ph ngặ ứ ướ ộ ề ươ ấ ươ
trình thì h c sinh th ng gi i theo thói quen mà không bi t mình b sai doọ ườ ả ế ị
không n m v ng lý thuy t v a h c.Vi c gi i hay sai nh t là h c sinh l p 10ắ ữ ế ừ ọ ệ ả ấ ọ ớ
khi gi i m t ph ng trình ho c b t ph ng trình thì rút g n ho c b m u màả ộ ươ ặ ấ ươ ọ ặ ỏ ẫ
không ghi thêm đi u ki n nào.Nh ng sai sót đó là do tr c đây THCS h cề ệ ữ ướ ở ọ
sinh gi i ph ng trình ho c b t ph ng trình mà m u th ng là h ng s nênả ươ ặ ấ ươ ẫ ườ ằ ố
h c sinh rút g n ho c b m u đc...ọ ọ ặ ỏ ẫ ượ
Vì lí do trên tôi ch n đ tài : ọ ề Kh c ph c m t s sai l m cho h c sinh l pắ ụ ộ ố ầ ọ ớ
10 khi gi i ph ng trình và b t ph ng trình.ả ươ ấ ươ
III. C S LÝ LU NƠ Ở Ậ
tr ng ph thông,d y Toán là d y ho t đng toán h c. Đi v i h cỞ ườ ổ ạ ạ ạ ộ ọ ố ớ ọ
sinh có th xem vi c gi i toán là hình th c ch y u c a ho t đng toán h c.ể ệ ả ứ ủ ế ủ ạ ộ ọ
Trong d y h c toán, m i bài t p toán đc s d ng v i nh ng d ng ýạ ọ ỗ ậ ượ ử ụ ớ ữ ụ
khác nhau, có th t o ti n đ xu t phát, đ g i đng c , đ làm vi c v i n iể ạ ề ề ấ ể ợ ộ ơ ể ệ ớ ộ
dung m i, đ c ng c ho c ki m tra …ớ ể ủ ố ặ ể
th i đi m c th nào đó, m i bài t p ch a đng t ng minh hay nỞ ờ ể ụ ể ỗ ậ ứ ự ườ ẩ
tàng nh ng ch c năng khác nhau (ữ ứ ch c năng d y h c, ch c năng giáo d c,ứ ạ ọ ứ ụ
ch c năng phát tri n, ch c năng ki m traứ ể ứ ể ), nh ng ch c năng này đu h ngữ ứ ề ướ
t i vi c th c hi n các m c đích d y h c.ớ ệ ự ệ ụ ạ ọ
1. Yêu c u đi v i l i gi i bài toánầ ố ớ ờ ả
+ L i gi i không có sai l m;ờ ả ầ
+ L p lu n ph i có căn c chính xác;ậ ậ ả ứ
+ L i gi i ph i đy đ.ờ ả ả ầ ủ
Ngoài ba yêu c u nói trên,trong d y h c bài t p,c n yêu c u l i gi i ng nầ ạ ọ ậ ầ ầ ờ ả ắ
g n, đn gi n nh t, cách trình bày rõ ràng h p lí.ọ ơ ả ấ ợ
Tìm đc m t l i gi i hay c a m t bài toán t c là đã khai thác đc nh ngượ ộ ờ ả ủ ộ ứ ượ ữ
đc đi m riêng c a bài toán,đi u đó làm cho h c sinh “có th bi t đc cáiặ ể ủ ề ọ ể ế ượ
quy n rũ c a s sáng t o cùng ni m vui th ng l i” (G. Polya – 1975)ế ủ ự ạ ề ắ ợ
2. Ph ng pháp tìm tòi l i gi i bài toánươ ờ ả
- Tìm hi u n i dung bài toán:ể ộ
+ Gi thi t là gì ? K t lu n là gì ? S d ng kí hi u nh th nào ? ả ế ế ậ ử ụ ệ ư ế
+ D ng toán nào ? (toán ch ng minh hay toán tìm tòi...)ạ ứ
GV: Tr n văn Tr -Tr ng THPT Lê Quý Đôn –Tam Kầ ứ ườ ỳ
1
Sáng ki n kinh nghi mế ệ
+ Ki n th c c b n c n có là gì ? (các khái ni m, các đnh lí, các đi uế ứ ơ ả ầ ệ ị ề
ki n t ng đng, các ph ng pháp ch ng minh, …)ệ ươ ươ ươ ứ
- Xây d ng ch ng trình gi i (t c là ch rõ các b c ti n hành): B c 1 là gì ?ự ươ ả ứ ỉ ướ ế ướ
B c 2 gi i quy t v n đ gì ? …ướ ả ế ấ ề
- Th c hi n ch ng trình gi i: Trình bày bài làm theo các b c đã ch ra. Chúự ệ ươ ả ướ ỉ
ý sai l m th ng g p trong tính toán, trong bi n đi, …ầ ườ ặ ế ổ
- Ki m tra và nghiên c u l i gi i: xét xem có sai l m không ? Có bi n lu nể ứ ờ ả ầ ệ ậ
k t qu tìm đc không ? N u bài toán có n i dung th c ti n thì k t qu tìmế ả ượ ế ộ ự ễ ế ả
đc có phù h p v i th c ti n không ? M t đi u quan tr ng là c n luy n t pượ ợ ớ ự ễ ộ ề ọ ầ ệ ậ
cho h c sinh thói quen đc l i yêu c u c a bài toán sau khi đã gi i xong bàiọ ọ ạ ầ ủ ả
toán đó, đ h c sinh m t l n n a hi u rõ h n ch ng trình gi i đ xu t, hi uể ọ ộ ầ ữ ể ơ ươ ả ề ấ ể
sâu s c h n ki n th c c b n đã ng m cho trong gi thi t.ắ ơ ế ứ ơ ả ầ ả ế
3. Trình t d y h c bài t p toán. ự ạ ọ ậ Trình t d y h c bài t p toán th ngự ạ ọ ậ ườ
bao g m các b c sau:ồ ướ
Ho t đng 1:ạ ộ Tìm hi u n i dung bài toánể ộ
Ho t đng 2:ạ ộ Xây d ng ch ng trình gi iự ươ ả
Ho t đng 3: ạ ộ Th c hi n ch ng trình gi iự ệ ươ ả
Ho t đng 4:ạ ộ Ki m tra và nghiên c u l i gi iể ứ ờ ả
4. Quan ni m v ti n trình gi i toánệ ề ế ả
Gi i toán là vi c th c hi n m t h th ng hành đng ph c t p, vì bàiả ệ ự ệ ộ ệ ố ộ ứ ạ
toán là s k t h p đa d ng nhi u khái ni m, nhi u quan h toán h c, c n cóự ế ợ ạ ề ệ ề ệ ọ ầ
s ch n l c sáng t o các ph ng pháp gi i quy t v n đ. Nh v y gi i bàiự ọ ọ ạ ươ ả ế ấ ề ư ậ ả
toán là tìm ki m m t cách có ý th c các ph ng ti n thích h p đ đt đcế ộ ứ ươ ệ ợ ể ạ ượ
m c đích c a bài t p. Đó là m t quá trình tìm tòi sáng t o, huy đng ki nụ ủ ậ ộ ạ ộ ế
th c, k năng, th thu t và các ph m ch t c a trí tu đ gi i quy t v n đ đãứ ỹ ủ ậ ẩ ấ ủ ệ ể ả ế ấ ề
cho.
Theo Howard Gardner, G. Polya, … thì ti n trình lao đng c a h c sinh khiế ộ ủ ọ
gi i m t bài toán có th theo các h ng sau:ả ộ ể ướ
- H ng t ng quát hóa:ướ ổ H ng này d a trên quan đi m t ng h p,ướ ự ể ổ ợ
chuy n t m t t p h p đi t ng trong bài toán sang m t t p h p khác l nể ừ ộ ậ ợ ố ượ ộ ậ ợ ớ
h n và ch a đng t p h p ban đu.ơ ứ ự ậ ợ ầ
- H ng c th hóa:ướ ụ ể H ng này d a trên quan đi m phân tích, chuy nướ ự ể ể
bài toán ban đu thành nh ng bài toán thành ph n có quan h logic v i nhau.ầ ữ ầ ệ ớ
Chuy n t p h p các đi t ng trong bài toán ban đu sang m t t p h p conể ậ ợ ố ượ ầ ộ ậ ợ
c a nó, r i t t p con đó tìm ra l i gi i c a bài toán ho c m t tình hu ng h uủ ồ ừ ậ ờ ả ủ ặ ộ ố ữ
ích cho vi c gi i bài toán đã cho.ệ ả
- H ng chuy n bài toán v bài toán trung gian:ướ ể ề Khi g p bài toán ph cặ ứ
t p, h c sinh có th đi gi i các bài toán trung gian đ đt đn t ng đi m m t,ạ ọ ể ả ể ạ ế ừ ể ộ
r i gi i bài toán đã cho ho c có th gi đnh đi u đi l p v i bài toán đang tìmồ ả ặ ể ả ị ề ố ậ ớ
GV: Tr n văn Tr -Tr ng THPT Lê Quý Đôn –Tam Kầ ứ ườ ỳ
2
Sáng ki n kinh nghi mế ệ
cách gi i và xác đnh h qu c a đi u kh ng đnh kia hay đa v bài toán liênả ị ệ ả ủ ề ẳ ị ư ề
quan d h n, m t bài toán t ng t ho c m t ph n bài toán, t đó rút raễ ơ ộ ươ ự ặ ộ ầ ừ
nh ng đi u h u ích đ gi i bài toán đã cho.ữ ề ữ ể ả
Theo G. Polya, vi c gi i toán xem nh th c hi n m t h th ng hành đng:ệ ả ư ự ệ ộ ệ ố ộ
hi u rõ bài toán, xây d ng m t ch ng trình gi i, th c hi n ch ng trình ể ự ộ ươ ả ự ệ ươ
kh o sát l i gi i đã tìm đc. Theo ông đi u quan tr ng trong quá trình gi i ả ờ ả ượ ề ọ ả
bài toán là qua đó h c sinh n y sinh lòng say mê, khát v ng gi i toán, thu nh n ọ ả ọ ả ậ
và hình thành tri th c m i, đc bi t là ti p c n, phát hi n và sáng t o.ứ ớ ặ ệ ế ậ ệ ạ
IV. C S TH C TI NƠ Ở Ự Ể
Trong quá trình gi ng d y l p 10 tôi th y khi h c sinh gi i các bài toánả ạ ở ớ ấ ọ ả
v ph ng trình ho c b t ph ng trình thì h c sinh v n d ng th ng bi nề ươ ặ ấ ươ ọ ậ ụ ườ ế
đi t ng đng mà không chú ý đn đi u ki n xác đnh . T th c tr ng trênổ ươ ươ ế ề ệ ị ừ ự ạ
nên trong quá trình d y tôi đã d n ạ ầ d n hình thành ph ng pháp b ng cáchầ ươ ằ
tr c tiên h c sinh c n n m v ng lý thuy t v ph ng trình t ng đng vàướ ọ ầ ắ ữ ế ề ươ ươ ươ
b t ph ng trình t ng đng t đó áp d ng vào bài toán c b n đn bài toánấ ươ ươ ươ ừ ụ ơ ả ế
m c đ khó h n. Do đó trong gi ng d y chính khoá cũng nh d y b iở ứ ộ ơ ả ạ ư ạ ồ
d ng, tôi th ng trang b đy đ ki n th c ph thông và ph ng pháp gi iưỡ ườ ị ầ ủ ế ứ ổ ươ ả
toán đi s cho h c sinh.Nh v y khi gi i bài toán v ph ng trình hay b tạ ố ọ ư ậ ả ề ươ ấ
ph ng trình h c sinh có th t tin l a ch n m t ph ng pháp đ gi i phùươ ọ ể ự ự ọ ộ ươ ể ả
h p mà không m c sai l m.ợ ắ ầ
V. N I DUNG NGHIÊN C U:Ộ Ứ
CÁC SAI L M TH NG G P TRONG GI I PH NG TRÌNHẦ ƯỜ Ặ Ả ƯƠ
VÀ B T PH NG TRÌNH L P 10Ấ ƯƠ Ở Ớ
I.SAI L M TH NG G P TRONG GI I PH NG TRÌNH L P 10:Ầ ƯỜ Ặ Ả ƯƠ Ở Ớ
1.D NG:Ạ
( ) 0 ( ) 0
( )
f x f x
g x = =�
?
Ví d : ụ Gi i ph ng trình: ả ươ
2
2
60
2 3 2
x x
x x
− − =
+ −
(1)
Sai l m th ng g p :ầ ườ ặ
2
2
60
2 3 2
x x
x x
− − =
+ −
2
2
6 0 3
x
x x x
= −
− − =� � =
Nguyên nhân sai: x=-2 thì 2x2+3x-2=0 nên lo i nghi m x=-2ạ ệ
L i gi i đúng:ờ ả
2
2
60
2 3 2
x x
x x
− − =
+ −
2
2
3
6 0 2( ) 3
2 3 2 0 1
2; 2
x
x x x loai x
x x x x
=
− − =
� � = −
=� � �
� �
+ −
−
GV: Tr n văn Tr -Tr ng THPT Lê Quý Đôn –Tam Kầ ứ ườ ỳ
3
Sáng ki n kinh nghi mế ệ
K T LU N: Ế Ậ
( ) 0
( ) 0( ) 0
( )
f x
f x
g x
g x
=
=
Bài t p t ng tậ ươ ự: Gi i ph ng trình: ả ươ
2
7 6 5
6
x x
x
− + =
−
2.D NG: Ạ
Ví d : Gi i ph ng trình:ụ ả ươ
2
2( 6) 0x x x− − − =
(2)
Sai l m th ng g p:ầ ườ ặ
Pt(2)
2
2
2 0 2
6 0 3
x
xx
x x x
=
− = = −� �
− + =
=
Nguyên nhân sai l mầ:v i x=-2 thì ớ
2x−
vô nghĩa.
L i gi i đúngờ ả : pt(2)
2
2 2
3 3
2
x
x x
x x
x
=
= − =�
� �
� �
� �
= =
� �
K T LU N: Ế Ậ f(x).g(x)=0
( ) 0
( ) 0
f x
g x
=
=
v i x thu c t p xác đnh c a ph ng ớ ộ ậ ị ủ ươ
trình f(x).g(x)=0.
Bài tâp t ng t : ươ ự Gi i ph ng trìnhả ươ
(x+1)
2
2 2 2x x x+ − = +
3.D NG :Ạ
( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )f x g x f x h x g x h x= =�
?
Ví d : Gi i ph ng trình:ụ ả ươ
2 2
3 2 1 4 3x x x x x− + + − + = −
(3)
Sai l m th ng g p:ầ ườ ặ
Pt(3)
2 2
( 3 2)x x− +
+ (
2
1x x− +
)
2
=(4x-3)(
2 2
3 2 1x x x x− + + − +
)
(x
2
3 2x− +
) - (x
2
1x− +
)=(4x-3)(
2 2
3 2 1x x x x− + + − +
)
4x-3=(4x-3)(
2 2
3 2 1x x x x− + + − +
)
2
2 2
2 2
4 3 0 3
3 2 0 4
3 2 1 1(*)
3 2 1 1
xx
x x
x x x x
x x x x
− =
=
− +
� �
− + = − + +
− + − − + =
Pt(*)
2 2 2
3 2 ( 1 1)x x x x− + = − + +�
GV: Tr n văn Tr -Tr ng THPT Lê Quý Đôn –Tam Kầ ứ ườ ỳ
f(x).g(x)=0
( ) 0
( ) 0
f x
g x
=
=
?
4
Sáng ki n kinh nghi mế ệ
2 2 2
2
2 2
3 2 1 2 1 1
00
1 ( )
1
1 ( )
x x x x x x
xx
x x x vn
x
x x x
− + = − + + − + +�
−
− + = −� � �
� � =
− + = −
V y ph ng trình (3)có nghi m: x=ậ ươ ệ
3
4
Nguyên nhân sai l m:ầ
Th l i : x=ử ạ
3
4
không th a mãn ph ng trình (3)ỏ ươ
L i gi i dúng:ờ ả
Pt(3)
2 2
4 3 1
3 2 1
x
x x x x
−=�− + + − +
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
( 3 2) ( 1) 1
3 2 1
( 3 2) ( 1) 1
3 2 1
3 2 1 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
− + − − + =�− + + − +
− + − − + =�− + + − +
− + − − + =�
2 2
2 2 2
2 2 2
3 2 1 1
3 2 ( 1 1)
3 2 1 2 1 1
x x x x
x x x x
x x x x x x
− + = − + +�
− + = − + +�
− + = − + + − + +�
2
2 2
00
1 ( )
1
1 ( )
xx
x x x vn
x
x x x
−
− + = −� � �
� � =
− + = −
V y pt(3) vô nghi mậ ệ
K T LU N:Ế Ậ
( ). ( ) ( ). ( )
( ) ( ) ( ) 0
f x h x g x h x
f x g x h x
=
=
Bài t p t ng tậ ươ ự: Gi i ph ng trình:ả ươ
a.
( 1 1)( 10 4)x x x+ + + − =
b.
2
( 1 1)( 1 7)x x x x x+ + + + + − =
4.D NGẠ:
Ví d : Gi i ph ng trình ụ ả ươ
2
( 1)( 2) 1x x x x+ − − = +
(4)
Sai l m th ng g p: ầ ườ ặ Pt (3)
( 1)[(x+1)(x+2)] 1x x+ = +�
GV: Tr n văn Tr -Tr ng THPT Lê Quý Đôn –Tam Kầ ứ ườ ỳ
. . ; A A
A B A B BB
= =
?
5