Chapter 16

Times Series Forecasting and Index  Numbers

McGraw­Hill/Irwin

Copyright © 2014 by The McGraw­Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Time Series Forecasting

16.1 Time Series Components and Models 16.2 Time Series Regression 16.3 Multiplicative Decomposition 16.4 Simple Exponential Smoothing 16.5 Holt­Winter’s Models 16.6 The Box Jenkins Methodology (Optional

Advanced Section)

16.7 Forecast Error Comparisons 16.8 Index Numbers

16­2

LO16-1: Identify the components of a times series.

16.1 Time Series Components and  Models

Trend Cycle

Long­run growth or decline Long­run up and down fluctuation  around the trend level Seasonal Regular periodic up and down

movements that repeat within the  calendar year

Irregular Erratic very short­run movements

that follow no regular pattern

16­3

LO16-1

Time Series Exhibiting Trend, Seasonal, and  Cyclical Components

16­4

Figure 16.1

LO16-1

Seasonality

Some products have demand that varies a

great deal by period ◦Coats, bathing suits, bicycles

This periodic variation is called seasonality ◦Constant seasonality: the magnitude of the swing  does not depend on the level of the time series ◦Increasing seasonality: the magnitude of the  swing increases as the level of the time series  increases

Seasonality alters the linear relationship

between time and demand

16­5

LO16-2: Use time series regression to forecast time series having linear, quadratic, and certain types of seasonal patterns.

16.2 Time Series Regression

Within regression, seasonality can be modeled

using dummy variables

Consider the model:

yt = (cid:0)

0 + (cid:0)

1t + (cid:0)

Q2Q2 + (cid:0)

Q3Q3 + (cid:0)

Q4Q4 + (cid:0)

t

◦For Quarter 1, Q2 = 0, Q3 = 0 and Q4 = 0 ◦For Quarter 2, Q2 = 1, Q3 = 0 and Q4 = 0 ◦For Quarter 3, Q2 = 0, Q3 = 1 and Q4 = 0 ◦For Quarter 4, Q2 = 0, Q3 = 0 and Q4 = 1

The (cid:0)

coefficient will then give us the seasonal

impact of that quarter relative to Quarter 1 ◦Negative means lower sales, positive lower sales

16­6

LO16-3: Use data transformations to forecast time series having increasing seasonal variation.

Transformations

Sometimes, transforming the sales data

makes it easier to forecast ◦Square root ◦Quartic roots ◦Natural logarithms

While these transformations can make the  forecasting easier, they make it harder to  understand the resulting model

16­7

LO 4: Use multiplicative decomposition and moving averages to forecast time series having increasing seasonal variation.

16.3 Multiplicative Decomposition

We can use the multiplicative decomposition  method to decompose a time series into its  components:

Trend Seasonal Cyclical Irregular

16­8

LO 16-5: Use simple exponential smoothing to forecast a time series.

16.4 Simple Exponential Smoothing

Earlier, we saw that when there is no trend, the least  squares point estimate b0 of β0 is just the average y  value ◦yt = β0 + (cid:0)

t

That gave us a horizontal line that crosses the y axis

at its average value

Since we estimate b0 using regression, each period

is weighted the same

If β0 is slowly changing over time, we want to

weight more recent periods heavier Exponential smoothing does just this

16­9

LO16-6: Use double exponential smoothing to forecast a time series.

16.5 Holt–Winters’ Models

Simple exponential smoothing cannot handle trend

or seasonality

Holt–Winters’ double exponential smoothing can

handle trended data of the form

t

yt = β0 + β1t + (cid:0) ◦Assumes β0 and β1 changing slowly over time ◦We first find initial estimates of β0 and β1 ◦Then use updating equations to track changes over time  Requires smoothing constants called alpha and gamma

16­10

LO16-7: Use multiplicative Winters’ method to forecast a time series.

Multiplicative Winters’ Method

Double exponential smoothing cannot handle

seasonality

Multiplicative Winters’ method can handle trended

data of the form yt = (β0 + β1t) ∙ SNt + (cid:0)

t

◦Assumes β0, β1, and SNt changing slowly over time ◦We first find initial estimates of β0 and β1 and seasonal

factors

◦Then use updating equations to track over time

 Requires smoothing constants alpha, gamma and delta

16­11

LO16-8: Use the Box–Jenkins methodology to forecast a time series.

16.6 The Box–Jenkins Methodology  (Optional Advanced Section) Uses a quite different approach Begins by determining if the time series is

stationary ◦The statistical properties of the time series are

constant through time

Plots can help If non­stationary, will transform series

16­12

LO16-9: Compare time series models by using forecast errors.

16.7 Forecast Error Comparison

Forecast errors: et = yt ­ ŷt Error comparison criteria

◦Mean absolute deviation (MAD)

n n

y

ˆ y

e t

MAD

(cid:0) (cid:0) (cid:0) t t (cid:0) (cid:0) t t 1 (cid:0) (cid:0)

n

◦Mean squared deviation (MSD)

1 n

y

(

)ˆ y t

MSD

n n 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 e t t (cid:0) (cid:0) t t 1 (cid:0) (cid:0)

n

16­13

1 n

LO16-10: Use index numbers to compare economic data over time.

16.8 Index Numbers

Index numbers allow us to compare changes

in time series over time

We begin by selecting a base period Every period is converted to an index by

dividing its value by the base period and then  multiplying the results by 100 ◦Simple (quantity) index

t

(cid:0) (cid:0)

100

i t

y y

0

16­14