Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học Toán phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

________________

Đặng Minh Hải

CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ

VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHÚNG TRONG DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS.LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin chân thành biết ơn TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã nhiệt tình

hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần

Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho

chúng tôi những kiến thức về Didactic toán, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot,

TS. Alain Birebent đã đóng góp những ý kiến định hướng cho đề tài.

Xin cảm ơn các anh chị cùng khóa đã quan tâm, giúp đỡ tôi.

Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đặc biệt là vợ tôi, người đã luôn động viên tôi trong quá

trình thực hiện luận văn.

Tác giả

Đặng Minh Hải

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

HS : Học sinh

GV : Giáo viên

: Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao hiện hành GKNC10

: Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành GKNC11

: Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao hiện hành GKNC12

: Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản hiện hành GKCB10

: Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành GKCB11

: Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản hiện hành GKCB12

: Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao hiện hành GVNC10

: Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành GVNC11

: Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao hiện hành GVNC12

: Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản hiện hành GVCB10

: Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành GVCB11

: Sách giáo viên Giải tích 12 cơ bản hiện hành GVCB12

SGK : Sách giáo khoa

SGV : Sách giáo viên

MỞ ĐẦU

1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Trong chương trình toán ở trường phổ thông, các tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số

được huy động để giải quyết kiểu nhiệm vụ quan trọng: khảo sát hàm số (lớp 12). Liên quan đến

2ax

c

y



kiểu nhiệm vụ này, chương trình chủ yếu nghiên cứu các loại hàm số sau: hàm bậc nhất y=ax+b, hàm bậc hai y=ax2+bx+c, hàm đa thức bậc 3 y=ax3+bx2+cx+d, hàm đa thức bậc bốn trùng phương

y



bx    a' x b'

ax b   cx d

y=ax4+bx2+c, hàm phân thức (c≠0, ad-bc≠0), hàm phân thức (a≠0,

a’≠0)1. Có thể thấy rõ một đặc trưng chung là các hàm số này đồng thời liên tục và khả vi trên các khoảng đơn điệu của nó. Với tư cách đối tượng2, các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục,

hàm số khả vi đã được nghiên cứu ở các lớp 10, 11. Điều này khiến chúng tôi tự hỏi rằng: mối liên

hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, đạo hàm được thể hiện như thế nào? Có

chênh lệch gì so với các mối liên hệ của chúng ở cấp độ tri thức khoa học?

Khi chúng tôi học giải tích ở bậc đại học, các giảng viên luôn nhấn mạnh mối liên hệ liên tục-

khả vi, đặc biệt là tính chất “một hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó”. Các

minh họa bằng đồ thị theo sau các chứng minh chặt chẽ trên các phản ví dụ đã giúp chúng tôi hiểu

rõ vấn đề, đặc biệt nhờ trực giác hình học, chúng tôi có thể dễ dàng xây dựng các phản ví dụ kiểu

này. Như vậy, đồ thị là công cụ hữu hiệu trong việc minh họa trực quan mối liên hệ liên tục-khả vi.

Ở phổ thông, điều này có được tính đến không ? Rộng hơn, đồ thị có được tính đến như một công cụ

cho phép làm rõ các mối liên hệ giữa ba đối tượng: đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số không ?

Từ những vấn đề trên, chúng tôi thấy việc nghiên cứu “Các tính chất của hàm số và mối liên hệ

2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu

giữa chúng trong dạy học Toán phổ thông” là cần thiết.

Nhằm tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm

vi lý thuyết didactic toán, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học với các khái niệm : Chuyển đổi

didactic, tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế và mối quan hệ cá nhân với một đối tượng tri thức.

Đây là công cụ hữu hiệu làm rõ mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục

và sự khả vi của hàm số. Bên cạnh đó, lý thuyết tình huống với các khái niệm: tình huống dạy học,

biến didactic, môi trường được sử dụng nhằm xây dựng các tình huống thực nghiệm. Ngoài ra, khái

niệm hợp đồng didactic sẽ được sử dụng nhằm một mặt làm rõ mối quan hệ thể chế, mặt khác khái 1 Chỉ đề cập trong SGK nâng cao. 2 Theo Lê Văn Tiến (2005): “Trong phạm vi toán học ở trường phổ thông, ta hiểu một khái niệm hoạt động dưới dạng Đối tượng khi nó là đối tượng được nghiên cứu (được nghiên cứu, được khai thác các tính chất,…)” [19, tr.56]

niệm này giúp giải thích các ứng xử của học sinh liên quan đến mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính

liên tục và sự khả vi của hàm số.

Trong phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, từ các câu hỏi ban đầu, chúng tôi phát biểu các câu hỏi

nghiên cứu như sau:

Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu, tính liên

tục và sự khả vi của hàm số?

Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa

tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao? Có những đặc

trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được đặt ra? Mối liên hệ

nào không được đặt ra? Vì sao? Sự biểu diễn hàm số bằng hệ thống biểu đạt đồ thị có được

tính đến như một môi trường cho phép làm rõ mối liên hệ giữa các đối tượng: tính đơn điệu,

tính liên tục và sự khả vi của hàm số không?

3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu

Q3: Những ràng buộc của thể chế ảnh hưởng thế nào đến mối quan hệ cá nhân của học sinh?

Trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ, bám sát những câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi giới hạn vấn

đề nghiên cứu của mình trên các mối liên hệ giữa ba tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số.

Mục đích của luận văn là đi tìm một số yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3

đã đặt ra ở trên. Trên cơ sở đó, chúng tôi sẽ tiến hành những nghiên cứu sau:

-Nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học về các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên

tục và sự khả vi của hàm số bằng cách phân tích một số giáo trình đại học tiêu biểu. Nghiên cứu này

trả lời câu hỏi Q1 và dùng làm tham chiếu khi phân tích các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên

tục và sự khả vi của hàm số ở phổ thông.

-Nghiên cứu mối quan hệ thể chế trên các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả

vi của hàm số nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q2. Để thực hiện nghiên cứu này, chúng tôi tiến

hành phân tích chương trình và SGK hiện hành trên cơ sở tham chiếu những kết quả đạt được từ

nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức toán học. Kết thúc phần này, chúng tôi đề xuất các giả thuyết

nghiên cứu liên quan đến quan niệm của học sinh dưới ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế và đặt ra

câu hỏi nghiên cứu mới.

-Nghiên cứu thực nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá

nhân của HS. Nghiên cứu này nhằm trả lời một phần câu hỏi Q3 và câu hỏi được đặt ra liên quan

đến đồ thị.

4. Tổ chức của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương và kết luận chung.

Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục

đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn.

Chương 1 là phần trình bày nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học từ việc phân tích

một số giáo trình đại học.

Trong chương 2, chúng tôi trình bày phần nghiên cứu mối quan hệ thể chế với mối liên hệ

giữa ba đối tượng tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Trên cơ sở đó, chúng tôi đề

xuất các giả thuyết nghiên cứu và đặt câu hỏi mới.

Chương 3 là phần nghiên cứu thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất nhằm kiểm chứng tính

thỏa đáng của giả thuyết đã nêu và tìm kiếm các yếu tố trả lời cho câu hỏi được đặt ra ở cuối

chương 2. Thực nghiệm thứ hai nhằm tìm hiểu tác động của đồ thị lên mối quan hệ cá nhân của học

sinh

Phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đã nghiên cứu và đề xuất hướng nghiên cứu

mới mở ra từ luận văn.

Chương 1

MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH

LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ

Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC

Mục tiêu của chương là tìm câu trả lời cho câu hỏi sau :

Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu, tính liên tục và

sự khả vi của hàm số?

Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn nghiên cứu các giáo trình :

 [21]-Nguyễn Đình Trí (2008)-Toán học cao cấp tập 2-Phép tính giải tích một biến số-Nhà

Xuất Bản Giáo Dục.

 [22]-Jean-Marie Monier (2002)-Giáo trình toán tập 1-Giải tích 1-Nhà xuất bản Giáo dục.

[21] là giáo trình toán được dùng phổ biến trong các trường đại học ở Việt Nam. [22] là cuốn sách

được xuất bản trong khuôn khổ chương trình đào tạo kĩ sư chất lượng cao tại Việt Nam, với sự trợ

giúp của bộ phận Văn hóa và Hợp tác của Đại Sứ quán Pháp tại nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa

Việt Nam. Đây là hai tài liệu tham khảo chính. Ngoài ra, ở một số nội dung, để làm rõ vấn đề chúng

 [6]-Fichtengon (1977) – Cơ sở Giải tích toán học - NXB Đại học và Trung học chuyên

tôi cũng tham khảo thêm :

nghiệp.

 [24]-Israel Kleiner (1989), Evolution of the Function Concept: A Brief Survey, The College

 [23]-Richard F. Bass (2009), Real Analysis, (www.math.uconn.edu/~bass/meas.pdf).

Mathematics Journal, Vol. 20, No. 4 (Sep), tr.282-300 Mathematical Association of America.

 [25]-Discontinuous and monotone Functions

(www.mathcs.org/analysis/reals/cont/disconti.html)

Như vậy, chúng tôi chỉ giới hạn nghiên cứu các mối liên hệ có thể có giữa 3 đối tượng tính đơn

điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số trong các giáo trình đã chọn.

Trước hết, chúng tôi điểm qua các khái niệm tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số

nhằm tìm hiểu xem các mối liên hệ giữa chúng có được thể hiện trong các định nghĩa không ? Sau

đó, chúng tôi xem xét các mối liên hệ được thể hiện trong các định lí, tính chất liên quan đến ba đối

tượng này.

1.1 Các khái niệm đơn điệu, liên tục, khả vi

1.1.1 Khái niệm hàm số đơn điệu

[21] đưa vào định nghĩa như sau:



)



)

x x , 1

2

J x , 1

  x 2

f x ( 1

f x ( 2

“ NếuJ  I  R3, hàm số f:I→R được gọi là tăng trên J nếu



)



)

x x , 1

2

J x , 1

  x 2

f x ( 1

f x ( 2

Tăng nghiêm ngặt trên J nếu



)



)

x x , 1

2

J x , 1

  x 2

f x ( 1

f x ( 2

Giảm trên J nếu



)



f x (

)

x x , 1

2

J x , 1

  x 2

f x ( 1

2

Giảm nghiêm ngặt trên J nếu

Hàm số tăng hay giảm trên J được gọi là đơn điệu trên J.” [21, tr.46]

X

Định nghĩa hàm đơn điệu trong [22]:

X

R  (

)

f

R

“ Cho và 4

2

 (

)



X

, (



)



) )

x x , 1 2

x x , 1 2

X x , 1

  x 2

f x ( 1

f x ( 2

1)Ta nói f tăng khi và chỉ khi :

2

 (

)



X

, (



)



) )

x x , 1 2

x x , 1 2

X x , 1

  x 2

f x ( 1

f x ( 2

2) Ta nói f giảm khi và chỉ khi :

2

 (

)



X

, (



)



) )

x x , 1 2

x x , 1 2

X x , 1

  x 2

f x ( 1

f x ( 2

3) Ta nói f tăng nghiêm ngặt khi và chỉ khi :

2

 (

)



X

, (



)



) )

x x , 1 2

x x , 1 2

X x , 1

  x 2

f x ( 1

f x ( 2

4) Ta nói f giảm nghiêm ngặt khi và chỉ khi :

5)Ta nói f đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc f giảm.

6)Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm nghiêm ngặt. ” 5 [22, tr.103]

Nhận xét :

Theo cách trình bày của [21] và [22], khái niệm hàm số đơn điệu được xét trên một tập con bất kì

khác rỗng của R. Cả [21] và [22] đều phân biệt “tăng (giảm)” với “tăng (giảm) nghiêm ngặt”. [21]

dùng thuật ngữ đơn điệu để chỉ hàm tăng hay giảm còn trong trường hợp hàm “tăng (giảm) nghiêm

3 Trong [21] kí hiệu A  B nghĩa là mọi phần tử của A đều thuộc B hay A là tập con của B, A  B nghĩa là mọi phần tử của A đều thuôc B, và B có ít nhất một phần tử không thuôc A hay A là tập con thực sự của B. 4 P(R) là tập các tập con của R, RX là tập các hàm số từ X vào R. 5 f là hàm số từ X vào R.

ngặt” thì không có một thuật ngữ chung. [22] thì nêu rõ “Ta nói f đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc

f giảm.” và “Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm nghiêm

ngặt.”. Từ đây về sau, trong luận văn này, khi nói hàm đơn điệu ta hiểu hàm tăng hay giảm, khi nói

hàm đơn điệu ngặt ta hiểu hàm tăng hay giảm nghiêm ngặt.

1.1.2 Khái niệm hàm số liên tục

 Liên tục tại một điểm

a b ( , )

ox



)

nếu “ Cho f(x) là một hàm số xác định trên (a,b); nói rằng f(x) liên tục tại

f x ( o

f x lim ( )  x

x o

” [21, tr.89]

I . Ta nói f liên tục tại a khi và chỉ khi:

“Cho f: I →K, a

      



0,

0,

x

I

, (

x a

  



f x ( )



f a ( )



 )

.” 6 [22, tr.120]

Nhận xét:

[21] và [22] định nghĩa khái niệm liên tục tại một điểm theo hai cách khác nhau. [21] thông qua khái

,), [22] định nghĩa trực tiếp bằng ngôn ngữ

,(định nghĩa của

:f

I

niệm giới hạn (tránh ngôn ngữ

K , a

I . Để f liên tục tại

Weierstrass). Ngay sau định nghĩa trên, [22] đưa ra định lý: “Cho

a thì điều kiện cần và đủ là f có giới hạn là f(a) tại điểm a.”[22, tr.120], khẳng định sự tương đương

của hai định nghĩa trên.

Tiếp theo định nghĩa về sự liên tục của hàm tại một điểm, [21] và [22] đều đưa ra định nghĩa

về điểm gián đoạn và phân loại chúng:

ox được gọi là gián đoạn tại điểm ấy.

“Hàm số f(x) không liên tục tại điểm

a b [ , ]

ox là

ox

7;



0)





0)

Giả sử hàm f xác định trên đoạn [a,b], là một điểm gián đoạn của f . Ta nói

f x ( o

f x ( o

ox là điểm gián đoạn loại một nếu

  0)

(

,

0)



0)





0)



0)





0)

  nhưng R

điểm gián đoạn bỏ qua được nếu

f x ( o

R f x o

f x ( o

f x ( o

f x ( o

f x ( o

, hiệu được

ox ;

ox được gọi là điểm gián đoạn loại hai nếu nó không thuộc hai

gọi là bước nhảy của f tại

loại trên.” [21, tr.90]

“Ta nói f gián đoạn tại a khi và chỉ khi f không liên tục tại a.

[…]

Gián đoạn loại 1

Ta nói f có điểm gián đoạn loại 1 tại a khi và chỉ khi: f không liên tục tại a, f có giới

hạn trái tại a (nếu f xác định bên trái a), f có giới hạn phải tại a (nếu f xác định bên

0)

0)







6 I là một trong chín loại khoảng của R: [a,b], [a,b), (a,b], (a,b), (-∞;a), (-∞;a], (b,+∞), [b,+∞), (-∞;+∞). K là  hoặc R. Trong luận văn này, ta hiểu K là R. , 7 

f x ( o

f x ( o

lim ( ) f x  x x o

lim ( ) f x  x x o

phải a).

Nếu f không liên tục tại a và không có điểm gián đoạn loại 1 tại a, thì ta nói f có điểm

gián đoạn loại 2 tại a” [22, tr.120-121]

Nhận xét:

Cách định nghĩa điểm gián đoạn của [21] và [22] là giống nhau. Về cách phân loại, điểm gián đoạn

bỏ qua được và điểm gián đoạn loại 1 của [21] tương đương với điểm gián đoạn loại 1 của [22].

 Liên tục trên khoảng

x

a b ( , )

.” [21, “Nói rằng hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a,b) nếu f(x) liên tục tại mọi

:f

I

tr.91]

K . Ta nói f liên tục trên I khi và chỉ khi f liên tục tại mọi điểm của I.” [22,

“Cho

tr.121]

(



f a ( )

I

I ,

f K . Ta nói f khả vi tại a khi và chỉ khi

1.1.3 Khái niệm hàm số khả vi

lim  h 0

 f a h ) h

tồn tại và hữu “ Cho a

c

a b ( , )

hạn; giới hạn này được kí hiệu là f’(a) và được gọi là đạo hàm của f tại a.” [22, tr.139]

“Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) nói rằng hàm số f(x) khả vi tại điểm



, A x



c

lim  c x

f x ( ) x

 

f c ( ) c

,

x



c

nếu tồn tại giới hạn

c được gọi là đạo hàm của hàm số f(x)

( ) f x x

 

f c ( ) c

Số A; giới hạn của tỉ số , khi x

lấy tại điểm x=c; và kí hiệu f’(c).” [21, tr.119]

Nhận xét:

Hai cách định nghĩa về hình thức là khác nhau, nhưng thực chất là một. [21] nêu rõ điều này qua

nhận xét sau:

   thì biểu thức định nghĩa trở thành

c

x

f c (

f c ( )

 :

f c '( )

“Nếu đặt x

lim   x 0

x    ) x 

” [21, tr.119]

Sau khi trình bày định nghĩa đạo hàm tại một điểm, cả [21] và [22] đều phân tích rõ ý nghĩa hình

học của đạo hàm.

“Đạo hàm tại mỗi điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị của f(x) số tại điểm đó;

và một hàm số khả vi tại một điểm x=c có nghĩa là tại điểm x=c, đồ thị của f(x) có một tiếp

tuyến duy nhất không vuông góc với trục Ox.” [21, tr.120]

“[…] tính khả vi của f được diễn giải hình học bởi sự tồn tại của tiếp tuyến không song song

với (yy’) tại điểm A có tọa độ (a,f(a)) trên đường cong Cf biểu diễn f.

Tiếp tuyến này có hệ số góc là f’(a)”.

Như vậy, về mặt hình học, một hàm số không khả vi tại một điểm nào đó nếu đồ thị của nó không

có tiếp tuyến tại điểm đó.

1.1.4 Kết luận

Xét trên định nghĩa thì các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi được định

nghĩa một cách độc lập nhau. Các mối liên hệ giữa ba đối tượng này không được thể hiện trong các

định nghĩa của chúng.

1.2 Mối liên hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục và hàm số khả vi

1.2.1 Đơn điệu-Liên tục

Chúng tôi bắt đầu bằng định lý 3.10 trong [21]

“ Điều kiện ắt có và đủ để một hàm số xác định, liên tục trên một khoảng (a,b) là một đơn ánh là

hàm số đơn điệu ngặt trên khoảng đó.” [21, tr.103]

Nhận xét :

Mặc dù định lý phát biểu cho khoảng (a,b), xem xét cách chứng minh trong [21], chúng tôi

thấy rằng, nó vẫn đúng cho khoảng I bất kì. Do đó, ta có thể phát biểu lại định lý trên như sau :

“ cho hàm số f liên tục trên khoảng I. Khi đó, f đơn điệu ngặt trên I khi và chỉ khi nó đơn ánh

trên khoảng đó ”. Định lý trên đề cập đến mối liên hệ giữa tính đơn điệu ngặt và sự đơn ánh của

một hàm liên tục trên một khoảng I nào đó. Dễ dàng nhận thấy, một hàm đơn điệu ngặt trên I thì

đơn ánh trên I, nhưng nếu nó đơn ánh trên I thì chưa chắc đã đơn điệu trên khoảng đó. Điều này

được nêu rõ trong [22] :

“ Mọi ánh xạ đơn điệu nghiêm ngặt đều là đơn ánh ; nhưng điều ngược lại không đúng như

R



R

,

x

 

1 à

v x



1

x



x

1

, 1 ,

x x

   1

  1   

ở ví dụ sau :

[22, tr.103]

Định lý 3.10 cho thấy, chiều ngược lại chỉ đúng nếu có thêm điều kiện hàm liên tục trên I.

Nhìn theo một góc độ khác, có thể nói một hàm liên tục trên khoảng I phải thỏa mãn thêm điều

kiện đơn ánh trên khoảng đó thì đơn điệu ngặt trên I.

Các tài liệu [21], [22] không đề cập đến tính liên tục của một hàm đơn điệu. Tuy nhiên, ta

biết rằng có những hàm đơn điệu trên một khoảng I nhưng không liên tục trên I, xét ví dụ sau:

y

f

:[0, 2]



R

4



x

x 2

x

, ,

x x

 

[0,1) [1, 2]

  

Ví dụ :

2

Rõ ràng, f đơn điệu tăng trên [0,2] nhưng

bị gián đoạn tại x=1 nên không liên tục

1

trên [0,2]. Ta thấy đồ thị của nó là một

2

O

1

x

đường đi lên từ trái sang phải nhưng

không liên nét trên [0 ;2].

Như vậy, một hàm đơn điệu trên I vẫn có thể bị gián đoạn trên I. Nhưng tập các điểm gián đoạn và

loại của điểm gián đoạn của một hàm đơn điệu trên khoảng I lại khá “ đặc biệt ”:

 Một hàm đơn điệu trên I thì các điểm gián đoạn nếu có của nó chỉ có thể là điểm gián đoạn

loại 1.

 Một hàm đơn điệu trên I thì tập các điểm gián đoạn của nó nhiều nhất đếm được ” (tham

khảo [25])

Từ đó ta thấy rằng, một hàm đơn điệu trên I vẫn có thể không liên tục trên khoảng đó, điểm gián

đoạn nếu có chỉ có thể có các điểm gián đoạn loại 1 và tập các điểm gián đoạn của nó là đếm được.

Ta đặt ra câu hỏi: một hàm số đơn điệu trên I cần thỏa mãn thêm điều kiện gì để liên tục trên I ?

Xét định lí sau:

“Nếu tập các giá trị mà hàm đơn điệu tăng (giảm) f(x) lấy khi x biến thiên trong khoảng I

thuộc khoảng J và lấp đầy khoảng đó thì hàm f(x) liên tục trong khoảng I.”(*) [6, tr.94]

Nhận xét:

Như vậy, một hàm đơn điệu trên một khoảng I sẽ liên tục trên I nếu ảnh của I qua nó là một

khoảng nào đó của R. Theo một hệ quả trong [6]: “ nếu hàm f xác định và liên tục trên khoảng X

bất kì (đóng hay không, hữu hạn hay vô hạn) thì các giá trị mà hàm nhận cũng sẽ lấp đầy một

khoảng nào đó”([6, tr.104]), ta thấy rằng một hàm liên tục trên khoảng I thì ảnh của khoảng I qua

f x ( )



x



0),

f

(0) 0

nó là một khoảng, tuy nhiên điều ngược lại không đúng, xét ví dụ sau:

 ” [6, tr.105]. Hàm đã cho biến [-2,2] thành [-1,1] nhưng rõ ràng

1 sin ( x

“

không liên tục trên [-2,2] vì nó bị gián đoạn tại x=0.

Định lý (*) chỉ ra rằng, điều ngược lại sẽ đúng nếu hàm thỏa mãn thêm điều kiện “đơn điệu trên

khoảng I”. Đến đây ta trả lời được câu hỏi “một hàm đơn điệu trên I thỏa mãn thêm điều kiện gì thì

liên tục trên I ?”. Phần tiếp theo dưới đây chúng tôi giới thiệu một ứng dụng quan trọng của định lí

này.

Chúng ta đều biết rằng, các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của chúng. Từ sự liên tục của

hàm hằng và hàm số y = x, ta dễ dàng chứng minh được sự liên tục của hàm đa thức, phân thức trên

tập xác định của chúng bằng cách dùng các định lí về tổng, hiệu, tích, thương của các hàm liên tục. Nhưng việc chứng minh sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản khác: hàm mũ y = ax (a>1), hàm lôgarit y=logax (a>0, a≠1), hàm lũy thừa y = xµ(µ>0 hay µ<0), các hàm lượng giác, các hàm lượng

giác ngược thì phải nhờ đến định lý (*). Chẳng hạn:

“2o. Hàm mũ y = ax (a>1) đơn điệu tăng khi x biến thiên trong khoảng X=(-∞;+∞).

Giá trị của nó dương và lấp đầy toàn khoảng Y=(0;+∞), điều đó rõ ràng vì lôgarit x = logay

tồn tại đối với bất kì y>0. Thành thử hàm mũ liên tục với giá trị x bất kì.” [6, tr.95]

Độc giả quan tâm có thể tham khảo thêm [6, tr.95-96].

Kết luận

Ta có một số tính chất sau thể hiện mối liên hệ giữa tính đơn điệu và liên tục của hàm số:

 Hàm đơn điệu trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có thể không liên tục trên I. Hàm đơn

điệu trên I thì chỉ có thể có điểm gián đoạn loại 1 và tập các điểm gián đoạn của nó trên I

nhiều nhất là đếm được.

 Hàm liên tục và đơn ánh trên I thì đơn điệu ngặt trên I.

 Hàm đơn điệu trên khoảng I, biến I thành một khoảng của R thì liên tục trên I.

1.2.2 Liên tục-Khả vi

I

f K . Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a” [22, tr.141]

Sau định nghĩa hàm khả vi tại một điểm, [22] đưa ra mệnh đề sau:

I ,

“Cho a

Nhận xét:

Mệnh đề trên cho thấy, một hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó. Chiều ngược lại thì

sao?

Ngay sau mệnh đề trên, [22] đưa ra nhận xét:

“Khẳng định đảo của mệnh đề trên là sai. Một ánh xạ có thể liên tục tại a nhưng không khả

vi tại a như trong các ví dụ sau:

i)

. : R



R



x

x

.: R

R

   x

x

Liên tục tại 0 nhưng không khả vi tại 0. ii)

0

h

  h

0,

    0 h

 h

1 h

Liên tục tại 0 nhưng không khả vi tại 0, vì

f R :



R

x

sin

,

x



0



x

1 x

0

x

,

    

0  Liên tục tại 0 (vì

f x ( )

x

0

  ) và  0 f h ( ) (0)

x f



sin

iii)

1 h

 h

không khả vi tại 0 vì

không có giới hạn khi h→0.

[22, tr.142]

Vấn đề trên cũng được nêu rõ trong [21], nhưng không có ví dụ và minh họa rõ ràng bằng đồ thị

như [22].

Liên quan đến việc xem xét tính khả vi của một hàm liên tục trên một khoảng, đã từng có một

giai đoạn trong lịch sử (những năm nửa sau thế kỉ 19), người ta nghĩ rằng một hàm số liên tục thì

khả vi trừ ra tại một số hữu hạn các điểm: “đến khoảng những năm 1870, nhiều bài viết về giải tích đã chứng minh một hàm số liên tục thì khả vi trừ ra tại một số hữu hạn các điểm, ngay cả Cauchy8

cũng tin như vậy” ([24 , tr.293]). Năm 1872, Weierstrass đã làm sửng sốt cộng đồng toán học khi



n

f x ( )

b

cos

n x

a

 

đưa ra một ví dụ nổi tiếng về một hàm liên tục trên tập số thực nhưng không khả vi tại điểm nào cả:





n



0

ab

  1

 3 2

trong đó a là số nguyên lẻ, b là số thực trong khoảng (0,1) và (Bolzano đã đưa ra một ví

dụ như thế vào năm 1834 nhưng không được chú ý) (tham khảo [24, tr.293]).

Như vậy, đã có một giai đoạn trong lịch sử người ta tin rằng, một hàm liên tục chỉ có thể có hữu

hạn các điểm tại đó hàm không khả vi, ví dụ của Weierstrass đã chỉ ra có những hàm liên tục trên R

nhưng không đâu khả vi. Từ đó, ta thấy rằng khi một hàm liên tục thì chưa thể kết luận gì về sự khả

8 Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857): một nhà toán học nổi tiếng người Pháp

vi của nó, một hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó, một hàm liên tục trên một

khoảng có thể có hữu hạn hay vô hạn các điểm tại đó hàm không khả vi hay có thể không đâu khả vi

trên khoảng đó. Phân tích trên cũng chỉ ra rằng, trong lịch sử phát triển của toán học, đã tồn tại một

“chướng ngại” liên quan đến cực “liên tục → khả vi”, đó là: một hàm số liên tục trên một khoảng

thì khả vi trên khoảng đó trừ ra tại một số hữu hạn các điểm.

Sau đây, chúng tôi giới thiệu một định lí về “giới hạn của đạo hàm” trong đó nêu ra một số điều

kiện để một hàm liên tục tại một điểm khả vi tại điểm đó:

o

R , I là một khoảng của R sao cho

I , f : I→R là một ánh xạ.

“Hệ quả (“định lý giới hạn của đạo hàm”)

ox

ox

Cho

Nếu f liên tục tại xo , f khả vi tại I-{xo}, f’ có giới hạn hữu hạn là l tại xo

thì f khả vi tại xo và f’(xo)=l, và do đó f’ liên tục tại xo .” [22, tr.161]

Định lí trên chỉ ra rằng hàm số f : I→R liên tục tại xo nếu khả vi tại mọi điểm của I khác xo và f’ có

giới hạn hữu hạn l tại xo thì nó khả vi tại xo và f’(xo)=l .

Kết luận

Với cực liên tục – khả vi, ta có kết luận sau:

 Hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó.

 Hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó.

 Tồn tại một chướng ngại khoa học luận: Hàm số liên tục trên một khoảng thì khả

vi trên khoảng đó, trừ ra một số hữu hạn điểm.

1.2.3 Đơn điệu-Khả vi

Chúng tôi bắt đầu bằng định lí sau:

“Định lý 5.7

Cho f là một hàm số xác định, liên tục trong một khoảng đóng hữu hạn [a,b] và khả vi trong

x

a b ( , )

khoảng mở (a,b), khi đó:

x

a b ( , )

(1) Điều kiện ắt có và đủ để f(x) tăng (giảm) trên [a,b] là f’(x)  0 (f’(x)  0) với mọi

(2) Nếu f’(x)  0 (f’(x)  0) với mọi và nếu f’(x)>0 (f’(x)<0) tại ít nhất một điểm x thì

o I . Để f tăng trên I điều kiện cần và đủ

f(a)>f(b) ( f(a)

  x

,

f

'( ) 0

x

o I

“Định lý 1: Cho f : I → R liên tục trên I, khả vi trên

 .

là :

[…] Khi khảo sát –f thay cho f, ta thu được định lý tương tự như định lý trên bằng cách thay

tăng bởi giảm và  0 bởi  0.” [22, tr.164-165]

Nhận xét:

o

Phát biểu trên trong [21] và [22] cho thấy khi hàm số f(x) liên tục trên I ( khoảng, nửa

I 9 thì hàm đơn điệu tăng (giảm) trên I khi và chỉ khi f’(x)≥0 (f’(x)≤0)

khoảng, đoạn), khả vi trên

o I .

với mọi x thuộc

o I . Để f tăng nghiêm ngặt, điều kiện cần

Về đơn điệu nghiêm ngặt, [22] đưa ra định lí sau:

“Định lý 2: Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên

x  

o I

,

f

 '( ) 0

x

x

và đủ là:

o I , f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng có phần trong không rỗng

và { 

nào.” [22, tr.165]

Như vậy, ngoài các điều kiện giống với định lý 1, để f tăng nghiêm ngặt, ta còn cần thêm điều kiện

tập các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 “không chứa bất kì một khoảng có phần trong không rỗng

nào.”

x  

o I

,

f

 '( ) 0

x

x

o I . Nếu

Từ đó mặc dù [22] không đề cập nhưng ta có thể suy ra hệ quả sau:

o I , f’(x)=0} nhiều nhất đếm

và {  “ Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên

được thì f tăng nghiêm ngặt”.

Một giả thuyết quan trọng của các phát biểu trên là f khả vi trên phần trong của khoảng đang xét, ta

o I nhưng vẫn đơn điệu trên I ?”.

đặt ra câu hỏi: “tồn tại hay không những hàm không khả vi trên

o I nhưng vẫn đơn điệu trên khoảng đó. Ta sẽ thấy rõ qua ví dụ sau:

Vấn đề này không được đưa ra trong [21] và [22] nhưng có thể trả lời ngay rằng: tồn tại những hàm

không khả vi trên

y

f

: (0, 2)



R

4



x

, 2 ,

(0,1) [1, 2)

x



x x

 

x   3 

Ví dụ:

1

Hàm số f(x) không khả vi trên (0,2) vì nó

O

1

2

x

không có đạo hàm tại x=1, nhưng đơn điệu

tăng trên (0,2).

Như vậy, một hàm đơn điệu trên khoảng I có thể không khả vi trên I. Tuy nhiên, khi một hàm đơn

điệu trên khoảng I thì tập các điểm không khả vi của hàm đó trên I lại có một tính chất khá đặc biệt :

“ Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I, nghĩa là tập các điểm thuộc I mà tại đó

9

o I là phần trong của khoảng I, ví dụ phần trong của [a,b] là (a,b).

hàm không khả vi có độ đo lesbgue bằng không.” [23, tr.40]

o I thì tăng (giảm) trên I khi

Kết luận:

 Hàm liên tục trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn), khả vi trên

o I .

o I thì f tăng (giảm) nghiêm ngặt khi và chỉ khi f’(x)≥0

và chỉ khi f’(x)≥0 (f’(x)≤0) với mọi x thuộc

x

o I và { 

o I , f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng nào có phần trong khác

 Hàm liên tục trên I, khả vi trên

(f’(x)≤0) trên

rỗng.

 Hàm đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I.

 Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I.

1.3 Kết luận chương 1

Từ những phân tích trên, có thể thấy rõ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi có nhiều mối

Đơn điệu

Khả vi

Liên tục

liên hệ qua lại với nhau, chúng tôi thể hiện bằng sơ đồ sau:

Để thấy rõ ý nghĩa của các mối liên hệ giữa 3 đối tượng này, chúng tôi tổng kết dưới dạng các câu

hỏi và câu trả lời đối với từng cực:

Cực Đơn điệu-Liên tục

Hàm số đơn điệu trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có liên tục trên I không?

 Hàm đơn điệu trên I có thể không liên tục trên I.

Như vậy một hàm số đơn điệu trên I có thể không liên tục trên I. Điểm gián đoạn và tập các điểm

gián đọan nếu có của một hàm số đơn điệu trên I có gì đặc biệt?

 Hàm đơn điệu trên I thì chỉ có thể có điểm gián đoạn loại 1 (tồn tại giới hạn trái và phải) và

tập các điểm gián đoạn của nó trên I nhiều nhất là đếm được.

Hàm đơn điệu trên khoảng I cần thêm điều kiện gì thì liên tục trên I ?

 Hàm đơn điệu trên khoảng I, biến I thành một khoảng nào đó của R thì liên tục trên I.

Một hàm số liên tục trên I cần thêm điều kiện gì thì đơn điệu trên I ?

 Hàm liên tục và đơn ánh trên khoảng I thì đơn điệu ngặt trên I.

Cực Đơn điệu-Khả vi

o I (phần trong của I) thì tăng (giảm) trên I khi và chỉ khi

Hàm số khả vi trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) thì đơn điệu trên I khi nào?

 Hàm liên tục trên I, khả vi trên

o I .

f’(x)≥0 (f’(x)≤0) với mọi x thuộc

o I thì f tăng (giảm) nghiêm ngặt khi và chỉ khi f’(x)≥0

x

o I và { 

o I , f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng nào có phần trong khác

 Hàm f liên tục trên I, khả vi trên

(f’(x)≤0) trên

o I thì f tăng (giảm) nghiêm ngặt khi

rỗng.

Một hệ quả được rút ra: Hàm f liên tục trên I, khả vi trên

o I và tập các điểm làm đạo hàm triệt tiêu trên I nhiều nhất đếm được.

f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên

Hàm số đơn điệu trên I có khả vi trên I không?

 Hàm đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I.

Như vậy, một hàm số đơn điệu trên I có thể không khả vi trên I. Tập các điểm không khả vi của hàm

số trên I (các điểm thuộc I mà tại đó hàm số không khả vi) có gì đặc biệt?

 Hàm đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I (tập các điểm thuộc I mà tại đó hàm số

không khả vi có độ đo lesbgue bằng 0).

Cực Liên tục-Khả vi

Mối liên hệ liên tục-khả vi là mối liên hệ một chiều:

 Hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó.

 Hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó.

Có chướng ngại khoa học luận nào liên quan đến mối liên hệ này?

 Hàm số liên tục trên một khoảng thì khả vi trên khoảng đó, trừ ra một số hữu hạn điểm.

Những kết quả đạt được trong chương này sẽ là cơ sở tham chiếu để chúng tôi tiến hành nghiên cứu

mối quan hệ thể chế ở chương 2, nghiên cứu này nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q2 :

Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa

tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao? Có những đặc

trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được đặt ra? Mối liên hệ

nào không được đặt ra? Vì sao? Sự biểu diễn hàm số bằng hệ thống biểu đạt đồ thị có được

tính đến như một môi trường cho phép làm rõ mối liên hệ giữa các đối tượng: tính đơn điệu,

tính liên tục và sự khả vi của hàm số không?

Cụ thể hơn, đối với từng cực chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc tìm câu trả lời cho các câu hỏi

sau:

Đơn điệu-Liên tục

Những tính chất liên quan đến mối liên hệ đơn điệu-liên tục được thể hiện như thế nào trong SGK

theo chương trình hiện hành? Đặc biệt, những hàm số đơn điệu trên một khoảng nhưng không liên

tục trên khoảng đó có xuất hiện không? Việc minh họa bằng đồ thị có được tính đến không? Có

những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến mối liên hệ này?

Đơn điệu-Khả vi

o I đơn điệu (hay đơn điệu nghiêm ngặt) trên I có được được đề cập không? Nếu có thì như thế nào?

Định lí về điều kiện cần và đủ để một hàm số liên tục trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) khả vi trên

Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến mối liên hệ này? Xuất hiện hay không hàm số đơn điệu

trên I nhưng không khả vi trên I? Việc minh họa bằng đồ thị có được tính đến không?

Liên tục-Khả vi

Tính chất “hàm số khả vi tại điểm nào thì liên tục tại điểm đó” có được đề cập không? Đặc biệt, có

hay không sự xuất hiện của hàm số liên tục tại một điểm nhưng không khả vi tại điểm đó? Việc

minh họa bằng đồ thị có được tính đến không? Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan?

Chương 2:

MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH

LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ

Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

Mục tiêu chính của chương là làm rõ mối quan hệ thể chế với các mối liên hệ giữa tính đơn điệu,

tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Cụ thể, đối với từng mối liên hệ chúng tôi sẽ tập trung tìm câu

trả lời cho các câu hỏi được đặt ra ở cuối chương 1. Thể chế mà chúng tôi quan tâm ở đây là thể chế

dạy học toán Trung học phổ thông Việt Nam.

Khái niệm hàm số đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến) được đưa vào ở lớp 9 nhưng chưa tổng

quát (định nghĩa trên R). HS được làm quen với tính đồng biến nghịch biến của hàm số bậc nhất và

hàm số bậc hai. Đến đầu lớp 10, một định nghĩa tổng quát hơn được đưa vào, cho đến lúc này, khái

niệm liên tục chỉ hoạt động ngầm ẩn. Đến cuối lớp 11, khái niệm liên tục được chính thức đưa vào

giảng dạy trong chương Giới hạn. Trong chương kế tiếp, chương Đạo hàm, khái niệm đạo hàm xuất

hiện, ngay trong chương này mối quan hệ liên tục-khả vi được thể hiện rõ. Đến đầu năm lớp 12,

trong chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, mối liên hệ đơn điệu-khả vi mới

được đề cập. Như vậy, để trả lời các câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích SGK ở cả 3

cấp lớp 10 (Đại số), 11 (Đại số và Giải tích) và 12 (Giải tích). Hiện tại có hai bộ sách toán đang

được sử dụng, bộ sách nâng cao và bộ sách cơ bản. Chúng tôi chọn phân tích cả hai bộ sách này. Để

thuận lợi trong trình bày, chúng tôi sử dụng các kí hiệu GKNC10, GKNC11, GKNC12, GVNC10, GVNC11,

GVNC12 nhằm chỉ các sách giáo khoa bộ nâng cao: SGK đại số 10, SGK đại số và giải tích 11, SGK

giải tích 12 và các sách GV tương ứng; GKCB10, GKCB11, GKCB12, GVCB10, GVCB11, GVCB12 nhằm chỉ

các sách giáo khoa bộ cơ bản: SGK đại số 10, SGK đại số và giải tích 11, SGK giải tích 12 và các

Đơn điệu

Khả vi

Liên tục

sách GV tương ứng. Phân tích của chúng tôi sẽ tập trung trên từng cực của sơ đồ sau:

Trước hết chúng tôi sẽ tập trung phân tích SGK nâng cao, trên cơ sở đó, đối với SGK cơ bản chúng

tôi chỉ làm rõ những điểm giống và khác SGK nâng cao. Cũng cần nói rõ thêm, định nghĩa hàm số

đơn đơn điệu ở bậc phổ thông ứng với định nghĩa hàm số đơn điệu nghiêm ngặt ở bậc đại học. Tuy

nhiên, sự khác biệt này không ảnh hưởng đến việc tham chiếu các tính chất đã nêu ở chương 1 vào

phân tích trong chương 2 vì các tính chất ấy (ngoại trừ một số tính chất đã phân biệt rõ đơn điệu và

đơn điệu nghiêm ngặt) vẫn đúng cho các hàm số đơn điệu nghiêm ngặt.

1.4 Mối liên hệ đơn điệu-liên tục

Theo Trần Anh Dũng (2005), trước khi được giảng dạy tường minh, khái niệm hàm số liên tục

hoạt động ngầm ẩn thông qua đặc trưng tổng thể “đồ thị là đường nét”. Do đó, để làm rõ mối liên hệ

này, chúng tôi chọn phân tích SGK ở hai thời điểm, thời điểm định nghĩa hàm số đơn điệu (hàm số

đồng biến, nghịch biến) được chính thức đưa vào và khái niệm hàm số liên tục đang ở giai đoạn

ngầm ẩn; thời điểm khái niệm hàm số liên tục được giảng dạy tường minh. Đối với thời điểm thứ

nhất, chúng tôi chủ yếu tập trung phân tích chương 1, SGK đại số lớp 10 của cả hai bộ sách vì khái

niệm hàm số đơn điệu, với tư cách đối tượng, chỉ được nghiên cứu trong chương này. Bên cạnh đó,

ở lớp 11, chúng tôi cũng lướt qua một số hàm số lượng giác mà tính biến thiên của chúng cũng được

đề cập trước khi khái niệm liên tục xuất hiện chính thức. Đối với thời điểm thứ 2, chúng tôi sẽ chỉ

tập trung phân tích bài hàm số liên tục trong chương giới hạn hàm số, SGK đại số và giải tích lớp

11. Chính trong bài này, hai phương diện đối tượng và công cụ của khái niệm liên tục được đề cập,

mối liên hệ đơn điệu-liên tục có thể được đề cập.

1.4.1 SGK nâng cao

1.4.1.1 Thời điểm định nghĩa hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào và khái niệm liên tục hoạt

động ngầm ẩn với đặc trưng “đồ thị là đường liền nét”

*Phần bài học (vị trí GV)

Khái niệm hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào ở đầu lớp 10, bài 1- Đại cương về hàm số,

chương II - Hàm số bậc nhất và bậc hai với các bài sau:

Bài 1:Đại cương về hàm số

Bài 2:Hàm số bậc nhất

Bài 3:Hàm số bậc hai

Thực ra, trước lớp 10, khái niệm hàm số đơn điệu đã được giới thiệu ở lớp 9:

“Một cách tổng quát:

Cho hàm số y=f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R

a)Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm số y=f(x)

được gọi là hàm số đồng biến trên R (gọi tắt là hàm số đồng biến).

b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số y=f(x)

được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến).

Nói cách khác, với x1, x2 bất kì thuộc R:

Nếu x1 < x2 mà f(x1)

Nếu x1 < x2 mà f(x1)>f(x2) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên R.”

[3, tr.44]

Có thể thấy rõ, ở cấp lớp này, khái niệm hàm số đơn điệu được định nghĩa trên chưa thực sự

tổng quát (hàm số đơn điệu trên R). Đến lớp 10, GKNC10 đưa ra định nghĩa tổng quát hơn trong bài

1:

“Cho hàm số f xác định trên K

Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) nếu







x , x 1

2

K , x 1

  x 2

f ( x ) 1

f ( x ) 2

;

Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) nếu







x , x 1

2

K , x 1

  x 2

f ( x ) 1

f ( x ) 2

.”

[GKNC10, tr.38]

ở đây K không phải là R mà là một tập con của nó: “ta luôn hiểu K là một khoảng (nửa khoảng hay

đoạn) nào đó của R”. [GKNC10,tr.38]. So với định nghĩa ở bậc đại học, định nghĩa trên tương đương

với định nghĩa hàm số đơn điệu nghiêm ngặt và có một sự thay đổi: khái niệm đơn điệu của hàm số

được định nghĩa trên khoảng chứ không phải trên một tập con khác rỗng bất kì của R. Sự thay đổi

này là hợp lí, vì trong chương trình toán phổ thông, hàm số thường được nghiên cứu trên các

khoảng (nửa khoảng hay đoạn) hoặc hợp của chúng. Hơn nữa, ở đại học, dù hàm số đơn điệu được

định nghĩa trên tập con khác rỗng bất kì của R nhưng sau đó người ta chỉ nghiên cứu tính đơn điệu

của hàm số trên khoảng (nửa khoảng, đoạn).

Tiếp theo định nghĩa, GKNC10 đưa ra các kĩ thuật để xét tính đơn điệu của hàm số trên K:

“Đối với hàm số cho bằng biểu thức, để khảo sát sự đồng biến hay nghịch biến của hàm số

đó trên một khoảng (nửa khoảng hay đoạn) K, ta có thể dựa vào định nghĩa (xem ví dụ 3),

hoặc dựa vào nhận xét sau :





x Điều kiện “ 1

  x 2

f ( x ) 1

f ( x ) 2

x - x và 1 2

f ( x ) 1

f ( x ) 2

” có nghĩa là cùng dấu. Do đó







K

Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi:



0

1 x ,x 2

x1

2 ,

 

 f x 2 x 2

 f x 1 x 1

và x







K

Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi:

0

 x ,x 2

1

x1

2 ,

 

 f x 2 x 2

 f x 1 x 1

và x





 

 f x 2 x 2

 f x 1 x 1

Như vậy, để khảo sát sự biến thiên của hàm số f trên K, ta có thể xét dấu tỉ số

trên K” [GKNC10, tr.39]

“Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên;

Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.

(Khi nói đồ thị đi lên hay đi xuống, ta luôn kể theo chiều tăng của đối số, nghĩa là kể từ trái

sang phải )”[GKNC10, tr 38]

Qua hai trích dẫn trên, GKNC10 cung cấp kĩ thuật xét tính biến thiên của hàm số trong trường hợp





hàm số được cho bằng công thức và đồ thị. Đối với hàm số cho bằng công thức, có hai kĩ thuật đại

 

 f x 2 x 2

 f x 1 x 1

số là dùng định nghĩa và xét dấu tỉ số . Đối với hàm số cho bằng đồ thị thì dùng kĩ

thuật đọc đồ thị: từ trái sang phải nếu đồ thị đi lên thì hàm số đồng biến, nếu đồ thị đi xuống thì

hàm số nghịch biến. Phù hợp với điều này, GVNC10 viết:

“ -Khi cho hàm số bằng biểu thức, học sinh cần:

[…]

+Biết chứng minh tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số đơn giản trên một

khoảng(đoạn hoặc nửa khoảng) cho trước bằng cách xét dấu tỉ số biến thiên.

[…]

-Khi cho hàm số bằng đồ thị học, sinh cần:

[…]

+Nhận biết được sự biến thiên và biết lập bảng biến thiên của một hàm số thông qua đồ thị

của nó.”[GKNC10, tr.69]

Sau định nghĩa và giới thiệu các kĩ thuật để khảo sát sự biến thiên của hàm số, SGK giới thiệu

bảng biến thiên thông qua một ví dụ cụ thể:

“Người ta thường ghi lại kết quả khảo sát sự biến thiên của một hàm số bằng cách lập bảng

x

-∞ 0 +∞

+∞

+∞

f x ( )



2 ax a (



0)

0

biến thiên của nó. Hàm số trong ví dụ 4 có bảng biến thiên như sau:

Trong bảng biến thiên, mũi tên đi lên thể hiện tính đồng biến, mũi tên đi xuống thể hiện tính

nghịch biến của hàm số.

Cụ thể hơn, hàng thứ hai trong bảng được hiểu như sau: f(0)=0 và khi x tăng trên khoảng

(0;+∞) thì f(x) nhận mọi giá trị trong khoảng (0;+∞) theo chiều tăng, còn khi x tăng trên

khoảng (-∞;0) thì f(x) nhận mọi giá trị trong khoảng (0;+∞) nhưng theo chiều

giảm.”[GKNC10, tr.40]

Như vậy, GKNC10 đưa ra bảng biến thiên dựa trên ví dụ đã được nghiên cứu tính biến thiên trước đó, trong trường hợp này, hàm số y=ax2 được nghiên cứu có đồ thị liền nét trên khoảng đơn điệu

của nó. Như đã phân tích ở chương 1, có những hàm số đơn điệu trên K nhưng không liên tục trên K

nghĩa là có đồ thị không liền nét trên K. Chúng tôi tự hỏi: trong trường hợp, một hàm đơn điệu trên

K nhưng đồ thị không liền nét trên K thì bảng biến thiên sẽ được lập như thế nào? Mũi tên được vẽ

ra sao? GKNC10 và ngay cả GVNC10 không lưu ý gì đến vấn đề này.



ax b

Kế tiếp các vấn đề nêu trên, trong bài 2 và bài 3, GKNC10 giới thiệu tính biến thiên của các hàm

 và hàm số bậc 2.

số: hàm số bậc nhất y = ax+b, hàm bậc nhất trên từng khoảng, hàm số y

Đối với hàm bậc nhất y = ax+b tính biến thiên của nó đã được học ở lớp 9, nên GKNC10 chỉ nhắc lại,

tính biến thiên của các hàm số còn lại đều được nghiên cứu theo dựa trên đồ thị của chúng, nghĩa là

kĩ năng “đọc đồ thị” đi kèm với nó là kĩ thuật xét tính biến thiên của hàm số bằng đồ thị được nhấn

mạnh. Tuy nhiên, như đã nói ở trên, các hàm số được nghiên cứu luôn có đồ thị liền nét trên khoảng

đơn điệu của chúng. Dường như có một sự đảm bảo rằng: hàm số đơn điệu trên K thì đồng thời

cũng liên tục trên khoảng đó. Phân tích các tổ chức toán học liên quan đến khảo sát sự biến thiên

của hàm số sẽ cho phép chúng tôi củng cố hoặc bác bỏ nhận định trên.

*Phần bài tập (vị trí GV)

Liên quan đến tính đơn điệu của hàm số trong giai đoạn này chủ yếu là kiểu nhiệm vụ T: “khảo

sát sự biến thiên của hàm số”, gồm các kiểu nhiệm vụ con với kĩ thuật và công nghệ tương ứng như

sau:

Ttt: Khảo sát sự biến thiên của hàm số cho bằng một công thức không phải là hàm bậc 1 và hàm bậc

2 và không chứa giá trị tuyệt đối trên những khoảng cho trước.

Ví dụ: Bài tập 12



Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau:

1 

a) y trên mỗi khoảng (-∞; 2) và (2;+∞); [GKNC10, tr.46]

x 2 Kĩ thuật τ1

x

   f x , f x



1

2

x thoả mãn 1

2

tt: Lấy bất kì x ,x 2

K1



, sau đó so sánh .





 f x 1

 f x 2

 Nếu thì kết luận hàm số f đồng biến (tăng) trên K.







 f x 1

 f x 2





 Nếu thì kết luận hàm số f nghịch biến (giảm) trên K.

tt: Lấy bất kì x ,x 2

K1

x1

2 , sau đó, xét dấu của tỉ số

 

 f x 2 x 2

 f x 1 x 1

Kĩ thuật τ2 sao cho x .







0 thì kết luận hàm số f đồng biến (tăng) trên K.

 

 f x 2 x 2

 f x 1 x 1







 Nếu

0 thì kết luận hàm số f nghịch biến (giảm) trên K.

 

 f x 2 x 2

 f x 1 x 1

 Nếu

Công nghệ θtt: Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến.

Tb2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số hàm bậc 2 không chứa giá trị tuyệt đối

2

Ví dụ:

y

 

x



4

x

 3

Áp dụng kết quả trên, hãy cho biết sự biến thiên của hàm số

[GKNC10, tr.57]

0

Kĩ thuật τb2: Xét dấu của hệ số a:

a  thì kết luận hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng

  ;

b a 2

  

  

;





 Nếu , đồng biến

b a 2

  

  

. (tăng) trên khoảng

0a  thì kết luận hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng

  ;

b a 2

  

  

 Nếu , nghịch biến



;



b a 2

  

  

. (giảm) trên khoảng

Công nghệ θb2: Đồ thị của hàm số bậc hai.

“Từ đồ thị của hàm số bậc hai, ta suy ra bảng biến thiên sau đây […]”

[GKNC10, tr.57]

y

3

Tđt: Khảo sát sự biến thiên của hàm số được cho bằng đồ thị

Ví dụ: Bài tập 3

-2

Hình 2.9 là đồ thị một hàm số có tập xác định là R, dựa vào đồ

0

x

-3

1

-1

thị, hãy lập bảng biến thiên của hàm số đó. [GKNC10, tr. 45]

Hình 2.9

Kĩ thuật τđt:

Xét từ trái qua phải, nếu đồ thị của hàm số “đi lên” trên K thì hàm

số đồng biến (tăng) trên K; nếu đồ thị hàm số “đi xuống” trên K thì hàm số nghịch biến

(giảm) trên K.

Công nghệ θđt: Định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.

 Nhận xét

Bảng 2.1: Thống kê số lượng nhiệm vụ liên quan đến “khảo sát tính đơn điệu của hàm số”

Kiểu nhiệm vụ Số lượng nhiệm Tỉ lệ

vụ

8 29.6% Ttt

4 14.8% Tb2

15 55.6% Tđt

Qua bảng trên ta thấy, kiểu nhiệm vụ Tđt được nhấn mạnh, số lượng nhiệm vụ chiếm đến 55.6%

trong các nhiệm vụ liên quan đến khảo sát sự biến thiên của hàm số. Kiểu nhiệm vụ Ttt và Tb2 chỉ

đóng vai trò thứ yếu. Điều này cũng được thể hiện rõ trong SGV:

“Với tư tưởng từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, đồ thị được xem là phương tiện

chủ yếu để khảo sát hàm số.

[…]

Do cách làm trên, giáo viên cần chú ý luyện tập nhiều cho học sinh về cách nhận biết các

tính chất của hàm số thông qua đồ thị của nó (phương pháp đọc đồ thị). Chẳng hạn, học sinh

phải nhận biết được sự biến thiên (và biết lập bảng biến thiên) của hàm số đã cho thông qua

đồ thị của nó.” [GKNC10, tr.67]

“ […] SGK chỉ yêu cầu học sinh chứng minh sự đồng biến hay nghịch biến của hàm số trên

những khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn cho trước và đối với các hàm đơn giản (như hàm số

bậc nhất, hàm số bậc hai, và hàm số phân tuyến tính). Hơn nữa, các bài toán này chỉ nhằm

giúp học sinh nắm vững khái niệm mà thôi.

Yêu cầu chủ yếu của bài này là học sinh phải biết dựa vào đồ thị để suy ra sự biến thiên của

hàm số, đồng thời biết cách lập bảng biến thiên của nó” [GKNC10, tr.70]

Như vậy, liên quan đến khảo sát tính biến thiên của hàm số, kiểu nhiệm vụ Tđt đóng vai trò quan

trọng và được đặc biệt nhấn mạnh. Chính đồ thị trở thành một công cụ đắc lực để khảo sát sự biến

thiên của hàm số chứ không phải kĩ thuật dùng định nghĩa hoặc xét dấu tỉ số biến thiên.

Một đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là tất cả các hàm số đều có đồ thị là “đường liền nét” trên

từng khoảng đơn điệu của nó, nói rõ hơn chúng liên tục trên từng khoảng đơn điệu. Vai trò quan

trọng của Tđt cùng với đặc trưng vừa nêu, kết hợp với phân tích ở phần lý thuyết, cho phép chúng tôi

đi đến kết luận về một ràng buộc ngầm ẩn trong giai đoạn này: hàm số liên tục trên khoảng (nửa

khoảng, đoạn) đơn điệu của nó. Chính tầm quan trọng của Tđt cùng với ràng buộc ngầm ẩn trong

giai đoạn này có thể sẽ hình thành ở HS quan niệm: hàm số đơn điệu trên khoảng (nửa khoảng, đoạn) nào thì liên tục10 trên khoảng đó.

Một câu hỏi được đặt ra: sau khi khái niệm liên tục được chính thức nghiên cứu, ràng buộc trên có

thay đổi không? Có hay không một giải thích hay ví dụ minh hoạ về một hàm đơn điệu trên K nhưng 10 “liên tục” được hiểu theo nghĩa ngầm ẩn: đồ thị là một đường “liền nét” trên khoảng (nửa khoảng, đoạn).

không liên tục trên K?

1.4.1.2 Thời điểm khái niệm liên tục được giảng dạy tường minh

Khái niệm liên tục được chính thức đưa vào ở lớp 11 trong chương Giới hạn, theo tiến trình sau:

Giới hạn dãy số→Giới hạn hàm số→Hàm số liên tục. Với mục tiêu:

“ Về kiến thức

Giúp học sinh nắm được định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và

trên một đoạn, tính liên tục của các hàm số thường gặp trên tập xác định của chúng và hiểu

được định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục cũng như ý nghĩa hình học của định lí

này.

Về kĩ năng

Giúp học sinh biết cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một

đoạn và áp dụng định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại

nghiệm của một số phương trình đơn giản.”[GKNC11, tr.203]

Về định nghĩa hàm số liên tục, trước tiên, GKNC11 giới thiệu định nghĩa hàm số liên tục tại một

điểm:



( a,b )

“ĐỊNH NGHĨA

ox

. Hàm số f được gọi là liên tục tại Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a;b) và



f ( x ) o

lim f ( x )  x

x o

điểm xo nếu

Hàm số không liên tục tại điểm xo được gọi là gián đoạn tại điểm xo.”

[GKNC11, tr.168]

Sau đó, GKNC11 đưa vào định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn:

“ĐỊNH NGHĨA

a)Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc hợp của nhiều

khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.

b) Hàm số f xác định trên đoạn [a;b] được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên





  f b





  lim f x  x

a

    f a , lim f x  b x

khoảng (a;b) và . ”

[GKNC11, tr.169]

Chúng tôi lưu ý đến nhận xét được GKNC11 đưa ra sau định nghĩa trên:

“Qua các ví dụ đã xét, chẳng hạn ví dụ 3, ta thấy hàm số liên tục trên một khoảng hoặc trên

một đoạn có đồ thị là một đường “liền nét”. Trong ví dụ 2, hàm số f gián đoạn tại điểm x = -

1; đồ thị của nó là một đường không liền nét.” [GKNC11, tr.170]

Theo nhận xét trên, một hàm số liên tục trên K thì có đồ thị liền nét trên K, một hàm số không liên

tục trên K thì có đồ thị không liền nét trên K. Qua đó, noosphere muốn HS biết được ý nghĩa hình

học của một hàm số liên tục (không liên tục) trên một khoảng (đoạn, nửa khoảng), nó là cơ sở để

đưa ra minh họa bằng hình học của định lí giá trị trung gian mà HS được học ngay sau đó. Liên

quan đến mối liên hệ đơn điệu-khả vi, chúng tôi cho rằng đây là cơ hội để cho một ví dụ minh họa (bằng đồ thị) về một hàm số đơn điệu trên K nhưng không liên tục trên K nhằm loại bỏ quan niệm11

có thể đã hình thành ở giai đoạn khái niệm liên tục còn hoạt động ngầm ẩn, đáng tiếc một ví dụ như

thế đã không xuất hiện. GVNC11 cũng không lưu ý gì đến vấn đề này.

Các kiểu nhiệm vụ chủ yếu liên quan đến khái niệm hàm số liên tục: Xét tính liên tục của hàm số

tại một điểm, chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng (nửa khoảng, đoạn) hoặc liên tục trên tập

xác định của nó, chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm thuộc khoảng (a,b). Kĩ thuật giải quyết

các kiểu nhiệm vụ này được suy ra từ định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm và hàm số liên tục

trên một khoảng (nửa khoảng, đoạn), hoặc định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục. Không

có một bài tập hay ví dụ nào đề cập đến mối liên hệ “một hàm số đơn điệu trên khoảng K có thể

không liên tục trên K”.

Trong chương 1, định lý (*)12 cho thấy vai trò của nó trong việc chứng minh sự liên tục của các

hàm sơ cấp cơ bản. Sau khi khái niệm liên tục được giảng dạy tường minh, (*) đã không được đưa

vào, hệ quả kéo theo là sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản (các hàm lượng giác (lớp 11), hàm số

mũ, hàm số lôgarit, hàm lũy thừa (lớp 12)) trên miền xác định của nó được thừa nhận. Đây là một

lựa chọn hợp lý so với yêu cầu chung “không quá nhấn mạnh tính hàn lâm và yêu cầu quá chặt chẽ

về mặt lý thuyết” [GVNC11, tr.4], việc đưa vào định lý (*) cùng với chứng minh đầy đủ về sự liên tục

của các hàm sơ cấp cơ bản là khá “nặng nề” đối với HS phổ thông, nó phù hợp hơn với cấp độ đại

học. Điều khiến chúng tôi ngạc nhiên là các nội dung trên cũng không được đề cập trong SGV,

dường như noosphere đã không chú ý đến những vấn đề này.

Những phân tích trên cho thấy, trong SGK nâng cao, mối liên hệ đơn điệu-liên tục chỉ xuất hiện

trong giai đoạn khái niệm liên tục hoạt động ngầm ẩn. Trong giai đoạn này, kiểu nhiệm vụ quan

trọng và thể hiện rõ nét mối liên hệ đơn điệu-liên tục chính là Tđt với đặc trưng đồ thị hàm số liền

nét trên khoảng đơn điệu của hàm số. Đến giai đoạn khái niệm liên tục được giảng dạy tường minh

thì mối liên hệ này không được đế cập. Như đã nói ở trên, tầm quan trọng của Tđt cùng với đặc

trưng của nó có thể sẽ hình thành ở HS quan niệm : liên tục trên khoảng K là điều kiện cần để hàm

11 hàm số đơn điệu trên khoảng (nửa khoảng, đoạn) nào thì liên tục trên khoảng đó. 12

“Nếu tập các giá trị mà hàm đơn điệu tăng(giảm) f(x) lấy khi x biến thiên trong khoảng I thuộc khoảng J và lấp đầy khoảng

đó thì hàm f(x) liên tục trong khoảng I.” [23, tr.94]

đơn điệu trên trên khoảng đó.

1.4.2 SGK cơ bản

1.4.2.1 Thời điểm khái niệm hàm số đơn điệu được chính thức đưa vào và khái niệm hàm số liên

tục hoạt động ngầm ẩn

*Phần bài học (vị trí GV)

 Những điểm giống nhau

Về định nghĩa hàm số đơn điệu: định nghĩa hàm số đơn điệu được đưa vào ở đầu lớp 10 trong bài 1-

Hàm số, chương 2-Hàm số bậc nhất và bậc hai







“Hàm số y=f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu

x , x 1 2

( a;b ), x 1

  x 2

f ( x ) 1

f ( x ) 2

.







Hàm số y=f(x) gọi là nghịch biến (giảm) nếu

x , x 1 2

( a;b ), x 1

  x 2

f ( x ) 1

f ( x ) 2

.” [GKCB10,tr.36]

Cũng cần lưu ý thêm rằng, định nghĩa này không hẳn giống hoàn toàn với định nghĩa hàm số đơn

điệu của GKNC10. GKNC10 định nghĩa trên khoảng, nửa khoảng, đoạn nhưng sau đó chỉ yêu cầu xét

tính đơn điệu trên khoảng, GKCB10 chỉ định nghĩa trên khoảng. GVCB10 và GVNC10 đã không giải

thích gì về sự lựa chọn này. Đến lớp 12, GVNC12 nêu rõ lí do của việc đưa vào định nghĩa hàm số

đơn điệu trên khoảng, nửa khoảng, đoạn, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết hơn trong mục 2.2.1; GVCB12

cũng giới thiệu lại định nghĩa hàm số đơn điệu trên khoảng, nửa khoảng, đoạn nhưng cũng như ở

lớp 10, người ta không giải thích rõ về lựa chọn này.

Về bảng biến thiên: GKCB10 giới thiệu bảng biến thiên thông qua một ví dụ đi kèm giải thích,

x

-∞ 0 +∞

y +∞ +∞

0

trong đó yếu tố “liên tục” được thể hiện ngầm ẩn thông qua “mũi tên”: “Ví dụ 5. Dưới đây là bảng biến thiên của hàm số y = x2 .

Hàm số y = x2 xác định trên khoảng (hoặc trong khoảng) (-∞;+∞) và khi x dần tới +∞ hoặc

dần tới -∞ thì y đều dần tới +∞.

Tại x = 0 thì y = 0.

Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0) ta vẽ mũi tên đi xuống (từ +∞ đến 0).

Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) ta vẽ mũi tên đi lên (từ 0 đến +∞).

Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ bộ hình dung được đồ thị hàm số (đi lên trong khoảng nào,

đi xuống trong khoảng nào).” [GKCB10, tr.37]

Ở đây, người ta cũng không đề cập đến trường hợp các hàm đơn điệu trên khoảng nhưng đồ thị

không liền nét trên khoảng đó. Trong giai đoạn này, các hàm số được xem xét luôn có đồ thị là

đường liền nét (hàm bậc nhất, hàm bậc hai).

 Những điểm khác nhau









( a;b )









GKCB10 không nêu tường minh kĩ thuật xét tính đơn điệu của hàm số bằng tỉ số biến thiên. Kĩ

0 (hoặc

0 )”

x 2

x ,x 1

x 1

2

 

 

 f x 2 x 2

 f x 2 x 2

 f x 1 x 1

“Cách thứ hai “ và , thuật này chỉ được giới thiệu trong GVCB10 như một cách diễn đạt thứ hai của định nghĩa:  f x 1 x 1

[GVCB10,tr.54]

Đặc biệt, khác với GKNC10 , kĩ thuật xét sự biến thiên của hàm số bằng đồ thị không được nêu tường

minh mà chỉ “ngầm ẩn” thông qua ví dụ được nêu trước khi đưa vào định nghĩa hàm số đơn điệu:

“Xét đồ thị hàm số y = f(x) = x2 (h.15a). Ta thấy trên khoảng (-∞;0) đồ thị “đi xuống” từ trái



  (

;

0



x ,x 1 2

),x 1

  x 2

f ( x ) 1

f ( x ) 2

sang phải(h.15b) và với

Như vậy, khi giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số giảm. Ta nói hàm số y = x2 nghịch biến trên (-∞;0) .





( ; 0





x ,x 1 2

),x 1

  x 2

f ( x ) 1

f ( x ) 2

Trên khoảng (0;+∞) đồ thị “đi lên” từ trái sang phải (h.15b) và với

Như vậy, khi giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số giảm. Ta nói hàm số y = x2 đồng biến trên (0;+∞) .” [GKCB10, tr.35]

Kĩ thuật ngầm ẩn trên chỉ được dùng một lần duy nhất trong GKCB10 khi nghiên cứu tính biến thiên

của hàm số bậc hai: “Dựa vào đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a≠0), ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường

hợp như sau” [GKCB10, tr.45]

Điều đó cho thấy, dường như GKCB10 không chú trọng dùng đồ thị làm công cụ để khảo sát tính biến

thiên của hàm số. Nó cũng thể hiện rõ qua yêu cầu được đặt ra cho HS trong GVCB10:

“Học xong chương II học sinh cần đạt được các yêu cầu sau:

1.Nắm vững khái niệm tập xác định và biết tìm tập xác định của một hàm số đã cho bằng

công thức.

2.Nắm vững các khái niệm đồng biến, nghịch biến, hàm số chẵn, hàm số lẻ, biết lập bảng

biến thiên để trình bày kết quả xét chiều biến thiên một hàm số.

3.Biết lập bảng biến thiên hàm số bậc nhất, vẽ đồ thị hàm số này.

4.Biết lập bảng biến thiên hàm số bậc hai và vẽ đồ thị hàm số này.”[GVCB10,tr.52]

*Phần bài tập (vị trí HS)

Đúng với yêu cầu đặt ra:

“[…]

3.Biết lập bảng biến thiên hàm số bậc nhất, vẽ đồ thị hàm số này.

4.Biết lập bảng biến thiên hàm số bậc hai và vẽ đồ thị hàm số này.”[GVCB10,tr.52]

Trong GKCB10, liên quan đến tính biến thiên của hàm số chỉ có kiểu nhiệm vụ T: xét tính biến thiên

y





của hàm số với ba kiểu nhiệm vụ con:

  ax b a

0

y





Tb1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc nhất

  ax b a

0

2

y



ax



bx





0

T’b1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

 c a



T’b2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc hai

Trong đó, T’b2 có kĩ thuật giải quyết và công nghệ hoàn toàn tương tự Tb2 của GKNC10 nên chúng tôi

y





chỉ nêu ra kĩ thuật và công nghệ của Tb1 và T’b1.

  ax b a

0

Tb1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc nhất

Ví dụ: Bài tập 9 a,b

y

“Xét chiều biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số

 1

1 x 2

a)

y

 

4 2

x

b) ” [GKCB10 tr.50]

Kĩ thuật τb1: Xét dấu của hệ số a:

0a  thì kết luận hàm số đồng biến (tăng) trên R.

-Nếu

0a  thì kết luận hàm số nghịch biến (giảm) trên R.

-Nếu

y







Công nghệ θb1: Chiều biến thiên của hàm số bậc nhất …[GKCB10, tr.39]

 ax b a

0

T’b1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Ví dụ: Bài tập 9 d

Xét chiều biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số

y

x  1

c)

[GKCB10, tr.50]

ax b . Sau đó, sử dụng τb1 để xét sự biến thiên (đồng biến hoặc nghịch biến) trên từng khoảng xác

Kĩ thuật τ’b1: Phá trị tuyệt đối, chuyển hàm số đang xét thành hàm số cho bởi 2 công thức dạng

định.

Công nghệ θ’b1: Định nghĩa giá trị tuyệt đối và θb1

 Nhận xét

Có thể thấy rõ, so với SGK nâng cao, Ttt (khảo sát sự biến thiên của hàm số bằng định nghĩa

hoặc tỉ số biến thiên) và Tđt (khảo sát sự biến thiên của hàm số dựa vào đồ thị của nó) không xuất

hiện. Điều đó cho thấy việc xét sự biến thiên bằng định nghĩa và đồ thị không được SGK cơ bản chú

trọng. Đặc biệt, trong SGK nâng cao, đồ thị vốn giữ vai trò trọng tâm khi nghiên cứu tính biến thiên

của hàm số thì vai trò này lại khá mờ nhạt trong SGK cơ bản.

Phân tích lý thuyết và bài tập cho thấy, ở giai đoạn này, noosphere chỉ yêu cầu nghiên cứu tính

biến thiên hàm số bậc nhất, hàm trị tuyệt đối của hàm bậc nhất và hàm số bậc hai cùng với yêu cầu

vẽ đồ thị của chúng. Một ví dụ hay bài tập trong đó hàm số được cho đơn điệu trên một khoảng

nhưng lại có đồ thị không liền nét trên khoảng đó không xuất hiện. Như vậy, cũng như SGK nâng

cao, có thể thấy rõ một ràng buộc ngầm ẩn của noosphere trong giai đoạn này là: hàm số có đồ thị

liền nét trên khoảng đơn điệu của chúng.

Chúng tôi cũng đặt ra câu hỏi: sau khi khái niệm hàm số liên tục được giảng dạy, ràng buộc trên

có thay đổi không? Có hay không một giải thích và ví dụ minh họa về tính chất “hàm số đơn điệu

trên khoảng K có thể không liên tục trên K”?

1.4.2.2 Thời điểm khái niệm hàm số liên tục được chính thức giảng dạy

Về cơ bản, cách đề cập giống với GKNC11. Sau khi khái niệm hàm số liên tục tại một điểm và hàm

số liên tục trên một khoảng được giới thiệu, GKCB11 đưa ra nhận xét:

“Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó (h.56).

Hình 57 cho ví dụ về đồ thị của một hàm số không liên tục trên khoảng (a;b)

” [GKCB11, tr.136]

Qua nhận xét trên, GKCB11 muốn lưu ý về đặc trưng hình học của hàm số liên tục trên khoảng. Rõ

ràng ngay lúc này, có thể đưa ra một ví dụ bằng đồ thị để minh họa cho mối liên hệ “hàm số đơn

điệu trên khoảng K nhưng có thể không liên tục trên K” nhưng cũng giống với GKNC11, một ví dụ

như thế đã không được đưa vào.

Phần bài tập chỉ gồm các kiểu nhiệm vụ chủ yếu xoay quanh khái niệm hàm số liên tục, không xuất

hiện một bài tập nào đề cập đến tính chất “hàm số đơn điệu trên khoảng K nhưng có thể không liên

tục trên K”.

Một điểm nữa cần lưu ý thêm, định lý (*)13 không xuất hiện, tính liên tục của các hàm số sơ cấp

cơ bản được SGK cơ bản thừa nhận.

1.5 Mối liên hệ đơn điệu-khả vi

Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến được học ở lớp 10, đến lớp 12 khái niệm này được nhắc

lại một lần nữa với mục đích dẫn dắt HS nghiên cứu mối quan hệ giữa tính đơn điệu của một hàm số

có đạo hàm với dấu đạo hàm của nó. Tuy khái niệm hàm số đơn điệu đã được chính thức giới thiệu

ở lớp 10, cuối năm lớp 11 HS được học khái niệm đạo hàm nhưng đến đầu lớp 12 mối liên hệ đơn

điệu - khả vi mới được đề cập. Vì vậy, trong SGK nâng cao, chúng tôi chỉ chọn phân tích bài “tính

đơn điệu của hàm số”- chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của GKNC12;

tương ứng trong SGK cơ bản, chúng tôi chọn phân tích bài “sự đồng biến, nghịch biến của hàm số”-

chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của GKCB10 nhằm làm rõ mối liên hệ

đơn điệu - khả vi đã được thể hiện như thế nào?

1.5.1 SGK nâng cao

*Phần bài học (vị trí GV)

Sau khi nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến đã được học ở lớp 10, kĩ thuật khảo sát

sự biến thiên của hàm số bằng xét dấu tỉ số biến thiên cũng được SGK nhắc lại với cách diễn đạt

khác, trong đó có sự xuất hiện của x :

f ( x

f ( x )



0

“Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi với x tùy ý thuộc K, ta có

x  mà x 0

   . x K

   x )  x

với mọi

f x (

f x ( )

Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi với x tùy ý thuộc K, ta có

x  mà x 0

x K



0

   .” [GTNC12, tr.4]

x    )  x

với mọi

Mặc dù không nói rõ nhưng có thể hiểu mục đích của việc này là đưa vào tính chất sau mà cách diễn

đạt trên chính là yếu tố công nghệ:

I .

“Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

a)Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f’(x)≥0 với mọi x

I .”(1)

13

“Nếu tập các giá trị mà hàm đơn điệu tăng(giảm) f(x) lấy khi x biến thiên trong khoảng I thuộc khoảng J và lấp đầy khoảng

đó thì hàm f(x) liên tục trong khoảng I.”[3, tr.94]

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f’(x)≤0 với mọi x

[GKNC12, tr.4]

Tính chất trên là điều kiện cần để một hàm khả vi trên I đơn điệu trên khoảng đó. Ngay sau đó

GKNC12 đưa vào định lí:

“Định lí

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

I thì hàm số đồng biến trên khoảng I.

a)Nếu f’(x)>0 với mọi x

I thì hàm số nghịch biến trên khoảng I.

b)Nếu f’(x)<0 với mọi x

I thì hàm số không đổi trên khoảng I.”(2)

c)Nếu f’(x)=0 với mọi x

[GKNC12, tr.5]

Đây chính là định lí quan trọng mà noosphere muốn nhấn mạnh, điều đó thể hiện rõ trong GVNC12:

“Mục tiêu của chương này là:

Kiến thức

Giúp học sinh nắm vững

-Quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số

[…]

Giúp học sinh có kĩ năng thành thạo trong việc xét chiều biến thiên (tức là tính đơn điệu) của

hàm số[…]” [GVNC12, tr.18]

“Giúp học sinh thông hiểu điều kiện (chủ yếu là điều kiện đủ) để hàm số đồng biến hoặc

nghịch biến trên một khoảng, một nửa khoảng hoặc một đoạn.

[…]

Giúp học sinh vận dụng một cách thành thạo định lí về điều kiện đủ của tính đơn điệu để xét

chiều biến thiên của hàm số”[GVNC12, tr.20]

Định lí trên chính là điều kiện đủ để một hàm khả vi trên khoảng I đơn điệu trên I. Sau định lí (2),

GKNC12 đưa ra chú ý:

“Khoảng I trong định lí trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó

phải bổ sung giả thiết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b]và có đạo hàm f’(x)>0 trên khoảng (a ;b) thì f đồng

biến trên đoạn [a ; b].” [GKNC12 , tr.5]

GVNC12 giải thích việc đưa vào chú ý này là để tạo thuận lợi trong thực hành, ta sẽ thấy rõ qua trích

đoạn sau:

“Đây là một chú ý quan trọng ta chỉ giới thiệu một trường hợp.Tuy nhiên, dựa vào đó, học

sinh có thể nêu được các khẳng định tương tự cho các trường hợp khác : Điều kiện để hàm

số nghịch biến hoặc không đổi trên một đoạn, điều kiện để hàm số đơn điệu hoặc không đổi

trên một nửa khoảng.

Một vài ví dụ sau đây cho thấy sự cần thiết và lợi ích của việc xét tính đơn điệu của hàm số

không chỉ trên một khoảng mà còn cả trên một đoạn và trên một nửa khoảng.

Đây là một ví dụ cùng với bài giải của một học sinh. Ví dụ.Chứng minh rằng hàm số y = x3+3x2+3x+2 là đồng biến trên toàn bộ R.

Giải

Hàm số có đạo hàm y’= 3x2+6x+3 = 3(x+1)2 .

Từ đó ta lập được bảng biến thiên

Như vậy hàm số đồng biến từ -∞ đến 1 trên khoảng (-∞,1), sau đó đồng biến từ 1 đến +∞

trên khoảng (1 ;+∞) thành thử hàm số đồng biến trên toàn bộ R.

Lập luận vừa nêu là không chặt chẽ. Đúng ra phải chứng tỏ hàm số đồng biến trên mỗi nửa

khoảng (-∞,1] và [1 ;+∞) từ đó mới suy ra hàm số đồng biến trên R.

Tính đồng biến của hàm số đã cho trên R được chứng minh một cách chặt chẽ tương tự như

ví dụ 3 trong bài.

[...]

Khi xét chiều biến thiên của hàm số, để tránh nặng nề, ta thường chỉ nói tới tính đơn điệu

của hàm số trên một khoảng. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp việc xét chiều biến thiên của

hàm số trên một đoạn hoặc nửa khoảng tỏ ra rất tiện dụng trong thực hành.” [GVNC12, tr.21-

22]

Một cách tự nhiên, ta đặt câu hỏi : chiều ngược lại của định lí có đúng không ? Mặc dù không nêu

tường minh nhưng với việc trình bày định lý (1) về điều kiện cần và đưa vào ví dụ 3 cho thấy rõ

GKNC12 ngầm lưu ý rằng chiều ngược lại không đúng.

3

2

y



x



2

x

3

x

  ” [GKNC12, tr.6]

4 3

“Ví dụ 3. Xét chiều biến thiên của hàm số

Lời giải trong GKNC12 chỉ rõ hàm số trên đồng biến trên R nhưng đạo hàm của hàm số tại x = 0 vẫn

bằng không. Ví dụ nêu trên một mặt chỉ rõ chiều ngược lại của định lí là không đúng, đồng thời

thông qua đó, GKNC12 đưa vào định lí mở rộng dưới dạng một nhận xét:

“Nhận xét: Qua ví dụ 3, ta thấy có thể mở rộng định lí đã nêu như sau:

I ( hoặc f’(x)≤0 với mọi

x

I ) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến)

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Nếu f’(x)≥0 với mọi x

trên I”(3)[GKNC12, tr.7]

So với định lý 2 về điều kiện cần và đủ để một hàm số đơn điệu ngặt14 mà chúng tôi đã nêu ở

chương 1 thì (1), (2) và cả định lí mở rộng (3) chỉ là những trường hợp đặc biệt. Theo chúng tôi, sự

thay đổi trên là hợp lí vì lẽ khái niệm “phần trong” không được học ở phổ thông, hơn nữa một phát

biểu đầy đủ như định lý 2 có thể sẽ rất khó hiểu đối với HS và không cần thiết, nó phù hợp hơn với

cấp độ đại học.

Một giả thiết quan trọng của các định lí (1), (2), (3) là hàm số phải có đạo hàm trên khoảng I.

Nói cách khác muốn áp dụng định lí, trước hết cần xét xem hàm số có khả vi trên khoảng cần xét

hay không? Tuy nhiên, GKNC12 lại không có một dòng nào lưu ý đến việc này, GVNC12 cũng vậy.

Trong các ví dụ được cho, hàm số luôn khả vi trên khoảng cần xét, chỉ áp dụng công thức để tính

đạo hàm. Như vậy, dường như giả thiết “hàm số f có đạo hàm trên khoảng I” luôn được đảm bảo và

học sinh không có trách nhiệm phải kiểm tra giả thiết này.

Vấn đề “tồn tại những hàm đơn điệu trên K nhưng lại không khả vi trên K” không được GKNC12

đề cập, GVNC12 cũng không có một dòng nào bàn đến vấn đề này. Trong chương 1, chúng tôi đã chỉ

ra một ví dụ minh họa, chúng tôi cho rằng một ví dụ theo kiểu như thế kèm với minh họa bằng đồ

thị có thể đưa vào khá đơn giản nhưng noosphere đã không thực hiện. Từ đó có thể thấy rằng, mối

liên hệ này không được noosphere chú ý. Phân tích phần bài tập sẽ giúp chúng tôi làm rõ thêm nhận

định này.

*Phần bài tập (vị trí HS)

Phần bài tập gồm các kiểu nhiệm vụ với kĩ thuật và công nghệ như sau :

T1:Chứng minh hàm số f(x) đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) trên khoảng (nửa khoảng, đoạn) K

cho trước.



y

Ví dụ:

x x

 

1 2

“2.Chứng minh hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó” [GKNC12, tr.5]

Từ gợi ý trong SGV, chúng tôi xác định kĩ thuật τ1 như sau :

Kĩ thuật τ1 :

Nếu K là một khoảng:

14 “Định lý 2: Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên

o I . Để f tăng nghiêm ngặt, điều kiện cần và đủ là:

x và { 

o I , f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng có phần trong không rỗng nào.” ([21], tr.165)

x  

f

 '( ) 0

x

o I

,

-Tính đạo hàm f’(x)

  hoặc f’(x)≥0 (f’(x)≤0) và dấu bằng xảy ra tại một số

-Chứng minh f’(x)>0 (f’(x)<0), x K

hữu hạn điểm.

Nếu K là nửa khoảng hoặc đoạn [a,b]:

-Khẳng định sự liên tục của f trên K.

-Xét I là khoảng con lớn nhất của K (khoảng thu được bằng cách bỏ các đầu mút của K), đối

với I, tiến hành như trong trường hợp K là khoảng.

Công nghệ θ1:

Định lý về điều kiện đủ:

“Định lí

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

I thì hàm số đồng biến trên khoảng I.

a)Nếu f’(x)>0 với mọi x

I thì hàm số nghịch biến trên khoảng I.

b)Nếu f’(x)<0 với mọi x

I thì hàm số không đổi trên khoảng I.”

c)Nếu f’(x)=0 với mọi x

[GKNC12, tr.5]

Định lí mở rộng:

I ( hoặc f’(x)≤0 với mọi

x

I ) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến)

“Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Nếu f’(x)≥0 với mọi x

trên I”[GKNC12, tr.7]

Và lưu ý sau:

“Khoảng I trong định lí trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó

phải bổ sung giả thiết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. ”[GKNC12, tr.5]

T2:Xét chiều biến thiên của hàm số y=f(x).

y

x

Ví dụ:

  ” [GKNC12, tr.6]

4 x

“Ví dụ 2. Xét chiều biến thiên của hàm số

Từ cách giải ví dụ trên trong SGK chúng tôi suy ra kĩ thuật τ2 như sau:

Kĩ thuật τ2:

-Tính đạo hàm y’.

-Xét dấu của y’.

-Dựa vào dấu của y’, lập bảng biến thiên và kết luận, cụ thể:

Nếu trên khoảng K mà y’ >0 (y’<0) hoặc y’ ≥0 (y’≤0) , dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thì

kết luận hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng đó.

Công nghệ θ2≡θ1

T3:Tìm giá trị của tham số a để hàm số y=f(x) đồng biến (nghịch biến) trên R.

3

Ví dụ:

y



ax



x

Bài tập 4: “ Với giá trị nào của a hàm số nghịch biến trên R ?”

[GKNC12, tr.8]

Từ gợi ý trong SGV, chúng tôi suy ra kĩ thuật τ3 như sau:

Kĩ thuật τ3:

-Tính đạo hàm y’.

-Tìm a để y’>0 (y’<0) với mọi x thuộc R. Hoặc tìm a để y’≥0 (y’≤0) với mọi x thuộc R, dấu

bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

Công nghệ θ3:

- θ1

-Định lí về dấu của tam thức bậc hai.

T4:Chứng minh bất đẳng thức f(x)>g(x) trên khoảng D=(a;b)

Ví dụ:

Bài tập 8: “Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)sinx < x với mọi x>0,

sinx > x với mọi x<0;[…]” [GKNC12, tr.8]

Từ gợi ý trong SGV, chúng tôi suy ra kĩ thuật τ4 như sau:

Kĩ thuật τ4:

-Đặt h(x) = f(x)-g(x).

-Xét sự biến thiên của h(x) trên [a;b) hoặc (a;b].

-Dựa vào sự biến thiên của h(x) trên D suy ra y>0 trên D, từ đó suy ra f(x)>g(x) trên D.

Công nghệ θ4≡θ1

 Nhận xét

Đối với T1, các hàm được cho luôn khả vi trên khoảng cần xét. Kĩ thuật để giải quyết là tính đạo

hàm và chứng minh đạo hàm có dấu không đổi trên khoảng cần xét. Kĩ thuật xét dấu tỉ số biến thiên

hoặc dùng định nghĩa đã hình thành ở lớp 10 không được sử dụng. Sau đây, chúng tôi phân tích một

trường hợp đặc biệt của T1.

“7.Chứng minh hàm số f(x)= cos2x – 2x + 3 nghịch biến trên R.” [GKNC12 , tr.8], được gợi ý

trong GVNC12 như sau:

x

 



k

x

 k ,k Z



“f’(x)=-2(sin2x+1)≤0 với mọi xR.

  2

 2

    4

f’(x)=0  sin2x=-1  2

[

( k



1

 ) ]

 k ;

   4

   4

Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn

Do đó hàm nghịch biến trên R.







Cách giải khác. Ta chứng minh hàm số f nghịch biến trên R, tức là

x ,x 1

2

R,x 1

  x 2

f ( x ) 1

f ( x ) 2

.(1)

( ; )a bx

Thật vậy, lấy hai số a, b sao cho a

f’(x)=)=-2(sin2x+1)≤0 với mọi .

Dễ thấy f’(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của khoảng (a;b). Do đó hàm số f nghịch biến

trên khoảng (a,b). Từ đó ta có bất đẳng thức (1).”

[GVNC12, tr.27]

Trong cách giải đầu, việc chứng minh f(x) nghịch biến trên R được chuyển thành chứng minh f(x)

nghịch biến trên từng đoạn mà hợp của chúng là R (ở đây, ta thấy rõ một lí do của việc đưa vào định

nghĩa hàm số đơn điệu trên đoạn). Tuy nhiên người ta lại chứng minh f(x) nghịch biến trên từng

đoạn bằng τ1. Cách giải thứ 2 dùng định nghĩa nhưng sau đó để chứng minh được (1) thì vẫn dựa

vào τ1. Tóm lại, tuy có vài điểm khác biệt nhưng hai cách mà GVNC12 gợi ý vẫn chủ yếu dựa vào τ1.

Đối với T2, các hàm được cho luôn khả vi trên từng khoảng của miền xác định của chúng. Giả

thiết của định lí về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng luôn thoả mãn. Kĩ thuật giải

quyết là tính đạo hàm và xét dấu của chúng, từ đó chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

Đối với T3, các hàm được cho là hàm bậc 3, luôn khả vi trên R. Kĩ thuật giải quyết là tính đạo

hàm tìm điều kiện của tham số để đạo hàm có dấu không đổi trên R hoặc đạo hàm không âm (không

dương) trên R bằng cách sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai đã học ở lớp 10, đạo hàm chỉ

bằng không tại một số hữu hạn điểm. Như vậy, kĩ thuật τ3 chủ yếu vẫn dựa vào “định lí về điều kiện

đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng” và “định lí mở rộng”.

Đối với T4, các hàm được cho luôn khả vi trên khoảng D cần xét. Kĩ thuật giải quyết chủ yếu

vẫn dựa vào “định lí về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng” và “định lí mở rộng”

 Tóm lại: Phân tích các tổ chức toán học liên quan đến tính đơn điệu của hàm số cho thấy, θ1: “định

lí về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng” và “định lí mở rộng” là yếu tố công nghệ

chi phối các tổ chức toán học này. Nó tạo ra kĩ thuật giải quyết chủ yếu là tính đạo hàm và xét dấu

đạo hàm khi giải các bài toán liên quan đến việc xét tính đơn điệu của hàm số. Điều đó cho phép

chúng tôi dự đoán về sự tồn tại của quy tắc hợp đồng sau đối với HS lớp 12:

R1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số phải dựa trên cơ sở xét dấu đạo hàm.

Trong các kiểu nhiệm vụ này, hàm số được cho luôn khả vi trên khoảng cần xét. Không xuất hiện

bài tập theo kiểu hàm được cho đơn điệu trên khoảng K nhưng không khả vi trên K. Yếu tố đồ thị

đã không được sử dụng, mặc dù có thể dùng nó để minh hoạ một cách trực quan cho mối liên hệ

này.

Như vậy, cả phần phân tích lí thuyết và bài tập đều cho thấy, vấn đề “tồn tại những hàm đơn

điệu trên khoảng K nhưng lại không khả vi trên K” không được đề cập. Điều kiện “hàm số khả vi

trên khoảng cần xét” luôn được đảm bảo, rõ hơn, hàm số luôn khả vi trên khoảng cần xét tính đơn

điệu của nó. Từ đó, một mặt chúng tôi đi đến giả thuyết sau về sự tồn tại của quy tắc hợp đồng đối

với HS lớp 12:

R2: HS không có trách nhiệm phải kiểm tra tính khả vi của hàm số được cho trên khoảng đang

xét khi giải các bài toán liên quan đến xét chiều biến thiên của hàm số.

mặt khác, chúng tôi đặt ra câu hỏi: những ràng buộc này sẽ tác động như thế nào lên mối quan hệ

cá nhân của HS? Họ có cho rằng “khả vi” là điều kiện cần của “đơn điệu” không? Rõ hơn, họ có

nghĩ rằng nếu hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng thì f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên khoảng

đó?

1.5.2 SGK cơ bản

Như đã nói ở trên, chúng tôi chỉ chọn phân tích bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm

số(chương 1-GKCB12) nhằm chỉ rõ những điểm giống và khác nhau so với SGK nâng cao.

*Phần lý thuyết

 Những điểm giống với SGK nâng cao:

Hai định lí quan trọng được đề cập:

Định lí về điều kiện đủ:

“Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x)<0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.”

[GKCB12, tr.6]

Và định lí mở rộng:

“ Ta có định lí mở rộng sau đây.

Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f’(x)≥0 (f’(x)≤0) và f’(x)=0 chỉ tại hữu hạn

điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.” [GKCB12, tr.7]

Giả thiết của định lí không được GKCB12 lưu ý. Trong các ví dụ được xem xét, hàm số luôn khả vi

trên khoảng đơn điệu của nó. Mặc dù nhấn mạnh việc sử dụng đồ thị trong dạy học “Nên tích cực sử

dụng hình ảnh hình học (đồ thị) của một hàm số để gợi ý, củng cố các tính chất mang tính lí thuyết”

[GVCB12, tr.25] nhưng một ví dụ minh họa bằng đồ thị nhằm chỉ ra rằng “có những hàm số đơn điệu

trên một khoảng nhưng lại không khả vi trên khoảng đó” đã không xuất hiện. Như vậy, dường như

điều kiện “hàm số có đạo hàm trên K” luôn thỏa mãn.

 Những điểm khác nhau:

Trong hai định lí được đề cập, K được hiểu là khoảng, nửa khoảng, đoạn. Chúng tôi chú ý đến hai

trường hợp sau: K là nửa khoảng và đoạn. Muốn áp dụng định lí thì hàm số phải khả vi trên K, trong

khi đó, định lí (2) và (3) trong SGK nâng cao đi kèm với lưu ý thì chỉ cần hàm khả vi trên K trừ ra

đầu mút của nó. Một câu hỏi được đặt ra, nếu hàm số không khả vi tại đầu mút của K thì ta phải làm

thế nào để xét tính đơn điệu của nó? Trong bài học, vấn đề này không được xem xét cả trong

GKCB12 và GVCB12, như đã nói ở trên, dường như giả thiết “hàm số có đạo hàm trên K” luôn được

đảm bảo.

Một điểm khác nhau nữa là, GKCB12 nêu tường minh quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:

“1.Quy tắc

1.Tìm tập xác định.

2.Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi (i=1, 2, …, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc

không xác định.

3.Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4.Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.”

[GKCB12, tr.8]

Bước thứ 2 trong quy tắc này chỉ rõ phải xác định các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không

xác định. Ở đây chúng tôi nhận thấy GKCB12 có đề cập đến những điểm mà tại đó đạo hàm không

xác định. Tuy nhiên, các ví dụ áp dụng ngay sau đó lại cho thấy, điểm mà tại đó đạo hàm không xác

y



định là những điểm mà hàm số không xác định:

x x

 

1 1

. “Ví dụ 4. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

( x



1

)

y'

Giải. Hàm số xác định với mọi x≠-1. Ta có





 ) 1 ( x

( x

2 )

 ( x 2 1 ) 

2 1 

.

y’ không xác định tại x = -1.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (-1;+∞).” [GKCB12, tr.9]

Trong ví dụ trên, x=-1 không thuộc khoảng đơn điệu của hàm số. Ta xem xét thêm giải thích của

GVCB12:

“Để giúp học sinh dễ nhớ quy trình xét tính đơn điệu bằng đạo hàm, SGK nêu các bước tiến

hành dưới dạng một quy tắc. Trong quy tắc này, nếu học sinh yêu cầu cho một ví dụ minh

họa rằng ngoài các nghiệm của f’(x)=0 còn cần tìm cả những điểm tại đó đạo hàm không

xác định (tức là không có đạo hàm tại điểm đó) ta có thể lấy các ví dụ sau:

2

x

nêu x



1

f ( x )

  x

2

nêu x



1

   

a)(H.5)

f (

1

f ( ) 1

(

1

2 1



 

1

   x ) x 

     x ) x 

lim   x 0 (   ) x 0

lim   0 x 0   x ) (

f (

1

f ( ) 1

(

1



1





2

   x )  x

2   x )  x

lim   x 0 ( x   ) 0

lim   x 0 0   ) ( x

Dễ thấy rằng hàm số f(x) không có đạo hàm tại x = 1 vì

Mặt khác, f’(x)=2x với -∞

f’(x)>0 khi 0 < x < 1 ;

f’(x)<0 khi -∞ < x < 0;

f’(x)=-1 khi 1 < x < +∞.

Suy ra sự biến thiên của hàm số f(x)

x

voi

0

  x

1

g( x )



0

voi x

1

 1    x  

b)Xét hàm số H.6

g(

1



0

   x ) g( ) 1 x 

lim   x 0 ( x   ) 0

Hàm số g(x) không có đạo hàm tại x = 1 vì

g(

1

  1

   x ) g( ) 1  x

lim   x 0 ( x   0 )

g'( x )

 

Mặt khác

1 2 x

<0 trong khoảng (0;1) và g’(x)=0 khi x>1.

Suy ra g(x) giàm trong khoảng (0;1), g(x) không đổi trong khoảng (1;+∞).”

[GVCB12, tr.27]

Hai ví dụ được nêu trong đoạn trích chỉ ra sự cần thiết phải xác định các điểm mà tại đó hàm số

không có đạo hàm. Tuy nhiên, điểm mà đạo hàm không xác định lại không thuộc khoảng đơn điệu

của hàm số, qua các điểm này tính đơn điệu của hàm số bị thay đổi (Ở câu a, qua điểm x=1 thì tính

đơn điệu của hàm số thay đổi (từ đồng biến sang nghịch biến), ở câu b qua x=1 hàm số chuyển từ

nghịch biến sang không đổi). Như vậy, mặc dù đây là cơ hội tốt để lưu ý GV về tính chất “có những

hàm số đơn điệu trên một khoảng nhưng lại không khả vi trên khoảng đó” nhưng noosphere đã

không thực hiện. Điều đó càng củng cố khẳng định của chúng tôi: giả thiết “hàm số khả vi trên K”

luôn được đảm bảo.

*Phần bài tập (vị trí HS)

 Những điểm giống nhau:

Chúng tôi thống kê được gồm có 3 kiểm nhiệm vụ và 3 kiểu nhiệm vụ này hoàn toàn tương tự với

SGK nâng cao:

T’1:Chứng minh hàm số f(x) đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) trên khoảng K cho trước.

T’2:Xét chiều biến thiên của hàm số y=f(x) (tìm các khoảng đơn điệu)

T’4:Chứng minh bất đẳng thức f(x)>g(x) trên khoảng K.

Kĩ thuật giải quyết tương ứng chủ yếu là tính và xét dấu đạo hàm. Các kĩ thuật này đều dựa trên

công nghệ θ’1: định lí về điều kiện đủ và định lí mở rộng. Từ đó, chúng tôi cho rằng, R2 cũng hoạt

động trong GKCB12.

Xem xét các bài tập được cho chúng tôi thấy rằng, không có bài tập nào đề cập đến vấn đề “hàm số

đơn điệu trên một khoảng có thể không khả vi trên khoảng đó. Các hàm số luôn khả vi trên khoảng

đơn điệu nghĩa là giả thiết của hai định lí luôn thỏa mãn. Xem xét lời giải các ví dụ, lời giải các bài

tập trong SGV chúng tôi không thấy bước kiểm tra sự khả vi của hàm số. Điều đó cho thấy R1 cũng

hoạt động trong GKCB12.

 Những điểm khác nhau:

Không xuất hiện kiểu nhiệm vụ như T3:Tìm giá trị của tham số a để hàm số y=f(x) đồng biến

(nghịch biến) trên R, nhưng theo chúng tôi, sự khác biệt này không mang lại ý nghĩa gì.

Đối với T’1 và T’2, SGK cơ bản chỉ yêu cầu xét trên khoảng. Tuy nhiên, sự khác biệt này chỉ làm

lời giải đơn giản hay phức tạp hơn chứ không làm thay đổi kĩ thuật giải quyết chúng.

1.6 Mối liên hệ liên tục - khả vi

Sau khi khái niệm đạo hàm của hàm số được giảng dạy, mối liên hệ liên tục-khả vi mới được đề

cập, vì vậy chúng tôi chọn phân tích bài “khái niệm đạo hàm” trong chương Đạo hàm SGK đại số

và giải tích 11 nhằm làm rõ mối liên hệ này.

1.6.1 SGK nâng cao

*Phần bài học (vị trí GV)

Sau khi định nghĩa khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm, GKNC11

đưa ra nhận xét đi kèm với chứng minh:



f '( x )

“Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm xo thì nó liên tục tại điểm đó.

o

lim   x 0

 y  x

. Thật vậy, giả sử hàm số f có đạo hàm tại f’(xo), tức là

 

  . x

 

 0 0

Ta có

f '( x ). o

lim y   0 x

lim   0 x

lim   0 x

. lim y   0 x

y   x

y   x

f x ( )



))



0

y

  . Điều này chứng tỏ

.

f x ( o

lim   0 x

lim(  x x o

Do đó



f ( x ) o

lim f ( x )  x

x o

.

Từ đó suy ra rằng hàm số f liên tục tại điểm xo.”[GKNC11, tr.186]

Như vậy, mối liên hệ “hàm số khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó” được thể chế nêu rõ

trong SGK và giải thích rõ ràng. Tuy nhiên, mối liên hệ theo chiều ngược lại “Hàm liên tục tại một

điểm có thể không khả vi tại điểm đó” không được đề cập trong phần bài học. Về vấn đề này, để rõ

hơn, chúng tôi tham khảo thêm GVNC11:

Để giảm nhẹ kiến thức, chương trình không yêu cầu xây dựng các khái niệm đạo hàm một

bên và đạo hàm trên một đoạn. Mặt khác, SGK không nhấn mạnh “Quan hệ giữa sự tồn tại

đạo hàm và tính liên tục của hàm số tại một điểm” mà chỉ nêu tính chất “Hàm số có đạo

hàm tại xo thì liên tục tại điểm đó” như là một nhận xét mà thôi; điều đó không ảnh hưởng gì

lớn đến các nội dung khác của Giải tích trong chương trình THPT.[GVNC11, tr.226]

Trích dẫn cho thấy, lí do của việc không đề cập là để giảm nhẹ chương trình và noosphere không

nhấn mạnh “quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục của hàm số tại một điểm”.

*Phần bài tập (vi trí HS)

Trong phần này chúng tôi không phân tích hết các tổ chức toán học liên quan mà chỉ phân tích 2

bài tập liên quan mối liên hệ liên tục-khả vi:

x

“14.Cho hàm số y .

a)Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x=0.

b)Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x=0, nếu có.

c)Mệnh đề “Hàm số liên tục tại điểm xo thì có đạo hàm tại xo” đúng hay sai?

y

15.Hình 5.5 là đồ thị của hàm số y=f(x) xác định

trên khoảng (a;b). Dựa vào hình vẽ hãy cho biết

tại mỗi điểm x1, x2, x3 và x4:

a)Hàm số có liên tục hay không?

b)Hàm số có đạo hàm hay không? Hãy tính đạo

hàm nếu có.”

a

b

x1

x2 x3

x4

x

O

[GKNC11, tr.195]

Với bài tập 14, SGV gợi ý như sau:

a) Hàm đã cho liên tục tại xo=0 vì



x

  0

f

(0)

f x lim ( )  x

0

lim  x 0

.

Đồ thị là một đường “liền nét” khi đi qua điểm O(0;0).(h.5.7)

f x ( )

x

b)Đạo hàm của hàm số tại điểm xo=0 có hay không, phụ thuộc vào sự tồn

0

)

tại của giới hạn

lim  0 x

f ( x ) x

 

f ( 0

.

0

)







1

Ta nhận thấy







lim  0 x

lim  0 x

lim  0 x

f ( x ) x

 

f ( 0

x x

x x

)

0





 

1

.







lim  0 x

lim  0 x

lim  0 x

f ( x ) x

 

f ( 0

x x

x  x

0

)

0

)

.







lim  0 x

lim  0 x

f ( x ) x

 

f ( 0

f ( x ) x

 

f ( 0

.

Suy ra giới hạn đang xét là không tồn tại, nghĩa là hàm số đã cho không có giới hạn

tại điểm xo=0 ( vậy không có tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm O(0;0)).

[GVNC11, tr.231]

Trích dẫn cho thấy, noosphere muốn HS biết rõ hàm đã cho liên tục tại x=0 nhưng không có đạo

hàm tại x=0. Từ đó, HS nhận ra mệnh đề “Hàm số liên tục tại điểm xo thì có đạo hàm tại xo” là

không đúng. Trong gợi ý trên, ngoài việc xem xét sự liên tục và sự khả vi của hàm số tại x=0 bằng

định nghĩa, GVNC11 còn minh hoạ bằng đồ thị mặc dù đề bài không yêu cầu. Có thể giải thích rằng,

noosphere gợi ý GV nên sử dụng đồ thị để minh họa trong trường hợp này. Đồ thị được đưa vào

một mặt minh họa cho sự liên tục của hàm số (thông qua đặc trưng liền nét) mặt khác minh họa cho

việc hàm số không có đạo hàm tại x=0 (đồ thị không có tiếp tuyến tại O(0,0)), qua đó HS có thể

hình dung một cách trực quan về hàm số liên tục tại một điểm nhưng không khả vi tại điểm đó.

Với bài 15, GVNC12 gợi ý như sau:

Căn cứ vào hình 5.8 ta nhận thấy :

+ hàm đã cho gián đoạn tại các điểm x1 và x3 vì đồ thị hàm số bị đứt tại các điểm M1, M3. Do

đó tại các điểm x1, x3 hàm số không có đạo hàm.

+ Hàm số đã cho liên tục tại các điểm x2, x4 vì đồ thị hàm số là đường “liền nét” khi đi qua

các điểm M2, M4.

x

+ Hàm số không có đạo hàm tại điểm x2 vì tại điểm M2 đồ thị hàm số bị gãy ( và hiển nhiên

tại đó không có tiếp tuyến), giống như tại điểm (0;0) đối với đồ thị hàm số y .

+ Hàm số có đạo hàm tại điểm x4 và f’(x4)=0; vì tại điểm M4 đồ thị của hàm số có tiếp tuyến

và tiếp tuyến này song song với trục hoành.[GVNC11, tr.232]

Trích dẫn cho thấy, noosphere muốn dùng đồ thị làm công cụ để minh họa cho mối quan hệ

“liên tục và khả vi”. Mệnh đề “nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm xo thì nó liên tục tại điểm

đó” được đề cập thông qua x4, hàm số có đạo hàm và liên tục tại điểm này. Không chỉ thế, mệnh đề

tương đương với nó “nếu hàm số y=f(x) không liên tục tại điểm xo thì nó không có đạo hàm tại điểm

đó” cũng được minh họa rõ. Cụ thể, hàm được cho không liên tục tại x1 và x3 thể hiện qua “đồ thị

hàm số bị đứt tại các điểm M1 và M3” và từ đó đi đến kết luận “do đó tại các điểm x1, x3 hàm số

không có đạo hàm”.

Mối liên hệ “hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó” được chỉ rõ qua điểm

x2. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x2 vì đồ thị hàm số liền nét khi đi qua M2 nhưng “bị

gãy” tại điểm này. Ở đây, “điểm gãy” tạo tác động trực quan: tại hoành độ điểm gãy, hàm số không

có đạo hàm. Lí do được đưa ra là tại điểm gãy đồ thị hàm số không có tiếp tuyến.

Như vậy, mặc dù không nhấn mạnh mối liên hệ “liên tục-khả vi” và trong phần lí thuyết không

đề cập đến mối liên hệ “hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó”, nhưng trong

phần bài tập, noosphere lại minh họa rất rõ. Đặc biệt, hai bài trên cho thấy “đồ thị” là công cụ chủ

yếu được dùng để thể hiện các mối liên hệ trên. Tuy nhiên, từ đó về sau, mối liên hệ trên không

được đề cập trở lại cả trong lí thuyết lẫn bài tập. Nói cách khác, điều kiện sinh thái của nó không

còn nữa. Điều đó khiến chúng tôi đặt ra câu hỏi: liệu HS có nắm rõ được các quan hệ này không?

Cũng cần lưu ý thêm, trong chương 1, chúng tôi đã chỉ ra một chướng ngại liên quan đến mối liên

hệ này: Hàm số liên tục trên một khoảng thì khả vi trên khoảng đó, trừ ra một số hữu hạn điểm, do

đó đối với HS, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến câu hỏi: tồn tại hay không quan niệm “ hàm số liên

tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó”?

1.6.2 SGK cơ bản

Khác với SGK nâng cao, mối liên hệ liên tục-khả vi được GKCB11 nêu thành một mục riêng:

“4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Ta thừa nhận định lí sau đây.

Định lí 1

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo thì nó liên tục tại điểm đó

CHÚ Ý

a)Định lí trên tương đương với khẳng định :

Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại xo thì nó không có đạo hàm tại điểm đó

b)Mệnh đề đảo của định lí không đúng.

2

x

nêu x



0

( ) f x

Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó.



0

nêu x

   x 

Chẳng hạn hàm số

Liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại

điểm đó.

Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một

đường liền, nhưng bị “gãy” tại điểm O(0;0)

(h.62)” [GKCB11, tr150]

Như vậy, tính chất hàm số khả vi tại một điểm thì khả vi tại điểm đó được GKCB11 đề cập qua việc

công nhận định lí 1, không chỉ vậy, GKCB11 còn nêu rõ mệnh đề tương đương với nó. Ở đây, GKCB11

cung cấp một cách chứng minh hàm số không có đạo hàm tại một điểm. Điều này được giải thích

trong GVCB11 như sau:

“[…]

Từ định lí trên, ta có thể chứng minh được rằng nếu xo là điểm gián đoạn thì không tồn tại

đạo hàm của hàm số tại điểm đó.

2

x



1

nêu x



0

f ( x )

3

x

nêu x



0

    

Ví dụ 2.Chứng minh rằng hàm số

2





1

)

  1

f (

0

),

Không có đạo hàm tại xo = 0.





lim f ( x )  x

0

lim ( x  x 0

3



 0





lim f ( x )  x

0

lim x  0 x

Giải. Vì







lim f ( x )  x

0

lim f ( x )  0 x

Nên .

lim f ( x )  0 x

Do đó không tồn tại .

Vậy hàm số y = f(x) gián đoạn tại xo. Do đó, hàm số không có đạo hàm tại điểm

đó.”[GVCB11, tr.151]

Mối liên hệ “hàm số khả vi tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó” được GKNC11 nêu tường

minh, đi kèm là một ví dụ minh họa bằng đồ thị. Hình ảnh đồ thị liền nét nhưng bị “gãy” tại điểm

O(0;0) giúp HS hình dung một cách trực quan về đồ thị của hàm số liên tục tại một điểm nhưng lại

không có đạo hàm tại đó.

*Phần bài tập (vị trí HS)

Chỉ có một bài tập minh họa cho khẳng định “Nếu hàm số y = f(x) không liên tục tại xo thì nó không

có đạo hàm tại điểm đó”



1

2 )

nêu x



0

f ( x )

2

x

nêu x





0

 ( x    

“4.Chứng minh rằng hàm số

Không có đạo hàm tại điểm x = 0”[GKCB11, tr.156]

Các bài tập minh họa tính chất “hàm số khả vi tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó” không

xuất hiện.

Như vậy, tuy phần bài học đề cập đầy đủ và có minh họa rõ ràng bằng đồ thị mối liên hệ liên tục-

khả vi nhưng phần bài tập chỉ có duy nhất một bài tập liên quan đến mối liên hệ này. Hơn nữa, bài

tập này chỉ nhằm củng cố tính chất “hàm số bị gián đoạn tại điểm nào thì không khả vi tại điểm

đó”.

1.7 Kết luận chương 2

1.7.1 Đơn điệu-Liên tục

Mối liên hệ đơn điệu-liên tục chỉ được đề cập trong giai đoạn khái niệm liên tục hoạt động ngầm ẩn

với đặc trưng hàm số có đồ thị liền nét trên khoảng đơn điệu. SGK nâng cao chú trọng đến việc

nghiên cứu tính đơn điệu từ đồ thị của hàm số, điều này thể hiện rõ qua tầm quan trọng của kiểu

nhiệm vụ Tđt (khảo sát sự biến thiên của hàm số từ đồ thị của nó). SGK cơ bản chỉ nghiên cứu tính

đơn điệu của hàm bậc nhất, hàm giá trị tuyệt đối của hàm bậc nhất và bậc hai cùng với yêu cầu vẽ

đồ thị của các hàm số này. Trong giai đoạn này, thể chế chỉ đề cập các hàm số liên tục trên khoảng

đơn điệu của nó. Đến giai đoạn khái niệm liên tục được giảng dạy tường minh, mối liên hệ này

không được đề cập trở lại, đặc biệt không có một lưu ý hay ví dụ và bài tập nào chỉ ra rằng “một

hàm số đơn điệu trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có thể không liên tục trên I ”, việc minh họa

bằng đồ thị đã không được tính đến. Định lí về điều kiện đủ để một hàm số đơn điệu trên một

khoảng liên tục trên khoảng đó cũng không được đưa vào, hệ quả kéo theo là tính liên tục của các

hàm sơ cấp cơ bản trên tập xác định của chúng được công nhận. Từ các phân tích, chúng tôi phát

biểu giả thuyết sau về một ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của HS:

Giả thuyết H1:

Đối với HS: hàm số đơn điệu trên K (khoảng, nửa khoảng, đoạn) thì liên tục trên khoảng đó.

1.7.2 Đơn điệu-Khả vi

Định nghĩa hàm số đơn điệu ở cấp độ phổ thông tương đương với định nghĩa đơn điệu nghiêm ngặt

ở bậc đại học. Vì vậy, trong 2 bô sách nâng cao và cơ bản, mối liên hệ đơn điệu-khả vi chỉ là “vết”

o I . Để f tăng nghiêm ngặt, điều kiện cần và đủ là:

của định lí 2 về điều kiện cần và đủ để một hàm số đơn điệu ngặt mà chúng tôi đã nêu ở chương 1

o

  x

o I , f '( x )

0

x

 và {

I , f’(x)=0} không chứa bất kì một khoảng có phần trong không rỗng

(Định lý 2: Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên

nào.). Các phân tích cho thấy, thể chế nhấn mạnh mối liên hệ giữa tính đơn điệu của một hàm số có

đạo hàm và dấu của đạo hàm. Các tổ chức toán học được xây dựng xoay quanh công nghệ gồm định

lí về điều kiện đủ và định lí mở rộng. Tính chất “một hàm số đơn điệu trên một khoảng có thể không

khả vi trên khoảng đó” không được đề cập, đặc biệt, việc minh họa bằng đồ thị có thể thực hiện khá

đơn giản nhưng không đươc thể chế tính đến. Với đặc trưng “các hàm số được xem xét luôn khả vi

trên khoảng cần xét”, việc nghiên cứu tính biến thiên của hàm số luôn dựa trên cơ sở tính và xét dấu

đạo hàm, kĩ thuật dùng định nghĩa hoặc xét dấu tỉ số biến thiên không có lí do để tồn tại. Từ đó,

chúng tôi rút ra các quy tắc sau của hợp đồng didactic đối với HS lớp 12:

 R1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số phải dựa trên cơ sở xét dấu đạo hàm.

 R2: HS không có trách nhiệm phải kiểm tra tính khả vi của hàm số được cho trên

khoảng đang xét khi giải các bài toán liên quan đến xét chiều biến thiên của hàm số.

Đồng thời chúng tôi phát biểu một giả thuyết sau về một quan niệm của HS dưới tác động của

mối quan hệ thể chế:

Giả thuyết H2:

Đối với HS, hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng thì có đạo hàm và đạo hàm

không âm (không dương) trên khoảng đó.

1.7.3 Liên tục-Khả vi

Mối liên hệ liên tục-khả vi được thể chế đề cập rõ, việc minh họa bằng đồ thị đã được tính đến tuy

có vài điểm khác biệt:

-Tính chất “hàm số khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó”: SGK nâng cao đưa ra tính chất này

cùng với chứng minh của nó và minh họa bằng đồ thị thông qua một bài tập. Tính chất này lại được

SGK cơ bản thừa nhận. Thêm vào đó, SGK cơ bản cũng nêu rõ mệnh đề tương đương “nếu hàm số

y = f(x) gián đoạn tại xo thì nó không có đạo hàm tại điểm đó” đi kèm với minh họa bằng hàm số

cho bởi công thức, tuy nhiên việc minh họa bằng đồ thị đã không được tính đến.

-Tính chất “hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó”: SGK nâng cao không nêu

tường minh trong phần lý thuyết nhưng lại minh họa rõ trong phần bài tập, đặc biệt là bằng đồ thị

mang tính trực quan. SGK cơ bản nêu rõ trong phần lý thuyết và minh họa rõ bằng đồ thị, nhưng lại

không có bài tập nào liên quan. Phần bài tập minh họa cho mối liên hệ này quá ít (SGK nâng cao)

thậm chí không có bài tập (SGK cơ bản) khiến chúng tôi nghi ngờ rằng HS sẽ không hiểu rõ mối

liên hệ này. Chúng tôi đặt ra câu hỏi liên quan đến mối liên hệ này: HS có quan niệm “hàm số liên

tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó” không?

Chương 3:

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

1.8 Thực nghiệm thứ nhất

1.8.1 Mục đích

Mục đích của thực nghiệm này là nghiên cứu mối quan hệ cá nhân của HS đối với các đối tượng

“mối liên hệ đơn điệu-liên tục”, “mối liên hệ đơn điệu-khả vi”, “mối liên hệ liên tục-khả vi”. Đặc

biệt, nó nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của hai giả thuyết H1 và H2 đồng thời tìm kiếm câu trả lời

cho câu hỏi mà chúng tôi đã nêu ra ở cuối chương 2:

Giả thuyết H1:

Đối với HS, một hàm đơn điệu trên K thì liên tục trên K (khoảng, nửa khoảng, đoạn)

Giả thuyết H2:

Đối với HS,: hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng thì có đạo hàm và đạo hàm không âm

(không dương) trên khoảng đó.

Câu hỏi:

HS có nghĩ rằng hàm số liên tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó không?

Chúng tôi kí hiệu câu hỏi này là câu hỏi LK

1.8.2 Giới thiệu thực nghiệm

Thực nghiệm gồm 3 tình huống, tình huống 1 nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết H1,

tình huống 2 nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết H2, tình huống 3 nhằm tìm kiếm câu

trả lời cho câu hỏi LK.

 Tình huống 1

Cho bài toán:

“Cho hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], f(-1)=-2, f(3)=3

Phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3) không? Vì sao?”

Ba HS A, B và C tranh luận như sau:

HS A:

f(-1)= -2 và f(3)= 3 suy ra f(-1).f(3)=(-2).3=-6<0

Suy ra f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3).

HS B:

Tớ không đồng ý với A. Vì để có thể kết luận phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng

(-1;3), ta còn cần thêm điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3], nhưng đề bài lại không cho

biết f(x) có liên tục trên đoạn [-1;3] hay không, nên ta không thể đưa ra kết luận gì.

HS C:

Tớ đồng ý với B ở chỗ để có thể kết luận phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-

1;3), ta còn cần thêm điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3], nhưng B nói “đề bài không cho

biết f(x) có liên tục trên đoạn [-1;3] hay không” là không đúng. Vì theo đề bài, ta có hàm số

f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], suy ra f(x) liên tục trên đoạn [-1;3]. Tóm lại tớ đề nghị lời

giải như sau:

f(-1) = - 2 và f(3) = 3 suy ra f(-1).f(3) = (-2).3 = -6<0.

Hàm số y=f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3] nên f(x) liên tục trên đoạn [-1;3].

Ta có f(-1).f(3) < 0 và f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] nên phương trình f(x)=0 có

nghiệm trong khoảng (-1,3).

Câu hỏi cho em: Em hãy đọc kĩ đoạn tranh luận trên, nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá như thế

nào về ý kiến của A, B, C? Vì sao em lại đánh giá như vậy?

 Tình huống 2

Cho bài toán:

“Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

+∞

-∞ 3 11

x f(x)

-∞ -∞

Từ bảng biến thiên trên, em có thể kết luận gì về đạo hàm của hàm số y = f(x)? ”

Hai HS A và B tranh luận như sau :

HS A:

- Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) nên nó có đạo hàm tại mọi x(-∞;3) và f’(x)≥0 với mọi x(-

∞;3).

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nên nó có đạo hàm tại mọi x(3;+∞) và f’(x)≤0 với mọi

x(3;+∞).

HS B:

- Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) nhưng chưa chắc có đạo hàm tại mọi x(-∞;3) và do đó

cũng không thể kết luận f’(x)≥0 với mọi x(-∞;3).

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nhưng chưa chắc có đạo hàm tại mọi x(3;+∞) và do đó

cũng không thể kết luận f’(x)≤0 với mọi x(3;+∞).

Câu hỏi cho em: Em hãy đọc kĩ đoạn tranh luận trên, nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá như thế

nào về ý kiến của A và B? Vì sao em lại đánh giá như vậy?

 Tình huống 3

Cho bài toán:

“Cho hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b). xo là một điểm bất kì thuộc khoảng

(a; b), có thể kết luận gì về đạo hàm của f(x) tại điểm xo?”

Có hai HS đã tranh luận như sau:

HS A:

Hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm x(a; b), do đó f(x) liên tục tại xo, suy ra f(x) có đạo hàm tại xo .

HS B:

Hàm số f(x) liên tục tại xo nhưng chưa chắc có đạo hàm tại xo .

Câu hỏi cho em: Em đánh giá như thế nào về ý kiến của A và B? Vì sao em lại đánh giá như vậy?

1.8.3 Hình thức thực nghiệm

Thực nghiệm được tổ chức trên đối tượng HS lớp 12 tại một số trường THPT ở TP.HCM. HS làm

việc cá nhân trong thời gian 45 phút trả lời các câu hỏi trong phiếu điều tra. Phiếu sẽ được thu lại và

xử lí nhằm phục vụ cho phân tích a posteriori sau đó.

1.8.4 Phân tích apriori các tình huống thực nghiệm

1.8.4.1 Các biến didactic ảnh hưởng đến việc xây dựng tình huống

V1: Cách đưa vào mệnh đề

Mệnh đề được nêu “trực tiếp” hay “gián tiếp” ? Trực tiếp ở đây được hiểu theo nghĩa là nêu tường

minh mệnh đề và yêu cầu đánh giá tính đúng sai của nó. Gián tiếp được hiểu theo nghĩa mệnh đề

không được nêu tường minh mà thông qua một hình thức trung gian nào đó.

V2: Cách cho hàm số

Hàm số trong bài toán được đề cập là “hàm số tổng quát” hay “hàm số cụ thể”?

V3: Có hay không có phản ví dụ?

Hai giá trị của biến này là “có” hoặc “không”.

Trong trường hợp giá trị của V3= “có”, chúng tôi xét thêm biến V4

V4: Cách cho phản ví dụ

Phản ví dụ được cho bằng công thức hay đồ thị?

1.8.4.2 Phân tích chi tiết tình huống 1

Tình huống được thiết kế nhằm kiểm chứng H1. Cho đến khi thực nghiệm, HS đã được học định



lí giá trị trung gian. Chúng tôi chọn K là một đoạn nhằm thuận lợi cho việc thiết kết tình huống thực

, chúng tôi muốn tìm hiểu xem HS có nghiệm, từ giả thiết hàm số y=f(x) đồng biến trên đoạn [ 1,3]

suy ra hàm số liên tục, rồi từ đó suy ra phương trình f(x)=0 có nghiệm trên khoảng (-1;3) không?

Nếu quả thực như vậy, H1 được kiểm chứng. Để đảm bảo rằng HS không quên các giả thiết quan

trọng của định lí (hàm số liên tục trên đoạn) chúng tôi đã nhắc lại định lí ấy thông qua ý kiến của

HS B.

Biến didactic: các giá trị được chọn

V1= “gián tiếp”

Nếu chỉ cho bài toán và yêu cầu HS làm bài, có thể họ sẽ quên giả thiết “liên tục” của định lí giá

trị trung gian mà chỉ nhớ đến điều kiện f(a).f(b)<0. Cũng có thể hỏi thẳng HS về tính đúng, sai của

mệnh đề “f(x) đồng biến trên [a;b] suy ra f(x) liên tục trên [a;b]”, nhưng sẽ mất tự nhiên và tạo tâm lí

đề phòng ở HS. Cả hai điều nói trên đều không tạo thuận lợi cho việc bộc lộ quan niệm của HS.

Như vậy, chúng tôi chọn cách đưa vào mệnh đề gián tiếp thông qua ý kiến của HS. Bằng cách đặt

HS vào vị trí của GV và yêu cầu họ đánh giá các ý kiến được đưa vào thông qua một tình huống

tranh luận, chúng tôi cho rằng HS sẽ có sự cân nhắc kĩ càng khi đưa ra ý kiến và bộc lộ rõ suy nghĩ

của mình.

V2= “hàm số tổng quát”

Nếu cho một hàm số cụ thể, HS có thể sẽ tập trung vào tính toán. Hơn nữa, với hàm số cụ thể, để

phù hợp với mục đích thực nghiệm, chúng tôi buộc phải yêu cầu HS chứng minh hàm số này đơn

điệu rồi từ đó mới đưa ra yêu cầu tiếp theo là “phương trình f(x)=0 có nghiệm trên khoảng đang xét

hay không”, việc làm này là mất tự nhiên và không cần thiết. Bên cạnh đó với một hàm số cụ thể

tính liên tục của nó trên một khoảng có thể được kiểm tra trực tiếp, tính chất “f(x) đơn điệu trên

[a;b]” sẽ bị “thừa”. Nó không tạo điều kiện để kiểm chứng H1. Trong bài toán này, với mong muốn

đặt HS vào một tình huống khiến họ phải bộc lộ ít nhiều mối quan hệ cá nhân của mình đối với mối

liên hệ “đơn điệu-liên tục”, chúng tôi cho rằng cần tạo ra một sự “mập mờ” đối với tính liên tục của

hàm được cho trên khoảng cần xét (nó có thể liên tục hoặc không liên tục trên khoảng đó). Vì vậy,

chúng tôi chọn giá trị của biến này là V2= “hàm số tổng quát”. Câu trả lời của HS sẽ cho phép

chúng tôi khẳng định hay bác bỏ H1.

V3= “không”

Sự xuất hiện của phản ví dụ có thể sẽ tạo nên tình trạng “mất cân bằng” ở HS. Điều này không

có tạo thuận lợi cho việc tìm hiểu suy nghĩ thực của họ. Vì vậy chúng tôi chọn giá trị của biến này là

không có phản ví dụ. Với giá trị này của V3, biến V4 không được xét đến.

Phân tích các ý kiến của A, B, C

Ý kiến của A: đây là ý kiến sai, A chỉ quan tâm đến f(-1).f(3)<0 mà không quan tâm đến tính

liên tục của f(x). Trong tình huống được cho không thể kết luận được phương trình có nghiệm hay

không có nghiệm.

Ý kiến của B: đây là ý kiến đúng, hàm số đồng biến trên [-1;3] nhưng không thể xác định được

tính liên tục của nó trên đoạn [-1;3]. Câu trả lời này phủ định giả thuyết H1.

Ý kiến của C: đây là ý kiến sai, vì từ tính đồng biến của f(x) trên [-1;3] không thể suy ra hàm số

liên tục trên đoạn [-1;3]. Câu trả lời này cho phép khẳng định giả thuyết H1.

Cái cần quan sát

HS sẽ đánh giá thế nào về ý kiến của HS B và C ? Họ có nhận ra sai lầm trong suy luận của C

không? Họ đồng ý hay không đồng ý với C? Vì sao? Đồng ý hay không đồng ý với B? Vì sao?

Các chiến lược có thể và cái có thể quan sát

Chiến lược S1a - Không xét tính liên tục

f(a)f(b)<0 suy ra f(x)=0 có nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Cái có thể quan sát:

A đúng, B và C sai vì không cần xét đến tính liên tục của f(x) trên đoạn [-1;3].

Trong trường hợp này, vì câu trả lời không đề cập đề cập đến tính liên tục nên không thể đưa ra kết

luận. Nhưng chúng tôi cho rằng sẽ có rất ít HS trả lời theo chiến lược này vì chúng tôi đã gián tiếp

nhắc đến điều kiện liên tục qua ý kiến của HS B và C.

Chiến lược S1b - đơn điệu không suy ra liên tục

Hàm số đơn điệu trên K chưa chắc liên tục trên K.

Cái có thể quan sát:

A sai vì thiếu điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3], B đúng, C sai với lý do: f(x) đồng biến

trên đoạn [-1;3] không thể suy ra f(x) liên tục trên đoạn [-1;3].

Câu trả lời theo chiến lược S1b sẽ phủ định H1

Chiến lược S1c - đơn điệu suy ra liên tục

Hàm số đơn điệu trên K thì liên tục trên K.

Cái có thể quan sát:

-A sai vì thiếu điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3]. B sai, C đúng, với lý do “từ giả thiết

hàm số đồng biến trên [-1;3] suy ra hàm số liên tục trên [-1;3]”. Hoặc B sai, C đúng, hàm số

đồng biến trên [-1;3] suy ra xác định trên [-1;3] nên liên tục trên [-1;3] (chúng tôi cho rằng có

thể xuất hiện câu trả lời này vì hầu hết các hàm số được đề cập trong chương trình đều liên

tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng). Hoặc B sai, C đúng vì hàm số đồng biến trên

[-1;3] thì có đạo hàm trên [-1;3] suy ra f(x) liên tục trên [-1;3] hoặc vì đồng biến thì có đạo

hàm f’(x)≥0 suy ra f(x) liên tục trên [-1;3] (mặc dù khái niệm hàm số có đạo hàm trên đoạn

không được đưa vào nhưng theo chúng tôi câu trả lời này có thể xuất hiện do ảnh hưởng của

giả thuyết H2 mà chúng tôi đặt ra ở đầu chương. Ở đây ta thấy một nguyên nhân khác dẫn

đến quan niệm trong giả thuyết H1 là quan niệm trong giả thuyết H2).

Câu trả lời theo kiểu S1c sẽ cho phép chúng tôi kiểm chứng H1.

1.8.4.3 Phân tích chi tiết tình huống 2

Tình huống này nhằm mục đích kiểm chứng H2, hàm số không được cho bằng một công thức cụ thể

mà ở dạng tổng quát y=f(x) đi kèm với bảng biến thiên của nó. Thông thường, bảng biến thiên được

lập dựa trên cơ sở tính và xét dấu đạo hàm. Ở đây chúng tôi đi theo quy trình ngược lại, bảng biến

thiên được cho sẵn trong đó không đề cập đến đạo hàm của f(x), chúng tôi muốn tìm hiểu xem HS sẽ

đưa ra kết luận gì về đạo hàm của hàm số sau khi nhận biết được tính đơn điệu của nó. Từ đó có thể

nghiên cứu tính thỏa đáng của H2.

Biến didactic: các giá trị được chọn

V1= “gián tiếp”

Để kiểm chứng H2, có thể đưa ra mệnh đề “nếu hàm số y=f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng

K thì f có đạo hàm tại mọi x thuộc K và f’(x)≥0 (f’(x)≤0) với mọi x thuộc K” và yêu cầu HS xác

định tính đúng sai của mệnh đề. Tuy nhiên, chúng tôi cho rằng, với cách đặt câu hỏi như thế sẽ tạo

tâm lý nghi ngờ ở HS, câu trả lời thu được có thể sẽ không phản ánh đúng suy nghĩ của HS. Do đó,

chúng tôi lựa chọn cách đưa vào mệnh đề trên một cách tự nhiên hơn dưới dạng một tranh luận của

hai HS. Bằng cách đặt HS vào vị trí giáo viên, yêu cầu họ đánh giá các ý kiến của hai HS A và B,

chúng tôi cho rằng HS sẽ có sự cân nhắc kĩ càng và câu trả lời thu được sẽ phản ánh đúng suy nghĩ

của HS.

V2= “hàm số tổng quát”

Nếu cho một hàm số cụ thể, HS có thể sẽ tập trung vào tính toán, tính khả vi của hàm số có thể được

kiểm tra trực tiếp từ công thức. Điều này không giúp ích cho việc kiểm chứng H2. Trong tình huống

này, với mong muốn đặt HS vào một tình huống khiến họ phải bộc lộ ít nhiều mối quan hệ cá nhân

của mình đối với mối liên hệ “đơn điệu-khả vi”, chúng tôi đưa vào một hàm số không có công thức

cụ thể nhưng tính đơn điệu được thể hiện rõ ràng qua bảng biến thiên. Nói cách khác, chúng tôi

chọn giá trị của biến này là V2= “hàm số tổng quát”. Câu trả lời của HS sẽ cung cấp thông tin cho

phép chúng tôi khẳng định hay bác bỏ H2.

Tương tự tình huống 1, giá trị của biến V3 là “không” và biến V4 không được xét đến.

Ngoài ra đối với tình huống này chúng tôi còn xét thêm thêm biến sau:

V2’-Bảng biến thiên có hay không có hàng chứa f’(x)?

Với tình huống thực nghiệm, có thể thêm một hàng f’(x):

11

-∞ 3 +∞

-∞ x f(x) f’(x) -∞

và hỏi HS như sau: có một HS đã điền vào hàng f’(x) trong bảng biến thiên như dưới đây:

11

+∞ -∞ 3

-∞ -∞ x f(x) f’(x) + -

Em có đồng ý với bạn không? Vì sao?”

Tuy nhiên với lựa chọn trên, chúng tôi cho rằng HS sẽ dễ hiểu nhầm đề bài đã cho hàm số có đạo

hàm nên họ chỉ quan tâm đến dấu của nó. Trong trường hợp này, câu trả lời thu được không có giá

trị cho việc kiểm chứng H2. Vì vậy, chúng tôi lựa chọn giá trị của biến này là “không có” hàng chứa

f’(x). Với lựa chọn này, HS được đặt vào một tình huống vừa quen thuộc (bảng biến thiên thể hiện

tính biến thiên của một hàm số) vừa không quen thuộc (không đề cập đến đạo hàm). Kết hợp với giá

trị của V2=“hàm số tổng quát”, chúng tôi cho rằng HS sẽ phải suy nghĩ cân nhắc kĩ khi đưa ra câu

trả lời, dữ liệu thu được sẽ có giá trị trong việc kiểm chứng H2.

Phân tích các ý kiến của các HS A, B

Ý kiến của HS A:

Đây là ý kiến sai. Nó dựa trên sự vận hành của H2, theo đó hàm số đồng biến trên khoảng K thì

có đạo hàm và đạo hàm không âm trên khoảng K, hàm số nghịch biến trên khoảng K thì có đạo

hàm và đạo hàm không dương trên khoảng K.

Ý kiến của HS B:

Đây là ý kiến đúng. Ngược với ý kiến của A, B không chịu sự chi phối của H2.

Cái cần quan sát

HS sẽ đánh giá ý kiến của A đúng hay sai? Nếu đúng thì vì sao? Nếu sai thì vì từ tính đơn điệu của

hàm trên một khoảng không thể kết luận hàm khả vi trên khoảng đó hay là vì một lí do khác.

Một điểm khác cần quan sát là HS sẽ đánh giá thế nào về ý kiến của B. Họ đồng ý vì từ tính đơn

điệu của hàm trên một khoảng không thể kết luận hàm khả vi trên khoảng đó hay không đồng ý vì

từ tính đơn điệu của hàm trên một khoảng có thể suy ra hàm khả vi và đạo hàm không âm (không

dương) trên khoảng đó.

Các chiến lược có thể và cái có thể quan sát

Chiến lược S2a - Đơn điệu thì khả vi

Hàm số đơn điệu trên khoảng K thì khả vi trên K và có đạo hàm không âm (không dương) trên K.

Các câu trả lời theo S2a sẽ cho phép khẳng định H2.

Cái có thể quan sát:

- A đúng và B sai vì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-∞;3) nên nó có đạo hàm tại mọi x

thuộc (-∞;3) và f’(x)≥0 với mọi x thuộc (-∞;3), nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nên nó có đạo

hàm tại mọi x thuộc (3;+∞) và f’(x)≤0 với mọi x thuộc (3;+∞).

Một số HS có quan niệm “hàm số liên tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó” hoặc “hàm số

xác định tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó” có thể trả lời như sau: A sai và B đúng vì hàm số

f(x) đồng biến trên khoảng (-∞;3) nên nó liên tục (xác định) trên (-∞;3), do đó nó có đạo

hàm tại mọi x thuộc (-∞;3) và f’(x)≥0 với mọi x thuộc (-∞;3); tương tự khi hàm nghịch biến.

Trong trường hợp này, “đơn điệu” không phải là nguyên nhân trực tiếp của “khả vi” mà gián

tiếp qua một “trung gian” khác. Nhưng câu trả lời như vậy vẫn được xếp vào S2a vì nó cũng

dẫn đến quan niệm “đơn điệu thì khả vi”. Tuy nhiên nếu câu trả lời theo kiểu này chiếm đa số

trong các câu trả lời theo S2a thì chúng tôi buộc phải xem xét lại giả thuyết H2, cũng như cần

có một nghiên cứu khác thỏa đáng hơn.

- A và B đều sai vì A thiếu f’(3)=0 do hàm số đạt cực đại tại x=3, do đó phải kết luận là hàm

số có đạo hàm trên R và f’(x)≥0 với mọi x thuộc (-∞;3), f’(3)=0, f’(x)≤0 với mọi x thuộc

(3;+∞) (câu trả lời này còn cho thấy sự hoạt động của một quy tắc sai khác ở HS là : “hàm số

đạt cực trị tại điểm nào thì đạo hàm tại đó bằng 0”. Tuy nhiên, việc tìm hiểu quy tắc này

không phải là mục đích của thực nghiệm nên chúng tôi không đi sâu phân tích). Hoặc A và

B sai vì hàm số có đạo hàm tại mọi x thuộc (-∞;3), f’(x)>0 trên (-∞;3), và hàm số có đạo hàm

mọi x thuộc (3;+∞) và f’(x)<0 trên (3;+∞).

Chiến lược S2b - đơn điệu không suy ra khả vi

Hàm số đơn điệu của trên một khoảng không thể kết luận hàm khả vi trên khoảng đó.

Các câu trả lời theo S2b phủ định H2.

Cái có thể quan sát:

A sai, B đúng vì từ tính đơn điệu của hàm trên một khoảng không thể kết luận hàm khả vi

trên khoảng đó hoặc vì tập xác định của đạo hàm f’ không trùng với tập xác định của hàm số

hay có những giá trị của x, tại đó hàm số xác định nhưng không có đạo hàm... Ví dụ hàm có

( ) f x xác định nhưng không có đạo hàm tại những điểm làm cho f(x)=0... dạng y =

Chiến lược S2c - Tìm công thức cụ thể

Từ dạng của bảng biến thiên tìm một hàm số cụ thể, dựa vào hàm số này HS đánh giá ý kiến của A

và B. Chiến lược này có thể xuất hiện vì HS thường có xu hướng tìm một hàm số trong chương

trình học có dạng của bảng biến thiên tương tự, nó có thể xuất phát từ quan niệm chỉ những hàm số

được học mới có bảng biến thiên như vậy. Trong tình huống thực nghiệm, bảng biến thiên có dạng tương ứng với bảng biến thiên của hàm bậc hai y= ax2 + bx + c hoặc hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c.

Các câu trả lời theo chiến lược này xuất phát từ việc đưa ra một hàm số cụ thể, mục đích của thực

nghiệm là kiểm chứng H2 trong trường hợp tổng quát nên chúng tôi cho rằng chúng không cho phép

hợp thức H2.

Cái có thể quan sát:

-Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số là một parabol nên f(x) là hàm bậc hai hoặc hàm

trùng phương nên kết luận đồng ý với A không đồng ý với B

-Hoặc đưa ra một hàm số khác mà đồ thị có dạng tương ứng với bảng biến thiên, từ đó lập

y

11

O

x

3

luận dựa trên hàm số cụ thể này để đánh giá ý kiến của A và B, chẳng hạn:

Hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ, A đúng, B sai.

1.8.4.4 Phân tích chi tiết tình huống 3

Tình huống 3 nhằm mục đích tìm câu trả lời cho câu hỏi : “HS có nghĩ rằng hàm số liên tục tại



( a;b )

điểm nào thì khả vi tại điểm đó không?”

” HS dễ Trong tình huống thực nghiệm, từ giả thiết “hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm x

dàng suy ra f(x) liên tục tại xo, chúng tôi muốn tìm hiểu HS có kết luận hàm số có đạo hàm tại xo

không?

Biến didactic

V1= “gián tiếp”

Giống với các tình huống trước, có thể hỏi thẳng HS về tính đúng sai của mệnh đề “hàm số liên tục

tại xo thì có đạo hàm tại điểm đó”. Tuy nhiên, theo chúng tôi, việc đưa vào mệnh đề và hỏi trực tiếp

tính đúng sai như vậy là mất tự nhiên, thông thường cách hỏi như vậy sẽ tạo tâm lí đề phòng ở HS,

câu trả lời có thể sẽ không phản ánh suy nghĩ thực của họ. Chúng tôi chọn đưa vào mệnh đề trên

một cách gián tiếp thông qua tình huống tranh luận của hai HS và yêu cầu HS đánh giá ý kiến của

hai HS này. Với cách đưa vào mệnh đề kết hợp với cách hỏi theo hướng mở như vậy, chúng tôi cho

rằng HS sẽ bộc lộ suy nghĩ tự nhiên hơn, dữ liệu thu được sẽ cho phép trả lời câu hỏi: “HS có nghĩ

rằng hàm số liên tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó không?”

V2= “hàm số tổng quát”

Cũng giống với các tình huống trước, chúng tôi lựa chọn giá trị của biến này là hàm số tổng quát

nhằm loại bỏ chiến lược tính toán cụ thể để kiểm tra trực tiếp hàm số có đạo hàm tại điểm cần xét

hay không. Trong trường hợp này, tính khả vi của hàm được cho không thể xác định được, do đó,

câu trả lời của HS sẽ có giá trị trong việc tìm kiếm các yếu tố trả cho câu hỏi mà chúng tôi đã đặt ra.

Tương tự, giá trị của biến V3 là “không” và biến V4 không được xét đến.

Cái cần quan sát

HS sẽ đánh giá như thế nào về ý kiến của HS A và B. Họ đồng ý hay không đồng ý với HS A?

Đồng ý hay không đồng ý với HS B? Vì sao?

Các chiến lược có thể và cái có thể quan sát

Chiến lược S3a-Liên tục suy ra có đạo hàm

Hàm số liên tục tại xo nên có đạo hàm tại điểm đó.

Cái có thể quan sát:

-Đồng ý với A, không đồng ý với B vì hàm số liên tục tại xo thì có đạo hàm tại xo hoặc hàm

số liên tục trên (a;b) nên có đạo hàm trên (a;b), xo (a; b) suy ra f(x) có đạo hàm tại xo.

-Đồng ý với A, không đồng ý với B vì hàm số liên tục tại xo thì xác định tại xo nên có đạo

hàm tại điểm đó hoặc hàm số liên tục trên (a;b) thì xác định trên (a;b), do đó nó có đạo hàm

trên (a;b), xo thuộc (a;b) nên có đạo hàm tại điểm đó.

Theo chúng tôi câu trả lời này có thể xuất hiện vì HS chủ yếu được học các hàm số khả vi tại

mọi điểm thuộc miền xác định. Câu trả lời này cho thấy một nguyên nhân khác dẫn đến quan

niệm liên tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó.

Chiến lược S3b-Liên tục không suy ra có đạo hàm

Hàm số liên tục tại xo nhưng không thể suy ra nó có đạo hàm tại điểm đó.

Cái có thể quan sát:

A sai, B đúng vì hàm số liên tục tại một điểm chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó.

Chúng tôi cho rằng sẽ có không ít câu trả lời theo chiến lược này vì mối liên hệ liên tục khả

vi được thể chế đề cập khá rõ cùng với minh họa trực quan bằng đồ thị.

1.8.5 Phân tích a posteriori

Ở tình huống 1 và 3 chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên 266 HS gồm 2 lớp 12 của trường THPT

chuyên Trần Đại Nghĩa, 3 lớp 12 của trường THPT tư thục Nguyễn Khuyến và 2 lớp 12 của trường

THPT Trường Chinh. Tình huống 2 được tiến hành thực nghiệm trên 251 HS gồm 3 lớp 12 của

trường THPT tư thục Nguyễn Khuyến và 3 lớp 12 của trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa.

1.8.5.1 Tình huống 1

Bảng 3.1: Thống kê các câu trả lời tình huống 1

Câu trả lời Số lượng %

S1a 3 8 Không quan tâm đến tính liên tục

S1b 1,9 5 Đồng biến không suy ra liên tục

S1c 87,2 232 Đồng biến suy ra liên tục

Không trả lời 7,9 21

Tổng 100% 266

 Ảnh hưởng mạnh mẽ của quan niệm “đồng biến” thì “liên tục”

Bảng thống kê cho thấy hầu hết HS cho rằng “hàm số đồng biến trên K (khoảng, nửa khoảng, đoạn)

nào thì liên tục trên K”, có đến 232/266 HS có câu trả lời theo S1c (chiếm tỉ lệ 87,2%). Ưu thế

tuyệt đối của chiến lược S1a so với các chiến lược còn lại cho thấy ảnh hưởng mạnh mẽ của quan

niệm “đơn điệu trên K thì liên tục trên K”. Điều này cho phép chúng tôi hợp thức giả thuyết H1. Để

HS115:

“B sai vì khi đề bài cho hàm số đồng biến trên [-1;3] tức là đã liên tục trên [-1;3] rồi mới đồng biến

được.”

HS125:

“B sai vì đề bài đã gián tiếp cho f(x) đồng biến trên [-1;3] có nghĩa là hàm số f(x) liên tục trên đọan

[-1;3] .”

HS134:

“HS B bổ sung thêm là cần điều kiện liên tục như vậy là đúng nhưng lại không hiểu là f(x) đồng biến

trên [-1;3] chính là đã liên tục trên đọan [-1;3] nên cũng sai.”

HS136:

“B kết luận sai. Vì hàm số đồng biến trên [-1;3] nên hàm số sẽ liên tục trong [-1;3], chứ không phải

là không kết luận được.”

HS140:

“về ý kiến của B, theo như bạn ấy nói là đề bài không cho biết f(x) có liên tục hay không thì không

đúng, đề bài cho f(x) đồng biến trên [-1;3] ta suy ra f(x) liên tục.”

HS157:

rõ hơn chúng tôi trích dẫn một số câu trả lời của HS.

“HS C đúng vì khi nó đồng biến, nghịch biến thì hàm số đó phải liên tục trước nên khi có được hàm

số f(x) đồng biến trên [-1;3] thì f(x) đã liên tục trên [-1;3].”

Theo phân tích ở chương 2, tính chất “hàm số đơn điệu trên K có thể không liên tục trên K” không

được đề cập, các hàm số được xem xét luôn liên tục trên khoảng đồng biến (nghịch biến) của chúng.

Mặc dù vậy, vẫn có 5/266 (1,9%) HS trả lời theo S1c nghĩa là phủ định giả thuyết H1. Tuy nhiên, sự

phủ định chỉ dừng lại ở mức độ “lí thuyết”, HS chưa hình dung được một hàm số đơn điệu trên K

nhưng lại không liên tục trên K. Chúng tôi không thấy một ví dụ minh họa nào trong các câu trả lời,

HS150:

“bạn C thì sai vì đồng biến trên [-1;3] thì chưa chắc f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] vì có thể f(x) không

liên tục tại một điểm nào đó thuộc [-1;3] nhưng f(x) vẫn đồng biến.”

HS172:

“B đúng; A,C sai. Vì f(x) đồng biến không thể suy ra f(x) liên tục.”

chẳng hạn:

Có thể giải thích điều này là do một ví dụ như thế chưa từng xuất hiện trong SGK. Nó cũng cho thấy

sự phủ định trên khá mờ nhạt.

1.8.5.2 Tình huống 2

Bảng 3.2: Thống kê các câu trả lời tình huống 2

Câu trả lời Số lượng Tỉ lệ %

S2a 141 56.2

Đơn điệu suy ra khả vi và đạo hàm không âm

(không dương)

S2b 54 21.5

Đơn điệu không suy ra khả vi

S2c 12 4.8

Tìm công thức hàm số cụ thể

Khác hoặc không trả lời 44 17.5

Tổng 251 100

 Phần lớn HS có quan niệm: “khả vi” là điều kiện cần của đơn điệu, và hàm số f đồng

biến (nghịch biến) trên một khoảng thì f’(x)≥0 (f’(x)≤0) trên khoảng đó.

Bảng thống kê cho thấy có đến 141/251 (56,2%) câu trả lời theo S2a, trong khi đó chỉ

54/251(21.5%) câu trả lời theo S2b. Sự vượt trội của S2a so với câu trả lời theo các chiến lược còn

HS5:

Theo em ý kiến của bạn HS A là hoàn toàn đúng, còn ý kiến của HS B là sai

lại cho phép hợp thức giả thuyết H2. Các trích dẫn sau thể hiện rõ điều đó.

Vì với

;3)

(

x   ( ;3)

x   thì f’(x) luôn mang dấu “+”  f’(x)≥0

Vì với

(3;

)

x   (3; )

x   thì f’(x) luôn mang dấu “-”  f’(x)≥0

Mặc dù không nói rõ, nhưng cũng có thể hiểu được lí do để HS này kết luận f’(x) luôn mang dấu

“+” là hàm số đồng biến trên (-∞;3) và f’(x) luôn mang dấu “-” là hàm số nghịch biến trên (-∞;3).

Có thể thấy, đối với HS5, hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng nào thì có đạo hàm dương

HS111:

Theo em thì ý kiến bạn A đúng vì

Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) tăng trong khoảng (-∞;3) và giảm trong khoảng (3;+∞)

x   và f’(x)≤0 với

;3)

(

x   (3;

)

 f(x) luôn có đạo hàm f’(x)≥0 với

HS69:

Theo ý kiến của em thì HS A đưa ra kết luận đúng, ý kiến của B chưa chính xác vì một hàm số có

tính biến thiên trên các khoảng xác định thì chắc chắn nó phải có đạo hàm thỏa yêu cầu:

Hàm số đồng biến trên khoảng xác định (a;b)  f’(x)≥0

Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định (a;b)  f’(x)≤0

(âm ) trên khoảng đó. Cũng vậy đối với HS111 và HS69:

Câu trả lời của HS52 cho thấy HS này đồng nhất “đơn điệu trên khoảng” với việc “có đạo hàm và

HS52:

Ý kiến của bạn A là đúng.

Ý kiến của bạn B là sai.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy :

Trên khoảng (-∞;3), hàm số luôn tăng

 f(x) đồng biến trên (-∞;3)

;



 f '( x ) f '( x )

3

)

(    ) x 3 0 ; ( x    

  

(f’(x)=0 chỉ ở một số hữu hạn điểm)

Trên khoảng (3;+∞), hàm số luôn giảm

 f(x) nghịch biến trên (3;+∞)

)



 f '( x ) f '( x )

3    ( ; x 3 0     ( ; x

)

  

(f’(x)=0 chỉ ở một số hữu hạn điểm).

đạo hàm không âm (không dương) trên trên khoảng đó, dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm”.

HS129:

HS A:

Hàm số đồng biến trên (-∞;3) nên nó có đạo hàm tại

là đúng.

   (

x

; ) 3

Chúng tôi nêu ra một trường hợp thú vị khác:

Còn f’(x)≥0

là sai do nếu x = 3 thì f’(x)=0

   (

x

;

3

)

Mà theo ý kiến trên

(

x    f’(x)>0 ;3)

Tương tự hàm nghịch biến cũng thế

  x

( ; 3

)

  f’(x)<0.

HS B: hàm số đồng biến trên (-∞;3) nên nó chắc chắn có đạo hàm tại

x   ( ;3)

Tương tự hàm số nghịch biến trên (3;+∞) nên nó chắc chắn có đạo hàm tại

  x

( ; 3

 . )

Ở câu trả lời trên, ngoài việc chịu ảnh hưởng của H2, HS129 còn chịu sự tác động của quy tắc sai

“hàm số đạt cực trị tại điểm nào thì đạo hàm tại đó bằng 0”, thống kê cho thấy có 18/251 (7,2%) HS

có câu trả lời tương tự. Như vậy, thực nghiệm cũng cho thấy quy tắc “hàm số đạt cực trị tại điểm

nào thì đạo hàm tại đó bằng 0” xuất hiện ở một bộ phận nhỏ HS. Tuy nhiên chúng tôi không đi sâu

phân tích vấn đề này, vì đây không phải là mục đích của thực nghiệm.

 “Khả vi” không phải là điều kiện cần của “đơn điệu”

Có khoảng 54/251 (21,5%) trả lời theo S2b. Bên cạnh phần lớn câu trả lời chỉ dừng lại ở mức độ

HS30:

Theo ý em ý kiến của HS B chính xác hơn

Vì hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) và hàm số có đạo hàm tại mọi

x   là hai điều kiện

;3)

(

để suy ra hệ quả f’(x)≥0

x   . (

;3)

Tương tự với trường hợp nghịch biến.

Nhưng ở đây theo cách diễn đạt của A thì chỉ có một điều kiện là hàm số đồng biến trên khoảng (-

∞;3) có thể suy ra hai hệ quả là nó có đạo hàm tại mọi

x   và f’(x)≥0

;3)

(

x   ;3) (

 điều đó là chưa chính xác.

HS66:

Em sẽ chọn HS B là đúng.

-Ý một: hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) nhưng chưa chắc tại mọi

x   có đạo hàm , hàm

;3)

(

số nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nhưng chưa chắc tại mọi

x   có đạo hàm.

(3;

)

-Ý hai: vì hàm số trên chưa chắc có đạo hàm tại mọi

x   và

;3)

(

x   nên cũng không thể

(3;

)

kết luận được f’(x)≥0

x   hoặc f’(x)≤0

;3)

(

x   . (3;

)

“lý thuyết”, chẳng hạn:

HS76:

Theo em ý kiến của A sai, B đúng.

Xét hàm số

f ( x )

g( x ) x h( x ) x

 

a a

   

f '( x )

g'( x ) x h'( x ) x

 

a a

   

có 2 câu trả lời làm chúng tôi khá ngạc nhiên:

Hàm số tồn tại đạo hàm tại a  h’(a)=g’(a)

Giả sử h’(a); g’(a) ≥0 thì hàm số đồng biến trên R

Vậy khi hàm số đồng biến trên khoảng hay nghịch biến trên khoảng thì ta không thể khẳng định hàm

số này có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó được vì vậy không thể kết luận f’(x)≥0 hay f’(x)≤0.

Dù ví dụ chưa cụ thể cùng với suy luận đưa ra chưa chính xác nhưng nó cũng cho thấy HS này đã

hình dung được một hàm số đồng biến trên khoảng nhưng không khả vi trên khoảng đó. Tương tự,

việc đưa vào bảng biến thiên của một hàm số đồng biến trên R nhưng không khả vi tại x1 cũng cho

HS220

Nếu như nói như bạn A thì sẽ không còn đúng trong một số trường hợp

Vì thế, nếu ai đúng hơn thì B đúng hơn.

thấy HS220 đã bước đầu thoát khỏi H2.

Theo phân tích ở chương 2, mối liên hệ “hàm số đơn điệu trên một khoảng có thể không khả vi trên

khoảng đó” không được thể chế đề cập, không xuất hiện ví dụ hay bài tập trong đó “ hàm số đơn

điệu trên một khoảng nhưng không khả vi trên khoảng đó”. Điều đó khiến chúng tôi đặt ra câu hỏi:

đâu là nguyên nhân dẫn đến 2 câu trả lời trên? Phải chăng nó xuất phát từ GV?

Như vậy, thực nghiệm cũng ghi nhận có một bộ phận HS không chịu ảnh hưởng của quan niệm

trong giả thuyết H2.

 Một ghi nhận khác từ thực nghiệm

Trong số các câu trả lời theo chiến lược khác, bên cạnh những câu trả lời không cho phép đưa ra kết

HS218:

Tại sao em B lại nói “chưa chắc”, tại sao em A nói “nên”. Ta chỉ cần gọi em B lên chọn một số để

chứng minh cho ý kiến của mình và làm tương tự với em A.

HS190:

luận nào, chẳng hạn:

Nếu em là giáo viên em cho rằng cả 2 bạn đều chưa đúng.

HS123:

Theo ý kiến của em, cả A và B đều sai.

Với trường hợp f’(x)=0 thì hàm số sẽ không đổi trên khoảng (-∞;3) hoặc (3;+∞).

chúng tôi quan tâm đến 28/251 (11.2%) câu trả lời theo kiểu “đồng ý f’(x)≥0 trên (-∞;3) và f’(x)≤0

trên (3;+∞) nhưng không đồng ý f(x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng”. Chúng tôi trích dẫn

HS234:

Cả hai ý kiến đều chưa đúng mà chỉ đúng một phần

Vì hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) chưa chắc có đạo hàm tại mọi x thuộc (-∞;3) nhưng chắc

chắn f’(x)≥0 với mọi x thuộc (-∞;3).

Tương tự với trường hợp nghịch biến.

HS183:

Em nghĩ cả hai đều không chính xác.

Hàm số đồng biến trên (-∞;3) có thể kết luận được là f’(x)≥0 với mọi x thuộc (-∞;3) nhưng chưa chắc

có đạo hàm tại mọi x thuộc (-∞;3)

Tương tự với khoảng nghịch biến.

HS177:

*Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞;3)  f’(x)≥0

x   nhưng chưa chắc có đạo hàm tại mọi

;3)

(

x   ;3)

(

*Hàm số f(x) nghịch biến trên (3;+∞)  f’(x)≤0

x   nhưng chưa chắc có đạo hàm tại mọi

;3)

(

x   ) (3;

một số câu trả lời:

Câu trả lời cho thấy, những HS này chịu ảnh hưởng của giả thuyết H2 (đồng biến hoặc nghịch biến

thì đạo hàm không âm hoặc không dương), theo logíc đó, họ phải đồng ý rằng f(x) có đạo hàm tại

mọi điểm thuộc khoảng. Tuy nhiên câu trả lời theo hướng hoàn toàn ngược lại. Nguyên nhân nào

dẫn HS đến câu trả lời trên? Họ cho rằng vẫn có thể khẳng định f’(x)≥0 trên (-∞;3) hay f’(x)≤0 trên

(3;+∞) trong trường hợp f(x) không có đạo hàm tại một vài điểm? Họ không hiểu cụm từ “có đạo

hàm tại mọi điểm thuộc khoảng”? Hay là vì một lí do khác? Câu trả lời sau đây chỉ ra một nguyên

HS81:

Cả hai bạn A và B đều có ý đúng và ý chưa đúng.

Từ bảng biến thiên ta nhận xét rằng

-Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞;3) nhưng chưa chắc có đạo hàm tại mọi điểm

x   vì trên ;3)

(

khoảng (-∞;3) sẽ có những giá trị x làm cho f’(x) = 0 nhưng có thể kết luận là f’(x)≥0 với mọi

x   .

;3)

(

nhân khác:

-Tương tự hàm số f(x) nghịch biến trên (3;+∞) nhưng chưa chắc có đạo hàm tại mọi điểm

x   . Có thể kết luận f’(x)≤0 với mọi

(3;

)

x   .

;3)

(

Câu trả lời cho thấy rõ lí do, HS này cho rằng những điểm tại đó đạo hàm triệt tiêu (f’(x) = 0) thì

hàm số không có đạo hàm.

Như vậy, một nguyên nhân có thể đưa ra là đối với những HS này đạo hàm của một hàm số nếu có

thì phải là một số dương hoặc âm chứ không thể bằng 0. Tuy nhiên, để có thể khẳng định, cần

phỏng vấn những HS có câu trả lời trên cũng như cần có những nghiên cứu sâu hơn.

1.8.5.3 Tình huống 3

Bảng 3.3: Thống kê các câu trả lời tình huống 3

Câu trả lời Số lượng Tỉ lệ %

S3a 114 42,9

Liên tục suy ra khả vi

S3b 117 44

Liên tục không suy ra khả vi

Khác hoặc không trả lời 35 13,1

Tổng 266 100

 Đối với một bộ phận không nhỏ HS, “liên tục” là điều kiện đủ của “đạo hàm”

Mặc dù mối liên hệ “liên tục-khả vi” được thể chế đề cập rõ nhưng vẫn có đến 114/266 HS có câu

trả lời theo S2a, nghĩa là 42,9% HS có quan niệm “liên tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó”. Ví

HS125:

“Theo em B nêu ý kiến sai vì hs liên tục tại xo thì hàm số phải có đạo hàm tại xo. Ý kiến của A là ý

kiến đúng vì khi hs đã liên tục tại xo thì phải có đạo hàm tại đó.”

HS132:

“Theo em ý kiến của A là đúng vì khi f(x) liên tục trong (a;b) thì f(x) sẽ liên tục tại mọi điểm thuộc

khoảng (a;b) cụ thể là xo, mà f(x) đã liên tục thì sẽ có đạo hàm tại điểm đó. Do đó ý kiến của B Là

chưa đúng.”

dụ:

 Sự tiến triển trong mối quan hệ cá nhân của HS dưới ảnh hưởng của mối quan hệ thể

chế: “liên tục” không suy ra “đạo hàm”

HS122:

“A:Bạn đã phát biểu chưa đúng. Vì hàm số f(x) liên tục tại xo thì chưa chắc có đạo hàm tại xo. Còn

hàm số f(x) có đạo hàm tại xo thì sẽ liên tục tại xo.

B:trái với A nên đúng.”

Có 117/266 (44%) HS có câu trả lời theo S3b. Bên cạnh những câu trả lời “suông” như:

HS157:

HS B đúng. Hàm số f(x) liên tục tại nhưng chưa chắc có đạo hàm tại xo.

Vd: y=f(x)= x

f(x) là hàm liên tục trên R nên liên tục tại x=0 nhưng hàm số này không có đạo hàm tại x=0

0

)





1





lim  x 0

lim  x 0

f ( x ) x

 

f ( 0

x x

0

)



  1





lim  x 0

lim  x 0

f ( x ) x

 

f ( 0

 x x

Suy ra hàm số không có đạo hàm tại x= 0.

Chúng tôi thấy xuất hiện nhiều câu trả lời với ví dụ minh họa rất rõ như :

Một số câu trả lời còn cho thấy vai trò của đồ thị trong việc minh họa cho mối liên hệ này, những

điểm mà tại đó hàm số liên tục nhưng không khả vi được HS liên hệ với hình ảnh đồ thị liền nét

HS159:

Ý kiến của B đúng vì hàm số y=f(x) liên tục nhưng chưa chắc có đạo hàm hay không, giả sử đồ thị

của y=f(x) có dạng

y

A

O

x

Thì hàm số vẫn liên tục nhưng tại A không có đạo hàm.”

HS150:

Em thấy HS B đúng vì hàm số tuy liên tục nhưng những điểm nhọn trên đồ thị thì không có đạo hàm

nên kết luận như vậy là thiếu căn cứ.

nhưng bị “nhọn” tại điểm đó hay “bị gãy” tại điểm đó:

Như vậy, thực nghiệm cho thấy có một sự tiến triển rất rõ trong mối quan hệ cá nhân HS với mối

liên hệ liên tục-khả vi. Bên cạnh một bộ phận không nhỏ HS hiểu sai về mối liên hệ liên tục-khả vi

(“liên tục” thì “khả vi”) (42,9%), số HS hiểu đúng mối liên hệ này (“liên tục” không suy ra “khả

vi”) có phần nhỉnh hơn (44%). Nó cũng cho thấy, một minh họa bằng đồ thị đã ảnh hưởng đáng kể

lên mối quan hệ cá nhân của HS với mối liên hệ này.

1.8.6 Kết luận về thực nghiệm thứ nhất

-Về mối liên hệ “đơn điệu-liên tục”, thực nghiệm cho phép khẳng định H1: Đối với HS, hàm số đơn

điệu trên K thì liên tục trên K (K là khoảng, nửa khoảng, đoạn ).

-Về mối liên hệ “đơn điệu-khả vi”, thực nghiệm cho phép hợp thức H2: Đối với HS,: hàm số đồng

biến (nghịch biến) trên một khoảng thì có đạo hàm và đạo hàm không âm (không dương) trên

khoảng đó.

-Về mối liên hệ “liên tục-khả vi”, qua thực nghiệm chúng tôi đi đến kết luận, một bộ phận không

nhỏ HS hiểu rõ “liên tục không phải là điều kiện đủ của khả vi” (44%) nhỉnh hơn số HS có quan

niệm sai: “hàm số liên tục tại một điểm thì khả vi tại điểm đó” (42,9%). Đặc biệt, ở một số HS, mối

quan hệ cá nhân với mối liên hệ này có một sự tiến triển rõ rệt thông qua các ví dụ cùng minh họa

bằng đồ thị.

1.9 Thực nghiệm thứ hai

Giả thuyết H1:

Đối với HS, hàm đơn điệu trên K thì liên tục trên K (khoảng, nửa khoảng, đoạn)

Giả thuyết H2:

Đối với HS, hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng thì có đạo hàm và đạo hàm không âm (không

dương) trên khoảng đó. và trả lời câu hỏi LK15 đã đặt ra: dưới ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế, phần đông học sinh đã

1.9.1 Mục đích Thực nghiệm thứ nhất đã cho phép hợp thức các giả thuyết H1, H2

hiểu rõ “liên tục không phải là điều kiện đủ của khả vi” (44%). Tuy nhiên, vẫn có một bộ phận

không nhỏ học sinh có quan niệm sai: “hàm số liên tục tại một điểm thì khả vi tại điểm đó” (42,9%)

Bên cạnh đó, thực nghiệm 1 cũng cho thấy, việc thể chế ưu tiên dùng đồ thị để minh họa cho

mối liên hệ liên tục-khả vi, cụ thể là tính chất “hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại

điểm đó”, đã để lại những “dấu ấn” nhất định lên mối quan hệ cá nhân của học sinh với mối liên hệ

này. Trong chương 1, chúng tôi cũng nêu rõ, đối với mối liên hệ đơn điệu-liên tục và đơn điệu-khả

vi có thể dùng đồ thị để minh họa cho các tính chất:

 hàm số đơn điệu trên một khoảng (nửa khoảng, đoạn) có thể không liên tục trên khoảng (nửa

khoảng, đoạn) đó.

 hàm số đơn điệu trên một khoảng có thể không khả vi trên khoảng đó.

Trong chương 2, khi phân tích SGK, chúng tôi cũng chỉ rõ ở một số thời điểm lẽ ra có thể đưa

vào các minh họa bằng đồ thị nhằm giúp học sinh hiểu rõ hơn các mối liên hệ trên. Tuy nhiên, thể

chế đã không tính đến điều này. Sự xuất hiện của đồ thị sẽ tác động như thế nào lên mối quan hệ cá

nhân của học sinh? Một sự phỏng đoán về mặt lí thuyết là chưa đủ tin cậy để đi đến kết luận. Từ

đó, chúng tôi thấy cần thiết phải tiến hành thêm một thực nghiệm nhằm tìm hiểu đồ thị với vai trò là

một yếu tố của môi trường sẽ tác động như thế nào đến học sinh trong các tình huống được đặt ra. 15 HS có nghĩ rằng hàm số liên tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó không?

Thêm vào đó, thông qua thực nghiệm này, chúng tôi cũng muốn tạo điều kiện để học sinh có cơ hội

thay đổi mối quan hệ cá nhân với các mối liên hệ giữa 3 đối tượng đơn điệu, liên tục và khả vi, cụ

thể là giúp HS nhận ra sai lầm trong các quan niệm ở giả thuyết H1, H2 và quan niệm “hàm số liên

tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó” .

1.9.2 Dàn dựng kịch bản  Pha 1 (làm việc cá nhân, thời gian 20 phút)

GV phát phiếu và cho HS làm việc cá nhân trả lời các câu hỏi được đặt ra trong phiếu thực

nghiệm.

Trong pha này, chúng tôi sử dụng lại các câu hỏi trong thực nghiệm thứ nhất với mục đích thống kê

kết quả tạo cơ sở để đối chiếu với kết quả ở pha 2.

 Pha 2 (làm việc nhóm, thời gian 20 phút)

GV chia lớp thành các nhóm (mỗi nhóm 2 người), HS làm việc theo nhóm trả lời các câu hỏi.

Hình thức làm việc theo nhóm nhằm tạo điều kiện cho HS trao đổi tranh luận với các thành viên

trong nhóm, cơ hội phát hiện sai lầm trong các tình huống được đặt ra sẽ cao hơn.

Nội dung phiếu thực nghiệm pha 2 (xem mục lục)

 Pha 3 (làm việc cả lớp, thời gian 45 phút)

Trong pha này, GV chọn ra một số câu trả lời tiêu biểu (sai hoặc đúng), tổ chức cho các nhóm

tranh luận với nhau nhằm thuyết phục các nhóm khác về câu trả lời của mình hoặc bác bỏ câu trả lời

của các nhóm khác. Sau cùng, GV tổng kết cho từng tình huống nhằm giúp HS đi đến câu trả lời

chính xác.

 Pha 4 (Làm việc theo nhóm, thời gian 5 phút)

Các nhóm đã được chia trong pha 2, học sinh thảo luận nhanh để trả lời câu hỏi : bài học rút ra

từ buổi học hôm nay là gì?

1.9.3 Phân tích a priori

1.9.3.1 Pha 1 Trong pha này chúng tôi sử dụng lại các câu hỏi trong thực nghiệm thứ 1, do đó ở đây chúng tôi

không trình bày lại các phân tích về biến, chiến lược, cái cần quan sát, cái có thể quan sát. Chúng tôi

chỉ nhắc lại mục đích của pha này là thu thập và thống kê câu trả lời nhằm làm cơ sở đối chiếu với

câu trả lời thu được ở pha 2.

1.9.3.2 Pha 2 Trong pha này, HS làm việc nhóm trả lời các câu hỏi được đặt ra trong ba tình huống 1’, 2’, 3’.

Cả ba tình huống 1’, 2’, 3’ được xây dựng trên dựa trên các tình huống 1, 2, 3 của thực nghiệm 1.

Điểm khác biệt cơ bản là các phản ví dụ bằng một hàm số cụ thể đi kèm với đồ thị của nó được đưa

vào thông qua các tranh luận của học sinh. Như đã nói ở trên, sự xuất hiện của các phản ví dụ, đặc

biệt là đồ thị nhằm mục đích tìm hiểu tác động của nó lên mối quan hệ cá nhân của học sinh.

Biến didactic: các giá trị được lựa chọn trong các tình huống thực nghiệm

Các tình huống của thực nghiệm thứ hai được thiết kế dựa trên cơ sở các tình huống của thực

nghiệm thứ nhất. Các giá trị của biến V1, V2 sẽ được chúng tôi giữ lại nhằm tạo thuận lợi cho việc

thiết kế tình huống và tìm hiểu tác động của đồ thị lên mối quan hệ cá nhân của HS. Đối với tình

huống 2’, biến liên quan đến bảng biến thiên V2’-Bảng biến thiên có hay không có hàng chứa

f’(x)? cũng sẽ được giữ nguyên giá trị. Các phân tích về vai trò của các biến này đã được thực hiện

trong thực nghiệm thứ nhất, ở đây, chúng tôi chỉ nhắc lại các giá trị được chọn của chúng và tập

trung vào phân tích các biến V3 và V4

V1-Cách đưa vào mệnh đề

Giá trị được chọn: gián tiếp

V2-Cách cho hàm số

Giá trị được chọn: hàm số tổng quát.

V3-Có hay không có phản ví dụ

Giá trị được lựa chọn: có.

V4-Cách cho phản ví dụ

Giá trị được lựa chọn: công thức và đồ thị.

Các giá trị được chọn của V3 và V4 chính là điểm khác biệt cơ bản nhất trong các tình huống của

thực nghiệm 2 so với các tình huống của thực nghiệm 1. Các giá trị này tạo nên một môi trường

phản hồi cho phép học sinh nhận ra sai lầm trong các tranh luận của học sinh B đối với tình huống

1’, của học sinh A đối với các tình huống 2’ và 3’. Việc đưa vào các phản ví dụ sẽ tạo ra ở học sinh

sự lưỡng lự khi đưa ra các đánh giá; thêm vào đó, đồ thị, với vai trò là công cụ minh họa trực quan,

sẽ tạo những tác động nhất định đến các đánh giá của họ. Các yếu tố trực quan của đồ thị được

quan tâm ở đây là:

 Hàm số đơn điệu tăng trên một khoảng thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, hàm số đơn điệu

giảm trên một khoảng thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

 Hàm số không liên tục tại một điểm thì đồ thị không liền nét khi đi qua điểm đó.

 Điểm gãy: hàm số liên tục nhưng không khả vi tại một điểm thì đồ thị liền nét khi đi qua

điểm đó nhưng “bị gãy” tại điểm này.

Bên cạnh yếu tố đồ thị, với việc cho thêm công thức hàm số, chúng tôi muốn tạo điều kiện cho

những học sinh không chấp nhận các nhận xét trực quan từ đồ thị có thể đưa ra những chứng minh

chặt chẽ dựa trên các công thức này.

 Các biến liên quan đến phản ví dụ

Phân tích trong chương 1 cho thấy:

- Hàm số đơn điệu trên K (khoảng, nửa khoảng, đoạn) thì chỉ có thể có điểm gián đoạn loại 1 và

tập các điểm gián đoạn nhiều nhất đếm được.

- Hàm số đơn điệu trên I thì khả vi hầu khắp nơi trên I (tập các điểm thuộc I mà tại đó hàm số

không khả vi có độ đo lesbgue bằng 0).

- Hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó.

Với sự xuất hiện của các phản ví dụ, việc xây dựng tình huống sẽ xét thêm các biến sau:

V5-Hàm được cho bằng mấy công thức?

Các giá trị có thể là: một, hai, ba,… công thức.

V6-Loại của từng công thức

Giá trị có thể là: hàm bậc nhất, hàm bậc hai, hàm bậc ba, hàm phân tuyến tính,…

 Liên quan đến tình huống 1’

V5-Hàm được cho bằng mấy công thức?

Nhằm đưa ra một hàm số thỏa mãn điều kiện “đơn điệu trên một đoạn nhưng không liên tục trên

đoạn đó” việc lựa chọn một hàm số cho bởi nhiều hơn một công thức là dễ dàng hơn cả, mặt khác

nếu hàm được cho có quá nhiều công thức cũng sẽ làm cho ví dụ trở nên phức tạp. Vì thế trong tình

huống thực nghiệm, chúng tôi chọn giá trị của biến này là “hai công thức”.

V6-Loại của các hàm thành phần

Nhằm làm cho ví dụ đơn giản nhất ở mức có thể, chúng tôi chọn giá trị của biến này là cả hai hàm

thành phần đều là hàm bậc nhất.

Đối với tình huống 1’, chúng tôi xét thêm biến sau:

V1’-Số điểm gián đoạn

Các giá trị có thể là: một điểm, hai điểm, …

Nhằm đơn giản hóa ví dụ được cho, phù hợp với giá trị được chọn của V5 chúng tôi chọn giá trị của

biến này là “một điểm”.

 Liên quan đến tình huống 2’

V5-Hàm được cho bằng mấy công thức?

Hàm được cho phải thỏa mãn tính chất “đơn điệu trên từng khoảng (-∞;3) và (3;+∞) nhưng không

khả vi trên các khoảng ấy”. Thêm vào đó, nhằm tận dụng tác động phản hồi của của “điểm gãy”,

hàm số phải liên tục tại những điểm mà nó không khả vi. Tương tự tình huống 1’, việc chọn một

hàm số cho bởi nhiều hơn một công thức là dễ dàng hơn cả. Tuy nhiên, trên mỗi khoảng (-∞;3) và

(3;+∞) hàm được cho phải có ít nhất một điểm không khả vi, do đó chúng tôi lựa chọn giá trị của

biến này là 3 công thức.

V6-Loại của các hàm thành phần

Các đường cong (độ cong khác 0) dường như sẽ tạo một tác động tốt hơn về trực giác đối với các

“điểm gãy” do chúng tạo thành so với các “điểm gãy” do đường thẳng tạo thành (HS dễ hình dung

hình ảnh có tiếp tuyến hay không có tiếp tuyến hơn). Vì vậy, chúng tôi thấy rằng cần chọn giá trị

của biến này sao cho đồ thị của nó sẽ xuất hiện các “điểm gãy” được tạo từ các đường cong, nhưng

chúng tôi cũng không muốn làm cho ví dụ trở nên quá phức tạp, do đó chúng tôi chọn các hàm thành phần là các hàm bậc hai có dạng y=ax2 .

Đối với tình huống 2’, chúng tôi xét thêm các biến sau:

V2’-Số “điểm gãy” trên một khoảng

Các giá trị có thể : một điểm, hai điểm, …

Giá trị được chọn là “một điểm” nhằm không làm phức tạp hàm số được cho.

 Liên quan đến tình huống 3’

V5-Hàm được cho bằng mấy công thức?

Trong trường hợp này, hàm được cho cần thỏa mãn điều kiện liên tục trên một khoảng nhưng không

khả vi trên khoảng đó, cách cho ví dụ đơn giản hơn so với tình huống 1’ và 2’ dựa vào tính chất của

hàm giá trị tuyệt đối. Giá trị được lựa chọn là hàm được cho bằng một công thức (thực chất hàm này

có thể được viết lại bởi hai hàm thành phần).

V6-Loại của các hàm thành phần

3

2

Giá trị được chọn là hàm bậc ba, đây là hàm số khá quen thuộc với HS. Nhằm làm tăng tính trực

y



ax



bx



cx d

  , trong đó e khác 0 (nếu

e

3

2

quan của đồ thị chúng tôi chọn hàm số theo kiểu

y



ax



bx



cx d

 thì các “điểm gãy” sẽ nằm trên trục hoành, việc quan sát các điểm

chỉ cho

gãy sẽ thiếu trực quan hơn. Bằng cách cộng thêm hằng số e, tung độ các điểm gãy sẽ là e).

Đối với tình huống này, chúng tôi xét thêm biến V2’-Số “điểm gãy”, khi đã cố định giá trị của V6

thì biến này chỉ có thể nhận 2 giá trị là “một điểm” hoặc “ba điểm”. Chúng tôi chọn giá trị của biến

này là “ba điểm”.

Các chiến lược và cái có thể quan sát

 Tình huống 1’

Chiến lược S1’a - Không xét tính liên tục

f(a)f(b)<0 suy ra f(x)=0 có nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Cái có thể quan sát:

Đồng ý với ý kiến của A, không đồng ý với ý kiến của B và C vì không cần xét đến tính liên tục của

f(x) trên đoạn [-1;3].

Chiến lược S1’b - đơn điệu không suy ra liên tục

Hàm số đơn điệu trên K (khoảng, nửa khoảng, đoạn) chưa chắc liên tục trên K.

Cái có thể quan sát:

-Với câu trả lời của A: A sai vì thiếu điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3].

-Với câu trả lời của B: B sai vì đồng biến trên [-1;3] không thể suy ra liên tục trên [-1;3].

-Với câu trả lời của C: C đúng vì ví dụ của C là hợp lí hoặc ví dụ của C là hợp lí nhưng các nhận xét

của C dựa trên đồ thị nên chưa thuyết phục mà cần có thêm chứng minh, chẳng hạn: từ công thức

hàm số chứng minh hàm số đồng biến trên [-1;3] và chứng minh hàm số không liên tục tại x=1.

Chiến lược S1’c - đơn điệu suy ra liên tục

Hàm số đơn điệu trên K thì liên tục trên K.

Cái có thể quan sát:

-Với câu trả lời của A: A sai vì thiếu điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3].

-Với câu trả lời của B: B đúng vì hàm số đồng biến trên [-1;3] thì liên tục trên [-1;3], do đó theo

định lí giá trị trung gian thì phương trình f(x)=0 có nghiệm trong (-1;3).

-Với câu trả lời của C: C sai vì ví dụ của C không đúng. Trong ví dụ của C, hàm số không đồng biến

trên [-1;3] mà chỉ lần lượt đồng biến trên [-1;1) và [1;3].

Câu trả lời này cho thấy phản ví dụ đưa ra không được chấp nhận, học sinh vẫn chưa thể tự mình

thoát khỏi ảnh hưởng của quan niệm “hàm số đơn điệu trên trên K (khoảng, nửa khoảng, đoạn) thì

liên tục trên K”.

 Tình huống 2’

Chiến lược S2’a - Đơn điệu thì khả vi

Hàm số đơn điệu trên khoảng K thì khả vi trên K và có đạo hàm không âm (không dương) trên K.

Cái có thể quan sát:

Với câu trả lời của A: A đúng vì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-∞;3) nên nó có đạo hàm tại

mọi x thuộc (-∞;3) và f’(x)≥0 với mọi x thuộc (-∞;3), hoặc f(x) đồng biến trên khoảng (-∞;3) nên nó

liên tục trên (-∞;3), do đó nó có đạo hàm tại mọi x thuộc (-∞;3) và f’(x)≥0 với mọi x thuộc (-∞;3);

tương tự khi hàm nghịch biến trên (3;+∞) . Hoặc A sai vì hàm số có đạo hàm tại mọi x thuộc (-∞;3),

f’(x)>0 trên (-∞;3), hàm số có đạo hàm mọi x thuộc (3;+∞) và f’(x)<0 trên (3;+∞).

Với câu trả lời của B: B sai vì ví dụ đưa ra của B không hợp lí, tại các “điểm gãy”, đồ thị hàm số liền nét nên vẫn có đạo hàm...

Chiến lược S2’b - đơn điệu không suy ra khả vi

Hàm số đơn điệu của trên một khoảng không thể kết luận hàm khả vi trên khoảng đó.

Cái có thể quan sát:

Với câu trả lời của A: A sai vì hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng chưa chắc có đạo

hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Với câu trả lời của B: B đúng vì ví dụ và giải thích của B đưa ra là đúng hoặc ví dụ của B đưa ra là

đúng, nhưng các nhận xét của B dựa trên đồ thị nên chưa thuyết phục mà cần có thêm chứng minh

dựa trên công thức của hàm số, chẳng hạn: chứng minh f(x) đồng biến trên (-∞;3) nhưng không có

đạo hàm tại x=0.

 Tình huống 3’

Chiến lược S3’a – Liên tục thì khả vi

Hàm số liên tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó.

Cái có thể quan sát:

Với câu trả lời của A: A đúng vì f(x) liên tục tại xo thì có đạo hàm tại xo. Với câu trả lời của B: B

sai vì ví dụ của B là không hợp lí vì tại “điểm gãy” hàm số liên tục nên vẫn có đạo hàm.

Câu trả lời cho thấy sự xuất hiện của “điểm gãy” không đủ để giúp HS phát hiện sai lầm trong quan

niệm “hàm số liên tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó”. “Điểm gãy” không tạo ra tác động phản hồi: “điểm gãy” suy ra “không khả vi”.

Chiến lược S3’b - đơn điệu không suy ra khả vi

Hàm số liên tục tại một điểm không thể suy ra hàm khả vi tại điểm đó.

Cái có thể quan sát:

Với câu trả lời của A: A sai f(x) liên tục tại xo chưa chắc có đạo hàm tại xo. Với câu trả lời của B: B

đúng vì ví dụ của B là hợp lí, vì tại “điểm gãy” hàm số liên tục nên nhưng không có đạo hàm.

Câu trả lời cho thấy sự xuất hiện của “điểm gãy” có thể giúp HS phát hiện sai lầm trong quan

niệm “hàm số liên tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm đó”. Nó tạo ra tác động phản hồi: “điểm

gãy”=“không khả vi”.

1.9.3.3 Pha 3 Mục đích của pha này là tổ chức cho HS tranh luận, tạo cơ hội để HS phát hiện sai lầm trong các

tình huống được đặt ra ở pha 2, từ đó điều chỉnh mối quan hệ cá nhân với các mối liên hệ giữa 3 đối

tượng đơn điệu-liên tục-khả vi. Cụ thể, chúng tôi mong muốn, HS sẽ nhận ra rằng:

-Hàm số đơn điệu trên K (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có thể không liên tục trên K.

-Hàm số đơn điệu trên khoảng K không thể suy ra hàm số có đạo hàm tại trên K và đạo hàm không

dương (không âm) trên K.

-Hàm số liên tục tại một điểm không thể suy ra hàm số có đạo hàm tại điểm đó.

Môi trường hợp thức:

-Định nghĩa hàm số đơn điệu (đồng biến, nghịch biến), định nghĩa hàm số liên tục, đạo hàm của

hàm số.

-Mối liên hệ giữa các tính chất của hàm số với đồ thị của nó:

Tính chất Đồ thị

Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K Đồ thị hàm số đi lên (xuồng) từ trái sang phải

Hàm số liên tục (không liên tục) trên K Đồ thị hàm số liền nét (không liến nét) trên K

Hàm số liên tục nhưng không khả vi tại Đồ thị hàm số bị “gãy” tại điểm đó

một điểm

1.9.3.4 Pha 4 Mục đích của pha này là tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của HS sau khi tham gia các tình huống

của thưc nghiệm bằng cách yêu cầu các nhóm viết ra những bài học rút ra sau buổi học.

1.9.4 Phân tích a posteriori

Thực nghiệm được tổ chức tại lớp 12A8 trường THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa, lớp gồm 33 HS.

Diễn biến và kết quả các pha như sau:

1.9.4.1 Pha 1

Số lượng

Câu trả lời

Tình huống 1

S1a

1

Không quan tâm đến tính liên tục

S1b

6

Đồng biến không suy ra liên tục

S1c

26

Đồng biến suy ra liên tục

Khác hoặc không trả lời

0

Tổng

33

Tình huống 2

S2a

20

Đơn điệu suy ra khả vi và đạo hàm không âm (không dương)

S2b

11

Đơn điệu không suy ra khả vi

S2c

0

Tìm công thức hàm số cụ thể

Khác

2

Tổng

33

Tình huống 3

S3a

15

Liên tục suy ra khả vi

S3b

18

Bảng 3.4: Thống kê câu trả lời pha 1

Liên tục không suy ra khả vi

Khác hoặc không trả lời

0

Tổng

33

Tương tự với thực nghiệm 1, các câu trả lời theo chiến lược S1c (tình huống 1), S2a (tình huống 2)

vẫn chiếm đa số. Trong tình huống 3, số câu trả lời theo S3b chiếm ưu thế hơn số câu trả lời theo

S3a (18 so với 15); so với thực nghiệm 1, số câu trả lời theo 2 chiến lược này khá “cân bằng” với

nhau (42,9% so với 44%).

Một ghi nhận khác từ pha 1:

Trước hết chúng tôi trích dẫn câu trả lời của một HS trong tình huống 2:

HS A sai : ta chỉ có thể nói f(x) liên tục, f’(x)>0 với mọi x thuộc

y

I thì f(x) đồng biến trên I, không được nói ngược lại.

(C)

VD: xét đồ thị hàm số sau:

I

Đồ thị (C) là tập hợp của 2 đồ thị có dạng đường thẳng trong một

điều kiện khoảng nào đó. Nhận thấy (-∞;3) f(x) nghịch biến

nhưng đồ thị là đường thẳng thì không có tiếp tuyến => không có đạo hàm tại I.

y

3

HS14:

HS này quan niệm “đường thẳng không có tiếp tuyến”,

chúng tôi tự hỏi đây là một sai lầm ngẫu nhiên hay là sai lầm phổ biến ở HS? Dường như đây không

phải là một sai lầm ngẫu nhiên . Một câu hỏi nữa được đặt ra: nếu đây là quan niệm phổ biến ở HS

thì nguyên nhân dẫn đến quan niệm này là gì? Để có thể khẳng định chắc chắn cũng như có được

câu trả lời rõ ràng cho các câu hỏi trên, cần thực hiện một nghiên cứu khác tập trung vào vấn đề

được đề cập.

1.9.4.2 Pha 2 Lớp gồm 33 HS được chia thành 16 nhóm, trong đó 15 nhóm 2 HS và 1 nhóm 3 HS. Số phiếu phát

ra 16, số phiếu thu về 16.

Số lượng (nhóm) Số lượng (HS)

Câu trả lời

Tình huống 1’

S1’a

0

0

Không quan tâm đến tính liên tục

S1’b

10

20

Đồng biến không suy ra liên tục

S1’c

5

11

Bảng 3.5: Thống kê câu trả lời pha 2

Đồng biến suy ra liên tục

Khác

1

2

Tổng

16

33

Tình huống 2’

S2’a

Đơn điệu suy ra khả vi và đạo hàm không âm

5

10

(không dương)

S2’b

10

21

Đơn điệu không suy ra khả vi

Khác

1

2

Tổng

16

33

Tình huống 3’

S3’a

4

8

Liên tục suy ra khả vi

S3’b

12

25

Liên tục không suy ra khả vi

Tổng

16

33

Phân tích sơ bộ

Sự xuất hiện của phản ví dụ và đồ thị đã có những tác động nhất định lên mối quan hệ cá nhân của

HS

Trước hết, kết quả thống kê pha 2 cho thấy có một sự thay đổi đáng kể trong tỉ lệ các câu trả lời

theo các chiến lược:

 Tình huống 1’:

- Tỉ lệ nhóm có câu trả lời theo chiến lược S1’b (đồng biến không suy ra liên tục) tăng rõ rệt : có 10

nhóm (20HS) trong khi ở pha 1 chỉ 6 HS trả lời theo chiến lược này. Tỉ lệ nhóm có câu trả lời theo

chiến lược S1’c (đồng biến suy ra liên tục) giảm: có 5 nhóm (11HS) trong khi ở pha 1 có đến 26 HS

trả lời theo chiến lược này.

 Tình huống 2’:

Tỉ lệ câu trả lời theo S2’b (Đơn điệu không suy ra khả vi) tăng và tỉ lệ câu trả lời S2’a (Đơn điệu

suy ra khả vi và đạo hàm không âm (không dương)) giảm so câu trả lời cùng chiến lược ở pha 1. 10

nhóm (21HS) có câu trả lời theo S2’b trong khi đó ở pha 1 có 11 HS trả lời theo S2b, 5 nhóm

 Tình huống 3’:

(10HS) có câu trả lời theo S2’a trong khi ở pha 1 có 20 HS trả lời theo S2a.

Tỉ lệ câu trả lời theo S3’b (liên tục không suy ra khả vi) tăng và tỉ lệ câu trả lời S3’a (liên tục suy

ra khả vi) giảm so câu trả lời cùng chiến lược ở pha 1. Có 12 nhóm (25HS) có câu trả lời theo S3’b

trong khi đó ở pha 1 có 18 HS trả lời theo S3b, 4 nhóm (8HS) có câu trả lời theo S3’a trong khi ở

pha 1 có 15 HS trả lời theo S3a.

Phân tích chi tiết

Tình huống 1’

 Phản ví dụ đi kèm đồ thị đã tác động lên phần lớn các nhóm tham gia thực nghiệm.

Có 10 nhóm có câu trả lời theo S1’b chiếm gần 2/3 tổng số nhóm. Trong bảng sau, chúng tôi thực

hiện một thống kê chi tiết hơn nhằm cho thấy rõ sự tác động này:

Nhóm Học sinh Pha 1 Pha 2

Hs1 S1c 1 S1’b Hs2 S1c

Hs1 S1c 2 S1’b Hs2 S1c

Hs1 S1c 3 S1’b Hs2 S1c

Hs1 S1b 4 S1’b Hs2 S1b

Hs1 S1c 5 S1’b Hs2 S1c

Hs1 S1b 8 S1’b Hs2 S1c

Hs1 S1c 10 S1’b Hs2 S1c

Hs1 S1b 11 S1’b Hs2 S1b

Hs1 S1c 13 S1’b Hs2 S1c

Hs1 S1c 14 S1’b Hs2 S1c

Bảng thông kê cho thấy trong 10 nhóm có câu trả lời ở pha 2 theo S1’b, chỉ có 2 nhóm ở pha 1 cả 2

HS trả lời theo S1b, 1 nhóm ở pha 1 có 1 HS trả lời theo S1b và 1 HS trả lời theo S1c. 7 nhóm còn

lại các HS ở pha 1 đều có câu trả lời theo S1c nhưng ở pha 2 câu trả lời đã chuyển sang S1’b. Như

vậy, rõ ràng phản ví dụ đi kèm với đồ thị đã có những tác động nhất định đến sự thay đổi trong câu

Nhóm 2: Bạn C đã đưa ra được một ví dụ bằng hình vẽ cụ thể =>chứng tỏ điều bạn nói => thuyết

phục.

Nhóm 5: HS C phát biểu đúng và đủ. Do hsố tuy đồng biến trên [-1;3] nhưng chưa chắc liên tục trên

[-1;3] nên ta không xác định được có nghiệm trong khoảng (-1;3) hay không. C đã đưa ra một ví dụ

cụ thể và chính xác cho lời giải của mình.

trả lời của HS. Chúng tôi trích ra vài câu trả lời tiêu biểu:

 Đối với một bộ phận HS, phản ví dụ đi kèm đồ thị chưa đủ để thay đổi quan niệm trong giả thuyết

H1, để có thể tạo sự tiến triển trong mối quan hệ cá nhân của những HS này với mối liên hệ đơn

điệu-liên tục cần có thêm những tác động khác.

Gần 1/3 số nhóm tham gia thực nghiệm vẫn chưa thể thoát khỏi ảnh hưởng của quan niệm trong giả

thuyết H1. Các nhóm này cho rằng ví dụ của HS C sai vì hàm số được cho không thể đồng biến trên

  

1

1

,

x

f '( x )

Nhóm 7: C sai vì

=> không có f’(1), chỉ có thể nói f(x) đồng biến trên các

1

3

,

  x

1     2  1 

nửa khoảng [-1;1) và (1;3].

Nhóm 15:C sai do hàm số này không được gọi là đồng biến trên [-1;3]

Nhóm 16: Kết luận của C sai. Bởi trên đồ thị, hsố đồng biến thì đồ thị phải liền nét.

=>f(x) không thể đồng biến trên [-1;3].

[-1;3]. Chúng tôi trích ra một số câu trả lời tiêu biểu:

Câu trả lời của nhóm 7 thể hiện ngầm ẩn quan niệm “đồng biến thì khả vi” mà chúng tôi đã phát

biểu trong giả thuyết H2. Câu trả lời của nhóm 16 cho thấy ảnh hưởng rất lớn của quan niệm trong

giả thuyết H1: “đồng biến” thì phải “liên tục”.

Tình huống 2’

 Sự tác động của phản ví dụ đi kèm đồ thị đến câu trả lời của HS

Gần 2/3 (10 nhóm) số nhóm tham gia thực nghiệm có câu trả lời theo chiến lược S2’b. Sau đây là

bảng thống kê câu trả lời tương ứng ở pha 1 và pha 2

Nhóm Học sinh Pha 1 Pha 2

Hs1 S2a 2 S2’b Hs2 S2a

Hs1 Khác 4 S2’b Hs2 Khác

Hs1 S2b 5 S2’b Hs2 S2a

Hs1 S2b 6 S2’b Hs2 S2a

Hs1 S2b 7 S2’b Hs2 S2a

Hs1 S2a 8 S2’b Hs2 S2b

Hs1 S2b 11 S2’b Hs2 S2b

Hs1 S2b 13 S2’b Hs2 S2b

Hs1 S2a 14 S2’b Hs2 S2a

Hs1 S2a

16 Hs2 S2a S2’b

Hs3 S2a

Trong 10 nhóm có câu trả lời theo S2’b, có 3 nhóm (2, 4, 16) các HS trả lời theo S2a ở pha 1, có 4

nhóm (5, 6, 7, 8) trong đó 1 HS trả lời theo S2a, 1 HS trả lời theo S2b. Đối với các nhóm 2, 14, 16

Nhóm 2: Bạn B trình bày bằng hình vẽ nên thuyết phục hơn. Ta thấy rõ ràng bằng thực nghiệm đã

chứng tỏ điều bạn A nói không đúng.

Nhóm 14: B đúng vì dựa vào đồ thị dễ thấy HSĐB trên (-∞;3) nhưng không có đạo hàm tại x=0 vì đồ

thị hàm số bị gãy tại điểm O (0;0). HSNB (3;+∞) nhưng không có đạo hàm tại x=5 vì bị gãy tại

A(5;55/9).

Nhóm 16: Ý kiến bạn B đúng. Vì trong khoảng nào đó liên tục, có một hay vài điểm không có đạo

hàm thì hàm vẫn được xem là đồng biến/nghịch biến.

rõ ràng sự xuất hiện của phản ví dụ đi kèm đồ thị đã tác động đến việc thay đổi câu trả lời của họ.

Đối với các nhóm 5, 6, 7, 8, ngoại trừ nhóm 6 còn “lưỡng lự” với ví dụ của B:

Nhóm 6: Ý kiến của B chưa chắc đúng vì hàm số ví dụ của B có các khoảng TXĐ khác nhau

Nhóm 5: B có lời giải đúng, đủ. HS B hiểu vấn đề đồng thời đưa ví dụ cụ thể cho phát biểu của

mình.

Nhóm 7: B đúng.

Nhóm 8: B đúng. Có lí luận chặt chẽ, chứng minh thiết thực.

các nhóm còn lại đều đồng ý với ví dụ của HS B:

Điều đó cho thấy phản ví dụ đi kèm đồ thị cũng đã tác động đến câu trả lời của họ. Tuy nhiên, một

điểm cần lưu ý ở đây là trong các câu trả lời theo S2’b, ngoại trừ nhóm 14 ghi rõ lí do vì sao đồng ý

với ví dụ được đưa ra, các nhóm còn lại không đưa ra một giải thích rõ ràng. Như vậy, vấn đề về tác

động trực quan của “điểm gãy”(hàm số không có đạo hàm tại hoành độ của điểm gãy) cũng như

“dáng điệu” của đồ thị (đồng biến trên khoảng thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, nghịch biến trên

khoảng thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải) cần phải được tìm hiểu thêm.

 Phản ví dụ đi kèm đồ thị không được chấp nhận

Gần 1/3 số nhóm tham gia thực nghiệm có câu trả lời theo S2’a. Điều đó cũng có nghĩa là các nhóm

này không đồng ý với ví dụ của B. Vì sao?

Nhóm 3: B chưa nắm vững bảng biến thiên.

Nhóm 9: Hàm số B đưa ra không phù hợp với bảng biến thiên do bảng biến thiên không thể hiện

hàm số bị gãy.

Nhóm 15: B sai do hàm số B đưa làm ví dụ không phù hợp với bảng biến thiên của đề bài.

-Ví dụ không phù hợp với bảng biến thiên của đề bài:

Như vậy, đối với các nhóm này, bảng biến thiên phải thể hiện đầy đủ các điểm “đặc biệt” (điểm

gián đoạn, điểm gãy hay điểm tại đó hàm số không có đạo hàm) của hàm số. Chúng tôi đặt ra câu

hỏi: đây có phải là một hợp đồng didactic liên quan đến bảng biến thiên không?

-“Điểm gãy” không phải là điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm:

Nhóm 1: B sai vì đồ thị bị gãy không phải là không liên tục, vẫn liên tục tại điểm đó và theo

xu hướng đồng biến (-∞;3) và nghịch biến (3;+∞).

Trong tình huống 3’, nhóm này có câu trả lời theo S3’a (liên tục thì khả vi). Vì vậy, trong câu trả lời

trên, chúng tôi ngầm hiểu tại những điểm gãy hàm số liên tục nên vẫn có đạo hàm. Đối với nhóm

này, “điểm gãy” không có tác động tạo ra phản hồi “điểm không khả vi” (điểm mà tại đó hàm số

liên tục nhưng không có đạo hàm).

Tình huống 3’

 Sự xuất hiện của phản ví dụ đi kèm đồ thị đã tác động đến câu trả lời của một số nhóm HS.

Có 3/4 số nhóm tham gia thực nghiệm có câu trả lời theo S3’b. Để rõ hơn, chúng tôi lập bảng thống

kê chi tiết so sánh câu trả lời ở pha 1 và pha 2:

Nhóm Học sinh Pha 1 Pha 2

Hs1 S3a 2 S3’b Hs2 S3b

Hs1 S3b 4 S3’b Hs2 S3b

Hs1 S3a 5 S3’b Hs2 S3b

Hs1 S3a 6 S3’b Hs2 S3b

Hs1 S3a 7 S3’b Hs2 S3b

Hs1 S3a 8 S3’b Hs2 S3a

Hs1 S3b 11 S3’b Hs2 S3b

Hs1 S3a 12 S3’b Hs2 S3b

Hs1 S3a 13 S3’b Hs2 S3b

Hs1 S3a 14 S3’b Hs2 S3a

Hs1 S3b 15 S3’b Hs2 S3b

Hs1 S3a

16 Hs2 S3b S3’b

Hs3 S3b

Như vậy, sự tác động của phản ví dụ đi kèm đồ thị thể hiện rõ nhất ở nhóm 8 và 14, các HS trong 2

Nhóm 8: A sai vì đã bị B bác bỏ một cách thuyết phục. B đúng vì phù hợp với thực tế trên đồ thị.

Nhóm 14: B đúng vì dựa vào đồ thị ta thấy hàm số liên tục tại x=1, x=-1, x=2 nhưng không có đạo

hàm tại x=1, x=-1, x=2 vì đồ thị hàm số tại các điểm đó bị gãy.

nhóm này trả lời theo S3a ở pha 1 và chuyển sang S3’b ở pha 2:

Các nhóm 2, 5, 6, 7, 12, 13, 16 có sự xuất hiện của HS trả lời theo S3b ở pha 1, do đó việc chuyển

sang S3’b ở pha 2 có thể chịu sự tác động từ hai phía: HS trong nhóm và phản ví dụ đi kèm đồ thị.

Chúng tôi trích dẫn một số câu trả lời:

Nhóm 2: Bạn A nói chưa chính xác. Hàm số liên tục chưa chắc có đạo hàm. Bạn chưa xét các trường hợp y=f(xo)=0 =>y’ không xác định (ở đây có lẽ HS đang muốn nói đến hàm căn bậc 2)16. Bạn B đã

chứng tỏ điều mình nói bằng hình vẽ cụ thể.

Nhóm 5: A nói chưa đúng. Do hàm số liên tục tại mọi điểm x thuộc (a;b) thì chưa chắc đã có đạo

hàm tại mọi điểm trên (a;b). B phát biểu đúng. B cho ví dụ cụ thể để chứng minh cho phát biểu của

mình. Theo VD của B, dựa vào hình vẽ ta có thể thấy, hàm số liên tục tại các điểm có x=-1, x=1, x=2

nhưng không ltục (ở đây chúng tôi nghĩ nhóm này muốn nói “không có đạo hàm” nhưng người viết

phiếu trả lời đã ghi sai ) do bị “gãy” tại các điểm này.

Nhóm 7: A sai vì chưa chắc có đạo hàm tại mọi điểm xo thuộc (a;b). B đúng. Nhận xét: Hàm liên tục

trên I thì chưa chắc có đạo hàm tại mọi điểm thuộc I, muốn có đạo hàm thì đồ thị phải “mềm” (chúng

tôi hiểu nhóm này muốn nói đến: đồ thị phải “trơn”).

 Ở một số nhóm, sự xuất hiện của phản ví dụ đi kèm đồ thị không mang lại tác động phản hồi như

mong đợi.

1/4 số nhóm có câu trả lời theo S3’a. Các nhóm này không đồng ý với ví dụ của HS B. Ngoài 2

Nhóm 1: A đúng theo lí thuyết. B sai vì hàm số gãy không phải không có đạo hàm mà đó là điểm cực

tiểu của đồ thị (A, B, C)

2

Nhóm 9: A đúng. B đưa ra ví dụ trái đề do hàm số y=f(x)= 3 x



2x

   không liên tục.

x 2 1

nhóm (3, 10) chỉ trả lời A đúng, B sai. Chúng tôi chú ý đến 2 câu trả lời của nhóm 1 và 9:

Câu trả lời của nhóm 1 cho thấy, họ cho rằng trong ví dụ được cho A, B, C là các điểm cực trị nên

phải có đạo hàm, rất có thể các HS trong nhóm này chịu ảnh hưởng của quy tắc sai sau: hàm số đạt

cực trị tại điểm nào thì đạo hàm bằng không tại điểm đó. Cũng chính nhóm này trong câu trả lời ở

tình huống S2’ cho rằng tại các “điểm gãy” hàm số liên tục nên phải có đạo hàm. Điều đó cũng cho

thấy, muốn dùng đồ thị tạo tác động phản hồi nhằm điều chỉnh mối quan hệ cá nhân của HS, cần

phải thiết lập được vai trò của “điểm gãy” trong mối quan hệ cá nhân của HS.

Câu trả lời của nhóm 9 cần được tìm hiểu thêm, vì nhóm này không nêu rõ lí do vì sao hàm số

không liên tục, tuy nhiên một lí do có thể đưa ra là dường như những HS sinh này quan niệm rằng

một hàm số liên tục trên một khoảng thì đồ thị của nó phải là một đường cong “trơn” (quan niệm

này được làm rõ bởi Trần Anh Dũng(2005)).

 Kết luận về pha 2: Sự xuất hiện của phản ví dụ đã bước đầu có những tác động đến HS, tuy nhiên

vẫn chưa rõ nét. Trong các câu trả lời của các nhóm theo các chiến lược S1’b, S2’b, S3’b (là các

chiến lược mong đợi), chúng tôi vẫn chưa thấy một giải thích rõ ràng về lí do các HS này đồng ý

với phản ví dụ đi kèm đồ thị. Một chứng minh chặt chẽ bằng đại số dựa trên công thức của hàm số

16 Phần ngoặc đơn và in nghiêng là chú thích của chúng tôi.

đã không xuất hiện như mong đợi (nhóm 7 trong câu trả lời tình huống 1’, nhóm 2 trong câu trả

lời tình huống 2’ có dùng đến công thức, tuy nhiên chỉ dùng để tính đạo hàm), điều này cho thấy

“đồ thị” đóng vai trò chính trong việc tạo tác động phản hồi và đa số HS chấp nhận những nhận

xét trực quan dựa trên đồ thị. Pha này cũng cho thấy, đối với một bộ phận HS, vai trò của “điểm

gãy” không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ và bảng biến thiên phải thể hiện đầy đủ

các điểm đặc biệt của hàm số.

Pha 3(thiếu chỉ mục)

Tình huống 1’

HS dễ dàng chấp nhận hàm số không liên tục trên [-1;3] thông qua hình ảnh đồ thị bị “đứt” khi đi

qua x=1, tuy nhiên việc giải thích “hàm số đồng biến trên [-1;3]” lại khá khó khăn. Một trong những

nguyên nhân của trở ngại này là: kĩ thuật chứng minh hàm số đơn điệu trên K (khoảng, nửa

khoảng, đoạn) bằng định nghĩa không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của HS, đối với họ

chứng minh hàm số đơn điệu trên K là đi chứng minh hàm số có đạo hàm dương (âm) trên K. Nó

cho thấy ảnh hưởng mạnh mẽ của R1.

Trong các tranh luận của HS ở tình huống này, không có ý kiến nào đề nghị dùng định nghĩa chứng

minh hàm số đồng biến. Khi GV gợi ý: “thầy nhờ một em nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến,

nghịch biến trên một khoảng, nửa khoảng”(protocol câu 7). Một HS đã trả lời như sau: “hàm số

đồng biến trên khoảng khi đạo hàm lớn hơn 0, nghịch biến khi đạo hàm bé hơn 0”(protocol câu 8).

Các HS khác không có ý kiến gì với định nghĩa này, bởi vì ngay sau đó, khi chúng tôi hỏi: “các bạn

khác có ý kiến gì không ?” (protocol câu 9) thì tất cả đều im lặng. Như vậy, mặc dù kết quả pha 1 và

pha 2 cho thấy, có sự “dịch chuyển” từ S1’c sang S1’b ở nhiều HS nhưng sự “dịch chuyển” này

dường như thiếu một “điểm tựa” vững chắc (các HS đã không giải thích được vì sao hàm số đồng

biến, ngay cả một nhận xét dựa trên đồ thị cũng không xuất hiện). Rõ ràng, HS đã rất lúng túng khi

được đặt vào một tình huống vượt ra ngoài phạm vi hợp thức của “kĩ thuật xét dấu đạo hàm”. Ghi

nhận trên cũng cho thấy kĩ thuật chứng minh hàm số đơn điệu bằng định nghĩa không sẵn có ở họ.

Hiện tượng này phù hợp với phân tích của chúng tôi trong chương 2: sau sự xuất hiện của định lí về

điều kiện đủ để một hàm số đơn điệu trên một khoảng (nửa khoảng, đoạn), khi xét sự biến thiên của

hàm số, kĩ thuật tính và xét dấu đạo hàm luôn được ưu tiên, kĩ thuật dùng định nghĩa và tỉ số biến

thiên dường như “biến mất”.

Tình huống 2’

 “Điểm gãy” một yếu tố quan trọng của môi trường tạo tác động phản hồi giúp HS nhận ra sai

lầm trong quan niệm “hàm số đơn điệu trên một khoảng thì khả vi trên khoảng đó”.

Chúng tôi không thấy có HS nào ý kiến về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số. Mọi tranh luận

tập trung vào vai trò của “điểm gãy”. Có hai ý kiến trái ngược nhau:

-Tại điểm gãy hàm số liên tục nên vẫn có đạo hàm, tại điểm gãy hàm số xác định nên vẫn

tính được đạo hàm:

f ( x )

 

Nhóm 1: Xét ví dụ, hàm số đồng biến trên (-∞;3) nhưng không có đạo hàm tại 0. Câu đó là

21 x 5

sai. Nó vẫn có đạo hàm tại 0. Khi x=0 thì , nó vẫn tính được đạo hàm. Câu

dưới cũng vậy (hàm số nghịch biến trên (3;+∞) nhưng không có đạo hàm tại x=5). Nên ví dụ

của B sai, không thể nói đồ thị hàm số bị gãy thì không có đạo hàm vì nó gãy nhưng vẫn liên

tục. (protocol câu 15)

-Tại điểm gãy đồ thị hàm số không có tiếp tuyến nên không có đạo hàm:

Nhóm 4 : “Theo em tại những điểm gãy như điểm 0 thì nó không có tiếp tuyến nên không có

đạo hàm”.

Ý kiến của nhóm 4 được nhiều HS hưởng ứng, tuy nhiên vẫn chưa thuyết phục được nhóm 1. Nhóm

này ngay sau đó đã hỏi lại “cho em hỏi nhóm 4 tại sao nói tại x=0 không có đạo hàm nhưng tại

f ( x )

 

f '(

0

)

 

.

0 0

 ”(protocol câu 17). Giải thích của

21 x 5

2 5

vẫn tính được đạo hàm x=0,

nhóm 4 sau đó đã thuyết phục được các nhóm về hai phương diện vì sao tại điểm gãy đồ thị không

có tiếp tuyến và vì sao không tính được đạo hàm: “do ở đây lấy tiếp tuyến của 2 cái đồ thị đó ta

thấy 2 tiếp tuyến không trùng nhau nên hai hệ số góc không bằng nhau thì ở đó không có đạo hàm”

f ( x )

 

21 x 5

) thôi, nếu muốn có đạo hàm ở đó thì lim của và “do nó chỉ có của một hàm nhỏ trên (

cả hai bên phải bằng nhau thì mới có đạo hàm.”(protocol câu 18).

Như vậy, thông qua pha này, HS đã thiết lập được mối quan hệ giữa “điểm gãy” của đồ thị và

đạo hàm của hàm số-tại hoành độ của “điểm gãy” hàm số không có đạo hàm. Một yếu tố quan trọng

giúp hợp thức nhận xét trên là “tiếp tuyến”: tại “điểm gãy”, đồ thị không có tiếp tuyến nên hàm số

không có đạo hàm. Điều này cho thấy đối với HS, tác động phản hồi của “điểm gãy” được tạo ra

thông qua một trung gian “mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm” và rõ ràng mối liên hệ này đã

hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ. Vấn đề này đã được làm rõ bởi Bùi Thị Thu Hiền

(2007): “Ở bậc THPT, học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo

hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối

quan hệ cá nhân của học sinh”.

Tình huống 3’

Kế thừa sự hợp thức từ tình huống 2’, đối với tình huống này, thông qua 3 “điểm gãy” A, B, C, HS

nhanh chóng đi đến sự thống nhất: ví dụ của B là đúng.

Pha 4(thiếu chỉ mục)

Với câu hỏi bài học rút ra từ các tình huống là gì? Chúng tôi thu được câu trả lời của 15 nhóm với

kết quả như sau:

Tình huống 1’

-14 câu trả lời có ý: hàm số đồng biến trên một khoảng chưa chắc liên tục trên khoảng đó.

-1 câu trả lời có ý: hàm số đồng biến trên một đoạn chưa chắc có nghiệm trên đoạn đó.

Tình huống 2’

-10 câu trả lời có ý: hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng chưa chắc có đạo hàm tại mọi

điểm thuộc khoảng đó.

-3 câu trả lời có ý: hàm số liên tục trên khoảng chưa chắc có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

-1 câu trả lời có ý: tại những điểm đồ thị hàm số không có tiếp tuyến thì hàm số không có đạo hàm.

-1 câu trả lời có ý: tại những điểm gãy của đồ thị hàm số, hàm số không có đạo hàm.

Tình huống 3’

-15 câu trả lời có ý: hàm số liên tục trên khoảng chưa chắc có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng

đó.

Như vậy, đa số HS trong lớp thực nghiệm đã bước đầu nhận ra được sai lầm trong các quan niệm:

-Hàm số đơn điệu trên K (khoảng, nửa khoảng, đoạn) thì liên tục trên K.

-Hàm số đơn điệu trên khoảng K thì có đạo hàm tại mọi điểm thuộc K và đạo hàm không

dương (không âm) trên K.

-Hàm số liên tục tại một điểm thì có đạo hàm tại điểm đó.

1.9.5 Kết luận về thực nghiệm thứ 2 Thực nghiệm cho thấy sự xuất hiện của phản ví dụ đi kèm đồ thị đã bước đầu có những tác động

nhất định, tạo sự tiến triển trong mối quan hệ cá nhân của HS trên các mối liên hệ giữa ba đối tượng

đơn điệu, liên tục và khả vi của hàm số. Tuy nhiên, nó cũng cho thấy một vài vấn đề cần quan tâm

để hoàn thiện hơn các tình huống hoặc phát triển thành các đồ án dạy học:

-Kĩ thuật chứng minh hàm số đơn điệu trên một khoảng (nửa khoảng, đoạn) bằng định nghĩa: cần

xây dựng lại ở HS và làm rõ vai trò của nó trong một vài trường hợp.

-Mối quan hệ giữa “điểm gãy” của đồ thị hàm số và đạo hàm của hàm số.

-Bảng biến thiên: tồn tại hay không hợp đồng didactic liên quan đến bảng biến thiên: bảng biến

thiên phải thể hiện đầy đủ các điểm “đặc biệt” (điểm gián đoạn, điểm gãy hay điểm tại đó hàm số

không có đạo hàm) của hàm số?

KẾT LUẬN

Thực hiện đề tài “Các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học toán phổ

thông”, chúng tôi đạt được các kết quả sau:

1.Từ việc tổng hợp một số tài liệu, chúng tôi chỉ ra một số tính chất liên quan đến mối liên hệ

đơn điệu-liên tục, đơn điệu-khả vi, khả vi-liên tục ở cấp độ tri thức khoa học.

2.Nghiên cứu mối quan hệ thể chế trên cơ sở tham chiếu những kết quả đạt được ở chương 1

cho phép đi đến kết luận:

- Mối liên hệ đơn điệu-liên tục thể hiện khá mờ nhạt trong chương trình và SGK hiện hành và

chỉ xuất hiện trong giai đoạn khái niệm liên tục hoạt động ngầm ẩn thông qua ngôn ngữ biểu

đạt đồ thị của hàm số. Một đặc trưng liên quan đến mối liên hệ này là hàm số luôn liên tục

trên khoảng đơn điệu của nó.

- Thể chế chỉ chú trọng đến việc thể hiện mối liên hệ giữa tính đơn điệu của một hàm khả vi

trên khoảng với dấu của đạo hàm, điều kiện sinh thái của mối liên hệ này khá phong phú

thông qua hệ thống bài tập chủ yếu xoay quanh công nghệ là định lí về điều kiện đủ và định

lí mở rộng. Điều này kéo theo ràng buộc, các hàm số luôn khả vi trên khoảng đơn điệu của

chúng, tính đơn điệu của các hàm không khả vi trên khoảng không được đề cập và tất nhiên

một minh họa bằng đồ thị cũng không xuất hiện.

- Các tính chất liên quan đến mối liên hệ liên tục-khả vi được thể hiện rõ. Đồ thị được sử dụng

làm công cụ minh họa cho mối liên hệ này với đặc trưng trực giác: đồ thị “bị gãy” tại những

điểm mà hàm số liên tục nhưng không khả vi hay đồ thị không liền nét tại những điểm hàm

số không liên tục. Tuy nhiên, có rất ít bài tập liên quan đến mối liên hệ này.

3.Nghiên cứu mối quan hệ cá nhân dưới ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đã cho phép hợp

thức các giả thuyết nghiên cứu H1, H2 và trả câu hỏi LK được đặt ra ở cuối chương 2.

 Thực nghiệm thứ nhất cho thấy những ràng buộc của thể chế đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến mối

quan hệ cá nhân của HS:

- Hầu hết HS cho rằng “hàm số đơn điệu trên K thì liên tục trên K”.

- Phần lớn HS có quan niệm “hàm số đơn điệu trên một khoảng thì có đạo hàm và đạo hàm

không âm (không dương) trên khoảng đó”.

Đối với câu hỏi LK, không như chúng tôi hình dung ban đầu, việc thể chế đề cập rõ ràng tính chất

“hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó” mà điểm nhấn là các minh họa trực

quan bằng đồ thị, đã có những tác động nhất định lên mối quan hệ cá nhân của HS. Thực nghiệm

cho thấy, bên cạnh một số đông HS vẫn còn quan niệm “hàm số liên tục tại điểm nào thì khả vi tại

điểm đó”, một số đông HS khác đã thoát khỏi quan niệm này. Ở nhiều HS, sự tiến triển thể hiện rõ

trong các câu trả lời với ví dụ cụ thể và chứng minh chặt chẽ, đặc biệt là việc xuất hiện các ví dụ

bằng đồ thị.

 Với mục đích tìm hiểu tác động của đồ thị cũng như điều chỉnh mối quan hệ cá nhân của HS,

trong thực nghiệm thứ 2, chúng tôi tổ chức các tình huống nhằm tạo điều kiện cho HS gặp gỡ

một yếu tố mới của môi trường. Sự thay đổi rõ ràng đã được nhìn thấy. Qua đó, có thể nói, đồ thị

là một yếu tố môi trường tốt cho việc dạy học Giải tích, tuy nhiên, nó lại chưa được thể chế dạy

học Toán Việt Nam chú trọng.

Do hạn chế về mặt thời gian và khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, , chúng tôi chưa có điều kiện

tiến hành thực nghiệm kiểm chứng hai hợp đồng R1 và R2. Việc xây dựng các tình huống kiểm

chứng tính thỏa đáng của R1 và R2, cũng như hòan thiện hơn các tình huống trong thực nghiệm thứ

2 hoặc xây dựng một đồ án dạy học nhằm thiết lập các quan niệm đúng ở HS về các mối liên hệ

giữa 3 đối tượng đơn điệu, liên tục và khả vi của hàm số là một số hướng mở ra từ luận văn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Annie Bessot, Claude Commiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản

của didactic Toán, NXB Đại học Quốc gia TP.HCM.

2. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Chương trình giáo dục phổ thông môn toán, NXB Giáo dục.

3. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2006), Sách giáo khoa toán đại số 9, NXB Giáo dục.

4. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2006), Sách giáo viên toán đại số 9, NXB Giáo dục.

5. Trần Anh Dũng (2005), Nghiên cứu didactic về khái niệm liên tục, luận văn thạc sĩ, ĐHSP

TP.HCM.

6. G.M.Fichtengon (1977), Cơ sở giải tích toán học tập 1, NXB Đại học và Trung học chuyên

nghiệp.

7. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2006), Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản, NXB Giáo dục.

8. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2007), Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 cơ bản, NXB Giáo dục.

9. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2008), Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, NXB Giáo dục.

10. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2006), Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản, NXB Giáo dục.

11. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2007), Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 cơ bản, NXB Giáo dục.

12. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2006), Sách giáo viên Giải tích 12 cơ bản , NXB Giáo dục.

13. Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học

luận và sư phạm, luận văn thạc sĩ, ĐHSP TP.HCM.

14. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2006), Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục.

15. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2007), Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, NXB

Giáo dục.

16. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục.

17. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2006), Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục.

18. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2007), Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 nâng cao, NXB

Giáo dục.

19. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục.

20. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông, NXB Đại học Quốc

gia TPHCM.

21. Nguyễn Đình Trí (2008), Toán học cao cấp tập 2-Phép tính giải tích một biến số, NXB Giáo

Dục.

22. Jean-Marie Monier (2002), Giáo trình toán tập 1-Giải tích 1, NXB Giáo dục.

Tiếng Anh

23. Richard F. Bass (2009), Real Analysis, www.math.uconn.edu/~bass/meas.pdf.

24. Israel Kleiner (1989), Evolution of the Function Concept: A Brief Survey, The College

Mathematics Journal, Vol. 20, No. 4, p. 282-300, Published by: Mathematical Association of America.

25. http://www.mathcs.org/analysis/reals/cont/disconti.html

Phụ lục 1: Các phiếu thực nghiệm Thực nghiệm thứ 1 : Các em thân mến, phiếu này không nhằm mục đích đánh giá mà chỉ phục vụ cho việc nghiên cứu. Các em vui lòng điền đầy đủ thông tin và tự lực (không trao đổi) trả lời các câu hỏi dưới đây. Cảm ơn các em rất nhiều. Họ và tên : ........................................................................................ Lớp ............................ Mã số HS: .............. Trường ................................................................................................ Tình huống 1 Cho bài toán: “Cho hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], f(-1)=-2, f(3)=3 Phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3) không? Vì sao?” Ba học sinh A, B và C tranh luận như sau: Học sinh A:

f(-1)= -2 và f(3)= 3 suy ra f(-1).f(3)=(-2).3=-6<0 Suy ra f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3). Học sinh B:

Tớ không đồng ý với A. Vì để có thể kết luận phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3), ta còn cần thêm điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3], nhưng đề bài lại không cho biết f(x) có liên tục trên đoạn [-1;3] hay không, nên ta không thể đưa ra kết luận gì. Học sinh C:

Tớ đồng ý với B ở chỗ để có thể kết luận phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3), ta còn cần thêm điều kiện f(x) liên tục trên đoạn [-1;3], nhưng B nói “đề bài không cho biết f(x) có liên tục trên đoạn [-1;3] hay không” là không đúng. Vì theo đề bài, ta có hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], suy ra f(x) liên tục trên đoạn [-1;3]. Tóm lại tớ đề nghị lời giải như sau: f(-1) = - 2 và f(3) = 3 suy ra f(-1).f(3) = (-2).3 = -6<0. Hàm số y=f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3] nên f(x) liên tục trên đoạn [-1;3]. Ta có f(-1).f(3) < 0 và f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] nên phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1,3).

Câu hỏi cho em: Em hãy đọc kĩ đoạn tranh luận trên, nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá như thế nào về ý kiến của A, B, C? Vì sao em lại đánh giá như vậy? ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

11

Tình huống 2 Cho bài toán: “Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau: +∞ -∞ 3

-∞ -∞ x f(x)

Từ bảng biến thiên trên, em có thể kết luận gì về đạo hàm của hàm số y = f(x)? ” Hai học sinh A và B tranh luận như sau : Học sinh A: - Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) nên nó có đạo hàm tại mọi x(-∞;3) và f’(x)≥0 với mọi x(- ∞;3). - Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nên nó có đạo hàm tại mọi x(3;+∞) và f’(x)≤0 với mọi x(3;+∞). Học sinh B: - Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) nhưng chưa chắc có đạo hàm tại mọi x(-∞;3) và do đó cũng không thể kết luận f’(x)≥0 với mọi x(-∞;3). - Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nhưng chưa chắc có đạo hàm tại mọi x(3;+∞) và do đó cũng không thể kết luận f’(x)≤0 với mọi x(3;+∞).

Câu hỏi cho em: Em hãy đọc kĩ đoạn tranh luận trên, nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá như thế nào về ý kiến của A và B? Vì sao em lại đánh giá như vậy? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------

Tình huống 3 Cho bài toán: “Cho hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) xo là một điểm bất kì thuộc khoảng (a; b), có thể kết luận gì về đạo hàm của f(x) tại điểm xo?” Có hai học sinh đã tranh luận như sau: Học sinh A:

Hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm x(a; b), do đó f(x) liên tục tại xo, suy ra f(x) có đạo hàm tại xo . Học sinh B:

Hàm số f(x) liên tục tại xo nhưng chưa chắc có đạo hàm tại xo . Câu hỏi cho em: Em đánh giá như thế nào về ý kiến của A và B? Vì sao em lại đánh giá như vậy? -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Phụ lục 2: Các phiếu thực nghiệm Thực nghiệm thứ 2: Các em thân mến, phiếu này không nhằm mục đích đánh giá mà chỉ phục vụ cho việc nghiên cứu. Các em vui lòng điền đầy đủ thông tin và tự lực (không trao đổi) trả lời các câu hỏi dưới đây. Cảm ơn các em rất nhiều. Họ và tên : ........................................................................................ Lớp ............................ Mã số HS: .............. Trường ................................................................................................  Tình huống 1’

Cho bài toán: “Cho hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], f(-1)=-2, f(3)=3 Phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3) không? Vì sao?” Ba học sinh A, B và C tranh luận như sau: Học sinh A:

  

6 0

. f



  

  3

 1



f(-1)= -2 và f(3)= 3 suy ra f(-1).f(3)=(-2).3=-6<0 Suy ra f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1;3). Học sinh B:

y

Lời giải của A còn thiếu. Theo đề bài, hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], suy ra f(x) liên tục trên đoạn [-1;3]. Ta có: f(-1) = - 2 và f(3) = 3 suy ra  , f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] nên phương f . 2 3 trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (-1,3). Học sinh C:

x



,

  

1

x

1

3

f ( x )

B nói “hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [-1;3], suy ra f(x) liên tục trên đoạn [ 1;3 ] ” là không đúng, do đó ta không thể kết luận phương trình f(x)=0 có nghiệm hay không có nghiệm trong khoảng (-1;3). Tớ có thể đưa ra một ví dụ:

có đồ thị như hình bên.

3 2

1

3

1 2 x

,

  x

     

1

-1

1

x

3

Cho hàm số

-1

-2

Dựa vào đồ thị dễ dàng nhận ra hàm số f(x) đồng biến trên [-1;3] nhưng không liên tục trên [-1;3] vì đồ thị hàm số không liền nét trên đoạn này.

Câu hỏi cho em: nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá như thế nào về ý kiến của A, B, C? Vì sao em lại đánh giá như vậy?

 Tình huống 2’

11

Cho bài toán: “Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau: +∞ -∞ 3

-∞ -∞ x f(x)

2

x

,x

0





2

0

5





,

x

x

y

f ( x )

  x

2







5

x

,x

x

22 3 22 9

1 5 11 9 11 45

Từ bảng biến thiên trên, em có thể kết luận gì về đạo hàm của hàm số y = f(x)? ” Hai học sinh A và B tranh luận như sau : Học sinh A: - Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;3) nên nó có đạo hàm tại mọi x(-∞;3) và f’(x)≥0 với mọi x(-∞;3). - Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞) nên nó có đạo hàm tại mọi x(3;+∞) và f’(x)≤0 với mọi x(3;+∞). Học sinh B:

Tớ không đồng ý với A, xét ví dụ sau: Cho hàm số            có đồ thị như hình bên. Dựa vào đồ thị ta thấy: hàm số đồng biến trên (-∞;3) nhưng không có đạo hàm tại x=0 vì đồ thị hàm số bị “gãy” tại điểm O(0;0). Hàm số nghịch biến trên (3;+∞) nhưng không có đạo hàm tại x=5 vì đồ thị hàm số bị “gãy” tại điểm A(5;55/9).

Câu hỏi cho em: nếu em là thầy giáo, em sẽ đánh giá như thế nào về ý kiến của A và B? Vì sao em lại đánh giá như vậy?

 Tình huống 3’

Cho bài toán: “Cho hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) xo là một điểm bất kì thuộc khoảng (a; b), có thể kết luận gì về đạo hàm của f(x) tại điểm xo?” Có hai học sinh đã tranh luận như sau: Học sinh A:

Hàm số y=f(x) liên tục tại mọi điểm x(a;b), do đó f(x) liên tục tại xo, suy ra f(x) có đạo hàm tại xo . Học sinh B:

3

Tớ không đồng ý với A. Hàm số f(x) liên tục tại xo nhưng chưa chắc có đạo hàm tại xo . Tớ đưa ra một ví dụ:

y



f ( x )



x



22 x

  

2 1

x

Xét hàm số có đồ thị

như hình dưới đây:

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số liên tục tại x = -1, x = 1 và x = 2 (đồ thị là đường liền nét khi đi qua các điểm A, B, C) nhưng lại không có đạo hàm tại x = -1, x = 1 và x = 2 vì tại các điểm A, B, C đồ thị hàm số bị “gãy”.

Câu hỏi cho em: nếu em là thầy giáo, em đánh giá thế nào về ý kiến của A và B? Vì sao em lại đánh giá như vậy?

HS134

HS136

HS150

HS157

Phụ lục 3: Bài làm của một số học sinh trong thực nghiệm thứ nhất Tình huống 1

Tình huống 2

HS52

HS69

HS81

HS111

HS220

Tình huống 3

HS122

HS125

HS132

HS157

HS159

Nhóm 1

Nhóm 2

Thực nghiệm thứ hai-Bài làm của một số nhóm pha 2

Nhóm 5

Nhóm 7

Nhóm 16

PROTOCOL PHA 3 1.Nhóm 10: A sai vì bạn đã không có câu kết luận hàm số có liên tục không? Vì bạn lấy hai đầu

f(a).f(b)<0, bạn phải có điều kiện hàm số liên tục trên đoạn đó. Vì nếu hàm số không liên tục thì đô thị không là đường liền nét nên không chắc là có cắt trục Ox hay không? 2.Nhóm 7: đề bài cho f(x) đồng biến trên [-1;3] thì đã bao hàm liên tục rồi.

Trường hợp của C, mình không thể ghi f(x) đồng biến trên [-1;3] mà chỉ được ghi là f(x) đồng biến trên [-1;1) và đồng biến trên (1;3] nên ví dụ của C không thỏa yêu cầu. B đúng còn C sai. 3.GV: Nhóm 10 có ý kiến gì không? … 4.Nhóm 1: C đã đưa ra ý kiến phản bác A và B rồi. 5.Nhóm 7:

(vẽ đồ thị hàm số y=1/x lên bảng) Ví dụ như hàm nhất biến nó tăng trên khoảng (- ∞;0) và (0;+∞) nhưng bị gián đoạn tại x=0, có ai dám nói nó đồng biến trên R không? 6.Một HS nhóm khác: dạ thưa thầy nó bị gián đoạn tại x=1 nhưng hàm số vẫn xác định tại x=1 nên vẫn có thể nói nó đồng biến trên [-1;3] được. 7.GV:

8.HS:

9.GV: 10.GV: 11.GV:

12.HS:

Như vậy, ta sẽ tập trung xét xem ví dụ của C, thầy nhờ một em nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng (đoạn, nửa khoảng) Hàm số đồng biến trên khoảng khi đạo hàm lớn hơn 0 nghịch biến khi đạo hàm bé hơn 0. Mọi người có ý kiến gì không?(cả lớp im lặng) Thầy muốn hỏi định nghĩa?(không có HS nào trả lời, GV buộc phải can thiệp) Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K khi với mọi x1, x2 thuộc K sao cho x1< x2 ta luôn có f(x1)f(x2)). Ta sẽ thử dùng định nghĩa để xem thử hàm số trong ví dụ của C có đồng biến không? Xét x1 bé hơn x2 và thuộc [-1;3], có mấy trường hợp xảy ra? Là các trường hợp nào? Có 3 trường hợp, x1, x2 thuộc [-1;1), x1, x2 thuộc [1;3], x1 thuộc [-1;1), x2 thuộc [1;3] (GV dựa vào đổ thị hướng dẫn HS giải thích vì sao hàm số đồng biến) … Chúng ta sang tình huống 2’.

f ( x )

 

13.GV: 14.Nhóm 5: Hàm số đồng biến trên (-∞;3) nhưng có thể không có đạo hàm trên khoảng này. 15.Nhóm 1: Xét ví dụ, hàm số đồng biến trên (-∞;3) nhưng không có đạo hàm tại 0. Câu đó là sai.

21 x 5

Nó vẫn có đạo hàm tại 0. Khi x=0 thì , nó vẫn tính được đạo hàm. Câu

f ( x )

 

f '(

0

)

 

.

0 0

dưới cũng vậy (hàm số nghịch biến trên (3;+∞) nhưng không có đạo hàm tại x=5). Nên ví dụ của B sai, không thể nói đồ thị hàm số bị gãy thì không có đạo hàm vì nó gãy nhưng vẫn liên tục. 16.Nhóm 4 :Theo em tại những điểm gãy như điểm 0 thì nó không có tiếp tuyến nên không có đạo hàm. 17.Nhóm 1:Cho em hỏi nhóm 4 tại sao nói tại x=0 không có đạo hàm nhưng tại x=0,

 .

21 x 5

2 5

vẫn tính được đạo hàm

f ( x )

 

18.Nhóm 4: do ở đây lấy tiếp tuyến của 2 cái đồ thị đó ta thấy 2 tiếp tuyến không trùng nhau nên hai hệ số góc không bằng nhau thì ở đó không có đạo hàm” và “do nó chỉ có của một

21 x 5

hàm nhỏ trên ( ) thôi, nếu muốn có đạo hàm ở đó thì lim của cả hai bên

phải bằng nhau thì mới có đạo hàm. (lời giải thích thuyết phục được các nhóm) Như vậy là ví dụ của B đúng và A sai? Có đúng như thế không? 19.GV: 20.Cả lớp: Đúng.

Bây giờ ta sang tình huống 3. Tương tự các tình huống trên, ta sẽ xem xét ví dụ của B. Ví dụ của C đúng vì hàm số liên tục trên R và đồ thị hàm số bị gãy tại 3 điểm A, B, C. Điều đó cho ta kết luận gì?

Ví dụ của B đúng hay sai?

21.GV: 22.GV: 23.HS: 24.GV: 25.Cả lớp: Liên tục nhưng không có đạo hàm. 26.GV: 27.Cả lớp: Đúng.