Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Cauchy cấp hai trong thang các không gian Banach

1 2

a a b +

2

≤

b (

td

)

) λ td )

( )( K t b − td b )( − − λ

) λ − + λ

( )( K t b − b 2( − − λ

Do ñoù, (3.3) ñöôïc thoaõ maõn.

Töø kyù hieäu (3.5) vaø (3.6), ta coù

t

t

M

′ ( ) u t

( ) ( ) A s u s

( ) Tg t

( ) u s

ds

−

=

+

≤

+

(

) ( ) f s ds

u 1

2

s ( )

λ

λ

0

0

∫

∫

λ

( ) s

−

( ) λ λ

(3.10)

b

sd

( ) s

.

trong ñoù

λ

=

+ − λ 2

Aùp duïng (3.3), ta ñöôïc

)

,

u s ( )

c ≤ +

c = +

c ≤ +

s ( )

λ

− s ( )

− + λ sd − − λ

( K s b ( ) ( b 2 − λ

) s ( ) λ ) sd −

( K s b ( ) ( b 2

sd )

( ) K s b ( ) − λ ( ) sd b − − λ

b

.

vôùi 0

s ≤ <

λ− d

Do ñoù, töø (3.10) suy ra

t

4

M

′ ( ) u t

Tg t ( )

ds

−

≤

+

u 1

2

λ

0

∫

b

sd

λ − −

( ) ( ) K s b − λ ) ( sd b λ − −

(

)

⎡ c +⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

t

t

ds

ds

Tg t

≤

( ) 4 +

+

−

( ( ) K t b

) λ

2

3

0

0

∫

∫

b

sd

b

sd

λ − −

λ − −

(

)

(

)

⎡ M c ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

t

−

( ) Tg t

=

+

+

0

4 M d

b

sd

c λ − −

2

b

sd

λ − −

( )( K t b (

) λ )2

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Baèng tính toaùn cuï theå, vaø ñeå yù raèng K laø haøm taêng theo t, ta ñöôïc

19

−

vôùi

∈t

′ u t ( )

Tg t ( )

−

≤

+

+

) T .

[

0, λ

u 1

λ

M 4 d

b

td

c − − λ

b

td

− − λ

K t b 2 ( )( (

) λ 2 )

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Do ñoù, (3.4) ñöôïc chöùng minh.

v

T

Cuoái cuøng, ta chöùng minh tính duy nhaát nghieäm. Giaû söû

[ : 0,

] '

E λ→

laø nghieäm cuûa baøi toaùn (3.1)-(3.2). Coá ñònh

'λ λ< , ta coù theå laëp laïi laäp luaän

v

',

,

cuûa chöùng minh söï toàn taïi vôùi

laàn löôït ñöôïc thay bôûi

, , nb uλ

λ λ − ñeå nu

ñöôïc u v− laø nghieäm cuûa baøi toaùn

w

A t w f t ,

( )

′′ =

( ) 0 =

)

w

(0)

( (0) 0. =

′= w

t T

'

≤ <

thoaõ ñaùnh giaù (3.3) ( ñeå yù raèng baøi toaùn naøy ñöôïc xeùt vôùi 0

vaø

u t ( )

0

min

',

). Vì vaäy,

v t vôùi ( )

, vaø do ñoù, baèng

( ) 0=w t

=

t ≤ <

' λ λ− d

⎧ T ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

u t ( )

'

v t vôùi 0 ( )

phöông phaùp laëp thoâng thöôøng ta suy ra

=

≤

ñöôïc chöùng minh.

Giaû söû caùc giaû thieát sau ñöôïc thoaõ maõn

E laø daïng tuyeán tính vaø toàn

1) Vôùi moãi caëp ( ,

)λβ toaùn töû

A E : λ

E × → β

λ

taïi moät soá M> 0 khoâng phuï thuoäc ( ,

)λβ sao cho

A( u,v )

,

u E , v E .

≤

∀ ∈

∀ ∈

λ

β

λ

u . v λ

β

(

M 2 ) β λ −

C

,

C

0,

2) Toaùn töû B laø hoaøn toaøn lieân tuïc töø

]

[

]

b

( [ 1 0,

) T E vaøo a

(

) T E ,

Bu t

0,

;

0,

∈

L = < ∞

Hôn nöõa ,

] 1 T u C

[ ∈

[

] T E , a

ñöôïc trang bò baèng caùc chuaån thoâng thöôøng . (

t ( ) . b

{ sup

} )

Ñònh lyù 3.2.

20

3)

1, u u 0

E .∈ b

b

Khi ñoù, vôùi baát kì

sao

min

,

( , )

=

λ∈ a b , toàn taïi moät soá

T λ

− λ MLe

4

⎧ ⎪ T ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

cho baøi toaùn Cauchy

A Bu t u (3.11)

( ),

′′ =u

(

)

u

(0)

′ (0)

=

=

u u ; 0

u (3.12) 1

u

coù moät nghieäm

]

[ T : 0, λ

E . λ→

Ñaët

T , tröôùc heát chuùng ta chuù yù raèng

, pheùp nhuùng

]0,=I [

1

1 I C I E

( ,

:

( ,

)

C I E lieân tuïc , do

a

) λ →

I x ( )

x t ( )

( )′ x t

=

+

{

}

)

a

a

1( , C I E a

sup t I ∈

I x ( )

x t ( )

′ x t ( )

x

⇒

≤

+

=

1

1

{

}

,

,

λ

λ

)

( C I E

)

( C I E a

λ

sup t I ∈

Keát hôïp giaû thieát 2) ta coù toaùn töû B cuõng hoaøn toaøn lieân tuïc töø

1( ,

C I E ,vôùi baát kyø

( ,

],λ∈ a b . [

)b

C I E vaøo )λ

(

1( ,

),λ∈ a b , moãi

Coá ñònh vôùi

∈u C I E , ta xeùt baøi toaùn cauchy tuyeán

)λ

tính sau

A Bu t v (3.13)

( ),

,

′′ =v

(

)

v

u

(0)

;

′ (0) v

=

=

0

u (3.14) 1

Vôùi λ γ β ≤

≤

≤ b vaø

β∈v E , do giaû thieát 1) , ta coù

M

A Bu t v

( ),

A Bu s v

( ),

Bu t ( )

Bu s

v

−

≤

−

)

(

(

)

( ) . b

β

−

)2 ( γ β γ

Chöùng minh.

21

v

v

ML

β

β

( ),

.

A Bu t v

v

≤

≤

≤

(

)

2

β

γ

M Bu t (

( ) . γ 2 ) β γ −

M Bu t (

( ) . b 2 ) β γ −

(

) β γ −

t

→

töø I vaøo

Do ñoù, toaùn töû

( A Bu t

) ( ),.

,β γ

( L E E thoaû giaû thieát 1) cuûa

)

min

) β

−

ñònh lyù 3.1. Vì vaäy , vôùi moãi

) ,β λ∈ b , toàn taïi

[

′ = T β

{ ,( T b

} MLe

ñeå baøi toaùn (3.13)-(3.14) coù duy nhaát nghieäm

v Fu : =

→

E β

)

′ ⎡ T : 0, β ⎣

(3.15)

,

( ) Fu t

( ) u t

−

≤

β

)

) ( c b β − 2( dt b β − −

4

(3.16)

′ Fu t ( )

)

−

≤

+

u 1

2

β

ML d

b

dt

) β dt )

−

−

− −

c β

c b 2 ( b ( − β

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

t

0,

∈

, trong ñoù

vôùi

u t ( )

u

;

c

sup

u t ( )

:

t

I

,

d

MLe .

=

+

=

∈

=

tu 1

0

{

}

b

⎡ ⎢⎣

⎞′ T ⎟ β ⎠

Ñeå nghieân cöùu tính lieân tuïc vaø compact cuûa toaùn töû F , ta seõ ñaùnh giaù

ω=

−Fu 1

Fu 2

Roõ raøng , ω thoaû

(3.17)

w

( ),

A Bu t ( )

Bu t Fu t ( );

′′ =

−

−

(

)

) ( ) ,

(

A Bu t w 1

1

2

2

(3.18)

′= w

(0) 0 =

E

,

∈

+

] , β λλ ε

[

, . β β

w (0) Xeùt baøi toaùn Cauchy (3.17)-(3.18) trong thang(

)

0ε> seõ choïn sau.

vôùi

Baèng caùch aùp duïng baøi toaùn (3.17)-(3.18) cho ñaùnh giaù (3.3), (3.4) vôùi

kyù hieäu (3.5) trong ñònh lyù 3.1, ta ñöôïc

w( t )

.

≤

λ

+ λ ε

,t

0

2 d (

dt )

4

−

3 ε ε

sup f ( s ) [ s ∈

]

(3.19)

′ w ( t )

≤

+

′ T λ ε +

λ

+ λ ε

,t

0

4 2 d (

4

3 ML ε 2 dt ) − ε

. sup f ( s ) ] [ s ∈

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

22

f

t ( )

A Bu t ( )

Bu t Fu t ( ) ( ),

, trong ñoù

. Theo giaû

=

−

vôùi 0

≤

(

)

2

2

1

ε⎧ ⎨ d ⎩

⎫ ⎬ ⎭

thieát 1) cuûa ñònh lyù, ta coù

f

t ( )

(3.20)

−

Bu t ( ) 1

Bu t ( ) 2

Fu t ( ) 2

+ λ ε

+ + λ ε δ

M ≤ 2 δ+ λ ε

vaø do (3.15) thì

c ≤ +

,

Fu t ( ) 2

λ ε δ + +

)

) c b ( − − − λ ε δ dt b 2( − − − − λ ε δ

0

min

) /

t ≤ <

− − −

λ ε δ

vôùi

{ ,( T b

} d .

Baèng caùch choïn

, ta ñöôïc

b (

b (

) / 6

=

−

=

−

ε

) / 3, λ δ

λ

c ≤ +

,

, vôùi min t <

Fu t ( ) 2

λ ε δ + +

) λ dt 2 )

c b ( − b 2( − − λ

⎧ T ⎨ ⎩

b λ − ⎫ ⎬ d 2 ⎭

(3.21)

,

2≤ c , vôùi min

t

<

⎧ T ⎨ ⎩

b λ − ⎫ ⎬ d 4 ⎭

,

min

, töø (3.19)-(3.21) ta coù

Cuoái cuøng, vôùi 0

≤ <

=

t T λ

⎧ T ⎨ ⎩

b λ− ⎫ ⎬ d 4 ⎭

−

≤

−

Fu t ( ) 1

Fu t ( ) 2

Bu s ( ) 1

Bu s 2

( ) , b

λ

Mc 8 2 d

sup ] [ 0, t s ∈

(3.22)

2

48

ML

)

Fu

( ) t

−

≤

−

(

′ )

Fu 1

2

( ) Bu s 1

( ) Bu s 2

b

Mc d ( 3 ( d b

32 ) λ

+ −

sup [ ] 0, t s ∈

λ

Vaø töø (3.15), (3.16) ta coù:

(3.23)

Fu t ( )

u t ( )

′ c Fu t , ( ) ( )

−

≤

−

≤

u 1

2 3

c 176 d b 9 ( )λ −

=X C

trang bò bôûi chuaån

söû

ñoäng. Ta giaû

λ

Baây giôø, ta keát thuùc baèng vieäc chöùng minh toaùn töû F coù moät ñieåm baát ) ] T E ñöôïc ,λ

( [ 1 0,

23

F X (

)

. Töø (3.23) ta coù

naøo

⊂

0>r

u

t

sup

( ) u t

,

=

∈

) B u r vôùi ,

(

[

0, λ T

{

} ]

λ

ñoù, vaø töø (3.22) thì

vôùi haèng soá

naøo ñoù.

Fu

K

−

≤

−

0>K

Fu 1

2

Bu t ( ) 1

Bu t ( ) 2

b

sup [ t o T , ∈

] λ

Nhö vaäy, ta coù

Fu

−

≤

−

Fu 1

2

K Bu 1

Bu . 2

)

F M laø taäp compact töông ñoái.

Xeùt M laø taäp bò chaën, ta seõ chöùng minh (

(

B M laø taäp )

Cho tröôùc

0ε> , do B laø aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc, neân

compact töông ñoái vaø do ñoù hoaøn toaøn bò chaën.

n

Suy ra, toàn taïi sao cho

B M (

)

(

),

.

⊂

i

∪

ε K

i

1 =

⎛ B B u ⎜ i ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(

)

u M y F u ( ) :

Khi ñoù, vôùi moïi

, toàn taïi

, vaø do ñoù toàn taïi

y F M∈

∈

=

sao cho

.

B u ( )

−

≤

i

∈

{ 1,2,...,

} n

B u ( )i

ε K

F u ( )

)

K B u ( )

)

Vì theá,

−

≤

−

≤ , töùc laø ta coù

ε

F u ( i

B u ( i

.

(

)

(

⊂

) ( F M B F u ε

),i

)

(

F M hoaøn toaøn bò chaën neân laø taäp compact töông ñoái.

Nhö vaäy

Do ñoù, theo ñònh lyù Schauder, F coù moät ñieåm baát ñoâïng trong X. Ñònh lyù

ñöôïc chöùng minh.

24

CHÖÔNG 4

PHÖÔNG TRÌNH CAÁP HAI VÔÙI NHIEÃU COMPACT

Ñeå thaáy ñöôïc tính töông töï vôùi baøi toaùn Cauchy caáp moät, ta caàn nhaéc

laïi moät keát quaû sau.

Giaû söû

1) Aùnh xaï

:

→A I

],a b vaø

,λ β

( L E E lieân tuïc vôùi moãi caëp β λ< thuoäc [

)

thoaû:

A t ( )

;

( L E E

)

M −

≤ , λ β λ β

g

:

2) Vôùi moïi

→ lieân tuïc ñeàu vaø thoaû:

) ,λ∈ a b , aùnh xaï

u r 0( , )

E b

[

I B λ×

i)

g t u ( , )

c

,≤

b

t

, , ) I B B u r

∈

⊂

ii)

)

)

vôùi moïi

;

α

m . α≤

0

( λ

]

[ b g t B ( ,

Bλ (

trong ñoù λα laø ñoä ño phi compact Kuratowski treân λE , caùc haèng soá c, M, m,

t r khoâng phuï thuoäc ,

,

Bλβ . ,

Khi ñoù, vôùi moãi

) ,λ ⎡⎣∈ a b , baøi toaùn

A t x g t u t

( , ),

( )

0,

T

+

I ∈ =

=

[

]

du dt u (0)

E

u = ∈0

b

λ∈ a b . ( , )

coù nghieäm ñòa phöông vôùi giaù trò trong λE vôùi moãi

Vieäc chuû yeáu cuûa chöông naøy laø chuùng toâi muoán thay ñoåi moät ít giaû

thieát, chaúng haïn ñieàu kieän ñoä ño phi compact ñöôïc thay bôûi ñieàu kieän

4.1. Ñònh lyù.

25

compact töông ñoái, ñeå phuø hôïp vôùi phöông trình caáp hai. Vôùi yù ñònh thay

ñoåi ñoù, chuùng toâi thu ñöôïc moät keát quaû nhö sau.

Giaû söû

1) Aùnh xaï

:

→A I

thuoäc [

],a b vaø

,β λ

( L E E lieân tuïc vôùi moãi caëp λ β<

)

thoaû:

A t u ( )

u

,

≤

vôùi moïi

β∈u E .

2

λ

β

M ( ) − β λ

,

E laø aùnh xaï lieân tuïc vaø thoaû:

2) Vôùi moïi

λ∈

× → b

[

],

a b h I E : λ

i)

h t u ( , )

t , (

≤

∈ ) I

c 0

b

h t A ( ,

) :

h t u u A t ,(

( , ) :

I

ii)

laø compact töông ñoái trong

=

∈

∈

} )

{

bE ,

vôùi moïi taäp

λ⊂A E bò chaën.

3)

E .∈ b

u u 1, 0

Khi ñoù, vôùi moãi

)

,λ ⎡⎣∈ a b , baøi toaùn

u

( , )

( )

A t u h t u (4.1)

′′ =

+

u

(0)

′ (0)

=

=

; u u 0

u (4.2) 1

b

min

,

=

u

coù nghieäm

E trong ñoù

.

)

T λ

[ T : 0, λ

λ→

⎧ T ⎨ ⎩

λ− ⎫ ⎬ Me ⎭

4.2. Meänh ñeà.

∈u C I E , ta coù aùnh xaï

Moãi λ cho tröôùc thuoäc

)

(

)

, λ

,⎡⎣a b , coá ñònh

töø I vaøo

(cid:54)t

( h t u t , ( )

)

bE lieân tuïc.

Aùp duïng ñònh lyù 3.1 suy ra baøi toaùn

( )

(4.3)

′′ = v

A t v h t u t , ( ) +

(

)

Chöùng minh.

26

v

(0)

′ (0)

=

=

u v ; 0

u (4.4) 1

)

coù nghieäm duy nhaát

E vôùi

,β∈ a b . (

: v Fu =

→

β

)

⎡ : 0, β T ⎣

0

b

,

; choïn

vaø ñònh

> sao cho

ε

0, δ>

Kyù hieäu d

Me

+ <

<

λ ε

δ

=

T + λ ε

nghóa F treân

) C I E nhö sau

(

, λ

[

] δ

( , δ

(4.3) (4.4), neáu t 0, ; − ∈ Fu t ( ) neáu t Fu T . ∈ ( ), δ nghieäm cuûa baøi toaùn ] ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪⎩

∈t

Aùp duïng ñieàu kieän (3.3) vôùi kyù hieäu (3.5) cuûa ñònh lyù 3.1, ta coù

0,δ⎡ ⎤ ⎦ ⎣

2

Fu t ( )

u t ( )

c

sup

;

s

0,

t

−

≤

+

∈

( h s u s , ( )

)

[

λ

{

} ]

b

b ( ) − λ 2 d 2

td

)

b 2(

b − λ − − λ

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

2

≤

c 0

)

b ( ) − λ 2 2 d

td

2( b

b − − λ ε − − − λ ε

⎡ c +⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

=

Vôùi thì

k t Do ( )

td

)

2(

b

− − λ ε b − − − λ ε

laø haøm taêng theo t, neân ta suy ra

∈t

Fu t ( )

u t ( )

C C vôùi moïi

.

−

≤

0,δ⎡ ⎤ ⎦ ⎣

1

2

λ

2

,

,

C

=

c = +

C 1

2

)

2( b

) ( b − λ 2 2 d

b − − λ ε d λ ε δ − − −

∈t

T , ta coù

trong ñoù .

( ,δ ⎤⎦

Fu t ( )

u t ( )

Fu

u

u

u t ( )

−

≤

( ) δ

−

( ) δ

+

( ) δ

−

λ

λ

λ

Vôùi

2

c

Fu t ( )

u t ( )

c 2

−

≤

+

+

c 0

λ

( ) b − λ 2 d 2

)

b 2(

b − − λ ε d − − − λ ε δ

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞⎛ ⎟⎜ ⎝ ⎠

∈t

Neân

T (4.5)

Fu t ( )

u t ( )

2

c , vôùi moïi

−

≤

+

C C 1

2

0,⎡ ⎣

⎤ ⎦

λ

Nhö vaäy

27

,Fu Fv laø nghieäm cuûa (4.1) vôi ñieàu kieän (4.2) thì baøi toaùn

w A t w h t u t , ( )

+

−

)

( h t v t

) , ( ) ;

′′ = (0)

w

( ) ′= w

( (0) 0 =

Neáu

. coù nghieäm laø Fu Fv−

2

(

( ) Fu t

( ) Fv t

−

≤

−

( , ( ) h s u s

)

( , ( ) h s v s

)

λ

{

}

b

2

) b − λ 2 2 d

td

b

b − λ − − λ

sup [ t s 0, ∈

]

)

(

2

≤

−

( , ( ) h s u s

)

( , ( ) h s v s

)

{

}

b

2

) b − λ 2 2 d

b

b − λ d − − λ δ

sup [ t s 0, ∈

]

)

(

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ( ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Aùp duïng laïi kyù hieäu (3.5) keát hôïp ñieàu kieän (3.3) cuûa ñònh lyù 3.1, ta coù

2

( ) Fu t

( ) Fv t

b

−

≤

−

−

Do ñoù

(

) λ

)

λ

}

) ( , ( ) h s v s b

t

0,

C 1 2 2 d

{ ( , ( ) sup h s u s [ s ∈

]

(4.6)

( ,

C I E vôùi chuaån

u

=

=X λ

) λ

λ

λ

sup u t ( ) I t ∈

Kyù hieäu

X

h t u t

Ta seõ chöùng minh aùnh xaï F lieân tuïc töø λX vaøo λX

: H X

,

( ) Hu t

( , ( ))

=

b

λ →

Xeùt aùnh xaï .

c H .

H (4.7)

−

≤

−

F u

F v

u

v b

λ

Töø (4.6) , ta suy ra

Do ñoù ta chæ caàn chöùng minh H lieân tuïc.

0ε> , baèng phaûn chöùng ta chöùng minh

λ∈u X . Cho soá

v X

,

,

I (4.8)

v u −

Coá ñònh

t ∀ ∈

0 : δ ∃ > ∀ ∈

δ < ⇒

ε

( h t v t , ( )

)

( h t u t , ( )

)

λ

λ

b

I

− <

X vaø daõy { } ⊂nt

λ⊂nv

Neáu (4.8) khoâng ñuùng, thì ta tìm ñöôïc daõy { }

sao cho

28

,

)

)

ε

)

)

v n

( ( , h t v t n

n

n

( , ( h t u t n

n

b

u λ−

1 n

I . Khi ñoù , ta coù :

(4.9) < − ≥

nt

t 0→ ∈

)

)

)

)

)

)

)

)

( u t

( u t

( u t

( u t

( u t

( u t

Khoâng maát tính toång quaùt ta coù theå coi

( v t n

n

0

( v t n

n

n

0

n

n

0

1 ≤ + n

− ≤ − + − −

u t lim (

)

u t

=

Keát hôïp vôùi tính lieân tuïc cuûa u , ta suy ra

)

=

n v t lim ( n

n

( ) 0 u t ( ) 0

)

h I E

:

(4.10)

E lieân tuïc taïi (

)

t u t , ( 0

0

λ× → b

)

)

)

)

0

, neân ta coù Haøm

)

)

)

)

( h t v t , ( n

n

n

( h t u t , ( n

n

( h t u t , ( 0

0

( h t u t , ( 0

0

b

b

lim n →∞

− = − =

Ñieàu naøy maâu thuaån vôùi (4.9).

Nhö vaäy F lieân tuïc.

(

Fu

( )

′′ = )

A t Fu h t u t , ( ) +

)

Fu

(

)(0)

u Fu ;(

( ′ ) (0)

=

=

0

u 1

Maët khaùc , do

I ∈ =

0, T⎡ ⎣

⎤ ⎦

t

s

t

s

t

s

(

Fu

, ta coù Neân vôùi moïi , ' t t

ds

A

Fu d )

ds

h

d

ds

d τ τ

( )( τ

τ

( , ( )) u τ τ τ

'

0

'

0

'

0

t

t

t

∫

∫

∫

∫

∫

∫

′′ ) ( ) = +

)

)

)

(

(

(

t

t

s

t

s

⇒

(

Fu s ds u t

t

'

A

Fu d )

ds

h

ds .

( )( τ

τ

( , ( )) d u τ τ τ

1

'

'

0

'

0

t

t

t

∫

∫

∫

∫

∫

′ ) ( ) − − = +

)

)

(

(

t

s

t

Fu t ( )

Fu t

′ ( )

ds

t

'

A

( ) τ

τ

−

≤

+

−

c s ds u t + 0

1

λ

Fu d λ

'

'

0

t

t

∫

∫

)

(

t

t

ds

t

'

+

−

≤

∫

c s ds u t + 0

1

s 0

2

Fu d β

(

) τ

t

t

'

'

∫

∫

∫ M ( ) β λ −

Laàn löôït aùp duïng giaû thieát 2i) vaø 1) của mệnh đề, ta ñöôïc

λ∈

β λ ε

= + < , ta coù b

),a b

[

Ta thaáy, (4.5) ñuùng vôùi moïi neân vôùi

29

t

s

t

Fu t ( )

Fu t

u t ( )

ds

t

τ

C C 1

2

c s ds u t + 0

1

b

λ

t

t

'

0

'

∫

∫

∫

′ ( ) 2 ' − ≤ + + + − ⎤ c d ⎦ ⎡ ⎣

)

t

t

t

'

≤

+

+

−

] c sds 3 .

( [

C C 1

2

c s ds u t + 0

1

t

t

'

'

∫

∫

t

t

t

'

≤

+

+

+

−

[

] c T ds 3 .

C C 1

2

c T ds u t 0

1

t

t

'

'

∫

t

'

≤

−

M 2 ε M 2 ε M ∫ 2 ε C t 3

c C C

)

C 3

1

2

c T u . + 0

1

( 2 3

MT ε

c C C

trong ñoù = + +

I ∈ =

)

C 3

1

2

c T u , ta coù 0 1

0, T⎡ ⎣

⎤ ⎦

( 2 3

MT ε

′

Fu t ( )

Fu t

′ ( )

t

−

≤

− . (4.11)

C t 3

λ

, = + + + Do ñoù, vôùi moïi , ' t t

( ,

C I Eλ thoaû: )

I ∈ =

u t ( )

u t

( ')

t

'

−

≤

− vôùi , ' t t

C t 3

0, T⎡ ⎣

⎤ ⎦

λ

Ta goïi K laø taäp hôïp caùc haøm u thuoäc

thì K loài, ñoùng vaø bò chaën.

Hôn nöõa, F lieân tuïc töø K vaøo K .

F K compact töông ñoái trong

X C =

[

] T Eλ ,

λ

(

)

) 0, Ta seõ chöùng minh ( .

δ =

ε 3c

t t , '

t

I∈

. Vôùi 0ε> cho tröôùc, u K∈ , ta choïn 1

t δ ' − < 1

Fu t ( )

Fu t

′ ( )

−

≤ . ε

λ

,Fu u K∈ lieân tuïc ñoàng baäc.

thoaû thì töø (4.11), ta coù Neáu vôùi moïi

}

( ),

:

t ∀ ∈

u K ∈

Ñieàu ñoù chöùng toû {

{ I Hu t

}

u K

( ),

:

t ∀ ∈

∈ cuõng compact töông ñoái.

Ta caàn chöùng minh compact töông ñoái trong Eλ,

{ I Fu t

}

roài keát hôïp (4.7) ñeå suy ra

X λ⊂

Ta coù K laø taäp bò chaën.

30

K

t

T u K

'

( ) :

0,

,

=

∈

∈

⊂ laø taäp bò chaën. Vaø do ñoù, aùp

[

]

Eλ

{ u t

}

( , ) :

h t v v K∈

Khi ñoù,

} '

Hu t u K

( ) :

h t v v K ( , ) :

∈

=

u K ∈

⊂

∈

laø taäp compact töông ñoái. duïng giaû thieát 2.ii) ta coù {

}

) , ( ) :

{

} '

{ ( h t u t

}

( ) :

Maø {

}

Hu t u K∈ laø taäp compact töông ñoái trong Eλ.

Neân {

Aùp duïng ñònh lyù Schauder, ta thaáy F coù ñieåm baát ñoäng trong K. Ñieåm

]0,δ vôùi giaù trò trong Eλ.

baáe ñoäng ñoù chính laø nghieäm treân [

31

CHÖÔNG 5

MOÄT SOÁ ÖÙNG DUÏNG

Nhieàu baøi toaùn veà beà maët cuûa soùng nöôùc, phöông trình truyeàn nhieät,

cuûa lyù thuyeát phöông trình ñaïo haøm rieâng vôùi caùc toaùn töû giaû phaân v.v…

ñöa ñeán vieäc nghieân cöùu caùc baøi toaùn Cauchy trong thang caùc khoâng gian

Banach. Trong chöông naøy, ta xeùt ñeán öùng duïng cho phöông trình

Kirchhoff. Baøi toaùn öùng duïng naøy ñöôïc xeùt trong thang cuûa caùc khoâng gian

caùc haøm trong lôùp Gevrey.

n

5.1. Thang cuûa caùc khoâng gian caùc haøm trong lôùp Gevrey.

(Ω laø lôùp caùc haøm

Ω ⊂ (cid:92) laø moät taäp con môû, ta kyù hieäu A )

Giaû söû

thöïc thoaû:

nα∈ (cid:96) (5.1)

K

c

0 :

α D u

K

0, ∃ > ∃ >

≤

! α α c

v

x

sup

( ) : v x

=

,...,

, vôùi moïi

=

∈ (cid:96) n

(

)

, α α α α 1 n

2

{

} ∈Ω

trong ñoù ta giaû söû vaø vôùi

=

+

=

+ + ...

α α α α α α α n 2

2

1

1

α n

ta ñònh nghóa . !... !, ! !

u C ∞∈

u

α D u

( Vôùi ) Ω 0λ> baát kyø, ta kyù hieäu Eλ laø khoâng gian caùc haøm

λ

n

α λ ! α

thoaû : = < ∞ ∑ (cid:96) α ∈

)Eλ laäp thaønh moät thang caùc khoâng gian Banach. Hôn

Ta bieát raèng hoï (

cλ< , ta coù

i

α

α

nöõa, neáu haøm u thoaû ñieàu kieän (5.1), thì vôùi

u

α D u

K

i (

λ

∞ ∑ 0 i =

c ! α

λ ⎞ ⎟ c ⎠

λ ⎞ ⎟ c ⎠

1) , = ≤ + < ∞ ∑ α ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝

λ∈u E .

Neân

32

(

) Ω = ∪

>

{

} 0

E : λ λ

. Do ñoù, ta coù A

,

a b ,

λ∈

[

]

E , . λ

)

λ

coù caùc tính chaát sau Boå ñeà. Thang caùc khoâng gian Banach (

,u v Eλ∈ thì

.u v Eλ∈ vaø ta coù

,a b sao cho vôùi

1) Neáu , u v . u v . ≤

a

b λ β≤ < ≤ , ta coù

,

,

u

u Δ

≤

u Eβ ∈

2 .

λ

β

M ( ) − β λ

2) Toàn taïi moät haèng soá 0M > chæ phuï thuoäc vaøo

trong ñoù Δ laø toaùn töû Laplace.

Chöùng minh.

− α δ

α D uv (

)

δ δ c D u D v , . . α

= ∑ ≤ δ α

1) Ta coù

,...,

,...,

,

,

≤ =

=

(

(

)

i , vôùi

2

1

2

1

) δ δ δ δ α α α α n

n

,...,

1,=i

n vaø khi ñoù

trong ñoù ñònh nghóa neáu δ α≤i

− =

−

−

(

)

2

1

2

1

, α δ α δ α δ α δ n

−n

. moïi

− α δ

α D uv

δ D u

.

− α δ D v

≤

Do ñoù,

∑ α

∑ ∑ ≤ α δ α

)!

α λ ! α

δ λ ! δ

λ ( − α δ

(5.2)

Baèng quy taéc nhaân hai chuoãi, veá phaûi cuûa (5.2) chính laø .u v vaø do ñoù

u v . u v . . ≤

,...,

=

(

)

2

, α α α α n 1

Vôùi moät ña chæ soá , ta ñaët 2)

α

)

( α α α n

2

1

,..., 2, , khi ñoù ta coù 2 + = +

33

2

α

+

2

2

2

+

+

)

2

α

( α 1

.

.

D

+ α D u

≤

2)!

α λ ! α

λ β

)( 1 α 1 2 λ

+ α β ( α +

u ∂ 2 x ∂ 1

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

t

(5.3)

2 t a=

t

4

2

sup

:

0

t

t

≥

=

2

2

λ β

ln(

e

) / λ β

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(

)

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

f t ( ) vôùi a<1 thì ñöôïc Xeùt söï bieán thieân cuûa

Aùp duïng tính ñoàng bieán cuûa haøm soá g t ( ) ln t 1 t = − + treân (0,1) thì coù

2

2

2

2

2 4 β ( ) β λ −

(

)

4 ≤ e ln( e / ) λ β

t

2

t

:

0

sup

≥

≤

2

2

e

λ β

2 4 β ) ( β λ −

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

⎧ ⎪ t ⎨ ⎪ ⎩

Do ñoù,

2

2

α

+

+

2

2)

+

( α α

)2

( α α + 1

1

≤

≤

2

2

e

λ β

1)( 2 λ

λ β

+ 2 λ

2 4 β 2 ) ( λ β λ

−

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Suy ra

2

u

4

n

u Δ

≤

2

λ

b ea

β ( ) β λ −

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Do ñoù, töø (5.3) ta suy ra

Boå ñeà ñöôïc chöùng minh.

5.2. Baøi toaùn Cauchy cho caùc phöông trình Kirchhoff môû roäng.

f

2 u dx

u t x

t x ( , ), ( , )

0,

T

,

t x ,

,

=

∇

. Δ

∈

Ta xeùt baøi toaùn Cauchy:

[

]

2 ( , ) D u t x t

x

x

× Ω ≡ Ω T

∫ P

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

u

x (0, )

u x D u ( ),

x (0, ),

(5.4)

=

x . ∀ ∈Ω

0

t

(5.5)

34

,ΩP laø taäp con môû cuûa (cid:92)n vaø ⊂ ΩP

+

(cid:92)

f

:

trong ñoù laø taäp bò chaën. Vôùi haøm

Ω × →(cid:92)

T

+

f

(., )

(

)

(

, ta giaû söû caùc giaû thieát sau ñaây ñöôïc thoaû maõn

∞∈ u C

Ω

t x ( , )

0,

T

∈

× (cid:92)

)H 1

[

]

(cid:92)

u

(.,., )

u thuoäc vaøo

vôùi moïi vaø moïi α∈ (cid:96)n haøm

C

)

+ Ω C , (

α(cid:54) x D f

T

(

)

α

. töû

c

0,

K

0

(

>

>

K

t x u ( , , )

≤

)H 2

xD f

! α α c

+

t x u ( , , )

Toàn taïi sao cho vôùi moïi

∈ Ω × (cid:92)T

vaø moïi α∈ (cid:96)n .

(

(

)H thoaû maõn. Khi ñoù, toaùn töû

5.2.1. Boå ñeà.

)H , 1

2

C

,

Giaû söû caùc giaû thieát

Bu t ( )

f

t x ,

,

2 u dx

=

]

( [ 1 0,

) T E vaøo a

x

∇∫ P

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

C

0,

,

a b c .

T E vôùi 0 < < <

[

]

b

(

)

1

sup

Bu t ( )

:

0,

,

0,

T

laø hoaøn toaøn lieân tuïc töø

u C ∈

∈

< ∞

[

]

[

(

) T E t , a

{

} ]

b

C

C

,

0,

,

T E ta xeùt chuaån thoâng thöôøng

]

[

]

b

( [ 1 0,

) T E vaø a

(

)

u

sup

u t ( )

′ u t ( )

:

t

0,

T

,

u

sup

u t ( )

:

t

0,

=

+

∈

=

∈

[

[

{

} ]

{

} ] T .

a

a

a

a

b

. Trong ñoù, trong Hôn nöõa,

Chöùng minh.

T , tröôùc heát ta chöùng minh raèng toaùn töû

]0,=I [

2

(cid:92)

:

,

,

,

Fu t ( )

u t x ( , )

dx

→

( C I

)

( 1 F C I E

)

= ∇∫

a

x

P

Ñaët

,

laø hoaøn toaøn lieân tuïc.

V C I E laø taäp con bò chaën vaø

u

⊂

r vôùi moïi ∈u V .

≤

(

)

1

a

a

Giaû söû

u t

u t x ( , )

( ,.)

≤

a

1 a

∂ x ∂ i

Do , neân ta coù

35

2

2

u t

( ,.)

v t ( ,.)

, ∈u v V .

−

≤

−

r 2

a

2 a

( , ) u t x ∂ x ∂ i

( , ) v t x ∂ x ∂ i

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

vôùi moïi

( ) Fu t

( ) Fv t

I vaø moïi

, ∈u v V .

−

≤

u v −

Vaø do ñoù,

a

nr mesP 2 . 2 a

vôùi moïi ∈t

Ñieàu ñoù chöùng toû toaùn töû F lieân tuïc. Töông töï, theo ñònh lyù giaù trò trung

2

2

2

t

s

I .

−

≤

−

bình, ta coù

r 2 2 a

u t x ( , ) ∂ x ∂ i

u s x ( , ) ∂ x ∂ i

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

vôùi moïi ∈u V vaø moïi , ∈t s

2

2

Fu t ( )

Fu s ( )

t

s

−

≤

−

I .

Vì theá,

nr mesP . 2 a

vôùi moïi ∈u V vaø moïi , ∈t s

Töø ñoù, aùp duïng ñònh lyù Ascoli-Arzeøla, ta coù taäp F(V) laø compact töông

( , (cid:92)C I

)

ñoái trong .

Cuoái cuøng ta chöùng minh tính lieân tuïc vaø bò chaën cuûa toaùn töû

,

,

Gu t ( )

f

t x u t , , ( )

→

=

( G C I :

)

(

)

)

( C I E , b

(

(cid:92) .

)H raèng

2

α

α

α D f

K

Gu t ( )

t x u t , , (

Suy ra töø giaû thieát

I

=

≤

∈t

(

) .

b

∑ α

α

b c

b ! α

⎛ ∑⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

vôùi moïi vaø moïi

(cid:92)

)

sup

Gu

:

u C I ( , ∈

u C I ( , ∈

< ∞

{

} )

b

r u t , ( )

(cid:92) , vaø do ñoù .

r

≤

≤

( , (cid:92)C I

)

mu t ( )

veà moät haøm u vaø Giaû söû daõy hoäi tuï trong

I vaø moïi ∈ (cid:96)m

0ε> cho tröôùc, tröôùc heát ta choïn

0n ñuû

. Vôùi vôùi moïi ∈t

lôùn thoaû

36

α

α

α D f

α D f

K

t x u t , ( ) ,

t x u t , , ( )

2

−

≤

<

(

)

(

)

m

α

α

∑ n 1 ≥ + 0

n 1 ≥ + 0

b c

ε 2

b ! α

⎛ ∑ ⎜ ⎝

.

⎞ ⎟ ⎠ n töø +(cid:92) vaøo

(

)H haøm töû

(cid:54)u

α D f

u (.,., ),

α ≤

0

1

)ΩTC (

Theo giaû thieát

]0, r . Do ñoù, vôùi m ñuû lôùn ta coù

α

α D f

, ( ) , t x u t

α D f

, ( ) , t x u t

−

<

I .

lieân tuïc ñeàu treân [

(

)

(

)

m

∑ n ≤ α 0

ε 2

b ! α

, vôùi moïi ∈t

( )

0

Gu t Gu t ( ) −

=

m

b

m

→∞

Ñieàu naøy chöùng toû G lieân tuïc, do Vì vaäy, lim sup

0=B G F hoaøn toaøn lieân tuïc. Boå ñeà ñöôïc chöùng minh.

ñoù

2

5.2.2. Ñònh nghóa.

)Ω ) neáu

0λ> tuyø yù.

∈u C I E vôùi

2( , ∈u C I A (

(

)

, λ

Ta vieát

5.2.3. Ñònh lyù.

)Ω . Khi ñoù,

(

(

)H thoaû maõn vaø

)H , 1

2

u u A ( 0

1, ∈

Giaû söû caùc giaû thieát

T sao cho baøi toaùn Cauchy cho phöông trình Kirchhoff môû roäng

' ≤T

toàn taïi

)Ω )

∈u C

[ 2 ( 0,

] T A ( ' ,

,

λ∈

a b , trong ñoù λE ñöôïc ñònh nghóa trong muïc ( , )

E , . λ

(5.4)-(5.5) coù moät nghieäm

)

λ

E . Baøi toaùn Cauchy (5.4)-(5.5) coù

Chöùng minh. Xeùt thang (

u u 0

1, ∈ b

3.1 vaø

A u v ( , )