Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Sử dụng toán học hóa để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

---------------------

NGUYỄN THỊ TÂN AN

SỬ DỤNG TOÁN HỌC HOÁ ĐỂ PHÁT TRIỂN

CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG

CỦA HỌC SINH LỚP 10

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán

Mã số: 62 14 01 11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. TRẦN VUI

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu do tôi thực hiện. Các

số liệu và kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa được

công bố bởi bất kỳ tác giả nào hay ở bất kỳ công trình nghiên cứu nào

khác.

Tác giả

1

Nguyễn Thị Tân An

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô giáo khoa Toán trường

ĐHSP Huế, tổ Didactic Toán trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh, phòng

Sau đại học trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh đã hỗ trợ, giúp đỡ, tạo

điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả làm Nghiên cứu sinh cũng như đã

đưa ra những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận án.

Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

giáo PGS. TS. Trần Vui, người đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt tác giả trong

suốt thời gian qua.

Tác giả xin trân trọng cám ơn sự hợp tác, giúp đỡ từ phía giáo viên

và học sinh các trường THPT Đặng Huy Trứ, THPT Nguyễn Huệ và THPT

Hai Bà Trưng, Tỉnh Thừa Thiên Huế trong thời gian tác giả tổ chức thực

nghiệm đề tài.

Cuối cùng, tác giả xin chân thành cám ơn bạn bè, đồng nghiệp, gia

đình luôn động viên, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận án này.

Do điều kiện chủ quan và khách quan, bản luận án chắc chắn còn

những thiếu sót. Tác giả rất mong những ý kiến đóng góp để tiếp tục hoàn

thiện, nâng cao chất lượng vấn đề nghiên cứu.

Tác giả

2

Nguyễn Thị Tân An

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ............................................................................................................................. 11

CHƯƠNG 1 ......................................................................................................................... 23

TOÁN HỌC HÓA VÀ HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG .......................................................... 23

1.1 MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC ....................................................................................... 23

1.1.1 Các khái niệm cơ bản .................................................................................................. 24

1.1.2 Khái niệm mô hình hóa toán học ................................................................................ 26

1.1.3 Sơ đồ quá trình mô hình hóa toán học ........................................................................ 26

1.1.4 Sự khác nhau giữa mô hình hóa và áp dụng toán ....................................................... 30

1.1.5 Nền tảng lịch sử và các tiếp cận mô hình hóa trong giáo dục toán............................. 33

1.1.6 Toán học hóa ............................................................................................................... 36

1.1.7 Phân tích việc dạy học sử dụng toán học hóa dưới quan điểm lý thuyết kiến tạo xã hội

............................................................................................................................................. 40

1.2 HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG .......................................................................................... 42

1.2.1 Khái niệm hiểu biết định lượng .................................................................................. 42

1.2.2 Mối quan hệ giữa Hiểu biết định lượng và Toán học ................................................. 48

1.2.3 Các thành phần liên quan đến hiểu biết định lượng .................................................... 49

1.2.4 Sơ lược lịch sử của hiểu biết định lượng .................................................................... 58

1.3 MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC HÓA VÀ HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG ............. 61

CHƯƠNG 2 ......................................................................................................................... 66

SỬ DỤNG TOÁN HỌC HÓA ĐỂ PHÁT TRIỂN .............................................................. 66

CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG ................................................................. 66

2.1 XÂY DỰNG QUÁ TRÌNH TOÁN HỌC HÓA PHÙ HỢP VỚI CHƯƠNG TRÌNH

TOÁN PHỔ THÔNG HIỆN NAY ...................................................................................... 66

3

Trang

2.1.1 Các tình huống toán học ............................................................................................. 66

2.1.2 Tìm hiểu thể hiện của mô hình hóa trong chương trình ............................................. 72

2.1.3 Những khó khăn thường gặp khi sử dụng MHH trong lớp học toán .......................... 79

2.1.4 Xây dựng quá trình toán học hóa ................................................................................ 80

2.2 THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG TOÁN HỌC HÓA ................................................... 83

2.2.1 Lựa chọn nội dung toán .............................................................................................. 83

2.2.2 Tiêu chí thiết kế tình huống ........................................................................................ 88

2.2.3 Thiết kế tình huống ..................................................................................................... 89

2.2.4 Các mức độ của tình huống toán học hóa ................................................................... 91

2.2.5 Thử nghiệm và sửa chữa ............................................................................................. 95

2.3 XÂY DỰNG THANG ĐÁNH GIÁ ĐỂ ĐO MỨC ĐỘ PHÁT TRIỂN CÁC NĂNG

LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG CỦA HỌC SINH QUA QUÁ TRÌNH TOÁN HỌC

HÓA ................................................................................................................................... 101

CHƯƠNG 3 ....................................................................................................................... 110

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................................................ 110

3.1 MỤC ĐÍCH, NGỮ CẢNH VÀ KẾ HOẠCH THỰC NGHIỆM ................................. 110

3.1.1 Mục đích thực nghiệm .............................................................................................. 110

3.1.2 Ngữ cảnh thực nghiệm .............................................................................................. 110

3.1.3 Kế hoạch thực nghiệm .............................................................................................. 112

3.1.4 Tổ chức dạy học thực nghiệm ................................................................................... 113

3.1.5 Thu thập dữ liệu và phân tích ................................................................................... 114

3.2 PHÂN TÍCH KẾT QUẢ CÁC TÌNH HUỐNG THỰC NGHIỆM ............................. 115

3.2.1 Tình huống thực nghiệm 1 ........................................................................................ 115

3.2.2 Tình huống thực nghiệm 2 ........................................................................................ 126

3.2.3 Tình huống thực nghiệm 3 ........................................................................................ 135

4

3.2.4 Tình huống thực nghiệm 4 ........................................................................................ 145

3.2.5 Sự phát triển năng lực hiểu biết định lượng thể hiện qua bốn buổi dạy học thực

nghiệm ............................................................................................................................... 153

3.3 PHÂN TÍCH KẾT QUẢ BÀI KIỂM TRA PRETEST VÀ POSTTEST ..................... 160

3.3.1 Bài kiểm tra pretest ................................................................................................... 160

3.3.2 Bài kiểm tra posttest ................................................................................................. 167

3.3.3 Sự phát triển năng lực hiểu biết định lượng của học sinh thể hiện qua hai bài kiểm tra

........................................................................................................................................... 176

3.4 PHÂN TÍCH KẾT QUẢ BẢNG HỎI ......................................................................... 180

3.4.1 Mục đích của việc học toán ...................................................................................... 181

3.4.2 Khó khăn khi giải quyết các tình huống ................................................................... 181

3.4.3 Nắm được quá trình toán học hóa ............................................................................. 182

3.4.4 Tự đánh giá về sự tiến bộ .......................................................................................... 184

3.4.5 Thái độ đối với các tình huống thực tế ..................................................................... 185

KẾT LUẬN ........................................................................................................................ 188

CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ ................................................................... 193

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 194

PHỤ LỤC .......................................................................................................................... 200

PHỤ LỤC 1 ....................................................................................................................... 200

5

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT : Hiệp hội các trường Đại học ở Mỹ

AAC&U

ĐH : Đại học

HBĐL : Hiểu biết định lượng

HS : Học sinh

MHH : Mô hình hóa

PISA : Chương trình đánh giá học sinh quốc tế

SBT : Sách bài tập

SGK : Sách giáo khoa

SGV : Sách giáo viên

TB : Trung bình

THH : Toán học hóa

6

THPT : Trung học phổ thông

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang

Bảng 1.1 Tỷ giá ngoại tệ ........................................................................................... 44

Bảng 1.2 Dân số và diện tích của các đảo ở Indonesia năm 1980 ............................ 47

Bảng 1.3 Các năng lực HBĐL thể hiện qua quá trình toán học hóa ......................... 63

Bảng 2.1 Thống kê số tình huống toán học trong SGK ............................................ 72

Toán 10 cơ bản và nâng cao ...................................................................................... 72

Bảng 2.2 Thống kê các tình huống toán học ở SGK và SBT Đại số 10 Nâng cao ... 73

Bảng 2.3 Thống kê các tình huống toán học ở SGK, SBT Hình học 10 Nâng cao .. 74

Bảng 2.4 Tỉ lệ các tình huống toán học trong SGK và SBT Toán 10 Nâng cao ...... 74

Bảng 2.5 Thống kê tình huống mô hình toán theo chủ đề ........................................ 76

Bảng 2.6 Nội dung toán ............................................................................................ 84

Bảng 2.7 Các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế - SGK Toán 10 Nâng cao

(không kể chương Thống kê) .................................................................... 85

Bảng 2.8 Các tình huống THH chứa đựng yếu tố định lượng (Xem nội dung chi tiết

ở phụ lục 3) ............................................................................................... 90

Bảng 2.9 Các mức độ của tình huống toán học hóa .................................................. 92

Bảng 2.10 Phân loại các tình huống THH theo mức độ phức tạp ............................. 92

Bảng 2.11 Các tình huống dạy thực nghiệm và kiểm tra .......................................... 95

Bảng 2.12 Sắp xếp các tình huống theo mục đích thực nghiệm ............................. 101

Bảng 2.13 Thang đánh giá năng lực giao tiếp với toán học .................................... 103

Bảng 2.14 Thang đánh giá năng lực phân tích và xây dựng mô hình toán học ...... 104

Bảng 2.15 Thang đánh giá năng lực suy luận ......................................................... 105

Bảng 2.16 Thang đánh giá năng lực sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực

hiện các phép toán .................................................................................. 106

Bảng 2.17 Thang đánh giá năng lực biểu diễn ........................................................ 107

Bảng 2.18 Thang đánh giá năng lực giải quyết vấn đề ........................................... 108

Bảng 3.1 Kết quả thống kê điểm trung bình môn Toán của học sinh lớp 10A2 ..... 111

Bảng 3.2 Kết quả thống kê điểm pretest và postest ................................................ 177

7

Bảng 3.3 Điểm trung bình đối với mỗi câu ............................................................. 177

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

Trang Sơ đồ 1.1 Sơ đồ quá trình MHH của Pollak (1979) .................................................. 28

Sơ đồ 1.2 Sơ đồ quá trình MHH của Blum và Leiß (2006) ...................................... 29

Sơ đồ 1.3 Sơ đồ quá trình MHH của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards (2007) ... 30

Sơ đồ 1.4 Các hoạt động của quá trình toán học hóa ................................................ 37

Sơ đồ 1.5 Toán học hóa trong quá trình mô hình hóa ............................................... 38

Sơ đồ 1.6 Quá trình toán học hóa theo PISA ............................................................ 39

Sơ đồ 1.7 Mối quan hệ giữa hiểu biết định lượng và các loại hiểu biết khác ........... 43

Sơ đồ 1.8 Ba thành phần liên quan đến HBĐL (Hogan, 2000, [33]) ........................ 50

Sơ đồ 2.1 Quá trình MHH mô phỏng theo Stillman, Galbraith, Brown, Edwards ... 67

Sơ đồ 2.2 Ba giai đoạn đơn giản hóa một tình huống thực tế ................................... 68

Sơ đồ 2.3 Mức độ phức tạp của các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế ............. 69

Sơ đồ 2.4 Phân loại các tình huống toán học ............................................................ 69

8

Sơ đồ 2.5 Quá trình toán học hóa .............................................................................. 81

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Trang Hình 1.1 Mái che di động .......................................................................................... 31

Hình 1.2 Mô hình toán cho tình huống mái hiên ...................................................... 32

Hình 1.3 Khoảng cách giữa hai tàu ........................................................................... 33

Hình 1.4 Sự khác nhau giữa áp dụng toán và mô hình hóa ...................................... 33

Hình 1.5 Chương trình ca nhạc ngoài trời................................................................. 44

Hình 1.6 Chiều cao trung bình của giới trẻ ở Hà Lan năm 1998 .............................. 45

Hình 1.7 Cửa hàng áo quần ....................................................................................... 45

Hình 1.8 Đèn hiệu giao thông và xe cứu thương ...................................................... 46

Hình 1.9a Tổng giá trị xuất khẩu từ Zedland 1996 – 2000 ....................................... 47

Hình 1.9b Phân phối xuất khẩu ở Zedland năm 2000 ............................................... 47

Hình 1.10 Bánh Pizza ................................................................................................ 51

Hình 1.11 Khoảng cách giữa hai gót chân liên tiếp .................................................. 57

Hình 1.12 Trải thảm .................................................................................................. 62

Hình 2.1a Ly cocktail thủy tinh................................................................................. 70

Hình 2.1b Các ly thủy tinh với kích thước khác nhau .............................................. 70

Hình 2.1c Phần thân ly cùng với đường kính và dung tích ....................................... 71

Hình 2.1d Phần thân ly với chiều cao H và thể tích V .............................................. 71

Hình 2.2a Ném bóng ................................................................................................. 86

Hình 2.2b Đá bóng .................................................................................................... 86

Hình 2.2c Trượt tuyết ................................................................................................ 86

Hình 2.2d Biểu diễn mô tô bay ................................................................................. 86

Hình 2.3a Cầu Golden Gate ở San Francisco – California, Mỹ ................................ 86

Hình 2.3b Cầu cảng Sydney, Úc ............................................................................... 86

Hình 2.3c Tháp Eiffel, Pháp ...................................................................................... 87

Hình 2.3d Hồ cá hải dương học ở Valencia, Tây Ban Nha ....................................... 87

9

Hình 2.4… ................................................................................................................. 87

Hình 2.5a Đo chiều cao ngọn núi .............................................................................. 88

Hình 2.5b Ví trí hai diễn viên nhào lộn có thể “bắt” nhau ........................................ 88

Hình 2.5c Dắt sà lan biển với hai tàu kéo ................................................................. 88

Hình 2.5d Xác định vị trí trên biển ........................................................................... 88

Hình 3.1 Biểu đồ tần số hình cột ............................................................................. 111

Hình 3.2 Kế hoạch thực nghiệm ............................................................................. 113

Hình 3.3 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Út và nhóm Nguyệt .... 154

Hình 3.4 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Duyệt, Việt và Phú ..... 155

Hình 3.5 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Thiện .......................... 155

Hình 3.6 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Phượng và nhóm Mơ . 156

Hình 3.7 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Nhi và nhóm An ......... 157

Hình 3.8 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Hòa và nhóm Linh ..... 157

Hình 3.9 Mức độ trung bình của các năng lực HBĐL qua bốn buổi thực nghiệm . 158

Hình 3.10 Biểu đồ đường biểu diễn điểm trung bình mỗi câu ................................ 178

Hình 3.11 Biểu đồ hình hộp điểm của hai bài kiểm tra .......................................... 178

Hình 3.12 Biểu đồ đám mây điểm của điểm pretest và postest .............................. 179

Hình 3.13 Điểm trung bình của các năng lực HBĐL qua hai bài kiểm tra ............. 179

Hình 3.14 Điểm trung bình của các năng lực HBĐL qua hai bài kiểm tra và bốn

10

buổi thực nghiệm ................................................................................... 180

MỞ ĐẦU

1. Giới thiệu về hiểu biết định lượng

Trong lớp học toán, học sinh thường áp dụng các quá trình toán đã được học vào

những nhiệm vụ cụ thể. Nhưng để sử dụng các quá trình đó một cách linh hoạt và

phù hợp khi cần thiết ở bên ngoài lớp học thì học sinh cần hiểu ý nghĩa đằng sau các

phép toán, các quá trình, các khái niệm và có khả năng kết nối các ý tưởng toán học

khác nhau. Kiến thức được học để hiểu và có thể sử dụng khi cần thiết là quan trọng

hơn học để ghi nhớ, thuộc lòng. Nếu học sinh tập luyện và thực hành một quá trình

mà không hiểu ý nghĩa của quá trình đó thì khó có thể sử dụng trong các tình huống

thực tế một cách phù hợp.

Ví dụ: Học sinh lớp 5 có thể dễ dàng trả lời câu hỏi “21000 ×1,3 = ?” bằng cách sử

dụng quy tắc nhân với số thập phân đã được học. Tuy nhiên, trong trường hợp

không có giấy viết hoặc máy tính trên tay, chẳng hạn “đi chợ, em mua 1,3 kg táo,

giá mỗi kilogam táo là 21000 đồng, vậy em phải trả bao nhiêu tiền?”, học sinh cần

có khả năng tính nhẩm. Khi hiểu quy tắc thực hiện phép nhân, nhân một số thập

phân với 10, hiểu vị trí của các chữ số, tính chất phân phối của phép nhân đối với

phép cộng, học sinh có thể thay thế 21000 × 1,3 bởi 2100 ×13 và tính nhẩm bằng

cách 2100 ×10+2100 ×3 hoặc 2000 ×13+100 ×13 hoặc 21000+2100 ×3. Không phải

học sinh lớp 5 nào cũng trả lời đúng trong tình huống này.

Hoặc dựa vào sơ đồ (hình 1) biểu diễn doanh thu đạt được (phần màu đen) so với

mục tiêu đề ra ban đầu (phần màu trắng) của hai công ty A và B trong năm 2012,

một học sinh so sánh như sau: để đạt được mục tiêu, công ty A cần tăng thêm 50

triệu VNĐ, công ty B chỉ cần tăng thêm 30 triệu VNĐ do đó công ty B gần đạt mục

tiêu hơn. Một học sinh khác sử dụng tỉ lệ để so sánh và nhận thấy công ty A gần đạt

mục tiêu ban đầu hơn vì đã thực hiện được 5/6 (83,33%) mục tiêu của mình trong

11

khi công ty B chỉ đạt 3/4 (75%).

350

300

250

200

Mục tiêu

Doanh thu

150

100

50

0

Công ty A

Công ty B

triệu VNĐ

Hình 1. Doanh thu đạt được so với mục tiêu đề ra của công ty A và B

Trong ví dụ trên, hiểu các khái niệm phân số, phần trăm cho phép học sinh đưa ra

lời giải ý nghĩa khi so sánh các phần của các đại lượng có kích thước khác nhau.

Khả năng học sinh sử dụng kiến thức toán đã học để giải quyết hiệu quả các tình

huống thực tế, như hai ví dụ trên, là những biểu hiện của hiểu biết định lượng (HBĐL).

2. Lý do chọn đề tài

2.1 Nhu cầu từ thực tế

Thế kỉ 21 là một thế kỉ tràn ngập các số liệu. Chúng ta có thể tìm thấy rất nhiều ví

dụ trong cuộc sống hàng ngày và trên các phương tiện truyền thông, ở đó đòi hỏi

khả năng phân tích, xử lý thông tin một cách “hiểu biết” để đưa ra những nhận định

có cơ sở (Steen, 2001, [57]):

- Các bài viết sử dụng các phép đo định lượng để báo cáo sự gia tăng giá xăng

(phụ lục 1), thay đổi trong tỉ lệ đậu đại học, nguy hiểm chết người từ bệnh ung

thư đường ruột.

- Các quảng cáo sử dụng các con số để cạnh tranh về giá của các hợp đồng điện

12

thoại (phụ lục 2), cho vay mua xe ô tô với lãi suất thấp.

- Các bản tin thể thao thường có nhiều thống kê về các đội thi đấu và tỉ lệ thắng

thua cho những trận đấu sắp tới.

- Hoặc gần gũi hơn đối với cuộc sống của mỗi cá nhân như đọc hiểu lịch trình

xe buýt, hiểu các loại hóa đơn (điện, nước, điện thoại), lên kế hoạch chi tiêu,

trang trí sắp xếp đồ đạc trong nhà.

Cuộc điều tra của Hiệp hội các trường Đại học ở Mỹ AAC&U (Association of

American Colleges and Universities) năm 2009 đã chỉ ra mối quan tâm của những

người sử dụng lao động về các kĩ năng HBĐL, họ nhận thấy rằng gần như tất cả

sinh viên ngày nay sẽ cần một lớp rộng các kĩ năng HBĐL để có thể thực hiện tốt

công việc của nghề nghiệp tương lai. “Để thành công ở nơi làm việc, HBĐL là một

trong những nhân tố cần thiết” (Steen, 2001, [57]).

2.2 Sự thay đổi nhu cầu toán học của xã hội

Mọi người thường nghĩ toán học là một môn học không thay đổi từ trước đến nay,

bao giờ cũng gồm các công thức, khái niệm, định lý, chứng minh, thuật toán... Thực

ra, các phát minh toán học đã phát triển với tốc độ nhanh chóng trong ba thế kỉ qua,

cùng lúc đó vai trò của toán học trong xã hội cũng được mở rộng chứ không còn

hạn chế với một số lĩnh vực như trước đây. Điều này đòi hỏi một sự gia tăng về

HBĐL và yêu cầu để đưa HBĐL vào trường học (Hallett, 2003, [32]).

Quan trọng hơn là ngày càng có nhiều người cần phải sử dụng tư duy định lượng ở

nơi làm việc, trong giáo dục và hầu như mọi lĩnh vực khác của xã hội. Ví dụ:

- Nông dân sử dụng kiến thức toán để tính lượng hạt giống, phân bón, hóa chất

cần thiết cho đất canh tác của mình, hoặc tính toán chi phí đầu tư bao gồm chi

phí giống, công lao động, máy móc, phân bón hóa học, từ đó ước lượng giá

thành của sản phẩm.

- Một đầu bếp cần có hiểu biết về tỉ lệ để có thể tăng hoặc giảm số lượng mà

13

không ảnh hưởng đến tỉ lệ các thành phần của một công thức nấu ăn.

- Luật sư sử dụng các bằng chứng thống kê và những lập luận liên quan đến xác

suất để thuyết phục thành viên ban hội thẩm.

2.3 Quan tâm của các nghiên cứu trong giáo dục

Con người cần những năng lực toán nào để thành công trong xã hội ngày nay? Câu

hỏi này đã đưa các nhà giáo dục đến việc nghiên cứu chương trình và chỉ ra những

nhu cầu liên quan đến học sinh. Một trong những mục tiêu mà giáo dục toán hướng

đến là khuyến khích mối liên hệ giữa kiến thức, kĩ năng thu nhận được trong lớp

học với khả năng thực hiện các tình huống thực tế đòi hỏi sử dụng các kiến thức, kĩ

năng đó. Ngoài ra, ngày càng có nhiều nhà giáo dục nhận ra tầm quan trọng của

HBĐL trong thế giới hiện nay:

- “HBĐL là một loại hiểu biết cần thiết trong thời đại của chúng ta” (Skalicky,

2004, [56]).

- “Trong thế kỉ 21, HBĐL sẽ trở thành một đặc trưng không thể tách rời của một

người có giáo dục” (Steen, 2001, [57]).

- “Khi bước vào thế kỉ 21, một người hiểu biết phải có khả năng đương đầu với

các thông tin định lượng” (Wiggins, 2003, [71]).

- “HBĐL cho con người công cụ để nhìn thế giới xung quanh với con mắt toán

học, để thấy được các lợi ích cũng như những rủi ro trong các tình huống

thông thường và tiếp cận các vấn đề phức tạp với sự tự tin khi đã suy luận một

cách cẩn thận” (Madison, 2006, [42]).

- “Khi xã hội ngày càng phụ thuộc vào thông tin và khi công nghệ ngày càng trở

thành một phần của cuộc sống thì nhu cầu HBĐL càng gia tăng” (Shavelson,

2008, [53]).

Theo Hallett (2003, [32]), sự gia tăng này là cần thiết bởi vì “nếu năng lực HBĐL

hạn chế thì khả năng để các công dân đưa ra những quyết định thiếu hiểu biết ở nơi

14

làm việc, nơi công cộng và trong cuộc sống cá nhân sẽ tăng”. Kaiser (2005, [35])

cũng cho rằng, đây là một phản ứng tự nhiên khi thế giới chuyển từ thời đại công

nghiệp sang thời đại thông tin.

Trên phạm vi toàn cầu, HBĐL đã và đang thu hút nhiều sự quan tâm của các tổ

chức giáo dục có uy tín, chẳng hạn:

- Nhiều hội nghị giữa các nhà giáo dục, các nhà toán học, những nhà lãnh đạo

công nghiệp, những người tham gia trong lĩnh vực giáo dục nhà trường trao

đổi xung quanh vấn đề làm thế nào để gia tăng HBĐL cho con người ngày nay

một cách thích hợp để họ có thể đương đầu với những thách thức định lượng

của cuộc sống trong thế kỉ 21.

IALS (The International Adult Literacy Survey) – một chương trình điều tra -

quốc tế về hiểu biết của người trưởng thành trên quy mô lớn được thiết kế để

xác định và đo lường các kĩ năng cần thiết của một cá nhân tham gia hiệu quả

vào xã hội thông tin hiện nay, bao gồm HBĐL, giải quyết vấn đề, sử dụng

công nghệ thông tin.

- NECQL (Northeast Consortium on Quantitative Literacy) Diễn đàn vùng

Đông Bắc về HBĐL – là một diễn đàn thảo luận và phổ biến các thông tin liên

quan đến HBĐL được tổ chức vào mùa xuân hàng năm tại các trường ĐH tại

Mỹ.

- Năm 2000, chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA (Programme for

International Student Assessment) của tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế

OECD (Organisation for Economic Co-operation and Development) bắt đầu

một cuộc điều tra quốc tế, đánh giá sự sẵn sàng của học sinh mười lăm tuổi

cho cuộc sống bên ngoài trường học, tập trung vào ba phần chính: đọc hiểu,

HBĐL và hiểu biết khoa học. Về phần HBĐL, PISA ít chú trọng đến kiểm tra

kiến thức toán thuần túy mà quan tâm nhiều đến việc học sinh thực hiện các áp

dụng toán trong những ngữ cảnh thực tế, nghĩa là học sinh có thể làm gì với

15

kiến thức toán đã học được từ nhà trường.

2.4 Hiểu biết định lượng là cầu nối giữa toán học nhà trường và thế giới thực

Trước khi trẻ đến trường, các em thấy toán học như là một cách hữu ích để xác định

số lượng và hiểu biết thế giới xung quanh. Nhưng khi đến trường, nếu việc học toán

chủ yếu chỉ tập trung vào nhớ lại, lặp lại, giải thích các sự kiện, qui tắc thì học sinh

dễ đánh mất niềm tin toán học là một khoa học dựa trên kinh nghiệm và khó thấy

được mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn. Hiểu biết định lượng sẽ giúp các em:

- Hiểu và nhận ra lợi ích của toán học;

- Gắn kết toán với thế giới thực;

- Sử dụng toán một cách thích hợp trong những tình huống khác nhau;

- Giao tiếp toán học bằng cách sử dụng ngôn ngữ toán một cách phong phú;

- Phân tích, tổng hợp, đánh giá tư duy toán học của người khác.

Do đó, hiểu biết định lượng là năng lực cần được trang bị ở nhà trường phổ thông,

nó không chỉ cần thiết cho sự thành công ở trường học mà còn giúp cho việc học

các môn khoa học, nghiên cứu xã hội và công nghệ được tốt hơn (NCTM, 2002).

Hiện nay, việc đánh giá năng lực hiểu biết định lượng của học sinh phổ thông được

thực hiện ở nhiều kỳ thi mang tính quốc tế như SAT (Scholastic Assessment Test),

PISA (Programme for International Student Assessment). Các kỳ thi này xem hiểu

biết định lượng là năng lực không thể thiếu của một công dân có giáo dục trong xã

hội hiện đại. Tuy nhiên, ở nước ta hầu như chưa có nghiên cứu nào trong giáo dục

toán đề cập đến vấn đề này. Chúng ta cần tiến hành nhiều nghiên cứu hơn nữa để

phát triển năng lực hiểu biết định lượng của học sinh.

Trong chương trình toán hiện nay ở Việt Nam, học sinh lớp 10 được trang bị phần

lớn các kiến thức đại số và hình học phẳng như phương trình, hệ phương trình, bất

phương trình, thống kê, hàm số bậc nhất và bậc hai, lượng giác, hệ thức lượng trong

tam giác, đường tròn, ba đường conic, vectơ… điều này thuận lợi cho việc các em

sử dụng những kiến thức và kĩ năng toán đã học được vào giải quyết nhiều tình

16

huống thực tế khác nhau của cuộc sống. Đồng thời, theo chúng tôi đây là thời điểm

nên bắt đầu chú trọng đến phát triển các năng lực HBĐL cho học sinh để chuẩn bị

cho các em bước vào cuộc sống trưởng thành.

Từ các lý do trên, chúng tôi chọn “SỬ DỤNG TOÁN HỌC HOÁ ĐỂ PHÁT

TRIỂN CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG CỦA HỌC SINH LỚP 10”

làm đề tài nghiên cứu của luận án này.

3. Sơ lược các nghiên cứu liên quan đến đề tài

Trong khi có nhiều tài liệu đề cập đến khái niệm HBĐL cũng như sự cần thiết để

phát triển năng lực này cho học sinh và sinh viên (Madison, 2006, [42], Hallett,

2001, [31], Steen, 2001, [57], Wallace, 2009, [68]), tuy nhiên đối với câu hỏi “làm

thế nào để phát triển năng lực HBĐL?” thì câu trả lời đưa ra thường chung chung và

thiếu chi tiết, chẳng hạn như:

Hallett (2001, [31]), đứng trên quan điểm của một nhà nghiên cứu giáo dục, đã đưa

ra một số đề nghị để phát triển HBĐL:

HBĐL cần được dạy trong các ngữ cảnh thực tế; để học sinh có thể áp dụng -

kiến thức toán đã học trong nhiều ngữ cảnh khác nhau thì trước hết các em cần

nhận ra những kiến thức toán trong các ngữ cảnh đó, muốn vậy các em phải

hiểu được tình huống, điều này phụ thuộc vào mối quan hệ, kinh nghiệm của

học sinh đối với lĩnh vực được đặt ra.

Học sinh cần “hiểu biết sâu sắc” các kiến thức toán để có thể phát hiện các mối -

quan hệ định lượng và nhận ra các mối quan hệ này trong những ngữ cảnh

không quen thuộc.

Tạo cho học sinh thói quen sẵn sàng sử dụng các công cụ định lượng để phân -

tích, phản ánh, phán xét các hiện tượng tự nhiên, xã hội, muốn vậy các em cần

được thực hành các kĩ năng này thường xuyên trong lớp học.

Tuy nhiên, bà cũng cho rằng để làm được điều này là một thử thách lớn đối với các

17

giáo viên, các nhà giáo dục, và để thực hiện hiệu quả cần có sự chia sẻ của nhiều

môn học, cũng như có sự phối hợp giữa các cấp học từ phổ thông đến cao đẳng, đại

học.

Theo De Lange (2003, [21]), HBĐL có mối liên hệ chặt chẽ với toán học vì vậy ông

đã đưa ra những chỉ dẫn mà theo ông dạy học toán có thể giúp để phát triển HBĐL:

Các khái niệm toán nên được học thông qua giải quyết vấn đề trong môi -

trường phù hợp, tạo cơ hội cho toán học hóa và tổng quát hóa.

Kiến thức toán được dạy không chỉ trong ngữ cảnh toán học mà còn trong cả -

những ngữ cảnh thực tế.

Hoặc “Để phát triển hiểu biết định lượng, giáo viên cần khuyến khích học sinh nhận

ra và sử dụng toán trong mọi tình huống định lượng. May mắn là các tình huống

định lượng có thể được tìm thấy rất nhiều trong thực tế vì vậy chúng ta có nhiều cơ

hội để phát triển hiểu biết định lượng của học sinh thông qua chương trình” (Steen,

2001, [57]).

Chúng tôi tìm thấy rất ít các nghiên cứu thực hành liên quan đến việc phát triển

năng lực hiểu biết định lượng cho học sinh.

Kaiser và Willander (2005, [36]) đã báo cáo kết quả thực hiện một nghiên cứu thực

nghiệm nhằm đánh giá sự phát triển hiểu biết toán của học sinh trong một dự án đổi

mới dạy học nhấn mạnh đến ngữ cảnh thực tế và mô hình hóa tại Đức. Nghiên cứu

đã sử dụng 5 mức độ hiểu biết toán được xếp từ thấp đến cao dựa trên tiếp cận của

Bybee và tập trung vào (i) khả năng giải quyết các vấn đề thực tế bằng phương tiện

toán học, (ii) khả năng suy luận toán học, (iii) khả năng sử dụng các khái niệm và

phương pháp toán một cách linh hoạt, phản ánh. Phát triển hiểu biết toán được thực

hiện qua một năm đối với 31 học sinh lớp 7 và 8 được chọn từ 6 trường phổ thông

của thành phố Hamburg, đây là những học sinh có năng lực cao về toán để đảm bảo

có các kĩ năng toán cơ bản cần thiết cho việc giải quyết vấn đề. Kết quả nghiên cứu

cho thấy học sinh có những thay đổi đáng kể, thể hiện sự tiến bộ rõ rệt ở mức độ 3 –

nghĩa là hiểu các kiến thức, quy tắc toán học và có thể áp dụng linh hoạt trong nhiều

18

ngữ cảnh khác nhau. Ngược lại, ở các mức độ cao hơn (4 và 5) sự tiến bộ là rất ít.

Dingman và Madison (2010, [23]), Boersma (2011, [16]) đã mô tả những thành

công và thách thức trong quá trình thực hiện và phát triển khóa học Hiểu biết định

lượng đối với sinh viên ngành báo chí tại trường Đại học Arkansas ở Mỹ, đây là

một phần trong dự án quốc gia NSF. Khóa học, MATH 2183, được thiết kế để sinh

viên làm việc hợp tác theo nhóm, thảo luận và trả lời các câu hỏi liên quan đến

thông tin định lượng xuất hiện từ những bài báo được đăng tải trên các tạp chí. Dựa

trên kết quả có được từ khóa học và phân tích những điểm mạnh, điểm yếu của sinh

viên khi làm việc trong môi trường đòi hỏi hiểu biết định lượng, các tác giả đã đưa

ra những kết luận từ nghiên cứu này như nguồn tài liệu phục vụ giảng dạy khá hạn

chế, sinh viên gặp nhiều khó khăn khi giải quyết vấn đề, giáo viên thiếu kinh

nghiệm và sự linh hoạt khi xử lý các tình huống xảy ra trong lớp học… Tuy nhiên

qua 6 năm thực hiện, nhiều thách thức đã được cải thiện, kết quả của khóa học có sự

tiến bộ mặc dù khá khiêm tốn, nhiều sinh viên cảm thấy tự tin hơn về năng lực hiểu

biết định lượng của mình sau khi tham gia khóa học.

Ngoài ra, một số nghiên cứu báo cáo kết quả của việc phát triển năng lực hiểu biết

định lượng thông qua chương trình ở nhiều trường đại học của Mỹ đối với những

ngành học có các khóa học về toán. Để đánh giá, các nghiên cứu này thường sử

dụng một bài kiểm tra đầu vào đối với sinh viên năm thứ nhất và bài kiểm tra đầu ra

đối với những sinh viên đó ở năm cuối, ví dụ trường ĐH James Madison (Sundre và

Thelk, 2010, [63]), ĐH Miami (Ward, 2011, [69]), ĐH Michigan (Sikorskii, 2011,

[54]), rồi dựa trên kết quả thu được để so sánh, xem xét tính hiệu quả của chương

trình có tích hợp hiểu biết định lượng. Bên cạnh đó, một số trường xây dựng thang

đánh giá để đo các năng lực hiểu biết định lượng của sinh viên thể hiện qua hồ sơ

học tập hoặc dự án như trường ĐH Carleton, Hiệp hội các trường đại học Mỹ

AAC&U (Taylor, 2009, [65]).

Về phần các nghiên cứu trong nước, hầu như chưa có nghiên cứu nào đề cập đến

19

hiểu biết định lượng cũng như phát triển hiểu biết định lượng.

4. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của nghiên cứu này là tìm kiếm cách thức để phát triển các năng lực hiểu

biết định lượng của học sinh lớp 10 thông qua quá trình toán học hóa, trên cơ sở

nghiên cứu lý thuyết về mô hình hóa toán học, hiểu biết định lượng và chương trình

toán 10 nâng cao hiện nay.

Với mục đích trên, luận án sẽ trả lời các câu hỏi nghiên cứu sau:

4.1 Xây dựng quá trình toán học hóa như thế nào để có thể sử dụng phù hợp trong

chương trình toán phổ thông hiện nay?

4.2 Sử dụng quá trình toán học hóa như thế nào để có thể phát triển các năng lực

hiểu biết định lượng của học sinh?

4.3 Làm thế nào để đánh giá các năng lực hiểu biết định lượng thông qua quá trình

toán học hóa?

4.4 Năng lực hiểu biết định lượng của học sinh lớp 10 phát triển như thế nào thông

qua việc sử dụng các tình huống toán học hóa trong dạy học toán?

5. Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận án có nhiệm vụ nghiên cứu những vấn đề sau đây:

5.1 Nghiên cứu lý thuyết về mô hình hóa toán học và chương trình toán 10 nâng

cao hiện nay để tìm ra quá trình toán học hóa phù hợp với hướng nghiên cứu

của đề tài.

5.2 Phân tích mối liên quan giữa quá trình toán học hóa và các năng lực hiểu biết

định lượng để chứng tỏ rằng về mặt lý thuyết có thể sử dụng quá trình toán học

hóa để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng.

5.3 Tìm hiểu các nội dung toán lớp 10 để thiết kế các tình huống toán học hóa tạo

cơ hội thúc đẩy học sinh phát triển các năng lực hiểu biết định lượng.

5.4 Xây dựng thang đánh giá giúp cho điểm các năng lực hiểu biết định lượng của

20

học sinh thông qua quá trình toán học hóa.

5.5 Phân tích mức độ phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh lớp

10 thông qua việc sử dụng các tình huống toán học hóa trong dạy học toán?

6. Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu về mô hình hóa toán học và hiểu biết định lượng.

- Phân tích, tổng hợp các công trình nghiên cứu về các vấn đề thuộc phạm vi

nghiên cứu của đề tài.

6.2 Phương pháp điều tra

- Điều tra kết quả học tập môn toán của học sinh để biết được khả năng toán của

lớp thực nghiệm tại thời điểm bắt đầu nghiên cứu.

- Điều tra độ tin cậy của bộ công cụ đánh giá thông qua tiến hành thử nghiệm bộ

công cụ.

- Điều tra tác động của nghiên cứu lên nhận thức, thái độ của học sinh đối với

các tình huống định lượng.

6.3 Phương pháp quan sát, phỏng vấn: Quan sát, phỏng vấn được tiến hành trong

suốt quá trình thực nghiệm để hỗ trợ quá trình phân tích.

6.4 Phương pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến của các chuyên gia về phạm vi

nghiên cứu của đề tài.

6.5 Tổ chức dạy học thực nghiệm

- Tổ chức dạy học thực nghiệm sư phạm để nghiên cứu sự phát triển các năng

lực HBĐL của học sinh.

- Sử dụng phương pháp định tính và định lượng để xử lý, phân tích, giải thích

dữ liệu thu được.

7. Những đóng góp của luận án

21

7.1 Về mặt lý luận

- Luận án đưa ra một cách phân loại các tình huống toán học và xây dựng quá

trình toán học hóa phù hợp với chương trình hiện nay.

- Luận án bước đầu kiểm nghiệm được rằng có thể sử dụng quá trình toán học

hóa để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh.

- Luận án cũng đã đề xuất thang đánh giá giúp đo mức độ đạt được các năng lực

hiểu biết định lượng trong những nhiệm vụ toán học hóa chứa đựng yếu tố

định lượng.

7.2 Về mặt thực tiễn

- Kết quả nghiên cứu cho phép chúng ta tin rằng học sinh lớp 10 chương trình

nâng cao có thể phát triển các năng lực hiểu biết định lượng thông qua bộ công

cụ được trình bày trong luận án.

- Hệ thống các tình huống trong luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo

viên phổ thông, vận dụng vào thực tiễn dạy học theo hướng phát triển HBĐL

của học sinh.

8. Bố cục của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Phụ lục, nội dung chính của

luận án được trình bày trong 3 chương:

Chương 1. Toán học hóa và hiểu biết định lượng

Chương 2. Sử dụng toán học hóa để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng

22

Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

TOÁN HỌC HÓA VÀ HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG

Để trả lời các câu hỏi nghiên cứu mà đề tài đặt ra, tiếp cận lý thuyết chúng tôi sử

dụng trong luận án này tập trung vào mô hình hóa toán học và hiểu biết định lượng.

Qua đó tìm hiểu, phân tích mối quan hệ giữa hai khái niệm toán học hóa và hiểu

biết định lượng cũng như xem xét việc sử dụng quá trình toán học hóa trong dạy

học toán dưới quan điểm lý thuyết kiến tạo xã hội.

1.1 MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

Một trong những lý do mà toán học luôn chiếm thời lượng lớn của chương trình

giáo dục toán ở hầu hết các nước trên thế giới là vì lợi ích của toán học trong thực

tiễn, toán học được áp dụng dưới nhiều cách khác nhau trong nhiều môn học (vật lý,

hóa học, sinh học, địa lý, kĩ thuật), trong công việc và trong cuộc sống hàng ngày

của mỗi người (Muller và Burkhardt, 2007, [45]).

Theo Blum và Niss (1991, [11]), bên cạnh việc cung cấp cho học sinh những kiến

thức và kĩ năng liên quan đến toán học như khái niệm, định lý, công thức, quy tắc,

dạy toán cần giúp học sinh phát triển khả năng kết nối các kiến thức, kĩ năng đó để

giải quyết những tình huống thực tế. Khi sử dụng toán để giải quyết các vấn đề, tình

huống trong lĩnh vực ngoài toán thì mô hình toán học và quá trình mô hình hóa toán

học là những công cụ cần thiết.

Những thập kỉ gần đây, mô hình hóa toán học trong nhà trường ngày càng được

thúc đẩy nhằm đáp ứng mục tiêu tăng cường giáo dục toán theo hướng thực tế, được

đặt ra bởi nhiều quan điểm giáo dục từ giữa thế kỉ 20 đến nay (Kaiser, 2007, [39]).

Vậy tại sao mô hình hóa toán học lại cần thiết đối với học sinh? Blum (1993, [12]),

23

Stillman (2010, [61]) đã đưa ra các lý do chính sau đây:

- Mô hình hóa toán học cho phép học sinh hiểu được mối liên hệ giữa toán học

với cuộc sống, môi trường xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho

việc học toán trở nên ý nghĩa hơn.

- Mô hình hóa toán học trang bị cho học sinh khả năng sử dụng toán như một

công cụ để giải quyết vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngoài toán, từ

đó giúp các em thấy được tính hữu ích của toán học trong thực tế. Khả năng sử

dụng toán vào các tình huống ngoài toán không phải là kết quả tự động của sự

thành thạo toán học thuần túy mà đòi hỏi phải có sự chuẩn bị và rèn luyện.

- Mô hình hóa toán học góp phần tạo nên một bức tranh đầy đủ, toàn diện và

phong phú của toán học, giúp học sinh thấy được đó không chỉ là một ngành

khoa học mà còn là một phần của lịch sử và văn hóa loài người.

- Các nội dung toán có thể được hình thành, củng cố bởi các ví dụ mô hình hóa

phù hợp, điều này giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu các chủ đề hoặc phát triển

thái độ tích cực của các em đối với toán, tạo động cơ, thúc đẩy việc học toán.

- Mô hình hóa toán học là một phương tiện phù hợp để phát triển các năng lực

toán học của học sinh như suy luận, khám phá, sáng tạo, giải quyết vấn đề.

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Để làm cơ sở cho việc trình bày của luận án, dưới đây chúng tôi sẽ mô tả ngắn gọn

khái niệm của một số thuật ngữ liên quan.

Để dễ hình dung, các nhà giáo dục toán quan niệm là thế giới mà chúng ta đang

sống được xem như tách thành hai phần, thế giới thực và thế giới toán học.

- Thế giới toán học: là phần thế giới bao gồm các đối tượng, kí hiệu, quan hệ,

cấu trúc toán học (Blum và Niss, 1991, [11]).

- Thế giới thực: là thuật ngữ được sử dụng để mô tả phần thế giới bên ngoài thế

giới toán học, đó có thể là một môn học, một ngành khoa học khác, một lĩnh

vực thực hành, một phạm vi liên quan đến cuộc sống cá nhân hoặc xã hội

24

(Blum và Niss, 1991, [11]).

Khi đó, tình huống thực tế là tình huống được đặt ra trong thế giới thực với các dữ

liệu thực. Tuy nhiên, ở đây chúng tôi chỉ xét các tình huống thực tế mà có thể sử

dụng toán học để phân tích và mô tả.

- Mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu

trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, một hệ thống hay một khái

niệm. Về mặt trực giác, người ta thường nghĩ đến mô hình theo ý nghĩa vật lý

(Swetz và Hartzler, 1991, [64]).

- Mô hình vật lý là một bản sao, thường khác về kích cỡ, nhưng có cùng nhiều

tính chất với đối tượng gốc mà mô hình đó biểu diễn (Swetz và Hartzler, 1991,

[64]). Ví dụ, một mô hình thuyền buồm cũng có thể nổi và được đẩy đi bởi gió

như thuyền thật. Ngoài ra, các mô hình lý thuyết cũng được xây dựng.

- Mô hình lý thuyết là tập hợp các quy tắc biểu diễn một sự vật hiện tượng trong

đầu của người quan sát. Khi các quy tắc đó là quy tắc toán học thì một mô hình

toán được tạo ra. Hay nói cách khác, mô hình toán học là một cấu trúc toán

học (đồ thị, bảng biểu, phương trình, hệ phương trình, biểu thức đại số, hàm

số…) gồm các kí hiệu và các quan hệ toán học biểu diễn, mô tả các đặc điểm

của một tình huống, một hiện tượng hay một đối tượng thực được nghiên cứu

(Swetz và Hartzler, 1991, [64]). Ví dụ, trong xây dựng, thay vì đo độ võng của

dầm sau khi thi công, một mô hình lý thuyết cho phép tính độ võng dưới một

tải trọng là cần thiết, giúp tiết kiệm nhiều thời gian và công sức. Thông qua thử

nghiệm, quan sát, tính toán, mô hình được xác định bởi công thức: độ võng f = PL3 / 48EJ, với P là tải trọng, L là chiều dài dầm, E là môđun đàn hồi và J là

mômen quán tính. Dựa vào mô hình trên, người kĩ sư có thể tính toán, điều

chỉnh các thông số ngay từ khi thiết kế để đảm bảo độ võng cho phép.

- Mô hình thực của một tình huống thực tế: là tình huống thực tế sau khi đã được

đơn giản hóa, cụ thể hóa, xây dựng lại theo mục đích và quan tâm của người

giải quyết vấn đề, nhưng vẫn phản ánh đúng một phần nào đó của tình huống

25

thực tế ban đầu (Blum và Niss, 1991, [11]).

1.1.2 Khái niệm mô hình hóa toán học

Hiện nay, có rất nhiều định nghĩa và mô tả về khái niệm mô hình hóa toán học được

chia sẻ trong lĩnh vực giáo dục toán tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà mỗi tác

giả lựa chọn. Trong luận án này, chúng tôi sử dụng định nghĩa mô hình hóa toán

học của Edwards và Hamson (2001, [24]) như sau:

Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn

đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và

đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết

không thể chấp nhận.

Phát biểu một cách cụ thể hơn, mô hình hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển

đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá

trình đó, từ bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù

hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình

huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần

cho đến khi có được một kết quả hợp lý. Tuy nhiên, nếu nói một cách ngắn gọn thì

mô hình hóa toán học chỉ là quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng công cụ

toán học.

Dựa vào định nghĩa trên, ta thấy rằng mô hình hóa toán học là một hoạt động phức

tạp, bao gồm sự chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả hai chiều, vì vậy đòi

hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác nhau trong các lĩnh vực toán học khác

nhau cũng như có kiến thức liên quan đến các tình huống thực tế được xem xét.

Để thuận tiện trong việc trình bày luận án, kể từ lúc này, chúng tôi sử dụng thuật

ngữ “mô hình hóa”, viết tắt là MHH, thay cho thuật ngữ “mô hình hóa toán học”.

1.1.3 Sơ đồ quá trình mô hình hóa toán học

Các tác giả thường sử dụng những sơ đồ khác nhau, tùy thuộc vào cách tiếp cận,

mức độ phức tạp của tình huống thực tế được xem xét, hoặc mục đích nghiên cứu…

26

để chỉ ra bản chất của quá trình MHH, nhưng tất cả sơ đồ đều nhằm minh họa các

bước chính trong một quá trình lặp, bắt đầu với một tình huống thực tế và kết thúc

với việc đưa ra lời giải hoặc lặp lại quá trình để đạt được kết quả tốt hơn.

Các sơ đồ quá trình mô hình hóa phục vụ nhiều mục đích trong dạy học và nghiên

cứu như Stillman (2007, [60]) đã chỉ ra:

- Mô tả tóm tắt quá trình mô hình hóa;

- Cung cấp cho những người mới bắt đầu MHH các bước hướng dẫn khi đứng

trước một nhiệm vụ thách thức và mơ hồ cũng như khi gặp khó khăn trong quá

trình giải quyết một tình huống thực tế;

- Cung cấp một công cụ giúp giáo viên lên kế hoạch dạy học MHH và dự kiến

những can thiệp, hỗ trợ khi sử dụng các tình huống thực tế trong dạy học;

- Hướng dẫn các quan sát và phân tích trong nghiên cứu về quá trình MHH của

học sinh để xác định những giai đoạn nào được thực hiện, các hoạt động nhận

thức nào xảy ra, những khó khăn nào học sinh gặp phải trong hoạt động MHH;

- Nhận ra các yếu tố cơ bản của hoạt động MHH;

- Cơ sở để lựa chọn và thiết kế các tình huống MHH.

Phần tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu ba sơ đồ khác nhau mô tả quá trình mô hình

hóa, được sắp xếp theo trình tự thời gian và mức độ phức tạp.

1.1.3.1 Sơ đồ của Pollak

Sơ đồ quá trình MHH của Pollak (1979) là một trong những sơ đồ đầu tiên biểu

diễn đơn giản sự chuyển đổi giữa toán và thực tế theo cả hai chiều khi thực hiện

27

MHH (xem Ferri, 2006, [27]).

Thế giới toán học

Thế giới thực

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ quá trình MHH của Pollak (1979)

Giải thích sơ đồ: Từ một tình huống trong thực tế, người MHH thực hiện “phiên

dịch” sang ngôn ngữ toán học hay tạo ra một mô hình toán, rồi giải toán trong mô

hình đó, và áp dụng kết quả đối với tình huống ban đầu. Chiều của các mũi tên biểu

diễn một vòng lặp, cho phép đi quanh sơ đồ giữa thế giới thực và thế giới toán học

nhiều lần.

Qua thời gian, các sơ đồ đã phát triển để cung cấp những hình ảnh chi tiết hơn về

quá trình MHH. Phần lớn sự phát triển này tập trung vào khám phá các giai đoạn

tồn tại trong quá trình và một đại diện điển hình là sơ đồ của Blum và Leiß (2006, [13]).

1.1.3.2 Sơ đồ của Blum và Leiß

Blum và Leiß (2006) đã sử dụng một sơ đồ gồm 7 bước (sơ đồ 1.2) để mô tả quá

trình giải quyết một nhiệm vụ MHH. Sơ đồ này được xem là cơ sở cho phần lớn các

hoạt động MHH và các biến thể của những sơ đồ hiện nay (Siller, 2011, [55]). Điểm

khác biệt của sơ đồ này là sự tách biệt giữa mô hình tình huống với tình huống thực

tế và mô hình thực, bởi vì Blum cho rằng đây là một giai đoạn quan trọng của quá

28

trình MHH mà mỗi học sinh ít nhiều đều phải trải qua.

Sơ đồ 1.2 Sơ đồ quá trình MHH của Blum và Leiß (2006)

Bước 1: Hiểu tình huống thực tế được cho, xây dựng một mô hình cho tình

huống đó;

Bước 2: Đơn giản hóa tình huống và đưa vào các biến phù hợp để được mô

hình thực của tình huống;

Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán;

Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán;

Bước 5: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế;

Bước 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện quá trình lần 2;

Bước 7: Trình bày cách giải quyết.

Nhiều mở rộng và cải tiến liên quan đến quá trình MHH thường làm gia tăng mức

độ phức tạp và chi tiết của sơ đồ, một ví dụ cho trường hợp này là sơ đồ của

Stillman, Galbraith, Brown và Edwards (2007, [60]).

1.1.3.3 Sơ đồ của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards

Ngược lại với hai sơ đồ trên, sơ đồ này không tách biệt giữa thế giới thực và thế

29

giới toán học. Để biểu diễn sự phức tạp của sơ đồ, bên cạnh việc mô tả quá trình

MHH, Stillman và các cộng sự đã nhấn mạnh tính chất phản ánh của quá trình

thông qua hai chiều mũi tên tại các điểm chuyển tiếp giữa mỗi giai đoạn, đồng thời

chú ý đến các hoạt động nhận thức của học sinh xảy ra trong suốt quá trình.

1. Hiểu, đơn giản hóa, xây dựng lại tình huống. 2. Đặt giả thiết, phát biểu mô hình toán. 3. Giải toán. 4. Giải thích kết quả toán. 5. So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lý. 6. Chia sẻ kết quả thực tế (nếu mô hình thỏa đáng). 7. Lặp lại quá trình (nếu mô hình không thỏa đáng).

Sơ đồ 1.3 Sơ đồ quá trình MHH của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards (2007)

Các mục từ A đến G thể hiện các bước của quá trình MHH, các mũi tên đậm biểu

thị sự chuyển đổi giữa các bước. Quá trình MHH đi theo dấu mũi tên cùng chiều

kim đồng hồ và kết thúc bằng việc thể hiện kết quả hoặc tiếp tục một quá trình

MHH khác nếu kết quả là không thỏa đáng ở một phương diện nào đó. Các hoạt

động trí tuệ mà học sinh cần nổ lực để chuyển từ giai đoạn này sang giai đoạn tiếp

theo được mô tả bởi các bước 1-7. Các mũi tên ngược lại (màu nhạt) nhấn mạnh sự

tồn tại của hoạt động phản ánh, nghĩa là người thực hiện MHH có thể quay lại ở bất

kì bước nào của quá trình để xem xét nếu không thể tiếp tục thực hiện.

1.1.4 Sự khác nhau giữa mô hình hóa và áp dụng toán

Mô hình hóa và áp dụng toán là hai hoạt động quan trọng trong dạy học toán, và cả

hai thuật ngữ này đều được sử dụng để biểu thị các mối quan hệ giữa thế giới thực

30

và toán, tuy nhiên giữa chúng có sự khác biệt.

a. MHH có xu hướng tập trung vào chiều “từ thực tế đến toán”

MHH nhấn mạnh đến các quá trình chuyển đổi: xuất phát từ tình huống thực tế, xây

dựng mô hình toán học, tìm kiếm kiến thức toán để giải quyết, sau đó quay trở lại

thực tế xem xét tính hữu ích của mô hình toán đã sử dụng để mô tả và phân tích tình

huống thực. Sẽ có nhiều công cụ toán học khác nhau hữu ích đối với mỗi tình

huống, tùy thuộc vào cách phân tích tình huống đó, vì vậy đứng trước một nhiệm vụ

MHH, câu hỏi đặt ra là: kiến thức toán nào phù hợp để giải quyết?

Ví dụ. MÁI HIÊN

Tình huống sau được đặt ra khi học sinh đã hoàn thành chương 1, hình học 10.

“Nhà anh Bình quay mặt về hướng Đông nên buổi sáng thường bị nắng chiếu vào

nhà. Anh muốn lắp một mái che di động ở mặt trước của ngôi nhà để che không cho

ánh nắng mặt trời chiếu vào nhà sau 9 giờ, khi góc tới của tia nắng (góc hợp bởi tia nắng và mặt đất) lớn hơn 600. Anh Bình cần một mái che như thế nào? Giải thích

phương pháp của em?”

Hình 1.1 Mái che di động

Trước tình huống này, học sinh chưa biết phải sử dụng kiến thức toán nào. Các em

có thể làm cho tình huống cụ thể hơn bằng cách tìm thêm một số thông tin cần thiết

để xây dựng một mô hình toán theo mục đích của mình. Chẳng hạn, một học sinh

quan tâm đến việc tính góc giữa mái che và tường thì có thể tạo ra một mô hình

thực của tình huống như sau: vị trí mái che được gắn vào tường cách mặt đất 3,5 m,

31

chiều rộng tối đa của mái che là 1,8 m, khoảng cách từ điểm thấp nhất của mái che

đến mặt đất nên lớn hơn 2,5 m để trong nhà không bị tối, tìm góc mà mái che cần

tạo với tường đáp ứng các điều kiện trên. Khi đó, học sinh có thể sử dụng định lý

cosin và sin để tính số đo của góc trong tam giác khi biết hai cạnh và một góc. Học

sinh khác lại muốn lắp mái che vuông góc với tường nhà, cách mặt đất 3,5 m, như

vậy em này chỉ cần tính chiều rộng của mái che bằng cách sử dụng hệ thức lượng

trong tam giác vuông.

32

Mô hình toán 1

Chủ đề toán

Tình huống thực tế

Các áp dụng khác nhau

Các công cụ toán khác nhau

33

Áp dụng toán Mô hình hóa

kết quả xuất sắc về môn học này? Dạy toán cần phải tiến hành sao cho học sinh có

thể áp dụng toán vào những tình huống đơn giản của cuộc sống.

Mối liên hệ giữa toán và MHH tiếp tục được đề cập đến tại hội nghị các nước nói

tiếng Đức (1977) – bao gồm các thảo luận về những khía cạnh của toán học ứng

dụng trong giáo dục. Một dấu mốc quan trọng trong việc giới thiệu MHH vào nhà

trường là nghiên cứu của Pollak năm 1979: Ảnh hưởng của toán học lên các môn

học khác ở nhà trường. Theo ông, giáo dục toán phải có trách nhiệm dạy cho học

sinh cách sử dụng toán trong cuộc sống hàng ngày. Từ đó, dạy và học MHH trong

nhà trường trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm vi toàn cầu (Blum, 2007, [14]).

Ví dụ:

- Nghiên cứu của chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA nhấn mạnh mục

đích của giáo dục toán là phát triển khả năng học sinh sử dụng toán trong cuộc

sống hiện tại và tương lai.

- Hội nghị quốc tế về dạy mô hình hóa toán học và áp dụng toán ICTMA

(International Conferences on the Teaching of Mathematical Modelling and

Applications) tổ chức hai năm một lần với mục đích thúc đẩy ứng dụng và

MHH trong tất cả các lĩnh vực của giáo dục toán.

- Từ hội nghị lần thứ 4 (2005) đến hội nghị lần thứ 8 (2013) của hiệp hội nghiên

cứu giáo dục toán châu Âu CERME (Congress of European Research in

Mathematics Education), mô hình hóa và áp dụng toán là một trong những chủ

đề chính của thảo luận.

Ngoài ra, xu hướng đưa MHH vào chương trình, sách giáo khoa với các mức độ

khác nhau ngày càng gia tăng. Chẳng hạn:

- Ở Đức, Pháp, Hà Lan, Úc, Mỹ, Thụy Sĩ, MHH là một trong những năng lực

bắt buộc của chuẩn giáo dục quốc gia về môn toán (Blum, 2007, [14],

34

Stillman, 2010, [61]).

- Ở Singapore, MHH được đưa vào chương trình toán năm 2003 với mục đích

nhấn mạnh tầm quan trọng của MHH trong việc học toán cũng như đáp ứng

các thách thức của thế kỉ 21 (Balakrishnan, 2010, [9]).

1.1.5.2 Các tiếp cận mô hình hóa trong giáo dục toán

Trong nghiên cứu giáo dục toán về lĩnh vực MHH, có rất nhiều hướng tiếp cận khác

nhau, bắt nguồn từ các quan điểm lý thuyết khác nhau, mục đích khác nhau và đặc

trưng cho các khía cạnh khác nhau của MHH (Kaiser và Sriraman, 2006, [38]). Các

quan điểm này có những nét riêng và phát triển trong những môi trường nghiên cứu

khác nhau, tuy nhiên giữa chúng vẫn có những phần giao và đôi khi khó để phân

biệt (Blomhøj, 2008, [10], Frejd, 2010, [26], Kaiser, 2006, [37], Rau, 2010, [52]).

- Quan điểm “Nhận thức luận”: cho rằng sự phát triển của lý thuyết toán là một

bộ phận của quá trình MHH thể hiện qua bộ ba Tình huống – Mô hình – Lý

thuyết, nghĩa là các mô hình được xây dựng từ tình huống thực tế và đi đến sự

phát triển của một lý thuyết toán thông qua thúc đẩy kết nối giữa hoạt động

MHH và hoạt động toán. Freudenthal có thể xem là người đi đầu theo hướng

tiếp cận này và sau đó được phát triển bởi Stainer, Revuz, Garcia, Bosh.

- Quan điểm “Thực tế”: quan tâm đến khả năng người học áp dụng toán để giải

quyết những vấn đề thực tế xuất phát từ khoa học, kinh tế, công nghiệp… giúp

họ hiểu biết hơn về thế giới thực và thúc đẩy các năng lực MHH. Quá trình

MHH là một quá trình hoàn chỉnh, được thực hiện như một nhà toán học ứng

dụng, với mục đích giải quyết một vấn đề thực tế chứ không phải để phát triển

một lý thuyết mới như quan điểm nhận thức luận. Các nhà giáo dục toán tiêu

biểu cho tiếp cận này là Pollak, Burkhardt, Kaiser và Schwarz.

- Quan điểm “Giáo dục”: phần lớn các tiếp cận được phát triển trong lĩnh vực

MHH thuộc quan điểm này, như Blum, Niss, Blomhoj, Jensen, Maass,

Galbraith, Stillman. Quan điểm này chú trọng tích hợp MHH vào dạy học

toán; thông qua các ví dụ thực tế và mối quan hệ của chúng đối với toán học để

35

xây dựng việc hiểu các khái niệm và thúc đẩy quá trình học toán; quan tâm đến

các bước của quá trình MHH; phát triển các năng lực MHH cũng như ý nghĩa

của việc học toán.

- Quan điểm “Phản ánh”: nhấn mạnh vai trò, chức năng của toán học nói chung,

của mô hình hóa toán học nói riêng đối với sự phát triển tư duy phê phán, tư

duy phản ánh của người học trước những tình huống trong xã hội, ví dụ như

D’Ambrosio, Araujo, Barbosa.

- Quan điểm “Ngữ cảnh”: phát triển các hoạt động học tập, cho phép học sinh

hiểu được ý nghĩa của toán học thông qua các tình huống thực tế thường gặp

trong cuộc sống hàng ngày được MHH. Đại diện cho quan điểm nghiên cứu

này là Lesh và Doerr.

- Quan điểm “Nhận thức”: Đây là một tiếp cận mới về MHH, thông qua việc

phân tích các quá trình mô hình hóa và các kiểu tình huống khác nhau để hiểu

được quá trình nhận thức, xây dựng lại quá trình MHH của mỗi cá nhân, nhận

ra những rào cản, khó khăn của học sinh liên quan đến MHH. Các nhà nghiên

cứu được xếp theo quan điểm này là Blum, Leiß, Ferri, Carreira.

1.1.6 Toán học hóa

Một khái niệm thường gặp trong các tài liệu về MHH toán học và liên quan đến quá

trình MHH là toán học hóa. Chúng tôi nhận thấy có nhiều quan điểm khác nhau về

khái niệm toán học hóa mà có thể phân chia thành ba nhóm sau:

1.1.6.1 Toán học hóa bao gồm hai quá trình – dọc và ngang

Freudenthal (xem Van den Heuvel-Panhuizen, 2003, [67]) quan niệm rằng “toán

học có quan hệ mật thiết với thực tế” và “toán học là kết quả hoạt động của con

người”. Vì vậy, học toán không phải là tiếp nhận kiến thức có sẵn mà học toán là

quá trình thiết lập và giải quyết vấn đề xuất hiện từ thực tế hay trong nội tại toán

học để xây dựng lại kiến thức toán và ông gọi quá trình đó là toán học hóa

36

(mathematization).

Sau đó, Treffer (xem Gellert và Jablonka, 2007, [29]) đã trình bày khái niệm này rõ

ràng hơn bằng cách phân biệt hai hình thức khác nhau của toán học hóa trong bối

cảnh giáo dục:

- Toán học hóa theo chiều ngang: chỉ quá trình mô tả một vấn đề thực tế theo

ngôn ngữ toán học để có thể giải quyết vấn đề đó với công cụ toán. Trong

trường hợp này, toán học hóa là hoạt động chuyển đổi từ thế giới thực vào thế

giới toán học.

- Toán học hóa theo chiều dọc: là quá trình xảy ra trong thế giới toán học.

Thông qua quá trình này, học sinh đạt được một trình độ toán học cao hơn.

Trong thực tế ranh giới của hai quá trình này không phải luôn luôn rõ ràng. Sơ đồ

dưới đây biểu diễn một số hoạt động có thể xuất hiện khi thực hiện quá trình toán

học hóa theo hai chiều (de Lange, 1996, [20]):

Các hoạt động của toán học hóa theo chiều dọc

Phát biểu một khái niệm toán học mới Chứng minh các quy tắc Biểu diễn mối quan hệ toán học bởi một công thức Sử dụng các phương pháp giải khác nhau Điều chỉnh, cải tiến các phương pháp giải Khái quát hóa

Khám phá các quy luật Khám phá các mối quan hệ Hình dung vấn đề theo những cách khác nhau Chuyển một vấn đề thực tế sang một mô hình toán học Nhận ra những nội dung toán trong tình huống được cho

Các hoạt động của toán học hóa theo chiều ngang

37

Sơ đồ 1.4 Các hoạt động của quá trình toán học hóa

Như vậy, theo quan điểm này, quá trình toán học hóa xảy ra không chỉ khi giải

quyết một vấn đề thực tế mà ngay cả khi giải quyết một vấn đề toán học, nhằm

khám phá các cấu trúc toán học. Các tình huống thực tế chỉ đóng vai trò là môi

trường tạo động cơ hoặc minh họa cho sự xuất hiện các kiến thức toán.

1.1.6.2 Toán học hóa là một phần của quá trình mô hình hóa

Trong quá trình MHH, thực tế và toán học thường được xem như hai thế giới riêng

biệt và người mô hình hóa sẽ thực hiện một số bước biến đổi giữa hai môi trường

này cũng như trong mỗi môi trường để giải quyết tình huống đặt ra. Theo Blum và

Leiß (2006, [13]), Kaiser (2007, [39]), Niss (2012, [48]), bước biến đổi từ mô hình

thực tế sang mô hình toán học trong quá trình MHH được gọi là toán học hóa (sơ đồ

1.5).

Sơ đồ 1.5 Toán học hóa trong quá trình mô hình hóa

Khi học sinh bước vào quá trình toán học hóa, tình huống thực tế đã được đặc biệt

hóa, lý tưởng hóa, lúc này học sinh cần chuyển đổi các đối tượng và quan hệ ngoài

toán thành các đối tượng và quan hệ toán học, chuyển đổi câu hỏi đặt ra trong tình

huống thực tế sang câu hỏi toán học, mục tiêu là biểu diễn mô hình thực tế bằng

38

ngôn ngữ toán. Nói cách khác, toán học hóa theo quan điểm này là một hoạt động

hay quá trình gắn liền với quá trình MHH nhằm biễu diễn hoặc giải thích mô hình

thực tế bằng các phương tiện toán học.

1.1.6.3 Toán học hóa là toàn bộ quá trình mô hình hóa

Trong chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA, khái niệm toán học hóa

(mathematisation) được mô tả là quá trình cơ bản mà học sinh sử dụng các kiến

thức, kĩ năng toán học tích lũy được từ trường học cùng với kinh nghiệm sống để

giải quyết các vấn đề thực tế (PISA, 2009, [50]).

Quá trình toán học hóa này bao gồm 5 bước, thể hiện ở sơ đồ dưới đây:

Thế giới thực

Thế giới toán học

Lời giải thực tế

Lời giải toán học

5

Vấn đề thực tế

Vấn đề toán học

5 4

1, 2, 3

Sơ đồ 1.6 Quá trình toán học hóa theo PISA

Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề thực tế được đặt ra trong thế giới thực;

Bước 2: Nhận ra các kiến thức toán phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề

theo các khái niệm toán học;

Bước 3: Không ngừng cắt tỉa các yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành một

bài toán thể hiện trung thực cho tình huống;

Bước 4: Giải quyết bài toán;

Bước 5: Làm cho lời giải của bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tế,

xác định những hạn chế của lời giải.

Như vậy, khái niệm toán học hóa được trình bày trong nghiên cứu của PISA thực

39

chất là toàn bộ quá trình mô hình hóa. Và trong phạm vi của luận án, chúng tôi quan

tâm đến khái niệm toán học hóa theo quan điểm này của PISA. Ngoài ra, từ các

định nghĩa đã đề cập trong chương này cho thấy khi nói đến thuật ngữ “mô hình

hóa” thì cũng chính là “quá trình mô hình hóa”, “toán học hóa” cũng chính là “quá

trình toán học hóa”. Nói cách khác, cụm từ “mô hình hóa” và “quá trình mô hình

hóa”, “toán học hóa” và “quá trình toán học hóa” có thể dùng thay thế cho nhau.

1.1.7 Phân tích việc dạy học sử dụng toán học hóa dưới quan điểm lý thuyết

kiến tạo xã hội

Toán học đã phát triển qua một thời gian dài với nhiều nỗ lực của con người. Trong

quá trình phát triển đó, nguồn gốc lịch sử và ngữ cảnh văn hóa, xã hội đóng vai trò

quan trọng. Vì vậy lý thuyết kiến tạo xã hội cho rằng học toán không chỉ bao gồm

việc tích cực xây dựng kiến thức của các cá nhân mà còn có sự giao thoa giữa các

cá nhân trong cộng đồng những người học (Cobb, 1996, [19]).

Lý thuyết kiến tạo xã hội là một lý thuyết về việc học dựa trên các nguyên tắc

(Ernest, 1994, [25]):

- Kiến thức phải được xây dựng một cách tích cực bởi người học chứ không

phải được tiếp nhận một cách thụ động từ môi trường bên ngoài.

- Học là quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của mỗi người. Học

không phải là quá trình khám phá một thế giới độc lập đang tồn tại bên ngoài ý

thức của người học. Để xây dựng kiến thức mới, người học phải tìm cách kết

nối kiến thức đó với những kiến thức đã có của bản thân thông qua quá trình

Đồng hóa và Thích nghi.

Đồng hóa là quá trình xảy ra khi người học gặp một kiến thức mới tương tự

với kiến thức đã biết thì kiến thức đó được kết hợp vào trong một sơ đồ nhận

thức đang tồn tại.

Ngược lại, thích nghi là quá trình xảy ra khi người học gặp một kiến thức mới

mà không thể giải thích bằng sơ đồ nhận thức đang tồn tại, nghĩa là lúc này có

40

sự mất cân bằng trong hệ thống nhận thức của người học, thì sơ đồ nhận thức

đó phải thay đổi, điều chỉnh hoặc tạo ra những sơ đồ mới để khôi phục sự cân

bằng.

Như vậy, việc xây dựng kiến thức của người học được thực hiện thông qua chu

trình: kiến thức đã có – đồng hóa – kiến thức mới, hoặc kiến thức đã có – dự

đoán – thử nghiệm – thất bại – thích nghi – kiến thức mới. Tuy nhiên, những

kiến thức mà người học xây dựng được phải phù hợp với những ràng buộc của

thực tiễn tự nhiên và xã hội.

- Hơn nữa, học còn là một quá trình mang tính xã hội, kiến thức được hình

thành thông qua những tương tác xã hội như giao tiếp, giải thích, chia sẻ, đánh

giá giữa các cá nhân người học, giữa người học và người dạy.

Tóm lại, lý thuyết kiến tạo xã hội thừa nhận rằng hoạt động tích cực của chủ thể và

các tương tác xã hội đóng vai trò quan trọng trong việc học toán. Lớp học là môi

trường để người học xây dựng và phát triển kiến thức với sự hỗ trợ có chủ đích từ

phía người dạy.

Nếu giáo viên sử dụng các tình huống thực tế trong môi trường hoạt động nhóm để

dạy học thì học sinh sẽ được mong đợi dựa trên những kiến thức toán đã có cùng

với việc trao đổi, học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau từ các thành viên trong nhóm để

xây dựng mô hình toán thông qua việc tổ chức và mô tả tập hợp các mối quan hệ

của tình huống, tìm kiếm một phương pháp giải thích hợp, giải thích và phản ánh

kết quả trong tình huống ban đầu. Qua những quá trình như vậy sẽ giúp học sinh

hiểu hơn mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, hiểu hơn ý nghĩa của các khái niệm,

công thức, quá trình toán đã được học, phát triển khả năng kết nối giữa các kiến

thức toán, xây dựng thói quen, kĩ năng, kinh nghiệm trong việc sử dụng kiến thức

toán đã học để giải quyết các tình huống thực tế, đồng thời làm cho sơ đồ nhận thức

của bản thân học sinh được củng cố và mở rộng. Vì vậy, lý thuyết kiến tạo xã hội có

41

thể được xem là lý thuyết làm nền tảng cho việc dạy học sử dụng toán học hóa.

1.2 HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG

1.2.1 Khái niệm hiểu biết định lượng

Từ các tài liệu cho thấy ít có sự thống nhất về định nghĩa thuật ngữ hiểu biết định

lượng, và hiểu biết định lượng được biết đến dưới nhiều tên gọi khác nhau như

Quantitative Literacy (phổ biến ở Mỹ), Numeracy (ở Anh, Úc), Mathematical

Literacy (ở hầu hết các nơi khác). Trong một số nghiên cứu (Steen, 2001, [57],

Madison, 2006, [42], Wallace, 2009, [68]) việc sử dụng ba tên gọi trên ít có sự phân

biệt và chúng có thể được dùng thay thế cho nhau để chỉ khả năng vận dụng kiến

thức toán vào những tình huống của cuộc sống hàng ngày. Tuy nhiên, qua các định

nghĩa dưới đây ta có thể nhận thấy sự khác nhau giữa các thuật ngữ này:

Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA của tổ chức hợp tác và phát triển kinh

tế OECD định nghĩa:

Hiểu biết toán (Mathematical Literacy) là năng lực của một cá nhân để nhận ra

và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ

sở, để sử dụng và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu cuộc

sống của cá nhân đó với tư cách là một công dân có tính xây dựng, biết quan tâm

và biết phản ánh (PISA, 2009, [50]).

Hoặc theo Hiệp hội các trường Đại học Mỹ AAC&U:

Hiểu biết định lượng (Quantitative Literacy) là thói quen của trí tuệ, là khả

năng làm việc với dữ liệu số một cách dễ dàng, khả năng suy luận và giải

quyết những vấn đề định lượng từ nhiều ngữ cảnh thực tế và các tình huống

trong cuộc sống hàng ngày, hiểu và có thể đưa ra các lập luận phức tạp được

ủng hộ bởi các bằng chứng định lượng và có thể trình bày các lập luận đó một

cách rõ ràng dưới nhiều dạng khác nhau (sử dụng lời, bảng, đồ thị, phương

42

trình toán...) (AAC&U, 2009, [8])

Treffers (xem De Lange, 2006, [22]) mô tả khái niệm hiểu biết số như sau:

Hiểu biết số (Numeracy) nhấn mạnh đến khả năng xử lý các con số và dữ liệu

để đưa ra những nhận định liên quan đến những vấn đề, tình huống trong ngữ

cảnh thực tế.

Như vậy, hiểu biết toán bao gồm việc sử dụng toán vào ngữ cảnh thực tế theo nghĩa

rộng nhất, trong khi đó hiểu biết định lượng nhấn mạnh vào yếu tố định lượng, hiểu

biết số nhấn mạnh đến số và dữ liệu nên hai khái niệm này hẹp hơn so với khái

niệm hiểu biết toán. Ngoài ra, mối quan hệ giữa các thuật ngữ có thể thấy rõ hơn

trong sơ đồ của De Lange (2006, [22]):

Hiểu biết toán Mathematical literacy

Hiểu biết định lượng Quantitative literacy

Hiểu biết không gian Spatial Literacy

Hiểu biết số Numeracy Sơ đồ 1.7 Mối quan hệ giữa hiểu biết định lượng và các loại hiểu biết khác

Nói cách khác, hiểu biết định lượng là một biểu hiện của hiểu biết toán, được đặc

trưng bởi các phạm trù đại lượng. Trên cơ sở đó cùng với việc xem xét các định

nghĩa khác nhau, chúng tôi lựa chọn định nghĩa sau về HBĐL để sử dụng trong luận

án:

Hiểu biết định lượng là khả năng để nhận ra, hiểu và sử dụng các kiến thức

toán một cách hiệu quả trong những tình huống định lượng của cuộc sống hàng

ngày, từ những tình huống quen thuộc đến những tình huống mới không quen

thuộc (Hallett, 2003, [32]).

Trong định nghĩa trên, tình huống định lượng là một tình huống thực tế chứa đựng

43

các yếu tố định lượng như số lượng, trọng lượng, kích thước, diện tích, tỉ lệ, phần

trăm… ở đó các yếu tố toán học được thể hiện rõ ràng hoặc ngầm ẩn và luôn tồn tại

một mô hình toán học cho phép biểu diễn tình huống theo các yếu tố toán học.

Các biểu hiện của HBĐL trong thực tế rất đa dạng, phong phú, từ đơn giản đến

phức tạp. Một số ví dụ minh họa về biểu hiện của HBĐL dưới đây sẽ giúp làm sáng

tỏ hơn khái niệm này, đồng thời các ví dụ cũng sẽ được sử dụng để minh họa trong

phần tiếp theo, khi đề cập đến các thành phần liên quan đến hiểu biết định lượng.

Ví dụ. CA NHẠC (Khả năng ước lượng)

Một chương trình ca nhạc dự định tổ chức tại khu đất trống hình chữ nhật kích

thước 20 m × 50 m. Em hãy giúp ban tổ chức ước lượng số vé cần in biết rằng sân khấu chiếm diện tích khoảng 50 m2.

Hình 1.5 Chương trình ca nhạc ngoài trời

Bảng 1.1 Tỷ giá ngoại tệ Ví dụ. NGOẠI TỆ (Khả năng chuyển đổi

giữa các đơn vị tiền tệ)

Mai chuẩn bị đi Úc ba tháng theo chương

trình giao lưu học sinh. Bạn ấy muốn đổi

5 triệu đồng sang đô Úc. Hỏi Mai đổi

được bao nhiêu đô Úc? Biết tỷ giá được

44

niêm yết như bảng bên.

Ví dụ. CHIỀU CAO (Khả năng đọc hiểu đồ thị)

Năm 1998, chiều cao trung bình của giới trẻ nữ và giới trẻ nam ở Hà Lan được thể

chiều cao (cm)

chiều cao TB của giới trẻ nam

chiều cao TB của giới trẻ nữ

tuổi (năm)

hiện ở đồ thị sau:

Hình 1.6 Chiều cao trung bình của giới trẻ ở Hà Lan năm 1998

Theo đồ thị, trong giai đoạn nào của cuộc đời thì chiều cao trung bình của giới trẻ

nữ hơn giới trẻ nam ở cùng độ tuổi? (PISA, 2003, [49])

Ví dụ. CỬA HÀNG (Khả năng

thực hiện các phép toán liên

quan đến phần trăm)

Một cửa hàng áo quần bán giảm

giá 40% so với giá gốc. Khi mua

trên 5 sản phẩm thì khách hàng

Hình 1.7 Cửa hàng áo quần sẽ được giảm thêm 20% trên giá

mua.

Hỏi khách hàng sẽ được giảm giá bao nhiêu phần trăm so với giá gốc khi mua trên

45

năm sản phẩm.

Ví dụ. DU LỊCH (Khả năng xây dựng mô hình toán)

Một công ty du lịch cho thuê xe ô tô 45 chỗ để đi tham quan vườn quốc gia Bạch

Mã trong một ngày với giá là 1.600.000 đồng và tiền vé tham quan là 150.000 đồng

mỗi người. Nếu giá trọn gói gồm tiền xe và tiền vé tham quan là 200.000 đồng mỗi

người thì một xe phải chở tối thiểu bao nhiêu người?

Ví dụ. PHẢN ỨNG (Khả năng phân tích một mô hình toán có sẵn)

Một nghiên cứu về thời gian phản ứng của người lái xe (tính bằng mili giây) đối với

2

=

−

+

A x

x ( ) 0, 0051

0,319

x

15, 16

≤ ≤ x

70

những kích thích âm thanh được cho bởi công thức:

, x là tuổi của người lái xe (tính bằng năm).

Nghiên cứu này cũng tìm thấy rằng, thời gian phản ứng của người lái xe (tính bằng

2

=

−

+

V x

( ) 0, 005

x

0, 23

x

22, 16

≤ ≤ x

70

mili giây) đối với những kích thích thị giác được cho bởi công thức:

, x là tuổi của người lái xe (tính bằng năm).

Dựa vào nghiên cứu trên, theo em, một người lái xe sẽ phản ứng với sự thay đổi của

đèn hiệu giao thông nhanh hơn hay với còi xe cứu thương nhanh hơn? Tại sao?

Hình 1.8 Đèn hiệu giao thông và xe cứu thương

Ví dụ. XUẤT KHẨU (Khả năng đọc hiểu dữ liệu được trình bày trong biểu đồ)

Hai biểu đồ dưới đây cho biết thông tin về các mặt hàng xuất khẩu của nước

46

Zedland, nước này dùng đồng zed làm đơn vị tiền tệ.

Triệu (zed)

bông 26%

Gỗ 5%

Thịt 14%

Thuốc lá 7%

Trà 5%

Gạo 13%

Các loại khác 21%

Nước trái cây 9% Năm Hình 1.9a Tổng giá trị xuất khẩu từ Hình 1.9b Phân phối xuất khẩu

ở Zedland năm 2000 Zedland 1996 – 2000

Tổng giá trị xuất khẩu của Zedland năm 1998 là bao nhiêu? Giá trị nước trái cây

xuất khẩu từ Zedland vào năm 2000 là bao nhiêu? (PISA, 2003, [49])

Ví dụ. DÂN SỐ (Khả năng lựa chọn và thể hiện một dạng biểu đồ liên quan đến

tình huống)

Indonesia là nước nằm giữa Malaysia và Úc. Số liệu về dân số của Indonesia và sự

phân bố dân số trên các đảo được chỉ ra trong bảng dưới đây:

Bảng 1.2 Dân số và diện tích của các đảo ở Indonesia năm 1980

Đảo Phần trăm của tổng dân số Dân số vào năm 1980 (triệu) Phần trăm của tổng diện tích Diện tích bề mặt (km2)

Java/Madura 132 187 6,95 91 281 61,87

Sumatra 473 606 24,86 27 981 18,99

Kalimantan 539 460 28,32 6 721 4,56

Sulawesi 189 216 9,93 10 377 7,04

Bali 5 561 0,30 2 470 1,68

Irian Jaya 421 981 22,16 1 145 5,02

Tổng 1 905 569 100,00 147 384 100,00

Một trong những thách thức của Indonesia là sự phân bố dân số không đều trên các

47

đảo. Từ bảng số liệu trên ta có thể thấy rằng, Java chỉ chiếm 7% tổng diện tích cả

nước nhưng có đến gần 62% dân số sinh sống trên hòn đảo này. Hãy vẽ một biểu đồ

để thấy được sự phân bố dân số không đều ở Indonesia (PISA, 2003, [49]).

1.2.2 Mối quan hệ giữa Hiểu biết định lượng và Toán học

Nhiều học sinh không thấy được toán học có nhiều ứng dụng trong cuộc sống hàng

ngày mà thường xem toán học tách biệt, không liên quan với thế giới hiện thực vì

toán học là trừu tượng, cứng nhắc, tuyệt đối, các từ ngữ trong khái niệm là xa lạ

(đạo hàm, tích phân, phân số, hàm số...). Một trong những lý do đó là vì luôn có sự

tách biệt giữa toán học hình thức ở nhà trường với toán học trong cuộc sống.

Trong các lớp học toán, giáo viên thường tập trung dạy các khái niệm, công thức,

qui tắc, thuật toán, đó là những công cụ làm cơ sở cho HBĐL, tuy nhiên lại ít chú ý

giúp học sinh phát triển các kĩ năng và tính linh hoạt cần thiết để sử dụng những

kiến thức đó vào những tình huống đòi hỏi HBĐL, thường đa dạng, phức tạp hơn

các ví dụ trong sách toán.

Thực ra, có một sự phân biệt quan trọng giữa thành thạo toán và HBĐL. Người

thành thạo toán nắm một lượng lớn kiến thức toán và có thể sử dụng chúng trong

ngữ cảnh toán, nhưng chưa chắc có thể áp dụng chúng vào một lớp rộng của ngữ

cảnh hàng ngày. Trong khi đó, người HBĐL có thể biết ít kiến thức toán nhưng có

thể áp dụng chúng một cách rộng rãi. Như vậy, người HBĐL cần được trang bị một

số kiến thức toán cơ bản nhưng đó không phải là điều kiện đủ. HBĐL chú trọng đến

khả năng một người có thể sử dụng toán tốt như thế nào chứ không phải biết toán

nhiều như thế nào.

HBĐL và toán học có mối liên kết với nhau, không thể tách rời. Tuy nhiên, giữa

chúng có sự khác biệt đáng kể:

- Toán học là một môn học trong khi HBĐL là một tập hợp các kĩ năng, một

48

thói quen của trí tuệ.

- Toán học thường độc quyền với ngôn ngữ riêng của nó, trừu tượng và khái

quát, còn ngôn ngữ trong HBĐL đơn giản và được sử dụng trong cuộc sống

hàng ngày.

- Toán học đề cao tính trừu tượng hay nói cách khác sự trừu tượng đem lại sức

mạnh cho toán học, nó cho phép thấy được các điểm chung từ những vật có vẻ

khác nhau, cho phép các phương pháp xuất phát từ một ngữ cảnh có thể được

áp dụng trong những ngữ cảnh khác. Nhưng tính trừu tượng không phải là

trọng tâm của HBĐL. Thay vào đó, HBĐL gắn với các khía cạnh cụ thể của

tình huống và ngữ cảnh để đi đến kết luận.

- Toán học yêu cầu học sinh vượt ra khỏi ngữ cảnh còn HBĐL yêu cầu học sinh

gắn với ngữ cảnh.

- Toán học có xu hướng đưa ra nguyên tắc chung có thể áp dụng cho một lớp

các tình huống, còn HBĐL xem xét mỗi tình huống qua thấu kính định lượng.

- HBĐL cần được học và sử dụng trong nhiều ngữ cảnh khác nhau - trong lịch

sử, địa lý, trong kinh tế, sinh học, trong nông nghiệp và nghệ thuật nấu ăn...

HBĐL không phải là một môn học độc lập mà nó phải là thành phần không thể

thiếu của tất cả các môn học.

- Toán học quan tâm đến việc xây dựng một hệ thống lý thuyết logic và chặt

chẽ, còn HBĐL quan tâm đến việc áp dụng toán trong những ngữ cảnh cụ thể.

1.2.3 Các thành phần liên quan đến hiểu biết định lượng

Từ định nghĩa “HBĐL là khả năng để nhận ra, hiểu và sử dụng các kiến thức toán

một cách hiệu quả trong nhiều tình huống định lượng khác nhau”, ta nhận thấy rằng

có ba thành phần liên quan đến HBĐL, đó là:

- Tình huống ở đó vấn đề được đặt ra;

49

- Nội dung toán mà học sinh cần sử dụng để giải quyết vấn đề;

- Các năng lực cần được kích hoạt để kết nối thế giới thực và toán học, từ đó

giải quyết vấn đề đặt ra.

Sơ đồ 1.8 Ba thành phần liên quan đến HBĐL (Hogan, 2000, [33])

1.2.3.1 Tình huống

Một thành phần quan trọng trong định nghĩa HBĐL là tình huống mà kiến thức toán

được “nhúng” vào. Việc lựa chọn các phương pháp toán học cũng như biểu diễn các

kết quả phụ thuộc vào tình huống mà vấn đề được đặt ra.

Phạm vi của các tình huống HBĐL thường liên quan đến cuộc sống hàng ngày của

một công dân trong xã hội ngày nay, đó là các tình huống liên quan đến đời sống cá

nhân, liên quan đến các hoạt động ở trường học, nơi làm việc, nơi vui chơi giải trí,

nơi công cộng hoặc cộng đồng địa phương, xã hội, hay là các tình huống liên quan

đến một lĩnh vực khoa học ngoài toán.

1.2.3.2 Nội dung toán

Thành phần tiếp theo của HBĐL là nội dung toán mà học sinh cần biết, hiểu và sử

dụng để giải quyết bài toán nảy sinh từ những tình huống định lượng khác nhau.

Toán học đã phát triển qua thời gian như là một phương tiện giúp con người tìm

hiểu và giải thích các hiện tượng tự nhiên, xã hội. Ở trường, vì nhiều lý do, chương

trình toán được tổ chức một cách logic xung quanh các mạch nội dung như số học,

đại số, hình học, giải tích chứ không theo lịch sử phát triển của toán học. Các chủ đề

50

thường được dạy theo trình tự: khái niệm, định lý, công thức, quy tắc – ví dụ minh

họa – áp dụng tương tự đối với các bài tập toán thuần túy, được thiết kế để trang bị

cho học sinh những kiến thức và kỹ năng giúp giải quyết những hiện tượng toán học

cơ bản (giải phương trình, bất phương trình, vẽ đồ thị).

Tuy nhiên trong thực tế, các vấn đề không xuất hiện cùng với các quy tắc, chỉ dẫn,

gợi ý giúp giải quyết tình huống đó, mà nó thường đòi hỏi học sinh phải có khả

năng để tìm ra kiến thức toán liên quan đến tình huống và khả năng chuyển đổi tình

huống được cho theo ngôn ngữ toán học. Và thường không dễ đạt được lời giải nếu

chỉ áp dụng kiến thức từ một nội dung toán đơn lẻ mà phải kết hợp nhiều nội dung

toán khác nhau.

Ví dụ. BÁNH PIZZA

Đặc sản của một nhà hàng Ý là bánh pizza hải sản, bánh có hai loại để khách hàng

lựa chọn. Hai loại bánh này cùng độ dày nhưng kích thước khác nhau, bánh có

đường kính 30 cm giá 300 nghìn đồng, bánh có đường kính 40 cm giá 400 nghìn

đồng. Theo em loại bánh nào có giá tốt hơn?

Hình 1.10 Bánh Pizza

Bài toán này liên quan đến nhiều nội dung toán khác nhau:

- Chứa đựng các yếu tố hình học: bánh pizza có thể được xem như là một hình

trụ, hoặc một hình tròn (vì có cùng độ dày) và học sinh cần biết công thức tính

diện tích của hình tròn.

- Liên quan đến nội dung số học: học sinh cần tìm cách để so sánh lượng bánh

và lượng tiền, thay vì so sánh thể tích hay khối lượng, học sinh có thể so sánh

51

diện tích bề mặt (hình tròn) của hai loại bánh này.

- Tìm mối quan hệ giữa lượng bánh và số tiền của mỗi loại: có thể tính giá tiền

trên một đơn vị diện tích bề mặt mỗi loại hoặc diện tích bánh tương ứng với cùng một lượng tiền hoặc so sánh tỉ lệ diện tích S1:S2 = (3:4)2 = 9:16 trong khi

đó tỉ lệ giá tiền T1:T2 = 3:4.

1.2.3.3 Các năng lực hiểu biết định lượng

Có nhiều định nghĩa về năng lực, bắt nguồn từ các lĩnh vực và các loại năng lực

khác nhau. Trong nghiên cứu này, chúng tôi xem năng lực là khả năng của một cá

nhân để thực hiện thành công những thách thức của một tình huống (theo Niss,

2011, [47]). Nhìn lại định nghĩa HBĐL được trình bày ở mục 1.2.1, ta thấy rằng

HBĐL chính là năng lực nhận ra, hiểu và sử dụng các kiến thức toán trong những

tình huống định lượng của cuộc sống. Tuy nhiên để có thể đánh giá HBĐL của học

sinh một cách tường minh, chúng ta cần đến những năng lực HBĐL cụ thể.

Niss (2003, [46]), PISA (2012, [51]), Turner (2011, [66]) đã cụ thể hóa HBĐL

thành sáu năng lực cơ bản gồm giao tiếp với toán học, phân tích và xây dựng mô

hình toán học, sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán, suy

luận, biểu diễn, giải quyết vấn đề. Các năng lực HBĐL này cho phép một cá nhân giải

quyết vấn đề định lượng bằng cách liên kết giữa nội dung toán và tình huống được

cho (Ginsburg, 2006, [30]). Mỗi năng lực đó được mô tả và thể hiện qua các hoạt

động liên quan cụ thể như sau:

a. Giao tiếp với toán học

• Khả năng hiểu tình huống như là nhận ra các thông tin liên quan, hiểu đúng

Năng lực này bao gồm:

• Khả năng trình bày các bước giải rõ ràng, logic, đầy đủ;

• Khả năng giải thích kết quả toán học trong phạm vi tình huống thực tế.

câu hỏi, yêu cầu đặt ra;

Các hoạt động liên quan đến năng lực này:

52

- Hiểu các cụm từ ngắn gọn, liên quan đến một khái niệm quen thuộc;

- Nhận ra và sử dụng các liên kết trong lời văn của tình huống hoặc giữa lời văn

và các biểu diễn liên quan để hiểu nhiệm vụ và tình huống, trình bày kết quả

bằng lời hoặc viết;

- Hiểu các chỉ dẫn, mã hóa các yếu tố của tình huống, giải thích kết quả;

- Giải thích rõ ràng, đầy đủ, mạch lạc lời giải, quá trình lập luận, cũng như các

quan hệ logic phức tạp.

Bất kì việc trình bày bằng văn bản hay bằng lời của một hoạt động toán học đều có

thể được xem là minh họa của năng lực giao tiếp.

b. Phân tích và xây dựng mô hình toán học

• Khả năng phân tích các mô hình toán học có sẵn, đánh giá phạm vi và giá trị

Năng lực này bao gồm:

• Khả năng xây dựng mô hình toán học đối với những tình huống ngoài toán (ví

của các mô hình đó (ví dụ PHẢN ỨNG);

dụ DU LỊCH).

Một số tình huống không yêu cầu năng lực này bởi vì vấn đề đã được phát biểu

dưới dạng toán hoặc đó là tình huống mô hình toán, hoặc việc xây dựng mô hình

toán là không cần thiết khi giải quyết vấn đề.

Các hoạt động liên quan đến năng lực này:

- Sử dụng mô hình toán học được cho để nắm bắt các điều kiện hoặc hiểu các

mối quan hệ;

- Lựa chọn một mô hình toán học phù hợp thỏa mãn những ràng buộc của tình

huống;

- Tạo ra mô hình chứa các biến, quan hệ và những yêu cầu của tình huống;

53

- So sánh, đánh giá các mô hình toán học khác nhau.

c. Sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán

• Khả năng hiểu và sử dụng các kí hiệu, thuật ngữ toán học, các mệnh đề và biểu

Năng lực này bao gồm:

thức chứa kí hiệu, công thức toán... dựa trên việc hiểu các khái niệm, quy tắc,

• Khả năng hiểu mối quan hệ giữa ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngôn ngữ thông

thuật toán, quá trình toán học;

thường, khả năng chuyển đổi qua lại giữa hai hình thức ngôn ngữ này (ví dụ

• Khả năng thực hiện các phép toán đúng và chính xác (ví dụ CỬA HÀNG).

CHIỀU CAO);

Các hoạt động liên quan đến năng lực này:

- Thay thế trực tiếp, thực hiện các phép toán số học cơ bản;

- Áp dụng các quá trình tính toán nhiều bước, làm việc với các kí hiệu, khái

niệm, quy tắc, quá trình toán học;

- Làm việc với các quan hệ đại số hay hàm số đơn giản hoặc phức tạp.

d. Suy luận

• Khả năng sử dụng các quy tắc suy luận toán học, tư duy logic để liên kết các

Năng lực này bao gồm:

• Khả năng kiểm tra tính đúng đắn của một nhận định được cho hoặc đưa ra

yếu tố của bài toán và rút ra kết luận (ví dụ NGOẠI TỆ);

nhận định về một vấn đề.

Các hoạt động liên quan đến năng lực này:

- Suy luận trực tiếp từ thông tin được cho;

- Kết nối các thông tin khác nhau của tình huống để rút ra kết luận;

- Phân tích thông tin để tạo ra một lập luận gồm nhiều bước, hoặc để kết nối các

54

biến của tình huống;

- Tổng hợp và đánh giá thông tin, tạo ra các chuỗi suy luận để ủng hộ cho kết

luận, thực hiện tổng quát hóa dựa trên việc kết hợp nhiều nguồn thông tin.

e. Biểu diễn

• Khả năng hiểu các mối quan hệ qua lại giữa các biểu diễn khác nhau của cùng

Năng lực này bao gồm:

một đối tượng cũng như biết được điểm mạnh điểm yếu của mỗi loại biểu diễn

• Khả năng thực hiện chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn (ví dụ DÂN SỐ);

• Khả năng lựa chọn một biểu diễn hay kết hợp nhiều biểu diễn khác nhau của

(ví dụ XUẤT KHẨU);

các đối tượng toán học để nắm bắt tình huống hay tìm ra một phương pháp giải

quyết.

Ở đây, biểu diễn toán học có thể là phương trình, công thức, đồ thị, sơ đồ, bảng

biểu, hình vẽ, mô tả bằng lời…

Các hoạt động liên quan đến năng lực này:

- Sử dụng trực tiếp một biểu diễn quen thuộc được cho sẵn, ví dụ chuyển từ lời

sang số, đọc một giá trị trực tiếp từ đồ thị hay bảng số liệu;

- Lựa chọn và thể hiện một biểu diễn quen thuộc liên quan đến tình huống;

- Sử dụng hoặc chuyển đổi giữa hai hay nhiều biểu diễn khác nhau cùng liên

quan đến tình huống;

- Hiểu và sử dụng một biểu diễn không quen thuộc; tạo ra một biểu diễn liên

quan giữa các yếu tố của một tình huống phức tạp; so sánh, đánh giá các biểu

diễn khác nhau.

f. Giải quyết vấn đề

• Khả năng phát hiện và thiết lập một vấn đề toán học từ nhiệm vụ hay tình

Năng lực này bao gồm:

55

huống được cho;

• Khả năng lựa chọn một cách tiếp cận phù hợp và đưa ra một phương pháp toán

hiệu quả để giải quyết vấn đề toán học đã được thiết lập, đồng thời giám sát,

kiểm soát quá trình thực hiện.

Các hoạt động liên quan đến năng lực này:

- Thực hiện trực tiếp phương pháp được yêu cầu;

- Kết nối các thông tin được cho một cách hợp lý hoặc chuyển đổi thông tin qua

nhiều bước để đi đến kết quả;

- Xây dựng một phương pháp tỉ mỉ để tìm ra lời giải đầy đủ, đánh giá và so sánh

giữa các phương pháp có thể có.

Ví dụ. TIỀN TỆ

Hiện tại hệ thống tiền tệ của nước ta gồm các mệnh giá 1.000, 2.000, 5.000, 10.000,

20.000, 50.000, 100.000, 200.000, 500.000. Nếu nhà nước chỉ in hai loại tiền có

mệnh giá là 3.000 và 5.000 thì có thể thực hiện việc trao đổi, mua bán có giá trị

=

+

n

3

x

5

y

chẵn ngàn được không?

,x y ∈ Ζ được không?

Phát hiện vấn đề: Có thể biểu diễn mọi số tự nhiên n dưới dạng với

∀ ∈ Ν <

=

+

,

15

n

3

x

5

y

n

n

Giải quyết vấn đề:

,x y ∈ Ζ (1)

∈ Ν

∀ ∈ Ν ≥

p

p , >2

,

n

n

15

= 5n

p r

, n luôn có thể biểu diễn dưới dạng với -

+ với

=

−

r ∈

n

5(

p

+ 2) 10

r

, n luôn có thể biểu diễn dưới dạng và -

+ , do

{ } 0; 1; 2; 3; 4

+

10

r+ ∈

+ = r

u 3

v 5

. Hay ta có thể viết lại

,u v ∈ Ζ . Từ đó

{ } 10; 11; 12; 13; 14

nên theo (1) thì 10 với

suy ra vấn đề được giải quyết.

Trong thực tế, khi gặp một tình huống định lượng, học sinh không nhất thiết sử

dụng tất cả các năng lực trên đây. Hơn nữa, mặc dù các năng lực được mô tả một

56

cách riêng lẻ nhưng giữa chúng có sự giao thoa với nhau, chẳng hạn trong “biểu

diễn” thì vẫn có “giao tiếp”, trong “chuyển đổi” có “biểu diễn”..., và phụ thuộc lẫn

nhau trong sự phát triển hiểu biết định lượng.

Trong phạm vi luận án, hai thuật ngữ “hiểu biết định lượng” và “năng lực hiểu biết

định lượng” có thể được sử dụng thay thế cho nhau nếu không gây nhầm lẫn.

Ví dụ. BƯỚC CHÂN

Hình 1.11 Khoảng cách giữa hai gót chân liên tiếp

Bức ảnh trên chỉ dấu chân của một người đi bộ. Dựa trên quan sát một số lượng lớn

nam giới đi bộ với tốc độ bình thường, người ta đưa ra công thức n / P = 140 cho

biết mối quan hệ (xấp xỉ) giữa n và P, trong đó n là số bước chân trong một phút, P

là chiều dài một bước chân, giữa hai gót chân liên tiếp (tính theo mét).

Câu hỏi 1. Bạn Nam đi bộ với tốc độ khoảng 70 bước mỗi phút thì chiều dài

bước chân của Nam là bao nhiêu? Hãy trình bày bài làm của em.

Câu hỏi 2. Bước chân của thầy Việt dài 0,8 m. Tính tốc độ đi bộ của thầy Việt

theo kilomet trong một giờ. Hãy chỉ ra cách làm của em.

Tình huống liên quan đến kiến thức và kĩ năng đại số. Câu hỏi 1 đòi hỏi các năng

lực sau đây ở học sinh:

- Giải quyết vấn đề: vấn đề toán học đã được phát biểu rõ ràng, phương pháp

giải đơn giản.

- Suy luận: suy ra trực tiếp từ thông tin được cho.

- Giao tiếp với toán học: học sinh cần đọc và hiểu tình huống, trình bày lời giải,

57

chỉ ra cách các em đã thực hiện như thế nào.

- Biểu diễn: bao gồm hình ảnh, lời văn, công thức đại số, học sinh cần thấy được

mối liên hệ giữa các biểu diễn này.

- Sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán: học sinh chỉ

cần thực hiện một thao tác đại số đơn giản là thay thế giá trị n = 70 vào công

thức để tìm ra giá trị của P.

Đối với câu hỏi 2, học sinh cần “kích hoạt” các năng lực như:

- Giải quyết vấn đề: Phương pháp giải khá phức tạp vì học sinh cần thực hiện

một quá trình gồm ít nhất ba bước – tính số bước chân n trong một phút của

thầy Việt, rồi nhân n với P để tính được tốc độ theo số mét trong một phút, đổi

đơn vị tốc độ từ m/phút sang km/giờ.

- Xây dựng mô hình toán học: quan hệ giữa tốc độ đi bộ với chiều dài bước chân

của thầy Việt.

- Suy luận: kết nối các quá trình tư duy.

- Giao tiếp với toán học: ngoài yêu cầu đọc hiểu tình huống như ở câu hỏi 1, học

sinh còn phải sử dụng hình vẽ để thấy được mối liên hệ giữa bước chân và chiều

dài bước chân, hơn nữa việc trình bày lời giải cũng đòi hỏi mức độ cao hơn.

- Biểu diễn: làm việc với các biễu diễn đại số bên cạnh hình ảnh, lời văn, công

thức đại số.

- Sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán: thực hiện các

biến đổi đại số, áp dụng tỉ lệ và các phép toán số học để chuyển đổi đơn vị.

1.2.4 Sơ lược lịch sử của hiểu biết định lượng

Toán học ngày càng quan trọng đối với mỗi cá nhân. Không phải tình cờ mà toán

học luôn có mặt trong các kì thi, điều đó chứng tỏ sự quan trọng của toán học đối

với mọi người, chứ không chỉ với một số ít người yêu thích toán.

Mặc dù toán học có một lịch sử rất lâu đời – với tư cách là một hệ thống logic các

58

tiên đề, giả thuyết và suy luận diễn dịch hay là một công cụ để phân tích thực

nghiệm thế giới tự nhiên – nhưng yêu cầu về HBĐL là một hiện tượng được quan

tâm chủ yếu vào cuối thế kỉ 20 (Madison, 2007, [43]).

Giáo dục đã không chú trọng đến các năng lực HBĐL cho đến cuối thế kỉ thứ 20.

Sau nhiều cuộc điều tra quốc gia và quốc tế bộc lộ điểm yếu trong khả năng hiểu

các lập luận định lượng thông thường của học sinh, sinh viên và cả những người

trưởng thành, nhiều trường học phổ thông và đại học trên thế giới đã bắt đầu bổ

sung HBĐL vào trong chương trình nhằm phát triển khả năng phân tích, giải thích

và hiểu các thông tin định lượng của học sinh. Các tổ chức giáo dục của nhiều quốc

gia và khu vực cũng lên kế hoạch để phát triển HBĐL thông qua các chương trình,

dự án. Ví dụ:

- Úc: HBĐL đã được quan tâm đến vào những năm 1990, đặc biệt là HBĐL tại

nơi làm việc, và từ năm 1998, chuẩn quốc gia về HBĐL của học sinh đã được

đưa vào trường học và được kiểm tra bởi chương trình đánh giá quốc gia về

HBĐL NAPLAN (The National Assessment Program Literacy and Numeracy)

- Mỹ: HBĐL đã được chấp nhận vào những năm 1990 và lan rộng nhanh chóng.

Đầu thế kỉ 21, nước này đã tiến hành một số hoạt động nhằm mục đích cải tiến

HBĐL, một trong những hoạt động đó là thành lập tổ chức HBĐL quốc gia

NNN (National Numeracy Network) có nhiệm vụ thúc đẩy giáo dục HBĐL.

- New zealand: dự án phát triển HBĐL của Bộ giáo dục bắt đầu năm 2001, tập

trung phát triển năng lực HBĐL của học sinh từ lớp 1 đến lớp 12 và đã đạt

được những thành công đáng kể.

- Anh: thực hiện chiến lược HBĐL quốc gia tại các trường học từ năm 1999 và

năm 2006 đã có những bổ sung, thay đổi so với mục tiêu ban đầu sau 7 năm

thực hiện.

Thực ra, tầm quan trọng của HBĐL trong cuộc sống của con người xuất hiện rất

sớm, từ thế kỉ 13, khi đồng hồ và súng đại bác được chế tạo ở phương Tây (Hallett,

2001, [31]). Trong những thế kỉ tiếp theo, HBĐL đảm nhận một ý nghĩa đặc biệt

59

trong xã hội thương mại và tri thức.

Vào giữa thế kỉ 17, một quý tộc Pháp thách đố nhà toán học nổi tiếng Pascal giải

quyết một bài toán đã xuất hiện cách thời điểm đó 200 năm, đó là làm thế nào để

chia tiền thưởng trong một trò chơi tung đồng xu chưa kết thúc. Qua thư từ trao đổi,

Pascal và Fermat đã mô hình hóa trò chơi may rủi và đi đến lời giải cho bài toán.

Điều đáng nói là qua cuộc trao đổi này, những mầm mống của lý thuyết xác suất đã

xuất hiện. Lúc này, các con số không chỉ là một công cụ để đo thời gian và khoảng

cách, mà nó còn là phương tiện để hạn chế rủi ro và dự đoán tương lai.

Như vậy, nguồn gốc của HBĐL đã có cách đây nhiều thế kỉ, nhưng HBĐL theo

nghĩa hiện nay chỉ mới hình thành và phát triển cách đây vài thập kỉ. Thuật ngữ

HBĐL được sử dụng chính thức đầu tiên vào năm 1959 trong báo cáo của Crowther

về giáo dục trẻ em tuổi 15-18 ở nước Anh, báo cáo này mô tả HBĐL là khả năng để

đối phó thành công với các khía cạnh định lượng của cuộc sống hàng ngày chứ

không bó hẹp ở khả năng sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia. Nhưng sau

đó, khái niệm HBĐL theo báo cáo trên dần dần mất đi yêu cầu giải quyết các vấn đề

phức tạp như mong đợi mà trở thành các kĩ năng số học đơn giản thông thường.

Hiện nay, đối với nhiều người, khái niệm HBĐL vẫn được hiểu theo nghĩa hẹp này

(Westwood, 2008, [70]).

Hai thập kỉ sau (1982), một báo cáo khác của chính phủ Anh đã cố gắng để phục hồi

nghĩa ban đầu của HBĐL. Báo cáo này xác định hai thuộc tính của HBĐL: khả

năng sử dụng kiến thức, kĩ năng toán trong cuộc sống hằng ngày và hiểu được các

thông tin biểu diễn bởi những thuật ngữ toán học (Cockroft). Báo cáo đã khởi đầu

giai đoạn HBĐL trong giáo dục toán. Một kết quả khác từ báo cáo của Cockroft,

thống kê được đưa vào chương trình toán của nước Anh, nhấn mạnh đến những áp

dụng thống kê và phân tích dữ liệu vào thực hành. Đồng thời ở Mỹ, một mô hình về

xu hướng thống kê và phân tích dữ liệu được đưa vào chuẩn đánh giá và chương

trình toán học nhà trường năm 1989 (NCTM 1989) nhằm hưởng ứng sự thay đổi

nhu cầu toán học của xã hội, xác nhận vai trò của HBĐL trong giáo dục và xu

60

hướng này ngày càng gia tăng trong chuẩn của NCTM 2000.

Khi nhu cầu HBĐL của con người tỉ lệ nghịch với khả năng HBĐL, nhiều tài liệu

được xuất bản nhằm nâng cao nhận thức của xã hội về hệ quả của việc không có

HBĐL (Buxton 1991, Tobias 1993, Paulos 1996). Cùng lúc đó, các tác phẩm của

Tufte (1990, 1997) đã bộc lộ sức mạnh của HBĐL trong giao tiếp và đưa ra những

bằng chứng thuyết phục (Steen, 2001, [57]).

Sau đó, các bài viết liên quan đến HBĐL gia tăng một cách đáng kể, đặc biệt là các

xuất bản của Lynn Arthur Steen, giáo sư toán trường ĐH St. Olaf, Mỹ như Tại sao

phải đếm “Why Numbers Count” (Steen, 1997), Toán học và dân chủ “Mathematics

and Democracy” (Steen, 2001), Các vấn đề về HBĐL cho nhà trường phổ thông và

đại học “Quantitative Literacy: Why Numeracy Matters for Schools and Colleges”

(Madison & Steen, 2003). HBĐL ngày càng giành được nhiều sự quan tâm trong

giáo dục toán và được xem là một trong những kĩ năng cần thiết mà học sinh cần

rèn luyện ở nhà trường, điều này cũng đã chi phối đến việc đánh giá và ảnh hưởng

đến chương trình toán ở nhiều nước (Anh, Đức, Úc, New Zealand, Mỹ, Đan Mạch,

Hà Lan). Trong 10 năm trở lại đây, HBĐL ngày càng thu hút sự chú ý và ngày càng

được hiểu tốt hơn. Cùng lúc đó, phạm vi của HBĐL đã rộng hơn các khái niệm ban

đầu, tiến đến nhiều lĩnh vực khác nhau, vượt ra khỏi phạm vi học tập truyền thống.

1.3 MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC HÓA VÀ HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG

Trong khi HBĐL là khả năng sử dụng toán như một công cụ để đương đầu với các

tình huống định lượng trong thực tế, thì toán học hóa (theo quan điểm của PISA) là

quá trình sử dụng toán để giải quyết một vấn đề thực tế. Như vậy, hiểu biết định

lượng và toán học hóa đều đòi hỏi học sinh phải có kiến thức, kĩ năng ở nhiều lĩnh

vực toán khác nhau cũng như có sự hiểu biết liên quan đến các tình huống thực tế

được xem xét. Ngoài ra, De Lange (2003, [21]) đã đề cập đến một mối quan hệ giữa

HBĐL và toán học hóa “Một quá trình cơ bản hướng dẫn giải quyết hiệu quả các

vấn đề xuất phát từ những tình huống định lượng là quá trình toán học hóa”. Tuy

nhiên, không phải tình huống định lượng nào cũng cần sử dụng quá trình toán học

61

hóa để giải quyết.

Ví dụ. TRẢI THẢM

1. Xác định diện tích của căn phòng hình chữ

nhật có kích thước 5,5 m và 8,25 m.

2. Cần bao nhiêu tiền để trải thảm căn phòng

hình chữ nhật có kích thước 5,5 m và 8,25 m,

biết rằng cuộn thảm có khổ rộng 4m với giá

là 130 nghìn đồng mỗi mét và tiền công trải thảm là 10 nghìn đồng mỗi m2? Hình 1.12 Trải thảm 3. Để trải thảm phòng khách của bạn cần tốn

bao nhiêu tiền?

Cả ba tình huống trên đều là tình huống định lượng. Với tình huống 3, học sinh phải

xem xét nhiều yếu tố liên quan đến kết quả bài toán, chẳng hạn như hình dạng căn

phòng, giá thảm, tiền công trải thảm, sau đó thực hiện đo đạc, ước lượng, tính toán

kích thước tấm thảm cần mua sao cho có lợi nhất. Còn ở tình huống 2, để giảm thời

gian học sinh đo đạc, tìm hiểu giá cả... tình huống đã cung cấp những số liệu phù

hợp cho các em. Với tình huống 2 và 3, quá trình toán học hóa sẽ giúp hướng dẫn

học sinh thực hiện các bước để tìm được lời giải phù hợp, đồng thời tình huống đem

lại nhiều thông tin khác về những gì học sinh đã học được và có thể làm được hơn

là chỉ kiểm tra kĩ năng tính toán. Nhưng đối với tình huống 1, học sinh chỉ cần nhớ

lại công thức tính diện tích của hình chữ nhật và kĩ thuật nhân hai số thập phân mà

không cần đến quá trình toán học hóa. Mục đích chính của tình huống này là thực

hành kĩ năng toán liên quan đến nội dung bài học hơn là sử dụng kiến thức toán để

giải quyết một vấn đề thực tế.

Mặt khác, theo Madison (2007, [43]), người ta có thể đánh giá các năng lực HBĐL

một cách riêng lẻ, nhưng cũng giống như đánh giá một người chơi bóng đá, các kĩ

năng riêng lẻ là chưa đủ mà các kĩ năng đó cần được phối hợp và thể hiện trong một

trận đấu thực sự. Vậy làm thế nào để đánh giá đồng thời cả sáu năng lực HBĐL?

62

PISA (2012, [51]) đã chỉ ra rằng, khi giải quyết một tình huống thực tế bằng quá

trình toán học hóa, ba giai đoạn của quá trình này đều đòi hỏi cả sáu năng lực

HBĐL, được thể hiện cụ thể trong bảng sau đây:

Bảng 1.3 Các năng lực HBĐL thể hiện qua quá trình toán học hóa

Chuyển đổi kết quả Chuyển đổi từ tình Giải toán

huống thực tế sang toán sang kết quả

mô hình toán học thực tế và phản ánh

Đọc, làm rõ ý nghĩa Chỉ ra các công việc Giải thích kết quả Giao tiếp

lời văn, đối tượng, liên quan để tìm ra lời toán trong tình huống với toán

hình ảnh, câu hỏi, giải. thực tế. học

nhiệm vụ... để hiểu Trình bày lời giải.

tình huống

Nhận ra phạm vi và hạn chế của mô hình toán học đã xây dựng.

Nhận ra các biến số và các cấu trúc toán học ẩn phía sau tình huống. Sử dụng hiểu biết về mô hình để hướng dẫn quá trình giải quyết vấn đề toán học.

Phân tích xây và dựng mô hình toán học

Xây dựng mô hình tình toán học của huống.

Biểu diễn kết quả thực tế dưới dạng phù hợp;

Biểu diễn Biểu diễn thông tin thực tế một cách toán học.

tìm

Liên kết nhiều biểu diễn khác nhau khi tương tác với vấn đề ra phương để pháp giải.

Suy luận Sử dụng suy luận để hiểu đúng các mối tình quan hệ của huống

luận Sử dụng suy cùng với các quá trình toán học, kết nối các thông tin được cho để đi đến lời giải toán.

63

Đưa ra các lập luận ủng hộ hay bác bỏ kết tình quả đối với huống. Đánh giá tính khả thi và những hạn chế của kết quả.

Lựa chọn một phương Lựa chọn và thực hiện Lựa chọn cách để giải Giải

pháp để trình bày lại một phương pháp giải thích, đánh giá và làm quyết vấn

tình huống thực tế để đi đến kết quả cho kết quả toán có ý đề

một cách toán học. toán. nghĩa đối với tình

huống ban đầu.

Sử dụng các kí hiệu, Hiểu và sử dụng các Hiểu mối quan hệ Sử dụng

ngôn ngữ toán học kí hiệu, thuật ngữ toán giữa ngôn ngữ toán và kí hiệu,

phù hợp để biểu diễn học và thực hiện các ngôn ngữ thực tế để thuật ngữ

tình huống. phép toán dựa trên các có thể chuyển kết quả toán học

khái niệm, quy tắc, toán sang kết quả thực và thực

thuật toán, quá trình, tế. hiện các

phép toán

suy luận toán học để đi đến kết quả toán

Các phân tích trên đã chỉ ra mối quan hệ giữa HBĐL và toán học hóa, đồng thời

cũng chứng tỏ rằng có thể sử dụng quá trình toán học hóa để phát triển các năng lực

HBĐL của học sinh.

Tóm tắt chương 1

Trong chương này, nhằm trình bày lý thuyết liên quan đến hai khái niệm chính của

luận án là toán học hóa và năng lực hiểu biết định lượng, chúng tôi đã xem xét hai

khái niệm này trong mối quan hệ với hai chủ đề tương ứng, mô hình hóa toán học

và hiểu biết định lượng. Mỗi chủ đề đều gồm định nghĩa khái niệm, đưa ra các ví dụ

minh họa và phân tích mối quan hệ giữa khái niệm đó với các khái niệm khác giúp

làm rõ hơn bản chất của khái niệm, đồng thời giới thiệu sơ lược lịch sử cùng với các

kết quả nghiên cứu liên quan để mô tả phần nào xu hướng phát triển của hai chủ đề

này trong nghiên cứu giáo dục toán hiện nay.

Hiện tại, có ít nhất ba quan điểm về toán học hóa, tuy nhiên chúng tôi quan tâm đến

quan điểm của PISA, xem toán học hóa là toàn bộ quá trình mô hình hóa toán học.

Bên cạnh đó, để có thể đánh giá và phát triển HBĐL, khái niệm HBĐL sử dụng

64

trong luận án đã được cụ thể hóa bởi sáu năng lực cơ bản, gồm giao tiếp với toán

học, phân tích và xây dựng mô hình toán học, sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và

thực hiện các phép toán, suy luận, biểu diễn, giải quyết vấn đề. Hơn nữa, với việc nhận ra

sự tồn tại của các năng lực HBĐL trong ba giai đoạn của quá trình toán học hóa cho

phép chúng tôi có thể sử dụng quá trình toán học hóa để phát triển các năng lực

65

HBĐL của học sinh.

CHƯƠNG 2

SỬ DỤNG TOÁN HỌC HÓA ĐỂ PHÁT TRIỂN

CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG

Theo Hallett (2001, [31]) việc sử dụng các tình huống định lượng qua một thời gian

dài, liên tục trong điều kiện lớp học bình thường sẽ cho phép quan sát được sự phát

triển các năng lực HBĐL của học sinh. Vì vậy, mục đích của chương này là thiết kế

các tình huống định lượng, mà khi giải quyết học sinh cần tiến hành quá trình THH

một cách phù hợp, để sử dụng trong dạy học nhằm phát triển các năng lực HBĐL

của học sinh. Đồng thời, trong chương này chúng tôi cũng xây dựng một thang đánh

giá nhằm đo mức độ các năng lực hiểu biết định lượng qua bài làm của học sinh

trong nhiều nhiệm vụ THH khác nhau để có thể nghiên cứu sự phát triển của các

năng lực. Ngoài ra, quá trình THH sử dụng trong nghiên cứu này cần phù hợp với

chương trình, SGK và đối tượng học sinh nên một phân tích chương trình cũng sẽ

được thực hiện.

2.1 XÂY DỰNG QUÁ TRÌNH TOÁN HỌC HÓA PHÙ HỢP VỚI CHƯƠNG

TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG HIỆN NAY

Để có thể đưa ra quá trình toán học hóa phù hợp với chương trình toán phổ thông

hiện nay, chúng tôi sẽ dựa trên khái niệm THH theo quan điểm của PISA kết hợp

với việc nghiên cứu chương trình, SGK và phân tích những khó khăn thường gặp

khi sử dụng MHH trong lớp học toán từ các nghiên cứu lý thuyết và thực hành dạy

học.

2.1.1 Các tình huống toán học

66

2.1.1.1 Phân loại các tình huống toán học

Quá trình THH theo quan điểm của PISA bắt đầu với một tình huống thực tế. Tuy

nhiên, một tình huống gồm các yếu tố thực tế không đảm bảo đó là một tình huống

thực tế.

Ví dụ: Nếu mua hai áo thun và hai ly coca thì giá 440 nghìn đồng, nếu mua một áo

thun và ba ly coca thì giá 300 nghìn đồng. Vậy một áo thun giá bao nhiêu? Một ly

coca giá bao nhiêu?

Tình huống đặt ra bao gồm các yếu tố thực tế nhưng trong thực tế không xảy ra một

tình huống như vậy, mà khi đối mặt với một tình huống thực tế, người ta thường

phải xem xét nhiều yếu tố trước khi giải quyết vấn đề và nhiệm vụ thường ít được

xác định một cách rõ ràng. Dạng bài toán này được tác giả Lê Văn Tiến gọi là bài

toán phỏng thực tiễn (Lê Văn Tiến, 2005, [7]).

Vì vậy trong phần này, chúng tôi dựa vào quá trình mô hình hóa để thực hiện phân

loại các tình huống toán học – đó là những tình huống trong hoặc ngoài lĩnh vực

toán học mà có thể sử dụng kiến thức toán để giải quyết.

Dưới đây là một sơ đồ được mô phỏng theo quá trình mô hình hóa của Stillman,

(1)

(2)

Tình huống thực tế

Mô hình thực tế

Mô hình toán học

(3)

(5)

Cách giải quyết

Kết quả thực tế

Kết quả toán học

(4)

(6)

Galbraith, Brown và Edwards (2007, [64]):

Sơ đồ 2.1 Quá trình MHH mô phỏng theo Stillman, Galbraith, Brown, Edwards

Để giải quyết một nhiệm vụ MHH theo sơ đồ trên, học sinh lần lượt thực hiện các

bước chính sau:

(1) Hiểu tình huống thực tế được cho, đưa vào các điều kiện và giả thiết phù hợp

67

để tạo ra một mô hình thực tế của tình huống;

(2) Xây dựng mô hình toán học biểu diễn trung thực cho mô hình thực tế;

(3) Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán;

(4) Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế;

(5) Xem xét tính hợp lý, thỏa đáng của kết quả thực tế hay quyết định thực hiện

quá trình lần 2;

(6) Trình bày cách giải quyết.

Trong quá trình trên, bước thứ hai là quan trọng nhất, giúp phân biệt một nhiệm vụ

MHH với một nhiệm vụ toán học khác.

Ngoài ra, dựa vào sơ đồ 2.1, chúng tôi nhận thấy, để giải quyết một nhiệm vụ MHH,

người thực hiện MHH sẽ trải qua ba giai đoạn chuyển đổi nhằm đơn giản hóa tình

Tình huống thực tế

Tình huống toán học hóa

Tình huống mô hình toán

huống thực tế ban đầu:

Sơ đồ 2.2 Ba giai đoạn đơn giản hóa một tình huống thực tế

Trong sơ đồ trên:

- Tình huống thực tế: là tình huống xuất phát từ thế giới bên ngoài lĩnh vực

toán học, không có các đối tượng, ký hiệu, cấu trúc toán học. Trong những tình

huống này, thông tin thường không đầy đủ, dữ liệu có thể quá nhiều hoặc quá

ít, yêu cầu đặt ra thường không rõ ràng dẫn đến có nhiều cách để giải quyết,

tùy thuộc vào khía cạnh mà người mô hình hóa quan tâm.

- Tình huống toán học hóa: là tình huống tương ứng với mô hình thực tế, đây

là tình huống chứa đựng những yếu tố quan trọng của tình huống thực tế ban

đầu, nhưng đã được đơn giản hóa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa, thêm các điều kiện,

giả thiết phù hợp, hạn chế những yếu tố không cần thiết cho phép người mô

hình hóa tiếp cận với một số công cụ toán học theo ý đồ của mình, tuy nhiên

68

vẫn còn phản ánh một phần nào đó tình huống ban đầu. Có thể xây dựng được

nhiều tình huống toán học hóa khác nhau cho cùng một tình huống thực tế, tùy

thuộc vào kiến thức, mục đích, quan tâm của người mô hình hóa.

- Tình huống mô hình toán: là tình huống tương ứng với mô hình toán học, đây

là tình huống bao gồm các đối tượng toán học và mối quan hệ giữa các đối

tượng đó, tương ứng với các yếu tố cơ bản và mối quan hệ của chúng trong

tình huống thực tế. Lúc này, yếu tố toán học đã được tách rời khỏi yếu tố thực

tế, thực tế chỉ là vỏ bọc xung quanh nội dung toán.

Như vậy, mức độ phức tạp của các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế sẽ tăng

dần theo chiều mũi tên dưới đây:

Mức độ 3 Tình huống thực tế Mức độ 2 Tình huống toán học hóa Mức độ 1 Tình huống mô hình toán

Sơ đồ 2.3 Mức độ phức tạp của các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế

Tình huống toán học

Tình huống không đặt trong ngữ cảnh thực tế

Tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế

Tình huống thực tế

Tình huống toán học hóa

Tình huống mô hình toán

Tóm lại, các tình huống toán học sẽ được phân loại theo sơ đồ sau:

Sơ đồ 2.4 Phân loại các tình huống toán học

2.1.1.2 Ví dụ minh họa các tình huống toán học

Bốn tình huống dưới đây có cùng nội dung toán, nhưng được thiết kế với yếu tố

thực tế và mức độ phức tạp giảm dần, phụ thuộc vào các thông tin được cung cấp,

69

cũng như loại câu hỏi đặt ra.

Ví dụ. LY COCKTAIL

Tình huống 1 (Tình huống thực tế): Trong cuộc

thi những người pha chế cocktail giỏi, ban tổ

chức chuẩn bị các ly thủy tinh có dạng như hình

vẽ. Thí sinh được yêu cầu pha nửa ly cocktail

loại Martini rồi trang trí. Nếu em là thí sinh dự Hình 2.1a Ly cocktail thủy tinh

thi, em sẽ làm như thế nào, tại sao?

Khi giải quyết tình huống 1, học sinh cần phải xem xét nhiều yếu tố liên quan đến

kết quả, chẳng hạn như hình dạng hình học của thân ly, chiều cao thân ly, kích

thước miệng ly, dung tích của ly… sao cho có thể xác định được vị trí để rót

cocktail vào ly. Tuy nhiên, từ tình huống này chúng ta có thể xây dựng các tình

huống THH ở những mức độ khó khác nhau. Hai tình huống sau được tạo ra với dự

kiến những kiến thức, kĩ năng toán mà học sinh cần sử dụng là thể tích hình nón,

trong đó tình huống 3 có độ khó thấp hơn vì thông tin được cung cấp chi tiết hơn, cụ

thể hơn và yêu cầu đặt ra đơn giản hơn.

Tình huống 2 (Tình huống toán học hóa): Trong cuộc thi những người pha chế

cocktail giỏi, ban tổ chức chuẩn bị các ly thủy tinh có dạng hình nón như hình vẽ.

Thí sinh được yêu cầu pha nửa ly cocktail loại Martini rồi trang trí. Bình là một thí

sinh cho rằng cần rót cocktail vào 2/3 ly. Nhật cho rằng cách của Bình không đúng

vì còn tùy thuộc vào kích thước của miệng ly. Theo em, ai đúng, tại sao?

70

Hình 2.1b Các ly thủy tinh với kích thước khác nhau

Tình huống 3 (Tình huống toán học hóa): Trong

cuộc thi những người pha chế cocktail giỏi, ban

tổ chức chuẩn bị một loại ly thủy tinh có dạng

hình nón với dung tích chứa là 160 ml và đường

kính miệng ly là 10 cm. Thí sinh được yêu cầu

pha nửa ly cocktail loại Martini rồi trang trí. Nếu

em là thí sinh, em sẽ rót cocktail vào ly theo tỉ lệ Hình 2.1c Phần thân ly cùng với

nào so với chiều cao của thân ly? Giải thích. đường kính và dung tích

A. 1/2 B. 2/3 C. 3/4 D. 4/5

So với tình huống thực tế, hai tình huống toán học hóa mô tả thông tin chi tiết hơn,

cung cấp các số liệu phù hợp, đặt ra câu hỏi rõ ràng, giúp đem lại nhiều thông tin

khác về những gì học sinh đã học được và có thể làm được. Mặc dù, tình huống 4

dưới đây cũng đặt trong ngữ cảnh thực tế nhưng các đối tượng toán học (chiều cao,

thể tích) đã được xác định và học sinh chỉ cần tìm ra mối quan hệ giữa các đối

tượng đó nên tình huống được phân loại là tình huống mô hình toán.

Tình huống 4 (Tình huống mô hình toán) Trong

cuộc thi những người pha chế cocktail giỏi, ban

tổ chức chuẩn bị một loại ly thủy tinh có dạng

hình nón như hình vẽ. Thí sinh được yêu cầu pha

nửa ly cocktail loại Martini rồi trang trí. Gọi H Hình 2.1d Phần thân ly với là chiều cao của thân ly và V là thể tích của ly. chiều cao H và thể tích V Hãy xác định chiều cao của lượng cocktail đổ

vào theo H để thể tích cocktail trong ly bằng V/2.

Như vậy, để có thể hướng đến việc sử dụng kiến thức, kĩ năng toán vào giải quyết

các vấn đề thực tế, học sinh cần được tạo điều kiện tiếp xúc với các tình huống đặt

trong ngữ cảnh thực tế từ mức độ đơn giản đến phức tạp, từ tình huống mô hình

71

toán đến tình huống toán học hóa và cuối cùng là tình huống thực tế.

2.1.2 Tìm hiểu thể hiện của mô hình hóa trong chương trình

Trong luận án này, chúng tôi chọn chương trình toán 10 nâng cao để nghiên cứu vì

các lý do chủ yếu sau:

- Số bài tập toán cũng như số tiết toán trong chương trình nâng cao nhiều hơn so

với chương trình cơ bản, nên học sinh theo chương trình nâng cao có điều kiện

thực hành, luyện tập, củng cố những kiến thức, kĩ năng toán đã được học nhiều hơn.

- Số tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế ở SGK toán nâng cao nhiều hơn, 46

tình huống so với 28 tình huống ở SGK toán cơ bản, nên học sinh theo chương

trình nâng cao có cơ hội tiếp xúc với các loại tình huống này nhiều hơn.

- Các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế ở SGK toán nâng cao liên quan đến

12 nội dung toán khác nhau của chương trình lớp 10 (xem bảng 2.5), trong khi

đó ở SGK toán cơ bản, chỉ có 6 nội dung toán được sử dụng.

Bảng 2.1 Thống kê số tình huống toán học trong SGK

Toán 10 cơ bản và nâng cao

SGK Toán 10 cơ bản SGK Toán 10 nâng cao

Tình huống toán học 264 567

28 46 Tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế

Tiếp theo, chúng tôi tìm hiểu chương trình, SGK môn Toán lớp 10 nâng cao để trả

lời các câu hỏi sau: Mô hình hóa có được đề cập đến trong chương trình không, nếu

có thì được đề cập như thế nào? Xuất hiện ở những kiến thức nào? Mức độ yêu cầu

ra sao?

2.1.2.1 Các loại tình huống toán học xuất hiện trong SGK Toán 10 nâng cao

Tìm hiểu các loại tình huống toán học xuất hiện trong SGK, chúng tôi nhận thấy có

ba loại sau:

72

(1) Tình huống toán học hóa.

(2) Tình huống mô hình toán.

(3) Tình huống toán học không đặt trong ngữ cảnh thực tế.

Dưới đây là thống kê chi tiết số lượng mỗi loại trong mỗi bài, mỗi chương. Các số

liệu từ sách bài tập được giới thiệu với mục đích tham khảo. Chúng tôi không xét

chương “Mệnh đề - Tập hợp” bởi vì “mục tiêu của chương này là cung cấp cho học

sinh những khái niệm cơ bản mở đầu về logic toán học, tập hợp và tính gần đúng,

làm cơ sở cho toàn bộ chương trình toán phổ thông” (SGV, 2011, [6]).

Chương

Bài

Sách giáo khoa

Sách bài tập

(1)

(2)

(3) Tổng

(1)

(2)

Tổng

(3)

13

16

13

1

1

15

Hàm số bậc nhất và bậc hai

9

1

10

10

2

1

9

13

12

13

3

2

10

5

8

5

Ôn tập

1

7

33

29

33

1+2+3

29

Phương trình Hệ phương trình

13

3

15

16

4

1

2

12

4

5

4

5

5

12

15

12

Ôn tập

15

24

1

20

25

1

1

19

21

21

21

2+3+4

21

Bất đẳng thức Bất phương trình

5

1

7

6

5

2

5

30

27

30

6+7+8

27

23

14

23

Ôn tập

14

21

15

21

1+2+3

Thống kê

15

1

2

6

3

Ôn tập

6

27

1

3

23

31

1+2

3

20

Góc lượng giác Công thức LG

10

14

10

3

14

17

17

17

4

1

16

10

15

10

Ôn tập

15

41

1

25

42

Ôn tập cuối năm

3

22

Tổng

2

37

275

314

3

31 270

304

73

Bảng 2.2 Thống kê các tình huống toán học ở SGK và SBT Đại số 10 Nâng cao

Chương

Bài

Sách giáo khoa

Sách bài tập

(1)

(2)

(3) Tổng

(1)

(2)

(3)

Tổng

Vectơ

1

5

5

5

2

1

1

7

8

4

5

3+4+5

23

23

42

42

Ôn tập

29

29

20

20

1+2

14

14

50

50

3

1

4

1

2

19

24

28

31

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Ôn tập

28

28

20

20

1+2+3+4

29

29

58

58

5

1

5

6

12

1

13

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

6+7+8

13

13

28

Ôn tập

38

38

35

1

1

37

Ôn tập cuối năm

38

38

11

11

Tổng

1

6

246

253

3

4

313

320

Bảng 2.3 Thống kê các tình huống toán học ở SGK, SBT Hình học 10 Nâng cao

Bảng 2.4 Tỉ lệ các tình huống toán học trong SGK và SBT Toán 10 Nâng cao

Tỉ lệ Tình huống

Tình huống toán học hóa SGK 0,53% SBT 0,96%

Tình huống mô hình toán 7,58% 5,6%

91,89% 93,43% Tình huống toán học không đặt trong ngữ cảnh thực tế

Nhìn vào các bảng thống kê, chúng ta dễ dàng nhận thấy cả SGK và SBT đều chú

trọng các tình huống toán học không đặt trong ngữ cảnh thực tế (trên 90%). Những

tình huống này yêu cầu học sinh sử dụng các công thức, quy tắc, quy trình, thuật

toán đã học trong những ngữ cảnh toán học thuần túy, ví dụ như tìm tập xác định,

khảo sát sự biến thiên, giải phương trình, giải và biện luận phương trình, giải hệ

phương trình.

Các tình huống còn lại của SGK được đặt trong ngữ cảnh thực tế nhưng chủ yếu là

74

“tình huống mô hình toán”, ngữ cảnh chỉ là “vỏ bọc” bên ngoài chứa đựng nội dung

toán, và yêu cầu toán học đặt ra rất rõ ràng nhằm mục đích áp dụng kiến thức toán

vừa được học.

Một hãng taxi quy định giá thuê xe đi mỗi kilomet là 6 nghìn đồng đối với 10 km đầu

tiên và 2,5 nghìn đồng đối với các kilomet tiếp theo. Một hành khách thuê taxi đi quãng

đường x kilomet phải trả số tiền là y nghìn đồng. Khi đó, y là một hàm số của đối số x,

xác định với mọi

0x ≥ .

a) Hãy biểu diễn y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng ứng với đoạn [0; 10] và

khoảng (10; +∞ ).

b) Tính f(8), f(10) và f(18).

c) Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) và lập bảng biến thiên của nó.

Ví dụ (bài 25, trang 54, Đại số 10 Nâng cao).

Toàn bộ chương trình chỉ có ba tình huống cần đến quá trình toán học hóa để giải

quyết, chiếm tỉ lệ rất nhỏ 0,53% và cả ba đều là tình huống vật lý.

Biết hai lực cùng tác dụng vào một vật và tạo với nhau góc 400. Cường độ của hai lực

đó là 3N và 4N. Tính cường độ của lực tổng hợp.

Ví dụ (bài 36, trang 66, Hình học 10 Nâng cao).

Tình huống trên không thuộc “thế giới toán học”, muốn giải quyết trước hết học

sinh cần hiểu các thuật ngữ vật lý như “lực”, “cường độ”, “lực tổng hợp”, sau đó lựa

chọn công cụ toán học – vectơ và sử dụng biểu diễn hình học để mô tả tình huống

theo ngôn ngữ toán học. Nhưng thực chất tình huống là áp dụng toán chứ không

phải là tình huống toán học hóa vì nó được đặt ngay trong phần bài tập áp dụng, học

sinh không cần phải suy nghĩ, do dự, lựa chọn kiến thức toán nào cần sử dụng để

giải quyết mà đó chính là chủ đề vừa học.

Như vậy, các bài tập thực tế trong chương trình đều là những minh họa cho các áp

dụng toán, từ một chủ đề toán cụ thể học sinh được chỉ ra các lĩnh vực thực hành

khác nhau mà chủ đề toán đó là hữu ích để sử dụng. Tuy nhiên, ngoại trừ chương

thống kê, số bài tập thực tế theo các chủ đề còn rất ít, mỗi chủ đề chỉ từ 1 – 5 bài

75

(xem bảng 2.5).

Bảng 2.5 Thống kê tình huống mô hình toán theo chủ đề

Chủ đề Tình huống MH toán

Đại cương về hàm số Hàm số bậc nhất Hàm số bậc hai Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Thống kê Góc và cung lượng giác. Một số công thức lượng giác Tổng của hai vectơ Hệ thức lượng trong tam giác Đường Elip Tổng 1 1 3 3 1 2 24 3 1 1 5 1 46

2.1.2.2 Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn thể hiện trong sách giáo khoa

Trong chương trình, SGK hoàn toàn không đề cập đến từ “mô hình hóa” hay “toán

học hóa”, nhưng với mục tiêu “chú trọng ứng dụng thực tế”, “tăng cường những nội

dung thực tiễn, thiết thực, gần gũi với cuộc sống của học sinh” (Trần Văn Hạo,

2006, [4]), SGK đã có những nổ lực để tạo mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn

thể hiện qua các dẫn chứng dưới đây:

- Nhiều ví dụ, bài tập mang tính chất thực tiễn cuộc sống và khoa học được chọn

lọc và đưa vào SGK chẳng hạn như những tình huống liên quan đến xuất khẩu

gạo, thuê xe taxi, khẩu phần thức ăn, phối hợp vitamin, điểm thi, sĩ số học

sinh, chiều cao, cân nặng, mua máy bơm nước, quỹ đạo tàu vũ trụ, cường độ

dòng điện, cường độ lực tổng hợp.

- Sử dụng các tình huống thực tế để dẫn dắt học sinh đi đến những khái niệm,

kiến thức mới. Ví dụ, tình huống sau đây được sử dụng để giới thiệu khái niệm

76

tần số (trang 161, Đại số 10 Nâng cao):

Khi điều tra về năng suất của một giống lúa mới, điều tra viên ghi lại năng suất (tạ/ha)

của giống lúa đó trên 120 thửa ruộng có cùng diện tích 1 ha. Xem xét mẫu số liệu này,

điều tra viên nhận thấy:

10 thửa ruộng có cùng năng suất 30;

20 thửa ruộng có cùng năng suất 32;

30 thửa ruộng có cùng năng suất 34;

15 thửa ruộng có cùng năng suất 36;

10 thửa ruộng có cùng năng suất 38;

10 thửa ruộng có cùng năng suất 40;

5 thửa ruộng có cùng năng suất 42;

20 thửa ruộng có cùng năng suất 44.

Trong mẫu số liệu trên chỉ có tám giá trị khác nhau là: 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44.

Mỗi giá trị này xuất hiện một số lần trong mẫu số liệu.

Số lần xuất hiện của mỗi giá trị trong mẫu số liệu được gọi là tần số của giá trị đó.

(0

360)

a≤ ≤

- Thông qua các ví dụ thực tiễn để củng cố khái niệm, công thức, quy tắc. Ví dụ, sau khi trình bày công thức tính độ dài cung tròn bán kính R có số đo a0

, với mục đích củng cố công thức vừa học, SGK đã đưa ra một

hoạt động cho học sinh, yêu cầu đổi đơn vị hải lý sang đơn vị kilomet (trang

0

=

Một hải lí là độ dài cung tròn xích đạo có số đo

. Biết độ dài xích đạo là

1'

1 60

  

  

40000 km, hỏi một hải lí dài bao nhiêu kilomet?

184, Đại số 10 Nâng cao).

- Chỉ ra khả năng vận dụng của kiến thức toán vào thực tiễn đời sống, điều này

Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với

cơ thể con người. Kết quả như sau: i) Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không

quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B. ii) Một người mỗi ngày

cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B. iii) Do tác động phối hợp của hai loại

vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn 1/2 số đơn vị vitamin A nhưng

không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A.

Giả sử x, y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B mà bạn dùng mỗi ngày.

77

thể hiện ở câu c) trong tình huống sau (trang 135, Đại số 10 Nâng cao):

a) Gọi c (đồng) là số tiền vitamin mà bạn phải trả mỗi ngày. Hãy viết phương trình

biểu diễn c dưới dạng một biểu thức của x và y, nếu giá một đơn vị vitamin A là 9

đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng.

b) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện i), ii), và iii) thành một hệ bất

phương trình rồi xác định miền nghiệm (S) của hệ bất phương trình đó.

c) Tìm phương án dùng hai loại vitamin A và B thỏa mãn các điều kiện trên để số tiền

phải trả là ít nhất, biết rằng c đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của miền

nghiệm (S).

- Cung cấp một số tư liệu giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa toán học và

thực tiễn. Ví dụ thông qua bài đọc thêm về ba đường conic, SGK đã chỉ ra ứng

dụng tính chất quang học của parabol vào việc chế tạo đèn pha, máy viễn

vọng, vô tuyến (trang 125, Hình học 10 Nâng cao).

- Kênh hình trong sách giáo khoa cũng là một cầu nối giữa toán học và thực tiễn

đời sống. Ví dụ sau bài hàm số bậc hai, SGK giới thiệu một số hình ảnh của

đường Parabol trong thực tế (trang 62, Đại số 10 Nâng cao).

Những minh họa như trên là quan trọng, hữu ích và cần thiết để nhấn mạnh các khái

niệm, kĩ năng toán được dạy, đem lại niềm vui, hứng thú, ý nghĩa học tập cho học

sinh, thúc đẩy việc học toán, nhưng không đủ để học sinh có thể mô hình hóa các

tình huống thực tế, chọn và sử dụng những kiến thức, kĩ năng toán phù hợp từ

những nội dung toán đã được học chứ không chỉ liên quan đến chủ đề các em đang

được dạy, để giải quyết vấn đề khi chúng xuất hiện.

Từ phân tích chương trình và sách giáo khoa, chúng tôi nhận thấy nếu đưa quá trình

MHH vào dạy học, bắt đầu với một tình huống thực tế sẽ khó khăn đối với học sinh,

78

vì hiện tại các em chưa được làm quen với việc giải quyết những tình huống như vậy.

2.1.3 Những khó khăn thường gặp khi sử dụng MHH trong lớp học toán

Quá trình mô hình hóa toán học là một quá trình phức tạp và đầy thách thức.

Stillman, 2012

Học sinh trên khắp thế giới đều gặp khó khăn với các nhiệm vụ mô hình hóa.

PISA, 2005

Nghiên cứu từ lý thuyết và thực hành dạy học đã chỉ ra những khó khăn thường gặp

khi sử dụng MHH trong lớp học toán ở một số nước châu Mỹ và châu Âu như sau

(Blum, 2011, [15], Kaiser, 2007, [40], Ikeda, 2007, [34], Burkhardt, 2006, [17]):

- MHH bao gồm việc chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả hai chiều vì

vậy kiến thức toán và kiến thức thực tế đều cần thiết. Tuy nhiên, học sinh

thường thiếu kiến thức thực tế liên quan đến tình huống cũng như kinh nghiệm

để tạo ra các mô hình thực tế.

- Học sinh mất nhiều thời gian trong việc hiểu tình huống, thiết lập các giả thiết,

nhận ra các biến phù hợp, thu thập dữ liệu thực tế để cung cấp thêm thông tin

về tình huống.

- Tình huống thực tế có thể được xây dựng lại theo những cách khác nhau tùy

thuộc vào kinh nghiệm của chính học sinh, đôi khi các em tạo ra một tình

huống giả tưởng xung quanh vấn đề được đặt ra hoặc thoát khỏi môi trường

toán.

- Các tình huống MHH được đặt trong môi trường thực tế thường phức tạp và có

phương án giải quyết “mở” do đó có nhiều cách khác nhau để tiếp cận và có

thể có nhiều kết quả khác nhau, vì vậy giáo viên khó dự đoán trước các cách

giải quyết của học sinh cũng như khó hướng dẫn các em trong quá trình MHH.

Như vậy, các tình huống MHH làm cho việc học toán của học sinh trở nên thách

thức hơn so với các nhiệm vụ toán học thông thường – dễ nắm bắt, thường có quy

tắc, thuật toán, điều này về cơ bản có thể giải thích được bởi sự phức tạp vốn có của

79

các nhiệm vụ MHH. Các khó khăn tập trung chủ yếu ở hai bước chuyển đổi (1) và

(2) của quá trình MHH, từ “tình huống thực tế” đến “mô hình thực tế” và từ “mô

hình thực tế” đến “mô hình toán học”. Chúng tôi nhận thấy rằng, để hạn chế những

khó khăn nêu trên, giáo viên nên đưa ra một mô hình thực tế thay vì một tình huống

thực tế, nghĩa là giáo viên đã thực hiện bước thứ nhất trong quá trình MHH. Khi đó,

tình huống đưa ra vẫn được đặt trong môi trường thực tế, học sinh vẫn phải chuyển

đổi tình huống từ thực tế vào môi trường toán, giải quyết vấn đề toán học, đưa ra kết

quả toán và giải thích kết quả đó trong ngữ cảnh thực tế ban đầu. Rõ ràng cách làm

như vậy vẫn đảm bảo mục đích của tiếp cận MHH theo Galbraith và Stillman

(2006, [28]):

- Phát triển khả năng áp dụng toán vào những vấn đề thực tế;

- Đưa toán học ra khỏi phạm vi lớp học;

- Sử dụng ngữ cảnh thực tế là một thành phần then chốt trong quá trình MHH;

- Thực hiện chuyển đổi từ môi trường thực tế sang môi trường toán và ngược lại.

So với tình huống thực tế ban đầu, tình huống toán học hóa giúp học sinh hình dung

rõ hơn về tình huống, có thêm dữ liệu thông tin vì vậy quá trình xây dựng mô hình

toán học diễn ra thuận lợi hơn.

2.1.4 Xây dựng quá trình toán học hóa

Qua phân tích chương trình, tìm hiểu những khó khăn từ các nghiên cứu, đối với

luận án, chúng tôi đề xuất một quá trình toán học hóa sau đây, đảm bảo mục đích

của tiếp cận MHH, đồng thời giúp học sinh hình thành các năng lực cần thiết để

từng bước sử dụng toán học vào giải quyết các tình huống thực tế. Quá trình gồm

80

bốn bước, bắt đầu với một tình huống toán học hóa.

(1)

Tình huống toán học hóa

Mô hình toán học

(2)

(4)

Kết quả thực tế

Kết quả toán học

(3)

Sơ đồ 2.5 Quá trình toán học hóa

Bước 1: Chuyển đổi từ tình huống toán học hóa sang mô hình toán học

Học sinh xác định các thông tin cần thiết, nhận ra cơ hội để sử dụng toán học trong

tình huống THH, sử dụng các cấu trúc, biễu diễn, đặc trưng toán liên quan để xây

dựng tình huống đã cho theo ngôn ngữ toán học. Quá trình này bao gồm các hoạt

động:

- Nhận ra các yếu tố toán học và các biến quan trọng của tình huống;

- Nhận ra các cấu trúc toán trong tình huống như các quy tắc, các mối quan hệ

toán học;

- Phân biệt giữa các thông tin liên quan và không liên quan đến yêu cầu của tình

huống;

- Sử dụng các biến, kí hiệu, sơ đồ, đồ thị, hình vẽ phù hợp để biểu diễn tình

huống một cách toán học;

- Chuyển các đối tượng, dữ liệu, mối quan hệ, điều kiện, giả thiết, yêu cầu của

tình huống sang ngôn ngữ toán;

- Thiết lập mô hình toán từ tình huống toán học hóa.

Bước 2: Giải toán

Học sinh cần phân tích, lựa chọn, sử dụng các công cụ toán học phù hợp để giải

quyết vấn đề đã được thiết lập dưới dạng toán học và sản phẩm cuối cùng là một kết

81

quả toán. Quá trình này bao gồm các hoạt động:

- Lựa chọn và thực hiện một phương án giải;

- Sử dụng các công cụ toán học như khái niệm, quy tắc, công thức, thuật toán để

tìm ra kết quả;

- Thực hiện các quá trình toán học như: các phép toán số học, giải phương trình,

suy luận logic từ các giả thiết toán học, lấy thông tin từ bảng và đồ thị, phân

tích dữ liệu;

- Sử dụng và chuyển đổi giữa các biểu diễn khác nhau trong quá trình tìm lời giải;

- Thiết lập các quy tắc, nhận ra các kết nối giữa các đối tượng toán học, tạo ra

các lập luận toán học.

Bước 3: Chuyển đổi từ kết quả toán sang kết quả thực tế

Giải thích kết quả toán học trong ngữ cảnh của tình huống ban đầu. Quá trình này

bao gồm các hoạt động:

- Nhận ra các yếu tố thực tế tương ứng với kết quả toán có được;

- Hiểu được kết quả toán cho biết điều gì về tình huống ban đầu;

- Cố gắng giải thích kết quả toán theo ngôn ngữ thực tế thông thường;

- Đôi khi, một câu trả lời đầy đủ đòi hỏi sử dụng những lập luận để có được kết

quả thực tế phù hợp.

Bước 4: Phản ánh

Học sinh phản ánh quá trình toán học hóa và kết quả ngược trở lại tình huống ban

đầu để xác định tính hợp lý và ý nghĩa của kết quả đối với tình huống. Quá trình này

bao gồm các hoạt động:

- Kiểm tra tính hợp lý, thỏa đáng của kết quả với thông tin được cho ban đầu;

- Xem xét ảnh hưởng của các yếu tố thực tế lên kết quả và các tính toán của mô

82

hình để điều chỉnh hay áp dụng kết quả;

- Hiểu phạm vi và hạn chế của mô hình toán, phương pháp giải cũng như công

cụ toán học được sử dụng trong quá trình giải quyết tình huống;

- Giải thích tại sao kết quả không phù hợp với tình huống được cho, xem lại một

số bước hoặc thực hiện lại quá trình toán học hóa nếu kết quả không phù hợp

với tình huống;

- Tìm kiếm các khả năng khác của tình huống (nếu có).

Như vậy, quá trình THH sử dụng trong luận án là một sự thu hẹp quá trình THH của

PISA để có thể phù hợp với chương trình và SGK hiện nay, giúp học sinh từng

bước làm quen, thích ứng với việc sử dụng kiến thức toán đã học vào giải quyết các

tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế ở mức độ vừa phải – tình huống toán học hóa,

đồng thời tạo cơ sở cho việc thực hiện dạy học toán học hóa ở những mức độ cao

hơn.

2.2 THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG TOÁN HỌC HÓA

2.2.1 Lựa chọn nội dung toán

Mục đích của đề tài là phát triển các năng lực HBĐL của học sinh lớp 10, nên dựa

trên chuẩn kiến thức kĩ năng môn toán (lớp 1 – lớp 10) của Bộ Giáo dục và Đào tạo

(2008, [5]), chúng tôi xác định các nội dung toán theo từng lĩnh vực mà học sinh

(tính đến thời điểm các em học xong chương Thống kê) cần hiểu biết và thành thạo

83

để sử dụng trong các tình huống định lượng như sau:

Bảng 2.6 Nội dung toán

Số học Thống kê

Số: các biểu diễn số, các tập hợp số, Thu thập số liệu.

các tính chất của hệ thống số. Biểu diễn số liệu dưới dạng: bảng

Các phép toán số học: cộng, trừ, nhân, phân bố tần số - tần suất, biểu đồ (hình

chia các số thực, các tính chất giao cột, đường gấp khúc, hình quạt).

hoán, phân phối, kết hợp. Giải thích số liệu dựa vào: số trung

Đại lượng và đo đại lượng: độ dài, góc, bình cộng, số trung vị và mốt; phương

diện tích, thể tích, khối lượng, thời sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu

gian, vận tốc, tiền tệ. thống kê.

Phần trăm, tỉ số, tỉ lệ.

Sai số, số gần đúng.

Đại số Hình học

Tập hợp - mệnh đề. Đa giác: tính chu vi, diện tích.

Biểu thức đại số và các phép biến đổi.

Tam giác: tam giác đồng dạng, tam giác bằng nhau, tỉ số lượng giác góc nhọn.

Hình tròn, hình quạt tròn: tính chu vi, diện tích. Hàm số (bậc nhất, bậc hai): khái niệm, các tính chất (đồng biến, nghịch biến, chẵn, lẻ), các cách biểu diễn: bằng lời, biểu thức, kí hiệu, bảng, đồ thị.

Phép đối xứng trục, đối xứng tâm.

Phương trình: phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình quy về bậc nhất và bậc hai. Hình trụ, hình nón, hình cầu: tính diện tích và thể tích.

Hệ phương trình: hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn.

Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình chóp đều: tính diện tích và thể tích, xác định hình khai triển.

Vectơ: tọa độ và các phép toán. Bất phương trình: bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, bất phương trình bậc hai. Tọa độ: phương trình đường thẳng,

84

đường tròn, elip, hypebol, parabol.

Mặc dù các tình huống thực tế có nội dung liên quan đến thống kê cũng là những

tình huống định lượng, tuy nhiên chúng tôi hy vọng sẽ tìm hiểu các tình huống này

trong một nghiên cứu khác liên quan đến hiểu biết thống kê. Như vậy, nếu không kể

chương thống kê, số tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế của chương trình toán 10

nâng cao chỉ là 22.

Bảng 2.7 Các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế - SGK Toán 10 Nâng cao

(không kể chương Thống kê)

Chương Số tình huống

Hàm số bậc nhất và bậc hai 5

Phương trình và hệ phương trình 3

Bất đẳng thức và bất phương trình 3

Góc lượng giác và công thức lượng giác 4

Vectơ 1

Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng 5

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 1

Tổng 22

Mặt khác, tính đến thời điểm tổ chức dạy thực nghiệm, học sinh chỉ mới bắt đầu học

chương VI “Góc lượng giác và công thức lượng giác”, vì vậy trong các chương còn

lại, chúng tôi chọn ba chương có số tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế nhiều

nhất để thiết kế các tình huống, đó là:

- Hàm số bậc hai;

- Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng;

- Bất đẳng thức và bất phương trình.

Bởi vì chúng tôi nghĩ rằng khi học sinh ít nhiều đã làm quen với việc sử dụng những

kiến thức toán này vào một số tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế, mặc dù phần

lớn là tình huống mô hình toán, thì các em sẽ ít bỡ ngỡ hơn khi tiếp xúc với các tình

huống sử dụng trong đề kiểm tra và dạy học thực nghiệm. Hơn nữa, việc lựa chọn

85

cũng đảm bảo công cụ đánh giá có cả nội dung đại số và hình học. Ngoài ra, các nội

dung toán này có thể tìm thấy nhiều ứng dụng liên quan trong thực tế nên sẽ thuận

tiện khi thiết kế các tình huống.

a. Hàm số bậc hai

Nhiều hiện tượng trong thực tế là những ứng dụng của hàm số bậc hai hoặc có thể

sử dụng hàm số bậc hai để mô tả, ví dụ:

- Quỹ đạo của một số chuyển động trong không trung:

Hình 2.2b Đá bóng Hình 2.2a Ném bóng

Hình 2.2c Trượt tuyết Hình 2.2d Biểu diễn mô tô bay

- Thiết kế của các công trình kiến trúc:

Hình 2.3a Cầu Golden Gate ở San Hình 2.3b Cầu cảng Sydney, Úc

86

Francisco – California, Mỹ

Hình 2.3d Hồ cá hải dương học ở Hình 2.3c Tháp Eiffel, Pháp Valencia, Tây Ban Nha

- Trong vật lý, người ta thường sử dụng các vật phản xạ có hình dạng parabol để

tập trung âm thanh, ánh sáng, hoặc sóng radio đến một điểm.

Micro parabol Ăng ten parabol Đèn pin

Hình 2.4

- Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất khi tính doanh thu, lợi nhuận trong kinh doanh

hoặc tính diện tích, thể tích.

b. Bất phương trình – hệ bất phương trình

Trong cuộc sống, đôi khi ta phải so sánh giữa nhiều phương án khác nhau để chọn

ra phương án tối ưu nhất chẳng hạn như lựa chọn giữa các mạng điện thoại, giá thuê

xe của các hãng taxi khác nhau hoặc trong kinh doanh người ta luôn hướng đến chi

phí sản xuất thấp nhất, lợi nhuận cao nhất. Bất phương trình, hệ bất phương trình sẽ

87

hữu ích trong một số trường hợp để giải quyết các vấn đề thực tế tương tự.

c. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Nhiều tình huống trong thực tế liên quan đến việc giải một tam giác bất kì khi biết

một số yếu tố về cạnh và góc của tam giác đó. Định lý sin và cosin cung cấp một

công cụ, kĩ thuật giúp giải quyết những tình huống như vậy.

Hình 2.5a Đo chiều cao ngọn núi Hình 2.5b Ví trí hai diễn viên nhào lộn

có thể “bắt” nhau

Hình 2.5d Xác định vị trí trên biển Hình 2.5c Dắt sà lan biển với hai tàu kéo

2.2.2 Tiêu chí thiết kế tình huống

Trên cơ sở lý thuyết đã trình bày và các thành phần liên quan đến HBĐL, các tình

huống trong nghiên cứu này được thiết kế theo những tiêu chí sau:

- Các tình huống đều là những tình huống toán học hóa, chứa đựng các yếu tố

định lượng và có thể sử dụng quá trình toán học hóa để giải quyết;

- Các ngữ cảnh khác nhau được sử dụng để phản ánh nhiều tình huống trong

88

cuộc sống liên quan đến thông tin định lượng.

- Nội dung toán được sử dụng để giải quyết vấn đề của tình huống thuộc chương

trình từ lớp 10 trở xuống;

- Các tình huống đều ở mức độ vừa phải để học sinh có thể giải quyết trong

khoảng thời gian 30 phút / 1 câu;

- Chọn 10 tình huống, trong đó 4 tình huống được sử dụng để tổ chức dạy thực

nghiệm, 3 tình huống cho bài kiểm tra pretest và 3 tình huống cho bài kiểm tra

posttest.

2.2.3 Thiết kế tình huống

Để tạo ra những tình huống THH có ý nghĩa và phù hợp đối với học sinh, sơ đồ ba

giai đoạn chuyển đổi của một tình huống thực tế (sơ đồ 2.2) cho thấy các tình huống

toán học hóa có thể được thiết kế theo hai cách:

Tình huống thực tế

Tình huống toán học hóa

Cách 1: Từ tình huống thực tế đến tình huống toán học hóa

Tình huống mô hình toán

Tình huống toán học hóa

Cách 2: Từ tình huống mô hình toán đến tình huống toán học hóa

Dựa trên những mô tả của bước thứ nhất trong quá trình MHH, ta có thể xây dựng

các tình huống toán học hóa từ tình huống thực tế như sau:

- Bắt đầu với một tình huống thực tế, tình huống đó phải thích hợp với đối tượng

học sinh và chứa đựng nội dung toán các em đã học;

- Dự kiến những kiến thức, kỹ năng toán học mà học sinh cần sử dụng để thiết

lập mô hình toán và giải toán;

- Làm cho tình huống rõ ràng hơn, tạo mối liên kết giữa tình huống thực tế và

•

toán học bằng cách:

89

Thực hiện đơn giản hóa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa vấn đề;

•

•

Đưa ra các giả thiết phù hợp;

•

Nhận ra các biến trong tình huống để biểu diễn các đặc điểm cần thiết;

Thu thập dữ liệu thực tế để cung cấp thêm thông tin cho tình huống,

• Mô tả chi tiết tình huống;

•

những dữ liệu này sẽ gợi ý loại mô hình toán phù hợp với tình huống;

Câu hỏi được đặt ra một cách rõ ràng.

- Tình huống toán học hóa vẫn phải đảm bảo ngữ cảnh bao gồm các đối tượng thực.

Ngoài ra, chúng ta cũng có thể điều chỉnh các bài toán (tình huống mô hình toán) từ

sách giáo khoa của một số nước hoặc từ các nguồn có sẵn như các nhiệm vụ của

PISA, theo những gợi ý trên để có được những tình huống THH phù hợp với

chương trình và trình độ của học sinh.

Dựa vào một trong hai cách trình bày ở trên cùng với những tiêu chí ở mục 2.2.2,

chúng tôi đã thiết kế mười chín tình huống THH với các ngữ cảnh khác nhau, liên

quan đến ba nội dung toán là hàm số bậc hai, bất phương trình và hệ bất phương

trình bậc nhất, hệ thức lượng trong tam giác.

Bảng 2.8 Các tình huống THH chứa đựng yếu tố định lượng (Xem nội dung chi tiết

ở phụ lục 3)

Hàm số bậc hai Hệ thức lượng trong tam giác

Bất phương trình – Hệ bất phương trình bậc nhất

1. Máy bay 1. Nhịp tim 1. Ném bóng

2. Mái hiên 2. Cước điện thoại 2. Phản ứng

3. Đu quay 3. Kệ gỗ 3. Đài phun nước

4. Tàu kéo 4. Cầu thang 4. Đường hầm

5. Chỗ đỗ xe 5. Khiêu vũ 5. Chuồng bò

6. Ngọn núi 6. Nhà hàng Pizza 6. Kinh doanh

90

7. Quảng cáo

2.2.4 Các mức độ của tình huống toán học hóa

Theo Steen, Turner, Burkhart (2007, [58]) “cùng một học sinh nhưng có thể đạt

mức độ cao về HBĐL khi làm việc với những vấn đề đơn giản và mức độ thấp khi

giải quyết những vấn đề phức tạp”, vì vậy để đánh giá chính xác mức độ HBĐL của

học sinh, chúng tôi nhận thấy cần đo các năng lực HBĐL trong những tình huống

có cùng mức độ phức tạp. Có nhiều yếu tố góp phần tạo nên độ phức tạp của một

tình huống thực tế (Manly, 2008, [44], Stillman, 2003, [59]), tuy nhiên đối với mỗi

tình huống cụ thể, người ta thường tập trung vào một số đặc trưng để đánh giá độ

phức tạp. Trong phạm vi của luận án, chúng tôi chỉ xét đến năm yếu tố sau:

- Ngữ cảnh: tình huống có ngữ cảnh không quen thuộc, không giống với các

tình huống học sinh đã gặp sẽ làm cho học sinh khó khăn hơn trong việc hiểu

tình huống và tìm ra mô hình toán phù hợp so với những ngữ cảnh quen thuộc.

- Thông tin: số lượng thông tin được cho nhiều hay ít, phương thức thông tin

được trình bày trong tình huống đơn giản hay phức tạp cũng là yếu tố ảnh

hưởng đến độ phức tạp của tình huống.

- Số yếu tố cần chuyển đổi: tình huống có ít yếu tố thực tế cần chuyển đổi sang

ngôn ngữ toán học và các yếu tố đó xuất hiện rõ ràng theo cách tình huống

được tổ chức sẽ ít phức tạp hơn những tình huống cần nhiều chuyển đổi.

- Kĩ thuật tính toán: những tình huống đòi hỏi các kiến thức, kĩ năng toán phức

tạp để giải sẽ khó hơn những tình huống chỉ cần các kiến thức, kĩ năng toán

đơn giản.

- Hướng dẫn, gợi ý: một tình huống sẽ dễ dàng đối với học sinh hơn nếu các em

nhận được sự hướng dẫn từ phía giáo viên hoặc từ chính tình huống đó.

Để thuận tiện cho việc xếp loại các tình huống trong luận án, chúng tôi phân chia

các tình huống THH theo 3 mức độ, trong đó mức độ phức tạp tăng dần từ 1 đến 3,

91

thể hiện qua ma trận hai chiều dưới đây.

Bảng 2.9 Các mức độ của tình huống toán học hóa

3 2 1

Ít quen thuộc Quen thuộc

Mức độ Các yếu tố Ngữ cảnh

Không quen thuộc

Thông tin

Nhiều, phức tạp Nhiều Vừa phải, ít phức tạp Vừa phải Ít, đơn giản Ít Số yếu tố cần chuyển đổi

Kỹ thuật tính toán Đơn giản, ít phép toán. Phức tạp, nhiều phép toán.

Ít phức tạp, không có quá nhiều phép toán Ít Nhiều Không Hướng dẫn, gợi ý

Sau khi thiết kế 19 tình huống THH, chúng tôi phân loại các tình huống theo 3 mức

độ trên để có thể sử dụng trong nghiên cứu này.

Bảng 2.10 Phân loại các tình huống THH theo mức độ phức tạp

Hàm số bậc hai Mức độ Mức độ Mức độ Bất phương trình – Hệ bất phương trình bậc nhất Hệ thức lượng trong tam giác

1 1. Máy bay 2 1. Nhịp tim 2 1. Ném bóng

2 2. Mái hiên 2 2. Cước điện thoại 3 2. Phản ứng

2 3. Đu quay 1 3. Kệ gỗ 2 3. Đài phun nước

1 4. Tàu kéo 2 4. Cầu thang 3 4. Đường hầm

2 5. Chỗ đỗ xe 2 5. Khiêu vũ 2 5. Chuồng bò

2 6. Ngọn núi 2 6. Nhà hàng Pizza 3 6. Kinh doanh

3 7. Quảng cáo

Như vậy, có bốn tình huống ở mức độ 3, mười hai tình huống mức độ 2 và ba tình

huống mức độ 1. Nhiều tình huống được xếp vào mức độ 2 vì thiết kế tương tự với

tình huống của SGK nhưng đặt trong ngữ cảnh khác và không có những hướng dẫn

92

toán học chi tiết.

Ví dụ tình huống ĐÀI PHUN NƯỚC dưới đây tương tự với Bài toán về cổng Arch

ĐÀI PHUN NƯỚC. Khi đến thủ đô Lima của Pêru vào ban đêm, du khách có thể

chứng kiến nhiều hình ảnh rất đẹp của các đài phun nước. Trong hình vẽ là một

đoạn đường đi bộ dài 32 m bên dưới một đài phun nước. Các dòng nước được đẩy

lên đến chính xác cùng một độ cao và rơi xuống thành một hàng tạo nên các tia

nước hình parabol. Điều đáng ngạc nhiên là bạn có thể đi qua con đường này mà

không bị ướt. Thi muốn biết độ cao của đường hầm bằng nước này. Cô đo trên mặt

đất khoảng cách giữa điểm nước phun lên và điểm nước rơi xuống là 4 m, ngoài ra

nếu đứng cách chỗ vòi nước phun lên 0,6 m và đưa tay lên thẳng, cô có thể đụng

được nước ở độ cao 1,53 m. Em hãy giúp Thi tính độ cao của đài phun nước này.

Bài toán về cổng Ac-xơ (Arch)

Khi du lịch đến thành phố Xanh Lu-i (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình

parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Ac-xơ. Giả sử ta lập một hệ tọa độ Oxy

sao cho một chân cổng đi qua gốc O như trên hình 2.22 (x và y tính bằng mét), chân

kia của cổng ở vị trí (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ là (10; 43).

a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol nói trên.

b) Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất, làm tròn

kết quả đến hàng đơn vị).

93

(trang 61, Đại số 10 Nâng cao).

Hoặc tình huống CƯỚC ĐIỆN THOẠI tương tự với Bài toán máy bơm nước (trang

CƯỚC ĐIỆN THOẠI Phí dịch vụ của gói cước QTeen mạng di động Mobiphone

là 1280 đồng cho mỗi phút gọi. Gói cước Basic của mạng di động Viettel có phí

thuê bao là 50000 đồng mỗi tháng cộng thêm 990 đồng cho mỗi phút gọi. Theo em,

sử dụng gói cước nào sẽ tiết kiệm chi phí hơn? Tại sao?

Bài toán máy bơm nước

Một gia đình muốn mua một chiếc máy bơm nước. Có hai loại với cùng lưu lượng

nước bơm được trong một giờ; loại thứ nhất giá 1,5 triệu đồng, loại thứ hai giá 2

triệu đồng. Tuy nhiên, nếu dùng máy bơm loại thứ nhất thì mỗi giờ tiền điện phải

trả là 1200 đồng, trong khi dùng máy bơm loại thứ hai thì chỉ phải trả 1000 đồng

cho mỗi giờ bơm.

Kí hiệu f(x) và g(x) lần lượt là số tiền (tính bằng nghìn đồng) phải trả khi sử dụng

máy bơm loại thứ nhất và loại thứ hai trong x giờ (bao gồm tiền điện và tiền mua

máy bơm).

a) Hãy biểu diễn f(x) và g(x) dưới dạng các biểu thức của x.

b) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

c) Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ấy. Hãy phân tích ý nghĩa kinh tế của

giao điểm đó.

94

97, Đại số 10 Nâng cao).

Sau khi thiết kế các tình huống và sắp xếp vào các mức độ tương ứng, chúng tôi

chọn ra 10 tình huống (hai tình huống mức độ 1 và 8 tình huống mức độ 2) để dạy

thực nghiệm và kiểm tra gồm:

Bảng 2.11 Các tình huống dạy thực nghiệm và kiểm tra

Tình huống Nội dung toán Độ khó

Hàm số bậc hai

Ném bóng Đài phun nước Chuồng bò 1 2 2

Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất

Cước điện thoại Kệ gỗ Cầu thang Nhà hàng Pizza 2 2 2 2

Hệ thức lượng trong tam giác

Máy bay Đu quay Ngọn núi 1 2 2

Như vậy, phát triển các năng lực HBĐL trong nghiên cứu được xem xét đối với các

tình huống THH ở mức độ 2 bởi vì học sinh chưa có kinh nghiệm với quá trình

THH và các tình huống định lượng, nếu sử dụng các tình huống mức độ 3 là quá

khó, quá phức tạp đối với các em trong khoảng thời gian hạn chế 30 phút. Ngược

lại, các tình huống ở mức 1 thì khá đơn giản nên sẽ khó thấy được sự phát triển như

Steen, Turner, Burkhardt (2007, [62]) đã nhận định “… để nhận ra sự tiến bộ trong

HBĐL, học sinh cần giải quyết những vấn đề phức tạp trong những ngữ cảnh ít

quen thuộc”. Hai tình huống mức độ 1 được sử dụng trong hai bài kiểm tra chỉ

nhằm mục đích giúp học sinh làm quen với cách giải quyết một tình huống định lượng.

2.2.5 Thử nghiệm và sửa chữa

Mỗi tình huống trong bảng 2.11 được thử nghiệm ở một lớp 10 học chương trình

Toán nâng cao, thuộc trường THPT Hai Bà Trưng và THPT Nguyễn Huệ, Thành

phố Huế. Thời gian dành cho mỗi tình huống là 30 phút, học sinh làm việc cá nhân

95

và trình bày kết quả vào phiếu học tập. Đồng thời, học sinh được khuyến khích đưa

ra bất kì câu hỏi nào liên quan đến tình huống mà các em chưa hiểu rõ và mạnh dạn

giải quyết tình huống theo cách hiểu của mình.

a. Mục đích thử nghiệm

Thử nghiệm được tiến hành nhằm các mục đích sau:

- Cung cấp thông tin về những vấn đề học sinh gặp phải đối với các tình huống,

giúp chúng tôi có một hình dung ban đầu về thái độ, khả năng xử lý tình huống

của học sinh và bất kì trở ngại nào khác. Chẳng hạn, học sinh có hiểu được tình

huống mà chúng tôi đã thiết kế không; có những giả thiết, từ ngữ nào mơ hồ,

khó hiểu hay gây hiểu nhầm ở học sinh không; có tình huống nào quá khó hay

quá đơn giản đối với học sinh; học sinh có thể giải quyết tình huống trong thời

gian 30 phút không; độ khó của tình huống là đã phù hợp chưa.

- Dựa trên những thông tin phản hồi thu nhận được, chúng tôi thực hiện cải tiến

các tình huống như: thêm hoặc bớt thông tin, đưa ra các bước hướng dẫn, gợi ý

đối với những tình huống khó, phức tạp; thêm vào các ràng buộc ở tình huống

dễ với hầu hết học sinh; thay thế các từ ngữ có khả năng gây hiểu nhầm; đưa

thêm các giải thích giúp học sinh hiểu đúng tình huống; loại bỏ những tình

huống mà tất cả học sinh đều trả lời đúng hoặc trả lời không đúng.

- Đồng thời nghiên cứu thử nghiệm góp phần làm gia tăng độ tin cậy của bộ công cụ.

b. Kết quả thử nghiệm

Qua thử nghiệm cho thấy học sinh gặp nhiều trở ngại, khó khăn trong quá trình hiểu

và giải quyết bốn tình huống dưới đây, vì vậy chúng tôi đã có những thay đổi, chỉnh

sửa để phù hợp với mục đích thực nghiệm.

i. Tình huống “Nhà hàng pizza”

Tình huống này được chúng tôi xếp ở mức độ 2, nhưng kết quả thử nghiệm khá bất

ngờ, khi phần lớn học sinh đều cho rằng tình huống khó đối với các em vì ba

96

nguyên nhân chính sau đây:

- Tình huống phức tạp, có quá nhiều thông tin;

- Học sinh lúng túng khi xử lý thông tin “nhà hàng cần ít nhất 18 nhân viên

trong thời gian cao điểm 16:00 – 20:00”;

- Học sinh không biết phải tính tiền lương như thế nào.

Nhằm giảm bớt những khó khăn trên, chúng tôi đã chỉnh sửa lại tình huống bằng cách:

- Thêm từ “mỗi ngày” vào yêu cầu của tình huống (“Em hãy giúp nhà hàng tính

số nhân viên cần cho mỗi ca để số tiền lương phải trả mỗi ngày là thấp nhất.”)

để học sinh có thể xác định số tiền mà nhà hàng phải trả.

- Đưa thêm hai nhiệm vụ giúp học sinh hiểu rõ hơn về tình huống

Nhiệm vụ 1. Em hãy điền các thông tin còn thiếu vào bảng dưới đây:

≥ 4

Khoảng thời gian Ca Số nhân viên Tiền lương / 1 giờ

15000 đồng

12:00 – 16:00 16:00 – 20:00 20:00 – 24:00 Ca đêm

Số nhân viên ca đêm …………………. số nhân viên ca ngày

Nhiệm vụ 2. Trả lời câu hỏi sau: Số tiền lương một ngày nhà hàng phải trả cho

mỗi nhân viên ca ngày là bao nhiêu? Mỗi nhân viên ca đêm là bao nhiêu?

Do các gợi ý được đưa thêm vào mà tình huống vẫn xếp ở mức độ 2. Bởi vì, nếu trả

lời đúng hai nhiệm vụ trên thì thông tin tình huống lúc này sẽ trở nên rõ ràng hơn và

có thể được phát biểu hoàn toàn tương tự “Bài toán vitamin” trang 135, Đại số 10

Nâng cao.

Một nhà hàng bán bánh Pizza thuê nhân viên phục vụ làm việc theo hai ca: ca ngày

và ca đêm.

- Tiền lương của nhân viên ca ngày là 104000 đồng / ngày và nhân viên ca đêm

97

là 120000 đồng / ngày.

- Nhà hàng cần ít nhất 4 nhân viên ca ngày, không quá 16 nhân viên ca đêm và

số nhân viên hai ca ít nhất là 18.

- Do khách ban đêm thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca đêm tối

thiểu phải gấp đôi số nhân viên ca ngày.

Em hãy giúp nhà hàng tính số nhân viên cần cho mỗi ca để số tiền lương phải trả

mỗi ngày là thấp nhất.

ii. Tình huống “Chuồng bò”

Đối với tình huống này, một số học sinh đã hiểu cụm từ “tận dụng một mặt tường

nhà để làm chuồng” theo nghĩa “tận dụng toàn bộ một mặt tường nhà để làm một

mặt chuồng”.

HS: Có phải chuồng bò là hình chữ nhật có một cạnh bằng 15 m?

Câu hỏi thứ hai của học sinh liên quan đến thông tin “thừa” của tình huống. Học

sinh thường có thói quen sử dụng tất cả các thông số trong giả thiết vào giải toán,

thói quen này đã được hình thành từ nhỏ đến lớn, từ những bài tập toán mà các em

đã gặp. Vì vậy, khi đọc tình huống, một số học sinh đã phân vân không biết nên tính

diện tích hay thể tích của chuồng bò.

HS: Tình huống yêu cầu tạo ra chuồng bò có diện tích lớn nhất hay thể tích lớn

nhất, vì trong giả thiết có yếu tố “... hàng rào ... cao 0,8 m”?

Sau khi được giải thích và hiểu rõ tình huống, nhiều học sinh đã giải quyết rất tốt

tình huống này. Và chúng tôi quyết định khi thực nghiệm sẽ giải thích cho học sinh

hai vấn đề sau đây:

- Cụm từ “tận dụng một mặt tường nhà để làm chuồng” nghĩa là để tiết kiệm vật

liệu, một mặt chuồng sẽ sử dụng bức tường có sẵn, tuy nhiên dùng bao nhiêu

mét tường thì tùy thuộc vào kích thước chuồng mà anh Dân cần dựng.

- Trong một tình huống thực tế, đôi khi có những thông tin chỉ nhằm mục đích

98

mô tả, làm cho tình huống cụ thể hơn, nhưng không cần thiết khi giải quyết

tình huống. Vì vậy, học sinh cần lựa chọn những thông tin phù hợp với mục

đích của mình.

iii. Tình huống “Cầu thang”

Qua thử nghiệm, chúng tôi nhận thấy những khó khăn học sinh gặp phải khi giải

quyết tình huống này là:

- Học sinh mất nhiều thời gian để phát hiện ra rằng họ cần xác định mối quan hệ

giữa các đối tượng, cụ thể là chiều dài cầu thang và chiều sâu bậc, khoảng cách

giữa hai sàn và chiều cao bậc để có thể giải quyết tình huống. Do đó, hai nhiệm

vụ được đưa vào để giúp các em rút ngắn thời gian tìm ra phương pháp giải.

Nhiệm vụ 1. Chiều dài cầu thang có mối quan hệ với …………………………

A. Chiều cao bậc B. Chiều sâu bậc C. Khoảng cách giữa hai sàn

Mối quan hệ đó là:

Chiều dài cầu thang = …………………………………………………………..

Nhiệm vụ 2. Khoảng cách giữa hai sàn có mối quan hệ với …………………

A. Chiều cao bậc B. Chiều sâu bậc C. Chiều dài cầu thang

Mối quan hệ đó là:

Khoảng cách giữa hai sàn = …………………………………………………….

- Nhiều học sinh không biết rằng số bậc cầu thang được tính bao gồm cả sàn

tầng hai, vì thế chúng tôi đã bổ sung thêm lưu ý này.

Lưu ý: số bậc được tính bao gồm cả sàn tầng 2, ví dụ trong hình vẽ, cầu thang

có tất cả 9 bậc.

- Trên thực tế, khi thiết kế một cầu thang an toàn, người ta thường quan tâm đến

ba yếu tố đó là chiều cao bậc, chiều sâu bậc và độ dốc của cầu thang. Vì vậy,

tình huống cung cấp cho học sinh thông tin cả ba yếu tố trên. Theo dự kiến của

chúng tôi, thông tin “độ dốc của cầu thang được tính bằng tỉ số giữa chiều cao

bậc và chiều sâu bậc phải từ 0,5 đến 0,7” chỉ sử dụng để kiểm tra lại kết quả và

99

lựa chọn những giá trị phù hợp. Nhưng qua thử nghiệm, phần lớn học sinh lại

đưa tình huống về giải hệ 4 bất phương trình, điều này làm cho tình huống trở

nên phức tạp hơn ở bước giải toán. Do đó chúng tôi quyết định bỏ chi tiết độ

dốc trong tình huống, hơn nữa các kết quả tìm được đều thỏa mãn điều kiện này.

- Ngoài ra, một số học sinh xác định sai mối quan hệ giữa chiều sâu bậc và

chiều dài cầu thang, nghĩa là chiều dài cầu thang = số bậc × chiều sâu bậc,

nhưng kết quả vẫn có thể đúng vì số bậc tìm được là 13 hoặc 14, tình cờ đó

cũng là tập con của tập nghiệm đúng {13; 14; 15}. Vì vậy, để tránh sự trùng

hợp này, chúng tôi thay đổi khoảng cách giữa hai sàn là 2,8 m.

iv. Tình huống “Đu quay”

- Đối với tình huống này, nhiều học sinh cảm thấy bối rối, không hiểu ý nghĩa

của câu “độ cao của các máy bay thay đổi khi độ dài của xi lanh thủy lực AC

cố định tại điểm C thay đổi” hay nói cách khác là không hiểu được trong câu

trên yếu tố nào thay đổi và yếu tố nào cố định. Do đó, chúng tôi sửa lại “độ cao

của các máy bay thay đổi phụ thuộc vào độ dài của xi lanh thủy lực AC. Xi

lanh này được gắn cố định tại điểm C nhưng độ dài AC có thể thay đổi”.

- Tình huống yêu cầu tính khoảng cách từ máy bay đến mặt đất trong hai trường

hợp cao nhất và thấp nhất. Mặc dù, việc xây dựng mô hình và tìm kiếm

phương pháp giải đối với trường hợp cao nhất là khá đơn giản, nhưng qua thử

nghiệm chúng tôi nhận thấy không đảm bảo đủ lượng thời gian cần thiết để

học sinh giải quyết tình huống. Nên trong phần thực nghiệm, chúng tôi chỉ yêu

cầu học sinh tính khoảng cách thấp nhất từ máy bay đến mặt đất. Chúng tôi

chọn trường hợp này bởi vì số đo góc ABC∠ không dễ dàng thấy ngay như khi

độ dài trục thủy lực AC = 1,5 m và mô hình toán cần xây dựng không giống

như hình vẽ 2 mà tình huống cung cấp, đòi hỏi học sinh phải phân tích, suy

luận để có được một mô hình chính xác, phù hợp.

Dựa trên kết quả thử nghiệm, chúng tôi quyết định sắp xếp các tình huống để dạy

100

thực nghiệm và kiểm tra như sau:

Bảng 2.12 Sắp xếp các tình huống theo mục đích thực nghiệm

Mục đích Tình huống Độ khó

Pretest

Máy bay Cước điện thoại Đài phun nước 1 2 2

thực Dạy nghiệm

Nhà hàng Pizza Chuồng bò Cầu thang Đu quay 2 2 2 2

Posttest

Kệ gỗ Ném bóng Ngọn núi 1 2 2

2.3 XÂY DỰNG THANG ĐÁNH GIÁ ĐỂ ĐO MỨC ĐỘ PHÁT TRIỂN CÁC

NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG CỦA HỌC SINH QUA QUÁ TRÌNH

TOÁN HỌC HÓA

Thiết kế thang đánh giá giúp đo mức độ đạt được các năng lực HBĐL trong nhiều

nhiệm vụ THH chứa đựng yếu tố định lượng khác nhau là cần thiết để nghiên cứu

sự thay đổi của các năng lực đó. Dựa trên thang đánh giá năng lực HBĐL của sinh

viên do Hiệp hội các trường Đại học Mỹ ACC&U đưa ra năm 2009, cùng với các

hoạt động của quá trình THH trình bày ở mục 2.1.4, chúng tôi đã điều chỉnh và phát

triển một thang đánh giá áp dụng để đo mức độ phát triển năng lực HBĐL qua bài

làm của học sinh trong nghiên cứu này, bằng cách chỉnh sửa các năng lực sao cho

phù hợp với tiếp cận của đề tài, viết lại các mô tả mức độ đạt được một cách chi tiết

và thích hợp hơn với đối tượng học sinh lớp 10.

Cụ thể là thang đánh giá của AAC&U mô tả 4 mức độ của sáu năng lực HBĐL -

gồm giải thích, biểu diễn, tính toán, phân tích/tổng hợp, đặt giả thiết, giao tiếp - mà

ta có thể quan sát được qua sản phẩm hồ sơ học tập điện tử của sinh viên:

- Mức 1: nổ lực thực hiện các hoạt động liên quan đến năng lực nhưng không

101

thành công;

- Mức 2: thực hiện các hoạt động liên quan đến năng lực nhưng có một số lỗi nhỏ,

hoặc chỉ đúng một phần;

- Mức 3: thực hiện các hoạt động liên quan đến năng lực đúng, chính xác, đầy đủ;

- Mức 4: thực hiện các hoạt động liên quan đến năng lực không chỉ đúng, chính

xác, đầy đủ mà còn thành thạo, hiệu quả, thuyết phục thể hiện một sự hiểu biết

sâu sắc về HBĐL.

4

3

2

1

Chuyển đổi thành thạo các thông tin liên quan sang dạng toán học một cách phù hợp.

Hoàn thành việc chuyển đổi thông quan liên tin sang dạng toán học nhưng không phù hợp hoặc không chính xác.

Hoàn thành việc chuyển đổi thông quan liên tin sang dạng toán học nhưng chỉ thích hợp hoặc chính xác một phần.

Biểu diễn Chuyển đổi khéo léo các thông tin sang dạng toán học, thể hiện sự hiểu biết một cách sâu sắc về vấn đề cũng như kiến toán thức liên quan.

Dưới đây là ví dụ về bốn mức độ đánh giá năng lực “Biểu diễn” theo AAC&U:

Từ thang đánh giá của AAC&U, chúng tôi đã thực hiện một số thay đổi sau đây để

tạo ra thang đánh giá sử dụng trong phạm vi luận án này:

- Thay đổi tên gọi của các năng lực;

- Thang đánh giá của AAC&U đã mặc định điểm 0 đối với một năng lực nếu

năng lực đó không đáp ứng mức độ 1 hoặc không xuất hiện trong phần trả lời.

Chúng tôi đã thêm vào mức điểm 0 để thừa nhận một cách rõ ràng sự có mặt

hay vắng mặt năng lực đó trong bài làm của học sinh;

- Trong thang đánh giá của AAC&U, mức độ 4 để chỉ sự thành thạo của năng

lực, điều này đòi hỏi học sinh phải tích lũy kinh nghiệm qua một quá trình học

tập chú trọng đến HBĐL. Tuy nhiên, đối với các nhiệm vụ THH, chúng tôi chỉ

yêu cầu học sinh thực hiện các hoạt động đúng, phù hợp, chính xác, đầy đủ do

102

đó chúng tôi đã kết hợp mức độ 3 và 4 với nhau;

- Ngoài ra, như đã phân tích ở phần 1.3, khi giải quyết một nhiệm vụ THH học

sinh cần đến cả sáu năng lực HBĐL, vì vậy mỗi năng lực đều được chúng tôi

xem xét trong ba giai đoạn của quá trình THH:

+ Chuyển đổi từ tình huống toán học hóa sang mô hình toán học;

+ Giải toán;

+ Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế và phản ánh.

Như vậy, các năng lực HBĐL sẽ được đánh giá ở mỗi giai đoạn của quá trình THH

từ mức độ 0 đến mức độ 3 nên mức điểm cao nhất của mỗi năng lực là 9 và thấp

nhất là 0. Dưới đây là các thang đánh giá sáu năng lực HBĐL gồm giao tiếp với

toán học; phân tích và xây dựng mô hình toán học; suy luận; sử dụng kí hiệu, thuật

ngữ toán học và thực hiện các phép toán; biểu diễn; giải quyết vấn đề.

Bảng 2.13 Thang đánh giá năng lực giao tiếp với toán học

Các mức độ đạt được

Năng lực

HBĐL 3 2 1 0

Không nhận ra thông tin nào.

Nhận ra tất cả thông liên tin quan và hiểu đúng yêu cầu của tình huống. Nhận ra và hiểu số đúng một liên tin thông quan đến tình huống.

Nhận ra một số liên thông tin tình quan đến huống nhưng không hiểu đúng thông tin nào.

Không trình bày bước giải nào. Giao tiếp với toán học

Trình bày các bước giải một cách ràng, rõ đầy đủ và logic.

Trình bày các bước giải thiếu không logic, đúng, không mạch lạc hoặc khó hiểu. Trình bày các bước giải đúng, nhưng không đầy đủ hoặc thể hiện phương pháp giải đúng

nhưng chưa

103

hoàn thành.

Giải thích kết quả toán trong Giải thích kết quả toán trong Giải thích kết quả toán trong Không có giải thích.

tình huống ban tình huống ban tình huống ban

đầu hợp lý. đầu chưa hợp lý đầu không hợp

nhưng có thể lý.

chấp nhận.

Bảng 2.14 Thang đánh giá năng lực phân tích và xây dựng mô hình toán học

Các mức độ đạt được

Năng lực

HBĐL 3 2 1 0

tạo

Không ra một mô hình

Tạo ra một mô hình toán học phù hợp với tình Mô hình toán học không phản tình ánh đúng toán học nào.

Mô hình toán học được tạo ra chỉ phản ánh tình một phần huống. huống.

huống được cho.

Phân tích và xây dựng mô hình toán

học Không sử dụng mô hình đã xây dựng để hướng trình dẫn quá

GQVĐ.

Sử dụng mô hình xây đã dựng để nắm bắt các điều kiện, mối quan hệ hướng dẫn quá Sử dụng mô hình xây đã dựng để nắm bắt các điều kiện, mối quan hệ toán học nhưng

trình GQVĐ. không đúng.

Sử dụng mô hình xây đã dựng để nắm bắt một điều số kiện, mối quan học hệ toán trọng quan không nhưng

đầy đủ.

Nhận ra phạm vi, hạn chế của mô hình được sử Nhận ra phạm vi, hạn chế của mô hình, nhưng Không nhận ra phạm vi, hạn chế của mô hình

Nhận ra một số phạm vi, hạn chế của mô hình không nhưng dụng. không đầy đủ. được sử dụng.

104

đúng.

Bảng 2.15 Thang đánh giá năng lực suy luận

Các mức độ đạt được

Năng lực

HBĐL 3 2 1 0

Phân tích, tổng Dựa vào suy Sử dụng suy Không sử dụng

hợp, đánh giá luận để hiểu luận sai dẫn đến suy luận để hiểu

thông tin để hiểu đúng các mối hiểu sai các mối các mối quan hệ

quan hệ quan của tình huống. Suy đúng các mối quan hệ của tình quan hệ quan tình trọng của trọng. luận huống. huống.

Rút ra kết luận từ các suy luận Kết luận không suy trên dựa

không đúng. luận.

Sử dụng các suy luận đúng và hợp lý để đưa ra luận kết các suy Sử dụng luận để rút ra kết luận phù hợp nhưng có những

đúng. lỗi nhỏ về logic.

Không xem xét ảnh hưởng của các yếu tố thực

tế lên kết quả.

Xem xét ảnh hưởng của các yếu tố thực tế lên kết quả và cung cấp lý do Xét ảnh hưởng của các yếu tố thực tế lên kết quả nhưng không đưa ra lý Chỉ ảnh ra hưởng của các yếu tố thực tế lên quả kết không nhưng

105

hợp lý. do. đúng.

Bảng 2.16 Thang đánh giá năng lực sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực

hiện các phép toán

Các mức độ đạt được

Năng lực

HBĐL 3 2 1 0

Sử dụng các kí hiệu, ngôn ngữ Sử dụng các kí hiệu, ngôn ngữ Sử dụng các kí hiệu, ngôn ngữ Không sử dụng hiệu, kí các Sử

toán học đúng toán học để biểu toán học để biểu ngôn ngữ toán dụng

và phù hợp để diễn tình huống diễn tình huống học để biểu diễn kí

biểu diễn tình đúng nhưng nhưng không tình huống. hiệu,

huống THH. không đầy đủ. đúng.

Không thực hiện tính toán nào.

Sử dụng đúng các công thức, quy tắc. Sử dụng đúng các công thức, quy tắc. Sử dụng sai các công thức, quy tắc.

Hoặc thực hiện các tính toán sai quan trọng.

thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán toán tính Các liên quan đến bài toán là đúng và dẫn đến kết quả đúng.

Một số tính toán sai không đáng kể hoặc tính toán đúng nhưng chưa đi đến kết quả.

Không thể chuyển kết quả toán sang kết quả thực tế.

Chuyển kết quả toán sang kết tế thực quả không nhưng đúng. Chuyển kết quả toán sang kết tế thực quả không nhưng đầy đủ.

106

Hiểu mối quan hệ giữa ngôn và toán ngữ ngôn ngữ thực thể tế để có chuyển kết quả toán sang kết quả thực tế.

Bảng 2.17 Thang đánh giá năng lực biểu diễn

Các mức độ đạt được

Năng lực

HBĐL 3 2 1 0

Sử dụng các Sử dụng các Sử dụng các Không sử dụng Biểu

biểu diễn toán biểu diễn toán biểu diễn toán biểu diễn toán diễn

đúng và phù hợp đúng để biểu không đúng để

nào để biểu diễn tin thông các thực tế. để biểu diễn các thực tin thông diễn các thông tế thực tin biểu diễn các thực tin thông

tế. nhưng có những tế.

biểu diễn chưa phù hợp.

Không sử dụng biểu diễn nào.

các Sử dụng biểu diễn không đúng, không phù trong quá hợp trình giải quyết vấn đề toán học. Liên kết nhiều biểu diễn khác nhau khi tương tác với vấn đề để tìm ra kết quả.

Sử dụng nhiều biểu diễn khi tương tác với vấn đề để tìm ra kết quả nhưng có những biểu diễn chưa phù hợp.

Không sử dụng biểu diễn nào.

Biểu diễn kết quả thực tế dưới dạng phù hợp. Biểu diễn kết quả tế thực không đúng. Biểu diễn kết tế thực quả nhưng

107

đúng chưa phù hợp.

Bảng 2.18 Thang đánh giá năng lực giải quyết vấn đề

Các mức độ đạt được

Năng lực

HBĐL 3 2 1 0

Phát hiện và Phát hiện và Thiết lập một Không thể thiết

thiết lập một vấn thiết lập một vấn vấn đề toán học lập một vấn đề

đề toán học từ đề toán học từ từ tình huống toán học từ tình

tình huống được tình huống được được cho nhưng huống được cho. Giải cho nhưng chưa cho. không đúng. quyết đầy đủ. vấn đề

Lựa chọn một phương pháp hiệu quả để giải Lựa chọn một phương pháp giải quyết hợp Không đưa ra một phương pháp giải quyết

ra một Đưa phương pháp giải quyết không phù hợp, không quyết. lý. nào.

đúng.

tính tra Kiểm thỏa lý, hợp đáng của kết quả toán đối với tình

Không thực hiện tính tra kiểm hợp thỏa lý, đáng của kết quả toán đối với tình huống ban đầu.

Thực hiện kiểm tra tính hợp lý, thỏa đáng của kết quả toán đối với tình huống ban đầu nhưng huống ban đầu.

chưa đầy đủ.

108

thực Cố gắng tra hiện kiểm tính hợp lý, thỏa đáng của kết quả toán đối với tình huống ban đầu nhưng không đúng.

Tóm tắt chương 2

Trong chương này, chúng tôi đã tiến hành phân loại các tình huống toán học gồm

tình huống thực tế, tình huống toán học hóa, tình huống mô hình toán và tình huống

không đặt trong ngữ cảnh thực tế. Sau đó, dựa trên việc tìm hiểu thể hiện của MHH

trong chương trình và phân tích những khó khăn thường gặp khi sử dụng MHH

trong lớp học toán từ các nghiên cứu trước, cùng với khái niệm THH của PISA để

xây dựng một quá trình THH phù hợp với chương trình phổ thông hiện nay. Bên

cạnh đó, chúng tôi đã thiết kế 19 tình huống THH chứa đựng yếu tố định lượng,

trong nhiều ngữ cảnh khác nhau và liên quan đến ba nội dung toán của lớp 10, rồi

chọn ra 10 tình huống có cùng mức độ phức tạp, tiến hành thử nghiệm và sửa chữa

để sử dụng trong dạy học thực nghiệm ở chương tiếp theo. Đồng thời, chúng tôi

cũng đã xây dựng thang đánh giá 6 năng lực HBĐL của học sinh theo 4 mức độ để

có thể đo các năng lực này qua bài làm của các em, đó là giao tiếp; phân tích và xây

dựng mô hình toán học; suy luận; sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện

các phép toán; biểu diễn và giải quyết vấn đề. Ngoài ra, chương này cũng đưa ra

những gợi ý giúp giáo viên có thể thiết kế các tình huống THH phục vụ trong giảng

109

dạy và đề xuất một cách xác định độ phức tạp của tình huống THH theo ba mức độ.

CHƯƠNG 3

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Sau khi xây dựng bộ công cụ đánh giá các năng lực hiểu biết định lượng, chương

này trình bày các công việc tiếp theo của nghiên cứu đó là thực nghiệm, phân tích

kết quả thực nghiệm và rút ra kết luận.

3.1 MỤC ĐÍCH, NGỮ CẢNH VÀ KẾ HOẠCH THỰC NGHIỆM

3.1.1 Mục đích thực nghiệm

- Truyền đạt kiến thức liên quan đến quá trình toán học hóa cho học sinh một

cách không tường minh, đồng thời rèn luyện khả năng sử dụng quá trình THH

vào giải quyết nhiều tình huống định lượng khác nhau;

- Phát triển năng lực HBĐL của học sinh, theo như Hallett (2001, [31]) đã chỉ ra

“HBĐL là thói quen của trí tuệ, là hoạt động dựa trên kĩ năng vì vậy HBĐL

được học tốt nhất bằng cách thực hành, tích cực sử dụng kiến thức toán để giải

quyết các tình huống định lượng”;

- Thu thập dữ liệu, chứng cứ và phân tích để khảo sát chiều hướng phát triển các

năng lực HBĐL của học sinh qua bốn buổi dạy học thực nghiệm, cũng như

trước và sau đợt thực nghiệm.

3.1.2 Ngữ cảnh thực nghiệm

Nghiên cứu được thực hiện đối với 46 học sinh lớp 10A2 trường THPT Đặng Huy

Trứ, huyện Hương Trà, thành phố Huế. Hai lý do chính mà chúng tôi chọn lớp thực

nghiệm này là:

110

- Lớp học theo chương trình Toán 10 nâng cao;

- Đây là trường thuộc ngoại ô thành phố Huế, học sinh tuyển vào lớp 10 của

trường với mức điểm không quá cao hay quá thấp, vì vậy có thể đại diện cho

những học sinh đang theo chương trình nâng cao.

Thời điểm thực nghiệm được chọn là khi học sinh đang ở gần cuối của chương trình

lớp 10, còn 9 tuần là kết thúc năm học. Lúc này, học sinh đã được học phần lớn nội

dung toán của chương trình vì vậy có thể đánh giá khả năng các em sử dụng những

kiến thức và kĩ năng toán học đó vào giải quyết các tình huống toán học hóa.

Việc nắm vững các kiến thức toán là cần thiết để HBĐL (Hallett, 2003, [32]), nên

chúng tôi đã thu thập điểm kiểm tra của các học sinh trong lớp xét đến thời điểm

thực nghiệm và dưới đây là kết quả thống kê điểm trung bình môn Toán của học

sinh lớp 10A2.

Bảng 3.1 Kết quả thống kê điểm trung bình môn Toán của học sinh lớp 10A2

Số học sinh Điểm trung bình Trung vị Độ lệch chuẩn Điểm thấp nhất Điểm cao nhất 46 7.31 7.45 1.1 4.40 9.10

Hình 3.1 Biểu đồ tần số hình cột

Kết quả thống kê cho thấy, số trung bình và số trung vị của mẫu số liệu gần bằng

111

nhau, điều đó chứng tỏ điểm trung bình môn Toán của các học sinh trong lớp ít có

sự chênh lệch đáng kể. Ngoài ra, điểm trung bình trên 6,5 chiếm 80,43% tổng số

học sinh, như vậy hơn 4/5 học sinh của lớp đạt loại khá về môn Toán, chứng tỏ

phần lớn học sinh nắm vững các kiến thức toán đã học. Đây là một thuận lợi cho

việc thực nghiệm HBĐL.

3.1.3 Kế hoạch thực nghiệm

Từ phân tích ở mục 2.1.2, chúng tôi đã chỉ ra rằng nội dung “mô hình hóa” hay

“toán học hóa” đều không tồn tại trong chương trình Toán 10 Nâng cao hiện hành.

Ngoài ra, các tình huống toán học hóa không gắn với một nội dung toán học cụ thể

nào, mà đòi hỏi học sinh cần lựa chọn và sử dụng những kiến thức, kĩ năng toán học

phù hợp từ những nội dung đã được học để giải quyết tình huống. Hơn nữa, do thời

gian thực nghiệm kéo dài nên chúng tôi không thể triển khai thực nghiệm trong các

giờ học chính khóa của học sinh mà phải thực hiện ngoài quỹ thời gian dành cho

môn toán của chương trình.

Thực nghiệm được tiến hành trong 8 tuần liên tiếp từ ngày 24 – 3 – 2012 đến ngày

12 – 5 – 2012, mỗi tuần 1 tiết vào ngày thứ 7, trừ tuần đầu tiên và tuần bảy là 2 tiết.

Kế hoạch cụ thể như sau:

Tuần 1: Giới thiệu về nghiên cứu và thực hiện bài kiểm tra pretest (2 tiết).

Tuần 2: Bài kiểm tra kĩ năng toán (1 tiết).

Tuần 3: Phản ánh kết quả bài pretest và dạy thực nghiệm tình huống 1 (1 tiết).

Tuần 4: Phản ánh kết quả tình huống 1 và dạy thực nghiệm tình huống 2 (1 tiết).

Tuần 5: Phản ánh kết quả tình huống 2 và dạy thực nghiệm tình huống 3 (1 tiết).

Tuần 6: Phản ánh kết quả tình huống 3 và dạy thực nghiệm tình huống 4 (1 tiết).

Tuần 7: Phản ánh kết quả tình huống 4 và thực hiện bài kiểm tra posttest (2 tiết).

112

Tuần 8: Bảng hỏi (1 tiết).

Tình huống thực nghiệm 1

Tình huống thực nghiệm 2

Posttest

Pretest

Tình huống thực nghiệm 3

Bảng hỏi

Tình huống thực nghiệm 4

Hình 3.2 Kế hoạch thực nghiệm

3.1.4 Tổ chức dạy học thực nghiệm

Chúng tôi tổ chức dạy thực nghiệm tại lớp 10A2 trong bốn tiết của bốn tuần liên

tiếp, mỗi tiết học sinh giải quyết một tình huống.

- Các tình huống thực nghiệm được thực hiện trong môi trường hoạt động nhóm,

bởi vì “Làm việc theo nhóm có nhiều thuận lợi, ủng hộ việc phát triển các

năng lực HBĐL trong điều kiện thời gian hạn chế” (Ikeda, 2007, [34]). Giáo

viên chia lớp học thành 12 nhóm một cách ngẫu nhiên, mỗi nhóm từ 3 đến 4

học sinh và duy trì suốt đợt thực nghiệm. Các nhóm được đặt tên theo tên của

các học sinh trưởng nhóm.

- Mỗi tình huống thực nghiệm được tiến hành với thời gian 30 phút, các nhóm

thực hiện yêu cầu của phiếu học tập một cách độc lập mà không có bất kì sự

hướng dẫn nào từ phía giáo viên hoặc người nghiên cứu. Quá trình học tập là

một quá trình tự điều chỉnh của các học sinh trong nhóm, giáo viên hoặc người

nghiên cứu chỉ giải đáp thắc mắc khi học sinh gặp khó khăn trong việc hiểu

tình huống.

• Phần mô tả tình huống;

• Có thể có hình vẽ minh họa và các nhiệm vụ gợi ý;

• Yêu cầu học sinh thực hiện giải quyết tình huống theo bốn bước của quá

- Mỗi tình huống thực nghiệm bao gồm:

trình THH. Tuy nhiên, để tránh việc giải thích thuật ngữ mới, chúng tôi sử

113

dụng cụm từ “phát biểu bài toán tương ứng với tình huống” thay cho

“chuyển đổi từ tình huống toán học hóa sang mô hình toán học”, “giải bài

toán” thay cho “giải toán”, “trả lời câu hỏi của tình huống” thay cho

“chuyển đổi từ kết quả toán sang kết quả thực tế”, “xem xét tính hợp lý của

• Phần không gian trống để học sinh có thể đưa ra câu trả lời hoặc giải thích.

kết quả và các khả năng khác của tình huống (nếu có)” thay cho “phản ánh”;

- Phản hồi về cách giải quyết mỗi tình huống của các nhóm sẽ được cung cấp

vào 15 phút đầu của buổi thực nghiệm tiếp theo.

3.1.5 Thu thập dữ liệu và phân tích

Để có được thông tin nhằm trả lời các câu hỏi nghiên cứu của luận án, chúng tôi đã

thực hiện một nghiên cứu trường hợp đối với đề tài này. Lớp 10A2 trường THPT

Đặng Huy Trứ được lựa chọn để dạy thực nghiệm, thu thập dữ liệu và phân tích.

Chúng tôi sử dụng nhiều công cụ khác nhau để thu thập dữ liệu như bài làm của các

nhóm học sinh đối với bốn tình huống thực nghiệm, bài làm pretest, posttest của

mỗi cá nhân học sinh trước và sau đợt thực nghiệm, những nhận xét, đánh giá của

cá nhân học sinh về những nội dung liên quan đến HBĐL và quá trình THH, phỏng

vấn dựa trên bài làm của học sinh và quan sát quá trình thảo luận, giải quyết tình

huống của các nhóm trong suốt giai đoạn thực nghiệm.

Việc phân tích bài làm của học sinh được chúng tôi tiến hành theo bốn bước của

quá trình toán học hóa để có thể thấy được sự chuyển biến về nhận thức cũng như

những khó khăn của các nhóm khi sử dụng quá trình THH vào giải quyết các tình

huống, đồng thời việc phân tích như vậy sẽ thuận lợi để đo lường các năng lực

HBĐL. Bên cạnh đó, công cụ thống kê được sử dụng để phân tích mức độ đạt được

các năng lực HBĐL của các nhóm, giúp quan sát chiều hướng phát triển các năng

lực này của mỗi nhóm và sự phát triển của mỗi năng lực qua bốn tình huống thực

nghiệm. Ngoài ra, phương pháp thống kê cũng được sử dụng để phân tích điểm số

của học sinh từ hai bài kiểm tra pretest, posttest nhằm thấy được sự phát triển năng

lực HBĐL thể hiện qua mỗi bài, mỗi câu, và đối với mỗi học sinh. Kết quả phỏng

114

vấn và quan sát được chúng tôi lồng vào phân tích trong các tình huống để lý giải

các hiện tượng, suy nghĩ của học sinh trong quá trình giải quyết các tình huống

THH.

3.2 PHÂN TÍCH KẾT QUẢ CÁC TÌNH HUỐNG THỰC NGHIỆM

NHÀ HÀNG PIZZA. Một nhà hàng bán bánh Pizza thường mở cửa từ 12:00 đến 24:00 mỗi ngày. Nhân viên phục vụ của nhà hàng làm việc theo hai ca, mỗi ca 8 tiếng, ca ngày từ 12:00 đến 20:00 và ca đêm từ 16:00 đến 24:00. Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ, từ 12:00 đến 16:00 là 11000 đồng / giờ, từ 16:00 đến 24:00 là 15000 đồng / giờ. Hiện tại, nhà hàng cần ít nhất 4 nhân viên trong khoảng 12:00 – 16:00, ít nhất 18 nhân viên trong thời gian cao điểm 16:00 – 20:00 và không quá 16 nhân viên trong khoảng 20:00 – 24:00. Do lượng khách ban đêm thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca đêm tối thiểu phải gấp đôi số nhân viên ca ngày. Em hãy giúp nhà hàng tính số nhân viên cần cho mỗi ca để số tiền lương phải trả mỗi ngày là thấp nhất.

1. Em hãy điền các thông tin còn thiếu vào bảng dưới đây:

Khoảng thời gian

3.2.1 Tình huống thực nghiệm 1

Ca

Số nhân viên Tiền lương / 1 giờ

12:00 – 16:00

≥ 4

16:00 – 20:00

15000 đồng

20:00 – 24:00

Ca đêm

Số nhân viên ca đêm …………………. số nhân viên ca ngày

2. Trả lời các câu hỏi sau: “Số tiền lương nhà hàng phải trả cho mỗi nhân viên làm ca ngày là bao nhiêu một ngày?” ……………………………………………………………………………………………………… “Số tiền lương nhà hàng phải trả cho mỗi nhân viên làm ca đêm là bao nhiêu một ngày?” ………………………………………………………………………………………………………

3. Em hãy giải quyết tình huống trên a. Phát biểu bài toán tương ứng với tình huống: ……………………………………………………………………………………………………… b. Giải bài toán: ……………………………………………………………………………………………………… c. Trả lời câu hỏi của tình huống: ……………………………………………………………………………………………………… d. Xem xét tính hợp lý của kết quả và các khả năng khác của tình huống (nếu có): ………………………………………………………………………………………………………

115

- Ngữ cảnh: tính số nhân viên phục vụ cần thuê trong một nhà hàng để chi phí

thấp nhất đồng thời thỏa mãn một số điều kiện của nhà hàng.

- Nội dung toán: các tính chất của bất đẳng thức, hệ bất phương trình bậc nhất hai

ẩn, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức chứa biến.

- Độ phức tạp: mức độ 2

- Mục tiêu của tình huống: Học sinh sử dụng kiến thức Bất đẳng thức và bất

phương trình để tìm giải pháp tối ưu trong một tình huống thực tế.

3.2.1.1 Quá trình toán học hóa có thể xảy ra khi giải quyết tình huống

a. Lựa chọn thông tin toán học cần thiết

Nhà hàng cần thuê nhân viên làm việc theo hai ca ngày và đêm với mức tiền lương

tương ứng là 104 nghìn đồng / người / ngày và 120 nghìn đồng / người / ngày.

• Số nhân viên ca ngày ≥ 4;

• Số nhân viên ca ngày và ca đêm ≥ 18;

• Số nhân viên ca đêm ≤ 16;

• Số nhân viên ca đêm ≥ 2 lần số nhân viên ca ngày;

• Số tiền lương phải trả ít nhất.

Yêu cầu của tình huống là tìm số nhân viên mỗi ca thỏa mãn các điều kiện sau:

b. Xây dựng mô hình toán học

+

x

120

y

Gọi x, y lần lượt là số nhân viên nhà hàng cần thuê làm việc ca ngày và ca đêm.

(nghìn đồng). Số tiền lương mà nhà hàng phải trả mỗi ngày là: 104

Tình huống được phát biểu lại theo ngôn ngữ toán: Tìm các số x và y thỏa mãn hệ

4

≥ ≤

=

+

T x y ( ;

) 104

x

120

y

bất phương trình

x

18

x y 16 + ≥ y ≥

2

y

x

      

116

(*) sao cho có giá trị nhỏ nhất.

20

)

x

( h

x

= 2·

c. Dự kiến các phương pháp giải

18

C

D

16

Cách 1: Sử dụng đồ thị xác định miền

14

(4;14) T 2096

(4;16) T 2336

(8;16) T 2752

(6;12) T 2064

A

nghiệm của hệ bất phương trình (*) trên

12

B

10

(

)

x

f

x

= 18

mặt phẳng tọa độ.

8

6

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác ABCD,

4

2

với tọa độ các đỉnh A(4; 14), B(6; 12),

15

20

5

10

O

C(8; 16), D(4; 16).

So sánh các giá trị tương ứng của T(x; y) ta

được T(6; 12) = 2064 là giá trị nhỏ nhất.

( ;

)

Cách 2: Tìm các cặp giá trị (x; y) nguyên dương thỏa mãn hệ bất phương trình (*)

T x y có giá trị nhỏ nhất.

y ≤

16

sao cho

y≤ , mà

8x ≤ . Như vậy,

Trước hết, ta tìm điều kiện của x. Do 2x nên

≤

y ≥

16 −

y

x

x nguyên dương và nhận các giá trị trong đoạn [4; 8]. Với mỗi giá trị của x, giá trị

18 ≥

y

2

x

    

của y được lựa chọn sao cho . Có tất cả 17 cặp (x; y) phù hợp cả 4 điều

x = 4

5x =

x = 6

x = 7

8x =

14

y≤ ≤

16

13

y≤ ≤

16

12

y≤ ≤

16

14

y≤ ≤

16

y =

16

=

+

T x y ( ;

) 104

x

120

y

kiện của hệ bất phương trình (*):

Sau đó, lần lượt tính các giá trị tương ứng của để tìm giá trị nhỏ

∈

=

+

=

+

x

+ ∈ y

y

T x y ( ;

) 104

x

120

y

104(

x

y

+ ) 16

y

nhất. Hoặc ta có thể giảm bớt việc tính toán nếu nhận ra rằng:

với

[ 12;16

]

] [ 18; 24 ,

+

⋅

⋅

=

T x y ≥

( ;

) 104 18 16 12

2064

x

= y 12 + = y

18

  

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Suy ra

117

Vậy giá trị nhỏ nhất là T(6;12) = 2064.

d. Thể hiện kết quả

Để chi phí thuê nhân viên phục vụ thấp nhất, nhà hàng cần thuê 6 nhân viên ca ngày

và 12 nhân viên ca đêm. Khi đó, tiền lương trả cho nhân viên phục vụ mỗi ngày là

2064000 đồng.

e. Phản ánh

- Kiểm tra lại kết quả so với các thông tin được cho của tình huống.

- Hiểu phạm vi và hạn chế của lời giải: Trong hai cách giải trên, cách giải 1 là

quen thuộc với học sinh hơn và được trình bày chi tiết trong sách giáo khoa.

Cách thứ 2 chỉ phù hợp khi các cặp giá trị thỏa mãn là không quá nhiều và người

giải cần biết lựa chọn điểm xuất phát phù hợp, ví dụ ở bài toán này, lời giải đã

bắt đầu bởi ràng buộc của biến x.

3.2.1.2 Phân tích bài làm của học sinh

a. Xây dựng mô hình toán học

Những thông tin sau đây của tình huống đã được học sinh chuyển sang ngôn ngữ

toán học một cách dễ dàng:

• Số nhân viên trong khoảng thời gian 12:00 – 16:00 ít nhất là 4 nên

x ≥ ; 4

y ≤

16

• Không quá 16 nhân viên trong khoảng thời gian 20:00 – 24:00 nên

Gọi x, y lần lượt là số nhân viên ca ngày và ca đêm, khi đó:

y

x≥ 2

• Số nhân viên ca đêm tối thiểu phải gấp đôi số nhân viên ca ngày nên

;

.

Tuy nhiên, yêu cầu của tình huống “tính số nhân viên cần cho mỗi ca để số tiền

lương phải trả mỗi ngày là thấp nhất” được các nhóm hiểu theo những cách khác

nhau nên dẫn đến các mô hình khác nhau dưới đây. Để thuận tiện cho việc phân

tích, chúng tôi dùng kí hiệu Mi.j, Pi.j và PAi.j lần lượt để chỉ mô hình thứ j, phương

118

pháp giải thứ j và phản ánh thứ j trong tình huống thứ i.

(M1.1) Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sao cho T(x; y) -

có giá trị nhỏ nhất.

Nhận ra tình huống là một áp dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào

bài toán kinh tế, các nhóm này đã xây dựng mô hình toán học rất rõ ràng:

≥

x

4

≤

=

+

T x y ( ;

) 104000

x

120000

y

Tìm các số x và y thỏa mãn hệ bất phương trình

x

18

y 16 + ≥ y ≥

2

y

x

      

(*) sao cho có giá trị nhỏ nhất.

Trong đó, x là số nhân viên ca ngày và y là số nhân viên ca đêm.

(M1.2) Tìm x, y nhỏ nhất thỏa mãn hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. -

Một số nhóm đã chuyển yêu cầu của tình huống thành “tìm số nhân viên ít nhất

mỗi ca mà nhà hàng cần thuê nhưng thỏa tất cả các điều kiện” với lập luận rằng

119

“để tiền lương phải trả thấp nhất thì số nhân viên mỗi ca phải ít nhất”.

x

≥ x 4 ≤ y 16 + ≥ y ≥

y

18 x

2

      

≥

x

a y b

,

≥ với x, y lần lượt là số nhân viên ca ngày, ca đêm, và

Mô hình này chỉ đúng nếu từ hệ bất phương trình , học sinh biến đổi

để đưa về được

(a; b) là một nghiệm của hệ.

(M1.3) Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. -

Học sinh đã chuyển đổi đúng bốn điều kiện của tình huống sang ngôn ngữ toán

học. Tuy nhiên, yêu cầu của tình huống không chỉ là tìm số nhân viên mỗi ca

thỏa mãn các điều kiện mà còn số tiền lương nhà hàng phải trả là thấp nhất. Do

đó, đây là mô hình không phù hợp cho tình huống này.

(M1.4) Tìm x, y, z thỏa mãn hệ bất phương trình bậc nhất ba ẩn. -

x

z

= + . Như vậy, mặc dù sử dụng ba ẩn để biểu

Trong mô hình trên, với cách đặt bài toán của mình, học sinh đã không phát hiện

ra mối quan hệ giữa x, y, z là y

diễn các thông tin của tình huống, nhưng từ điều kiện của các ẩn, học sinh vẫn

có thể đưa về hệ bất phương trình hai ẩn. Tương tự mô hình (M1.3), mô hình

120

này không phản ánh đúng yêu cầu của tình huống.

b. Giải toán

=

=

=

=

•

x

4,

y

16,

y

x y 2 ,

18

x

- Đối với mô hình (M1.1) học sinh đã sử dụng hai phương pháp giải sau đây:

− lên trên cùng một

(P1.1) Vẽ bốn đường thẳng

hệ trục tọa độ, gạch bỏ các miền không phải là nghiệm của các bất phương

trình để xác định miền nghiệm của hệ. Sau đó, xác định tọa độ (x, y) các đỉnh

•

của miền đa giác, tính các T(x; y) tương ứng để tìm ra giá trị nhỏ nhất.

(P1.2) Học sinh không vẽ đồ thị mà chỉ xác định tọa độ các giao điểm (x, y)

của bốn đường thẳng và tìm giá trị nhỏ nhất trong các T(x; y).

Mặc dù nhóm này không có đồ thị trong bài làm, nhưng đã dựa vào đồ thị

được vẽ bên ngoài giấy nháp để bỏ đi giao điểm của d1 và d4, d2 và d3. Như

vậy cơ sở của phương pháp giải (P1.2) hoàn toàn giống với phương pháp

(P1.1).

121

- Đối với mô hình (M1.2) học sinh đã tiếp cận theo hai cách sau đây để giải:

•

≥

x

y

x

y

⇔

⇔

⇔

y +

x 2 ≥

x

≥ y 2 + ≥ y

x

x

x

x

18

2

18

≥ 2 ≥ 18

≥ 12 ≥ 6

  

  

  3 

  

(P1.3) Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức

Ở đây, học sinh đã phạm sai lầm ngay bước biến đổi tương đương thứ nhất.

≤

x

y

≥

≤

x

y

1 2

⇒

⇒

x 18

x

2 y + ≥ y

  

≤

+

1 2 12

y

y

    ≥ y 

     18 

1 2

≤ ≤ x

y

4

Cách giải này có thể được sửa lại như sau:

1 2 ≤ ≤ y 16 +

∈

x y ,



    12   

x

4

Kết hợp với điều kiện của x, y ta được

x

12

≥ x  ≥ y

≥ 4 ≤ y 16 + ≥ y ≥

y

18 x

2

      

(*) ta suy ra , nhưng cặp giá trị (4;12) lại Như vậy từ hệ

không phải là nghiệm của hệ (*). Do đó, cách biến đổi trên không giải quyết

•

được tình huống.

x

≥ 2 y + ≥ y

x 18

  

(P1.4) Từ hệ bất phương trình học sinh cho rằng, số nhân viên

=

x

mỗi ca ít nhất khi và chỉ khi “dấu bằng” xảy ra ở cả hai bất đẳng thức trên,

x

y 2 + = y

18

  

122

nghĩa là

f x y ( ;

Suy luận như vậy là không có cơ sở toán học, hơn nữa giá trị x, y nhỏ nhất thỏa hệ

g x y ( ;

≥ ) 0 ≥ ) 0

  

≥ x m ≤ n y ≥ ) 0 ≥ ) 0

f x y ( ; g x y ( ;

      

không đảm bảo trùng với giá trị x, y nhỏ nhất thỏa hệ

c. Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế: khi tìm ra kết quả toán, các

nhóm đều trả lời được câu hỏi của tình huống ban đầu.

d. Phản ánh: Hai nhóm có kết quả đúng đều nhận xét kết quả là hợp lý sau khi

kiểm tra lại các giả thiết và bước giải. Theo các em, tình huống có một cách giải

duy nhất bởi vì dạng toán này chỉ có thể giải bằng cách xác định miền nghiệm, “mà

nếu như có cách giải khác thì em không biết”.

3.2.1.3 Bảng tóm tắt bài làm của các nhóm

Nhóm Mô hình toán Phương pháp giải Kết quả Phản ánh

Đúng Kết quả

hợp lý Nguyệt An Nhi trị Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình sao cho T(x; y) có giá trị nhỏ nhất (M1.1) Chưa hoàn thành

Kết quả hợp lý Út Đúng

Tìm x, y nhỏ nhất thỏa mãn hệ bất phương trình hai ẩn (M1.2)

Hòa Mơ Linh Thiện Phượng

(P1.1) Xác định miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ, tìm tọa độ (x; y) của các đỉnh, so sánh các giá T(x; y). (P1.2) Không vẽ đồ thị, chỉ tìm tọa độ giao điểm (x; y) của các đường thẳng và so sánh các giá trị của T(x; y). (P1.3) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức. Sai (P1.4) Đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và dùng phương pháp thế để giải. Sai Duyệt Phú

Việt

123

Tìm x, y, z thỏa hệ bất phương trình ba ẩn (M1.4) Sai Tìm x, y thỏa hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (M1.3) Sai

Kết luận đối với tình huống 1

- Đây là buổi thực nghiệm đầu tiên và chúng tôi chọn tình huống này vì trong

sách giáo khoa có dạng bài tập tương tự như đã chỉ ra ở trang 82. Tuy nhiên, học

sinh vẫn thể hiện nhiều sự lúng túng, khó khăn khi đọc hiểu, giải quyết và đưa ra

các phản ánh đối với tình huống.

* Xây dựng mô hình toán

- Hai câu hỏi gợi ý đã giúp nhiều học sinh hiểu và rút ra những thông tin quan

trọng từ tình huống, nhưng vẫn có một số em (nhóm Duyệt, Phú) không nhận ra

rằng trong khoảng thời gian 16:00 – 20:00 tại nhà hàng có cả nhân viên ca ngày

và ca đêm cùng làm việc nên đã xây dựng mô hình toán không phù hợp.

- Bốn nhóm (Nguyệt, An, Nhi, Út) đã xây dựng được mô hình toán thích hợp đối

với tình huống. Theo một số học sinh thuộc các nhóm này, nhiệm vụ 1 và 2 góp

phần giúp các em nhận ra dạng toán liên quan đến tình huống, đó là tìm cực trị

của biểu thức P(x; y) trên một miền đa giác lồi .

- Mặc dù mô hình toán của các nhóm Hòa, Mơ, Linh, Thiện, Phượng xây dựng là

không sai, nhưng trong trường hợp này sẽ không giải được vì từ hệ bất phương

4 12

≥ x  ≥ y

trình ta suy ra nhưng cặp giá trị (4; 12) không phải là nghiệm của hệ bất

phương trình.

- Các nhóm còn lại do hiểu sai yêu cầu của tình huống là “tính số nhân viên mỗi

ca và số tiền lương nhà hàng phải trả mỗi ngày” thỏa mãn các điều kiện nên đã

đưa về bài toán tìm nghiệm nguyên dương của hệ bất phương trình bậc nhất hai

ẩn hoặc ba ẩn.

* Giải toán

- Các nhóm xây dựng mô hình (M1.1) đều có cách giải đúng là sử dụng đồ thị để

124

xác định miền nghiệm của hệ từ đó tìm ra cặp (x; y) mà T(x; y) đạt giá trị nhỏ

nhất. Tuy nhiên chỉ có hai nhóm ra kết quả đúng, hai nhóm còn lại chưa hoàn

thành bài giải của mình vì không kịp thời gian.

- Các nhóm có mô hình (M1.2), mặc dù ra đáp số đúng nhưng chỉ là sự ngẫu

nhiên vì sai lầm trong các biến đổi tương đương dẫn đến cách giải không đúng.

- Khi tìm hiểu lý do tại sao học sinh đã không nghĩ đến phương pháp tìm cực trị

của biểu thức P(x; y) trên một miền đa giác lồi đối với tình huống, các câu trả lời

chúng tôi nhận được là vì kiến thức này đã học ở học kỳ I nên không để ý đến,

và các bài tập dạng này trong sách giáo khoa rất ít.

* Chuyển kết quả toán sang kết quả thực tế: đây là bước khá dễ dàng đối với học

sinh, sau khi tìm được x, y các em đã trả lời câu hỏi của tình huống về số nhân viên

ca ngày, ca đêm tương ứng với các biến đã đặt và tính số tiền lương mà nhà hàng

cần trả mỗi ngày.

* Phản ánh: Sau khi tìm ra kết quả, một số nhóm đã tiến hành kiểm tra lại giả thiết,

bước giải và đi đến kết luận là “kết quả hợp lý”. Tuy nhiên, “bước kiểm tra lại

phương pháp giải”, theo quan sát của chúng tôi, được tiến hành còn rất sơ sài, thực

chất chỉ là đọc lại bài giải.

* Những lưu ý đối với học sinh cho các buổi thực nghiệm tiếp theo:

- Khi giải quyết các tình huống của nghiên cứu, học sinh có thể sử dụng bất kì

kiến thức toán nào đã được học, và để tìm ra phương pháp giải hiệu quả học sinh

cần phát biểu bài toán tương ứng với tình huống một cách phù hợp, muốn như

vậy các em cần đọc kĩ đề để hiểu rõ các thông tin cũng như yêu cầu của tình huống.

- Khi giải quyết tình huống, các nhóm không nên không gộp chung cả bốn bước

mà tách các bước theo như yêu cầu.

- Các nhóm cần cố gắng hợp tác giữa các thành viên tốt hơn để có thể hoàn thành

nhiệm vụ trong thời gian 30 phút, cần phát huy vai trò của tất cả cá nhân trong

nhóm, tránh giao công việc cho một hoặc hai thành viên của nhóm suy nghĩ.

125

- Giải thích cho học sinh các công việc cần thực hiện ở bước thứ tư:

• Kiểm tra kết quả có hợp lý, thỏa mãn các thông tin được cho hay không?

• Nhận ra phạm vi, hạn chế của bài toán được tạo ra từ tình huống cũng như

• Xem xét ảnh hưởng của các yếu tố thực tế lên kết quả và các khả năng khác

phương pháp giải.

của tình huống.

CHUỒNG BÒ. Anh Dân dự định dựng một cái chuồng hình chữ nhật để nuôi bò và sẽ tận dụng một mặt tường nhà để làm chuồng. Bức tường nhà anh dài 15 m. Hiện tại anh có các thanh sắt đủ để làm hàng rào dài 24 m cao 0,8 m. Em hãy tư vấn cho anh Dân cách thiết kế chuồng bò sử dụng vừa đủ lượng sắt hiện có để rào phần còn lại của chuồng nhưng tạo ra diện tích sử dụng lớn nhất. Giải thích cách làm của em.

1. Phát biểu bài toán tương ứng với tình huống:

……………………………………………………………………………………………………

2. Giải bài toán:

……………………………………………………………………………………………………

3. Trả lời câu hỏi của tình huống: ……………………………………………………………………………………………………

4. Xem xét tính hợp lý của kết quả và các khả năng khác của tình huống (nếu có):

……………………………………………………………………………………………………

3.2.2 Tình huống thực nghiệm 2

Ngữ cảnh: Dựng ba mặt của chuồng bò hình chữ nhật sao cho diện tích lớn nhất với chiều dài hàng rào sẵn có.

- Nội dung toán: Hàm số bậc hai, bất đẳng thức Cauchy.

- Mục tiêu của tình huống: Sử dụng kiến thức hàm số bậc hai hoặc bất đẳng thức

Cauchy để tìm giá trị lớn nhất trong một tình huống thực tế.

- Độ phức tạp: mức độ 2

126

- Giải thích đối với tình huống:

• Cụm từ “tận dụng một mặt tường nhà để làm chuồng” nghĩa là để tiết kiệm

vật liệu, một mặt chuồng sẽ sử dụng bức tường có sẵn, tuy nhiên dùng bao

• Trong một tình huống thực tế, đôi khi có những thông tin chỉ nhằm mục đích

nhiêu mét tường thì tùy thuộc vào kích thước chuồng mà anh Dân cần dựng.

mô tả, làm cho tình huống cụ thể hơn, nhưng không cần thiết khi giải quyết

tình huống. Vì vậy, học sinh cần lựa chọn những thông tin phù hợp với mục

đích của mình.

3.2.2.1 Quá trình toán học hóa có thể xảy ra khi giải quyết tình huống

a. Lựa chọn thông tin toán học cần thiết

Dựng ba mặt của chuồng bò hình chữ nhật sao cho:

- Tổng chiều dài ba mặt là 24 m;

- Diện tích chuồng lớn nhất.

>

x

y+ =

24

0,

0

xy=

x

y

b. Xây dựng mô hình toán học: Gọi x (mét), y (mét) lần lượt là kích thước của

> và 2

chuồng bò. Khi đó . Tìm x, y để S lớn nhất.

c. Dự kiến các phương pháp giải

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

2

2

x

y

(2

)

≤

=

=

2

x

+ ≥ y

2 2

xy

xy

72

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy đối với hai số không âm 2x và y:

+ 8

24 8

x

y+ =

24

hay .

, suy ra x < 12. Áp dụng bất đẳng - Từ mô hình toán được xây dựng 2

127

thức Cauchy đối với hai số không âm x và (12 – x):

2

+

−

)

x

x

=

=

=

−

=

≤ ) 2

72

S

xy

x

− (24 2 ) x

2 (12 x

x

(12 2

  

  

2

=

=

=

S

xy=

72 m

x

6 m,

y

12 m

max

khi . Vậy

Cách 2: Sử dụng tính chất “Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì

tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau” (Hệ quả, trang 107, Đại

xy

S= 2

số 10 Nâng cao).

Do tổng của hai số dương 2x và y luôn bằng 24 nên 2 lớn nhất khi và chỉ khi

2x = y = 12 hay x = 6 (m), y = 12 (m) và Smax = 72 (m2).

=

=

S

xy

x

− (24 2 ) x

Cách 3: Sử dụng đồ thị hàm số bậc hai.

2

+

=

f x ( )

= − 2

x

24

x

x

f x ( )

− x (24 2 )

Diện tích chuồng là: .

hay . Hàm số đạt giá trị cực đại tại Xét hàm số

80

(

)

f

x

=

24

x

x·

(

2·

)

70

60

50

40

30

20

10

2

4

6

8

10

12

10

2

=

=

=

S

xy=

72 m

6 m,

12 m

x

y

điểm x = 6, f(6) = 72.

max

Vậy khi .

2

2

=

=

+

=

−

≤

S

xy

x

− (24 2 ) x

= − 2

x

24

x

− 72 2(

x

6)

72

Cách 4: Phân tích thành hiệu của hai số không âm.

2

=

=

=

S

xy=

72 m

x

6 m,

y

12 m

.

max

128

khi . Vậy

d. Thể hiện kết quả

Cần dựng chuồng bò có hai cạnh là 6 m và 12 m, điều này phù hợp với giả thiết

“một mặt chuồng tận dụng bức tường nhà anh Dân dài 15 m”. Khi đó, diện tích sử dụng lớn nhất S = 72 m2.

e. Phản ánh

Tình huống có khả năng xảy ra là một cạnh của

hình chữ nhật lớn hơn 15 m. Ta cần tính diện

tích lớn nhất trong trường hợp này và so sánh

+

≥

x

x

y+ 2

= 15 24

0,

x

y

với diện tích tìm được ở trên.

> 0

9 y+ = với 2

90

=

+

=

+

S

(15

x y )

x

x

Trong trường hợp này: 2 hay

( 15

80

 ) 9 − 2 

  

70

67.5

60

(

)

(

)·

f

x

=

15 +

x

x

(

)

9 2

=

+

f x ( )

x

x

Khi đó,

( 15

50

 ) 9 − 2 

  

40

30

lên hệ trục Vẽ đồ thị hàm số

20

tọa độ Oxy, ta thấy diện tích lớn nhất S = 67,5 m2

10

15

10

5

5

khi x = 0, y = 4,5.

So sánh với trường hợp trên thì S = 72 m2 lớn hơn.

3.2.2.2 Phân tích bài làm của học sinh

a. Xây dựng mô hình toán học

Học sinh phát biểu mô hình toán học của tình huống theo hai cách:

(M2.1) Phát biểu bằng lời: Cho đoạn thẳng AB cố định dài 15 m. Dựng hình chữ -

nhật có một cạnh thuộc AB sao cho diện tích lớn nhất và tổng độ dài ba cạnh còn

129

lại bằng 24 m.

(M2.2) Sử dụng lời và hình vẽ -

Tuy nhiên, một số nhóm xây dựng mô hình chưa đầy đủ:

(M2.3) Gọi a là chiều dài, b là chiều rộng hình chữ nhật. Tìm a, b sao cho diện -

tích của hình chữ nhật lớn nhất và 2a + b = 24 m, nhưng tình huống không yêu

cầu chiều dài hay chiều rộng của chuồng sẽ tận dụng bức tường.

(M2.4) Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật biết một cạnh bé hơn hoặc bằng -

15 m và tổng ba cạnh còn lại bằng 24 m.

(M2.5) Chỉ vẽ hình. -

b. Giải toán

Để giải bài toán, các nhóm đã sử dụng bất đẳng thức Cauchy (hay bất đẳng thức

giữa trung bình cộng và trung bình nhân) cho hai số không âm theo những cách

khác nhau:

≥

24

= + a

b 2

2 2

ab

⇔ ≥ 12

2

ab

⇔ ≤ ab

72

(P2.1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm a và 2b: -

130

(P2.2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm a và b: -

2

=

=

a

b+ 2

24

a

S

ab

b⇔ = , kết hợp với

+ a b ≤  2 

  

=

a

b= =

8 m

S

64

nên maxS

khi . suy ra max

Cách giải này đã phạm sai lầm ở chỗ kết luận trên chỉ đúng khi a + b là hằng số,

không đổi.

(P2.3) Một sai lầm khác tương tự, học sinh sử dụng tính chất “Diện tích hình -

chữ nhật lớn nhất khi và chỉ khi hình chữ nhật đó là hình vuông” mà quên mất

= −

+

S

22 a

24

a

điều kiện hình chữ nhật đó phải có chu vi không đổi.

2

+

S

⇔ − ( 2

a

24 ) max

a

(P2.4) Có một nhóm đưa được biểu thức diện tích về dạng và -

max

. Sau đó, nhóm đã cố gắng sử dụng bất đẳng nhận xét

+

=

−

22 − a

24

a

a 2 (12

a

)

thức để tìm giá trị lớn nhất nhưng không thành công mặc dù đã biến đổi

. Thực ra, nhóm này có thể sử dụng đồ thị hàm số hoặc

2

+

−

)

a

a

=

−

=

S

a 2 (12

a

≤ ) 2

72

• Bất đẳng thức Cauchy:

(12 2

  

  

• Đồ thị hàm số bậc hai (Cách 3).

bất đẳng thức Cauchy đều có thể giải được bài toán.

131

(P2.5) Sử dụng sai bất đẳng thức Cauchy. -

c. Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế: nhiều nhóm giải ra kết quả toán

đúng nhưng không thực hiện bước chuyển đổi này do thói quen hoặc thấy không

cần thiết vì theo một số em thì kết quả đã rất rõ ràng.

d. Phản ánh: Tất cả các nhóm đều cho rằng cạnh của mặt chuồng tận dụng bức

tường là bé hơn hoặc bằng 15 m mà không nghĩ đến trường hợp ngược lại. Sau phần

trả lời câu hỏi của tình huống, không có nhóm nào xem xét khả năng khác cũng như

đưa ra bất kì phản ánh nào đối với mô hình hay phương pháp giải, chỉ có duy nhất

một nhóm giải thích kết quả phù hợp với tình huống vì chiều dài tìm được không

vượt quá 15 m.

3.2.2.3 Bảng tóm tắt bài làm của các nhóm

Nhóm Mô hình toán Phương pháp Phản ánh giải Kết quả của tình huống

Út Đúng

+

≥

a

b 2

2 2

ab

An Phát biểu bằng lời (M2.1)

Chưa hoàn thành Tìm được diện tích lớn nhất nhưng chưa xác định độ dài các cạnh. (P2.1)

Nhi Dừng lại ở kết quả toán.

Mô hình chưa đầy đủ (M2.3) Nguyệt Đúng

132

Vì chiều dài của chuồng bò là 12m nên có thể tận dụng bức tường.

Thiện

Dừng lại ở kết quả toán Smax = 72 m2. Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật (M2.4)

+

≥

a

ab

b 2

2

= −

+

S

22 a

24

a

Hòa Phát biểu bằng lời (M2.1) (P2.5) Sai

Sử dụng lời và hình vẽ (M2.2) Linh

(P2.4) Chưa tìm ra phương pháp giải.

Phú Mô hình chưa đầy đủ (M2.3) Diện tích hình chữ nhật lớn nhất ⇔ hình chữ nhật đó là hình vuông

(P2.3) Sai

2

=

S

ab

Duyệt Mô hình chưa đầy đủ (M2.3)

  

+ a b ≤  2  P(2.2) Sai

Việt Chỉ sử dụng hình vẽ (M2.5)

Phượng Sử dụng lời và hình vẽ (M2.2) Mơ

Kết luận đối với tình huống 2

* Xây dựng mô hình toán

- Đây là buổi thực nghiệm thứ hai, nhưng học sinh vẫn e ngại với việc phát biểu

bài toán tương ứng với tình huống bởi vì một số em cho rằng mình vẫn có thể

giải quyết được tình huống mà không cần bước này nếu đã hiểu các giả thiết và

yêu cầu của tình huống. Tuy nhiên, các em cũng thừa nhận, việc xây dựng mô

hình toán học làm cho vấn đề rõ ràng hơn, định hướng cho quá trình giải, đỡ mất

thời gian lọc thông tin mỗi khi cần đọc lại tình huống.

- Mặc dù tình huống không nói rõ chiều dài hay chiều rộng của chuồng bò sẽ tận

133

dụng bức tường nhà có sẵn và tận dụng một phần hay toàn bộ bức tường, nhưng

khi xây dựng mô hình toán, 8 nhóm cho rằng chiều dài hình chữ nhật thuộc bức

tường thông qua phát biểu trực tiếp hoặc thể hiện trên hình vẽ, chỉ có 4 nhóm

phát biểu tình huống dưới dạng tổng quát.

* Giải toán

- Các nhóm đều sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải bài toán nhưng chỉ có 5

nhóm áp dụng đúng bất đẳng thức, các nhóm khác đều gặp sai lầm trong công

thức, xác định giá trị lớn nhất, vận dụng tính chất “Trong tất cả các hình chữ

nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất”.

= −

+

24

S

22 a

a

- Không có nhóm nào nghĩ đến việc sử dụng đồ thị hàm số để giải, ngay cả nhóm

2

=

S

ab

Linh đã đưa diện tích về biểu thức chứa một biến: .

+ a b ≤  2 

  

suy ra diện tích lớn - Có đến 4 nhóm sai lầm vì từ bất đẳng thức

nhất khi a = b và đáng ngạc nhiên là các học sinh này không biết vì sao mình

sai. Trong sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao, chương Bất đẳng thức và bất

phương trình, chúng tôi tìm thấy 5 bài tập yêu cầu xác định giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của một hàm số, nhưng không có lưu ý hay giải thích nào giúp học sinh

hiểu được khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay một

biểu thức chứa biến. Đó là một trong những lý do dẫn đến sai lầm trên.

* Chuyển kết quả toán sang kết quả thực tế: Trong bốn nhóm tìm được kết quả phù

hợp cho bài toán, chỉ có hai nhóm trả lời câu hỏi của tình huống, đây cũng là hai

2

=

=

=

S

xy=

72 m

x

6 m,

y

12 m

nhóm đã chuyển kết quả toán tìm được sang kết quả thực tế ở tình huống 1. Hai

max

nhóm còn lại xem kết quả “ khi ” như là một câu

trả lời nên dừng lại khi tìm được x, y và S.

* Phản ánh: Chỉ có một nhóm đưa ra ý kiến của mình, các nhóm khác đều để trống

vì không đủ thời gian hoặc cho rằng kết quả đã hợp lý.

134

* Những lưu ý đối với học sinh cho các buổi thực nghiệm tiếp theo:

- Nhắc nhở học sinh đọc kĩ tình huống để đảm bảo hiểu tất cả những thông tin

được cung cấp và chỉ lựa chọn những thông tin cần thiết để xây dựng mô hình

toán học;

- Khi sử dụng công thức, cần kiểm tra lại cẩn thận để tránh những sai sót, nhầm

lẫn làm ảnh hưởng đến kết quả.

- Sau khi giải có kết quả toán cần trả lời câu hỏi mà tình huống đặt ra.

3.2.3 Tình huống thực nghiệm 3

chiều dài cầu thang

chiều cao bậc

chiều sâu bậc

khoảng cách giữa 2 sàn

CẦU THANG. Một cầu thang nhà ở được thiết kế an toàn khi mỗi bậc có chiều cao tối đa là 19 cm và chiều sâu tối thiểu là 25 cm. Em hãy thiết kế một cầu thang an toàn đi từ tầng 1 lên tầng 2 của ngôi nhà có khoảng cách giữa hai sàn là 2,8 m và chiều dài cầu thang là 3,6 m bằng cách chỉ ra số bậc, chiều cao và chiều sâu của mỗi bậc. Giải thích cách làm của em. Lưu ý: số bậc được tính bao gồm cả sàn tầng 2, ví dụ trong hình vẽ bên, cầu thang có tất cả 9 bậc.

1. Trả lời các câu hỏi sau:

a. Chiều dài cầu thang có mối quan hệ với

C. Khoảng cách giữa hai sàn

B. Chiều sâu bậc

A. Chiều cao bậc Mối quan hệ đó là: Chiều dài cầu thang =.…………………………………………………………...

b. Khoảng cách giữa hai sàn có mối quan hệ với

C. Chiều dài cầu thang

B. Chiều sâu bậc

A. Chiều cao bậc Mối quan hệ đó là: Khoảng cách giữa hai sàn = …………………………………………………….

2. Em hãy giải quyết tình huống trên:

a. Phát biểu bài toán tương ứng với tình huống: ………………………………………………………………………………………………………

b. Giải bài toán: ………………………………………………………………………………………………………

c. Trả lời câu hỏi của tình huống: ………………………………………………………………………………………………………

d. Xem xét tính hợp lý của kết quả và các khả năng khác của tình huống (nếu có): ………………………………………………………………………………………………………

135

- Ngữ cảnh: Thiết kế một cầu thang nhà ở đảm bảo an toàn về thông số chiều cao

bậc và chiều sâu bậc.

- Nội dung toán: Bất phương trình bậc nhất một ẩn.

- Mục tiêu của tình huống: Sử dụng kiến thức về bất đẳng thức, bất phương trình

để tìm ra giá trị thỏa mãn các ràng buộc của một tình huống thực tế.

- Độ phức tạp: mức độ 2.

3.2.3.1 Quá trình toán học hóa có thể xảy ra khi giải quyết tình huống

a. Lựa chọn những thông tin toán học cần thiết

Từ tình huống và hình vẽ minh họa, chúng ta có thể rút ra các thông tin quan trọng,

cần thiết cho quá trình xây dựng mô hình toán, đó là:

- Cầu thang có các chiều cao bậc bằng nhau và các chiều sâu bậc bằng nhau; (1)

(2) - Chiều cao bậc ≤ 19 cm, chiều sâu bậc ≥ 25 cm;

- Quan hệ giữa chiều cao bậc và khoảng cách hai sàn:

Số bậc ×chiều cao bậc = 280 cm (3)

- Quan hệ giữa chiều sâu bậc và chiều dài cầu thang:

(Số bậc - 1) ×chiều sâu bậc = 360 cm (4)

b. Xây dựng mô hình toán học

Tình huống chứa các từ ngữ như “tối đa”, “tối thiểu”, gợi ý đến việc sử dụng bất

đẳng thức để xây dựng mô hình toán. Ngoài ra, dựa vào bốn thông tin trên (1) – (4),

ta có thể nhận ra các biến của tình huống, đó là số bậc, chiều cao bậc, chiều sâu bậc

và mối quan hệ giữa chúng. Gọi n là số bậc cầu thang (n nguyên dương), y là chiều

cao bậc và x là chiều sâu bậc. Khi đó, tùy thuộc vào số biến ta chọn mà mô hình

136

toán sẽ là những hệ bất phương trình khác nhau.

x y

25 19

≥ ≤ =

280

=

x

360

1)

    ny   − n ( 

25

≥ ≤

x y

19

Trường hợp 3 biến (n; x; y): Giải hệ

=

+

1

280 y

360 x

     

≤

19

Trường hợp 2 biến (x; y): Giải hệ

≥

25

 280  n  360   − 1 n

Trường hợp 1 biến (n): Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn:

c. Dự kiến các phương pháp giải

≤

19

14, 7 (1)

⇔

15, 4 (2)

≥ n  ≤ n

≥

25

 280   n  360   − n 1

Cả ba hệ trên đều có thể biến đổi đưa về hệ bậc nhất một ẩn để giải:

Do n nguyên dương nên từ hai bất phương trình (1) và (2) suy ra n = 15. Khi đó,

chiều cao bậc h = 18,7 cm và chiều sâu bậc r = 25,7 cm.

d. Thể hiện kết quả

Cầu thang gồm 15 bậc, mỗi bậc có chiều cao 18,7 cm và sâu 25,7 cm, thỏa mãn các

điều kiện an toàn.

e. Phản ánh

Trong thực tế, không phải khi nào yếu tố an toàn của cầu thang cũng được tính đến,

vì thiết kế cầu thang còn phụ thuộc vào không gian của ngôi nhà. Ngoài ra, theo văn

hóa, phong tục ở Việt nam, người ta thường quan niệm số bậc cầu thang phải lẻ

137

hoặc theo phong thủy số bậc phải rơi vào trực Sinh, trực Lão thì mới tốt.

3.2.3.2 Phân tích bài làm của học sinh

a. Xây dựng mô hình toán học

•

•

- Tất cả các nhóm đều chuyển đổi đúng ba thông tin trong tình huống này:

•

chiều cao bậc ≤ 19 cm; chiều sâu bậc ≥ 25 cm;

khoảng cách hai sàn = số bậc ×chiều cao bậc.

Nhưng chỉ có 8 nhóm phát hiện: chiều dài cầu thang = (số bậc - 1)×chiều sâu bậc.

Các nhóm còn lại, do không quan sát kĩ hình vẽ và đọc lưu ý một cách cẩn thận

nên đã không bớt đi 1 bậc trong đẳng thức trên, nghĩa là: chiều dài cầu thang =

số bậc × chiều sâu bậc.

- Khi xây dựng mô hình toán học cho tình huống, các nhóm đều đưa về việc giải

≤

19

•

hệ bất phương trình một ẩn, hai ẩn, ba ẩn hoặc năm ẩn.

≥

25

 280  n  360   − n 1

x

25

≥ ≤

y

19

+

=

•

1

(M3.1) Hệ bất phương trình một ẩn

360 x

*

280 y 280 360 ;

+ ∈ Ν 1

y

x

        

x y

25 19

•

(M3.2) Hệ bất phương trình hai ẩn

280

≥ ≤ = =

x

1)

360

    ny   − n ( 

138

(M3.3) Hệ bất phương trình ba ẩn

25

19

280

•

360 =

280 =

−

n

(

x

1)

360

≥ x  ≤ y  = h  = l  ny  

(M3.4) Hệ bất phương trình năm ẩn

Trong đó, n là số bậc, x là chiều sâu bậc, y là chiều cao bậc, h là khoảng cách

giữa hai sàn, l là chiều dài cầu thang.

• Từ chỗ biểu diễn sai mối quan hệ: chiều dài cầu thang = số bậc × chiều sâu

- Một số sai lầm trong xây dựng mô hình:

25

25

bậc, một số nhóm đã đưa tình huống về hệ bất phương trình không đúng:

360

y

≥ x  ≤ y 19  = 9 x 7 

=

ny

280

≥ x  ≤ 19 y  = nx   

•

(M3.5) hoặc (M3.6)

(M3.7) Một số học sinh nhìn thấy những tam giác vuông trong hình vẽ minh

họa và đã liên tưởng đến việc sử dụng định lý Pitago để xây dựng mô hình

toán.

chiều dài cầu thang

B

y

x

khoảng cách giữa 2 sàn

A

Suy nghĩ của các em là đưa thêm một biểu thức liên hệ giữa số bậc n và x, y

=

+

n

1

vào mô hình hệ bất phương trình ba ẩn:

AB 2

2

+

x

y

139

Số bậc ,

với AB2 = (chiều dài cầu thang)2 + (khoảng cách hai sàn)2 (**)

Rõ ràng biểu thức (**) không đúng vì điểm B còn cách sàn thứ hai một đoạn

bằng y.

≤

19

b. Giải toán

≥

25

 280  n  360   − n 1

14, 7

(1)

(1) - Hệ bất phương trình một ẩn

⇔ 

15, 4

≥ n ≤ n

(P3.1) Biến đổi tương đương, hệ

25

≥ ≤

x y

+

=

1

Do n nguyên dương nên n = 15.

19 360 x

*

280 y 280 360 ;

+ ∈ Ν 1

y

x

        

(2) - Hệ bất phương trình hai ẩn

≥

≥

≤ Do y 19 nên

và x

25 nên

+ ≤ 1

+ . 1

280 y

280 19

360 x

360 25

≤

=

≤

+ ≤

=

+ ≤ 1

1

14, 7

1 15, 4

+ hay

(P3.2) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

280 19

280 x

360 y

360 25

280 x

360 y

=

+ =

1 15

. Suy ra

280 x

360 y

x y

25 19

Vậy

280

≥ ≤ = =

x

1)

360

    ny   − n ( 

•

(3) - Hệ bất phương trình ba ẩn

140

(P3.3) Đưa hệ (3) về hệ bất phương trình một ẩn (1).

•

(P3.4) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức một cách tường minh:

25

19

280

(P3.5) Hoặc không tường minh:

360 =

280 =

−

n

(

x

1)

360

≥ x  ≤ y  = h  = l  ny  

•

(4) - Hệ bất phương trình năm ẩn

(P3.6) Sử dụng định lý Pitago: Mặc dù, nhóm này xây dựng mô hình toán

đúng, nhưng không giải hệ mà sử dụng định lý Pitago để tính số bậc với

chiều cao bậc và chiều sâu bậc là các giá trị đặc biệt y = 19, x = 25. Cách suy

141

nghĩ này cũng gặp sai lầm giống như nhóm xây dựng mô hình M3.7.

•

(P3.7) Đưa hệ bất phương trình (4) về hệ bất phương trình 3 ẩn, rồi tiếp tục

đưa về hệ bất phương trình một ẩn để tìm ra số bậc n.

c. Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế

- Sau khi có kết quả, một số nhóm (Út, Nguyệt, Phượng, Mơ) đã kiểm tra lại các

điều kiện an toàn của cầu thang trước khi đi đến câu trả lời mà tình huống đặt ra.

- Một số nhóm vẫn dừng lại ở việc tìm ra n hoặc n, x, y mà không trực tiếp trả lời

câu hỏi của tình huống.

d. Phản ánh: Có ba nhóm đã đưa ra các phản ánh sau đây đối với tình huống

(PA 3.1) Ngoài yếu tố chiều cao và chiều sâu mỗi bậc, một cầu thang an toàn -

còn phụ thuộc vào độ dốc, chất liệu làm cầu thang.

(PA 3.2) Kết quả tìm được không chính xác với thực tế vì đã được làm tròn. -

(PA 3.3) Đây chỉ mới là số liệu thô, trên thực tế độ cao bậc và độ sâu bậc cần -

142

cộng thêm phần trát vữa.

3.2.3.3 Bảng tóm tắt bài làm của các nhóm

Phản ánh

Nhóm An Phương pháp giải Biến đổi tương đương (P3.1) Mô hình toán Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn (M3.1).

Út (PA 3.2) Kết quả Chưa hoàn thành (chưa tìm được x, y) Đúng Tính chất bất đẳng thức (P3.2) hai nhất

Nguyệt (PA 3.1) Đúng

Phượng Đúng

Hệ bất phương trình ẩn bậc (M3.2). Hệ bất phương trình bậc nhất ba ẩn (M3.3). Nhi

Mơ (PA 3.3) Chưa hoàn thành (chưa tìm được x, y) Đúng

lý Thiện Hệ bất phương trình bậc nhất năm ẩn (M3.4).

Đưa về hệ bất phương trình một ẩn (P3.3) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức (P3.4) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức dưới dạng không tường minh (P3.5) Đưa về hệ bất phương trình một ẩn (P3.7) Sử dụng định Pitago (P3.6) Sai

Hệ bất phương trình bậc nhất ba ẩn (M3.5). Sai

Hòa

hai Phú Việt Linh Duyệt Hệ bất phương trình bậc nhất ba ẩn (M3.7) Sai Hệ bất phương trình bậc ẩn nhất (M3.6). Sai

Kết luận đối với tình huống 3

* Xây dựng mô hình toán

- Các mô hình toán được xây dựng trong tình huống này khá phong phú, có đến

bảy mô hình khác nhau, đều là các hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, hai ẩn,

ba ẩn hoặc năm ẩn. Nhưng mô hình được sử dụng nhiều nhất là hệ bất phương

143

trình bậc nhất ba ẩn (7 nhóm), đây là một thói quen của học sinh khi giải các bài

toán cần đặt ẩn số, các em thường đặt ẩn là các yếu tố cần tìm. Tình huống yêu

cầu “chỉ ra số bậc, chiều cao và chiều sâu của mỗi bậc” do đó ba yếu tố này đã

được nhiều học sinh lựa chọn làm ẩn.

- Hình vẽ minh họa giúp học sinh trong việc xác định các mối quan hệ: chiều cao

bậc và khoảng cách hai sàn, chiều sâu bậc và chiều dài cầu thang, tuy nhiên nó

cũng là nguyên nhân dẫn đến sai lầm của nhóm Duyệt và Thiện khi “nhìn thấy”

khả năng sử dụng định lý Pitago dẫn đến mô hình toán hoặc phương pháp giải sai.

- Lưu ý của tình huống đã không ảnh hưởng đến các nhóm Phú, Việt, Linh, Hòa

do đó bốn nhóm này đã xác định sai mối quan hệ giữa chiều cao bậc và khoảng

cách hai sàn.

* Giải toán

- Trong bảy nhóm xây dựng mô hình toán đúng, chỉ có một nhóm sử dụng

phương pháp giải sai, các nhóm còn lại đều đưa ra phương pháp hợp lý, đó là sử

dụng các tính chất của bất đẳng thức hoặc đưa về việc giải hệ bất phương trình

bậc nhất một ẩn. Tuy nhiên, chỉ có bốn nhóm tìm đủ các thông số theo yêu cầu

của tình huống - số bậc, chiều cao và chiều sâu mỗi bậc, hai nhóm khác tìm

được số bậc nhưng không đủ thời gian để tính hai thông số kia.

- Nhóm của Nhi đã sử dụng phương pháp giải (P3.5) đúng, nhưng các em không

giải thích hay chỉ ra được cơ sở toán học của phương pháp này khi được phỏng

vấn. Như vậy cách giải này hoàn toàn cảm tính, ngẫu nhiên.

- Mặc dù hai nhóm Việt, Linh xây dựng mô hình sai (M3.5) nhưng đã giải đúng

hệ bất phương trình mà các em đưa ra. Nếu hai nhóm này xác định đúng mối quan hệ “chiều dài cầu thang = (số bậc - 1)× chiều sâu bậc” thì các em có khả

năng đưa ra phương án đúng cho tình huống vì cách giải hai hệ này hoàn toàn

giống nhau.

- Phương pháp giải tình huống này là không phức tạp, chỉ cần sử dụng các tính

144

chất cơ bản của bất đẳng thức.

* Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế: Cả bốn nhóm giải đúng bài toán

tương ứng với mô toán đã xây dựng đều đã thực hiện bước chuyển đổi này.

* Phản ánh: So với hai tình huống trước, lần này, bên cạnh việc kiểm tra tính hợp lý

của kết quả, một số nhóm đã có cố gắng khi đưa ra các phản ánh đối với kết quả.

Theo nhóm của Út, vì chiều cao bậc và chiều sâu bậc là các số gần đúng nên khi

thực hiện xây dựng trong thực tế sẽ dẫn đến các sai số. Còn nhóm Nguyệt và Mơ

quan tâm đến các yếu tố thực tế khác có thể ảnh hưởng đến kết quả, như độ dốc,

chất liệu làm cầu thang nhưng không cung cấp lý do hoặc giải thích cụ thể.

ĐU QUAY. Một đu quay thủy lực gồm 10 máy bay nhỏ gắn với một trục ở giữa (Hình 1). Khi trục này quay, các máy bay sẽ bay xung quanh trục. Ngoài ra, độ cao của các máy bay thay đổi phụ thuộc vào độ dài của xi lanh thủy lực AC. Xi lanh này được gắn cố định tại điểm C nhưng độ dài AC có thể thay đổi (Hình 2). Trong một thiết kế chuẩn BD = 4 m, BA = BC = BE = 1,5 m, và độ dài đoạn AC có thể thay đổi từ 1,5 m đến 2,2 m. Theo em, với kết cấu như trên, khoảng cách từ máy bay đến mặt đất thấp nhất là bao nhiêu?

Hình 1. Đu quay máy bay thủy lực

Hình 2. Mô hình của đu quay máy bay thủy lực

1. Khi khoảng cách từ máy bay đến mặt đất thấp nhất thì độ dài của xi lanh thủy lực

AC = ………..

Hãy vẽ hình trong trường hợp này 2. Em hãy giải quyết tình huống trên a. Phát biểu bài toán tương ứng với tình huống: ……………………………………………………………………………………………… b. Giải bài toán: ……………………………………………………………………………………………… c. Trả lời câu hỏi của tình huống: ……………………………………………………………………………………………… d. Xem xét tính hợp lý của kết quả và các khả năng khác của tình huống (nếu có): ………………………………………………………………………………………………

145

3.2.4 Tình huống thực nghiệm 4

- Ngữ cảnh: tính khoảng cách đến mặt đất thấp nhất của một máy bay trò chơi khi

biết một số thông số của thiết kế.

- Nội dung toán: định lý cosin trong tam giác, hệ thức lượng trong tam giác vuông.

- Mục tiêu của tình huống: Học sinh sử dụng kiến thức hình học để hiểu tình

huống và sử dụng kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác để tính độ cao thấp nhất.

- Độ phức tạp: mức độ 2.

3.2.4.1 Quá trình toán học hóa có thể xảy ra khi giải quyết tình huống

a. Lựa chọn những thông tin toán học cần thiết

Trong tình huống này, mỗi máy bay tham gia đồng thời hai chuyển động, một

chuyển động quay xung quanh trục CE và một chuyển động lên xuống khi độ dài xi

lanh thủy lực AC thay đổi. Ở đây, chúng ta chỉ quan tâm đến chuyển động lên xuống.

• Các điểm B, C, E cố định.

• Hai điểm A, D thay đổi. Thực ra, điểm A thay đổi kéo theo điểm D thay

Học sinh cần nhận ra các yếu tố cố định và thay đổi trong tình huống:

• Độ dài các đoạn thẳng BC, BE, BA, BD không thay đổi.

• Độ dài đoạn AC thay đổi từ 1,5 m đến 2,2 m.

C

đổi. A, D lần lượt thay đổi trên các cung tròn tâm B bán kính 1,5 m và 4 m.

2.2m

1.5m

b. Xây dựng mô hình toán học

1.5m

A

D

2.5m

Cho hai đường thẳng EC và EG vuông góc với

B F 1.5m

nhau tại E, EC = 3 m và B là trung điểm EC.

G

E

BD = 4 m, BA = BC = BE = 1,5 m; AC = 2,2 m.

Tính DG.

c. Dự kiến các phương pháp giải

∠

=

= BF BD c

. os

FBD

0,3 m

Cách 1: Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC ta tính được góc B bằng 94,330.

146

Trong tam giác vuông BDF: . Vậy DG = FE = 1,2 m.

C

Cách 2: Sử dụng giả thiết BA = BC = BE suy ra tam

A

D

=

=

=

cos

C

0, 73

BCA∠

42,83

giác CAE vuông tại A.

° .

B F

AC CE

hay

G

E

∠

=

=

180

° − ∠ 2

94,33

ABC

BCA

° . Sau đó, tiếp tục

Mặt khác, tam giác BAC cân tại B nên

như cách 1.

Cách 3: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó

y

C

=

=

x

AH y ,

EH

A

A

2,2

1,5

.

A

D

B H

2

2

−

.

⇒

=

=

= AH CE CA AE

AH

.

.

1,5

2

2

2

2

=

=

CA CE CA CE 2 −

−

=

EH

− EA HA

CE CA HA

1, 4

x

E

=

 BA

 BD

Mà tam giác CAE vuông nên

15 40

=

−

(

= ) 1, 2

y

y

y

Vậy điểm tọa độ điểm A(1,5; 1,4), mặt khác điểm B(0; 1,5) và .

D

A

B

8 3

5 8

Suy ra .

d. Thể hiện kết quả

Với kết cấu của đu quay máy bay thủy lực như tình huống mô tả thì khoảng cách từ

máy bay đến mặt đất thấp nhất là 1,2 m.

e. Phản ánh

Trong ba cách giải trên, khả năng học sinh sẽ sử dụng cách 1 và cách 2 nhiều hơn

cách 3 vì hai cách đầu đơn giản, quen thuộc đối với học sinh hơn, mặc dù tại thời

147

điểm này các em đã học phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

3.2.4.2 Phân tích bài làm của học sinh

a. Hiểu tình huống: sau khi đọc kỹ tình huống, lớp học xuất hiện hai cách hiểu về

tình huống này:

- Nhìn nhận vấn đề một cách “động”, xem A và D lần lượt là các điểm di động

trên đường tròn tâm B bán kính 1,5 và 2,2.

- Nhìn nhận vấn đề một cách “tĩnh”, xem A và D là các điểm cố định thỏa mãn

các điều kiện về khoảng cách BD = 4; AB = 1,5; AC = 2,2.

b. Xây dựng mô hình toán học: Trong bước này, các nhóm đều đưa tình huống về

một bài toán hình học, ở đó các thông tin của tình huống được gắn với các số đo

trên hình vẽ. Có hai trường hợp đã xảy ra khi các nhóm vẽ điểm A và điểm D:

(M4.1) Vẽ điểm A và điểm D ở vị trí thấp hơn điểm B so với mặt đất. Cơ sở của -

=

∩

A

(

B

;1,5)

C (

; 2, 2)

• Dựng hình:

những hình vẽ này là:

=

∩

D

[BA)

(

B

; 4)

,

=

ABC∠

94,3

• Tính góc

° .

• Dựa vào ảnh chụp thực tế của một đu quay

.

• Vẽ một cách ngẫu nhiên.

máy bay thủy lực (hình 1 của tình huống).

(M4.2) Vẽ điểm A và điểm D ở vị trí cao hơn điểm B so với mặt đất. Dưới đây là -

148

một số nguyên nhân:

• Vẽ một cách ngẫu nhiên.

• Dựa vào mô hình đu quay (hình 2) kèm

<

ABC∠

90

• Tính sai góc

° .

theo với tình huống.

C

c. Giải toán. Với mô hình xây dựng được, để

A

D

tính khoảng cách DG từ máy bay đến mặt đất,

B F

các nhóm đều tìm cách tính góc FBD∠ , sau đó

G

E

tính độ dài đoạn BF trong tam giác vuông DBF,

và suy ra khoảng cách DG = EF = 1,5 – BF.

Khi tính góc FBD∠ , hai cách sau đây được sử dụng chủ yếu trong các bài làm của

học sinh:

(P4.1) Sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC khi biết độ dài ba cạnh để -

tính ABC∠ .

(P4.2) Phát hiện ra tam giác ACE vuông tại A do BA = BC = BE và sử dụng hệ -

thức lượng trong tam giác vuông này.

(P4.3) Ngoài ra, một cách giải khác của nhóm Phượng là áp dụng hệ thức lượng -

trong tam giác vuông AHB, với H là trung điểm cạnh AC của tam giác cân BAC,

149

để tính góc ABH∠ .

d. Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế: các nhóm đều thực hiện tốt

bước này sau khi tính được khoảng cách DG.

e. Phản ánh

- Học sinh thực hiện bước phản ánh ngay trong quá trình giải toán. Một số nhóm

=

ABC∠

94,3

° , các em đã quay lại bước xây dựng mô hình toán để điều chỉnh lại

xây dựng mô hình toán lúc đầu không đúng, nhưng sau khi tính ra góc

hình vẽ cho phù hợp.

=

ABC∠

94,3

Trong bài làm trên, hình bên phải là hình vẽ lúc đầu, hình bên trái là hình vẽ lại

° .

sau khi tính được góc

- So sánh khoảng cách tìm được với khoảng cách BE để kết luận kết quả tìm được

150

là hợp lý.

3.2.4.3 Bảng tóm tắt bài làm của các nhóm

Phương pháp giải

Kết quả Phản ánh Đúng

Định lý hàm số cosin. (P4.1) Dựng hình (M4.1)

Nhóm Mô hình toán Nguyệt Mơ Út Đúng Vẽ lại hình Hệ thức lượng trong tam giác vuông AEC. (P4.2)

Tính góc ABC∠ (M4.1) An Phượng Đúng Hệ thức lượng trong tam giác vuông ABH. (P4.3)

=

94,3

° .

Hòa

Sai Kết quả hợp lý vì DG < 1,5 Vẽ lại hình

Định lý hàm số cosin. (P4.1) ABC∠ Tính được Nhưng áp dụng sai công thức trong tam giác vuông BDF.

Thiện

Định lý hàm số cosin (P4.1). Tính được BF = 0,28. Chưa hoàn thành Dựa vào hình 1 (M4.1)

Nhi Đúng

=

ABC∠

94,3

Linh

° .

Hệ thức lượng trong tam giác vuông AEC (P4.2). Định lý hàm số cosin (P4.1). Tính được Vẽ ngẫu nhiên (M4.1)

Việt Chưa hoàn thành

Phú Dựa vào hình 2 (M4.2) Sai Vẽ ngẫu nhiên (M4.2) Sai

151

Duyệt Tính sai góc  (M4.2) Sai Định lý hàm số cosin, nhưng sai dấu.

Kết luận đối với tình huống 4

* Xây dựng mô hình toán

- Khi nhìn tình huống này dưới quan điểm “động” sẽ giúp học sinh hiểu đúng bản

chất của tình huống, do đó việc xây dựng mô hình toán của học sinh sẽ chính

xác hơn, có cơ sở hơn so với việc xem xét vấn đề một cách “tĩnh”. Tuy nhiên,

một số nhóm với suy nghĩ “tĩnh” vẫn xây dựng được mô hình đúng vì sự ngẫu

nhiên, hoặc tính góc ABC∠ trước khi vẽ, hoặc có thể lúc đầu vẽ sai nhưng nhờ

quá trình phản ánh xảy ra trong khi giải toán nên đã sửa lại mô hình cho phù hợp.

- Đối với một số học sinh, mô hình các em xây dựng chịu ảnh hưởng bởi những

hình vẽ đi kèm theo tình huống. Cụ thể, các em đã dựa vào hình ảnh quan sát

được từ các hình vẽ để xác định vị trí điểm D cao hơn hay thấp hơn so với vị trí

của điểm B trong mô hình của mình.

* Giải toán

- Trong số 9 nhóm xây dựng đúng mô hình toán, có 6 nhóm đã giải đúng bài toán

được phát biểu từ tình huống, 2 nhóm không kịp hoàn thành bước giải toán của

mình vì không đủ thời gian.

- Vẫn còn việc áp dụng sai các công thức cơ bản như định lý cosin, hệ thức lượng

trong tam giác vuông, mà nguyên nhân là sự bất cẩn, thiếu kiểm tra, xem xét lại

quá trình giải chứ không phải do không nhớ công thức.

- Sáu nhóm đã sử dụng định lý cosin để giải bài toán bởi vì theo các em tam giác

ABC đã có độ dài 3 cạnh nên có thể sử dụng định lý này để tính các góc trong

tam giác. Đối với các nhóm này, việc nhận ra tam giác ABC vuông từ giả thiết

BA = BC = BE thì không được nghĩ đến, hoặc có nghĩ đến nhưng vì không chắc

chắn, do kiến thức này được học ở lớp 9, nên các em đã không tiếp tục theo đuổi

hướng suy nghĩ này.

- Không có nhóm nào nghĩ đến việc sử dụng phương pháp tọa độ vào giải bài

152

toán, ngay cả những nhóm xây dựng mô hình toán học bằng phương pháp dựng

hình. Từ cách dựng của các em, chúng tôi nhận thấy có thể tìm được tọa độ điểm

y

A bằng một cách khác mà chúng tôi đã không nghĩ đến trước đó.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó tọa độ

=

∩

A

(

B

;1,5)

C (

; 2, 2)

C

2,2

1,5

điểm B(0; 1,5) và điểm C(0; 3).

B

D

A

Với phương trình đường tròn (B; 1,5) và

x

2

2

+

−

=

(

x

y

E

2

+

−

=

(

1,5) 2 3)

2 1,5 (1) 2 2, 2 (2)

x

y

1, 4

(C; 2,2) lần lượt là:

Ay =

=

−

(

= ) 1, 2

y

y

y

Lấy (2) trừ (1) ta được . Tiếp tục như cách 3 trong phân tích tiên nghiệm

D

A

B

8 3

5 8

trên thì ta có .

* Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế: Sáu nhóm giải đúng đều giải thích

kết quả toán trong ngữ cảnh của tình huống một cách phù hợp.

* Phản ánh: Trong tình huống này, điều khá bất ngờ là học sinh không chỉ thực hiện

bước phản ánh ở khâu cuối cùng của quá trình giải quyết tình huống mà đã thực

hiện ngay trong quá trình giải toán. Ngoài ra, một số nhóm đã cố gắng đưa ra các

phản ánh đối với kết quả tìm được nhưng chưa thực sự sâu sắc và có ý nghĩa.

3.2.5 Sự phát triển năng lực hiểu biết định lượng thể hiện qua bốn buổi dạy học

thực nghiệm

3.2.5.1 Sự phát triển năng lực hiểu biết định lượng của các nhóm

Dựa vào thang đánh giá các năng lực HBĐL đã được xây dựng ở chương 2, trên cơ

sở phân tích bài làm của học sinh, chúng tôi đo mức độ từng năng lực của mỗi

nhóm qua bốn tình huống dạy học thực nghiệm (phụ lục 6 và 7). Mỗi năng lực được

xem xét ở ba giai đoạn, trong đó giai đoạn 1 và 2 tương ứng với bước 1, 2 của quá

trình toán học hóa, và giai đoạn 3 tương ứng với bước 3 và 4 của quá trình. Thang

153

mức ở mỗi giai đoạn xếp từ 0 đến 3, như vậy mức độ tối đa của một năng lực là 9.

Sau đó, chúng tôi sử dụng biểu đồ hình cột để thể hiện mức độ các năng lực của

từng nhóm trong bốn tuần. Nhận xét đầu tiên mà chúng tôi có được là các năng lực

HBĐL của mỗi nhóm phát triển theo một cách khác nhau, và có thể chia thành ba

xu hướng:

a. Các nhóm ít có sự thay đổi theo xu hướng phát triển

Qua bốn tuần thực nghiệm, 6 nhóm học sinh sau đây có mức độ đạt được ở mỗi

năng lực HBĐL ít thay đổi theo hướng phát triển.

i. Nhóm đạt mức độ cao

Nhóm Út

Nhóm Nguyệt

10 8 6 4 2 0

10 8 6 4 2 0

G.tiếp Xây dựng

Suy luận Biểu diễn GQVĐ

G.tiếp

Suy luận Biểu diễn GQVĐ

Kí hiệu, phép toán

MH

Xây dựng MH

Kí hiệu, phép toán

Hình 3.3 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Út và nhóm Nguyệt

Hai nhóm Út và Nguyệt đều xây dựng được mô hình toán, giải toán đúng và giải

thích kết quả toán đúng trong tình huống thực tế cho cả bốn tình huống. Chính vì

vậy, mức độ của các năng lực đều không thay đổi hoặc biến đổi rất ít qua bốn tuần,

sự tiến bộ chỉ thấy được ở năng lực xây dựng mô hình của nhóm Út. Tuy nhiên, cả

hai nhóm đều không nhận ra hoặc nhận ra nhưng không đầy đủ phạm vi và hạn chế

của mô hình toán được xây dựng cũng như chưa có thói quen, kinh nghiệm để xem

xét ảnh hưởng của các yếu tố thực tế lên kết quả nên năng lực xây dựng mô hình và

suy luận đạt mức độ thấp hơn các năng lực khác.

ii. Nhóm đạt mức độ thấp

Ngược lại với hai nhóm trên, các nhóm Duyệt, Việt, Phú (hình 3.4) có mức độ đạt

được ở các năng lực thấp như nhau đối với cả bốn tình huống nên cũng không thấy

được sự phát triển của ba nhóm này. Cả ba nhóm chỉ chuyển đổi đúng một số chứ

không phải tất cả các thông tin liên quan của tình huống sang ngôn ngữ toán, chính

154

vì vậy mô hình tạo ra không đúng hoặc không đầy đủ. Học sinh của ba nhóm cho

rằng điểm của nhóm mình thấp bởi vì những tình huống này khó và các em chưa

hoàn toàn hiểu hết các giả thiết của tình huống.

Nhóm Việt

Nhóm Duyệt

10 8 6 4 2 0

10 8 6 4 2 0

G.tiếp

Suy luận Biểu diễn GQVĐ

G.tiếp

Suy luận Biểu diễn GQVĐ

Xây dựng MH

Kí hiệu, phép toán

Xây dựng MH

Kí hiệu, phép toán

Nhóm Phú

10 8 6 4 2 0

G.tiếp

Suy luận Biểu diễn GQVĐ

Xây dựng MH

Kí hiệu, phép toán

Hình 3.4 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Duyệt, Việt và Phú

iii. Nhóm đạt mức độ trung bình

Mức độ đạt được ở các năng lực của nhóm Thiện đối với ba tình huống đầu hầu như

không thay đổi vì nhóm xây dựng mô hình đúng nhưng sử dụng phương pháp giải

sai, hoặc phương pháp giải đúng nhưng mô hình toán chưa đầy đủ. Đến tình huống

thứ tư, mức độ của các năng lực có sự tăng nhẹ do mô hình và phương pháp giải

đúng tuy nhiên các em vẫn chưa tìm ra kết quả toán.

Nhóm Thiện

10 8 6 4 2 0

Suy luận Biểu diễn GQVĐ

G.tiếp

Xây dựng MH

Kí hiệu, phép toán

155

Hình 3.5 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Thiện

b. Các nhóm có xu hướng phát triển

Nhìn vào biểu đồ hình 3.6 ta có thể thấy mức độ đạt được ở các năng lực HBĐL của

hai nhóm Phượng và Mơ tăng cao trong hai buổi thực nghiệm cuối. Hai nhóm đều

đã xây dựng được mô hình toán phù hợp cho cả bốn tình huống, nhưng lúc đầu do

hợp tác giữa các thành viên trong nhóm chưa tốt, chưa có sự kiểm tra lại quá trình

giải nên phương pháp giải đưa ra không đúng (tình huống 1) hoặc sử dụng sai bất

đẳng thức Cauchy rất quen thuộc (tình huống 2). Các tình huống 3 và 4 được hai

nhóm giải quyết rất tốt, chỉ có hạn chế đối với năng lực xây dựng mô hình và suy

luận.

Nhóm Phượng

Nhóm Mơ

10 8 6 4 2 0

10 8 6 4 2 0

G.tiếp

Suy luận Biểu diễn GQVĐ

Suy luận Biểu diễn GQVĐ

G.tiếp

Xây dựng MH

Kí hiệu, phép toán

Xây dựng MH

Kí hiệu, phép toán

Hình 3.6 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Phượng và nhóm Mơ

Hai nhóm Nhi và An (hình 3.7) có điểm xuất phát cao hơn nhóm của Phượng và Mơ

nhưng sự tiến bộ qua hai tuần đầu rất ít. Cả hai đều xây dựng mô hình toán đúng,

lựa chọn phương pháp giải phù hợp, tuy nhiên nhược điểm là điều khiển thời gian,

các em đã không kịp hoàn thành bước giải toán khi hết giờ. Sang tuần thứ ba, cả hai

nhóm đã đưa ra kết quả toán và cố gắng giải thích kết quả đó trong tình huống thực

tế nhưng chưa đầy đủ, đến tuần thứ tư, các em đã tiến bộ hơn khi đã hoàn thành tốt

bước trả lời câu hỏi của tình huống. Tuy nhiên, hai nhóm vẫn chưa xem xét tính hợp

lý của kết quả cũng như các khả năng khác của tình huống do đó mức độ đạt được

156

của các năng lực xây dựng mô hình, suy luận và giải quyết vấn đề vẫn ở mức 5 – 6.

Nhóm An

Nhóm Nhi

10 8 6 4 2 0

10 8 6 4 2 0

G.tiếp

Suy luận Biểu diễn GQVĐ

Suy luận Biểu diễn GQVĐ

G.tiếp

Xây dựng MH

Kí hiệu, phép toán

Xây dựng MH

Kí hiệu, phép toán

Hình 3.7 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Nhi và nhóm An

c. Các nhóm có xu hướng phát triển không rõ ràng

So với những nhóm khác, mức độ đạt được của các năng lực HBĐL ở nhóm Hòa và

Linh không thể hiện tăng hay giảm rõ ràng qua bốn tình huống. Đối với tình huống

1 và 2, hai nhóm này chỉ mới xây dựng được mô hình toán nhưng chưa tìm được

phương pháp giải bài toán, hoặc sử dụng sai công thức dẫn đến kết quả toán sai.

Tuy nhiên, khi giải quyết tình huống 4, các em đã thể hiện sự tiến bộ so với ba tình

huống trước, qua việc đưa ra một cách giải phù hợp cũng như nhận ra hạn chế của

mô hình toán mà mình xây dựng.

Nhóm Linh

Nhóm Hòa

10 8 6 4 2 0

10 8 6 4 2 0

G.tiếp

Suy luận Biểu diễn GQVĐ

G.tiếp

Suy luận Biểu diễn GQVĐ

Xây dựng MH

Kí hiệu, phép toán

Xây dựng MH

Kí hiệu, phép toán

Hình 3.8 Mức độ đạt được các năng lực HBĐL của nhóm Hòa và nhóm Linh

3.2.5.2 Sự phát triển của mỗi năng lực hiểu biết định lượng

Để thu thập thêm thông tin về sự phát triển liên quan đến các năng lực HBĐL riêng

lẻ, chúng ta sẽ nhìn vào biểu đồ dưới đây về mức độ trung bình mà các năng lực

157

HBĐL của học sinh lớp thực nghiệm đã đạt được qua bốn tuần:

7

6.25

6.25

6.17

6

5.75

5.5

5.17

5

5

5.17

4.75

5

4.33

4.17

4.5

4.5

ì

4.5

buổi 1

4

buổi 2

4

4.08

4

buổi 3

h n b g n u r t

3

buổi 4

i

m ể Đ

2

1

0

Giao tiếp

Suy luận

Biểu diễn Giải quyết

Xây dựng mô hình

Kí hiệu, phép toán

vấn đề

Hình 3.9 Mức độ trung bình của các năng lực HBĐL qua bốn buổi thực nghiệm

Đồ thị cho thấy các năng lực phát triển qua mỗi tuần, tuy nhiên xu hướng phát triển

của mỗi năng lực không giống nhau. Hai năng lực học sinh thể hiện sự phát triển

nhiều nhất là năng lực giao tiếp từ 4,08 lên 6,25 và năng lực biểu diễn từ 4,5 lên

6,25. Điều đó chứng tỏ việc hiểu đúng các thông tin của tình huống, sử dụng các

biểu diễn toán phù hợp để xây dựng bài toán tương ứng với tình huống, khả năng

trình bày các bước giải đúng để đi đến kết quả toán, cũng như thói quen trả lời câu

hỏi tình huống của học sinh ngày càng tăng qua nghiên cứu này.

Hai năng lực ít phát triển nhất là năng lực xây dựng mô hình và năng lực suy luận,

nguyên nhân do khả năng phản ánh của học sinh thể hiện còn thấp, các em thường

bỏ qua việc xem xét ảnh hưởng của các yếu tố thực tế lên kết quả hoặc tìm hiểu

phạm vi, hạn chế của mô hình đã xây dựng. Điều này có thể lý giải vì đây là các yêu

cầu khá mới lạ và khó đối với học sinh, thời gian thường không đủ để các em thực

158

hiện bước này, thêm vào đó quan điểm của các em là chỉ cần tìm ra kết quả của tình huống.

Năng lực sử dụng kí hiệu, thuật ngữ và phép toán cũng thể hiện sự tiến bộ, nhiều

nhóm lúc đầu có phương pháp giải đúng nhưng không hoàn thành bài làm để đi đến

kết quả toán hoặc không chuyển kết quả toán sang kết quả thực tế. Tuy nhiên qua

các phản ánh của giáo viên sau mỗi tình huống, các nhóm đã có sự cải thiện đối với

năng lực này. Sự phát triển của năng lực giải quyết vấn đề thể hiện ở việc lựa chọn

phương pháp giải hợp lý đối với bài toán xây dựng từ tình huống và cố gắng kiểm

tra sự thỏa mãn của kết quả với các thông tin trong tình huống ban đầu.

Trong ba tuần đầu, ngoại trừ năng lực giao tiếp tăng nhanh, năm năng lực còn lại

tăng rất chậm. Tuy nhiên với tình huống thứ tư, số nhóm xây dựng đúng mô hình

toán là nhiều nhất so với các tuần trước (9/12 nhóm), trong đó 8 nhóm đã đưa ra

phương pháp giải đúng, ngoài ra có hai nhóm nhận thấy được hạn chế của mô hình

toán do mình xây dựng mặc dù chưa đầy đủ, vì vậy các năng lực đã thể hiện sự phát

triển nhảy vọt ở tuần cuối cùng.

Trong phần này, khi thực hiện cho điểm các năng lực HBĐL của học sinh dựa vào

sáu thang đánh giá đã trình bày ở chương 2, chúng tôi nhận thấy việc đánh giá các

mức độ 0, 1 và 3 ở mỗi giai đoạn của các năng lực là rõ ràng vì học sinh sẽ đạt mức

độ 0 khi không thực hiện hoạt động nào thể hiện năng lực trong giai đoạn đó, hoặc

nếu học sinh có thực hiện một số hoạt động liên quan đến năng lực nhưng không

đúng thì chỉ đạt mức độ 1, còn nếu tất cả những hoạt động học sinh thực hiện đều

phù hợp và đưa đến các kết quả hợp lý thì sẽ đạt mức cao nhất là 3. Tuy nhiên, nếu

ở một giai đoạn nào đó mà năng lực của học sinh chưa đạt mức độ 3 nhưng cao hơn

mức độ 1 thì sẽ được xếp vào mức độ 2, chẳng hạn như “bước giải đúng nhưng

không đầy đủ”, “mô hình toán chỉ phản ánh một phần tình huống được cho”, “lời

giải có một số lỗi nhỏ về logic”… điều này tạo ra ít nhiều “sai số” đối với kết quả

thu được. Do thang đánh giá các năng lực mà chúng tôi xây dựng nhằm mục đích

đo mức độ học sinh đạt được đối với một lớp các tình huống THH nên khó có thể

chia mức độ 2 thành các mức độ nhỏ hơn, nhưng sai số trên có thể hạn chế bằng

cách tùy thuộc vào mỗi tình huống THH cụ thể, giáo viên chia mức độ 2 thành

159

nhiều mức điểm, ví dụ như 1,5, 2 và 2,5, để kết quả đánh giá được chính xác hơn.

3.3 PHÂN TÍCH KẾT QUẢ BÀI KIỂM TRA PRETEST VÀ POSTTEST

Trước khi tổ chức dạy thực nghiệm, chúng tôi tiến hành bài kiểm tra pretest đối với

46 học sinh lớp 10A2, nhằm khảo sát khả năng các em sử dụng tri thức toán đã học

để giải quyết ba tình huống THH chứa đựng yếu tố định lượng. Sau đợt dạy thực

nghiệm, tất cả 46 học sinh lớp 10A2 tiếp tục tham gia bài kiểm tra posttest, nhằm

đánh giá sự phát triển năng lực HBĐL của các em.

Hai bài kiểm tra này tương đương nhau, đều gồm hai tình huống ở mức độ 2 và một

tình huống ở mức độ 1. Mỗi bài kiểm tra được thực hiện cá nhân với thời gian 80

phút.

160

3.3.1 Bài kiểm tra pretest

BÀI KIỂM TRA PRETEST

1. CƯỚC ĐIỆN THOẠI. Phí dịch vụ của gói cước QTeen mạng di động Mobiphone là 1280 đồng cho mỗi phút gọi. Gói cước Basic của mạng di động Viettel có phí thuê bao là 50000 đồng mỗi tháng cộng thêm 990 đồng cho mỗi phút gọi. Theo em, sử dụng gói cước nào sẽ tiết kiệm chi phí hơn? Tại sao?

2. MÁY BAY. Một phi công đang lái máy bay theo đường bay thẳng hướng Đà Nẵng đến Hà Nội thì nhận được thông báo có một vùng thời tiết xấu mới hình thành ngay phía trước đường bay. Phi công đã rẽ sang trái 350 so với đường đi dự kiến và tiếp tục bay thẳng với đường bay mới. Sau khi tránh được vùng thời tiết xấu, máy bay lại rẽ sang phải 450 so

với đường bay hiện tại, tiếp tục bay thẳng đến khi gặp đường bay dự kiến ban đầu tại điểm cách điểm bắt đầu đi đường vòng là 80 km. Theo em, đoạn đường tăng thêm do bay đường vòng là bao nhiêu? Giải thích.

3. ĐÀI PHUN NƯỚC. Khi đến thủ đô Lima của Pêru vào ban đêm, du khách có thể chứng kiến nhiều hình ảnh rất đẹp của các đài phun nước. Trong hình vẽ là một đoạn đường đi bộ dài 32 m bên dưới một đài phun nước. Các dòng nước được đẩy lên đến chính xác cùng một độ cao và rơi xuống thành một hàng tạo nên các tia nước hình parabol. Điều đáng ngạc nhiên là bạn có thể đi qua con đường này mà không bị ướt. Thy muốn biết độ cao của đường hầm bằng nước này. Cô đo trên mặt đất khoảng cách giữa điểm nước phun lên và điểm nước rơi xuống là 4 m, ngoài ra nếu đứng cách chỗ vòi nước phun 0,6 m và đưa tay lên thẳng, cô có thể chạm được nước ở độ cao 1,53 m. Em hãy giúp Thy tính độ cao của đài phun nước này.

161

3.3.1.1 Tình huống CƯỚC ĐIỆN THOẠI

Thể hiện bài làm của học sinh

Số HS 5 Không làm

Làm nhưng không đúng: Tính chi phí của mỗi gói cước cho một trường hợp 20

đặc biệt, chẳng hạn 1 tháng (30 × 24 ×60 phút), 1 ngày (24 × 60 phút), từ đó

so sánh và đưa ra kết luận:

Xây dựng mô hình toán học: Đưa ra được hai biểu thức tính chi phí phải trả 21

trong một tháng của mỗi gói cước phụ thuộc vào số phút gọi.

Qteen: 1280 × số phút gọi

Mobiphone: 990 × số phút gọi + 50000

Sử dụng một phương pháp giải đúng:

11 - Cách 1. Giải bất phương trình bậc nhất, tìm những giá trị x để số tiền

phải trả mỗi tháng của gói cước Qteen nhiều hơn của gói cước Basic và

ngược lại.

- Cách 2. Dựa vào giá chênh lệch giữa hai gói cước cho mỗi phút gọi là

290 đồng, trong khi chênh lệch phí thuê bao là 50000 đồng mỗi tháng để 6

162

suy luận ra kết quả.

0 Kết luận đúng:

- Nếu gọi điện thoại không nhiều hơn 172 phút mỗi tháng nên chọn Qteen.

- Nếu gọi điện thoại trên 172 phút mỗi tháng nên chọn Basic.

Phản ánh tốt: Một số em cho rằng đối với học sinh, thời gian gọi điện thoại 5

trung bình không nhiều hơn 5 phút mỗi ngày vì vậy chọn gói cước Qteen là

rẻ hơn, tiết kiệm chi phí hơn.

Nhận xét

- Gần một nửa số học sinh (20/46) giải bài toán bằng cách xem xét chi phí cho

một số phút gọi cụ thể rồi so sánh giá của hai nhà mạng. Mặc dù cách giải như

vậy không tổng quát, nhưng vẫn có thể chấp nhận nếu các em lựa chọn những

giá trị phù hợp. Tuy nhiên, các em đã suy nghĩ không hợp lý khi xét số phút gọi

trong một tháng chính bằng số phút của một tháng, nghĩa là 30 × 24 ×60 phút. Rõ

ràng, điều này khó có thể xảy ra. Như vậy, học sinh thực hiện tính toán một cách

máy móc mà không quan tâm đến yếu tố thực tế.

- Hầu hết những học sinh xây dựng mô hình toán đúng cho tình huống đều đưa ra

một phương pháp giải thích hợp để đi đến kết quả đúng, đó là sử dụng bất

phương trình bậc nhất hoặc dựa vào chênh lệch phí thuê bao. Chỉ có 2/21 học

sinh tính toán sai nên dẫn đến kết quả sai và 2/21 học sinh đưa ra kết quả đúng

nhưng không có giải thích nào.

- Ở bước giải, không có học sinh nào sử dụng phương pháp vẽ đồ thị hai hàm số

bậc nhất trên cùng một mặt phẳng tọa độ, rồi dựa vào đồ thị để đưa ra kết quả.

x

= ( ) 1280 =

+

f x g x

x

( ) 50000 990

163

Nguyên nhân là hai biểu thức các em đưa ra có hệ số quá lớn,

điều này ngăn cản các em nghĩ đến việc sử dụng phương pháp đồ thị để giải.

- Ở bước phản ánh, học sinh không để ý rằng hai gói cước này tính giá theo phút

gọi chứ không phải theo giây, cho nên giá tiền gọi điện thoại 172 phút 1 giây

cũng bằng giá tiền gọi 173 phút. Vì vậy, mặc dù 17 học sinh giải đúng nhưng

• Nếu 1 tháng gọi ít hơn 172,4 phút (hoặc 173 phút): nên sử dụng gói cước Qteen;

• Nếu 1 tháng gọi 172,4 phút (hoặc 173 phút): sử dụng hai gói cước là như nhau;

• Nếu 1 tháng gọi nhiều hơn 172,4 phút (hoặc 173 phút): dùng gói cước Basic.

không có em nào kết luận đúng. Kết luận phổ biến của các em là:

3.3.1.2 Tình huống MÁY BAY

Thể hiện bài làm của học sinh

Không làm Số HS 2

Xây dựng mô hình toán học: sử dụng hình vẽ để mô tả lại đường đi của 44

máy bay, các bài làm chia thành hai nhóm:

17 - Hình vẽ đúng

B

45°

35°

A

C

km

80

- Hình vẽ sai

B

27

45°

35°

A

C

80

km

Sử dụng một phương pháp giải đúng: áp dụng định lý sin đối với tam giác 16

ABC và tính đúng độ dài đoạn AC & BC.

164

Trả lời đúng đoạn đường tăng thêm do bay đường vòng bằng AB + BC – AC. 16

Nhận xét

Bài toán sẽ không khó đối với học sinh nếu các em xây dựng mô hình toán đúng,

nghĩa là đọc đề cẩn thận hơn, chú ý đến những cụm từ quan trọng “Sau khi tránh được vùng thời tiết xấu, máy bay lại rẽ sang phải 450 so với đường bay hiện tại” để

có được hình vẽ đúng. Bởi vì, trong 27 em có hình vẽ sai thì 21 em tính toán đúng

độ dài cạnh AB và BC trên hình vẽ của mình. Ngoài ra, hầu hết 17 em có hình vẽ

đúng đều đạt kết quả đúng, chỉ có một kết quả sai do quá trình thay số vào công

thức sai. Hơn nữa, kết quả câu 2 của đề kiểm tra kĩ năng toán thu được có 42 / 46

học sinh đã làm đúng câu này. Điều đáng ngạc nhiên là tất cả những học sinh vẽ

hình để mô tả tình huống đều vẽ đúng trong trường hợp đầu khi “phi công rẽ sang trái 350 so với đường đi dự kiến” nhưng 61,4% trong số đó lại vẽ sai trong trường hợp tiếp theo khi “máy bay rẽ sang phải 450 so với đường bay hiện tại”. Nguyên

nhân là do hiểu sai từ ngữ, vì các em cho rằng “đường bay hiện tại” là đoạn AB nên tia BC sẽ hợp với đoạn AB một góc 450.

3.3.1.3 Tình huống ĐÀI PHUN NƯỚC

Thể hiện bài làm của học sinh

Số HS 15 31

Không làm Xây dựng mô hình toán học: - Vẽ parabol gắn với hệ trục tọa độ Oxy và điểm M(0,6; 1,53).

165

- Vẽ cung parabol cùng các số liệu mà tình huống đã cho.

2

=

py

2

x

nhưng không tìm được p.

Giải toán: - Giả sử parabol có dạng - Sai lầm trong việc nhận ra hai tam giác đồng dạng nên dẫn đến kết quả sai.

1 8

6 - Sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông nhưng không tìm được chiều cao h.

Nhận xét

Kết quả của tình huống này khá bất ngờ đối với chúng tôi vì tình huống tương tự

với Bài toán về cổng Ac-xơ (trang 61, Đại số 10 Nâng cao). Nhưng qua kiểm tra,

tình huống được xem là khó nhất trong ba tình huống và không có học sinh nào tìm

thấy phương pháp để giải quyết bài toán mặc dù 31 em đã xây dựng mô hình toán

phù hợp đối với tình huống đã cho.

Qua tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy có ba nguyên nhân chính:

- Không kịp thời gian để suy nghĩ cách giải;

2

=

y

2

px

- Học sinh vừa mới học phương trình chính tắc của parabol trong chương trình

Hình học nên đã sử dụng phương trình và không thể giải quyết được;

E

- Theo đuổi chứng minh hai tam giác

vuông đồng dạng ABC và AEF vì

C

nhận thấy rằng nếu chứng minh

?

A

1.53m B

được thì bài toán sẽ giải được, hoặc

2m

0.6m

F

hy vọng tính được độ dài EF dựa

166

vào hệ thức lượng trong tam giác.

3.3.2 Bài kiểm tra posttest

1. KỆ GỖ. Để đóng một cái kệ như hình vẽ, bác thợ mộc cần 4 tấm gỗ dài, 6 tấm gỗ ngắn, 12 nẹp nhỏ, 2 nẹp lớn và 14 cái đinh vít. Hiện tại bác thợ mộc có 27 tấm gỗ dài, 35 tấm gỗ ngắn, 80 nẹp nhỏ, 17 nẹp lớn và 150 cái đinh vít. Hỏi bác có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu cái kệ với những vật liệu trên. Giải thích.

2. NÉM BÓNG. Độ cao của một vật bị ném xiên sau t giây với vận tốc ban đầu với phương ngang một góc α, ở độ cao h được cho bởi công

0v , hợp thức

2

= −

+

+ , trong đó g là gia tốc trọng trường. Giả sử một phi hành gia

H t ( )

gt

(

sin )

t hα

v 0

1 2

, góc

30α=

20 m/s

v = 0

2

° từ độ cao đang ở trên Mặt trăng ném một quả bóng với vận tốc 2 m. Theo em, quả bóng đó rơi xuống nhanh hơn hay lâu hơn so với một quả bóng hoàn 0v , góc α và độ cao h. toàn giống như vậy được ném ở Mặt đất với cùng vận tốc ban đầu và của Mặt trăng là

9,8 m/s

g =

2

.

Tại sao? Biết rằng gia tốc trọng trường của Mặt đất là g =

1, 6 m/s

3. NGỌN NÚI. Bố Lan là một nhà địa chất. Vào một ngày hè, bố đưa Lan đi tham quan một ngọn núi đá ở gần quê nội. Trên con đường thẳng đến chân núi, sử dụng máy kinh vĩ (một thiết bị đo góc) bố Lan có thể nhìn thấy đỉnh núi dưới góc 80 so với phương nằm ngang. Sau khi đi thêm 1 km, bố Lan đo lại lần nữa, lúc này góc đo được là 100. Bố đố Lan ngọn núi cao bao nhiêu? Em hãy giúp Lan nhé. Biết rằng đường đi đến chân núi rất bằng phẳng và khoảng cách từ ống kính của máy kinh vĩ đến mặt đất là 1,5 m.

167

BÀI KIỂM TRA POSTTEST

Đường thẳng đến chân núi

Máy kinh vĩ

3.3.2.1 Tình huống KỆ GỖ

Thể hiện bài làm của học sinh Số HS

Không làm. 3

Xây dựng mô hình toán học:

12 - Mô hình 1. Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn: Tìm số nguyên

≤

x 27 ≤ x 35 ≤ x 80 (1.1) ≤ 17 ≤

150

 4  6  12   x 2   x 14

dương x lớn nhất thỏa mãn hệ:

- Mô hình 2. Phát biểu bài toán bằng cách tóm tắt tình huống: 31

(4 gỗ dài, 6 gỗ ngắn, 12 nẹp nhỏ, 2 nẹp lớn, 14 đinh vít) → 1 kệ

(27 gỗ dài, 35 gỗ ngắn, 80 nẹp nhỏ, 17 nẹp lớn, 150 đinh vít) → ? kệ

x ≤

5,8

Sử dụng một phương pháp giải đúng:

. Nhưng do x nguyên - Cách 1. Giải hệ bất phương trình (1.1) được 12

168

dương nên giá trị lớn nhất của x thỏa hệ là x = 5.

20

- Cách 2.

27 tấm gỗ dài làm được tối đa 6 kệ

35 tấm gỗ ngắn làm được tối đa 5 kệ

80 nẹp nhỏ làm được tối đa 6 kệ

17 nẹp lớn làm được tối đa 8 kệ

9 150 đinh vít làm được tối đa 14 kệ

Như vậy số kệ làm được tối đa là 5 kệ.

- Cách 3. 27 tấm gỗ dài làm được 27/4 = 6 kệ dư 3 tấm

35 tấm gỗ ngắn làm được 35/6 = 5 kệ dư 5 tấm

80 nẹp nhỏ làm được 80/12 = 6 kệ dư 8 cái

17 nẹp lớn làm được 17/2 = 8 kệ dư 1 cái

150 đinh vít làm được 150/14 = 10 kệ dư 10 cái

Nếu đóng 5 kệ thì vật liệu còn dư là (7 tấm gỗ dài, 5 tấm gỗ ngắn, 20 nẹp

nhỏ, 7 nẹp lớn, 80 đinh vít). Số vật liệu dư này có thể đóng thêm 1 kệ nữa

169

bằng cách cưa 1 tấm gỗ dài thành 1 tấm gỗ ngắn để có đủ 6 tấm gỗ ngắn.

Kết luận đúng:

32 - Bác thợ mộc có thể đóng được tối đa 5 kệ với những vật liệu được cho.

9 - Bác thợ mộc có thể đóng được tối đa 6 kệ với những vật liệu được cho.

Phản ánh tốt: Số vật liệu còn dư có thể làm thêm một cái kệ nữa nếu có thêm 9

một tấm gỗ ngắn, nhưng do tấm gỗ dài vẫn còn thừa nên bác thợ mộc có thể

cưa một tấm gỗ dài để có được một tấm gỗ ngắn.

Nhận xét

- Hầu hết học sinh (41/46) đều giải quyết được tình huống này, chỉ có 3 học sinh

không làm và 2 học sinh chưa hoàn thành bài làm của mình.

- 12 học sinh đã đưa tình huống về hệ năm bất phương trình bậc nhất một ẩn và dễ

dàng giải hệ này, sau đó kết hợp với điều kiện của ẩn là nguyên dương, lớn nhất

để có kết quả cuối cùng là 5 kệ.

=

min

5

- Những học sinh còn lại giải quyết tình huống bằng phương pháp số học, tìm

27 4

35 6

80 12

17 2

150 14

  

  ,    

  ,    

  ,    

  ,    

  

  

  

. Trong số những học sinh này, có 9 học

sinh quan tâm đến phần vật liệu còn dư và nhận ra rằng có thể đóng thêm 1 kệ

nữa bằng cách cưa một tấm gỗ dài thành một tấm gỗ ngắn. Vì vậy, 9 em học

sinh này kết luận rằng bác thợ mộc có thể đóng được 6 cái kệ từ những vật liệu

170

được cho. Đây là một kết quả khá bất ngờ so với dự kiến, nhưng chúng tôi nhận

thấy phương án giải quyết như thế vẫn thường gặp trong thực tế, và chứng tỏ

khả năng phản ánh của các em đối với tình huống này rất tốt. Mặc dù không phải

khi nào cũng có thể cưa tấm gỗ dài thành tấm gỗ ngắn, nhưng do tình huống

không đề cập đến kích thước của các tấm gỗ nên cách giải này được chấp nhận.

3.3.2.2 Tình huống NÉM BÓNG

Thể hiện bài làm của học sinh Số HS

Không làm hoặc làm không đúng. 13

Xây dựng mô hình toán học:

Tìm được hàm số bậc hai biểu diễn độ cao H theo thời gian t ở hai vị trí, Mặt 33

2

= −

+

(1, 6) t

10 t

+ 2

( ) MTH t

2

= −

+

t (9,8)

t 10

+ 2

TDH t ( )

1 2 1 2

trăng và Trái đất:

15 - Mô hình 1. Tìm thời gian từ khi quả bóng ném lên đến khi rơi xuống bề

mặt ở hai vị trí, Mặt trăng và Trái đất, rồi so sánh.

MTH t và ( )

TDH t ( )

. - Mô hình 2. So sánh 5

(hoặc

)

)

).

TDH t 0(

MTH t 0(

- Mô hình 3. Xác định thời điểm t0 quả bóng ở Mặt trăng (hay Trái đất) 1 chạm bề mặt, rồi tính

Sử dụng một phương pháp giải đúng:

2

+ = ⇔ =

−

2 0

12, 7

t 0,8

t 10

t

MT

+ Thời gian quả bóng được ném ở Mặt đất rơi xuống:

2

−

+

+ = ⇔ =

t 4,9

t 10

2 0

2, 2

t TD

171

- Cách 1. Thời gian quả bóng được ném trên Mặt trăng rơi xuống: 15

2

2

= −

+

= −

+

t 0,8

t 10

+ , 2

t 4,9

t 10

+ 2

3

MTH t ( )

TDH t ( )

2

2

−

+

+

> H t H t

( )

( ),

t

t 0,8

t 10

+ > − 2

t 4,9

t 10

2,

0

- Cách 2.

+ ∀ > nên t

∀ > 0

MT

TD

Do

1

2

−

+

+ = ⇔ =

t 0,8

t 10

2 0

t

12, 7

0

661,32

- Cách 3. Thời điểm quả bóng được ném trên Mặt trăng rơi xuống:

TDH t = − 0( )

Tại thời điểm đó

Kết luận đúng. 19

- Trên Mặt trăng quả bóng sẽ ở trong không khí lâu hơn so với quả bóng ở

Trái đất 12,7 – 2,2 = 10,5 giây.

172

- Quả bóng ở Mặt trăng rơi xuống chậm hơn quả bóng ở Trái đất.

- Quả bóng ở Trái đất đã rơi xuống đất trước khi quả bóng ở Mặt trăng

chạm đến bề mặt.

Phản ánh tốt: Do gia tốc trọng trường ở Trái đất lớn hơn gia tốc trọng trường 3

ở Mặt trăng nên ở Trái đất vật sẽ rơi xuống nhanh hơn so với ở Mặt trăng.

Nhận xét

- 12 học sinh đã viết đúng phương trình độ cao của quả bóng tại thời điểm t ở Trái

đất và Mặt trăng nhưng sau đó dừng lại bởi vì không chuyển được yêu cầu của

tình huống sang ngôn ngữ toán.

- Cách giải 1 quen thuộc đối với học sinh hơn cách giải 2 và 3, đồng thời có thể

cho biết chính xác hai quả bóng rơi xuống cách nhau bao lâu.

661,32

- Cách giải 3 chỉ đúng khi học sinh hiểu đúng ý nghĩa của giá trị

TDH t = − 0( )

, tức là tại thời điểm quả bóng trên Mặt trăng chạm bề mặt thì

quả bóng ở Trái đất đã rơi xuống mặt đất trước đó.

MTH t và ( )

TDH t ( )

tại - Hai học sinh gặp sai lầm đối với cách giải 2, khi so sánh

=

>

1)

1)

= nên quả bóng ở Trái đất rơi xuống nhanh hơn. Kết luận

H t ( MT

H t ( TD

=

>

1)

1)

như vậy là không có cơ sở, chẳng hạn trong ví dụ sau,

= nhưng

H t ( 1

H t ( 2

một thời điểm t đặc biệt, đó là t = 1 giây. Học sinh nhận xét

H 1

2

H 2

1

1

O

2

173

quả bóng (1) lại rơi xuống nhanh hơn quả bóng (2).

- Không có học sinh nào sử dụng phương pháp đồ thị. Vẽ hai đồ thị trên một hệ

trục tọa độ, ta có thể thấy được thời gian quả bóng chạm đất trên Mặt trăng lâu

35

30

hơn ở Mặt đất.

trên Mặt trăng

25

20

15

10

Ở Mặt đất

5

2

4

6

8

10

12

5

14

Khi tìm hiểu lý do, học sinh cho rằng để vẽ đồ thị các em phải xác định tọa độ

đỉnh và các điểm đặc biệt, trong khi sử dụng máy tính để giải phương trình bậc

hai, tìm ra thời điểm hai quả bóng chạm bề mặt, thì cho kết quả nhanh hơn và

= H t H t ( )

( )

chính xác hơn.

MT

TD

0

t = và dừng lại. Thực ra, kết quả này chỉ cho biết rằng tại thời điểm bắt đầu cả

được - Một số học sinh giải phương trình hoành độ giao điểm

hai quả bóng có độ cao bằng nhau và như vậy tình huống vẫn chưa được giải quyết.

3.2.3.3 Tình huống NGỌN NÚI

Thể hiện bài làm của học sinh Số HS

Không làm hoặc làm không đúng 8

∠

=

∠

=

CBD

0 10 ,

CAD

0 8

174

Xây dựng mô hình toán học: Trong hình vẽ dưới đây, tìm độ dài DH biết AB 38 = 1 km, CH = 1,5 m, .

D

80°

170°

10°

8° km

1

A 1.5

m

B

C H

Sử dụng một phương pháp giải đúng: 34

- Cách 1. Sử dụng hệ thức lượng trong hai tam giác vuông BCD và ACD.

- Cách 2. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác BCD và ABD.

175

- Cách 3. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác ACD và ABD.

Kết luận đúng: Ngọn núi cao 694 m. 30

Phản ánh: Chiều cao ngọn núi tính được là giá trị gần đúng. 2

Nhận xét

So với tình huống 2, số học sinh xây dựng mô hình toán đúng và sử dụng một

phương pháp giải đúng đối với tình huống này là nhiều hơn. Chỉ có 4 học sinh tạo

0

=

sin 2

0 2, sin 8

ra mô hình đúng nhưng giải sai vì áp dụng sai công thức, đó là áp dụng hệ thức

= . 8

lượng trong tam giác vuông đối với tam giác thường hoặc tính

3.3.3 Sự phát triển năng lực hiểu biết định lượng của học sinh thể hiện qua hai

bài kiểm tra

Để thấy được sự phát triển năng lực HBĐL của học sinh qua thời gian tổ chức thực

nghiệm, chúng tôi thực hiện so sánh kết quả của bài kiểm tra pretest và posttest.

Mỗi bài kiểm tra gồm ba câu, điểm tối đa mỗi câu là 1 điểm và được cho theo thang

điểm từng phần như sau:

- Không làm hoặc xây dựng mô hình toán không đúng sẽ nhận 0 điểm;

- Xây dựng mô hình toán đúng nhưng chưa đưa ra phương pháp giải nào cho

mô hình đó hoặc phương pháp giải sai thì được 0,25 điểm;

- Xây dựng mô hình toán đúng, đưa ra phương pháp giải đúng nhưng bước

176

giải toán chưa hoàn thành hoặc quá trình giải sai 0,5 điểm;

- Xây dựng mô hình toán đúng, phương pháp giải đúng và đạt được kết quả

toán đúng nhưng chưa chuyển sang kết quả thực tế là 0,75 điểm;

- Đúng hoàn toàn 1 điểm.

Sau khi chấm điểm bài làm của học sinh, chúng tôi sử dụng các công cụ thống kê để

thực hiện so sánh điểm trung bình chung, điểm trung bình mỗi câu, phân bố điểm

của hai bài kiểm tra và điểm của mỗi học sinh giúp đánh giá được sự phát triển năng

lực HBĐL.

a. So sánh điểm trung bình của hai bài kiểm tra

Trước hết, nhìn vào bảng thống kê 3.2, ta nhận thấy điểm trung bình của 46 học

sinh đối với bài postest cao hơn bài pretest, 2,24 so với 0,94, tăng 1,3 điểm, chứng

tỏ sự tiến bộ của học sinh qua giai đoạn thực nghiệm.

Bảng 3.2 Kết quả thống kê điểm pretest và postest

Pretest Số học sinh 46 Điểm thấp nhất 0 Điểm cao nhất 2,25 Điểm trung bình 0,94 Độ lệch chuẩn 0,70

Posttest 46 0,5 3 2,24 0,64

b. So sánh điểm trung bình mỗi câu của hai bài kiểm tra

Nếu thống kê theo điểm trung bình mỗi câu, kết quả ở hai bài kiểm tra có được như sau:

Bảng 3.3 Điểm trung bình đối với mỗi câu

Pretest Posttest Điểm TB câu 1 Điểm TB câu 2 Điểm TB câu 3 0,36 0,53 0,17 0,79 0,41 0,91

Biểu diễn kết quả trên dưới dạng biểu đồ đường như hình 3.10, chúng ta dễ dàng

thấy rằng đồ thị của bài posttest nằm hoàn toàn phía trên và cách một khoảng khá xa

so với đồ thị của bài pretest, nghĩa là điểm trung bình của cả ba câu ở bài kiểm tra

177

sau cao hơn hẳn điểm trung bình các câu trong bài kiểm tra trước.

1

0.8

ì

0.6

h n b g n u r t

pretest posttest

0.4

m ể i Đ

0.2

0

câu 1

câu 2

câu 3

Hình 3.10 Biểu đồ đường biểu diễn điểm trung bình mỗi câu

c.So sánh phân bố điểm của hai bài kiểm tra

Hình 3.11 Biểu đồ hình hộp điểm của hai bài kiểm tra

Quan sát biểu đồ hình hộp trên (hình 3.11), biểu diễn dữ liệu điểm hai lần kiểm tra

pretest và posttest của 46 học sinh lớp 10A2, ta có thể nhận thấy điểm của học sinh

ở bài postest tăng so với bài pretest. Đối với bài pretest, 75% học sinh đạt điểm từ 0

đến 1,25, trong khi đó ngược lại đối với bài posttest, 75% học sinh đạt điểm từ 2

đến 3.

d. So sánh điểm của mỗi học sinh qua hai bài kiểm tra

Ngoài ra, kết quả kiểm tra cũng cho thấy, về mặt cá nhân, 42 học sinh có điểm

178

posttest cao hơn pretest và chỉ có 4 học sinh có điểm posttest thấp hơn pretest. Điều

này cũng có thể thấy rõ qua biểu đồ đám mây điểm của điểm pretest và posttest

(hình 3.12), đồng thời biểu đồ cũng cho thấy đối với những học sinh có điểm pretest

thấp thì điểm posttest được cải thiện lên đáng kể.

(Đường nét đứt là đường thẳng y = x)

Hình 3.12 Biểu đồ đám mây điểm của điểm pretest và postest

e. So sánh mức độ đạt được của các năng lực HBĐL thể hiện qua bài kiểm tra

Ngoài ra, chúng tôi cũng đo mức độ các năng lực HBĐL mà học sinh đạt được thể

hiện qua hai bài kiểm tra pretest và posttest bằng cách cho điểm các năng lực của

từng học sinh đối với mỗi câu, rồi tính trung bình cho toàn bài kiểm tra. Kết quả

7

chúng tôi thu được thể hiện trong đồ thị dưới đây:

6.57

6

5.85

6.36

6.36

5

4.66

4.72

4

posttest

3.93

3.78

3.78

h n ì b g n u r t

pretest

3.07

3

3.26

2.92

2

m ể i Đ

1

0

Giao tiếp

Suy luận

Biểu diễn

Xây dựng mô hình

Kí hiệu, phép toán

Giải quyết vấn đề

179

Hình 3.13 Điểm trung bình của các năng lực HBĐL qua hai bài kiểm tra

Đồ thị cho thấy các năng lực HBĐL của bài kiểm tra pretest đều dưới mức 4, nhưng

đối với bài posttest thì đều trên mức 4,5 và sự tiến bộ thể hiện đối với cả sáu năng

lực, trong đó các năng lực giao tiếp, sử dụng kí hiệu, thuật ngữ và phép toán, biểu

diễn, giải quyết vấn đề tiến bộ nhiều hơn hai năng lực còn lại. Xu hướng phát triển

như vậy cũng phù hợp với kết quả thu được từ bốn buổi thực nghiệm như đã phân

tích ở mục 3.2.5.2.

7

6

5

4

3

2

1

0

Suy luận

Biểu diễn Giải quyết

Giao tiếp

Xây dựng mô hình

Kí hiệu, phép toán

vấn đề

tình huống 1

tình huống 2

tình huống 3

pretest

tình huống 4

posttest

Hình 3.14 Điểm trung bình của các năng lực HBĐL qua hai bài kiểm tra và

bốn buổi thực nghiệm

Như vậy, qua các phân tích trên đã chứng tỏ rằng học sinh có sự phát triển về khả

năng giải quyết các tình huống THH chứa đựng yếu tố định lượng hay nói cách

khác năng lực hiểu biết định của học sinh có sự thay đổi theo hướng tích cực qua

nghiên cứu này.

3.4 PHÂN TÍCH KẾT QUẢ BẢNG HỎI

Bảng hỏi, gồm 10 câu hỏi trả lời mở, được phát đến 46 học sinh lớp 10A2 vào buổi

180

cuối cùng của đợt thực nghiệm (phụ lục 5). Bảng hỏi nhằm tìm hiểu quan niệm,

nhận thức, suy nghĩ của học sinh về các nội dung liên quan đến hiểu biết định lượng

và quá trình toán học hóa.

3.4.1 Mục đích của việc học toán

Ngoài mục đích học toán để vượt qua các kì thi, học sinh đã đưa ra nhiều mục đích

khác cho thấy các em nhận thức khá đầy đủ về ý nghĩa của việc học toán, như là:

- Sở thích;

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác;

- Tăng thêm kiến thức và kĩ năng toán học, mở rộng hiểu biết, giúp tự tin khi

giao tiếp về các vấn đề toán học;

- Phát triển các năng lực trí tuệ: rèn luyện tư duy logic, phát triển khả năng suy

luận, sáng tạo;

- Vận dụng kiến thức toán vào các môn học khác, vào cuộc sống hàng ngày

chẳng hạn như giúp bố mẹ tính toán sổ sách trong công việc buôn bán, lên kế

hoạch chi tiêu của bản thân hiệu quả, kiểm tra các hóa đơn điện, nước của gia

đình, tính toán để đi chợ tiết kiệm, sử dụng các công thức toán để tính diện

tích, thể tích, khoảng cách, chiều cao của vật…

- Toán học cần thiết cho công việc tương lai.

Đa số học sinh (41 / 46) cho rằng học toán để có thể vận dụng vào giải quyết những

vấn đề trong thực tiễn, và điều đáng chú ý là mục đích này được lựa chọn nhiều hơn

các mục đích khác. Như vậy, các tình huống toán học hóa trong nghiên cứu đã ảnh

hưởng ít nhiều đến suy nghĩ của các em về mục đích học toán.

3.4.2 Khó khăn khi giải quyết các tình huống

Sau đây là những yếu tố gây khó khăn cho học sinh khi giải quyết các tình huống

THH chứa đựng yếu tố định lượng:

- Không có động lực để làm bài vì không lấy điểm;

181

- Tình huống có quá nhiều thông tin;

- Mỗi bài mỗi kiểu khác nhau, không cùng dạng;

- Các thành viên trong nhóm bất đồng ý kiến;

- Quên công thức hoặc những kiến thức cũ liên quan đến tình huống;

- Không đủ thời gian;

- Không hiểu rõ tình huống, hiểu sai yêu cầu của tình huống;

- Không chuyển được tình huống sang ngôn ngữ toán để giải;

- Không tìm ra cách giải quyết hợp lý, hiệu quả; không định hướng được

phương pháp giải, không thể nhận ra các dạng toán cụ thể đã học để áp dụng

vào tình huống.

Kết quả cho thấy, nhiều học sinh gặp khó khăn ở việc tìm ra phương pháp giải cho

các tình huống. Thực ra, học sinh không định hướng được phương pháp giải vì các

em không phát biểu bài toán tương ứng với tình huống hoặc có phát biểu nhưng sai.

Kết quả bài làm của học sinh cho thấy, hầu hết những nhóm xây dựng mô hình toán

đúng đều tìm được phương pháp giải phù hợp. Ngoài ra, không học sinh nào nhận

thấy khó khăn ở bước “kiểm tra tính hợp lý của kết quả, tìm những cách giải khác

(nếu có)” do các em gần như không quan tâm đến bước này mà chỉ chú trọng đến

việc giải được và ra kết quả đúng, điều này có thể thấy rõ hơn trong phần tiếp theo,

khi tìm hiểu về quá trình giải quyết một tình huống thực tế của học sinh.

3.4.3 Nắm được quá trình toán học hóa

Mặc dù chúng tôi không trình bày quá trình THH với học sinh, nhưng mỗi bài tập

các em đều được yêu cầu phát biểu bài toán tương ứng với tình huống, giải bài toán,

trả lời câu hỏi của tình huống, xem xét tính hợp lý của kết quả và các khả năng khác

của tình huống nếu có. Vì vậy, với mong muốn tìm hiểu xem học sinh có nắm được

quá trình này qua các tình huống thực nghiệm không, chúng tôi đưa ra câu hỏi “Khi

gặp một tình huống thực tế, em sẽ lần lượt thực hiện những bước nào tiếp theo sau

khi đọc tình huống?”. Kết quả cho thấy, học sinh đã nhận ra và thực hiện các bước

182

chính sau:

Bước 1. Đọc tình huống, phân tích tình huống, sắp xếp lại dữ liệu, chọn ra

những thông tin quan trọng, tóm tắt tình huống và phát biểu bài toán

tương ứng với tình huống.

Bước 2. Tìm hướng giải quyết và giải toán.

Bước 3. Trả lời câu hỏi của tình huống / Giải thích kết quả toán trong tình

huống thực tế / Kết luận.

Bước 4. Nhận xét, xem lại các bước giải, kiểm tra tính hợp lý của kết quả, tìm

những cách giải khác.

Tuy nhiên, không phải tất cả học sinh đều cho rằng quá trình giải quyết các tình

huống thực tế gồm 4 bước như trên mà nhiều em chỉ thực hiện 2 hoặc 3 bước.

Số học sinh

Quá trình giải quyết các tình huống thực tế 1 → 2 2 → 3 1 → 2 → 3 1 → 2 → 3 → 4 (%) 19,57 17,39 28,26 34,78

Như vậy, đối với học sinh cả lớp bước giải toán là quan trọng nhất, không thể bỏ

qua, tiếp theo là trả lời yêu cầu của tình huống sau khi có kết quả toán, đây cũng

chính là hai bước quen thuộc học sinh thường thực hiện đối với một bài toán thông

thường, và bước ít được quan tâm nhất là phản ánh. Ngoài ra, một số học sinh nhận

thấy không cần phát biểu bài toán tương ứng, chỉ cần đọc hiểu tình huống, nhận ra

những kiến thức toán liên quan, định hướng phương pháp giải, giải toán, và giải

thích kết quả toán trong tình huống thực tế. Thật ra, hai quá trình 2 → 3 và 1 → 2

→ 3 tương đương nhau, chỉ khác ở chỗ bước xây dựng mô hình toán được thực hiện

một cách tường minh thông qua phát biểu bằng lời, hình vẽ, kí hiệu hay sự chuyển

đổi này chỉ nằm trong suy nghĩ của học sinh. Do đó, có thể nói rằng phần lớn học

sinh đã nắm được ba trong bốn bước của quá trình toán học hóa và bảo đảm thứ tự

của các bước. Hơn nữa, các em có thể không nghĩ đến quá trình giải quyết tình

183

huống toán học hóa này là một quá trình lặp, nhưng phản xạ của học sinh khi phát

hiện ra mình làm sai sẽ lập tức quay lại, điều này thể hiện rõ qua tình huống thực

nghiệm thứ tư.

3.4.4 Tự đánh giá về sự tiến bộ

Mặc dù, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp định lượng để đánh giá sự tiến bộ của

học sinh qua những bài làm của các em, nhưng chúng tôi vẫn muốn các em tự đánh

giá mức độ tiến bộ của bản thân qua nghiên cứu này.

Mức độ

Rất tiến bộ Tiến bộ vừa phải Ít tiến bộ Không tiến bộ Số học sinh (%) 4,35 69,57 23,91 2,17

Kết quả chúng tôi có được là:

- 1 học sinh nhận thấy mình không tiến bộ vì em đã không làm được bài nào cả;

- 11 học sinh nghĩ là mình ít tiến bộ do các em chỉ làm được những bài đơn giản,

phải nhờ sự giúp đỡ của nhóm; đa số các bài làm chưa xong, và có nhiều bài

chưa có hướng giải;

- 2 học sinh cho rằng mình rất tiến bộ vì có thể tự giải quyết hầu hết các tình

huống và tự tin với cách giải quyết của mình;

- 32 học sinh còn lại nhận xét rằng mình có tiến bộ nhưng ở mức độ vừa phải, thể

• Lúc đầu còn bỡ ngỡ chưa phân tích được bài toán, nhưng về sau quen dần

hiện như:

• Càng ngày càng thấy quen dần và thích những dạng toán như thế này;

• Qua mỗi tình huống nhận thấy kĩ năng phân tích và giải quyết các bài toán

nên làm bài cũng thấy tốt hơn;

• Kỹ năng chuyển tình huống sang ngôn ngữ toán học, định hướng phương

thực tế được nâng cao;

184

pháp giải đã tiến bộ hơn;

• Mặc dù một số bài vẫn chưa giải được nhưng cảm thấy tự tin hơn, ít áp lực

• Càng về sau khả năng giải quyết các bài toán càng tốt hơn;

• Đã có thể tự giải một số bài.

hơn khi gặp những tình huống thực tế;

Như vậy, phần lớn học sinh (73,9%) tự nhận thấy mình có tiến bộ qua thời gian

thực nghiệm và đã đưa ra những biểu hiện cụ thể để chứng tỏ nhận định của mình.

Ngoài ra, mức độ tiến bộ mà học sinh tự đánh giá còn liên quan đến thái độ đối với

tình huống thực tế và đánh giá độ khó của các tình huống. Những học sinh nhận

thấy bản thân tiến bộ vừa phải hoặc rất tiến bộ thường thích giải quyết các tình

huống thực tế và đánh giá các tình huống này có độ khó vừa phải. Ngược lại, những

học sinh cho rằng bản thân ít tiến bộ hoặc không tiến bộ thường không thích giải

quyết những tình huống như vậy, vì đối với các em đó là những tình huống khó mà

trong quá trình học toán hiếm khi gặp. Bên cạnh đó, một số em cũng thừa nhận do

mình chưa nắm chắc kiến thức, nên khi đứng trước một tình huống, các em không

biết lựa chọn kiến thức toán nào để sử dụng.

Độ khó của các tình huống

Khó Vừa phải Dễ Số học sinh (%) 26,09 73,91 0

3.4.5 Thái độ đối với các tình huống thực tế

Qua điều tra, chúng tôi nhận thấy học sinh có hai khuynh hướng đối với những tình

huống thực tế mà các em được tiếp xúc qua giai đoạn thực nghiệm.

Thái độ

Thích Ít thích / không thích Số học sinh (%) 71,74 28,26

Phần lớn học sinh thích làm việc với các tình huống thực tế bởi vì các em tìm thấy

niềm vui, ích lợi và sự thú vị khi giải quyết tình huống. Những lý do được đưa ra là:

- Giúp ôn lại, hiểu thêm về các kiến thức toán đã học; nâng cao khả năng giải

185

quyết vấn đề;

- Thấy được ứng dụng của những kiến thức toán đã học trong thực tiễn;

- Đem lại cảm giác thích thú mỗi khi khám phá một tình huống mới, cảm giác

vui sướng khi giải được, tạo động lực để học toán giỏi hơn, tạo cảm giác thú

vị về môn toán, ngoài ra giúp hiểu biết thêm nhiều vấn đề về thực tế.

Trong khi đó, những học sinh không thích hay ít thích làm việc với các tình huống

thực tế là do các em nhận thấy những tình huống này khó, phức tạp và không tìm

được phương pháp giải.

Tóm tắt chương 3

Chương này trình bày quá trình dạy học thực nghiệm và đánh giá thực nghiệm dựa

trên bộ công cụ đã được thiết kế ở chương hai. Thông qua việc phân tích bài làm

của học sinh đối với bốn tình huống thực nghiệm, hai bài kiểm tra pretest, posttest

và các câu trả lời bảng hỏi để thấy rằng học sinh có thể nắm được ba trong bốn bước

của quá trình THH (chuyển đổi từ tình huống toán học hóa sang mô hình toán học,

giải toán, chuyển đổi từ kết quả toán sang kết quả thực tế) và giải quyết tình huống

theo các bước của quá trình này. Ngoài ra, phân tích cũng cho thấy sự tiến bộ về

khả năng giải quyết các tình huống THH chứa đựng các yếu tố định lượng của học

sinh qua đợt dạy thực nghiệm, hay nói cách khác là các năng lực HBĐL của các em

có sự tiến bộ. Điều này được khẳng định hơn khi điểm trung bình của mỗi năng lực

HBĐL tăng qua mỗi tuần dạy thực nghiệm. Tuy nhiên, do thời gian thực nghiệm

chưa đủ dài nên sự phát triển các năng lực ở một số nhóm học sinh chưa thể hiện rõ.

Ngoài ra, qua quá trình thực nghiệm chúng tôi cũng nhận thấy một số khó khăn học

186

sinh thường gặp khi giải quyết các tình huống THH, đó là:

- Học sinh không nhận ra hết những thông tin quan trọng của tình huống cần

để chuyển đổi sang ngôn ngữ toán học, biểu diễn sai các mối quan hệ, hiểu

chưa đúng yêu cầu của tình huống, và thường bị chi phối bởi những hình ảnh

minh họa cho tình huống. Những điều này dẫn đến các em xây dựng mô hình

toán của mình thiếu phù hợp hoặc chưa đầy đủ.

- Học sinh hay quên những kiến thức cũ, vẫn còn những sai lầm trong tính

toán, trong áp dụng công thức, sai lầm trong suy luận toán học hoặc đôi khi

lập luận không có cơ sở do chưa hiểu rõ, nắm vững kiến thức toán liên quan.

Học sinh chưa linh hoạt trong việc tìm ra phương pháp giải cho mô hình toán

đã xây dựng, thường bị chi phối bởi những kiến thức mới học, thường theo

đuổi một cách giải hình thành ban đầu và hài lòng với việc tìm ra một lời giải

cho bài toán.

- Học sinh quan tâm đến kết quả toán tìm được chứ chưa thực sự quan tâm đến

việc tìm câu trả lời cho tình huống, xem xét tính hợp lý của kết quả thực tế.

- Ngoài ra còn một số khó khăn khác như học sinh chưa có động lực để giải

quyết các tình huống, thiếu kĩ năng làm việc hợp tác, không đủ thời gian.

Những khó khăn trên có thể được khắc phục nếu học sinh nắm vững, thành thạo các

kiến thức, kĩ năng toán liên quan và có cơ hội thực hành các loại tình huống THH

một cách thường xuyên để hình thành kĩ năng, thói quen, kinh nghiệm chuyển đổi

từ môi trường thực tế sang môi trường toán học cũng như khả năng phản ánh kết

187

quả toán học trong thực tế.

KẾT LUẬN

Luận án đã thu được những kết quả chính sau đây:

1. Dựa trên lý thuyết về mô hình hóa, thực hiện phân tích các loại tình huống trong

chương trình toán 10 nâng cao hiện nay và những khó khăn thường gặp khi sử

dụng mô hình hóa trong lớp học toán từ các nghiên cứu trước đây, luận án đã

đưa ra một quá trình toán học hóa gồm 4 bước: chuyển đổi từ tình huống toán

học hóa sang mô hình toán học, giải toán, chuyển đổi từ kết quả toán sang kết

quả thực tế và phản ánh. Bên cạnh đó, luận án cung cấp các hướng dẫn cụ thể

đối với mỗi bước của quá trình toán học hóa giúp học sinh có thể định hướng khi

đứng trước một tình huống toán học hóa, là những tình huống thực tế nhưng đã

được đơn giản hóa, đặc biệt hóa và cụ thể hóa theo ý đồ của người thiết kế.

Đồng thời, giáo viên cũng có thể sử dụng quá trình này để lên kế hoạch dạy học

các tình huống toán học hóa trong lớp học của mình. Ngoài ra, quá trình thực

nghiệm cho thấy, quá trình toán học hóa đó là phù hợp và khả thi bởi vì học sinh

có thể tự thực hiện các bước xây dựng mô hình toán, giải toán và trình bày kết

quả thực tế mà không cần nhiều giải thích, hướng dẫn từ phía giáo viên, tuy

nhiên các em chưa có thói quen, kĩ năng đưa ra các phản ánh khi giải quyết một

tình huống toán học hóa.

2. Dựa trên mối liên hệ giữa các năng lực hiểu biết định lượng và quá trình toán

học hóa, luận án đã chứng tỏ rằng việc giải quyết những tình huống chứa đựng

các yếu tố định lượng thông qua quá trình toán học hóa sẽ giúp phát triển các

năng lực hiểu biết định lượng của học sinh. Các tình huống này có thể được thiết

kế từ các tình huống thực tế hoặc điều chỉnh từ các tình huống mô hình toán,

đồng thời được đặt trong nhiều ngữ cảnh khác nhau để phản ánh tính đa dạng

của các tình huống trong cuộc sống và có nội dung toán mà học sinh đã học.

188

Hơn nữa, các tình huống phải có cùng mức độ và được thực hiện qua thời gian

dài, liên tục để có thể hình thành kĩ năng và thói quen HBĐL đối với học sinh.

Làm việc theo nhóm cũng hỗ trợ sự phát triển các năng lực HBĐL của mỗi cá

nhân thông qua trao đổi, trình bày, giải thích, nhận xét giữa các thành viên trong

nhóm. Tuy nhiên, điều kiện cần để có thể phát triển các năng lực HBĐL là học

sinh phải nắm vững các kiến thức, kĩ năng toán liên quan.

3. Luận án đã thiết kế và phân loại theo ba mức độ 19 tình huống THH chứa đựng

yếu tố định lượng liên quan đến ba nội dung toán của chương trình 10 nâng cao

là hàm số bậc hai, bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất, hệ thức

lượng trong tam giác. Từ đó, 10 tình huống được chọn ra và thử nghiệm để đảm

bảo độ tin cậy trước khi sử dụng thực nghiệm. Bên cạnh đó, luận án cũng xây

dựng thang đánh giá giúp đo các năng lực HBĐL khi học sinh giải quyết một

tình huống toán học hóa chứa đựng yếu tố định lượng. Mỗi năng lực được đo

trong ba giai đoạn của quá trình THH theo bốn mức, từ 0 đến 3.

4. Thông qua phân tích kết quả nghiên cứu thực nghiệm, luận án đã chứng tỏ rằng

các năng lực HBĐL của học sinh có sự tiến bộ qua mỗi tuần cũng như qua toàn

thực nghiệm. Trong sáu năng lực HBĐL, năng lực giao tiếp, biểu diễn và sử

dụng kí hiệu, thuật ngữ, phép toán có xu hướng phát triển nhanh vì đối với ba

năng lực này học sinh chỉ cần hiểu đúng thông tin và yêu cầu của tình huống,

xây dựng mô hình toán phù hợp, giải bài toán đúng và trả lời đúng câu hỏi của

tình huống. Trong khi đó, các năng lực xây dựng mô hình, suy luận và giải quyết

vấn đề phát triển chậm hơn vì liên quan đến khả năng phản ánh của học sinh.

Tuy nhiên, bốn tuần là thời gian khá hạn chế vì vậy nếu xét riêng mỗi nhóm thì

sự phát triển các năng lực HBĐL ở một số nhóm có xu hướng tăng rõ rệt, trong

khi một số nhóm chỉ tăng nhẹ hoặc không thể hiện rõ, và một số nhóm không ổn

định. Ngoài ra, đợt thực nghiệm đã có những ảnh hưởng tích cực đến thái độ,

189

niềm tin của học sinh đối với việc học toán.

• Do việc thực hiện các nhiệm vụ không bị ràng buộc bởi điểm số nên có những

Một số khó khăn, hạn chế của nghiên cứu

học sinh đã chưa thật sự nỗ lực để giải quyết các vấn đề vì vậy nếu có thêm động

• Hơn nữa, nhiều quan điểm học toán truyền thống đã ảnh hưởng đến suy nghĩ và

cơ thúc đẩy học sinh thì chúng tôi nghĩ rằng kết quả sẽ tốt hơn.

cách trình bày của học sinh nên cũng ảnh hưởng đến kết quả đo được của các

năng lực. Chẳng hạn như học sinh có thói quen giải toán theo dạng, điều này làm

hạn chế tư duy sáng tạo và là rào cản khi các em gặp một tình huống không quen

thuộc, không nhận ra được dạng toán mà mình đã từng học, hoặc từng gặp; Học

sinh chưa linh hoạt trong việc giải quyết tình huống, thường theo đuổi một

hướng suy nghĩ và khi gặp bế tắc thì dừng lại; Học sinh chưa có thói quen chọn

lọc những thông tin cần thiết mà tìm cách sử dụng tất cả những thông tin tình

huống đưa ra; Một số học sinh do không hiểu các kiến thức toán một cách thấu

đáo nên không thể nhận ra các mối quan hệ cũng như áp dụng kiến thức toán

vào những ngữ cảnh thực tế khác nhau; Học sinh chỉ quan tâm đến việc đi đến

kết quả mà ít để ý xem xét tính hợp lý của kết quả cũng như mối quan hệ giữa

• Việc phân chia các mức độ của tình huống THH chưa “mịn”, chỉ có 3 mức độ,

kết quả và các yếu tố được cho trong tình huống.

nên đôi khi nhiều tình huống được xếp cùng một mức độ nhưng chưa thực sự

tương đương.

Đề xuất và kiến nghị

Dựa vào quá trình thực hiện nghiên cứu này, chúng tôi đề xuất một số biện pháp

nhằm nâng cao năng lực HBĐL của học sinh thông qua việc sử dụng quá trình THH

• Điều kiện cần để HBĐL là học sinh phải nắm vững các kiến thức, kĩ năng toán

trong dạy học toán như sau:

đã học để có thể phát hiện các mối quan hệ toán học tồn tại trong các tình huống

toán học hóa, muốn vậy dạy toán cần gắn liền với việc hiểu các khái niệm, công

190

thức, quá trình chứ không chỉ ghi nhớ, học thuộc và áp dụng một cách máy móc.

• Song song với việc dạy học theo kiểu truyền thống, giáo viên cần tăng cường

các phương pháp dạy học theo xu hướng mới nhằm gắn kết toán học với thực

tiễn, giúp học sinh thấy được vai trò, ích lợi của việc học toán trong thực tiễn

cuộc sống hàng ngày, điều này gây hứng thú ở người học, giúp các em thoát

khỏi suy nghĩ toán học là một môn học chỉ gồm công thức, quy tắc, thuật toán và

• Khi sử dụng hoặc thiết kế các tình huống THH để dạy học giúp nâng cao năng

xa rời với thực tế.

lực HBĐL của học sinh thì giáo viên nên chọn nhiều ngữ cảnh khác nhau, ngữ

cảnh cần tạo sự hứng thú ở học sinh để đưa ra câu trả lời hợp lý, ngoài ra giáo

viên cần cung cấp đủ thời gian để học sinh giải quyết, cung cấp những giải thích

giúp các em hiểu đúng tình huống. Giáo viên nên bắt đầu với những tình huống

ở mức độ phức tạp thấp, ngữ cảnh quen thuộc, gần gũi đối với học sinh tạo cho

các em niềm tin đối với khả năng của bản thân. Bên cạnh đó, giáo viên cũng cần

chuẩn bị các nhiệm vụ hỗ trợ nếu học sinh gặp khó khăn trong việc tìm ra một

• Bốn bước của quá trình toán học hóa có thể truyền đạt một cách gián tiếp đến

mô hình toán tương ứng với tình huống.

học sinh thông qua việc yêu cầu học sinh thực hiện bốn nhiệm vụ của một tình

huống: phát biểu bài toán tương ứng với tình huống, giải bài toán, trả lời câu hỏi

của tình huống, xem xét tính hợp lý của kết quả và các khả năng khác của tình

huống (nếu có). Trong đó, giáo viên cần chú ý bước thứ nhất và bước thứ tư, đây

• Dạy học hợp tác là một cách để học sinh có thể học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau,

là hai bước mà học sinh thường gặp nhiều khó khăn nhất.

giảm thời gian tìm hiểu tình huống. Thông qua trao đổi học sinh dễ kiểm soát

được các điều kiện, phát hiện ra các mối quan hệ và đưa ra nhiều phản ánh đối

với tình huống, tạo sự hứng thú, tích cực ở học sinh. Tuy nhiên, giáo viên cần

chú ý trong việc chia nhóm và điều khiển để tất cả các thành viên của nhóm đều

191

tham gia.

Bên cạnh vai trò của giáo viên dạy toán, chúng tôi cũng có một số đề xuất nhằm hỗ

trợ cho việc thực hiện phát triển các năng lực HBĐL của học sinh thông qua chương

• Số tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế ở SGK hiện nay còn quá ít, thiếu vắng

trình, SGK, đào tạo và bồi dưỡng giáo viên, các môn học khác như:

những dạng bài tập đòi hỏi học sinh phải tự tìm kiếm kiến thức toán đã học để

giải quyết vấn đề xuất phát từ tình huống thực tế hoặc tình huống THH. Việc bổ

sung các dạng bài tập như vậy thiết nghĩ sẽ giúp cho hệ thống bài tập của SGK

• Để có thể giúp học sinh nâng cao năng lực HBĐL, trước hết bản thân giáo viên

đa dạng, phong phú hơn và ít mang tính hàn lâm hơn.

dạy toán cần nhận thấy tầm quan trọng của HBĐL đối với con người trong thời

đại thông tin này cũng như có khả năng, kinh nghiệm trong việc giải quyết các

tình huống định lượng. Muốn vậy, HBĐL cần được đưa vào trong chương trình

• Không chỉ riêng môn Toán, HBĐL còn có thể được phát triển qua nhiều môn

đào tạo và bồi dưỡng giáo viên toán.

học khác như lý, hóa, sinh, tin, địa, kỹ thuật … do đó các giáo viên bộ môn cũng

nên hỗ trợ trong việc giúp học sinh thấy được mối quan hệ cũng như vai trò của

• Ở phạm vi trong nước, cần thêm các nghiên cứu lý thuyết và thực hành về

môn toán đối với bộ môn mà mình giảng dạy.

HBĐL để có thêm những đề xuất, kinh nghiệm cũng như hỗ trợ những tài liệu

tốt đối với lĩnh vực này.

Hướng phát triển của đề tài

Luận án đã sử dụng quá trình toán học hóa như một công cụ giúp phát triển các

năng lực HBĐL của học sinh. Do đó, một trong những hướng phát triển của đề

tài này là nghiên cứu việc sử dụng các công cụ khác để phát triển các năng lực

HBĐL, chẳng hạn như quá trình mô hình hóa, biểu diễn toán học, hoặc công

192

nghệ thông tin…

CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ ĐƯỢC CÔNG BỐ

1. Nguyễn Thị Tân An (2012), “Sự cần thiết của mô hình hóa trong dạy học toán”, Tạp chí Khoa học ĐH sư phạm tp Hồ Chí Minh, ISSN 1859-3100, 37 (71),

trang 114-121.

2. Nguyễn Thị Tân An (2013), “A mathematisation Approach in Teaching Probability”, Proceedings of the 6th International Conference on Educational Reform (ICER 2013), ISSN 1906-0653, pp 26-32.

3. Nguyễn Thị Tân An (2013), “Sử dụng quá trình toán học hóa trong dạy học xác suất ở nhà trường phổ thông”, Tạp chí Khoa học ĐH sư phạm Hà Nội, ISSN 0868-3719, 58, trang 18-27.

4. Nguyễn Thị Tân An (2013), “Xây dựng các tình huống dạy học hỗ trợ quá trình toán học hóa”, Tạp chí Khoa học ĐH sư phạm tp Hồ Chí Minh, ISSN 1859- 3100, 48 (82), trang 5-13.

5. Nguyễn Thị Tân An (2013), “Using mathematization to develop student’s quantitative literacy competencies”, Southeast-Asian Journal of Sciences, ISSN 2350-9910, Vol. 2, No. 2, pp. 213-220.

6. Nguyễn Thị Tân An (2014), “Hiểu biết định lượng – một cách để gắn kết toán học ở nhà trường với thực tiễn”, Tạp chí giáo dục, ISSN 21896 0866 7476, 326, trang 47-49.

7. Nguyễn Thị Tân An (2014), “Development of Quantitative Literacy Competencies of Grade 10 Student – an Empirical Study”, Proceedings of the 7th International Conference on Educational Reform (ICER 2014), ISSN 1906- 0653, pp. 321-326.

8. Nguyễn Thị Tân An (2014), “Xây dựng thang đánh giá năng lực Hiểu biết định lượng của học sinh khi giải quyết tình huống toán học hóa”, Tạp chí Khoa học và Giáo dục ĐH sư phạm Huế, ISSN 1859-1612, 1, pp. 5-15.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng việt

[1] Văn Như Cương (chủ biên) (2012), Bài tập Hình học 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục.

[2] Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) (2012), Bài tập Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục.

[3] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) (2012), Bộ SGK Toán 10 (cơ bản), Nhà xuất bản Giáo dục.

[4] Trần Văn Hạo (chủ biên) (2006), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình sách giáo khoa lớp 10 THPT Môn Toán. Bộ Giáo dục và Đào tạo.

[5] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2006), Bộ SGK Toán 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục.

[6] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2011), SGV Toán 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục.

[7] Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.

Tiếng Anh

[8] AAC&U (2009), Quantitative literacy value rubric,

http://www.aacu.org/value/rubrics/pdf/QuantitativeLiteracy.pdf

[9] Balakrishnan, G. et al. (2010), “Mathematical Modelling in the Singapore Secondary School Mathematics Curriculum”, Mathematical Applications and Modelling: Yearbook 2010, Association of Mathematics Educators, 247.

[10] Blomhøj (2008), “Different perspectives on mathematical modelling in educational research”, Mathematical applications and modelling in the teaching and learning of mathematics, Proceedings from Topic Study Group 21 at the 11th International Congress on Mathematical Education in Monterrey, Mexico.

194

[11] Blum, W., & Niss, M. (1991), “Applied mathematical problem solving, modelling, applications, and links to other subjects—State, trends and

issues in mathematics instruction”, Educational studies in mathematics, 22(1), pp.37-68.

[12] Blum, W. (1993), “Mathematical modelling in mathematics education and instruction”, Teaching and Learning Mathematics in Context, Chichester: Ellis Horwood, pp.3–14.

[13] Blum, W. & Leiß, D. (2006), “How do students and teachers deal with modeling problems?”, Mathematical Modeling (ICTMA12): Education, Engineering and Economics, Chichester: Horwood Publishing, pp.222 – 231.

[14] Blum, W., Galbraith, P., Niss, M. (2007), “Introduction”, Modelling and Applications in Mathematics Education, Springer, pp.3-32.

[15] Blum, W. (2011), “Can modelling be taught and learnt? Some answers from empirical research”, Trends in teaching and learning of mathematical modelling, Springer Netherlands, pp.15-30.

[16] Boersma, S., Diefenderfer, C., Dingman, S. W., & Madison, B. L. (2011), “Quantitative reasoning in the contemporary world, 3: Assessing student learning”, Numeracy, 4(2).

[17] Burkhardt, H. (2006), “Modelling in Mathematics Classrooms: reflections on past developments and the future”, ZDM, 38(2).

[18] Burkhardt, H. (2008), “Quantitative Literacy for All: How Can We Make it Happen”, Calculation vs. Context, 137.

[19] Cobb, P. (1996). “Where is the mind? A coordination of sociocultural and Theory, perspectives”, Constructivism: constructivist cognitive perspectives, and practice. New York: Plenum, pp. 34-52.

[20] De Lange, J. (1996), “Using and applying mathematics in education”, International Handbook of Mathematics Education, vol. 1, pp. 49-97.

[21] De Lange, J. (2003), “Mathematics for literacy”, Quantitative literacy: Why numeracy matters for schools and colleges, 80.

[22] De Lange, J. (2006), “Mathematical literacy for living from OECD-PISA perspective”, http://www.criced.tsukuba.ac.jp/math/sympo_2006/lange.pdf.

[23] Dingman, S. W., & Madison, B. L. (2010), “Quantitative reasoning in the contemporary world, 1: The course and its challenges”, Numeracy, 3(2), 4.

[24] Edwards, D., Hamson, M. J. (2001), Guide to Mathematical Modelling, Second Edition. London: Palgrave Mathematical Guides.

195

[25] Ernest, P. (1994). “Social constructivism and the psychology of mathematics education”, Constructing Mathematical Knowledge: Epistemology and Mathematics Education. Falmer Press, London, 62-72.

[26] Frejd, P. (2010), “Revisiting perspectives on mathematical models and modeling”, Mathematics and mathematics education: Cultural and social dimensions: Proceedings of Madif 7, Stockholm, pp. 80-90.

[27] Ferri, R. B. (2006), “Theoretical and empirical differentiations of phases in the modelling process”, ZDM, 38(2), 86-95.

[28] Galbraith, P., & Stillman, G. (2006), “A framework for identifying student blockages during transitions in the modelling process”, ZDM, 38(2), 143- 162.

[29] Gellert, U., & Jablonka, E. (2007), “Mathematisation – Demathematisation”, Mathematisation and demathematisation: Social, philosophical and educational ramifications, pp.1-18.

[30] Ginsburg, L., Manly, M., & Schmitt, M. J. (2006), “The components of numeracy”, NCSALL Occasional Paper. National Center for the Study of Adult Learning and Literacy (NCSALL).

(2001), “Achieving numeracy: The challenge of [31] Hallett, D. H. implementation”, Mathematics and Democracy, 93-98.

[32] Hallett, D. H. (2003), “The role of mathematics courses in the development of quantitative literacy”, Quantitative Literacy: Why Numeracy Matters for Schools and Colleges, 91-98.

(2000), “Numeracy Across the Curriculum?”, Australian [33] Hogan, J. Mathematics Teacher, 56(3), 17-20.

[34] Ikeda, T. (2007), “Possibilities for, and obstacles to teaching applications and modelling in the lower secondary levels”, Modelling and applications in mathematics education, Springer US, pp.457-462.

[35] Kaiser, G. (2005), “Mathematical modelling in school – Examples and experiences”, Mathematikunterricht im Spannungsfeld von Evaluation und Evolution, edited by G. Kaiser and HW Henn, 99-108.

[36] Kaiser, G., & Willander, T. (2005), “Development of mathematical literacy: Results of an empirical study”, Teaching mathematics and its applications, 24(2-3), 48-60.

[37] Kaiser, G., Blomhøj, M., & Sriraman, B. (2006), “Towards a didactical theory for mathematical modelling”, ZDM, 38(2), 82-85.

[38] Kaiser, G., & Sriraman, B. (2006), “A global survey of international perspectives on modelling in mathematics education”, ZDM, 38(3), 302- 310.

196

[39] Kaiser, G. (2007), “Modelling and modelling competencies in school”, Mathematical modelling: Education, engineering and economics, Springer US, pp.110–119.

[40] Kaiser, G., & Maaß, K. (2007), “Modelling in lower secondary mathematics classroom—problems and opportunities”, Modelling and applications in mathematics education, Springer US, pp. 99-108.

[41] Kaiser, G., Sriraman, B., Blomhøj, M., & Garcia, F. J. (2007), “Report from - Differentiating the working group modelling and applications perspectives and delineating commonalties”, Proceedings of the fifth congress of the European society for research in mathematics education pp. 2035-2041.

[42] Madison, B. L. (2006), “Pedagogical challenges of quantitative literacy”, Proceedings of the Joint Statistical Meetings, pp. 2323-2328.

[43] Madison, B. L., & Steen, L. A. (2007), “Evolution of numeracy and the National Numeracy Network”, Numeracy, 1(1), 2.

[44] Myrna Manly (2008), “Numeracy Matters”, Focus on basics: connecting research and practice, vol. 9, issue A, May 2008.

[46] Niss, M. A. (2003), “Quantitative literacy and mathematical competencies”, Quantitative literacy, Princeton: National Council on Education and the Disciplines, pp. 215-220.

[45] Muller, E., & Burkhardt, H. (2007), “Applications and Modelling for Mathematics—Overview”, Modelling and Applications in Mathematics Education, Springer US, pp. 267-274.

[47] Niss, M. (2011), “A competence description of mathematical education”, Competencies and Mathematical Learning, IMFUFA, Roskilde University, Denmark.

[49] OECD / PISA (2003), Assessment Framework – Mathematics, Reading, Science and Problem Solving Knowledge and Skills , OECD, Paris, France.

[48] Niss, M. (2010), “Modeling a Crucial Aspect of Students’ Mathematical Modeling”, Modeling Students' Mathematical Modeling Competencies, Springer US, pp. 43-59.

[50] OECD / PISA (2009), Assessment Framework - Key Competencies in Reading, Mathematics and Science, OECD, Paris, France.

[51] OECD / PISA (2012), Assessment and Analytical Framework Mathematics, Reading, Science, Problem Solving and Financial Literacy, OECD, Paris, France.

197

[52] Rau, V., Kaiser, G., Lederich, C. (2010), “Theoretical Approaches and Examples for Modelling in Mathematics Education”, Mathematical Applications and Modelling: Yearbook 2010, Association of Mathematics Educators, 219.

[53] Shavelson, R. J. (2008), “Reflections on quantitative reasoning: An assessment perspective”, Calculation vs. Context, 27.

[54] Sikorskii, A., Melfi, V., Gilliland, D., Kaplan, J., & Ahn, S. (2011). “Quantitative Literacy at Michigan State University, 1: Development and Initial Evaluation of the Assessment”. Numeracy: Advancing Education in Quantitative Literacy, 4(2).

and

[55] Siller, H.-St. (2011), “Modelling in classroom – ‘Classical Models’ (in recent developments”, Conference Mathematics Education) Proceedings of the 6th European Summer University on the history and epistemology in mathematics education.

[56] Skalicky, J. (2004), “Quantitative literacy in a reform-based curriculum and implications for assessment”, Doing the Public Good: Positioning Educational Research: Australian Association for Research in Education, Melbourne.

[57] Steen, L. A. (2001), Mathematics and Democracy: The Case for Quantitative Literacy, (editor), National Council on Education and the Disciplines.

[58] Steen, L. A., Turner, R., & Burkhardt, H. (2007), “Developing mathematical literacy”, Modelling and Applications in Mathematics Education, Springer US, pp. 285-294.

[59] Stillman, G. and Galbraith, P. L. (2003), “Towards constructing a measure of the complexity of application tasks”, Mathematical Modelling: A Way of Life ICTMA 11, Chichester England: Horwood Publishing, pp. 179-188.

[60] Stillman, G., Galbraith, P., Brown, J., & Edwards, I. (2007), “A framework for success in implementing mathematical modelling in the secondary classroom”, Mathematics: Essential research, essential practice, 2, pp.688- 697.

[61] Stillman, G. (2010), “Implementing applications and modelling in secondary school: Issues for teaching and learning”, Mathematical applications and modelling: Yearbook 2010 of the Association of Mathematics Educators pp. 300-322.

[62] Stillman, G. (2012), “Applications and modelling research in secondary classrooms: what have we learnt”, Pre-proceedings of ICME12, The 12th International Congress on Mathematical Education, Seoul, Korea, pp. 902- 921.

198

[63] Sundre, D. L., & Thelk, A. D. (2010). “Advancing Assessment of Quantitative in and Scientific Reasoning”. Numeracy: Advancing Education Quantitative Literacy, 3(2).

F., & Hartzler, (Eds). J. [64] Swetz,

(1991), Mathematical S. modelling in the secondary school curriculum. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

[65] Taylor, C. H. (2009), “Assessing Quantitative Reasoning”, Numeracy, 2(2), 1.

[66] Turner, R. (2011), “Identifying cognitive processes important to mathematics learning but often overlooked”, Australian Mathematics Teacher Jan 22- 26.

[67] Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2003a), “The didactical use of models in Realististic Mathematics Education: An example from a longitudinal trakectory on percentage”, Educational Studies in Mathematics 54 (1), p. 9.

[68] Wallace, D., Rheinlander, K., Woloshin, S., & Schwartz, L. (2009), “Quantitative Literacy Assessments: An Introduction to Testing Tests”, Numeracy, 2(2), 3.

[70] Westwood, Peter (2008), What Teachers Need to Know about Numeracy,

[69] Ward, R. M., Schneider, M. C., & Kiper, J. D. (2011). “Development of an Assessment of Quantitative Literacy for Miami University”. Numeracy: Advancing Education in Quantitative Literacy, 4(2).

Camberwell, Vic.: ACER Press.

199

[71] Wiggins, Grant (2003), “Get Real! Assessing for Quantitative Literacy”, Quantitative literacy: why numeracy matters for schools and colleges. National Council on Education and the Disciplines 121-143.

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC 1

DIỄN BIẾN GIÁ DẦU THẾ GIỚI VÀ GIÁ XĂNG VIỆT NAM NĂM 2011

Giai đoạn 1: 3 tháng đầu của năm 2011 (20/1-20/4)

Giá dầu thế giới tăng mạnh trong 3 tháng này từ mức 90 USD/thùng lên khoảng 112 USD/thùng (có nghĩa là giá dầu đã tăng 24,4%) và trong khoảng thời gian này giá xăng trong nước tăng 2 đợt từ 16.400đồng/lít lên 21.300đồng/lít (tăng 29,9%).

Như vậy có thể thấy ở giai đoạn 1 sự tăng giá tương đồng của giá xăng trong nước và giá dầu thế giới, tuy nhiên giá xăng trong nước tăng cao hơn 5,5% so với giá dầu thế giới.

Giai đoạn 2: từ tháng 5/2011 - 1/2012.

Nhìn vào biểu đồ ta thấy, nửa đầu của giai đoạn từ tháng 5/2011 - 1/2012 (8 tháng) giá dầu thế giới giảm liên tiếp từ 112 USD/thùng xuống còn khoảng 85 USD/thùng (giảm 24%) nhưng giá xăng trong nước chỉ từ 21.300đồng/lít xuống 20.800đồng/lít (giảm 500đồng/lít tức là chỉ 2,3%) ?

Nửa sau của giai đoạn 2 thì giá dầu thế giới tăng trở lại về mức khoảng 100 USD/thùng và giá xăng Việt Nam giữ nguyên ở mức 20.800đồng/lít.

Thoạt nhìn thì có thể thấy hợp lý trong cả giai đoạn khi mà giá dầu giảm rồi lại tăng và giá xăng trong nước giữ nguyên. Thế nhưng giai đoạn đầu giá dầu giảm sâu tới 24% mà trong nước chỉ giảm 500đồng/lít (2,3%) thì có nghĩa là người dân và doanh nghiệp đã mất đi lợi ích rất lớn từ đợt giảm giá này.

Giai đoạn 3: từ tháng 10/2011 - 5/2012

Giai đoạn này chứng kiến sự biến động không tương xứng giữa giá xăng trong nước và giá dầu thế giới.

200

Từ tháng 10/2011 - 3/2012, khi giá dầu thế giới tăng từ 100 lên 110 USD/thùng (tăng 10%) thì giá xăng trong nước tăng tương ứng là từ 20.800 lên 22.900đồng/lít, nghĩa là tăng thêm 2.100đồng/lít (tăng 10,1%), có vẻ hợp lý!.

Nhưng từ tháng 3/2012 - 20/4/2012, trong khi giá dầu thế giới biến động dưới ngưỡng 107 USD/thùng (giảm 3 USD/thùng tức giảm gần 3%) nhưng giá xăng trong nước lại tăng 1000đồng/lít (4,4%). Điều này cho thấy sự bất hợp lý trong diễn biến giá xăng của nước ta.

Và khi giá dầu giảm mạnh xuống mức 98 USD (giảm 10USD/thùng, khoảng 9,3%) thì khi đó giá xăng mới giảm từ 23.800 xuống 23.300đồng/lít (giảm được 500đồng/lít tức 2.1%). Lại thêm một bất hợp lý nữa trong giai đoạn này.

Như vậy, tính trong toàn giai đoạn từ đầu năm 2011 đến tháng 5/2012 giá xăng trong nước tăng 4 lần với tổng mức tăng là 8.000đồng/lít và giảm 2 lần mỗi lần 500đồng/lít, tức là so với đầu năm 2011 giá xăng trong nước tăng 7000đồng/lít(tăng tới 42,7%).

Trung bình cả 3 giai đoạn là 20.900đồng/lít (tăng 27,4%) trong khi giá dầu trung bình cả 3 giai đoạn là 97 USD/thùng (so với 90 USD/thùng tại thời điểm 1/2011) tức là tăng 7 USD/thùng (khoảng gần 8%).

Trong khi nhà điều hành luôn nói rằng giá xăng trong nước sẽ diễn biến theo giá thị trường nhưng có lẽ chỉ đúng khi giá dầu tăng (thậm chí xăng trong nước tăng cao hơn) còn khi giảm thì giá gần như giữ nguyên.

vnexpress

http://vnexpress.net/tin-tuc/ban-doc-viet/gia-xang-tai-viet-nam-tang-

(Theo giam-khong-theo-gia-the-gioi-2231797.html)

201

PHỤ LỤC 2

BẢNG GIÁ CƯỚC DỊCH VỤ TRUY CẬP INTERNET ADSL/MEGAVNN

202

BẢNG GIÁ CƯỚC DỊCH VỤ TRUY CẬP INTERNET ADSL/VIETTEL

Các mức giá trên chưa bao gồm VAT 10% Nguồn: http://www.internetadslviettel.com/internet-ha-noi/cac-goi-cuoc-adsl.html

203

PHỤ LỤC 3

THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG TOÁN HỌC HÓA

HÀM SỐ BẬC HAI

4. NÉM BÓNG. Độ cao của một vật sau t giây bị ném đi với vận tốc ban đầu 0v , ở độ cao

2

= −

+

h được cho bởi công thức

+ , trong đó g là gia tốc trọng trường.

gt

H t ( )

v t h 0

1 2

từ độ cao 2 m. Theo em, quả bóng đó rơi xuống đất nhanh hơn hay lâu hơn

10 m/s

Giả sử một phi hành gia đang ở trên Mặt trăng ném một quả bóng với vận tốc v = 0

so với một quả bóng tương tự được ném ở Mặt đất với cùng vận tốc ban đầu

0v và độ

2

cao h. Tại sao? Biết rằng gia tốc trọng trường của Mặt đất là

và của Mặt

g =

9.8 m/s

2

trăng là

.

g =

1.6 m/s

5. PHẢN ỨNG. Một nghiên cứu về thời gian phản ứng của người lái xe (tính bằng mili

giây) đối với những kích thích âm thanh được cho bởi công thức:

2

=

−

+

, x là tuổi của người lái xe (tính bằng năm).

A x

x ( ) 0.0051

0.319

x

15, 16

≤ ≤ x

70

Nghiên cứu này cũng tìm thấy rằng, thời gian phản ứng của người lái xe (tính bằng mili giây) đối với những kích thích thị giác được cho bởi công thức:

2

=

−

+

, x là tuổi của người lái xe (tính bằng năm).

V x

( ) 0.005

x

0.23

x

22, 16

≤ ≤ x

70

Dựa vào nghiên cứu trên, theo em, một người lái xe sẽ phản ứng với sự thay đổi của

đèn hiệu giao thông nhanh hơn hay với còi xe cứu thương nhanh hơn? Tại sao?

204

6. ĐÀI PHUN NƯỚC. Khi đến thủ đô Lima của Pêru vào ban đêm, du khách có thể chứng kiến nhiều hình ảnh rất đẹp của các đài phun nước. Trong hình vẽ là một đoạn

đường đi bộ dài 32 m bên dưới một đài phun nước. Các dòng nước được đẩy lên đến chính xác cùng một độ cao và rơi xuống thành một hàng tạo nên các tia nước hình

parabol. Điều đáng ngạc nhiên là bạn có thể đi qua con đường này mà không bị ướt. Kathy muốn biết độ cao của đường hầm bằng nước này. Cô đo trên mặt đất khoảng cách giữa điểm nước phun lên và điểm nước rơi xuống là 4 m, ngoài ra nếu đứng cách chỗ vòi nước phun lên 0,6 m cô có thể đụng được nước ở độ cao 1,53 m. Em hãy giúp Kathy tính độ cao của đài phun nước này.

7. ĐƯỜNG HẦM. Cầu University ở Saskatoon, Canada chính thức đưa vào sử dụng năm 1916, thân cầu được đỡ bởi các

vòm hình parabol. Bên dưới một trong những vòm parabol đó, người ta xây dựng

đường hầm với hai làn đường như hình vẽ, mỗi làn đường rộng 9 m, dải phân cách

rộng rộng 2 m.

Khoảng cách từ chân vòm parabol đến mặt đường là 1,2 m. Hãy cho biết chiều cao tối

đa của một phương tiện giao thông có thể đi qua dưới vòm. Giải thích.

205

8. CHUỒNG BÒ. Anh Dân dự định dựng một cái chuồng hình chữ nhật để nuôi bò,

với một mặt chuồng sẽ tận dụng bức tường của nhà anh dài 15 m. Hiện tại anh có các

thanh sắt đủ để làm hàng rào dài 24 m cao 0,8 m. Em hãy tư vấn cho anh Dân cách

thiết kế chuồng bò sử dụng vừa đủ lượng sắt hiện có để rào 3 mặt còn lại nhưng tạo ra diện tích sử dụng lớn nhất.

9. KINH DOANH. Công ty sản xuất nước mắm của chị Bình hiện tại bán trung bình 10.000 chai mỗi tháng với giá 10.000 đồng

/ chai. Do giá vận chuyển tăng, tháng tới chị Bình dự định tăng giá bán mỗi chai

nước mắm. Qua nghiên cứu thị trường chị thấy rằng, cứ tăng giá mỗi chai lên 1000

đồng thì số chai bán được sẽ giảm 1000 chai.

Em hãy giúp chị Bình tính giá bán ra sao cho lợi nhuận cao nhất, biết chi phí sản xuất mỗi chai nước mắm là 6000 đồng.

BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

1. NHỊP TIM. Vì những lý do sức khỏe người ta nên giới hạn các nổ lực của mình, chẳng hạn như trong thể thao, để khỏi phải vượt quá nhịp tim tối đa mà cơ thể chịu đựng được.

206

Trong nhiều năm, nhịp tim tối đa trong một phút

được tính bằng công thức: N = 220 – T, T là tuổi (tính bằng năm).

Tuy nhiên, nghiên cứu gần đây đã đưa ra công thức mới như sau: N = 208 – 0.7T, T là tuổi (tính bằng

năm).

Một bài báo cho rằng: “Theo công thức mới, nhịp tim tối đa trong một phút của những người trẻ giảm nhẹ

và của những người lớn tuổi thì tăng nhẹ”. Theo em, từ tuổi nào trở lên thì nhịp tim tối đa tăng như là một

kết quả của công thức mới? Giải thích.

2. CƯỚC ĐIỆN THOẠI. Phí dịch vụ của gói cước Qteen mạng di động Mobiphone là 1280 đồng cho mỗi phút gọi. Gói cước Basic của mạng di động Viettel có phí thuê bao là 50000 đồng mỗi tháng cộng thêm 990 đồng cho mỗi phút gọi. Theo em, sử dụng gói

cước nào sẽ tiết kiệm chi phí hơn? Tại sao?

3. KỆ GỖ. Để đóng một cái kệ như hình vẽ, bác thợ mộc cần 4 tấm gỗ dài, 6 tấm gỗ ngắn, 12 nẹp nhỏ, 2 nẹp lớn và 14 cái đinh vít. Hiện

tại bác thợ mộc có 26 tấm gỗ dài, 33 tấm gỗ ngắn, 200 nẹp nhỏ, 20 nẹp lớn và 510 cái

đinh vít. Hỏi bác có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu cái kệ với những vật liệu trên.

4. CẦU THANG. Một cầu thang nhà ở được thiết kế an toàn khi mỗi bậc có chiều cao tối đa là 19cm và chiều sâu tối thiểu là 25 cm, ngoài ra độ dốc của cầu thang được tính

bằng tỉ số giữa chiều cao bậc và chiều sâu bậc phải từ 0,5 đến 0,7. Hãy thiết kế một cầu thang an toàn đi từ tầng 1 lên tầng 2 của ngôi nhà có khoảng cách giữa hai sàn là 2,8 m

và chiều dài cầu thang là 3,6 m bằng cách chỉ ra số bậc, độ cao và độ sâu của mỗi bậc. Giải thích.

207

chiều dài cầu thang

chiều cao bậc

chiều sâu bậc

khoảng cách giữa 2 sàn

5. KHIÊU VŨ. Nhằm đáp ứng nhu cầu luyện tập khiêu vũ ngày càng cao, trung tâm hoạt động thanh thiếu niên tỉnh lên kế hoạch tổ chức các lớp khiêu

vũ cổ điển và khiêu vũ quốc tế từ 17:00 đến 19:00 vào hai ngày cuối tuần. Với số lượng giáo viên

hiện có, trung tâm chỉ có thể mở tối đa 8 lớp khiêu vũ cổ điển, 5 lớp khiêu vũ quốc tế, và cung cấp

nhiều nhất 10 phòng cho các lớp này. Ngoài ra, để đảm bảo chất lượng, mỗi lớp khiêu vũ cổ điển chỉ

nhận 16 học viên và mỗi lớp khiêu vũ quốc tế nhận 12 học viên.

Em hãy cho giám đốc trung tâm biết số lượng học viên tối đa mà trung tâm có thể nhận là bao nhiêu? Tại sao?

6. PIZZA. Một nhà hàng bán bánh Pizza thường mở cửa từ 12:00 đến 24:00 mỗi ngày. Nhân viên của nhà hàng làm việc theo hai ca, mỗi ca 8 tiếng, 12:00 – 20:00 và 16:00 –

24:00. Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ, từ 12:00 đến 16:00 là 11000 đồng / giờ, từ 16:00 đến 24:00 là 15000 đồng / giờ. Hiện tại, cửa hàng cần ít nhất 5 nhân viên trong khoảng 12:00 – 16:00, ít nhất 14 nhân viên trong khoảng 16:00 – 20:00 và ít

nhất 6 nhân viên trong khoảng 20:00 – 24:00. Em hãy giúp cửa hàng tính số nhân viên cần cho mỗi ca để số tiền lương phải trả là thấp nhất.

208

7. QUẢNG CÁO. Một doanh nghiệp chọn gói tài trợ 440 triệu đồng cho một chương trình

truyền hình. Quyền lợi của doanh nghiệp là được quảng cáo trên tivi và radio với giá ưu đãi như sau: 2 triệu đồng cho 20 giây / 1 lần quảng cáo trên radio và 16 triệu đồng cho 30

giây / 1 lần quảng cáo trên tivi.

Doanh nghiệp này muốn quảng cáo của công ty phát trên radio từ 30 đến 60 lần và phát trên tivi ít nhất 15 lần. Nếu em là người được ủy quyền kí hợp đồng tài trợ cho chương

trình thì em sẽ thông báo cho doanh nghiệp số lần quảng cáo tối đa trên radio và tivi là bao nhiêu để không bị vượt quá số tiền tài trợ, nhưng vẫn đảm bảo quyền lợi của đối

tác. Giải thích.

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1. MÁY BAY. Một phi công đang lái máy bay theo đường bay thẳng hướng Đà Nẵng đến Hà Nội thì

nhận được thông báo có một vùng thời tiết xấu mới hình thành ngay phía trước đường bay. Phi công đã rẽ sang trái 350 so với đường đi dự kiến và tiếp tục bay thẳng với đường bay mới. Sau khi

tránh được vùng thời tiết xấu, máy bay lại rẽ sang phải 450 so với đường bay hiện tại, tiếp tục bay thẳng đến khi gặp đường bay dự kiến ban

đầu tại điểm cách điểm bắt đầu đi đường vòng là 80 km. Theo em, đoạn đường tăng

thêm do bay đường vòng là bao nhiêu? Giải thích.

2. MÁI HIÊN. Nhà anh Bình quay mặt về hướng Đông nên buổi sáng thường bị ánh nắng chiếu vào nhà. Anh muốn lắp một mái hiên ở mặt trước của ngôi nhà, cách mặt đất

209

3.5m và hợp với tường một góc 500 để che không cho ánh nắng mặt trời chiếu vào nhà khi góc tới của tia nắng mặt trời (góc hợp bởi tia nắng và mặt đất) lớn hơn 600, tương ứng với thời điểm nóng của ngày. Theo em chiều rộng của mái hiên là bao nhiêu thì có

thể đáp ứng các điều kiện trên nhưng vẫn đảm bảo khoảng cách từ điểm thấp nhất của mái hiên đến mặt đất lớn hơn 2,5 m để trong nhà không bị tối?

3. ĐU QUAY. Một đu quay máy bay có thể thay đổi độ cao của các máy bay bằng cách thay đổi độ dài của xi lanh thủy lực AC cố định tại điểm C. Trong một thiết kế chuẩn

BD = 4 m, BA = BC = BE = 1.5 m, và độ dài đoạn AC có thể thay đổi từ 1,5 m đến 2,2 m. Theo em, với kết cấu như trên, khoảng cách từ máy bay đến mặt đất cao nhất là bao

nhiêu, thấp nhất là bao nhiêu?

Mô hình của đu quay máy bay thủy lực

Đu quay máy bay thủy lực

4. TÀU KÉO. Một sà lan biển được lai dắt bởi hai tàu kéo với lực tác dụng là 5000

N, hướng dọc theo trục của sà lan. Theo em, mỗi tàu kéo cần tạo với trục của sà

lan các góc bao nhiêu nếu sức kéo của chúng lần lượt là 3660 N và 2590 N. Giải

thích

210

5. CHỖ ĐỖ XE. Trên con đường một chiều, rộng 9 m, người ta dự định thiết kế chỗ đậu xe ô tô bên đường theo kiểu xiên như hình vẽ. Quy định của thành phố về các chiều của mỗi ô là dài 5,4 m và rộng 2,5 m. Nếu em là nhà thiết kế, em sẽ chia lề đường thành

các ô có độ dài c bằng bao nhiêu để đảm bảo quy định mà vẫn còn lại 4,3 m dành cho xe giao thông trên đường. Giải thích lựa chọn của em.

Lề đường

c

5.4

m

2.5

m

6. NGỌN NÚI. Bố Lan là một nhà địa chất. Vào một ngày hè, bố đưa Lan cùng gia đình ra vùng ngoại ô chơi. Trên đường đi, bố Lan trông thấy một ngọn núi đá vôi rất đẹp và ông cho xe chạy thẳng về phía chân ngọn núi đó. Dọc đường, bố Lan dừng xe, rồi dùng một thiết bị đo độ nghiêng đo được góc tạo bởi đỉnh núi và mặt đất là 3,50, sau khi xe chạy thẳng được 2 km, bố Lan đo lại lần nữa lúc này góc đo được là 90. Bố đố Lan ngọn núi cao bao nhiêu? Em hãy giúp Lan nhé. Biết rằng đường đi đến chân ngọn núi

rất bằng phẳng.

211

PHỤ LỤC 4

SO SÁNH KẾT QUẢ GIỮA BÀI PRETEST VÀ BÀI KIỂM TRA KĨ NĂNG TOÁN

A. Bài kiểm tra kĩ năng toán

+

=

. Với những giá trị nào của x

g x

( ) 50 0,99

x

≥

và .

thì

1. Cho hai hàm số: ; g x ( ) f x ( )

= ( ) 1, 28 x f x < g x f x ( ) ( )

45°

B

35°

----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Cho tam giác ABC có các số đo như hình vẽ. Tính độ dài cạnh AB và BC.

80km

A

C

y

----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol trong hình vẽ bên và cho biết tọa độ đỉnh của cung parabol.

1.53

M

0.6

4

O

----------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------- -----------------

212

B. Tóm tắt kết quả bài kiểm tra kĩ năng toán

Phương pháp giải

Kết quả Số HS

Kết quả đúng

42

Câu 1 Sử dụng bất phương trình tương

đương

Lập luận thiếu chặt chẽ

4

Không làm

0

Kết quả đúng

42

Câu 2 Sử dụng định lý sin trong tam giác

Tính toán sai

2

Không làm / Làm không đúng

2

Kết quả đúng

33

Câu 3 Giải hệ để tìm các hệ số a, b, c của

2

=

+

parabol có dạng

y

ax

bx

+ c

trình

4

Viết được phương nhưng chưa tìm ra đỉnh

Không làm

9

Nhận xét: Mặc dù hai bài bài kiểm tra có cùng nội dung toán, chỉ khác nhau ở cách bài

toán xuất hiện. Các bài toán ở bài kiểm tra kĩ năng xuất hiện một cách tường minh, dưới

dạng quen thuộc mà học sinh đã được học, trong khi các bài toán ở bài pretest được đặt

trong một ngữ cảnh toán học hóa, học sinh phải đọc hiểu tình huống và tự phát biểu bài

toán. Vì vậy, so với bài kiểm tra 1, kết quả của bài kiểm tra 2 cao hơn rất nhiều, hầu hết

học sinh đều làm được câu 1 và câu 2 (trên 90%), 71,74% học sinh làm được câu 3.

C. So sánh kết quả giữa pretest và bài kiểm tra kĩ năng toán

Để thấy được năng lực HBĐL của học sinh ở giai đoạn trước nghiên cứu, chúng tôi thực

hiện so sánh kết quả của bài pretest và bài kiểm tra kĩ năng toán. Mỗi bài kiểm tra gồm ba

câu, điểm tối đa mỗi câu là 1 điểm.

213

Bảng P1. Kết quả của bài kiểm tra pretest và bài kiểm tra kĩ năng toán

Bài kiểm tra HBĐL (pretest 1 )

Bài kiểm tra kĩ năng toán (pretest 2 )

Đúng

Tổng

Đúng

Tổng

Đúng một phần

Đúng một phần

4 1 31

Không làm / Làm không đúng 25 29 15

46 46 46

42 42 33

4 2 4

Không làm / Làm không đúng 0 2 9

46 46 46

17 16 0

Câu 1 Câu 2 Câu 3

Nếu thống kê theo điểm trung bình mỗi câu ở mỗi bài kiểm tra, chúng tôi có kết quả như sau:

Bảng P2. Điểm trung bình đối với mỗi câu

Điểm TB câu 1 Điểm TB câu 2 Điểm TB câu 3 0,36

0,17

0,41

0,96

0,93

0,76

Pretest Bài kiểm tra kĩ năng toán

1

0.8

ì

0.6

h n b g n u r t

pretest 1 pretest 2

0.4

m ể i Đ

0.2

0

câu 1

câu 2

câu 3

Hình P1. Biểu đồ đường biểu diễn điểm trung bình mỗi câu

Nhìn vào biểu đồ đường (hình P1), chúng ta dễ dàng thấy rằng đồ thị của bài kiểm tra kĩ

năng toán nằm hoàn toàn phía trên và cách một khoảng khá xa so với đồ thị của pretest,

điều đó chứng tỏ điểm trung bình của cả ba câu ở bài kiểm tra kĩ năng toán cao hơn hẳn

điểm trung bình các câu tương ứng ở bài kiểm tra HBĐL, trong khi các câu hỏi này có

cùng nội dung toán. Ngoài ra, hai đồ thị trong biểu đồ đường cũng cho thấy kết quả mỗi

câu của hai bài kiểm tra có sự tương đương, nghĩa là điểm trung bình câu 1 cao nhất, tiếp

theo là câu hai và điểm trung bình của câu ba thấp nhất.

214

Nếu xét điểm trung bình toàn bài, dựa vào biểu đồ hình hộp (hình P2) dưới đây, ta có thể

thấy một sự trái ngược về kết quả giữa hai bài kiểm tra.

Bảng P3. Giá trị trung bình và trung vị của hai bài kiểm tra

Pretest 1 Pretest 2

N

46

46

Mean Median

0,94 1,25

2,65 3,00

Hình P2. Biểu đồ hình hộp của kết quả hai bài kiểm tra

Đối với bài pretest, 75% học sinh đạt điểm trung bình từ 0 đến 1,25, trong khi đó xu hướng

hoàn toàn ngược lại đối với kết quả bài kiểm tra kĩ năng toán, 75% học sinh đạt điểm trung

bình rất cao từ 2,5 đến 3. Hơn nữa, giá trị trung vị của bài kiểm tra kĩ năng toán bằng 3,

điều này có nghĩa là ít nhất một nữa số học sinh đạt điểm tối đa ở bài kiểm tra này.

Như vậy, mặc dù học sinh có kiến thức và kĩ năng toán tốt nhưng khả năng áp dụng các

kiến thức, kĩ năng đó vào những tình huống thực tế rõ ràng chưa tốt, dưới mức trung bình.

Chính ngữ cảnh thực tế đã làm học sinh khó khăn trong việc rút ra nội dung toán liên quan,

trong một số trường hợp chẳng hạn như tình huống 3 đề số 1, tính không quen thuộc của

ngữ cảnh cũng như cách đặt câu hỏi đã gây trở ngại lớn trong quá trình tìm kiếm phương

pháp giải của học sinh. Đoạn phỏng vấn sau đây ít nhiều đã thể hiện điều đó:

G: Theo em, tại sao em làm được bài toán 3 trong đề kiểm tra số hai mà không

làm được bài 3 trong đề kiểm tra số một?

215

H: Dạng toán ở đề số hai quen thuộc hơn và em biết cách giải, còn bài 3 ở đề số

một, mặc dù vẽ được hình nhưng lúc đó em không biết giải như thế nào, em

thấy khó.

G: Em có nhận xét gì về hai đề kiểm tra.

H: Hai đề này giống nhau, nhưng đề kiểm tra 1 gồm các bài toán thực tế và đề

kiểm tra 2 gồm các bài toán, nên đề sau dễ hơn.

216

PHỤ LỤC 5

BẢNG HỎI

1. Ngoài mục đích học toán để vượt qua các kì thi, theo em học toán còn có mục đích gì

khác?

………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………... ……………………...…………………………………………………………………… ……...……………………...……………………………………………………………

2. Kiến thức toán em học được ở nhà trường (từ lớp 6 – lớp 10) có giúp em trong cuộc

sống không? Cho ví dụ?

………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………... ……………………...…………………………………………………………………… ……...……………………...……………………………………………………………

3. Các tình huống thực tế, trong chương trình mà em được học, xuất hiện:

A. Nhiều

B. Ít

C. Hiếm khi

D. Không có

4. Em có thích giải quyết những tình huống thực tế trong khi học toán không? Tại sao?

………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………... ……………………...…………………………………………………………………… ……...……………………...……………………………………………………………

5. Khi gặp một tình huống thực tế, em sẽ lần lượt thực hiện các bước nào?

1. Đọc tình huống  2.....…………………………………………………..................... ………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………... ……………………...…………………………………………………………………… ……...……………………...……………………………………………………………

Bước nào là khó nhất? …….. Bước nào dễ nhất?........... Bước nào có tính quyết định?............

6. Khi giải quyết các tình huống thực tế trong thời gian thực nghiệm vừa qua, em thường

gặp những khó khăn gì?

………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………...

217

Các em vui lòng trả lời những câu hỏi dưới đây:

……………………...…………………………………………………………………… ……...……………………...……………………………………………………………

7. Các tình huống thực tế mà em được tiếp xúc trong thời gian qua là

A. Khó

B. Vừa phải

C. Dễ

Tại sao?

………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………... ……………………...…………………………………………………………………… ……...……………………...…………………………………………………………….

8. Các tình huống thực nghiệm

A. Rất thực tế

B. Thực tế vừa phải C. Ít thực tế

D. Không thực tế

Tại sao?

………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………... ……………………...…………………………………………………………………… ……...……………………...…………………………………………………………… ……………...……………………...

9. Theo em, qua thời gian thực nghiệm vừa rồi, khả năng giải quyết các tình huống thực tế

của em

A. Rất tiến bộ

B. Tiến bộ vừa phải

C. Ít tiến bộ D. Không tiến bộ

Tại sao em nghĩ như vậy?

………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………... ……………………...…………………………………………………………………… …………………………………………………………………………...………………

10. Trong thời gian thực nghiệm, hoạt động nhóm có hỗ trợ em trong việc giải quyết các

tình huống thực tế không?

Nếu “có” - hỗ trợ như thế nào? Nếu “không” – tại sao?

………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………... ……………………...…………………………………………………………………… ……...……………………...……………………………………………………………

218

PHỤ LỤC 6 MINH HỌA VIỆC ĐÁNH GIÁ CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG

Dưới đây chúng tôi sẽ minh họa việc đánh giá các năng lực hiểu biết định lượng, sử dụng thang đánh giá đã được xây dựng ở chương 2, vào ba bài làm của học sinh đối với tình huống CẦU THANG.

Bài làm 1. Nhóm học sinh này nhận ra và hiểu đúng các thông tin của tình huống ngoại trừ việc xác định sai mối quan hệ giữa chiều sâu bậc và chiều dài cầu thang dẫn đến xây dựng mô hình toán không đúng. Vì vậy đối với nhóm học sinh này, các năng lực HBĐL chỉ được đánh giá ở giai đoạn 1 của quá trình THH – chuyển từ tình huống THH sang mô hình toán. Nhưng do mô hình mà nhóm học sinh tạo ra chưa phù hợp nên mỗi năng lực HBĐL của nhóm đạt ở mức độ 2.

Hình 1. Bài làm 1

Bài làm 2. Nhóm học sinh này đã xây dựng một mô hình toán phù hợp nhưng chưa hoàn thành việc giải bài toán nên các năng lực HBĐL chỉ được đánh giá ở giai đoạn 1 và 2.

Hình 2. Bài làm 2

Trong bước giải toán, nhóm học sinh đã thể hiện phương pháp giải đúng, các suy luận đúng và hợp lý, tính toán đúng nhưng chưa đi đến kết quả cuối cùng. Dựa vào thang đánh giá, nhóm học sinh này đạt mức độ 5 đối với các năng lực giao tiếp, suy luận, sử dụng kí hiệu thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán, đạt mức độ 6 đối với các năng lực còn lại.

Bài làm 3. Nhóm học sinh này đã xây dựng một mô hình toán phù hợp với tình huống, giải bài toán đúng và chuyển kết quả toán sang kết quả thực tế hợp lý, tuy nhiên không thấy thể hiện bước phản ánh. Do đó các năng lực giao tiếp với toán học; sử dụng kí hiệu, thuật ngữ

219

toán học và thực hiện các phép toán; biểu diễn và giải quyết vấn đề đạt mức độ tối đa là 9. Năng lực phân tích và xây dựng mô hình toán học, suy luận chỉ đạt mức độ 6.

Hình 3. Bài làm 3

220

PHỤ LỤC 7

MỨC ĐỘ CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG CỦA CÁC NHÓM QUA BỐN BUỔI DẠY THỰC NGHIỆM

Nhóm HÒA Tình huống 1 Tình huống 2 Tình huống 3 Tình huống 4 Nhóm LINH Tình huống 1 Tình huống 2 Tình huống 3 Tình huống 4 Nhóm AN Tình huống 1 Tình huống 2 Tình huống 3 Tình huống 4 Nhóm DUYỆT Tình huống 1 Tình huống 2 Tình huống 3 Tình huống 4 Nhóm VIỆT Tình huống 1 Tình huống 2 Tình huống 3 Tình huống 4 Nhóm MƠ Tình huống 1 Tình huống 2 Tình huống 3 Tình huống 4 Nhóm THIỆN Tình huống 1 Tình huống 2 Tình huống 3 Tình huống 4 Nhóm NGUYỆT Tình huống 1

Giao tiếp 3 4 2 5 3 4 2 5 5 5 8 9 2 3 2 2 2 3 2 2 3 4 9 9 3 4 4 5 9

Suy luận 4 4 2 5 4 4 2 5 5 5 5 6 2 3 2 2 2 3 2 2 4 4 8 6 4 4 4 5 6

Biểu diễn 4 4 2 5 4 4 2 5 5 5 5 9 2 3 2 2 2 3 2 2 4 4 9 9 4 4 4 5 9

Giải quyết vấn đề 4 4 2 6 4 4 2 6 5 5 6 6 2 3 2 2 2 3 2 2 4 4 9 6 4 4 4 6 9

Xây dựng MH 4 4 2 8 4 4 2 5 5 5 5 6 2 3 2 2 2 3 2 2 4 4 6 6 4 4 4 5 6

Kí hiệu, phép toán 4 4 2 4 4 4 2 5 5 5 5 9 2 3 2 2 2 3 2 2 4 4 9 9 4 4 4 5 9

221

Tình huống 2 Tình huống 3 Tình huống 4 Nhóm ÚT Tình huống 1 Tình huống 2 Tình huống 3 Tình huống 4 Nhóm NHI Tình huống 1 Tình huống 2 Tình huống 3 Tình huống 4 Nhóm PHÚ Tình huống 1 Tình huống 2 Tình huống 3 Tình huống 4 Nhóm PHƯỢNG Tình huống 1 Tình huống 2 Tình huống 3 Tình huống 4

8 9 9 9 9 9 9 5 5 8 9 2 3 2 2 3 4 9 9

5 6 6 6 6 8 8 5 5 5 6 2 3 2 2 4 4 6 6

8 9 9 9 9 9 9 5 5 5 9 2 3 2 2 4 4 9 9

5 8 6 6 6 6 6 5 5 5 6 2 3 2 2 4 4 6 6

8 9 9 9 9 9 9 5 5 5 9 2 3 2 2 4 4 9 9

8 9 9 9 9 9 9 5 5 6 6 2 3 2 2 4 4 9 9

222

PHỤ LỤC 8

MỨC ĐỘ TRUNG BÌNH CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG ĐẠT ĐƯỢC QUA BỐN BUỔI DẠY THỰC NGHIỆM

9 4 8 9

5 9 9 9

5 5 9 9

9 8 9 9

3 5 8 5

3 4 9 9

3 4 4 9

3 3 2 5

3 3 2 5

2 3 2 2

2 4 2 2

2 4 2 2

4.08 4.67 5.50 6.25

6 4 5 6

5 6 8 6

5 5 6 8

6 5 6 6

4 5 5 6

4 4 6 8

4 4 4 5

4 3 2 6

4 3 2 5

2 3 2 2

2 4 2 2

2 4 2 2

4.00 4.17 4.17 5.17

9 4 5 9

5 9 9 9

5 5 9 9

9 8 9 9

4 5 5 9

4 4 9 4

4 4 4 5

4 4 2 9

4 4 2 5

2 3 2 2

2 3 2 2

2 3 2 2

4.50 4.67 5.00 6.17

6 4 5 6

5 6 6 6

6 5 8 6

5 5 6 6

4 5 5 6

4 4 8 5

4 4 4 5

4 4 2 6

4 4 2 5

2 3 2 2

2 3 2 2

2 3 2 2

4.00 4.17 4.33 4.75

9 4 5 9

5 9 9 9

5 5 9 9

9 8 9 9

4 5 5 9

4 4 9 5

4 4 4 5

4 4 2 9

4 4 2 5

2 3 2 2

2 3 2 2

2 3 2 2

4.50 4.67 5.00 6.25

Giao tiếp tuần 1 tuần 2 tuần 3 tuần 4 Xây dựng mô hình tuần 1 tuần 2 tuần 3 tuần 4 Kí hiệu phép toán tuần 1 tuần 2 tuần 3 tuần 4 Suy luận tuần 1 tuần 2 tuần 3 tuần 4 Biểu diễn tuần 1 tuần 2 tuần 3 tuần 4 Giải quyết vấn đề tuần 1 tuần 2 tuần 3 tuần 4

9 5 6 6

5 9 9 6

5 5 9 6

9 8 9 9

4 6 6 9

4 4 9 9

4 4 4 6

4 4 2 6

4 4 2 6

2 3 2 2

2 3 2 2

2 3 2 2

4.50 4.83 5.17 5.75

223