1. M ĐUỞ Ầ
Lí do ch n đ tàiọ ề
Trong các đ thi Đi h c nh ng năm g n đây, ch đ h ph ng trình điề ạ ọ ữ ầ ủ ề ệ ươ ạ
s ngày càng đa d ng và khó h n. Đây là câu phân lo i h c sinh khá và gi i, vìố ạ ơ ạ ọ ỏ
th h c sinh đi trà, trung bình không dám h c , ôn và luy n ch đ này.ế ọ ạ ọ ệ ủ ề
Nguyên do là, ch đ h ph ng trình t ng đi đa d ng v i nhi u ph ngủ ề ệ ươ ươ ố ạ ớ ề ươ
pháp gi i, v i l c h c b n thân, các em không dám h c và ng i h c. H n n a,ả ớ ự ọ ả ọ ạ ọ ơ ữ
th i l ng phân ph i chính khóa cho “M t s ví d v h ph ng trình b cờ ượ ố ộ ố ụ ề ệ ươ ậ
hai hai n” trong Đi s 10 là ti t 38-39 (ghép v i ‘ Câu h i và bài t p ôn t pẩ ạ ố ế ớ ỏ ậ ậ
ch ng III’), có th nói là r t ít và m t đn hai ti t t ch n đ luy n t pươ ể ấ ộ ế ế ự ọ ể ệ ậ
thêm cũng v n còn làm các em b ng , s s t v i ch đ h ph ng trình.ẫ ỡ ỡ ợ ệ ớ ủ ề ệ ươ
Đ giúp các em t tin, ti p c n và nâng cao năng l c gi i toán ch đ hể ự ế ậ ự ả ủ ề ệ
ph ng trình, tôi đã nghiên c u và vi t sáng ki n kinh nghi m v i đ tàiươ ứ ế ế ệ ớ ề
“M t s kinh nghi m phát huy tính sáng t o cho h c sinh đi trà l p 10ộ ố ệ ạ ọ ạ ớ
nh n di n cách gi i, sáng t o h ph ng trình có y u t đng b c vàậ ệ ả ạ ệ ươ ế ố ồ ậ
phát tri n bài toán m i”.ể ớ
M c đích nghiên c uụ ứ
Giúp h c sinh nh n d ng, gi i đc các h ph ng trình có y u t đngọ ậ ạ ả ượ ệ ươ ế ố ồ
b c, sáng t o thêm ngu n bài t p thu c d ng này, khai thác và phát tri nậ ạ ồ ậ ộ ạ ể
thành d ng khác c a h ph ng trình. B c đu ti p c n đa d ng v i ch đạ ủ ệ ươ ướ ầ ế ậ ạ ớ ủ ề
h ph ng trình.ệ ươ
B i d ng cho h c sinh các kĩ năng c a toán h c, nâng cao năng l c tồ ưỡ ọ ủ ọ ự ư
duy, sáng t o c a b n thân trong h c toán nói chung và nâng cao kh năngạ ủ ả ọ ả
gi i bài toán h ph ng trình trong các đ thi Qu c gia nói riêng.ả ệ ươ ề ố
Đi t ng nghiên c uố ượ ứ
Các h ph ng trình có y u t đng b c (đng c p): có ph ng trìnhệ ươ ế ố ồ ậ ẳ ấ ươ
đng b c, h đng b c, h quy đc v đng b c. M t s h ph ng trìnhồ ậ ệ ồ ậ ệ ượ ề ồ ậ ộ ố ệ ươ
b c hai, h có ph ng trình b c cao, có căn th c áp d ng đc cách gi i c aậ ệ ươ ậ ứ ụ ượ ả ủ
h có y u t đng b c.ệ ế ố ồ ậ
Ph ng pháp nghiên c uươ ứ
Đ nghiên c u và vi t đ tài, tôi đã s d ng các ph ng pháp sau:ể ứ ế ề ử ụ ươ
- Ph ng pháp đi u tra kh o sát th c t và thu th p thông tin, đàm tho i,ươ ề ả ự ế ậ ạ
v n đáp ( nghiên c u phân ph i ch ng trình, l y ý ki n c a giáo viên và h cấ ứ ố ươ ấ ế ủ ọ
sinh thông qua trao đi tr c ti p).ổ ự ế
- Ph ng pháp nghiên c u xây d ng c s lí thuy t ( nghiên c u các lo iươ ứ ự ơ ở ế ứ ạ
tài li u s ph m, chuyên môn liên quan đn đ tài.)ệ ư ạ ế ề
1
- Ph ng pháp th ng kê và x lí s li u ( ti n hành th c hi n đ tài trênươ ố ử ố ệ ế ự ệ ề
m t s l p gi ng d y, phân tích và đánh giá k t qu đ tài qua vi c th ng kêộ ố ớ ả ạ ế ả ề ệ ố
và x lí s li u bài ki m tra).ử ố ệ ể
2. N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI MỘ Ế Ệ
2.1. C s lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m.ơ ở ậ ủ ế ệ
Toàn nghành giáo d c hi n nay đã và đang th c hi n nhi m v h c t pụ ệ ự ệ ệ ụ ọ ậ
và gi ng d y v i ph ng pháp d y h c tích c c l y ng i h c là trung tâm.ả ạ ớ ươ ạ ọ ự ấ ườ ọ
Các em h c sinh ti p thu tri th c, phát tri n b n thân tr thành ch th tíchọ ế ứ ể ả ở ủ ể
c c, sáng t o. Các em bi t v t qua khó khăn, s thi u t tin( s sai), h ngự ạ ế ượ ự ế ự ợ ứ
thú ti p c n tri th c, bi t d a trên ki n th c đã bi t, tìm hi u, khai thác, sángế ậ ứ ế ự ế ứ ế ể
t o tìm ra nh ng v n đ m i. Các em có kh năng t h c, t nghiên c u vàạ ữ ấ ề ớ ả ự ọ ự ứ
tìm ra ki n th c d a trên nh ng kĩ năng toán h c nh đc bi t hóa, t ng tế ứ ự ữ ọ ư ặ ệ ươ ự
hóa, khái quát hóa,..
2.2. Th c tr ng v n đ tr c khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m.ự ạ ấ ề ướ ụ ế ệ
Qua th c ti n h c t p và gi ng d y, b n thân tôi th y ch đ h ph ngự ễ ọ ậ ả ạ ả ấ ủ ề ệ ươ
trình có y u t đng b c t ng đi d ti p c n đi v i h c sinh đi trà l pế ố ồ ậ ươ ố ễ ế ậ ố ớ ọ ạ ớ
10, nh ng do ch quan các em th y d ng toán h ph ng trình đi s đaư ủ ấ ạ ệ ươ ạ ố
d ng, đ thi câu h ph ng trình t ng đi khó nên các em không có ý đnhạ ề ệ ươ ươ ố ị
ti p c n ch đ này và b qua luôn ch đ h ph ng trình có y u t đngế ậ ủ ề ỏ ủ ề ệ ươ ế ố ồ
b c. N u làm, các em cũng d ng l i nh ng bài toán đn gi n, áp d ng máyậ ế ừ ạ ở ữ ơ ả ụ
móc, ch a linh ho t, ch a sáng t o khi h c nên không th k t n i d ng toánư ạ ư ạ ọ ể ế ố ạ
h ph ng trình có y u t đng b c v i các d ng khác c a h ph ng trình.ệ ươ ế ố ồ ậ ớ ạ ủ ệ ươ
2.3. Các sáng ki n kinh nghi m ho c gi i pháp đã s d ng đ gi iế ệ ặ ả ử ụ ể ả
quy t v n đ.ế ấ ề
2.3.1. Gi i pháp t ch c th c hi n ả ổ ứ ự ệ
- B sung, h th ng các ki n th c c b n, liên quan mà h c sinh c n sổ ệ ố ế ứ ơ ả ọ ầ ử
d ng.ụ
- Yêu c u h c sinh nh n di n d ng toán thông qua ví d , phân tích hìnhầ ọ ậ ệ ạ ụ
thành ph ng pháp gi i.ươ ả
- Đa ra các bài toán m i đ h c sinh c ng c ki n th c và kĩ năng.ư ớ ể ọ ủ ố ế ứ
H c sinh phân tích, trình bày l i gi i. H ng d n các em hình thành, sáng t oọ ờ ả ướ ẫ ạ
bài toán t ng t . ươ ự
- Áp d ng kĩ năng đc bi t hóa, h ng d n các em sáng t o bài toánụ ặ ệ ướ ẫ ạ
m i.ớ
2
- Th c hi n nghiên c u và ng d ng vào th c ti n gi ng d y tôi chiaự ệ ứ ứ ụ ự ễ ả ạ
n i dung thành ộba ph n d y cho h c sinh vào ầ ạ ọ ba bu i, m i bu i ổ ỗ ổ ba ti tế.
2.3.2. Nh n di n h ph ng trình có y u t đng b c.ậ ệ ệ ươ ế ố ồ ậ
1. Ph ng trình có y u t đng b c (đng c p )ươ ế ố ồ ậ ẳ ấ
Ph ng trình có y u t đng b c (đng b c n) là ph ng trình cóươ ế ố ồ ậ ồ ậ ươ
d ng ạ
1 1 2 2 1 1
1 2 1 0
... 0
n n n n n
n n n
a x a x y a x y a x y a y
− − −
− −
+ + + + + =
Th c hi n cách gi i theo các b c:ự ệ ả ướ
B c 1: xét ướ x = 0 (ho c ặy = 0) thay vào ph ng trình ki m tra tr c ti pươ ể ự ế
và k t lu n.ế ậ
B c 2: xét ướ x
0 (ho c ặy
0), đt ặy = tx,chia hai v c a ph ng trìnhế ủ ươ
cho xn ( ho c ặyn), gi i ph ng trình n ả ươ ẩ t, tìm đc ượ y theo x.
Ví d 1ụ. Ph ng trình ươ
3 2 2 3
2 8 0x xy x y y+ + + =
là ph ng trình đng b cươ ồ ậ
(đng c p) b c 3.ẳ ấ ậ
Khi y = 0 thì x = 0,
Khi
0y
đt ặx = ty, ph ng trình có d ng ươ ạ
3 3 2 3 3 3
2 8 0x x t x t x t+ + + =
3 3 2 3 2 2
(8 2 1 0) (8 2 1 0) ( 2)( 4) 0 2x t t t t t t t t t t+ + + = + + + = + − + = = −� � � �
hay x = -2y.
Ví d 2. ụPh ng trình ươ
4 3 2 2 3 4
2 3 2 2 0x x y x y xy y+ − − − =
là ph ng trìnhươ
đng b c ( đng c p) b c b n.ồ ậ ẳ ấ ậ ố
Khi x = 0 thì y = 0.
Khi
đt ặy = tx, ph ng trình có d ng ươ ạ
4 4 2 4 3 4 4 4
2 3 2 2 0x tx t x t x t x+ − − − =
4 2 3 4
(2 3 2 2 ) 0x t t t t+ − − − =�
2 3 4
2 3 2 2 0t t t t+ − − − =�
2
( 1)(2 1)( 2) 0t t t t− + − − − =�
( dùng máy tính Casio fx-570VN PLUS tìm nghi m)ệ
1
12
t t= = −� �
(ph ng trình đng b c b c b n vi t đc d i d ng (ươ ồ ậ ậ ố ế ượ ướ ạ x - y)
(x + 2y)(- y2 - yx - 2x2) = 0). Ta có x = y
x = -2y.
2. H ph ng trình đng b c (đng c p)ệ ươ ồ ậ ẳ ấ
là h có d ng ệ ạ
1
1 2
2
( , ) ( , )
( , )
k
k
P x y c c c
Q x y c
=
=
ﾡ
, trong đó
( , )
k
P x y
,
( , )
k
Q x y
là các
đa th c b c ứ ậ k, không ch a thành ph n nh h n b c ứ ầ ỏ ơ ậ k:
0
( , )
k
k k i i
i
i
P x y p x y
−
=
=
;
( , )
k
Q x y
0
( , )
i i i
q
k i i
i
q x y p q
−
=
=
ﾡ
.
Cách gi iả.
Xét x = 0 (ho c ặy = 0), tìm các nghi m d ng (ệ ạ 0;y)( ho c (ặx;0))
c a h (n u có).ủ ệ ế
3
Xét x
0. Đt ặy = tx (
y
tx
=�
), đa h v d ng ư ệ ề ạ
1 1
2 2
( , ) ( ,1) (1)
( , ) ( ,1) (2)
k k k
k k k
P x tx c x P t c
Q x tx c x Q t c
� �
= =
� �
� �
= =
� �
� �
. Suy ra
2 1
( ,1) ( ,1)
k k
c P t c Q t=
là ph ng trình nươ ẩ
t. Tìm đc ượ t thay vào ( 1) ho c (2) tìm đc ặ ượ x, t đó có ừy.
Ví d 1.ụ Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
2 2
2 2
2 3 9 (1)
2 13 15 0 (2).
x xy y
x xy y
− + =
− + =
Gi i.ả
Xét x = 0 thay vào (2) đc ượ y = 0, thay vào (1) không th a mãn.ỏ
Xét x
0. Đt ặy = tx, ph ng trình (2) có d ngươ ạ
2 2 2 2 2 2 1 2
2 13 15 0 (2 13 15 ) 0 5 3
x tx t x x t t t t− + = − + = = =� � �
. Do đó
2 1
3 5
y x y x= =�
.
V i ớ
2
3
y x=
thay vào (1) ta có
29 3x x= =� �
. Khi đó (x; y) = (3 ; 2),(-3; -2).
V i ớ
1
5
y x=
thay vào (1) ta có
225 5
22
x x= =� �
. Khi đó (x; y) = (
5 1
;
2 2
),
5 1
( ;
2 2
− −
).
H đã cho có nghi m là (ệ ệ x; y) = (3 ; 2), (-3 ;-2), (
5 1
;
2 2
),
5 1
( ;
2 2
− −
).
Ví d 2. ụGi i h ph ng trình ả ệ ươ
2 2
2 2
( )( ) 13 (1)
( )( ) 25 (2).
x y x y
x y x y
− + =
+ − =
Gi i.ả
Xét y = 0 h tr thành ệ ở
3
3
13
25
x
x
=
=
.Vô lí.
Xét y
0. Đt ặx = ty, h tr thành ệ ở
3 2
3 2
( 1)( 1) 13
( 1)( 1) 25.
y t t
y t t
− + =
+ − =
Chia t ng ng các v c a hai ph ng trình ta đc ươ ứ ế ủ ươ ượ
2
2
( 1)( 1) 13
( 1)( 1) 25
t t
t t
− + =
+ −
2 2 2 3
25( 1) 13( 1) 12 2 26 12 0 .
3 2
t t t t t t+ = + − + = = =� � � �
V i ớ
2
3
t=
hay
2
3
x y=
thay vào ph ng trình (1) ta có ươ
327 3 2.y y x= − = − = −� �
V y (xậ ; y) = (-2 ; - 3).
V i ớ
3
2
t=
hay
3
2
x y=
thay vào ph ng trình (1) ta có ươ
38 2 3.y y x= = =� �
V y (xậ ; y) = (3 ; 2).
H đã cho có nghi m là (xệ ệ ; y) = (-2 ; - 3), (3 ; 2).
Chú ý. Trong th c hành ta vi t d ng sau nhanh và g n h nự ế ở ạ ọ ơ :
T ừ
, ,x y x y −
nhân chéo các v c a hai ph ng trình ta cóế ủ ươ :
4
2 2 2 2
25( )( ) 13( )( )x y x y x y x y− + = + −
2 2 2 2 2
25( ) 13( ) 6 13 6 0x y x y x xy y+ = + − + =� �
2 3
(2 3 )(3 2 ) 0 .
3 2
x y x y x y x y− − = = =� � �
3. H quy v đng b c ệ ề ồ ậ
a. H có d ng ệ ạ
( , )
( , ) ( , )
m
n k
P x y a
Q x y R x y
=
=
trong đó
, m + n = k.
Cách 1: Khi đó rút đc m t ph ng trình đng c p b c ượ ộ ươ ẳ ấ ậ k b ng cáchằ
th ph ng trình th nh t vào ph ng trình th hai c a h . Tìm đc x theoế ươ ứ ấ ươ ứ ủ ệ ượ
y, thay vào ph ng trình th nh t tìm đc y, t đó tìm đc nghi m c a h . ươ ứ ấ ượ ừ ượ ệ ủ ệ
Cách 2: Xét x = 0 (ho c ặy = 0) thay vào h tìm nghi m d ng (ệ ệ ạ 0 ; y)
( ho c nghi m (ặ ệ x; 0) ). Xét x
0, đt ặy = tx thay vào h . Chia t ng ng cácệ ươ ứ
v c a hai ph ng trình trong h đc ph ng trình n ế ủ ươ ệ ượ ươ ẩ t, tìm t, tìm x và suy
ra y.
b. H có d ng ệ ạ
1 2
1 2
( , ) ( , )
( , ) ( , )
k m
q n
P x y P x y
Q x y Q x y
=
=
, v i ớk - q = m - n; m, n, p, q
ﾡ
.
Cách gi i.ả Nh ưcách 2 m c ụa.
Ví d 1.ụ Gi i h ph ng trìnhả ệ ươ
2 2
2 2
2 ( 1) 3
3 2 .
x x y y y
x xy y x y
− − + =
+ − = −
( Trích “ 90 đ thi th Toán t p 2 - Gia s tr c tuy n ”.ề ử ậ ư ự ế
Gi i.ả H ph ng trình đã cho t ng đng v iệ ươ ươ ươ ớ
2 2
2 2
2 3 (1)
3 2 .
x xy y x y
x xy y x y
− + = − +
+ − = −
Nhân chéo các v c a hai ph ng trình l i v i nhau ta đc ế ủ ươ ạ ớ ượ
(
2 2
2x xy y− +
)(
2x y−
)=(
2 2
3x xy y+ −
)(
3x y− +
)
3 2 2 3
3 7 3 7 0x x y xy y− − + =�
( )( )(3 7 ) 0
7
3
x y
x y x y x y x y
x y
=
− + − = = −� � =
.
V i ớ
x y=
thì
2
(1) 2 2 0 0 1.x x x x− = = =� � �
Khi đó (x; y) = (0; 0), (1; 1).
V i ớ
x y= −
thì
2
(1) 4 4 0 0 1.x x x x+ = = = −� � �
Khi đó (x; y) = (0; 0), (-1; 1).
V i ớ
7
3
x y=
thì
2
86 2 7
(1) 0 0 .
49 7 43
x x x x− = = =� � �
Khi đó (x; y) = (0; 0), (
7 3
;
43 43
).
H đã cho có nghi m (x; y) = (0; 0), (1; 1), (-1; 1), (ệ ệ
7 3
;
43 43
)
Ví d 2. ụGi i h ph ng trìnhả ệ ươ
3 3
2 2
4 16
1 5(1 ).
x y y x
y x
+ = +
+ = +
5