Luận án tiến sĩ Toán học: Đa thức ma trận - Sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan

BË GI(cid:129)O DÖC V€ (cid:30)€O T„O

TR×ÍNG (cid:30)„I HÅC QUY NHÌN

(cid:30)A THÙC MA TRŠN: SÜ PH…N BÈ GI(cid:129) TRÀ

RI–NG, C(cid:129)C (cid:30)ÀNH LÞ BIšU DI™N D×ÌNG V€

MËT SÈ V‡N (cid:30)— LI–N QUAN

LUŠN (cid:129)N TI˜N Sž TO(cid:129)N HÅC

BœNH (cid:30)ÀNH - N‹M 2018

BË GI(cid:129)O DÖC V€ (cid:30)€O T„O

TR×ÍNG (cid:30)„I HÅC QUY NHÌN

(cid:30)A THÙC MA TRŠN: SÜ PH…N BÈ GI(cid:129) TRÀ

RI–NG, C(cid:129)C (cid:30)ÀNH LÞ BIšU DI™N D×ÌNG V€

MËT SÈ V‡N (cid:30)— LI–N QUAN

Chuy¶n ng nh: (cid:30)¤i Sè v Lþ thuy¸t sè

M¢ sè: 9460104

Ph£n bi»n 1: PGS. TS. Ph¤m Ti¸n Sìn

Tr÷íng (cid:30)¤i hå (cid:30) L¤t

Ph£n bi»n 2: TS. Hç Minh To n

Vi»n To¡n hå - Vi»n H n l¥m Khoa hå v Cæng ngh» Vi»t Nam

Ph£n bi»n 3: TS. L¶ (cid:30)ù Thoang

Tr÷íng (cid:30)¤i hå Phó Y¶n

BœNH (cid:30)ÀNH - N‹M 2018

Líi am (cid:31)oan

Luªn ¡n n y (cid:31)÷ñ ho n th nh t¤i Tr÷íng (cid:30)¤i hå Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n õa

TS. L¶ Cæng Tr¼nh v TS. (cid:30)inh Trung Háa. Tæi xin am (cid:31)oan (cid:31)¥y l æng tr¼nh nghi¶n

ùu õa tæi. C¡ k¸t qu£ trong Luªn ¡n l trung thü , (cid:31)÷ñ ¡ (cid:31)çng t¡ gi£ ho ph²p sû

döng v h÷a tøng (cid:31)÷ñ ai æng bè tr÷î (cid:31)â.

TM. Tªp thº h÷îng d¨n

T¡ gi£

TS. L¶ Cæng Tr¼nh

D÷ Thà Háa B¼nh

Líi £m ìn

Luªn ¡n n y (cid:31)÷ñ ho n th nh trong qu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n ùu t¤i Khoa To¡n,

Tr÷íng (cid:30)¤i hå Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n õa Ti¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh v Ti¸n s¾ (cid:30)inh

Trung Háa. Tr÷î ti¶n, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s (cid:31)¸n Ti¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh.

Thy (cid:31)¢ h¿ b£o tªn t¼nh v h÷îng d¨n tæi tø nhúng b÷î (cid:31)u l m nghi¶n ùu. Thy t¤o

ho tæi mët mæi tr÷íng hå tªp v nghi¶n ùu ði mð, th¥n thi»n nh÷ng ng r§t nghi¶m

tó . Thy luæn (cid:31)ëng vi¶n, gióp (cid:31)ï (cid:31)º tæi tøng b÷î ti¸n bë trong nghi¶n ùu khoa hå .

(cid:30)÷ñ hå tªp, l m vi» vîi thy l (cid:31)i·u may m n v h¤nh phó (cid:31)èi vîi tæi.

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s (cid:31)¸n Ti¸n s¾ (cid:30)inh Trung Háa. Thy luæn (cid:31)ëng vi¶n,

kh½ h l», gióp (cid:31)ï v theo s¡t qu¡ tr¼nh nghi¶n ùu õa tæi. M° dò thy khæng ð trong

n÷î , nh÷ng thy v¨n th÷íng xuy¶n trao (cid:31)êi khoa hå vîi tæi. C¡ hëi th£o do thy tê

hù (cid:31)¢ gióp tæi tr÷ðng th nh r§t nhi·u £ v· khoa hå l¨n uë sèng.

Tæi xin £m ìn Ti¸n s¾ Hç Minh To n. C£m ìn anh v¼ nhúng buêi th£o luªn r§t húu

½ h v· ¡ v§n (cid:31)· li¶n quan (cid:31)¸n (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng v B i to¡n mæmen.

Tæi xin gûi líi £m ìn h¥n th nh (cid:31)¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng (cid:30)¤i hå Quy Nhìn,

Pháng (cid:30) o t¤o sau (cid:31)¤i hå (cid:31)¢ t¤o (cid:31)i·u ki»n tèt nh§t (cid:31)º tæi hå tªp t¤i tr÷íng. (cid:30)° bi»t,

tæi xin gûi líi £m ìn (cid:31)¸n Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n òng ¡ thy gi¡o, æ gi¡o trong

Khoa (cid:31)¢ t¤o ra mët mæi tr÷íng hå tªp th¥n thi»n, ði mð v r§t huy¶n nghi»p. (cid:30)i·u

n y gióp tæi â (cid:31)ëng lü (cid:31)º ph¡t triºn b£n th¥n.

Tæi xin gûi líi £m ìn (cid:31)¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng Cao (cid:31)¯ng S÷ ph¤m H T¥y, Pháng

Tê hù ¡n bë (cid:31)¢ t¤o (cid:31)i·u ki»n tèt nh§t ho tæi (cid:31)i hå . Tæi ng xin gûi líi £m ìn (cid:31)¸n

Ban Chõ nhi»m Khoa Tü nhi¶n v ¡ b¤n b± (cid:31)çng nghi»p (cid:31)¢ luæn õng hë, (cid:31)ëng vi¶n,

hia s´ ¡ æng vi» (cid:31)º tæi â thíi gian tªp trung nghi¶n ùu t¤i Tr÷íng (cid:30)¤i hå Quy

Nhìn.

Tæi xin £m ìn ¡ b¤n nghi¶n ùu sinh t¤i Tr÷íng (cid:30)¤i hå Quy Nhìn (cid:31)¢ luæn (cid:31)ëng

vi¶n, hia s´ gióp (cid:31)ï tæi trong qu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n ùu.

Tæi xin gûi líi bi¸t ìn (cid:31)¸n gia (cid:31)¼nh hai b¶n nëi ngo¤i. Nhúng ng÷íi th¥n (cid:31)¢ luæn õng

hë, (cid:31)ëng vi¶n tæi. Hå l hé düa tinh thn vúng h (cid:31)º tæi y¶n t¥m hå tªp v nghi¶n

ùu khi xa nh . (cid:30)° bi»t, tæi xin gûi líi bi¸t ìn s¥u s (cid:31)¸n ng÷íi mµ th¥n y¶u õa m¼nh.

C£m ìn sü hy sinh ao £ ng nh÷ t¼nh y¶u væ h¤n õa mµ d nh ho on. T¼nh th÷ìng

bao la õa mµ luæn õ §m tr¡i tim on.

Cuèi òng, tæi xin d nh t¼nh £m (cid:31)° bi»t (cid:31)¸n hçng v hai on th¥n y¶u õa m¼nh.

C£m ìn anh v hai on (cid:31)¢ (cid:31)¸n b¶n (cid:31)íi em, gióp (cid:31)ï, (cid:31)ëng vi¶n em. Gia (cid:31)¼nh luæn l nìi

b¼nh y¶n õa em.

Mö lö

Danh mö ¡ kþ hi»u

iii

Mð (cid:31)u

1 Mët sè k¸t qu£ hu©n bà

1.1 Sü ph¥n bè nghi»m õa ¡ (cid:31)a thù mët bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v mët sè (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù 18

1.2.1 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v (cid:31)ành lþ Artin . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Mët sè (cid:31)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù . . . . . . . . . . . . .

1.3 B i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù v b i to¡n mæmen . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 B i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 B i to¡n mæmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 H¼nh hå (cid:31)¤i sè thü ho (cid:31)a thù ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 T½nh x¡ (cid:31)ành d÷ìng õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn v thun nh§t hâa õa hóng 32

1.6 Chu©n ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn

2.1 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Enestr(cid:4)om-Kakeya . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 C¡ (cid:31)ành lþ d¤ng Cau hy ho (cid:31)a thù ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 So s¡nh ¡ h°n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 C¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù ma trªn

3.1 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Putinar-Vasiles u . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Di kinson-Povh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Handelman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Handelman tr¶n n-(cid:31)ìn h¼nh . . . . . . .

3.3.2 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Handelman tr¶n ¡ (cid:31)a di»n lçi, ompa t

3.3.3 Mët thuªt to¡n t¼m biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù ma trªn d÷ìng

tr¶n mët (cid:31)a di»n lçi ompa t

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K˜T LUŠN

Danh mö ¡ æng tr¼nh õa t¡ gi£ li¶n quan (cid:31)¸n Luªn ¡n

T i li»u tham kh£o

Danh mö ¡ kþ hi»u

: Tr÷íng ¡ sè thü

: Tªp hñp ¡ sè thü khæng ¥m

: Tr÷íng ¡ sè phù

: Tªp ¡ sè tü nhi¶n

: R ho° C

1 ...X αn

n , α = (α1, ..., αn)

∈

∈ Mt(R[X])

: Khæng gian thü n hi·u : Khæng gian phù n hi·u : V nh ¡ ma trªn vuæng §p t vîi ¡ phn tû tr¶n R : V nh ¡ ma trªn vuæng §p t vîi ¡ phn tû tr¶n C : V nh ¡ ma trªn (cid:31)èi xùng §p t trong Mt(R) : bë n bi¸n (X1, ..., Xn) : X α1 : V nh (cid:31)a thù mët bi¸n z vîi h» sè phù : V nh (cid:31)a thù n bi¸n X = (X1, ..., Xn) vîi h» sè thü : Tr÷íng ¡ th÷ìng õa v nh (cid:31)a thù R[X] : V nh ¡ ma trªn §p t vîi ¡ phn tû tr¶n R[X] : V nh ¡ ma trªn (cid:31)èi xùng §p t trong Mt(R[X]) : Ma trªn huyºn và õa ma trªn A : Ma trªn A nûa x¡ (cid:31)ành d÷ìng : Ma trªn A x¡ (cid:31)ành d÷ìng

R R+ C N K Rn Cn Mt(R) Mt(C) St(R) X X α C[z] R[X] R(X) Mt(R[X]) St(R[X]) AT A < 0 0 A

: Chu©n to¡n tû õa ma trªn A

: Tªp hñp t§t £ ¡ têng b¼nh ph÷ìng õa húu h¤n

A ||

phn tû trong mët v nh giao ho¡n A

≻ || A2

iii

Mð (cid:31)u

Kþ hi»u K[X] := K[X1,

, Xn] l v nh ¡ (cid:31)a thù n bi¸n X1, · · · · · ·

, Xn vîi h» sè trong Mt(K[X]) ln l÷ñt l v nh ¡ ma trªn vuæng §p t vîi ¡ phn tû ∈ Mt(K[X]) (cid:31)÷ñ gåi l mët ma trªn (cid:31)a thù ho° mët , Xn vîi · · ·

K. Kþ hi»u Mt(K), trong K v K[X]. Méi ma trªn A (cid:31)a thù ma trªn, bði v¼ nâ â thº biºu di¹n d÷îi d¤ng mët (cid:31)a thù n ©n X1, h» sè tr¶n Mt(K) nh÷ sau:

d

A = AαX α,

, |

Nn α X|α|=0 := α1 + , αn) + αn , X α := X α1 1 · · · · · · · · · ∈

n , Aα ∈ Mt(K), X αn trong (cid:31)â, α = (α1, | d l bª ao nh§t õa ¡ (cid:31)ìn thù trong A. Do (cid:31)â, (cid:31)º thèng nh§t ¡ h gåi trong to n Luªn ¡n, méi ma trªn trong Mt(K[X]) (cid:31)÷ñ gåi l mët (cid:31)a thù ma trªn.

(cid:30)èi t÷ñng nghi¶n ùu h½nh õa Luªn ¡n l ¡ (cid:31)a thù ma trªn, v (cid:31)èi vîi méi tr÷íng

hñp õa sè bi¸n, hóng tæi quan t¥m (cid:31)¸n ¡ b i to¡n kh¡ nhau. Do (cid:31)â, (cid:31)º thuªn ti»n

ho ng÷íi (cid:31)å , hóng tæi t¡ h v tr¼nh b y ¡ b i to¡n li¶n quan trong hai phn ri¶ng

bi»t nh÷ sau.

1. C¡ (cid:31)a thù ma trªn mët bi¸n

Trong phn n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n (cid:31)· li¶n quan (cid:31)¸n ¡ (cid:31)a thù ma trªn mët

bi¸n, tù l x²t ¡ (cid:31)a thù ma trªn â d¤ng

P (z) = Adzd + + A1z + A0, · · ·

trong (cid:31)â, z l bi¸n sè v Ai ∈ Mt(C), mð rëng tü nhi¶n õa (cid:31)a thù (cid:31)° tr÷ng λIt − It l ma trªn (cid:31)ìn và trong Mt(C).

∀ A õa mët ma trªn A i = 0, ..., d. C¡ (cid:31)a thù ma trªn mët bi¸n l sü ∈ Mt(C), trong (cid:31)â

N¸u Ad 6

gåi l mët (cid:31)a thù ma trªn moni .

= 0, th¼ P (z) (cid:31)÷ñ gåi l mët (cid:31)a thù ma trªn bª d. Khi Ad = It , P (z) (cid:31)÷ñ

N¸u tçn t¤i mët v² tì kh¡ khæng x

v λ

Ct ∈ ∈

Nh÷ vªy, méi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) l mët nghi»m õa (cid:31)a thù (cid:31)° tr÷ng det(P (z)). Tªp hñp ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) (cid:31)÷ñ kþ hi»u bði σ(P (z)) v (cid:31)÷ñ gåi l phê õa (cid:31)a thù ma trªn P (z).

C sao ho P (λ)x = 0, th¼ λ (cid:31)÷ñ gåi l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z), v khi (cid:31)â x (cid:31)÷ñ gåi l mët v² tì ri¶ng õa P (z) t÷ìng ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ.

Chó þ th¶m r¬ng trong tr÷íng hñp P (z) = zIt − A, (cid:31)a thù (cid:31)° tr÷ng õa ma trªn ∈ Mt(C), th¼ méi gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn P (z) l mët gi¡ trà ri¶ng õa ma A trªn A. Do (cid:31)â â thº nâi gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn l mët kh¡i ni»m mð rëng õa

gi¡ trà ri¶ng õa mët ma trªn.

B i to¡n gi¡ trà ri¶ng (cid:31)a thù (Polynomial Eigenvalue Problem - PEP) l t¼m mët gi¡

trà ri¶ng λ v mët v² tì kh¡ khæng x

sao ho P (λ)x = 0. Trong tr÷íng hñp d = 1

hóng ta â b i to¡n gi¡ trà ri¶ng têng qu¡t

Ct ∈

Hìn núa, n¸u A1 = It th¼ hóng ta â b i to¡n gi¡ trà ri¶ng hu©n

Ax = λBx.

B i to¡n gi¡ trà ri¶ng bª hai (Quadrati Eigenvalue Problem - QEP) t÷ìng ùng vîi tr÷íng

hñp d = 2.

(cid:30)a thù ma trªn mët bi¸n â nhi·u ùng döng trong ¡ l¾nh vü nh÷ ph÷ìng tr¼nh vi

ph¥n, lþ thuy¸t h» thèng, kÿ thuªt Wiener-Hopf, ì hå v lþ thuy¸t rung, gi£i t½ h sè,

... M° dò tm quan trång õa (cid:31)a thù ma trªn l kh¡ rã r ng nh÷ng ¡ t i li»u v· (cid:31)¤i

sè tuy¸n t½nh v lþ thuy¸t ma trªn (cid:31)· ªp v· nâ khæng nhi·u. Hai æng tr¼nh (cid:31)u ti¶n

vi¸t (cid:31)y (cid:31)õ nh§t v· (cid:31)a thù ma trªn l õa Frazer, Dun an v Collar [15℄ n«m 1955 v

Lan aster [26℄ n«m 1966. C£ hai (cid:31)·u ph¡t triºn lþ thuy¸t (cid:31)a thù ma trªn thæng qua lþ

thuy¸t õa h» rung. Chóng ta â thº g°p (cid:31)a thù ma trªn khi nghi¶n ùu h» ph÷ìng tr¼nh

vi ph¥n ( â bª lîn hìn 1) vîi h» sè h¬ng, tù l h» â d¤ng

Ax = λx.

d

i

u(t) = 0. Ai d dt (cid:19) (cid:18)

i=0 X

Vi» t¼m nghi»m ho h» d¤ng u(t) = x0eλ0t

, vîi x0, λ0 (cid:31)ë lªp vîi t, trü ti¸p d¨n (cid:31)¸n b i

to¡n gi¡ trà ri¶ng - v² tì ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn.

B¶n ¤nh (cid:31)â, b i to¡n gi¡ trà ri¶ng QEP â nhi·u ùng döng v o khoa hå v kÿ thuªt.

Mët têng quan v· nhúng ùng döng õa QEP (cid:31)÷ñ tr¼nh b y trong uèn s¡ h õa Gohberg,

Lan aster v Rodman [16℄, Hamarling, Munro v Tisseur [18℄ v Zeng v Su [56℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a

ra nhúng thuªt to¡n (cid:31)º gi£i b i to¡n QEP. (cid:30)èi vîi b i to¡n PEP, â v i nghi¶n ùu v·

h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn (cid:31)÷ñ thi¸t lªp theo hu©n õa ¡ h» sè õa

(cid:31)a thù ma trªn (cid:31)¢ ho h¯ng h¤n nh÷ æng tr¼nh õa Higham v Tisseur [22℄. Tuy nhi¶n,

vi» t½nh gi¡ trà ri¶ng õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn (thªm h½ t½nh gi¡ trà ri¶ng õa ma trªn

væ h÷îng v t¼m nghi»m õa ¡ (cid:31)a thù mët bi¸n) l mët b i to¡n khâ. Câ mët ph÷ìng

ph¡p l°p (cid:31)º t½nh ¡ gi¡ trà ri¶ng n y (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra bði Simon ini v Perotti [52℄. Hìn núa,

vi» t½nh gi£ phê õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn trong [21℄ ung §p thæng tin v· phê, tù l ,

h¿ ra ¡ h°n ö thº (cid:31)º x¡ (cid:31)ành (cid:31)óng mët mi·n õa m°t ph¯ng phù hùa ¡ gi¡ trà

ri¶ng (cid:31)â. V¼ th¸ vi» t¼m h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn mët bi¸n l mët vi»

l m r§t â þ ngh¾a.

B i to¡n (cid:31)u ti¶n m hóng tæi tªp trung nghi¶n ùu trong Luªn ¡n nh÷ sau.

B i to¡n 1. Cho P (z) = Adzd + v M "(cid:31)õ tèt" sao ho

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn. Ch¿ ra ¡ sè m · · ·

tù l h¿ ra ¡ h°n "(cid:31)õ tèt" ho gi¡ trà ri¶ng õa P (z).

Trong tr÷íng hñp t = 1, tù l tr÷íng hñp õa ¡ (cid:31)a thù mët bi¸n vîi h» sè phù ,

B i to¡n n y (cid:31)¢ (cid:31)÷ñ nghi¶n ùu bði nhi·u nh to¡n hå , â thº kº ra (cid:31)¥y ¡ k¸t qu£

õa Cau hy [31, 33℄, Enestr(cid:4)om v Kakeya [31, 33℄, Joyal, Labelle v Rahman [24℄, Datt

v Govil [8℄, ...

â mët gi¡ trà ri¶ng

(cid:30)º þ r¬ng n¸u Ad l mët ma trªn suy bi¸n, th¼ (cid:31)a thù zdP

m λ M, λ σ(P (z)), ≤ | | ≤ ∀ ∈

b¬ng 0, v n¸u A0 l mët ma trªn suy bi¸n th¼ 0 l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z). Do (cid:31)â, trong Luªn ¡n n y hóng tæi luæn x²t nhúng (cid:31)a thù ma trªn vîi ¡ h» sè Ad v A0 khæng suy bi¸n, (cid:31)º tø (cid:31)â t¼m mët h°n tr¶n v mët h°n d÷îi ho gi¡ trà ri¶ng λ.

Trong tr÷íng hñp t > 1, vi» t¼m ¡ h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn P (z)

theo hu©n (to¡n tû) õa ¡ ma trªn h» sè (cid:31)¢ (cid:31)÷ñ thü hi»n v tr¼nh b y trong b i b¡o

õa Higham v Tisseur [22℄. Mö (cid:31)½ h h½nh (cid:31)u ti¶n õa hóng tæi trong Luªn ¡n l gi£i

quy¸t B i to¡n 1, (cid:31)÷a ra ¡ h°n mîi "(cid:31)õ tèt" ho gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn, tø

(cid:31)â so s¡nh vîi ¡ h°n (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra bði Higham v Tisseur.

2. C¡ (cid:31)a thù ma trªn nhi·u bi¸n

Trong phn n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n (cid:31)· li¶n quan (cid:31)¸n ¡ (cid:31)a thù ma trªn â

sè bi¸n lîn hìn 1. Tr÷î ti¶n, x²t tr÷íng hñp t = 1, tù l x²t ¡ (cid:31)a thù â sè bi¸n lîn

hìn mët.

Cho f

1 z (cid:19) (cid:18)

R[X]. Kþ hi»u R[X] := R[X1, ..., Xn], G = ∈ g1, ..., gm} ⊆ { n N , R[X]2 = R[X], n f 2 i | fi ∈ ∈ ) ( X

i=1 X

tªp hñp ¡ têng b¼nh ph÷ìng õa ¡ (cid:31)a thù trong R[X];

Rn x , 0 KG = g1(x) 0, ..., gm(x) { | ≥ } ≥

x¡ (cid:31)ành bði G;

∈ tªp nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng ì b£n trong Rn

m

, MG = t0 + { tigi| ti ∈ R[X]2, i = 0, ..., m }

i=1 X

mæ(cid:31)un bª hai nhä nh§t tr¶n R[X] hùa G;

, R[X]2 TG = tσgσ1 {

1 ...gσm m |

ti·n thù tü nhä nh§t tr¶n R[X] hùa G.

tσ ∈ } Xσ=(σ1,...,σm)∈{0,1}m X

Chó þ MG ⊆ D¹ th§y n¸u f

l hi·u ng÷ñ l¤i õa (cid:31)i·u n y â (cid:31)óng khæng? Tù l ,

R[X]2. TG , v khi G = ∅ ta â K∅ = Rn, M∅ = T∅ = P TG (hay MG) th¼ f 0 tr¶n KG . Do (cid:31)â, mët ¥u häi tü nhi¶n (cid:31)°t ra ∈ ≥

N¸u ¥u tr£ líi l (cid:31)óng, hóng ta â (cid:31)÷ñ mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng (Positivstel lensatz),

hay (cid:30)ành lþ biºu di¹n khæng ¥m (Ni htnegativstel lensatz). Trong mët sè t i li»u ( h¯ng

h¤n, [32℄), ¡ t¡ gi£ sû döng thuªt ngú hung l "Positivstellensatz". Do (cid:31)â, trong to n

bë luªn v«n hóng tæi thèng nh§t dòng thuªt ngú Positivstel lensatz ((cid:30)ành lþ biºu di¹n

d÷ìng).

Trong tr÷íng hñp (cid:31)° bi»t, G =

f f 0 tr¶n KG = TG (hay MG)? ≥ ⇒ ∈

∅, ta â ¥u häi:

C¥u tr£ líi ho ¥u häi n y (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra bði Hilbert (1888), h¿ ra r¬ng ¥u häi tr¶n h¿

(cid:31)óng trong ba tr÷íng hñp (cid:31)° bi»t õa sè bi¸n v bª õa f . Sau (cid:31)â, t¤i (cid:30)¤i hëi To¡n hå

th¸ giîi tê hù t¤i Paris n«m 1900, Hilbert (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët danh s¡ h gçm 23 "B i to¡n

th¸ k(cid:27)", trong sè (cid:31)â, B i to¡n thù 17 trong danh s¡ h n y (cid:31)÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:

B i to¡n thù 17 õa Hilbert: Cho f

f f 0 tr¶n Rn = R[X]2? ≥ ⇒ ∈ X

õa v nh (cid:31)a thù R[X]. Kþ hi»u

R[X]. Kþ hi»u R(X) l tr÷íng ¡ th÷ìng ∈

k

2

k , k . = 0, i = 1, R(X)2 = | ∈ N, fi, gi ∈ R[X], gi 6 · · · ) ( fi gi (cid:19) X

i=1 (cid:18) X

N¸u f

, â suy ra (cid:31)÷ñ hay khæng f

Mët sè v§n (cid:31)· li¶n quan (cid:31)¸n vi» biºu di¹n th nh têng b¼nh ph÷ìng ( õa (cid:31)a thù , ph¥n

0 tr¶n Rn R(X)2 ∈ ≥

thù ) v B i to¡n thù 17 õa Hilbert (cid:31)÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong Mö 1.2.1.

Vi» nghi¶n ùu ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng (cid:31)âng vai trá quan trång trong b i to¡n

tèi ÷u (cid:31)a thù v b i to¡n mæmen. Cö thº hìn, b i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù l b i to¡n t¼m

(0.1)

, b i to¡n

vîi f

f (x), f ∗ = inf x∈KG

tr¶n (cid:31)÷ñ gåi l b i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù khæng r ng buë .

B i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù (cid:31)÷ñ nhi·u nh nghi¶n ùu quan t¥m tø ¡ l¾nh vü kh¡

nhau nh÷ (cid:31)¤i sè thü , quy ho¤ h nûa x¡ (cid:31)ành v lþ thuy¸t to¡n tû. Shor [51℄ l ng÷íi

(cid:31)u ti¶n ¡p döng mët kÿ thuªt tèi ÷u lçi (cid:31)º ü tiºu mët (cid:31)a thù nhi·u bi¸n khæng r ng

buë . Nesterov [36℄ (cid:31)¢ h¿ ra (cid:31)° t½nh õa nân mæmen bði ¡ r ng buë nûa x¡ (cid:31)ành

trong tr÷íng hñp ¡ phn tû õa nân t÷ìng ùng l ¡ (cid:31)a thù khæng ¥m â thº vi¸t

(cid:31)÷ñ th nh têng ¡ b¼nh ph÷ìng (cid:31)a thù . Trong né lü gi£m bît (cid:31)a thù nhi·u bi¸n,

Lasserre [27℄ l ng÷íi (cid:31)u ti¶n (cid:31)¢ ¡p döng ¡ k¸t qu£ (cid:31)¤i sè thü gn (cid:31)¥y õa Putinar

[39℄ (cid:31)º thi¸t lªp mët d¢y ¡ nîi läng hëi tö (cid:31)¸n gi¡ trà tèi ÷u õa mët b i to¡n tèi ÷u (cid:31)a

thù . Sau (cid:31)¥y hóng tæi minh håa rã hìn v· ùng döng õa ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng

trong vi» gi£i quy¸t b i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù (xem, h¯ng h¤n, [28℄).

Biºu thù (0.1) â thº vi¸t l¤i d÷îi d¤ng

R[X], G v KG x¡ (cid:31)ành nh÷ tr¶n. Trong tr÷íng hñp G = , KG = Rn ∅ ∈

λ λ f (x) = sup f (x), x f ∗ = inf x∈KG KG} { |

(cid:31)÷ñ huyºn sang t¼m supremum õa ¡ sè λ sao ho f

λ λ ≤ f (x) ∈ 0, x = sup { | − ∈ λ ≥ λ > 0, x = sup f (x) { | − KG} . KG} ∈

Nh÷ th¸, vi» t¼m f ∗ λ khæng ¥m (ho° d÷ìng) tr¶n KG . (cid:30)º gi£i quy¸t b i to¡n khâ n y, mët trong nhúng þ t÷ðng l

thay th¸ (cid:31)i·u ki»n khæng ¥m bði mët (cid:31)i·u ki»n n o (cid:31)â (cid:31)ìn gi£n hìn, trong (cid:31)â â hùa ¡

têng b¼nh ph÷ìng, (cid:31)º â thº ti¸p ªn b¬ng ¡ h sû döng Quy ho¤ h nûa x¡ (cid:31)ành (SDP).

−

Vîi þ t÷ðng (cid:31)â, mët trong nhúng ¡ h (cid:31)º nîi läng (cid:31)i·u ki»n "f biºu di¹n f

λ 0 tr¶n KG" l x²t − ≥ λ d÷îi d¤ng

m

− f λ = t0 + tigi, −

i=1 X . Tù l , nîi läng (cid:31)i·u ki»n "f

trong (cid:31)â ti ∈

λ λ R[X]2 0 tr¶n KG" th nh "f MG ". − ≥ − ∈

(cid:30)i·u n y d¨n (cid:31)¸n vi» x²t b i to¡n

(0.2)

. Hìn núa, n¸u ta â

λ f λ . f sos,G = sup MG} | { −

Rã r ng, n¸u f ∈ mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù f

khæng d¨n (cid:31)¸n mët Quy ho¤ h nûa x¡ (cid:31)ành, bði v¼ hóng

Tuy nhi¶n vi» t¼m f sos,G

λ λ f ∗ MG th¼ f ∈ 0 tr¶n KG . Do (cid:31)â f sos,G − ≥ − ≤ λ tr¶n KG th¼ f sos,G = f ∗ −

ta khæng h°n (cid:31)÷ñ bª õa ¡ (cid:31)a thù ti trong biºu di¹n õa f Quy ho¤ h nûa x¡ (cid:31)ành, hóng ta x²t ¡ sè nguy¶n k vîi

λ. (cid:30)º nhªn (cid:31)÷ñ mët −

X²t b i to¡n

. 2k max deg(f ), deg(g1), . . . , deg(gm) ≥ } {

m

(0.3)

. λ f 2k = sup R[X]2, deg(t0), deg(tigi) λ = t0 + f sos,G k tigi, ti ∈ } ≤ { | − X

i=1 X

(cid:31)÷ñ t½nh qua mët Quy ho¤ h nûa x¡ (cid:31)ành. Hìn núa,

Khi (cid:31)â f sos,G

k

f sos,G f ∗ f sos,G k f sos,G k+1 ≤ ≤ ≤

v lim k→∞

Ti¸p theo hóng tæi giîi thi»u vai trá õa ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong vi» gi£i

quy¸t b i to¡n mæmen. D¤ng thù nh§t õa b i to¡n mæmen (cid:31)÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau.

. Cho L : R[X1, ..., Xn]

B i to¡n mæmen (d¤ng 1) Cho K l mët tªp on (cid:31)âng trong Rn → R l mët phi¸m h m tuy¸n t½nh. Häi li»u â tçn t¤i mët (cid:31)ë (cid:31)o Borel d÷ìng µ vîi gi¡ hùa trong K sao ho vîi måi f

= f sos,G f sos,G k

R[X1, ..., Xn], ∈

L(f ) = f dµ?

Haviland (1935, [20℄) (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët (cid:31)i·u ki»n n v (cid:31)õ ho sü tçn t¤i õa (cid:31)ë (cid:31)o d÷ìng

(cid:30)ành lþ 1 (Haviland, [20℄). (cid:30)i·u ki»n n v (cid:31)õ (cid:31)º tçn t¤i mët (cid:31)ë (cid:31)o Borel d÷ìng µ vîi gi¡ hùa trong K sao ho vîi måi f

µ, ö thº nh÷ sau.

R[X1, ..., Xn] ta â ∈

f dµ L(f ) =

l L(f )

0 vîi måi f 0 tr¶n K . ≥ ≥

(cid:30)èi vîi ¡ tªp tªp on (cid:31)âng trong Rn

â d¤ng K = KG , vîi G l mët tªp on húu h¤n n o (cid:31)â trong v nh (cid:31)a thù R[X], mët d¤ng kh¡ õa b i to¡n mæmen (cid:31)÷ñ ph¡t biºu

nh÷ sau.

B i to¡n mæmen (d¤ng 2) Cho G = tr¶n. N¸u L(f ) 0, KG sao ho

g1, ..., gm} ⊆ { f R[X]; KG, TG (cid:31)÷ñ (cid:31)ành ngh¾a nh÷ TG th¼ â tçn t¤i mët (cid:31)ë (cid:31)o Borel d÷ìng µ â gi¡ hùa trong ≥ ∈ ∀

f dµ L(f ) =

vîi måi f

ZKG

R[X] hay khæng?

b i to¡n mæmen d¤ng 1. Tuy nhi¶n, n¸u hóng ta â mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n

∈ Chó þ r¬ng vîi f TG th¼ f 0 tr¶n KG . Do (cid:31)â b i to¡n mæmen d¤ng 2 y¸u hìn ∈ ≥

xem th¶m v· ùng döng õa ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng (cid:31)º gi£i quy¸t ¡ b i to¡n mæmen

trong ¡ t i li»u [28℄, [17℄.

C¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù (cid:31)¢ nhªn (cid:31)÷ñ nhi·u sü quan t¥m õa ¡

nh to¡n hå . Krivine (1964) v Stengle (1974) [25, 54℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra biºu di¹n " â m¨u thù "

ho ¡ (cid:31)a thù d÷ìng (t÷ìng ùng, khæng ¥m, b¬ng khæng) tr¶n mët tªp nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng

ì b£n. Vi» t¼m ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng "khæng m¨u thù " hi»n v¨n (cid:31)ang thu hót

sü quan t¥m õa nhi·u ng÷íi.

N«m 1991, vîi vi» t¼m líi gi£i ho B i to¡n mæmen b¬ng æng ö Gi£i t½ h h m,

S hm(cid:4)udgen [46℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n tªp ompa t. Cö thº,

S hm(cid:4)udgen kh¯ng (cid:31)ành r¬ng: N¸u f > 0 tr¶n KG v KG l tªp ompa t th¼ f

KG th¼ hai b i to¡n tr¶n t÷ìng (cid:31)÷ìng vîi nhau (qua (cid:31)ành lþ Haviland). Ng÷íi (cid:31)å â thº

Mët tr÷íng hñp (cid:31)° bi»t õa (cid:30)ành lþ S hm(cid:4)udgen (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra tr÷î (cid:31)â bði Handelman

[19℄, biºu di¹n ¡ (cid:31)a thù d÷ìng tr¶n mët (cid:31)a di»n lçi, ompa t.

TG . ∈

Vi» (cid:31)÷a ra mët (cid:31)i·u ki»n (cid:31)º (cid:31)£m b£o ¡ (cid:31)a thù d÷ìng tr¶n KG thuë v o MG khâ hìn so vîi thuë v o TG . Mët (cid:31)i·u ki»n nh÷ th¸ (cid:31)÷ñ Putinar [39℄ (cid:31)÷a ra n«m 1993, vîi (cid:31)i·u ki»n a simet õa mæ(cid:31)un bª hai MG . Nh l¤i, mët mæ(cid:31)un bª hai M trong v nh (cid:31)a thù R[X] (cid:31)÷ñ gåi l a simet n¸u tçn t¤i sè tü nhi¶n k M .

N sao ho k (X 2

1 +...+X 2 n)

(cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar (cid:31)÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau: Gi£ sû MG a simet. Khi

(cid:31)â, n¸u f > 0 tr¶n KG th¼ f

∈ ∈ −

Chó þ r¬ng, MG a simet th¼ TG a simet. Hìn núa, TG a simet t÷ìng (cid:31)÷ìng vîi KG ompa t. Hìn núa, n¸u f â nghi»m trong KG th¼ ¡ (cid:31)ành lþ õa S hm(cid:4)udgen v Putinar

â thº khæng án (cid:31)óng. Do (cid:31)â, S heiderer [42, 43℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët ti¶u hu©n Hessian (cid:31)º

MG . ∈

(cid:31)£m b£o ho ¡ (cid:31)a thù khæng ¥m (tù l â nghi»m) tr¶n KG thuë v o TG (t÷ìng ùng, MG ) vîi (cid:31)i·u ki»n KG ompa t (t÷ìng ùng, MG a simet).

Biºu di¹n ¡ (cid:31)a thù d÷ìng (khæng ¥m) tr¶n mët tªp on khæng ompa t trong Rn

khâ hìn nhi·u. Trong tr÷íng hñp KG khæng ompa t, S hweighofer (2006, [50℄) kh¯ng R[X] bà h°n tr¶n KG , v f h¿ â húu h¤n gi¡ trà ti»m ªn trong (cid:31)ành r¬ng: Gi£ sû f KG v to n bë (cid:31)·u d÷ìng. Khi (cid:31)â, n¸u f > 0 tr¶n KG th¼ f

Nh l¤i r¬ng, tªp hñp

∈ TG . ∈

l tªp ¡ gi¡ trà ti»m ªn õa f .

Pâlya [37℄ â k¸t qu£ sau (cid:31)¥y, biºu di¹n ¡ (cid:31)a thù d÷ìng tr¶n Rn

R y y (k R∞(f, KG) := ), f (xk) { ∈ xk ∈ |∃ KG, xk → ∞ → ∞ } →

+ \ {

}, trong (cid:31)â 0 (x1, , xn)

+ =

· · · }: ∈ { 0

+ \ {

} th¼ tçn t¤i mët sè tü nhi¶n N

N

(cid:31)õ lîn sao ho (cid:31)a thù

Rn : xi ≥ Rn Cho f l mët (cid:31)a thù thun nh§t. N¸u f > 0 tr¶n Rn n f â t§t £ ¡ h» sè kh¡ khæng (cid:31)·u d÷ìng. Xi (cid:18) (cid:19)

i=1 P

N«m 1995, Rezni k (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng biºu di¹n th nh têng ¡

b¼nh ph÷ìng ho ¡ (cid:31)a thù thun nh§t d÷ìng tr¶n Rn

Cho f l mët (cid:31)a thù thun nh§t bª h®n vîi f (x) > 0,

Rn 0

N

}. (cid:30)ành lþ Rezni k nâi r¬ng: }. Khi (cid:31)â, tçn t¤i ∈ \ {

n

mët sè tü nhi¶n N (cid:31)õ lîn sao ho

f 0 \ { x ∀ R[X]2 X 2 i ∈ (cid:19) (cid:18)

i=1 P

Têng qu¡t ho k¸t qu£ õa Rezni k, Putinar v Vasiles u [40℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët (cid:30)ành

. Gn (cid:31)¥y, n«m 2015,

lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n mët tªp nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng ì b£n trong Rn

Di kinson v Povh [10℄ (cid:31)¢ k¸t hñp (cid:30)ành lþ Pâlya v (cid:30)ành lþ Putinar-Vasiles u (cid:31)º (cid:31)÷a ra

mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n ho ¡ (cid:31)a thù d÷ìng tr¶n mët tªp on nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng ì b£n

. Chi ti¸t ho ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng n y (cid:31)÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong

trong Rn

Mö 1.2.2 õa Luªn ¡n.

Sau (cid:31)¥y hóng tæi (cid:31)· ªp mët sè v§n (cid:31)· li¶n quan (cid:31)¸n tr÷íng hñp t > 1, x²t biºu

di¹n õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn x¡ (cid:31)ành d÷ìng (t÷ìng ùng, nûa x¡ (cid:31)ành d÷ìng) tr¶n mët

. Kþ hi»u St(R[X]) l tªp hñp ¡ (cid:31)a thù ma trªn (cid:31)èi xùng §p t trong

tªp on õa Rn Mt(R[X]). Vîi méi F

= G1, ..., Gm} ⊆ St(R[X]), kþ hi»u

tªp nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng ì b£n trong Rn

x¡ (cid:31)ành bði G .

∈ St(R[X]) v G Rn x , KG := { ∈ { Gi(x)< 0, i = 1, ..., m } |

(cid:31)¥y, vîi méi (cid:31)a thù ma trªn G

, G(x)< 0 (cid:31)÷ñ dòng Rt, vT G(x)v 0.

∈

Kþ hi»u

∈ ∈ St(R[X]) v vîi méi x ≥ 0 (cid:31)÷ñ hiºu l ma trªn G(x) l x¡ (cid:31)ành d÷ìng, tù l vîi måi v ∈ Rn (cid:31)º kþ hi»u ho ma trªn G(x) l nûa x¡ (cid:31)ành d÷ìng, tù l vîi måi v Kþ hi»u G(x) Rt 0 ≻ , vT G(x)v > 0. \ { }

, AT ij MG := GiAij| It} , Aij ∈ Mt(R[X]) }

i,j X

Gi ∈ G ∪ { { mæ(cid:31)un bª hai nhä nh§t tr¶n Mt(R[X]) hùa G .

t

Ti·n thù tü nhä nh§t hùa G s³ (cid:31)÷ñ kþ hi»u bði TG . Trong tr÷íng hñp G R[X] := M∅ = trong (cid:31)â A ∈ Mt(R[X]), v nâ l mæ(cid:31)un bª hai nhä nh§t trong Mt(R[X]). P

Rã r ng, n¸u F

quan t¥m trong Luªn ¡n nh÷ sau

∅, T∅ l tªp hñp ¡ têng húu h¤n õa nhúng phn tû â d¤ng AT A,

B i to¡n 2. Cho F Vîi (cid:31)i·u ki»n n o th¼ F

∈ TG ho° MG th¼ F < 0 tr¶n KG . V§n (cid:31)· h½nh ti¸p theo hóng tæi 0 tr¶n KG . ∈ St(R[X]), G1, ..., Gm} ⊆ St(R[X]). Gi£ sû F ≻

Li¶n quan (cid:31)¸n b i to¡n n y, S herer v Hol [44℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët d¤ng ma trªn biºu

= { G ∈ TG ho° F ∈ MG.

n

di¹n ¡ (cid:31)a thù ma trªn x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n ∆n ng nh÷ ¡ (cid:31)a thù ma trªn x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n KG m MG a simet ho (cid:31)ành lþ Pâlya v (cid:31)ành lþ Putinar; trong (cid:31)â ∆n =

Rn 0, (x1, ..., xn) xi = 1 { ∈ xi ≥ | }.

i=1 P

Cimpri(cid:7) [6℄ (cid:31)÷a ra d¤ng ma trªn ho (cid:31)ành lþ Krivine-Stengle; Cimpri(cid:7) v Zalar [7℄ (cid:31)¢

nghi¶n ùu b i to¡n mæmen ho ¡ (cid:31)a thù to¡n tû v hå (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët d¤ng ma trªn

ho (cid:31)ành lþ S hm(cid:4)udgen; L¶ Cæng Tr¼nh [29℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët d¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ biºu

di¹n d÷ìng õa Krivine-Stengle, S hweighofer, S heiderer,... Chi ti¸t ho ¡ k¸t qu£ n y

(cid:31)÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong Mö 1.4 õa Ch÷ìng 1.

D¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya [37℄ (cid:31)âng mët vai trá quan trång

trong lþ thuy¸t (cid:31)i·u khiºn. Hu h¸t ¡ b i to¡n (cid:31)i·u khiºn tuy¸n t½nh (cid:31)·u d¨n (cid:31)¸n ¡

b§t (cid:31)¯ng thù ma trªn. R§t nhi·u trong sè ¡ b i to¡n n y â thº gi£i (cid:31)÷ñ khi ¡ b§t

(cid:31)¯ng thù ma trªn l tuy¸n t½nh. Rã hìn, mët b§t (cid:31)¯ng thù ma trªn tuy¸n t½nh (Linear

Matrix Inequality - LMI) â d¤ng

(0.4)

0, L(X) := A0 + A1X1 + ... + AnXn ≻

Sn(R) l ¡ ma trªn (cid:31)èi xùng

trong (cid:31)â X = (X1, ..., Xn) l n bi¸n thü v A0, A1, ..., An ∈ ho tr÷î . B§t (cid:31)¯ng thù (0.4) h¿ ra L(x) x¡ (cid:31)ành d÷ìng, tù l , vT L(x)v > 0,

v ∀ ∈

Rn 0 \ { }. Khi (cid:31)â, mi·n x¡ (cid:31)ành õa LMI l

Rn x . := L(x) 0 { ∈ G | } ≻

(cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya ho (cid:31)a thù ma trªn [44℄ kh¯ng (cid:31)ành r¬ng: Gi£ sû F l mët (cid:31)a thù ma trªn (cid:31)èi xùng thun nh§t bª d. N¸u F 0 tr¶n △n th¼ tçn t¤i sè tü nhi¶n N sao ho

≻

trong (cid:31)â, Aα l ¡ ma trªn nûa x¡ (cid:31)ành d÷ìng, X α = X α1

(X1 + + Xn)N F = AαX α, · · · X|α|≤N +d

n . (cid:30)º rã hìn v· ¡ ùng

1 ...X αn

döng n y, â thº xem hi ti¸t trong b i b¡o õa S herer v Hol [44℄.

Mö (cid:31)½ h h½nh ti¸p theo õa hóng tæi trong Luªn ¡n l gi£i quy¸t B i to¡n 2, (cid:31)÷a ra

d¤ng ma trªn ho ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u, Di kinson-Povh v

Handelman.

Ngo i Mö lö , Danh mö ¡ kþ hi»u, Líi mð (cid:31)u, Danh s¡ h ¡ æng tr¼nh õa t¡

gi£ li¶n quan (cid:31)¸n Luªn ¡n, T i li»u tham kh£o v K¸t luªn, nëi dung h½nh õa Luªn ¡n

(cid:31)÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong ba h÷ìng.

Trong Ch÷ìng 1 hóng tæi ung §p nhúng kh¡i ni»m v k¸t qu£ ì b£n (cid:31)÷ñ sû döng

trong Luªn ¡n gçm: Sü ph¥n bè nghi»m õa ¡ (cid:31)a thù mët bi¸n, B i to¡n thù 17 õa

Hilbert v mët sè (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng, B i to¡n mæmen v B i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù ,

d¤ng ma trªn ho mët sè (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng. Cuèi h÷ìng hóng tæi (cid:31)÷a ra k¸t qu£

mîi v· mèi li¶n h» giúa t½nh d÷ìng õa (cid:31)a thù ma trªn v thun nh§t hâa õa nâ.

Trong Ch÷ìng 2 hóng tæi (cid:31)÷a ra mët sè h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn.

Cö thº, hóng tæi (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët sè d¤ng ma trªn ho (cid:31)ành lþ Enestr(cid:4)om-Kakeya ( ¡ (cid:31)ành

lþ 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4). Mët sè d¤ng ma trªn ho ¡ (cid:31)ành lþ d¤ng Cau hy ng (cid:31)÷ñ hóng

tæi (cid:31)÷a ra trong ¡ (cid:31)ành lþ 2.2.2, 2.2.4, 2.2.6, 2.2.8, 2.2.10, 2.2.12, 2.2.14, 2.2.16, 2.2.17.

Cuèi h÷ìng, trong Mö 2.3, hóng tæi tr¼nh b y b£ng so s¡nh ¡ h°n (cid:31)¢ (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ trong

h÷ìng n y vîi ¡ h°n (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra bði Higham v Tisseur [22℄ tr¶n òng v½ dö v phn

m·m t½nh to¡n.

Trong Ch÷ìng 3 hóng tæi nghi¶n ùu ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho ¡ (cid:31)a thù

ma trªn. Cö thº, hóng tæi (cid:31)÷a ra d¤ng ma trªn ho ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa

Putinar-Vasiles u, Rezni k, Di kinson-Povh v Handelman. Ri¶ng (cid:31)èi vîi d¤ng ma trªn

ho (cid:31)ành lþ Handelman, hóng tæi (cid:31)÷a ra mët thõ tö (cid:31)º t¼m biºu di¹n ho mët (cid:31)a thù

ma trªn x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n mët (cid:31)a di»n ompa t, lçi trong Rn

C¡ k¸t qu£ h½nh õa Luªn ¡n (cid:31)÷ñ hóng tæi æng bè trong ¡ b i b¡o [12, 30℄, ti·n

§n ph©m [13℄ v (cid:31)¢ (cid:31)÷ñ b¡o ¡o t¤i:

(cid:30)ành, 12-14/08/2015;

• Hëi th£o (cid:16)To¡n hå Mi·n Trung-T¥y Nguy¶n ln I(cid:17), Tr÷íng (cid:30)¤i hå Quy Nhìn, B¼nh

ations (ICMAA)(cid:17), Tr÷íng (cid:30)¤i hå Duy T¥n, (cid:30) N®ng, 15-18/06/2017;

• Hëi th£o què t¸ (cid:16)The 6th International Conferen e on Matrix Analysis and Appli-

18-22/06/2018;

• Hëi th£o què t¸ (cid:16)String-Math 2018(cid:17), Tr÷íng (cid:30)¤i hå Tohoku, Sendai, Nhªt B£n,

tions (ICMAA 2018)(cid:17), Tr÷íng (cid:30)¤i hå Shinshu, Nagano, Nhªt B£n, 22-25/06/2018;

• Hëi th£o què t¸ (cid:16)The 7th International Conferen e on Matrix Analysis and Appli a-

• Seminar Khoa To¡n, Tr÷íng (cid:30)¤i hå Quy Nhìn, B¼nh (cid:30)ành;

18/08/2018.

B¼nh (cid:30)ành, th¡ng 11 n«m 2018

T¡ gi£

D÷ Thà Háa B¼nh

• (cid:30)¤i hëi To¡n hå Vi»t Nam ln thù IX, Tr÷íng (cid:30)¤i hå Thæng tin Li¶n l¤ , 14-

Ch÷ìng 1

Mët sè k¸t qu£ hu©n bà

Trong h÷ìng n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ hu©n bà ho ¡ h÷ìng án

l¤i õa Luªn ¡n. Sü ph¥n bè nghi»m õa (cid:31)a thù mët bi¸n nh÷ (cid:30)ành lþ Cau hy [31, 33℄

v mët sè (cid:31)ành lþ d¤ng Cau hy, (cid:30)ành lþ Enestr(cid:4)om-Kakeya [53, Corollary 3℄ (cid:31)÷ñ tr¼nh

b y trong Mö 1.1. Chóng tæi s³ tr¼nh b y mët sè (cid:31)ành ngh¾a ì b£n trong H¼nh hå (cid:31)¤i

sè thü , (cid:31)÷ñ tr½ h d¨n tø ¡ æng tr¼nh õa S hm(cid:4)udgen [45, 47, 48℄, Cimpri(cid:7) [5, 6℄ v

Marshall [32℄ trong Mö 1.2. (cid:31)¥y hóng tæi ng tr¼nh b y mët sè (cid:30)ành lþ biºu di¹n

d÷ìng ho (cid:31)a thù . Mët sè (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù ma trªn (cid:31)÷ñ hóng tæi

tr¼nh b y trong Mö 1.4. Ùng döng õa ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong B i to¡n tèi

÷u (cid:31)a thù v B i to¡n mæmen s³ (cid:31)÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong Mö 1.3. Cuèi h÷ìng

hóng tæi (cid:31)÷a ra mët sè k¸t qu£ mîi v· mèi li¶n h» giúa t½nh d÷ìng õa (cid:31)a thù ma trªn

v thun nh§t hâa õa nâ.

1.1 Sü ph¥n bè nghi»m õa ¡ (cid:31)a thù mët bi¸n

B i to¡n t¼m nghi»m õa ¡ (cid:31)a thù mët bi¸n l mët trong nhúng b i to¡n ì b£n

õa (cid:30)¤i sè. Tuy nhi¶n vi» t¼m h½nh x¡ nghi»m õa (cid:31)a thù mët bi¸n khæng ph£i ló

n o ng d¹ d ng. Do (cid:31)â, thay v¼ t¼m nghi»m õa (cid:31)a thù , hóng ta t¼m mi·n hùa ¡

nghi»m õa nâ. (cid:30)èi vîi ¡ (cid:31)a thù h» sè thü , ta â ¡ d¤ng t÷ìng (cid:31)÷ìng sau (cid:31)¥y õa

(cid:31)ành lþ Enestr(cid:4)om-Kakeya.

(cid:30)ành lþ 1.1.1 (Enestr(cid:4)om-Kakeya, d¤ng 1, [53, Corollary 3℄). Cho f (z) l mët (cid:31)a thù bª d

R, i = 0, ..., d. f (z) = adzd + ad−1zd−1 + + a1z + a0, ai ∈ · · · ∀

Gi£ sû r¬ng

N¸u z

Bä qua (cid:31)i·u ki»n s p thù tü õa ¡ h» sè, ta â d¤ng 2 sau õa (cid:31)ành lþ Enestr(cid:4)om-

Kakeya.

0, v ad > 0. ad ≥ 1. C l mët nghi»m õa f (z) th¼ a0 ≥ z | ≤ ∈ ad−1 ≥ · · · ≥ a0 2ad ≤ |

(cid:30)ành lþ 1.1.2 (Enestr(cid:4)om-Kakeya, d¤ng 2, [3℄). Cho f (z) = adzd +ad−1zd−1 + l mët (cid:31)a thù thü vîi ai, i = 0, ..., d, l ¡ sè thü d÷ìng. Kþ hi»u

+a1z +a0 · · ·

. α := min , β := max

0≤i≤d−1

Khi (cid:31)â, måi nghi»m z

(cid:26) ai ai+1 (cid:27) ai ai+1 (cid:27) (cid:26) C õa f (z) thäa m¢n ∈

(cid:30)èi vîi ¡ (cid:31)a thù phù , (cid:31)ành lþ Cau hy h¿ ra mët (cid:31)¾a trán hùa ¡ nghi»m õa nâ,

ö thº nh÷ sau.

α z β. ≤ | | ≤

d

l mët (cid:31)a thù phù bª d.

(cid:30)ành lþ 1.1.3 (Cau hy, d¤ng 1, [31, 33℄). Cho f (z) =

aizi

i=0 P ,

Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa (cid:31)a thù f (z) n¬m trong (cid:31)¾a 1 + M

vîi M = max

z z | | | ≤ } . { , j = 0, 1, ..., d ∈ 1 − aj ad

hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ mët h» qu£ sau.

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:26)(cid:12) (cid:12) (cid:12) > , i = 0, ..., d 1, th¼ M < 1. Khi (cid:31)â, (cid:27) Trong tr÷íng hñp (cid:31)a thù f (z) â | ad| ai| | ∀ −

d

l mët (cid:31)a thù phù bª d. N¸u

H» qu£ 1.1.4 ([9, Theorem 2.2℄). Cho f (z) =

aizi

C , > z z i = 0, ..., d < 2 |

i=0 1, th¼ måi nghi»m õa (cid:31)a thù f (z) n¬m trong (cid:31)¾a { P −

ai| ∀ | ∈ | | | }.

d

l mët (cid:31)a thù phù

bª d. Gåi r v R t÷ìng ùng l nghi»m d÷ìng õa ¡ (cid:31)a thù

ad| (cid:30)ành lþ 1.1.5 (Cau hy, d¤ng 2, [31, Se tion 27℄). Cho f (z) = aizi

i=0 P

z , h(z) = zd + zd−1 + + ad| | ad−1| | a1| | a0| − | · · ·

Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa (cid:31)a thù f (z) thäa m¢n

zd zd−1 z . g(z) = ad| | ad−1| − | − · · · − | a1| a0| − |

r z R. ≤ | | ≤

T÷ìng tü þ t÷ðng tr¶n õa Cau hy, hóng ta â mët sè k¸t qu£ d¤ng Cau hy v· sü

ph§n bè nghi»m õa (cid:31)a thù nh÷ sau.

d

l mët (cid:31)a thù phù bª d. Kþ hi»u

(cid:30)ành lþ 1.1.6 ([9, Theorem 3.2℄). Cho f (z) =

aizi

i=0 P

. M := max

0≤i≤d−1

ai ad

(cid:12) (cid:12) Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa (cid:31)a thù f (z) n¬m trong (cid:31)¾a (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

trong (cid:31)â, r1 l nghi»m d÷ìng lîn nh§t õa ph÷ìng tr¼nh

C z z , K(0, r1) = { ∈ | | | ≤ r1}

(cid:129)p döng (cid:30)ành lþ 1.1.6 ho (cid:31)a thù (1

zd+1 (1 + M)zd + M = 0. −

z)f (z), hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ ¡ h» qu£ sau. −

d

l mët (cid:31)a thù phù bª d. Kþ hi»u

H» qu£ 1.1.7 ([9, Theorem 3.3℄). Cho f (z) =

aizi

i=0 P ad−i−1

M := max i=0,...,d ad−i − ad

, a−1 := 0. (cid:12) (cid:12) f Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa (cid:31)a thù f (z) n¬m trong (cid:31)¾a (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

trong (cid:31)â, r2 l nghi»m d÷ìng lîn nh§t õa ph÷ìng tr¼nh

C z z , K(0, r2) = { ∈ | | | ≤ r2}

zd+2 (1 + M )zd+1 + M = 0. −

H» qu£ sau (cid:31)¥y l mët k¸t qu£ t÷ìng tü (cid:30)ành lþ 1.1.3.

f f

d

l mët (cid:31)a thù phù bª d. Khi (cid:31)â,

H» qu£ 1.1.8 ([9, Theorem 3.4℄). Cho f (z) =

måi nghi»m õa (cid:31)a thù f (z) n¬m trong (cid:31)¾a

aizi

i=0 P

C z z , K(0, r3) = { ∈ | | | ≤ r3}

trong (cid:31)â, r3 = 1 +

M v M (cid:31)÷ñ x¡ (cid:31)ành nh÷ trong H» qu£ 1.1.7.

Ch°n tr¶n sau (cid:31)¥y õa Joyal-Labelle-Rahman [24℄ trong nhi·u tr÷íng hñp l tèt hìn

so vîi ¡ h°n Cau hy.

f f

d

l mët (cid:31)a thù phù

(cid:30)ành lþ 1.1.9 (Joyal, Labelle, Rahman, [24℄). Cho f (z) =

bª d. Kþ hi»u

aizi

i=0 P

. α := max

i=0,...,d−2

Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa f (z) thäa m¢n

ai ad

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

2

(cid:129)p döng (cid:30)ành lþ 1.1.9 ho (cid:31)a thù g(z) = zdf ( 1

z . + 1 + + 4α | | ≤ − ad−1 ad ad−1 ad 1 s(cid:18) 1 2     (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:19) (cid:12) (cid:12) (cid:12)  

ho nghi»m õa (cid:31)a thù nh÷ sau.

(cid:12) (cid:12) (cid:12) z ), hóng ta s³ (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ mët h°n d÷îi

H» qu£ 1.1.10 ([24℄). Cho f (z) = adzd + ad−1zd−1 + bª d vîi a0 6

+ a1z + a0 l mët (cid:31)a thù phù · · · = 0. Kþ hi»u

Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa f (z) thäa m¢n

. β := max i=2,...,d ai a0

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

2 . z

2

| | ≥ + + 4β 1 + − a1 a0 a1 a0 1 s(cid:18)

(cid:129)p döng (cid:30)ành lþ 1.1.9 ho (cid:31)a thù (1

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:19) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) z)f (z) ta â h» qu£ sau. −

H» qu£ 1.1.11 ([24℄). Cho f (z) = adzd + ad−1zd−1 + bª d. Kþ hi»u

+ a1z + a0 l mët (cid:31)a thù phù · · ·

Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa f (z) thäa m¢n

ad−i−1 γ := max i=1,...,d ad−i − ad

, a−1 := 0. (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

2

h°n d÷îi ho (cid:31)a thù nh÷ sau.

ad−1 ad−1 z . + + 4γ 1 + 1 | | ≤ − ad − ad ad − ad s(cid:18)   1 2   (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)   (cid:19) (cid:12) (cid:12) (cid:12) T÷ìng tü, ¡p döng H» qu£ 1.1.11 ho (cid:31)a thù g(z) = zdf ( 1 z ), hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ mët

H» qu£ 1.1.12. Cho f (z) = adzd + ad−1zd−1 + â a0 6

+ a1z + a0 l mët (cid:31)a thù phù bª d · · · = 0. Kþ hi»u ai+1 γ′ := max i=1,...,d ai − a0

(cid:12) (cid:12) Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa f (z) thäa m¢n (cid:12) , ad+1 := 0. (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 . z

2

| | ≥ a1 a1 + + 4γ′ 1 1 + − a0 − a0 a0 − a0 s(cid:18)

(cid:129)p döng (cid:30)ành lþ 1.1.9 ho (cid:31)a thù (z

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:19) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ad−1)f (z) ta (cid:31)÷ñ h» qu£ sau. −

H» qu£ 1.1.13 ([24℄). Cho f (z) = zd + ad−1zd−1 + d. Kþ hi»u

+ a1z + a0 l mët (cid:31)a thù phù bª · · ·

δ := max , a−1 := 0.

i=0,...,d−1 |

Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa f (z) thäa m¢n

ad−1ai − ai−1|

(cid:30)èi vîi mët (cid:31)a thù b§t ký, b¬ng ¡ h x²t (cid:31)a thù moni t÷ìng ùng, ta nhªn (cid:31)÷ñ

(cid:31)¡nh gi¡ sau.

z (1 + √1 + 4δ). 1 2 | | ≤

H» qu£ 1.1.14 ([24℄). Cho f (z) = adzd + ad−1zd−1 + bª d. Kþ hi»u

+ a1z + a0 l mët (cid:31)a thù phù · · ·

ai−1ad δ′ := max

i=0,...,d−1

Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa f (z) thäa m¢n

ad−1ai − a2 d

, a−1 := 0. (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

T÷ìng tü, ¡p döng H» qu£ 1.1.14 ho (cid:31)a thù g(z) = zdf ( 1

z (1 + √1 + 4δ′). 1 2 | | ≤

z ), hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ mët

h°n d÷îi ho (cid:31)a thù nh÷ sau.

H» qu£ 1.1.15. Cho mët (cid:31)a thù phù f (z) = adzd + ad−1zd−1 + a0 6

Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa f (z) thäa m¢n

+ a1z + a0 bª d â · · · = 0. Kþ hi»u a0ai+1 , ad+1 := 0. δ” := max i=1,...,d a1ai − a2 0

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

. z | | ≥ 2 1 + √1 + 4δ”

(cid:30)ành lþ sau õa Datt v Govil [8℄ ho hóng ta mët h°n tr¶n tèt hìn so vîi h°n tr¶n

õa Cau hy trong (cid:30)ành lþ 1.1.3.

(cid:30)ành lþ 1.1.16 (Datt-Govil,[8, Theorem 1℄). Cho mët (cid:31)a thù phù f (z) = adzd + ad−1zd−1 +

+ a1z + a0 bª d. Kþ hi»u · · ·

. A := max

i=0,...,d−1

ai ad

Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa f (z) thäa m¢n

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

z a0| | 1 + x0A, 2 (1 + A)d−1(Ad + 1) ≤ | | ≤

1

ad| | trong (cid:31)â, x0 l mët nghi»m õa ph÷ìng tr¼nh x = 1

(Ax+1)d n¬m trong (0, 1).

−

1

(0, 1) õa ph÷ìng tr¼nh x = 1

(Ax+1)d , hóng

Trong tr÷íng hñp khâ t¼m nghi»m x0 ∈

ta â thº dòng h°n sau (cid:31)¥y.

(cid:30)ành lþ 1.1.17 (Datt-Govil,[8, Theorem 2℄). Cho mët (cid:31)a thù phù f (z) = adzd + ad−1zd−1 +

−

+ a1z + a0 bª d. Kþ hi»u · · ·

. A := max

i=0,...,d−1

ai ad

Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa f (z) thäa m¢n

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

T÷ìng tü ¡ (cid:31)ành lþ Cau hy, hóng ta â ¡ h°n sau (cid:31)¥y ho nghi»m õa (cid:31)a thù .

(cid:30)ành lþ 1.1.18 ([34, Theorem 2.2℄). Cho mët (cid:31)a thù phù f (z) = adzd + ad−1zd−1 +

A. z < 1 + 1 a0| | 2 1 (1 + A)d (1 + A)d−1(Ad + 1) ≤ | | − ad| | (cid:17) (cid:16)

+ a1z + a0 bª d. Kþ hi»u · · ·

. M := max , M ′ := max

i=0,...,d−1 |

ai|

i=1,...,d |

Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa f (z) thäa m¢n

ai|

Têng qu¡t ho (cid:30)ành lþ 1.1.18 ta â k¸t qu£ sau.

z . < 1 + a0| + M ′ < | | M ad| | | a0| |

(cid:30)ành lþ 1.1.19 ([34, Theorem 2.4℄). Cho mët (cid:31)a thù phù f (z) = adzd + ad−1zd−1 + 1 p + 1

+ a1z + a0 bª d. Cho p, q > 1 sao ho

q = 1. Kþ hi»u

· · ·

1 p

d−1

d

p

, M ′ . Mp :=

p :=

ai| | ai| | ! !

i=0 X

i=1 X

Khi (cid:31)â, vîi måi nghi»m z õa f (z) ta â

q

1 q

< z < . 1 +

q

1.2 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v mët sè (cid:30)ành lþ

biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù

Cho n

(M ′ | | a0| | p)q + (cid:21) (cid:20) (cid:18) (cid:21) (cid:20) a0| | Mp ad| (cid:19) |

l tªp hñp gçm têng húu h¤n ¡ b¼nh ph÷ìng õa ¡ (cid:31)a thù trong

sè thü ;

≥ 1, kþ hi»u R[X1, ..., Xn] := R[X] l v nh ¡ (cid:31)a thù n bi¸n X1, ..., Xn vîi h» R[X]2

k

, k . R[X], tù l tªp hñp ¡ phn tû â d¤ng R[X], i = 1, P f 2 i , vîi k N, fi ∈ ∈ · · ·

i=1 P

1.2.1 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v (cid:31)ành lþ Artin

Cho f

. Do (cid:31)â,

b¼nh ph÷ìng õa húu h¤n (cid:31)a thù trong R[X] th¼ rã r ng f khæng ¥m tr¶n Rn

mët ¥u häi tü nhi¶n (cid:31)÷ñ (cid:31)°t ra l hi·u ng÷ñ l¤i â (cid:31)óng khæng, tù l

R[X] l mët (cid:31)a thù theo n bi¸n X1, ..., Xn . N¸u f biºu di¹n (cid:31)÷ñ th nh têng ∈

C¥u tr£ líi ho ¥u häi n y (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra bði Hilbert v o n«m 1888, ö thº nh÷ sau.

f f 0 tr¶n Rn = R[X]2? ≥ ⇒ ∈ X

(cid:30)ành lþ 1.2.1 (Hilbert, [23℄). Cho f Rn

n¸u v h¿ n¸u mët trong ¡ (cid:31)i·u ki»n sau thäa m¢n:

. n = 1;

. d = 2;

. n = 2, d = 4.

∈ R[X] l mët (cid:31)a thù bª d h®n v khæng ¥m tr¶n . Khi (cid:31)â, f â thº biºu di¹n (cid:31)÷ñ th nh têng b¼nh ph÷ìng õa ¡ (cid:31)a thù trong R[X]

Nh÷ th¸, ngo i ba tr÷íng hñp (cid:31)÷ñ Hilbert (cid:31)÷a ra, (cid:31)èi vîi méi °p sè tü nhi¶n n

nh÷ng khæng thº biºu

v d di¹n th nh têng b¼nh ph÷ìng ¡ (cid:31)a thù tr¶n R[X]. Tuy nhi¶n æng khæng h¿ ra trü ti¸p

¡ ph£n v½ dö.

N«m 1967, Motzkin [35℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët ph£n v½ dö v· mët (cid:31)a thù hai bi¸n bª 6 khæng

nh÷ng khæng thº biºu di¹n th nh têng b¼nh ph÷ìng õa ¡ (cid:31)a thù hai bi¸n.

¥m tr¶n R2

Cö thº, (cid:31)a thù Motzkin

2 ≥ 4, luæn tçn t¤i mët (cid:31)a thù n bi¸n bª d, khæng ¥m tr¶n Rn ≥

nh÷ng khæng thº biºu di¹n (cid:31)÷ñ th nh têng b¼nh ph÷ìng ¡ (cid:31)a thù

khæng ¥m tr¶n R2 trong R[X, Y ] ([32, Proposition 1.2.2℄). Tuy nhi¶n, hóng ta â thº biºu di¹n M(X, Y ) bði

têng b¼nh ph÷ìng ¡ ph¥n thù nh÷ sau:

M(X, Y ) = 1 3X 2Y 2 + X 2Y 4 + X 4Y 2 R[X, Y ] − ∈

2

2) 2) + M(X, Y ) = − −

(cid:21) (cid:20) (cid:20)

2

N«m 1977, Choi-Lam [4℄ (cid:31)÷a ra mët (cid:31)a thù ba bi¸n bª 4

(cid:21) 2) . + + − X 2Y (X 2 + Y 2 X 2 + Y 2 XY (X 2 + Y 2 X 2 + Y 2 XY 2(X 2 + Y 2 X 2 + Y 2 X 2 Y 2 − X 2 + Y 2 (cid:20) (cid:21) (cid:21) (cid:20)

q(X, Y, Z) = 1 + X 2Y 2 + Y 2Z 2 + Z 2X 2 4XY Z.

Rã r ng q(X, Y, Z)

b¼nh ph÷ìng ¡ (cid:31)a thù .

T¤i (cid:30)¤i hëi To¡n hå th¸ giîi tê hù t¤i Paris n«m 1900, Hilbert (cid:31)¢ (cid:31)· nghà mët danh

s¡ h gçm 23 "B i to¡n th¸ k(cid:27)", trong sè (cid:31)â, B i to¡n thù 17 (cid:31)÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:

, â suy ra (cid:31)÷ñ

B i to¡n thù 17 õa Hilbert. Cho f

− , nh÷ng q(X, Y, Z) khæng thº biºu di¹n th nh têng ¡ 0 tr¶n R3 ≥

R[X]. N¸u f 0 tr¶n Rn ∈ ≥

k

2

hay khæng?

f =

fi gi (cid:19)

i=1 (cid:18) X

N«m 1927, Artin (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra ¥u tr£ líi sau ho B i to¡n thù 17 õa Hilbert.

th¼ f biºu di¹n (cid:31)÷ñ

(cid:30)ành lþ 1.2.2 (Artin, [1℄). Cho f th nh têng b¼nh ph÷ìng õa ¡ ph¥n thù trong R(X).

1.2.2 Mët sè (cid:31)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù

Tr÷î ti¶n hóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m ì b£n trong H¼nh hå (cid:31)¤i sè thü

ho (cid:31)a thù (cid:31)÷ñ tr½ h d¨n tø ¡ æng tr¼nh õa S hm(cid:4)udgen [45, 47, 48℄, Cimpri(cid:7) [5, 6℄

R[X]. N¸u f khæng ¥m tr¶n Rn ∈

v Marshall [32℄.

l tªp hñp õa ¡ têng b¼nh

Cho A l mët v nh giao ho¡n â (cid:31)ìn và 1. Kþ hi»u

ph÷ìng trong A, tù l tªp hñp ¡ phn tû â d¤ng

, k . A, i = 1, a2 i , k N, ai ∈ ∈ · · ·

k P i=1 P

(cid:30)ành ngh¾a 1.2.3 (Marshall, [32℄).

(a) Mët mæ(cid:31)un bª hai tr¶n A l mët tªp on M

õa A thäa m¢n:

. M + M

. 1

M ; ⊆ M;

(b) Mët ti·n thù tü tr¶n A l mët tªp on T õa A thäa m¢n:

∈ . a2M M vîi måi a A. ⊆ ∈

. T + T

. T

. a2

Tø (cid:30)ành ngh¾a 1.2.3 hóng ta â mët sè nhªn x²t sau.

Chó þ 1.2.4. Cho A l mët v nh giao ho¡n â (cid:31)ìn và 1. Khi (cid:31)â,

(1) Méi ti·n thù tü tr¶n A l mët mæ(cid:31)un bª hai tr¶n A.

(2)

T ; ⊆ T T ; · ⊆ T vîi måi a A. ∈ ∈

l ti·n thù tü nhä nh§t tr¶n A.

B¥y gií hóng ta x²t A l v nh (cid:31)a thù R[X] := R[X1, ..., Xn].

(cid:30)ành ngh¾a 1.2.5 (Marshall, [32℄).

â d¤ng

(a) Méi tªp on õa Rn

Rn x , k , f (x) = 0, fj(x) > 0, j = 1, { ∈ | } · · ·

(cid:31)÷ñ gåi l mët tªp n ûa (cid:31)¤i sè n¸u nâ l hñp húu h¤n õa ¡

vîi f, fj ∈ (b) Mët tªp on õa Rn

tªp nûa (cid:31)¤i sè ì b£n trong Rn

Cho G =

R[X], (cid:31)÷ñ gåi l mët tªp on nûa (cid:31)¤i sè ì b£n õa Rn

g1, ..., gm} l mët tªp on õa R[X]. Khi (cid:31)â, {

;

mët tªp nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng ì b£n trong Rn

Rn x 0 g1(x) 0, ..., gm(x) • Tªp hñp KG = { ∈ | ≥ ≥ } l mët tªp nûa (cid:31)¤i sè, (cid:31)÷ñ gåi l

; • Mæ(cid:31)un bª hai nhä nh§t tr¶n R[X] hùa G, kþ hi»u bði MG , l R[X]2 σ0 + σ1g1 + MG = + σmgm| σi ∈ · · · { }

m . R[X]2 TG = sδgδ1 {

1 · · ·

X • Ti·n thù tü nhä nh§t tr¶n R[X] hùa G, kþ hi»u bði TG , l N, sδ ∈ gδm m | ∈ } Xδ=(δ1,··· ,δm)∈{0,1}m X

Cho (cid:31)a thù f 0, f (x)

R[X]. D¹ th§y, n¸u f MG ho° TG th¼ f 0 tr¶n KG , tù l ≥ ∈ ∈ x KG . Do (cid:31)â, mët ¥u häi (cid:31)÷ñ (cid:31)°t ra l : ≥ ∀ ∈

N¸u ¥u tr£ líi l (cid:31)óng, hóng ta â (cid:31)÷ñ mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng (Positivstel-

lensatz), hay (cid:30)ành lþ biºu di¹n khæng ¥m (Ni htnegativstel lensatz). Trong mët sè t i li»u

( h¯ng h¤n, [32℄), ¡ t¡ gi£ sû döng thuªt ngú hung l "Positivstellensatz". Do (cid:31)â,

trong to n bë luªn v«n hóng tæi thèng nh§t dòng thuªt ngú Positivstel lensatz ((cid:30)ành lþ

biºu di¹n d÷ìng).

Mët biºu di¹n " â m¨u thù " ho ¡ (cid:31)a thù d÷ìng (t÷ìng ùng, khæng ¥m, b¬ng

khæng) tr¶n KG (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra bði Krivine (1964) v Stengle (1974), ö thº nh÷ sau.

f f 0 tr¶n KG = TG ho° f MG? ≥ ⇒ ∈ ∈

(cid:30)ành lþ 1.2.6 (Krivine-Stengle, [25, 54℄). Cho mët tªp on G = mët (cid:31)a thù f

(i) f > 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u tçn t¤i p, q

R[X] v g1, ..., gm} ⊆ { R[X]. Khi (cid:31)â: ∈

(ii) f

TG sao ho pf = 1 + q . ∈

0 v p, q 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u tçn t¤i mët sè nguy¶n m TG sao ho ≥ ∈ ≥ pf = f 2m + q .

(iii) f = 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u tçn t¤i mët sè nguy¶n m

(iv) KG =

f 2m TG ; 0 sao ho − ≥ ∈

. Khi (cid:31)â, (cid:31)ành lþ Artin

Trong tr÷íng hñp G =

TG . 1 ∅ n¸u v h¿ n¸u − ∈

((cid:30)ành lþ 1.2.2) l mët h» qu£ õa (cid:30)ành lþ 1.2.6.

R[X]2 ∅ th¼ KG = Rn, MG = TG = P

Trong (cid:31)ành lþ Krivine-Stengle, biºu di¹n õa ¡ (cid:31)a thù d÷ìng (t÷ìng ùng, khæng

¥m, b¬ng khæng) tr¶n tªp KG luæn â "m¨u thù ". Vi» t¼m biºu di¹n "khæng m¨u thù "

ho ¡ (cid:31)a thù d÷ìng (t÷ìng ùng, khæng ¥m, b¬ng khæng) tr¶n mët tªp nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng

ì b£n l mët v§n (cid:31)· quan trång v â nhi·u ùng döng trong vi» gi£i quy¸t b i to¡n tèi

÷u (cid:31)a thù ng nh÷ b i to¡n mæmen. (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng khæng m¨u thù (cid:31)u ti¶n

(cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra bði S hm(cid:4)udgen, ö thº nh÷ sau.

(cid:30)ành lþ 1.2.7 (S hm(cid:4)udgen, [46, Corollary 3℄). Gi£ sû KG ompa t. N¸u f > 0 tr¶n KG th¼ f

Mët tr÷íng hñp (cid:31)° bi»t õa (cid:30)ành lþ 1.2.7 (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra bði Handelman (1988, [19℄),

biºu di¹n ho ¡ (cid:31)a thù d÷ìng tr¶n mët (cid:31)a di»n lçi, ompa t, ö thº nh÷ sau.

Cho P l mët (cid:31)a di»n lçi, ompa t vîi phn trong kh¡ réng, vîi bi¶n x¡ (cid:31)ành bði R[X]. Khi (cid:31)â, hóng ta â thº hån d§u õa λi sao ho

TG . ∈

¡ (cid:31)a thù tuy¸n t½nh λ1, ..., λk ∈ x

Rn . P = 0, i = 1, ..., k λi(x) { ∈ | ≥ ∀ }

(cid:30)ành lþ 1.2.8 (Handelman, [19℄). Cho (cid:31)a di»n P nh÷ tr¶n v gi£ sû (cid:31)a thù f l d÷ìng tr¶n P . Khi (cid:31)â, tçn t¤i mët sè tü nhi¶n m

R[X] ∈ N sao ho

f = bαλα1 ∈ 1 ...λαk k ,

trong (cid:31)â, |

Tø (cid:30)ành lþ 1.2.8 hóng ta â h» qu£ sau.

H» qu£ 1.2.9. Cho mët (cid:31)a thù f

R+ X|α|≤m vîi måi α. α = α1 + | + αk, bα ∈ · · ·

(cid:31)÷ñ biºu di¹n nh÷ sau

P , th¼ f â thº R[X], n¸u f (x) > 0 vîi måi x ∈ ∈

f = bδλδ1 λδm m ,

1 · · ·

trong (cid:31)â, méi bδ l mët têng húu h¤n ¡ b¼nh ph÷ìng (cid:31)a thù trong R[X] m â bª khæng qu¡ m.

H» qu£ n y l mët tr÷íng hñp (cid:31)° bi»t õa (cid:30)ành lþ 1.2.7 khi x²t (cid:31)a thù d÷ìng tr¶n

mët (cid:31)a di»n lçi, ompa t.

Xδi∈{0,1}

Chó þ r¬ng MG ⊆ Mët mæ(cid:31)un bª hai M sao ho k

TG , do (cid:31)â (cid:31)º f ∈ N, k MG ta n mët (cid:31)i·u ki»n m¤nh hìn (cid:31)èi vîi G. = 0 ∈ 6 M . (X 2 R[X] (cid:31)÷ñ gåi l a simet n¸u tçn t¤i sè tü nhi¶n k ⊆ 1 + ... + X 2 n) − ∈

N«m 1993, Putinar [39℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra (cid:31)i·u ki»n a simet (cid:31)èi vîi mæ(cid:31)un bª hai MG (cid:31)º

nhªn (cid:31)÷ñ k¸t qu£ sau.

(cid:30)ành lþ 1.2.10 (Putinar, [39℄). Gi£ sû MG a simet. Khi (cid:31)â, n¸u f > 0 tr¶n KG th¼ f

Chó þ r¬ng n¸u MG a simet th¼ TG a simet. Hìn núa, TG a simet n¸u v h¿ n¸u KG ompa t ([31, Theorem 6.1.1℄). Do (cid:31)â (cid:31)i·u ki»n a simet õa MG m¤nh hìn (cid:31)i·u ki»n ompa t õa KG .

Trong tr÷íng hñp KG khæng ompa t, S hweighofer [50℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra (cid:30)ành lþ biºu di¹n

d÷ìng sau (cid:31)¥y. Kþ hi»u

MG . ∈

l tªp ¡ gi¡ trà ti»m ªn õa f .

(cid:30)ành lþ 1.2.11 (S hweighofer, [50℄). Cho G =

R y y (k R∞(f, KG) := ), f (xk) { ∈ xk ∈ |∃ KG, xk → ∞ → ∞ } →

sû

(i) f > 0 tr¶n KG ;

(ii) f bà h°n tr¶n KG ;

(iii) R∞(f, KG) l mët tªp on húu h¤n õa R+ .

Khi (cid:31)â, f

R[X] v f R[X]. Gi£ g1, { · · · , gm} ⊆ ∈

Mët sè (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng kh¡ tr¶n ¡ tªp khæng ompa t ho ¡ (cid:31)a thù

thun nh§t (cid:31)÷ñ hóng tæi tr¼nh b y sau (cid:31)¥y.

TG . ∈

(cid:30)ành ngh¾a 1.2.12 (Fiedler, [14℄). Cho { Mët (cid:31)ìn h¼nh trong Rn

vîi n + 1 (cid:31)¿nh v0, ..., vn (cid:31)÷ñ x¡ (cid:31)ành bði

v0, ..., vn} l mët h» (cid:31)ë lªp affine trong Rn

n

. 0, xi = 1 x0v0 + } { + xnvn| xi ≥ · · ·

i=0 X

(cid:31)÷ñ x¡ (cid:31)ành bði

(cid:30)° bi»t, (cid:31)ìn h¼nh hu©n trong Rn

n

Rn . 0, ∆n := (x1, , xn) xi = 1 { · · · xi ≥ | ∈ }

i=1 X

(cid:30)ành ngh¾a 1.2.13 (Marshall, [32℄). Mët (cid:31)a thù f d n¸u

R[X] (cid:31)÷ñ gåi l thun nh§t bª ∈

vîi måi λ

L÷u þ r¬ng méi (cid:31)a thù bª d kh¡ khæng f

f (λX1, , λXn) = λdf (X1, , Xn), · · · · · · = 0. 6

duy nh§t d÷îi d¤ng

R[X] â thº ph¥n t½ h (cid:31)÷ñ mët ¡ h ∈

f = f0 + f1 + + fd, · · ·

trong (cid:31)â fi , i = 0, mët (cid:31)a thù f ˜f R[X0, X1,

, d, l th nh phn thun nh§t bª i õa f . Hìn núa, khi ho · · · R[X] bª d, hóng ta â thº nhªn (cid:31)÷ñ mët (cid:31)a thù thun nh§t

∈ , Xn] bª d li¶n k¸t vîi nâ nh÷ sau. · · · ∈

f1 + + fd, ˜f (X0, X1, ..., Xn) = X d

0 0 f0 + X d−1

· · ·

trong (cid:31)â X0 l mët bi¸n mîi. (cid:30)a thù

r¬ng,

˜f (cid:31)÷ñ gåi l thun nh§t hâa õa f . D¹ d ng th§y

˜f (1, X1, ..., Xn) = f (X1, ..., Xn) v ˜f (0, X1, ..., Xn) = fd(X1, , Xn). · · ·

∈ R[X] l mët (cid:31)a thù thun nh§t bª d h®n. Gi£ . Khi (cid:31)â, tçn t¤i sè tü nhi¶n N (cid:31)õ lîn sao ho t§t £ ¡ h» sè kh¡ 0

+ \ {

(cid:30)ành lþ 1.2.14 (Pâlya, [37℄). Cho f sû f > 0 tr¶n Rn khæng õa (cid:31)a thù (X1 +

N«m 1995, Rezni k (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng nh÷ sau.

} + Xn)N f (cid:31)·u d÷ìng. · · ·

(cid:30)ành lþ 1.2.15 (Rezni k, [41℄). Cho f f > 0 tr¶n Rn

R[X] l mët (cid:31)a thù thun nh§t bª h®n. N¸u

0 \ { ∈ } th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r sao ho + X 2 R[X]2 (X 2

n)rf

1 +

· · · ∈

Têng qu¡t ho (cid:31)ành lþ õa Rezni k, Putinar v Vasiles u [40, Theorem 4.2℄ (cid:31)¢ nghi¶n

ùu biºu di¹n õa ¡ (cid:31)a thù thun nh§t d÷ìng tr¶n ¡ tªp nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng ì b£n

trong Rn

(cid:30)ành lþ 1.2.16 ([40, Theorem 4.2℄). Cho f, g1, bª h®n v gi£ sû f > 0 tr¶n KG \ { sè nguy¶n r 0 sao ho

· · · 0 }, trong (cid:31)â G = , gm ∈ g1, { R[X] l ¡ (cid:31)a thù thun nh§t , gm}. Khi (cid:31)â, tçn t¤i mët · · ·

≥ (X 2 + X 2 MG .

1 +

n)rf

· · · ∈

Chó þ r¬ng khi G =

N«m 2015, Di kinson v Povh [10, Theorem 3.5℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n

d÷ìng, k¸t hñp (cid:31)ành lþ õa Pâlya v õa Putinar v Vasiles u.

∅, ta nhªn (cid:31)÷ñ (cid:30)ành lþ 1.2.15 õa Rezni k.

, gm ∈ · · ·

R[X] l ¡ (cid:31)a thù thun nh§t } th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r v ¡ (cid:31)a KG \ {

+ ∩

(cid:30)ành lþ 1.2.17 ([10, Theorem 3.5℄). Cho f, g1, bª h®n. N¸u f > 0 tr¶n Rn thù thun nh§t h1,

0 , hm vîi h» sè khæng ¥m sao ho · · ·

m

(X1 + + Xn)rf = gihi. · · ·

i=1 X

C¡ ph¡t biºu khæng thun nh§t ho ¡ (cid:31)ành lþ tr¶n (cid:31)÷ñ tr¼nh b y trong Mö 1.5.

1.3 B i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù v b i to¡n mæmen

Trong phn n y hóng tæi tr¼nh b y ùng döng õa ¡ (cid:31)ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong

tèi ÷u (cid:31)a thù v gi£i quy¸t b i to¡n mæmen. C¡ k¸t qu£ (cid:31)÷ñ tr¼nh b y ð (cid:31)¥y (cid:31)÷ñ tr½ h

tø [32℄ v [28℄.

1.3.1 B i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù

B i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù l b i to¡n t¼m

(1.1)

f (x), f ∗ = inf x∈KG

, b i to¡n tr¶n (cid:31)÷ñ gåi l b i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù khæng

trong (cid:31)â, f Trong tr÷íng hñp G =

r ng buë .

Biºu thù (1.1) â thº (cid:31)÷ñ vi¸t l¤i d÷îi d¤ng

Rn x R[X], G = 0 R[X], KG = g1(x) 0, ..., gm(x) ∈ g1, ..., gm} ⊆ { { ∈ | ≥ ≥ }. , KG = Rn ∅

λ λ f (x) = sup f (x), x f ∗ = inf x∈KG KG} { |

(cid:31)÷ñ huyºn sang t¼m supremum õa ¡ sè λ sao ho f

λ λ ≤ f (x) ∈ 0, x = sup { | − ∈ λ ≥ λ > 0, x = sup f (x) { | − KG} . KG} ∈

Nh÷ th¸, vi» t¼m f ∗ λ khæng ¥m (ho° d÷ìng) tr¶n KG . (cid:30)º gi£i quy¸t b i to¡n khâ n y, mët trong nhúng þ t÷ðng l

−

thay th¸ (cid:31)i·u ki»n khæng ¥m bði mët (cid:31)i·u ki»n n o (cid:31)â (cid:31)ìn gi£n hìn, trong (cid:31)â â hùa ¡

têng b¼nh ph÷ìng, (cid:31)º â thº ti¸p ªn b¬ng ¡ h sû döng Quy ho¤ h nûa x¡ (cid:31)ành (SDP).

Vîi þ t÷ðng (cid:31)â, mët trong nhúng ¡ h (cid:31)º nîi läng (cid:31)i·u ki»n "f biºu di¹n f

λ 0 tr¶n KG" l x²t − ≥ λ d÷îi d¤ng

m

− f λ = t0 + tigi, −

i=1 X . Tù l , nîi läng (cid:31)i·u ki»n "f

trong (cid:31)â ti ∈

(cid:30)i·u n y d¨n (cid:31)¸n vi» x²t b i to¡n

(1.2)

λ λ R[X]2 0 tr¶n KG" th nh "f MG ". − ≥ − ∈ P

. Hìn núa, n¸u ta â

λ f λ . f sos,G = sup MG} | { −

. Ch¯ng h¤n, ¡p

Rã r ng, n¸u f ∈ mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù f

döng (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar ((cid:30)ành lþ 1.2.10) ta â (cid:31)÷ñ k¸t qu£ sau.

λ λ f ∗ ∈ 0 tr¶n KG . Do (cid:31)â f sos,G MG th¼ f − ≥ − ≤ λ tr¶n KG th¼ f sos,G = f ∗ −

H» qu£ 1.3.1. Cho G = sos,G = f ∗ f ∗

khæng d¨n (cid:31)¸n mët Quy ho¤ h nûa x¡ (cid:31)ành, bði v¼ hóng

Tuy nhi¶n vi» t¼m f sos,G

R[X] v f R[X]. Gi£ sû MG a simet. Khi (cid:31)â g1, ..., gm} ⊆ { ∈

ta khæng h°n (cid:31)÷ñ bª õa ¡ (cid:31)a thù ti trong biºu di¹n õa f Quy ho¤ h nûa x¡ (cid:31)ành, hóng ta x²t ¡ sè nguy¶n k vîi

λ. (cid:30)º nhªn (cid:31)÷ñ mët −

X²t b i to¡n

. 2k max deg(f ), deg(g1), . . . , deg(gm) ≥ } {

m

(1.3)

λ f . = sup 2k λ = t0 + R[X]2, deg(t0), deg(tigi) f sos,G k { | − tigi, ti ∈ } ≤ X

i=1 X

(cid:31)÷ñ t½nh qua mët Quy ho¤ h nûa x¡ (cid:31)ành. Hìn núa,

Khi (cid:31)â f sos,G

k

f sos,G f ∗ f sos,G k f sos,G k+1 ≤ ≤ ≤

v lim k→∞

1.3.2 B i to¡n mæmen

D¤ng thù nh§t ( ê (cid:31)iºn) õa b i to¡n mæmen (cid:31)÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:

= f sos,G f sos,G k

B i to¡n mæmen (d¤ng 1) Cho K l mët tªp on (cid:31)âng trong Rn

. Cho L : R[X]

R →

l mët phi¸m h m tuy¸n t½nh. Câ tçn t¤i hay khæng mët (cid:31)ë (cid:31)o Borel d÷ìng µ vîi gi¡ hùa trong K sao ho vîi måi f

R[X], ∈

f dµ? L(f ) =

Haviland (1935, [20℄) (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët (cid:31)i·u ki»n n v (cid:31)õ ho sü tçn t¤i õa (cid:31)ë (cid:31)o d÷ìng

(cid:30)ành lþ 1.3.2 (Haviland, [20℄). (cid:30)i·u ki»n n v (cid:31)õ (cid:31)º tçn t¤i mët (cid:31)ë (cid:31)o Borel d÷ìng µ vîi gi¡ hùa trong K sao ho vîi måi f

µ, ö thº nh÷ sau.

R[X] ta â ∈

f dµ L(f ) =

l L(f )

Nh÷ th¸, vi» mæ t£ ¡ (cid:31)a thù khæng ¥m tr¶n K (cid:31)âng mët vai trá quan trång trong

vi» gi£i b i to¡n mæmen tr¶n K .

Mët d¤ng kh¡ õa b i to¡n mæmen (cid:31)÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau.

0 vîi måi f 0 tr¶n K . ≥ ≥

B i to¡n mæmen (d¤ng 2) Cho G = N¸u L(f ) hùa trong KG sao ho vîi måi f

g1, ..., gm} ⊆ { 0 vîi måi f R[X]. Kþ hi»u KG, TG nh÷ tr¶n. TG th¼ â tçn t¤i hay khæng mët (cid:31)ë (cid:31)o Borel d÷ìng µ â gi¡ ≥ ∈ R[X] ta â ∈

L(f ) = f dµ?

Chó þ r¬ng, vîi f

ZKG

b i to¡n mæmen d¤ng 1. Tuy nhi¶n, n¸u hóng ta â mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n

TG th¼ f 0 tr¶n KG . Do (cid:31)â b i to¡n mæmen d¤ng 2 y¸u hìn ∈ ≥

xem th¶m v· ùng döng õa ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng (cid:31)º gi£i quy¸t ¡ b i to¡n mæmen

trong ¡ t i li»u [28℄, [17℄.

Mët h» qu£ õa (cid:31)ành lþ Haviland, (cid:31)ành lþ S hm(cid:4)udgen v (cid:31)ành lþ Putinar (cid:31)èi vîi b i

to¡n mæmen (cid:31)÷ñ ho nh÷ sau.

KG th¼ hai b i to¡n tr¶n t÷ìng (cid:31)÷ìng vîi nhau (qua (cid:30)ành lþ Haviland). Ng÷íi (cid:31)å â thº

H» qu£ 1.3.3. Cho G = a simet). Gåi L : R[X]

g1, ..., gm} ⊆ { R l mët phi¸m h m tuy¸n t½nh thäa m¢n L(f ) 0, R[X]. Gi£ sû KG ompa t (t÷ìng ùng, MG TG f ∀ ∈ ≥ →

MG ). Khi (cid:31)â tçn t¤i mët (cid:31)ë do d÷ìng µ vîi gi¡ hùa trong KG sao ho ∈ f (t÷ìng ùng, ∀ R[X] ta â vîi måi f ∈ f dµ. L(f ) =

1.4 H¼nh hå (cid:31)¤i sè thü ho (cid:31)a thù ma trªn

Trong phn n y hóng tæi s³ tr¼nh b y d¤ng ma trªn õa ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng

(cid:31)÷ñ tr¼nh b y trong Mö 1.2.2. Tr÷î h¸t hóng tæi n mët sè kþ hi»u v kh¡i ni»m li¶n

quan. Vîi méi sè tü nhi¶n kh¡ khæng t, kþ hi»u Mt(R[X]) l v nh ¡ (cid:31)a thù ma trªn. Kþ hi»u St(R[X]) l v nh on õa Mt(R[X]) gçm ¡ (cid:31)a thù ma trªn (cid:31)èi xùng. Gåi It l ma trªn (cid:31)ìn và trong Mt(R[X]).

(cid:30)ành ngh¾a 1.4.1 (Cimpri(cid:7) -Zalar, [7℄).

(a) Mët mæ(cid:31)un bª hai tr¶n Mt(R[X]) l mët

tªp on M õa St(R[X]) thäa m¢n

ZKG

M ⊆ M;

A , + . M . It ∈ M; A . AT M ⊆ M ∀ ∈ Mt(R[X]).

(b) Mët ti·n thù tü tr¶n Mt(R[X]) l mët tªp on T õa St(R[X]) sao ho T l mët It) l (cid:31)âng vîi ph²p to¡n

mæ(cid:31)un bª hai trong Mt(R[X]) v tªp hñp T ∩

nh¥n.

Mæ(cid:31)un bª hai nhä nh§t tr¶n Mt(R[X]) hùa mët tªp on ho tr÷î G õa St(R[X])

s³ (cid:31)÷ñ kþ hi»u bði MG . D¹ kiºm tra (cid:31)÷ñ

(R[X] ·

. AT ij MG = GiAij| Gi ∈ G ∪ { It} , Aij ∈ Mt(R[X]) ( )

i,j X

Ti·n thù tü nhä nh§t tr¶n Mt(R[X]) hùa mët tªp on ho tr÷î G õa St(R[X]) s³ (cid:31)÷ñ kþ hi»u bði TG .

Cimpri(cid:7) [6℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mèi li¶n h» giúa mæ(cid:31)un bª hai v ti·n thù tü trong v nh ¡

(cid:31)a thù ma trªn nh÷ sau.

Bê (cid:31)· 1.4.2 ([6, Lemma 2℄). Vîi måi tªp on G õa St(R[X]),

TG = MG∪(Q G′·It),

′

ð (cid:31)¥y

′ :=

l tªp hñp t§t £ ¡ t½ h húu h¤n õa nhúng phn tû trong tªp hñp G

G G vT Gv , v (R[X])t { Q | ∈ G ∈ }.

R[X] := =

t

Trong tr÷íng hñp G

M∅ = ∅,

phn tû â d¤ng AT A, trong (cid:31)â A Mt(R[X]).

Vîi mët mæ(cid:31)un bª hai M trong R[X], kþ hi»u

P T∅ l tªp hñp ¡ têng húu h¤n õa nhúng ∈ Mt(R[X]), v nâ l mæ(cid:31)un bª hai nhä nh§t trong

. M t := miAT i Ai| mi ∈ M, Ai ∈ Mt(R[X]) ( )

i X

Khi (cid:31)â, M t

l mæ(cid:31)un bª hai nhä nh§t trong Mt(R[X]) â giao vîi R[X]

([6, Proposition 3℄).

(cid:30)ành ngh¾a 1.4.3 (Gohberg, Lan aster, Rodman, [16℄). Cho mët ma trªn A

It b¬ng M It · ·

v mët tªp on K tr¶n K , n¸u vîi måi x ∈ A (cid:31)÷ñ gåi l x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n K , kþ hi»u A v

Rn ⊆ K, vîi måi v ∈ Mt(R[X]) . Ma trªn A (cid:31)÷ñ gåi l nûa x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n K , kþ hi»u A < 0 0. Rt, vT A(x)v ∈ ≥ 0 tr¶n K , n¸u vîi måi x K, vîi måi ≻ ∈ Rt , vT A(x)v > 0. 0 ∈ \ { }

Vîi hai ma trªn A, B

B < 0 tr¶n ∈ Mt(R[X]), kþ hi»u A < B tr¶n K (cid:31)÷ñ hiºu A − K .

Vîi méi tªp on G ⊆ St(R[X]), tªp nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng ì b£n (cid:31)ành ngh¾a bði G Rn

Theo k¸t qu£ õa Cimpri(cid:7) [6℄, tªp hñp KG â thº (cid:31)÷ñ x¡ (cid:31)ành bði ¡ (cid:31)a thù trong R[X]. Bê (cid:31)· 1.4.4 ([6, Proposition 5℄). Cho G ⊆ St(R[X]). Khi (cid:31)â, tçn t¤i mët tªp on G õa R[X] â ¡ t½nh h§t sau:

. KG = KG ;

. (MG)t

G . x G(x)< 0, KG = { ∈ | ∀ ∈ G}

. (TG)t

⊆ MG ;

Hìn núa, n¸u G l mët tªp hñp húu h¤n th¼ tªp hñp G â thº hån húu h¤n.

⊆ TG .

bði mët ma trªn trü giao. Tuy nhi¶n (cid:31)i·u n y khæng án (cid:31)óng (cid:31)èi vîi ¡ (cid:31)a thù ma

Chóng ta (cid:31)¢ bi¸t r¬ng måi ma trªn (cid:31)èi xùng trong Mt(R) (cid:31)·u â thº h²o hâa (cid:31)÷ñ trªn (cid:31)èi xùng, bði v¼ ma trªn trü giao t÷ìng ùng khæng án thuë Mt(R[X]). Tuy nhi¶n,

n«m 2009, S hm(cid:4)udgen [48℄ (cid:31)¢ h¿ ra r¬ng måi (cid:31)a thù ma trªn (cid:31)èi xùng (cid:31)·u â thº " h²o

hâa (cid:31)÷ñ " theo ¡ h sau (cid:31)¥y.

Bê (cid:31)· 1.4.5 ([48, Corollary 9℄). Cho A R[X], j = 1, khæng b, dj ∈

∈ St(R[X]). Khi (cid:31)â, tçn t¤i ¡ (cid:31)a thù kh¡ , r , r t, v ¡ ma trªn X+, X− ∈ Mt(R[X]) sao ho

· · · ≤ X+X− = X−X+ = bIt, b2A = X+DXT

+, D = X−AXT −,

trong (cid:31)â, D = D(d1,

. N¸u A

· · ·

Vîi ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù (cid:31)÷ñ tr¼nh b y trong Mö 1.2.2, hóng ta

ng â ¡ k¸t qu£ t÷ìng tü ho ¡ (cid:31)a thù ma trªn t÷ìng ùng. Tr÷î h¸t l d¤ng ma

trªn ho (cid:31)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Artin (cid:31)÷ñ tr¼nh b y bði S hm(cid:4)udgen [48℄ nh÷ sau.

(cid:30)ành lþ 1.4.7 ([48, Proposition 10℄). Cho A

0 Rn ⊆ ≻ , dr) l ma trªn (cid:31)÷íng h²o trong Mt(R[X]). Chó þ 1.4.6. Cho A, D nh÷ trong Bê (cid:31)· 1.4.5 v mët tªp on K (t÷ìng ùng A < 0) tr¶n K th¼ D 0 (t÷ìng ùng D < 0) tr¶n K . ≻

th¼ tçn t¤i mët (cid:31)a thù kh¡ khæng c

sao ho

, k , ∈ St(R[X]). N¸u A(x) < 0 vîi måi x R[X] v ¡ ma trªn Ai ∈ Mt(R[X]), i = 1, ∈ · · · ∈

k

c2A = Ai, AT i

i=1 X

tù l c2A

R[X].

t

tªp on G =

Cho mët tªp on G {

∈ P

Krivine-Stengle [25, 54℄ (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra bði L¶ Cæng Tr¼nh [29℄.

G1, ..., Gm} ⊆ St(R[X]). Khi (cid:31)â theo Bê (cid:31)· 1.4.4, tçn t¤i mët = { R[X] sao ho KG = KG . (cid:30)ành lþ d÷îi (cid:31)¥y l d¤ng ma trªn õa g1, ..., gk} ⊆

(cid:30)ành lþ 1.4.8 ([29℄). Cho G ⊆ St(R[X]), G tr¶n. Cho (cid:31)a thù ma trªn F

R[X], KG, KG, ⊆ TG v TG (cid:31)÷ñ x¡ (cid:31)ành nh÷

(i) F

∈ St(R[X]). Khi (cid:31)â:

ma trªn (cid:31)÷íng h²o S v T â h» tû thuë TG sao ho

0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u tçn t¤i mët (cid:31)a thù ma trªn X− ∈ Mt(R[X]) v ¡ ≻

S(X−FXT

−) = (X−FXT

−)S = It + T;

(ii) F < 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u â mët sè nguy¶n m

0, mët ma trªn X− ∈ ≥

Mt(R[X]) v ¡ ma trªn (cid:31)÷íng h²o S v T â h» tû thuë TG sao ho

S(X−FXT

−) = (X−FXT

−)S = D2m + T;

(iii) F = 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u â mët sè nguy¶n m

0, mët ma trªn X− ∈ ≥

Mt(R[X]) sao ho (X−FXT (TG)t.

−)2m

Trong [29℄, t¡ gi£ ng (cid:31)÷a ra d¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa

S hweighofer ((cid:30)ành lþ 1.2.11)

∈ −

(cid:30)ành lþ 1.4.9 ([29, Theorem 3℄). Cho G

Gi£ sû

(i) F

= G1, ..., Gm} ⊆ St(R[X]) v F { ∈ St(R[X]).

(ii) F bà h°n tr¶n KG tù l â mët sè thü N

0 tr¶n KG ; ≻

F < 0 tr¶n KG ; R+ sao ho N.It ±

(iii) Vîi måi v

Khi (cid:31)â, tçn t¤i mët on tªp húu h¤n G

Rt 0 ∈ , R∞(vT Fv, KG) l mët tªp on húu h¤n õa R+ . \ { } ∈

R[X] v

⊆ (1) mët ma trªn X− ∈ Mt(R[X]) sao ho X−FXT (TG)t ⊆ TG;

− ∈

(2) mët (cid:31)a thù kh¡ khæng b

R[X] sao ho ∈

Cimpri(cid:7) v Zalar [7℄ ng (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët d¤ng ma trªn ho (cid:31)ành lþ S hm(cid:4)udgen ((cid:30)ành

lþ 1.2.7) nh÷ sau.

(cid:30)ành lþ 1.4.10 ([7, Theorem 6 (2)℄). Cho G ⊆ St(R[X]). Gi£ sû KG l mët tªp ompa t. Gi£ sû F

b2F (TG)t ∈ ⊆ TG.

S herer-Hol [44℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët d¤ng ma trªn ho (cid:31)ành lþ Putinar ((cid:30)ành lþ 1.2.10) v

(cid:31)ành lþ Pâlya ((cid:30)ành lþ 1.2.14) nh÷ sau.

0 tr¶n KG . Khi (cid:31)â F ≻ ∈ TG .

(cid:30)ành lþ 1.4.11 ([44℄). Cho G ⊆ St(R[X]). Gi£ sû MG l a simet. Khi (cid:31)â, n¸u F tr¶n KG th¼ F

0 ≻

(cid:30)º tr¼nh b y (cid:31)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya ho (cid:31)a thù ma trªn hóng tæi n

, kþ hi»u

∈ MG .

mët sè kþ hi»u sau (cid:31)¥y. Vîi méi tªp (cid:31)a h¿ sè α = (α1,

Nn , αn) ∈ · · ·

Vîi méi (cid:31)a thù ma trªn F

α! := α1! αn!; Dα := ∂α1 1 ∂αn n . · · · · · ·

S herer-Hol [44℄ (cid:31)¢ (cid:31)ành ngh¾a

∈ Mt(R[X]), ta â thº vi¸t X α. F(X) = DαF(0) α! X|α|≤d

, k k L(F) := max |α|≤d |

trong (cid:31)â ||

(cid:30)ìn h¼nh hu©n (cid:31)÷ñ x¡ (cid:31)ành

DαF(0) α ! | || kþ hi»u hu©n ma trªn trong Mt(R). .

n

Rn . 0, ∆n = (x1, ..., xn) xi = 1 { xi ≥ | ∈ }

i=1 X

(cid:30)ành lþ 1.4.12 ([44℄). Cho (cid:31)a thù ma trªn F

d(d

h®n v F < λIt tr¶n ∆n , vîi λ l mët sè thü d÷ìng. N¸u N > h» sè õa (cid:31)a thù ma trªn (X1 +

D¤ng ma trªn ho ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Rezni k, Putinar v Vasiles u,

Di kinson v Povh, Handelman l ¡ k¸t qu£ mîi õa hóng tæi, s³ (cid:31)÷ñ tr¼nh b y trong

Ch÷ìng 3 õa Luªn ¡n.

1.5 T½nh x¡ (cid:31)ành d÷ìng õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn v

thun nh§t hâa õa hóng

Nh÷ hóng ta (cid:31)¢ th§y ð Mö 1.2, ¡ (cid:31)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya, Rezni k,

Putinar-Vasiles u, Di kinson-Povh (cid:31)÷ñ ph¡t biºu ho ¡ (cid:31)a thù thun nh§t, v nâi

hung khæng (cid:31)óng ho ¡ (cid:31)a thù b§t ký. (cid:30)º ph¡t biºu ¡ (cid:31)ành lþ tr¶n ho ¡ (cid:31)a thù

∈ St(R[X]). Gi£ sû F thun nh§t bª d 1)L(F) d th¼ måi − 2λ − + Xn)N F (cid:31)·u x¡ (cid:31)ành d÷ìng. · · ·

b§t ký, hóng tæi n mët sè li¶n h» sau v· T½nh d÷ìng õa mët (cid:31)a thù vîi thun nh§t

hâa õa nâ.

Nh l¤i, vîi mët (cid:31)a thù f

õa nâ (cid:31)÷ñ (cid:31)ành ngh¾a bði

R[X1, ..., Xn] â bª b¬ng d, (cid:31)a thù thun nh§t hâa ∈

, ..., R[X0, X1, ..., Xn]. ˜f (X0, X1, ..., Xn) := X d 0 f ∈ X1 X0 Xn X0 (cid:19) (cid:18)

d

N¸u f vi¸t (cid:31)÷ñ th nh f =

fi , vîi fi l th nh phn thun nh§t bª i õa f , th¼

i=0 P

˜f (X0, X1, ..., Xn) = X d f1 + + fd.

0 f0 + X d−1

0

Hìn núa,

· · ·

Cho mët (cid:31)a thù f

˜f (1, X1, ..., Xn) = f (X1, ..., Xn) v ˜f (0, X1, ..., Xn) = fd(X1, , Xn). · · ·

(cid:31)¤i sè (cid:31)âng ì b£n t÷ìng ùng nh÷ sau.

˜f ∈ ∈ R[X0, X1, ..., Xn] l (cid:31)a thù thun nh§t ˜f tr¶n ¡ tªp nûa R[X1, ..., Xn] v gåi hâa õa f . Chóng ta â mèi quan h» v· t½nh d÷ìng õa (cid:31)a thù f v

R[X] v f ˜f , ˜g1, g1, , gm} ⊆ · · ·

M»nh (cid:31)· 1.5.1. Cho G = { ∈ R[X0, X] t÷ìng ùng l thun nh§t hâa õa ¡ (cid:31)a thù f, g1, · · · di, i = 1, 2d, deg(gi) = 2di,

i = 1, , m. Kþ hi»u d′ := max { R[X]. Gåi , gm ∈ , m }, , ˜gm ∈ · · · R[X], vîi deg(f ) = ˜G := , ˜gm}, ˜g1, · · · { · · · · · · ∀

Khi (cid:31)â,

Rn . x 0, i = 1, (gi)2d′ (KG)2d′ = ≥ ∀ , m } · · · { ∈ |

Chó þ r¬ng, n¸u d′ > di th¼ (gi)2d′ = 0.

Chùng minh. Gi£ sû

0 0 \ { }. ˜f > 0 tr¶n K ˜G \ { } n¸u v h¿ n¸u f > 0 tr¶n KG v f2d > 0 tr¶n (KG)2d′

Tø (cid:31)â suy ra f (x) = ˜f (1, x) > 0, hay f > 0 tr¶n KG . Hìn núa, vîi méi x ta â (0, x)

0 KG , ta â (1, x) ∈ ∈ (KG)2d′ K ˜G \ { \ { 0 }. 0 } 0 0 \ { K ˜G \ { ∈

Ng÷ñ l¤i, gi£ sû f > 0 tr¶n KG v f2d > 0 tr¶n (KG)2d′

ta â ˜gi(x0, x) ≥ (cid:31)â, vîi måi i = 1,

0 0 \{ ˜f > 0 tr¶n K ˜G \ { }. Khi (cid:31)â, vîi méi x ∈ }. V¼ th¸ f2d(x) = ˜f (0, x) > 0, hay f2d > 0 tr¶n (KG)2d′ }. Vîi méi (x0, x) ∈ = (0, 0) n¶n x 0 vîi måi i = 1, }. , K ˜G\{ } = 0. Khi , m. N¸u x0 = 0, v¼ (x0, x) · · · 6 6 , m, · · ·

. 0 0, tù l , x (KG)2d′ (gi)2d′(x) = ˜gi(0, x) \ { } ∈ ≥

(cid:30)i·u n y h¿ ra

m. (cid:30)i·u n y d¨n (cid:31)¸n 0, 1 = 0 n¶n gi x2di 0 gi

x x0

gi£ thi¸t ta â f

0. Do x0 6 ˜f (0, x) = f2d(x) > 0. N¸u x0 6 = 0, theo (cid:31)ành ngh¾a ta â ˜gi(x0, x) = KG . Theo i ≤ ≥ ≤ ≥ x x0 ∈ (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:17) > 0. Suy ra

x x0

(cid:17) (cid:16)

hay

> 0, ˜f (x0, x) = x2d 0 f x x0 (cid:19) (cid:18)

B¬ng lªp luªn t÷ìng tü hóng ta ng nhªn (cid:31)÷ñ mët k¸t qu£ t÷ìng tü v· li¶n h» giúa

t½nh d÷ìng õa mët (cid:31)a thù vîi thun nh§t hâa õa nâ tr¶n giao õa mët tªp nûa (cid:31)¤i sè

vîi mi·n d÷ìng

(cid:31)âng ì b£n trong Rn

0 ˜f > 0 tr¶n K ˜G \ { }. M»nh (cid:31)· (cid:31)÷ñ hùng minh.

Rn Rn . x = (x1, .., xn)

+ =

M»nh (cid:31)· 1.5.2. Vîi ¡ kþ hi»u nh÷ trong M»nh (cid:31)· 1.5.1,

{ ∈ xi ≥ | 0, i = 1, ..., n }

+ ∩

n¸u v h¿ n¸u f > 0 tr¶n Rn

K ˜G \ { } ˜f > 0 tr¶n Rn+1 0 KG v f2d > 0 tr¶n Rn (KG)2d′

+ ∩

\ { }.

+ ∩

C¡ k¸t qu£ tr¶n ho hóng ta ¡ ph¡t biºu khæng thun nh§t ho ¡ (cid:31)ành lþ õa

Pâlya v Rezni k. D¤ng khæng thun nh§t õa Putinar-Vasiles u, Di kinson-Povh (cid:31)÷ñ

tr¼nh b y trong Ch÷ìng 3 õa Luªn ¡n.

∈ 0

+ v fd > 0 tr¶n Rn

+ \ {

H» qu£ 1.5.3 ((cid:30)ành lþ Pâlya, d¤ng khæng thun nh§t). Cho f bª d h®n. Gi£ sû f > 0 tr¶n Rn sao ho t§t £ ¡ h» sè kh¡ khæng õa (cid:31)a thù (1 + X1 +

R[X] l mët (cid:31)a thù }. Khi (cid:31)â, tçn t¤i sè tü nhi¶n N + Xn)N f (cid:31)·u d÷ìng. · · ·

v fd > 0 tr¶n Rn

H» qu£ 1.5.4 ((cid:30)ành lþ Rezni k, d¤ng khæng thun nh§t). Cho f bª d h®n. N¸u f > 0 tr¶n Rn ¥m r sao ho

R[X] l mët (cid:31)a thù ∈ 0 \ { } th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng

(1 + X 2 + X 2 R[X]2

1 +

n)rf

Vîi méi (cid:31)a thù ma trªn G

· · · ∈ P

∈ Mt(R[X]) bª d, gi£ sû

d

G(X) = GαX α,

X|α|=0 α = α1 + + αn , ta (cid:31)ành ngh¾a thun nh§t

1

trong (cid:31)â, Gα ∈ Mt(R), X α = X α1 hâa õa G bði

X αn n , · · · | | · · ·

d

G , ..., = GαX d−|α| ˜G(X0, X) := X d

0 X α.

0

X1 X0 Xn X0 (cid:19) (cid:18) X|α|=0

T÷ìng tü (cid:31)èi vîi (cid:31)a thù , ta ng â

kþ hi»u ho th nh phn thun nh§t bª ao nh§t õa

˜G(1, X) = G(X), ˜G(0, X) = Gd(X),

trong (cid:31)â Gd(X) =

˜G. GαX α

|α|=d P

B¥y gií hóng tæi giîi thi»u ¡ k¸t qu£ t÷ìng tü ho (cid:31)a thù ma trªn. Cho

= G1, G { · · · , Gm} ⊆ St(R[X]) v F

Gi£ sû deg(F) = 2d, deg(Gi) = 2di, i = 1, ..., m. Kþ hi»u d′ := max

Gåi

, m i = 1, }, · · · ∈ St(R[X]). di| { Rn x , i = 1, KG := { ∈ | ∀ Rn . x · · · i = 1, Gi(x) < 0, (Gi)2d′(x) < 0, · · · , m } , m } ∈ { |

M»nh (cid:31)· 1.5.5.

˜F, ˜G1, (KG)2d′ := ∀ ∈ St(R[X0, X]) t÷ìng ùng l thun nh§t hâa õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn ˜G1, , ˜Gm := , ˜Gm · · · , Gm . Kþ hi»u F, G1, · · · · · · Rn+1 K i = 1, ∈

eG := ˜F

Chùng minh. Gi£ sû

0 tr¶n 0 ≻ { G (x0, x) e { 0 tr¶n K ˜G \ { }, v ˜Gi(x0, x) < 0, | ∀ } n¸u v h¿ n¸u F , m . · · · } 0 tr¶n KG v F2d ≻ ≻ 0 (KG)2d′ \ { }.

˜F KG , ta â (1, x)

Tø (cid:31)â suy ra F(x) = ˜F(1, x) ta â (0, x)

ta â

(cid:31)â, vîi måi i = 1,

K ˜G \ { \ { 0 }. 0 } ≻ }. Khi (cid:31)â, vîi méi x ≻ ∈ ∈ (KG)2d′ 0 0 0 tr¶n (KG)2d′ ∈ 0 tr¶n KG . Hìn núa, vîi méi x 0, hay F2d ≻ ≻ K ˜G \ { ∈ Ng÷ñ l¤i, gi£ sû F 0 0 \{ ≻ }. Vîi méi (x0, x) ∈ = (0, 0) n¶n x \ { }. , K ˜G\{ } = 0. Khi ˜Gi(x0, x) < 0 vîi måi i = 1, 0 tr¶n (KG)2d′ , m. N¸u x0 = 0, v¼ (x0, x) 0 tr¶n K ˜G \ { 0 ≻ 0, hay F }. V¼ th¸ F2d(x) = ˜F(0, x) 0 tr¶n KG v F2d ≻ · · · 6 6 , m,

(cid:30)i·u n y h¿ ra

. 0 · · · (Gi)2d′(x) = ˜Gi(0, x) < 0, tù l x (KG)2d′ \ { } ∈ 0. ˜F(0, x) = F2d(x) ≻

= 0, theo (cid:31)ành ngh¾a ta â = 0 n¶n Gi ˜Gi(x0, x) = x2di 0

x x0

N¸u x0 6

< 0. Do x0 6 (cid:17) (cid:16) i m. (cid:30)i·u n y d¨n (cid:31)¸n < 0, 1 KG . Gi

x x0

≤ ≤ x x0 ∈ (cid:17) 0. Suy ra (cid:16) Theo gi£ thi¸t ta â F

x x0

hay

≻ (cid:16) F 0, (cid:17) ˜F(x0, x) = x2d 0 ≻ x x0 (cid:19) (cid:18) ˜F 0 0 tr¶n K ˜G \ { ≻ }. M»nh (cid:31)· (cid:31)÷ñ hùng minh.

B¬ng mët lªp luªn t÷ìng tü ta nhªn (cid:31)÷ñ k¸t qu£ sau.

M»nh (cid:31)· 1.5.6.

˜F 0 tr¶n Rn+1 0 tr¶n Rn 0 KG v ≻

+ ∩

K ˜G \ { } n¸u v h¿ n¸u F 0 tr¶n Rn 0 ≻ (KG)2d′ \ { }. F2d ≻

+ ∩

1.6 Chu©n ma trªn

C¡ (cid:31)ành ngh¾a v k¸t qu£ trong phn n y (cid:31)÷ñ tr½ h d¨n tø [2℄.

(cid:30)ành ngh¾a 1.6.1. H m sè || Mt×s(C) n¸u vîi måi A, B

: . || R (cid:31)÷ñ gåi l mët hu©n ma trªn tr¶n C, ¡ (cid:31)i·u ki»n sau thäa m¢n: Mt×s(C) → ∈ Mt×s(C), vîi måi α ∈

(a) ||

A A 0, = 0 n¸u v h¿ n¸u A = 0; || ≥ || ||

(b) ||

αA A α = ; || || ||| |

( ) ||

A B . A + B + || ≤ || || || ||

(cid:30)ành ngh¾a 1.6.2. Cho p l mët sè tü nhi¶n kh¡ 0. Vîi méi v² tì v = (v1, ..., vt)

kþ hi»u

Ct ∈

1/p

t

p

v . ||p := || vi| | !

i=1 X

Vîi A

∈ Mt(C), ta (cid:31)ành ngh¾a

||x||p6=0

Tø (cid:31)ành ngh¾a tr¶n ta â thº vi¸t l¤i

A ||p := max || Ax ||p x ||p || ||

= max ||x||p6=0

||x||p6=0

|| || Ay A ||p := max = max Ax x p ||(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) || (cid:13) Ct. (cid:13) (cid:13) ∈

||y||p=1 ||

(cid:30)ành lþ 1.6.3. Cho A = (a)ij ∈ Mt(C). Khi (cid:31)â

(i) Vîi p = 1,

Ax ||p x ||p ||p, vîi y

t

Ax .

1≤j≤t

A ||1 = max ||x||1 || || ||1 := max akj| | Xk=1

(ii) Vîi p = 2,

1/2

t

2

Ax . A ||2 = max ||x||2 || || ||2 := aij| | !

i=1 X

j=1 X

Chu©n 2 õa ma trªn A án (cid:31)÷ñ gåi l hu©n phê, hay hu©n Frobenius õa A.

(iii) Vîi p =

∞,

t

Ax .

1≤k≤t

||∞ := max A ||∞ = max ||x||∞ || || akj| |

j=1 X

. Khi (cid:31)â

M»nh (cid:31)· 1.6.4. Cho A, B

Ct ∈ Mt(C) v x ∈

(i) ||

Ax A , x || ≤ || . || || ||

(ii) ||

H» qu£ 1.6.5. Gi£ sû A

AB B A || ≤ || . || || ||.

−1

∈ Mt(C) l mët ma trªn kh£ nghà h. Khi (cid:31)â A A−1 . || || ≤ || ||

Chùng minh. Gåi I l ma trªn (cid:31)ìn và õa Mt(C). Ta â =

x A−1(Ax) = || || || || || Ax || ≤ || Ix || A−1 A−1 x A . || . || || ≤ || || (theo M»nh (cid:31)· 1.6.4 (i)) . || || ||

vîi måi x

hay

Ct 0 ∈ \ { }. Suy ra A−1 A 1 . || || || ≤ ||

−1

A−1 A . || || || ≤ ||

Ch÷ìng 2

Sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù

ma trªn

Trong h÷ìng n y hóng tæi nghi¶n ùu sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng õa ¡ (cid:31)a thù ma

trªn mët bi¸n phù . C¡ h°n (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra ð (cid:31)¥y (cid:31)÷ñ thi¸t lªp düa v o hu©n õa ¡

ma trªn h» sè õa (cid:31)a thù ma trªn (cid:31)¢ ho. Trong Mö 2.1, hóng tæi (cid:31)÷a ra d¤ng ma trªn

ho (cid:31)ành lþ Enestr(cid:4)om-Kakeya. Mët sè (cid:31)ành lþ d¤ng Cau hy ho (cid:31)a thù ma trªn (cid:31)÷ñ

tr¼nh b y trong Mö 2.2. Trong Mö 2.3 hóng tæi thü hi»n t½nh to¡n tr¶n mët sè v½ dö

ö thº nh¬m so s¡nh ¡ h°n (cid:31)¢ (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ trong h÷ìng n y vîi ¡ h°n (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra

bði Higham v Tisseur [22℄. C¡ k¸t qu£ h½nh trong h÷ìng n y (cid:31)÷ñ hóng tæi æng bè

trong ti·n §n ph©m [13℄.

Trong to n bë h÷ìng n y hóng tæi x²t ¡ (cid:31)a thù ma trªn d¤ng

P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + + A1z + A0, · · · , d. i = 0, ∀ · · ·

v væ h÷îng λ

vîi Ai ∈ Mt(C), (cid:30)ành ngh¾a 2.0.1 ([26℄). Gi£ sû P (z) l mët (cid:31)a thù ma trªn. N¸u â v² tì kh¡ khæng C sao ho P (λ)x = 0, th¼ λ (cid:31)÷ñ gåi l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) x án x (cid:31)÷ñ gåi l mët v² tì ri¶ng õa P (z) ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ.

Ct ∈ ∈

Chó þ th¶m r¬ng trong tr÷íng hñp P (z) = zIt − A, (cid:31)a thù (cid:31)° tr÷ng õa ma trªn ∈ Mt(C), th¼ méi gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn P (z) l mët gi¡ trà ri¶ng õa ma

trªn A. Do (cid:31)â â thº nâi gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn l mët kh¡i ni»m mð rëng õa

gi¡ trà ri¶ng õa mët ma trªn.

2.1 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Enestr(cid:4)om-Kakeya

Trong phn n y hóng tæi (cid:31)÷a ra mët sè h°n tr¶n v h°n d÷îi ho ¡ gi¡ trà ri¶ng

õa mët sè ¡ (cid:31)a thù ma trªn (cid:31)° bi»t. K¸t qu£ (cid:31)u ti¶n nghi¶n ùu h°n tr¶n ho gi¡

trà ri¶ng õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn m hu©n õa ¡ h» sè â t½nh trëi.

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn · · ·

(cid:30)ành lþ 2.1.1. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + vîi ¡ ma trªn h» sè Ai ∈ Mt(C) thäa m¢n t½nh h§t: , i = 0, ..., d

Khi (cid:31)â, ¡ gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) n¬m trong (cid:31)¾a mð

> 1. Adk k Aik k −

Khi t = 1, hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ H» qu£ 1.1.4.

l mët v² tì ri¶ng (cid:31)ìn

λ . < 1 + | | Adkk k A−1 d k

Chùng minh. Cho λ và t÷ìng ùng vîi λ. Rã r ng, n¸u | Gi£ sû |

Cn C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ ∈ λ 1 th¼ hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ k¸t qu£ n hùng minh. | ≤ λ > 1. Khi (cid:31)â, ta â |

d−1

d

λ P (λ)x Adx k − k k k ≥ | | "k

i=0 X d−1

d

−1

d−i

≥ | | A−1 d k − # "k

i=0 X d−1

−1

d

d−i

i=0 X

d

−1

. λ =

i

1 λ Adkk A−1 d k − k | | k A−1 d k # 1 " | |

i=1 X

Do (cid:31)â,

∞

d

−1

> λ

i

1 λ − k P (λ)x k k | | k A−1 d k # 1 " | |

i=1 X

d

−1

λ 1 = k A−1 d k A−1 d k 1 − | (cid:20) k d

−1

| λ . λ Adkk Adkk λ | − | 1 = | | A−1 d k A−1 d k 1 | | − − k (cid:21) A−1 Adkk d k k λ | − | (cid:1) (cid:0) A−1 1 + > 0, m¥u thu¨n vîi P (λ)x = 0. Do (cid:31)â, Adkk k P (λ)x k

d k th¼ k

Suy ra, n¸u | < 1 + λ |

| ≥ A−1 k | λ Adkk

d k.

D¤ng ma trªn thù nh§t õa (cid:31)ành lþ Enestr(cid:4)om-Kakeya (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra trong k¸t qu£ sau.

(cid:30)ành lþ 2.1.2. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + vîi ¡ ma trªn h» sè Ai ∈ Mt(C) thäa m¢n

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn · · ·

Khi (cid:31)â, méi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n

0. Ad < Ad−1 < < A0 < 0; Ad ≻ · · ·

trong (cid:31)â, λmin(A0) l gi¡ trà ri¶ng nhä nh§t õa A0 v λmax(Ad) l gi¡ trà ri¶ng lîn nh§t õa Ad .

λ 1, | ≤ λmin(A0) 2λmax(Ad) ≤ |

Chùng minh. Tr÷î ti¶n, hóng ta th§y r¬ng vîi méi ma trªn A nhä nh§t λmin(A)v gi¡ trà ri¶ng lîn nh§t λmax(A) õa nâ n¬m trong tªp hñp

∈ Mt(C), gi¡ trà ri¶ng

, ta luæn â

x Ct, . = 1 x∗Ax | { ∈ x k k }

Do (cid:31)â, vîi méi v² tì (cid:31)ìn và x

(2.1)

Ct ∈

x∗Ax λmin(A) λmax(A). ≤

Cho λ vîi λ. X²t (cid:31)a thù

u ≤ Ct, C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z), v u = 1 l mët v² tì ri¶ng t÷ìng ùng ∈ k k ∈

d

Pu(z) = u∗P (z)u = (u∗Aiu)zi.

i=0 X

D¹ th§y λ l mët nghi»m õa Pu(z). Hìn núa, theo gi£ thi¸t v· (cid:31)i·u ki»n õa ¡ ma trªn

h» sè ta suy ra

(cid:30)i·u n y h¿ ra (cid:31)a thù Pu(z) thäa m¢n ¡ (cid:31)i·u ki»n trong (cid:30)ành lþ 1.1.1. (cid:129)p döng (cid:30)ành lþ 1.1.1 ho Pu(z), hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ

(2.2)

u∗Adu u∗Ad−1u u∗A0u 0, u∗Adu > 0. ≥ ≥ · · · ≥ ≥

λ 1. | ≤ u∗A0u 2u∗Adu ≤ |

Khi (cid:31)â, h°n d÷îi õa |

(cid:129)p döng (cid:30)ành lþ 2.1.2 ho (cid:31)a thù ma trªn Q(z) = zdP ( 1

λ | (cid:31)÷ñ suy ra tø (2.3) v (2.2).

z ), hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ k¸t

qu£ (cid:31)èi ng¨u vîi (cid:30)ành lþ 2.1.2.

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn · · ·

(cid:30)ành lþ 2.1.3. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + vîi ¡ ma trªn h» sè Ai ∈ Mt(C) thäa m¢n A0 < A1 <

0. · · ·

Mët d¤ng ma trªn kh¡ õa (cid:31)ành lþ Enestr(cid:4)om-Kakeya (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra sau (cid:31)¥y.

< Ad ≻ 1. λ Khi (cid:31)â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n | | ≥

· · · + A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn C l mët gi¡ trà ri¶ng õa ∈

(cid:30)ành lþ 2.1.4. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + â ¡ ma trªn h» sè Ai ∈ Mt(C) l x¡ (cid:31)ành d÷ìng. N¸u λ P (z), th¼ λmin(Ai) λmax(Ai+1)

Khi t = 1, hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ (cid:30)ành lþ 1.1.2.

λ . max i=0,...,d−1 min i=0,...,d−1 ≤ | | ≤ λmax(Ai) λmin(Ai+1) (cid:26) (cid:27) (cid:27) (cid:26)

Chùng minh. Chóng ta th§y r¬ng vîi méi ma trªn A λmin(A) v gi¡ trà ri¶ng lîn nh§t λmax(A) õa nâ n¬m trong tªp hñp

∈ Mt(C), gi¡ trà ri¶ng nhä nh§t

, ta luæn â

x Ct, . = 1 x∗Ax | { ∈ x k k }

Do (cid:31)â, vîi méi v² tì (cid:31)ìn và x

(2.3)

Ct ∈

x∗Ax λmin(A) λmax(A). ≤ ≤

Cho λ vîi λ. X²t (cid:31)a thù

Ct, u C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z), v u = 1 l mët v² tì ri¶ng t÷ìng ùng ∈ k k ∈

d

Pu(z) = u∗P (z)u = (u∗Aiu)zi.

i=0 X

D¹ th§y λ l mët nghi»m õa Pu(z). Hìn núa, theo gi£ thi¸t Ai, i = 0, ..., d, l ¡ ma trªn x¡ (cid:31)ành d÷ìng n¶n ¡ h» sè õa (cid:31)a thù Pu(z) thäa m¢n (cid:31)i·u ki»n (cid:30)ành lþ 1.1.2. (cid:129)p döng (cid:30)ành lþ 1.1.2 ho Pu(z), hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ

(2.4)

trong (cid:31)â,

α λ β, ≤ | | ≤

. , β := max α := min

0≤i≤d−1

K¸t hñp (2.3) v (2.4) hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ (cid:31)i·u n hùng minh.

Chóng ta minh håa ho (cid:30)ành lþ 2.1.2 bði v½ dö sau.

V½ dö 2.1.1. Cho (cid:31)a thù ma trªn P (z) = A2z2 + A1z + A0 , trong (cid:31)â,

u∗Aiu u∗Ai+1u u∗Aiu u∗Ai+1u (cid:26) (cid:27) (cid:27) (cid:26)

2 6 . A0 = , A1 = , A2 = 2 i 3 2 + i 7 6 + 4i " i − 1 # " i − 6 # " 4i − 13 #

= 0.0107. D¹ λmin(A0) 2λmax(A2) 0. Hìn núa, ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) l

Sû döng phn m·m MATLAB 7.11.0 (R2010b) ta t½nh (cid:31)÷ñ r = d ng kiºm tra (cid:31)÷ñ r¬ng A2 < A1 < A0 ≻ 0.3487 0.3487 + 0.6443i, λ2 =

Tø (cid:31)â suy ra 0.0107

0.4537. 0.6443i, λ3 = λ1 = 0.1053, λ4 = − − − − −

Ng÷ñ l¤i, khi x²t (cid:31)a thù ma trªn Q(z) = A0z2 + A1z + A2 . Ta â ¡ gi¡ trà ri¶ng

õa Q(z) l

1, vîi måi i = 1, 2, 3, 4. λi| ≤ ≤ |

0.6497 2.2043. λ1 = 0.6497 + 1.2004i, λ2 = 1.2004i, λ3 = 9.4962, λ4 = − − − −

D¹ th§y |

V½ dö sau minh håa ho (cid:30)ành lþ 2.1.4.

1, i = 1, 2, 3, 4. Chóng ta â k¸t qu£ ho (cid:30)ành lþ 2.1.3. − λi| ≥ ∀

V½ dö 2.1.2. Cho (cid:31)a thù ma trªn P (z) = A2z2 + A1z + A0 , trong (cid:31)â,

Ta â Ai < 0, i = 1, 2, 3. C¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) l

10 2 3 . , A2 = , A1 = A0 = 3i 4 2 + i 5 3 + 2i 4 + 3i 9 # i − 6 # 4 " 2i − 3 # " " −

0.4419 0.1126. λ1 = 0.4419 + 0.8008i, λ2 = 0.8008i, λ3 = 0.3267, λ4 = − − − − −

M°t kh¡ , min

Ta â 0.0446 <

2.2 C¡ (cid:31)ành lþ d¤ng Cau hy ho (cid:31)a thù ma trªn

Trong phn n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè d¤ng ma trªn ho ¡ (cid:31)ành lþ d¤ng Cau hy

(cid:31)÷ñ tr¼nh b y ð Mö 1.1. Nh l¤i r¬ng, ¡ (cid:31)ành lþ d¤ng Cau hy l ¡ (cid:31)ành lþ t¼m h°n

ho nghi»m õa (cid:31)a thù düa v o h» sè õa (cid:31)a thù (cid:31)â. Mët d¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ

Cau hy ((cid:30)ành lþ 1.1.5) (cid:31)¢ (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra trong b i b¡o [22℄ nh÷ sau.

, , = 0.0446, max = 6.4049. λmaxA0 λminA1 λmaxA1 λminA2 (cid:27) (cid:26) < 6.4049, i = 1, 2, 3. λminA0 λmaxA1 (cid:26) λi| | λminA1 λmaxA2 (cid:27) ∀

(cid:30)ành lþ 2.2.1 ([22, Lemma 3.1℄). Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + + A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn vîi ma trªn Ad v A0 kh£ nghà h. Cho r, R t÷ìng ùng l nghi»m d÷ìng

õa (cid:31)a thù

· · ·

−1

z h(z) = zd + zd−1 + + A−1 0 Adk k Ad−1k k A1k k − · · ·

(cid:13) (cid:13)

−1 zd

Khi (cid:31)â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n

zd−1 . g(z) = A−1 d Ad−1k − k − · · · − k (cid:13) (cid:13) A0k

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Mët d¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Cau hy ((cid:30)ành lþ 1.1.3) (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra nh÷ sau.

r λ R. ≤ | | ≤

(cid:30)ành lþ 2.2.2. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + vîi ma trªn Ad kh£ nghà h. Kþ hi»u

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn · · ·

Khi (cid:31)â, t§t £ ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) n¬m trong (cid:31)¾a mð

. M := A−1 d k k max i=0,...,d−1 k Aik

C z . K o(0, 1 + M) = < 1 + M { ∈ z | | | }

l mët v² tì ri¶ng

Chùng minh. Gi£ sû λ (cid:31)ìn và ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ.

Cn C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ ∈

K¸t luªn hiºn nhi¶n (cid:31)óng n¸u |

λ λ > 1. Ta â, | ≤ 1. Gi£ sû | | d−1

d

λ P (λ)x Adx k − k k k ≥ | | Aix λd−i k# "k

i=0 X

d−1

d

−1

d−i

A−1 d k − k ≥ | | k A−1 d k # 1 " Aik k λ | |

d

−1

d

M λ

i

i=0 X 1 λ

− A−1 d k ≥ | | k 1 " # |

i=1 X ∞

d

−1

M > λ

i

| 1 λ − | k | A−1 d k # 1 " | |

i=1 X M

d

−1

λ 1 = λ 1 − | (cid:21) (cid:20) | k d

−1

| λ λ | − 1 ( M) . = | | A−1 d k A−1 d k 1 | | − −

Khi (cid:31)â, n¸u |

B¬ng ¡ h ¡p döng (cid:30)ành lþ 2.2.2 ho (cid:31)a thù ma trªn Q(z) = (1

(cid:31)÷ñ h°n tr¶n sau (cid:31)¥y.

z)P (z) ta nhªn −

H» qu£ 2.2.3. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + ma trªn Ad kh£ nghà h. Kþ hi»u

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn vîi · · ·

M := , A−1 := 0. A−1 d k k max i=0,...,d k Ad−i − Ad−i−1k

Khi (cid:31)â, t§t £ ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) (cid:31)÷ñ hùa trong (cid:31)¾a mð K o(0, 1 +

f M).

Khi t = 1, hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ H» qu£ 1.1.8.

Chùng minh. X²t (cid:31)a thù

d

Q(z) = (1 z)P (z) = Adzd+1 + Ad−i−1)zd−i. − − (Ad−i −

i=0 X

V¼ méi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) ng l mët gi¡ trà ri¶ng õa Q(z), n¶n ¡p döng (cid:30)ành lþ 2.2.2 ho Q(z) hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ (cid:31)i·u n hùng minh.

Mët d¤ng ma trªn õa (cid:30)ành lþ 1.1.6 (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra nh÷ sau

(cid:30)ành lþ 2.2.4. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + + A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn vîi ma trªn Ad kh£ nghà h. Khi (cid:31)â, måi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) (cid:31)÷ñ hùa trong (cid:31)¾a (cid:31)âng

· · ·

trong (cid:31)â, M (cid:31)÷ñ x¡ (cid:31)ành nh÷ trong (cid:30)ành lþ 2.2.2, v r1 l nghi»m d÷ìng lîn nh§t õa

ph÷ìng tr¼nh

C z , K(0, r1) = { ∈ z | | | ≤ r1}

Khi t = 1, hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ (cid:30)ành lþ 1.1.6.

l mët v² tì ri¶ng (cid:31)ìn

zd+1 (1 + M)zd + M = 0. −

Chùng minh. Gi£ sû λ và t÷ìng ùng vîi λ.

Ct C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ ∈

K¸t luªn l hiºn nhi¶n ho tr÷íng hñp |

λ λ > 1. Khi (cid:31)â, | ≤ 1. Gi£ sû | |

d−1

d

(2.5)

λ P (λ)x Adx Aixλi k k| | − k k ≥ "k k#

i=0 X d−1

d

−1

(2.6)

λ λi | − Aikk A−1 d k k A−1 d k ≥ k # "|

i=0 X

d−1

d

−1

(2.7)

M λi λ | − A−1 d k ≥ k "|

d

−1

λ = # 1 1 | − | k (cid:20)

−1

d+1

λ .

i=0 X d λ M | | − λ (cid:21) | | − λ (1 + M)

d + M

1 | | − | | = k | A−1 d k A−1 d k λ | − (cid:0) (cid:1)

−1

; b§t (cid:31)¯ng thù (2.7) suy ra

B§t (cid:31)¯ng thù (2.6) suy ra tø b§t (cid:31)¯ng thù k tø (cid:31)ành ngh¾a õa M .

M°t kh¡ , theo quy t d§u õa Des artes, (cid:31)a thù f (z) = zd+1

Adk ≥ k A−1 d k

hai ln (cid:31)êi d§u n¶n nâ â (cid:31)óng hai nghi»m thü d÷ìng l 1 v δ

(cid:30)i·u n y suy ra

− (1 + M)zd + M â = 1. Hìn núa, f (0) > 0. 6

. f (z) > 0 vîi måi z > max δ, 1 { } |

Do (cid:31)â, k

(cid:30)ành lþ (cid:31)÷ñ hùng minh.

λ δ, 1 . (cid:30)i·u n y m¥u thu¨n vîi P (λ)x = 0. | > r1 , vîi r1 = max P (λ)x k > 0 n¸u | | { }

(cid:129)p döng (cid:30)ành lþ 2.2.4 ho (cid:31)a thù ma trªn (1

mîi ho ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z).

z)P (z) hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ mët h°n −

H» qu£ 2.2.5. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + ma trªn Ad kh£ nghà h. Khi (cid:31)â, måi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) n¬m trong (cid:31)¾a (cid:31)âng

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn vîi · · ·

trong (cid:31)â,

C z , K(0, r2) = { ∈ z | | | ≤ r2}

ph÷ìng tr¼nh

M (cid:31)÷ñ x¡ (cid:31)ành nh÷ trong H» qu£ 2.2.3, v r2 l nghi»m d÷ìng lîn nh§t õa

f zd+2 (1 + M )zd+1 + M = 0. −

Khi t = 1, hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ H» qu£ 1.1.7.

Chùng minh. X²t (cid:31)a thù ma trªn

f f

d

Q(z) = (1 z)P (z) = Adzd+1 + Ad−i−1)zd−i. − − (Ad−i −

i=0 X

Do méi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) ng l gi¡ trà ri¶ng õa Q(z) n¶n ¡p döng (cid:30)ành lþ 2.2.4 ho (cid:31)a thù Q(z) ta â (cid:31)i·u ph£i hùng minh.

Ti¸p theo hóng tæi tr¼nh b y mët d¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Joyal, Labelle v Rahman

((cid:30)ành lþ 1.1.9). Tr÷î h¸t, hóng tæi x²t ¡ (cid:31)a thù moni . Ti¸p (cid:31)â, hóng tæi x²t (cid:31)a

thù ma trªn b§t ký. Rçi tø (cid:31)â, ù méi h°n tr¶n ho gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù P (z) bª d hóng tæi s³ h¿ ra mët h°n d÷îi õa nâ b¬ng ¡ h x²t (cid:31)a thù Q(z) = zdP

1 z

Bê (cid:31)· 2.2.1. Cho P (z) = It ·

hi»u

(cid:0) (cid:1) zd + Ad−1zd−1 + + A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn. Kþ · · ·

. α := max

i=0,...,d−2 k

Khi (cid:31)â, vîi méi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â

Aik

1 2

l mët v² tì ri¶ng

Chùng minh. Gi£ sû λ (cid:31)ìn và t÷ìng ùng vîi λ. Gi£ sû ng÷ñ l¤i,

λ . 1 + + (1 )2 + 4α 1 2 Ad−1k k Ad−1k − k | | ≤ n (cid:3) o Cn (cid:2) C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ ∈

1 2

. λ > 1 + + (1 )2 + 4α 1 2 Ad−1k k Ad−1k − k | | n o (cid:2) (cid:3)

Tø (cid:31)â k²o theo

(2.8)

λ λ ( 1) ( ) α > 0. | | − k Ad−1k − |

d−1

Nh¥n £ hai v¸ õa (2.8) vîi

1 , ta â | − λ | λ | | | −

d−1

λ λd−1 > 0. 1

d |

Tuy nhi¶n,

| Ad−1k − k − λ α | λ | | | −

d−1

λ 1 λ λ = α(1 + + + > α | 1 − 1 | | · · ·

d−2) |

λ α | λ | | | −

d−1 | λ |

M°t kh¡ ,

. | − (A0 + A1λ + ≥ k | + Ad−2λd−2)x k · · ·

λ λd−1 .

d |

Suy ra,

| Ad−1k − k (It · λd + Ad−1λd−1)x k ≤ k

d−1

λ λd−1 0 < 1 | Ad−1k λ α | λ | | | − < − k − λd + Ad−1λd−1)x k k − k · · · . + Ad−2λd−2)x k =

d | (It · (A0 + A1λ +

P (λ)x k λd)x k ≤ k · · · k

Do (cid:31)â

(A0 + A1λ + + Ad−2λd−2)x + (Ad−1λd−1 + It · (cid:30)i·u n y m¨u thu¨n vîi gi£ thi¸t λ l gi¡ trà ri¶ng õa P (z) t÷ìng ùng vîi v² tì ri¶ng x.

1 2

B¬ng ¡ h x²t (cid:31)a thù ma trªn moni t÷ìng ùng, ¡p döng Bê (cid:31)· 2.2.1, ta nhªn (cid:31)÷ñ

d¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Joyal, Labelle v Rahman sau (cid:31)¥y.

λ . 1 + + (1 )2 + 4α 1 2 ≤ Ad−1k k Ad−1k − k o n (cid:2) (cid:3)

(cid:30)ành lþ 2.2.6. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + vîi ma trªn Ad kh£ nghà h. Kþ hi»u

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn · · ·

. α′ := max AiA−1 d

i=0,...,d−2

Khi (cid:31)â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

1 2

2

. 1 + + + 4α′ Ad−1A−1 d Ad−1A−1 d 1 2 λ | | ≤ − (cid:26) (cid:27) i 1 h(cid:0) (cid:1) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Khi t = 1 hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ (cid:30)ành lþ 1.1.9.

(cid:129)p döng (cid:30)ành lþ 2.2.6 ho (cid:31)a thù ma trªn Q(z) = zdP ( 1

z ), hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ mët

h°n d÷îi ho ¡ gi¡ trà ri¶ng nh÷ sau.

H» qu£ 2.2.7. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + ma trªn A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn vîi · · ·

. AiA−1 0 β := max i=2,...,d

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) Khi (cid:31)â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â

2 . λ

1 2

| | ≥

2 + 4β

Khi t = 1 hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ H» qu£ 1.1.10.

(cid:129)p döng (cid:30)ành lþ 2.2.6 ho (cid:31)a thù ma trªn (1

+ 1 1 + A1A−1 0 A1A−1 0 − i h(cid:0) (cid:13) (cid:1) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

z)P (z) ta nhªn (cid:31)÷ñ k¸t qu£ sau. −

(cid:30)ành lþ 2.2.8. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + vîi ma trªn Ad kh£ nghà h. Kþ hi»u

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn · · ·

, A−1 := 0. Ad−i−1)A−1 d γ := max i=1,...,d

Khi (cid:31)â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â

(Ad−i − (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

1 2

2

Khi t = 1 hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ H» qu£ 1.1.11.

(cid:129)p döng (cid:30)ành lþ 2.2.8 ho (cid:31)a thù ma trªn Q(z) = zdP ( 1

λ . + 4γ + 1 + Ad−1)A−1 d Ad−1)A−1 d 1 2 | | ≤ − (Ad − (cid:26) (cid:27) i 1 h(cid:0) (cid:13) (cid:1) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (Ad − (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

z ) ta nhªn (cid:31)÷ñ h°n d÷îi

sau ho ¡ gi¡ trà ri¶ng õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn.

H» qu£ 2.2.9. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + ma trªn A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn vîi · · ·

, Ad+1 := 0. Ai+1)A−1 0 γ′ := max i=1,...,d (Ai −

Khi (cid:31)â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

2 .

1 2

λ | | ≥

2 + 4γ′

+ 1 + A1)A−1 0 A1)A−1 0 − i (cid:1) 1 h(cid:0) (cid:13) (cid:13) (A0 − (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (A0 − (cid:13) (cid:13)

Khi t = 1, hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ H» qu£ 1.1.12.

(cid:129)p döng Bê (cid:31)· 2.2.1 ho (cid:31)a thù ma trªn (It ·

z Ad−1)P (z) ta nhªn (cid:31)÷ñ . −

Bê (cid:31)· 2.2.2. Cho P (z) = It ·

hi»u

zd + Ad−1zd−1 + + A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn. Kþ · · ·

δ := max , A−1 := 0.

i=0,...,d−1 k

Ai−1k

Ad−1Ai − Khi (cid:31)â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n

Khi t = 1, hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ H» qu£ 1.1.13.

B¬ng ¡ h x²t (cid:31)a thù ma trªn moni t÷ìng ùng, ¡p döng Bê (cid:31)· 2.2.2 ta nhªn (cid:31)÷ñ

h°n tr¶n ho ¡ gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn b§t ký.

λ (1 + √1 + 4δ). 1 2 | | ≤

(cid:30)ành lþ 2.2.10. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + â ma trªn Ad kh£ nghà h. Kþ hi»u

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn · · ·

δ′ := max , A−1 := 0. (Ad−1A−1 Ai−1 A−1 d

i=0,...,d−1

(cid:1) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:0) (cid:13)

d )Ai − Khi (cid:31)â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n

Khi t = 1 hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ H» qu£ 1.1.14.

T÷ìng tü tr¶n ta nhªn (cid:31)÷ñ h°n d÷îi sau (cid:31)¥y.

λ (1 + √1 + 4δ′). 1 2 | | ≤

H» qu£ 2.2.11. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + â ma trªn A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn · · ·

, Ad+1 := 0. (A1A−1 Ai+1 A−1 0 δ” := max i=1,...,d

(cid:0) (cid:1) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

0 )Ai − Khi (cid:31)â vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â

Khi t = 1, hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ H» qu£ 1.1.15.

. λ | | ≥ 2 1 + √1 + 4δ”

(cid:129)p döng Bê (cid:31)· 2.2.1 ho (cid:31)a thù ma trªn (It ·

tr¶n sau (cid:31)¥y.

Ad−1)P (z) ta nhªn (cid:31)÷ñ h°n z + It −

Bê (cid:31)· 2.2.3. Cho P (z) = It ·

hi»u

zd + Ad−1zd−1 + + A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn. Kþ · · ·

ǫ := max , A−1 := 0.

i=0,...,d−1 k

Khi (cid:31)â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â

(It − Ad−1)Ai + Ai−1k

(cid:30)èi vîi (cid:31)a thù ma trªn vîi ma trªn h» sè ao nh§t kh£ nghà h ta â h°n tr¶n sau

(cid:31)¥y.

λ 1 + √ǫ. | | ≤

(cid:30)ành lþ 2.2.12. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + â ma trªn Ad kh£ nghà h. Kþ hi»u

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn · · ·

ǫ′ := max Ad−1A−1 , A−1 := 0.

d )Ai + Ai−1

A−1 d

i=0,...,d−1

Khi (cid:31)â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â

(It − (cid:16) (cid:17) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Ch°n d÷îi ho d÷îi (cid:31)¥y nhªn (cid:31)÷ñ b¬ng ¡ h ¡p döng (cid:30)ành lþ 2.2.12 ho (cid:31)a thù ma

trªn Q(z) = zdP ( 1

1 + √ǫ′. λ | | ≤

z ).

H» qu£ 2.2.13. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + â ma trªn A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn · · ·

, Ad+1 := 0. A1A−1

0 )Ai + Ai+1

Khi (cid:31)â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â

A−1 0 ǫ” := max i=1,...,d (It − (cid:16) (cid:17) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Ti¸p theo (cid:31)¥y hóng tæi (cid:31)÷a ra mët d¤ng ma trªn ho (cid:31)ành lþ Datt-Govil ((cid:30)ành lþ

1.1.16).

. λ | | ≥ 1 1 + √ǫ”

Bê (cid:31)· 2.2.4. Cho P (z) = It · ma trªn A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u

zd + Ad−1zd−1 + + A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn â · · ·

. A := max

i=0,...,d−1 k

Aik

Khi (cid:31)â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â

−1

A−1 0 λ 1 + λ0A, | ≤ 2(1 + A)d−1(Ad + 1) ≤ | (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

1

trong (cid:31)â λ0 l mët nghi»m õa ph÷ìng tr¼nh x = 1

(Ax+1)d trong kho£ng mð (0, 1).

l mët v² tì ri¶ng

−

Cn ∈ ∈

hñp.

Tr÷íng hñp 1: dA

C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x Chùng minh. Gi£ sû λ λ (cid:31)ìn và ùng vîi λ. Tr÷î h¸t ta hùng minh ho h°n tr¶n õa | |. Chóng ta x²t hai tr÷íng

λ > 1 th¼ | ≤

d

dA λ λ 1. Trong tr÷íng hñp n y, n¸u | λ P (λ)x

d−1 > 0.

λ |

d−1 |

≥ |

d |

− k ≥ | k | − |

λ (0, 1). 1 | 1 + λ0A vîi måi λ0 ∈ | ≤ ≤

1 (Ax+1)d â duy nh§t

(cid:30)i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t. Do (cid:31)â, | Tr÷íng hñp 2: dA > 1. Trong tr÷íng hñp n y ph÷ìng tr¼nh x = 1 mët nghi»m d÷ìng λ0 ∈

− (0, 1) [8, Lemma 2℄. Hìn núa, ta â

d−1

d

. λ A λ λ P (λ)x 1 1 k k ≥ | | −

j = |

d |

| − λ | − λ | − A| |

j=0 X = 1 + Aα vîi α > λ0 . Khi (cid:31)â α > 1

1 (Aα+1)d .

N¸u |

(cid:30)i·u n y h¿ ra r¬ng

− | λ > 1 + Aλ0 , th¼ ta â thº vi¸t | |

(1 + Aα)d > 0, m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t P (λ)x = 0.

(1+Aα)d−1 α

− k ≥ 1 + Aλ0.

−1

P (λ)x k λ Do (cid:31)â, | | ≤

A

−1 0

λ < k

2(1+A)d−1(Ad+1) . k

B¥y gií hóng ta hùng minh h°n d÷îi ho | X²t (cid:31)a thù ma trªn G(z) = (1

|. Gi£ sû ng÷ñ l¤i, | | λ z)P (z). Ta â −

d−1

zd G(z) = A0 + Ad−1zd zd+1 =: A0 + H(z), (Ai − Ai−1)zi + It · − It · −

i=1 X

Kþ hi»u R = 1 + A. Khi (cid:31)â, vîi |

z = R, ta â |

d−1

Ri H(z)x Rd + Rd+1 + Rd + Ai − k Ai−1k max |z|=R k k ≤ k

i=1 X

1)A] − Ad−1k Rd [R + 1 + A + 2(d ≤ = 2(1 + A)d(dA + 1).

Theo Nguy¶n lþ mæ(cid:31)un ü (cid:31)¤i, vîi | H(z)x

R ta â z | ≤

2(1 + A)d(dA + 1). k k ≤

−1

A

−1 0

λ < k k

2(1+A)m−1(Am+1) < R ta â

Khi (cid:31)â, vîi |

−1

= A0x + H(λ)x A−1 0 G(λ)x k k k k ≥ − k

−1

(cid:13) A−1 (cid:13) 0 (cid:13) (cid:13) − ≥ H(λ)x k

−1

H(λ)x k λ max | | 1 + A |λ|≤1+A k 2(1 + A)d−1(dA + 1) > 0, (cid:13) (cid:13) (cid:13) A−1 (cid:13) 0 ≥ − λ | |

M°t kh¡ , theo ¡ h x¡ (cid:31)ành õa G(z) th¼ λ ng l gi¡ trà ri¶ng t÷ìng ùng vîi v² tì ri¶ng x õa G. Suy ra G(λ)x = 0. (cid:30)i·u n y m¨u thu¨n vîi b§t (cid:31)¯ng thù tr¶n. Do vªy,

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

−1

B¬ng ¡ h x²t (cid:31)a thù ma trªn moni t÷ìng ùng, ¡p döng Bê (cid:31)· 2.2.4, ta nhªn (cid:31)÷ñ

h°n tr¶n v h°n d÷îi sau ho gi¡ trà ri¶ng õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn.

A−1 0 λ . | 2(1 + A)d−1(Ad + 1) ≤ | (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

(cid:30)ành lþ 2.2.14. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + vîi ma trªn Ad v A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn · · ·

. A′ := max AiA−1 d

i=0,...,d−1

Khi (cid:31)â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

−1

AdA−1 0 λ 1 + λ0A′, | ≤ 2(1 + A′)d−1(A′d + 1) ≤ | (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

1

trong (cid:31)â, λ0 l mët nghi»m õa ph÷ìng tr¼nh x = 1

(A′x+1)d n¬m trong kho£ng (0, 1).

Khi t = 1, hóng ta â (cid:30)ành lþ 1.1.16.

−

1

N¸u vi» t¼m nghi»m trong kho£ng (0, 1) õa ph÷ìng tr¼nh x = 1

(A′x+1)d khâ, hóng

ta sû döng h°n tr¶n sau (cid:31)¥y.

−

H» qu£ 2.2.15. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + vîi ma trªn Ad v A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn · · ·

. A′ := max AiA−1 d

i=0,...,d−1

Khi (cid:31)â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

−1

AdA−1 0 A′. λ < 1 + 1 1 (1 + A′)d | − (cid:17) (cid:16) 2(1 + A′)d−1(A′d + 1) ≤ | (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Khi t = 1, hóng ta â H» qu£ 1.1.17.

1

(0, 1) l mët nghi»m õa ph÷ìng tr¼nh x = 1

(A′x+1)d . Khi (cid:31)â

Chùng minh. Gåi λ0 ∈ λ0 < 1

Ti¸p theo l mët v i h°n kh¡ ho gi¡ trà ri¶ng õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn.

− (1 + A′)d . Do (cid:31)â h°n tr¶n ð (cid:31)¥y nhªn (cid:31)÷ñ tø (cid:30)ành lþ 2.2.14. −

(cid:30)ành lþ 2.2.16. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + vîi ma trªn Ad v A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn · · ·

. M := max , M ′ := max

i=0,...,d−1 k

Aik

i=1,...,d k

Khi (cid:31)â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n

Aik

−1

l mët v² tì ri¶ng (cid:31)ìn

. < λ < 1 + M A−1 d | | A−1 0 −1 + M ′ (cid:13) (cid:13) A−1 (cid:13) 0 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) Khi t = 1, hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ (cid:30)ành lþ 1.1.18.

, ta â

Chùng minh. Cho λ λ và ùng vîi λ. N¸u |

Ct ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x 1 + M A−1 d ∈ | ≥

d

P (λ)x + A0x (cid:13) Adx (cid:13) · · · k k ≥ | (cid:13) λ (cid:13) | k k − Ad−1λd−1x + d−1

−1

d

(cid:13) (cid:13) λ A−1 d ≥ λ | | (cid:13) (cid:13) − Aik | k

i |

i=0 X

d−1

(cid:13) (cid:13)

−1

d

M λ (cid:13) (cid:13) A−1 d ≥ λ | | −

i |

d−1

(cid:13) (cid:13)

i=0 X M

−1

i

λd λ = 1 (cid:13) (cid:13) A−1 d − | | ! (cid:13) (cid:13)

i=0 X d

(cid:13) (cid:13)

−1

(cid:12) (cid:12) λ M 1 = A−1 d d λ (cid:13) | | (cid:13) A−1 d (cid:13) (cid:13) A−1 d

i

| (cid:12) (cid:12) d | − ! 1 λ |

i=1 X ∞

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

−1

> λ M 1 (cid:13) (cid:13) A−1 d A−1 d

i

d |

| − ! | 1 λ | |

i=1 X 1

−1

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) λ M 0, = 1 (cid:13) (cid:13) A−1 d (cid:13) (cid:13) A−1 d λ 1 ≥

d |

| − (cid:19) (cid:18) | | − (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

m¥u thu¨n. Do (cid:31)â |

, th¼

λ < 1 + M A−1 d |

(cid:13) (cid:13) λ

−1 (cid:13) (cid:13) k −1 +M

−1 A 0 k −1 A 0

T÷ìng tü, n¸u |

| ≤ k k

d

−1

i

P (λ)x A−1 0 − λ | | Aik k k k ≥

d

(cid:13) (cid:13)

−1

i

i=1 X M ′

(cid:13) (cid:13) A−1 0 | | − ≥

−1

(cid:13) (cid:13) M ′ > (cid:13) (cid:13) A−1 0 1

λ | M ′ (cid:13) A−1 (cid:13) 0 (cid:13) (cid:13) − λ | | 0, = λ λ − −1 (1 1 ≥

i=1 X λ | | − | ) | |

m¥u thu¨n. (cid:30)ành lþ (cid:31)÷ñ hùng minh.

Têng qu¡t hìn hóng ta â k¸t qu£ sau (cid:31)¥y.

− | − | (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn · · ·

1

(cid:30)ành lþ 2.2.17. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + â ma trªn Ad v A0 kh£ nghà h. Cho p, q > 1 sao ho

p + 1

q = 1. Kþ hi»u

1 p

d−1

d

p

, M ′ . Mp :=

p :=

Aik k Aik k ! !

i=0 X

i=1 X

Khi (cid:31)â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â

−q

1 q

1

q

< λ <

q .

1 + Mp A−1 d

−q

ta nhªn (cid:31)÷ñ (cid:30)ành lþ 2.2.16.

l mët v² tì ri¶ng (cid:31)ìn

| | (M ′ " # A−1 0 p)q + (cid:13) (cid:13) (cid:0) (cid:2) (cid:3) (cid:13) (cid:1) (cid:13) A−1 (cid:13) 0 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) Khi t = 1, ta nhªn (cid:31)÷ñ (cid:30)ành lþ 1.1.19. Hìn núa, khi p 1), hóng → ∞ (ló (cid:31)â q →

Chùng minh. Cho λ và ùng vîi λ.

Ct C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ ∈

q

1 q

, th¼

N¸u |

λ 1 + Mp A−1 d | ≥

d−1

d

(2.9)

λ λ (cid:2) (cid:0) P (λ)x (cid:13) (cid:3) (cid:1) (cid:13) −1 A−1 d | | − Aik | k

i |

(cid:13) (cid:13) k ≥ k

i=0 X

1 q

1 p

d−1

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

−1

d

p

(2.10)

λ λ A−1 d | | Aik k ≥

iq |

| − ! !

1 q

i=0 X d−1

(cid:13) (cid:13)

i=0 X Mp

−1

iq

λ 1 = (cid:13) (cid:13) A−1 d   λ | |

d |

| − ! A−1 d d | λ (cid:13) | (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)  

1 q

i=0 X d−1

−1

(i−d)q

λ λ = 1 Mp (cid:13) (cid:13) A−1 d A−1 d  

d |

| | | − !

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)  

1 q

i=0 X ∞

−1

−iq

λ λ > 1 Mp (cid:13) (cid:13) A−1 d A−1 d  

d |

| | | − !

(cid:13) (cid:13) 

i=1 X 1

−1

1

λ (cid:13) (cid:13) . = 0, m¥u thu¨n . Mp (cid:13) (cid:13) A−1 d (cid:13) (cid:13) A−1 d

d |

| − λ ( 1)  1 "

q # ≥

q |

Trong ¡ dáng tr¶n, tø (2.9) (cid:31)¸n (2.10) ta sû döng B§t (cid:31)¯ng thù H(cid:4)older.

− (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

1

q

λ <

q .

Do (cid:31)â, |

1 + Mp A−1 d |

−q

1 q

A

(cid:0)

−q

. (cid:13) (cid:13)

(M ′

k −1 A 0

−1 0 k p)q+

2.3 So s¡nh ¡ h°n

Trong Mö 2.1 v Mö 2.2 hóng tæi (cid:31)¢ thi¸t lªp mët sè h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa

¡ (cid:31)a thù ma trªn. Nâi hung v· m°t lþ thuy¸t, hóng ta khæng thº (cid:31)¡nh gi¡ h°n n o

tèt hìn m h¿ â thº so s¡nh hóng trong mët sè tr÷íng hñp (cid:31)° bi»t qua ¡ v½ dö ö

thº. (cid:30)º â (cid:31)÷ñ mët so s¡nh tèt trong suèt qu¡ tr¼nh t½nh to¡n, hóng tæi sû döng dú li»u

ng¨u nhi¶n trong méi v½ dö. Hìn núa, hóng tæi lªp ¡ b£ng v· h°n tr¶n v h°n d÷îi

ho ¡ gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn. Tø (cid:31)â, hóng ta â thº so s¡nh ¡ h°n n y

vîi ¡ h°n (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra bði Higham-Tisseur [22℄ tr¶n òng ¡ v½ dö. C¡ t½nh to¡n n y

(cid:31)÷ñ thü hi»n thæng qua phn m·m m¢ nguçn mð OCTAVE, version 4.4.0.

X²t mët (cid:31)a thù ma trªn P (z) â ï 5

(cid:13) (cid:1) (cid:2) λ (cid:13) Chùng minh t÷ìng tü ta â | (cid:3) > | (cid:21) (cid:20) k k

5, bª d = 9 v ¡ ma trªn h» sè l ×

Ai = 10i−3rand(5), i = 0, , 8; A9 = rand(5), · · ·

trong (cid:31)â rand(5) kþ hi»u ho mët ma trªn ng¨u nhi¶n ï 5

C¡ h°n tr¶n õa Higham-Tisseur [22℄ (cid:31)÷ñ tr¼nh b y trong B£ng 2.1, án ¡ h°n

tr¶n (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ trong Luªn ¡n (cid:31)÷ñ tr¼nh b y trong B£ng 2.2. Chó th½ h r¬ng ¡ h vi¸t

trong B£ng 2.1, h¯ng h¤n dáng (cid:31)u ti¶n, hiºu l ¡p döng Bê (cid:31)· 2.3 (cid:31)èi vîi (cid:31)a thù ma

trªn P bði biºu thù 2.3.

Bê (cid:31)·

Gi¡ trà

(cid:129)p döng

2.3 (2.3)

hu©n 2

2.11 (2.18)

hu©n 2

3.1

4.1

hu©n 2

3.284676 × 3.281052 × 13.8757 × 3.277426 × 14.129079 ×

B£ng 2.1: C¡ h°n tr¶n (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ bði Higham v Tisseur

(cid:30)ành lþ/H» qu£ Gi¡ trà

(cid:129)p döng

2.2.2, 2.2.4

hu©n 2

2.2.3, 2.2.5

hu©n 2

2.2.6

hu©n 2

2.2.8, 2.2.15

hu©n 2

2.2.10, 2.2.12

hu©n 2

106 106 106 106 106

13.875701 × 13.875567 × 2.324721 × 2.324722 × 1.674829 ×

B£ng 2.2: C¡ h°n tr¶n (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ trong Luªn ¡n

. Hìn núa, (cid:30)ành lþ 2.2.10 v (cid:30)ành lþ 2.2.12 th÷íng ho hóng ta ¡ h°n

Chóng ta â thº t½nh gi¡ trà lîn nh§t õa mæ(cid:31)un ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) x§p x¿ b¬ng 1.125744

106 106 106 106 106

tr¶n tèt nh§t. Tø hai b£ng (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra, hóng ta th§y (cid:31)÷ñ h°n tr¶n õa B£ng 2.2 tèt hìn

h°n tr¶n õa B£ng 2.1.

C¡ h°n d÷îi õa Higham-Tisseur [22℄ (cid:31)÷ñ tr¼nh b y trong B£ng 2.3, án ¡ h°n

d÷îi (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ trong Luªn ¡n (cid:31)÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong B£ng 2.4.

106 ×

Bê (cid:31)·

Gi¡ trà

(cid:129)p döng

2.2

hu©n 2

2.3 (2.3)

hu©n 2

2.4 (2.7)

hu©n 2

2.6 (2.14)

10−10 10−10 10−10

7.9837 × 8.6528 × 8.6519 × 1.49 ×

B£ng 2.3: C¡ h°n d÷îi (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ bði Higham v Tisseur

(cid:30)ành lþ

Gi¡ trà

(cid:129)p döng

2.2.7, 2.2.9

hu©n 2

2.2.11

hu©n 2

2.2.13

hu©n 2

10−7

3.9052 × 0.893 × 0.895 ×

B£ng 2.4: C¡ h°n d÷îi (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ trong Luªn ¡n

Chóng ta â thº t½nh gi¡ trà nhä nh§t õa mæ(cid:31)un ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) x§p x¿ b¬ng

0.020756.

10−5 10−5 10−5

Ch÷ìng 3

C¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a

thù ma trªn

Trong h÷ìng n y hóng tæi nghi¶n ùu ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho ¡ (cid:31)a thù

ma trªn â sè bi¸n lîn hìn mët. Trong Mö 3.1, hóng tæi (cid:31)÷a ra mët d¤ng ma trªn ho

(cid:31)ành lþ Putinar-Vasiles u v Rezni k. Mët d¤ng ma trªn ho (cid:31)ành lþ Di kinson-Povh (cid:31)÷ñ

tr¼nh b y trong Mö 3.2. Trong Mö 3.3, hóng tæi (cid:31)÷a ra mët d¤ng ma trªn ho (cid:31)ành lþ

Handelman tr¶n mët n-(cid:31)ìn h¼nh v tr¶n mët (cid:31)a di»n lçi, ompa t. Hìn núa, hóng tæi

ng (cid:31)· xu§t mët thõ tö t¼m biºu di¹n n y ho ¡ (cid:31)a thù ma trªn trong Mö 3.3.3.

C¡ k¸t qu£ h½nh trong h÷ìng n y (cid:31)÷ñ hóng tæi æng bè trong hai b i b¡o [12, 30℄.

3.1 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Putinar-Vasiles u

(cid:30)ành lþ Putinar-Vasiles u ((cid:30)ành lþ 1.2.16) (cid:31)¢ (cid:31)÷ñ ph¡t biºu ho ¡ (cid:31)a thù thun

nh§t. Vîi sü k¸t hñp (cid:30)ành lþ 1.2.16 v M»nh (cid:31)· 1.5.1, hóng tæi (cid:31)÷a ra d¤ng khæng thun

nh§t ho (cid:31)ành lþ Putinar-Vasiles u nh÷ sau.

H» qu£ 3.1.1 ((cid:30)ành lþ Putinar-Vasiles u, d¤ng khæng thun nh§t). Cho G = R[X]. Gi£ sû deg(f ) = 2d, deg(gi) = 2di, i = 1, ..., m. Kþ hi»u R[X] v f

g1, { · · · , gm} ⊆

∈

. d′ := max i = 1, { , m } · · ·

(3.1)

0 0 sao ho di| N¸u f > 0 tr¶n KG v f2d > 0 tr¶n (KG)2d′ ≥

\ { + X 2 (1 + X 2 MG. }, th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n r n)rf

1 +

∈ · · ·

Chùng minh. Theo M»nh (cid:31)· 1.5.1 ta â

(cid:129)p döng (cid:30)ành lþ 1.2.16 ho (cid:31)a thù thun nh§t

(3.2)

{ , ˜gm}. N sao 0 R[X0, X1, ˜G = ˜g1, , Xn], tçn t¤i r · · · ∈ ˜f > 0 tr¶n K ˜G \ { ˜f ∈ }, trong (cid:31)â · · ·

+ X 2 (X 2

n)r ˜f

1 +

0 + X 2

(cid:129)p döng (3.2) ho X0 = 1, v hó þ r¬ng

M ˜G. ∈ · · ·

hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ (3.1).

Chóng tæi (cid:31)÷a ra mët d¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u

nh÷ sau.

, m, ˜gi(1, X1, , Xn) = gi(X1, , Xn) vîi måi i = 1, · · · · · · · · ·

(cid:30)ành lþ 3.1.2. Cho G 2d, deg(Gi) = 2di, i = 1, ..., m. Kþ hi»u

= G1, · · · { , Gm} ⊆ St(R[X]) v F ∈ St(R[X]). Gi£ sû deg(F) =

Gi£ sû r¬ng F

. d′ := max i = 1, { , m }

(i) mët (cid:31)a thù ma trªn X

0 \ { }. Khi (cid:31)â, tçn t¤i mët sè nguy¶n ≻ 0 tr¶n KG v F2d ≻ khæng ¥m r , mët tªp on húu h¤n G di| · · · 0 tr¶n (KG)2d′ R[X] v ⊆

+ X 2 (MG)t

n)rXFXT

1 +

(ii) mët (cid:31)a thù kh¡ khæng b

∈ ⊆ MG ;

∈ + X 2 b2(1 + X 2 (MG)t

n)rF

∈ Mt(R[X]) sao ho (1 + X 2 · · · R[X] sao ho 1 + ∈ ⊆ MG . · · ·

theo r = t v

˜F ˜F = D( ˜f1, ˜G1, = t. Khi (cid:31)â, ˜ G · · · ≻ {

Theo Bê (cid:31)· 1.4.4, tçn t¤i mët tªp húu h¤n ¡ (cid:31)a thù thun nh§t

≤ }, trong (cid:31)â , t. · · · } vîi måi i = 1,

{ , ˜gk} ⊆ , Xn) = g1,

˜G . (cid:30)°t G =

Chùng minh. Tr÷î ti¶n, hóng tæi x²t tr÷íng hñp (cid:31)° bi»t F l mët (cid:31)a thù ma trªn , ˜fr). Tø gi£ thi¸t (cid:31)÷íng h²o â d¤ng F = D(f1, · · · , ˜Gm}. (cid:30)i·u n y k²o õa F v M»nh (cid:31)· 1.5.5, ˜G = ˜g1, ˜g2, , gk}, trong (cid:31)â gj(X1,

· · · · · · · · · {

· · · · · · , fr), vîi r · · · 0 tr¶n K ˜G \ { 0 ˜fi > 0 tr¶n K ˜G \ { 0 R[X0, X] sao ho K ˜G = K ˜G, (M ˜G)t , Xn) vîi måi j = 1, ˜gj(1, X1, Theo H» qu£ 3.1.1, vîi méi i = 1, 0 sao ho

+ X 2

(cid:30)°t r = max

MG. , t, ta â ri, i = 1, { · · · + X 2 MG .

1 +

⊆ M , k . , t, tçn t¤i mët sè nguy¶n ri ≥ · · · n)rifi ∈ (1 + X 2 1 + · · · }. Khi (cid:31)â, vîi måi i = 1, , t · · · n)rfi ∈ (1 + X 2 · · ·

. (cid:30)i·u n y d¨n (cid:31)¸n

Do (cid:31)â (1 + X 2

+ X 2

1 +

· · · + X 2 (MG)t

n)rD

· · · ⊆ MG. ∈

B¥y gií x²t b§t ký F R[X], j = 1,

, r, r · · · b, fj ∈

n)rD (MG)t ∈ (1 + X 2 1 + ∈ St(R[X]). Theo Bê (cid:31)· 1.4.5, tçn t¤i ¡ (cid:31)a thù kh¡ khæng t, v ¡ (cid:31)a thù ma trªn X+, X− ∈ Mt(R[X]) sao ho ≤

(3.3)

T ,

T , D = X−FX−

trong (cid:31)â, D = D(f1,

X+X− = X−X+ = bIt, b2F = X+DX+

T÷ìng tü, do F2d

, fr). Theo gi£ thi¸t, F 0 tr¶n KG . Suy ra D 0 tr¶n KG . · · · ≻

0 0 0 tr¶n (KG)2d′ 0 tr¶n (KG)2d′ \ { \ { ≻ ≻ } n¶n Dm ≻ } trong (cid:31)â m l bª õa (cid:31)a thù ma trªn D. Theo hùng minh phn tr¶n, tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng

(MG)t

n)rD

¥m r sao ho (1 + X 2 + X 2 (i) (1 + X 2 1 + (ii) b2(1 + X 2

⊆ MG . Suy ra tø (3.3), + X 2 1 + · · · n)rX−FX− T ∈ + X 2 (MG)t · · · 1 +

n)rF = (1 + X 2

∈ (MG)t 1 +

n)rX+DXT

· · · ⊆ MG ; + X 2 · · ·

+ ∈

(cid:30)ành lþ (cid:31)÷ñ hùng minh.

⊆ MG.

= R[X], trong (cid:31)â,

t

Trong tr÷íng hñp G

∅, th¼ M∅ = T∅ =

k

P . R[X] = AT i Ai : Ai ∈ Mt(R[X]), i = 1, ..., k, vîi k l sè tü nhi¶n n o (cid:31)â ) (

t X

i=1 X

Khi (cid:31)â, hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ mët d¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Rezni k

((cid:30)ành lþ 1.2.15).

H» qu£ 3.1.3. Cho F v F2d ≻ tr¶n Rn

(i) mët (cid:31)a thù ma trªn X

0 ≻ ∈ 0 tr¶n Rn 0 St(R[X]) l mët (cid:31)a thù ma trªn (cid:31)èi xùng bª 2d. Gi£ sû F }. Khi (cid:31)â, tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r v

R[X];

n)rXFXT

t

\ { ∈ Mt(R[X]) sao ho + X 2 (1 + X 2 1 + · · · ∈

(ii) mët (cid:31)a thù kh¡ khæng b

P R[X] sao ho

∈ b2(1 + X 2 + X 2 R[X].

1 +

n)rF

t

3.2 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Di kinson-Povh

(cid:30)ành lþ Di kinson-Povh ((cid:30)ành lþ 1.2.17) (cid:31)¢ (cid:31)÷ñ ph¡t biºu ho ¡ (cid:31)a thù thun

nh§t. Vîi sü k¸t hñp (cid:30)ành lþ 1.2.17 v M»nh (cid:31)· 1.5.2, hóng tæi (cid:31)÷a ra d¤ng khæng thun

nh§t ho (cid:31)ành lþ Di kinson-Povh nh÷ sau.

· · · ∈ P

· · · {

, gm} ⊆ g1, , m. Kþ hi»u d′ := max { R[X] v f i = 1, di| }. N¸u f > 0 tr¶n Rn ∈ · · · ∀

+ ∩

(KG)2d′ R[X]. Gi£ sû deg(f ) = 2d, deg(gi) = , m KG v }, th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r v ¡ (cid:31)a thù

+ ∩

H» qu£ 3.2.1. Cho G = 2di, i = 1, · · · f2d > 0 tr¶n Rn , hm ∈ h1,

\ { 0 R[X] vîi ¡ h» sè khæng ¥m sao ho · · ·

m

(1 + X1 + + Xn)rf = gihi. · · ·

i=1 X

Chùng minh. Theo M»nh (cid:31)· 1.5.2,

(cid:129)p döng (cid:30)ành lþ 1.2.17 ho (cid:31)a thù thun nh§t

¡ (cid:31)a thù thun nh§t

˜f > 0 tr¶n Rn+1 ˜G = 0 ˜g1, · · · { K ˜G \{ }, trong (cid:31)â , ˜gm}. + ∩ ˜f , tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r v

˜h1, , ˜hm â ¡ h» sè khæng ¥m sao ho · · ·

m

(3.4)

(X0 + X1 + + Xn)r ˜f = ˜gi˜hi. · · ·

i=1 X

Thay X0 = 1 v o ph÷ìng tr¼nh (3.4), ta nhªn (cid:31)÷ñ

m

(1 + X1 + + Xn)rf = gihi, · · ·

i=1 X

ð (cid:31)¥y

Chóng tæi thi¸t lªp mët d¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng Di kinson-Povh

nh÷ sau.

, n. hi(X1, , Xn) := ˜hi(1, X1, , Xn), vîi måi i = 1, · · · · · · · · ·

G1, , Gm} ⊆ St(R[X]) v F · · · i = 1, di| · · · ≻ 0 tr¶n Rn 0 ∈ St(R[X]). Gi£ sû deg(F) = 0 tr¶n }. N¸u F , m }, th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r , v

+ ∩

= (cid:30)ành lþ 3.2.2. Cho G { 2d, deg(Gi) = 2di, i = 1, ..., m. Kþ hi»u d′ := max { KG v F2d ≻ Rn mët tªp on húu h¤n G = \ { R[X] v

+ ∩ g1,

(i) ¡ (cid:31)a thù ma trªn nûa x¡ (cid:31)ành d÷ìng H1,

(KG)2d′ , gk} ⊆ { · · ·

trªn X

, Hk ∈ St(R[X]) v mët (cid:31)a thù ma · · ·

∈ Mt(R[X]) sao ho

k

Hjgj; (1 + X1 + + Xn)rXFXT = · · ·

j=1 X

(ii) ¡ (cid:31)a thù ma trªn nûa x¡ (cid:31)ành d÷ìng H′

, H′

1,

· · ·

k ∈ St(R[X]) v mët (cid:31)a thù

kh¡ khæng b

R[X] sao ho ∈

k

H′ b2(1 + X1 + + Xn)rF =

jgj.

· · ·

j=1 X

Chùng minh. Tr÷î ti¶n, hóng tæi x²t tr÷íng hñp (cid:31)° bi»t F l mët (cid:31)a thù ma trªn , ˜fr). Tø gi£ thi¸t (cid:31)÷íng h²o â d¤ng F = D(f1, õa F v M»nh (cid:31)· 1.5.6,

(cid:30)i·u n y k²o theo r = t v

˜F = D( ˜f1, , fr), vîi r · · · ˜F ≤ K ˜G \ { , t. · · · 0 tr¶n Rn+1 + ∩ ≻ ˜fi > 0 tr¶n Rn+1 · · ·

+ ∩

Theo Bê (cid:31)· 1.4.4, tçn t¤i mët tªp on húu h¤n õa ¡ (cid:31)a thù thun nh§t

t. Khi (cid:31)â, 0 }. K ˜G \ { 0 }, vîi måi i = 1, ˜G =

(cid:30)i·u n y h¿ ra r¬ng

˜g1, ˜g2, , ˜gk} ⊆ · · · { 0 ˜fi > 0 tr¶n Rn+1 · · · R[X0, X] sao ho K ˜G = K ˜G . K ˜G \ {

+ ∩

lþ 1.2.17, vîi méi i = 1,

nh§t

} vîi måi i = 1, , t. Khi (cid:31)â, theo (cid:30)ành , t, tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m ri v ¡ (cid:31)a thù thun · · · ˜hi1, , ˜hik â ¡ h» sè khæng ¥m thäa m¢n · · ·

k

(cid:30)°t r = max

+ Xn)ri ˜fi = (X0 + X1 + ˜hij ˜gj.

ri, i = 1, { · · ·

j=1 P · · · k

, t, ta â ˜h′

ij ˜gj,

ð (cid:31)¥y,

j=1 P

˜h′ j = 1, ..., k . (cid:30)i·u n y d¨n (cid:31)¸n · · · }. Khi (cid:31)â, vîi måi i = 1, , t + Xn)r ˜fi = (X0 + X1 + · · · + Xn)r−ri˜hij,

ij = (X0 + X1 +

· · · ∀

k

(3.5)

(X0 + X1 + + Xn)r ˜F = ˜Hj ˜gj, · · ·

j=1 X

trong (cid:31)â,

˜Hj = D( ˜h′

1j, ˜h′

tj)

2j,

ph÷ìng tr¼nh (3.5), ta nhªn (cid:31)÷ñ

· · · , ˜h′ â ¡ h» sè l ¡ ma trªn nûa x¡ (cid:31)ành d÷ìng, vîi måi j = 1, ∈ St(R[X0, X]) l mët (cid:31)a thù ma trªn thun nh§t , k . Thay X0 = 1 v o · · ·

k

(1 + X1 + + Xn)rF = Hjgj, · · ·

j=1 P

trong (cid:31)â F = ˜F(1, X), Hj = ˜Hj(1, X), gj = ˜gj(1, X), vîi méi j = 1,

B¥y gií ta x²t b§t ký F

, k . · · ·

(3.6)

, r, r R[X], j = 1, b, fj ∈ · · · ∈ St(R[X]). Theo Bê (cid:31)· 1.4.5, tçn t¤i ¡ (cid:31)a thù kh¡ khæng t, v ¡ (cid:31)a thù ma trªn X+, X− ∈ Mt(R[X]) sao ho ≤

T ,

X+X− = X−X+ = bIt, b2F = X+DX+

T , D = X−FX−

trong (cid:31)â, D = D(f1, (cid:30)i·u n y suy ra D

0 tr¶n Rn 0 , fr). Do F 0 tr¶n Rn (KG)2d′ (KG)2d \ { + ∩ }. 0 }, trong (cid:31)â, \ { 0 tr¶n Rn + ∩ ≻ KG v Ds ≻ + ∩ KG v F2d ≻ 0 tr¶n Rn + ∩ · · · ≻

0, ¡ ma trªn nûa x¡ ≥

· · ·

k

Suy ra tø (3.6),

deg(D) = s. Theo hùng minh tr¶n, tçn t¤i mët sè nguy¶n r , Hk ∈ Mt(R[X]) sao ho (cid:31)ành d÷ìng H1, (1 + X1 + + Xn)rD = Hjgj . · · ·

j=1 P

k

(i) (1 + X1 +

+ Xn)rX−FX−

T = (1 + X1 +

+ Xn)rD = Hjgj; · · ·

j=1 T P

· · · (ii) b2(1 + X1 + · · ·

k

+ Xn)rD) X+ H′ · · · T =

jgj ,

T

j=1 P

j = X+HjX+

trong (cid:31)â, H′ (cid:31)ành d÷ìng, n¶n H′

, k. V¼ Hj l ma trªn nûa x¡ + Xn)rF = X+ ((1 + X1 + HjgjX+ = X+ j=1 ∈ Mt(R[X]), vîi måi j = 1, P · · ·

j ng l ma trªn nûa x¡ (cid:31)ành d÷ìng. (cid:30)i·u ph£i hùng minh.

3.3 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Handelman

Trong phn n y hóng tæi s³ (cid:31)÷a ra mët d¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng

õa Handelman ((cid:30)ành lþ 1.2.8). Trong Mö 3.3.1, hóng tæi tr¼nh b y d¤ng ma trªn ho

(cid:31)ành lþ Handelman tr¶n mët n-(cid:31)ìn h¼nh. Ti¸p theo, trong Mö 3.3.2, hóng tæi thi¸t lªp

d¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Handelman tr¶n mët (cid:31)a di»n lçi, ompa t.

Cuèi òng, trong Mö 3.3.3, hóng tæi (cid:31)÷a ra mët thõ tö (cid:31)º t¼m biºu di¹n ho mët (cid:31)a

v mët v½ dö minh

thù ma trªn x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n mët (cid:31)a di»n lçi, ompa t trong Rn

håa ho ¡ b÷î l m (cid:31)â.

l mët (cid:31)a di»n lçi, ompa t vîi phn trong kh¡ réng, vîi bi¶n (cid:31)÷ñ x¡

Cho P

(cid:31)ành bði ¡ (cid:31)a thù tuy¸n t½nh λ1,

gi£ sû r¬ng

(3.7)

Rn ⊆ R[X]. B¬ng ¡ h hån d§u õa λi , hóng ta , λm ∈ · · ·

3.3.1 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Handelman tr¶n n-(cid:31)ìn h¼nh

Trong phn n y hóng ta x²t P l mët n-(cid:31)ìn h¼nh trong Rn

Rn x . P = 0, i = 1, λi(x) { ∈ | ≥ , m } · · ·

â ¡ (cid:31)¿nh {

v gåi {

v0, v1, · · · , vn} R[X] l tuy¸n t½nh λ0, λ1, , λn} l h» tåa (cid:31)ë trång t¥m õa P , tù l méi λi ∈ · · ·

n

(3.8)

X = λi(X)vi, λi(X) = 1, λi(vj) = δij.

i=0 X

Cho F

∈ St(R[X]) l mët (cid:31)a thù ma trªn bª d > 0. Chóng ta â thº vi¸t F nh÷ sau

F(X) = AαX α,

trong (cid:31)â, Aα ∈ Mt(R).

X²t d¤ng Bernstein-B²zier õa F t÷ìng ùng vîi P :

X|α|≤d

n

α

d−|α|

(3.9)

. Fd(Y ) := Fd(Y0, , Yn) := Aα Yivi Yi · · · (cid:16) (cid:16) (cid:17) X|α|≤d

i=0 X

D¹ d ng th§y r¬ng

tø ¡ quan h» (3.8) h¿ ra r¬ng

e e Fd(Y ) (cid:17) ∈ St(R[Y ]) l mët (cid:31)a thù ma trªn thun nh§t bª d. Hìn núa,

, hóng ta kþ hi»u

Fd(λ0, , λn) = F(X). · · ·

Theo S herer-Hol [44℄, vîi méi tªp (cid:31)a h¿ sè α = (α1,

Nn , αn) e ∈ · · ·

Nh÷ vªy, hóng ta â thº vi¸t l¤i F nh÷ sau

α! := α1! αn!; Dα := ∂α1 1 ∂αn n . · · · · · ·

(3.10)

X α. F(X) = DαF(0) α! X|α|≤d

(cid:30)º rã hìn v· kþ hi»u n y, hóng ta x²t mët (cid:31)a thù ma trªn thun nh§t

. k k L(F) := max |α|≤d DαF(0) α ! | |

X 3 XY Z. F(X, Y, Z) = X 2Y + Y 2Z + 1 3 5 4# " 2 − " 6 7 3# 4 0 − 3# 2 " 2 1 9 8# " −

(cid:30)°t A1 =

Trong (cid:31)a thù ma trªn F(X, Y, Z) ¡ (cid:31)ìn thù X 3, X 2Y, Y 2Z, XY Z â bë sè m

t÷ìng ùng l (3, 0, 0), (2, 1, 0), (0, 2, 1), (1, 1, 1). Khi (cid:31)â,

. , A2 = , A3 = , A4 = 1 3 5 4# " 2 6 " 7 3# 4 0 − 3# 2 " 2 1 9 8# " −

, , , . L(F) = max A1|| || 2! 3!|| A2|| 2! 3! || A3|| 1 3! || A4|| (cid:26) (cid:27)

Sû döng phn m·m MATLAB 7.11.0 (R2010b) ta â

Do (cid:31)â, L(F) = 6.9646.

Sû döng ¡ kþ hi»u n y, d÷îi (cid:31)¥y hóng tæi tr¼nh b y biºu di¹n ho ¡ (cid:31)a thù ma

trªn x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n n-(cid:31)ìn h¼nh.

= 6.9646, = 7.6713, = 4.7581, = 12.2341. A1|| || A2|| || A3|| || A4|| ||

l mët n-(cid:31)ìn h¼nh (cid:31)÷ñ ho nh÷ tr¶n v F

Rn ⊆ ∈ St(R[X]) (cid:30)ành lþ 3.3.1. Gi£ sû P l mët (cid:31)a thù ma trªn bª d > 0. Gi£ sû r¬ng F < λIt tr¶n P vîi λ > 0. Kþ hi»u d(d 1) d, F â thº (cid:31)÷ñ biºu di¹n L := L( Fd). Khi (cid:31)â, vîi N > − 2 L λ −

e F = Bαλα0 λαn n ,

0 · · ·

, tù l

X|α|=N +d trong (cid:31)â, méi Bα ∈ St(R) l x¡ (cid:31)ành d÷ìng. Chùng minh. Kþ hi»u ∆n+1 l (cid:31)ìn h¼nh hu©n trong Rn+1

n

Rn+1 . 0, ∆n+1 = (y0, , yn) yi = 1 { · · · ∈ yi ≥ | }

P n¶n d¤ng Bernstein-B²zier

i=0 X Fd õa F t÷ìng ùng vîi P thäa

Do F(x) < λIt vîi måi x

m¢n

∈

(cid:129)p döng (cid:30)ành lþ 1.4.12 (d¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Pâlya) vîi N >

Fd(y0, , yn) < λIt, (y0, , yn) ∆n+1. · · · ∀ · · · e ∈ d(d 1) d, ta â e − 2 L λ −

n

(3.11)

( Fd(Y ) = Yi)N BαY α0 0 Y αn n , · · ·

i=0 X

(3.11), v sû döng ¡ t½nh h§t

X|α|=N +d trong (cid:31)â méi Bα ∈ St(R) l ma trªn x¡ (cid:31)ành d÷ìng. Thay Yi bði λi v o v¸ ph£i õa

N

Fd(λ0(X), , λn(X)) = F (X) v λi(X) = 1, · · ·

i=0 X

hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ biºu di¹n õa F.

Chóng tæi minh håa (cid:30)ành lþ 3.3.1 bði v½ dö sau (cid:31)¥y.

Cho mët (cid:31)ìn h¼nh P trong R2

trong (cid:31)â v0 = (0, 1), v1 = (1, 0), v2 = (1, 1) v λ0 = 1

â ¡ (cid:31)¿nh v0, v1, v2 v h» tåa (cid:31)ë trång t¥m l { Y, λ2 = X + Y

X, λ1 = 1 − − λ0, λ1, λ2} 1, tù −

D¹ th§y

R2 . P = (x, y) 0 { ∈ λ0 ≥ | 0, λ1 ≥ 0, λ2 ≥ }

X = λ1 + λ2

Cho (cid:31)a thù ma trªn

Y = λ0 + λ2  



x2y2 2y + 5 F = − − xy2 + 3x + y3 + 3y2 x2y 4xy + 3y2 x 4xy + 3y2 − 2y x2y x2 + 3xy2 " 2y 2y3 + 5y2 + y + 3# − − − − −

Sû döng phn m·m MATLAB 7.11.0 (R2010b) ta â ¡ gi¡ trà ri¶ng õa F nh÷ sau: λ1(F) = 3x Do λi(F)

Ta â, d¤ng Bernstein-B²zier

xy2 2y + 3xy2 + 5y2 x + y3 + 3y2 + y + 3. 2y3 + 5, λ2(F) = x2y2 + x2 − − 3 tr¶n P vîi i = 1, 2 n¶n F < 3I2 . ≥

− − ˜F = ( ˜fij) õa F t÷ìng ùng vîi P 0y1y2 + 49y2

1 + 79y2

0y2

0 + 23y3

1 + 81y0y2

0y1 + 30y3

2 + 27y0y3

1y2 + 89y0y1y2

2 +

0y2 2 + 33y1y3 18y2

23y0y1y2 22y0y2 6y0y3 5y0y3

2 + 10y4 2 0y2 5y2

0y2 + 36y2 1y2 0y2

1 −

0y1y2 −

1y2 −

1 −

2 −

1y2 + 81y0y1y2

2 + 12y0y3

1 + 55y0y2

1 + 77y2

0y2

2 +

0y1y2 + 49y2 2 + 10y4 2.

0y2 2 + 29y1y3

1y2 + 29y2 51.422 4

3.3.2 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Handelman tr¶n ¡ (cid:31)a di»n lçi,

ompa t

Trong phn n y hóng tæi x²t ¡ (cid:31)a di»n P lçi, ompa t vîi phn trong kh¡ réng

˜f11 = y4 36y0y3 2 + 8y4 1y2 + 45y2 1 + 30y3 ˜f12 = ˜f21 = y4 10y2 4y3 0y1 − 0 − 2y4 9y1y3 1y2 12y2 5y3 1y2 − 2 2 − 2 − ˜f22 = 7y4 0y2 + 27y2 0y1 + 30y3 0 + 25y3 1y2 1 + 13y3 2 + 3y4 36y0y3 Ta â L := L( ˜F) = = 12.855. Do (cid:31)â, hån N = 22, (cid:31)a thù ma trªn (y0 + y1 + y2)22 ˜F â ¡ ma trªn h» sè l x¡ (cid:31)ành d÷ìng. Th¸ λi bði yi , vîi i = 0, 1, 2 ta nhªn (cid:31)÷ñ biºu di¹n õa F.

m

(cid:31)÷ñ ho bði (3.7). Theo [49℄, tçn t¤i ¡ sè thü d÷ìng ci ∈

R sao ho ciλi(X) = 1.

i=1 X

Thay méi λi bði ciλi hóng ta â thº gi£ sû r¬ng

m

(3.12)

λi(X) = 1.

i=1 X

Hìn núa, d¹ d ng kiºm tra (cid:31)÷ñ r¬ng vîi méi i = 1, 1,

R, j = , n, tçn t¤i ¡ sè thü bij ∈ · · · , m sao ho

m

· · ·

Xi = bijλj(X).

j=1 X

X²t ma trªn B := (bij)i=1,··· ,n;j=1,··· ,m §p n , λm), ta â X T = B λ = (λ1,

(3.13)

m. Khi (cid:31)â, vîi X = (X1, , Xn) v × · · · λT , nâi ¡ h kh¡ · · · ·

(cid:30)º rã hìn v· ¡ h t¼m ci v ma trªn B hóng ta minh håa b¬ng v½ dö sau.

V½ dö 3.3.1. Cho P l (cid:31)a di»n lçi, ompa t v (cid:31)÷ñ x¡ (cid:31)ành bði

BT . X = λ ·

trong (cid:31)â,

R3 0, i = 0, 1, 2, 3 P = (x, y, z) λ′ i(x, y, z) ≥ } { ∈ |

X Y, 5 + 2X + 2Y + Z, λ′

1(X, Y, Z) = 2

X²t tê hñp tuy¸n t½nh c0λ′

− λ′ 0(X, Y, Z) = − λ′ 2(X, Y, Z) = 3

nh÷ sau

4Y − − 0 + c1λ′ 1 + c2λ′ 3Z, λ′ 2 + c3λ′ − 3(X, Y, Z) = X + 7Y + 4Z. 3 = 1. Khi (cid:31)â, ta â thº vi¸t d¤ng ma trªn

    .

H» ph÷ìng tr¼nh tr¶n â nghi»m c0 = 1

2 1 − 1 − 0 5 − 2 2 1    

6 . (cid:30)°t

λ0 = λ′ 2, λ3 = λ′ 1, λ2 = λ′ 3. λ′ 0, λ1 = c0 0 3 c1 1 0 c2 4 7 −       c3 3 4    −    3, c2 = 1 12, c1 = 1 1 1 4 3 1 0 =   0     0     4, c3 = 1 1 6 1 12

3

Nh÷ vªy,

λi = 1.

i=0 P

X²t ma trªn B = (bij)3×4 thäa m¢n

  B .  =  · X Y Z λ0 λ1 λ2 λ3            

Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tr¶n ta nhªn (cid:31)÷ñ

.  B = 

7 2 3 2 9 −9 1 0 2 − 1 1 7

− 13

Nh÷ vªy,

   

Kþ hi»u R[Y ] := R[Y1,

X = 11λ0 + 7 2 λ1 + 3λ2 + 2λ3 9 λ2 2λ1 − 9λ0 − −

, m.  Y =  Z = 13λ0 + 7λ1 + λ2 + λ3.  , Ym], v x²t (cid:31)çng §u v nh · · · ϕ : R[Y ] R[X], i = 1, λi(X), · · · ∀ →

m

(cid:30)¯ng thù (3.12) h¿ ra r¬ng

Yi 7−→ ∈ Ker(ϕ). Do (cid:31)â, hóng ta â thº gi£ sû i(cid:31)¶an 1

i=1 Yi −

R[Y ], I := Ker(ϕ) (cid:31)÷ñ sinh bði ¡ (cid:31)a thù r1(Y ), , rs(Y ) P · · · ∈

, I := Ker(ϕ) = r1(Y ), ..., rs(Y ) h i

m

trong (cid:31)â

1 l mët trong ¡ ri n o (cid:31)â. Chó þ r¬ng (cid:31)çng §u ϕ £m sinh mët

i=1 Yi −

(cid:31)çng §u v nh

Mϕ : (ϕ(gij(Y ))). −→ Mt(R[X]), G = (gij(Y )) 7−→

Mt(R[Y ]) Bê (cid:31)· 3.3.1. (cid:30)çng §u Mϕ l to n ¡nh, v

vîi It l ma trªn (cid:31)ìn và trong Mt(R[Y ]).

Chùng minh. Vîi méi g(X) =

, := Ker(Mϕ) = I r1(Y )It, ..., rs(Y )Iti h

R[X], kþ hi»u

|α|≤d aαX α

∈

m

d−|α|

(3.14)

BT )α g(Y ) := R[Y ]. Yi aα(Y · ∈

i=1 X

D¹ th§y

(cid:30)i·u n y k²o theo Mϕ ng l mët to n §u.

X|α|≤d (cid:0) (cid:1) e g l (cid:31)a thù thun nh§t bª d. Hìn núa ϕ( g(Y )) = g(X). Suy ra ϕ l to n §u.

e e

M°t kh¡ , G = (gij(Y ))

Do (cid:31)â, vîi méi i, j = 1,

, t. · · · ∈ Ker(Mϕ) n¸u v h¿ n¸u gij ∈ Ker(ϕ) vîi måi i, j = 1, , t ta â · · ·

s

Nh÷ vªy, G â thº (cid:31)÷ñ vi¸t nh÷ sau

R[Y ]. gij(Y ) = aijk(Y )rk(Y ), trong (cid:31)â aijk(Y ) ∈ Xk=1

s

G = rkAk = (rkIt)Ak,

Xk=1 Xk=1

, s. (cid:30)i·u n y h¿ ra r¬ng G ∈ Mt(R[Y ]) vîi méi k = 1, · · · ∈ . Bê (cid:31)· (cid:31)÷ñ hùng minh. h · · ·

ð (cid:31)¥y, Ak = (aijk(Y )) , rsIti r1It, Cho F = (fij) St(R[Y ]), trong (cid:31)â méi

F := ( ∈ ∈ St(R[X]) l mët (cid:31)a thù ma trªn bª d > 0. Kþ hi»u

fij) fij (cid:31)÷ñ x¡ (cid:31)ành bði (3.14), l mët (cid:31)a thù thun nh§t bª d. f e

Gi£ sû λ(F) l mët h m gi¡ trà ri¶ng õa F. Theo [55, Theorem 1℄, λ(F) l mët h m R sao ho

li¶n tö tr¶n fij(X), i, j = 1, λ(F) = Λ(fij(X)). Kþ hi»u

(cid:31)a thù ma trªn

f , t. Tù l , tçn t¤i mët h m li¶n tö Λ : Rt×t → · · · ] λ(F)(Y ) := Λ( fij(Y )), thü sü l mët h m gi¡ trà ri¶ng õa F. f

s

Kþ hi»u r(Y ) :=

e r2 i (Y ). Vîi kþ hi»u ho ð tr¶n, hóng ta â bê (cid:31)· sau.

i=1 X

sao ho

Bê (cid:31)· 3.3.2. Cho F = (fij) ∈ St(R[X]) l mët (cid:31)a thù ma trªn bª d > 0. Cho λ(F) l mët h m gi¡ trà ri¶ng õa F. N¸u λ(F) > 0 tr¶n P , th¼ tçn t¤i mët sè tü nhi¶n (cid:31)õ lîn c m1/m2 , trong (cid:31)â ] λ(F) tr¶n ∆m v m2 l gi¡ trà nhä nh§t õa r tr¶n tªp ompa t 0

y ] λ(F)(y) m1 l gi¡ trà nhä nh§t õa Rm ∆m ∩ { }. ≤ ∈ |

Chùng minh. Chùng minh düa v o [38, Lemma 4℄. (cid:30)°t U = ∆m ∩ { }. Theo [49, Se tion 3℄, r > 0 tr¶n U. Do U ompa t n¶n tçn t¤i gi¡ trà nhä nh§t m2 õa r ] λ(F) li¶n tö tr¶n tªp ompa t ∆m n¶n tçn t¤i tr¶n U . Hìn núa, m2 > 0. M°t kh¡ , do gi¡ trà nhä nh§t m1 . Nh÷ vªy, tr¶n U , hóng ta â

Rm y 0 ] λ(F)(y) ≤ ∈ |

] λ(F) + cr m1 + cm2 > 0; ≥

tr¶n ∆m \

U , hóng ta â

] λ(F) + cr ] λ(F) > 0. ≥

(cid:129)p döng bê (cid:31)· n y, ta nhªn (cid:31)÷ñ k¸t qu£ sau.

Bê (cid:31)· 3.3.3. Cho F = (fij) F := ( ∈ St(R[Y ]). Gi£ sû F

∈ St(R[X]) l mët (cid:31)a thù ma trªn bª d > 0. Kþ hi»u 0 tr¶n P . Khi (cid:31)â tçn t¤i mët sè tü nhi¶n (cid:31)õ lîn c sao ≻ 0 tr¶n m-(cid:31)ìn h¼nh ti¶u hu©n ∆m .

fij) F + crIt ≻ f e

· · · ck . Khi (cid:31)â e Chùng minh. Do F l x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n P , n¶n ¡ h m gi¡ trà ri¶ng õa nâ λk(F), k = , t, l d÷ìng tr¶n P . Theo Bê (cid:31)· 3.3.2, vîi méi k , tçn t¤i mët sè tü nhi¶n (cid:31)õ lîn 1, ^ λk(F) + cr l d÷ìng ck sao ho ^ λk(F) + ckr l d÷ìng tr¶n ∆m . (cid:30)°t c = max k=1,··· ,t

tr¶n ∆m vîi méi k = 1,

thù ma trªn

, t. (cid:30)º þ r¬ng, ^ λk(F), k = 1, · · · · · · F. Do (cid:31)â, ¡ gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn F + crIt l

hùng minh.

, t. (cid:30)i·u n y hùng tä r¬ng k = 1, , t, l ¡ gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a ^ λk(F) + cr , F + crIt l x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n ∆m . Bê (cid:31)· (cid:31)÷ñ · · · e e

Chó þ r¬ng F :=

F + crIt khæng ph£i l mët (cid:31)a thù thun nh§t. Tuy nhi¶n, thun

m

nh§t hâa F bði

Yi , hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ mët (cid:31)a thù ma trªn thun nh§t â òng bª e

i=1 X

vîi F. Cö thº, n¸u hóng ta biºu di¹n F nh÷ sau

F = BβY β, Bβ ∈ St(R), X|β|≤d

m

th¼ thun nh§t hâa õa nâ bði

Yi l

m

(3.15)

i=1 X Fh

= BβY β( Yi)d−|β|.

X|β|≤d

i=1 X

Khi (cid:31)â Fh

l mët (cid:31)a thù ma trªn thun nh§t bª d. Hìn núa, Mϕ(Fh

x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n ∆m .

B¥y gií hóng ta â thº sû döng d¤ng ma trªn õa (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng Pâlya (cid:31)÷ñ

(cid:31)÷a ra trong [44℄ (cid:31)º â d¤ng ma trªn õa (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng Handelman nh÷ sau.

nh÷ ð tr¶n, trong (cid:31)â, F l x¡ (cid:31)ành d÷ìng

) = F, v Fh

(cid:30)ành lþ 3.3.2. Cho P , ϕ, Mϕ , r , F, F, Fh tr¶n P . Gi£ sû r¬ng Fh < λIt tr¶n ∆m vîi λ > 0 n o (cid:31)â. (cid:30)°t d := deg(F) v L := L(Fh Khi (cid:31)â, vîi N >

(3.16)

). d(d 1) d, F â thº (cid:31)÷ñ biºu di¹n d÷îi d¤ng − 2 L λ −

F = Cαλα1 λαm m ,

1 · · ·

X|α|=N +d

trong (cid:31)â, méi Cα ∈ St(R) l x¡ (cid:31)ành d÷ìng. Chùng minh. Tr÷î ti¶n, hóng ta ¡p döng (cid:30)ành lþ 1.4.12 ho Fh

, trong (cid:31)â d = deg(Fh

m

Sau (cid:31)â, hóng ta ¡p döng ho Mϕ , vîi Mϕ(Fh

) = F v ϕ = 1. Yi !

i=1 X

T÷ìng tü ho nhúng (cid:31)a thù , hóng ta (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ d¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ biºu di¹n

d÷ìng S hm(cid:4)udgen ho (cid:31)a di»n lçi, ompa t.

(cid:31)÷ñ ho ð tr¶n, vîi F x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n P . Gi£ ). Khi (cid:31)â vîi

H» qu£ 3.3.3. Cho P , F, F, Fh sû Fh < λIt tr¶n ∆m vîi λ > 0 n o (cid:31)â. (cid:30)°t d := deg(F) v L := L(Fh N >

(3.17)

d(d 1) d, F â thº biºu di¹n d÷îi d¤ng − 2 L λ −

F = Cδλδ1 λδm m ,

1 · · ·

trong (cid:31)â méi Cδ ∈ St(R[X]) l mët têng húu h¤n õa nhúng (cid:31)a thù ma trªn â d¤ng AT A, A

Xδi∈{0,1}

3.3.3 Mët thuªt to¡n t¼m biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù ma trªn

d÷ìng tr¶n mët (cid:31)a di»n lçi ompa t

Cho mët (cid:31)a di»n lçi ompa t P vîi phn trong khæng réng, bà h°n bði nhúng (cid:31)a thù

∈ Mt(R[X]), v bª õa méi Cα khæng qu¡ N + d.

tuy¸n t½nh λ1,

Cho mët (cid:31)a thù ma trªn F = (fij)

R[X], â d¤ng , λm ∈ · · · Rn x P = 0, i = 1, { ∈ ≥ · · ·

Theo hùng minh õa (cid:30)ành lþ 3.3.2 v [19℄, hóng ta (cid:31)÷a ra ¡ b÷î (cid:31)º t¼m biºu di¹n

ho F nh÷ sau:

λi(x) , m . | } ∈ St(R[X]) â bª d > 0 v x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n P .

R sao ho

m i=1 ciλi(X) = 1. Vi» t¼m ci d¨n (cid:31)¸n gi£i mët h»

(1) T¼m sè tü nhi¶n ci ∈

ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh.

(2) Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh

m

, n, i = 1, Xi = bijλi(X), · · ·

j=1 X

(cid:31)º t¼m ma trªn B = (bij)i=1,··· ,n;j=1,··· ,m .

(3) Sû döng (3.14) (cid:31)º t¼m

, t. fij , i, j = 1, · · ·

(4) Sû döng ì sð Gr(cid:4)obner (cid:31)º t¼m mët ì sð {

§u v nh ϕ.

(5) T¼m mët sè c (cid:31)õ lîn sao ho

r1, f · · · , rs} ho h¤t nh¥n Ker(ϕ) õa (cid:31)çng

(6) Sû döng (3.15) (cid:31)º x¥y düng (cid:31)a thù ma trªn thun nh§t Fh

õa F :=

0 tr¶n ∆m .

(7) T¼m mët sè tü nhi¶n λ sao ho Fh

F + crIt . F + crIt ≻ e

l mët tªp ompa t khæng réng, v G

(y) < λIt vîi måi y ∆m . ∈

Bê (cid:31)· 3.3.4. Cho K tçn t¤i mët sè thü c

Rm e ∈ St(R[Y ]). Khi (cid:31)â, ⊆ R sao ho ∈

K. G(y) < cIt, vîi måi y ∈

(cid:30)° bi»t, n¸u G(y) G(y) < cIt vîi måi y

K th¼ hóng ta â thº hån sè c > 0 sao ho ∈ 0 vîi måi y K. ≻ ∈

Chùng minh. Gi£ sû λ1(G), trªn G

· · ·

n¶n ta â

, λt(G) l nhúng h m gi¡ trà ri¶ng thü õa (cid:31)a thù ma ∈ St(R[Y ]). Theo [55, Theorem 1℄, λi(G) l h m li¶n tö . Do K l tªp hñp ompa t,

, t. i = 1, λi(G)(y), ci := min y∈K

, t, c, i = 1, cIt l λi(G) − − · · · · · · Kþ hi»u c := maxi=1,··· ,t ci . V¼ nhúng h m gi¡ trà ri¶ng õa G n¶n theo (cid:31)ành ngh¾a õa c ta suy ra

vîi måi y

c 0 λi(G)(y) λi(G)(y) ≥ ci ≥

(8) (cid:129)p döng æng thù (3.10) (cid:31)º t¼m L := L(Fh

K. K v vîi måi i = 1, − − , t. K²o theo G(y) < cIt, vîi måi y ∈ · · · ∈

(9) T¼m mët sè tü nhi¶n N >

d(d 1) d. − 2 L λ −

m

(10) T¼m ¡ ma trªn h» sè õa (cid:31)a thù ma trªn (

i=1 Yi)N Fh

Chóng ta (cid:31)÷a mët v½ dö sau (cid:31)º minh håa ho nhúng b÷î thi¸t lªp ð tr¶n.

∈ St(R[Y ]), thay Yi v o λi(X), hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ mët biºu di¹n ho F. P

V½ dö 3.3.2. Chóng ta x²t h¼nh vuæng (cid:31)ìn và â t¥m t¤i gâ tåa (cid:31)ë

R2 x y . P := (x, y) 0, λ′ 0, λ′ 0, λ′ 0 λ′ 1 = 1 + x

2 = 1

3 = 1 + y

4 = 1

Chån c1 = c2 = c3 = c4 =

{ ∈ | ≥ − ≥ ≥ − ≥ }

i(x, y) = 1. Do (cid:31)â, (cid:31)°t

4 i=1 ciλ′

1 4 , ta â

ta (cid:31)÷ñ

y + + R[x, y], x, λ2 := P x, λ3 := y, λ4 := λ1 := 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 − 1 4 − ∈

4 i=1 λi = 1.

thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh

D¹ th§y r¬ng ma trªn B =

2 0 − 2 0 2 0 0 2 # "

Cho ϕ : R[y1, y2, y3, y4]

B − [λ1 λ2 λ3 λ4]T = [x y]T . ·

R[x, y] l mët (cid:31)çng §u v nh (cid:31)÷ñ x¡ (cid:31)ành bði ϕ(yi) := → λi(x, y), i = 1, 2, 3, 4. Mët ì sð Gr(cid:4)obner ho h¤t nh¥n Ker(ϕ) õa ϕ l

(cid:30)°t r := r2

. := 1 2 r1, r2} { y1 + y2 − { , y3 + y4 − 1 2}

1 + r2 2 .

Chóng ta x²t (cid:31)a thù ma trªn

Nhúng h m gi¡ trà ri¶ng õa F l

4x2y + 7x2 + y + 3 . F := − x3 + 5xy 3x x3 + 5xy x4 + x2y + 3x2 " 3x 4y + 6# − − −

4x2y λ1(F) = 6x2 4y + 6; λ2(F) = x4 + x2y + 4x2 + y + 3.

Vîi méi (x, y) ∈ Vîi ma trªn B ho ð tr¶n, ta â

P . − − P ta â λi(F)(x, y) ∈ ≥ F = (

2y2)2(y1 + y2 + y3 + y4)2 + 2, i = 1, 2. Suy ra F(x, y) < 2I2 vîi måi (x, y) fij), trong (cid:31)â 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4) + 7(2y1 − 2y2)2(2y3 − e

2y4)(y1 + y2 + y3 + y4)2 2y2)(2y3 − −

Nhúng h m gi¡ trà ri¶ng õa

2y2)2(y1 + y2 + 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4) + 3(2y1 − 2y2)2(2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4)3 + 6(y1 + y2 + y3 + y4)4 2y2)(y1 + y2 + y3 + y4)3, 2y2)4 + (2y1 − 4(2y3 − f11 = 4(2y1 − − e 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4)3 + 3(y1 + y2 + y3 + y4)4, (2y3 − f 2y2)3(y1 + y2 + y3 + y4) + 5(2y1 − f21 = (2y1 − f12 = 3(2y1 − f f f22 = (2y1 − y3 + y4)2 − f F l

1y2 + 54y3

1y3 + 34y3

1y2y3 + 6y2

2 + 2y2

1y4 + 82y2

1 − 52y1y3

52y3 2 + 2y1y2

2y3 + 6y1y2

1y2 2y4 + 8y1y2y3y4 + 8y1y2y2 2y2

2y3y4 +20y2

1y2y4 + 48y2 3 + 42y1y2 3 +42y2y2

1y2 3 + 3y4 + 3y4 +

4 + 18y1y3 4 +18y2y3

2y4 +48y2 3y2

1y2y4 + 4y2

2y2 4 + 8y3y3 1y3 + 112y3 1y4 − 2y3 + 16y1y2

1y2y3 + 16y2 1y2 3 + 48y1y2y3y4 + 8y1y2y2 2y2 3 + 120y2

2y3y4 + 116y2

3 + 4 + 4 +

3 +68y2 4 + y4 4 , 1y2 2 + 32y2 12y2 2y4 + 40y1y2y2 2y2 2y4 + 4y2 4 + 14y4 4 + 40y3y3 4 .

2y3 + 112y3 3y2

4 −

2 + 32y3 3 + 8y3 F) =

3y4 + 36y2 2.

2y3 +34y3 2 +54y3 3y4 + 18y2 3 + 16y3 1y2 + 32y3 1 + 24y3 2 + 32y1y2 4 + 24y1y3 4 + 30y4 4 + 48y1y3 4 + 48y2y3 2y4 F) = 1, min∆4 λ2(

− = 16, ö thº,

F)≤0} r = 0.125. Do (cid:31)â hóng ta â thº hån c >

2 − 0.125 − e

4

^ λ1(F) = 35y4 F) = λ1( 1y2 1y3y4 + 20y2 68y2 4 − e 4 +35y4 4 +6y1y3 30y1y3y2 4 + 6y2y3 30y2y3y2 4 + 5y4 ^ λ2(F) = 30y4 F) = λ2( 1y2 1y3y4 + 116y2 120y2 e 3y4 + 96y1y3y2 48y1y2 48y2y2 3y4 + 96y2y3y2 Ta â min∆4 λ1( Hìn núa, min∆4∩{λ2(e c = 17, (cid:31)º F := Thun nh§t hâa F bði = 0 tr¶n ∆4 . yi hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ mët (cid:31)a thù ma trªn thun nh§t Fh e F + crI2 ≻ e

h

i=1 P

− 2y2)2 + (2y3 − 2y4))(y1 +y2 +y3 +y4))(2y1 −

), trong (cid:31)â, = (3(y1 + y2 + y3 + y4)2 + (2y1 − (4(2y3 − 0.5y4)2(y1 + y2 + y3 + y4)2 + 17(0.5y3 + 0.5y4 −

h

= f21

2y2)(6(y1 + y2 + y3 + y4)2 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4))(y1 + y2 + y3 + 2y2)2 +17(0.5y1 +0.5y2 − 0.5y2)2(y1 + y2 + y3 + y4)2 2y4)(y1 + 8y4)(y1 + y2 + y3 + 0.5y1 − = (y1 + y2 + y3 + y4)(3(y1 + y2 + y3 + y4)2 + (2y1 − − 2y2)2 + (2y3 − (8y3 − 2y2) + (2y1 − y4), y2 −

(8y3 − 2y2)2 + y4)2 + 17(0.5y1 + 0.5y2 − y3 − 0.5y2)2(y1 + y2 + y3 + y4)2

) = 1.5294.

â ¡ ma trªn h» sè l

x¡ (cid:31)ành d÷ìng.

= 1044 24 87 2 . (fij h f11 y4)2 +(6(y1 +y2 +y3 +y4)2 0.5y3 − f12 y2 + y3 + y4))(2y1 − y3 − y1 − y4))( − h = (3(y1 + y2 + y3 + y4)2 + (2y1 − 2y2)2 + (2y3 − f22 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4))(2y1 − (6(y1 + y2 + y3 + y4)2 y2 − y1 − 8y4)(y1 + y2 + y3 + y4))( − − 0.5y4)2(y1 + y2 + y3 + y4)2 + 17(0.5y3 + 0.5y4 − 0.5y3 − 0.5y1 − Chóng ta â thº t½nh min∆4 λ1(Fh ) = 1.9706, min∆4 λ2(Fh (cid:30)i·u n y h¿ ra r¬ng Fh < 1.5294I2 tr¶n ∆4 , v λ := 1.5294. (cid:129)p döng æng thù (3.10), hóng ta â thº t¼m sè L := L(Fh ) = Do (cid:31)â, hån N = 167, (cid:31)a thù ma trªn (y1 + y2 + y3 + y4)167Fh

T¼m ¡ ma trªn h» sè õa (cid:31)a thù ma trªn (y1 + y2 + y3 + y4)167Fh th¸ yi bði λi(x, y), hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ biºu di¹n ho F.

∈ St(R[y1, y2, y3, y4]),

K˜T LUŠN

Trong Luªn ¡n hóng tæi (cid:31)¢ (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ ¡ k¸t qu£ h½nh sau:

(1) Thi¸t lªp (cid:31)÷ñ mët sè h°n tr¶n v h°n d÷îi ho gi¡ trà ri¶ng õa ¡ (cid:31)a thù ma

trªn mët bi¸n. Cö thº, hóng tæi (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra d¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ Enestr(cid:4)om-Kakeya

(xem ¡ (cid:31)ành lþ 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4). (cid:30)çng thíi, hóng tæi (cid:31)÷a ra mët sè d¤ng ma trªn ho

¡ (cid:31)ành lþ d¤ng Cau hy (xem ¡ (cid:31)ành lþ 2.2.2, 2.2.4, 2.2.6, 2.2.8, 2.2.10, 2.2.12, 2.2.14,

2.2.16, 2.2.17). B¶n ¤nh (cid:31)â, hóng tæi so s¡nh ¡ h°n (cid:31)¢ (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ trong Luªn ¡n vîi

¡ h°n (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra bði Higham v Tisseur [22℄ (xem Mö 2.3).

(2) (cid:30)÷a ra mèi li¶n h» giúa t½nh d÷ìng õa mët (cid:31)a thù ma trªn tr¶n mët tªp nûa (cid:31)¤i sè

(cid:31)âng ì b£n vîi thun nh§t hâa õa nâ (xem ¡ M»nh (cid:31)· 1.5.1, 1.5.2, 1.5.5, 1.5.6).

(3) (cid:30)÷a ra mët d¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u (xem

(cid:30)ành lþ 3.1.2), tø (cid:31)â suy ra mët d¤ng ma trªn õa (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Rezni k

(xem H» qu£ 3.1.3).

(4) (cid:30)÷a ra mët d¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Di kinson-Povh (xem (cid:30)ành

lþ 3.2.2).

(5) (cid:30)÷a ra mët d¤ng ma trªn ho (cid:31)ành lþ Handelman, biºu di¹n mët (cid:31)a thù ma trªn x¡

(cid:31)ành d÷ìng tr¶n mët (cid:31)ìn h¼nh (xem (cid:30)ành lþ 3.3.1) v x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n mët (cid:31)a di»n

lçi, ompa t (xem (cid:30)ành lþ 3.3.2). Tø (cid:31)â, hóng tæi (cid:31)· xu§t mët thõ tö t¼m biºu di¹n n y

ho ¡ (cid:31)a thù ma trªn (xem Mö 3.3.3).

C¡ k¸t qu£ h½nh trong Luªn ¡n (cid:31)÷ñ t¡ gi£ æng bè trong 02 b i b¡o [12, 30℄ v

(cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù v (cid:31)a thù ma trªn, ng nh÷ ùng döng õa hóng

trong Tèi ÷u (cid:31)a thù , Lþ thuy¶t (cid:31)i·u khiºn v B i to¡n mæmen.

Mët sè v§n (cid:31)· nghi¶n ùu ti¸p theo:

1. T¼m ¡ (cid:31)i·u ki»n (cid:31)º â biºu di¹n "khæng m¨u thù " trong ¡ d¤ng ma trªn (cid:31)÷a ra

trong Luªn ¡n ho (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u v õa Di kinson-Povh.

Nguy¶n nh¥n xu§t hi»n "m¨u thù " trong ¡ biºu di¹n nâi tr¶n l do hóng tæi (cid:31)¢ ¡p

döng thõ tö " h²o hâa" õa S hm(cid:4)udgen (cid:31)èi vîi ¡ (cid:31)a thù ma trªn (Bê (cid:31)· 1.4.5). Do

(cid:31)â, mët æng ö mîi (cid:31)º biºu di¹n ¡ (cid:31)a thù ma trªn d÷ìng (khæng ¥m) tr¶n mët tªp

nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng ì b£n thay th¸ ho æng ö h²o hâa tr¶n (cid:31)¥y õa S hm(cid:4)udgen l n

thi¸t ph£i nghi¶n ùu.

2. T¼m ¡ ùng döng õa ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng (cid:31)¢ (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ ho (cid:31)a thù ma trªn

trong Lþ thuy¸t (cid:31)i·u khiºn v trong ¡ l¾nh vü kh¡ , t÷ìng tü nh÷ ¡ h S herer-Hol [44℄

(cid:31)¢ thü hi»n.

Danh mö ¡ æng tr¼nh õa t¡ gi£

li¶n quan (cid:31)¸n Luªn ¡n

(1) T. H. B. D÷ (2017) (cid:16)A Note on Positivstellens(cid:4)atz for Matrix Polynomials(cid:17) , East-West

Journal of Mathemati s, 19(2), 171-182 .

(2) C. T. L¶, T. H. B. D÷ (2018) (cid:16)Handelman's Positivstellensatz for Polynomial Matri-

es Positive Definite on Polyhedra(cid:17) , Positivity, 22(2), 449-460.

(3) T. H. B. D÷, C. T. L¶, T. (cid:30). Nguy¹n (2018) (cid:16)On the Lo ation of Eigenvalues of

Matrix Polynomials(cid:17) (submitted).

T i li»u tham kh£o

(cid:4)

[1℄ E. Artin (1927),

Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Abh. Math.

Sem. Univ. Hamburg 5, 100-115.

[2℄ R. Bhatia (2001), Matrix Analysis, Springer, New York.

[3℄ P. Borwein and T. Erd±lyi (1995), Polynomials and Polynomial Inequalities, Springer-

Verlag, New York.

[4℄ M.D. Choi and T.-Y. Lam (1977), Extremal positive semi-definite forms, J. Math.

Ann. 231, 1-18.

[5℄ J. Cimpri(cid:7) (2009), A representation theorem for Ar himedean quadrati modules on

[6℄ J. Cimpri(cid:7) (2012), Real algebrai geometry for matri es over ommutative rings, J.

Algebra 359, 89-103.

[7℄ J. Cimpri(cid:7) and J. Zalar (2013), Moment problems for operator polynomials, J. Math.

Anal. Appl. 401(1), 307-316.

[8℄ B. Datt and N. K. Govil (1978), On the lo ation of the zeros of a polynomial, J.

Approx. Theory 24, 78-82.

[9℄ M. Dehmer (2006), On the lo ation of zeros of omplex polynomials, J. Inequal. Pure

Appl. Math. 7(1), 1-13.

[10℄ P. Di kinson, J. Povh (2015), On an extension of Pâlya's Positivstel lensatz, J. Global

Optim. 61(4), 615-625.

[11℄ G. Dirr and H. K. Wimmer (2007), An Enestr(cid:4)om-Kakeya theorem for hermitian poly-

nomial matri es, IEEE Trans. Automat. Control 52, 2151(cid:21)2153.

∗-rings , Canad. Math. Bull 52(1), 39-52.

[12℄ T. H. B. D÷ (2017), A Note on Positivstel lens(cid:4)atz for Matrix Polynomials, East-West

J. Math., 19(2), 171-182 .

[13℄ T. H. B. D÷, C. T. L¶, T. (cid:30). Nguy¹n (2018), On the Lo ation of Eigenvalues of Matrix

Polynomials (submitted).

[14℄ M. Fiedler (2011), Metri es and Graphs in Geometry, Cambridge Univ. Press, New

York.

[15℄ R. A. Frazer, W. J. Dun an and A. R. Collar (1955), Elementary matri es, 2nd ed.,

Cambridge Univ. Press, London and New York.

[16℄ I. Gohberg, P. Lan aster and L. Rodman (1982), Matrix Polynomials, A ademi Press,

New York.

[17℄ H.-V. Ha, T.-M. Ho (2016), Positive polynomials on nondegenerate basi semi-

algebrai sets, Advan es in Geometry, 16(4), 497-510.

[18℄ S. Hamarling, C. J. Munro and F. Tisseur (2013), An algorithm for the omplete

solution of quadrati eigenvalue problems, ACM Trans, Math. Softw. 39(3), Arti le

18.

[19℄ D. Handelman (1988), Representing polynomials by positive linear fun tions on om-

pa t onvex polyhedra, Pa ifi J. Math. 132, 35-62.

[20℄ E. K. Haviland (1935), On the momentum problem for distribution fun tions in more

than one dimension, Amer. J. Math. 57, 562-572.

[21℄ N. J. Higham and F. Tisseur (2001), Stru tured pseudospe tra for polynomial eigen-

value problems, with appli ations, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 23(1), 187-208.

[22℄ N. J. Higham and F. Tisseur (2003), Bounds for eigenvalues of Matrix Polynomials,

Linear Algebra Appl. 358, 5-22.

(cid:4)

[23℄ D. Hilbert (1888),

Uber die Darstel lensatz definiter Formen als Summe von Formen-

quadraten, Math. Ann. 32, 342-350.

[24℄ A. Joyal, G. Labelle and Q. I. Rahman (1967), On the lo ation of zeros of polynomials,

Cand. Math. Bull. 10, 53-63.

[25℄ J. L. Krivine (1964), Anneaux pr²ordonn²s, J. Analyse. Math. 12, 307-326.

[26℄ P. Lan aster (1966), Lambda-matri es and vibrating systems, Pergamon Press, Oxford.

[27℄ J. B. Lasserre (2001), Global optimization with polynomials and the problem of mo-

ments, SIAM J. Optim. 11(3), 796-817.

[28℄ M. Laurent (2009), Sums of squares moment matri es and optimization over poly-

nomials, in: Emerging Appli ations of Algebrai Geometry, New York:Springer, 149,

157-270.

[29℄ C. T. L¶ (2014), Some Positivstel lens(cid:4)atze for polynomial matri es, Positivity. 19(3),

513-528.

[30℄ C. T. L¶, T. H. B. D÷ (2018), Handelman's Positivstel lensatz for Polynomial Matri es

Positive Definite on Polyhedra, Positivity. 22(2), 449(cid:21)460.

[31℄ M. Marden (1966), Geometry of polynomials, Mathemati al Surveys. Amer. Math.

So ., Rhode Island, 3.

[32℄ M. Marshall (2010), Positive polynomials and sums of squares, Springer.

[33℄ G. V. Milovanovi(cid:1) , D. S. Mitrinovi and Th. M. Rassias (1994), Topi s in polynomials,

Extremal problems, Inequalities, Zeros, World S ientifi , Singapore.

[34℄ G. V. Milovanovi(cid:1) and Th. M. Rassias (2000), Inequalities for polynomial zeros, In:

Survey on Classi al Inequalities (Th. M. Rassias, ed.), Mathemati s and Its Appli a-

tions. 517, 165-202, Kluwer, Dordre ht.

[35℄ T. Motzkin (1967), The arithmeti -geometri inequalities, In: Inequalities (0. Shisha,

ed.), Pro . Symp. Wright-Patterson AFB, August 19-27, 1965, A ademi Press, 205-

224.

[36℄ Y. Nesterov (2000), Squared fun tional systems and optimization problems , in J.B.G.

Frenk, C. Roos, T. Terlaky, and S. Zhang, editors, High Performan e Optimization,

405-440. Kluwer A ademi Publishers.

(cid:4)

[37℄ G. Pâlya (1928),

Uber positive Darstel lung von Polynomen, Vierteljs hr. Natur-fors h.

Ges. Zuri h. 73, 141-145.

[38℄ V. Powers, B. Rezni k (2001), A new bound for Pâlya's theorem with appli ations to

polynomials positive on polyhedra, J. Pure Appl. Algebra. 164, 221-229.

[39℄ M. Putinar (1993), Positive polynomials on ompa t semialgebrai sets, Indiana Univ.

Math. J. 43(3), 969-984.

[40℄ M. Putinar and F.H. Vasiles u (1999), Solving moment problems by dimensional ex-

tension, Ann. of Math. (2), 149(3), 1087-1107.

[41℄ B. Rezni k (1995), Uniform denominators in Hilbert's seventeenth problem, Math. Z.

220, 75-98.

[42℄ C. S heiderer (2003), Sums of squares on real algebrai urves, Math. Z. 245, 725-760.

[43℄ C. S heiderer (2005), Distinguished representations of non-negative polynomials, J.

Algebra. 289, 558-573.

[44℄ C. W. S herer, C. W. Hol (2006), Matrix sum-of-squares relaxations for robust semi-

definite programs, Math. Program. 107 (1,2), 189-211.

[45℄ K. S hm(cid:4)udgen (1990), Unbounded operator algebras and representation theory. Oper-

ator Theory , Advan es and Appli ations, 37. Birkh(cid:4)auser Verlag, Basel-Boston-Berlin.

[46℄ K. S hm(cid:4)udgen (1991), The K-moment problem for ompa t semialgebrai sets, Math.

Ann. 289, 203-206.

[47℄ K. S hm(cid:4)udgen (2005), A stri t Positivstel lensatz for the Weyl algebra , Math. Ann.

331, 779-794.

[48℄ K. S hm(cid:4)udgen (2009), Non ommutative real algebrai geometry - some basi on epts

and first ideas. In: Emerging Appli ations of Algebrai Geometry, IMA Vol. Math.

Appl. Springer, New York, 149, 325-350.

[49℄ M. S hweighofer (2002), An algorithmi approa h to S hm(cid:4)udgen's Positivstel lensatz,

J. Pure Appl. Algebra. 166(3),307-319.

[50℄ M. S hweighofer (2006), Global optimization of polynomials using gradient tenta les

and sums of squares, SIAM J. Optim. 17(3), 920-942.

[51℄ N. Z. Shor (1987), Class of global minimum bounds of polynomial fun tions , Cyber-

neti s. 23(6), 731-734.

[52℄ V. Simon ini, F. Perotti (2006), On the numeri al solution of (λ2A + λB + C)x = b

and appli ation to stru tural dynami s, SIAM J. S i. Comput. 23, 1875-189.

[53℄ G. Singh and W. M. Shah (2011), On the Lo ation of Zeros of Polynomials, Amer. J.

Comp. Math. 1(1), 1-10.

[54℄ G. Stengle (1974), A Nul lstel lensatz and a Positivstel lensatz in semialgebrai geome-

try, Math. Ann. 207, 87-97.

[55℄ M. Zedek (1965), Continuity and Lo ation of Zeros of Linear Combinations of Poly-

nomials, Pro . Amer. Math. So . 16, 78-84.

[56℄ L. Zeng and Y. Su (2014), A ba kward stable algorithm for quadrati eigenvalue prob-

lems, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 35(2), 499-516.

Luận án tiến sĩ Toán học: Đa thức ma trận - Sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan

Mục đích chính của luận án nhằm giải quyết bài toán 1, đưa ra các chặn mới đủ tốt cho giá trị riêng của đa thức ma trận, từ đó so sánh với các chặn được đưa ra bởi Higham và Tisseur.

1 ...X αn

n , α = (α1, ..., αn)

d

n , Aα ∈ Mt(K), X αn trong (cid:31)â, α = (α1, | d l bª ao nh§t õa ¡ (cid:31)ìn thù trong A. Do (cid:31)â, (cid:31)º thèng nh§t ¡ h gåi trong to n Luªn ¡n, méi ma trªn trong Mt(K[X]) (cid:31)÷ñ gåi l mët (cid:31)a thù ma trªn.

d

i

i=0 X

i=1 X

m

i=1 X

1 ...gσm m |

k

2

i=1 (cid:18) X

m

i=1 X . Tù l , nîi läng (cid:31)i·u ki»n "f

m

i=1 X

k

1 +...+X 2 n)

+ \ {

+ =

+ \ {

N

i=1 P

N

n

i=1 P

i,j X

t

n

i=1 P

n . (cid:30)º rã hìn v· ¡ ùng

1 ...X αn

0≤i≤d−1

0≤i≤d−1

d

i=0 P ,

d

i=0 1, th¼ måi nghi»m õa (cid:31)a thù f (z) n¬m trong (cid:31)¾a { P −

d

i=0 P

d

i=0 P

0≤i≤d−1

d

i=0 P ad−i−1

d

i=0 P

d

i=0 P

i=0,...,d−2

2

2

2

2

i=0,...,d−1 |

i=0,...,d−1

z ), hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ mët

i=0,...,d−1

1

(Ax+1)d n¬m trong (0, 1).

1

(Ax+1)d , hóng

i=0,...,d−1

i=0,...,d−1 |

i=1,...,d |

q = 1. Kþ hi»u

1 p

1 p

d−1

d

p

p

p :=

i=0 X

i=1 X

q