Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Dao động tự do của vỏ nón cụt FGM

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

67
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục và 2 chương chính. Chương 1 - Tiếp cận giải tích: Trình bày các hệ thức cơ bản và các phương trình chuyển động viết qua các thành phần chuyển vị của vỏ nón cụt FGM; diễn giải chi tiết cách giải phương trình chuyển động để tìm ra tần số riêng của vỏ nón. Chương 2 - Tính toán bằng số: Các tính toán số so sánh với các công bố trước đó để khẳng định sự tin cậy của tính toán giải tích và khảo sát các ảnh hưởng của các tham số hình học, vật liệu cũng như tốc độ quay đến tham số tần số của vỏ nón.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Dao động tự do của vỏ nón cụt FGM

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ NGỌC ÁNH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA VỎ NÓN CỤT FGM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ NGỌC ÁNH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA VỎ NÓN CỤT FGM Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. ĐÀO VĂN DŨNG Hà Nội – Năm 2014
LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo PGS. TS Đào Văn Dũng đã tận tình hướng dẫn khoa học và tạo mọi điều kiện giúp đỡ để em có thể hoàn thành luận văn tốt nghiệp này. Em xin cảm ơn các thầy cô bộ môn Cơ học, khoa Toán – Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQGHN đã dạy em những kiến thức cơ bản về phương pháp, nghiên cứu, lý luận để em có thể hoàn thành luận văn một cách thuận lợi nhất. Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến ban lãnh khoa Toán – Cơ – Tin học; trường Đại học Khoa học Tự nhiên, phòng Sau Đại học và ban lãnh đạo Viện Cơ học cùng các đồng nghiệp phòng Cơ học Vật rắn đã tạo mọi điều kiện quan tâm, động viên và giúp đỡ để em hoàn thành luận văn. Cuối cùng, em xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, bạn bè, và những người thân luôn ở bên động viên, khích lệ em trong quá trình hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2014 Lê Thị Ngọc Ánh
Mục lục MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 Chương 1 TIẾP CẬN GIẢI TÍCH .................................................................. 5 1.1 Các hệ thức cơ bản ................................................................................ 5 1.1.1. Vỏ nón vật liệu cơ tính biến thiên ................................................ 5 6 ....................................................................................................................... Hình 1. Hình vẽ vỏ nón cụt ES – FGM ................................................... 6 1.1.2. Phương trình cơ bản ....................................................................... 7 1.2. Phương pháp giải ................................................................................ 11 1.2.1. Điều kiện biên ............................................................................. 12 1.2.2. Dạng nghiệm ................................................................................ 12 1.2.3. Phương trình tìm tần số riêng ................................................... 12 (1.29) .......................................................................................................... 19 Chương 2 – TÍNH TOÁN SỐ ........................................................................ 20 2.1. So sánh kết quả ................................................................................... 20 2.2. Kết quả số cho vỏ nón cụt ES – FGM .............................................. 21 2.2.2. Ảnh hưởng của tỉ phần thể tích .................................................. 24 2.2.3. Ảnh hưởng của tốc độ quay ........................................................ 26 2.2.4. Ảnh hưởng của góc nón .............................................................. 27 2.2.5. So sánh tham số tần số trong trường hợp vỏ nón cụt có gân gia cường và không gân gia cường .............................................................. 28 2.2.6. Ảnh hưởng của tỉ số ................................................................... 30 2.2.7. Ảnh hưởng của tỉ số ................................................................... 30 2.2.8. Ảnh hưởng của số gân ................................................................ 31 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 37 PHỤ LỤC .......................................................................................................... 1
MỞ ĐẦU Vỏ nón có cơ tính biến thiên (FGM) là một trong những kết cấu được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực công nghệ khoa học kỹ thuật như hàng không, tên lửa, động cơ đẩy và các thiết bị vũ trụ khác. Chính vì vậy mà có nhiều bài toán liên quan đến ổn định và dao động của các kết cấu vỏ nón được sự quan tâm của các nhà nghiên cứu. Bài toán dao động tự do đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tần số riêng của vỏ nón. Các kết quả đối với bài toán dao động của kết cấu làm từ vật liệu Composite, trong đó có vật liệu FGM ngày càng công bố nhiều hơn. Hua L. [2] đã phân tích tần số vỏ nón cụt trực hướng với các điều kiện biên khác nhau. Tác giả này [3] cũng đã khảo sát đặc trưng tần số của vỏ nón cụt composite phân lớp với điều kiện biên tựa đơn. Nghiên cứu này dựa trên lý thuyết bậc nhất Love và phương pháp Galerkin có tính đến gia tốc Coriolis để khảo sát sự biến thiên của tham số tần số khi các tham số hình học, mode dao động và tốc độ quay thay đổi. Lam và các cộng sự [5,6] đã đề xuất phương pháp cầu phương vi phân (DQM) đối với các nghiên cứu với ảnh hưởng của các điều kiện biên đến các đặc trưng dao động tự do của vỏ nón cụt. Ở đây có xem xét đến sự ảnh hưởng của góc đỉnh nón đến tham số tần số. Talebitooti và các cộng sự [7] đã đề cập đến dao động tự do của vỏ nón composite có gắn gân dọc và gân tròn. Dựa vào lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất của vỏ và phương pháp cầu phương vi phân QDM, Malekzadeh và Heydarpour [8] đã nghiên cứu ảnh hưởng của gia tốc Coriolis kết hợp với các tham số hình học và vật liệu phân tích dao động tự do của vỏ nón cụt FGM quay với một số điều kiện biên khác nhau. Các kết quả về dao động của vỏ nón, vỏ trụ FGM và các kết cấu tấm hình khuyên 1
với bốn tham số phân bố theo quy luật lũy thừa dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất được nghiên cứu bởi Tornabene và các cộng sự [11]. Trong những năm gần đây, các kết cấu làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) được sử dụng rộng rãi trong các ngành kỹ thuật vì vậy mà các ứng xử dao động cũng như ổn định của tấm và vỏ FGM ngày càng được nhiều quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học. Trong số đó có Sofiyev [9] đã nghiên cứu về dao động và ổn định tuyến tính của vỏ nón cụt FGM không có gân với các điều kiện biên khác nhau. Chính tác giả này cũng đã để xuất dao động phi tuyến [10] của vỏ nón cụt FGM. Đối với các bài toán phân tích tuyến tính thì việc sử dụng lý thuyết vỏ Donnell cải tiến để tìm phương trình chủ đạo và phương pháp Garlekin được sử dụng để tìm ra biểu thức đóng xác định tải vồng tới hạn dạng rẽ nhánh hoặc biểu diễn các tần số cơ bản; trong khi đó phân tích phi tuyến sử dụng lý thuyết chuyển vị lớn dạng von Karman – Donnell của phi tuyến động. Nhận thấy rằng các kết quả công bố trên hầu hết nghiên cứu với các kết cấu không có gân gia cường. Tuy nhiên trong thực tế thì các kết cấu tấm và vỏ bao gồm cả vỏ nón thường được tăng cường bởi hệ thống các gân để đảm bảo độ cứng của khả năng mang tải mà chỉ cần một khối lượng nhỏ được gắn thêm vào. Hiện nay các kết cấu được làm từ FGM ngày càng trở nên phổ biến hơn. Việc nghiên cứu ổn định và dao động các kết cấu FGM dạng tấm và vỏ là một trong những vấn đề được quan tâm hàng đầu nhằm mục đích đảm bảo cho các kết cấu làm việc an toàn và tối ưu. Trong thực tế để tăng cường khả năng làm việc của kết cấu người ta thường gia cố bằng các gân gia cường. Cách làm này có ưu điểm là trọng lượng của gân thêm vào ít mà khả năng chịu tải của kết cấu lại tăng lên 2
nhiều, hơn nữa chỉ cần gia cố ở những vị trí xung yếu, do vậy đây là phương án rất tối ưu về vật liệu. Gần đây, các kết cấu FGM có gân gia cường nhận được nhiều quan tâm nghiên cứu chủ yếu tập trung vào phân tích ổn định, mất ổn định sau vồng và dao động của kết cấu tấm và vỏ của các nhà khoa học trong nước. Tác giả Đ. H. Bích cùng các cộng sự [12] đã để cập đến ứng xử vồng của panel nón FGM chịu tác dụng của tải cơ. Tác giả Đ. V. Dũng cùng các cộng sự [13] đã nghiên cứu sự mất ổn định của vỏ nón cụt có gân gia cường chịu tác dụng của tải cơ. Phương trình cân bằng và ổn định tuyến tính nhận được dựa trên lý thuyết vỏ kinh điển và kỹ thuật san đều tác dụng gân. Nhìn tổng quan các tài liệu chỉ ra rằng vẫn chưa có nhiều các nghiên cứu về dao động tự do của vỏ nón cụt FGM có gân gia cường lệch tâm (ES – FGM ) quay quanh trục đối xứng. Dựa trên tài liệu tham khảo của Hua L. [3], nghiên cứu đặc trưng tần số của vỏ nón cụt composite phân lớp quay quanh trực đối xứng không gân gia cường, luận văn phát triển và nghiên cứu đặc trưng tần số đối với vỏ nón FGM có gân gia cường quay quanh trục đối xứng. Luận văn tập trung vào giải quyết bài toán bằng phương pháp giải tích dựa trên lý thuyết vỏ Donell, kỹ thuật san đều tác dụng gân và phương pháp Galerkin. Các phân tích tiến hành để đánh giá ảnh hưởng của gân, tham số vật liệu và tham số hình học cũng như tác dụng của gia tốc Coriolis (sinh ra do vỏ nón quay với tốc độ quay Ω ) đến tham số tần số đối với dao động tự do của vỏ nón cụt FGM có gân gia cường. Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục và các chương chính như sau: 3
Chương 1. Tiếp cận giải tích: Trình bày các hệ thức cơ bản và các phương trình chuyển động viết qua các thành phần chuyển vị của vỏ nón cụt FGM; diễn giải chi tiết cách giải phương trình chuyển động để tìm ra tần số riêng của vỏ nón. Chương 2. Tính toán bằng số: Các tính toán số so sánh với các công bố trước đó để khẳng định sự tin cậy của tính toán giải tích và khảo sát các ảnh hưởng của các tham số hình học, vật liệu cũng như tốc độ quay đến tham số tần số của vỏ nón. Nội dung cụ thể của các chương sẽ được trình bày dưới đây. 4
Chương 1 TIẾP CẬN GIẢI TÍCH 1.1 Các hệ thức cơ bản 1.1.1. Vỏ nón vật liệu cơ tính biến thiên Xét vỏ nón cụt mỏng FGM có bề dày h , chiều dài L và góc nón α quay quanh trục đối xứng nối tâm nón và chóp nón với tốc độ quay Ω không đổi (Hình 1), trong đó r , R lần lượt là bán kính đáy nhỏ và đáy lớn của vỏ nón cụt. Chọn hệ trục tọa độ đối với vỏ nón là hệ trục tọa độ cong ( x,θ , z ) , trong đó gốc tọa độ đặt tại mặt giữa của vỏ, trục x theo chiều đường sinh tính từ chóp của vỏ nón, trục θ theo chiều của đường tròn và trục z vuông góc với mặt phẳng ( x,θ ), hướng theo pháp tuyến ngoài của nón; x0 là khoảng cách từ chóp nón đến đáy nhỏ r . Kí hiệu u , v và w lần lượt là các thành phần chuyển vị của điểm tại mặt trung bình theo các phương x,θ và z . 5
Hình 1. Hình vẽ vỏ nón cụt ES – FGM Giả sử vỏ nón được làm từ hỗn hợp hai vật liệu là gốm và kim loại với thành phần vật liệu chỉ thay đổi dọc theo chiều dày của vỏ theo quy luật lũy thừa như sau: k �2 z + h � V ( z ) = 1 − V ( z ), Vc ( z ) = � �, m c (1.1) � 2h � trong đó −h / 2 z h / 2 , và k 0 là chỉ số tỉ phần thể tích xác định sự phân bố vật liệu theo bề dày h của vỏ FGM. Các chỉ số dưới c, m kí hiệu tương ứng là thành phần gốm và kim loại. Các tính chất hiệu dụng Preff của vật liệu FGM được xác định bởi công thức: Preff ( z ) = Prc Vc ( z ) + Prm Vm ( z ) (1.2) Theo quy luật đã nêu như trên, ta có mô đun đàn hồi Young E ( z ) và mật độ khối ρ ( z ) được viết dưới dạng sau: 6
k �2 z + h � E ( z ) = E m + Ecm � � � 2h � k (1.3) �2 z + h � ρ ( z ) = ρ m + ρ cm � � � 2h � trong đó E = E − E , ρ = ρ − ρ . cm c m cm c m Hệ số Poisson υ giả thiết là hằng số. 1.1.2. Phương trình cơ bản Sử dụng lý thuyết vỏ Donnell cùng với kỹ thuật san đều tác dụng gân để thiết lập phương trình chủ đạo của vỏ. Vì vậy biến dạng dài và biến dạng trượt tại điểm bất kì cách mặt trung bình một khoảng z có dạng [1]: ε x = ε xm + zk x , ε θ = ε θ m + zkθ , (1.4) γ xθ = γ xθ m + 2 zk xθ , trong đó ε xm , ε θ m là biến dạng dài và γ xθ m là biến dạng trượt tại mặt trung bình của vỏ; k x , kθ và k xθ tương ứng là biến thiên của độ cong và độ xoắn. Các thành phần này có thể viết qua chuyển vị như sau [1] ε xm = u, x , 1 u w εθ m = v,θ + + cot gα , (1.5) x sin α x x 1 v γ xθ m = u,θ − + v, x , x sin α x và 7
k x = − w, xx , 1 cos α w, x (1.6) kθ = − w,θθ + v,θ − , x 2 sin 2 α x 2 sin 2 α x 1 1 cos α cos α k xθ = − w, xθ + 2 w,θ + v, x − 2 v, x sin α x sin α x sin α x sin α Liên hệ giữa ứng suất – biến dạng theo định luật Hooke đối với vỏ nón FGM cho bởi E ( z) σ xsh = ( ε x + υεθ ) , 1−υ2 E ( z) σ θsh = ( εθ + υε x ) , (1.7) 1−υ2 E( z) σ xθ = γ xθ , sh 2( 1 + υ ) và đối với gân σ xs = Esε x , σ θs = Erε θ , (1.8) trong đó các chỉ số sh và s tương ứng kí hiệu là vỏ và gân, Es và Er tương ứng là mô đun đàn hồi của các gân theo phương x và theo phương θ . Để đảm bảo sự liên tục giữa gân và vỏ, các gân được gắn vào sẽ là gân kim loại ở mặt kim loại, và gắn gân bằng gốm nếu mặt vỏ gốm. Để tính đến tác dụng của các gân ta sử dụng kỹ thuật san đều tác dụng gân và bỏ qua sự xoắn của gân bởi vì các hằng số xoắn này là nhỏ hơn rất nhiều so với momen quán tính. Thêm vào nữa, sự thay đổi của khoảng cách giữa các gân dọc theo đường sinh cũng được tính đến. Lấy tích phân các phương trình liên hệ ứng suất biến dạng và momen của 8
chúng theo bề dày của vỏ ta được biểu thức của tổng nội lực, tổng momen và các lực cắt của vỏ nón ES FGM như sau: � EA � N x = �A11 + s 1 � ε xm + A12εθ m + [ B11 + C1 ( x )] k x + B12kθ , � d1 ( x ) � � EA � Nθ = A12ε xm + �A22 + r 2 � εθ m + B12k x + ( B22 + C2 )kθ , (1.9) � d2 � N xθ = A66γ xθ m + 2 B66k xθ , � EI � M x = [ B11 + C1 ( x ) ] ε xm + B12εθ m + �D11 + s 1 � k x + D12 kθ , � d1 ( x ) � � EI �, (1.10) M θ = B12ε xm + ( B22 + C2 )ε θ m + D12 k x + �D22 + r 2 � kθ � d 2 � M xθ = B66γ xθ m +2 D66 k xθ , trong đó các hệ số Aij , Bij và Dij được cho bởi công thức sau h + h1 h + h2 C = Er A2 z2 A1 = b1h1 , A2 = b2 h2 , z1 = , z2 = , 2 , d1 ( x) = λ0 x , 2 2 d2 L 2π sin α C10 C 0 = Es A1 z1 d2 = λ , 0 = , C1 ( x) = , 1 . nr ns x λ0 1 1 I1 = b1h13 + A1 z12 , I 2 = b2 h23 + A2 z22 , 12 12 E1 υ E1 E1 A11 = A22 = , A = , A66 = , (1.11) 1−υ2 12 1−υ2 2(1 + υ ) E2 υ E2 E2 B11 = B22 = , B = , B66 = , 1−υ2 12 1−υ2 2(1 + υ ) 9
E3 υ E3 E3 D11 = D22 = , D = , D66 = , 1−υ2 12 1−υ2 2(1 + υ ) và Ecm h E1 = Em h + , k +1 � 1 1 � E2 = Ecm h 2 � − , (1.12) (k + 2) (2k + 2) � � � 1 1 1 1 ￹ . E3 = Em h3 + Ecm h3 − + 12 k + 3 k + 2 (4k + 4) ￺￻ Ở đây kí hiệu ns , nr tương ứng là số gân dọc theo đường sinh và số gân vòng; h1 , b1 là bề dày, chiều rộng của gân dọc (theo phương x ) và h2 , b2 là bề dày, chiều rộng của gân vòng (theo phương θ ). Và d1 = d1 ( x) , d 2 tương ứng là khoảng cách giữa hai gân dọc và hai gân vòng. Các đại lượng A1 , A2 là phần diện tích mặt cắt ngang của các gân . I1 , I 2 là các momen quán tính bậc hai của phần cắt ngang các gân liên hệ với mặt trung bình của vỏ; và z1 , z2 biểu diễn độ lệch tâm của các gân dọc và gân vòng so với mặt giữa của vỏ. Phương trình chuyển động đối với bài toán dao động tự do của vỏ nón cụt ES FGM có dạng [2,3] Nx 1 N xθ Nθo � 2u w� 1) + + 2 2 � 2 − x cos α sin α � x x sin α θ x sin α � θ x� 1 � ρ � v � ρ 3 � 2u + ( N x − Nθ ) + 2 �ρ 2 + 3 � Ω sin α − ρ 2 + � 2 = 0, x � x � t � � x �t 10
N xθ 1 Nθ cot α M xθ cos α M θ 2) + + + 2 2 x x sin α θ x x x sin α θ Nθo 2 u u v 2 N xθ + 2 2 x sin α + sin α + x sin 2 α + x sin α x θ θ x x � ρ3 �� u w� � ρ3 � 2v −2Ω �ρ 2 + �� sin α + cos α �− ρ 2 + � 2 = 0, � x �� t t �� x �t 2 2 2 Mx 2 M xθ 1 Mθ 2 M x 3) + + 2 2 + x 2 x sin α θ x x sin α θ2 x x 2 1 Mθ Nθo � w u� − + 2 2 � 2 − x sin α cos α � x x x sin α � θ x� Nθo cot α + 2 2 ( w cos 2 α + u sin α cos α ) − Nθ x sin α x � ρ � v � ρ � 2w +2 �ρ 2 + 3 �Ω cos α − �ρ 2 + 3 � 2 = 0, (1.13) � x � t � x �t � ρ �2 2 2 trong đó Nθ = �ρ 2 + 3 � Ω x sin α , Ω (rad/s) là tốc độ quay của vỏ nón. 0 � x � � ρ − ρm � A2 ρ s A1 ρ 2 = �ρm + c �h + ρ r d , ρ3 = λ . (1.14) � k +1 � 2 0 Ở đây ρ r , ρ s là mật độ khối của gân vòng và gân dọc tương ứng. 1.2. Phương pháp giải Trong phần này phương trình xác định tần số dao động của vỏ nón cụt ES – FGM được tìm bằng phương pháp giải tích. 11
1.2.1. Điều kiện biên Giả sử rằng vỏ nón tựa đơn ở hai đầu. Khi đó điều kiện biên được viết dưới dạng như sau: v = 0, w = 0 tại x = x0 , x0 + L , N x = 0, M x = 0 tại x = x0 , x0 + L . (1.15) 1.2.2. Dạng nghiệm Nghiệm gần đúng thỏa mãn các điều kiện biên (1.15) có thể chọn dưới dạng mπ ( x − x0 ) u = U cos cos(nθ + ωt ), L mπ ( x − x0 ) v = V sin sin(nθ + ωt ), L (1.16) mπ ( x − x0 ) w = W sin cos(nθ + ωt ), L trong đó m, n lần lượt là số nửa sóng hướng theo dọc đường sinh vỏ nón và số sóng theo hướng vòng tương ứng; ω (rad /s) là tần số riêng của vỏ nón quay. 1.2.3. Phương trình tìm tần số riêng Trước hết thế các phương trình liên hệ giữa nội lực, momen với biến dạng ở (1.9) và (1.10) vào hệ phương trình (1.13) ta được T11 (u ) + T12 (v) + T13 ( w) = 0, (1.17) T21 (u ) + T22 (v) + T23 ( w) = 0, (1.18) T31 (u ) + T32 (v) + T33 ( w) = 0, (1.19) 12
trong đó � Es A1 � 2 1 � ρ3 � 2 ￹ 2 A11 T11 = �A11 + � 2 + 2 2 A66 + �ρ2 + � Ω ￺ + � λ0 x � x x sin α � x � ￻ θ 2 x x 1 � Er A2 � ρ3 2 − A � 22 + �−( ρ + ) , x2 � d2 � 2 x t 2 1 cotα ￹ 2 1 T12 = ( A12 + A66 ) +( B12 + 2 B66 ) 2 − x sin α x sin α ￺￻ x θ x 2 sin α � Er A2 � cotα ￹ �A22 + + A66 �+( B12 + 2 B66 + B22 + C2 ) 3 � d2 � x sin α ￺￻ θ � ρ � +2 �ρ 2 + 3 �Ω sin α , � x � t � C0 � 3 1 3 B11 2 1 T13 = − �B11 + 1 � 3 − 2 2 (B12 + 2 B66 ) − + � x �x x sin α x θ2 x x 2 x sin α 3 2 2 1 1 (B12 + 2B66 + B22 + C2 ) + A12 cot α + 2 ( B22 + C2 ) θ2 x x � ρ � cot α � Er A2 � − �ρ 2 + 3 �Ω 2 xcosα sin α ￹￻ − �A22 + �, � x � x x2 � d2 � 1 cot α � ρ �2 ￹ 2 T21 = ( A12 + A66 ) + 2 (B12 + B66 ) + �ρ 2 + 3 � Ω x sin α ￺ x sin α x sin α � x � ￻ x θ 1 � Er A2 � cot α + �A22 + + A 66 �+ 3 ( B22 + C2 − B66 ) x sin α 2 � d 2 � x sin α � ρ � � ρ � + �ρ2+ 3 �Ω 2 sin α ￹￻ −2 �ρ 2 + 3 �Ω sin α ; � x � θ � x � t 13
3cot α 2cot 2 α ￹ 2 1 � Er A2 � T22 = A66 + B66 + D66 ￺ + �A22 + � x x 2 ￻ x2 x sin 2 α 2 � d2 � 2cot α cot 2 α � ￹ Er I 2 � 2 + 3 2 ( B22 + C2 ) + 4 2 �D22 + � ￺ x sin α x sin α � d2 � ￻ θ 2 1 cot α 4cot 2 α � ρ3 � 2 ￹ + A66 − 2 B66 − D66 + �ρ 2 + Ω � x sin 2 α ￺ x x x3 � x � ￻ x 1 cot α 4cot 2 α ￹ � ρ3 � 2 + − 2 A66 + 3 B66 + D66 ￺ − ρ �2 + � 2, x x x4 ￻ � x �t 1 cot α ￹ 3 T23 = − ( B12 + 2 B66 ) + ( D12 + 2 D66 ) 2 x sin α x sin α ￺￻ x2 θ 1 cot α � ￹ Er I 2 � 3 − 3 ( B22 + C2 ) + 4 3 �D22 + � ￺ x sin 3 α x sin α � d2 � ￻ θ 3 1 cot α � ￹ Er I 2 � 2 + − ( B22 + C2 ) + 3 4 D � 66 − D22 − � ￺ x sin α 2 x sin α � d2 � ￻ x θ cot α � Er A2 � 4cot α cot 2 α ￹ + �A22 + �− 4 D66 + 3 ( B22 + C2 ) ￺ x sin α � 2 d 2 � x sin α x sin α ￻ θ � ρ � −2 �ρ2 + 3 �Ωcosα , � x � t � C10 � 3 2 2 ( B12 + 2 B66 ) 3 1 T31 = �B11 + � 3 + B + + 3 2 � x �x x 11 x 2 x sin α 2 2 x θ 2 x sin α 2 cot α 1 ( B22 + C2 − 2 B66 ) − A12 + 2 ( B22 + C2 ) + θ2 x x 14
� ρ3 � 2 1 cot α � EA � �ρ 2 + �Ω x sin α cosα ￹￻ + 3 ( B22 + C2 ) − 2 �A22 + r 2 � � x � x x x � d2 � � ρ � + �ρ 2 + 3 � Ω 2 sin α cosα , � x � 1 cotα ￹ 3 T32 = ( B12 + 2 B66 ) + ( D12 + 4 D66 ) 2 x sin α x sin α ￺￻ x2 θ 1 cotα � ￹ Er I 2 � 3 + 3 3 ( B22 + C2 ) + 4 3 �D22 + � ￺ x sin α x sin α � d2 � ￻ θ 3 cotα � EI � 1 ￹ 2 − �2( D12 + 4 D66 ) + D22 + r 2 �+ (B22 + C2 +2 B66 ) 2 x3 sin α � d2 � x sin α ￺￻ x θ 2cot α � Er I 2 � (1 − cot 2 α )( B22 + C2 ) + 2 B66 + D � 12 + 4 D66 + D22 + �+ x 4 sin α � d2 � x3 sin α cot α � ￹ Er A2 � � ρ � − A � 22 + � ￺ +2 �ρ 2 + 3 �Ωcosα , x sin α � 2 d2 � ￻ θ � x � t � Es I1 � 4 1 � Er I 2 � 4 2( D12 + 2 D66 ) T33 = − �D11 + � 4 − D � 22 + � 4 − � λ0 x � x x 4 sin 4 α � d 2 �θ x 2 sin 2 α 4 2 3 2 3 2cot α − D11 3 + 3 2 ( D12 + 4 D66 ) + B12 x2 θ 2 x x x sin α x θ2 x 1� ￹ Er I 2 � 2 2cot α + 2 �D22 + � ￺ + ( B22 + C2 ) x � d2 � ￻ x 2 x 3 sin 2 α 15