Chapter 7

Sampling and Sampling Distributions

McGraw­Hill/Irwin

Copyright © 2014 by The McGraw­Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Sampling and Sampling Distributions

7.1 7.2 7.3

7.4

Random Sampling The Sampling Distribution of the Sample Mean The Sampling Distribution of the Sample  Proportion Stratified Random, Cluster, and Systematic  Sampling (Optional)

7.5 More about Surveys and Errors in Survey

Sampling (Optional)

7.6 Deviation of the Mean and Variance of the

7­2

Sample Mean (Optional)

LO7-1: Explain the concept of random sampling and select a random sample.

7.1 Random Sampling

1.

2.

If we select n elements from a population  in such a way that every set of n elements  in the population has the same chance of  being selected, the then elements we select  are said to be a random sample In order to select a random sample of n  elements from a population, we make n  random selections from the population ◦ On each random selection, we give every

7­3

element remaining in the population for that  selection the same chance of being chosen

LO7-1

With or Without Replacement

We can sample with or without replacement With replacement, we place the element chosen on  any particular selection back into the population ◦We give this element a chance to be chosen on any

succeeding selection

Without replacement, we do not place the element

succeeding selection

It is best to sample without replacement

7­4

chosen on a particular selection back into the  population ◦We do not give this element a chance to be chosen on any

LO7-2: Describe and use the sampling distribution of the sample mean.

7.2 Sampling Distribution of the  Sample Mean

The sampling distribution of the sample  mean  is the probability distribution of the  population of the sample means obtainable  from all possible samples of size n from a  population of size N

7­5

LO7-2

General Conclusions

If the population of individual items is

normal, then the population of all sample  means is also normal

Even if the population of individual items is  not normal, there are circumstances when the  population of all sample means is normal  (Central Limit Theorem)

7­6

LO7-3: Explain and use the Central Limit Theorem.

Central Limit Theorem

/(cid:0) n

=(cid:0)

=(cid:0)

Now consider a non­normal population  and (cid:0) Still have: (cid:0) ◦Exactly correct if infinite population  ◦Approximately correct if population size N finite

But if population is non­normal, what is the  shape of the sampling distribution of the  sample mean? ◦The sampling distribution is approximately

but much larger than sample size n

7­7

normal if the sample is large enough, even if the  population is non­normal (Central Limit  Theorem)

LO7-3

The Central Limit Theorem Continued

No matter the probability distribution that

and standard

describes the population, if the sample size n  is large enough, the population of all  possible sample means is approximately  =(cid:0) normal with mean (cid:0) /(cid:0) n deviation (cid:0)

=(cid:0)

Further, the larger the sample size n, the  closer the sampling distribution of the  sample mean is to being normal ◦In other words, the larger n, the better the

7­8

approximation

LO7-4: Describe and use the sampling distribution of the sample proportion.

7.3 Sampling Distribution of the Sample  Proportion

The probability distribution of all possible sample

proportions is the sampling distribution of the sample  proportion

If a random sample of size n is taken from a

population p­hat, then the sampling distribution of the  sample proportion is ◦Approximately normal, if n is large ◦Has a mean that equals ρ

p

p

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

◦Has standard deviation

pˆ

1 n

Where ρ is the population proportion and p  ̂ is the  sampled proportion

7­9

(cid:0) (cid:0)

LO7-5: Describe the basic ideas of stratified random, cluster, and systematic sampling (optional).

7.4 Stratified Random, Cluster, and  Systematic Sampling (Optional)

Divide the population into non­overlapping groups

Select a random sample from each stratum Combine the random samples to make full sample Appropriate when the population consists of two or

(strata) of similar units

variable of interest

◦Units within a group are similar to each other

 Divide population into strata by age, gender, income

7­10

more different groups so that: ◦The groups differ from each other with respect to the

LO7-6: Describe basic types of survey questions, survey procedures, and sources of error.

7.5 More about Surveys and Errors in  Survey Sampling (Optional)

Dichotomous questions ask for a yes/no

response

Multiple choice questions give the

respondent a list of of choices to select from Open­ended questions allow the respondent

to answer in their own words

7­11

7.6 Derivation of the Mean and the Variance  of the Sample Mean (Optional)  Given the following:

 That is μx1 = μx2 = … = μxn = μ 1. The variance of xi, denoted σ2

xi, is σ2 the

1. The mean of xi, denoted μxi, is μ is the mean of the population from which xi will be randomly selected

 That is σ2

x1 = σ2

x2 = … = σ2

xn = σ2

 Sample mean  is the average of the xi’s  We can prove that μ = μ

7­12

variance of population from which xi will be randomly selected