ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
Vilaisavanh LEUANGLITH ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ
ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
Vilaisavanh LEUANGLITH
ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ
ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. PHẠM VIỆT ĐỨC
THÁI NGUYÊN - 2015
i
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn này là sự nghiên cứu độc lập của tôi dưới sự hướng dẫn của
PGS.TS Phạm Việt Đức, các tài liệu tham khảo trong luận văn là trung thực.
Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào.
Tác giả
Vilaisavanh LEUANGLITH
ii
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên. Trong quá trình làm luận văn, em đã nhận được sự hướng dẫn tận tình
của PGS. TS. Phạm Việt Đức. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy đã
luôn chỉ bảo tận tình, hướng dẫn và giúp đỡ em để em có thể hoàn thành luận
văn. Đồng thời em cũng xin phép gửi tới các thầy cô giáo trong khoa Sau đại
học và khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên lời cảm
ơn chân thành vì đã quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành
tốt luận văn của mình.
Xin cảm ơn các bạn học viên lớp cao học toán K21 đã luôn động viên,
chia sẻ khó khăn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tới những người thân trong gia đình đã luôn
động viên, quan tâm giúp đỡ tôi trong quá trình học tập.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy
em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô để luận văn
được hoàn chỉnh hơn.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2015
Tác giả
Vilaisavanh LEUANGLITH
iii
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................ iii
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................. 2
1.1. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức ................................ 2
1.2. Giả khoảng cách tương đối Kobayashi .................................................. 3
1.3. Hàm độ dài và khoảng cách sinh bởi hàm độ dài ................................... 5
1.4. Metric vi phân Kobayashi ...................................................................... 6
1.5. Không gian phức hyperbolic .................................................................. 8
1.6. Không gian phức nhúng hyperbolic ....................................................... 9
1.7. Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với ánh xạ chỉnh hình ....... 10
CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH
XẠ CHUẨN TẮC ............................................................................................... 16
2.1. Ánh xạ chuẩn tắc và một số tính chất ................................................... 16
2.2. Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với ánh xạ chuẩn tắc ........ 20
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 34
1
MỞ ĐẦU
Một trong những kết quả quan trọng của giải tích phức hyperbolic là
định lý thác triển hội tụ Noguchi phát biểu như sau: ‘‘Cho là không gian con
phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic trong không gian phức . là
đa tạp phức và là divisor có giao chuẩn tắc trên . Giả sử
là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hội tụ đều trên các tập compact của tới
ánh xạ chỉnh hình
.
Giả sử tương ứng là các thác triển chỉnh hình của từ vào .
Khi đó trong ’’. Đã có nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên
cứu mở rộng định lý thác triển hội tụ định lý Noguchi lên các trường hợp khác
nhau. Mục đích của đề tài này là trình bày chi tiết kết quả của J. E. Joseph và
M. H. Kwach năm 1997 về mở rộng định lí thác triển hội tụ Noguchi đối với họ
các ánh xạ chuẩn tắc.
Bố cục của luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải
tích phức hyperbolic. Đồng thời, trình bày một số kết quả về định lí thác triển
hội tụ của Noguchi đối với ánh xạ chỉnh hình.
Chương 2: Định lí thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc.
Đây là nội dung chính của luận văn. Phần đầu chương trình bày về ánh
xạ chuẩn tắc và một số tính chất của nó. Phần tiếp theo là một số định lí thác
triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc.
2
CHƢƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức
1.1.1. Khoảng cách Bergman – Poincaré trên đĩa đơn vị
Giả sử là đĩa đơn vị mở trong .
Xét ánh xạ xác định bởi:
.
Ta có là một khoảng cách trên và gọi đó là khoảng cách Bergman
– Poincaré trên đĩa đơn vị.
1.1.2. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức
1.1.2.1. Định nghĩa
Giả sử là một không gian phức, và là hai điểm tùy ý của .
là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị vào không gian
phức được trang bị tôpô compact mở.
Xét dãy các điểm của , dãy các điểm
của và dãy các ánh xạ trong thỏa mãn
.
Ta gọi một dây chuyền chỉnh hình nối với là tập hợp :
thỏa mãn các điều kiện trên.
Ta đặt và định nghĩa trong đó
infimum lấy theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối với .
3
Dễ thấy thỏa mãn các tiên đề về giả khoảng cách, tức là:
. i)
. ii)
. iii)
Nói cách khác là một giả khoảng cách trên . Giả khoảng cách
được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức .
1.1.2.2. Tính chất
Ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau của :
i) và với mọi .
ii) Nếu là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức và
thì .
Từ đó suy ra rằng nếu là song chỉnh hình thì:
.
iii) Đối với một không gian phức tùy ý , hàm khoảng cách là lien
tục trên .
iv) Nếu và là các không gian phức thì với mọi và
thì ta có:
.
1.2. Giả khoảng cách tƣơng đối Kobayashi
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử là không gian phức và là không gian con phức compact
tương đối trong .
Đặt
gồm có nhiều nhất 1 điểm
Ta định nghĩa giả khoảng cách tương đối trên tương tự như giả
4
khoảng cách Kobayashi trên , nhưng chỉ dùng các dây chuyền chỉnh hình
thuộc . Cụ thể, xét dãy các điểm của , dãy các điểm
của và dãy các ánh xạ trong thỏa mãn
Tập hợp thỏa mãn các điều kiện trên được gọi
là một dây chuyền chỉnh hình nối và trong .
Ta định nghĩa
và
trong
,
là tập hợp tất cả các đây chuyền chỉnh hình nối
trong đó .
Khi đó là một giả khoảng cách trên và gọi là giả
khoảng cách tương đối Kobayashi.
Nếu hoặc nằm trên biên của , dây chuyền chỉnh hình nối giữa hai
điểm có thể không tồn tại. Trong trường hợp này ta định nghĩa
.
1.2.2. Một số tính chất của giả khoảng cách tƣơng đối Kobayashi
1.2.2.1. Giả khoảng cách tương đối Kobayashi là mở rộng của giả khoảng
cách Kobayashi theo nghĩa .
1.2.2.2. Vì , ta có
.
1.2.2.3. .
Thật vậy, bất đẳng thức là trường hợp đặc biệt của tính chất
trên. Dùng ánh xạ đồng nhất như là dây chuyền chỉnh hình nối hai
điểm của ta nhận được bất đẳng thức ngược lại.
5
1.2.2.4. Tính chất giảm khoảng cách
Giả sử tương ứng là các không gian con phức compact tương đối
của các không gian phức . Nếu là ánh xạ chỉnh hình thỏa
mãn , thì
.
Hơn nữa, là khoảng cách lớn nhất trên trong các giả khoảng
cách có tính chất giảm qua các ánh xạ chỉnh hình . Tức là, nếu là
giả khoảng cách trên thỏa mãn
với và ,
thì
với .
1.2.2.5. Định lí
Giả sử và . Khi đó với và ta có
.
1.2.2.6. Hệ quả
.
1.2.2.7. Mệnh đề
Giả sử . Khi đó
(i) liên tục trên và nửa liên tục dưới trên .
(ii) Nếu là phần bù của tập con giải tích đóng của thì liên
tục trên .
1.3. Hàm độ dài và khoảng cách sinh bởi hàm độ dài
Giả sử là đa tạp phức, một hàm độ dài trên nón tiếp tuyến là
hàm thực, không âm, liên tục và thỏa mãn:
nếu . i.
ii. với .
6
Nếu là đa tạp phức và là hàm độ dài trên ta gọi là hàm
khoảng cách trên sinh bởi hàm độ dài được định nghĩa như sau:
Nếu là đường cong lớp trên , ta định nghĩa
Và gọi là độ dài đường cong ứng với hàm đội dài .
Với , ta gọi đường nối giữa và là hợp của hữu hạn các
đường cong lớp sao cho điểm cuối của đường này là đểm đầu của
đường tiếp theo. Đội dài của đường nối giữa và ứng với hàm độ dài
cho trước được định nghĩa của là tổng của các độ dài của các đường cong
lớp thành phần.
Khoảng cách sinh bởi hàm độ dài là khoảng cách được xác định bởi
trong đó infimum được lấy theo tất cả các đường nới với .
Nếu là đa tạp hyperbolic và là đa tạp phức với hàm độ dài thì ta
định nghĩa chuẩn của ánh xạ tiếp xúc của ứng với hàm độ
dài , xác định bởi:
trong đó
1.4. Metric vi phân Kobayashi
1.4.1. Định nghĩa
Giả sử là đa tạp phức. Khi đó ta định nghĩa là vi phân Kobayashi
trên được xác định bởi :
trong đó
; là ánh xạ tiếp xúc của và là véc tơ đơn vị tại .
7
1.4.2. Một số tính chất của
i. Nếu là hai không gian phức thì
với .
Đặc biệt dấu bằng xảy ra khi là song chỉnh hình.
ii. + Trong đĩa đơn vị , đồng nhất với metric Bergman-Poicaré, tức
là .
+ .
iii. Trong không gian phức ta có
.
Hơn nữa nếu là một hàm tựa chuẩn xác định trên thỏa mãn
với ,
thì
.
iv. Giả sử là các không gian phức, ta có
với .
v. Giả sử là không gian phức và là không gian phủ chỉnh
hình của . Khi đó .
1.4.3. Định lí
Giả sử là đa tạp phức, . Khi đó
trong đó infimum được lấy theo tất cả các đường cong trơn từng khúc
nối với và
.
8
1.4.4. Định nghĩa
Giả sử là đa tạp con phức của đa tạp phức . Ta định nghĩa metric vi
phân như sau :
với ,
trong đó
1.5. Không gian phức hyperbolic
1.5.1. Định nghĩa
Không gian phức được gọi là không gian hyperbolic nếu giả khoảng
cách Kobayashi là khoảng cách trên , tức là:
.
1.5.2. Ví dụ
(1). là không gian phức hyperbolic vì mà là khoảng cách
trên nên cũng là khoảng cách trên .
(2). không là hyperbolic. Thật vậy, giả sử là giả khoảng cách
Kobayashi trên , ta chỉ ra rằng và do đó không phải là khoảng
cách trên . Với ta xét ánh xạ:
Khi đó là ánh xạ chỉnh hình, . Do làm giảm khoảng
cách đối với và nên ta có:
.
Cho ta có . Vậy không là hyperbolic.
1.5.3. Tính chất
i) Nếu là các không gian phức thì là không gian hyperbolic
9
khi và chỉ khi cả và đều là các không gian hyperbolic.
ii) Không gian con phức của một không gian hyperbolic là không gian
hyperbolic.
iii) Giả sử là không gian phức, là không gian hyperbolic và
là ánh xạ chỉnh hình và là đơn ánh thì cũng là hyperbolic.
1.6. Không gian phức nhúng hyperbolic
1.6.1. Định nghĩa
Giả sử là không gian con phức của không gian phức . Khi đó ta nói
là nhúng hyperbolic trong nếu luôn tồn tại các lân cận
mở của và của trong sao cho . Trong đó
là giả khoảng cách Kobayashi trên .
1.6.2. Nhận xét
i) Không gian phức là hyperbolic khi và chỉ khi là nhúng
hyperbolic trong chính nó.
ii) Nếu là nhúng hyperbolic trong và là nhúng hyperbolic trong
thì là nhúng hyperbolic trong .
iii) Nếu có hàm khoảng cách trên thỏa mãn với
mọi thì là nhúng hyperbolic trong .
1.6.3. Định lí
Giả sử là không gian con phức của không gian phức . Khi đó các
điều kiện sau là tương đương
HI1. là nhúng hyperbolic trong .
HI2. là hyperbolic và là các dãy trong thỏa mãn
thì .
HI3. Giả sử là các dãy trong thỏa mãn
.
10
Khi đó nếu khi thì .
HI4. Cho hàm độ dài trên , tồn tại hàm liên tục, dương trên
sao cho với mọi ta có
,
trong đó là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị .
HI5. Tồn tại hàm độ dài trên sao cho với mọi ta có
.
1.6.4. Định lí
Giả sử là một không gian phức, compact tương đối trong không gian
phức . Khi đó là nhúng hyperbolic trong nếu và chỉ nếu :
.
1.7. Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với ánh xạ chỉnh hình
1.7.1. Định nghĩa
Giả sử là một đa tạp phức chiều và là một divisor. Ta nói có
giao chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức trong
sao cho về mặt địa phương
với
1.7.2. Định lí Noguchi trên
Cho là không gian con phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic
trong không gian phức . Cho và . Khi đó nếu
thì . Trong đó lần lượt là các thác triển của .
1.7.3. Định lí Noguchi
Cho là không gian con phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic
trong không gian phức . là đa tạp phức và là divisor có giao chuẩn
tắc trên . Giả sử
11
là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hội tụ đều trên các tập compact của tới
ánh xạ chỉnh hình
.
Giả sử tương ứng là các thác triển chỉnh hình của từ vào .
Khi đó trong .
1.7.4. Định lí Ascoli
1.7.4.1. Định nghĩa
Giả sử là một họ nào đó các ánh xạ từ không gian tô pô vào không
gian tô pô . Họ được gọi là liên tục đồng đều từ tới nếu với
mỗi lân cận của điểm đều tìm được một lân cận của và lân cận
của điểm sao cho
nếu thì với mọi .
Nếu là liên tục đồng đều với mọi và mọi thì được gọi
là liên tục đồng đều từ đến .
1.7.4.2. Định lí Ascoli
Giả sử là một không gian chính quy compact địa phương và là một
không gian chính quy. Khi đó, họ là compact tương đối trong
khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(1) là liên tục đồng đều,
là compact tương đối trong với mỗi (2)
1.7.5. Hàm đa điều hòa dƣới
+ Giả sử là miền trong . Một -hàm xác định trên được gọi
là điều hòa nếu
trên .
12
+ Hàm được gọi là điều hòa dưới trong miền nếu
thỏa mãn hai điều kiện sau:
i) là nửa liên tục trên trong , tức là tập là tập mở
với mỗi số thực ;
ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối của và mọi hàm
là điều hòa trong và liên tục trong ta có: nếu trên
thì trên .
Giả sử là một đa tạp phức và là một siêu mặt phức của . Giả sử
là một không gian con phức của không gian phức .
1.7.6. Định nghĩa
Một không gian phức được gọi là siêu lồi nếu là Stein và tồn tại
một hàm đa điều hòa dưới liên tục sao cho
là compact với mỗi .
1.7.7. Định lý
Giả sử là một đa tạp phức và là một siêu mặt phức của . Giả sử
là một miền hyperbolic compact tương đối trong không gian phức . Giả
sử có một lân cận của trong sao cho là siêu lồi. Khi đó bất kỳ
ánh xạ chỉnh hình đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình
từ vào trong .
Hơn nữa, nếu là dãy các ánh xạ chỉnh hình mà hội
tụ đều trên các tập con compact của tới ánh xạ chỉnh hình
, thì cũng hội tụ đều trên các tập con compact của tới
, ở đó và là các thác triển chỉnh hình của và
trên .
Chứng minh.
(i) Trước hết là xét trường hợp khi và .
13
Theo định lý của Kobayashi, ta chỉ cần chứng minh có một dãy hội
tụ đến một điểm của .
Giả sử khẳng định trên là sai. Khi đó ta có thể giả thiết với mỗi dãy
với , dãy hội tụ đến một điểm trong . Do đó, ta
có thể tìm được đủ nhỏ sao cho . Gọi là hàm đa điều hòa
khi đó
dưới vét cạn của . Đặt trên là hàm điều hòa dưới, và
với mỗi dãy với , . Điều này kéo theo thác triển
liên tục được đến hàm trên . Theo định lý về khử kỳ dị của các hàm điều
hòa, ta có là hàm điều hòa dưới trên . Ta có nếu và
, vì vậy đạt cực đại tại gốc . Điều này là vô lý.
(ii) Bây giờ ta chứng minh rằng mỗi ánh xạ chỉnh hình
đều thác triển chỉnh hình được trên .
Ta có thể giả thiết không có kỳ dị, tức là ta thác triển lên
sau đó lên và cứ tiếp tục như vậy, trong đó là tập các kỳ dị
của không gian phức .
Bằng cách địa phương hóa ánh xạ , ta có thể giả thiết rằng
và .
Với mỗi , xét ánh xạ chỉnh hình được cho bởi
với mỗi .
Theo (i), tồi tại thác triển chỉnh hình của với mỗi .
Định nghĩa ánh xạ bởi với mọi
. Ta chỉ cần chứng minh rằng là liên tục tại
.
14
Thật vậy, giả sử sao cho
.
Lấy dãy sao cho . Ta có
với mọi .
Từ đó
,
tức là
khi ,
Điều này kết thúc bước 2 của chứng minh.
(iii) Giả sử thỏa mãn
trong .
Ta sẽ chứng tỏ rằng trong .
Trước hết ta có thể giả thiết không có kỳ dị vì khẳng định của ta đúng
trên sau đó trên và cứ tiếp tục như vậy.
Giả sử là điểm tùy ý của . Ta có thể giả thiết và
và . Đặt . Với điểm và số thực
dương , ta đặt
.
Tương tự, với điểm và , ta đặt
.
15
Trước hết ta chứng tỏ rằng với số bất kỳ, tồn tại lân cận của
trong sao cho và với mọi . Thật
vậy, lấy điểm
.
Ta có . Có số nguyên sao cho
với mọi .
Vì vậy ta có
.
Đặt
.
Khi đó
và với mọi .
Lấy đủ nhỏ sao cho được chứa trong một lân cận tọa độ
địa phương của trong . Chọn đủ bé sao cho . Vì
hội tụ đều đến , từ nguyên lý cực đại suy ra sự hội tụ đều của
với giới hạn . Định lý được chứng minh.
16
CHƢƠNG 2
ĐỊNH LÍ THÁC TRIỂN HỘI TỤ
ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC
2.1. Ánh xạ chuẩn tắc và một số tính chất
Cho là các không gian tôpô. Ta có các kí hiệu sau :
+ là compact hóa 1 điểm của không gian phức .
+ là không gian các hàm liên tục từ vào .
+ Ta định nghĩa trong đó là các
không gian hàm.
2.1.1. Định nghĩa
Cho là các không gian phức. Một họ là chuẩn tắc
đều trong nếu là compact tương đối trong
với mỗi đa tạp phức . Ta nói rằng là một ánh xạ chuẩn tắc nếu họ là
chuẩn tắc đều.
2.1.2. Mệnh đề
Nếu X, Y là các không gian phức và là họ chuẩn tắc đều nếu
và chỉ nếu là compact tương đối trong
Từ mệnh đề 2.1.2 năm 1973, Kierman [9] đã chứng minh được kết quả
sau:
2.1.3. Mệnh đề
Một không gian con phức X compact tương đối của một không gian phức
là nhúng hyperbolic trong khi và chỉ khi là compact tương đối
trong ; hay nói cách khác, khi và chỉ khi là tập con chuẩn
tắc đều của
17
Năm 1971, Royden [13] và Abate [2] năm 1993 đã chỉ ra
2.1.4. Mệnh đề
Một đa tạp phức M là hyperbolic khi và chỉ khi là liên tục
đồng đều. Hơn nữa, ta có M là hyperbolic khi và chỉ khi là compact
tương đối trong Do đó, là họ chuẩn tắc đều khi và chỉ
khi M là hyperbolic.
Năm 1994, Joseph và Kwack [8] đã chứng minh được
2.1.5. Mệnh đề
Một không gian con phức của một không gian phức là nhúng
hyperbolic trong khi và chỉ khi là compact tương đối trong
hay khi và chỉ khi là tập con chuẩn tắc đều của
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng họ các ánh xạ giảm khoảng cách giữa những
không gian metric X, Y là compact tương đối trong tập các ánh xạ chỉnh hình từ
không gian X vào không gian compact hóa một điểm theo Alexandroff của
không gian Y.
2.1.6. Mệnh đề
Giả sử là một không gian metric compact địa phương, X là một
không gian tôpô và cho là giả metric trên X, liên tục trên Khi đó,
nếu với mỗi là giảm khoảng cách tương ứng với thì F
là compact tương đối trong
Chứng minh.
Ta sẽ chỉ ra rằng họ F là liên tục đồng đều từ X vào
Thật vậy, ta giả sử ngược lại họ F không liên tục đồng đều từ X vào
Khi đó, tồn tại các điểm và các dãy sao
cho
18
+) Nếu thì với mỗi ta có:
Do đó, và Suy ra mâu thuẫn.
+) Nếu thì với mỗi ta có:
Do đó, và Suy ra mâu thuẫn.
Vậy F là liên tục đồngđều từ X vào Định lí được chứng minh.
2.1.7. Định lí
Cho là đa tạp phức và là không gian phức. Khi đó họ
là chuẩn tắc đều khi và chỉ khi có một hàm độ dài trên
sao cho với mỗi .
Chứng minh.
* Điều kiện cần
Rõ ràng ta có là tập con liên tục đồng đều của .
Ta có với mỗi hàm độ dài E trên Y và tập compact tồn tại
sao cho trên với mỗi .
Thật vậy, ta giả sử ngược lại, nếu tồn tại một tập compact không
thỏa mãn điều kiện trong phát biểu trên đối với hàm độ dài E thì khi đó tồn tại
các dãy và trong đó
và
Từ đó suy ra và tồn tại một dãy thỏa mãn:
và
Cho V là một lân cận compact tương đối của q nhúng hyperbolic trong Y.
19
Vì là tập con liên tục đồng đều của nên tồn tại một số
sao cho
Mặt khác, có một dãy con là hạn chế của trên mà ta vẫn ký hiệu là
là chuẩn tắc đều và do đó ta có dãy là compact tương đối
trong Suy ra, tồn tại một dãy con của dãy hội tụ tới
Điều này mâu thuẫn với Để hoàn thiện chứng
minh điều kiện cần ta chọn các dãy sao cho là mở và compact
tương đối trong ,
và trên với mỗi .
Ta chọn hàm liên tục, dương trên sao cho trên . Hàm độ
dài H trên xác định bởi với thỏa mãn với
mỗi .
* Điều kiện đủ
Từ giả thiết suy ra tồn tại hàm khoảng cách trên Y sao cho với mỗi
là ánh xạ giảm khoảng cách từ tới . Khi đó từ mệnh đề
2.1.2 và 2.1.6 ta có là họ chuẩn tắc đều.
Định lí được chứng minh.
2.1.8. Một số ví dụ về họ chuẩn tắc đều
2.1.8.1. Ví dụ
Giả sử và là một đĩa đóng và ký hiệu là
biên của cho và lần lượt là diện tích cầu của và
độ dài cầu của Lấy và
.
20
Khi đó, Hayman ([6], trang 164) đã chứng chỉ ra rằng là bất biến
và chuẩn tắc theo định nghĩa của Montel. Do đó, là chuẩn tắc đều.
2.1.8.2. Ví dụ
Giả sử M là một đa tạp phức, và là một họ các
ánh xạ sao cho với mỗi tồn tại các điểm với
trong đó là metric cầu. Khi đó, Carathéodory
([4], trang 202) đã chứng minh rằng là chuẩn tắc theo định nghĩa
của Montel. Vì vậy F là chuẩn tắc đều.
2.2. Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với ánh xạ chuẩn tắc
2.2.1. Định lý
Cho là đa tạp con nhúng hyperbolic của một đa tạp phức và cho
là không gian phức. Các điều kiện sau là tương đương đối với
:
là chuẩn tắc đều.
(1)
là các dãy trong
(2) Nếu và , , , tương
ứng, sao cho và , khi đó với mỗi lân cận của có số ,
, thỏa mãn .
(3) Có hàm độ dài trên sao cho với mỗi .
Chứng minh.
(1) (2). Từ định lý 2.1.7 và là hyperbolic, ta có hàm độ dài trên
sao cho mỗi là giảm khoảng cách ứng với và . Lập
luận tương tự như chứng minh trong [10] của Kiernan và (1) (2) của định
lý 1 trong [8] của Joseph và Kwack năm 1994 ta có (2).
(2) (3). Ta chứng minh rằng với tập compact và hàm độ dài
trên tồn tại sao cho khi ,
21
và . Ta lập luận tương tự như chứng minh của định lý 2.1.7. Giả
sử là compact và không thỏa mãn kết luận của định lý đối với hàm độ
dài . Ta chọn và các dãy , , sao cho
, , , ,
và sao cho . Ta chọn các dãy trong , trong (1,2) thỏa
mãn và . Giả sử tồn tại ,
, sao cho dãy con của dãy hạn chế của đến , vẫn gọi là
, thỏa mãn ; với như vậy, từ (2) ta có
là liên tục đồng đều. Vì ta nhận được mâu thuẫn
tương tự như chứng minh điều kiện cần của định lý 2.1.7. Ta chọn dãy
trong sao cho và , và dãy trong sao cho
;
Đặt xác định trên . Khi đó ,
và . Cho và cho là lân cận của
compact tương đối và nhúng hyperbolic trên . Tồn tại , sao cho
; vì vậy thác triển được thành . Từ định lý 2 [8], tồn
tại dãy con của , vẫn ký hiệu là , thỏa mãn
. Điều này mâu thuẫn với
(3) (1). Dễ dàng suy ra từ định lý 2.1.7 vì trên N.
Định lý được chứng minh.
2.2.2. Bổ đề
Cho là họ chuẩn tắc đều. Nếu , là các dãy
trong , tương ứng sao cho và , thì khi
22
đó với mỗi lân cận của ,có lân cận của trong sao cho
.
Chứng minh.
Ta chứng minh quy nạp theo . Theo (2) của định lý 2.2.1 ta có bổ đề
đúng với . Giả sử bổ đề đúng đối với số nguyên nhưng không đúng đối
với số nguyên . Lấy là họ chuẩn tắc đều, ,
là các dãy trong sao cho , , và cho là dãy
trong sao cho trong khi . Cho , là các lân cận
mở compact tương đối của sao cho và giả thiết rằng .
Đặt , và trong đó và ,
. Đặt
và
.
Khi đó và đều là họ chuẩn tắc đều;
là dãy trong và . Bởi giả thiết quy nạp
ta chọn lân cận của sao cho và .
Khi đó tồn tại dãy con của , vẫn gọi là , sao cho
; ; và ta chọn lân cận
của trong sao cho . Cuối cùng ,
điều này là mâu thuẫn. Vậy định lý được chứng minh.
Nếu là dãy các tập con của một không gian tô pô. Ta định nghĩa
giới hạn trên của dãy là tập hợp các phần tử của không gian mà mỗi lân
cận của đều giao với vô hạn tập . Ta ký hiệu là lim sup .
23
2.2.3. Định lý
Giả sử là đa tạp phức và là divisor có giao chuẩn tắc trong . Giả
sử là họ chuẩn tắc đều và là bao đóng của trong
. Khi đó
(1) Mỗi đều thác triển được thành .
(2) là compact trong .
(3) Nếu và thì .
(4) Với mỗi dãy trong , có dãy con của sao cho
trong tô pô của , với mỗi cặp , là các tập con rời nhau của với là
compact trong và là đóng trong .
(5) Nếu là hyperbolic và , khi đó là chuẩn
tắc đều.
Chứng minh.
Để chứng minh (1) và (2) trước hết ta chứng minh với mỗi đều thác
triển được thành và là compact tương đối trong
.
Vì bài toán là địa phương nên ta có thể giả thiết rằng và
. Do đó ta chỉ cần chứng minh với mỗi có thác triển
và là compact tương đối trong .
Theo định lý Ascoli, ta chỉ cần chứng minh là liên tục đồng
đều trong
Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại , các dãy , trong
24
cùng hội tụ tới và có dãy mà và .
Điều này mâu thuẫn với bổ đề 2.2.2. Vậy ta có là compact tương
đối trong .
Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại thác triển của ánh xạ Khi đó xác
định duy nhất, do đó với và ở trên ta định nghĩa
Rõ rang trên , vì nếu ta chọn dãy
với mọi , thì với mọi .
Vậy theo định lý thác triển Riemann, để chứng minh là thác triển chỉnh
hình của ta chỉ cần chứng minh là liên tục.
Nếu và là lân cận mở của thì gọi là lân cận
compact tương đối của sao cho . Theo bổ đề 2.2.2 tồn tại lân cận mở
của trong sao cho . Khi đó
.
Nếu , theo bổ đề 2.2.2 tồn tại lân cận mở của trong
sao cho . Từ đó ta có liên tục.
Để kết thúc chứng minh (1) ta lấy Khi đó tồn tại dãy trong
sao cho khi . Do là compact tương đối trong
nên tồn tại dãy con sao cho . Rõ
ràng ( vì chúng bằng nhau trên ). Vậy (1) được chứng minh.
Để chứng minh (2) ta chứng minh
.
Với ta chọn dãy sao cho .
25
Do tính compact tương đối của trong và sự tồn tại
thác triển trong i), suy ra có dãy con sao cho , vì vậy
.
Do đó
.
Ngược lại, với , tồn tại dãy
. mà
Suy ra
. trên với
Từ đó, . Vậy
Hay ta có
Vậy (2) được chứng minh.
(3) Giả sử và . Ta chứng minh
khi .
Theo (1) thì các và luôn tồn tại.
Theo (2), vì compact trong , nên mọi dãy
con của đều có dãy con hội tụ tới . Do đó
khi .
Vậy (3) được chứng minh.
Để chứng minh (4), từ (2) suy ra có dãy con của sao cho
26
. Nếu , là các tập con compact, đóng tương ứng của
và
,
khi đó với mỗi lân cận mở của , và
. Do đó trong . Vì là compact trong
và là đóng trong , nên .
Cuối cùng chúng ta chứng minh (5). Từ (3) của định lý 2.2.1, cho là hàm
khoảng cách trên như vậy đối với mọi . Cho
là dãy trong sao cho . Từ đó kéo theo
. Định lí được chứng minh.
2.2.4. Nhận xét
Các kết quả (1), (2) và (3) trong định lý 2.2.3 là mở rộng của các kết quả
sau của Joseph và Kwack trong [8] đối với họ chuẩn tắc đều.
2.2.4.1. Định lí
Cho là không gian con phức, nhúng hyperbolic trong không gian
phức . là đa tạp phức và là divisor có giao chuẩn tắc trên . Khi đó
ta có :
(a) Với mỗi trong được thác triển
thành và
(b) Nếu là một dãy trong ,
thì .
2.2.4.2. Định lí
Cho là không gian con phức của không gian phức , là đa tạp
phức và là divisor có giao chuẩn tắc trên , khi đó là nhúng
27
hyperbolic trong khi và chỉ khi là compact trong
.
2.2.4.3. Định lí
Cho là không gian con phức,, nhúng hyperbolic trong không gian
phức . là đa tạp phức và là divisor có giao chuẩn tắc trên . Khi đó
nếu là một dãy trong và thì
.
Kết quả (5) trong định lý 2.2.3 là mở rộng một kết quả của Javi [7]. Đặc
biệt ta có hệ quả sau:
2.2.5. Hệ quả
Cho là không gian phức và cho và là các đa tạp hyperbolic
mà xác định bởi một trong 4 trường hợp sau:
(1) và .
(2) và .
(3) là tập con giải tích đóng của có đối chiều ít nhất bằng 2.
(4) là n chiều và là tập con đóng chiều của có độ đo
Hausdorff bằng 0.
Cho là họ chuẩn tắc đều và là bao đóng trong
. Khi đó là chuẩn tắc đều.
Chứng minh.
Chứng minh được suy ra từ (5) của định lý 2.2.3 trong trường hợp
(xem[3]). Hệ quả được chứng minh.
2.2.6. Định lý
Cho , là các không gian phức và , là
28
bao đóng trong . Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(1) là chuẩn tắc đều.
(2) là chuẩn tắc đều.
(3) là compact tương đối trong .
(4) Đối với mỗi dãy trong có dãy con của
sao cho
trong tô pô của với mỗi cặp tập con nhau , của mà là compact
trong và là đóng trong .
thỏa mãn 3 điều kiện sau :
(5) (a) là compact tương đối trong ,
(b) mỗi thác triển đến , và
(c) Nếu là dãy trong sao cho , khi đó
.
Chứng minh.
(1) (2) Được suy ra từ mệnh đề 2.1.2.
(2) (3) Được suy ra từ (2) của định lý 2.2.3 và bao hàm tập hợp
.
(3) (1) Vì là tập con của tập hợp các thác triển trong (3)
nên ta suy ra ngay điều phải chứng minh.
(2) (4) Được suy ra từ (2) và (4) của định lý 2.2.3.
29
(4) (3) Ta chứng tỏ rằng là liên tục đồng
đều. Nếu trường hợp này không xảy ra ta chọn các dãy con trong
, , trong , , , và các lân cận mở ,
trong của sao cho , là compact, , ,
và . Đối với bất kỳ dãy con của ta có
mặc dù . Vậy (4) không xảy ra. Điều này mẫu thuẫn với giả
thiết nên (3) được chứng minh.
(2) (5). Điều kiện (a) được suy ra từ định nghĩa, điều kiện (b)
được suy ra từ (1) của định lý 2.2.3 và điều kiện (c) được suy ra từ (3) của
định lý 2.2.3.
(5) (3). Cho là dãy trong . Bởi điều kiện (a) tồn
tại dãy con của sao cho ; , tồn tại với
mỗi được suy ra từ điều kiện (b) và được suy ra từ điều kiện (c).
Định lý được chứng minh.
Kiernan [9] đã đưa ra một minh họa cho khái niệm nhúng hyperbolic
bằng cách chứng minh rằng không gian con phức compact tương đối của
không gian phức là nhúng hyperbolic trong khi và chỉ khi có hàm độ dài
trên sao cho đối với mỗi . Định lý 2.2.7 sau minh
họa thêm vai trò của tính nhúng hyperbolic trong việc khái quát của Kobayashi
về định lý Picard lớn ([11], Định lý 6.1). Zaidenberg cũng đã chứng minh một
số các tiêu chuẩn khác cho tính nhúng hyperbolic và tính hyperbolic của các
không gian phức trong [14].
30
2.2.7. Định lý
Cho là không gian con phức của không gian phức . Các điều kiện
sau là tương đương:
(1) là nhúng hyperbolic trong .
(2) là họ con chuẩn tắc đều của .
(3) Tồn tại hàm độ dài trên sao cho mỗi thỏa mãn
.
(4) Tồn tại hàm khoảng cách trên sao cho mỗi ánh xạ là
giảm khoảng cách ứng với và .
Chứng minh.
(1) (2). Hiển nhiên ta có
và do đó là họ con chuẩn tắc đều của (Xem mệnh đề
2.1.3).
(2) (3). Vì là nhúng hyperbolic trong , nên theo (3) của định lý
2.2.1 tồn tại hàm độ dài trong thỏa mãn
đối với mỗi .
(3) (4). Hàm khoảng cách trên sinh bởi hàm độ dài trong (3) thỏa
mãn yêu cầu của (4)
(4) (1). Từ mệnh đề 2.1.6 ta suy ra là compact tương đối
trong , lấy là dãy trong sao cho
trên . Ta chứng minh rằng thác triển đến và trên
. Từ đó theo mệnh đề 2.1.3 ta suy ra được (4) (1). Nếu với mỗi tập
compact tồn tại lân cận của 0 trong thỏa mãn , thì
31
sẽ thác triển được đến bằng cách định nghĩa và
trên . Nếu không chúng ta chọn một dãy con của , vẫn gọi là
, dãy trong và sao cho , . Nếu ,
độ dài hyperbolic của trong hội tụ đến 0. Từ (4) và lập
luận tương tự như Grauert và Reckziegel ([5], tr. 120) ta suy ra ,
với bất kỳ dãy mà . Do đó có thể thác triển đến
bằng cách định nghĩa , và trên . Định lý
được chứng minh.
2.2.8. Nhận xét
Tương đương (1) (3) trong định lý 2.2.7 cho thấy việc mở rộng kết
quả của Kiernan khi bỏ đi điều kiện compact tương đối của trong và thay
được trong kết quả của Kiernan bởi .
2.2.9. Nhận xét
Cho là không gian con phức của không gian phức . Kwack tổng
quát của định lý Picard lớn bởi thiết lập rằng được thác triển
đến nếu
(1) tồn tại hàm khoảng cách trên sao cho là giảm khoảng cách đối
với và ,
(2) tồn tại dãy trong và sao cho và
(Định lý 3 trong [12]).
Ta thấy rằng từ(1) (3) trong định lý 2.2.7 các giả thiết của Kobayashi
[19] khi tổng quát kết quả Kwack, tất cả đều thỏa mãn điều kiện
(1) và (2) ở trên.
32
2.2.10. Nhận xét
Tương đương (1) (2) của định lý 2.2.7 chứng tỏ rằng không gian phức
là hyperbolic khi và chỉ khi là họ con chuẩn tắc đều của
. Kết quả này là một mở rộng kết quả của Abate [2] khi thay bởi
(xem mệnh đề 2.1.4).
33
KẾT LUẬN
Luận văn này nghiên cứu về định lí thác triển hội tụ Noguchi đối với họ
các ánh xạ chuẩn tắc. Luận văn đã đạt được một số kết quả chính sau :
1. Trình bày một cách hệ thống một số kiến thức cơ sở của giải tích
phức hyperbolic như : Giả khoảng cách Kobayashi, không gian phức
hyperbolic, giả khoảng cách tương đối Kobayashi, không gian phức nhúng
hyperbolic,….
2. Trình bày được một số định lí thác triển hội tụ Noguchi và kiểu
Nugochi đối với họ các ánh xạ chỉnh hình.
3. Trình bày được định nghĩa và một số tính chất của ánh xạ chuẩn tắc.
4. Trình bày được một số định lí thác triển hội tụ Noguchi đối với họ các
ánh xạ chuẩn tắc.
34
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Phạm Việt Đức (2005), “Mở đầu về lý thuyết các không gian phức
hyperbolic”, Nhà xuất bản Đại học sư phạm Hà Nội.
Tiếng Anh
[2] M. Abate (1993), “A characterization of hyperbolic manifolds”, Proc.
Amer. Math. Soc. 117, 789-793.
[3] L. A Campbell, A. Howard and T. Ochiai (1976), “Moving holomorphic
disks off analytic subsets”, Proc. Amer. Math. Soc. 60, 106-108.
[4] C. Carathéodory (1954), “Theory of Functions”, Vol. II, Chelsea, New
York.
[5] H. Grauert and H. Reckziegel (1965), “Hermitesche Metriken und
normale Familien hopomorpher Abbildunger”, Math. Z. 89, 108-125.
[6] W. K. Hayman(1964), “Meromorphic Functions”, Oxford Univ. Press,
Oxford.
[7] P. Jarvi (1988), “An Extension theorem for nomal functions in several
variables”, Proc. Amer. Math. Soc. 103, 1171-1174.
[8] J. E. Joseph and M. H. Kwack (1994), “Hyperbolic imbedding and
spaces of continuous extension of holomorphic maps”, Jour. Geom.
Analysis 4, (3), 361-378.
[9] P. Kiernan(1973), “Hyperboliccally imbedded space ang the big picard
theorem”, Math. Ann. 204, 203-209.
[10] P. Kiernan(1972), “Extension of holomorphic maps”, Trans. Amer.
Math. Soc. 172, 347-355.
[11] S. Kobayashi (1970), “Hyperbolic Manifolds and Holomorphic
Mapping”, Marcel Dekker, New York.
[12] M.H. Kwack (1969), “Generalization of the big picard theorem”, Ann.
Of math. 90(2), 9-22.
35
[13] H. Royden (1971), “Remarks on the Kobayashi metric”, Proc.
Maryland Conference on several complex variables, Lecture Notes, Vol.
185, Springer-Verlag, Berlin, pp. 125-137.
[14] M. G. Zaidenberg (1983), “Picard’s theorem and hyperbolicity”,
Siberian Math. J. 24, 858-867.
