Chuyên đề "Cực trị của một biểu thức" giới thiệu đến các bạn những kiến thức về: Giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất củả một biểu thức; tìm GTNN, GTLN của biểu thưc chứa một biến; tìm GTNN, GTLN của BT có quan hệ ràng buộc giữa các biến; bài tập tự luyên tương tự; các chú ý khi giải bài toán cực trị. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tài liệu.
Ề Ự
Ứ
Ộ
Ể
CHUYÊN Đ : C C TR
Ị C AỦ M T BI U TH C
Ị Ớ
Ỏ
Ấ
Ị
ỦẢ Ộ
Ứ
Ấ I/ GIÁ TR L N NH T ,GIÁ TR NH NH T C
Ể M T BI U TH C
ứ
ể
1/ Cho bi u th c f( x ,y,...)
ị ớ
ủ
ứ
ể
ệ
ế
ấ
ề a/ Ta nói M giá tr l n nh t ( GTLN) c a bi u th c f(x,y...) kí hi u max f = M n u hai đi u
ệ
ượ
ki n sau đây đ
ả c tho mãn:
ớ
ọ
ị
ể V i m i x,y... đ f(x,y...) xác đ nh thì :
ằ
ố
f(x,y...) (cid:0)
M ( M h ng s ) (1)
T n t
i x
ồ ạ o,yo ... sao cho:
f( xo,yo...) = M (2)
ủ
ứ
ệ
ế
ấ
ỏ
ị
ề ể b/ Ta nói m là giá tr nh nh t (GTNN) c a bi u th c f(x,y...) kí hi u min f = m n u hai đi u
ệ
ượ
ki n sau đây đ
ả c tho mãn :
ớ
ọ
ị
ể V i m i x,y... đ f(x,y...) xác đ nh thì :
ằ
ố
f(x,y...) (cid:0)
m ( m h ng s ) (1’)
T n t
i x
ồ ạ o,yo ... sao cho:
f( xo,yo...) = m (2’)
ề ự
ị ủ
ư
ề
ệ
ể
ế
ộ
ỉ
ể 2/ Chú ý : N u ch có đi u ki n (1) hay (1’) thì ch a có th nói gì v c c tr c a m t bi u
ứ
ứ
ể
ạ
ẳ
ư
ư
th c ch ng h n, xét bi u th c : A = ( x 1)
2 + ( x – 3)2. M c dù ta có A ặ
0 nh ng ch a
ể ế
ậ ượ
ồ ạ
ủ
ả
ị
ả
th k t lu n đ
c minA = 0 vì không t n t
ể i giá tr nào c a x đ A = 0 ta ph i gi
ư i nh
sau:
2
A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 (cid:0) A = 2 (cid:0)
x 2 = 0 (cid:0)
x = 2
ậ
ỉ
V y minA = 2 khi ch khi x = 2
Ư
Ứ
Ộ
Ủ
Ế
Ể II/ TÌM GTNN ,GTLN C A BI U TH C CH A M T BI N
(cid:0)
1/ Tam th c b c hai:
ứ ậ
ụ
Ví d : Cho tam th c b c hai P = ax
ủ
ế
Tìm GTNN c a P n u a
2 + bx + c . (cid:0) 0.
ủ
ế
Tìm GTLN c a P n u a
2
ả
Gi
i : P = ax
2 + bx +c = a( x2 +
x ) + c = a( x +
)2 + c
(cid:0) 0
2
ặ
Đ t c
=k . Do ( x +
)2 (cid:0)
0 nên :
b a b a 2 b 24 a
ỉ
ế N u a
b a 2 b a 4
)2 (cid:0) 0 , do đó P (cid:0)
k. MinP = k khi và ch khi x =
ỉ
(cid:0) 0 thì a( x + b a 2 b a 2
ế N u a
)2
0 do đó P
k. MaxP = k khi và ch khi x =
`(cid:0) `(cid:0) (cid:0) 0 thì a( x + b a 2 b a 2
2/ Đa th c b c cao h n hai:
ể ư ề
ứ ậ
ể ổ
ế
Ta có th đ i bi n đ đ a v tam th c b c hai
ụ
ủ
Ví d : Tìm GTNN c a A = x( x3)(x – 4)( x – 7)
ả
Gi
i : A = ( x
2 7x)( x2 – 7x + 12)
36
Đ t xặ 2 – 7x + 6 = y thì A = ( y 6)( y + 6) = y2 36 (cid:0) minA = 36 (cid:0)
x2 – 7x + 6 = 0 (cid:0)
y = 0 (cid:0)
x1 = 1, x2 = 6.
3/ Bi u th c là m t phân th c :
ứ
ử
ứ ậ
ằ
ẫ
ố
a/ Phân th c có t
là h ng s , m u là tam th c b c hai:
ụ
ủ
Ví d : Tìm GTNN c a A =
.
(cid:0) (cid:0) x 2 295 x 6
ả
Gi
i : A =
. =
=
.
2
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 3( 2 2 (cid:0) )1 4 x x 2 295 x 9 2 x 6 6 5
ấ
ấ
Ta th y (3x – 1)
2 (cid:0)
0 nên (3x – 1) 2 +4 (cid:0)
4 do đó
theo tính ch t a
b
(cid:0)
(cid:0) + 2 x - 1 1) 4 (3 1 4
ấ
ớ
thì
(cid:0)
v i a, b cùng d u). Do đó
(cid:0)
A (cid:0)
minA =
3x – 1 = 0 (cid:0)
x =
(cid:0)
.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 2 (cid:0) )1 4 3( 1 a 1 b 2(cid:0) 4 1 2
ậ
Bài t p áp d ng
ụ :
=
=
=
=
A
. max A=
x
2
2
ủ
A
i: ả
.
1. Tìm GTLN c a BT :
2
1 2 1 3
(
1 ) 2 +
x
1 + 4x 9
1 � � 5
1 5
x 2
5
x
1 + HD gi 4x 9
- - -
=
=
=
=
A
. max A=
x
3
2
A
ủ
2. Tìm GTLN c a BT :
HD Gi
i:ả
2
(
1 ) 2 +
x
1 + 6x 17
1 � � 8
1 8
x 3
8
x
1 + 6x 17
=
A
ấ ủ
ứ
ể
ỏ
ị
3. (51/217) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
3 + 2
+ -
2
x
+ 2x 7
ứ
ẫ
ươ
ị ứ
ủ
b/ Phân th c có m u là bình ph
ng c a nh th c.
2
- - -
ụ
ủ
Ví d : Tìm GTNN c a A =
.
(cid:0) (cid:0)
ế
ứ
ổ
Gi
ể i d ng t ng hai bi u th c không âm
2
2
2
(cid:0) (cid:0) x 3 2 x x 8 x 2 6 1
(
ướ ạ )
i : ả Cách 1 : Vi ) + + x 1
A =
= 2 +
(cid:0)
2
2
t A d ( + x
minA = 2 khi và chi khi x = 2.
ặ
Cách 2: Đ t x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :
2
2
(cid:0) - - x x 2 2 + x 4 4 (cid:0) x ( x ( )2 2 )1 - x 2 1
= 3
+
= (
1)2 + 2
minA = 2 (cid:0)
y = 1 (cid:0)
x – 1 = 1 (cid:0)
x = 2
ồ ưỡ
ậ
ạ ố
Ầ
Ị
Bài t p áp d ng
ụ : (B i d
)
+ + - - y y 3 1 = = + 2 + y + - 3( A = ( 8( ( y 3 2 y 2 2 y + - y 6 + - y 2 - + y 3 8 - + y 1 2 8 6 2 1 2 y 1 2 y 1 y y 1) ) 2 1 2 + + y 1) 6 ) + + y 1 1
ủ
1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN c a bt:
ng HSG toán đ i s 9 TR N TH VÂN ANH + 2 x 1 - + 2 x
2
= P x 1
ủ
2, (36/210) Tìm GTNN c a bt :
2
2
- x 2 2006 = B + x x
ủ
3, ( 45/ 214) Tìm GTNN và GTLN c a bt:
2
2
2
= C - x + x x 5 7
ủ
4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN c a bt : a,
2
2
ứ ạ
c/ Các phân th c d ng khác:
- = = D E + + + + x x x x 2 2 + 2 + b, 3 x x 2 x 2 x 4 1 + 9
ụ
ủ
Ví d : Tìm GTNN và GTLN c a A =
(cid:0)
ả
ể
ế ử ứ ề ạ
ươ
ộ ố
ủ
Gi
i Đ tìm GTNN , GTLN ta vi
th c v d ng bình ph
t t
ng c a m t s :
2
2
2
43 2 (cid:0) x x 1
A =
=
1 (cid:0)
1
2
2
ỉ
Min A= 1 khi và ch khi x = 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 4 1 4 ( (cid:0) (cid:0) x x x x 1 )2 1
2
2
2
Tìm GTLN A =
= 4
(cid:0)
4
ồ ưỡ
ậ
ạ ố
Ầ
Ị
Bài t p áp d ng
ụ : (B i d
ng HSG toán đ i s 9 TR N TH VÂN ANH
)
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 4 4 1 (cid:0) (cid:0) 44 2 x x 2( 2 x 1 )1 1
3
ủ
1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN c a bt: a,
2
2
(
)
2
5
= B = A x + x x 2 x + b, 2
ủ
ớ
ớ
3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN c a bt: a,
V i x > 0; b,
V i x > 0
3
3
+ + + x x x 4 2 = = C D 4 x x
2
ủ
ớ
ớ
4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN c a bt: a,
v i x > 0; b,
V i x > 0
2
2
+ 1 + = x = E x F 2 3 x x
ủ
ớ
6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN c a bt:
V i x > 0
x = Q x + + ( 2 x 2 + 17 ) 1
ủ
ớ
7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN c a bt:
V i x > 0
+ + x 6 34 = R x + x 3
ủ
ớ
8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN c a bt:
V i x > 0
Ữ
Ộ
Ủ
Ệ
Ế
III/ TÌM GTNN, GTLN C A BT CÓ QUAN H RÀNG BU C GI A CÁC BI N
ụ
ủ
ế ằ
Ví d : Tìm GTNN c a A = x
3 + y3 + xy bi
t r ng x + y = 1
ử ụ
ứ
ể
ề
ệ
ể
ọ
s d ng đi u ki n đã cho đ rút g n bi u th c A
A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy y2 + xy = x2 + y2
ề
ế
ả
Đ n đây ta có nhi u cách gi
i
ử ụ
ứ
ứ
ệ
ể
ề
ệ
ấ
ộ
Cách 1: s d ng đi u ki n đã cho làm xu t hi n m t bi u th c có ch a A x + y = 1 (cid:0)
x2 + 2xy + y2 = 1 (1)
Mà (x – y)2 (cid:0)
0 Hay: x2 2xy + y2 (cid:0)
0 (2)
ộ
ớ
C ng (1) v i (2) ta có 2(x
2 + y2 ) (cid:0)
1 (cid:0)
x2 + y2 (cid:0)
x = S + 3 2000 x
ỉ
minA =
khi và ch khi x = y =
1 2
ồ ư ề
ứ ậ
ố ớ
ể
ị
Cách 2: Bi u th y theo x r i đ a v tam th c b c hai đ i v i x. Thay y = x – 1 vào A
A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2
)2 +
(cid:0)
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
ỉ
minA =
khi và ch khi x = y =
ể ư ề ộ
ử ụ
ế
ề
ệ
ớ Cách 3/ S d ng đi u ki n đã cho đ d a v m t bi n m i
ặ
ị
ượ
Đ t x =
+ a thì y =
ể a . Bi u th x
2 + y2 ta đ
c :
1 2 1 2
x2 + y 2 = (
+ a)2 + (
a)2 =
+2 a2 (cid:0)
=> MinA =
a = 0 (cid:0)
x=y =
1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 (cid:0) 2 1 2
2 3 a
Bài t p ậ
1 : Tìm Min A =
2
2
+ - - a + ab b + b 3 2014
Cách 1 Ta có: A=
1
2
2
2 +
- - - a b - + + ab a b + + a 1 2 + + b 2 1 1 2011
(
( a b
( ) = a 1
) + 1
) ( - + b 1
) 1
2 +
- - - - - - - b 2011 b - + + ab a b = a + + a 1 2 + + b 2 1 1 2011
(
(
) ( = a 1
) 2 + 1
) ( - + b 1
) 1
- - - b a 2011
(
(
(
(
) 2 1 +
2 +
) 1 +
) 2 1 +
) 2 1 +
(
( ) a 1
) 1
2 � � �
- - - - - b 3 b b b b 3 1 = - - + 2011 a 2 2011 2 4 � - + = a 1 � � 2 4 4
Min A = 2011 khi
Cách 2:
2
2
2
2
2
- (cid:0) b 1 = (cid:0) - + a 1 0 = = (cid:0) � a b 1 2 (cid:0) - = (cid:0) b 1 0
)
(
( + + a b
) 2014 = a
1
2
2 +
+ - - - - - a b ab b + b 3 + + a 2 1 + + 2 b 2 + 1 a + 2 + 2.2 4 4022
)
) + 1
- - + ab b ( b a 3 ( + - a b = 2A 2 ( ) = a 1 + 2 4022
Min 2A = 4022 khi
=> Min A = 2011
(cid:0) (cid:0) (cid:0) = =� a b - = a 1 0 - = b 1 (cid:0) 1 0 + - = (cid:0) a b 2 0
BÀI T P T LUYÊN T
2
ớ
2 3 a
Bài 1 CMR : Min P = 0 V i P =
2
2
+ - - a + ab b + b 3 3
ủ
ỏ
ị Bài 2 CMR: không có giá tr nào c a x, y, z th a mãn ĐT:
2
2
2
2
+ - x y + - 2 z + x y 4 2 8 + z 6 = 15 0
(
(
) ( + 9 1= x1
) + 2
) 2 + (cid:0) 3
= + 2 - - - x + + x y z z VT 1 4 2 + + y 4 8 + + z 6 + y 2 1 1
H ng d n
ỗ ẳ
ứ
ố
ỏ
Bài 3: Có hay không các s x,y,z th a mãn m i đ ng th c sau:
2
2
1) 2 x
2
2
2
+ + + + + + y z x y z 4 4 4 8 = 22 0
2)
+ + - - - y z x y z x 4 9 2 12 + 12 1994
H ng d n
2
2
2
2
2
2
2
+ + + + x y z z 1) VT 4 4 8 + 16 1 y 2 + + + + + (cid:0) + ) x ( + ( + + 1 ) 2 y z = ( = x+2 4 4 ) 1 4 2 1 1
- - - y + + z 12 4 1986
2
- - - (cid:0) 2) VT = x ( + + x 1 4 ( 2 + z 3 9 ) 2 x y z = 2 2 ) 1 + + y 12 ) ( 2 + 3 3 + 2 1986 1986
ớ
Bài 4: CMR: Min A=2 V i A =
+ 2 - - m + mp p m 4 5 10 + p 22 28
H ng d n
2
2
- - - p p m p 4 4 27
2 +
- - - + mp ) 2 + + + p 2 ) 1 10 ( m p m p + p = 2 2.5 + 25 + 20 ) 2 + 1 2
)
2
2
- - m A = ( ( + 2 ( ( m + p p = 2 ) 2 + (cid:0) 1 2 5 2 2
Bài 5: CMR: Max B = 4 V i ớ
= - - - - a a B b 5 + 2 + ab 4 b 10 6
H ng d n
2
2
2
2
2
(
)
) +
(
)
( � a �
2
2
2 +
2 +
- - - = - + 2 + - - - - + ab b a = 4 4 b 4 + b 6 + 9 2 + b 2 a ab b - + a B 4 b 4 b 6 + 9 2 b 4 1 4 � 1 �
)
(
(
)
(
)
) + + b 2 1
) 1
( � a �
( � a �
Bài 6: Tìm GTNN c aủ
2
2
2
2 +
- - - - - (cid:0) a b b = 4 b 2 2 3 = 4 + b 2 3 4 � � � �
)
( b+
( A = a 2b
) 1
a)
( G i ý ợ
)
2
2
2
- + - - 4 ab A=a b 5 4 + b 2 5
2 +
)
(
)
(
( B = xy
) 2 + 3
b)
( G i ý ợ
)
2
2
2
2
2
2
+ + - - - - - y xy x y y x B = x 3 + 3 2029 3 2011
)
(
)
(
)
( C = x+2
c)
( G i ý ợ
2
2
2
= + + + + + + - - x y z + x y z y C 4 9 4 12 + z 24 30 3 3 4 2 + ) 1
2 +
)
(
(
)
( D= 4x3y
) 1
d)
( G i ý ợ
)
2
2
2
2
+ + - - - - - y xy x y x y D= 20x 18 24 4 + 12 2016 2 3 + 2 2011
)
( + + a b c d
ố
ỏ
(*)
Bài 7: Tìm các s a, b, c, d th a mãn :
+ + + = a b c d
2
2
2
2
(
)
2
2
2
2
+ + + = + + a b c d
) =
2
2
2
2
+ + + - � a b c d 0
Ta có :
2
2
2
2
+ + + ab a b c ( + + a b c d = - - - � a ab ac ad
(
2
2
2
2
2
b + c + d + - - - 0 ) � a b c = ab ac ad d 4 0
2
2
+ 2 - - - � a = a a 4 4 + 2 c 4 + ad 4 + d 4 0
)
) 2 + c 2
=
=
=
=
�
a
d
a
= = = = c
d
b
b 2
c 2
2
0
0
ấ
ả D u “=” s y ra khi :
- - - a ( + ab ) 2 + b 4 ( + ac ( � a a a = a b 2 + d 2 0
BÀI T P V NHÀ:
2
2
2
2
2
)
( a b c d e
ố
ỏ
Bài 1: Tìm các s a, b, c, d, e th a mãn :
2
+ + + + = + + + b c d e 2a
ỏ
ố
Bài 2: Tìm các s a, b, c, th a mãn :
2
2
+ a b + + ab a b + = 2 1
ỏ
ố Bài 3: Tìm các s a, b, th a mãn :
2
2
2
+ + - a ab + a 4 b 4 4 4 + = b 4 4 0
ỏ
ố Bài 4: Tìm các s x, y, z th a mãn :
2
+ + = - - x y z x + y z 4 2 8 6 14
25 p
ỏ
ố Bài 5: Tìm các s m, p, th a mãn :
+ = - m mp + m + p 4 10 22 25
IV Các chú ý khi gi
i bài toán c c tr :
ể ổ
ự
ị
ế 1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán c c tr ta có th đ i bi n
ủ
ụ
Ví d : Tìm GTNN c a ( x – 1)
2 + ( x – 3)2
ứ
ể
ặ
ở
ta đ t x – 2 = y, bi u th c tr thành (y + 1)
2 + (y – 1)2 =2y2 +2 (cid:0) 2 (cid:0) minA= 2 (cid:0) y=0 (cid:0) x=2
ể ể
ị ủ
ứ
ứ
ự
ể
ề
ệ
ạ
ề 2 Chú ý 2, Khi tìm c c tr c a bi u th c , nhi u khi ta thay đi u ki n đ bi u th c này đ t
ị ở
ệ ươ
ề
ươ
ạ ự
ứ
ể
ự c c tr b i đi u ki n t
ng đ
ị ng là bi u th c khác đ t c c tr
ẳ
ch ng h n
ấ (cid:0) ạ : A l n nh t ớ
ấ ỏ A nh nh t
ớ
ấ ớ
ỏ
ấ (cid:0) l n nh t
B nh nh t v i B > 0
4
1 B
ụ
ủ
ấ
ớ
ấ
ỏ
Ví d : Tìm GTLN c a
(Chú ý A> 0 nên A l n nh t khi
nh nh t và
2
ng
ượ ạ c l
i)
2
2
4
2
2
= A + + x 2 x 1 1) ( 1 A
Ta có :
=
1
4
+ + x ( 1 (cid:0) = = + 1 x 2 + 4 1 A 1 A x x x 2 4 x + 1) + 1 1 x + .V y ậ 1
min
= 1 khi x = 0 .Do đó maxA =1 khi x = 0
ứ
ủ
ể
ườ
ườ
ử ụ
i ta th
ng s d ng các BĐT đã
3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN c a 1 bi u th c ,ng
bi
tế
ứ
ấ
ấ
B t đăng th c có tính ch t sau
ớ
a ) a > b , c > d v i a, b, c, d > 0 thì a.c > b. d
b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c
c) a > b và c < 0 thì a.c < b.c
d) a > b và a, b, n > 0 thì an > bn
1 A
ấ ẳ
ứ B t đ ng th c Cô si: a + b
2 ab ; a2 + b2 (cid:0)
2ab ; (a + b)2 (cid:0)
4ab ; 2( a2 + b2) (cid:0)
( a+ b)2
ấ ẳ
ứ
ố
B t đ ng th c Bu nha c p –xki : (a
2 + b2) ( c2 + d2) (cid:0)
(ac + bd)2
ủ
Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN c a A = 2x + 3y
ụ
2 (cid:0) ( 22+32 ).52 (cid:0)
( 2x + 3y )2 (cid:0)
13.13.4
Gi
iả :Áp d ng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )
(cid:0)
ậ
(cid:0)
2x + 3y (cid:0)
26. V y maxA = 26
ượ
Thay y =
vào x2 + y2 = 52 ta đ
c 4x
2 + 9x2 = 52.4 (cid:0)
x2 = 16 (cid:0)
ặ x=4 ho c x= 4
= (cid:0) x y 2 (cid:0) (cid:0) + (cid:0) (cid:0) x 3 y 2 3 0
x 3 2
ả
ớ
ả
V i x = 4 thì y =6 tho mãn 2x +3y
0 x = 4 ,y = 6 không tho mãn 2x +3y
0
(cid:0) (cid:0)
ậ
V y Max A = 26
x =4 , y = 6
ứ ầ
ấ ẳ
ề
ệ
ế
3/ Trong các b t đ ng th c c n chú ý đ n các m nh đ sau
ế
ấ
ằ
ố
ổ
ổ
ố
ớ
ủ N u 2 s có t ng không đ i thì tích c a chúng l n nh t khi 2 s đó b ng nhau
ố ươ
ế
ủ
ấ
ổ
ỏ
ổ
ố
N u 2 s d
ng có tích không đ i thì t ng c a chúng nh nh t khi 2 s đó bang nhau
N(cid:0)
ủ
ế
ả
t x,y
tho mãn x + y = 2005
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN c a tích xy, bi
Gi
iả : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 (x – y)2
ỏ
ấ (cid:0) ớ xy l n nh t
x – y nh nh t
ấ ; xy nhó nh t ấ (cid:0)
ấ ớ x – y l n nh t
ả ử
ể ả
gi
s x > y ( không th x y ra x = y)
Do 1 (cid:0)
y (cid:0)
x (cid:0)
2004 nên 1 (cid:0)
xy (cid:0)
2003
(cid:0)
Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002
max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1
Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002
Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1
==================================================================
ả
ố Ngày gi ng: / / 2011 Sĩ s :
Ộ Ố
Ầ
ƯỜ
Ặ
Ả
Ự
M T S SAI L M TH
NG G P KHI GI
Ị I BÀI TOÁN C C TR
1, Sai l m khi s d ng nhi u b t đ ng th c khac nhau
ố ươ
ủ
ứ
ể
ỏ
VD1: cho x, y là các s d
ng th a mãn x +y =1 . Tìm GTNN c a bi u th c :
+ A = 4 y 1 x
+ (cid:0)
ấ ẳ
ụ
ứ
ố
Áp d ng b t đ ng th c cô si cho hai s không âm
ta có:
(1)
Gi
i sai:
4 y 1 x 4 xy 1 4 , x y
ạ
L i có:
(2 )
+ x y = (cid:0) xy 1 2 2
ừ
ậ
T (1) và (2) suy ra :
. V y Min A = 8
Phân tích sai l mầ :
+ = (cid:0) (cid:0) A = 8 4 y 1 x 4 xy 4 1 2
ứ ả
ẳ
ở
Đ ng th c s y ra
(1) khi
ứ ả
ẳ
ở
ừ
ạ
Đ ng th c s y ra
(2) khi x = y . T đó suy ra x = y = 0 ( Lo i vì x + y = 1)
ế
ạ
ấ
ỏ
ị
Có b n đ n đây KL không có giá tr nh nh t cũng là KL sai.
= y =� x 4 4 y 1 x
( A = x+y
+ = + 5
: Vì x + y = 1 nên
Gi
i đúng
x 4 y y x � �+ ) 1 4 � � y x � �
ấ ẳ
ứ
ụ
ố
Áp d ng b t đ ng th c Cô Si cho hai s không âm
Ta có :
+ = (cid:0) 2 4 x y 4 , x y x 4 y y x x y 4 . x y
ấ
ẩ D u “=” x y ra khi
(cid:0) (cid:0) = (cid:0) = = (cid:0) � � (cid:0) y � x x 2 + = y 1 x � � � = y (cid:0) y x 4 � y x � � + = y x 1 (cid:0) (cid:0) 1 3 2 3
ng gi
i c a bài toán
m i đúng. 2, Sai l m khi không s d ng h t đi u ki n c a bài toán:
2
ố ươ
ủ
ỏ
VD2:cho x, y là các s d
ng th a mãn x+y= 1. Tìm GTNN c a BT :
2 � � 1 1 � �+ +� � y � � y x � � � �
A = x+
(cid:0) x,
ấ ẳ
ụ
ứ
ố
: Áp d ng b t đ ng th c cô si cho hai s không âm
Ta có:
Gi
i sai
2 x. 2 x+ = (1) 1 x 1 x 1 x
ấ ẳ
ụ
ứ
ố
Áp d ng b t đ ng th c cô si cho hai s không âm
Ta có:
(cid:0) y, y+ 2 y. 2 = (2) 1 y 1 y 1 y
ừ
T (1) và (2) =>A
8 => Min A = 8
2
(cid:0)
ứ ả
ẳ
ở
(1) khi
Phân tích sai l mầ : Đ ng th c s y ra
2
= =� x x 1 1 x
ứ ả
ẳ
ở
ừ
ạ
Đ ng th c s y ra
(2) khi
. T đó suy ra x = y = 1 ( Lo i vì x + y = 1)
= =� y y 1 1 y
ấ ẳ
ố ươ
ứ
ụ
: Áp d ng b t đ ng th c cô si cho hai s d
ng ta có :
Gi
i đúng
2
2
2
(cid:0) (cid:0) � xy xy xy 1 4 x + y 2 1 2
Ta có :
. Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy (cid:0)
1
=
(1)
2 � � 1 1 � �+ + � � � � y x � � � �
A = 4 + x +y 1 2 1 2
ừ
(2). T (1) và (2) =>A
8 +
+4 =
=>Min A =
khi x=y =
2
+ = (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 8 2 xy 1 2 x 1 2 y 1 2 x .y 1 2 25 2 25 2 1 2
L u ý: Khi gi
i bài toán mà không s d ng h t đi u ki n c a đ u bài thì c n ki m tra
ủ
VD1: Tìm GTLN c a bt:
2
A = - x 1 + x 6 17
(
2 6
) 2 + (cid:0) 3
ả
ạ
ạ
2 6
ờ L i gi
i sai
: A đ t Max khi
đ t Min Ta có :
- - - x + x x = 17 8 8 x + x 17
) =
2 6
ậ
Do đó Min (
. V y Max A =
- x + x =� x 17 8 3 3x =� 1 8
ư
ế
ậ
ậ
ở ỗ
ử
ổ
ả Phân tích sai l mầ : K t qu đúng nh ng l p lu n sai
ằ ch cho r ng “ A có t
không đ i
ư
ẫ
ạ
ạ
ậ
ử
ố ươ
ẫ
nên đ t GTLN khi m u đ t GTNN” mà ch a đua ra nh n xét t
và m u là các s d
ng
(
2 6
) 2 + (cid:0) 3
ả
ậ
ổ
ử
ờ L i gi
i đúng
: B xung thêm nh n xét
nên t
ẫ ủ và m u c a A là
d
ngươ
ả
ế
VD2:Tìm GTNN cu BT: A = x
2 + y2 bi
t x + y =4
2
2
- - x + x x = 17 8 8
ạ
Ta có : A = x2 + y2 (cid:0) 2xy => A đ t GTNN
Khi đó MinA = 8
(cid:0) + = x xy 2 (cid:0) � � x = = y 2 (cid:0) y + = y x 4
ầ ở ỗ
ư
ậ
ố
ớ
ượ
Phân tích sai l mầ : Đáp s ko sai nh ng l p luân sai l m
ch ta m i c/m đ
c f(x,y)
ượ
ắ
ớ
ứ ư g(x,y) ch ch a c/m đ
c f(x,y)
(cid:0)
ẳ
ạ
ỏ
ấ (cid:0) 4x – 4 => x2 đ t nh nh t
x2 = 4x – 4 (cid:0)
x =2
ế
ễ ấ
ế
ả
ừ 2 (cid:0) ạ Ch ng h n: T x 2 = 4 (cid:0)
Đi đ n min x
ả x = 2 D th y k t qu đúng ph i là Min x
(x – 2 )2 = 0 (cid:0) 2 = 0 (cid:0)
x =0
(
) 2
ả
ờ L i gi
i đúng
: Ta có x + y =4 (cid:0)
(cid:0) m v i m là h ng s . ố
2
(
) 2 x y
x + y =16 (1)
2 x 2xy+y
ạ
Ta l
i có :
(2)
(cid:0) � 0 0
ừ
T (1) và (2) => 2( x
2 + y2 ) 16
=> A = x2 + y2 8(cid:0)
ậ
ỉ
V y Min A = 8 khi và ch khi x = y = 2.
(cid:0)
L u ý: C n n m v ng t/c c a BĐT c th trong tr
và m u là s t
nhiên, s nguyên … Có nh v y thì h
ng gi
i c a bài toán
ủ
VD1: Tìm GTNN c a bt: A = x +
2
x
)
ả
ậ
ờ L i gi
i sai
: x + x = (
. V y: Min A =
2 � � �
- - - (cid:0) - x +2 x x 1 4 1 2 1 + - = 4 1 4 1 2 1 4 1 4 � � �
ư
ỉ
ườ
ợ
P/tích sai l m: ầ
sau khi c/m f(x) (cid:0)
ch a ch ra tr
ả ng h p x y ra f(x)=
(vô
lí )
(cid:0) - - x = - 1 4 1 4 1 2
x =�
0x (cid:0)
0(cid:0)
0
ả
ờ L i gi
i đúng:
ĐKTT x là
=> Min A = 0
do đó : A = x + x ) ) (
) (
( A = xyx z+y y+z
ớ
VD2: Tìm GTLN c a ủ
ố z+x v i x, y , z là các s không âm và x +y+ z =1
2
2
= (cid:0) x+y+z 1
(
) 2
ả
ụ
ờ L i gi
i sai
: Áp d ng BĐT
ta có :
2
+ = (cid:0) (cid:0) x y 4xy x+y+z 1
) ) )
( ( (
) ) )
( 4x z+y ( 4y z+x ( 4z x+y
= (cid:0) x+y+z 1
(
) (
) (
)
) (
) (
)
( 1 =>xyx z+y y+z
ậ
=>
. V y Max A =
ầ ở ỗ ư
ả
ấ
Phân tích sai l m: ầ
Sai l m
ả ch ch a chi ra kh năng x y ra d u “=”
(cid:0) (cid:0) 64xyx z+y y+z z+x z+x 1 64 1 64
(cid:0) z+y = x (cid:0) = = = (cid:0) z y (cid:0)
ể
ĐK đ Max A =
là :
( vô lí )
3
0 x + z + y = 1 y+x = z x+z = y 1 64 x �(cid:0) � � � � � (cid:0) (cid:0) x + z + y = 1 x, y, z 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x, y, z 0
ả
ờ L i gi
i đúng
: Ta có :
(1)
3
(cid:0) 1 = x +y+ z 3 x.y.z
)
(
)
(
)
) (
) (
(
(
)
(2)
3
(cid:0) 2 = x +y + z+x + y+ z 3 x +y z+x y+ z
) (
(
)
) ( x y z . . . x +y z+x y+ z
ừ
3 3 A
T (1) và (2) =>
hay:
3 2 � � � � 9 � �
(cid:0) => (cid:0) (cid:0) 2 3 2 A
(
(
)
)
( ) x +y = z+x = y+ z + + =
Max A =
khi
3 2 � � � � 9 � �
+
+
=
A
ấ ủ
ỏ
ố ươ
ằ
ớ
v i x > 0, a, b là các h ng s d
ng.
ị VD3: Tìm giá tr nh nh t c a :
(x a)(x b) x
(cid:0) (cid:0) = = = (cid:0) � x z y x y z 1 1 3 (cid:0) (cid:0) x y z , , 0 (cid:0)
(
)
) ( x a x b
ả
ờ L i gi
i sai:
Ta có:
+
+
=
=
(cid:0) (cid:0) 2 ax + + = (cid:0) � � x 2 ax.2 bx 4 ab (cid:0) (cid:0) + (cid:0) x a + (cid:0) x b 2 bx
ậ
Do đó:
v y Min A =
�
A
4 ab
4 ab
x
= = a
b
(x a)(x b) x
4x ab x
(cid:0)
Phân tích sai l m: ầ N u ế a
thì không có: A = 4 ab
b(cid:0)
+
+
+ 2 (x a)(x b) x
ax+bx+ab
=
=
=
+
A
+ (a b)
ả
ờ L i gi
i đúng
.
: Ta có
x
ab x
x
� x � �
� + � �
+
(cid:0)
x
2 ab
a
b+
ấ ẳ
ứ
Theo b t đ ng th c Cauchy :
nên A ≥ 2 ab + a + b = (
ab x
=
x
=� x
ab
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
a
b+
ab x > x 0
ả
ố Ngày gi ng: / / 2011 Sĩ s :
min A = ( khi và chi khi . (cid:0) (cid:0)
ẫ
ỏ
ủ
Tìm GTNN c a bt:
VD1: Cho x > 0, y > 0 th a m n đk
+ = y+ A = x 1 x 1 y 1 2
ố
ấ ẳ
ứ
ụ
Do x > 0, y > 0 nên
> 0, 0 > áp d ng b t đ ng th c côsi cho 2 s 1 x 1 1 , x y 1 y
ta có:
Hay
=>
(cid:0) (cid:0) xy (cid:0) 4 1 4 1 xy 1 1 . x y � �+ 1 1 1 � � 2 x y � �
ặ
ấ ẳ
ụ
ứ
M t khác ta có: x > 0, y > 0 =>
. áp d ng b t đ ng th c côsi ta có:
(cid:0) (cid:0) x y 0, 0
+ = (cid:0) (cid:0) x y xy 2 2 4 4
ậ
V y: Min A = 4 khi :
2
=
+ + 2
ủ ủ
ể
ứ :
VD2 : Tìm GTNN c a c a bi u th c
A
x
- + + x 1
x 1
x
2
= (cid:0) x y (cid:0) (cid:0) � x = = y 4 + = (cid:0) (cid:0) 1 x 1 y 1 2
x
- + = x 1
x
R
x
Ta có:
3 4
3 4
2 1 � � + (cid:0) � � 2 � �
2
- " (cid:0)
x
+ + = x 1
x
R
x
3 + (cid:0) 4
3 4
2 1 � � + � � 2 � �
2
- +
+ + 2
ụ
ố Áp d ng BĐT Cô si cho 2 s
ta có :
x
x 1, x
x 1
2
2
+ + (cid:0) 2
- + 2
x
- + + x 1
x 1 2
x
x 1. x
+ + = x 1
x
+ 4 4 2 x
+ (cid:0) 2 x
1 2
" (cid:0)
4
2
+
+ =
x
x
1 1
=� x
0
Max A = 2 khi
2
+ + 2
x
- + = x 1
x 1
x
=
A
ấ ủ
ỏ
+ + v i x, y, z > 0. ớ
ị VD3 Tìm giá tr nh nh t c a :
x y
y z
z x
=
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3
A
3
.
.
3
ấ ẳ
ố ươ
ụ
ứ
Cách 1 : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 3 s d
ng:
x y
y + + z
z x
x y z y z x
=
=
�
�
min
3
x
= = y
z
Do đó
y + + z
z x
x y
y z
z x
� x � y �
� = � �
+
(cid:0)
=
2
Cách 2 : Ta có :
. Ta đã có
(do x, y > 0) nên đ ể
x y
y x
x y
y + + z
z x
x y
z + - x
y x
� � �
� � � y y + + � � � x z � � �
(cid:0)
3
1
ứ
ỉ ầ
ứ
ch ng minh
ta ch c n ch ng minh :
(1)
x y
y + + z
z x
y z
z + - x
y x
ế ớ ố ươ
(1) (cid:0)
xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai v v i s d
ng xz)
(cid:0) (cid:0)
xy + z2 – yz – xz ≥ 0 (cid:0)
y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 (cid:0)
(x – z)(y – z) ≥ 0 (2)
ớ
ả
ế ằ
ừ
ấ
ố
ỏ
(2) đúng v i gi
thi
ố t r ng z là s nh nh t trong 3 s x, y, z, do đó (1) đúng. T đó tìm
ượ
ấ ủ
ị
đ
ỏ c giá tr nh nh t c a
x y
y z + + . z x
ấ ủ
ị ớ
ớ
VD 4: Tìm giá tr l n nh t c a : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) v i x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.
ụ
ố
Áp d ng BĐT Cauchy cho ba s không âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3.
3 xyz (1)
ụ
ố
Áp d ng BĐT Cauchy cho ba s không âm x+y, y +z, z + x ta có :
+
+
+
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (x y)(y z)(z x)
(2)
ế ề
ế ủ
ừ
ớ
Nhân t ng v c a (1) v i (2) (do hai v đ u không âm) : 2 ≥ 9.
A ≤
3 A (cid:0)
3 2 � � � � 9 � �
ỉ
max A =
khi và ch khi x = y = z =
.
1 3
3 2 � � � � 9 � �
=
+
+
A
ớ
v i x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
VD 5: Tìm GTNN c a ủ
xy z
yz x
zx y
(cid:0)
+
=
ấ ẳ
ứ
2
2y
.
Gi
iả : Theo b t đ ng th c Cauchy :
xy z
yz x
xy yz . x z
+
+
(cid:0)
2x
2z ;
ươ
ự
. Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.
T
ng t
:
yz x
zx y
xy z
ớ min A = 1 v i x = y = z =
.
zx y 1 3
=
+
+
A
4xy
ớ
v i : x > 0, y > 0, x + y < 1
VD 6: Tìm GTNN c a ủ
2
2
1 +
x
2 xy
(cid:0) (cid:0)
2
(
)
y )
+ (cid:0) x y +
(
)
Ta có:
+
=
+
+
=
+
4xy
4xy
A
Ta có:
2
2
2
2
1 +
2 xy
1 2xy
y
1 4xy
5 4xy
x
y
� + � �
4
+
+
=
=
x y xy � 4 (cid:0) (cid:0) 2 + = + (cid:0) � � x y xy � 2 .2 4 4 + 1 x 1 xy 1 x 1 y y � x (cid:0) � � 1 + � � y � � + (cid:0) 2 (cid:0) 1 x 1 y 1 xy (cid:0)
2 4xy.
+ + 2
11
A
2
2
2
2
2
2
=>
+
(
)
(
)
(
)
(
)
� 1 � +� x 1 4xy
x
+ 2xy y
5 + x y
� � + � � � � 4 + x y
5 + x y
11 + x y
2
(cid:0) (cid:0)
, Tìm GTLN c a ủ
VD 7: : Cho
- + x (cid:0) A = 2x x+ 5 2 + 2 x+3 2x 1 2
2
(
) ( + 2x 1
) 2 + 2 x+3 2x
V i ớ
ta có:
Gi
iả : Ta có :
(cid:0) - + + + (cid:0) x (cid:0) x x A = 2x 5 2 + 2 x+3 2x = (cid:0) + (cid:0) 2x 1 0 + > x 2 0 1 2
(
)
) ( 2x 1 x+2
ấ ẳ
ụ
ứ
áp d ng b t đ ng th c Cosi cho 2 s
Ta có:
+ (cid:0) + ố 2x 1, x+2 + + 2x 1 x+2 2
(
)
) ( 2x 1 x+2
ấ
ả
Hay :
D u “ = ” x y ra khi
+ (cid:0) (cid:0) + = 2x 1 x+2 x=1 + 3x 3 2
(
)
ấ ẳ
ụ
ứ
áp d ng b t đ ng th c Cosi cho 2 s
Ta có:
+ = + (cid:0) x x 4 3 2 3 + ố x 3, 4 + + x 3 4 2
ấ
ả
Hay :
D u “ = ” x y ra khi
(cid:0) x 2 + = (cid:0) x 3 4 x=1 + . 3 + x 7 2
ấ
ả
Do đó:
2x = 5. D u “ = ” x y ra khi
(cid:0) A x=1 + x 7 2 + + 3x 3 2
VD 8: : Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN c a: ủ
S = 1 x 4 + + y 9 z
Ta có: S = (
+ + + x + y + z 1+4+9+ 9 z x 4 y y 9 z z x � � � � ) 1 4 + +� x y � � = � � � y � x � � � z 4 + � � y � � � � x 9 + � � z � �
ấ ẳ
ố ươ
ụ
ứ
áp d ng b t đ ng th c Cosi cho 2 s d
ng
ta có :
+ = (cid:0) , 2 . 4 y x x 4 y y x x 4 y y x x 4 y
ươ
ự
T
ng t
ta có :
;
S (cid:0)
1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36
+ = (cid:0) = 2 . 12 2 6 z 4 y y 9 z z 4 y y 9 z x 9 z z + (cid:0) x x z 9 . x z
2
2
2
2
ấ
ả D u “=” s y ra khi :
2
(cid:0) = (cid:0) (cid:0) = y (cid:0) = (cid:0) (cid:0) y x = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x = 4 = z 9 = = � � � y 2 = 2 x + + = y � z � � x 3 y z (cid:0) 1 = x z + + = = (cid:0) y z 4 � � 9 � � x 1 � x � � � z �(cid:0) 1 3 1 6 1 2 (cid:0) (cid:0) x y 4 y x y z 4 9 � z y � � z x 9 � z x � + + = x y z 1
ậ
V y Min S = 36 khi
= = = y x z , , 1 3 1 6 1 2
Không ph i lúc nào ta cũng dùng tr c ti p đ
có thê vân d ng BĐT Côsi r i tìm c c tr c a nó:
ng bi u
th c đóứ
ị ớ
ấ ủ A
, ĐKXĐ :
VD1 : Tìm giá tr l n nh t c a
- (cid:0) (cid:0) x 3 = - (cid:0) (cid:0)� x x x 3 - + 5 7 3 - (cid:0) (cid:0) 5 0 x 7 3 0 5 3 7 3
(
)
) ( 5 7 3
ươ
Bình ph
ế ng hai v ta có : A
2 = 2 +
- - x x 2 3
(
)
)
ấ ẳ
ụ
ứ
V i ớ
. áp d ng b t đ ng th c côsi cho
và (
ta có:
- (cid:0) 5x - 3 7 3x x(cid:0) 5 3 7 3
(
(
)
(
)
(
)
) + 5
) ( 5 7 3
) ( 5 7 3
hay
ấ
ả
A2 (cid:0)
4 =>A (cid:0)
2 D u “=” x y ra khi : 3x 5 = 7 3x hay x = 2
2
- - (cid:0) - - (cid:0) - - x x x x x x 3 7 3 3 2 2 2 3
ủ
ứ
ể
(*)
VD2: Tìm GTNN c a bi u th c:
+ x + + 2 x A = x 2 + - 8 x 2
2
ĐKXĐ :
2
) 4 )
) ( 2 ) ( 1
2
(cid:0) + - (cid:0) (cid:0) + (cid:0) + - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 0 x 8 0 2 4 - � � x � � � 1 2 �- (cid:0) (cid:0) + - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 2 (cid:0) x 2 0 (cid:0) x 2 + + (cid:0) x x � � x (cid:0)
( x � � ( x ) = + > x
Khi đó
2
2
2
+ 2 0 ( x + + 2 x x 2 + - 8 x 2 6 0
(
)
+ + 2 -
=> A > 0 (
ừ
T (*) =>
2
x + + x + x + + 2 x A = x 2 + + 8 x x 2 2 2 8. x 2
(
)
) ( + x
) ( 2 4
) ( 1 2
+ + - - - x + x x x = 2x 3 10 2
) (
(
(
) (
(
)
) + - x
( = 2
) + 2
) ( 1 4
) + 2 .
) ( 1 4
2
2
2
- - - - x + x + x + x x x x 2 2 2
(
(
)
(
)
+ - - - - -
) ( + x
) + 2 .
) ( + 1 4
) ( + 1 4
2
x x x x x x = 4 2 2 2
= - - -
( + x
) + (cid:0) x
) ( 1 4
x 4 2 2
(
)
) ( 1 4
A = 2
= 2 - - � x + x x = � x 4 0
ộ ố
ề
BÀI T P T LUY N
ủ
ố
Bài 1 Tìm GTNN, GTLN c a hàm s :
= y - + x x 1 + 1
ủ
ố
Bài 2: Tìm GTLN c a hàm s :
= - y x x - + 2 4
ủ
ố A
Bài 3: Tìm GTLN c a hàm s :
= - x x - + 5 23
ủ
ố A
Bài 4: Tìm GTLN c a hàm s :
= - x x 2 - + 3 23 2
ủ
ố A
Bài 5: Tìm GTLN c a hàm s :
= - x x 5 - + 7 17 5
ủ
ố A
Bài 6: Tìm GTLN c a hàm s :
=
= - x x 3 - + 2 20 3
ế
A
- + x 1
y 2
Bài 7:Tìm GTLN c a : ủ
bi
t x + y = 4
2
-
Bài 8 Tìm GTNN c a : ủ
+ + + 2 - x + x A = x 4 21 x 3 10
ớ
ươ
Bài 9( 76/29) Tìm GTNN c a : ủ
v i x, y, z d
ng và x + y + z
12
=
+ + (cid:0) A = x y y z z x
ế
A
- + x 4
y 3
Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN c a : ủ
bi
t x + y = 15
-
Bi n pháp 2: nhân và chia m t bi u th c v i cùng m t s khác không.
ấ ủ
ị ớ
ứ
ể
VD Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
A = x 9 5x
9x (cid:0)
ả
Gi
i: ĐKXĐ:
Ta có:
=
3 .3 A = 1 x 9 �+� � � 2 � � = = (cid:0) x 9 5x x x 9 3 5x 3 5 x 6 x 5 1 30
ấ
ả D u “=” x y ra khi
(cid:0) = (cid:0) 3 (cid:0) =� x 18 x 9 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 9
BÀI T P T LUY N
ấ ủ
ị ớ
ứ
ể
Bài 1: Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
ấ ủ
ị ớ
ứ
ể
A = 7x 5 7x9
Bài 2: Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
3 x 9 3 27x
B =
1) Tách 1 h ng t
thành t ng nhi u h ng t
b ng nhau
4
ứ
ủ
ể
VD1: cho x > 0 Tìm GTNN c a bi u th c:
3
4
+ 3x 16 A = x
Gi
iả : Ta có
3
4
+ 3x 16 = + = + + + x x x A = 3x x 16 3 x 16 3 x
ụ
Áp d ng BĐT Côsi Ta có :
= (cid:0) A = x+x+x+ 4 x x x . . . = 4.2 8 16 3 x 16 3 x
ậ
V y Min A = 8
2
ề
ộ
) Tìm Max và Min
= = � � x x 2 16 3 x
A = x y( 4 x y ) v iớ
VD2: ( đ thi ĐHTH Hà N i 1993 x y (cid:0) ,
(cid:0) 0 và x + y 6
Xét 0
Ta có :
4 � � � � �
+ +y+ 4 x y x 2 (cid:0) = + (cid:0) y x 4 A = 4. .y( 4 x y ) 4 4 x x � . � 2 2 � x � � �(cid:0) 2 4. � � � � �
ấ
ẩ D u “=” x y ra khi
(cid:0) = y = 4 x y y = 1 ; x =2 x 2
Xét 4
(cid:0) + (cid:0) y x 6
ễ ấ
ấ
R th y: 4 – x y
ả ( 1) D u ‘=’ x y ra khi x + y = 6
2
ạ
ạ
=>
(cid:0) - 2
2y đ tGTLN
)
Ta có :
=32 hay x2y (cid:0)
32 (2)
( 2 x+y 3
2
A = x y( 4 x y ) đ t GTNN khi x
3 � � �
� � � � 3 � � � � � (cid:0) (cid:0) x y = x.x.2y 2 x+x+2y 3 2 2
2x y( 4 x y ) (cid:0)
ừ
ấ
ả
T (1) và (2) =>
64 D u ‘=’ x y ra khi
ủ
ế
VD3 . Tìm GTLN c a A = x
2(3 – x) bi
t x ≤ 3.
ả
ế
ướ ạ
ấ ẳ
ụ
Gi
i : Xét 0 ≤ x ≤ 3. Vi
t A d
i d ng : A = 4.
ứ .(3 – x). Áp d ng b t đ ng th c
.
x 2
x 2
+ + -
3 x
x x 2 2
=
ố
ượ
.
. 1
Cauchy cho 3 s không âm
, (3 – x) ta đ
c :
.(3 – x) ≤
,
x 2
x 2
x 2
x 2
3
� � � � �
3 � � � � �
ộ ố
ề
= + = y 6 4 = = y 2 2 x � � x � x �(cid:0) � y �
Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y (cid:0)
6 Tìm GTNN c a ủ
+ y = P 5 + 3x 12 16 + y x
Bài 2( 70/28) Cho x > 0 , Tìm GTNN c a ủ
2
x = N + 3 2000 x
Bài 3( 68/ 28) Cho x (cid:0)
, Tìm GTNN c a ủ
+ + x 17 = Q x + 2 x 1) 2(
Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN c a ủ
2
2
+ + x 6 34 = M x + x 3
Bài 5( 72/ 29) Cho x > y và x.y =5 , Tìm GTNN c a ủ
2
3
+ + x y = Q - 1, 2 x xy y
ứ
ủ
ể
ỏ
Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y th a mãn bi u th c: x + y =1 và x > 0 , Tìm GTLN c a
==================================================================
ả
ố Ngày gi ng: / / 2011 Sĩ s :
= B x y
2) Tách 1 h ng t
ch a bi n thành t ng c a m t h ng s v i 1 h ng t
ch a
bi n sao cho h ng t
này là ngh ch đ o c a 1 h ng t
khác có trong bi u th c
đã cho.
VD1: Cho 0 < x < 2 , Tìm GTNN c a ủ
x = + B - x 2 x 9 2
Ta có :
- - x x 2 2 = + + (cid:0) + = B 1 1 2 . 7 - - x x x x x x 9 2 9 2
Min B= 7 (cid:0)
- x x 2 = =� x - x x 9 2 1 2
ộ ố
ế
ề
BÀI T P T LUY N
Bài 1( 74/ 29) Cho 0 < x <1, Tìm GTLN c a ủ
= + B - 4 x 3 1 x
Bài 2( 73/ 29) Cho x >1, Tìm GTLN c a ủ
+ x = A 4 25 + x 1
22x
ứ
ủ
ể
Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN c a bi u th c:
ủ
ứ
ể
- + x 5 A = 6 2x
Bài 4: Tìm GTNN c a bi u th c:
B = x 4 x
2x
ứ
ủ
ể
Bài 5: Tìm GTNN c a bi u th c:
ồ ưỡ
ạ ố
Ầ
Ị
(B i d
ng HSG toán đ i s 9 TR N TH VÂN ANH
)
- + x 4 A = 3 x
ứ
ủ
ể
ớ
Bài 6: Tìm GTNN c a bi u th c:
( v i x > 1 )
A = 1 x+1 x+ 3 2
ủ
ứ
ể
Bài 7: Tìm GTNN c a bi u th c:
B = x+ ( v i x > 1 ) ớ 2 x1 2
ứ
ủ
ể
)
Bài 8: Tìm GTNN c a bi u th c:
5 C = x+ ( v i x > ớ 1 2 2x1 3
ủ
ứ
ể
ớ
Bài 9: Tìm GTNN c a bi u th c:
D = + ( v i 0 < x < 1 ) 5 x x 1 x
Bi n pháp 4: Thêm 1 h ng t
vào bi u th c đã cho:
ố ươ
ủ
ứ
ệ
ề
ể
ỏ
VD1 : Cho 3 s d
ng x, y, z th a mãn đi u ki n x + y + z = 2 Tìm GTNN c a bi u th c:
2
2
2
2
= + + P x + y + z + y z z x y x
Ta có :
2x z+ +
2
+ y y z = = x . 2. (cid:0) 2 x + y z+ 4 y z x 2 4
2
2y z+ +
2
+ x x z (cid:0) = = y . 2. y + z+ 4 x x z y 2 4
2z x+ +
2
2
2
+ y y x = = z . 2. (cid:0) 2 z + y x+ 4 y x 4 z 2
=>
2
2
2
+ + z x z y x + + + + (cid:0) + + y x z x + y + z + z z x y x 4 4 � � y � � + y + � 4 �
Hay:
2
2
2
z + + (cid:0) + + y x z x + y + z + z z x y x y 2 � � y � � + + x + � �
=>
2
x z x = + + z = (cid:0) (cid:0) + + - z y x P 1 x + y + z + y z z x y x + + y 2 + + y 2
2
ậ
V y Min P = 1
2
2
2
2
(cid:0) + y z = (cid:0) x + y z (cid:0) (cid:0) 4 + (cid:0) x z = = = = (cid:0) (cid:0) � x y z y + x z 2 3 (cid:0) (cid:0) 4 + y x = (cid:0) z + y x 4 (cid:0) (cid:0)
ầ ượ
ẫ
t thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào
ử ta v n kh
ế L u ýư : N u ta l n l
ượ
ư
ượ
ứ ả
ể ấ
ẳ
ấ
đ
c (x + y), ( z + y), ( x + z) nh ng không tìm đ
c x, y, z đ d u d u đ ng th c x y ra
ờ
ượ
ấ
ỏ
ị
ồ đ ng th i. Khi đó không tìm đ
c giá tr nh nh t.
+
ủ
ế
ỏ
ằ
t x, y > 0 th a mãn
= (a và b là h ng s 1 ố
VD2 : Tìm GTNN c a A = x + y bi
a x
b y
ươ
d
ng).
+
+
)
+ x y
= + a
b
.
Gi
iả . Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) =
ay x
bx y
� �+ a b ( � � x y � �
, , z y+x x y+z y z+x
+
=
2
2 ab
ấ ẳ
ố ươ
ứ
ớ
Theo b t đ ng th c Cauchy v i 2 s d
ng :
.
ay x
bx y
ay bx . y x
=
+
(cid:0)
(cid:0)
+ + A a b 2 ab
a
b
Do đó
.
=
bx y
ab
+
=
+
= (cid:0) 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
min A
a
b
v i ớ
x � � y
= + a = + b
ab
ay x a b � � y x > x, y 0
ấ ẳ
ứ
Cách 2 : Dùng b t đ ng th c Bunhiacôpxki :
2
=
+
+
=
+
=
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)
A (x y).1 (x y)
x.
y.
a
b
.
a x
a x
b y
� � � b + � � � y � � �
2 � � �
ừ
ượ
ấ ủ
ị
T đó tìm đ
ỏ c giá tr nh nh t c a A.
2
2
2
=
+
+
+
+
A
xy
yz
zx
t x, y, z > 0 ,
= . 1
VD3 Tìm GTNN c a ủ
x + x y
y + y z
z ế + bi z x
2
2
2
+
+
Ệ
ấ ẳ
ứ
. Theo b t đ ng th c Cauchy
Gi
iả Theo VD1 BI N PHÁP 4:
x + x y
y + y z
z + z x
+ + x y z 2
+
+
(cid:0)
+ + (cid:0) zx nên x y z
xy
yz
zx
xy ;
yz ;
.
+ x y 2
+ y z 2
+ z x 2
+
+
xy
zx
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
hay
x+y+z 2
yz 2
1 2
= = =
�
y
z
x
min A =
.
1 2
1 3
(cid:0)
+ (cid:0) A B A+B
Đ TÌM C C TR
2
2
ủ
ố
Bài 1: Tìm GTNN c a hàm s :
2
2
= + - y x x x + x 2 + + 1 2 1
Cách 1:
= + - y x x x + = + + - x x x 2 + + 1 1 1 2 1
ế
N u: x < 1 thì
= + + - = - - y x x x 1 1 - + = - x x 1 > 1 2 2
N u: ế 1
thì
(cid:0) (cid:0) y x x x x = + + - = + - + = 1 1 1 1 2 x 1
ế
N u: x > 1 thì
y x x x x = + + - = + + - = 1 1 1 > x 1 2 2
ấ ằ
ậ
ỏ
V y y nh nh t b ng 2 khi
(cid:0) (cid:0) 1 x 1
0(cid:0)
ụ
ấ
ả
)
Cách 2 : áp d ng BĐT
+ (cid:0) a b + ( D u “=” s y ra khi a.b a b
Ta có :
(cid:0) y x x = + + - 1 1 + + - = x x 1 1 2
ấ ằ
ậ
ỏ
V y y nh nh t b ng 2 khi
ủ
2y
Bài 2: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 . Tìm GTLN c a A = x
2
2
(cid:0) (cid:0) 1 x 1
ế )
(
)
(
) 2
ừ Cách 1: T 2x + xy = 4 => xy = 4 2x Th vào A ta có : A = x(4 2x ) = 2 – (
- - - x + 2. 2 2 2 2 x 2 2 2 � = � � � x � �
=> Max A = 2 khi
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) 1 0 (cid:0) 2 + = 2 = (cid:0) (cid:0) = x � = y 2 (cid:0) x xy x � 2 4
ấ ẳ
ụ
ứ
ố
Cách 2: Ta có : A =
.2 . x xy . Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0. áp d ng b t đ ng th c Cosi cho 2 s 1 2
(
) 2
2 x y
2 x y
2x, xy ta có:
ố Thay s ta có :
=A
2 � � �
+ + x xy 2 x xy xy 2 (cid:0) 2 �۳۳ x xy x xy 2 . 2 . 2 4.2 +� x 2 � 2 �
ậ
V y Max A =2 khi
= = x xy 1 + = = x xy 4 2 2 � � 2 � x �(cid:0) � y �
BÀI T P T LUYÊN T
2
2
2
2
ủ
Bài 1: Tìm GTNN c a HS: a,
b,
2
2
2
2
= = + - - - y x x y x x x + x 4 + + x 1 4 4 + x 12 9 4 + + 4 6 9
ủ
Bài 2: Tìm GTNN c a HS: a,
b,
=
= + + + = - - - y x x x + x y x x 4 20 25 8 16 25 20 + + x 4 25 + x 30 9
ỏ
ị Bài 3 Tìm giá tr nh nh t c a
ấ ủ A
- + x 2 x 1
+ x 2 x 1
- -
![Quyển ghi Xác suất và Thống kê [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20251030/anh26012006/135x160/68811762164229.jpg)