CHƯƠNG 4:
KIỂM ÐỊNH PHI THAM SỐ
(Nonparametric Tests)
I. KIỂM ĐỊNH WILCOXON II. KIỂM ĐỊNH MANN-WHITNEY III. KIỂM ĐỊNH SỰ PHÙ HỢP
1. Kiểm định sự phù hợp trong trường hợp giả định đã biết các tham số của tổng thể 2. Kiểm định sự phù hợp trong trường hợp các tham số tổng thể
chưa biết IV. BẢNG TIẾP LIÊN
Trong chương 3, chúng ta kiểm định sự bằng nhau của hai trung bình tổng thể nhưng phân phối của tổng thể được giả sử có phân phối chuẩn. Trong chương này, kiểm định được phát triển thêm một bước, cũng với giả thuyết H0 về sự bằng nhau của hai trung bình tổng thể nhưng phân phối của các tổng thể được giả sử có phân phối bất kỳ. Ðây chính là thuận lợi của kiểm định phi tham số vì kiểm định loại này phù hợp với nhiều giả định hơn về phân phối của tổng thể.
Trong nhiều tình huống thực tế, số liệu chỉ có thể biểu hiện dưới hình thức xếp hạng, vì vậy kiểm định Wilconxon và Mann-Whitney là hai lọai kiểm định thông dụng nhất ứng với hai trường hợp: một là sử dụng cho mẫu ngẫu nhiên gồm các quan sát từng cặp và một dùng cho mẫu ngẫu nhiên độc lập. Hơn nữa, khi phân phối của tổng thể được giả định không phải là phân phối chuẩn (phân phối bất kỳ) thì kiểm định phi tham số có thể có nhiều ứng dụng hơn. Tuy nhiên, phương pháp kiểm định phi tham số thì khó mở rộng để giải quyết các vấn đề của mô hình kinh tế phức tạp.
Kiểm định phi tham số bạn có thể dễ dàng tìm được kết quả khi sử dụng phần mềm phân tích SPSS, sau khi nhập sữ liệu, chọn menu Analize - Nonparametric Tests - Chọn loại kiểm định mà bạn mong đợi.
I. KIỂM ĐỊNH WILCOXON (Kiểm định T)
Kiểm định Wilcoxon được áp dụng khi một mẫu ngẫu nhiên gồm các quan sát từng cặp và phân phối tổng thể của chênh lệch (di) trong các cặp này thì đối xứng.
1. Trường hợp mẫu nhỏ (n ( 20):
Ví dụ: Một công ty nước giải khát muốn kiểm tra hiệu quả của chiến dịch quảng cáo cho 5 loại thức uống tốt nhất của công ty bằng cách điều tra số người sử dụng 5 loại thức uống này tăng lên hay giảm xuống sau đợt quảng cáo ở mức ý nghĩa 2,5% và 5%. Công ty chọn ngẫu nhiên 10 thành phố và mỗi thành phố chọn ngẫu nhiên 500 người để trả lời cuộc điều tra này kết quả như sau:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
95 151 192 71 86 215 254 123 97 153
93 193
123 28 160 9 311 99 180 -12 22 13 -22 57 121 -2 169 131 34 16
8 2 3 6,5 4 6,5 10 1 9 5 Thành phố Trước quảng cáo (yi) Sau quảng cáo (xi) Chênh lệch (di) Xếp hạng
8 0 2 0 10 0 9 0 5 0 0 6,5 4 0 3 0 0 6,5 0 1 l dil {+di } {- di }
2. Trường hợp mẫu lớn (n >20):
Ví dụ: Trở lại ví dụ ở trường hợp 1, thay vì thu thập số liệu ở 10 thành phố, ta thực hiện ở 85 thành phố lớn nhỏ khác nhau. Trong 85 mức độ chênh lệch được xếp hạng thì giá trị nhỏ nhất của T (minimum) là 1.195. Hãy kiểm định giả thuyết H0 với đối thuyết H1 rằng chiến dịch quảng cáo có hiệu quả hơn.
Ta có n = 85, T = 1195 và nếu giả thuyết H0 đúng thì phân phối Wilcoxon có trung bình và phương sai như sau:
II. KIỂM ĐỊNH MANN - WHITNEY (Kiểm định U)
Cũng như kiểm định T, kiểm định U cũng là một loại kiểm định bằng cách xếp hạng các mẫu độc lập với mục đích kiểm định sự bằng nhau của các tổng thể có phân phối bất kỳ.
1. Trường hợp mẫu nhỏ (n < 10 và n1 < n2): : là số quan sát mẫu chọn ra từ tổng thể thứ 1,
Ví dụ: Chúng ta muốn so sánh lương khởi điểm của sinh viên tốt nghiệp ở ngành kinh tế và điện tử tin học được trả bởi các công ty như sau (100.000 đồng):
Ðiện tử tin học 15 18 27 30 24
Kinh tế 17 22 24 12 28 30 14 18 25 22
Giả thuyết H0: Trung bình lương khởi điểm của 2 ngành thì bằng nhau
H1: Trung bình lương khởi điểm ngành tin học được trả cao hơn
Trước tiên ta xếp hạng các số liệu liên tục cho cả hai ngành từ nhỏ đến lớn:
1 18 24 2 30 5 7 Ðiện tử
3 5,5 9,5 1 14,
Tin học Xếp hạng Kinh tế 1 17 18 22 22 24 2 2 5 28 30
1 4 2 5
1 2 4 5,5 7,5 7,5 9,5 1 13 14,
Xếp hạng 5 1
Chú ý: Trong xếp hạng, hạng của các giá trị trùng nhau của hai ngành cũng được xếp bằng nhau và bằng trung bình cộng của giá trị hai hạng liên tiếp đó.
2. Trường hợp mẫu lớn (n >10):
Ví dụ: Trở lại vấn đề tiền lương khởi điểm của hai ngành kinh tế và điện tử tin học. Mỗi ngành chọn ngẫu nhiên 80 sinh viên và sau đó tiền lương được xếp hạng từ nhỏ đến lớn, và tổng cộng hạng được xếp cho tiền lương của hai ngành thì bằng nhau và bằng 7.287.
Ta có : n1 = 80 n2 = 80 R1 = 7.287
Giả thuyết H0: Trung bình lương khởi điểm của hai ngành thì bằng nhau.
H1: Trung bình lương khởi điểm ngành kinh tế và điện tử tin học được trả khác nhau.
III. KIỂM ĐỊNH SỰ PHÙ HỢP (Goodness-of-fit test)
Kiểm định sự phuùhợp là kiểm định xem giả thuyết về phân phối của tổng thể và số liệu thực tế phù hợp (thích hợp) với nhau đến mức nào. Ở đây ta dùng phân phối "Chi" bình phương (2) để so sánh trong quá trình kiểm định. Một kiểm định 2 thường bao gồm những bước sau đây:
1. Thiết lập giả thuyết H0 và H1 về tổng thể.
2. Tính toán các giá trị lý thuyết theo giả thuyết H0
3. Tính toán các khác biệt giữa giá trị lý thuyết và giá trị thực tế. Từ đó, xác
định giá trị kiểm định theo 2 công thức
Oi: Tần số quan sát của nhóm thứ i.
Ei: Tần số lý thuyết của nhóm thứ i (tính theo giả thuyết H0).
4. So sánh giá trị kiểm định tính được với giá trị trong bảng phân phối 2 và kết luận.
1. Kiểm định sự phù hợp trong trường hợp giả định đã biết các tham số của tổng thể.
Giả sử có một mẫu ngẫu nhiên với n quan sát, mỗi quan sát có thể được
phân vào một trong k nhóm.
· Gọi O1,O2,...,Ok là số quan sát ở nhóm thứ 1,2,...,k.
· Gói p1, p2,..., pk là xác suất giả thuyết để quan sát rơi vào nhóm thứ 1,2,...,k (giả thuyết H0). Do vậy, số quan sát ở nhóm thứ i, theo giả thuyết H0, là:
(i=1,2,...,k) Ei = n.pi
Ví dú: Một công ty dự định đưa ra thị trường một sản phẩm mới với bốn màu sắc khác nhau. Giám đốc công ty muốn tìm hiểu thị hiếu khách hàng về màu sắc sản phẩm - thích đặc biệt một màu nào hay sở thích đối với cả bốn màu là giống nhau
ở mức ý nghĩa 1%. Một mẫu 80 khách hàng đợc chọn ngẫu nhiên. Mỗi khách hàng được xem sản phẩm với các màu sắc khác nhau và cho biết ý kiến. Kết quả như sau:
Trắng Nâu Xanh Đen Tổng cộng
12 40 8 20 80
· Giả thuyết H0: Sở thích đối với 4 màu là giống nhau, nghĩa là các suất khách
hàng chọn lựa một trong 4 màu bằng nhau:
p1 = p2 = p3 = p4 = 0,25.
· Giả thuyết H1 : Sở thích đối với 4 màu là giống nhau, nghĩa là xác suất khách hàng chon lựa đối với 4 màu không bằng nhau..
Theo giả thuyết H0 số lượng khách hàng chọn màu thứ i là Ei = n .pi.
Do đó, ta có:
E1 = E2 = E3 = E4 = (80) (0,25) = 20
Giá trị kiểm định:
Tra baûng phaân phoái 2, ta coù: 2
k-1, = 2
4 -1,1% = 11,34.
Vì giaù trò kieåm ñònh 2 > 2 k-1, , ta keát luaän raèng ôû möùc yù nghóa 1% giaû thuyeát H0 bò baùc boû, nghóa laø söï choïn löïa ñoái vôùi 4 maøu saéc cuûa saûn phaåm laø khaùc nhau. Moät vaøi maøu saéc naøo ñoù ñöôïc öa thích hôn.
Cũng cần lưu ý raèng caùc xaùc suaát giaû thuyeát khoâng phaûi baét buoäc baèng nhau, chuùng coù theå raát khaùc nhau. Chuùng ta caàn xaùc ñònh roõ caùc xaùc suaát giaû thuyeát naøy khi laäp giaû thuyeát H0 vaø duøng caùc xaùc suaát giaû thuyeát ñoù ñeå tính toaùn caùc giaù trò Ei.
2. Kiểm định sự phù hợp trong trường hợp các tham số tổng thể chưa biết.
Ở phần (1) trang 150, ta đã thực hiện kiểm định giả thuyết về việc quan sát được phân phối với các xác suất xác định nào đó. Khi đó, xác suất để một quan sát rơi vào nhóm thứ i được xác định rõ khi lập giả thuyết H0.
Phần này sẽ đề cập đến việc kiểm định giả thuyết các quan sát tuân theo một luật phân phối nào đó - có thể là phân phối nhị thức, phân phối Poission, hay
phân phối chuẩn - trường hợp không giả định là đã biết các tham số của tổng thể như và . Trường hợp này, ta có thể dùng cácdữ liệu thu thập được để ước lượng tham số tổng thể.
Trước hết, dựa vào các tham số mẫu để xác định xác suất một quan sát rơi vào nhóm thứ i theo như luật phân phối muốn kiểm định, nghĩa là xác định các pi. Sau đó, tính các Ei , giá trị kiểm định 2 và áp dụng qui tắc kiểm định giống như đã nói ở phần (1). Cần chú ý rằng trong trường hợp này, số bậc tự do giảm đi 1 cho mỗi tham số tổng thể được ước lượng.
Ví dú: Một nhà nghiên cứu thống kê muốn kiểm định giả thuyết về phân phối của số tiền chi ra của khách hàng trong một lần mua sắp ở siêu thị. Một mẫu ngẫu nhiên 100 khách hàng được chọn cho thấy số tiền chi trung bình cho một lần mua sắm là x = 125.000 đồng và độ lệch chuẩn s=40.000 đồng ở mức ý nghĩa 10%.
· Giả thuyết H0: Tổng thể (số tiền chi ra) có phân phối chuẩn (nghĩa là trung bình một lần mua sắm của khách hàng là 125.000 đồng).
· Giả thuyết H1: Tổng thể không có phân phối chuẩn (trung bình một lần mua sắm của khách hàng có thể trên hoặc dưới 125.000 đồng hay khác 125.000đồng).
Trước tiên, ta xác định các xác suất của một đại lượng phân phối chuẩn. Từ bảng phân phối chuẩn, ta xác định được các xác suất cho một đại lượng phân phối chuẩn Z. Chẳng hạn, tra bảng phân phối chuẩn ta có xác suất từ của Z từ 0 đến 1 là 0,3413 và gần phân nửa của xác suất này là 0,1700 ứng với Z = 0,44. Vậy xác suất từ 0,44 đến 1 bằng 0,1713 (0,3413-0,1700) và xác suất từ 1(( sẽ bằng 0,1587 (0,5-0,3413).
Từ công thức Ei = n pi, các Ei có giá trị như sau:
E1 = 15,87, E2 = 17,13, E3 = 17, E4 = 17, E5 = 17,13, E6 = 15,87
Dựa vào công thức X = + Z , chuyển các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên Z thành giá trị của vấn đề đang xét. Ta có thể dung và s (tham số mẫu) thay cho và (tham số tổng thể). Do đó, giới hạn của các nhóm được xác định như sau:
x1 = 125+ (-1)(40) = 85
x2 = 125+ (-0,44)(40) = 107,4
x3 = 125+ (0)(40) = 125
x4 = 125+ (0,44)(40) = 142,6
x5 = 125+ (1)(40) = 165
Từ số liệu thu thập được, ta dễ dàng xác định được số lượng các quan sát rơi vào từng nhóm, nghĩa là xác định Oi. Như vậy, ta đã xác định được các nhóm, xác suất để một quan sát rơi vào nhóm thứ i (pi), số lượng quan sát thực tế (Oi) và số lượng quan sát theo lý thuyết (Ei).
Từ đó, tính giá trị kiểm định 2 theo công thức:
Số liệu tính toán được trình bày trong bảng 4.1 như sau:
Bảng 4.1: Xác định giá trị kiểm định
xi (1000đđ)
0 - 84,99 85 - 107,39 107,4 - 124,99 125 - 142,59 142,6 - 164,99 165
Tổng cộng pi 0,1587 0,1713 0,17 0,17 0,1713 15,87 1 Ei = (n.pi) Oi 14 20 16 19 16 15 100 15,87 17,13 17 17 17,13 15,87 100 (Oi-Ei)2/ Ei 0,22 0,48 0,06 0,24 0,07 0,05 1,12
Trong đó Oi là số quan sát thực tế và n = 100 (100 khách hàng)
Từ bảng 4.1 ta có giá trị kiểm định 2 = 1,12 và trong 6 nhóm có hai tham
số được ước lượng ( được ước lượng cho và s được ước lượng cho nên số bậc 6 -1 -2 = 3 (giá trị này được tính bằng k trừ 1 rồi trừ đi số tham số được ước lượng).
Tra bạng phân phối 2, ta có: : 2
3,10% = 6,25 > 1,12. Do vậy, ta chấp nhận giả thuyết H0 ở mức ý nghĩa 10%, nghĩa là không có chứng cứ để nói rằng tổng thể không có phân phối chuẩn, hay nói cách khác số tiền chi ra trung bình của một khách hàng trong một lần mua sắm là 125.000 đồng.
IV. BẢNG TIẾP LIÊN (Contingency table)
Trong phần này, ta sẽ đề cập đến việc sử dụng kiểm định "Chi" bình phương (2) vào việc phân tích một bảng tiếp liên, bảng tiếp liên là bảng kết hợp hai tiêu thức, nhằm xác định xem giữa hai tiêu thức của tổng thể có mối liên hệ hay không. Ví dụ, xem xét mối liên hệ giữa giới tính và mức độ hoàn thành công việc, giữa hiệu quả kinh doanh (lãi, lỗ) và ngành kinh doanh (dịch vụ hoặc sản xuất) v.v...
Giả sử có mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát, được phân nhóm kết hợp hai tiêu thức với nhau, hình thành nên bảng tiếp liên gồm (r) hàng và (c) cột. Gọi Oij là quan sát ứng với hàng thứ i và cột thứ j, Ri là tổng số quan sát ở hàng thứ i, Cj là tổng số quan sát ở cột thứ j, n là tổng số quan sát của (r) hàng đồng thời cũng là tổng số quan sát của (c) cột.
Bảng 4.2: Dạng tổng quát của một bảng tiếp liên kết hợp hai tiêu thức.
Phân nhóm theo tiêu thức 1 2 ... 3 c 1
Phân nhóm theo tiêu thức 2 1 2 3 ... r Tổng cộng ... ... ... R1 R2 R3 ... Rr n O11 O12 O13 O21 O22 O23 O31 O32 O33 ... ... ... Or3 Or1 Or2 C3 C2 C1 O1c Orc Cc
Để kiểm định xem có mối liên hệ giữa hai tiêu thức này không, trước hết ta lập giả thuyết H0 vaø H1
· Giả thuyết H0: Không có mối liên hệ giữa hai tiêu thức.
· Giả thuyết H1: Tồn tại mối liên hệ giữa hai tiêu thức.
Nguyên tắc của kiểm định ở đây cũng giống như kiểm định sự phù hợp (Goodness-of-Fitness) đã nói ở phần trước. Điểm khác biệt duy nhất là khi tính giá trị kiểm định phải lấy tổng số cho tất cả các ô gồm (r) hàng và (c) cột trong bảng tiếp liên, nghĩa là:
Giá trị kiểm định:
với số lượng quan sát lý thuyết (theo giả thuyết H0):Eij = RiCj / n.
Ri và C j là tổng tần số của hàng thứ i và cột thứ j.
với (r-1)(c-1): số bậc tự do.
Ví dụ: Để nghiên cứu mối liên hệ giữa tuổi tác và kết quả học tập của sinh viên tại chức ở một trường đại học, người ta lấy mẫu ngẫu nhiên 1140 sinh viên tại chức. Kết quả phân nhóm theo hai tiêu thức kết quả học tập và tuổi tác được trình bày trong bảng sau:
Bảng 4.3: Tuổi và kết quả học tập của sinh viên phân theo nhóm
Tuổi Kết quả học tập Không tốt Tốt
Tổng cộng (Ri) 288 211 377 264 1140 90 97 211 172 570 198 114 166 92 570
25 26 - 35 36 - 45 46 Tổng cộng (Ci)
· Giả thuyết H0: Không có mối liên hệ giữa tuổi và kết quả học tập.
· Giả thuyết H1: Tồn tại mối liên hệ giữa tuổi tác và kết quả học tập.
Số lượng quan sát lý thuyết (theo giả thuyết H0) Eij được tính toán và được để trong dấu ngoặc đơn bên phải giá trị Oij. Chẳng hạn, E11 = R1C1 / n = (288)(570) / 1140 = 144
Tương tự cách tính như trên ta có: E42 = R4C2/n = (264) (570)/1140 = 132
Bảng 4.4: Bảng kết quả các Oij và Eij
Kết quả học tập
Tốt 198 (144) 114 (105,5) 166 (188,5) 92 (132) Không tốt 90 (144) 97 (105,5) 211 (188,5) 172 (132) Tuổi 25 26 - 35 36 - 45 46
Giá trị kiểm định:
Vôùi r = 4, c = 2, số bậc tự do là: (r - 1)(c - 1) = (4 - 1)(2 - 1) = 3
Tra bảng phân phối 2 , ta có 2
3, 0,5% = 12,84 < 71,5
Do vậy, ở mức ý nghĩa 0,5%, giả thuyết H0 bị bát bỏ, nghĩa là có tồn tại mối liên hệ giữa tuổi tác và kết quả học tập. Điều đó có thể nhận thấy khi quan sát bảng (9.4) tính toán ở trên, nói chung nhóm tuổi thấp có kết quả học tập cao hơn so với nhóm tuổi lớn hơn.
Bài tập
1. Kết quả sau đây cho thấy mức độ hài lòng về thu nhập của nhân viên nam và nữ trong một cuộc điều tra về các yếu tố ảnh hưởng đến kết quả công việc. Hãy kiểm định giả thuyết về mối liên hệ giữa giới tính và sự hài lòng về thu nhập ở mức ý nghĩa 5%?
Giới tính Nam Nữ Mức độ hài lòng Trung bình 61 9 Thấp 46 8 cao 53 12
2. Quản đốc một phân xưởng sản xuất ghi nhận rằng trong điều kiện sản xuất bình thường 93% sản phẩm không có lỗi nào, 5% có một lỗi và 2% có hơn một lỗi. Từ một mẫu 500 sản phẩm được lấy ngẫu nhiên từ sản phẩm được sản xuất ra trong tuần, người Quản đốc thấy có 458 sản phẩm không có lỗi. Ông cho rằng chất lượng của những sản phẩm sản xuất ra trong tuần giống như trong điều kiện sản xuất bình thường. Hãy kiểm định nhận định trên của ông ở mức ý nghĩa 5%?
3. Một công ty đang xem xét việc đặt tên cho một sản phẩm mới. Trước khi quyết định chọn một trong 5 tên được đề nghị, giám đốc muốn kiểm định xem phải chăng cả 5 tên đều có sức hấp dẫn bằng nhau đối với khách hàng. Mẫu 100 khách hàng được chọn ngẫu nhiên và được yêu cầu cho biết ý kiến về một tên cho sản
phẩm mà họ thích nhất, kết quả như dưới đây. Hãy kiểm định giả thuyết nói trên ở mức ý nghĩa 5%?
Tên sản phẩm: A B C D E
Lượng khách hàng chọn: 4 12 34 40 10
4. Một nhà phân tích thống kê muốn xem xét mối quan hệ giữa giới tính và việc chọn lựa các nhãn hiệu nước giải khát. Một mẫu 330 người được chọn ngẫu nhiên và kết quả như sau:
Sự chọn lựa nhãn hiệu
Tribeco Tổng cộng
Coke 55 60 115 Pepsi 32 43 75 7up 47 35 82 21 37 58 155 175 330 Giới tính Nam Nữ Tổng cộng
Hãy kết luận về mối quan hệ nói trên ở mức ý nghĩa 5%?
5. Một công ty nước giải khát Coca-cola hoạt động trên toàn cầu đang mở một chiến dịch quảng cáo với mục đích cần đạt tới là nhãn hiệu của nó sẽ ở trong tiềm thức của khách hàng. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 500 người ở mỗi thành phố của 10 quốc gia được phỏng vấn về 5 nhãn hiệu giải khát trước và sau chiến dịch quảng cáo. Nhãn hiệu Coca-Cola được khách hàng nhắc tới theo bảng dưới đây. Hãy sử dụng kiểm định Wilcoxon để kiểm định giả thuyết H0 tương ứng giả thuyết H1 cho rằng nhãn hiệu Coca-Cola được nhận biết bởi khách hàng tốt hơn sau chiến dịch quảng cáo ở mức ý nghĩa 5%?
Thành phố 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Trước quảng cáo 95 151 192 71 86 215 254 123 97 Sau quảng cáo 123 160 180 93 99 193 311 121 131
10 153 169
6. Một nhà phân tích thị trường chứng khoán đã đưa ra đầu năm một danh sách chứng khoán để mua và một danh sách khác để bán. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 10 chứng khoán từ danh sách mua và 10 chứng khoán từ danh sách bán. Phần trăm tăng lên (%) qua một năm về số lượng chứng khoán mua và bán như sau:
Mua:
9,6 5,8 13,8 17,2 11,6 4,2 3,1 11,7 13,9 12,3
Bán:
-2,7 6,2 8,9 11,3 2,1 3,9 -2,4 1,3 7,9 10,2
Sử dụng kiểm định Mann-Whitney cho trường hợp trên và giải thích?
7. Lương khởi điểm của sinh viên tốt nghiệp bằng MBA từ hai trường kinh doanh nổi tiếng được đem ra so sánh. Những mẫu ngẫu nhiên độc lập gồm 30 sinh viên từ mỗi trường được chọn ra để phỏng vấn. Sáu mươi mức lương được đánh giá xếp hạng. Tổng hạng được xếp của một trong hai trường này là 1243. Hãy kiểm định giả thuyết H0 rằng phân phối của hai tổng thể thì bằng nhau?
