ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
–––––––––––––––––––––––––––––––
MẪN THỊ BẮC
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ
NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH
VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NÓ
TRONG KHÔNG GIAN METRIC NHÂN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng
THÁI NGUYÊN-2020
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Tác giả
Mẫn Thị Bắc
i
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2020
Tác giả
ii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
1 MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2
3. Phương pháp nghiên cứu 2
4. Bố cục luận văn 2
3
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian metric nhân 3
1.2. Mối quan hệ và các tính chất của các ánh xạ tương thích và các
biến thể của nó trong không gian metric nhân 9
Chƣơng . ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ
NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH VỚI CÁC
20 BIẾN THỂ CỦA NÓ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NHÂN
2.1. Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích trong
không gian metric nhân 20
2.2. Điểm bất động đối với các ánh xạ tương thích và các biến thể của
nó trong không gian metric nhân 24
38 KẾT LUẬN
39 TÀI LIỆU THAM KHẢO
iii
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như đã biết, tập các số thực dương là không đầy đủ đối với metric
thông thường. Để khắc phục vấn đề này, năm 2008, ashirov [1] và các cộng
sự đã đưa ra khái niệm không gian metric nhân. Năm 2012, Ozavsar [8] và
Cevikel [8] đã đưa ra khái niệm về ánh xạ co nhân và chứng minh một vài định
lý về điểm bất động của các ánh xạ đó trong không gian metric nhân. Năm
2015, Kang [6] và các cộng sự đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ tương thích
trong không gian metric nhân đồng thời đạt được một số kết quả về điểm bất
động chung đối với các ánh xạ tương thích trong không gian metric nhân. Một
hướng nghiên cứu gần như đồng thời với việc nghiên cứu đã nêu ở trên là việc
xét điểm bất động đối với ánh xạ nửa tương thích, ánh xạ tương thích yếu, ánh
xạ giao hoán và giao hoán yếu. Năm 1995, . J. Cho [2] và các cộng sự đã đưa
ra khái niệm về ánh xạ nửa tương thích trong các không gian tôpô. Năm 1996,
Jungck [5] đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ tương thích yếu và đạt được kết
quả về điểm bất động của ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric.
Năm 2013, Gu [3] và các cộng sự đã đưa ra định nghĩa về các ánh xạ giao hoán
và giao hoán yếu trong một không gian metric nhân và chứng minh một vài
định lý về các điểm bất động của những ánh xạ này. Năm 2016, P.Kumar, S.
Kumar, S.M. Kang [7] đã đưa ra khái niệm ánh xạ nửa tương thích trong không
gian metric nhân và thiết lập định lí điểm bất động chung đối với các ánh xạ đó.
Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Điểm bất động chung đối
với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích với các biến thể của nó
trong không gian metric nhân ”.
Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học
trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về
không gian metric nhân và một số định lý về sự tồn tại điểm bất động chung
đối với các ánh xạ nửa tương thích và điểm bất động chung đối với các ánh xạ
tương thích với các biến thể của nó trong không gian metric nhân.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp của giải tích hàm.
4. Bố cục luận văn
Nội dung đề tài được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [6] và [7], gồm 39
trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của không
gian metric nhân.
Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về
Điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích và ánh xạ tương thích
với các biến thể của nó trong không gian metric nhân.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
2
CHƢƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian metric nhân
Đ nh ngh a 1.1.1. Cho là một tập khác r ng. Một metric nhân là một ánh xạ
,
thỏa mãn các điều kiện sau:
,
(i) và ;
(ii) ;
,
(iii) bất đ ng thức tam giác nhân .
Khi đó được gọi là một không gian metric nhân.
Ví dụ 1.1.2. Cho là tập hợp tất cả các bộ số thực dương và hàm số
được xác định bởi:
ở đó và xác định bởi
Khi đó, là một không gian metric nhân.
Ví dụ 1.1.3. Cho thỏa mãn , với mọi
và . Khi đó, là một metric nhân và là một không gian
metric nhân. Ta có thể gọi đó là không gian metric nhân thông thường.
Nhận t 1.1.4. Chú ý rằng ví dụ 1.1.2 đúng với các số thực dương và ví dụ
1.1.3 đúng với mọi số thực.
Ví dụ 1.1.5. Cho là một không gian metric. Cho là ánh xạ xác định
3
trên bởi
ở đó và . Khi đó, là một metric nhân và gọi là không
gian metric nhân rời rạc.
Ví dụ 1.1.6. Cho là tập tất cả các hàm liên tục nhân giá trị thực
trên . Khi đó, là một không gian metric nhân với
tùy ý.
với
Nhận t 1.1.7. Metric nhân và metric là độc lập với nhau.
Thật vậy, ánh xạ được định nghĩa trong ví dụ 1.1.2 là một metric nhân mà
không là metric vì nó không thỏa mãn bất đ ng thức tam giác
.
M t khác, metric thông thường trên không là metric nhân bởi vì nó không
thỏa mãn bất đ ng thức tam giác nhân
.
Đ nh ngh a 1.1.8. Cho là một không gian metric nhân. Khi đó
(1) dãy gọi là hội tụ nhân tới nếu với m i hình cầu mở nhân
, tồn tại sao cho với mọi
tức là khi .
(2) dãy gọi là dãy Cauchy nhân nếu mọi , tồn tại sao
cho với mọi tức là khi .
(3) gọi là không gian metric nhân đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy nhân đều hội
tụ nhân đến một phần tử thuộc .
4
Chú ý 1.1.9. Tập các số thực dương là không đầy đủ theo metric thông
thường. Lấy và dãy . Hiển nhiên, là một dãy
Cauchy trong với metric thông thường và không là không gian metric
, ở đó
đầy đủ do . Trong trường hợp không gian metric nhân, ta lấy dãy
. Khi đó, là một dãy Cauchy nhân vì với
,
nếu , trong đó
Ta có khi và . Vậy là một không gian metric
nhân đầy đủ.
Năm 2012, Ozavsar và Cevikel [8] đã đưa ra khái niệm về các ánh xạ co
nhân và đã chứng minh một vài định lý về điểm bất động của các ánh xạ đó
trong một không gian metric nhân.
Đ nh ngh a 1.1.10. Cho là ánh xạ từ một không gian metric nhân
vào chính nó. Khi đó, được gọi là một phép co nhân nếu tồn tại một số thực
sao cho
với mọi .
Năm 2015, Kang và các cộng sự [6] đã đưa ra khái niệm về ánh xạ tương thích
trong các không gian metric nhân như sau
Đ nh ngh a 1.1.11. Cho và là các ánh xạ từ không gian metric nhân
vào chính nó. Khi đó, và được gọi là tương thích nếu
, với mọi dãy sao cho
5
với nào đó.
Đ nh ngh a 1.1.12. Cho và là các ánh xạ từ một không gian metric nhân
được gọi là tương thích yếu nếu chúng
vào chính nó. Khi đó, và
giao hoán tại những điểm trùng, tức là nếu với thì .
Năm 1995, Cho và các cộng sự [2] đã đưa ra khái niệm về nửa tương
thích trong các không gian topo như sau
Đ nh ngh a 1.1.13. [2] Cho và là các ánh xạ từ một không gian topo vào
chính nó. Khi đó, và được gọi là nửa tương thích nếu
kéo theo và (1)
(2) và kéo theo khi .
ây giờ, ta sẽ định nghĩa tính nửa tương thích theo điều kiện 2 chỉ trong
phạm vi không gian metric nhân như sau:
Đ nh ngh a 1.1.14. Cho và là các ánh xạ từ một không gian metric nhân
được gọi là nửa tương thích nếu
, với mọi dãy
vào chính nó. Khi đó, và
sao cho
với nào đó thuộc .
là nửa tương thích và
Điều này suy ra rằng nếu và thì .
Chú ý rằng và là nửa tương thích không nhất thiết và là tương thích.
Hơn nữa, tính nửa tương thích của và không kéo theo tính nửa tương thích
của và .
Ví dụ 1.1.15. Cho và được xác định bởi
, trong đó và . Khi đó, là một không gian
metric nhân. Lấy các ánh xạ xác định bởi
6
ét . Khi đó,
và nên và .
và .
Ta có
.
Điều này kéo theo và không tương thích. M t khác, ta có
.
o đó, và là nửa tương thích và
.
Vậy và không là nửa tương thích.
Tiếp theo, ta chỉ ra nửa tương thích là tương thích yếu. Thật vậy, với
tùy ý, điều này hiển nhiên đúng. Với tùy ý, ta có
và , . o vậy, và là tương thích
yếu.
Ví dụ 1.1.16. Cho và là ánh xạ được xác định
bởi , ở đó và . Khi đó, là một không gian
metric nhân.
Lấy là các ánh xạ xác định bởi
7
,
.
ét . Khi đó
và
Ta có
và .
Suy ra và không tương thích. Hơn nữa,
.
o đó và và là nửa tương thích, nhưng
Tính tương thích yếu không kéo theo tính nửa tương thích. Ở đây, không là nửa tương thích. và
, nhưng là tương thích yếu vì chúng giao hoán tại điểm trùng của chúng
không là nửa tương thích. Tính nửa tương thích không nhất thiết kéo theo
tương thích vì trong các ví dụ 1.1.15 và 1.1.16.
Trong ví dụ tiếp theo, ta sẽ chỉ ra tính tương thích không nhất thiết kéo
theo tính nửa tương thích.
Ví dụ 1.1.17. Cho và xác định bởi
, trong đó và .
8
Khi đó, là một không gian metric nhân. Lấy là các ánh xạ
xác định bởi
,
ét . Khi đó
.
và
và .
Hơn nữa,
.
o vậy, và là tương thích. Nhưng
.
không là nửa tương thích.
Điều này kéo theo và
1.2. Mối quan hệ và các tính chất của các ánh ạ tƣơng thích và các biến
thể của nó trong không gian metric nhân
ây giờ, ta sẽ xem xét các định nghĩa về các ánh xạ tương thích và các
biến thể của nó trong các không gian metric nhân như sau:
Đ nh ngh a 1.2.1. Cho và là hai ánh xạ từ không gian metric nhân
vào chính nó. Khi đó và được gọi là
(1) tương thích nếu , trong đó là một dãy sao
cho với .
9
(2) tương thích kiểu nếu
và ,
trong đó là một dãy sao cho với .
(3) tương thích kiểu nếu
và
,
trong đó là một dãy sao cho với .
(4) tương thích kiểu nếu
và
trong đó là một dãy sao cho với .
(5) tương thích kiểu nếu , trong đó là
một dãy sao cho với .
Tiếp theo là một số kết quả về mối liên hệ và các tính chất của các ánh
xạ tương thích và các biến thể của nó.
Mệnh đề 1.2.2. Cho và à các ánh xạ tương thích kiểu ếu một
trong ho c à i n t c th và à tương thích.
10
h ng minh Vì và là tương thích kiểu nên
và , ở đó với nào đó.
nào đó thuộc
Giả sử liên tục. Khi đó với .
M t khác, ta có
.
Từ đó suy ra
, tức là và là các ánh xạ tương thích. Vậy
Tương tự, nếu là liên tục, khi đó và là các ánh xạ tương thích.
Mệnh đề 1.2.3. i c p ánh xạ tương thích kiểu à tương thích kiểu .
h ng minh Giả sử và là các ánh xạ tương thích kiểu . Khi đó, ta có
và
Vậy và là các ánh xạ tương thích kiểu .
Mệnh đề 1.2.4. Cho và à các ánh xạ i n t c t một không gian metric
và
nhân vào chính nó ếu à các ánh xạ tương thích kiểu th
à tương thích kiểu
và .
h ng minh Cho là một dãy sao cho với
nào đó thuộc . Vì và là các ánh xạ liên tục, nên ta có
11
và
.
và
o đó, là các ánh xạ tương thích kiểu . Mệnh đề được chứng minh.
và
à các ánh xạ i n t c t một không gian metric
Mệnh đề 1.2.5. Cho
và
à các ánh xạ tương thích kiểu
th
nhân vào chính nó ếu
và à tương thích.
h ng minh Cho là một dãy sao cho với
và
là các ánh xạ liên tục, nên ta có
nào đó thuộc . Vì
.
và
Theo bất đ ng thức tam giác nhân, ta có
.
Cho và chú ý đến giả thiết và là các ánh xạ tương thích kiểu ,
ta có
. là các ánh xạ tương thích. Mệnh đề được chứng minh.
o đó và
Mệnh đề 1.2.6. Cho và à các ánh xạ i n t c t một không gian metric
nhân vào chính nó ếu và à các ánh xạ tương thích th và à
tương thích kiểu .
12
h ng minh Vì và là tương thích nên tồn tại dãy sao cho
với và . Vì và là các
ánh xạ liên tục, nên ta có
và
,
do đó
.
Từ đó ta có
và
.
Vậy và là các ánh xạ tương thích kiểu .
Mệnh đề 1.2.7. Cho và à các ánh xạ i n t c t một không gian metric
vào chính nó hi đó
nhân
(1) và à tương thích và tương thích kiểu .
(2) và à tương thích kiểu và à tương thích kiểu .
h ng minh (1) Chứng minh suy ra từ Mệnh đề 1.2.5 và Mệnh đề 1.2.6.
(2) Chứng minh được suy ra từ Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.4.
Mệnh đề 1.2.8. Cho và à các ánh xạ tương thích t một không gian
metric nhân vào chính nó ếu với th
.
h ng minh Giả sử rằng là một dãy được xác định bởi ,
13
với
là tương thích, nên ta có
và . Khi đó, khi . Vì và
.
nên
Từ đó ta có . Vì . Ta có điều phải
chứng minh.
Từ Mệnh đề 1.2.8 ta có
Mệnh đề 1.2.9. Cho và à các ánh xạ tương thích t một không gian
metric nhân vào chính nó i ử với
nếu
hi đó
nếu
i n t c tại .
và
i n t c tại .
nếu và i n t c tại .
h ng minh a Giả sử rằng liên tục tại . Vì với
, nên khi . Vì và là các ánh xạ tương thích, nên
ta có
.
o đó . Ta được điều phải chứng minh.
b Chứng minh tương tự a ta được .
khi
c Giả sử rằng và liên tục tại . Vì và liên tục tại
, nên theo (a), ta có khi . M t khác, liên tục tại , nên
do tính duy nhất của giới hạn và theo Mệnh đề
. Như vậy
1.2.8, ta có .
t không gian
Mệnh đề 1.2.10. Cho và à ánh xạ tương thích kiểu
14
metric nhân vào chính nó ếu với nào đó thuộc th
.
h ng minh Giả sử rằng là một dãy xác định bởi ,
với và . Khi đó, ta có , khi .
Vì và là tương thích kiểu , nên ta có
Suy ra . Vì , nên .
t một không gian
Mệnh đề 1.2.11. Cho và à ánh xạ tương thích kiểu
metric nhân vào chính nó. i ử với
nếu
hi đó
nếu
i n t c tại .
và
i n t c tại .
nếu và i n t c tại .
với
Ch ng minh. (a) Giả sử liên tục tại . Vì
nên khi . Vì và tương thích kiểu , nên ta có
.
.
o đó
Chú ý 1.2.12. Trong Mệnh đề 1.2.10, giả sử và là ánh xạ tương thích kiểu
ho c kiểu thay cho ánh xạ tương thích kiểu , thì kết luận của
15
Mệnh đề 2.10 vẫn đúng.
Chú ý 1. .13. Trong Mệnh đề 1.2.11, giả sử và là ánh xạ tương thích kiểu
ho c kiểu thay cho ánh xạ tương thích kiểu , thì kết luận của Mệnh
đề 1.2.11 vẫn đúng.
Chú ý 1.2.14. M i ánh xạ giao hoán yếu là tương thích nhưng điều ngược lại
nói chung không đúng.
Thật vậy, vì và là các ánh xạ giao hoán yếu nên
với mọi .
Giả sử với . Khi đó
là ánh xạ tương thích.
suy ra , do đó và
Ví dụ 1.2.15. ét với metric nhân trên . ét các
ánh xạ xác định bởi và . Khi đó và là các
ánh xạ tương thích nhưng không giao hoán yếu.
Chú ý 1.2.16. Khái niệm về các ánh xạ tương thích và các biến thể của nó là
độc lập với nhau.
Ví dụ 1.2.17. Cho , tập hợp tất cả số thực với metric nhân thông thường
. ét các ánh xạ xác định bởi
và
Khi đó và không liên tục tại . ét dãy xác định bởi ,
Khi đó , khi và
16
Tuy nhiên:
và
.
Hơn nữa
và
và ta nhận được
và
.
Ta cũng có
17
o đó và là tương thích nhưng không tương thích kiểu tương thích
kiểu , kiểu và kiểu
Ví dụ 1.2.18. Cho với metric nhân thông thường , xét các ánh xạ
xác định bởi
và
và
không liên tục tại
là không tương
Khi đó . Ta sẽ chỉ ra và
thích nhưng chúng tương thích kiểu , kiểu , kiểu , và kiểu .
Thật vậy, giả sử và . Theo định nghĩa của và ,
. Vì và bằng nhau trên đoạn , nên ta chỉ cần xét . o
vậy, ta giả sử và với mọi . Khi đó, từ bên
phải và từ bên trái. Như vậy, vì và với mọi
, nên ta có
Hơn nữa, ta có
.
và
18
Hơn nữa, và và ta nhận được
và
khi và . Hơn nữa, ta có
Vậy và là tương thích kiểu , kiểu , kiểu , kiểu nhưng
chúng không tương thích.
19
CHƢƠNG
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ
NỬA TƢƠNG THÍCH VÀ ÁNH XẠ TƢƠNG THÍCH VỚI
CÁC BIẾN THỂ CỦA NÓ TRONG KHÔNG GIAN
METRIC NHÂN
2.1. Điểm bất động chung đối với các ánh ạ nửa tƣơng thích trong không
gian metric nhân
à các ánh xạ t một không gian metric nhân
Đ nh ý .1.1. Cho và
đ đủ vào chính nó th a m n nh ng đi u ki n au:
và ; (2.1)
(2.2)
, trong đó
với m i ;
ho c i n t c; (2.3)
à nửa tương thích à tương thích ếu hi đó , , có
một điểm bất động chung du nhất trong . (2.4)
tùy ý. Vì
sao cho
và với điểm
này, tồn tại
sao cho
h ng minh. Lấy và , nên tồn tại
sao cho
. ằng quy nạp, ta xác định dãy
với
, trong (2.2), ta có Đ t
20
, điều này là mâu Nếu
thuẫn, do đó
,
suy ra
.
Tương tự , ta có
,
Từ đó
.
Lấy với , ta có
.
21
khi
và
Suy ra là một dãy Cauchy nhân. o đó
khi . Từ đó suy ra các dãy con và
đều hội tụ đến .
và
là nửa
Giả sử liên tục. Khi đó và . Vì
tương thích, nên . Do tính duy nhất của giới hạn trong không gian
metric nhân, ta được . Đ t , trong (2.2), ta có
,
Cho ta được
,
suy ra
.
o đó
.
Điều này kéo theo . Vì nên tồn tại một điểm sao
cho .
ằng cách đ t trong (2.2), ta có
22
.
,
ó đó
Như vậy, ta được
.
Suy ra . Vì và là tương thích yếu, nên . Vậy
.
ằng cách lấy và trong (2.2), ta có
.
Từ đó
.
Suy ra . o đó và do vậy là một điểm
bất động chung của và .
Phép chứng minh tương tự cho trường hợp là liên tục.
Cuối cùng, giả sử là một điểm bất động chung khác của và
. Khi đó
.
ằng cách đ t trong (2.2), ta có và
23
.
Suy ra
.
Vậy . o đó, và có một điểm bất động chung duy nhất trong
. Ta được điều phải chứng minh.
Trong Định lý 2.1, đ t và ta có hệ quả sau.
Hệ quả .1.2. Cho và à các ánh xạ t không gian metric nhân đ đủ
vào chính nó và th a m n các đi u ki n sau
với m i trong đó ;
à i n t c;
c p à nửa tương thích.
hi đó và có một điểm bất động chung duy nhất trong .
2.2. Điểm ất động đối với các ánh ạ tƣơng thích và các iến thể của nó
trong không gian metric nhân
Năm 2014, He và các cộng sự [4] đã chứng minh điểm bất động chung của c p
ánh xạ giao hoán yếu trên một không gian metric nhân đầy đủ như sau:
à các ánh xạ t một không gian metric nhân
Đ nh ý 2.2.1. Cho và
đ đủ vào chính nó th a m n nh ng đi u ki n au:
, (2.5)
24
(2.6)
với m i và
một trong các ánh xạ và à i n t c. (2.7)
i ử các c p và à giao hoán ếu hi đó và có một
điểm bất động chung du nhất.
à các ánh xạ t một không gian metric nhân
Đ nh ý 2.2.2. Cho và
đ đủ vào chính nó th a m n . i ử các c p và
à tương thích hi đó và có một điểm bất động chung du
nhất.
, với điểm
h ng minh Vì , nên với điểm , tồn tại thỏa mãn
này, tồn tại điểm thỏa mãn
. Tiếp tục quá trình này, ta xây dựng được các dãy
Theo chứng minh của Định lý 3.1 [4], là dãy Cauchy nhân trong . Do
đó, các dãy con , , và của dãy cùng hội
tụ về .
Giả sử là liên tục. Khi đó, , hội tụ đến khi .
là tương thích trên , nên theo Mệnh đề 1.2.9, hội tụ tới Vì
. Ta sẽ chỉ ra . Thật vậy, ta có khi
Cho , ta được
25
. Vậy
Suy ra
Tiếp theo, ta chứng minh . Thật vậy, ta có
Cho , ta có
Suy ra . Vì nên tồn tại sao cho
.
Ta chứng minh . Thật vậy, ta có
Suy ra .
Vì là tương thích trên và , nên theo Mệnh đề 1.2.8, ta
có và do vậy .
Tương tự như vậy, ta có
26
.
Suy ra . Nên . Vậy là một điểm bất động
chung của và .
Phép chứng minh tương tự cho trường hợp liên tục.
Tiếp theo, giả sử liên tục. Khi đó , hội tụ tới khi
Vì và tương thích trên nên từ Mệnh đề 1.2.9 suy ra
hội tụ đến khi Ta có
Cho , ta được
suy ra . Vì nên sao cho . Ta có
Cho , ta được
Suy ra . Vì và là tương thích trên và , nên theo
Mệnh đề 1.2.8, ta có và do vậy
M t khác, ta có
27
Cho , ta được
Suy ra . Vì nên : . Ta có
Suy ra . Vì và là tương thích trên và , nên theo
Mệnh đề 1.2.8, ta có và Hay
. Vậy là điểm bất động chung của và .
Tương tự, ta có thể hoàn thành chứng minh khi là liên tục.
Cuối cùng, giả sử rằng và là hai điểm bất động chung của
và . Khi đó
28
Suy ra . Vậy là điểm bất động chung duy nhất của và . Ta
được điều phải chứng minh.
ưới đây là định lý về các ánh xạ tương thích kiểu .
à các ánh xạ t một không gian metric nhân
Đ nh ý 2.2.3. Cho và
đ đủ vào chính nó th a m n . i ử các c p và
à tương thích kiểu hi đó và có một điểm bất động
chung du nhất.
liên tục. Vì
h ng minh Giả sử là tương thích kiểu , theo Mệnh
đề 1.2.2, c p là tương thích, nên kết quả được suy ra từ Định lý 2.2.2.
Tương tự, nếu liên tục và là tương thích kiểu thì tương
thích nên kết quả được suy ra từ Định lý 2.2.2.
Chứng minh tương tự cho trường hợp ho c liên tục.
Sau đây là định lý về các ánh xạ tương thích kiểu .
à các ánh xạ t một không gian metric nhân
Đ nh ý 2.2.4. Cho và
đ đủ vào chính nó th a m n . i ử c p và
à tương thích kiểu hi đó và có một điểm bất động
chung du nhất.
h ng minh Từ chứng minh của Định lý 2.2.2, ta có là dãy Cauchy nhân
trong . o đó, các dãy con
, , và
của dãy cùng hội tụ về .
Giả sử liên tục. Khi đó, hội tụ tới khi Vì c p
là tương thích kiểu , nên từ Mệnh đề 1.2.11 suy ra hội tụ tới
khi . Ta có
29
Cho , ta được
:
Suy ra . Vì nên . Ta có
Cho , ta được
Suy ra . Vì c p là tương thích kiểu và
, nên theo Mệnh đề 1.2.10, ta có và do đó
. Ta có
Cho , ta được
:
Suy ra . Vì , nên . Ta có
suy ra
30
Suy ra Vì c p là tương thích kiểu và , nên
theo Mệnh đề 1.2.10, ta có Do đó,
và do vậy là điểm bất động chung của và .
ây giờ, giả sử liên tục. Khi đó, và hội tụ tới khi
Vì là tương thích kiểu , nên từ Mệnh đề 1.2.11 suy ra
hội tụ tới khi Ta có
Cho ta có
:
Suy ra . Vì , nên . Ta có
Suy ra, Vì c p tương thích kiểu và nên
theo Mệnh đề 1.2.10, ta có , do đó .
Ta có
.
Suy ra . o đó, là điểm bất động chung của và .
Chứng minh tương tự cho trường hợp ho c liên tục.
31
Cuối cùng, nếu và là hai điểm bất động chung thì ta có
Suy ra, Vậy là điểm bất động chung duy nhất của và Định
lí được chứng minh đầy đủ.
ưới đây là định lý về các ánh xạ tương thích kiểu .
Đ nh ý 2.2.5. Cho và à các ánh xạ t một không gian metric nhân
đ đủ vào chính nó th a m n i ử các c p và
à tương thích kiểu hi đó và có một điểm bất động
chung du nhất.
h ng minh Theo Định lý 2.2.2, là dãy Cauchy nhân. o đó, các
dãy con
, và ,
của cũng hội tụ tới
, Giả sử liên tục. Khi đó, hội tụ tới khi Vì c p
là tương thích kiểu , nên theo Chú ý 1.2.13 suy ra hội tụ đến
khi
Ta sẽ chứng minh Thật vậy, ta có
Cho ta được
32
:
Suy ra Vì nên Ta có
Cho ta được
Suy ra Vì c p là tương thích kiểu và
nên theo Chú ý 1.2.12, ta có . o đó
Ta có
Cho ta được
:
Suy ra Vì , nên Ta có
33
nên
Suy ra Vì c p là tương thích kiểu và
theo Chú ý 1.2.12, , ta có o đó,
. Vậy là điểm bất động chung của và
Giả sử liên tục. Khi đó , hội tụ đến khi . Vì c p
là tương thích kiểu , nên theo Chú ý 1.2.13 suy ra hội tụ tới
khi
.
Ta cũng có
Cho ta được
Suy ra Ta có
Cho ta được Suy ra Vì
nên thỏa mãn Lại có
Suy ra Vì là tương thích kiểu và nên theo
Chú ý 1.2.12, ta có và do vậy
M t khác, ta cũng có
34
Suy ra o vậy, Vậy là một điểm bất
động chung của và
Tương tự, ta có thể chứng minh cho trường hợp khi ho c là liên tục.
Tính duy nhất được suy ra dễ dàng. Định lí được chứng minh.
Cuối cùng, ta có định lý sau đối với các ánh xạ tương thích kiểu
Đ nh ý 2.2.6. Cho và à các ánh xạ t một không gian metric nhân
đ đủ vào chính nó th a m n . i ử r ng c p và
à tương thích oại hi đó và có điểm bất động chung
du nhất.
h ng minh Theo chứng minh Định lý 2.2.2, là một dãy Cauchy nhân
trong o đó, các dãy con và của
hội tụ tới khi
Giả sử liên tục. Khi đó, hội tụ tới khi Vì c p
, nên từ Chú ý 1.2.13 suy ra
là tương thích kiểu hội tụ tới
khi
Ta sẽ chứng minh Thật vậy, ta có
Cho ta được
Suy ra Vì nên sao cho
35
Tiếp theo, ta chứng minh Ta có
Cho ta có
Suy ra o đó, Vì c p là tương thích kiểu
nên theo Chú ý 1.2.12, ta có suy ra Vậy
ây giờ ta sẽ chỉ ra Ta có
Cho ta được
Suy ra o đó Vì nên sao cho
Ta chứng minh Thật vậy, ta có
Suy ra o đó Vì là tương thích kiểu nên
theo Chú ý 1.2.12, ta có suy ra o đó,
Vì nên là điểm bất động chung của và
Chứng minh tương tự cho trường hợp khi ho c ho c liên tục.
Tính duy nhất dễ ràng được suy ra. Vậy định lý được chứng minh.
36
Ví dụ 2.2.7. Cho với metric nhân thông thường
ét các ánh xạ từ vào chính nó và
với mọi
(i)
(ii) và là các ánh xạ liên tục.
iii Các c p và là tương thích, và chúng là các ánh xạ tương
thích kiểu , kiểu , kiểu , và kiểu .
khi
ét dãy với Khi đó khi Ta có
Ta cũng có
iv Với ta có
với mọi Vậy tất cả các điều kiện của các định lý chính được thỏa mãn
và 1 là điểm bất động chung duy nhất của và
KẾT LUẬN
37
Luận văn đã trình bày:
- Một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian metric nhân, Mối quan
hệ và các tính chất của các ánh xạ tương thích và các biến thể của nó. Đó là các
ánh xạ tương thích kiểu , , và kiểu trong không gian metric
nhân Các Mệnh đề 1.2.2-1.2.11).
- Kết quả về điểm bất động chung đối với các ánh xạ nửa tương thích trong
không gian metric nhân Định lí 2.1.1
- Kết quả về điểm bất động chung đối với ánh xạ tương thích trong không gian
metric nhân Định lí 2.2.2
- Các kết quả về điểm bất động chung đối với các biến thể của ánh xạ tương
thích trong không gian metric nhân. Cụ thể là Định lí 2.2.3 đối với ánh xạ
tương thích kiểu , Định lí 2.2.4 đối với ánh xạ tương thích kiểu , Định
lí 2.2.5 đối với ánh xạ tương thích kiểu và Định lí 2.2.6 đối với ánh xạ
tương thích kiểu .
TÀI LIỆU THAM KHẢO
38
[1]. Bashirov A.E., Kurplnara E.M., Ozyapici A. (2008), "Multiplicative
calculus and its applications", J. Math. Anal. Appl., (337), 36-48. doi:
10.1016/j.jmaa.2007.03.081
[2]. Cho Y.J., Sharma B.K., Sahu D.R. (1995), "Semi-compatibility and fixed
points", Math. Japon., (42), 91-98.
[3]. Gu F., Cui L.M., Wu Y.H. (2013), "Some fixed point theorems for new
contractive type mappings", J. Qiqihar Univ., 19, 85-89.
[4]. He X., Song M., Chen D. (2014), "Common fixed points for weak
commutative mappings on a multiplicative metric space", Fixed Point
Theory Appl., (48), 9 pages. doi: 10.1186/1687-1812-2014-48.
[5]. Jungck G. (1996), "Common fixed points for noncontinuous nonself maps
on nonmetric spaces", Far East J. Math. Sci., (4), 199-215.
[6]. Kang S., Kumar P., Kumar S., Nagpal P., Garg S.K. (2015), "Common
fixed points for compatible mappings and its variants in multiplicative
metric spaces", Int. J. Pure Appl. Math., (102), 383-406.
doi: 10.12732/ijpam.v102i2.14.
[7]. Kumar P., Kumar S., Kang S.M. 2016 , “Common fixed points for semi-
compatible mappings in multiplicative metric spaces”, Int. J. Pure Appl.
Math., (106), No2, 611-624.
[8]. Ozavsar M., C¸evikel A.C. (2012), "Fixed points of multiplicative
contraction mappings on multiplicative metric spaces",
arXiv:1205.5131v1 [math.GM].
[9]. Sarwar M., Badshah-e R. (2014), "Some unique fixed point theorems in
multiplicative metric space", arXiv:1410.3384v2 [math.GM].
39
