SÁNG KIẾN KINH NGHỆM KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
I. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
P
Bài toán 1. Cho
, tìm GTNN của
2
2
1 ab
a b , 0 a b 1
2
a
b
1
Giải
Ta có:
4
2
2
2
2
1 ab
2
a
b
a
1
4 ab b
4 a b
(
2 )
2
P
x
y
Dấu “=” xảy ra
4 khi
1
1 2
b a a b
a b
1 2 Min 1 2
P
, tìm GTNN của
Bài toán 2. Cho
1 2
2
1 ab
a b , 0 a b 1
2
a
b
1
Giải
P
Lời giải 1. Ta có:
2
1 2
2
2
2
1 ab
2
4 2
a
b
a
4 ab b
1
4 2 a b )
(
1
1
2
2
2
2
b
a
2
ab
(
)
1 0
Dấu “=” xảy ra
. Vô nghiệm
1
1 a b
a b a b
1
P
P
2
2
2
Vậy không tồn tại Min ...?..? Lời giải 2. Ta có: 1 1 2 ab
1 ab
6
3
1 ab 3
1 ab 3
b
a
a
ab
4 ab b
4
a b
1
6
1 4
(
2 )
1
2
4
1
P
ab
. Vậy
Mặt khác
2
2
1 4
8 3
a b 2
2
6
a b 2
a b 2
2
2
b
ab
a
3
a
b
Dấu “=” xảy ra
.
1 2
1
1 a b a b
. Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách
?..? Làm
1 b
1 ab
1 ab
1 ab
4 a b
2
6
3
Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức 1 a sao nhận biết được điều đó…?...Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng
thức. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị
II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Có thể nói tằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là một trong nhửng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn do một số sai lầm do thói quen như lời giải 1 trong bài toán mở đầu là một ví dụ. Để giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán cực trị đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề “Chọn điểm rơi trong giải toán bất đẳng thức”. III. NỘI DUNG 1. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức
a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
a
b
a b 0
Định nghĩa: b
c
a
c
a
b
a c b d
d
a b a c b c b a c
a b
0
1 b
1 a
b) Một số bất đẳng thức cơ bản Bất đẳng thức Cauchy thực n
số
không
âm
ta
luôn
có
Cho
,...,
2)
a n ( n
a a 2, 1
a n
a 1
a 2
n
.
a n
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 a
a 2
a a a 1 2... n
n
Một vài hệ quả quan trọng:
2
n
i
n
(
)
vôùi
0,
1,
a n
a i
a 1
a 2
1 a n
1 a 1
1 a 2
2
i
n
vôùi
0,
1,
a i
n
1 a n
a n
1 a 1
1 a 2
a 1
a 2
n Z n
,
,...,
,
,...,
Cho 2n số dương (
b ta có: n
a b b , n 2 1
a a , 2
n
n
n
(
)
a ... n
b ... n
): 1 2 b a )...( n n
a 1
b a )( 1 2
b 2
a a 1 2
b b 1 2
n Z n
Bất đẳng thức BCS Cho 2n số dương (
,
,...,
,
,...,
b ta có: n
a a , 2
a b b , n 1 2
(
(
)
2 a n
2 b n
a b 1 1
2 a 1
2 a 2
2 b )( 1
2 b 2
Dấu “=’ xảy ra
(quy öôùc neáu
0
0)
b i
a i
): 1 2 2 a b ) n n a n b n
a b 2 2 a 1 b 1
a 2 b 2
Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ)
i
n
ta luôn có:
,...,
vaø
,...,
vôùi
0
1,
a n
b n
b i
Cho hai dãy số 1
a a , 2
b b , 1 2
(
2 )
2 a n b n
a n b n
a 1 b 1
a 2 b 2
2 a 1 b 1
Dấu “=’ xảy ra
a n b n
2 a 2 b 2 a 1 b 1
a 2 b 2
2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
n
D
Cho
là một hàm n biến thực trên
(
,
,...,
:
f D :
x )n
f x x 1 2
n (cid:0)
(cid:0)
x
D
(cid:0)
,
(
)
,...,
,
,...,
)
n
x n
f x x 2 1
M x x ( 2
1
f M
Max D
M
(
,...,
)
(
,
,...,
)
0 x n
0 x n
0 0 x x , 2 1
0 D f x : 1
0 x 2
x
D
,...,
)
,
,
,...,
)
n
x n
m x x ( 2
1
f m
Min D
M
,...,
(
)
(
,
,...,
)
0 x n
0 x n
0 0 x x , 2 1
0 D f x : 1
0 x 2
f x x ( 2 1 3. Phương pháp chọn điểm rơi
Nhận xét: Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến, và ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên.
a) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
P
ab
, tìm GTNN của biểu thức
.
Bài 1. Cho
4
2
2
a b 0 , a b
1 ab
1
a
b
1
Sử dụng hệ quả (1) và (2)
Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: Ta có :
P
ab
ab
ab
.
4
4
4
2
2
4 2
2
1 ab
1 ab
1 ab
1 ab
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
1
4 a b
2
(
2 )
ab
ab
MinP
P
. Vậy
nên
Mặt khác
2(2
2)
4 2 2
4
2
.4
2 2
1 ab
1 ab
2
2 Sai lầm 2:
P
ab
4
ab 2 4 .
4 2
6
2
2
1 ab
1 ab
1 ab
1 ab
1 ab
1 ab
1 ab
4
4
2
4
4
4
a
b
1
4 a b
(
2 )
2
2
a
b
ab
2
2 2 a b
b
a
a
Dấu bằng xảy ra
. Thay
b vào ta được
7P
1 2
1 2
a b
1 16 1
a
MinP
khi
b .
7
1 2
Nguyên nhân sai lầm:
Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách
là do thói
1 ab
1 ab
2
1 ab b
2
2
a
b
ab
MinP
ab
VN
a b
quen để làm xuất hiện
.
. Dấu
2
(
2 )
4 2 2
4
1
2 a 1 ab 2 a b MinP
“=” bất đẳng thức không xảy ra không kết luận được
4 2 2
a
Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi
1 b nên 2
a
đã tách các số hạng và
MinP khi
b là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai
7
1 2
x
x
x
(1
2 )x
ví dụ như
, dấu bằng xảy ra khi
.
1x
(
2 1)
1??
Min x
a
Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với
,a b , ta dự đoán MinP đạt tại
1 b , ta 2
có:
2
2
2
2 )
2
2
1 ab P 4 ab 2 4 . 7 1 ab 1 ab 1 ab 1 ab 2 4 4 2 a b 1 4 a b ( 4 a b 2
2 2 a b
a b ab 2
.
Dấu bằng xảy ra
b a 1 2
a b 1 16 1
S
Bài 2. Cho
, tìm GTNN của biểu thức
.
3
3
2
Sai lầm thường gặp:
a b , 0 a b 1 a b 1 2 a b 1 ab 1
Ta có:
3
3
2
2
3
3
2
2
S 2 3 a b 1 2 a b 1 ab 2 2 a b 2 ab a b ab 1 2 a b 1 ab 1 3 3 3 9 2 a b 3 3 3
2
3 )
MinS
59 3
3
3
23 a b
MinS
vn
(
)
Nguyên nhân sai lầm:
59 3
1
a b a b a b
2 . 9 . 1 b 4 a b 59 3 9 a b ( 2 1 1 ab a 3 3. a b 2
Lời giải đúng
3
2
a
b
2 a b
ab
a b
b , và ta thấy 3 a
vì thế
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi
3
3
(
3 )
1 2
a b
ta muốn xuất hiện
; ta áp dụng bất đẳng thức
và nếu vậy:
(
3 )
3
3
2
a
b
1 2 a b
1 ab
1
2
2
, ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp
3
3
2
1 2 a b
1 ab
b
1
(
2
2
9 ab a b (
)
3
3
2
2
3 a a b ) dụng bất đẳng thức cho 5 số: 1 1 2 2 a b a b
3 )
3 )
3 )
a
b .
Dấu bằng xảy ra khi
S 20 1 ab a b 1 ab 1 25 a b 2 2 2 2 ( ab a b ( ) 25 ( a b ( a b 4
P
. Tìm GTLN của
.
1 2
Bài 3. Cho
4
z
x
x
z
x
z
1 y
1 y
2
1 y 2
2
x y z , , 1 x
1 y
0 1 z
Sai lầm thường gặp:
P
Sai lầm 1: Ta có
1 y
1 z
1 z
1 y
1 y
1 z
1 y 2
1 z 2
10 9
1 1 x 9 2
1 1 x 9
1 1 x 9
5 1 x 18
MaxP
10 9
Sai lầm 2:
P
3
3
1 y
1 z
1 z
1 y 2
1 z 2
1 3 xyz 3 2
1 x yz .2
1 xy z 2
3
3
1 1 1 x 3 3 2
1 1 1 x 3 3
1 1 1 x 3 3
z
x
2
MaxP
, tức là không tồn tại
điểm rơi.
vn (
)
x y z D P ( ,
, )
:
y z
z y
2 2
10 9
10 9
4
1 y
y x x 1 1 x z
x
y
z
10 1 y 9 Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn
Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán MaxP đạt được tại
4 nên tách 3
x
x
các số 2x
ra cho dấu bằng xẩy ra.
Cách 1: Ta có
, tương tự và ta có:
z
x
y
x
z
x
1 x
1 y
1 z
1 y
1
2
1 1 x 16
P
, vậy
MaxP khi
1
1
2 x
1 y
1 z
1 x
2 y
1 z
1 x
1 y
2 z
1 16
4 3
4
x
y
x
x
y
z
z
, mặt khác:
Cách 2: Ta có
2
4
x x y z . . .
4
z
x
1 y
2
1 2 x yz
4
4
, tương tự ta có:
.
.
1 1 1 1 . x x y z
1 x
1 y
z
x
1 y
1 z
1 y
2
1 1 x 4
1 z
1 2 x 16
x
y
z
P
. Dấu “=” xảy ra khi
1
.4
1 x
1 y
1 z
1 , suy ra: 4
1 16
x
y
MaxP khi
. z
1
1 4
x y . z
Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài 3:
x y z , ,
0
P
Cho
. Tìm GTLN của
.
4
1 y
1 y
x
x
x
z
z
1 z y
1 y
1 z
1 x
x
N
: Cách làm tương tự như bài 3, ta tách
. Nếu
Với
,
,
,...
x x x
soá
R
, thì bài toán có còn giải quyết được không? Câu trả lời dành cho độc giả
,
, trong phần sau” Kỹ thuật chọn điểm rơi trong BCS”
3
3
a
b
c
c
a
Bài 4. Cho
. Chứng minh rằng: 3
.
b 2
2
2
3 3 3
a b c 0 , , a b c
3
Sai lầm thương gặp:
b 2 )
2
a
Ta có: 3
, tương tự ta có:
1.1(
b 2 )
a 1 1 ( 3
c
a
b 2
2
2
2
2
3
3
3
a
b
c
c
a
b 2
2
2
, 5
a 3
c 3
a 3 b 2 3
3
b 2
mà
5 3 3
ñeà ra sai...?...?
1
2 b
5.
=5
(
)
MaxP
vn
P VT
, vậy
Nguyên nhân sai lầm:
5P
3
a 2 1 b c 1 2 c a a b c
a
b
c
. Vậy ta áp
1
2 ,3,3
b 2 )
b 2
6
3
3
a
a
, tương tự ta có:
3.3(
b 2 )
b 2
.
a 3 3 9
a
c
a b
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi dụng Cauchy cho ba số 1 3 9 b 2
2
6
2
6
6
P
a
b
, dấu bằng xảy ra khi
3 3 3
c 1
ta có: a 1 3 3 ( 3 3 9 c 3 3 9
a 3 3 9
b 3 3 9
2
2
2
0
Bài 5. Cho
, chứng minh rằng:
x y z , , xyz
y
z
x
x
y
z
1
1
1
1
3 2
Sai lầm thường gặp:
y
2
2
2
2
3
z
z
Sai lầm 1: P
, mặt khác
, suy ra:
3
2
y
z
x
2 ) z
y
x
x
y
z
xyz
1
1
1
( )(1
(1
)(1
)
x
x
2
y 1 1 1
y
z
x
xyz
. Vậy
P , dấu “=” xảy ra khi
(1
)(1
)(1
) 8
8
3 2
2
x y z 1
y x (1 ) 2 y
,
Sai lầm 2: ta có:
z P y x z x z y x z y y (1 ) 2 2( ) ( ) 3 3 z
x z (1 ) 2 x
mặt khác
33
Nguyên nhân sai lầm:
y x xyz x 1 2 y 1 2 z 1 z P 0 3
Ở sai lầm 1: Học sinh quên tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
a b 0 1 b 1 a
2
2
2
x z y
Ở sai lầm 2: Dấu “=” xảy ra
y z 1 , 1 , 1 x vn ( ) z x y z 1 1
x 1 xyz y 1
x y z . Vì vậy khi áp dụng Cauchy 1
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi 2
2
và
:
cho
2
1 4 y y 2 1 y x x y 1 1 2 1
y 1 x y 4
Ta có:
z 1 y P x x z z x z y y y ) ( ) ( ( ) z 1 4 3 4 3 4 3 4 3 2
x 1 z x 4 4
y x 1
x 1 2 y 1 2 z 1 Dấu “=” xảy ra khi . z Bài tập tương tự(trích dẫn trong các đề thi đại học)
0
Bài
1.
Cho
chứng
minh
rằng
,
3
3
3
3
3
3
x y z , , xyz 1
, với m N
. Nếu m = 1 là đề thi Đại
y z x 3 3 m x xy m z zx
x
y
z
(đề tham khảo 2005)
3 4
3 4
3 4
6
x y z , chứng minh rằng: m y yz học Khối D năm 2005 Bài 2. Cho x y z là 3 số thỏa , , 0
, tìm GTLN:
ab c ca b 4 2 3 P a b c
Bài 3. Cho
2,
3,
4
bc a abc
a b c .
Bài 4. Cho
3
3
,a b c là các số dương thỏa mãn , 3 4
, tìm GTNN của các biểu thức sau:
a b c c (ĐTK 2005) b 3 2 a 3 3
Bài 5. Cho
Chứng minh rằng: 3 a b c , 0 , a b c
1
2
2
P 1 ab 1 bc 1 ca a 1 2 b c
2
2
2
2
2
2
S a b b c c a
2
2
2
Q 1 ab 1 ab 1 bc 1 bc 1 ca 1 ca a bc b ca c ab 1 1 1 1 1 1
2
2
2
2
2
u v v
Bài 6. Cho 2 u
.
, chứng minh rằng: 1 25 2 1 2 u 1 2 v
Bài 7. Cho
3
3
3
,a b c là các số dương. Tìm GTNN của: ,
3
3
(ĐHQGHN 2001-2002)
c a a b Q
b 3 c b c c a
Bài 8. Cho
,a b c dương thỏa ,
(ĐH 2000 – 2001)
2
2
0
Q a b abc , tìm GTNN của biểu thức: ab 2 c a b 1 ca b c a ( ) ) ) ( bc a b c (
, tìm GTNN của
(ĐHNT 2001 – 2002)
P
Bài 9. Cho
x
x y z , , y
1
x y x 1 y 1
x y z , chứng minh rằng:
x y z là ba số dương và Bài 10. Cho ,
2
2
2
, 1
(ĐH 2003)
x y z 82 1 2 x 1 2 y 1 2 z
b) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức BCS.
x y z , chứng minh rằng:
Bài 1. Cho
x y z là ba số dương và ,
2
2
2
, 1
Nhận xét: chúng ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy như ở phần 1
2
2
2
x
x
x
x
x
Sai lầm :
2 1
2 1
1 x
1 x
1 x
1 2 x
1 2 x
1 2
P
x
z
x
z
y
y
Tương tự ta có:
(
)
(
)
3 2
1 x
1 y
1 z
1 x
1 y
1 z
1 2
2 2
P
Vậy
3 2....?
,
,
1 y
1 z
z 1
P
vn
Nguyên nhân sai lầm:
3 2
(
)
y 1 z
1
x 1 x 1 x y
x y z 82 1 2 y 1 2 z 1 2 x
x
y
z
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi
; và biểu thức trong căn
1 3
2
2
2
x
với
gợi cho tam sử dụng BCS:
, là những số thỏa
2
y
1 2 x
x
2
x
, chọn
9
mãn: 1 x 1 x x
1 9
2
2
2
2
x
x
x
x
Ta có
, tương tự ta có:
9
1,
2 1
9 x
9 x
1 2 x
1 2 x
1 82
P
x
z
x
y
z
y
, do
nên ta tách:
9
) 9
1;
9
1 x
1 y
1 z
1 x
1 y
1 z
1 82
x
z
x
z
y
y
(
)
(
)
82
1 y
1 z
1 y
1 z
1 x
1 y
1 z
x
z
9 y
2 3
80 9
1 1 x 9
80 1 x 9
x
y
P
, dấu “=” xảy ra khi
. z
Vậy
82
1 3
x y z , ,
.0
P
Bài 2. Cho
, tìm GTLN của
1
x
x
z
z
x
y
z
1 y
1 y
2
1 2
2
1 y
1 z
1 x
Giải
x
y
, ta chọn sao cho
và z
Áp dụng hệ qua (1) ta có:
3
1 y
1 z
x
z
2 z ) y
2 2
( x 2
1
2
1 y
1 z
1 y
1 z
x
z
2 2) x y
(2 2
2 2
P
Vậy ta có:
2
1 x
1 z
1 x
1 y
1 z
y
z
(2 x
2 2) y
1
1 2
2
2
2
2
x 2 2
2
2 2
1 y
z
z
(2 y x
1 2
2 2) 2
1 x
x
y
MaxP
y
z
z
Dấu bằng xảy ra khi
3
x khi
3
1
2
2
0
Bài 1. Cho
,chứng minh rằng
3
3
Bài tập áp dụng a b c , , abc
1
3 2
1 3 c a b
1 a b c (
)
1 b c a (
)
(
)
3
3
3
0
P
Bài 2. Cho
, tìm GTNN của
a b c , , abc
c
a
b
1
a b )(1
(1
)
(1
)
(1
b c )(1
c a )(1
)
a b c d , tìm GTNN của ,
,
,
P
c
d
a
Bài 3. Cho a c
b
0 b d
2
a 3
b 3
c 3
c a 2
d b 2
2
i
n
0,
1,
P
Bài 4. Cho
, tìm GTNN của
1
1
1
x n
x 1
x 2
1
x i
i
1
d 3 x i n
a
b
c
Bài 5. Cho
a b c , chứng minh rằng: ,
0
,
1
2
2
2
a
b
c
ab
bc 8
ca 8
8
IV. THAY CHO LỜI KẾT Để làm rõ vai trò quan trọng của việc chọn điểm rơi trong việc định hướng giải quyết bài toán và cũng là kết lại phần chuyên đề này, tôi xin nêu một phương pháp mới giải bài toán sau:
A
B
C
Bài toán: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có
sin
sin
sin
3 3 2
Phân tích để đi đến lời giải: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC là tam
A B C
.
giác đều
3
A
C
B
C B
B A
Vì A B C ta giảm bớt số biến bằng sin A A B A P sin cos
sin
sin
sin
A sin cos B sin cos
B sin cos , ta nghĩ đến:
sin 2
sin 2
A
A
cos
1
;
,A B không còn quan hệ ràng buộc, làm thế nào để xuất hiện
2
2
B
B
cos
1
sin sin
2
2
a
b
2
2
A
ab
A, ta nghĩ ngay đến bất đẳng thức
,
sin
,cos
2
A
B
A
B
, Ta áp dụng Cauchy:
sin
sin
,cos
cos
3 2
2
2
A
B
sin
2
2
B
A
B
A
cos
cos
3
cos
cos
3 2
sin 3
A sin 3
3
B sin 3
1 2
2
2
A
B
A
B
. Vậy:
Ta có:
sin
sin
sin
sin
3 4
3 4
1 3
2
2
B
A
2
2
2
2
B
A
A
B
VT
cos
cos
sin
sin
3 4
3 4
3 3 2
sin 3
3 2
sin 3
1 3
