ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------------
NGUYỄN THỊ SEN
BÀI TOÁN DƯỚI THÁC TRIỂN
ĐỐI VỚI LỚP
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ----------------------------
NGUYỄN THỊ SEN
BÀI TOÁN DƯỚI THÁC TRIỂN
ĐỐI VỚI LỚP
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2017
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ
công trình nào.
Tác giả
i
Nguyễn Thị Sen
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này
tôi xin cám ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường THCS Phú Lâm- Bắc Ninh cùng các
đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và
hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên
để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2017
ii
Tác giả
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
1 MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2
3. Phương pháp nghiên cứu 2
4. Bố cục luận văn 3
4 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hòa dưới 4
1.2. Hàm đa điều hòa dưới cực đại 7
1.3. Hàm cực trị tương đối 10
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức 14
1.5. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 16
21 Chương 2. BÀI TOÁN DƯỚI THÁC TRIỂN TRONG LỚP
2.1. Các lớp Cegrell 21
24 2.2. Dưới thác triển trong lớp
26 2.3. Dưới thác triển trong lớp
40 KẾT LUẬN
iii
41 TÀI LIỆU THAM KHẢO
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cho là các miền trong và . Một hàm
được gọi là dưới thác triển của nếu với mọi thì
. Năm 1980, Elmir [9] đã đưa ra ví dụ về hàm đa điều hòa dưới trên
song đĩa đơn vị mà hạn chế lên một song đĩa nhỏ hơn không có dưới thác triển
lên toàn bộ không gian. Bài toán dưới thác triển trong lớp đã được giới
thiệu bởi Cegrell và gần đây bài toán này nhận được sự quan tâm nghiên cứu
của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Năm 2003, Cegrell và A.Zeriahi
[7], đã chứng minh rằng nếu là các miền siêu lồi bị chặn trong với
và thì tồn tại sao cho trên và
Năm 2005, U. Cegrell, S. Kolodziej và A. Zeriahi
trong [6, Định lý 5.1] đã chỉ ra rằng các hàm đa điều hòa dưới trong lớp
có dưới thác triển toàn cục tới với cấp tăng logarithm tại vô cùng. Đối với lớp
, bài toán dưới thác triển được nghiên cứu bởi P.H.Hiệp [13]. Tác
giả đã chứng minh rằng nếu là các miền siêu lồi và
thì tồn tại một hàm sao cho trên và
Năm 2009, S.Belnekourchi [2] đã
đạt được kết quả về dưới thác triển trong các lớp năng lượng đa phức có trọng
. Bài toán dưới thác triển liên quan tới các giá trị biên được quan tâm trong
1
những năm gần đây. Năm 2008,R. Czyz và L. Hed trong [8] đã chỉ ra rằng nếu
và là hai miền siêu lồi bị chặn sao cho và
với các giá trị biên có thác triển với các giá
trị biên , trong đó là lớp các hàm đa điều
hòa dưới cực đại trên . Năm 2006, J.Wiklund [15] đã chứng minh rằng bài
toán dưới thác triển không thể thực hiện trong lớp . Cụ thể là, với một
miền siêu lồi tùy ý, tác giả đã xây dựng một hàm trong không có
dưới thác triển tới một miền rộng hơn. Gần đây, dựa trên ý tưởng của
J.Wiklund [15], L. Hed đã cho ví dụ chỉ ra rằng bài toán dưới thác triển không
thực hiện được trong lớp con hẹp hơn của (xem ví dụ 5.2 trong
[10]). Như vậy, bài toán dưới thác triển luôn thực hiện được trong
và , nhưng không phải lúc nào cũng thực hiện được trong . Theo
hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn “Bài toán dưới thác triển trong lớp ”
làm đề tài nghiên cứu của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán dưới thác triển trong lớp và bài toán dưới
thác triển trong lớp .
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
+ Trình bày một số tính chất và kết quả cơ sở trong lý thuyết đa thế vị
+ Trình bày một số kết quả về bài toán dưới thác triển trong các lớp
và .
3. Phương pháp nghiên cứu
2
Sử dụng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, được viết chủ yếu dựa
vào các tài liệu [1], [7] và [12].
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất
của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương
đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford và Taylor.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. trình bày một số kết quả
về các lớp Cegrell, bài toán dưới thác triển trong lớp , bài toán dưới
thác triển trong lớp . Cụ thể là trong mục 2.1, trình bày một vài lớp các
hàm đa điều hòa dưới đã được giới thiệu và nghiên cứu bởi Cegrell cùng
với lớp . Bài toán dưới thác triển trong lớp , được trình bày
trong mục 2.2. Trong mục 2.3, chúng tôi trình bày một số kết quả về lớp
và bài toán dưới thác triển trong lớp .
3
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hoà dưới
Định nghĩa 1.1.1. Cho là một tập con mở của và là
một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên
thông nào của . Hàm được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi và
, hàm là điều hoà dưới hoặc trùng trên mỗi thành
phần của tập hợp .
Kí hiệu là lớp tất cả các hàm đa điều hoà dưới trong .
Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:
Mệnh đề 1.1.2. Nếu và hầu khắp nơi trong , thì
.
Mệnh đề 1.1.3. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền
bị chặn, tức là nếu và là một tập con mở liên thông bị chặn của
, thì hoặc là hằng hoặc với mỗi ,
.
Định lý 1.1.4. Cho là một tập con mở trong . Khi đó
Họ là nón lồi, tức là nếu là các số không âm và
4
, thì .
Nếu là liên thông và là dãy giảm, thì
hoặc .
Nếu , và nếu hội tụ đều tới trên các tập
con compact của , thì .
Giả sử sao cho bao trên của nó là bị
chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên là đa điều hoà
dưới trong .
Mệnh đề 1.1.5. Giả sử là tập mở, là tập con mở thực sự, khác
rỗng của . Giả sử và với
mọi . Khi đó
là hàm đa điều hoà dưới trên .
Chứng minh. Rõ ràng là nửa liên tục trên trên . Chỉ cần chứng tỏ nếu
sao cho thì
5
Với , chọn đủ bé để
Khi đó
Từ đó .
Chứng minh tương tự cho trường hợp , ở đó là bao đóng của
. lấy trong . Chỉ cần xét trường hợp . Khi đó
Vậy
và mệnh đề được chứng minh.
Định lý 1.1.6. Cho là một tập con mở của .
Cho là các hàm đa điều hoà trong và . Nếu là lồi, thì
là đa điều hoà dưới trong .
Cho , , và trong . Nếu là lồi
và tăng dần, thì là đa điều hoà dưới trong .
Cho , trong , và trong . Nếu
là lồi và , thì .
6
Định lý 1.1.7. Cho là một tập con mở của và
là một tập con đóng của ở đây . Nếu là bị
chặn trên, thì hàm xác định bởi
là đa điều hoà dưới trong .
1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại
Định nghĩa 1.2.1. Cho là tập mở và . Ta nói là hàm
đa điều hòa dưới cực đại trên và viết nếu với mọi tập con
mở, compact tương đối và mọi hàm nửa liên tục trên trên ,
và trên thì trên .
Trường hợp thì tập trùng với tập các hàm điều hòa trên .
Sau đây là một số tính chất của hàm đa điều hoà dưới cực đại:
Mệnh đề 1.2.2. Cho là tập mởvà . Khi đó các khẳng định
sau là tương đương:
Với mọi tập con mở compact tương đối và mọi hàm ,
nếu với mọi , thì trong G ;
Nếu và với mỗi tồn tại một tập compact sao
cho trong , thì trong .
Nếu , G là một tập con mở compact tương đối của , và
7
trên thì trong G ;
Nếu , G là một tập con mở compact tương đối của , và
với mỗi , thì trong G ;
là hàm cực đại.
Chứng minh. . Giả sử thỏa mãn giả thiết của và giả
sử sao cho . Đặt
Theo giả thiết có compact sao cho với mọi thì
. Vậy và do đó là tập compact trong . Tồn tại tập mở,
compact tương đối chứa . Trên ta có .
Theo giả thiết , trên và ta gặp mâu thuẫn vì mà
.
. Giả sử , là tập mở, compact tương đối trong và
trên . Đặt
Theo Mệnh đề 1.1.5 ta có . Với , lấy là tập compact
. Do đó bởi giả thiết trong và với
8
trên .
. Giả sử và sao cho
đúng cho mọi . Khi đó . Đặt
Khi đó theoMệnh đề 1.1.5, . Dễ thấy trên . Vậy
trên và do đó trên
. Giả sử là tập mở, compact tường đối và là hàm nửa liên
tục trên trên và trên . Do tính compact tương đối của
, ta có thể coi là liên tục trên và trên . Thật vậy
nếu trái lại ta xét họ với . Nếu ta
chứng tỏ trên , thì trên vì trên ta có . Từ
giả thiết trên
nên với . Do đó hàm
là đa điều hoà dưới trên . Ta thấy với mọi . Thật
vậynếu không có và dãy mà
với mọi . Từ đó .
Cho ta có và gặp mâu
9
thuẫn. Vậy từ giả thiết trên và chứng minh hoàn thành.
. Giả sử , và với mọi
. Lại có thể coi liên tục trên . Khi đó xét
Khi đó và nửa liên tục trên trên . Mặt khác từ
kéo theo tại mọi . Từ đó suy ra
trên , do đó trên .
1.3. Hàm cực trị tương đối
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử và là tập con của . là một tập con mở của
Hàm cực trị tương đối đối với trong được định nghĩa là:
( ).
Hàm là đa điều hoà dưới trong .
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối.
Mệnh đề 1.3.2. Nếu thì .
Định nghĩa 1.3.3. Miền bị chặn gọi là miềnsiêu lồi nếu tồn tại một
hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục sao cho với
.
Mệnh đề 1.3.4. Nếu là miền siêu lồi và là một tập con compact tương đối
10
của , thì tại điểm bất kỳ ta có
.
Chứng minh. Nếu , thì với số nào
đó, trên là một hàm vét cạn đối với trong . Như vậy . Rõ ràng,
và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm.
Mệnh đề 1.3.5. Nếu là miền siêu lồi và là một tập compactsao
cho là hàm liên tục. thì
Chứng minh. Lấy và ký hiệu là họ các hàm . Giả sử
là hàm xác định của sao cho trên K. Khi đó . Chỉ trong
cần chứng minh rằng với mỗi tồn tại . Sao cho
trong . Thật vậy, lấy tồn tại sao cho
trong và , trong đó
.
Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini
có thể tìm được sao cho trên và
trên . Đặt
Khi đó C( ) ∩ Fvà như vậy
11
tại mỗi điểm trong .
Mệnh đề 1.3.6. Cho là tập mở liên thông, và . Khi đó các
điềukiện sau tương đương:
;
Tồn tại hàm âmsao cho
Chứng minh. là hiển nhiên. Thật vậy, nếu như ở trên , thì
với mọi , từ đó hầu khắp nơi trong . Như vậy
. Bây giờ giả sử . Khi đó tồn tại sao cho
. Bởi vậy, với mỗi , có thể chọn một sao cho
và .
Đặt
Chú ý rằng , âm trong , và .
Đồng thời là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều
hoà dưới. Vì nên ta kết luận .
Mệnh đề 1.3.7. Cho là tập con mở liên thông của . Giả sử ,
trong đó với . Nếu với mỗi , thì .
Chứng minh. Chọn sao cho và . Lấy điểm
12
. Bằng cách mở rộng mỗi hàm bởi một hằng số
dương thích hợp, ta có thể giả thiết . Khi đó
, và .Suy ra .
Mệnh đề 1.3.8. Cho và là tập con siêu lồi của là một tập con compact
của . Giả thiết rằng sao cho là một dãy tăng những tập con mở của
và . Khi đó .
Chứng minh. Lấy điểm . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng
. Giả sử là một hàm vét cạn đối với sao cho
trên . Lấy sao cho . Khi đó tồn tại sao cho
tập mở là tập compact tương đối trong . Lấy
sao cho trên và trên . Khi đó
xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa và . Như vậy
. Vì là một phần tử tuỳ ý của họ , nên ta có
Do đó ta có với mọi và
13
nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh.
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức
Giả sử và . Nếu thì toán tử:
,
với là yếu tố thể tích trong gọi là toán tử Monge-Ampere. Toán tử này
có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian các hàm liên tục với giá compact trên
.
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu là đa điều hoà dưới bị chặn
địa phương trên thì tồn tại dãy sao cho
và hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là:
.
Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy như trên, ta ký hiệu:
và gọi là toán tử Monge-Ampe của .
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe.
Mệnh đề 1.4.1. Giả sử là dạng lớp trên tập mở
và là dòng với . Khi đó
14
.
Mệnh đề 1.4.2. Giả sử là dãy các độ đo Radon trên tập mở hội
tụ yếu tới độ đo Radon . Khi đó
Nếu là tập mở thì .
Nếu là tập compact thì .
Nếu compact tương đối trong sao cho thì
.
Chứng minh. Ta có . Giả sử là tập
compact. Lấy , và trên . Khi đó
.
Từ đó
.
. Giả sử là một lân Ta có
cận mở của và và trên . Khi đó ,
.
Từ đó
.
15
Viết . Khi đó
.
Mặt khác
.
Từ đó
.
Mệnh đề 1.4.3. Giả sử là miền bị chặn và
sao cho trên và . Giả sử là dòng
dương, đóng trên . Khi đó
.
Đặc biệt, nếu thì .
1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor
Định lý 1.5.1. Giả sử là miền bị chặn và sao
cho . Khi đó
. (1.1)
Chứng minh. Theo giả thiếtta có , nghĩa là với mọi
tồn tại sao cho thì . Hơn nữa khi
16
thay bởi , thì khi . Nếu bất đẳng
thức (1.1) đúng trên thì cho suy ra (1.1) đúng trên
. Vì vậy có thể giả sử . Vậy
.
Giả sử là các hàm liên tục. Khi đó là tập mở, liên
tục trên và trên . Với , đặt .
Từ giả thiết suy ra hay
với gần biên . Vậy gần biên
và trên . Theo công thức Stokes ta có
, hay
.
Vì nên . Vậy ta có
.
Giả sử tùy ý và là miền sao cho . Tồn tại
hai dãy và các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của giảm tới
và sao cho trên với mọi . Có thể coi . Lấy
và giả sử là tập mở sao cho , là các hàm liên
tục trên . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên sao cho
17
trên . Ta có:
.
Nhưng và vì là tập mở nên
,
vì và hội tụ yếu tới .
Từ và suy ra
.
Áp dụng vào các hàm liên tục và ta thu được
.
Do đó
.
Hơn nữa
18
và do là tập compact và nên ta có
.
Do tùy ý nên ta được
.
Từ đó với mọi ta có
.
Nhưng
và
khi . Do đó
.
Hệ quả 1.5.2. (Nguyên lý so sánh). Giả sử là miền bị chặn trong và
sao cho ,
trên . Khi đó trên .
Chứng minh. Đặt , với được chọn đủ lớn sao cho
trên . Giả sử . Khi đó có sao cho
19
và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Theo Định lí 1.5.1 ta có
và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy trên .
Hệ quả 1.5.3. Giả sử là miền bị chặn và sao
cho và . Khi đó trên .
Chứng minh. Tương tự như trong Hệ quả 1.5.2. Giả sử . Khi đó
có sao cho và do đó có độ đo Lebesgue dương. Chú
. Khi đó như chứng minh của ý rằng do nên
Hệ quả 1.5.2 ta có
20
và ta gặp mâu thuẫn.
Chương 2
BÀI TOÁN DƯỚI THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI LỚP
Nội dung của chương này trình bày bài toán dưới thác triển đối với lớp
(xem Định lý 2.2.2), một vài kết quả về lớp và nghiên cứu bài toán
dưới thác triển đối với lớp , trong đó là hàm đa điều hòa dưới âm trong
miền siêu lồi bị chặn . Kết quả chính của chương này là chứng minh bài toán
dưới thác triển thực hiện được trong lớp (xem Định lý 2.3.9).
2.1. Các lớp Cegrell
Ta nhắc lại một vài lớp các hàm đa điều hòa dưới trên đó toán tử Monge-
Amper được xác định. Các lớp này được Cegrell giới thiệu và nghiên
cứu (xem [3],[4]).
Định nghĩa 2.1.1. Cho là miền siêu lồi. Ta ký hiệu là lớp các
hàm đa điều hòa dưới âmtrên . Ta định nghĩa :
21
tồn tại lân cận của , ,
trên sao cho
Trong [3], Cegrell đã chứng minh rằng
.
Từ định nghĩa trên ta dễ thấy,
và .
Ngoài ra, nếu thì và
Ta nhắc lại lớp đã được giới thiệu trong [5]. Cho làmiền siêu lồi
trong và là dãy tăng các tập con giả lồi chặt của sao cho
và . Cho . Với mỗi đặt
Như trong [5], và Đặt
hoặc tương đương
22
Dễ thấy .
Định nghĩa 2.1.2. Cho là một hàm tăng. Ta định nghĩa
Rõ ràng, định nghĩa này chứa những lớp sau của Cegrell
nếu bị chặn và
, nếu .
Cho Tương tự định nghĩa của Cegrell trong [4], ta có
Định nghĩa 2.1.3.
.
Mệnh đề 3.1 trong [4] kéo theo và từ đó toán tử Monge-Ampere được
xác định tốt trên lớp này.
Chú ý 2.1.4. Trong Định nghĩa 2.1.3, ta có thể thay thế dãy
thỏa mãn điều kiện bằng dãy
trong với điều kiện tương tự.Thật vậy, Cho với
Lấy và đặt Khi đó và . Mặt khác, vì
nên sử dụng nguyên lý so sánh ta có:
23
.
Từ đó suy ra kết luận.
Chú ý 2.1.5. Về mối liên hệ giữa các lớp và , ta có thể nói rằng
chúng hoàn toàn khác nhau. Trước tiên ta thấy rằng định nghĩa của và
là khác nhau. Hơn nữa, trong chú ý 2.3.8 dưới đây, ta chỉ ra rằng tồn tại
một hàm đa điều hòa dưới sao cho .
Hệ quả 3.3 trong[11], đã chỉ ra rằng nếu với mọi thì
và do đó với mọi ta có
Định nghĩa 2.1.6.Cho và . Hàm Green đa phức trên miền
với cực tại được xác định bởi
Từ định nghĩa của hàm , và định nghĩa lớp , dễ thấy rằng
với mọi miền siêu lồi .
2.2. Dưới thác triển trong lớp
Ta cần kết quả sau đây của U.Cegrell:
Bổ đề 2.2.1. Cho . Khi đó là hữu hạn và với
mỗi dãy các hàm đa điều hòa dưới bị chặn, dần đến 0 tại biên sao
cho nếu trên , thì dãy độ đo Monge-Ampere tăng dần
24
đến .
Định lý 2.2.2. [7] (Định lý dưới thác triển)Cho là hai miền siêu lồi
và . Khi đó tồn tại một hàm đa điều hòa dưới sao cho
trên và .
Chứng minh. Theo định nghĩa của tồn tại dãy các hàm đa điều hòa
dưới bị chặn tiến đến 0 trên biên sao cho trên . Khi đó
tăng dần đến theo Bổ đề 2.2.1. Cố định số nguyên và chú ý rằng
độ đo là độ đo Borel với giá compact trong , triêt tiêu trên
các tập đa cực. Khi đó tồn tại duy nhất sao cho
là độđo trên . Ta sẽ chứng minh trên .
Thật vậy, từ [3] suy ra tồn tại và sao cho
là độ đo trên . Với mỗi ta xét độ đo Borel
trên . Khi đó (xem [3], [14]) sao cho
trên và sao cho
trên . Theo nguyên lý so sánh và
là các dãy giảm các hàm đa điều hoà dưới theo thứ tự thuộc và
thoả mãn trên . Suy ra giảm đến trên và
25
giảm đến trên khi . Như vậy trên .
Bây giờ với mỗi , đặt . Khi đó và
theo nguyên lý so sánh và trên . Khi đó
trên dãy giảm đến mà trên và thoả mãn
. Định lý được chứng minh.
2.3. Dưới thác triển trong lớp
Trước tiên ta sẽ trình bày một số kết quả về lớp đã được chứng minh
trong [3] Ta cần các kết quả sau.
Mệnh đề 2.3.1.Cho là một miền siêu lồi và . Giả sử rằng
. Khi đó bất đẳng thức sau xảy ra:
Chứng minh. Từ Định lí 5.5 trong [3] suy ra nếu (2.1) và
thì
(2.2)
Ta chứng minh (2.1) bằng qui nạp theo . Trước tiên kiểm tra (2.1) khi
26
Ta có:
.
Trong đó bất đẳng thức 3 suy ra từ (2.2)
Do vậy, (2.1) đúng với . Giả sử (2.1) đúng với
minh (2.1) đúng với . Giả sử nào đó. Ta sẽ chứng . Khi đó
Áp dụng trường hợp ta có
.
với . Khi đó với thỏa mãn Mệnh đề 2.3.2. Cho
, bất đẳng thức sau xảy ra:
(2.3)
27
Chứng minh.Ta có:
Tiếp tục quá trình này ta sẽ được kết quả như mong muốn.
Mệnh đề 2.3.3.[3] Cho là miền siêu lồi và .
Khi đó:
là một nón lồi.
Nếu thì
Mệnh đề 2.3.4. [3] Cho và trên .
Khi đó và với mọi tập con compact , trong đó
là hàm cực trị tương đối của cặp :
và là chính qui hóa nửa liên tục trên của .
Mệnh đề 2.3.5.Cho là miền siêu lồi và Giả sử
. Khi đó, nếu thì . Ngược lại , nếu
và thì .
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử . Khi đó tồn tại một dãy ,
sao cho
28
.
Vì nên hội tụ yếu tới . Mặt khác, vì là nửa liên tục
dưới nên
.
Điều kiện đủ: Giả sử và . Từ Định lí 2.1 trong
[3] suy racó thể chọn một dãy giảm sao cho trên .
Vì và nên theo bất đẳng thức (2.3)ta có:
Suy ra . Vậy .
Mệnh đề 2.3.6.Cho là miền siêu lồi và . Khi đó
Các khẳng định sau là tương đương:
;
, với mọi ;
sao cho với mọi ;
Các khẳng định sau là tương đương:
sao cho với .
29
.
Chứng minh. vì nên suy ra . Do đó
là hiển nhiên.
Giả sử không xảy ra. Khi đó tồn tại một dãy sao cho
(2.4)
Chú ý rằng . Đặt Khi đó Ta có
(2.5)
và theo (2.4)
Đặt . Vì , , nên theo Mệnh đề 2.3.1 ta có:
,
suy ra . Ta có
30
Do đó theo giả thiết
Mâu thuẫn này đã chứng minh xảy ra.
là hiển nhiên.
Giả sử không bị chặn trên . Khi đó tồn tại một dãy sao
.
cho khi . Ta có hàm Green và
Do đó, theo giả thiết , điều này là vô lý, vì
.
Giả sử Khi đó tồn tại và
Do đó
với mọi .
Suy ra Chứng minh tương tự ta có nếu thì . Do đó
.
Trước tiên ta chỉ ra bị chặn dưới. Theo ta chỉ cần kiểm tra
với mọi . Thật vậy, lấy . Theo giả thiết
.Do đó, theo Mệnh đề 2.3.5ta có và ta suy ra kết luận. Tiếp
31
theo ta phải chứng minh . Giả sử . Khi đó tồn tại một dãy
với khi . Ta có thể giả sử với
mọi . Đặt là hàm Green có cực tại . Khi đó ta có:
Đặt .Ta chứng minh nhưng và suy ra mâu thuẫn.
Thật vậy, vì nên , Theo Mệnh đề 2.3.1ta có
.
Do đó, theo chú ý 2.1.4suy ra . Tuy nhiên, vì
.
Mệnh đề 2.3.6 được chứng minh.
Như đã biết, nếu thì . Tuy nhiên, trong và
lớp kết quả không còn đúng nữa. Xét ví dụ sau:
.
32
Ví dụ 2.3.7. Tồn tại với sao cho nhưng
Thật vậy, Cho là hình cầu đơn vị trong
. Lấy Với mỗi đặt
Khi đó
Hơn nữa, khi
Với mỗi , đặt
.
Khi đó và
khi
Ta xây dựng dãy sao cho
với mọi .
Ta chọn . Khi đó
Giả sử đã được chọn. Khi đó
33
.
Đặt . Với và ta có
.
Cho ta nhận được
khi .
Tuy nhiên,
Từ giả thiết quy nạp và ước lượng trên, ta có
và
34
khi
Từ đó, ta có thể chọn đủ lớn sao cho
Đặt
Khi đó trên và từ xây dựng ở trên ta suy ra rằng
Tuy nhiên, ta có:
khi .
Chú ý2.3.8.Với và như trong ví dụ2.3.7, cho là hàm Green với cực tại
. Khi đó . Theo Mệnh đề2.3.5, ta có . Do đó
nhưng Thật vậy, nếu thì
, điều này không thể xảy ra vì . Hơn
nữa, vì , nên suy ra với mọi vì nếu
thì triệt tiêu trên mỗi tập đa cực. Điều này chỉ ra rằng lớp
hoàn toàn khácvới các lớp và .
Bây giờ ta sẽ nghiên cứu dưới thác triển trong lớp . Như trong ví
35
dụ2.3.7, chú ý rằng lớp khác với các lớp và . Từ đó, việc nghiên
cứu dưới thác triển trong lớp là có thể thực hiện được. Ta chứng minh
Định lý sau:
Định lí 2.3.9. Cho là các miền siêu lồi, và
. Khi đó, tồn tại sao cho trên và
Chứng minh. Từ định nghĩa của suy ra rằng tồn tại
trên và
Cố định .Vì nên theo định nghĩa của lớp , ta suy ra
. Từ đó, là một độ đo Borel trong , độ
đo này hữu hạn và triệt tiêu trên các tập đa cực của , trong đó là hàm
đặc trưng của . Theo Bổ đề 5.14 trong [3], tồn tại duy nhất một hàm
với là độ đo trên . Ta chứng minh
trên . Theo Định lí 5.11 trong [3] tồn tại
sao cho là độ đo Borel
trên . Cho là một dãy vét cạn tăng các tập con mở compact tương đối
36
của , , . Với mỗi , đặt
là độ đo Borel trên . Định lí trong [14] chỉ ra rằng tồn tại một hàm
sao cho
trên và , sao cho
trên .
Thật vậy, sự tồn tại của là rõ ràng. Để chứng minh sự tồn tại của ta sử
dụng phương pháp sau đây. Với mỗi , xét hàm
.
Khi đó, trên và trên . Chú ý rằng bởi vì
, trong đó và là
hàm cực trị tương đối của cặp . Ta có
Và suy ra kết luận đòi hỏi. Từ nguyên lý so sánh suy ra và là các
dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới trong các lớp và tương ứng.
Mặt khác, nếu thì ta có
và
trên .
Theo nguyên lý so sánh ta có trên .Giả sử khi .
37
Khi đó . Thật vậy, ta có
và suy ra kết luận đòi hỏi. Hơn nữa
và Bổ đề 5.14 trong [3] kéo theo trên . Tương tự, khi
trên . Với mỗi , đặt
Khi đó, , và từ suy ra . Ta dễ thấy là
dãy giảm. Mặt khác vì trên nên bằng cách tích phân từng phần suy ra
.
Từ đó,
Với , chú ý rằng trên . Do đó
trên .
Đặt . Ta chứng minh rằng . Hiển nhiên, .
38
Theo [3], tồn tại dãy sao cho trên .Bằng cách thay thế
bởi và , ta có thể giả sử trên .
Khi đó,
.
Như vậy
.
Từ đó . Vì trên , nên suy ra trên . Mặt khác,
.
39
Định lí 2.3.9 được chứng minh.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày:
Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà
dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-
Ampère, nguyên lý so sánh Bedford và Taylor.
Một số kết quả về các lớp Cegrell, bài toán thác triển trong lớp
40
(Định lý 2.2.2), bài toán thác triển trong lớp (Định lý 2.3.9).
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TIẾNG VIỆT
[1]. Nguyễn Quang Diệu và Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa thế vị ,
Nxb Đại học sư phạm Hà Nội.
TIẾNG ANH
[2]. Benelkourchi S. (2009), “Weighted pluricomplex energy”, Potential
Anal., 31, 1-20.
[3]. Cegrell U.(2004), “The general definition of the complex Monge-
Amp`ere operator”, Ann. Inst. Fourier(Grenoble), 54, 159-179.
[4]. Cegrell U. (2000), “Two examples in pluripotential theory”, Dep.
Math., Mid - Sweden Univ., Research Report no. 14(2000).
[5]. Cegrell U.(2008), “A general Dirichlet problem for the complex
Monge- Amp`ere operator”, Ann.Polon. Math., 94, 131-147.
[6]. Cegrell U., Kolodziej S. and Zeriahi A. (2005), “Subextension of
plurisubharmonic functions with weak singularities”, Math. Z., 250, 7-22.
[7]. Cegrell U. and Zeriahi A.(2003), “Subextension of plurisubharmonic
functions withbounded Monge-Amp`ere operator mass”, C. R. Acad.
Sci. Paris, 336, 305-308.
[8]. Czyz R. and Hed L. (2008), “Subextension of plurisubharmonic
functions without increasing the total Monge - Amp`ere mass”, Ann.
Polon. Math., 94, 275-281.
[9]. Mir H. El. (1980), “Fonctions plurisousharmoniques et ensembles
pluripolaires”, Seminaire Lelong-Skoda, Lecture Notes in Math. 822,
Springer-Verlarg, 61-76.
[10]. Hed L. (2010), “Approximation of negative plurisubharmonic
functionswith given boundary values”, Internat. J. Math., 21,
41
1135-1145.
[11]. Hai L.M.,Hiep P.H. (2011), “Some weighted energy classes of
plurisubharmonic functions”, Potential Anal., 34, 43-56.
[12]. Hai L.M., Long T. V. (2011), “The Subextension Problem for the
Class ”, V.J. Math 39:3 251-266.
[13]. Hiep P.H. (2008), “Pluripolar sets and the subextension in Cegrell’s
classes”, Complex Var. Elliptic Equ., 53, Vol. 7, 675-684.
[14] Kolodziej S. (1995), “The range of the complex Monge-Amp`ere
operator II”, Indiana U. Math. J., 44(3), 765-782.
[15]. Wiklund J. (2006), “On subextension of pluriharmonic and
42
plurisubharmon-ic functions”, Ark. Math., 44, 182-190.
