KHAI THÁC CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU ĐỂ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ
ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG
CỦA MỘT TAM GIÁC
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Khi dạy định lý hình học giáo viên thường cho học sinh đọc định lý, ghi giả thiết,
kết luận và ch ứng minh theo h ướng dẫn của sách giáo khoa đã trình bày. Ít có giáo
viên hướng dẫn cho học sinh tìm ra cách ch ứng minh hay ho ặc khai thác t ư duy của
học sinh qua vi ệc đề ra nhi ều phương án vẽ thêm hình ph ụ để chứng minh định lý,
vận dụng định lý để khai thác những bài toán liên quan.
Không làm được điều đó vì lý do khách quan là th ời gian trên l ớp còn hạn chế,
thời gian chuẩn bị bài của giáo viên cũng không nhiều, mặt khác cũng có những giáo
viên chưa tâm huy ết, chưa chịu suy ngh ĩ. Đối với học sinh thì th ường mang tính l ệ
thuộc sách giáo khoa, hầu hết không nghĩ đến việc suy nghĩ để phát hiện đề xuất cách
chứng minh mới.
Trước yêu c ầu của sự nghi ệp công nghi ệp hoá, hi ện đại hoá đất nước, ngoài
nhiệm vụ dạy chữ, dạy người còn ph ải biết khơi dậy niềm đam mê học tập, có kh ả
năng tư duy sáng t ạo trong quá trình nghiên c ứu. Vì th ế mỗi một giáo viên c ần phải
tập cho học sinh khi ch ứng minh định lý phải xem xét một cách toàn di ện, vận dụng
hết lượng kiến thức dã học có liên quan đến định lý để phát hiện kẻ thêm hình phụ và
đề xuất nh ững hướng chứng minh khác nhau. T ừ đó biết xâu chu ỗi ki ến thức một
cách lôgíc và biết vận dụng định lý đó vào giải quyết các bài toán.
Sau đây tôi xin trình bày các cách khác nhau để chứng minh định lý: “ Trong tam
giác đường phân giác của một góc chia c ạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với
hai cạnh kề hai đoạn ấy.”(Sách giáo khao Toán 8- T ập 2) Và v ận dụng công th ức
đường phân giác vào giải toán.
B. NỘI DUNG:
I. Một số cách chứng minh định lý: “ Trong tam giác đường phân giác của một
góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.”
(*)
AB = AC
DB DB
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Không mất tính tổng quát, ta xét tam giác ABC có phân giác AD ( D thuộc BC), ABC ‡ ACB. Ta cần chứng minh:
A
Cách 1: (SGK Toán 8 - tập 2,trang 66)
C
Qua B vẽ đường thẳng song song với AC,
D
cắt đường thẳng AD tại E.(Hình 1) B
Cách 2: Nếu nghĩ đến chứng minh hệ thức này
E
bằng tam giác đồng dạng, thì phải tạo ra một cặp
tam giác đồng dạng với tam giác ACD bằng (Hình 1)
cách dựng BE(E thuộc AD) sao cho ABE = ACD
(Hình 2)
)1(
EB DC
AB = ; AEB = ADC (cid:127)BDE = BED A AC (cid:127)D BDE cân tại B (cid:127) BD = BE (2).
Thật vậy: Ta có D ABE (cid:127)? D ACD (g-g) Suy ra :
Từ (1) và (2 ) suy ra (Đpcm) E
A
Cách 3: Dựng BE ^ AD, CF ^ AD ( E,F thuộc AD, B D C
hình 3) ta lại có cách chứng minh khác: (Hình 2) Ta có D ABE (cid:127)? D ACF (g-g),
D BDE (cid:127)? D CDF(g-g)
=
AB AC
EB FC
DB DC
B
E
D
Suy ra: =
C
A
Cách 4: Dựng AH ^ BC, DM ^ AB, DN (cid:127)AC F (H,M,N lần lượt thuộc BC, AB, AC, Hình 4) (Hình 3)
áp dụng phương pháp diện tích ta cũng
N
M
=
B
chứng minh được định lý
. DM AB Suy ra DM = DN, do đó : (Hình 4) . AC DN
ABD ACD
AB AC
S S
( (
H
D
C
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Ta có D ADM = D AND (Cạnh huyền góc nhọn) ) = )
=
=
S S
( (
) ABD ACD )
AH AH
. DB DC .
DB DC
Lại có:
Từ đó suy ra (đpcm)
Cách 5: Vẽ đường thẳng qua B song song với AD
E
)1(
DB = DC
AE AC
Cắt đường thẳng AC tại E (Hình 5)
Khi đó xét D CBE, AD // BE, ta có
A
A
Cũng vì AD // BE mà AD lại là phân giác
của góc BAC, dễ dàng chứng minh được
C
D
AEB = ABE (cid:127) D ABE cân tại A suy ra AB = AE (1).
B
Từ (1) và (2) suy ra (*).
(Hình 5)
Cách 6: Qua D dựng các đường thẳng song song với AB,
A
=
=
=
AC, lần lượt căt AB, AC ở F, E (hình 6) . Ta có : D BFD (cid:127)? D DEC (g-g) Suy ra:
+ +
BD DC
BF DE
DF CE
BF DE
DF CE
F
E
C
B
D
. Mặt khác: Dễ thấy AEDF là
BD = DC
AB AC
hình thoi nên suy ra, (Đpcm) (Hình 6)
Với các cách kẻ hình phụ sau chúng ta có thể tiếp tục chứng minh định lý trên bằng
các cách khác nhau.
Cách 7: Qua D dựng đường thẳng song song với AB, qua A dựng đưởng thẳng song
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
song với BC, hai đưởng thẳng này cắt nhau tại E. DE cắt AC tại F.
Cách 8: Trong tam giác ABC dựng hai đưởng cao CE và BF, chúng lần lượt cắt
nhau tại K và H. Đường thẳng qua C song song AD cắt BF tại I.
Cách 9: Dựng qua B đường thẳng vuông góc với AB; Dựng qua C đưởng thẳng
vuông góc AC, hai đưởng thẳng này cắt nhau tại K. AD cắt BK, CK lần lượt tại E và
F. Dựng qua B đưởng thẳng song song với AD cắt CK tại G .
Cách 10: Qua B; C dựng các đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng qua D
song song với AC lần lượt tại F và E. Đường thẳng qua F song song AB cắt AD tại
M
II. Vận dụng công thức đường phân giác của tam vào giải toán
1. Công thức đường phân giác trong của tam giác:
Để tính độ dài AD = da theo các cạnh BC = a, AC = b ,AB = c trước hết tính BD,
CD. Theo tính chất đường phân giác trong ta có:
=
=
=
=
BD c
CD BD
+ + cb
=
=
BD
CD
)1(
)2(
CD b BC + cb a + cb
ac + cb
ab + cb
Từ đó có và .
Trong nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng tia CK
Hình 7
sao cho BCK = BAD, tia CK cắt tia AD ở K (h. 7). Ta có ADB = CDK và ABD = CKD. Từ đó D ABD (cid:127)? D CKD,
AD = BD
CD KD
Suy ra (cid:243) AD.DK = BD.CD.
AB = AD
AK AC
D ABD (cid:127)? D AKC suy ra (cid:243) AB.AC = AD.AK.
2
Từ hai đẳng thức trên có AD.AK – AD.DK = AB.AC – BD.CD. Chú ý rằng
ad = bc – BD.CD (3).
2
AK – DK = AD nên AD2 = AB.AC – BD.CD hay
ad = bc -
2
2 bca + cb ) (
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
(4) Từ (1), (2) và (3) suy ra
2
2
1
ad = bc (
2
a + cb (
)
- Hay ) (5)
Để ý rằng (b + c)2 – a2 = (b + c + a)(b + c – a) = 2p(2p – 2a) = 4p(p – a), nên từ
(5) có
2
2
bcp
(
ap
)
ad =
ad =
2 + cb
bcapp (4 + cb (
) 2)
- - hay (6)
Từ (4), (5) và (6) với chú ý là (b + c)2 > 4bc ta có các bất đẳng thức đối
2
2
<
với độ dài đường phân giác của tam giác:
bc
d
bc
ad < p(p – a) (8).
2 a
a 4
£ - (7) và
Đẳng thức ở (8) xảy ra khi và chỉ khi AB = AC. Đối với db, dc có các công thức
tương tự.
2. Một số bài toán ứng dụng công thức đường phân giác :
Bài toán 1: Gọi da ,db, dc là độ dài 3 đường phân giác của tam giác ABC với 3
2
2
2
2
+
+
+
+
cạnh : AB + BC + AC = a + b + c = 2p chứng minh rằng:
(
a
b
c
)
d
d
d
p
2 a
2 b
2 c
1 4
£ £ a) ab + bc + ca -
b) da + db + dc ≤ p 3
+
+
d
d
d
Hướng dẫn giải: Từ công thức (8) ta có :
2 a
2 b
2 c
2
2
2
+
+
≤ p(p-a) + p(p-b) + p(p-c) = 3p2 – 2p2 = p2
+
+
d
d
d
(
)
a
b
c
2 a
2 b
2 c
1 4
+
+
+
+
d
d
d
d
d
d
‡ áp dụng công thức (7) ta được : (ab + bc + ca) -
2 a
2 b
2 c
b
c
a
3( ) £ 3p2 áp dụng BĐT bu-nhi-a-côp-xki và câu a) ta có :( )2 £
Từ đó suy ra (Đpcm)
Cả hai câu a) và b) dấu bằng xẩy ra khi tam giác ABC đều.
Bài toán 2: Chứng minh rằng tam giác ABC cân đáy BC nếu hai phân giác trong BE
và CF bằng nhau
Hướng dẫn giải:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Ta chứng minh trực tiếp khi sử dụng công thức (4)
=
Dựa vào giả thiết ta có:
d
ab
d = (cid:127) ac -
2 b
2 c
2
2
2 acb + ca )
(
2 abc + ba )
(
- db = dc (cid:127)
c + ba
(
2)
b + ca
(
2)
3
3
2
2
2
+
(cid:127) c-b + bc( - ) = 0.
c
b
b
)
=
0
bca ( + 2 ba ()
+ ca (2) + 2 ca )
(
2
2
2
+
+
+
c
)
=
)
0
- - - => c – b + bc.
b + ba
cb (
+ a + 2 ca ()
+ bca (2 2 )
=> (c – b)(1 + bc.
=> c= b hay AB = AC
C. KẾT LUẬN:
Trong quá trình giảng dạy bộ môn hình học, đặc biệt khi dạy định lý, ngoài việc
cung cấp kiến thức cho học sinh thì cần có ý thức dạy phương pháp tư duy sáng tạo
cho học sinh. Trong điều kiện và khả năng cho phép giúp gho học sinh phân tích, liên
hệ để tìm ra các cách chứng minh khác nhau và các con đường vận dụng định lý vào
giải toán.
Trong những năm học vừa qua tôi đã thể nghiệm vấn đề này cho học sinh khối 8
và đã góp phần bồi dưỡng được đội ngũ HSG Huyện, Tỉnh khá cho ngành GD
huyện nhà. Nhưng điều quan trọng hơn với cách thực hiện đó trước mắt chưa hiện
hữu kết quả song chắc chắn sẽ giúp học sinh phát triển trí tuệ và rèn luyện khả năng
lao động sáng tạo, đặc biệt là đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện
nay.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Thanh Chương, tháng 5 năm 2008
