ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ XUÂN HOÀI NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN, DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN MỚI
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 62 44 01 03
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ
HUẾ, 2016
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khoa học về thông tin lượng tử, một ngành khoa học mới được
phát triển gần đây, đã cho thấy nhiều ưu điểm vượt trội so với khoa
học về thông tin cổ điển ở mọi phương diện. Ví dụ tiêu biểu có thể
kể đến là viễn tải lượng tử. Viễn tải lượng tử biến liên tục đã được
thí nghiệm thành công, tuy nhiên độ tin cậy đạt được tương đối thấp
mà nguyên nhân chính là do nguồn rối tạo được có độ rối không cao.
Gần đây, trong nghiên cứu về các trạng thái phi cổ điển nổi lên một
trạng thái đáng được quan tâm, đó là trạng thái thêm photon. Chỉ
bằng cách tác dụng toán tử sinh photon vào trạng thái bất kỳ sẽ biến
trạng thái đó thành phi cổ điển. Điều này gợi ra một hy vọng rằng
việc tác dụng toán tử sinh photon lên một trạng thái phi cổ điển có
thể làm tăng mức độ của các hiệu ứng phi cổ điển trong đó có hiệu
ứng đan rối. Đó là lý do chúng tôi nghiên cứu về trạng thái nén dịch
chuyển thêm photon hai mode. Như những gì mong đợi, đề tài đã chỉ
ra được rằng trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode có độ
phi cổ điển mạnh hơn và độ rối được tăng cường so với trạng thái nén,
từ đó đề xuất được một phương pháp cải thiện độ rối: tác dụng một
hoặc nhiều lần toán tử sinh photon vào cả hai mode của trạng thái có
độ rối hữu hạn cho trước.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Chứng minh tác dụng tích cực của thêm photon vào trạng thái
nén hai mode là tăng độ phi cổ điển và cải thiện độ rối của trạng thái.
Đồng thời đề xuất các sơ đồ thực nghiệm để thêm photon vào trạng
thái nén dịch chuyển hai mode và khảo sát chi tiết mối liên hệ giữa độ
tin cậy của trạng thái được tạo thành và xác suất thành công.
2
3. Nội dung nghiên cứu
Nghiên cứu về trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode
bao gồm tính hàm Wigner, đề xuất các sơ đồ thực nghiệm để tạo trạng
thái, khảo sát các tính chất phi cổ điển trong đó có đan rối và tính độ
tin cậy trung bình của quá trình viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối
nén dịch chuyển thêm photon hai mode.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng phương pháp lượng tử hóa trường lần thứ hai và
thống kê lượng tử để đưa ra các biểu thức giải tích rồi sử dụng phương
pháp tính số để biện luận các kết quả thu được.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài đã tìm ra cách để tăng cường độ rối và cải thiện độ tin cậy
viễn tải, từ đó góp phần phát triển lý thuyết thông tin lượng tử. Ngoài
ra, kết quả của đề tài còn có vai trò định hướng, cung cấp thông tin
cho vật lý thực nghiệm trong việc dò tìm các hiệu ứng phi cổ điển và
tạo ra các trạng thái phi cổ điển.
6. Cấu trúc của luận án
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, danh mục các hình vẽ, danh mục
các công trình của tác giả được sử dụng trong luận án, tài liệu tham
khảo và phụ lục, nội dung của luận án được trình bày trong 4 chương.
Chương 1 trình bày tổng quan về các nghiên cứu liên quan đến đề tài.
Chương 2 trình bày những nghiên cứu chung về trạng thái nén dịch
chuyển thêm photon hai mode bao gồm tính hàm phân bố Wigner và
hai sơ đồ khác nhau để tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon
hai mode. Chương 3 trình bày những nghiên cứu về các tính chất phi
cổ điển của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode bao
gồm nén tổng, nén hiệu, phản kết chùm và đan rối. Chương 4 trình
3
bày nghiên cứu về quá trình viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối nén
dịch chuyển thêm photon hai mode.
Chương 1
TỔNG QUAN VỀ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN, TIÊU CHUẨN DÒ TÌM ĐAN RỐI VÀ VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ
1.1 Trạng thái phi cổ điển
1.1.1 Trạng thái kết hợp - Định nghĩa trạng thái phi cổ
điển
Trạng thái kết hợp, ký hiệu |α(cid:105), là trạng thái được tạo thành bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển ˆD(α) = exp(αˆa† − α∗ˆa) lên trạng thái chân không
|α(cid:105) = ˆD(α)|0(cid:105), (1.4)
trong đó α = |α|eiϕa. Trạng thái kết hợp được xem là ranh giới giữa cổ điển và phi cổ điển để từ đó đưa ra định nghĩa về các trạng thái phi
cổ điển.
1.1.2 Trạng thái nén
∞ (cid:88)
Trong trường hợp hai mode, trạng thái nén được tạo thành bởi tác dụng của toán tử nén hai mode ˆSab(s) = exp(s∗ˆaˆb − sˆa†ˆb†) trong đó s = reiθ. Ví dụ, trạng thái chân không nén có dạng
n=0
(1.17) (− tanh r exp(iθ))n|n(cid:105)a|n(cid:105)b. |s(cid:105)ab = ˆSab(s)|00(cid:105)ab = 1 cosh r
Đây là trạng thái đan rối với độ rối hoàn hảo khi tham số nén r bằng
∞. Mô phỏng thực nghiệm của toán tử nén hai mode là bộ chuyển đổi
tham số không suy biến.
4
1.1.3 Trạng thái kết hợp thêm photon
Trạng thái kết hợp thêm photon được định nghĩa bởi
. |α, m(cid:105) = (1.18) ˆa†m|α(cid:105) (cid:112)(cid:104)α|ˆamˆa†m|α(cid:105)
Đây là trạng thái phi cổ điển thể hiện đồng thời hiệu ứng nén và sub-
Poisson. Hơn nữa, cả hai hiệu ứng này sẽ tăng về cường độ nếu số
photon được thêm vào nhiều hơn.
1.2 Tiêu chuẩn dò tìm đan rối
1.2.1 Phương pháp định lượng độ rối
Với trạng thái hai thành phần thuần, độ rối được xác định thông
qua việc khảo sát entropy von Neumann. Trong trường hợp không tìm
được entropy von Neumann, độ rối có thể được so sánh qua một đại
lượng có tên gọi entropy tuyến tính được định nghĩa bởi
(1.24) L( ˆρA) = 1 − TrA ˆρ2 A,
trong đó ˆρA = TrB ˆρAB là một ma trận mật độ rút gọn của ˆρAB. Một trạng thái sẽ rối nếu L > 0 và giới hạn trên L = 1 ứng với trạng thái
đan rối hoàn hảo.
1.2.2 Tiêu chuẩn đan rối Shchukin-Vogel
Trên cơ sở tiêu chuẩn chuyển vị riêng, Shchukin và Vogel đã đưa
ra một tiêu chuẩn đan rối khá mạnh. Theo tiêu chuẩn này, một trạng
thái được gọi là rối nếu tồn tại một định thức con âm bất kỳ trong
(cid:104)ˆb†(cid:105) (cid:104)ˆa(cid:105)
. (1.36) DN =
(cid:104)ˆa2(cid:105) (cid:104)ˆaˆb(cid:105) ... (cid:104)ˆb†ˆb(cid:105) ... ... (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:104)ˆa†(cid:105) ... 1 (cid:12) (cid:12) (cid:104)ˆa†(cid:105) (cid:104)ˆa†ˆa(cid:105) (cid:104)ˆa†2(cid:105) (cid:104)ˆa†ˆb†(cid:105) ... (cid:12) (cid:12) (cid:104)ˆaˆa†(cid:105) (cid:104)ˆaˆb†(cid:105) ... (cid:12) (cid:104)ˆa(cid:105) (cid:12) (cid:12) (cid:104)ˆa†ˆb(cid:105) (cid:104)ˆb(cid:105) ... (cid:12) (cid:12) (cid:12) ... ... (cid:12)
5
1.3 Viễn tải lượng tử
1.3.1 Viễn tải lượng tử với biến gián đoạn
Trong quá trình viễn tải lượng tử biến gián đoạn, thông tin cần gửi đi được mã hóa trong trạng thái |ψin(cid:105)c = α|0(cid:105)c + β|1(cid:105)c. Trước khi quá trình viễn tải được thực hiện, người gửi A và người nhận B chia sẻ với nhau trạng thái đan rối 2 qubit |ψE(cid:105)ab = 1√ (|0(cid:105)a|1(cid:105)b − |1(cid:105)a|0(cid:105)b) 2 trong đó A sở hữu qubit a còn qubit b được gửi đến B. Tại trạm gửi,
A tiến hành phép đo Bell trên qubit a và qubit c. Sau phép đo, qubit
b bị tách ra và trạng thái của nó sụp đổ về một trong bốn trạng thái −α|0(cid:105)b − β|1(cid:105)b, −α|0(cid:105)b + β|1(cid:105)b, α|1(cid:105)b + β|0(cid:105)b, hoặc α|1(cid:105)b − β|0(cid:105)b với xác suất bằng nhau tùy thuộc vào kết quả của phép đo. Sau đó, A
gửi kết quả của phép đo đến B qua một kênh thông tin cổ điển thông
thường chỉ với hai bit. Với kết quả này, B biết chính xác trạng thái
đang sở hữu là trạng thái nào trong 4 khả năng trên, từ đó tác dụng lên nó một toán tử Pauli thích hợp để khôi phục lại trạng thái |ψin(cid:105).
1.3.2 Viễn tải lượng tử với biến liên tục
Trong viễn tải trạng thái với biến liên tục, phép đo Bell là phép đo
đồng thời hiệu tọa độ và tổng xung lượng giữa trạng thái cần chuyển |ψin(cid:105)c và mode a của trạng thái đan rối biến liên tục |ψCE(cid:105)ab. Trong biểu diễn Fock, trạng thái riêng của phép đo này ứng với kết quả đo η
∞ (cid:88)
có dạng
i=0
(1.55) |M (η)(cid:105)ac = ˆDc(η) |i, i(cid:105)ac , 1 √ π
trong đó η là một số phức. Toán tử unita để khôi phục trạng thái cần viễn tải trong trường hợp này là toán tử dịch chuyển ˆD(η). Trạng thái cuối ở trạm nhận của quá trình viễn tải có dạng
(1.60) |ψout(cid:105) = ˆT (η)|ψin(cid:105), 1 (cid:112)P (η)
6
trong đó P (η) là xác suất của phép đo và ˆT (η) = ˆDb(η) ac(cid:104)M (η)|ψCE(cid:105)ab được gọi là toán tử viễn tải. Độ chính xác của quá trình viễn tải thể
hiện ở độ tin cậy trung bình
(cid:90) (cid:90)
(1.62) Fav = d2ηP (η)|(cid:104)ψin|ψout(cid:105)|2 = d2η|(cid:104)ψin| ˆT (η)|ψin(cid:105)|2.
Một quá trình viễn tải được gọi là hoàn hảo nếu Fav = 1.
Chương 2
TRẠNG THÁI NÉN DỊCH CHUYỂN THÊM PHOTON HAI MODE
2.1 Định nghĩa trạng thái nén dịch chuyển thêm photon
hai mode
Trạng thái nén dịch chuyển hai mode được định nghĩa bởi
(2.4) |α, β; s(cid:105)ab = ˆDab(α, β) ˆSab(s)|0, 0(cid:105)ab,
trong đó s = reiθ và α = |α|eiϕa, β = |β|eiϕb. Tác dụng các toán tử sinh photon vào cả hai mode tạo thành trạng thái mới
(2.5) |m, n; α, β; s(cid:105)ab = Nmn(α, β, s)ˆa†mˆb†n|α, β; s(cid:105)ab,
và gọi là trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, trong đó
. (2.6) Nmn(α, β, s) = (cid:113)
1 ab(cid:104)α, β; s|ˆbnˆamˆa†mˆb†n|α, β; s(cid:105)ab
min[i,p] (cid:88)
m (cid:88)
n (cid:88)
Đặt Cmn(α, β, s) = ab(cid:104)α, β; s|ˆbnˆamˆa†mˆb†n|α, β; s(cid:105)ab, ta tìm được
p=0
i=0
Cmn(α, β, s) = m!2n!2 (m − i)!(i − q)!(n − p)!(p − q)!q!
q=0 (cosh r)2(i+n−p)−∆(− sinh r)2q−∆ (m − i + ∆)!(p − q + ∆)!(q − ∆)!
∆
(cid:88) ×
× |α|2m−2i+∆|β|2p−2q+∆ei∆ϕ, (2.18)
7
Hình 2.1: Sự phụ thuộc của hàm G(|ξ|) vào |ξ| với {m, n} = {3, 0} (đường nét liền), {1, 2} (đường nét đứt).
∆ chạy từ ∆ = max[i −
trong đó ϕ = θ − ϕa − ϕb và ∆ trong tổng (cid:80) m, q − p] đến ∆ = q.
2.2 Hàm Wigner của trạng thái nén dịch chuyển thêm
photon hai mode
Chúng tôi chứng minh trạng thái nén dịch chuyển thêm photon
hai mode có độ phi cổ điển mạnh hơn trạng thái nén thông qua việc
chứng tỏ trạng thái này có hàm Wigner âm. Biểu thức giải tích thu
được của hàm Wigner đối với trạng thái này có dạng
mn (α, β, s) m!n!(− cosh2 r)m(− sinh2 r)n × exp(2|za|2 + 2|zb|2 − |α|2 − |β|2 − |ξ|2)
min[m,n] (cid:88)
min[m,n−i] (cid:88)
W (za, zb) = 4N 2
n−i−j(|ξ|2)Lj Li+j
m−j(|ξ|2)
i
j
× m!(−|ξ|2)j i!j!(m − i)!
m(x) là đa thức Laguerre liên kết. Kết quả (2.34) nói lên
× exp[−(α∗β∗eiθ + αβe−iθ) tanh r], (2.34)
trong đó Lk rằng hàm Wigner W (za, zb) có thể âm khi
min[m,n−i] (cid:88)
n−i−j(|ξ|2)Lj Li+j
m−j(|ξ|2) < 0. (2.36)
i
j
G(|ξ|) ≡ (−1)m+n min[m,n] (cid:88) × m!(−|ξ|2)j i!j!(m − i)!
8
Hình 2.2: Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sử dụng thiết bị tách chùm.
Dễ dàng nhận thấy trên hình 2.1 rằng hàm G(|ξ|) có thể nhận giá trị
âm và tính âm của hàm Wigner mạnh hơn khi thêm photon vào đồng
thời cả hai mode.
2.3 Tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode
2.3.1 Sơ đồ sử dụng thiết bị tách chùm
Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sử
dụng thiết bị tách chùm được minh họa trên hình 2.2. Hệ thống gồm
DC ký hiệu cho bộ chuyển đổi tham số kết hợp với các bộ dịch chuyển Da(α) và Db(β) tạo ra trạng thái |α, β; s(cid:105)ab. Để mô phỏng tác dụng của ˆa†m, mode a của trạng thái |α, β; s(cid:105)ab và trạng thái |m(cid:105)a(cid:48) được đưa vào thiết bị tách chùm BS1 rồi đặt máy đếm photon PD1 để đếm photon ra của mode a(cid:48). Tương tự cho mode b. Khi không có photon nào đi vào cả PD1 lẫn PD2, thì trạng thái đầu ra ở hai mode a và b
là
BS(cid:105)ab =
ˆb†ˆbˆb†n |α, β; s(cid:105)ab
rm+n √ tˆa†ˆaˆa†mt (2.44) |Ψ(cid:48) tm+n m!n!
9
Hình 2.3: Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FBS và xác suất thành công tương ứng P ≡ PBS vào hệ số truyền qua t của các thiết bị tách chùm BS1 và BS2 khi α = β = s = 0.1 với {m, n} = {1, 1} (đường nét liền), {1, 2} (đường nét đứt) và {2, 2} (đường gạch - chấm).
∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
với xác suất thành công
j=0
j(cid:48)=0
PBS = Cm+j,n+j(cid:48) (α, β, s) (2.47) (1 − t−2)j+j(cid:48) j!j(cid:48)! (1 − t2)m+n m!n!t2(m+n+2)
2
(1−t−1)j+j(cid:48)
và độ tin cậy so với trạng thái mong muốn là
j(cid:48)=0
j!j(cid:48)! Cm+j,n+j(cid:48) (α, β, s)
(1−t−2)j+j(cid:48)
j=0
j(cid:48)=0
j!j(cid:48)! Cm+j,n+j(cid:48) (α, β, s)
(cid:80)∞ (cid:80)∞ j=0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) . FBS = (cid:80)∞ Cm,n (α, β, s) (cid:80)∞
(2.49)
Theo (2.44), hiệu ứng của BS1 và BS2 cùng với điều kiện không
có photon nào được phát hiện trong cả PD1 và PD2 tương đương với tác dụng của ta†aa†mtb†bb†n lên trạng thái |α, β; s(cid:105)ab. Do hệ số truyền qua của các thiết bị tách chùm t < 1 nên những gì mà chúng ta có
thể mong đợi chỉ là một trạng thái gần giống với trạng thái nén dịch
chuyển thêm photon hai mode lý thuyết khi t dần đến 1. Cụ thể hơn,
hình vẽ 2.3 thể hiện rằng mặc dù độ tin cậy không bao giờ bằng 1
nhưng nó luôn tăng theo t và tiệm cận đến 1 khi t → 1. Tuy nhiên, cái
giá phải trả là sự giảm của xác suất thành công khi tăng t. Hơn nữa,
cả độ tin cậy và xác suất thành công đều giảm khi tăng m hoặc/và n
thể hiện thêm càng nhiều photon càng gặp nhiều thách thức, ngay cả
10
Hình 2.5: Sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode sử dụng bộ chuyển đổi tham số không suy biến.
khi nếu thành công thì cái giá phải trả là giảm độ tin cậy.
2.3.2 Sơ đồ sử dụng bộ chuyển đổi tham số không suy biến
Sơ đồ minh họa cho việc sử dụng bộ chuyển đổi tham số để tạo
trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode được vẽ trong hình
2.5. Trạng thái nén dịch chuyển hai mode được tạo ra tương tự như
trong sơ đồ trước bởi sự kết hợp giữa một bộ chuyển đổi tham số không suy biến DC1 với các bộ dịch chuyển Da(α) và Db(β). Tiếp theo, mode a của trạng thái |α, β; s(cid:105) được đưa vào DC2, cùng lúc đó mode b được
đưa vào DC3. Sau DC2 và DC3 ta cũng đặt các máy đếm photon PD1
và PD2. Khi cùng lúc PD1 đếm được m photon và PD2 đếm được n
photon, trạng thái nhận được ở hai đầu ra a và b là
DC(cid:105)ab =
√ |Ψ(cid:48) (− tanh z)m+n (cosh z)2 m!n!
∞ (cid:88)
ˆa†m(cosh z)−ˆa†ˆaˆb†n(cosh z)−ˆb†ˆb |α, β; s(cid:105)ab (2.57)
j,j(cid:48)=0
(2.58) PDC = Cm+j,n+j(cid:48)(α, β, s) với xác suất thành công (sinh z)2(m+n) m!n! (− sinh2 z)j+j(cid:48) j!j(cid:48)!
và độ tin cậy so với trạng thái mong muốn
11
Hình 2.6: Sự phụ thuộc của độ tin cậy F ≡ FDC và xác suất thành công tương ứng P ≡ PDC vào tham số nén z của DC2 và DC3 khi α = β = s = 0.1 với {m, n} = {1, 1} (đường nét liền), {1, 2} (đường nét đứt) và {2, 2} (đường gạch - chấm).
2
j,j(cid:48)=0
(1−cosh z)j+j(cid:48) j!j(cid:48)!
(cid:80)∞ Cm+j,n+j(cid:48)(α, β, s) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) . (2.60) FDC =
j,j(cid:48)=0
(− sinh2 z)j+j(cid:48) j!j(cid:48)!
Cmn(α, β, s) (cid:80)∞ Cm+j,n+j(cid:48)(α, β, s)
Như thể hiện trong phương trình (2.57), hiệu ứng của DC2 (DC3)
kết hợp với phép đo m (n) photon tại các máy đếm photon PD1 (PD2) tương ứng với tác dụng của ˆa†m(cosh z)−ˆa†ˆa (ˆb†n(cosh z)−ˆb†ˆb) lên trạng thái |α, β; s(cid:105)ab. Rõ ràng các toán tử này càng gần với ˆa†m (ˆb†n) khi z càng nhỏ. Đó là lý do vì sao trong hình 2.6 độ tin cậy F ≡ FDC giảm khi tăng z. Khi z → 0 độ tin cậy sẽ tiệm cận nhưng không bao giờ
đạt giá trị 1 vì nếu z = 0 đồng nghĩa với không có gì xảy ra. Tương tự
như sơ đồ trước, việc tăng độ tin cậy sẽ đi kèm với sự giảm xác suất
thành công và cả độ tin cậy cùng với xác suất thành công đều giảm
khi tăng m và/hoặc n.
Chương 3
CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI NÉN DỊCH CHUYỂN THÊM PHOTON HAI MODE
12
Hình 3.4: Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào tham số dịch chuyển (a) |α| (khi cố định |β| = 20); (b) |β| (khi cố định |α| = 5) với ϕ1 = ϕ2 = 0, r = 0.5 cho {m, n} = {1, 0} (đường nét liền), {5, 0} (đường nét đứt) và {10, 0} (đường gạch - chấm).
3.1 Tính chất nén tổng
Một trạng thái hai mode được gọi là nén tổng nếu tồn tại một giá
trị nào đó của φ sao cho
S ≡ − 2 < 0, (3.9) 2(cid:2)Re(e−2iφ(cid:104)ˆa2ˆb2(cid:105)) − 2Re2(e−iφ(cid:104)ˆaˆb(cid:105)) + (cid:104)ˆaˆbˆb†ˆa†(cid:105)(cid:3) (cid:104)ˆaˆa†(cid:105) + (cid:104)ˆbˆb†(cid:105) − 1
n+k (cid:88)
min[i,p] (cid:88)
m+l (cid:88)
trong đó Re(x) là phần thực của số phức x và S được gọi là hệ số nén tổng. Các trung bình (cid:104)...(cid:105) trong (3.9) có dạng Mlktv = (cid:104)ˆalˆbkˆb†tˆa†v(cid:105). Với trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, ta tìm được
mn(α, β, s)
i=0
p=max[0,k−t]
Mlktv = N 2 (m + l)!(m + v)! (m + l − i)!(i − q)!
q=0 (n + k)!(n + t)!(cosh r)2(i+n+k−p)−∆(− sinh r)2q−∆ei∆θ (m + v − i + ∆)!(p + t − k − q + ∆)!(q − ∆)!(p − q)!q!
(cid:88) ×
∆ |ηa|2m−2i+l+v+∆|ηb|2p−2q+t−k+∆ei(l−v−∆)ϕaei(k−t−∆)ϕb (n + k − p)!
∆ chạy từ ∆ = max[i − m − v, q − p − t + k]
, × (3.10)
trong đó ∆ trong tổng (cid:80) đến ∆ = q.
Khi khảo sát sự phụ thuộc của S vào các góc, chúng tôi nhận thấy
trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode thể hiện nén tổng
13
Hình 3.5: Sự phụ thuộc của hệ số nén tổng S vào tham số nén r khi ϕ1 = ϕ2 = 0, |α| = 2.5, |β| = 5 cho {m, n} = {1, 0} (đường nét liền), {5, 0} (đường nét đứt) và {10, 0} (đường gạch - chấm).
mạnh nhất khi xảy ra đồng thời hai điều kiện ϕ1 ≡ φ − θ = k1π và ϕ2 ≡ φ − ϕa − ϕb = k2π với k1, k2 là những số nguyên. Về sự phụ thuộc vào tham số dịch chuyển, hình 3.4a cho thấy S < 0 trong một
khoảng giá trị nhất định của |α|, và khoảng giá trị này gần như độc
lập với m trong khi đồ thị của S theo |β| trong hình 3.4b lại khá nhạy
với m: m càng tăng thì khoảng giá trị để điều kiện nén xảy ra càng
được mở rộng và hệ số nén càng âm. Từ hình 3.5 ta thấy rằng hiệu
ứng nén tổng chỉ xảy ra với tham số nén r tương đối nhỏ. Lúc đầu khi tăng r hiệu ứng nén tổng cũng mạnh lên và đạt cực đại tại giá trị r1, sau đó nếu tiếp tục tăng r thì hiệu ứng này giảm dần và biến mất ở giá trị r2. Thật thú vị là cả r1 và r2 đều giảm khi tăng m. Vậy, việc thêm photon làm tăng khả năng xảy ra cũng như tăng mức độ thể hiện của
hiệu ứng nén tổng.
3.2 Tính chất nén hiệu
Hiệu ứng nén hiệu xuất hiện trong trạng thái nén dịch chuyển
thêm photon hai mode nếu 2Re (cid:0)e2iφM2020 (cid:1) − 2Re2 (cid:0)eiφM1010 (cid:1) + 2M1111 − M1001 − M0110 D ≡ −1 |M1001 − M0110|
(3.18)
14
Hình 3.7: Sự phụ thuộc của hệ số nén hiệu D vào tham số dịch chuyển (a) |α| (khi cố định |β| = 10); (b) |β| (khi cố định |α| = 2) với γ1 = γ2 = 0, r = 0.5 cho {m, n} = {1, 0} (đường nét liền), {5, 0} (đường nét đứt) và {10, 0} (đường gạch - chấm).
Hình 3.8: Sự phụ thuộc của hệ số nén hiệu D vào tham số nén r khi γ1 = γ2 = 0, |α| = 2 và |β| = 10 cho {m, n} = {1, 0} (đường nét liền), {5, 0} (đường nét đứt) và {10, 0} (đường gạch - chấm).
âm với φ khả dĩ nào đó. Với hiệu ứng nén hiệu thì điều kiện của các góc để hiệu ứng thể hiện mạnh nhất là γ1 ≡ φ − θ + 2ϕa = 2k1π và γ2 ≡ φ + ϕa − ϕb = 2k2π với k1, k2 là các số nguyên. Về vai trò của |α| và |β| thì mặc dù trong cả hai trường hợp D càng gần với −1 khi tăng
m, nhưng vị trí cực tiểu của nó dịch sang trái trong hình 3.7a trong
khi trong hình 3.7b vị trí này dịch sang phải khi m tăng. Và tương tự
như nén tổng, khoảng giá trị để thỏa mãn điều kiện nén hiệu của |α| là
khoảng đóng và gần như nhau với mọi m, trong khi khoảng giá trị này
của |β| là khoảng mở và phụ thuộc vào việc thêm nhiều hay ít photon.
Hình 3.8 vẽ đồ thị của D theo tham số nén r khi các tham số khác
được giữ không đổi. Dễ dàng nhận thấy hiệu ứng nén hiệu chỉ xảy ra
15
trong giới hạn khá nhỏ của tham số nén và độ nén hiệu càng tăng khi
tăng m. Vậy, đối với hiệu ứng nén hiệu, việc thêm photon cũng mang
lại tác dụng tích cực như đối với hiệu ứng nén tổng.
3.3 Tính chất phản kết chùm
Ánh sáng phản kết chùm có vai trò quan trọng hàng đầu trong các
quá trình đòi hỏi nguồn photon đơn chẳng hạn như mật mã lượng tử.
Điều kiện phản kết chùm của một trường đa mode được định nghĩa
bởi
a
(cid:105) (cid:105) + (cid:104) ˆN (k−1) a (cid:104) ˆN (l+1) a − 1 < 0, (3.25) Rlk ≡
b (cid:105) + (cid:104) ˆN (k)
ˆN (k−1) b a ˆN (k) (cid:104) ˆN (l) ˆN (l+1) b ˆN (l) b (cid:105)
trong đó Rlk được gọi là hệ số phản kết chùm bậc {l, k} với điều kiện l ≥ k > 1 và ˆN (k) x = ˆx†k ˆxk với x = a, b. Tính toán cho trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, chúng tôi tìm được
l (cid:88)
k (cid:88)
b (cid:105) =
i=0
j=0
(−1)i+jl!2k!2 ˆN (k) (cid:104) ˆN (l) a i!j!(l − i)!2(k − j)!2Cm+l−i,n+k−j(α, β, s),
(3.26) trong đó các hệ số Cm+l−i,n+k−j(α, β, s) được định nghĩa trong (2.18). Hình 3.10 (vẽ R11 và R42 theo r) cho thấy hiệu ứng phản kết chùm giảm cường độ khi tăng m, một đặc điểm trái ngược với các hiệu ứng
nén. Rất may, nhược điểm này có thể khắc phục bằng cách thêm đều
photon vào cả hai mode của trạng thái, như được thể hiện trên hình
3.13. Dễ dàng nhận thấy rằng hiệu ứng phản kết chùm sẽ mạnh nhất
trong trường hợp đối xứng m = n = 3. Sự phụ thuộc của hiệu ứng
phản kết chùm vào bậc {l, k} được minh họa trên hình 3.11. Khi k
không đổi và bằng 3, độ phản kết chùm tăng theo l (hình 3.11a), trong
khi ngược lại nếu giữ l cố định thì độ phản kết chùm giảm khi tăng k
(hình 3.11b). Để ý rằng nếu ta không quan tâm đến vai trò của l và k
16
Hình 3.10: Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm (a) R11 và (b) R42 vào tham số nén r khi |α| = 0.1, |β| = 0.7 và ϕ = π cho {m, n} = {2, 0} (đường nét liền), {4, 0} (đường nét đứt) và {6, 0} (đường gạch - chấm).
Hình 3.11: Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm Rlk vào tham số nén r với |α| = 0.1, |β| = 0.7 và ϕ = π cho m = 1, n = 0 khi (a) k = 3 và l thay đổi từ 3 đến 6, (b) l = 4 và k thay đổi từ 1 đến 4.
Hình 3.13: Sự phụ thuộc của hệ số phản kết chùm (a) R11 và (b) R22 vào tham số nén r với |α| = |β| = 0.2 và ϕ = π cho {m, n} = {3, 3} (đường nét liền), {3, 4} (đường nét đứt), {3, 1} (đường gạch - chấm) và {3, 0} (đường gạch - hai chấm).
17
Hình 3.15: Sự phụ thuộc của hệ số đan rối E vào tham số nén r với |α| = |β| = 0.1, ϕa = ϕb = 0 và θ = π cho {m, n} = {0, 0} (đường nét liền), {1, 0} (đường nét đứt), {1, 1} (đường gạch - chấm), {2, 1} (đường gạch - hai chấm) và {2, 2} (đường chấm - chấm).
một cách riêng lẻ mà xét hiệu của chúng, l − k, thì cả hai hình 3.11a
và 3.11b đều có chung một đặc điểm là độ phản kết chùm tăng theo
hiệu l − k.
3.4 Tính chất đan rối
Trước hết, tính chất đan rối của trạng thái nén dịch chuyển thêm
photon hai mode sẽ được xác nhận bằng tiêu chuẩn Shchukin-Vogel
thông qua việc khảo sát một định thức con trong (1.36) có dạng
. E ≡ (3.28)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:104)ˆb†(cid:105) (cid:12) (cid:104)ˆa(cid:105) 1 (cid:12) (cid:12) (cid:104)ˆa†(cid:105) (cid:104)ˆa†ˆa(cid:105) (cid:104)ˆa†ˆb†(cid:105) (cid:12) (cid:12) (cid:104)ˆb†ˆb(cid:105) (cid:104)ˆaˆb(cid:105) (cid:104)ˆb(cid:105) (cid:12) (cid:12)
Với trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode, ta thay các yếu tố ma trận trong (3.28) bởi các số hạng Mlktv tương ứng. Những gì thể hiện trên hình 3.15 cho ta thấy trạng thái nén dịch chuyển thêm
photon hai mode là trạng thái đan rối (E < 0). Hơn nữa hệ số đan
rối E càng âm khi m càng tăng. Điều đó nói lên rằng độ rối của trạng
thái có thể tăng nhờ vào việc thêm photon. Để chắc chắn cho nhận xét
này, ta tiếp tục xét tiêu chuẩn entropy tuyến tính.
Chúng tôi tìm được entropy tuyến tính của ma trận mật độ rút
18
Hình 3.18: Sự phụ thuộc của entropy tuyến tính L của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén r với θ = π và α = β = 0.1 cho {m, n} = {0, 0} (đường nét liền), {1, 0} (đường nét đứt), {1, 1} (đường gạch - chấm), {2, 1} (đường gạch - hai chấm) và {2, 2} (đường chấm - chấm).
gọn ˆρa của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode có dạng như sau
∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
mn(α, β, s) cosh4 r
l,l(cid:48)=0
k,k(cid:48)=0
N 4 ei(k+k(cid:48)l(cid:48)−l)π(− tanh r)k+k(cid:48)+l+l(cid:48) L( ˆρa) = 1 −
× Cm(k(cid:48), l(cid:48), α)Cm(l, k, α)Cn(k, k(cid:48), β)Cn(l(cid:48), l, β), (3.42)
trong đó
n (cid:88)
(cid:114) (cid:19)
i,i(cid:48)=0
β2n−i−i(cid:48) (3.41) Cn(k, k(cid:48), β) = δk(cid:48)+i(cid:48),k+i (cid:18)n i (cid:19)(cid:18)n i(cid:48) (k + i)!2 k!k(cid:48)!
khi θ = π và α, β thực. Trên hình 3.18, L càng tăng (thể hiện độ rối
tăng) khi số photon thêm vào càng nhiều. Kết hợp với những gì quan
sát trên hình 3.15, đến đây ta hoàn toàn có thể khẳng định rằng thêm
photon cải thiện độ rối của trạng thái nén hai mode. Thêm photon
vào cả hai mode sẽ hiệu quả hơn so với thêm vào chỉ một mode và số
photon thêm vào càng nhiều thì độ rối càng tăng.
19
Chương 4
VIỄN TẢI LƯỢNG TỬ SỬ DỤNG NGUỒN RỐI NÉN DỊCH CHUYỂN THÊM PHOTON HAI MODE
Áp dụng mô hình viễn tải lượng tử trong biểu diễn Fock cho nguồn
rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode để viễn tải trạng thái kết
∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
mn(s, 0, 0) cosh2 r
k=0
k(cid:48)=0
N 2 , (4.13) Fav = hợp, chúng tôi tìm được biểu thức của độ tin cậy trung bình (tanh r)k+k(cid:48)(n + m + k + k(cid:48))! k!k(cid:48)!2m+n+k+k(cid:48)+1
min[n+k(cid:48),N ] (cid:88)
min[m+k(cid:48),N ] (cid:88)
min[n+k,N ] (cid:88)
∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
min[m+k,N ] (cid:88)
trong đó cả α và β được cho bằng 0 và chọn θ = π. Nếu trạng thái cần viễn tải là trạng thái Fock, |ψin(cid:105) = |N (cid:105), thì độ tin cậy trung bình của quá trình viễn tải khi cho α = β = 0, θ = π có dạng
p=0
q=0
k=0
k(cid:48)=0
q(cid:48)=0
Fav = (N !)2 k!k(cid:48)!
×
. ×
N 2 mn(s) cosh2 r p(cid:48)=0 (m + k(cid:48))!(m + k)!(m + n + k + k(cid:48) + 2N − p − p(cid:48) − q − q(cid:48))! (m + k − p)!(m + k(cid:48) − p(cid:48))!(n + k − q)!(n + k(cid:48) − q(cid:48))!p!p(cid:48)!q!q(cid:48)! (n + k)!(n + k(cid:48))!(−1)p+p(cid:48)+q+q(cid:48)(tanh r)k+k(cid:48) 2m+n+k+k(cid:48)+2N +1−p−p(cid:48)−q−q(cid:48)(N − p)!(N − p(cid:48))!(N − q)!(N − q(cid:48))! (4.14)
Chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình của
quá trình viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm
photon hai mode vào tham số nén r cho hai trường hợp cụ thể của
trạng thái viễn tải là trạng thái kết hợp (hình 4.1) và trạng thái Fock
(hình 4.2) dựa trên các phương trình (4.13) và (4.14), một cách tương
ứng. Cả hai hình vẽ 4.1 và 4.2 đều cho thấy việc thêm photon vào cả
hai mode sẽ hiệu quả hơn chỉ thêm photon vào một mode và càng tăng
20
Hình 4.1: Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá trình viễn tải trạng thái kết hợp |γ(cid:105) sử dụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén r với θ = π và α = β = 0 cho {m, n} = {3, 3} (đường nét liền), {3, 2} (đường nét đứt), {3, 1} (đường gạch - chấm) và {3, 0} (đường gạch - hai chấm).
Hình 4.2: Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá trình viễn tải trạng thái Fock |1(cid:105) sử dụng nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode vào tham số nén r với θ = π và α = β = 0 cho {m, n} = {3, 3} (đường nét liền), {3, 2} (đường nét đứt), {3, 1} (đường gạch - chấm) và {3, 0} (đường gạch - hai chấm).
Hình 4.4: Sự phụ thuộc của độ tin cậy trung bình Fav của quá trình viễn tải trạng thái Fock |2(cid:105) sử dụng nguồn rối nén hai mode (đường nét liền) và nguồn rối nén dịch chuyển thêm photon hai mode cho {m, n} = {1, 1} (đường nét đứt), {2, 2} (đường gạch - chấm) và {3, 3} (đường gạch - hai chấm) vào tham số nén r với θ = π và α = β = 0.
21
số lượng photon thêm vào thì độ tin cậy viễn tải càng được cải thiện.
Đây là một kết quả được mong đợi. Để so sánh độ tin cậy trung bình
của viễn tải giữa hai nguồn rối nén không và có thêm photon, chúng
tôi vẽ trên hình 4.4 độ tin cậy trung bình của quá trình viễn tải trạng
thái Fock cho trường hợp nguồn rối là trạng thái nén hai mode (đường
nét liền) và trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode (các đường còn lại). Rõ ràng, cả ba đường cong biểu diễn Fav với nguồn rối thêm photon đều nằm cao hơn đường nét liền ứng với nguồn rối nén
hai mode thông thường ở khoảng giá trị nhỏ của r.
KẾT LUẬN
Luận án nghiên cứu về trạng thái nén dịch chuyển thêm photon
hai mode với mục tiêu chứng minh rằng thêm photon vào trạng thái
nén hai mode làm tăng độ phi cổ điển và cải thiện độ rối của trạng
thái, đồng thời đề xuất các sơ đồ thực nghiệm để thêm photon vào
trạng thái nén dịch chuyển hai mode. Các kết quả chính của luận án
có thể được tóm tắt như sau:
Thứ nhất, chúng tôi đã tính được biểu thức giải tích tường minh
của hàm phân bố Wigner của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon
hai mode. Hàm phân bố tìm được là cơ sở cho các nghiên cứu về tính
chất thống kê của trạng thái. Bên cạnh đó, kết quả tính số cho thấy
độ phi cổ điển của trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode
mạnh hơn so với trạng thái ban đầu và gợi ý cho những nghiên cứu cụ
thể hơn về tính chất phi cổ điển của trạng thái này, trong đó có tính
chất đan rối.
Thứ hai, chúng tôi đã đưa ra và giải thích tường minh hai sơ đồ
tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode. Kết quả tính
số cho thấy với cả hai sơ đồ, độ tin cậy đều có thể dần đến giá trị cực
22
đại là 1 khi hệ số truyền qua t của thiết bị tách chùm cao (đối với sơ
đồ dùng thiết bị tách chùm) hay khi độ nén z của bộ chuyển đổi tham
số nhỏ (đối với sơ đồ sử dụng bộ chuyển đổi tham số). Tuy nhiên khi
độ tin cậy F tăng thì xác suất thành công tương ứng lại giảm. Do đó,
các kết quả tính số của hai sơ đồ này có ý nghĩa trong việc định hướng
cho quá trình thực nghiệm khi lựa chọn tham số của thiết bị một cách
phù hợp để thu được một trạng thái không quá khác so với trạng thái
mong muốn nhưng phải đảm bảo không phải đợi quá lâu để nhận được
trạng thái này.
Thứ ba, qua việc khảo sát các hiệu ứng phi cổ điển, chúng tôi
chứng minh được trạng thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode
thể hiện nhiều hiệu ứng quan trọng như nén tổng, nén hiệu, phản kết
chùm và đặc biệt là hiệu ứng đan rối. Các kết quả tính số cho ta vùng
giới hạn của các tham số trạng thái để các hiệu ứng này tồn tại cũng
như điều kiện về pha để chúng thể hiện mạnh nhất. Ngoại trừ hiệu ứng
phản kết chùm, việc thêm photon có ảnh hưởng tích cực đến tất cả
các hiệu ứng còn lại trong đó có hiệu ứng đan rối. Với hiệu ứng phản
kết chùm thì thêm photon gây ra tác dụng ngược lại, tuy nhiên ảnh
hưởng này có thể giảm thiểu bằng cách thêm photon vào cả hai mode
với lượng photon bằng nhau. Trong tất cả các hiệu ứng kể trên, tác
dụng tích cực của thêm photon lên hiệu ứng đan rối là rõ ràng nhất
và mạnh nhất. Trên cơ sở này, chúng tôi đề xuất một phương pháp
có ý nghĩa thực tiễn để cải thiện độ rối, đó là sử dụng kỹ thuật thêm
photon.
Cuối cùng chúng tôi chứng tỏ được rằng thêm photon vào trạng
thái nén dịch chuyển sẽ cải thiện độ tin cậy trung bình của quá trình
viễn tải lượng tử khi sử dụng trạng thái thêm photon này làm nguồn
rối. Mức độ cải thiện của độ tin cậy viễn tải được thể hiện ở nhiều khía
23
cạnh khác nhau của việc thêm photon, thêm photon sẽ hiệu quả hơn
không thêm, thêm photon vào cả hai mode cho ảnh hưởng lớn hơn so
với thêm vào chỉ một mode và số lượng photon thêm vào càng nhiều
thì độ tin cậy càng tăng.
Những kết quả này góp phần quan trọng vào nỗ lực tìm kiếm các
trạng thái phi cổ điển mạnh với độ rối được cải thiện để có thể áp
dụng cho các quá trình xử lý thông tin lượng tử trên thực tế. Để đơn
giản, đề tài đã giới hạn các khảo sát ở một số gần đúng nhất định.
Thứ nhất, trong quá trình phân tích các sơ đồ tạo trạng thái nén dịch
chuyển thêm photon hai mode, chúng tôi đã lý tưởng hóa hoạt động
của máy đếm photon. Sẽ thiết thực hơn nếu nghiên cứu này được tiếp
tục mở rộng với máy đếm photon có hiệu suất hữu hạn nào đó. Thứ
hai, khi khảo sát quá trình viễn tải lượng tử, chúng tôi đã tính toán
dựa trên trạng thái nén dịch chuyển thêm photon lý thuyết trong khi
trạng thái này trên thực tế chỉ là trạng thái gần đúng. Để gần với thực
tiễn hơn thì vấn đề này cũng cần được nghiên cứu hơn nữa bằng việc
kết nối sơ đồ tạo trạng thái nén dịch chuyển thêm photon với mô hình
viễn tải. Bên cạnh đó, đề tài cũng có thể được tiếp tục mở rộng theo
một hướng khác khi xem xét đến các kỹ thuật phức tạp hơn chẳng hạn
như tổ hợp của cả thêm và bớt photon.
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN
1. Truong Minh Duc and Nguyen Thi Xuan Hoai (2010), Entanglement
criterion for bipartite quantum states: applications, Communications
in Physics, 20(3), pp. 233 - 240.
2. Truong Minh Duc, Nguyen Thi Xuan Hoai and Nguyen Ba An
24
(2014), Sum squeezing, difference squeezing, higher-order antibunch-
ing and entanglement of two-mode photon-added displaced squeezed
states, International Journal of Theoretical Physics, 53, pp. 899 -
910.
3. Nguyen Thi Xuan Hoai and Nguyen Ba An (2014), Generation of
two-mode photon-added displaced squeezed states, Advances in Nat-
ural Sciences: Nanoscience and Nanotechnology, 5, pp. 032015-1 -
032015-6.
4. Nguyen Thi Xuan Hoai and Truong Minh Duc (2015), Nonclassical
properties and teleportation in the two-mode photon-added displaced
squeezed states, International Journal of Modern Physics B (đã có
bản online DOI: 10.1142/S0217979216500326).
