Chuyên Đề: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ
I. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU 0
, a b
Bài toán 1. Cho
, tìm GTNN của
P
2
2
1
2
a b
1 ab
1
a
b
Giải
Ta có:
2
2
2
2
2
Dấu “=” xảy ra
4 khi x
y
1
1 2
b a a b
1 2 Min P 1 2
4 2 1 ab 2 ( ) 1 a b a 4 a b
0
, a b
4 ab b a b
Bài toán 2. Cho
, tìm GTNN của
P
1 2
2
1
2
a b
1 ab
1
a
b
Giải
Lời giải 1. Ta có:
2
2
2
2
2
2
)
(
1 0
a
ab
a b
Dấu “=” xảy ra
. Vậy không tồn tại
(voâ nghieäm)
b 1
1
a b
a b
2 P 1 2 2 4 2 1 ab 2 1 ( 1 a b a 4 ) a b 2 4 ab b 2
1 1
Min ...?..? P Lời giải 2. Ta có: 1 2
2
2
2
2
2
P 6 3 3 1 ab 1 3 ab 1 ab 1 ab 1 6 1 4 ( ) 1 a b 4 ab b a 4 ab a b
Mặt khác
. Vậy
ab
2
2
1 4
a b 2
2
2
3
b
ab
Dấu “=” xảy ra
.
a
b
1 2
1
1 a a b a b
. Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách
?..? Làm sao
2
6
4 a b
1 3 ab
1 ab
1 ab
4 1 P 8 3 2 6 a b 2 a b 2
Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức 1 1 a b nhận biết được điều đó…?...Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị
II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trang 1
Có thể nói tằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là một trong nhửng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn do một số sai lầm do thói quen như lời giải 1 trong bài toán mở đầu là một ví dụ. Để giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán cực trị đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề “Chọn điểm rơi trong giải toán bất đẳng thức”. III. NỘI DUNG 1. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức
a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
a b
0 a b
Định nghĩa: b
c
a
a c b d
a b c a b a c b c a b d c
0
a b
1 1 b a
b) Một số bất đẳng thức cơ bản
không
âm
ta
luôn
có
2, a a 1
Cho a 1
a 2
số a n
n
.
,..., 2) ( a n n
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 a
1 2... a a a
n
n
L a a 2
Bất đẳng thức Cauchy n thực L n
2
(
)
vôùi
0,
1,
L
L
n
i
n
a 2
a 1
a n
a i
Một vài hệ quả quan trọng: 1 a 2
1 a 1
1 a n
2
vôùi
0,
1,
L
i
n
a i
1 a 1
1 a n
a a 2 1 , n Z n
1 a 2 Cho 2n số dương (
n
n
n
(
a 1
)( b a 1 2
b 2
b b 1 2
n L a n ): 1 2 , a a 2 ) )...( a n
b n
,..., ,..., b ta có: n
... b n
, , a b b 1 2 n ... a a a 1 2 n
,
,...,
Bất đẳng thức BCS Cho 2n số dương (
n Z n
(
)(
)
(
L
2 b 1
2 b 2
a b 1 1
2 b n
Dấu “=’ xảy ra
, , ,..., a b b 1 2 n 2 2 L a a 2 1 b ta có: n 2 a n
a b 2 2 a 1 b 1
L a 2 b 2
): 1 2 , a a 2 2 ) a b n n a n b n
,...,
0
1,
ta luôn có:
i
n
a n
2
)
L
L L
, ,..., a a Cho hai dãy số 1 2 2 2 a a 1 2 b b 2 1
b n a 2 b 2
a 1 b 1
0 0) L (quy öôùc neáu b i a i
Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ) , vaø b b 2 1 2 ( a n b n
vôùi b i a n b n
Trang 2
Dấu “=’ xảy ra
n
L a 1 b 1 a n b n a 2 b 2 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho
¡
n
¡
¡
,...,
(
)
,
)
:
: f D D
( , ,..., f x x 1 2
, f x x 1 2
1
D ,..., x n
n
f M
Max D
,...,
)
:
,
,...,
)
(
M
0 x n )
(
0 ( D f x x 2 ,...,
)
x
0 x n
D
0 1 ( m x x 2
, 1
n
x n
f m
Min D
,...,
:
,
,...,
)
(
M
0 0 , x x 1 2
0 ( D f x x 2
0 1
0 x n
0 x n
)n x là một hàm n biến thực trên ( M x x x 2
0 0 , x x 2 1 ,..., , f x x 1 2 ) 3. Phương pháp chọn điểm rơi
Nhận xét: Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến, và ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên. a) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
4
Bài 1. Cho
, tìm GTNN của biểu thức
.
P
ab
2
2
1 ab
1
a
b
Sử dụng hệ quả (1) và (2)
.
4
4
4
P
ab
ab
ab
2
2
4 2
2
2
2
2
2
2
1 ab
1 ab
1 ab
2
(
)
, 0 a b 1 a b Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: Ta có : 1 1 ab
a
b
a
b
ab
4 a b
Mặt khác
. Vậy
nên
2(2
2)
4 2 2
MinP
P
4
P
ab
2 4 . ab
4 2
6
2
2
2
4
2
4
4
4
1 ab
1 ab
1 ab
1 ab
1 ab
1 ab
(
)
1
a
b
4 a b
1 4 ab 2
2
2
a
b
ab
Dấu bằng xảy ra
. Thay
a
b vào ta được
a
b
2 2 a b
7P
1 2
1 2
1 16 1
a b
a
b .
7
MinP
khi
1 2
Nguyên nhân sai lầm:
Trang 3
4 2 .4 2 2 ab ab 2 1 ab 1 ab 2 Sai lầm 2:
Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách
là do thói quen để
2
1 ab
1 2 ab b
2
2
2
4 2 2
4
làm xuất hiện
.
. Dấu “=” bất
MinP
ab
VN
2
(
)
a
b
ab
a b
1
1 ab a 1 2 ab a b
4 2 2
đẳng thức không xảy ra không kết luận được
MinP
Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi
a
b nên đã tách
1 2
các số hạng và
a
b là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai ví dụ như
7
MinP khi
2
2
.
(1
)x
, dấu bằng xảy ra khi
x
x
(
1)
1??
x
1 2 1x
Min x
Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với
a
,a b , ta dự đoán MinP đạt tại
1 b , ta có: 2
1
4
7
P
ab
2 4 . ab
2
2
2
2
4
4
2
1 ab
1 ab
1 ab
1 ab
(
2 )
1
a
b
4 a b
4
a b 2
2
2
2
a
b
ab
Dấu bằng xảy ra
.
2 2 a b
a
b
1 2
1 16 1
a b
0
, a b
Bài 2. Cho
, tìm GTNN của biểu thức
.
S
3
3
a b
1
a
b
1 2 a b
1 2 ab
1 Sai lầm thường gặp:
Ta có:
3
2
3
3
2
2
3
S 2 3 3 9 2 3 a b b 3 ab 1 2 a b 1 2 ab b 1 1 3 ab
.
.
9
3
2
2 2 3 a b 2
(
)
9 a b
3.
a b 2
MinS
59 3
3
3
b
23 a b
a
Nguyên nhân sai lầm:
(
)
MinS
vn
59 3
1
a b a b
a 59 3 2 3 ab 4 a b 1 2 a b a 2 1 1 1 3 ab a b
Lời giải đúng
Trang 4
3
2
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi
vì thế ta
a
3
(
3 )
b , và ta thấy 3 a
b
2 a b
3 ab
a b
1 2
3
muốn xuất hiện
và nếu vậy:
(
)
a b
3
2
2
2
; ta áp dụng bất đẳng thức 3 a
1
b
1 2 a b
1 ab
, ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp
3
3
2
3 )
2 2 ( ) 1 1 2 a b 1 ab b 9 ( ab a b
20
S
3
3
2
2
2
2
2
2
(
3 )
)
25 (
3 )
1
a
b
1 2 a b
1 ab
1 2 a b
1 ab
25
a b
( ab a b
(
3 )
a b
a b 4
Dấu bằng xảy ra khi
a
b .
1 2
a a b dụng bất đẳng thức cho 5 số:
Bài 3. Cho
. Tìm GTLN của
.
4
0 , , x y z 1 1 1 z y x
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có
P
10 9
1 1 y z
1 2 y
1 z
1 1 1 9 y x
1 2 z
5 1 1 1 18 z
y
x
1 1 9 2 x
1 1 9 x
MaxP
10 9
Sai lầm 2:
P
3
3
1 2 y
1 2 z
1 z
3
3
1 3 3 2 xyz
1 .2 x yz
1 2 xy z
1 1 1 1 3 3 y x
1 1 1 3 3 2 x
1 1 1 3 3 x
1 1 10 9 z y Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm
, )
:
rơi.
, tức là không tồn tại
( , x y z D P
(
)
MaxP
vn
10 9
10 9
4
2 z y x 2 z x y 2 y x z 1 1 1 z x y
x
nên tách các số
y
z
P 2 2 1 y z x 1 2 y x z 1 y x z
Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán MaxP đạt được tại
4 3
x
x
2x
Cách 1: Ta có
, tương tự và ta có:
2
ra cho dấu bằng xẩy ra. 1 1 y
x
x
x
y
z
z
1 1 1 1 1 16 z x
x
y
1
, vậy
P
x
. z
y
1
MaxP khi
1 16
4 3
2 1 1 z y x
1 2 1 z y x
1 1 2 z y x
4
Cách 2: Ta có
, mặt khác:
2
4
x
y
x
x
y
z
z
. . . x x y z
1 24
2
1 y
z
x
4
x yz
Trang 5
4
, tương tự ta có:
.
.
2
1 1 1 1 . x x y z
1 1 1 1 1 4 z x
y
x
1 y
z
1 2 1 1 16 z
y
x
x
. Dấu “=” xảy ra khi
x
y
z
.4
1
P
1 , suy ra: 4
1 16
1 1 1 z y x
x
. z
y
1
MaxP khi
1 4
Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài 3:
Cho
. Tìm GTLN của
.
4
,...
x
x
Với
: Cách làm tương tự như bài 3, ta tách
. Nếu
,
,
,
, 0 , x y z 1 1 1 y z x N
,
, R
x L x 1 44 2 4 43 soá
3
3
. Chứng minh rằng: 3
P 1 z y 1 y 1 y x x x z z
Bài 4. Cho
.
3 3 3
2 a
2 b
2 c
a
b
c
3
thì bài toán có còn giải quyết được không? Câu trả lời dành cho độc giả trong phần sau” Kỹ thuật chọn điểm rơi trong BCS” 0 , , a b c a b c Sai lầm thương gặp:
2
2 ) b
2 b
1.1(
Ta có: 3
, tương tự ta có:
a
2 ) b
1 1 ( a 3
a 3 2
2
2
2 b
2 c
2 a
3
3
3
5 ,
a
2 b
b
2 c
c
2 a
a 3
b 3
c 3
3
mà
5 3 3
ñeà ra sai...?...?
Nguyên nhân sai lầm:
, vậy
5, vaäy
=5
(
)
5P
P VT
MaxP
vn
3
2 1 a b 1 2 b c 2 1 c a a b c
1
a
. Vậy ta áp dụng
b
c
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi ta có: Cauchy cho ba số
2 ,3,3
b
a
3
3
, tương tự ta có:
6 2 ) b 2 b 3.3( . a 2 b a 2 ) b a 3 3 9
, dấu bằng xảy ra khi
3 3 3
a
1 c
b
2
2
2
6 6 6 1 3 9 2 b 2 a 2 c P a 3 3 9 1 3 3 ( a 3 3 9 c 3 3 9
Bài 5. Cho
, chứng minh rằng:
, , x y z xyz
1
3 2
x
y
y 1
z
z 1
x
b 3 3 9 0 1 Sai lầm thường gặp:
2
2
2
2
Sai lầm 1: P
, mặt khác
, suy ra:
3 3
2 y
1
( )(1
(1
)(1
)
x
y
y 1
z
z 1
x
xyz
) z
y
x
2 z z
Trang 6
2 x x 1 y 1 1
(1
)(1
)(1
8
y
z
x
) 8
xyz
. Vậy
P , dấu “=” xảy ra khi
x
1 z
y
3 2
2
(1
y
) 2
x
y
Sai lầm 2: ta có:
,
) 2
2(
)
(
3
(1
z
P
y
x
y
z
x
y
z
) 3
x
y
z
z
(1
x
) 2
z
x
3
x 1 2 y 1 2 z 1 z
y
xyz
0 P
33 x mặt khác Nguyên nhân sai lầm:
0
Ở sai lầm 1: Học sinh quên tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
a b
1 b
1 a
x
y
z
2
2
2
,
,
)
Ở sai lầm 2: Dấu “=” xảy ra
1
y
1
z
1
( x vn
y 1
z
z 1
x
1
x 1 xyz
y
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi
1
x
. Vì vậy khi áp dụng Cauchy cho
y
z
2
2
1
và
:
4
1
1
1 2
x y
x
y
y
2
1 y 2
1
y
x
4
y
1
z
Ta có:
(
(
)
)
(
)
y
P
y
x
x
z
y
z
x
y
z
4
1 4
3 4
3 4
3 3 4 2
z
1
x
z
4
x
x
y
x 1 2 y 1 2 z 1 1 . z Dấu “=” xảy ra khi Bài tập tương tự(trích dẫn trong các đề thi đại học) 3
3
3
3
3
3
0
, , x y z
y
z
x
Bài 1. Cho
, chứng minh rằng
,
3 3
1
m x xy
m y yz
m z zx
xyz
m
với m N Bài 2. Cho
: Neáu x y z là 3 số thỏa , ,
, chứng minh rằng:
y
x
z
x
y
z
6
3 4
3 4
3 4
1 laø ñeà thi Ñaïi hoïc khoái D naêm 2005 0
(đề tham khảo 2005) ab c
3 4 2 ca b
Bài 3. Cho
2,
3,
4
a
b
c
, tìm GTLN:
P bc a abc
Bài 4. Cho
.
a b c
, ,a b c là các số dương thỏa mãn
3 4
Trang 7
3
3
3
3 b
b
2 c
c
3 a
(ĐTK 2005)
, tìm GTNN của các biểu thức sau:
Bài 5. Cho
1
P
2
2
1 ab
1 bc
1 ca
Chứng minh rằng: 3 a , , 0 a b c a b c 1 2 b
a
c
S
2
2
2
2
2
2
a
b
b
c
c
Q
2
2
2
1 ab 1 ab
1 bc 1 bc
1 1
1 1
a
bc
b
ca
c
ab
1 a 1
1 ca 1 ca 2
2
2
2
.
2 1
Bài 6. Cho 2 u
u
v
25 2
1 2 u
1 2 v
v , chứng minh rằng:
Bài 7. Cho
, ,a b c là các số dương. Tìm GTNN của: 3
3
3
3
3
3
(ĐHQGHN 2001-2002)
c a a b Q
b c b c c a a b
Bài 8. Cho
1
abc , tìm GTNN của biểu thức:
(ĐH 2000 – 2001)
2
2
, ,a b c dương thỏa bc ( a b c
Q ) ) ( ) ca ( b c a ab 2 c a b
Bài 9. Cho
, tìm GTNN của
(ĐHNT 2001 – 2002)
P
y
x
y 1 , chứng minh rằng:
x 1 x 1 z
y
, 0 , x y z 1 y x x y z là ba số dương và Bài 10. Cho , ,
2
2
2
82
(ĐH 2003)
x
y
z
1 2 x
1 2 y
1 2 z
b) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức BCS.
1
Bài 1. Cho
x
, chứng minh rằng:
y
z
,
x y z là ba số dương và ,
2
2
2
82
x
y
z
1 2 y
1 2 z
1 2 x
Nhận xét: chúng ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy như ở phần 1
2
2
2
Sai lầm :
2 1
x
x
x
x
x
2 1
1 x
1 x
1 x
1 2
1 2 x
1 2 x
Tương tự ta có:
(
)
(
)
3 2
P
x
y
z
x
y
z
1 1 1 z y x
1 1 1 z y x
2 2
1 2
Vậy
3 2....?
P
Trang 8
,
,
z 1
1 z
3 2
(
)
Nguyên nhân sai lầm:
P
vn
1 y 1
y 1 z
1 x 1 x y x
Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi
x
; và biểu thức trong căn gợi
y
z
1 3
2
2
cho tam sử dụng BCS:
với
, là những số thỏa mãn:
x
x
2 2
y
1 2 x
2
x
, chọn
1,
9
1 9
1 1 x x x
2
2
2
Ta có
, tương tự ta có:
2 9
x
x
x
x
2 1
9 x
9 x
1 82
1 2 x
1 2 x
, do
9
P
x
y
z
) 9
1 1 1 z y x
1 1 1 z y x
1 82
(
)
(
)
82
x
y
z
x
y
z
2 3
80 9
1 1 1 1 9 z
x
y
80 1 1 1 9 z
y
x
1 1 1 z y x
9 y
x
z
Vậy
, dấu “=” xảy ra khi
x
. z
y
82
P
1 3
1; 9 x y z nên ta tách:
Bài 2. Cho
, tìm GTLN của
1
, , .0 x y z 1 1 1 z y x
Giải
2
Áp dụng hệ qua (1) ta có:
3
, ta chọn sao cho
x
và z
y
1 1 z y
2 2
x
( 2 x
) z y
z
P 2 1 2 2 1 y x 1 y x z z x y z
2
1 2 1 y 2 2 x
Vậy ta có:
2
2
2 2
Dấu bằng xảy ra khi
1 1 z y 2 2 x z 2) (2 2 x y 2 P 1 x 1 z 1 1 1 z y x 1 2 2 2 2 y (2 x z 1 2 2) y 2 1 2 2) 2 z (2 y x z 1 z 1 1 x y
3 3 x z y MaxP khi x y z 2 2 1
Bài tập áp dụng
Trang 9
0
Bài 1. Cho
,chứng minh rằng
3
3
1
, , a b c abc
3
3
0
3 2 ) ) ( ) 1 ( a b c 1 ( b c a 1 3 c a b 3
Bài 2. Cho
, tìm GTNN của
P
1
)
(1
)
(1
)
(1
b )(1 c
c )(1 a
b
a )(1 b
c
a
, , a b c abc , , ,
0
a b c d , tìm GTNN của
P
Bài 3. Cho a 2 c
b
c 2 a
d 2 b
3 a
d
3 b
a
3 c
c 0,
b 2 d 1, i
n
1
1
1
Bài 4. Cho
, tìm GTNN của
P
L
x 1
x 2
x n
1
x i
1
i
3 d x i n
a
b
c
Bài 5. Cho
1
, ,
0
a b c , chứng minh rằng:
2
2
2
a
8 bc
b
8 ca
c
8 ab
sin sin sin
Bài toán: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có
C A B
IV. THAY CHO LỜI KẾT Để làm rõ vai trò quan trọng của việc chọn điểm rơi trong việc định hướng giải quyết bài toán và cũng là kết lại phần chuyên đề này, tôi xin nêu một phương pháp mới giải bài toán sau: 3 3 2
Phân tích để đi đến lời giải: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC là tam giác đều
.
A B C
A
sin cos B , ta nghĩ đến:
sin
sin
sin
C
B
B
sin cos A
B sin cos B
A
sin 2 cos
1
A
A
;
,A B không còn quan hệ ràng buộc, làm thế nào để xuất hiện
2 cos
1
B
B
3 ta giảm bớt số biến bằng sin Vì A B C C sin sin cos P A A B A 2 sin 2 sin
2
2
,
2 sin
2 ,cos
A
A, ta nghĩ ngay đến bất đẳng thức
a b ab 2
2 sin
B
A
cos
cos
3
2 cos
2 cos
B
A
B
A
3 2
2 sin 3
sin A 3
3
sin B 3
Ta có:
. Vậy:
sin
sin
2 sin
2 sin
A
B
A
B
sin sin ,cos cos A B A B , Ta áp dụng Cauchy: 3 2
3 4
1 3
B
A
2 cos
2 cos
2 sin
2 sin
VT
B
A
A
B
3 2
2 sin 3
2 sin 3
3 4
3 4
3 3 2
1 3
Trang 10
1 2 3 4
