CHƯƠNG 2:
ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY
(Confidence Interval Estimation)
I. KHÁI NIỆM
II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CHO TRUNG BÌNH TỔNG
THỂ (KHI BIẾT PHƯƠNG SAI)
III. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CỦA TRUNG BÌNH TỔNG
THỂ (KHI CHƯA BIẾT PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ)
IV. ƯỚC LƯỢNG KHOÀNG TIN CẬY CHO TỶ LỆ P TỔNG THỂ:
TRƯỜNG HỢP MẪU LỚN
V. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CHO SỰ KHÁC BIỆT GIỮA
TRUNG BÌNH CỦA HAI TỔNG THỂ
1. Ước lượng khoảng tin cậy dựa trên sự phối hợp từng cặp
2. Ước lượng khoảng tin cậy dựa vào mẫu độc lập của phương sai
khác nhau
3. Ước lượng khoảng tin cậy dựa vào mẫu độc lập có phương sai
bằng nhau
VI. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CHO SỰ KHÁC BIỆT GIỮA
HAI TỶ LỆ TỔNG THỂ
VII. ƯỚC LƯỢNG CỞ MẪU
1. Cở mẫu cho những khoảng tin cậy của trung bình tổng thể có
phân phối chuẩn khi biết phương sai
2. Cở mẫu cho những khoảng tin cậy của tỉ lệ tổng thể
BÀI TẬP
I. KHÁI NIỆM
Khoảng tin cậy là một dãy giá trị mà trong đó các tham số của tổng thể như
số trung bình ((), tỉ lệ (p) và phương sai ((2) cần được ước lượng nằm trong
khoảng này. Ứơc lượng khoảng tin cậy là một hình thức dự báo trong thống kê,
một chỉ tiêu kinh tế nào đó có thể được ước lượng tại một điểm nào đó (dự báo
điểm) hay nằm trong một khoảng nào đó (dự báo khoảng) với độ tin cậy cho
trước.
Ví dụ: Với độ tin cậy 90%, một mẫu gồm 16 quan sát có trung bình từ một
tổng thể có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn = 6 thì trung bình tổng thể ( có
giá trị trong khoảng từ 17,4675 đến 22,5325.
Khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể được ước lượng dựa vào giá trị
được quan sát của trung bình mẫu. Ðặt ( là một tham số chưa biết của tổng thể.
Giả sử rằng chúng ta dựa vào thông tin của mẫu quan sát, tìm những biến ngẫu
nhiên A và B sao cho:
P ( A < < B ) = 1 -
trong đó (1 - () là độ tin cậy (level of confidence)
và 100 (1 - ()% là khoảng tin cậy cho (, khoảng này sẽ chứa các tham số
của tổng thể.
II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CHO TRUNG BÌNH TỔNG THỂ (khi biết ph
ương
sai 2 )
Giả sử rằng chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát từ một phân
phối chuẩn với trung bình ( và phương sai (2, và trung bình mẫu là Ġ. Một
khoảng tin cậy 100 (1- ()% cho trung bình tổng thể ( được xác định như sau:
Trong đóĠ là một số sao cho P ( Z ľ) = P ( Z < ĭ) Ľ
và biến ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn tắc:Ġ
Ví dụ: Một qui trình sản xuất đường tinh chế. Trọng lượng của những bao đường
có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn 1,2kg. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 25 bao
có trọng lượng trung bình mỗi bao 19,8 kg.
Tìm khoảng tin cậy 95% cho trọng lượng trung bình tổng thể được sản xuất bởi
qui trình.
Bảng tra phân phối chuẩn Z được tóm tắt như sau:
0,005 0,01 0,025 0,05 0,1
Z 2,575 2,33 1,96 1,645 1,28
· Khoảng tin cậy 95% cho trung bình tổng thể là:
Vậy, khoảng tin cậy 95% cho trọng lượng trung bình của tất cả các bao
đường của qui trình sản xuất nằm trong khoảng từ 19,33kg đến 20,27kg. Như
ta mong đợi, trung bình mẫuĠlà điểm giữa của khoảng chứa đựng (, thì
khoảng rộng w chứa đựng tham số sẽ là:
Chú ý:
1. Nếu (1 - () và ( không thay đổi, n càng lớn dẫn đến khoảng tin cậy càng
hẹp cho trung bình tổng thể (, nghĩa là việc ước lượng ( càng chính xác hơn.
2. Nếu (1 - () và n cố định, độ lệch chuẩn ( càng lớn thì khoảng tin cậy càng
rộng cho (, càng không chắc chắn hay không chính xác cho ước lượng (.
3. Nếu n và ( cố định, (1 - () càng lớn thì khoảng tin cậy càng rộng, dẫn đến (
sẽ rơi vào khoảng giá trị lớn hơn, ước lượng khó chính xác hơn.
Cụ thể:
Trong trường hợp mẫu quan sát lớn, ta có thể sử dụng công thức (6.1) để tính
khoảng tin cậy cho tham số (tổng thể nhưng thay độ lệch chuẩn của tổng thể (
bằng độ lệch chuẩn của mẫu (Sx):
Ví dụ: Một mẫu ngẫu nhiên gồm 1562 sinh viên ghi danh học môn Marketing đã
được hỏi để trả lời trong phạm vi từ 1 (không đồng ý) đến 7 (hoàn toàn đồng ý)
với câu nói: Hầu hết các quảng cáo đều đánh lừa sự thông minh của khách hàng..
Ðiểm trả lời có trung bình mẫu là 3,92 và độ lệch chuẩn là 1,57. Tìm một
khoảng tin cậy 99% cho trung bình tổng thể.
Xuất phát từ công thức :
Ta có: ĉ= 3,92 ; Sx= 1,57 ; n =1562
(1 - ) = 99%
Þ = 1%
/2 = 0,5% = 0,005
Tra bảng trang 76 ta có: Z0,5% = 2,575
3,82 <
< 4,02
Như vậy, khoảng tin cậy 99% cho trung bình sự trả lời của sinh viên nằm trong
khoảng từ 3,82 đến 4,02, nghĩa là sinh viên có xu hướng đồng ý câu nói trên.
III. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ ( khi chưa biết
phương sai tổng thể) (mẫu nhỏ)
Trong trường hợp chưa biết phương sai tổng thể ((2), ta có thể sử dụng
biến ngẫu nhiên t với (n -1) độ tự do của phân phối Student thay cho biến ngẫu
nhiên Z và tính giống như trong trường hợp biết phương sai (2 nhưng thay độ
lệch chuẩn tổng thể bằng độ lệch chuẩn mẫu. Các điều kiện khác và giả sử giống
như phần (II).
Ta có:ĉ ĉ
và khoảng tin cậy 100 ( 1- () % cho ( được tính như sau:
(2.3)
Trong đóĠ là một số sao cho P Ĩľ) =Ġ
Ví dụ: Một mẫu ngẫu nhiên gồm 6 kiện hàng được chọn ra từ tất cả các kiện
hàng được sản xuất bởi nhà máy trong một tuần. Trọng lượng của 6 kiện hàng
lần lượt như sau (kg):
18,6 18,4 19,2 20,8 19,4 20,5
Tìm khoảng tin cậy 90% cho trọng lượng trung bình tổng thể của tất cả
các kiện hàng của nhà máy, giả sử phân phối của tổng thể là phân phối chuẩn.
Kiện hàng
(i)
Trọng lượng
(kg)
(xi)
(xi
2)
1 18,6 345,96
2 18,4 338,56
3 19,2 368,64
4 20,8 432,64
5 19,4 376,36
6 20,5 420,25
Tổng cộng 116,9 2282,4
1
Từ dữ liệu bảng trên tính được:ĉ Ľ 19,4833Ġ
= 0,96
vàĠ(tn-1,(/2 Ľ: giá trị tra bảng phân phối Student t.
Vậy: ĉ
18,67 < < 20,29
Vì vậy, khoảng tin cậy 90% cho trọng lượng trung bình của tất cả các kiện hàng
nằm trong khoảng từ 18,67 kg đến 20,29kg.
Chú ý: Trong điều kiện như nhau, nếu khoảng tin cậy (KTC) càng lớn thì khoảng
ước lượng giá trị càng lớn, càng kém chính xác.
IV. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CHO TỶ LỆ P TỔNG THỂ: trường hợp mẫu lớn
ÐặtĠ là tỉ lệ được quan sát của mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát từ một tổng thể.
Khoảng tin cậy 100 (1-() % cho tỉ lệ p của tổng thể được tính bởi:
(2.4)
Trong đó Z(/2 là một số sao cho:
· Nếu tất cả các điều kiện khác không thay đổi, n càng lớn thì khoảng chứa đựng p
càng hẹp, ước lượng càng chính xác hơn.
· Nếu tất cả các điều kiện khác không thay đổi, khoảng tin cậy càng lớn thì khoảng
biến thiên giữa hai giá trị ước lượng của p càng lớn, ứơc lượng khó chính xác.
Ví dụ: Một mẫu ngẫu nhiên gồm 73 lãnh đạo ngân hàng được hỏi câu hỏi sau:
Trong mỗi ngành thường phải chấp nhận những rủi ro trong kinh doanh. Vậy,
ngân hàng của bạn có bất kỳ thực tế nào mà bạn xem như không đúng nguyên tắc,
nội qui và đạo lý. Kết quả có 39 câu trả lời không. Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ
lệ tổng thể những lãnh đạo ngân hàng trả lời không.
Vì vậy, khoảng tin cậy 95% cho phần trăm của tất cả các lãnh đạo ngân hàng nói
chung nhận thấy trong ngành của mình không có những rủi ro trong kinh doanh do
không làm đúng nguyên tắc và đạo lý là khoảng từ 42% đến 64,8%.
V. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CHO SỰ KHÁC BIỆT GIỮA TRUNG BÌNH C
ỦA HAI
TỔNG THỂ
1. Ước lượng khoảng tin cậy dựa trên sự phối hợp từng cặp: (Matched pair)
Giả sử rằng chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên gồm n cặp quan sát từ những
phân phối với trung bình (x và (y. ÐặtĠ và Sd là trung bình và độ lệch chuẩn
của n sự khác biệt di= xi - yi. Nếu phân phối của những khác biệt này là phân
phối chuẩn thì
· Khoảng tin cậy 100 (1 - () % cho ((x - (y) được tính như sau:
