Luận văn Thạc sĩ: Phân tích quá trình lập luận, chứng minh của học sinh bằng mô hình Toulmin

ĐẠI HỌC HUẾ

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN THỊ NI

SỬ DỤNG MÔ HÌNH TOULMIN ĐỂ PHÂN TÍCH QUÁ

TRÌNH LẬP LUẬN VÀ CHỨNG MINH CỦA HỌC SINH

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. TRẦN KIÊM MINH

Huế, năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số

liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được

các đồng tác giả cho phép sử dụng. Kết quả nghiên cứu chưa từng

được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thị Ni

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy Trần

Kiêm Minh, người đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tôi hoàn thành luận

văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế,

Phòng đào tạo sau đại học, Quý Thầy giáo, Cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các

thầy cô thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình

giảng dạy, truyền thụ cho tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong hai

năm học vừa qua.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các em học sinh trường THPT chuyên Quốc

Học Huế và các em học sinh trường THPT Tố Hữu đã giúp đỡ tôi trong quá trình

thực nghiệm.

Sau cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ, động

viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này.

Do điều kiện thời gian và khả năng hạn chế, tôi xin chân thành biết ơn và

lắng nghe những ý kiến chỉ dẫn, đóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn.

Xin trân trọng cảm ơn!

iii

MỤC LỤC

Trang TRANG PHỤ BÌA ..................................................................................................i

LỜI CAM ĐOAN ..................................................................................................ii

LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... iii

MỤC LỤC.............................................................................................................. 1

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ........................................ 4

LỜI GIỚI THIỆU ................................................................................................. 5

Chƣơng 1. ĐẶT VẤN ĐỀ ...................................................................................... 8

1.1 Khái niệm chứng minh và lập luận ................................................................ 8

1.1.1 Khái niệm chứng minh ........................................................................... 8

1.1.2 Khái niệm lập luận.................................................................................. 9

1.2 Các dạng lập luận .......................................................................................... 9

1.2.1 Suy diễn ................................................................................................. 9

1.2.2 Quy nạp ................................................................................................. 9

1.2.3. Ngoại suy ............................................................................................. 10

1.3 Ngoại suy và chứng minh trong toán học .................................................... 10

1.3.1. Các dạng ngoại suy .............................................................................. 10

1.3.2. Ngoại suy và chứng minh trong giáo dục toán ...................................... 13

1.4 Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh .................................................. 14

1.4.1. Các khía cạnh chung giữa lập luận và chứng minh ............................... 14

1.4.2 Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh trong các nghiên cứu giáo dục toán...... .......................................................................................................... 15

1.5 Kết luận chương 1 ....................................................................................... 18

Chƣơng 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ........................................................................ 20

2.1. Mô hình Toulmin ........................................................................................ 20

2.1.1 Cấu trúc của lập luận theo mô hình Toulmin ........................................ 20

2.1.2 Mô hình Toulmin trong các nghiên cứu giáo dục toán về lập luận và chứng minh .................................................................................................... 21

2.2 Phân tích quá trình lập luận và chứng minh dựa trên mô hình Toulmin ....... 22

2.2.1 Tính thống nhất nhận thức giữa quá trình lập luận và chứng minh ........ 22

2.2.2 Khoảng cách giữa quá trình lập luận và chứng minh ............................. 24

2.2.3 Phân tích cấu trúc giữa lập luận và chứng minh dựa trên mô hình Toulmin ......................................................................................................... 24

2.2.3.1 Cấu trúc của suy diễn, ngoại suy, quy nạp dựa trên mô hình Toulmin .................................................................................................................. 25

2.2.3.2 Phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh .................................................................................................................. 27

2.3 Mô hình Toulmin và phân tích quá trình ngoại suy ..................................... 27

2.3.1 Đối với ngoại suy đã mã hoá ................................................................. 28

2.3.2 Đối với ngoại suy chưa mã hoá ............................................................ 29

2.3.3 Đối với ngoại suy sáng tạo ................................................................... 29

2.4 Vai trò của giáo viên trong quá trình lập luận của học sinh ......................... 30

2.5 Câu hỏi nghiên cứu ..................................................................................... 31

2.6 Kết luận chương 2 ....................................................................................... 32

Chƣơng 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU............................................................... 33

3.1 Ngữ cảnh và mục tiêu .................................................................................. 33

3.1.1 Ngữ cảnh.............................................................................................. 33

3.1.2 Mục tiêu ................................................................................................ 33

3.2 Phương pháp nghiên cứu............................................................................. 33

3.3. Nội dung phiếu học tập ............................................................................... 33

3.3.1. Phiếu học tập 1..................................................................................... 33

3.3.2. Phiếu học tập 2..................................................................................... 39

3.3.3. Phiếu học tập 3..................................................................................... 42

3.3.4. Phiếu học tập 4..................................................................................... 45

3.4 Kết luận chương 3....................................................................................... 49

Chƣơng 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU................................................................ 50

4.1. Phân tích bài làm của học sinh .................................................................... 50

4.1.1 Mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận và chứng minh ................................ 50

4.1.1.1 Bài toán 1: ...................................................................................... 51

4.1.1.2 Bài toán 2: ...................................................................................... 59

4.1.1.3 Bài toán 3: ...................................................................................... 66

4.1.1.4 Bài toán 4: ...................................................................................... 72

4.1.2 Các dạng ngoại suy ............................................................................... 75

4.2 Kết luận chương 4 ....................................................................................... 79

Chƣơng 5. KẾT LUẬN........................................................................................ 80

5.1 Kết luận ....................................................................................................... 80

5.2 Đóng góp của nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài ............................ 82

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 84

PHỤ LỤC .............................................................................................................P1

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Góc

CM Chứng minh

HS Học sinh

LL Lập luận

LỜI GIỚI THIỆU

Quá trình lập luận (argumentation), suy luận (reasoning) và chứng minh

(proof) là những thuật ngữ xuất hiện nhiều trong các công trình nghiên cứu gần đây

về dạy và học toán. Điều đó chứng tỏ ngày càng có nhiều nhà nghiên cứu quan tâm

phân tích về mặt nhận thức và cấu trúc lôgic của quá trình lập luận và chứng minh.

Từ một quan điểm tri thức luận, lập luận trong toán học có thể xem như là một quá

trình thuyết phục ai đó về giá trị chân lý của một mệnh đề hay phát biểu (Chazan

1993, [9]; De Villiers 1990, [10]; Hanna, 1989, [14]; Healy và Hoyles, 2000, [16];

Lakatos, 1976, [22]). Quá trình lập luận có thể là suy diễn, ngoại suy hoặc quy nạp.

Chứng minh là một trường hợp đặc biệt của quá trình lập luận trong đó kết luận

được đưa ra từ các lập luận diễn dịch và các quy tắc suy luận đúng. Trong toán học,

chứng minh thường là quá trình lập luận suy diễn, trong khi đó quá trình lập luận

dẫn đến một giả thuyết thường là quá trình ngoại suy hoặc quy nạp.

Gần đây, có nhiều tác giả tập trung vào nghiên cứu bản chất cấu trúc của các

quá trình nhận thức liên quan đến mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh toán

học của học sinh (Boero .v.v. 1996, [8]; Pedemonte, 2001, [27]; Pedemonte, 2005,

[29]; Pedemonte, 2007, [30]; Pedemonte và Reid, 2010, [32]; Reid và Knipping,

2010, [38]; Martinez và Pedemonte, 2014, [24]). Các nghiên cứu này chỉ ra rằng,

lập luận thường có cấu trúc ngoại suy hoặc quy nạp, trong khi đó chứng minh

thường có cấu trúc diễn dịch. Nếu từ các lập luận ngoại suy (quy nạp) hình thành

một giả thuyết, học sinh có thể chuyển đổi thành các lập luận diễn dịch để đi đến

chứng minh (quy nạp toán học) giả thuyết đó thì ta nói có một tính liên tục cấu trúc

(structural continuity) giữa quá trình lập luận và chứng minh. Ngược lại, nếu từ các

lập luận ngoại suy hay quy nạp, học sinh không thể đi đến một chứng minh diễn

dịch thì ta nói có sự gián đoạn cấu trúc (structural distance/ structural discontinuity)

giữa quá trình lập luận và chứng minh.

Các nghiên cứu ở trên đã sử dụng mô hình Toulmin (Toulmin, 1958, [40]) để

lập luận như là một công cụ có tính phương pháp luận nhằm phân tích mối quan hệ

giữa quá trình lập luận đi đến một giả thuyết và chứng minh.

Mô hình Toulmin đã góp phần quan trọng trong các nghiên cứu về mối quan

hệ giữa lập luận và chứng minh chẳng hạn như: phân tích tính liên tục/gián đoạn

cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh (Pedemonte, 2005, [29]; Pedemonte,

2007, [30]) phân tích vai trò và các dạng ngoại suy được học sinh sử dụng trong quá

trình chứng minh (Pedemonte và Reid, 2010, [32]).

Dựa trên các nghiên cứu đó của Pedemonte, chúng tôi chọn đề tài ― Sử dụng

mô hình Toulmin để phân tích quá trình lập luận và chứng minh của học sinh‖

với các mục tiêu như sau:

 Phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh của

học sinh khi giải quyết các bài toán

 Phân tích các dạng ngoại suy khác nhau được học sinh sử dụng trong quá

trình chứng minh.

Luận văn này bao gồm 5 chương:

Trong chương 1, chúng tôi bắt đầu từ việc giới thiệu khái niệm lập luận và

khái niệm chứng minh trong Toán, các dạng lập luận thường gặp, tiếp theo là mối

quan hệ giữa quá trình lập luận và chứng minh trong Toán. Từ đó chúng tôi đặt ra

một số vấn đề khởi đầu cho nghiên cứu.

Trong chương 2, chúng tôi sẽ trình bày mô hình Toulmin cơ bản, một công

cụ phương pháp luận quan trọng cho phép nghiên cứu mối quan hệ cấu trúc giữa lập

luận và chứng minh. Sau đó, dựa vào mô hình Toulmin, chúng tôi sẽ phân tích mối

liên hệ về cấu trúc giữa lập luận và chứng minh trong toán học và cấu trúc của các

dạng ngoại suy mà học sinh có thể sử dụng trong chứng minh toán. Chương này

cung cấp khung lý thuyết cho phép chúng tôi thiết kế thực nghiệm và phân tích dữ

liệu thực nghiệm trong các chương sau. Cuối cùng, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi

nghiên cứu cho đề tài.

Trong chương 3, chúng tôi trình bày ngữ cảnh và mục tiêu của thực nghiệm.

Sau đó, chúng tôi trình bày nội dung của các phiếu học tập. Cuối cùng, chúng tôi

tiến hành phân tích tiên nghiệm các bài toán trong các phiếu học tập. Các phân tích

này cung cấp cái nhìn tổng quan về các bài toán được đưa ra cho học sinh, cũng như

làm cơ sở để đối chiếu và phân tích sau thực nghiệm ở chương 4.

Trong chương 4, trước tiên chúng tôi mô tả lại các dữ liệu thực nghiệm thu

thập được của một số cặp học sinh điển hình. Sau đó, chúng tôi tiến hành phân tích

các kết quả chủ yếu từ dữ liệu thu thập được. Dựa trên các lý thuyết đã trình bày ở

Chương 2, chúng tôi sẽ phân tích theo các hướng: mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận

và chứng minh, các dạng ngoại suy học sinh đã sử dụng trong lập luận. Từ đó phát

hiện các khó khăn của học sinh trong việc chuyển đổi cấu trúc lập luận sang chứng

minh và xem xét dạng ngoại suy nào có thể hỗ trợ cho học sinh trong việc chuyển

đổi cấu trúc của lập luận sang chứng minh

Cuối cùng, trong chương 6, chúng tôi đưa ra kết luận cho nghiên cứu này

bằng cách phân tích các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi nghiên cứu đặt ra. Bên

cạnh việc trả lời các câu hỏi nghiên cứu, chúng tôi cũng bàn luận các đóng góp của

nghiên cứu này đối với các vấn đề lớn và có tính khái quát hơn như việc dạy và học

chứng minh trong Toán học. Kết quả nghiên cứu cũng góp phần khẳng định vai trò

chủ đạo của giáo viên trong việc thúc đẩy quá trình lập luận và chứng minh Toán

của học sinh

Chƣơng 1. ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1 Khái niệm chứng minh và lập luận

Trong những ngày đầu tiên, toán học gắn liền với những câu hỏi thực tế về

vấn đề đo đạc đất đai của người Ai Cập và người Hy Lạp. Vì vậy bản chất của toán

học thời kỳ này là xem xét các vấn đề về hình học và lượng giác. Hình học cổ đại và

các tiên đề của Euclid tập trung thảo luận cho các vấn đề này. Có thể nói, thời kỳ

này toán học mang tính hiện tượng, nếu có một người vẽ được một hình vẽ hợp lý

và đưa ra các mô tả cho nó thì đã được xem là một biện minh đối với một vấn đề

toán học. Đôi khi người ta lập luận bằng cách tương tự hoặc bằng cách gọi các vị

thần. Những suy nghĩ về việc chứng minh các phát biểu toán học hầu như không tồn

tại. Không có một khái niệm nào về chứng minh cũng như các cấu trúc lôgic và quy

tắc suy luận không hề được đưa ra. Họ đã nghĩ rằng việc quan sát thực tế hay thực

nghiệm là đủ để biện minh cho các phát biểu toán học. Nhưng sau này, người Hy

Lạp đã tìm được phương pháp để xác định tính đúng hoặc sai của một phát biểu

trong toán học. Họ thấy rằng, toán học không giống như những môn khoa học khác,

nó thường đề cập đến các thực thể vô hạn hoặc số như tập các số tự nhiện hoặc sự

trừu tượng hoá như hình tròn, hình tam giác. Vì vậy, họ là những người đầu tiên

chuyển đổi các phát biểu toán học thành những lập luận lôgic để phân biệt sự khác

nhau giữa những cái có thể và những cái không thể. Dựa vào phương pháp suy diễn,

một phát biểu được họ chứng minh bằng các tiên đề, hoặc các định lý hoặc một

nguyên tắc lôgic (Aristotle, 384 – 322, trước công nguyên). Tiên đề là các khái

niệm, các giả thiết được thừa nhận đúng nhưng không cần sự biện minh (Elements,

Euclid). Định lý bao gồm các phát biểu đã được chứng minh từ các tiên đề. Từ đó,

tất cả những gì liên quan đến toán học đều được bắt đầu từ các tiên đề và một quy

trình chứng minh chặt chẽ (Wolfram, 2002, [41]).

1.1.1 Khái niệm chứng minh

Chứng minh toán học là phương tiện thuyết phục ai đó hoặc chính bản thân

mình về một điều gì đó là đúng bằng cách sử dụng một dãy các lập luận phù hợp và

các quy tắc suy luận đúng. Chẳng hạn, theo Almeida (1994, [4]), chứng minh là một

dãy các mệnh đề, được kết nối với nhau bởi các phép suy luận, mà kết thúc là một

mệnh đề kết luận và khởi đầu là các dữ liệu hoặc các sự kiện được thừa nhận hoặc

các nguyên lý:

“A proof is a directed tree of statements, connected by implications, whose

end point is the conclusion and whose starting points are either in the data

or are generally agreed facts or principles” (Almeida, 1994, [4], p.661).

1.1.2 Khái niệm lập luận

Trong toán học, lập luận liên kết với chứng minh một cách chặt chẽ. Mặc dù

lập luận là hoạt động thường xuyên xảy ra trong lớp nhưng không có một khái niệm

chung nào về lập luận. Các nghiên cứu hiện nay cũng không cung cấp cái nhìn sâu

sắc về vấn đề này. Tuy nhiên, hầu hết các quan niệm về lập luận đều thống nhất cho

rằng lập luận trong toán học là quá trình đưa ra những bằng chứng nhằm dẫn đến

một kết luận nào đấy. Ta cũng có thể xem, quá trình lập luận (argumentation) như

một hoạt động diễn ngôn dựa trên các lí lẽ (arguments).

1.2 Các dạng lập luận

Có 3 dạng lập luận thường được đề cập trong nghiên cứu giáo dục toán học:

suy diễn, quy nạp và ngoại suy.

1.2.1 Suy diễn

Suy diễn là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận từ một số dữ

liệu và một quy tắc suy luận đã biết (Petemonte, 2007, [30]).

Lập luận suy diễn có các đặc điểm sau :

 Suy diễn bắt đầu với một trường hợp tổng quát để đưa ra kết luận

cụ thể.

 Suy diễn không dẫn tới một tri thức mới (chỉ dẫn tới kinh nghiệm

để tìm ra một kiến thức mới).

 Thiết lập một kết luận có tính chắc chắn.

1.2.2 Quy nạp

Quy nạp là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận bằng việc khái

quát hoá một số trường hợp cụ thể (Petemonte, 2007, [30]).

Lập luận quy nạp có các đặc điểm sau :

 Lập luận quy nạp bắt đầu từ các trường hợp cụ thể đi đến một kết

luận tổng quát.

 Lập luận quy nạp sử dụng những cái đã biết để kết luận những cái

chưa biết (phát hiện quy luật chung).

 Lập luận quy nạp thường đưa ra kết luận không chắc chắn và cần

được xác minh.

1.2.3. Ngoại suy

Ngoại suy là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận từ một sự

kiện quan sát được (Petemonte, 2007, [30]).

Ngoại suy thường có các đặc điểm sau:

 Giải thích giả thuyết quan sát được.

 Đưa ra các ý tưởng mới và giúp mở rộng tri thức.

 Kết luận của một ngoại suy có vẻ hợp lý (plausible) vì kết luận của

nó không thể biết được một cách trực tiếp.

Như vậy, trong khi lập luận suy diễn tìm kiếm các kết luận từ những kết quả

đúng cho trước, lập luận quy nạp tìm kiếm kết quả tổng quát từ những kết quả đúng

của các trường hợp đặc biệt thì ngoại suy đi tìm lời giải thích tốt nhất cho giả thuyết

quan sát được trước đó (Peirce, 1960, [36]) và việc giải thích giả thuyết quan sát

được trong lập luận ngoại suy có thể dùng đến cả lập luận suy diễn và lập luận quy

nạp.

1.3 Ngoại suy và chứng minh trong toán học

1.3.1 Các dạng ngoại suy

Trong đời sống hằng ngày, ngoại suy thường xuất hiện một cách tự nhiện

trong việc giải thích các sự việc hoặc các hiện tượng của con người. Trong Toán,

ngoại suy lại thường xuất hiện trong quá trình dạy học các khái niệm mới thông

qua việc quan sát các tình huống để đưa ra các lời giải thích hoặc quá trình tìm

kiếm định lý, công thức mới, tìm kiếm lời giải cho một bài toán .v.v. mà đặc biệt

là trong quá trình chứng minh.

Ngoại suy lần đầu tiên được giới thiệu bởi CS. Peirce (1839 – 1914), một

nhà toán học, triết học, lôgic học người Mỹ nhằm phân biệt với lập luận suy diễn

và lập luận quy nạp. Trong những nghiên cứu đầu tiên của mình, Peirce nhấn

mạnh vào các lôgic hình thức của ngoại suy, ông gọi ngoại suy là ―hypothesis‖

(Peirce, 1867, [34]) và mô tả bằng phép tam đoạn luận :

Với M bất kỳ có đặc điểm P , P’, P‖

S có P, P’, P‖

∴ S có lẽ là M.

( Ở đây, S: là một đối tượng, một trường hợp cụ thể).

Năm 1878, Peirce chú ý đến tầm quan trọng của việc giải thích các vấn đề

ngẫu nhiên liên quan đến ngoại suy và ―hypothesis‖ trở thành phương tiện tìm quy

tắc chung để giải thích một quan sát ngẫu nhiên. Ông ấy đưa ra ví dụ sau :

“Giả sử tôi vào một cái phòng và ở đó tôi tìm thấy một vài cái túi xách có

chứa một số loại đậu. Trên bàn có một ít hạt đậu trắng. Sau một hồi tìm kiếm tôi

chỉ thấy có một túi xách chứa đậu trắng. Tôi dự đoán rằng, số đậu trắng này rơi

ra từ chiếc túi đó”.

Suy luận này được gọi là tạo ra một giả thuyết. Đó là suy luận mà từ một

―quy tắc‖ và một ―kết quả‖ dẫn tới một ―trường hợp‖ (Peirce, 1960, [36]).

Ở đây ta hiểu một trường hợp là một quan sát cụ thể mà trong đó một điều

kiện được thỏa mãn. Chẳng hạn, ―Hàm số có đạo hàm tại ‖ là một

trường hợp. Một quy tắc thường là một mệnh đề có tính khái quát phát biểu rằng

nếu một điều kiện xảy ra thì một điều kiện khác cũng sẽ xảy ra. Chẳng hạn, mệnh

đề ―Nếu một hàm số có đạo hàm tại một điểm thì liên tục tại điểm đó‖ là một quy

tắc. Một kết quả là một quan sát cụ thể, tương tự một trường hợp, nhưng đề cập

đến một điều kiện, điều kiện này phụ thuộc vào một điều kiện khác được liên kết

với nó bởi một quy tắc. Ví dụ, ―hàm số liên tục tại là một kết quả‖.

Ta có thể phân biệt cấu trúc dạng tam đoạn luận của các kiểu suy luận suy

diễn, quy nạp và ngoại suy dựa vào ba yếu tố đặc trưng là trường hợp, kết quả và

quy tắc như sau:

Suy diễn Quy nạp Ngoại suy

- Trường hợp - Trường hợp - Kết quả

- Quy tắc - Kết quả - Quy tắc

- Kết quả - Quy tắc - Trường hợp

Đến năm 1880, Peirce tập trung vào vai trò của ngoại suy, ông giới thiệu

thuật ngữ ―retroduction‖ với nghĩa ―tạm thời chấp nhận một giả thuyết‖ và sử

dụng ―hypothesis‖ với nghĩa ―điều gì đó có thể đúng hoặc đúng mà ta có đủ khả

năng để xác minh hoặc bác bỏ bằng cách so sánh các sự việc‖ (Peirce, 1960,

p.1.120, [36]). Đến 1901, Peirce sử dụng thuật ngữ ―abduction‖ thay thế cho

―retroduction‖. Đến 1903, Peirce lại mô tả ngoại suy bằng phép tam đoạn luận,

ngoại suy ở đây được dùng để giải thích các vấn đề quan sát ngẫu nhiên:

Vấn đề C được quan sát ngẫu nhiên

Nếu A đúng thì C là một vấn đề hiển nhiên

∴ Từ đây, có lý do để nghi ngờ C đúng (Peirce, 1960, [36])

Như vậy, đối với Peirce ngoại suy được đề cập để giải thích các quan sát

ngẫu nhiên. Từ quan sát thực tế có một quy tắc nào đó làm cho giả thiết ban đầu

trở nên hợp lý hơn. Kết luận của giả thuyết này tuy có vẻ hợp lý nhưng không

chắc chắn có thể xác minh hoặc bác bỏ. Dựa trên phát biểu của Peirce (1878, [35])

về ngoại suy, Eco (1983, [12]) chỉ ra rằng quy tắc trong phép tam đoạn luận về

ngoại suy của Peirce không nhất thiết phải luôn luôn rõ ràng và có sẵn. Eco (1983,

[12]) mô tả ngoại suy như là việc tìm kiếm một quy tắc tổng quát mà từ đó một

trường hợp cụ thể sẽ tuân theo. Eco phân biệt ba dạng ngoại suy như sau:

 Ngoại suy đã mã hoá (overcoded abduction): xảy ra khi người lập

luận nhận thức được chỉ có một quy tắc cho phép giải thích kết quả

quan sát được, giống như quan niệm của Pierce (1878, [35]).

 Ngoại suy chƣa mã hoá (undercoded abduction): xảy ra khi có nhiều

quy tắc có thể giải thích cho kết quả quan sát được, trong đó người lập

luận phải chọn ra một quy tắc phù hợp.

 Ngoại suy sáng tạo (creative abdution): xảy ra khi người lập luận

chưa biết một quy tắc nào để giải thích cho kết quả quan sát được, và

người lập luận phải tìm ra một quy tắc mới để giải thích cho kết quả đó.

1.3.2 Ngoại suy và chứng minh trong giáo dục toán

Theo Pedemonte (2007, [30]), chứng minh trong toán học thường là suy

diễn, nhưng quá trình phát hiện và đưa ra các phỏng đoán thường là các lập luận

ngoại suy. Khi học sinh tham gia vào quá trình chứng minh toán học, họ thường

đến với một ý tưởng. Phân tích những gì mà học sinh thực hiện trong quá trình

chứng minh thông thường là đề cập đến các ngoại suy.

Ngoại suy đã được xem xét trong mối quan hệ với các hoạt động toán học

nói chung trong một số nghiên cứu như Krummheuer, 2007, [21]; Mason,1996,

[25]). Ngoại suy cũng được xem xét trong mối quan hệ với chứng minh toán học

trong các nghiên cứu về giáo dục toán như Arzarello et al. 1998a, [5]; Arzarello et

al. 1998b, [6]; Knipping, 2003a, [18]; Knipping, 2003b, [19]; Pedemonte, 2007,

[30]; Pedemonte, 2008, [31]). Trong các nghiên cứu này, ngoại suy đóng vai trò

quan trọng trong mối quan hệ biện chứng giữa việc phỏng đoán một giả thuyết và

chứng minh một kết quả: ngoại suy hỗ trợ việc chuyển đổi từ quá trình lập luận

sang các phương thức chứng minh. Chẳng hạn, khi giải quyết bài toán kết thúc mở

trong hình học, một số học sinh đã không xây dựng được chứng minh suy diễn vì

không thể chuyển các lập luận ngoại suy thành các lập luận suy diễn trong chứng

minh (Petemonte, 2007, [30]). Điều này cho thấy ngoại suy gây trở ngại cho các

học sinh khi họ phải xây dựng một chứng minh suy diễn. Tuy nhiên, trong các bài

toán về đại số (Pedemonte, 2008, [31]), ngoại suy lại hỗ trợ cho học sinh trong

quá trình chứng minh, học sinh không phải gặp một trở ngại nào trong quá trình

xây dựng chứng minh vì quá trình chứng minh một bài toán trong đại số bao gồm

các thao tác chuyển đổi một công thức từ các công thức đã biết trước. Một nghiên

cứu về các dạng ngoại suy khác nhau được học sinh sử dụng trong quá trình

chứng minh (Pedemonte và Reid, 2010, [32]) cho rằng việc xây dựng chứng minh

sẽ dễ dàng hơn đối với học sinh nếu lập luận ngoại suy được học sinh sử dụng là

dạng ngoại suy đã mã hoá. Ngược lại dạng ngoại suy chưa mã hóa hoặc ngoại suy

sáng tạo thường gây trở ngại cho học sinh trong quá trình chứng minh vì rất nhiều

dữ liệu tham gia vào quá trình lập luận, dễ gây nhầm lẫn và làm rối loạn tư duy

của học sinh. Dựa vào các dạng ngoại suy được học sinh sử dụng trong quá trình

chứng minh, nghiên cứu này cũng đã trình bày được các khó khăn của học sinh cả

trong lập luận khi có ngoại suy xảy ra và sau khi xây dựng được chứng minh.

Như vậy, lập luận ngoại suy là một lập luận quan trọng tham gia vào quá

trình phân tích giả thiết và đưa ra các ý tưởng mới nhằm hỗ trợ cho việc xây dựng

chứng minh toán học. Một số dạng ngoại suy có thể giúp học sinh xây dựng chứng

minh dễ dàng bởi vì chúng hỗ trợ trong việc tìm và chọn một định lý hoặc những

lý thuyết cần thiết để đi tới chứng minh nhưng một số ngoại suy khác lại cản trở,

gây khó khăn cho học sinh trong việc xây dựng chứng minh. Điều này có ý nghĩa

thiết thực đối với việc dạy và học chứng minh. Bởi lẽ, ngoại suy cung cấp cái nhìn

sâu sắc trong việc thu hẹp khoảng cách giữa việc tạo ra giả thuyết để đi đến chứng

minh cho cả học sinh và giáo viên. Do đó, việc phát triển cho học sinh các lập

luận ngoại suy trong quá trình chứng minh toán là điều cần thiết.

1.4 Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh

1.4.1 Các khía cạnh chung giữa lập luận và chứng minh

Trong toán học, lập luận và chứng minh được mô tả qua bốn đặc điểm chức

năng cho phép giải thích các khía cạnh chung của hai khái niệm này:

 Lập luận và chứng minh trong toán học được xem như là một sự biện minh

hợp lý. Đặc điểm biện minh này có thể nhìn thấy trong quá trình lập luận để

tạo ra một phát biểu từ một hoặc nhiều phát biểu cho trước (Duval, 1995,

[11]).

 Lập luận và chứng minh trong toán học là để thuyết phục. Theo một quan

điểm nhận thức, lập luận và chứng minh trong toán học được phát triển khi

một người nào đó muốn thuyết phục bản thân mình hoặc một người khác về

sự thật của một phát biểu (Chazan, 1993, [9]; De Villiers, 1990, [10];

Hanna, 1989, [14]; Healy và Hoyles, 2000, [16]; Lakatos, 1976, [22]).

 Lập luận và chứng minh trong toán học được giải quyết cho một đối tượng

phổ thông. Đối tượng ở đây có thể là: một cộng đồng toán học, một lớp học,

giáo viên hoặc chính bản thân mình.

 Lập luận và chứng minh trong toán phụ thuộc vào lĩnh vực: đại số, hình

học, giải tích …

Ngoài các khía cạnh chung được đề cập ở trên, mối quan hệ giữa lập luận và

chứng minh đã được các nhà giáo dục toán học nghiên cứu và phân tích theo các

quan điểm khác nhau với nhiều mục đích giáo dục khác nhau.

1.4.2 Mối quan hệ giữa lập luận và chứng minh trong các nghiên cứu giáo dục

toán

Theo quan điểm xã hội và nhận thức luận (Balacheff, 1988, [7]) không thể

đồng nhất lập luận và chứng minh. Theo quan điểm nhận thức và ngôn ngữ (Duval,

1995, [11]), sự khác biệt giữa lập luận và chứng minh cũng được nhấn mạnh. Khi

nghiên cứu mối quan hệ cá nhân với chứng minh toán học như một chuỗi lôgic các

bước suy luận. Duval cho rằng có một ― khoảng cách về mặt cấu trúc‖ giữa lập luận

và chứng minh ngay cả khi chúng sử dụng các dạng kí hiệu giống nhau và cách kết

nối các mệnh đề tương tự nhau. Cấu trúc của một chứng minh có thể được mô tả bởi

một sơ đồ bậc ba: dữ liệu, phát biểu, quy tắc suy luận (tiên đề, định lý, định nghĩa)

và các bước trong chứng minh liên kết với nhau bởi một ―quá trình lặp chu kỳ‖, tức

là kết luận của một bước được xem như là điều kiện cho bước tiếp theo. Trong khi

đó, quá trình lập luận chỉ đưa ra các suy luận dựa trên nội dung. Kết quả của nghiên

cứu này hỗ trợ các quy tắc dạy học đặc biệt, dựa trên các đồ thị mệnh đề, để xây

dựng một bước suy luận.

Theo quan điểm sư phạm, chứng minh toán học là một sản phẩm phải phù

hợp với một mô hình cho trước, nhưng quan trọng là các yếu tố nội dung được học

sinh đưa vào trong quá trình xây dựng chứng minh. Mối quan hệ giữa học sinh và

chứng minh được liên kết bởi các lập luận, không phải bởi một mô hình chính thức.

Từ một quan điểm toán học, Thurston (1994, [39]) ủng hộ mô hình suy diễn trong

chứng minh. Theo Thurston, quá trình chứng minh dựa trên các tiêu chuẩn nội dung

chứ không phải dựa trên tiêu chuẩn hình thức. Nhiều ví dụ về tính liên tục đã được

quan sát trong mối quan hệ giữa một bên là các đối tượng phỏng đoán, xác định giả

thuyết hoặc đưa ra phỏng đoán mới, một bên là thực hiện thử nghiệm để đưa ra phát

biểu (Lakatos, 1976, [22]; Thurston, 1994, [39]).

Các nghiên cứu ở Ý (Boero, Garuti, Mariotti, 1996, [8]) tập trung nhấn mạnh

tính liên tục tồn tại giữa quá trình lập luận đi đến các giả thuyết và việc thiết lập một

chứng minh. Tính liên tục này gọi là tính thống nhất nhận thức. Trong quá trình giải

quyết bài toán, một giả thuyết cần được tạo ra trong lập luận. Theo giả thuyết về

tính thống nhất nhận thức, trong một số trường hợp, lập luận này có thể được các

học sinh sắp xếp lại thành một chuỗi lôgic để xây dựng một chứng minh. Các

nghiên cứu thực nghiệm liên quan đến tính thống nhất nhận thức (Boero, Garuti

.v.v., 1996, [8]) đã chỉ ra rằng, việc chứng minh sẽ dễ dàng hơn đối với học sinh

nếu các hoạt động lập luận dẫn tới việc xây dựng một giả thuyết mà từ đó có thể xây

dựng được chứng minh từ các lập luận.

Một số nghiên cứu thực nghiệm lại chỉ ra rằng một số sinh viên không thể

xây dựng được một chứng minh, ngay cả khi họ biết các định lý để xây dựng nó.

Thực tế này không phù hợp với giả thuyết thông nhất nhận thức (học sinh có thể

thực hiện liên tiếp giữa quá trình tạo ra các giả thuyết và quá trình xây dựng chứng

minh). Phân tích này chỉ ra rằng, không phải mọi trường hợp đều phù hợp với giả

thuyết về tính thống nhất nhận thức (Pedemonte, 2001, [27]; Pedemonte, 2002,

[28]). Nghiên cứu tính thống nhất nhận thức là không đủ để giải thích cho trường

hợp một số sinh viên không có khả năng xây dựng các chứng minh. Như vậy, các

nghiên cứu về tính thống nhất nhận thức mà không liên quan đến tính liên tục giữa

lập luận và chứng minh không chỉ quan trọng để làm rõ các loại liên tục được so

sánh mà nó còn rất hữu ích trong việc tìm một công cụ để phân tích mối quan hệ

nhận thức giữa lập luận và chứng minh (Pedemonte, 2005, [29]).

Để làm rõ hơn sự khác nhau giữa các kết quả nghiên cứu, Petemonte (2002,

[28]; Pedemonte, 2008, [31]) đã so sánh lập luận và chứng minh theo hai quan

điểm: hệ thống tham chiếu và cấu trúc.

Hệ thống tham chiếu được tạo thành từ hệ thống biểu đạt (ngôn ngữ, hình vẽ,

heuristic…) và hệ thống các kiến thức (khái niệm, định lý) của lập luận và chứng

minh. Việc phân tích tính thống nhất nhận thức được dựa vào hệ thống tham chiếu.

Chẳng hạn, có tính liên tục trong hệ thống tham chiếu nếu một số từ ngữ, hình vẽ,

định lý được sử dụng trong chứng minh đã được sử dụng trong quá trình lập luận hỗ

trợ cho việc hình thành giả thuyết. Ngược lại nếu lập luận và chứng minh được xây

dựng từ các yếu tố trong các lĩnh vực toán học khác nhau (chẳng hạn lập luận trong

số học và chứng minh trong đại số) thì ta nói có sự gián đoạn giữa lập luận và

chứng minh theo hệ thống tham chiếu.

Cấu trúc là sự kết nối lôgic nhận thức giữa các phát biểu (ngoại suy, quy nạp

và suy diễn). Nó bao gồm các khái niệm về sự liên tục/ gián đoạn cấu trúc giữa lập

luận và chứng minh. Trong nghiên cứu của Petemonte (2007, [30]), khi giải các bài

toán kết thúc mở trong hình học, nhiều học sinh đã không xây dựng được các chứng

minh bởi vì không thể chuyển đổi cấu trúc ngoại suy trong lập luận thành cấu trúc

suy diễn trong chứng minh, một số học sinh đã xây dựng luôn chứng minh ―ngoại

suy‖ bắt đầu từ các lập luận ngoại suy.

Tuy nhiên, theo Petemonte (2008, [31]), tính liên tục/gián đoạn cấu trúc giữa

lập luận và chứng minh không phải khi nào cũng gây khó khăn cho học sinh. Thật

vậy, khi chứng minh các bài toán kết thúc mở trong đại số, mặc dù học sinh đưa ra

lập luận ngoại suy trong quá trình lập luận đi đến giả thuyết nhưng chúng không sử

dụng chúng trong quá trình xây dựng chứng minh, bởi lẽ cấu trúc suy diễn trong

chứng minh rất rõ ràng. Trong các trường hợp đặc biệt, lập luận ngoại suy hữu ích

trong xây dựng chứng minh vì chúng hỗ trợ cho tính liên tục giữa lập luận và chứng

minh trong hệ thống tham chiếu.

Nghiên cứu trong lĩnh vực hình học nhằm phân tích mối quan hệ giữa lập

luận quy nạp và chứng minh quy nạp toán học, Petemonte (2007, [30]) đã chỉ ra

rằng việc xây dựng các chứng minh quy nạp tuỳ thuộc vào dạng khái quát đã sử

dụng trong lập luận quy nạp. Một số học sinh chỉ xây dựng được chứng minh quy

nạp toán học chỉ khi chúng sử dụng quá trình khái quát để tìm ra giải pháp xây dựng

bài toán chứng minh quy nạp toán học.

Phân tích tính liên tục nhận thức về mối quan hệ giữa quá trình lập luận quy

nạp trong số học và chứng minh suy diễn trong đại số (Martinez và Petemonte,

2014, [24]) chỉ ra rằng học sinh gặp trở ngại trọng việc chuyển đổi từ một lập luận

trong số học thành lập luận trong đại số và chuyển một lập luận quy nạp thành

chứng minh suy diễn. Học sinh chỉ xây dựng được chứng minh quy nạp toán học

khi chúng sử dụng quá trình khái quát để tìm ra giải pháp xây dựng bài toán chứng

minh quy nạp toán học. Đặc biệt, quá trình khái quát thực hiện được cả trong số học

và đại số đã rút ngắn khoảng cách nhận thức giữa lập luận và chứng minh trong hệ

thống tham chiếu.

Như vậy, trong các nghiên cứu giáo dục toán, mối liên hệ giữa lập luận và

chứng minh đã được làm rõ hơn dựa trên nội dung của giả thuyết thống nhất nhận

thức và cấu trúc giữa lập luận và chứng minh thể hiện trên nội dung của hệ thống

tham chiếu và cấu trúc giữa chúng.

1.5 Kết luận chƣơng 1

Trong chương 1, chúng tôi đã làm rõ khái niệm lập luận (suy diễn, ngoại suy

và quy nạp) và chứng minh trong toán học, mối quan hệ giữa lập luận và chứng

minh trong các nghiên cứu giáo dục toán. Đặc biệt, chúng tôi đã phân tích làm rõ

các dạng ngoại suy khác nhau dựa trên các nghiên cứu của Peirce và Eco.

Có thể nói, quá trình lập luận và chứng minh toán học liên kết với nhau một

cách chặt chẽ. Lập luận và chứng minh trong toán học đều là phương tiện thuyết

phục một đối tượng nào đó về phát biểu đưa ra. Tuy trong quá trình lập luận, phát

biểu đưa ra có thể bị bác bỏ nhưng quá trình chứng minh trong toán không thể thiếu

sự lập luận. Đặc biệt là lập luận ngoại suy, nó không những tham gia vào quá trình

phân tích các giả thiết mà còn đưa ra các ý tưởng mới hỗ trợ cho việc xây dựng các

chứng minh trong mọi lĩnh vực toán học. Với các dạng ngoại suy khác nhau, học

sinh lại đưa ra các ý tưởng khác nhau trong quá trình lập luận. Và quan trọng hơn

nữa là giữa lập luận và chứng minh còn có mối liên hệ về mặt cấu trúc nhận thức.

Cấu trúc nhận thức ở đây được thể hiện trên các khái niệm về tính liên tục/ gián

đoạn cấu trúc giữa lập luận và chứng minh. Vậy, làm thế nào để phân tích cấu trúc

lập luận và chứng minh của học sinh? Mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận

và chứng minh của học sinh được phân tích và làm sáng tỏ như thế nào?... Trong

chương 2, chúng tôi sẽ trình bày mô hình Toulmin như một cơ sở lý thuyết và một

công cụ phương pháp luận cho phép phân tích và làm sáng tỏ các vấn đề liên quan

đến cấu trúc lập luận của học sinh.

Chƣơng 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1. Mô hình Toulmin

2.1.1 Cấu trúc của lập luận theo mô hình Toulmin

Lý thuyết tam đoạn luận của Aristotle là lý thuyết đầu tiên mô tả mô hình

cấu trúc của lập luận. Cấu trúc này bao gồm: tiên đề lớn, tiên đề nhỏ và kết luận.

Theo Platin, tam đoạn luận không khám phá được kiến thức mới vì kết luận của nó

chứa trong các tiên đề. Dựa trên tam đoạn luận của Aristotle, Toulmin (1958, [40])

đề xuất một mô hình cấu trúc lập luận dạng đơn giản gọi là mô hình Toulmin cơ

bản. Trong mô hình Toulmin cơ bản, một lập luận bao gồm ba yếu tố:

 C (Claim): phát biểu kết luận

 D (Data): dữ liệu để biện minh cho phát biểu C

 W (warrant): quy tắc suy luận (nguyên lý, định lý …) cho phép

kết nối các dữ liệu D để biện minh cho phát biểu C.

Cấu trúc cơ bản của một lập luận được trình bày như hình 2.1:

Hình 2.1: Mô hình Toulmin cơ bản của một lập luận

Có thể nói, bất kì bước đầu tiên nào của một lập luận cũng được trình bày

bởi một quan điểm (một khẳng định, một ý kiến). Toulmin gọi các quan điểm đó là

các phát biểu. Hay nói cách khác đó là kết luận, là mục tiêu của lập luận. Bước thứ

hai là tìm các dữ liệu D để hỗ trợ cho phát biểu C. Các dữ liệu ở đây có thể là các

bằng chứng, sự kiện, thông tin, ví dụ… Còn W cung cấp các quy tắc hỗ trợ cho việc

thuyết phục, biện minh cho mối liên hệ giữa D và C. W ở đây có thể được trình bày

bởi một nguyên lý, hoặc một quy tắc, hoặc một định lý hoạt động như cầu nối giữa

D và C.

Tuy nhiên, các dữ liệu và quy tắc suy luận nhiều lúc không cho phép chúng

ta chắc chắn tuyệt đối về kết luận vì vậy ba yếu tố tiếp theo là B (Backing), Q

(qualifier), Re (rebuttal) được đề cập để đưa vào mô hình Toulmin như hình 2.2, gọi

là mô hình Toulmin dạng đầy đủ:

 B (Backing): hỗ trợ thêm cho các quy tắc

 Q (qualifier): bày tỏ mức độ tin cậy đối với phát biểu đưa ra. Các

trạng từ thường dùng là: ―đúng‖, ―có lẽ đúng‖, ―có khả năng‖…

 Re (rebuttal): các điều kiện ngoại lệ của phát biểu hay đưa ra điều

kiện để bác bỏ phát biểu.

Tính chắc chắn của W sẽ giảm nếu có một trường hợp nào đó ngoại lệ: trong

trường hợp này điều kiện của ngoại lệ hay sự bác bỏ cần được đưa vào. Q cũng ảnh

hưởng đến tính chắc chắn của phát biểu. B là cần thiết nếu như quy tắc suy luận đưa

ra chưa đủ thuyết phục hoặc làm rõ thêm cho quy tắc suy luận được đưa ra.

Mô hình Toulmin đầy đủ của một lập luận được trình bày như hình 2.2:

Hình 2.2: Mô hình Toulmin đầy đủ của một lập luận

2.1.2 Mô hình Toulmin trong các nghiên cứu giáo dục toán về lập luận và

chứng minh

Trong các tài liệu về giáo dục, mô hình Toulmin đã được các nhà nghiên cứu

sử dụng để phân tích và so sánh nhiều khía cạnh khác nhau liên quan đến lập luận

và chứng minh toán học.

Mô hình Toulmin được sử dụng để phân tích và ghi lại quá trình học tập

trong lớp học của học sinh (Krummehuer, 1995, [20]). Mô hình Toulmin được dùng

như là một công cụ tạo ra ngữ cảnh cho các hoạt động lập luận trong lớp (Wood,

1999, [42]).

Theo lý thuyết ngôn ngữ học (Plantin, 1990, [37]) chứng minh là một tập

hợp các luận cứ hợp lý được diễn tả như lập luận, những lập luận này cũng được

phân tích và so sánh bằng mô hình Toulmin.

Mô hình Toulmin cũng được sử dụng bởi nhiều nhà nghiên cứu trong giáo

dục toán học (Inglis, Mejia-Ramos, và Simpson, 2007, [17]; Lavy, 2006, [23]) để

kiểm tra các lập luận toán học của học sinh. Mô hình Toulmin trong các nghiên cứu

của Paolo Boero, Nadia Douek, Francesca Morselli, và Bettina Pedemonte (2010,

[26])… cũng có ý nghĩa quan trọng trong việc so sánh các lập luận của học sinh và

các chứng minh của họ từ quan điểm cấu trúc và nhận thức (Pedemonte 2005, [29];

Pedemonte, 2007, [30]; Pedemonte, 2008, [31]; Pedemonte, 2010, [32]; Pedemonte,

2014, [24]). So sánh này dựa trên giả thuyết chứng minh là một lập luận đặc biệt

trong toán học

Có thể nói, mô hình Toulmin là một công cụ phương pháp luận trong các

nghiên cứu về lập luận và chứng minh, đặc biệt là để phân tích mối liên hệ cấu trúc

giữa lập luận và chứng minh trong những năm gần đây. Trong nghiên cứu này,

chúng tôi chỉ sử dụng mô hình Toulmin cơ bản để phân tích cấu trúc của các bước

lập luận và cấu trúc của các bước chứng minh.

2.2 Phân tích quá trình lập luận và chứng minh dựa trên mô hình Toulmin

2.2.1 Tính thống nhất nhận thức giữa quá trình lập luận và chứng minh

Nhận thức là quá trình biện chứng của sự phản ánh thế giới khách quan trong

ý thức con người, nhờ đó con người tư duy và không ngừng tiến đến gần khách thể.

Tính thống nhất nhận thức được các nhà nghiện cứu ở Ý (Boero, Garuti, Mariotti,

1996, [8]) định nghĩa dựa trên sự liên tục tồn tại giữa quá trình tạo ra một phỏng

đoán và quá trình xây dựng một chứng minh. Đó là trong quá trình giải quyết một

bài toán, một hoạt động tranh luận thường được phát triển để tạo ra các phỏng đoán.

Giả thuyết về tính thống nhất nhận thức là học sinh có thể biện minh tính hợp lý của

các giả thuyết để tạo ra các lập luận và sau đó, sắp xếp, tổ chức các lập luận này

thành một chuỗi lôgic trong quá trình xây dựng chứng minh.

Theo Pedemonte (2002, [28]) có thể nhận ra tính thống nhất nhận thức (tính

liên tục) tồn tại giữa quá trình tạo ra phỏng đoán và quá trình xây dựng chứng minh

dựa trên hệ thống tham chiếu. Nó bao gồm: hệ thống biểu đạt (ngôn ngữ, hình vẽ,

heuristic …) và hệ thống kiến thức (các khái niệm và các định lý).

 Đối với hệ thống biểu đạt: tính liện tục giữa quá trình tạo ra một phỏng đoán

và quá trình xây dựng một chứng minh xảy ra nếu các từ, cụm từ, câu, các

hình vẽ, các biểu thức đại số … đã sử dụng trong quá trình tạo ra phỏng đoán

được sử dụng lại trong quá trình xây dựng chứng minh.

 Đối với hệ thống kiến thức: tính liên tục giữa quá trình tạo ra phỏng đoán và

quá trình xây dựng chứng minh xảy ra nếu các khái niệm, các định lý đã sử

dụng trong quá trình lập luận cho phỏng đoán đã đưa ra được sử dụng lại

trong quá trình xây dựng chứng minh.

Theo Pedemonte (2002, [28]) quá trình giải quyết một bài toán hình học (có

đưa ra các giả thuyết) thường bao gồm 4 giai đoạn:

1. Giai đoạn lập luận để tạo ra phỏng đoán (giả thuyết)

2. Giai đoạn ổn định quá trình xây dựng giả thuyết

3. Giai đoạn xây dựng chứng minh

4. Giai đoạn ổn định và trình bày chứng minh

Như vậy, tính thống nhất nhận thức được định nghĩa giữa giai đoạn 1 và giai

đoạn 3. Nhưng trong quá trình giải quyết bài toán sự tách biệt giữa các giai đoạn

không phải luôn luôn rõ ràng, bởi vì các lý do sau:

 Giai đoạn tạo ra phỏng đoán nhiều khi cũng tham gia vào việc biện minh

tính hợp lý của nó .

 Quá trình tạo ra phỏng đoán xảy ra nhưng không thể biện minh được tính

hợp lý của nó.

 Các phỏng đoán dùng để xây dựng chứng minh có thể được lấy trực tiếp

từ các lập luận tạo ra giả thuyết.

Do đó, tính thống nhất nhận thức được nghiên cứu trực tiếp giữa quá trình

lập luận và chứng minh. Tính thống nhất nhận thức đã được phát triển để giải thích

và dự đoán những khó khăn của học sinh khi họ tiếp cận với chứng minh. Tuy nhiên

trong quá trình thực nghiệm, nhóm nghiên cứu ở Ý (Garuti, Boero và Lemut, 1998,

[13]) đã phát hiện một sự khác biệt khác giữa quá trình lập luận và chứng minh. Sự

khác biệt này được định nghĩa là ―khoảng cách‖ giữa lập luận và chứng minh.

2.2.2 Khoảng cách giữa quá trình lập luận và chứng minh

Khoảng cách giữa quá trình lập luận và chứng minh là khoảng cách giữa việc

tạo ra lập luận hợp lý cho giả thuyết và lập luận được xây dựng trong quá trình

chứng minh. Khoảng cách giữa lập luận và chứng minh càng lớn thì càng gây khó

khăn cho học sinh trong quá trình chứng minh (Garuti, Boero và Lemut, 1998, [13]

Pedemonte, 2002, [28]). Để xác định những thách thức mà học sinh gặp phải,

Pedemonte (2002, [28]) đã nghiên cứu các dạng khoảng cách dựa trên các khía

cạnh:

 Khoảng cách về văn hoá: xác định thông qua các đối tượng không tham

gia vào quá trình chứng minh, hoặc các đối tượng không hiểu rõ sự hữu

ích, vai trò của chứng minh.

 Khoảng cách trong hệ thống tham chiếu: khoảng cách này được chỉ ra khi

tính liên tục (tính thống nhất nhận thức) giữa lập luận và chứng minh

không xảy ra hay còn được gọi là ―ngắt quãng nhận thức‖

 Khoảng cách về cấu trúc: thể hiện trên cấu trúc của lập luận, cấu trúc của

chứng minh, mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận và chứng minh.

Trong phạm vi nghiên cứu này, chúng tôi chỉ tập trung phân tích khía cạnh

cấu trúc của quá trình lập luận và chứng minh của học sinh dựa trên mô hình

Toulmin.

2.2.3 Phân tích cấu trúc giữa lập luận và chứng minh dựa trên mô hình

Toulmin

Theo Pedemonte (2007, [31]), sự kết nối lôgic giữa các phát biểu trong lập

luận khác với sự kết nối trong chứng minh. Mỗi bước trong chứng minh có thể được

mô tả như là một bước suy luận suy diễn. Nhưng cấu trúc lập luận không phải chỉ

có cấu trúc suy diễn, mà nó còn bao gồm các bước khác nhau về bản chất: đó là các

bước ngoại suy hoặc các bước quy nạp. Để phân tích làm rõ cấu trúc của lập luận và

chứng minh, chúng tôi sử dụng mô hình Toulmin cơ bản cho mỗi lập luận (hình

2.1).

Từ mô hình Toulmin cơ bản, ta có thể phân biệt và làm rõ cấu trúc của các

kiểu suy luận suy diễn, quy nạp và ngoại suy như dưới đây.

2.2.3.1 Cấu trúc của suy diễn, ngoại suy, quy nạp dựa trên mô hình Toulmin

Việc so sánh cấu trúc của lập luận và cấu trúc của chứng minh có thể được

thực hiện trực tiếp từ mô hình Toulmin. Mô hình này cho phép chúng ta xác định

các cấu trúc đó.

 Một bước suy diễn được trình bày trong mô hình Toulmin có cấu trúc như

hình 2.3:

Hình 2.3: Mô hình Toulmin của một bước LL suy diễn

Trong đó:

A ⇒ B là một quy tắc (hoặc định lý, nguyên lý…)

A: giả thiết hoặc các dữ liệu cần thiết.

B: là kết luận.

Kết luận của phát biểu được suy ra từ các dữ liệu và quy tắc suy luận cho

trước.

 Một bước ngoại suy được trình bày trong mô hình Toulmin có cấu trúc

như hình 2.4:

Hình 2.4: Mô hình Toulmin của một bước LL ngoại suy

Dấu hỏi ở trên có nghĩa là dữ liệu sẽ được tìm kiếm để có thể áp dụng quy

tắc suy luận biện minh cho phát biểu B. Mũi tên luôn hướng về kết luận vì kết luận

là đối tượng mà ta cần phải đi tìm các dữ liệu và quy tắc suy luận phù hợp để biện

minh cho nó.

Quá trình quy nạp khác với suy diễn và ngoại suy. Nó được xây dựng bằng

việc khái quát hoá (KQH) các phát biểu hoặc bằng các lập luận đã được quan sát

hay nghiên cứu. Hai quá trình quy nạp (Harel, 2001, [15]) được phân tích trên mô

hình Toulmin là:

 khái quát hoá kết quả

 khái quát hoá quá trình

 Khái quát hoá kết quả được trình bày trong mô hình Toulmin có cấu trúc

như hình 2.5:

Hình 2.5: Mô hình Toulmin của một LL quy nạp bằng KQH kết quả

Khái quát hoá kết quả chú ý đến tính quy tắc ở các kết quả có được trước

đó : E1, E2, …, En. Ở đây C là phát biểu khái quát từ các kết quả E1, E2, …,

En.

 Khái quát hoá quá trình được trình bày trong mô hình Toulmin có cấu trúc

như hình 2.6:

Hình 2.6: Mô hình Toulmin của một LL quy nạp bằng

khái quát hoá quá trình

Khái quát hoá quá trình chú ý đến tính quy tắc ở các quá trình lập luận

Ở đây C là phát biểu khái quát các quá trước đó

trình lập luận

2.2.3.2 Phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh

Phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh là phân

tích sự kết nối lôgic nhận thức giữa các phát biểu (ngoại suy, quy nạp và suy diễn).

Nó bao gồm các khái niệm về tính liên tục cấu trúc và tính gián đoạn cấu trúc giữa

quá trình lập luận và chứng minh.

 Ta nói rằng tính liên tục cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng

minh xảy ra nếu các bước trong quá trình lập luận có cùng cấu trúc

(suy diễn, ngoại suy hoặc quy nạp) với các bước trong chứng minh.

 Ngược lại, tính gián đoạn cấu trúc giữa lập luận và chứng minh xảy ra

nếu các bước trong quá trình lập luận và các bước trong chứng minh

có cấu trúc khác nhau.

Tính liên tục và gián đoạn về cấu trúc giữa lập luận và chứng minh có thể

được mô tả trong bảng 2.1

Bảng 2.1: Mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận và chứng minh

Cấu trúc của LL Cấu trúc của CM Liên tục/ gián đoạn cấu trúc

Suy diễn Suy diễn Liên tục cấu trúc

― Ngoại suy‖ Liên tục cấu trúc

Ngoại suy Suy diễn

Gián đoạn cấu trúc Kiểu khác

Quy nạp Quy nạp toán học Liên tục cấu trúc

Kiểu khác Gián đoạn cấu trúc

2.3 Mô hình Toulmin và phân tích quá trình ngoại suy

Như đã trình bày ở các phần trước, lập luận ngoại suy tham gia vào quá trình

hình thành giả thuyết và tạo ra các ý tưởng mới trong các hoạt động chứng minh

toán học của học sinh. Dựa trên các nghiên cứu của Peirce và Eco về ngoại suy,

Pedemonte (2010, [24]) đã phân tích và so sánh các dạng ngoại suy khác nhau được

học sinh sử dụng trong quá trình lập luận để xây dựng chứng minh. Pedemonte chỉ

ra rằng, một số dạng ngoại suy giúp học sinh xây dựng chứng minh một cách dễ

dàng nhưng cũng có một số dạng ngoại suy khác lại gây khó khăn, thách thức cho

học sinh trong quá trình xây dựng chứng minh.

Các dạng ngoại suy được Pedemonte phân tích dựa trên các nghiên cứu của

Peirce và Eco là: ngoại suy chưa mã hoá (undercoded abduction), ngoại suy đã mã

hoá (overcoded abduction) và ngoại suy sáng tạo (creative abduction). Pedemonte

quan sát các dạng ngoại suy trong các hoạt động toán học của học sinh và việc phân

tích các dạng ngoại suy được thực hiện trên mô hình Toulmin cơ bản (hình 2.1).

2.3.1 Đối với ngoại suy đã mã hoá

Trong ngoại suy đã mã hoá, quy tắc suy luận phù hợp nhất đã được lựa chọn.

Học sinh chỉ có nhiệm vụ phân tích giả thiết, tìm ra các dữ liệu phù hợp để xây

dựng chứng minh.

Mô hình Toulmin của lập luận ngoại suy đã mã hoá có cấu trúc như hình 2.7:

Hình 2.7: Mô hình Toulmin của một LL ngoại suy đã mã hoá

Như vậy, các lập luận liên quan đến ngoại suy đã mã hoá làm cho học sinh

dễ xây dựng chứng minh suy diễn hơn, vì các định lý (quy tắc) sử dụng trong lập

luận là đủ để giải quyết bài toán. Nếu quy tắc tồn tại như một định lý, tất cả các yếu

tố để xây dựng chứng minh đều có mặt. Theo nguyên lý về sự thống nhất nhận thức

các lập luận trước đó được học sinh sử dụng để xây dựng chứng minh nếu họ có thể

sắp xếp các lập luận thành một chuỗi logic.

Tuy nhiên vẫn có một hạn chế trong trường hợp này: nếu định lý không đủ

để thực hiện chứng minh, học sinh có thể thay đổi chiến lược giải quyết bài toán.

Điều này có thể gây khó khăn cho học sinh khi không biết đến các quy tắc phù hợp

để xây dựng chứng minh, lúc này các ngoại suy đã mã hoá có thể là một trở ngại

trong việc xây dựng chứng minh của học sinh.

2.3.2 Đối với ngoại suy chƣa mã hoá

Trong ngoại suy chưa mã hoá một vài quy tắc có vẻ hợp lý được đưa ra. Học

sinh có nhiệm vụ chọn trong số đó một quy tắc đúng và phù hợp nhất để xây dựng

chứng minh.

Mô hình Toulmin của LL ngoại suy chưa mã hoá có cấu trúc như hình 2.8 :

Hình 2.8: Mô hình Toulmin của một LL ngoại suy chưa mã hoá

Như vậy, đối với ngoại suy chưa mã hoá, học sinh phải lựa chọn một quy tắc

phù hợp và đúng nhất để xây dựng chứng minh. Điều này có khi sẽ gây khó khăn

cho học sinh nếu các dữ liệu cung cấp không đủ cho việc xây dựng chứng minh thì

học sinh có thể chọn một quy tắc khác và dẫn đến việc HS không biết quy tắc nào là

phù hợp để xây dựng chứng minh.

2.3.3 Đối với ngoại suy sáng tạo

Trong ngoại suy sáng tạo, học sinh chưa có sẵn một quy tắc nào để xây dựng

một chứng minh. Vì vậy, học sinh phải tìm kiếm và tạo ra một quy tắc mới trong

quá trình xây dựng chứng minh.

Mô hình Toulmin của lập luận ngoại suy sáng tạo có cấu trúc như hình 2.9:

Hình 2.9: Mô hình Toulmin của một LL ngoại suy sáng tạo

Như vậy, ngoại suy sáng tạo có lẽ là một dạng ngoại suy khó nhất làm cơ sở

cho một chứng minh suy diễn bởi vì cần phải kiểm tra rất nhiều để khẳng định rằng

quy tắc được tạo ra là một định lý đúng và hữu ích. Có thể xảy ra trường hợp quy

tắc tạo ra là sai. Từ đó, dẫn đến việc học sinh xây dựng một chứng minh sai.

Kết luận :

Trong ba dạng ngoại suy được sử dụng để phân tích các hoạt động toán học

mà học sinh sử dụng trong quá trình chứng minh, việc xây dựng một chứng minh

dường như dễ dàng hơn đối với học sinh khi ngoại suy được sử dụng trong quá trình

lập luận là ngoại suy đã mã hoá, bởi vì học sinh chỉ cần tìm kiếm và liên kết các dữ

liệu một cách phù hợp từ các dữ liệu đã có của bài toán Ngược lại, ngoại suy sáng

tạo và ngoại suy chưa mã hoá đòi hỏi học sinh phải tìm kiếm rất nhiều thông tin để

tham gia trong quá trình lập luận nên rất dễ gây nhầm lẫn và làm rối loạn tư duy của

học sinh. Đặc biệt là ngoại suy sáng tạo, quy tắc được học sinh tạo ra trong lập luận

ngoại suy sáng tạo ít nhất phải được chứng minh (hoặc hợp thức) trong quá trình lập

luận. Mặt khác nếu quy tắc được các học sinh tạo ra là sai, thì sẽ dẫn đến một chứng

minh sai. Như vậy, sự liên kết giữa việc tạo ra ngoại suy trong lập luận và xây dựng

chứng minh suy diễn không dễ dàng đối với học sinh. Một số dạng ngoại suy có thể

là ít gây khó khăn, giúp cho học sinh dễ dàng xây dựng chứng minh. Tuy nhiên một

số ngoại suy khác lại gây khó khăn cho học sinh. Điều này cho thấy phương pháp

giảng dạy và vai trò của giáo viên có liên quan đến khả năng lập luận để các ngoại

suy tạo ra không trở thành chướng ngại đối với học sinh trong quá trình xây dựng

chứng minh.

2.4 Vai trò của giáo viên trong quá trình lập luận của học sinh

Phân tích mối quan hệ về cấu trúc giữa lập luận và chứng minh có vai trò

quan trọng trong việc phát hiện và đánh giá những khó khăn của học sinh trong quá

trình lập luận, cũng như các thách thức mà học sinh gặp phải trong việc chuyển đổi

cấu trúc từ quá trình lập luận (ngoại suy, quy nạp, suy diễn) sang chứng minh (suy

diễn). Như đã phân tích ở trên, ta thấy rằng nếu quá trình lập luận của học sinh chứa

cấu trúc của lập luận suy diễn thì việc xây dựng một cấu trúc suy diễn trong chứng

minh là dễ dàng, nhưng nếu quá trình lập luận của học sinh là ngoại suy hoặc quy

nạp thì việc xây dựng một cấu trúc suy diễn trong chứng minh của học sinh sẽ gặp

khó khăn. Đặc biệt là cấu trúc ngoại suy có dạng chưa mã hoá và cấu trúc ngoại suy

sáng tạo. Do đó, giáo viên có vai trò quan trọng trong việc hỗ trợ, hướng dẫn, gợi ý

cho học sinh trong quá trình lập luận. Theo Pedemonte (2010, [24]):

 Giáo viên có thể gợi ý, hướng dẫn cho học sinh tìm mối liên hệ giữa

các dữ liệu đã có và hỗ trợ cho học sinh trong việc lựa chọn một quy

tắc suy luận (định lý) phù hợp để xây dựng một lập luận có cấu trúc

suy diễn;

 Giáo viên có thể gợi ý hoặc khẳng định cho học sinh một quy tắc suy

luận phù hợp nhất mà học sinh có thể lựa chọn nếu quá trình lập luận

của học sinh có cấu trúc ngoại suy chưa mã hoá;

 Nếu học sinh sử dụng cấu trúc ngoại suy sáng tạo trong lập luận, giáo

viên cũng có thể gợi ý, định hướng cho học sinh lựa chọn quy tắc

đúng.

Đặc biệt, phương pháp giảng dạy của giáo viên cũng có vai trò quan trọng

trong quá trình lập luận của học sinh, bởi nó có liên quan đến khả năng đưa ra các

giả thuyết ban đầu của học sinh trước khi bắt đầu giải quyết một bài toán

(Pedemonte, 2010, [24]). Đồng thời giáo viên cũng có vai trò trong việc thúc đẩy

các hoạt động tranh luận của học sinh. Như các nghiên cứu thực nghiệm của Boero,

Garuti và Mariotti (1996, [8]) đã chỉ ra rằng càng thúc đẩy và phát triển các hoạt

động tranh luận của học sinh sẽ giúp học sinh dễ tiếp cận với một chứng minh hơn.

2.5 Câu hỏi nghiên cứu

Các phân tích trong chương 1 cho phép chúng tôi đặt ra một số vấn đề cho

nguyên cứu. Cơ sở lý thuyết trình bày ở Chương 2 giúp chúng tôi định vị cách nhìn

khoa học đối với vấn đề nghiên cứu đặt ra và cho phép cụ thể hoá mục tiêu nghiên

cứu thành các câu hỏi nghiên cứu sau đây:

 Câu hỏi 1: Mối liên hệ về cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng

minh của học sinh được thể hiện như thế nào trong khi giải quyết các bài

toán?

 Câu hỏi 2: Các dạng ngoại suy nào được học sinh sử dụng trong quá

trình lập luận? Vai trò của các lập luận ngoại suy này được thể hiện như

thế nào?

 Câu hỏi 3: Học sinh gặp phải khó khăn như thế nào khi chuyển đổi cấu

trúc từ lập luận sang chứng minh trong quá trình giải quyết một bài toán?

2.6 Kết luận chƣơng 2

Trong chương 2, chúng tôi trình bày cơ sở lý thuyết liên quan đến mô hình

Toulmin và phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận và chứng minh dựa trên mô

hình Toulmin, phân tích các dạng ngoại suy HS có thể sử dụng trong quá trình lập

luận. Đồng thời, chúng tôi cũng nêu lên vai trò của giáo viên trong quá trình lập

luận của học sinh. Việc phân tích các yếu tố lý thuyết này cho phép chúng tôi định

vị cách tiếp cận vấn đề và xác định mục tiêu nghiên cứu, từ đó chúng tôi hình thành

các câu hỏi nghiên cứu phù hợp cho đề tài. Mô hình Toulmin cũng đóng vai trò như

công cụ phương pháp luận để chúng tôi phân tích cấu trúc lập luận và chứng minh

của học sinh thể hiện trong phần sau của luận văn.

Chƣơng 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU

3.1 Ngữ cảnh và mục tiêu

3.1.1 Ngữ cảnh

Thực nghiệm đã được tiến hành vào học kỳ 2 của năm học 2014 – 2015 trên

đối tượng gồm 16 học sinh của các trường THPT chuyên Quốc học Huế và trường

THPT Tố Hữu. Các học sinh được chọn phần lớn có kết quả học tập môn toán loại

khá trở lên. Nội dung thực nghiệm là quá trình lập luận và chứng minh của học sinh

khi giải quyết các bài toán đặt ra bởi nhà nghiên cứu.

3.1.2 Mục tiêu

Phần thực nghiệm có mục tiêu là thu thập dữ liệu cần thiết và phù hợp về:

 Mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh của học sinh khi

giải quyết các bài toán

 Các dạng ngoại suy mà học sinh sử dụng trong quá trình lập luận.

3.2 Phƣơng pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng mô hình Toulmin như là một công cụ phương pháp luận

để phân tích quá trình lập luận và chứng minh của học sinh.

Để trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đặt ra, chúng tôi tiến hành tổ chức thực

nghiệm như sau: 16 học sinh được phân thành 8 nhóm, mỗi nhóm 2 học sinh. Các

nhóm học sinh sẽ tiến hành thảo luận về các nhiệm vụ được giao trên mỗi phiếu học

tập. Sau đó, trình bày bài làm của mình vào các phiếu học tập.

Dữ liệu thu thập bao gồm các file ghi âm về quá trình thảo luận của học sinh

và bài làm của học sinh trên các phiếu học tập.

3.3. Nội dung phiếu học tập

3.3.1. Phiếu học tập 1

Họ và tên: ………………………..

Lớp: …………………

PHIẾU HỌC TẬP 1

Bài toán 1:

Cho tam giác ABC, về phía ngoải tam giác, dựng các tam giác ABD và BCE vuông

cân tại B. Hãy so sánh diện tích tam giác ABC và BDE ?

Phân tích tiên nghiệm:

Đối với bài toán này HS có thể giải quyết như sau:

Hƣớng giải Hình vẽ

1. Sử dụng công thức diện tích dạng

lƣợng giác: S = ½ absin ̂

Ta có:

2. Dựng đƣờng cao trong tam giác

Ta có:

3. Sử dụng phép quay:

Ta có:

DB là đường trung tuyến của tam giác

DEC’

Do đó:

4. Dựng hình bình hành:

Dựng hình bình hành ABCD’, ta có:

Do đó:

Với mỗi hướng giải quyết, một cấu trúc của lập luận suy diễn hoặc cấu trúc

của lập luận ngoại suy đều có thể được thiết lập bởi học sinh. Do đó, một cấu trúc

liên tục hoặc một cấu trúc gián đoạn giữa lập luận và chứng minh đều có thể xảy ra.

Phân tích cấu trúc của lập luận ngoại suy có thể xảy ra:

 Đối với hƣớng giải 1: Quan sát hình vẽ bằng trực giác hoặc các phép đo đạc,

HS có thể khẳng định diện tích hai tam giác bằng nhau, từ đó HS đi đến tìm

kiếm dữ liệu để biện minh sin ̂ = sin ̂ .

 Đối với hƣớng giải 2: Quan sát hình vẽ, bằng trực giác hoặc các phép đo

đạc, HS có thể khẳng định diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác

DBE. Mà nhận thấy đáy bằng nhau nên dựng các đường cao tương ứng và so

sánh chúng. Việc so sánh hai đường cao dẫn HS đi đến tìm kiếm dữ liệu để

lập luận tam giác CHB bằng tam giác EKB

Phân tích cấu trúc của lập luận suy diễn có thể xảy ra :

 Đối với hƣớng giải 1: Từ các giả thiết đã cho của bài toán, HS lập luận sin

ABC = sin DBE, sử dụng công thức diện tích dạng lượng giác, HS kết luận

diện tích hai tam giác cần so sánh bằng nhau

 Đối với hƣớng giải 2: HS dựng các đường cao CH và EK. Sau đó chứng

minh tam giác BCH bằng tam giác EKB và suy ra CH = EK. Từ đó đi đến

kết luận diện tích hai tam giác bằng nhau.

 Đối với hƣớng giải 3: Sử dụng phép quay tâm B, góc quay 900, HS có thể

suy ra diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BDC’, sử dụng tính

chất đường trung tuyến, HS suy ra diện tích tam giác BDC’ bằng diện tích

tam giác DBE. Từ đó đi đến kết luận diện tích hai tam giác cần so sánh bằng

nhau.

 Đối với hƣớng giải 4: Dựng hình bình hành ABCD’, HS lập luận được diện

tích tam giác DBE bằng diện tích tam giác BAD’ và diện tích tam giác ABC

bằng diện tích tam giác BAD’ nên diện tích hai tam giác cần so sánh bằng

nhau.

Dự đoán về việc thiết lập cấu trúc giữa lập luận và chứng minh của học sinh:

 Từ các lập luận suy diễn, học sinh sẽ dễ dàng xây dựng một chứng minh suy

diễn. Khi đó tính liên tục cấu trúc giữa lập luận và chứng minh được hình

thành

 Từ các lập luận ngoại suy, HS có thể chuyển thành các lập luận suy diễn để

xây dựng một chứng minh suy diễn. Khi đó tính gián đoạn cấu trúc giữa lập

luận và chứng minh được hình thành.

Hƣớng Cấu trúc Cấu trúc của Liên tục / gián Dự đoán về khả

giải của LL CM đoạn cấu trúc năng thiết lập CM

Suy diễn Suy diễn Liên tục cấu trúc Dễ dàng xây dựng

chứng minh 1

Suy diễn Ngoại Gián đoạn cấu trúc Có khả năng xây dựng

suy chứng minh ―Ngoại suy‖ Liên tục cấu trúc

Suy diễn Suy diễn Liên tục cấu trúc Dễ dàng xây dựng

chứng minh 2

Suy diễn Ngoại Gián đoạn cấu trúc Có khả năng xây dựng

suy chứng minh ―Ngoại suy‖ Liên tục cấu trúc

3 Suy diễn Suy diễn Liên tục cấu trúc Dễ dàng xây dựng

chứng minh

4 Suy diễn Suy diễn Liên tục cấu trúc Dễ dàng xây dựng

chứng minh

Dự đoán về việc sử dụng các dạng ngoại suy của học sinh:

 Theo hướng giải 1 (có cấu trúc ngoại suy): HS có thể chỉ sử dụng công thức

lượng giác sinx = sin(1800-x) để đi đến kết luận sin ̂ = sin ̂, tức là HS

chỉ tìm các dữ liệu để biện minh cho kết luận theo quy tắc trên. Do đó, HS có

thể hình thành nên lập luận có cấu trúc của dạng ngoại suy chƣa mã hoá.

 Theo hướng giải 2 (có cấu trúc ngoại suy): HS có thể sử dụng một trong các

quy tắc sau để đi đến kết luận .

Quy tắc 1: hai tam giác bằng nhau theo trường hợp : cạnh - cạnh – cạnh

Quy tắc 2: hai tam giác bằng nhau theo trường hợp: cạnh - góc – cạnh

Quy tắc 3: hai tam giác bằng nhau theo trường hợp : góc - cạnh – góc .v.v.

Do đó, HS có thể hình thành nên lập luận có cấu trúc của dạng ngoại suy

chƣa mã hoá.

Đặc biệt, HS cũng có thể tạo ra một quy tắc nào đó và lập luận để đi đến kết

luận . Khi đó, ta có cấu trúc của ngoại suy sáng tạo.

3.3.2. Phiếu học tập 2

Họ và tên : ……………………………….

Lớp: …………………

PHIẾU HỌC TẬP 2

Bài toán 2: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Trên nửa mặt phẳng bờ

AC, dựng các hình vuông ABEF và BCDG. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AG và CE. Hỏi tam giác MBN là tam giác gì? Tại sao?

Phân tích tiên nghiệm

Với bài toán này, HS có thể giải quyết như sau:

Hƣớng giải Hình vẽ

1. Sử dụng phép quay

N là trung điểm của EC

M là trung điểm của AG

Do đó: tam giác NBM vuông cân tại B

2. Sử dụng các dữ liệu ban đầu của

bài toán

(1)

̂ ̂ ( )

̂ ̂ ̂ (2)

Từ (1), (2) suy ra tam giác NBM vuông

cân tại B.

Các hướng giải ở trên có thể được học sinh hình thành theo một quá trình lập

luận kiểu suy diễn hoặc ngoại suy.

Phân tích cấu trúc lập luận suy diễn có thể xảy ra :

 Đối với hƣớng giải 1: HS lập luận được phép quay tâm B góc quay 900 biến

M thành N nên kết luận tam giác BMN vuông cân tại B.

 Đối với hƣớng giải 2: Từ các giả thiết đã cho của bài toán, HS lập luận tam

giác ABG bằng tam giác EBC để suy ra BN = BM, và tìm mối liên hệ giữa

các góc và đi đến kết luận ̂ nên kết luận tam giác BMN vuông

cân.

Phân tích cấu trúc lập luận ngoại suy có thể xảy ra (theo hƣớng giải 2):

Quan sát hình vẽ hoặc bằng đo đạc, học sinh có thể khẳng định tam giác

BMN vuông cân, từ đó đi đến việc tìm kiếm dữ liệu để kết luận BM = BN và

Dự kiến về tính liên tục/gián đoạn về cấu trúc giữa lập luận và chứng minh của

học sinh:

 Từ các lập luận suy diễn, học sinh sẽ dễ dàng xây dựng một chứng minh suy

diễn. Khi đó tính liên tục cấu trúc giữa lập luận và chứng minh được hình

thành

 Từ các lập luận ngoại suy, HS có thể chuyển thành các lập luận suy diễn để

xây dựng một chứng minh suy diễn. Khi đó tính gián đoạn cấu trúc giữa lập

luận và chứng minh được hình thành.

Hƣớng Cấu trúc Cấu trúc của Liên tục/ gián Dự đoán về khả

giải của LL CM đoạn cấu trúc năng thiết lập CM

1 Suy diễn Suy diễn Liên tục cấu trúc Dễ dàng xây dựng

chứng minh

Suy diễn Suy diễn Liên tục cấu trúc Dễ dàng xây dựng

chứng minh

2 Suy diễn Ngoại Gián đoạn cấu trúc Có khả năng xây dựng

suy chứng minh ―Ngoại suy‖ Liên tục cấu trúc

Dự đoán về việc sử dụng các dạng ngoại suy của HS:

 Theo hƣớng giải 2 (có cấu trúc ngoại suy): HS chỉ sử dụng định nghĩa phép quay (phép quay tâm B, góc quay 900) đi đến kết luận tam giác BMN

vuông cân. Do đó, HS có thể hình thành cấu trúc của ngoại suy đã mã hoá.

 Theo hƣớng giải 2 (có cấu trúc ngoại suy): HS có thể sử dụng các quy tắc

như định lý đảo của định lý Pytago; ̂ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .v.v. để

chứng minh tam giác MBN vuông và sử dụng các quy tắc như: BN = BM;

̂ ̂ ; đường trung tuyến đồng thời là đường cao (đường phân giác,

đường trung trực) hoặc ngược lại … để chứng minh tam giác MBN cân. Do

đó, HS có thể hình thành cấu trúc của lập luận ngoại suy chƣa mã hoá.

Đặc biệt, HS cũng có thể tạo ra một quy tắc nào đó để đi đến kết luận tam

giác MBN vuông cân. Khi đó, ta có cấu trúc của lập luận ngoại suy sáng

tạo.

3.3.3. Phiếu học tập 3

Họ và tên: ………………………………………

Lớp: ……………………………………………

PHIẾU HỌC TẬP 3

Bài toán 3:

Cho các hình vẽ sau:

Hỏi hình n sẽ có bao nhiêu hình tam giác? Giải thích?

Phân tích tiên nghiệm:

 Hƣớng giải quyết: HS đếm số hình tam giác của các hình vẽ đã cho và tìm

quy luật về số tam giác giữa các hình để đi đến kết luận H(n) = 4n -3.

Số hình tam giác có trong hình 1 là H (1) = 1

Số hình tam giác có trong hình 2 là H(2) = 5 = H(1)+4 = 1+4

Số hình tam giác có trong hình 3 là H(3) = 9 = H(2)+4 = 1+4+4

Số hình tam giác có trong hình 4 là H(4) = 13= H(3)+4 = 1+4+4+4

…

Số hình tam giác có trong hình n là H(n) = 1+4(n-1) = 4n-3

Cách giải này có thể được học sinh hình thành theo một quá trình lập luận

quy nạp bằng khái quát hoá (khái quát hoá kết quả hoặc khái quát hoá quá trình).

 Phân tích một lập luận quy nạp có thể xảy ra bằng khái quát hoá kết

quả

 Phân tích một lập luận quy nạp có thể xảy ra bằng khái quát hoá quá

trình

Từ các kết quả có được, học sinh có thể xây dựng một chứng minh quy nạp

toán học như sau :

 Chứng minh: H(n)= 4n-3 (*)

Với n =1 ta có : H(1) = 4.1-3 =1 nên (*) đúng

Giả sử (*) đúng với n = k tức là H(k) = 4k-3.

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1

Ta có: H(k+1) = H(k) + 4 = 4k - 3 + 4 = 4k+1 ⇒ (*) đúng với mọi n.

 Phân tích cấu trúc chứng minh dựa theo mô hình Toulmin

Dự đoán về việc thiết lập một chứng minh theo hƣớng giải trên: học sinh có thể

dễ dàng xây dựng một chứng minh quy nạp toán học dựa vào lập luận quy nạp bằng

khái quát hoá quá trình, nhưng gặp khó khăn khi xây dựng một chứng minh quy nạp

dựa vào lập luận quy nạp bằng khái quát hoá kết quả. HS có thể thiết lập cấu trúc

giữa lập luận và chứng minh như sau:

Cấu trúc của Cấu trúc Liên tục/ Dự đoán khả năng thiết lập

LL của CM gián đoạn chứng minh của học sinh

cấu trúc

Quy Quy nạp Liên tục cấu Một chứng minh có thể sẽ dễ dàng

nạp toán học trúc được xây dựng Quá

bằng trình Không xây dựng được chứng minh Gián đoạn khái cấu trúc quát

hoá Kết Quy nạp Liên tục cấu Có khả năng để xây dựng chứng

quả toán học trúc minh

Không xây dựng được chứng minh Gián đoạn

cấu trúc

3.3.4. Phiếu học tập 4

Họ và tên: …………………………………….

Lớp: ……………………

PHIẾU HỌC TẬP 4

Bài toán 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, SO vuông góc với đáy. Gọi I, J

lần lượt là trung điểm của AB và BC.

Đường thẳng IJ có vuông góc mp (SBD) không? Tại sao?

Phân tích tiên nghiệm:

Đối với bài toán này HS có thể giải quyết như sau:

Hƣớng giải Hình vẽ

1. Sử dụng định nghĩa giữa đƣờng

thẳng và mặt phẳng

IJ⊥ BD và IJ⊥SO ⇒ IJ⊥(SBD)

2. Sử dụng mối liên hệ về quan hệ

song song và quan hệ vuông góc

giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng

IJ ∥AC và AC⊥ (SBD) ⇒ IJ ⊥(SBD)

3. Sử dụng phƣơng pháp toạ độ trong

không gian

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như sau: Gốc

O trùng với tâm của hình thoi, trục Ox đi

qua OB, trục Oy đi qua OC, Oz đi qua

OS. Khi đó: B(b, 0, 0), C(0,c,0),

S(0,s,0), D(-b, 0, 0), A(0, -c, 0), I(b/2, -

c/2, 0), J(b/2, c/2 ,0).

Ta có: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒IJ ⊥ BD và ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⇒ IJ ⊥ BS. Do đó: IJ ⊥ (SBD)

Với mỗi hướng giải quyết, cấu trúc của lập luận suy diễn hoặc cấu trúc của

lập luận ngoại suy đều có thể được thiết lập bởi học sinh.

Phân tích cấu trúc lập luận ngoại suy có thể xảy ra:

 Đối với hƣớng giải 1: Quan sát hình vẽ bằng trực giác, HS có thể khẳng

định đường thẳng IJ vuông góc với mp(SBD). Mà nhận thấy IJ vuông góc

với SO. Từ đó đi đến việc tìm kiếm các dữ liệu để IJ vuông góc với BD

 Đối với hƣớng giải 2: Quan sát hình vẽ bằng trực giác, HS có thể khẳng

định đường thẳng IJ vuông góc với mp(SBD). Mà nhận thấy AC vuông góc

với BD. Từ đó đi đến việc tìm kiếm các dữ liệu để lập luận AC vuông góc

với mp(SBD) và IJ song song với AC

Phân tích cấu trúc lập luận suy diễn có thể xảy ra:

 Đối với hƣớng giải 1: HS lập luận được IJ vuông góc với BD và IJ vuông

góc với SO nên đi đến kết luận IJ vuông góc với mp( SBD)

 Đối với hƣớng giải 2: HS lập luận được IJ song song với AC và AC vuông

góc với mp(SBD) nên đi đến kết luận IJ vuông góc với mp(SBD).

 Đối với hƣớng giải 3: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như sau: Gốc O trùng với

tâm của hình thoi, trục Ox đi qua OB, trục Oy đi qua OC, Oz đi qua OS. HS

tìm toạ độ các điểm của hình chóp và tính tích vô hướng của ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ từ

đó đi đến kết luận IJ vuông góc với mp(SBD)

Dự kiến về tính liên tục/ gián đoạn cấu trúc giữa lập luận và chứng minh của

học sinh:

 Từ các lập luận suy diễn, học sinh sẽ dễ dàng xây dựng một chứng minh suy

diễn. Khi đó tính liên tục cấu trúc giữa lập luận và chứng minh được hình

thành.

 Từ các lập luận ngoại suy, HS có thể chuyển thành các lập luận suy diễn để

xây dựng một chứng minh suy diễn. Khi đó tính gián đoạn cấu trúc giữa lập

luận và chứng minh được hình thành.

Hƣớng Cấu trúc Cấu trúc Liên tục/ gián đoạn Dự đoán khả năng

giải của LL của CM cấu trúc thiết lập CM

1 Suy diễn Suy diễn Liên tục cấu trúc Dễ dàng xây dựng

được chứng minh

Ngoại suy Suy diễn Gián đoạn cấu trúc Có khả năng xây

dựng được chứng ―Ngoại suy‖ Liên tục cấu trúc minh

2 Suy diễn Suy diễn Liên tục cấu trúc Dễ dàng xây dựng

được chứng minh

Ngoại suy Suy diễn Gián đoạn cấu trúc Có khả năng xây

dựng được chứng ―Ngoại suy‖ Liên tục cấu trúc minh

3 Suy diễn Suy diễn Liên tục cấu trúc Dễ dàng xây dựng

được chứng minh

Dự đoán việc sử dụng các dạng ngoại suy của HS:

 Theo hƣớng giải 1 (có cấu trúc ngoại suy): HS có thể chỉ sử dụng định nghĩa

đường thằng vuông góc với mặt phẳng và tìm kiếm dữ liệu phù hợp để đi đến

kết luận. Do đó, HS có thể hình thành nên cấu trúc của ngoại suy đã mã

hoá.

 Theo hƣớng giải 1, 2 (có cấu trúc ngoại suy): HS có thể sử dụng một trong

các quy tắc sau để đi đến kết luận IJ song song với AC

Quy tắc 1: tính chất đường trung bình

Quy tắc 2: cặp góc so le trong, căp góc đồng vị

Quy tắc 3: mối liên hệ giữa song song và vuông góc .v.v.

Do đó, HS có thể hình thành cấu trúc của ngoại suy chƣa mã hoá.

Đặc biệt, HS cũng có thể tạo ra một quy tắc nào đó để đi đến kết luận đường

thẳng IJ vuông góc với mp(SBD). Khi đó, cấu trúc lập luận của HS có dạng

của ngoại suy sáng tạo.

3.4 Kết luận chƣơng 3

Chương này đóng vai trò phương pháp luận của nghiên cứu. Trong chương

này, chúng tôi đã trình bày ngữ cảnh, mục tiêu và phương pháp nghiên cứu của thực

nghiệm. Sau đó, chúng tôi đã tiến hành phân tích tiên nghiệm các bài toán trong các

phiếu học tập. Các phân tích này cung cấp cái nhìn tổng quan về các bài toán được

đưa ra cho học sinh, cũng như làm cơ sở để đối chiếu và phân tích sau thực nghiệm

ở chương 4.

Chƣơng 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Trong chương này chúng tôi mô tả lại các kết quả định tính từ các đoạn trích

được ghi âm và các phiếu học tập của học sinh. Dựa trên các đoạn trích được ghi

âm và các phiếu học tập, chúng tôi sẽ phân tích theo hai hướng :

 Mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh

 Các kiểu ngoại suy mà học sinh đã sử dụng trong quá trình lập luận.

4.1. Phân tích bài làm của học sinh

Mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận và chứng minh: Chúng tôi tiến hành

phân tích tất cả các đoạn trích đã được ghi âm từ học sinh, sử dụng mô hình

Toulmin, chúng tôi xác định cấu trúc của các lập luận mà học sinh sử dụng trong

các đoạn trích. Tiếp theo, chúng tôi phân tích các bài làm của học sinh trên các

phiếu học tập mà HS đã thực hiện nhằm xem xét cấu trúc chứng minh mà học sinh

đã thể hiện. Sau đó, chúng tôi kết luận về mối quan hệ cấu trúc giữa quá trình lập

luận và chứng minh của học sinh bao gồm : tính liên tục về cấu trúc giữa lập luận

và chứng minh và tính gián đoạn về cấu trúc giữa lập luận và chứng minh

Các dạng ngoại suy được HS sử dụng: Chúng tôi tiến hành lựa chọn một số

đoạn ghi âm có cấu trúc ngoại suy đã được phân tích ở trên. Dựa vào đó chúng tôi

xác định các kiểu ngoại suy mà học sinh đã sử dụng.

4.1.1 Mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận và chứng minh

Chúng tôi tiến hành như sau: lập bảng gồm hai cột, cột bên trái, chúng tôi

phân tích các lập luận của học sinh trong quá trình thảo luận và bài làm của học sinh

trên các phiếu học tập. Cột bên phải, sử dụng mô hình Toulmin, chúng tôi tiến hành

phân tích cấu trúc lập luận và chứng minh của học sinh. Sau đó, chúng tôi xác định

mối liên hệ về cấu trúc giữa lập luận và chứng minh như sau:

Tính liên tục cấu trúc giữa lập luận và chứng minh: tính liên tục này xảy

ra nếu các bước trong quá trình lập luận có cùng cấu trúc (suy diễn, ngoại suy hoặc

quy nạp) với các bước trong chứng minh.

Tính gián đoạn cấu trúc giữa lập luận và chứng minh: tính gián đoạn xảy

ra nếu các bước trong quá trình lập luận và các bước trong chứng minh có cấu trúc

khác nhau.

4.1.1.1 Bài toán 1:

Bài toán 1:

Cho tam giác ABC, về phía ngoải tam giác dựng các tam giác ABD và BCE vuông

cân tại B. Hãy so sánh diện tích tam giác ABC và BDE?

Bài làm của Thu Sƣơng – Huyền Trang: Lập luận ngoại suy và chứng minh suy

diễn( tính gián đoạn cấu trúc)

HS sử dụng công thức diện tích tam giác bằng ½ tích hai cạnh kề nhau nhân

với cosin góc xen giữa hai cạnh đó. HS khẳng định để diện tích hai tam giác bằng

nhau thì phải chứng minh sin ̂ = sin ̂.

Lập luận của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

1. S: Cho tam giác ABC, vẽ đi! Hình vẽ của học sinh

2. T: Rồi

3. S: Về phía ngoài tam giác dựng tam

giác ABD

4. T: ABD

5. S: ABD vuông cân và BCE vuông

cân, hai tam giác đều vuông cân tại

HS quan sát hình vẽ khẳng định diện 6. T: Tại B, vuông cân tại B

tích hai tam giác bằng nhau. HS nhận 7. S: So sánh diện tích tam giác ABC

thấy AB = BD và BC = BE nên sử dụng và BDE

công thức diện tích tam giác bằng ½ 8. T: Diện tích bằng nhau !

tích hai cạnh kề nhau nhân với cosin 9. S: Nối ABD đi! đánh dấu vuông cân.

góc xen giữa hai cạnh đó 10. T: AB bằng BD, BC bằng BE…

mình sử dụng công thức diện tích

bằng ½ tích hai cạnh nhân với sin C1: Diện tích tam giác ABC bằng:

góc xen giữa? Diện tích tam giác SABC = ½ AB.BC.sin ̂ ABC bằng ½ nhân với AB.BC nhân C2: Diện tích tam giác BDE bằng: sin góc ABC.

SBDE = ½ BD.BE. sin ̂ 11. S: Diện tích của tam giác BDE bằng

½ nhân BD nhân BE nhân sin DBE.

…

13. S: Cần so sánh hai sin bằng nhau là

được.

HS khẳng định diện tích tam giác ABC

bằng diện tích tam giác BDE thì sin

̂ = sin ̂.

Sau đó, HS tìm kiếm dữ liệu để biện 14. T: Có là, bên này là sin ABC, bên

minh cho khẳng định sin ̂ =

sin ̂ này là sin DBE. Có 4 góc này cộng lại là 3600 đó là ABC cộng góc ABD

C5: ̂ ̂ ̂ ̂

cộng góc DBE cộng góc EBC là bằng 3600 mà hai góc vuông. (trong đó: ̂ ̂ )

HS sử dụng công thức lượng giác của

hai góc bù nhau: để 15. S: Hai góc còn lại là ABC và DBE. 16. T: là sẽ bằng 3600 trừ 1800 là do hai góc vuông, mà có sina= sin(1800-a),

hai góc bù nhau, sin của hai góc bù suy ra sin ̂ = sin ̂

nhau bằng nhau, được chưa?

17. S: Ừ

18.T: Suy ra sinABC = sin DBE.

Lập luận của HS ở trên có cấu trúc ngoại suy. Bằng việc khẳng định diện tích

hai tam giác bằng nhau qua quan sát hình vẽ, dựa vào công thức tính diện tích tam

giác (S = ½ absin ̂), HS khẳng định sin ̂ = sin ̂. Sau đó, HS đã tìm kiếm

các dữ liệu để biện minh cho khẳng định sin ̂ = sin ̂.

Sau khi dữ liệu đã tìm thấy, HS đã xây dựng một chứng minh như sau:

Chứng minh của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

Sử dụng công thức lượng giác

, HS kết luận sin

̂ = sin ̂.

Nhận thấy rằng, chứng minh của học sinh đều chứa các lập luận có cấu trúc

suy diễn (HS đưa ra các dữ liệu để kết luận sin ̂ = sin ̂, từ đó dựa vào công

thức diện tích tam giác dạng lượng giác, HS kết luận diện tích hai tam giác ABC và

BDE bằng nhau). Như vậy, từ các lập luận có cấu trúc ngoại suy, học sinh đã xây

dựng một chứng minh có cấu trúc suy diễn. Tức là, HS đã chuyển các lập luận có

cấu trúc ngoại suy thành các lập luận có cấu trúc suy diễn trong chứng minh. Do đó,

quá trình lập luận và chứng minh của học sinh có sự gián đoạn về cấu trúc. Ở đây,

phép ngoại suy trong quá trình lập luận đã hỗ trợ học sinh thiết lập được một chứng

minh suy diễn.

Bài làm của Hợp - Hải Tuấn: Lập luận ngoại suy và chứng minh ―ngoại suy”

( tính liên tục cấu trúc)

Học sinh sử dụng công thức diện tích tam giác bằng một phần hai đường cao

nhân với cạnh đáy tương ứng để so sánh diện tích hai tam giác. HS nhận thấy hai

tam giác cần so sánh có hai cạnh bằng nhau nên đã dựng các đường cao tương ứng

(đường cao EH và CK). Sau đó HS tìm kiếm các dữ liệu để suy ra hai đường cao

bằng nhau và kết luận diện tích hai tam giác bằng nhau.

Lập luận của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

10. Tuấn: Mình sử dụng diện tích tam giác HS nhận thấy hai tam giác cần so

sẽ bằng đường cao, cạnh đáy nhân với sánh có hai cạnh bằng nhau (BD =

đường cao tương ứng, mà giờ mình có BA) nên dựng hai đường cao EH

cạnh BD, BD bằng với AB rồi. và CK tương ứng.

11. Hợp: Ừ Hình vẽ của học sinh:

12. Tuấn: giờ mình chỉ cần vẽ đường cao,

hạ đường cao tương ứng với hai cạnh

đáy nữa và so sánh chúng với nhau, là

biết diện tích hai tam giác ABC và

BDE.

….

22 Hợp: là có đáy bằng nhau rồi

23. Tuấn: giờ chỉ cần so sánh hai đường

cao là biết diện tích thôi.

HS lập luận vì đáy bằng nhau nên 24. Hợp: Ừ. cần so sánh hai đường cao EH và …. CK

28. Hợp: À, giờ chứng minh EH bằng CK,

mình tìm xem có hai tam giác nào bằng

nhau không?

29. Tuấn: Xem tam giác BCK với BEH có

bằng nhau không?

30. Hợp: Có góc vuông này, đường cao,

góc vuông.

31. Tuấn: rồi

32. Hợp: BE bằng BC, giả thiết.

33. Tuấn: giờ mình cần chứng minh thêm

HS biện minh hai đường cao EK và một cạnh hoặc một góc nữa bằng nhau

CH bằng nhau bằng việc tìm kiếm 34. Hợp: cạnh này. Chắc không được rồi,

các dữ liệu để biện minh hai tam cạnh không có bằng nhau, góc xem ?

giác BCK và tam giác BEH bằng …

nhau. 36 Hợp: KBC

37. Tuấn: bù với góc, bù với góc DBE.

…

42. Hợp: BDE, à rồi rồi

43. Tuấn: hai góc ấy bù với nhau, trong

tam giác EBH cũng có góc EBH cũng

bù với góc DBE.

44. Hợp: DBE, à rồi

45. Tuấn: Nên mình suy ra được góc EBH

bằng góc KBC.

Ở đây, các lập luận của học sinh có cấu trúc ngoại suy. Trong các lập luận

của học sinh có ba lập luận ngoại suy được xây dựng. Để so sánh diện tích hai tam

giác ABC và BDE thì so sánh hai đường cao EH và CK (khẳng định C1). Việc so

sánh EK và CK dựa vào hai tam giác BCK và BEH. HS tìm kiếm dữ liệu để lập

luận hai hai tam giác BCK và BEH bằng nhau (khẳng định C3).

Sau khi dữ liệu đã được tìm thấy, HS đã xây dựng chứng minh, nhưng HS

xây dựng một chứng minh có cấu trúc ―ngoại suy‖ vì trong chứng minh của học

sinh còn tồn tại cấu trúc của một lập luận ngoại suy.

Chứng minh của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

C1: SABC = ½ AB.CK

C2: SBDE = ½ BD.EH

Như vậy, quá trình lập luận và chứng minh của học sinh có sự liên tục về cấu

trúc vì trong quá trình lập luận, các lập luận của học sinh có cấu trúc ngoại suy và

trong quá trình chứng minh, cấu trúc của lập luận ngoại suy vẫn còn tồn tại. Ở đây,

có thể nói, học sinh vẫn gặp khó khăn trong việc chuyến đổi một lập luận ngoại suy

thành một lập luận suy diễn.

Bài làm của Thuỳ Vân - Cẩm Tiên: Lập luận ngoại suy và chứng minh suy diễn

(tính gián đoạn về cấu trúc)

Để so sánh diện tích của hai tam giác ABC và BDE, HS đã dựng đường cao

AK và DF và so sánh hai đường cao này vì HS đã thấy được hai tam giác cần so

sánh diện tích có hai cạnh đáy bằng nhau.

Lập luận của HS Phân tích bằng mô hình Toulmin

7. Vân: Có liên quan đến diện tích, HS thấy rằng hai tam giác ABC và

vuông và bằng nhau, cạnh bằng cạnh BDE có BA = BD, BC = BE nên dựng

chắc là vẽ đường cao ở đây. đường cao AK và DF tương ứng với

8. Tiên: Vẽ đường cao tam giác phải hai cạnh đáy BC và BE để chứng minh

không ? Hình vẽ của học sinh

…

12. Vân: BD = BA, … lạ kỳ chưa. À,

muốn tính cái này là mình vẽ đường

cao ở đây, bởi vì liên quan đến tam

giác này, mình vẽ đường cao ở đây,

thì có đường này bằng tam giác bên

này và bên này cũng có một đường

bằng tam giác bên này.

20. Tiên: À. Đúng rồi, mình thử lấy

cạnh đáy là cạnh này, hai cạnh này là

một rồi, mình thử dựng đường cao rồi

chứng minh.

Vân: Ừ 21. C1 Diện tích của tam giác BDF là:

22. Tiên: S của BDE bằng ½ DF

nhân với BE, S của ABC bằng ½ BC C2: Diện tích của tam giác ABC là: nhân với AK. Từ từ, hai cạnh này

bằng nhau, phải chứng minh thêm hai

đường.

HS khẳng định diện tích của tam giác …

ABC bằng diện tích tam giác BDE mà 30. Tiên: Mình cần hai diện tích bằng

có hai cạnh đáy bằng nhau nên đã tìm nhau, thì mình cần chứng minh cái

dữ liệu để biện minh hai đường cao AK này, chứ liên quan đến hình đó làm

và DF bằng nhau gì?

31. Vân: Vậy họ cho hai cạnh này bằng C3: Diện tích hai tam giác ABC và

DBE bằng nhau nhau làm gì?

32. Tiên: Oh, bạn nói rồi, họ cho hai cái

cạnh bằng nhau để mình tính diện

tích này, có hai cạnh bằng nhau rồi,

mình cần chứng minh hai đường cao

bằng nhau, là bằng nhau giờ mình có C4: Hai đường cao DF và AK bằng

BE = BC rồi này. nhau

33. Vân: À…

34. Tiên: Mình cần chứng minh DF và

AK bằng nhau nữa thôi, là xong. Bạn

Để biện minh cho khẳng định AK = DF nói chứng minh hai tam giác ABK và

HS lại tìm kiếm dữ liệu để biện minh DBF … cạnh này rồi, có góc vuông,

cho phát biểu hai tam giác ABK và cạnh này với thêm gì nữa?

DBF bằng nhau

C5: Hai tam giác ABK và DBF bằng

nhau

Học sinh khẳng định diện tích hai tam giác ABC và BDE bằng nhau, mà có

hai cạnh đáy bằng nhau, từ đó HS tìm dữ liệu và quy tắc để biện minh rằng hai

đường cao bằng nhau. Đây là một lập luận có cấu trúc ngoại suy (khẳng định C4).

Tiếp theo học sinh tìm dữ liệu để chứng minh hai tam giác ABK và DBF bằng nhau

nhằm biện minh cho khẳng định hai đường cao AK và DF bằng nhau. Ở đây, ta

cũng có cấu trúc của lập luận ngoại suy (khẳng định C5). Như vậy, các lập luận của

học sinh đều có cấu trúc ngoại suy. Sau khi đã tìm được các dữ liệu cần thiết, HS đã

xây dựng chứng minh như sau:

Chứng minh của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

Ta thấy rằng, trong chứng minh của học sinh, các lập luận đều có cấu trúc

suy diễn (đưa ra các dữ liệu để chứng minh hai tam giác BDF và BAK bằng nhau,

từ đó suy ra hai đường cao AK và DF bằng nhau, mà có hai cạnh đáy bằng nhau,

HS kết luận diện tích hai tam giác cần so sánh bằng nhau). Như vậy, từ các lập luận

có cấu trúc ngoại suy, học sinh đã xây dựng một chứng minh có cấu trúc suy diễn.

Tức là, HS đã chuyển các lập luận có cấu trúc ngoại suy trong lập luận thành các lập

luận có cấu trúc suy diễn trong chứng minh. Do đó, quá trình lập luận và chứng

minh của học sinh có sự gián đoạn về cấu trúc. Phép ngoại suy ở đây đã hỗ trợ cho

học sinh thiết lập được một chứng minh suy diễn.

4.1.1.2 Bài toán 2:

Bài toán 2: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Trên nửa mặt phẳng bờ

AC, dựng các hình vuông ABEF và BCDG. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AG và CE. Hỏi tam giác MBN là tam giác gì? Tại sao?

Phân tích bài làm của Linh- Thắng: Lập luận suy diễn và chứng minh suy diễn

(Liên tục cấu trúc)

Sử dụng phép quay, học sinh dựa vào các dữ liệu đã có lập luận tam giác

BMN vuông cân và xây dựng một chứng minh suy diễn

Lập luận của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

1. Linh: Cho ba điểm A, B, C thẳng Hình vẽ của học sinh

hàng theo thứ tự

2. Thắng: Rồi

3. Linh.: Trên nửa mặt phẳng bờ AC

dựng hình vuông ABEF, BCDG

4. Thắng: BCDG…

5. Linh: Gọi M, N. M là trung điểm của

AG, N là trung điểm của CE.

…

13. Linh: bài này có thể dùng phép

quay thì phải, vì cho hai hình vuông.

À, tam giác ABG dựng lên là tam giác Sử dụng phép quay tâm B góc quay 900,

HS đã đưa ra các lập luận và kết luận

tam giác BMN vuông cân tại B BEC. Phép quay ngược chiều kim đồng hồ là 900, cùng chiều kim đồng hồ là – 900. Phải không?

14.

15. Thắng: Ừ, phép quay tâm B Linh: Tâm B góc quay 900, biến

E thành A, C thành G. Được chưa?

Thắng: ừ 16.

Linh: Mà M là trung điểm của 17.

AG, N là trung điểm của EC nên suy

ra phép quay cũng biến N thành M

Thắng: Ừ 18.

19.

Linh: Suy ra BM = BN, do phép quay góc 900 nên góc MBN cũng bằng 900. Suy ra tam giác BMN

vuông cân, vuông cân tại B

20. Thắng: ừ, đúng rồi.

Các bước lập luận của HS có cấu trúc suy diễn nên một chứng minh suy diễn

đã được xây dựng dễ dàng. Do đó, tính liên tục cấu trúc được hình thành.

Chứng minh của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

Phân tích bài làm của Ngân - Trang: Lập luận ngoại suy và chứng minh suy diễn

( tính gián đoạn cấu trúc)

Quan sát hình vẽ, HS khẳng định tam giác BMN vuông cân. Từ đó HS đã

tìm dữ liệu để chứng minh cho khẳng định đó. Và sau khi các dữ liệu đã được tìm

thấy, HS đã xây dựng một chứng minh suy diễn.

Lập luận của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

1. Trang: Cho ba điểm A, B, C thẳng Hình vẽ của học sinh

hàng . Trên nửa mặt phẳng bờ AC

dựng các hình vuông ABEF và...

2. Ngân: BCDG

3. Trang: ABEF, BCDG, M, N lần lượt

là trung điểm của AG và…

4. Ngân: CE

HS dự đoán tính chất tam giác MBN Quan sát hình vẽ, HS khẳng định tam

dựa vào hình vẽ giác MBN vuông cân.

5. Trang: Hỏi tam giác MBN. Dễ cân

lắm, vuông nữa.

6. Ngân: Vuông cân

Trang : Ừ.

Bằng việc quan sát thực tế từ hình vẽ, HS đã đưa ra khẳng định tam giác

BMN vuông cân. Từ đó tìm kiếm các dữ liệu để lập luận tam giác BMN vuông cân.

Ở đây, lập luận của học sinh có cấu trúc ngoại suy.

Để chứng minh tam giác MBN cân, HS khẳng định BN = BM sau đó tìm

kiếm các dữ liệu để biện minh cho điều đó. Ta tiếp tục có một cấu trúc ngoại suy

Lập luận của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

7. Ngân: Chứng minh cân trước, chứng

minh BM bằng BN có M là trung

điểm này.

Để biện minh tam giác MBN vuông, HS khẳng định góc MBN vuông và tiếp

tục tìm kiếm dữ liệu để đưa ra kết luận cho khẳng định đó. Vì vậy ta lại có một lập

luận với cấu trúc ngoại suy

Lập luận của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

13 Trang: góc này bằng góc này. Suy ra

hai tam giác bằng nhau. Nên hai

cạnh AG và EC bằng nhau. Đường

trung tuyến bằng ½ cạnh huyền nên

BM bằng BN. Ta chứng minh góc

MBN vuông nữa

Sau khi đã tìm kiếm được các dữ liệu cần thiết, HS đã xây dựng một chứng

minh như sau:

Chứng minh của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

Các bước trong chứng minh đều có cấu trúc suy diễn. Như vậy, từ các lập

luận có cấu trúc ngoại suy, học sinh đã xây dựng một chứng minh có cấu trúc suy

diễn. Tức là, HS đã chuyển các lập luận có cấu trúc ngoại suy trong lập luận thành

các lập luận có cấu trúc suy diễn trong chứng minh. Do đó, quá trình lập luận và

chứng minh của học sinh có sự gián đoạn về cấu trúc.

Bài làm của Thu Sƣơng - Huyền Trang: Lập luận ngoại suy và chứng minh suy

diễn (tính gián đoạn cấu trúc)

HS quan sát hình vẽ và đưa ra khẳng định rằng tam giác BMN vuông cân.

Sau đó HS tìm kiếm các dữ liệu để biện minh cho khẳng định đó.

Lập luận của HS Phân tích bằng Toulmin

1. S: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Hình vẽ của HS:

theo thứ tự. Trên nửa mặt phẳng bờ

AC dựng các hình vuông ABEF, và

BCDG

…

5. S: M là trung điểm của AG

6. T: Rồi, sao nữa? HS quan sát hình vẽ đưa ra khẳng định 7. S: N là trung điểm của CE. Hỏi tam tam giác BMN vuông cân giác MBN là tam giác gì?

…

9 S: Tam giác đều à?

10 T: Vuông cân

11 S: Không đều

12. T: Không đều, vuông cân

Quan sát hình vẽ, HS khẳng định tam giác MBN vuông cân. Dựa trên các dữ

liệu đã có, HS tìm kiếm các dữ liệu để biện minh cho khẳng định mà HS đã đưa ra.

HS lần lượt tìm các dữ liệu để lập luận tam giác BMN cân, tam giác BMN vuông.

Như vậy, lập luận của học sinh có cấu trúc ngoại suy. Sau khi các dữ liệu đã tìm

thấy, HS đã xây dựng chứng minh :

Chứng minh của HS Phân tích bằng mô hình Toulmin

Ta thấy rằng, trong chứng minh của học sinh, các bước lập luận đều có cấu

trúc suy diễn. Như vậy, từ các lập luận có cấu trúc ngoại suy, học sinh đã xây dựng

một chứng minh có cấu trúc suy diễn. Tức là, HS đã chuyển các lập luận có cấu trúc

ngoại suy trong lập luận thành các lập luận có cấu trúc suy diễn trong chứng minh.

Do đó, quá trình lập luận và chứng minh của học sinh có sự gián đoạn về cấu trúc.

4.1.1.3 Bài toán 3:

Bài toán 3:

Cho các hình vẽ sau:

Hỏi hình n có bao nhiêu hình tam giác ? Giải thích?

Bài làm của Hợp - Hải Tuấn: Lập luận quy nạp và chứng minh quy nạp toán học

(tính liên tục về cấu trúc)

HS đếm số tam giác trong mỗi hình và cũng đưa ra giả thuyết về số tam giác

trong hình n. Sau đó HS thấy rằng qua mỗi hình, số tam giác tăng thêm 4. Từ đó,

HS thiết lập mối liên hệ giữa H(n) và H(n+1) để đi tới xây dựng một chứng minh

quy nạp toán học

Lập luận của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

27. Tuấn: số tam giác hình 1, H(1) HS đếm số tam giác trong mỗi hình,

bằng 1, số tam giác hình 2 ta có HS kết luận số tam giác trong hình n

H(2) =5, số tam giác hình 3 là H(3) là: H(n) = 4n -3

bằng 9, hình 4 là 13

28. Hợp: số tam giác ở hình n là H(n)

bằng 1 cộng 4 nhân cho hiệu n trừ

1. Cứ sau mỗi hình số tam giác

tăng 4 hình.

HS tìm mối liên hệ giữa H(n+1) và

H(n)

25. Hợp: Vậy là tăng 4, qua mỗi hình

thì tăng 4, bởi vì thêm một tam giác

HS nhận biết rằng, qua mỗi hình số ở giữa là thêm được 4 tam giác.

tam giác tăng thêm 4 (thêm một tam … giác ở giữa thì số tam giác tăng thêm 4)

29. Tuấn: tăng 4 hình

30. Hợp: tăng 4 tam giác, H(2)=

H(1)+4, H(3) = H(2) + 4, H(4) =

H(3) +4.

31. Tuấn: suy ra H(n+1) = H(n) +4.

32. Hợp: Rồi,chứng minh.

Như vậy, HS đã tìm được mối liên hệ về số tam giác qua mỗi hình, tức là ở

đây HS đã có đầy đủ các yếu tố để xây dựng một chứng minh quy nạp toán học.

Quá trình khái quát hoá quá trình cho phép học sinh tìm mối liên hệ giữa H(n) và

H(n+1) và đã xây dựng một chứng minh quy nạp toán học.

Chứng minh của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

Vậy, trong quá trình lập luận, học sinh đã sử dụng khái quát hoá quá trình

tìm mối liên liên hệ về số tam giác qua mỗi hình, từ đó thiết lập mối liên hệ giữa

H(n) và H(n+1) để xây dựng thành công một chứng minh quy nạp toán học. Nên

quá trình lập luận và chứng minh của học sinh có sự liên tục về cấu trúc.

Bài làm của Quốc và Ngân : Lập luận quy nạp, không xây dựng được chứng minh

(tính gián đoạn về cấu trúc)

HS dựa vào các hình vẽ đã cho, đếm số tam giác tương ứng trong các hình

vẽ và lập bảng. Dựa vào các kết quả ghi trong bảng này, học sinh đưa ra giả thuyết

rằng số hình tam giác trong hình n là 4n -3. Nhưng hai học sinh không giải thích

được tại sao lại như vậy.

Lập luận của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

HS đếm số hình tam giác ở mỗi hình Ở đây, HS đã dựa vào các kết quả ghi

vẽ sau đó lập bảng trong bảng để đưa ra số hình tam giác

21. Quốc xây dựng bảng như sau: trong hình n

Trong đó E1 , E2 ,E3 , E4 là các phát

45. Quốc: A, 4n trừ 3, à 4n trừ … 3, biểu đã được học sinh tính toán trước

phải không? đó:

46. Ngân: 16 – 3, ừ, 13, 12 trừ 3 , 9, 8

trừ 3 là 5, ừ, 4n -3.

47. Quốc : H(n) bằng 4n -3.

Sau đó, học sinh đã chứng minh giả thuyết ở trên bằng phương pháp quy nạp

toán học nhưng học sinh không làm được vì không tìm được mối liên hệ giữa H(n)

và H(n+1).

Chứng minh của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

Sau đó học sinh chứng minh giả

thuyết đúng với n =k+1nhưng HS

không tìm được quy tắc liên kết giữa

trường hợp n = k với trường hợp n =

k+1( số tam giác ở hình sau bằng số

tam giác ở hình trước đó cộng thêm

Như vậy, trong quá trình lập luận, học sinh đã đưa ra giả thuyết bằng khái

quát hoá các kết quả có được trước đó. Nhưng HS không tìm được quy tắc liên kết

giữa các phát biểu nên đã không xây dựng được một chứng minh quy nạp toán học.

Tức là trong trường hợp này, học sinh không thể vượt qua khoảng cách tồn tại giữa

lập luận và chứng minh. Do đó, quá trình lập luận và chứng minh của học sinh có sự

gián đoạn về cấu trúc.

Bài làm của Linh – Thắng: Lập luận quy nạp và chứng minh quy nạp (Tính liên

tục về cấu trúc)

Đầu tiên, HS quan sát các hình vẽ đã cho và đếm số tam giác trong mỗi hình.

HS nhận ra rằng, số tam giác ở hình sau bằng số tam giác ở hình trước cộng thêm 4.

Sau đó, tiếp tục với các kết quả có được từ các hình vẽ, HS đã tìm được số tam giác

trong hình n và xây dựng một chứng minh quy nạp cho kết quả vừa tìm được.

Lập luận của HS Phân tích bằng mô hình Toulmin

1. Linh: Tìm quy luật đi! Kết quả đếm số tam giác của HS ở các

2. Thắng: Hình 1 là mấy hình, hình 1 hình vẽ đã cho như sau:

là 1 hình, đúng không? h1 có 1 hình tam giác (E1)

3. Linh: Ừ, hình 2 là 4 hình h2 có 5 hình tam giác (E2) 4. Thắng: 5 hình chứ ?

h3 có 9 hình tam giác (E3) …

8. Thắng: Làm cho rồi! hình 3 là mấy h4 có 13 hình tam giác (E4)

hình? HS nhận thấy 5 = 1 +4 (tức là h2 = 9. Linh: … 9 hình. h1+4), h3= h2+ 4, h4 = h3 + 4. Như vậy, 10. Thắng: 9 hình phải không ? Rồi. bằng cách nhận biết được số tam giác 11. Linh: Một hình thêm 4 hình thì phải hình sau bằng số tam giác của hình ? trước cộng thêm 4, HS đã tìm được 12. Thắng: Ừ, là bằng 5 cộng 4, đúng mối liên hệ giữa hn và hn+1 không? Hình 4?

13. Linh: hình 4 là thêm 4 hình nữa là

..13 hình, … đúng rồi.

14. Thắng: 13 hình, rồi, là bằng 9 cộng

15. Linh: 5 bằng 1cộng 4.

16. Thắng: hình 3 là bằng hình 2 cộng

4, hình 4 là bằng hình 3 cộng 4,

hình sau là bằng hình trước cộng 4.

…

18. Thắng: hình 3 bằng 1 cộng 4 lần Tiếp theo HS nhận thấy: h3 = 1+4.2,

2, hình 4 là bằng h4 = 1+4.3… Từ đó, HS kết luận về số

19. Linh : bằng 1cộng 4 lần 3 tam giác của hình n là hn = 1+ 4.(n-1)

20. Thắng: suy ra hình n là bằng

mấy?

21. Linh: đáng lẽ là bằng 1 cộng 4

nhân n, n thuộc N* vì hình đầu là n

bằng 0.

22. Thắng: thì hình 1là 1, đây hình 2

là n bằng 1.

23. Linh: đáng lẽ đây là bằng 1 này,

nhưng nó lại bằng 0 cho nên phải n

trừ 1 ra mới đúng.

24. Thắng: Ừ, hình 4 thì n bằng 3,

hình 3 thì n bằng 2.

Linh: Ừ, thì n giảm đi 1. 25.

Thắng: Như vậy thì hình n bằng 26.

1 cộng 4 nhân n trừ 1. Giờ chứng

minh.

Qua việc quan sát và đếm số tam giác của mỗi hình đã cho, HS đã tìm được

số hình tam giác trong hình thứ n và mối liên hệ giữa hn và hn+1. Như vậy, HS đã có

đầy đủ các yếu tố để xây dựng một chứng minh quy nạp toán học. Quá trình khái

quát hoá quá trình cho phép học sinh tìm mối liên hệ giữa hn và hn+1 và đã xây dựng

một chứng minh quy nạp toán học

Chứng minh của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

Vậy, trong quá trình lập luận, học sinh đã sử dụng khái quát hoá kết quả để

tìm ra công thức tính số tam giác ở hình thứ n và khái quát hoá quá trình để tìm mối

liên liên hệ về số tam giác qua mỗi hình, từ đó thiết lập mối liên hệ giữa hn và hn+1

để xây dựng thành công một chứng minh quy nạp toán học. Vì vậy, quá trình lập

luận và chứng minh của học sinh có sự liên tục về cấu trúc.

4.1.1.4 Bài toán 4:

Bài toán 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, SO vuông góc với đáy. Gọi I, J

lần lượt là trung điểm của AB và BC.

Đường thẳng IJ có vuông góc mp (SBD) không ? Tại sao?

Bài làm của Quốc và Ngân: Lập luận ngoại suy và chứng minh suy diễn.

HS khẳng định IJ vuông góc với mp(SBD). Sử dụng định nghĩa đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng, HS đã tìm được các dữ liệu cần thiết và xây dựng một

chứng minh suy diễn. Do đó, quá trình lập luận và chứng minh của học sinh có sự

gián đoạn về cấu trúc.

Lập luận của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

1. Ngân: Vẽ hình chóp S.ABCD có Hình vẽ của học sinh

đáy là hình thoi tâm O.

2. Quốc: SO vuông góc với đáy I, J

lần lượt là trung điểm của AB và

BC, AB, AB đâu rồi, BC.

HS lập luận để chứng minh IJ

vuông góc với mp(SBD). C1: IJ vuông góc với mp(SBD)

3. Ngân: muốn chứng minh IJ vuông Ở đây, HS đã khẳng định đường thẳng

góc với mp(SBD), ta chứng minh IJ vuông góc với mp(SBD).

IJ vuông góc với BD, chứng minh

IJ vuông góc với đường thẳng

nằm trong mp(SBD). Ta có IJ là

đường trung bình của ABC suy ra

IJ song song với AC.

HS khẳng định IJ vuông góc với mp(SBD). Sau đó, sử dụng định lý đường

thẳng vuông góc với mặt phẳng, HS nhận thấy IJ vuông góc với BD. HS phải tìm

các dữ liệu để biện minh IJ vuông góc với một đường thẳng cắt BD nằm trong

mp(SBD). Do đó, lập luận của HS có cấu trúc ngoại suy.

Sau khi đã tìm thấy các dữ liệu cần thiết HS đã xây dựng chứng minh như sau:

Chứng minh của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

Như vậy, với việc sử dụng định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để

chứng minh, HS đã tìm được các dữ liệu để xây dựng một chứng minh suy diễn, túc

là cấu trúc của lập luận ngoại suy đã được chuyển thành cấu trúc của lập luận suy

diễn. Do đó, quá trình lập luận và chứng minh của học sinh có sự gián đoạn về cấu

trúc.

Bài làm của Linh –Thắng: Lập luận ngoại suy và chứng minh suy diễn (gián đoạn

cấu trúc)

HS khẳng định đường thẳng IJ vuông góc với mp(SBD) bằng trực giác. Sau

đó sử dụng định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và tìm kiếm các dữ liệu

để biện minh cho khẳng định đó:

Lập luận của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

2 Linh : Cho hình chóp S.ABCD có đáy Hình vẽ của HS

là hình thoi tâm O.

3 Thắng : Đáy hình thoi thì vẽ là hình

bình hành.

4 Linh : Tâm O thì SO vuông góc với

đáy. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của

AB,BC. Đường thẳng IJ có vuông góc

với mp (SBD) không ? Tại sao ?

5 Thắng: rồi

HS khẳng định IJ vuông góc với 6 Linh: Cho IJ vuông góc với mp(SBD),

mp(SBD) ta chứng minh IJ vuông góc với 2

đường thẳng thuộc mp(SBD).

7 Thắng : Phải chứng minh IJ vuông góc

với 2 đường thẳng cắt nhau thuộc mp

(SBD).

Lập luận trên của học sinh có cấu trúc ngoại suy, từ việc khẳng định IJ vuông

góc với mp(SBD), HS đã tìm kiếm hai đường thẳng cắt nhau thuộc mp(SBD) mà

cùng vuông góc với IJ (ở đây, HS đã sử dụng định lý đường thẳng vuông góc với

mặt phẳng).

Sau khi tìm kiếm được các dữ liệu cần thiết, học sinh đã xây dựng một chứng

minh như sau:

Chứng minh của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

Trong chứng minh của học sinh, vẫn tồn tại một bước có cấu trúc ngoại suy

nên quá trình lập luận và chứng minh của học sinh có sự liên tục về cấu trúc.

4.1.2 Các dạng ngoại suy

Lập luận ngoại suy có ba dạng:

 Ngoại suy chưa mã hoá: một vài quy tắc có vẻ hợp lý được đưa ra. Học sinh

có nhiệm vụ chọn trong số đó một quy tắc đúng và phù hợp nhất để lập luận.

 Ngoại suy đã mã hoá : quy tắc suy luận phù hợp nhất đã được lựa chọn. Học

sinh chỉ có nhiệm vụ phân tích giả thiết, tìm ra các dữ liệu phù hợp để lập

luận.

 Ngoại suy sáng tạo: học sinh không tìm được quy tắc nào để xây dựng chứng

minh. Nên chúng có thể tạo ra một quy tắc mới trong quá trình lập luận.

Đoạn trích của Thu Sƣơng và Huyền Trang khi thực hiện bài toán 1:

Ở đây, HS khẳng định diện tích hai tam giác ABC và BDE bằng nhau, dựa

vào công thức diện tích tam giác dạng lượng giác (quy tắc đã có), HS chỉ tìm kiếm

các dữ liệu để kết luận diện tích hai tam giác ABC và BDE bằng nhau. Do đó, lập

luận của học sinh có cấu trúc của ngoại suy đã mã hoá.

Lập luận của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

17. T: Diện tích bằng nhau chi nữa Diện tích tam giác ABC bằng:

18. S: Nối ABD đi, đánh dấu vuông cân SABC = ½ AB.BC.sin ̂ 19. T: AB bằng BD, BC bằng BE ,…, Diện tích tam giác BDE bằng: mình sử dụng công thức diện tích bằng

SBDE = ½ BD.BE. sin ̂ ½ tích hai cạnh nhân với sin góc xen

giữa hè ? Diện tích tam giác ABC

bằng ½ nhân với AB.BC nhân sin góc

ABC

20. S: Diện tích của tam giác BDE bằng ½

nhân BD nhân BE nhân sin DBE

21. T: Ừ Dữ liệu mà HS cần tìm kiếm là

22. S: Cần so sánh hai sin bằng nhau là sin ̂ = sin ̂

được

Sau đó, học sinh đã sử dụng công thức lượng giác để đi đến lập luận sin ̂

= sin ̂ và xây dựng một chứng minh có cấu trúc suy diễn (đã phân tích ở

4.1.1.1).

Đoạn trích của Thuỳ Vân và Cẩm Tiên khi thực hiện bài toán 1:

Trong lập luận này, HS khẳng định diện tích hai tam giác bằng nhau, dựa vào

công thức tính diện tích (quy tắc đã có), HS dựng hai đường cao DF và AK (vì có

đáy bằng nhau). Như vậy, lập luận (C3) có cấu trúc của ngoại suy đã mã hoá.

Lập luận của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

31. Tiên: Mình cần hai diện tích C3: Diện tích hai tam giác ABC và DBE

bằng nhau, thì mình cần chứng bằng nhau

minh cái này, chứ liên quan đến

hình đó làm gì?

32. Vân: Vậy họ cho hai cạnh này

bằng nhau để làm gì?

33. Tiên: Ồ, bạn nói rồi, họ cho hai

cái cạnh bằng nhau để mình tính

diện tích này, có hai cạnh bằng

nhau rồi, mình cần chứng minh

hai đường cao bằng nhau, là

bằng nhau giờ mình có BE = BC

rồi này.

Để biện minh cho khẳng định AK = DF. HS lại tìm kiếm dữ liệu để biện

minh cho phát biểu hai tam giác ABK và DBF bằng nhau. Như vậy, lập luận này

của HS cũng có cấu trúc ngoại suy

Lập luận của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

34. Tiên: Mình cần chứng minh DF

và AK bằng nhau nữa thôi, là xong.

Bạn nói chứng minh hai tam giác

ABK và DBF … cạnh này rồi, có góc

vuông, cạnh này với thêm gì nữa hè?

Lập luận (C5) ở đây có cấu trúc của ngoại suy chưa mã hoá vì rõ ràng, HS

đã sử dụng các định lý về các trường hợp bằng nhau của hai tam giác. HS nhận

thấy, hai tam giác ABK và BDF có một cặp cạnh bằng nhau, cùng có một góc

vuông, nên tuỳ vào dữ liệu tìm được HS có thể sử dụng quy tắc W1 (hai tam giác

bằng nhau theo trường hợp: cạnh - góc - cạnh) hoặc quy tắc W2 (hai tam giác bằng

nhau theo trường hợp: góc – cạnh – góc). Sau khi tìm được dữ liệu HS đã xây dựng

một chứng minh ―ngoại suy‖ (đã được phân tích ở 4.1.1.1).

Đoạn trích của Hợp - Tuấn khi thực hiện bài toán 2:

Phân tích bắt đầu khi HS khẳng định tam giác BMN vuông cân bằng quan sát

hình vẽ. Sau đó, HS tìm kiếm dữ liệu để biện minh cho khẳng tam giác BMN cân,

tam giác BMN vuông. Các lập luận của HS có cấu trúc của ngoại suy chƣa mã hoá

vì rõ ràng để kết luận tam giác BMN cân học sinh có thể sử dụng các quy tắc W1

(BM = BN), W2 ( ), W3 (đường trung tuyến đồng thời là đường

cao/đường phân giác/đường trung trực)… Để kết luận tam giác BMN vuông, HS có

thể sử dụng các quy tắc W1 (định lý đảo của định lý Pytago), W2 ( ), W3

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )…

Lập luận của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

9. Hợp: MBN, vuông cân, nhìn

giống vuông cân

10. Tuấn: giờ chứng minh thôi, vẽ

hình ra giống vuông cân, giờ

chứng minh vì sao vuông, vì sao

cân.

Sau khi tìm kiếm các dữ liệu để chứng minh tam giác BMN vuông cân, HS

đã xây dựng một chứng minh suy diễn (đã phân tích ở 4.1.1.2).

Đoạn trích của Linh - Thắng khi thực hiện bài toán 4:

Phân tích bắt đầu khi HS khẳng định đường thẳng IJ vuông góc với mặt

phẳng (SBD) (kết luận cần kiểm chứng). Sau đó, HS lập luận phải tìm hai đường

thẳng cắt nhau trong mp(SBD) mà cùng vuông góc với IJ, tức là sử dụng định lý

đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (quy tắc đã có), HS đang tìm kiếm các dữ

liệu để biện minh cho khẳng định đó. Như vậy, lập luận ngoại suy HS sử dụng có

cấu trúc dạng ngoại suy đã mã hoá.

Lập luận của học sinh Phân tích bằng mô hình Toulmin

4. Linh : Tâm O thì SO vuông góc với

đáy. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của

AB, BC. Đường thẳng IJ có vuông góc

với mặt phẳng (SBD) không ? Tại sao ?

5. Thắng: Rồi

6. Linh: Cho IJ vuông góc với mặt Dữ liệu cần tìm kiếm là: IJ vuông góc phẳng (SBD), ta chứng minh IJ vuông với 2 đường thẳng cắt nhau thuộc mặt góc với 2 đường thẳng thuộc mặt phẳng phẳng (SBD). (SBD).

7. Thắng: Phải chứng minh IJ vuông

góc với 2 đường thẳng cắt nhau thuộc

mặt phẳng (SBD).

Sau khi tìm kiếm được các dữ liệu ( ), HS đã xây dựng một

chứng minh ― ngoại suy‖ (đã phân tích ở phần 4.1.1.4).

4.2 Kết luận chƣơng 4

Trong chương 4, dựa trên mô hình Toulmin về cấu trúc lập luận, chúng tôi đã

phân tích các bài làm của học sinh theo hai hướng chính: mối liên hệ cấu trúc giữa

quá trình lập luận và chứng minh của học sinh; các dạng ngoại suy mà học sinh sử

dụng trong quá trình lập luận. Phân tích bước đầu cho thấy được khả năng lập luận

và chuyển đổi cấu trúc trong quá trình chuyển từ lập luận sang thiết lập một chứng

minh của học sinh. Kết quả phân tích bài làm và các đoạn trích trao đổi giữa các học

sinh trong nhóm cũng cho thấy có những học sinh gặp khó khăn khi chuyển từ cấu

trúc lập luận dạng ngoại suy sang chứng minh suy diễn, hoặc không thể chuyển đổi

cấu trúc lập luận để xây dựng một chứng minh suy diễn. Ngoài ra, phân tích dữ liệu

thực nghiệm dựa trên mô hình Toulmin cũng đã làm rõ vai trò của ngoại suy trong

việc hỗ trợ học sinh tìm kiếm và thiết lập một chứng minh suy diễn.

Chƣơng 5. KẾT LUẬN

Chương này đưa ra các kết luận ban đầu về nghiên cứu của tác giả, những

đóng góp, hạn chế và hướng phát triển của đề tài.

5.1 Kết luận

Trong phần đầu của luận văn, chúng tôi trình bày mục tiêu nghiên cứu chủ

yếu của đề tài này là phân tích hai khía cạnh sau đây:

 Phân tích mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh của

học sinh khi giải quyết các bài toán

 Phân tích các dạng ngoại suy khác nhau được học sinh sử dụng trong quá

trình lập luận.

Để phân tích các khía cạnh đó, chúng tôi chọn mô hình Toulmin như là nền

tảng lý thuyết và công cụ phương pháp luận. Từ đó, chúng tôi đã cụ thể hóa mục

tiêu nghiên cứu thành các câu hỏi nghiên cứu sau đây :

 Câu hỏi 1: Mối liên hệ về cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng

minh của học sinh được thể hiện như thế nào trong khi giải quyết các bài

toán?

 Câu hỏi 2: Các dạng ngoại suy nào được học sinh sử dụng trong quá

trình lập luận? Vai trò của các lập luận ngoại suy này được thể hiện như

thế nào?

 Câu hỏi 3: Học sinh gặp phải khó khăn như thế nào khi chuyển đổi cấu

trúc từ lập luận sang chứng minh trong quá trình giải quyết một bài toán?

Sau đây chúng tôi sẽ trình bày các yếu tố cho phép trả lời cho các câu hỏi

nghiên cứu nêu trên.

Về mối liên hệ cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh:

Phân tích dữ liệu thực nghiệm trong phạm vi nghiên cứu này cho phép chúng

tôi kết luận rằng:

 Nếu quá trình lập luận của học sinh là ngoại suy thì thường xảy ra tính

gián đoạn cấu trúc giữa quá trình lập luận và chứng minh một bài toán. Ở

đây xảy ra hai hướng: một là, HS chuyển đổi được cấu trúc từ lập luận

kiểu ngoại suy thành một chứng minh kiểu suy diễn; hai là, học sinh

hoàn toàn không thể thiết lập được một chứng minh suy diễn. Hướng thứ

nhất thường gặp ở các HS khá, giỏi. Các em đã có thể chuyển đổi cấu

trúc lập luận một cách rõ ràng để đạt được một chứng minh suy diễn.

Điều này cũng phù hợp với những dự đoán của chúng tôi trong phân tích

tiên nghiệm. Hướng thứ hai thường xảy ra với các học sinh trung bình

hoặc dưới trung bình. Các em không thể chuyển từ lập luận ngoại suy

thành một chứng minh suy diễn.

 Nếu quá trình lập luận là quy nạp bằng khái quát hoá, đa số học sinh đều

sử dụng lập luận quy nạp khái quát hoá kết quả để đi đến giả thuyết về số

tam giác hình thứ n, nhưng chỉ những HS sử dụng lập luận quy nạp bằng

khái quát hoá quá trình mới xây dựng được chứng minh cho bài toán đưa

ra.

 Nếu quá trình lâp luận là suy diễn thì một chứng minh suy diễn dễ dàng

được xây dựng nhưng trường hợp này rất ít (chỉ có duy nhất một lập luận

của HS thuộc trường hợp này)

Về các dạng ngoại suy mà học sinh đã sử dụng và vai trò của chúng

trong việc thiết lập một chứng minh:

Phân tích dữ liệu cho thấy phần lớn các học sinh đều sử dụng lập luận có cấu

trúc của ngoại suy chưa mã hoá, chỉ có một số HS sử dụng lập luận có cấu trúc của

ngoại suy đã mã hoá. Đối với dạng ngoại suy đã mã hoá, đa số HS đều chuyển đổi

được cấu trúc và xây dựng một chứng minh suy diễn. Đối với ngoại suy chưa mã

hoá, phần lớn là HS gặp khó khăn trong việc tìm kiếm và liên kết các dữ liệu hoặc

các quy tắc nên một số HS đã không xây dựng được chứng minh. Không có HS nào

sử dụng lập luận có cấu trúc của ngoại suy sáng tạo.

Như vậy, có hai dạng ngoại suy chủ yếu được học sinh sử dụng trong quá

trình lập luận tìm kiếm một chứng minh là ngoại suy đã mã hóa và ngoại suy chưa

mã hóa. Việc thiết lập một chứng minh là khá dễ dàng đối với những học sinh sử

dụng lập luận ngoại suy đã mã hóa. Trong khi đó, với dạng ngoại suy chưa mã hóa,

học sinh còn gặp khó khăn trong việc lựa chọn quy tắc và liên kết các dữ liệu với

nhau để đi đến một chứng minh suy diễn. Ở đây, ngoại suy đã đóng vai trò hỗ trợ

cho quá trình tìm kiếm một chứng minh suy diễn của học sinh, đặc biệt là ngoại suy

đã mã hóa.

Về khó khăn của học sinh khi chuyển đổi cấu trúc từ lập luận sang

chứng minh:

Học sinh cũng gặp các khó khăn trong quá trình lập luận bởi vì các phát biểu

hay các khẳng định mà học sinh đưa ra chỉ dựa trên việc quan sát thực tế từ các hình

vẽ tĩnh (bằng giấy và bút). Một số học sinh thì lại đưa ra kết luận bằng trực giác. Do

đó, nếu chưa liên kết được các dữ liệu cũng như chưa tìm được các định lý để biện

minh cho các phát biểu thì học sinh dễ dàng bỏ qua hoặc thay đổi giả thuyết đã đưa

ra ban đầu. Điều này dẫn tới việc học sinh khó tìm được hướng đi cho bài toán. Hơn

nữa, bản thân của lập luận ngoại suy chưa mã hoá là có nhiều quy tắc để lựa chọn,

nên khi sử dụng dạng ngoại suy này, học sinh cũng gặp khó khăn trong việc lựa

chọn quy tắc đúng nhất để thực hiện quá trình lập luận. Những khó khăn này thường

gặp phải ở các học sinh trung bình và dưới trung bình, khi mà khả năng lựa chọn dữ

liệu, quy tắc và liên kết chúng thành một chứng minh suy diễn vẫn còn hạn chế.

Tóm lại, mô hình Toulmin đã cung cấp cho chúng tôi một khung lý thuyết

cũng như một công cụ phương pháp luận hiệu quả và phù hợp để phân tích làm rõ

khía cạnh cấu trúc về mối liên hệ giữa quá trình lập luận và chứng minh của học

sinh. Những phân tích đó đã bước đầu cho phép chúng tôi tìm kiếm các câu trả lời

và giải thích cho các vấn đề đặt ra trong câu hỏi nghiên cứu.

5.2 Đóng góp của nghiên cứu và hƣớng phát triển của đề tài

Nghiên cứu đã tổng hợp và phân tích có hệ thống các khía cạnh lý luận liên

quan đến nghiên cứu quá trình lập luận và chứng minh của học sinh. Chúng tôi đã

tập trung vào giới thiệu và phân tích mô hình Toulmin về cấu trúc lập luận như là

một khung lý thuyết và một công cụ phương pháp luận làm nền tảng cho thiết kế

nghiên cứu và phân tích kết quả thực nghiệm. Từ đó, nghiên cứu đã phân tích được

và làm sáng tỏ quá trình lập luận và xây dựng chứng minh của học sinh cũng như

mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận và chứng minh của học sinh. Đồng thời kết quả

nghiên cứu cũng chỉ ra khả năng chuyển đổi cấu trúc lập luận sang chứng minh của

học sinh, những khó khăn mà học sinh gặp phải trong quá trình lập luận và chuyển

đổi cấu trúc sang chứng minh.

Nghiên cứu một lần nữa khẳng định tầm quan trọng của mô hình Toulmin

trong việc phân tích cấu trúc lập luận, đặc biệt là cách mà mô hình Toulmin cho

phép so sánh cấu trúc của các bước trong lập luận và các bước trong chứng minh

tương ứng. So sánh này cho phép xác định và phân tích tính liên tục/ gián đoạn

giữa lập luận và chứng minh, một vấn đề có ý nghĩa trong nghiên cứu về dạy học

chứng minh trong toán học từ các tiếp cận nhận thức.

Trong chương trình môn Toán phổ thông hiện nay, số lượng các bài toán liên

quan đến lập luận và chứng minh cũng xuất hiện với tần số khá nhiều. Do đó,

khuyến khích, thúc đẩy và phát triển khả năng lập luận và làm thế nào giúp cho học

sinh vượt qua các khó khăn trong quá trình lập luận đi đến giả thuyết và xây dựng

một chứng minh là một vấn đề cần thiết trong dạy học toán ở phổ thông cũng như

trong việc phát triển nghiệp vụ sư phạm của giáo viên toán.

Do thời gian có hạn và trong khả năng cho phép, nghiên cứu chưa được sâu

rộng và kết quả nghiên cứu chủ yếu dựa trên các phiếu học tập được thực hiện trên

16 học sinh. Các bài toán nghiên cứu chủ yếu là các bài toán trong hình học. Nghiên

cứu xa hơn có thể hướng tới các bài toán chứng minh trong số học, đại số nhằm so

sánh với các kết quả về lập luận và chứng minh của học sinh trong các bài toán hình

học./.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu tiếng Việt

1. Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) – Nguyễn Văn

Đoành – Trần Đức Huyên (2006), Sách giáo khoa Hình học 10 (Cơ bản ), Nhà

xuất bản giáo dục

2. Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) – Khu Quốc Anh – Nguyễn Hà Thanh (2007),

Bài tập Hình học 11(Cơ bản ), Nhà xuất bản giáo dục.

3. Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) – Khu Quốc

Anh - Phan Văn Viện (2007), Sách giáo khoa Hình học 11(Cơ bản ), Nhà xuất

bản giáo dục.

Tài liệu nƣớc ngoài

4. Almeida, D. (1994). Variation in proof standards: Implications for mathematics

education. International Journal of Educational Science and Technology.

5. Arzarello, F., Micheletti, C., Olivero, F., & Robutti, O. (1998a). A model for

analysing the transition to formal proofs in geometry. In A. Olivier & K.

Newstead (Eds.), Proceedings of the Twentieth-second Annual Conference of the

International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp.

24–31). Stellenbosch, South Africa.

6. Arzarello, F., Micheletti, C., Olivero, F., & Robutti, O. (1998b). Dragging in

Cabri and modalities of transition from conjectures to proofs in geometry. In A.

Olivier & K. Newstead (Eds.), Proceedings of the Twentieth-second Annual

Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics

Education (Vol. 2, pp. 32–39). Stellenbosch, South Africa

7. Balacheff, N. (1988).Une étude des processus de preuve en mathématiques chez

les élèves de Collège, Thèse d’état. Grenoble: Université Joseph Fourier

8. Boero, P., Garuti, R., Mariotti M. A. (1996). Some dynamic mental processes

underlying producing and provingconjectures. In L. Puig & A. Gutierrez (Eds.),

Proceedings of the Twentieth Conference of the InternationalGroup for the

Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 121–128). Valencia, Spain.

9. Chazan, D. (1993). High school geometry students’ justification for their views

of empirical evidence and mathematical proof. Educational studies in

mathematics, 24, 359–387.

10. De Villiers, M. (1990). The role and function of proof in mathematics, adapted

version of paper proof in the mathematics curriculum. Presented at the National

Subject Didactics Symposium, University of Stellenbosh.

11. Duval, R. (1995). Sémiosis et pensée humaine. Edition: Peter Lang, Suisse

12. Eco, U. (1983). Horns, hooves, insteps: Some hypotheses on three types of

abduction. In U. Eco & T. Sebeok (Eds.), The sign of three: Dupin, Holmes,

Peirce (pp. 198–220). Bloomington, IN: Indiana University Press

13. Garuti, R., Boero, P., & Lemut, E. (1998). Cognitive unity of theorems and

difficulties of proof. In A. Olivier, &K. Newstead (Eds.), Proceedings of the

International Group for the Psychology of Mathematics Education, vol. 2 (pp.

345–352). Stellenbosch, South Africa: PME.

14. Hanna, G. (1989). Proofs that prove and proofs that explain. In G. Vergnaud, J.

Rogalski, & M. Artigue (Eds.), Proceedings of the international group for the

psychology of mathematics education, PMEXIII,vol. 2, (pp. 45–51). Paris

15. Harel, G. (2001). The development of mathematical induction as a proof

scheme: A model for DNR-based instruction. In S. Campbell, & R. Zazkis

(Eds.), Learning and teaching Number Theory. Journal of Mathematical

Behavior (pp. 185–212). New Jersey, Ablex Publishing Corporation.

16. Healy, L., & Hoyles, C. (2000). A study of proof conceptions in algebra.

Journal for Research in Mathematics Education, 31(4), 396–428

17. Inglis, M., Mejia-Ramos, J. P., & Simpson, A. (2007). Modelling mathematical

argumentation: The importance of qualification. Educational Studies in

Mathematics, 66,3–21.

18. Knipping, C. (2003a). Argumentation structures in classroom proving situations.

In M.A. Mariotti (Ed.), Proceedings of the Third Conference of the European

Society in Mathematics Education (unpaginated). Bellaria, Italy. Retrieved from

http://ermeweb.free.fr/CERME3/Groups/TG4/TG4_Knipping_cerme3.pdf.

19. Knipping, C. (2003b). Beweisprozesse in der Unterrichtspraxis: Vergleichende

analysen von mathemati-kunterricht in Deutschland und Frankreich [Proving

processes in teaching practices–Comparative analysis of mathematics teaching

in France and Germany]. Hildesheim: Franzbecker.

20. Krummheuer, G. (1995). The ethnography of argumentation. In P. Cobb, & H.

Bauersfeld (Eds.), The emergence of mathematical meaning: Interaction in

classroom cultures (pp. 229–269). Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum

Associates

21. Krummheuer, G. (2007). Argumentation and participation in the primary

mathematics classroom: Two episodes and related theoretical abductions.

Journal of Mathematical Behavior, 26(1), 60–82

22. Lakatos, I. (1976). Proofs and refutations. The logic of mathematical discovery.

Cambridge University Press, Cambridge; (Italian translation Benelli D. (1979).

Dimostrazioni e confutazioni la logica della scoperta matematica. Milano:

Feltrinelli)

23. Lavy, I. (2006). A case study of different types of arguments emerging from

explorations in an interactive computerized environment. Journal of

Mathematical Behavior, 25(2), 153-169

24. Martinez, M., & Pedemonte, B. (2014). Relationship between inductive

arithmetic argumentation and deductive algebraic proof. Educational Studies in

Mathematics, 86(1), 125-149.

25. Mason, J. (1996). Abduction at the heart of mathematical being. In E. Gray

(Ed.), Thinking about mathematics & music of the spheres: Papers presented for

the inaugural lecture of Professor David Tall (pp. 34–40). Coventry:

Mathematics Education Research Centre.

26. Boero, P. Douek, N. Morselli, F. & Pedemonte, B. (2010).Argumentation and

proof : a contribution to theoretical perspectives and their classroom

implementation. In Printo, M. M. F. & Kawasaki, T. F. (Eds.). Proceedings of

the 34th Conference of the International Group for the Psychology of

Mathematics Education, Vol. 1, pp. 179-209. Belo Horizonte, Brazil: PME.

27. Pedemonte, B. (2001). Some cognitive aspects of the relationship between

argumentation and proof in mathematics. In M. van den Heuvel-Panhuizen

(Ed.), Proceedings of the 25th conference of the international group for the

psychology of mathematics education. PME-25, vol. 4, (pp. 33–40). Utrecht

(Olanda)

28. Pedemonte, B. (2002). Etude didactique et cognitive des rapports de

l’argumentation et de la démonstration dans l’apprentissage des

mathématiques. Thèse de doctorat. Grenoble I: Université Joseph Fourier.

29. Pedemonte, B. (2005). Quelques outils pour l’analyse cognitive du rapport entre

argumentation et démonstration. Recherche en didactique des mathématiques,

25(3), 313–348.

30. Pedemonte, B. (2007). How can the relationship between argumentation and

proof be analysed ? Educational Studies in Mathematics, 66, 23–41.

31. Pedemonte, B. (2008). Argumentation and algebraic proof. ZDM—The

International Journal on Mathematics Education, 40(3), 385–400.

32. Pedemonte, B., & Reid, D. (2010). The role of abduction in proving processes.

Educational Studies in Mathematics, Volume 76, Issue 3, pp 281-303

33. Pedemonte, B. & Buchbinder, O. (2011). Examining the role of examples in

proving processes through a cognitive lens: the case of triangular numbers.

ZDM - Mathematics Education, 43, 257–267

34. Pedemonte, B. (2013). The role of conceptions in argumentation and proof. En

P. Perry (Ed.), Memorias del 21º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones

(pp. 37-48). Bogotá, Colombia: Universidad Pedagógica Nacional.

35. Peirce, C. S. (1867). On the natural classification of arguments. Presented 9

April 1867 to the American academy of arts and sciences. Proceedings of the

American Academy of Arts and Sciences, 7, 261–287.

36. Peirce, C. S. (1878). Deduction, induction, and hypothesis. Popular science

monthly, 13(August), 470–82

37. Peirce, C. S. (1960). Collected papers. Cambridge, MA: Harvard University

Press.

38. Plantin, C. (1990). Essais sur l’argumentation, Kimé (Ed.), Paris.

39. Reid, D.A. & Knipping, C. (2010). Proof in mathematics education. Rotterdam:

Sense Publishers.

40. Thurston, W. P. (1994). On proof and progress in mathematics. Bulletin of the

American Mathematical Society, 30(2), 161–177

41. Toulmin, S. E. (1958). The uses of argument. Cambridge: Cambridge

University Press.

42. Wolfram, S. (2002). A new kind of science. Wolfram Media. Retrieved October

20, 2003, from http://wolframscience.com/reference/notes/1149b

43. Wood, T. (1999). Creating a Context for Argument in Mathematics Class

Young Children’s Concepts of Shape. Journal for Research in Mathematics

Education, 30(2), 171–191.

PHỤ LỤC

CÁC PHIẾU HỌC TẬP

Họ và tên: …………………………………..

Lớp: ………………….

PHIẾU HỌC TẬP 1

Bài toán 1:

Cho tam giác ABC, về phía ngoải tam giác dựng các tam giác ABD và BCE vuông

cân tại B. Hãy so sánh diện tích tam giác ABC và BDE ?

Bài làm

………………………………………………………………………………………

Họ và tên: ………………..........................

Lớp: ………………..

PHIẾU HỌC TẬP 2

Bài toán 2: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Trên nửa mặt phẳng bờ

AC, dựng các hình vuông ABEF và BCDG. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AG và CE. Hỏi tam giác MBN là tam giác gì ? Tại sao?

Bài làm

……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

Họ và tên: ………………..........................

Lớp: ………………..

PHIẾU HỌC TẬP 3

Bài toán 3:

Cho các hình vẽ sau:

Hình n có bao nhiêu hình tam giác ? Vì sao?

Bài làm

………………………………………………………………………………………

Họ và tên: …………………………………….

Lớp: ……………………

PHIẾU HỌC TẬP 4

Bài toán 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, SO vuông góc với đáy. Gọi I, J

lần lượt là trung điểm của AB và BC.

Đường thẳng IJ có vuông góc mp (SBD) không ? Tại sao?

Bài làm

………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………

CÁC ĐOẠN TRÍCH GHI ÂM VÀ BÀI LÀM CỦA HỌC SINH

Nhóm Ngân- Quốc

Bài toán 3

1. Quốc : Hình 1 có một tam giác, hình 2 có bốn tam giác, hình 3 là … hình 3

là 8, 8 phải không?

2. Ngân: 1, 2,3,4,5,6,7. 7 tam giác mà, bạn tính tam giác to nữa à?

3. Quốc: À, Tính tam giác to nữa chứ ?

4. Ngân : Tính ?

5. Quốc: Tính chứ ? 1, 2, 3, 4, 5 .

6. Ngân: 1,2 ,3,

7. Quốc: hình 4

8. Ngân : 5, 6, 7, 8

9. Quốc: hình 4 là 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ak, 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Bài này là ta tìm quy luật của, …, quy luật là …

10. Ngân: Tìm hình, hình n

11. Quốc: Hình n có bao nhiêu tam giác, hình n. Ta có hình 1 là 1 tam giác,

hình 2 là có 5, 1 lên 5 lên 8, lên 12 là ta có …. 2n -1, ak, 2n + 1, 2.3 là 6 cộng 1 là 7, 2. 2 là 4 cộng 1 là 5, n2 cộng

12. Ngân: 5, 8

13. Quốc: 5, 1, 2, 3, 5, 8, 12

14. Ngân: 4 15. Quốc: 42 là 16, 2n -1, 2n+ 1, 1 lên 5 lên 8 16. Ngân : n2, n2 cộng 17. Quốc: n2 +1, 8, n2 +1, 32 là 9 cộng 1 là 10 rồi, n2 – 1 không được, 2n, 3n, 3

nhân 3 là 9, 3 nhân 4 là 12, cái này là 12 luôn à ?

18. Quốc: 1,2, 3, 4

19. Ngân và Quốc: 5, 6, 7, 8, 9, 10,

20. Ngân : 12, 13

21. Quốc : Mô mà 13.

22. Ngân: 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, à

23. Quốc: 1, 2, 3, 4 là hình này, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 chứ ?

24. Ngân: Ừ

25. Quốc : 13

26. Ngân : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. 13

27. Quốc: 13, hình 4 là 13 này , 13 là ta có, à, ta có à răng quên rồi, 2n -1

28. Ngân: 2n -1

29. Quốc: à, 3n -1, 3 nhân 4 , 12, à, không được,……, à, 3 nhân 4, 12 cộng 1 là

30. Ngân: cộng, 3 nhân 3 là 9 31. Quốc: 2n, n2 , 2n2 ,….., 3n +1, 3 nhân 2 là 6 cộng 1 , 7, 3n -1

32. Ngân: 9 cộng..

33. Quốc : 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12

34. Ngân : 13, 13

35. Quốc: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ak, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

36. Ngân : 9, hình to nữa

37. Quốc: 1, 2, 3, 4, 5, .., 9 luôn hè,

38. Ngân: 9, hình to nữa.

39. Quốc: đếm nhầm mãi..!!! 9 1, 2, 3,4 ,

40. Ngân: đúng rồi

41. Quốc: 2n, 2n + 1 à, 3 nhân 3, 9, à, 2 nhân 3 , 6, 2 nhân 3 , 6

42. Ngân : Không

43. Quốc: 4 nhân … 4 bình phương, 16 luôn…. 2 nhân 2, 4, 2 nhân 3 là 6, 6 là

cần 4, 6 cộng 3, 2 nhân 2, là 4 cộng 1, 2 nhân 4 là 8, 4n , à, 4 nhân 2 là 8.

44. Ngân: 3n

45. Quốc: à, 4n trừ 3, à, 4n trừ … 3, phải không?

46. Ngân: 16 – 3, Ừ, 13, 12 trừ 3 , 9, 8 trừ 3 là 5, Ừ, 4n -3.

47. Quốc : H(n) bằng 4n -3.

Bài toán 4 :

1. Ngân: Vẽ hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O

2. Quốc: SO vuông góc với đáy, I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC, AB,

AB mô rồi, BC

3. Ngân: BC, chứng minh IJ vuông góc với mp (SBD)

4. Quốc: J mô rồi, IJ vuông góc với mp S, SBD à

5. Ngân: Ừ

6. Quốc: SBD

7. Ngân: muốn chứng minh IJ vuông góc với mp(SBD), ta chứng minh IJ vuông

góc với BD, chứng minh IJ vuông góc với đường thẳng nằm trong mp(SBD).

Ta có IJ là đường trung bình của ABC suy ra IJ song song với AC mà

8. Quốc: BO vuông góc với AC

9. Ngân: ta có.

10. Quốc: BO vuông góc với AC suy ra IJ vuông góc với BO

11. Ngân: lấy BD cho dễ, đang xét mp này

12. Quốc: BO tức là BD luôn

13. Ngân: IJ vuông góc với BD luôn. Có SO vuông góc với mp(ABCD)

14. Quốc: SO vuông góc với đáy, mà IJ thuộc đáy nên suy ra SO

15. Ngân: vuông góc với IJ nên suy ra

16. Quốc: Suy ra

17. Ngân: IJ vuông góc với (SBD). Được không? Được chưa? Được rồi hè ?.

18. Quốc: Ừ

P10

Nhóm Thuỳ Vân - Cẩm Tiên

Bài toán 1

1. Vân: Cho tam giác ABC, vẽ to lên …

2. Tiên: Rồi, Sao nữa ?

3. Vân: Về phía ngoài tam giác dựng các tam giác ABD vuông cân tại B,

4. Tiên: Vuông cân tại B, vẽ vuông trước, lấy êke.

5. Vân: BCE vuông cân tại B luôn. So sánh diện tích ABC và BDE .

6. Tiên: So sánh diện tích ABC à..

7. Vân: Có liên quan đến diện tích, vuông và bằng nhau, cạnh bằng cạnh chắc

là vẽ đường cao ở đây

8. Tiên: Vẽ đường cao tam giác phải không ?

9. Vân: Ừ. ở đây, có ba góc luôn

10. Tiên : S của BDE là 1/2 DE cộng

11. Vân : Nhân chứ . Chiều cao mà ….

12. Tiên: S của ABC là 1/2 AC nhân BH. Không có gì đặc biệt cả

13. Vân : thử ghi diện tích của hai cái này luôn xem thử. Hay là mình có kẻ gì

đó rồi hai bên cộng lại chi đó.

14. Tiên: Đánh giá hai cái gì đó với nhau nơi a

15. Vân: ghi cái này, S của BDA bằng ½ BD nhân BA

16. Vân và Tiên: S của BCE bằng 1/2 BE nhân BC

17. Vân: BD = BA, … lạ kỳ chưa. Ak, muốn tính cái này là mình vẽ đường cao

ở đây , bởi vì liên quan đến tam giác này, mình vẽ đường cao ở đây, thì có

đường này bằng tam giác bên này và bên này cũng có một đường bằng tam

giác bên này.

18. Tiên: Chứng minh tam giác bằng nhau.

19. Vân : Chứng minh được hai cái này bằng nhau, ak hai cái này bằng nhau.

20. Tiên: Ak. Đúng rồi, mình thử lấy cạnh đáy là cạnh này, hai cạnh này là một

rồi , mình thử dựng đường cao rồi chứng minh

21. Vân: ukm

22. Tiên: S của BDE bằng ½ DF nhân với BE, S của ABC bằng ½ BC nhân với

AK. Từ từ, hai cạnh này bằng nhau, phải chứng minh thêm hai đường.

P11

23. Vân: Không, bạn nói tam giác mô ? Tam giác ABC

24. Tiên: BDE, tức là chứng minh hai đường này bằng nhau.

25. Vân: Đường này a, …, mình làm thêm hai tam giác này nữa, bởi vì có liên

quan đến mấy cạnh này.

26. Tiên: Từ từ, để bạn, .., từ từ

27. Vân: Mình kẻ răng cho có liên quan đến cái bên này, bên này có liên quan

nhưng bên kia không liên quan nơi.

28. Tiên: Răng

29. Vân: Mình làm cạnh này là cạnh đáy a

30. Tiên: Mình cần hai diện tích bằng nhau, thì mình cần chứng minh cái này,

chứ liên quan đến hình đó làm chi?

31. Vân: Rứa họ cho hai cạnh này bằng nhau làm chi

32. Tiên: Oh, bạn nói rồi, họ cho hai cái cạnh bằng nhau để mình tính diện tích

này, có hai cạnh bằng nhau rồi, mình cần chứng minh hai đường cao bằng

nhau, là bằng nhau giờ mình có BE = BC rồi này.

33. Vân: ak, …

34. Tiên: Mình cần chứng minh DF và AK bằng nhau nữa thôi, là xong. Bạn nói

chứng minh hai tam giác ABK và DBF …cạnh này rồi, có góc vuông, cạnh

này với thêm gì nữa hè?

35. Vân: cạnh, cạnh này, hay đường này song song.

36. Tiên: à, cạnh

37. Vân: a, đúng rồi, hai đường này song song.

38. Tiên : Hai đường này răng mà song song ?

39. Vân: Hai đường này song song, đây vuông, đây cũng vuông, là song song,

đây là góc vuông , suy ra là hình chữ nhật, làm răng để chứng minh đây là

hình vuông, thì hai đường này bằng nhau suy ra hai tam giác bằng nhau.

40. Tiên: Mô rồi, theo trường hợp chi.

41. Vân: theo trường hợp là cạnh huyền, góc nhọn

42. Tiên: Vân nói hai tam giác mô…

43. Vân: a, nhầm, cạnh huyền với cạnh góc vuông

44. Tiên: có trường hợp đó nữa à?

45. Vân : có, cạnh huyền với cạnh góc vuông

P12

46. Tiên: Rứa giờ mình chứng minh hai đường này bằng nhau

47. Vân: Ừ, cái này là hình chữ nhật rồi, muốn chứng minh hình vuông, hình

chữ nhật răng là hình vuông, hai cạnh kề bằng nhau à. Hình chữ nhật..

48. Tiên: hai đường chéo bằng nhau, đường chéo, chắc không được rồi, chứng

minh hai cạnh này đi.

49. Vân : Ừ, … !!!

50. Tiên: BK, BF, BF

51. Vân: hay mình chứng minh hình thoi.

52. Tiên. Kẻ thêm nữa thì rắc rối, chứng minh hai cạnh kề bằng nhau thì chứng

minh cách kia cho rồi.

53. Vân: Cũng không có liên quan chi cả.

54. Tiên: Thôi đừng chứng minh hình vuông nữa, chứng minh cách khác đi. Hai

tam giác DFB với AKB, xem góc nhọn này đi, góc này với góc này.

55. Vân : Hắn cũng không đối đỉnh

56. Tiên: Rứa chứng minh góc mô, góc này không được, góc này cũng không

liên quan chi cả

57. Vân: ukm

58. Tiên : mô hè ?…!!!. Chứng minh hai đường này song song đi

59. Vân: song song làm chi ?

60. Tiên: Chứng minh hai cái này song song, bạn có một cách.

61. Vân: Nói đã

62. Tiên: Chứng minh hai cái này song song, mà cái này vuông góc với cái này

suy ra hai đường chéo vuông góc, hình chữ nhật có hai đường chéo vuông

góc là hình vuông, ..suy ra hai cạnh bằng nhau suy ra hai tam giác bằng

nhau

63. Vân : từ từ, hai cái này song song

64. Tiên: Trời ơi, hai cái này song song, mà cái này vuông với cái này, BH

vuông với AC, suy ra BH vuông với HK luôn…

65. Vân: ak, lấy bút đỏ tô những đường này lên

66. Tiên: suy nghĩ chứng minh đi

67. Vân: đây

68. Vân và Tiên: không có chi hết ……!!!

P13

69. GV: Sao rồi, chưa được à ? Cái gì đây ?

70. Vân : em vẽ thêm đường cao này, rồi vẽ thêm đường cao này nữa?

71. GV: Vì sao vẽ thêm hai đường cao đó?

72. Vân: Bởi vì chưa có đường cao, vẽ thêm để tính diện tích.

73. GV: Vì sao không vẽ hai đường cao từ các đỉnh khác, mà vẽ hai đường cao

từ các đỉnh đó?

74. Vân: vì hai đường cao này liên quan đến các điều kiện đã cho

75. GV: Điều kiện đã cho …

76. Vân: Cạnh này bằng cạnh này, vẽ thêm đường cao từ đây, thì cạnh này nhân

cạnh này nhân thêm ½ , bên kia cũng là cạnh này nhân với cạnh này nhân 1/

77. GV: Vẽ như vậy với mục đích là so sánh cái chi hè ?

78. Vân: so sánh đường cao, bọn em so sánh hai tam giác này, nhưng thiếu một

điều kiện

79. GV: À, đúng rồi, so sánh hai tam giác đó? Chú ý mối liên hệ giữa các góc

đó?

80. Vân: Chú ý mối liên hệ giữa các góc, dựa vào hai tam giác này đúng rồi.hai

cạnh này bằng nhau, góc vuông ? Tìm mối liên hệ giữa các góc? Góc này

với góc này liên quan chi mô nà ? Góc này với góc này hay góc này với góc

này,

81. Tiên: có liên quan chi mô nà? 82. Vân : Thì chúng nằm gần nhau, có góc 900 nữa. Góc này cộng góc này là bằng 900, góc này cộng góc này là bằng 900 mà góc này cộng góc này cũng bằng 900, suy ra cái này bằng cái này, ak ak,… ra hay rứa ? Chi nữa ? Phải không ?.. Cái này cộng cái này bằng 900, cái này cộng cái này bằng 900

83. Tiên: À, À … ,Ừ

84. Vân: suy ra hai cái này bằng nhau, vì cộng chung một góc mà.

85. Tiên: Ừ, đúng rồi.

P14

P15

P16

Nhóm Trang - Ngân

Bài toán 2

1. Trang: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng . Trên nửa mp bờ AC dựng các hình

vuông ABEF, và

2. Ngân: BCDG

3. Trang: ABEF, BCDG, M, N lần lượt là trung điểm của AG và

4. Ngân: CE

5. Trang: Hỏi tam giác MBN .Dễ cân lắm, vuông nữa.

6. Ngân: Vuông cân

7. Trang : Ừ

8. Ngân: Chứng minh cân trước, chứng minh BM bằng BN có M là trung điểm

này.

9. Trang: Mình phải chứng minh hai tam giác ABG và EBC bằng nhau này, phải

không?

10. Ngân: Ừ

11. Trang: cạnh này bằng cạnh này, AB bằng EB, BC bằng BG, phải không ?

12. Ngân: Ừ, BC = BG vì là hình vuông

13. Trang: góc này bằng góc này. Suy ra hai tam giác bằng nhau. Nên hai cạnh AG

và EC bằng nhau. Đường trung tuyến bằng ½ cạnh huyền nên BM bằng BN. Ta

chứng minh góc MBN vuông nữa

14. Ngân: góc ABE vuông , CBE vuông rồi

15. Trang: hai tam giác ABG và BEC bằng nhau. BM bằng BN luôn

16. Ngân: chứng minh vuông góc à

17. Tran : tam giác ABM bằng BEN vì cạnh AB bằng cạnh BE, cạnh AM bằng MB

bằng BN bằng NE nữa nên hai góc ABM, EBN bằng nhau

18. Ngân: góc này bằng góc này à

19. Trang: góc bên này bằng góc bên này, đúng không? 20. Ngân: ak, góc ABM cộng góc MBE bằng 900 21. Trang: góc ABM cộng MBE bằng 900 nên góc MBE cộng góc NBE bằng 900

luôn

22. Ngân: Suy ra góc này vuông. Rồi.

P17

P18

Nhóm Hợp –Hải Tuấn

Bài toán 1

1. Tuấn : Cho tam giác ABC.

2. Hợp: ABC rồi

3. Tuấn: Về phía ngoài tam giác dựng hai tam giác ABD vuông cân tại B

4. Hợp: Tại B hết luôn à

5. Tuấn: ABD và BCE vuông cân tại B

6. Hợp: Rồi

7. Tuấn : So sánh diện tích tam giác ABC và BDE.

8. Hợp : ABC

9. Tuấn : và BDE

10. Hợp : BDE, Rồi.

11. Tuấn: Mình sử dụng diện tích tam giác sẽ bằng đường cao, cạnh đáy nhân

với đường cao tương ứng. mà giờ chừ mình có cạnh BD, BD bằng với AB

rồi.

12. Hợp:Ừ

13. Tuấn: giờ mình chỉ cần vẽ đường cao, hạ đường cao tương ứng với hai cạnh

đáy nữa và so sánh chúng với nhau, là biết diện tích hai tam giác ABC và

BDE

14. Hợp: Ừ, Rứa là dựng đường cao từ E với từ C à.

15. Tuấn : Ừ

16. Hợp: Dựng EH đi hè

17. Tuấn : Ừ

18. Hợp: Dựng EH vuông góc với BD, dựng C

19. Tuấn: CK

20. Hợp : CK vuông góc với AB

21. Tuấn: Ừ

22. Hợp: là có đáy bằng nhau rồi

23. Tuấn: giờ chỉ cần so sánh hai đường cao là biết diện tích thôi

24. Hợp: Ừ

25. Tuấn: ukm, Mình nhìn vào tam giác BCK với BDH đi

P19

26. Hợp: BCK, BDH à, BEH chứ

27. Tuấn: A, BEH

….!!!!

28. Hợp: à, giờ chứng minh EH bằng CK, mình tìm xem có hai tam giác nào

bằng nhau không

29. Tuấn: Xem tam giác BCK với BEH có bằng nhau không?

30. Hợp: Có góc vuông này, đường cao, góc vuông

31. Tuấn : rồi

32. Hợp: BE bằng BC, giả thiết

33. Tuấn: giờ mình cần chứng minh thêm một cạnh hoặc một góc nữa bằng nhau

34. Hợp : cạnh này. Chắc không được rồi, cạnh không có bằng nhau, góc xem

35. Tuấn: ak, có một góc này, một góc phụ với góc B bên ngoài này, góc B trong

hai tam giác đều bằng nhau này. Ta có góc KBC

36. Hợp: KBC

37. Tuấn: bù với góc, bù với góc DBE

38. Hợp: BDE

39. Tuấn: và góc

40. Hợp: phụ chứ? phụ hay bù?

41. Tuấn: hai góc bù với nhau

42. Hợp: BDE, à rồi rồi

43. Tuấn: hai góc ấy bù với nhau, trong tam giác EBH cũng có góc EBH cũng

bù với góc DBE

44. Hợp: DBE, à rồi

45. Tuấn: Nên mình suy ra được góc EBH bằng góc KBC

46. Hợp :Ừ

47. Tuấn: với hai tam giác vuông của mình là có hai cạnh bằng nhau và hai góc

bằng nhau rồi nên suy ra hai tam giác bằng nhau

48. Hợp: Bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn

49. Tuấn: Cạnh huyền – góc nhọn nên mình suy ra, hai tam giác bằng nhau nên

mình có

50. Hợp: Suy ra KC bằng HE

51. Tuấn: KC mà bằng HE, mình dựa vào công thức

P20

52. Hợp: diện tích tam giác

53. Tuấn: diện tích tam giác, mình có hai đáy BD và AB bằng nhau rồi, mình

mới chứng minh hai đường cao bằng nhau nên mình suy ra diện tích hai tam

giác bằng nhau

54. Hợp: Diện tích hai tam giác bằng nhau

P21

P22

Bài toán 2

1. Hợp: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Trên nửa mp bờ AC dựng

hình vuông ABEF và BCDG

2. Tuấn: A gì

3. Hợp: ABEF, .., và BCDG

4. Tuấn: BC

5. Hợp: BCDG. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AG và CE, AG, CE

6. Tuấn: M là trung điểm của AG

7. Hợp: N là trung điểm của CE. Hỏi tam giác MBN là tam giác gì. Tại sao?

8. Tuấn: MBN

9. Hợp: MBN, vuông cân, nhìn giống vuông cân

10. Tuấn: giờ chứng minh thôi, vẽ hình ra gần giống vuông cân, giờ chứng minh

vì sao vuông , vì sao cân

…!!!

11. Hợp: NBM

12. Tuấn: Ta chứng minh tam giác vuông, mình có tam giác ABG là tam giác

vuông, ta xét tam giác ABG và tam giác EBC có, hai tam giác này vuông rồi

với

13. Hợp: có cái này bằng nhau

14. Tuấn: có cạnh BG =BC với cạnh AB

15. Hợp: Có góc vuông bằng nhau nữa

16. Tuấn: thì xét hai tam giác vuông rồi, có cạnh BG bằng BC với cạnh AB bằng

cạnh BE nên suy ra hai tam giác bằng nhau

17. Hợp: hai tam giác bằng nhau

18. Tuấn: tam giác ABG bằng tam giác EBC

19. Hợp: góc, tam giác ABG là có, vuông rồi, M là trung điểm suy ra là BM

bằng một phần hai AG, bằng AM, suy ra AMB là tam giác cân, suy ra MBA

bằng MAB

20. Tuấn: đúng rồi

P23

21. Hợp: Mà MAB cộng góc AGB bằng 900. Mà góc AGB bằng góc ECB do hồi

nảy có chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau, mà góc NCB bằng NBC

do tam giác cân

22. Tuấn: chứng minh tương tự

23. Hợp : tương tự giống bên kia

24. Tuấn: rồi

25. Hợp: rồi, suy ra MBA cộng NBC bằng 90,

26. Tuấn: rồi 27. Hợp: mà hai góc đó cộng thêm góc MBN bằng 1800 , suy ra MBN bằng 90 ta

được tam giác cần tìm là tam giác vuông

28. Tuấn: tam giác MBN là tam giác vuông mà bạn thấy ta có BM bằng AC chia

2, mà à

29. Hợp : AG

30. Tuấn: BM bằng AG chia 2 mà AG sẽ bằng EC suy ra BM sẽ bằng EC chia 2,

mà EC chia 2 là sẽ bằng BN, nên ta có BM = BN. Vậy trong tam giác vuông

BMN có BN bằng BM nên tam giác BMN vuông cân tại B

31. Hợp : Vuông cân tại B, ok

P24

P25

P26

Bài toán 3

1. Tuấn: n bằng 1 thì có 0, ak có 1 hình tam giác

2. Hợp: n bằng 2 là …, hình 1 có 1 này, hình 2 có 4 tam giác, hình 3 là có 7

3. Tuấn: hình 3 sao mà có 7 tam giác được, hình 3 có 8 tam giác

4. Hợp: 1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9. 9 hình to nữa

5. Tuấn: đợi tí, sai rồi. Hình 2 có mấy hình tam giác? Hình 2 có mấy hình tam

giác?

6. Hợp: 4

7. Tuấn: 5, 5 hình tam giác

8. Hợp: cộng thêm trong nữa, 4 hình nữa

9. Tuấn: là 9

10. Hợp: là 9, 9 tam giác, cộng thêm trong 4 nữa

11. Tuấn: là 13

12. Hợp: rứa là cộng 4 à, không phải

13. Tuấn: Thì nếu nhìn vào hình 3 thì thấy, nếu không tính tam giác nhỏ nằm ở

giữa, tam giác nhỏ nằm ở giữa chính là hình 2, thì trong tam giác to sẽ có

tam giác nhỏ hình ở giữa là hình 2, thì hình 2 sẽ có, nhưng nếu không tính

tam giác to của hình 2 thì trong tam giác nhỏ sẽ có 4 hình tam giác, cứ tính

tiếp tục như vậy, thì cứ sau mỗi hình là số hình tam giác sẽ tăng lên là, tăng

lên 4 hình

14. Hợp: tăng lên 4 hình nhưng kể từ hình 2 trở đi, giống hình 1 lên hình 2 là

tăng 4 hình, à, tăng 3 chứ mấy

15. Tuấn: từ 1 lên là tăng 4, 1 lên 5

16. Hợp: rứa là tăng 4, qua mỗi hình thì tăng 4, bởi vì thêm một tam giác ở giữa

là thêm được 4 tam giác

17. Tuấn: thì sẽ tăng 4, rứa thì mình sẽ có công thức…

18. Hợp: rứa là hình thứ n là

19. Tuấn: hình thứ n sẽ có 1cộng

20. Hợp: 4 nhân n

21. Tuấn: 1 cộng cho 4 nhân cho n trừ 1

22. Hợp: 4 nhân n trừ 1

P27

23. Tuấn: đúng không?

24. Hợp: Đúng rồi, thêm một tam giác ở giữa là thêm 4 tam giác

25. Tuấn: Ừ, ở chính giữa tam giác nhỏ, lại tiếp tục có hình số 2 nên mình cứ

tăng lên thôi

26. Hợp: n bằng 3 thì 2, 8 , 9 .ok

27. Tuấn: số tam giác hình 1, H(1) bằng 1, số tam giác hình 2 ta có H(2) =5, số

tam giác hình 3 là H(3) bằng 9, hình 4 là 13

28. Hợp: số tam giác ở hình n là H(n) bằng 1cộng 4 nhân cho hiệu n trừ 1. Cứ

sau mỗi hình số tam giác tăng 4 hình

29. Tuấn: tăng 4 hình

30. Hợp: tăng 4 tam giác, H(2)= H(1)+4, H(3) = H(2) + 4, H(4) = H(3) +4

31. Tuấn: suy ra H(n+1) = H(n) +4

32. Hợp: Rồi, chứng minh

P28

P29

Nhóm Thu Sƣơng - Huyền Trang

Bài toán 1

1. S: Cho tam giác ABC, vẽ đi

2. T: Rồi

3. S: Về phía ngoài tam giác dựng tam giác ABD

4. T: ABD

5. S: ABD vuông cân và BCE vuông cân, hai tam giác đều vuông cân tại E

6. T: Tại B, vuông cân tại B

7. S: So sánh diện tích tam giác ABC và BDE

8. T: Diện tích bằng nhau chi nữa

9. S: Nối ABD đi, đánh dấu vuông cân

10. T: AB bằng BD, BC bằng BE ,…, mình sử dụng công thức diện tích bằng ½

tích hai cạnh nhân với sin góc xen giữa hè ? Diện tích tam giác ABC bằng ½

nhân với AB.BC nhân sin góc ABC

11. S: Diện tích của tam giác BDE bằng ½ nhân BD nhân BE nhân sin DBE

12. T: Ừ

13. S: Cần so sánh hai sin bằng nhau là được

14. T: Có là, bên này là sin ABC hey, bên này là sin DBE hey. Có 4 góc này cộng lại là 3600 đó là ABC cộng góc ABD cộng góc DBE cộng góc EBC là bằng 3600 mà hai góc vuông

15. S: hai góc còn lại là ABC và BDE 16. T: là sẽ bằng 3600 trừ 1800 là do hai góc vuông, mà có sina= sin(1800-a),

hai góc bù nhau, sin của hai góc bù nhau bằng nhau, được chưa?

17. S: ừ

18. T: suy ra sinABC = sin DBE.

Bài toán 2

1. S: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Trên nửa mặt phẳng bờ AC

dựng các hình vuông ABEF, và BCDG

2. T: ABEF à

3. S: ABEF, BCDG

P30

4. T: Rồi

5. S: M là trung điểm của AG

6. T: Rồi, sao nữa?

7. S: N là trung điểm của CE. Hỏi tam giác MBN là tam giác gì? …

8. T: rồi

9. S: Tam giác đều à?

10. T: Vuông cân

11. S: Không đều

12. T: Không đều, vuông cân.

13. S: Ừ

14. T: Xét tam giác ABG và EBC có góc vuông, hai góc vuông là ABG với EBC

15. S: có hai cạnh bằng nhau AB với BE

16. T: rồi, có thêm nữa là BG với BC

17. S: Nên suy ra, hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh- góc- cạnh.

18. T: Suy ra hai cạnh

19. S: hai cạnh huyền bằng nhau

20. T: là AG bằng với EC

21. S: mà MB bằng ½ AG

22. T: với ta có góc AGB bằng góc ECB

23. S: MB bằng ½ AG, trung điểm, cạnh huyền

24. T: MB bằng ½ AG mà BN =1/2 EC nên BM=BN

25. S: nên tam giác BMN cân tại B

26. T: Ừ, ta có BM là bằng MG suy ra tam giác MGB cân tại M suy ra góc MGB

bằng góc MBG

27. S: tương tự tam giác…

28. T: Tam giác NBC cân tại N suy ra góc NBC bằng góc NCB. Mà góc NCB

bằng góc MGB do hai tam giác bằng nhau. Nên suy ra góc MBG bằng góc

NBC. Được chưa

29. S: Ừ

30. T: Tam giác EBC vuông tại B nên suy ra 31. S: góc NBC cộng góc EBG bằng 900 32. T: Hay góc MBG cộng góc GBN bằng 900

P31

33. S: suy ra góc MBN bằng 900

34. T: suy ra góc tam giác MBN vuông tại B , với thêm tam giác MBN cân tại B

nữa suy ra tam giác MBN vuông cân tại B.

P32

Nhóm Linh - Thắng

Bài toán 3

1. Linh: Tìm quy luật đi

2. Thắng: Hình 1 là mấy hình, hình 1 là 1 hình, đúng không?

3. Linh: Ừ, hình 2 là 4 hình

4. Thắng: 5 hình chứ ?

5. Linh: ừ hè

6. Thắng: 5 là bằng 1 cộng 4

7. Linh: Sao mà biết được, nhiều khi bằng 2 cộng 3 thì sao?

8. Thắng: Làm cho rồi, hình 3 là mấy hình?

9. Linh: .. 9 hình.

10. Thắng: 9 hình phải không? Rồi

11. Linh: Một hình thêm 4 hình thì phải ?

12. Thắng: Ừ, Là bằng 5 cộng 4, đúng không ? Hình 4

13. Linh: hình 4 là thêm 4 hình nữa là ..13 hình, … đúng rồi.

14. Thắng: 13 hình, rồi, là bằng 9 cộng 4

15. Linh: 5 bằng 1cộng 4

16. Thắng: hình 3 là bằng hình 2 cộng 4, hình 4 là bằng hình 3 cộng 4, hình sau

là bằng hình trước cộng 4

17. Linh: Ừ

18. Thắng: hình 3 bằng 1 cộng 4 lần 2, hình 4 là bằng

19. Linh : bằng 1cộng 4 lần 3

20. Thắng: suy ra hình n là bằng mấy?

21. Linh: đáng lẽ là bằng 1 cộng 4 nhân n, n thuộc N* vì hình đầu là n bằng 0.

22. Thắng: thì hình 1là 1, đây hình 2 là n bằng 1

23. Linh: đáng lẽ đây là bằng 1 này, nhưng nó lại bằng 0 cho nên phải n trừ 1 ra

mới đúng.

24. Thắng: ừ, hình 4 thì n bằng 3, hình 3 thì n bằng 2.

25. Linh: ừ, thì n giảm đi 1

26. Thắng: Như vậy thì hình n bằng 1 cộng 4 nhân n trừ 1. Giờ chứng minh

27. Linh: Chứng minh quy nạp thôi.

P33

P34

P35

Bài toán 4

1. Thắng : Đọc đề để bạn vẽ hình cho

2. Linh : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O.

3. Thắng : Đáy hình thoi thì vẽ là hình bình hành.

4. Linh : Tâm O thì SO vuông góc với đáy. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của

AB,BC. Đường thẳng IJ có vuông góc với mặt phẳng (SBD) không ? Tại sao

5. Thắng: rồi

6. Linh: Cho IJ vuông góc với mặt phẳng (SBD), ta chứng minh IJ vuông góc

với 2 đường thẳng thuộc mặt phẳng (SBD).

7. Thắng : Phải chứng minh IJ vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau thuộc

mặt phẳng (SBD).

8. Linh : 2 đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng (SBD) là được.

9. Thắng : 2 đường thẳng đó phải cắt nhau.

10. Linh : Xem BD có

11. Thắng : BD vuông góc với IJ vì SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) thì SO

vuông góc với BD.

12. Linh : Chứng minh SO vuông góc với BD làm gì ? IJ vuông góc với BD vì

ABCD là hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau tức AC vuông góc

với BD mà IJ song song với AC.

13. Thắng : IJ song song với AC theo tính chất đường trung bình trong tam giác.

14. Linh : Thêm SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) mà IJ nằm trong mặt

phẳng (ABCD) nên suy ra SO vuông góc với IJ, mà SO và BD cắt nhau nên

suy ra IJ vuông góc với mặt phẳng (SBD).

P36

P37

Bài toán 2

1. Linh: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự

2. Thắng: Rồi

3. Linh.: Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng hình vuông ABEF, BCDG

4. Thắng: BCDG…

5. Linh: Gọi M, N. M là trung điểm của AG, N là trung điểm của CE.

6. Thắng: Rồi

7. Linh. Hỏi tam giác MBN là tam giác gì?

8. Thắng: MBN

9. Linh: Xem BM, BN có bằng nhau không? Đo xem

10. Thắng: BM.BN. Có vẻ bằng nhau. Xem góc này là góc gì?

11. Linh: thấy vuông, cũng có thể là vuông cân.

12. Thắng: ừ

13. Linh: bài này có thể dùng phép quay thì phải, vì cho hai hình vuông. À,

tam giác ABG dựng lên là tam giác BEC. Phép quay ngược chiều kim đồng hồ là 900, cùng chiều kim đồng hồ là – 900. Phải không?

14. Thắng: Ừ, phép quay tâm B 15. Linh: Tâm B góc quay 900, biến A thành E, G thành C .Được chưa?

16. Thắng: ừ

17. Linh: Mà M là trung điểm của AG, N là trung điểm của EC nên suy ra

phép quay cũng biến M thành N

18. Thắng: Ừ 19. Linh: Suy ra BM =BN, Do phép quay góc 900 nên góc MBN cũng bằng

900. Suy ra tam giác BMN vuông cân,vuông cân tại B

20. Thắng: ừ, đúng rồi

P38

P39

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Sử dụng mô hình Toulmin để phân tích quá trình lập luận và chứng minh của học sinh

Chủ đề:

NGUYỄN THỊ NI

SỬ DỤNG MÔ HÌNH TOULMIN ĐỂ PHÂN TÍCH QUÁ

TRÌNH LẬP LUẬN VÀ CHỨNG MINH CỦA HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. TRẦN KIÊM MINH

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

LỜI GIỚI THIỆU

Chƣơng 1. ĐẶT VẤN ĐỀ

Chƣơng 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chƣơng 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU

Chƣơng 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Chƣơng 5. KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

CÁC PHIẾU HỌC TẬP

PHIẾU HỌC TẬP 1

PHIẾU HỌC TẬP 2

PHIẾU HỌC TẬP 3

PHIẾU HỌC TẬP 4

CÁC ĐOẠN TRÍCH GHI ÂM VÀ BÀI LÀM CỦA HỌC SINH

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi