Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình dạng Divergence

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Quỳnh Như

MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM

CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG DIVERGENCE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Quỳnh Như

MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM

CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG DIVERGENCE

Chuyên ngành: Toán giải Tích

Mã số : 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ với tên đề tài: “Một số kết quả chính

quy nghiệm cho phương trình dạng Divergence” là do tôi thực hiện, dưới sự

hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thành Nhân. Các nội dung nghiên cứu

và kết quả trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong tài liệu

tham khảo.

TP. Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 3 năm 2019

Học viên

Nguyễn Thị Quỳnh Như

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn này, lời đầu tiên tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành

và sâu sắc nhất đến thầy TS. Nguyễn Thành Nhân đã hướng dẫn tôi hết sức

tận tình và đầy nhiệt tâm trong suốt quá trình viết luận văn. Những nhận xét

và đánh giá của thầy, đặc biệt là những gợi ý về hướng giải quyết vấn đề

trong suốt quá trình nghiên cứu, thực sự là những bài học vô cùng quý giá đối

với tôi không chỉ trong quá trình viết luận văn mà cả trong hoạt động nghiên

cứu chuyên môn sau này.

Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu nhà trường Đại học Sư Phạm Thành phố

Hồ Chí Minh, ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, các thầy cô giáo trong bộ môn

Toán cùng quý thầy cô giáo đã tận tình truyền đạt kiến thức trong thời gian tôi

học tập và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và

nghiên cứu thực hiện đề tài.

Cuối cùng tôi kính chúc quý thầy, cô giáo dồi dào sức khỏe và thành công

trong sự nghiệp cao quý. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia

đình và tất cả bạn bè đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và

thực hiện đề tài.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

TP.Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 3 năm 2019

Học viên

Nguyễn Thị Quỳnh Như

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan ..................................................................................................... 1

Lời cảm ơn ......................................................................................................... 2

Mục lục .............................................................................................................. 3

Danh mục các kí hiệu ........................................................................................ 4

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1

Chương 1. KHÁI QUÁT VÀ CÁC KÝ HIỆU .............................................. 4

1.1. Tính giải được của bài toán divergence .................................................. 4

1.2. Định nghĩa một số miền có liên quan ...................................................... 6

1.3. Một số kết quả tương đương trong các miền chính quy ......................... 7

Chương 2. BÀI TOÁN DIVERGENCE TRÊN MIỀN HOLDER-𝜶 ......... 9

2.1. Bất đẳng thức dạng Korn trên miền Holder-𝛂 ........................................ 9

2.2. Nghiệm của bài toán divergence trong miền Holder-𝛂 ......................... 13

2.2.1. Hàm trọng bên trái ........................................................................... 14

2.2.2. Hàm trọng ở cả hai bên ................................................................... 16

2.3. Một số miền Holder-𝛂 đặc biệt với đỉnh bên ngoài .............................. 17

Chương 3. BÀI TOÁN DIVERGENCE TRÊN MIỀN CHÍNH QUY ..... 22

3.1. Lớp hàm Muckenhoupt 𝐀𝐩 ................................................................... 22

3.2. Toán tử divergence có trọng trên miền hình sao ................................... 22

Chương 4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG ............................................................... 28

4.1. Sự tương đương với bất đẳng thức Korn ............................................... 28

4.1.1. Bài toán divergence kéo theo bất đẳng thức Korn .......................... 30

4.1.2. Bất đẳng thức Korn kéo theo bài toán divergence .......................... 31

4.2. Ứng dụng vào phương trình Stokes ....................................................... 33

KẾT LUẬN ..................................................................................................... 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 39

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

divergence của hàm vector u Div u / ∇ . u

𝜕Ω biên của miền Ω

đạo hàm của hàm u 𝜕u

Diam 𝐹 đường kính của tập 𝐹

rot/curl rota của trường vector

∆u toán tử Laplace của hàm vector u

∇u gradient của hàm vector u

∇u ∶ ∇ũ tích tensor của u và ũ

tập hợp các số thực không âm ℝ≥0

tập hợp các số thực dương ℝ>0

𝑠𝑢𝑝𝑝 u support của hàm u

các lớp hàm Muckenhoupt 𝐴𝑝

không gian Sobolev có hàm trọng 𝑊1,𝑝(Ω, 𝜔)

không gian Lebesgue có hàm trọng 𝐿𝑝(Ω, 𝜔)

không gian 𝐿2 với tích phân bằng 0

không gian 𝐿1 khả tích địa phương

2 (𝛀) 𝐿0 1 (𝛀) 𝐿𝑙𝑜𝑐 𝑝 𝐿𝑠𝑦𝑚

không gian con của tensơ đối xứng của (Ω, 𝛾)2×2

𝑊𝑘,𝑝(𝛀)

∞(Ω) trong 𝑊𝑘,𝑝(Ω)

không gian 𝐿𝑝(Ω, 𝛾)2×2

𝑘,𝑝(Ω) :=𝐶0 𝑊0 𝑊𝑘,2(𝛀) ≔ 𝐻𝑘(𝛀)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅‖.‖ ∞(Ω) bao đóng của 𝐶0

1(Ω)𝑛 = 𝐻0

1 × 𝐻0

1 1 × ⋯ × 𝐻0 ⏟ n lần

H0

1

MỞ ĐẦU

Ngày nay, lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng được rất nhiều nhà toán

học quan tâm nghiên cứu bởi tính ứng dụng rộng rãi của nó. Các

phương trình này thường được xây dựng từ các mô hình thực tế nên đôi

khi phức tạp và chưa tìm được nghiệm giải tích. Thay cho việc tìm

nghiệm của phương trình này, các đánh giá định tính về sự tồn tại, cấu

trúc tập nghiệm, các tính chất về dáng điệu tiệm cận, sự ổn định, tính

chính quy của nghiệm trở nên có ích. Một trong các lớp phương trình

đạo hàm riêng cơ bản được khảo sát là phương trình dạng divergence.

Luận văn này tập trung khảo sát một số kết quả chính quy nghiệm của

phương trình đạo hàm riêng dạng divergence. Các kết quả này có thể

ứng dụng vào phương trình Stokes.

Mục tiêu thứ nhất của đề tài là chứng minh sự tồn tại nghiệm của

phương trình div u = 𝑓 trong không gian Sobolev có trọng trên một số

1,𝑝(Ω, 𝜔1)𝑛 của

miền đặc biệt, có biên không trơn. Cụ thể, với Ω ⊂ ℝ𝑛 là miền bị chặn, ta muốn tìm hàm trọng 𝜔1và 𝜔2 sao cho với mọi 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(Ω, 𝜔2) có tích phân bằng không, tồn tại một

nghiệm u ∈ 𝑊0

div u = 𝑓

thỏa mãn

1 𝑝, )

‖u‖𝑊1,𝑝(Ω,𝜔1)𝑛 ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝜔2), với 𝐶 là hằng số dương chỉ phụ thuộc Ω, 𝑝, 𝜔1, 𝜔2. Trong đó, với hàm trọng 𝜔 ∶ ℝ𝑛 → ℝ≥0 là hàm khả tích địa phương, không gian Lebesgue có trọng 𝐿𝑝(Ω, 𝜔) ứng với chuẩn

‖𝜑‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) =(∫ |𝜑(𝑥)|𝑝𝜔(𝑥)𝑑𝑥 Ω

2

𝑛

𝑝

và không gian Sobolev có trọng 𝑊1,𝑝(Ω, 𝜔) ứng với chuẩn

1 𝑝 )

1 𝑝 )

∞(Ω) trong 𝑊1,𝑝(Ω, 𝜔).

1,𝑝(Ω, 𝜔1) là bao đóng của 𝐶0

. 𝜔(𝑥)𝑑𝑥 𝜕𝜑(𝑥) | 𝜕𝑥𝑖 ‖𝜑‖𝑊𝑝(Ω,𝜔) = (∫ |𝜑(𝑥)|𝑝𝜔(𝑥)𝑑𝑥 Ω + (∑ ∫ | Ω 𝑖=1

Ta kí hiệu 𝑊0 Mục tiêu thứ hai là ứng dụng các kết quả tìm được trong không gian có

hàm trọng vào việc đánh giá tính chính quy nghiệm của phương trình

Stokes và bất đẳng thức Korn.

Trong luận văn này, tác giả sẽ đọc hiểu, tổng hợp và trình bày một cách

chi tiết một số bài báo khoa học liên quan đến tính chính quy nghiệm

của phương trình divergence. Từ đó hướng đến một vài ý tưởng mở

rộng kết quả dựa trên các nghiên cứu đã được công bố gần đây. Công

việc đòi hỏi phải vận dụng các kiến thức đã học về phương trình vi

phân, phương trình đạo hàm riêng và giải tích hàm.

Nội dung luận văn tập trung khảo sát một số kết quả về tính chính quy

nghiệm của phương trình dạng divergence cùng với một số ứng dụng.

Luận văn được trình bày gồm 4 chương:

Chương 1. Khái quát và ký hiệu.

Nội dung chương 1 trình bày về phương trình divergence, trong đó

với một số định nghĩa cơ bản về không gian có hàm trọng, một số miền

như miền Lipschitz, miền hình sao, miền John, miền Holder-𝛼, bất

đẳng thức Korn, bổ đề Lions để làm tiền đề sử dụng cho các chương

tiếp theo. Nội dung chương 1 được tham khảo trong tài liệu [1], [3], [5].

Chương 2. Nghiệm có trọng của bài toán divergence trên miền phẳng.

Nội dung chương 2 là nội dung chính của luận văn này giới thiệu về

nghiệm của phương trình Divergence trên miền Holder-𝛼, hàm trọng

bên trái, hàm trọng ở cả hai bên và một số miền Holder-𝛼 đặc biệt với

3

đỉnh bên ngoài. Nội dung chương 2 được tham khảo trong tài liệu [1],

[2], [5].

Chương 3. Nghiệm có trọng của bài toán divergence trên miền chính

quy.

Chương 3 giới thiệu về Lớp hàm Muckenhoupt 𝐴𝑝, toán tử

Divergence có trọng trên miền hình sao. Nội dung chương 3 được tham

khảo trong tài liệu [6].

Chương 4. Một số ứng dụng.

Cuối cùng ta nói về sự tương đương giữa bất đẳng thức Korn và bài

toán Divergence có trọng tổng quát, bài toán Divergence kéo theo bất

đẳng thức Korn, bất đẳng thức korn kéo theo bài toán Divergence và

ứng dụng vào phương trình Stokes. Nội dung chương 4 được tham

khảo trong tài liệu [2], [4], [7].

4

Chương 1. KHÁI QUÁT VÀ CÁC KÝ HIỆU

Trong luận văn này ta nói về tính giải được của bài toán divergence

trong không gian Sobolev có trọng với miền bị chặn. Ta giới thiệu các định

nghĩa về hàm trọng, không gian Sobolev có hàm trọng, tập m-chính quy, mặt

nón, miền Lipschitz, miền hình sao ứng với quả cầu, miền John, miền

Holder−𝛼, bổ đề Korn, bổ đề Lions.

1,p(Ω)n của phương trình

1.1. Tính giải được của bài toán divergence Cho Ω ⊂ ℝn là một miền bị chặn và 1 < p < ∞. Ta nói rằng (div)p là giải

được trong Ω nếu tồn tại một nghiệm u ∈ W0

div u = 𝑓, (1.1)

1,𝑝(Ω)

với 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(Ω) có trung bình tích phân bằng 0, sao cho

‖u‖𝑊0

≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω), (1.2)

với hằng số 𝐶 chỉ phụ thuộc Ω và 𝑝.

Bây giờ ta sẽ giới thiệu không gian Sobolev có hàm trọng.

Định nghĩa 1.1 ([5]) Ta nói hàm 𝜔 trong ℝ𝑛 là một hàm trọng nếu nó khả

tích địa phương và nhận giá trị trong (0, ∞) hầu khắp nơi. Vì thế, hàm trọng

chỉ có thể bằng không trong tập Lebesgue có độ đo không.

Cho một tập Ω ⊂ ℝ𝑛, không gian Lebesgue có hàm trọng 𝐿𝑝(Ω, 𝜔) với 1 <

𝑝 < ∞ là không gian có các hàm khả tích địa phương 𝜑: Ω → ℝ được trang

1 𝑝.

bị chuẩn như sau

)

‖𝜑‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) = (∫ |𝜑(𝑥)|𝑝𝜔(𝑥)d𝑥 Ω Tương tự, cho hàm trọng 𝜔1, 𝜔2 ∶ ℝ𝑛 → [0, ∞] ta định nghĩa không gian Sobolev có hàm trọng như sau

5

𝑊1,𝑝(Ω, 𝜔1, 𝜔2 )

= {𝜑 ∈ 𝐿𝑝(Ω, 𝜔1): 𝜑 khả tích địa phương và

∈ 𝐿𝑝(Ω, 𝜔2), ∀𝑖},

𝜕𝜑 𝜕𝑥𝑖

𝜕𝜑 𝜕𝑥𝑖

với đạo hàm riêng theo hướng phân phối với chuẩn là

𝑛

𝑝

‖𝜑‖𝑊1,𝑝(Ω,𝜔1,𝜔2 )

1 𝑝 )

Ω

𝑖=1

. (1.3) 𝜔2(𝑥)d𝑥 𝜕𝜑(𝑥) | 𝜕𝑥𝑖 = (∫ |𝜑(𝑥)|𝑝𝜔(𝑥)d𝑥 + ∑ ∫ | Ω

Trong trường hợp 𝜔1 = 𝜔2 = 𝜔 ta viết 𝑊1,𝑝(Ω, 𝜔) thay vì 𝑊1,𝑝(Ω, 𝜔, 𝜔). Ta sẽ làm việc với hai lớp khác nhau của hàm trọng, lớp đầu tiên là lũy thừa

𝛽 (𝑥) = (dist(𝑥, 𝑀))𝛽,

của khoảng cách tới một tập con 𝑀. Ta ký hiệu

𝜔(𝑥) = 𝑑𝑀

với 𝛽 là một số thực. Trong trường hợp đặc biệt 𝑀 là biên của miền Ω, ta viết

𝛽 ). (1.4)

𝑑(𝑥) thay cho 𝑑𝜕Ω(𝑥). Ngoài ra, với số thực 𝛽 ta ký hiệu

𝛽 ) và 𝑊1,𝑝(Ω, 𝛽) = 𝑊1,𝑝 (Ω, 𝑑𝜕Ω

𝐿𝑝(Ω, 𝛽) = 𝐿𝑝 (Ω, 𝑑𝜕Ω

Lớp thứ hai của hàm trọng là lớp Muckenhoupt 𝐴𝑝, với 1 < 𝑝 < ∞. Nhắc

𝑝−1

−1 𝑝−1𝑑𝑥

lại rằng hàm trọng 𝜔 được gọi là hàm trọng 𝐴𝑝 nếu nó thỏa mãn

< ∞, (1.5) ( ) ( ) 1 |𝐵| 1 |𝐵| sup 𝐵⊂ℝ𝑛 ∫ 𝑤(𝑥)𝑑𝑥 𝐵 ∫ 𝑤(𝑥) 𝐵

với |𝐵| là độ đo Lebesgue của 𝐵.

Để phân tích tính giải được của bài toán Divergence trong các miền xác định

khi (div)𝑝 không giải được, ta thay điều kiện (1.2) bằng một điều kiện khác

tổng quát hơn liên quan đến chuẩn hàm trọng. Do đó, ta nói rằng (div)p,w là

1,𝑝(Ω, 𝜔1)𝑛 của phương trình

giải được trong Ω đối với hàm trọng 𝜔1 và 𝜔2 nếu tồn tại một nghiệm

u ∈𝑊0

div u = 𝑓,

6

𝑝(Ω, 𝜔2)𝑛, sao cho

với 𝑓 ∈ 𝐿0

‖u‖𝑊1,𝑝(Ω,𝜔1)

≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝜔2), (1.6)

với 𝐶 chỉ phụ thuộc Ω, 𝜔1, 𝜔2 và 𝑝.

1.2. Định nghĩa một số miền có liên quan

Ta giới thiệu định nghĩa và một số tính chất quan trọng của các miền khác

nhau được xét trong luận văn này.

Định nghĩa 1.2 ([5]) Với 0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛, một tập compact 𝐹 ⊂ ℝ𝑛 là một tập m-

chính quy nếu tồn tại hằng số dương 𝐶 sao cho

𝐶−1𝑟𝑚 < ℋ𝑚(𝐵(𝑥, 𝑟) ∩ 𝐹) < 𝐶𝑟𝑚,

với mọi 𝑥 ∈ 𝐹, 0 < 𝑟 ≤ 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐹, ℋ𝑚 là độ đo Hausdorff m-chiều và 𝐵(𝑥, 𝑟)

là hình cầu bán kính 𝑟, tâm 𝑥.

Định nghĩa 1.3 ([1]) Ta nói rằng một tập 𝒞 ⊂ ℝ𝑛 là một mặt nón nếu tồn tại

𝑟1, 𝑟2 ∈ ℝ>0 sao cho nếu trong một số hệ trục tọa độ trực giao (𝑥1, … , 𝑥𝑛),

−1𝑥′ ∈ 𝐵𝑟2}, (1.9)

𝒞 = {(𝑥′, 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛−1 × ℝ ∶ 0 < 𝑥𝑛 < 𝑟1 và 𝑥𝑛

với 𝐵𝑟2 là hình cầu với tâm là điểm gốc của ℝ𝑛−1 và bán kính 𝑟2. Định nghĩa 1.4 ([1]) Miền bị chặn Ω ⊂ ℝ𝑛 là Lipschitz nếu với mọi 𝑥0 ∈ 𝜕Ω, tồn tại một mặt nón 𝒞 ⊂ ℝ𝑛 và lân cận 𝑈 của 𝑥0 sao cho 𝑥 + 𝒞 ⊂ Ω với

mọi 𝑥 ∈ 𝑈 + Ω .

Định nghĩa 1.5 ([1]) Một miền Ω ⊂ ℝ𝑛 là một miền hình sao ứng với quả

cầu 𝐵 ⊂ ℝ𝑛 nếu với mọi 𝑥 ∈ Ω và 𝑦 ∈ 𝐵, đoạn nối 𝑥 và 𝑦 nằm trong Ω.

Miền này chứa các miền lồi và được chứa trong miền Lipschitz. Do đó, tính

giải được của phương trình divergence cho miền hình sao có thể được suy

rộng từ Lipschitz.

Định nghĩa 1.6 ([3]) Một miền bị chặn Ω là miền John đối với 𝑥0 ∈ 𝛺 nếu

với mọi 𝑥 ∈ 𝛺 tồn tại đường cong 𝜎 ∶ [0, 𝑙] → 𝛺 sao cho 𝜎(0) = 𝑥 và 𝜎(𝑙) =

𝑥0 thỏa mãn

7

dist(𝜎(𝑡), 𝜕𝛺) ≥ 𝐶𝑡.

Định nghĩa 1.7 ([1]) Cho 0 < 𝛼 ≤ 1, có thể định nghĩa lớp của các miền

Holder- 𝛼 là miền Lipschitz thay thế mặt nón trong phương trình (1.9) bởi

𝛼 − 𝑐𝑢𝑠𝑝. Một tập 𝒞 ⊂ ℝ𝑛 là một 𝛼 − 𝑐𝑢𝑠𝑝 nếu tồn tại 𝑟1, 𝑟2 ∈ ℝ>0 sao cho trong hệ

trục tọa độ trực giao (𝑥1, … , 𝑥2),

−𝛾𝑥′ ∈ 𝐵𝑟2},

𝒞 = {(𝑥′, 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛−1 × ℝ ∶ 0 < 𝑥𝑛 < 𝑟1 và 𝑥𝑛

với 𝛾 = 1 𝛼⁄ và 𝐵𝑟2 là hình cầu với tâm là điểm gốc của ℝ𝑛−1 và bán kính 𝑟2. Trong trường hợp đặc biệt 𝛼 = 1 ta có miền Lipchitz.

1.3. Một số kết quả tương đương trong các miền chính quy

Trong phần này chúng ta sẽ nhắc lại một vài kết quả tương đương về sự tồn

tại một nghiệm của phương trình (1.1) thỏa mãn phương trình (1.2).

Bất đẳng thức Korn. ([5]) Cho 𝐵 là quả cầu nhỏ chứa trong Ω, tồn tại hằng

số 𝐶 chỉ phụ thuộc Ω, 𝐵 và 𝑝 sao cho

‖𝐷v‖𝐿𝑝(Ω)𝑛×𝑛 ≤ 𝐶{ ‖𝜀(v)‖𝐿𝑝(Ω)𝑛×𝑛 + ‖v‖𝐿𝑝(B)𝑛},

1

với v trong 𝑊1,𝑝(Ω)𝑛, 𝜀(v) là phần đối xứng của ma trận vi phân của v với

2

𝜕v𝑖 𝜕𝑥𝑗

𝜕v𝑗 𝜕𝑥𝑖

+ ( ). 𝜀(v)𝑖𝑗 =

Bổ đề Lions. ([5]) Bổ đề Lions cũng tương đương với sự tồn tại nghiệm của

bài toán divergence với 𝑝 = 2. Kết quả này khẳng định rằng

‖𝑓‖𝐿2(Ω) ≤ 𝐶(‖∇𝑓‖𝐻−1(Ω)𝑛 + ‖𝑓‖𝐻−1(Ω) ),

1(Ω). Trong trường hợp đặc biệt của hàm số với giá trị trung bình

với 𝑓 ∈ 𝐿2(Ω), 𝐶 chỉ phụ thuộc vào Ω và 𝐻−1(Ω) là đối ngẫu của không gian

Sobolev 𝐻0 bằng 0, ta có bất đẳng thức sau

‖𝑓‖𝐿2(Ω) ≤ 𝐶‖∇𝑓‖𝐻−1(Ω)𝑛. Viết lại bổ đề Lions cho hàm số với giá trị trung bình bằng không ta có đánh

giá sau

8

2(Ω)

1(Ω)𝑛

1(Ω)𝑛

≥ 𝐶 (1.10) inf 0≠𝑞∈𝐿0 sup 0≠u∈𝐻0 ∫ 𝑞 div u Ω 2(Ω)‖u‖𝐻0 ‖𝑞‖𝐿0

2 (Ω) của hệ phương trình sau

với 𝐶 là hằng số dương. Trên thực tế, phương trình (1.10) bao hàm sự tồn tại

1(Ω)𝑛 × 𝐿0

1(Ω)𝑛

của nghiệm duy nhất (u, 𝑝) trong 𝐻0

Ω

Ω

Ω

∫ 𝐷u : 𝐷v − ∫ 𝑝 div v = ∫ f ∙ v ∀v ∈𝐻0

2 (Ω), ∀q ∈ 𝐿0 { ∫ 𝑞 div u = 0 Ω

với 𝑓 ∈ 𝐻−1(Ω)𝑛, 𝐷v là ma trận của các đạo hàm từng phần của v và tích giữa

𝑛 𝐴 ∶ 𝐵 = ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑖𝑗.

𝑖,𝑗=1

hai ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) và 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) trong ℝ𝑛×𝑛 được định nghĩa bởi

Hơn nữa, bất đẳng thức phương trình (1.10) được gọi là điều kiện inf-sup.

9

Chương 2. BÀI TOÁN DIVERGENCE

TRÊN MIỀN HOLDER-𝜶

Trong chương này ta nghiên cứu bài toán Divergence trong miền liên thông

thỏa mãn điều kiện Holder-𝛼, với 𝛼 là số thực trong (0,1]. Để chứng minh sự

tồn tại nghiệm trong các không gian có hàm trọng Sobolev ta sử dụng các kết

quả của bất đẳng thức Korn và Poincare.

2.1 . Bất đẳng thức dạng Korn trên miền Holder-𝜶

Bất đẳng thức Korn cổ điển phát biểu rằng một trường vectơ u = (u1, … , u𝑛)

xác định trong Ω và thỏa mãn một số điều kiện ta có bất đẳng thức sau

‖𝐷u‖𝐿𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω), (2.1)

𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑗

1

với 𝐷u là ma trận Jacobian, (𝐷u)𝑖𝑗 = và thành phần của 𝜀(u) là 𝜀(u)𝑖𝑗 =

2

𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑥𝑖

+ ( ). Hai điều kiện Korn xét là u(𝑥) = 0 trong 𝜕Ω (gọi là trường

Ω

𝜕𝑢1 𝜕𝑥2

𝜕𝑢2 𝜕𝑥1

u = 0 (trường hợp thứ hai), với rot u = − + . hợp thứ nhất) và ∫ rot

Nhận xét rằng bất đẳng thức Korn trong trường hợp thứ nhất đúng trong miền

tùy ý nhưng trường hợp thứ hai thì không, chẳng hạn như miền có một đỉnh.

Mặt khác, tồn tại bất đẳng thức khác tương đương với (2.1) trong cả hai

trường hợp cho miền Lipschitz là

‖𝐷u‖𝐿𝑝(Ω)

≤ 𝐶{‖u‖𝐿𝑝(Ω) + ‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω)}, (2.2)

với mọi trường u ∈ 𝑊1,𝑝(Ω)𝑛.

Cho Ω ⊂ ℝ𝑛 là tập mở bị chặn và 𝑑(𝑥) là khoảng cách từ 𝑥 ∈ Ω tới biên 𝜕Ω.

Ta kí hiệu 𝐿𝑝(Ω, 𝛾) là không gian Banach cho bởi chuẩn

‖𝑢‖𝐿𝑝(Ω,𝛾) ≔ ‖𝑢 𝑑𝛾‖𝐿𝑝(Ω)

10

và tương tự, 𝑊1,𝑝(Ω, 𝛾) là không gian Banach với chuẩn

𝑝(Ω, 𝛾) là không gian con của 𝐿𝑝(Ω, 𝛾).

‖𝑢‖𝑊1,𝑝(Ω,𝛾) ≔ ‖𝑢 𝑑𝛾‖𝐿𝑝(Ω) + ‖∇𝑢 𝑑𝛾‖𝐿𝑝(Ω).

Khi 𝐿𝑝(Ω, 𝛾) ⊂ 𝐿1(Ω) thì 𝐿0 Bất đẳng thức Poincare. ([1]) Nếu Ω là một miền Holder-𝛼, 0 < 𝛼 ≤ 1, 𝐵 ⊂

∞(𝐵) sao cho ∫ 𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = 1 𝐵

thì với 𝛼 ≤ 𝛽 ≤ 1 Ω là một hình cầu và 𝜙 ∈ 𝐶0

𝐵

𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = 0 tồn tại một hằng số 𝐶 chỉ phụ thuộc vào và 𝑓 thỏa mãn ∫ 𝑓(𝑥)

Ω, 𝐵 và 𝜙 sao cho

‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶‖∇𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1+𝛼−𝛽)). (2.3)

Định lí 2.1 ([1]) Cho Ω ⊂ ℝ𝑛 là một miền Holder-𝛼, 𝐵 ⊂ Ω là một hình cầu

và u ∈ 𝑊1,𝑝(Ω, 𝛾) với 1 < 𝑝 < ∞.

Khi đó, với 𝛼 ≤ 𝛽 ≤ 1 ta có bất đẳng thức sau

‖𝐷u‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶 {‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) + ‖u‖𝐿𝑝(Ω)},

với hằng số 𝐶 chỉ phụ thuộc vào Ω, 𝐵 và 𝑝.

Chứng minh. Ta cần chỉ ra rằng tồn tại v ∈ 𝑊1,𝑝(Ω)𝑛 sao cho

∆v = ∆u trong Ω (2.4)

và

‖v‖𝑊1,𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω). (2.5)

∞(𝐵) sao cho ∫ 𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = 1. 𝐵

Với 𝑖 = 1, … , 𝑛 định nghĩa hàm Xét 𝜙 ∈ 𝐶0

tuyến tính

(𝑥)𝑑𝑥) . 𝑥 𝐿𝑖(𝑥) ∶= (∫ ∇(u𝑖 − v𝑖)𝜙 𝐵

và L(𝑥) là vectơ với các thành phần là 𝐿𝑖(𝑥). Khi đó,

𝜙(𝑥)𝑑𝑥 𝐷L = ∫ D(u − v) 𝐵

lấy tích phân từng phần và áp dụng bất đẳng thức Holder ta có

11

|𝐷L| ≤ ‖u − v‖𝐿𝑝(𝐵)‖∇𝜙‖𝐿𝑞(𝐵).

Từ (2.5) tồn tại một hằng số 𝐶 chỉ phụ thuộc Ω, 𝑝 và 𝜙 sao cho

‖𝐷L‖𝐿𝑝(Ω)

≤ 𝐶{‖u‖𝐿𝑝(𝐵) + ‖ε(u)‖𝐿𝑝(Ω)}. (2.6)

Đặt

w ≔ u − v − L

Theo (2.5) và (2.6), ta chỉ cần đánh giá w. Từ (2.4) và do L tuyến tính nên

∆w = 0

tương đương với

∆𝜀𝑖𝑗(w) = 0.

Nhưng, nếu 𝑓 là một hàm điều hòa trong Ω thì ta có đánh giá sau

‖∇𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝑝−𝜇) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,−𝜇),

với mọi 𝜇 ∈ ℝ.

Lấy 𝜇 = 𝑝(𝛽 − 𝛼) ta thu được

𝐿𝑝(Ω,𝑝(1+𝛼−𝛽))

𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽))

‖∇𝜀𝑖𝑗(w)‖ ≤ 𝐶‖𝜀𝑖𝑗(w)‖

= + − sử dụng đồng nhất thức 𝜕2w𝑖 𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑘 𝜕𝜀𝑖𝑘(w) 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝜀𝑖𝑗(w) 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝜀𝑗𝑘(w) 𝜕𝑥𝑖

ta kết luận rằng

𝐿𝑝(Ω,𝑝(1+𝛼−𝛽))

‖ ‖ 𝜕2w𝑖 𝜕𝑥𝑗𝜕𝑥𝑘

≤ 𝐶‖𝜀(w)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)), (2.7)

với 𝑖, 𝑗, 𝑘 bất kỳ.

𝜕𝑤𝑖 𝜕𝑥𝑗

𝜙 = 0 (do định nghĩa L) nên từ bất đẳng thức Poincare (2.3) ta có Vì ∫

𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽))

𝐿𝑝(Ω,𝑝(1+𝛼−𝛽))

. ‖ ‖ ≤ 𝐶 ‖∇ ‖ 𝜕w𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝜕w𝑖 𝜕𝑥𝑗

12

Áp dụng (2.7) ta thu được

‖𝐷w‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶‖ε(w)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) ≤ 𝐶‖ε(u)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽))

Suy ra điều phải chứng minh.□

Trong hệ quả sau ta đưa ra bất đẳng thức Korn có hàm trọng trong miền

Holder-𝛼, nó là sự tổng quát hóa trường hợp thứ hai của bất đẳng thức Korn.

Để phát biểu bất đẳng thức này ta xét không gian sau

𝒩 = {v ∈ 𝑊1,𝑝(Ω)𝑛 ∶ ε(v) = 0}.

Hệ quả 2.2 Cho Ω ⊂ ℝ𝑛 là một miền Holder-𝛼 và 1 < 𝑝 < ∞.

Khi đó, với 𝛼 ≤ 𝛽 ≤ 1 ta có bất đẳng thức sau

‖u − v‖𝑊1,𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) inf v∈𝒩

≤ 𝐶‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)). (2.8)

𝑛 v𝑖(𝑥) = 𝑎𝑖 + ∑ 𝑏𝑖𝑗(𝑥𝑗 − 𝑥𝑗) 𝑗=1

Chứng minh. Cho 𝐵 và 𝜙 như các định lí trước với 𝐵 ⊂ Ω. Định nghĩa 𝑥𝑖 = ∫ 𝑥𝑖𝐵 𝜙(𝑥)𝑑𝑥 và v ∈ 𝑊1,𝑝(Ω) xác định bởi

với

𝐵

− ) 𝑑𝑥. 𝑎𝑖 = ∫ u𝑖 𝜙(𝑥)𝑑𝑥 và 𝑏𝑖𝑗 = 1 2|𝐵| 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑥𝑖 ∫ ( 𝐵

𝐵

, từ (2.3) và Dễ dàng kiểm tra v ∈ 𝒩. Bây giờ, khi ∫ (u − v)𝜙(𝑥)𝑑𝑥 = 0

định lí 1.1 ta có

‖u − v‖𝑊1,𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶 {‖u − v‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) + ‖u − v‖𝐿𝑝(𝐵)}

sử dụng bất đẳng thức Poincare trong 𝐵 ta có

‖u − v‖𝑊1,𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶 {‖𝜀(u − v)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) + ‖𝐷(u − v)‖𝐿𝑝(𝐵)}.

(2.9)

Nhưng,

13

− ) = 0 𝜕(u − v)𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝜕(u − v)𝑗 𝜕𝑥𝑖 ∫ ( 𝐵

do đó, áp dụng trường hợp thứ hai của bất đẳng thức Korn trong 𝐵 ta có

‖𝐷(u − v)‖𝐿𝑝(𝐵) ≤ 𝐶‖𝜀(u − v)‖𝐿𝑝(𝐵).

Sử dụng bất đẳng thức này trong (2.9) và cho 𝜀(v) = 0 ta được

‖u − v‖𝑊1,𝑝(Ω,𝑝(1−𝛽)) ≤ 𝐶 {‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−𝛽)) + ‖𝜀(u)‖𝐿𝑝(𝐵)}.

điều này dẫn đến (2.8) do 𝐵 ⊂ Ω. □

2.2. Nghiệm của bài toán divergence trong miền Holder-𝜶

Trong phần này Ω là miền liên thông thỏa mãn điều kiện Holder-𝛼. Cho

𝜕𝜓 𝜕𝑥2

𝜕𝜓 𝜕𝑥1

trường vectơ Ψ = , − hàm vô hướng 𝜓 với curl 𝜓 = ( ) và

(𝜓1, 𝜓2), Curl Ψ là ma trận có thành phần là curl 𝜓𝒊 theo hàng. Hơn nữa, nếu 𝜎 ∈ 𝐿𝑝(Ω)2×2, Div 𝜎 là trường vecto với thành phần tìm được bằng cách lấy

vi phân theo hàng của 𝜎.

Để giải bài toán (div)𝑝 tìm một nghiệm u của div u = 𝑓 sao cho giới hạn tới

𝜕Ω của cả hai thành phần của u là hằng số ta thế đánh giá (2.2) như sau

‖𝐷u‖𝐿𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω).

Giả sử rằng Ω là một miền Lipschitz. Khi đó, nếu 𝜓 ∈ 𝑊1,𝑝(Ω) thỏa mãn

Ω

. ∇ 𝜙 = 0 ∀𝜙 ∈ 𝑊1,𝑝(Ω) (2.10) ∫ 𝐜𝐮𝐫𝐥 𝜓

𝜕𝜓

𝜕Ω 𝜙 = 0 ∀𝜙 ∈ 𝑊1,𝑝(Ω) (2.11) ∫

𝜕𝑡

𝜕𝜓

𝜕𝜓

lấy tích phân từng phần ta thu được

𝜕𝑡

𝜕𝑡

với là đạo hàm tiếp tuyến của 𝜓. Vì vậy = 0 và hạn chế của 𝜓 lên 𝜕Ω là

hằng số.

1,𝑝 (Ω) ⊂ 𝑊1,𝑝(Ω)

Xét không gian

𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

xác định bởi

14

1,𝑝 (Ω) = {𝜓 ∈ 𝑊1,𝑝(Ω) ∶ ∫ 𝐜𝐮𝐫𝐥 𝜓

Ω

. ∇ 𝜙 = 0 ∀𝜙 ∈ 𝑊1,𝑞(Ω)} 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

(2.12)

Tổng quát hơn, với bất kỳ 𝛾 ∈ ℝ,

1,𝑝 (Ω) = {𝜓 ∈ 𝑊1,𝑝(Ω, 𝛾) ∶ ∫ 𝐜𝐮𝐫𝐥 𝜓

Ω

. ∇ 𝜙 = 0 ∀𝜙 ∈ 𝑊1,𝑞(Ω, (1 − 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝑞)𝛾)}.

Trong suốt mục này chúng ta sẽ phân tích tính giải được của bài toán 1,𝑝 (Ω, 𝛾1)2 với

Devergence div u = 𝑓 trong không gian Sobolev có trọng 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 điều kiện

‖𝐷(u)‖𝐿𝑝(Ω,𝛾1) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝛾2), (2.13)

Với 𝛾1 và 𝛾2 là số thực và là lũy thừa trong hàm trọng được giới thiệu trong

(1.4).

2.2.1. Hàm trọng bên trái

Để thỏa mãn đánh giá và điều kiện trên miền, đầu tiên ta sẽ xét 𝛾2 = 0 trong

𝑝

(2.13).

(Ω, 𝛾)2×2 là không gian con của tensơ đối

Cho 1 < 𝑝 < ∞ và 𝛾 ∈ ℝ, 𝐿𝑠𝑦𝑚 xứng trong 𝐿𝑝(Ω, 𝛾)2×2.

𝑝

Bổ đề 2.3 Cho Ω ⊂ ℝ2 là miền Holder-𝛼 và u ∈ 𝑊1,𝑝(Ω, 𝑝(𝛽 − 1))2, với

Ω

(Ω, 𝑝(𝛽 − 𝛼 ≤ 𝛽 ≤ 1, sao cho ∫ div u = 0. Khi đó, tồn tại 𝜎 ∈ 𝐿𝑠𝑦𝑚

𝛼))2×2 thỏa mãn

Ω

𝐷w = ∫ Curl u : 𝐷w, ∀w ∈ 𝑊1,𝑞(Ω, 𝑞(𝛼 − 𝛽))2 ∫ 𝜎 ∶ Ω

và

1,𝑝(Ω) sao cho curl 𝜙 = v.

‖𝜎‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛽−𝛼)) ≤ 𝐶‖Curl u‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛽−1)). Bổ đề 2.4 Cho Ω ⊂ ℝ2 là một miền bị chặn và 𝜔 ∶ Ω → ℝ>0 là hàm trọng sao cho 𝜔−1 bị chặn địa phương. Cho một trường vecto v ∈ 𝐿𝑝(Ω, 𝜔)2 sao

cho div v = 0, tồn tại 𝜙 ∈ 𝑊𝑙𝑜𝑐

15

Định lí 2.5 ([1]) Cho Ω ⊂ ℝ2 là miền liên thông hoàn toàn bị chặn thỏa mãn 𝑝(Ω), 1 < 𝑝 < ∞, tồn tại u ∈

1,𝑝 (Ω, 𝑝(1 − 𝛼))2 là nghiệm của phương trình divergence sao cho

điều kiện Holder-𝛼, 0 < 𝛼 ≤ 1. Khi đó với 𝑓 ∈ 𝐿0

𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ‖𝐷u‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛼))

≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω). (2.16)

Chứng minh. Lấy v ∈ 𝑊1,𝑝(Ω)2 sao cho

div v = 𝑓 (2.17)

và

‖v ‖𝑊1,𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω). (2.18)

1,𝑝 (Ω, 𝑝(1 − 𝛼))2

Ta chỉ ra rằng tồn tại w ∈ 𝑊1,𝑝(Ω, 𝑝(1 − 𝛼))2 sao cho div w = 0 và

v − w ∈ 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

và

‖𝐷w ‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛼)) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω). (2.19)

Thật vậy, xét trong (2.17), u ≔ v − w là nghiệm cần tìm.

𝑝

Vì div v có giá trị trung bình tích phân bằng không nên theo Bổ đề 2.3 tồn

(Ω, 𝑝(1 − 𝛼))2×2 thỏa mãn tại 𝜎 ∈ 𝐿𝑠𝑦𝑚

‖𝜎‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛼) ≤ 𝐶‖Curl v‖𝐿𝑝(Ω). (2.20)

và

Ω

, ∀r ∈ 𝑊1,𝑞(Ω, 𝑞(𝛼 − 1))2. ∫ 𝜎 ∶ 𝐷r = ∫ Curl v : 𝐷r Ω

Khi đó,

Ω

Ω

− ∫ Curl v : 𝐷r = ∫ Div 𝜎 ∙ r = − ∫ 𝜎 ∶ 𝐷r = Ω ∫ 𝜎 ∶ 𝐷r Ω

Ω

∞(Ω)2 và Div 𝜎 = 0.

= ∫ Div Curl v ∙ r = 0 ,

với mọi r ∈ 𝐶0

16

1,𝑝(Ω)2 sao cho Curl w = 𝜎. Do đó, khi Ω là

Theo Bổ đề 2.4 tồn tại w ∈ 𝑊𝑙𝑜𝑐 miền Holder-𝛼 với 𝛽 = 𝛼 ta có

‖w ‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛼)) ≤ 𝐶‖𝐷w ‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛼))

= 𝐶‖Curl w ‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛼)) ≤ 𝐶‖𝜎‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(1−𝛼)).

(2.21)

Ta kiểm tra rằng div w = 0, thật vậy vì 𝜎 là một tensơ đối xứng ta có

div w = + = −𝜎12 + 𝜎21 = 0. 𝜕w1 𝜕𝑥1 𝜕w2 𝜕𝑥2

Từ (2.18), (2.20) và (2.21) ta có (2.19). □

2.2.2. Hàm trọng ở cả hai bên

Nhắc lại rằng hàm trọng 𝜔 ∶ ℝ𝑛 → ℝ thuộc lớp 𝐴𝑝 khi và chỉ khi toán tử cực đại Harly-Littlewood liên tục trong 𝐿𝑝(ℝ𝑛, 𝜔).

Trong những vấn đề sau ta xét khoảng cách đến 𝜕Ω, 𝑑(𝑥), xác định với mọi

𝑥 ∈ ℝ𝑛 không chỉ cho 𝑥 ∈ Ω. Ta sẽ đưa điều kiện đủ trên 𝜕Ω và số mũ 𝜇 ∈ ℝ sao cho 𝑑𝜇 thuộc lớp 𝐴𝑝. Bổ đề 2.6 Cho Ω ∈ ℝ2 là một miền bị chặn sao cho 𝜕Ω chứa trong tập m-

chính quy, với 𝑛 − 1 ≤ 𝑚 < 𝑛. Nếu

−(𝑛 − 𝑚) < 𝜇 < (𝑛 − 𝑚)(𝑝 − 1),

thì 𝑑𝜇 thuộc lớp 𝐴𝑝với 1 < 𝑝 < ∞. Bổ đề 2.7 Cho Ω ∈ ℝ2 là một miền bị chặn sao cho 𝜕Ω chứa trong tập m-

chính quy, với −(2 − 𝑚) < 𝛾 < (2 − 𝑚)(𝑝 − 1) và 1 < 𝑝 < ∞, tồn tại v ∈

𝑊1,𝑝(Ω, 𝛾)2 sao cho

div v = 𝑓

và

‖v‖𝑊1,𝑝(Ω,𝛾)2 ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝛾).

17

Định lí 2.8 ([2]) Cho Ω ∈ ℝ2 là miền liên thông hoàn toàn bị chặn thỏa mãn

điều kiện Holder-𝛼, 0 < 𝛼 ≤ 1, được chứa trong một tập m-chính quy, với

𝑝(Ω, 𝑝(𝛽 − 1)), với 1 < 𝑝 < ∞, 𝛼 ≤ 𝛽 ≤ 1 và −(2 − 𝑚) <

1 ≤ 𝑚 < 2.

1,𝑝 (Ω, 𝑝(𝛽 − 𝛼))2 sao cho

Cho 𝑓 ∈ 𝐿0

𝑝(𝛽 − 1), tồn tại u ∈ 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

div u = 𝑓

và

‖𝐷u ‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛽−𝛼)) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛽−1)). (2.22)

Chứng minh.

Vì −(2 − 𝑚) < 𝑝(𝛽 − 1), theo Bổ đề 2.7 tồn tại v ∈ 𝑊1,𝑝(Ω, 𝑝(𝛽 − 1))2 sao

cho

div v = 𝑓 (2.23)

và

‖v‖𝑊1,𝑝(Ω,𝑝(𝛽−𝛼)) ≤ 𝐶‖v‖𝑊1,𝑝(Ω,𝑝(𝛽−1)) ≤ ‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛽−1)). (2.24)

Phần còn lại của chứng minh ta phải chỉ ra tồn tại w ∈ 𝑊1,𝑝(Ω, 𝑝(𝛽 −

2 𝛼))

1,𝑝 (Ω, 𝑝(𝛽 − 𝛼))2

thỏa mãn div w = 0 và

v − w ∈ 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

và

‖𝐷w ‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛽−𝛼)) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛽−1)).

Có thể dễ dàng kiểm tra sự tồn tại của w bằng cách sử dụng Bổ đề 2.3 như

trong Định lí 2.5.

2.3. Một số miền Holder-𝜶 đặc biệt với đỉnh bên ngoài

Trong mục này ta xét trường hợp đặc biệt của miền Holder-𝛼 xác định như

sau

Ω = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 0 < 𝑥 < 1, 0 < |𝑦| < 𝑥1/𝛼}, (2.25)

với 0 < 𝛼 ≤ 1.

18

Chúng ta sẽ chỉ ra trong trường hợp đặc biệt của Định lí 2.8 tương đương

với điều kiện yếu hơn, cụ thể, nghiệm của bài toán divergence thu được trong

định lí có thể thay đổi bằng cách thêm một trường vecto không đổi để thu

được một nghiệm bằng không trên biên.

Ta xét trường hợp đặc biệt của Định lí 2.8 với 𝛽 = 𝛼 và 𝑚 = 1. Sự mở rộng

của các đối số trong trường hợp khác có thể khả thi nhưng nó phức tạp .

1

Định lí 2.9 ([5]) Cho Ω ⊂ ℝ2 là một miền được định nghĩa trong (2.25) và

𝑝(Ω, 𝑝(𝛼 − 1)) tồn tại u ∈

𝑝

1,𝑝(Ω)2 sao cho

1 < 𝑝 < ∞. Nếu 1 − < 𝛼 ≤ 1 thì, cho 𝑓 ∈ 𝐿0

𝑊0

div u = 𝑓 (2.26)

1,𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω,𝑝(𝛼−1)), (2.27)

và

‖u ‖𝑊0

với hằng số 𝐶 chỉ phụ thuộc Ω, 𝑝, và 𝛼.

1,𝑝 (Ω)2 thỏa (2.26).

Chứng minh. Ta thấy rằng Ω thỏa mãn các giả thiết của Định lí 2.8. Do đó tồn

tại u ∈ 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

∞(Ω).

1,𝑝 (Ω) tồn tại hằng số 𝜓0 ∈ ℝ sao cho 1,𝑝(Ω) ∶= 𝐶0

Ta sẽ chứng minh với bất kỳ 𝜓 ∈ 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝜓 − 𝜓0 ∈ 𝑊0

Do đó, u có thể thay đổi bằng cách thêm một hằng số vào mỗi thành phần

của nó để thu được nghiệm mong muốn. Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức

1,𝑝 (Ω), ta sẽ chỉ ra 𝜓 là hằng số trên 𝜕Ω. Từ định nghĩa của

Poincare vào (2.22) ta có (2.27).

Cho 𝜓 ∈ 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 1,𝑝 (Ω) ta có 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝑊1,𝑝(Ω). ∫ curl 𝜓 ∙ ∇𝜙 = 0 ∀𝜙 ∈ Ω

∞(𝐵) ta có

Cho (𝑥0, 𝑦0) là một điểm trong 𝜕Ω và 𝐵 là một hình cầu mở, tâm tại (𝑥0, 𝑦0)

sao cho 0 ∉ 𝐵. Lấy 𝜙 ∈ 𝐶0

19

𝜕𝜙

Ω

𝑩⋂𝝏Ω

𝜕𝑡

𝜕𝜙

𝜓 ∀𝜙 ∈ 𝐶∞(𝐵) , 0 = ∫ curl 𝜓 ∙ ∇𝜙 = − ∫

𝜕𝑡

𝜕𝜙

với là đạo hàm tiếp tuyến của 𝜙.

𝜕𝑡

1,𝑝(Ω).

Vì thế = 0 theo hướng phân phối trên 𝐵⋂𝜕Ω, vì 𝜕Ω − (0,0) là một tập

liên thông nên tồn tại một hằng số 𝜓0 = 0. Do đó 𝜓 ∈ 𝑊0 Cho 𝜁 ∈ 𝐶∞(ℝ+) sao cho

𝜁 ≡ 1 trong [0,1] 𝜁 ≡ 0 trong ℝ+(0,2) 0 ≤ 𝜁 ≤ 1.

Ta phân tích 𝜓 như sau

𝜓(𝑥, 𝑦) = 𝜁(3𝑥)𝜓(𝑥, 𝑦) + (1 − 𝜁(3𝑥))𝜓(𝑥, 𝑦) =: 𝜓1 + 𝜓2. 1,𝑝(Ω2) với Ω2 là miền Lipschitz Dễ thấy rằng 𝜓2 ∈ 𝑊0

}. Ω2 ∶= Ω⋂ {𝑥 > 1 3

1,𝑝(Ω) và cho 𝛾 ∶= 1/𝛼.

Do đó, ta có thể giả sử 𝜓 = 𝜓1. Bây giờ cho 𝜙𝑛 ∈ 𝐶∞(Ω) là một dãy thỏa

mãn 𝜙𝑛 → 𝜓 trong 𝑊0 Dễ dàng kiểm tra rằng, với 𝑦 ∈ (0,1),

𝑦 |𝜙𝑛(𝑥, 𝑥𝛾 − 𝑦)| ≤ |𝜙𝑛(𝑥, 𝑥𝛾)| + ∫ |

0

. (𝑥, 𝑥𝛾 − 𝑡)| 𝑑𝑡 𝜕𝜙𝑛 𝜕𝑦

1

Lấy tích phân và sử dụng bất đẳng thức Holder ta có

𝑝

1

1

∫ |𝜙𝑛(𝑥, 𝑥𝛾 − 𝑦)|𝑝𝑑𝑥 𝑦𝛼

𝑦 ≤ 𝐶 (∫ |𝜙𝑛(𝑥, 𝑥𝛾)|𝑝 + 𝑦𝑝−1 ∫ ∫ |

𝑦𝛼

0

𝑦𝛼

𝑑𝑡𝑑𝑥 (𝑥, 𝑥𝛾 − 𝑡)| ) . 𝜕𝜙𝑛 𝜕𝑦

1

1

Sử dụng tính liên tục của vết trong miền Lipschitz Ω ∩ (𝑥 > 𝑦𝛼) ta có

= lim 𝑛→∞ ∫ |𝜓(𝑥, 𝑥𝛾 − 𝑦)|𝑝𝑑𝑥 𝑦𝛼 ∫ |𝜙𝑛(𝑥, 𝑥𝛾 − 𝑦)|𝑝𝑑𝑥 𝑦𝛼

20

1

𝑦𝛼

𝑝

1

(∫ |𝜙𝑛(𝑥, 𝑥𝛾)|𝑝 ≤ 𝐶 lim 𝑛→∞

𝑦 + 𝑦𝑝−1 ∫ ∫ |

𝑦𝛼

0

𝜕𝜓

𝑝 (𝑥, 𝑥𝛾 − 𝑡)|

𝑑𝑡𝑑𝑥 (𝑥, 𝑥𝛾 − 𝑡)| ) 𝜕𝜙𝑛 𝜕𝑦

𝑦 = 𝐶𝑦𝑝−1 ∫ ∫ | 0

1 𝑦𝛼

𝜕𝑦

𝑑𝑡𝑑𝑥. (2.28)

Bây giờ ta sẽ chỉ ra dãy 𝜓𝑚 xác định bởi

𝜓𝑚(𝑥, 𝑦) ≔ 𝜓(𝑥, 𝑦)(1 − 𝜁𝑚(𝑥𝛾 − |𝑦|)), với 𝜁𝑚(𝑡) ≔ 𝜁(𝑚𝑡), hội tụ tới 𝜓 trong 𝑊1,𝑝(Ω). Ngoài ra, dễ dàng thấy rằng supp 𝜓𝑚 ⊂ Ω. Bằng phép đối xứng ta có thể giả sử rằng Ω = Ω⋂{𝑦 > 0}. Sử dụng định lí

𝑝

hội tụ trội ta thu được

𝜕𝜓

‖𝜓 − 𝜓𝑚‖𝐿𝑝(Ω) lim 𝑛→∞ = lim 𝑛→∞ ∫ |𝜓(𝑥, 𝑦)𝜁𝑚(𝑥𝛾 − 𝑦)|𝑝 = 0. Ω

𝜕 𝜓𝑚 𝜕𝑥

𝜕𝑥

Mà (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦)(1 − 𝜁𝑚(𝑥𝛾 − 𝑦)) − 𝑚 𝜓(𝑥, 𝑦)𝜁′𝛾𝑥𝛾−1

𝑝

và khi đó,

𝑝

𝑝

− | 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝜕 𝜓𝑚 𝜕𝑥 ∫ | Ω

}

{𝑦>𝜓(𝑥)−

2 𝑚

Ω

+ 𝐶 ∫ |𝜓(𝑥, 𝑦)𝜒 | (𝑥, 𝑦)(𝜁𝑚(𝑥𝛾 − 𝑦))| 𝜕𝜓 𝜕𝑥 ≤ ∫ | Ω

= : 𝐼 + 𝐼𝐼.

Sử dụng lại sự hội tụ trội, ta kiểm tra rằng 𝐼 → 0. Vì vậy, chỉ còn lại 𝐼𝐼.

Bằng cách thay đổi các biến được định nghĩa bởi (𝑥, 𝑦) ⟼ (𝑥, 𝑥𝛾 − 𝑦) và sử

2/𝑚

dụng (2.28) ta có

1 𝐼𝐼 = 𝐶𝑚𝑝 ∫ ∫ |𝜓(𝑥, 𝑥𝛾 − 𝑦)|𝑝 𝑦𝛼

0

𝑑𝑥𝑑𝑦

21

𝑝

2/𝑚

1

𝑦 ≤ 𝐶𝑚𝑝 ∫ 𝑦𝑝−1 ∫ ∫ |

0

𝑦𝛼

0

𝑝

2/𝑚

2/𝑚

𝑑𝑡𝑑𝑥𝑑𝑦 (𝑥, 𝑥𝛾 − 𝑡)| 𝜕𝜓 𝜕𝑦

1 ≤ 𝐶𝑚𝑝 ∫ 𝑦𝑝−1 ∫ ∫ | 𝑡𝛼

0

0

𝑝

𝑝

2 𝑚

𝑑𝑥𝑑𝑡𝑑𝑦 (𝑥, 𝑥𝛾 − 𝑡)| 𝜕𝜓 𝜕𝑦

1 ∫ ∫ | 0

𝑡𝛼

𝑝

𝑑𝑥𝑑𝑡 ≤ 𝐶𝑚𝑝 ( ) (𝑥, 𝑥𝛾 − 𝑡)| 2 𝑚 𝜕𝜓 𝜕𝑦

{𝑦>𝜓(𝑥)−

}

2 𝑚

𝜕𝜓

(𝑥, 𝑦)𝜒 ⟶ 0. | 𝜕𝜓 𝜕𝑦 ≤ 𝐶 ∫ | Ω

𝜕𝜓𝑚 𝜕𝑦

𝜕𝑦

1,𝑝(Ω).

Tương tự chứng minh rằng → trong 𝐿𝑝(Ω).

Do đó, ta kết luận chứng minh bằng cách nhận xét rằng 𝜓𝑚 thuộc 𝑊0

22

Chương 3. BÀI TOÁN DIVERGENCE

TRÊN MIỀN CHÍNH QUY

1,𝑝(Ω)𝑛.

𝑝(Ω) đến 𝑊0

Nhắc lại rằng, nếu Ω ⊂ ℝ𝑛 là miền hình sao ứng với quả cầu thì tồn tại một

nghịch đảo phải của toán tử divergence liên tục từ 𝐿0 Trong mục đầu tiên, ta sẽ nói về lớp hàm Muckenhoupt 𝐴𝑝. Trong mục thứ

hai, ta sẽ áp dụng để thu được tính giải được của (div)𝑝,𝜔 trên miền hình sao

ứng với quả cầu.

3.1. Lớp hàm Muckenhoupt 𝑨𝒑

Cho hàm trọng 𝜔 ∶ ℝ𝑛 → ℝ mà toán tử cực đại Hardy-Littlewood 𝑀 bị chặn

từ 𝐿𝑝(ℝ𝑛, 𝜔) vào chính nó, với 1 < 𝑝 < ∞ thì

ℝ𝑛

d𝑥 ≤ 𝐶 ∫ |𝑓(𝑥)|𝑝𝜔(𝑥) d𝑥, (3.1) ∫ |𝑀𝑓(𝑥)|𝑝𝜔(𝑥) ℝ𝑛

với mọi 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(ℝ𝑛, 𝜔). Ở đây 𝑀𝑓(𝑥) là hàm cực đại Hardy-Littlewood

1 |𝑄| 𝑀𝑓(𝑥) = sup 𝑄∋𝑥 ∫ |𝑓(𝑦)|d𝑦, 𝑄

Muckenhoupt đã chỉ ra trong năm 1972 rằng lớp hàm trong bất đẳng thức

𝑝−1

−

1 𝑝−1

(3.1) được xác định bởi điều kiện (1.5) nhắc đến trong phần mở đầu như sau

< ∞, ( ) ( 𝑑𝑥) 1 |𝐵| 1 |𝐵| sup 𝐵⊂ℝ𝑛 ∫ 𝑤(𝑥)𝑑𝑥 𝐵 ∫ 𝑤(𝑥) 𝐵

với sup được thực hiện trên tất cả các hình cầu 𝐵 ⊂ ℝ𝑛.

3.2. Toán tử divergence có trọng trên miền hình sao

Trong phần này ta nhắc lại nghịch đảo phải explicit của toán tử divergence

được giới thiệu bởi Bogovskii trong các miền có hình sao ứng với quả cầu và

toán tử này liên tục trong không gian Sobolev có hàm trọng trong 𝐴𝑝.

∞(𝐵) sao cho ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥 = 1.

Ta trình bày công thức của Bogovskii. Cho 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 là một miền có hình

sao bị chặn ứng với quả cầu 𝐵 ⊂ 𝑈 và 𝜑 ∈ 𝐶0

23

Do đó, cho 𝑓 ∈ 𝐿1(𝑈) có giá trị trung bình tích phân bằng không, với 1 <

𝑝 < ∞, nghiệm của phương trình divergence được Bogovskii giới thiệu là

𝑈

𝐮(𝑥) = ∫ G(𝑥, 𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦, 𝑥 ∈ ℝ𝑛, (3.4)

với G(𝑥, 𝑦) = (𝐺1, … , 𝐺𝑛) được cho bởi

𝑑𝑠. ) (𝑥 − 𝑦) 𝑠𝑛+1 𝜑 (𝑦 + 𝑥 − 𝑦 𝑠

1 G(𝑥, 𝑦) = ∫ 0

Ta nhắc lại vì sao hàm số này thỏa mãn div u = 𝑓 trong 𝑈. Ta có

𝑈

(𝑦) ∙ ∇𝜙(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑓(𝑦)𝜙(𝑦)𝑑𝑦, − ∫ u 𝑈

∞(𝑈). Vì vậy, nếu 𝜙̅ là ∫ 𝜙 𝜑𝑈

và 𝑦 ∈ 𝑈 sao cho với mọi 𝜙 ∈ 𝐶0

𝑈

1

𝜙(𝑦) − 𝜙̅ = ∫ (𝜙(𝑦) − 𝜙(𝑧))𝜑(𝑧)d𝑧

1

𝜑(𝑧)d𝑠d𝑧 𝜙(𝑦 + 𝑠(𝑧 − 𝑦)) d d𝑠 = ∫ ∫ − 0𝑈

0𝑈

𝜑(𝑧)d𝑠d𝑧. = ∫ ∫ −(𝑧 − 𝑦) ∙ ∇𝜙(𝑦 + 𝑠(𝑧 − 𝑦))

1

Đổi biến 𝑥 = 𝑦 + 𝑠(𝑧 − 𝑦) ta thu được

0𝑈

𝜙(𝑦) − 𝜙̅ = ∫ ∫ − ) d𝑠d𝑥. −1 𝑠𝑛+1 ∙ ∇𝜙(𝑥)𝜑 (𝑦 + 𝑥 − 𝑦 𝑠

Do đó, khi 𝑓 lấy giá trị trung bình tích phân bằng không, ta thay đổi thứ tự

phép lấy tích phân để

1

∫ 𝑓(𝑦)𝜙(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑈 ∫ 𝑓(𝑦)(𝜙(𝑦) − 𝜙̅)𝑑𝑦 𝑈

0𝑈𝑈

= − ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑦) − ) d𝑠 d𝑥 d𝑦 −1 𝑠𝑛+1 ∙ ∇𝜙(𝑥)𝜑 (𝑦 + 𝑥 − 𝑦 𝑠

𝑈

= − ∫ u (𝑥) ∙ 𝜙(𝑦)𝑑𝑦.

Nếu 𝑦 ∈ 𝑈 ta có

24

𝐶 |G(𝑥, 𝑦)| ≤

|𝑥 − 𝑦|𝑛−1 . (3.5) Điều kiện bắt buộc trên miền 𝑈 là dùng để thu được nghiệm u triệt tiêu trên

𝑈𝑐. Thật vậy, cho 𝑥 ∉ 𝑈 ta chỉ ra 𝐺(𝑥, 𝑦) = 0 với mọi 𝑦 ∈ 𝑈. Giả sử rằng 𝑦 + (𝑥 − 𝑦)𝑠−1 thuộc 𝑆𝑢𝑝𝑝(𝜑) ⊂ 𝐵 thì

𝑥 = (1 − 𝑠)𝑦 + 𝑠 (𝑦 + ) ∈ 𝑈. 𝑥 − 𝑦 𝑠

Do đó, 𝜑(𝑦 + (𝑥 − 𝑦)𝑠−1 ) = 0 với mọi 𝑠 ∈ (0,1) và 𝑦 ∈ 𝑈. Vì vậy,

𝐺(𝑥, 𝑦) = 0 với mọi 𝑦 ∈ 𝑈, suy ra 𝐮(𝑥) = 0.

Trước khi chứng minh mục tính liên tục của toán tử Bogovskii trong không

gian Sobolev có hàm trọng trong 𝐴𝑝, ta nhắc lại kết quả sau.

Cho 𝑇 là toán tử bị chặn từ 𝐿2(ℝ𝑛) vào chính nó có dạng

, 𝐾(𝑥, 𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦 ∫ |𝑥−𝑦|>𝜀 𝑇𝑓(𝑥) = lim ℰ→0

với nhân 𝐾 thỏa mãn

𝐶 |𝐾(𝑥, 𝑦)| ≤ |𝑥 − 𝑦|𝑛 , (3.6)

và được gọi là điều kiện Hormander, cụ thể,

|𝐾(𝑥, 𝑦) − 𝐾(𝑥′, 𝑦)| ≤ 𝐶 |𝑥 − 𝑥′| |𝑥 − 𝑦|𝑛+1 nếu |𝑥 − 𝑦|

≥ 2|𝑥 − 𝑥′|, (3.7)

và

|𝐾(𝑥, 𝑦) − 𝐾(𝑥′, 𝑦)| ≤ 𝐶 |𝑦 − 𝑦′| |𝑥 − 𝑦|𝑛+1 nếu |𝑥 − 𝑦|

≥ 2|𝑦 − 𝑦′|. (3.8)

Khi đó, 𝑇 liên tục từ 𝐿2(ℝ𝑛) vào chính nó với mọi 1 < 𝑝 < ∞ và 𝜔 là một

hàm trọng trong lớp 𝐴𝑝.

Định lí 3.1 ([6]) Cho 𝜔 ∈ 𝐴𝑝 và 1 < 𝑝 < ∞ công thức của Bogovskii được

định nghĩa trong (3.4) thỏa mãn

25

‖u‖𝑊1,𝑝(ℝ𝑛,𝜔) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(𝑈,𝜔). (3.9)

Chứng minh. Ta có 𝐿𝑝(𝑈, 𝜔) chứa trong 𝐿1(𝑈). Do đó, nghiệm u được xác

định.

Với 𝐶 là hằng số chung phụ thuộc vào 𝑛, 𝑝, 𝜑, 𝜔, nó độc lập với 𝑓 và u và

đường kính của 𝑈 là 𝑑.

Đầu tiên ta thấy rằng u ∈ 𝐿𝑝(ℝ𝑛, 𝜔)𝑛. Từ (3.5) ta có

1 1

𝐵(𝑥,𝑑)

∞

|𝑥 − 𝑦|𝑛−1 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 ≤ 𝐶 ∫ |𝑥 − 𝑦|𝑛−1 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 |u(𝑥)| ≤ 𝐶 ∫ 𝑈

𝑑 2𝑘+1<|𝑦−𝑥|<

𝑑 2𝑘

∞

𝑛−1

1 𝑑𝑦 |𝑥 − 𝑦|𝑛−1 |𝑓(𝑦)| ≤ 𝐶 ∑ ∫ 𝑘=0

𝑑 2𝑘+1<|𝑦−𝑥|<

𝑑 2𝑘

∞

|𝑓(𝑦)| 𝑑𝑦 ( ) 2𝑘+1 𝑑 ≤ 𝐶 ∑ ∫ 𝑘=0

𝑘=0

𝑑 2𝑘)

1 |𝑓(𝑦)| 𝑑𝑦 ≤ 𝐶 𝑀𝑓(𝑥), ≤ 𝐶 ∑ 2−𝑘 ∫ 𝐵(𝑥, |𝐵 (𝑥, 𝑑 2𝑘)|

với 𝑀𝑓 là hàm cực đại Hardy-Littlewood của 𝑓. Vì 𝜔 ∈ 𝐴𝑝 là toán tử cực đại

bị chặn trong 𝐿𝑝(ℝ𝑛, 𝜔) nên

‖u‖𝐿𝑝(ℝ𝑛,𝜔) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(𝑈,𝜔). (3.10)

Để chỉ ra đạo hàm của các thành phần u𝑗 của u ứng với 𝑥𝑖 trong 𝐿𝑝(𝑈, 𝜔) ta

∗ 𝑓(𝑥) với 𝑥 ∈ 𝑈,

sử dụng khai triển sau:

(𝑥) = 𝜑𝑖𝑗(𝑥)𝑓(𝑥) + 𝑇𝑖𝑗 𝜕u𝑗 𝜕𝑥𝑖

với 𝜑𝑖𝑗 là hàm bị chặn bởi một hằng số chỉ phụ thuộc vào 𝜑 và

∗ 𝑓(𝑥) = lim 𝜀→0

∗ bị chặn trong 𝐿𝑝(𝑈, 𝜔).

(𝑥, 𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦. 𝜒𝑈(𝑦) 𝑇𝑖𝑗 𝜕G𝑗 𝜕𝑥𝑖 ∫ |𝑦−𝑥|>0

Suy ra 𝑇𝑖𝑗

26

∗ trong 𝐿𝑝(𝑈) mở rộng tới các hàm trong 𝐿𝑝(ℝ𝑛).

Ta có tính liên tục của 𝑇𝑖𝑗 Tuy nhiên, nó không liên tục trong 𝐿𝑝(𝑈, 𝜔) với 𝜔 ∈ 𝐴𝑝. Do đó, ta sẽ mở ∗ tới 𝐿𝑝(ℝ𝑛) theo cách khác để đảm bảo tính liên tục trong rộng toán tử 𝑇𝑖𝑗

không gian có hàm trọng.

Cho 𝑇 là toán tử tích phân kỳ dị được xác định bởi

∞(𝑈) thỏa mãn 𝜓(𝑦) = 1 với bất kỳ 𝑦 ∈ 𝑈 và 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝜓) ⊂ 𝐵∗

𝑔(𝑦)𝑑𝑦, 𝑇𝑔(𝑥) = lim 𝜀→0 ∫ |𝑦−𝑥|>𝜀 𝜕G𝑗 (𝑥, 𝑦) 𝜓(𝑦) 𝜕𝑥𝑖 ⏟ 𝐾(𝑥,𝑦)

với 𝜓 ∈ 𝐶0 trong hình cầu 𝐵∗ có đường kính 𝑑 và tâm giống 𝐵 mà ta sẽ giả sử tâm tại

không.

Ta có

1 (𝑥, 𝑦) = ∫ 0

) + (𝑦 + ) 𝑑𝑠, 𝛿𝑖𝑗 𝑠𝑛+1 𝜑 (𝑦 + 𝑥 − 𝑦 𝑠 𝑥𝑗 − 𝑦𝑗 𝑠𝑛+2 𝑥 − 𝑦 𝑠 𝜕G𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝜑 𝜕𝑥𝑖

𝑥−𝑦

trong đó 𝛿𝑖𝑗 biểu thị ký hiệu Kronecker.

𝑠

Bây giờ, cho 𝑥 ∈ ℝ𝑛 và 𝑦 ∈ 𝐵∗ ta có thể thấy rằng nếu 𝑦 + thuộc 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝜑

thì

≤ |𝑦| + |𝑦 + | ≤ 2𝑑. |𝑥 − 𝑦| 𝑠 𝑥 − 𝑦 𝑠

1 𝐾(𝑥, 𝑦) = 𝜓(𝑦) ∫

Do đó

min{1,

}

|𝑥−𝑦| 2𝑑

) 𝛿𝑖𝑗 𝑠𝑛+1 𝜑 (𝑦 + 𝑥 − 𝑦 𝑠

+ (𝑦 + ) 𝑑𝑠. (3.11) 𝑥𝑗 − 𝑦𝑗 𝑠𝑛+2 𝑥 − 𝑦 𝑠 𝜕𝜑 𝜕𝑥𝑖

Vì 𝑇 liên tục tuần hoàn từ 𝐿2(ℝ𝑛) vào chính nó nên để chứng minh tính liên tục

trong 𝐿𝑝(ℝ𝑛, 𝜔) vào chính nó ta sẽ chứng minh điều kiện (3.6), (3.7), và (3.8).

Cho 𝑥, 𝑦, 𝑦′ ∈ ℝ𝑛 sao cho |𝑥 − 𝑦| ≥ 2|𝑦 − 𝑦′| ta có

27

|𝑥 − 𝑦′| 2𝑑

≥ . |𝑥 − 𝑦| 4𝑑

Do đó,

𝐾(𝑥, 𝑦) − 𝐾(𝑥, 𝑦′) = (𝑖) + (𝑖𝑖) + (𝑖𝑖𝑖) + (𝑖𝑣),

1 (𝑖) = (𝜓(𝑦) − 𝜓(𝑦′)) ∫

với,

min{1,

|𝑥−𝑦| } 4𝑑

) 𝛿𝑖𝑗 𝑠𝑛+1 𝜑 (𝑦 + 𝑥 − 𝑦 𝑠

1 (𝑖𝑖) = 𝜓(𝑦′) ∫

+ (𝑦 + ) 𝑑𝑠. 𝑥𝑗 − 𝑦𝑗 𝑠𝑛+2 𝑥 − 𝑦 𝑠 𝜕𝜑 𝜕𝑥𝑖

min{1,

|𝑥−𝑦| } 4𝑑

1 (𝑖𝑖𝑖) = 𝜓(𝑦′) ∫

[𝜑 (𝑦 + ) − 𝜑 (𝑦′ + )] 𝑑𝑠 𝛿𝑖𝑗 𝑠𝑛+1 𝑥 − 𝑦 𝑠 𝑥 − 𝑦′ 𝑠

′ − 𝑦𝑗 𝑦𝑗 𝑠

min{1,

|𝑥−𝑦| } 4𝑑

1 (𝑖𝑣) = 𝜓(𝑦′) ∫

𝑑𝑠 (𝑦 + )] 1 𝑠𝑛+1 [ 𝑥 − 𝑦 𝑠 𝜕𝜑 𝜕𝑥𝑖

′ 𝑥𝑗 − 𝑦𝑗 𝑠

min{1,

|𝑥−𝑦| } 4𝑑

[ ( (𝑦 + ) 1 𝑠𝑛+1 𝑥 − 𝑦 𝑠 𝜕𝜑 𝜕𝑥𝑖

− (𝑦′ + ))] 𝑑𝑠. 𝑥 − 𝑦′ 𝑠 𝜕𝜑 𝜕𝑥𝑖

|𝑦−𝑦′| |𝑥−𝑦|

. Do Biểu thức giữa các dấu ngoặc trong (𝑖𝑖), (𝑖𝑖𝑖) và (𝑖𝑣) bị chặn bởi 𝐶

đó, ta có (3.8).

28

Chương 4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Trong phần đầu ta chỉ ra rằng đối với các miền phẳng liên thông đơn giản, bất

đẳng thức Korn có hàm trọng tương đương với sự tồn tại trong không gian

Sobolev có hàm trọng của bài toán Divergence. Tiếp theo chúng ta sử dụng

tính giải được của bài toán Divergence để chứng minh sự tồn tại và duy nhất

nghiệm của phương trình Stokes trong không gian Hilbert thích hợp.

4.1. Sự tương đương với bất đẳng thức Korn

Ta biết rằng bất đẳng thức Korn và bài toán divergence là tương đương trên

các miền xác định chính quy. Mở rộng các kỹ thuật trước đây trên miền

Holder-𝛼, ta sẽ mở rộng sự tương đương với các không gian Sobolev có hàm

trọng trên các miền phẳng liên thông hoàn toàn bất kỳ.

Cho Ω ⊂ ℝ𝑛 là miền phẳng bị chặn và 𝜔 = Ω → ℝ là hàm trọng bị chặn

thỏa mãn

≤ 𝜔(𝑥) ≤ 𝐶 (4.1) 1 𝐶

với mọi 𝑥 ∈ 𝐾 và mọi tập compact 𝐾 ⊂ Ω, với 𝐶 là hằng số dương chỉ phụ

thuộc vào 𝐾.

1,𝑝(Ω)2 ∶ 𝐷v ∈ 𝐿𝑝(Ω, 𝜔)2×2 và div v ∈𝐿𝑝(Ω)}

Xét không gian Banach thương

𝑉(Ω, 𝑝, 𝜔) = {v ∈ 𝑊𝑙𝑜𝑐

/{ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố},

𝑝

𝑝

với chuẩn

𝑝 ≔ ‖𝐷v‖𝐿𝑝(Ω,𝜔)

2×2

. ‖v‖𝑉 + ‖div v‖𝐿𝑝(Ω)

1,𝑝(Ω)2 ∶ 𝐷w ∈ 𝐿𝑞(Ω)2×2 và 𝜀(w) ∈𝐿𝑞 (Ω, 𝜔

𝑞 − 𝑝)

} 𝑊(Ω, 𝑝, 𝜔) = {w ∈ 𝑊𝑙𝑜𝑐

/{ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố},

với chuẩn

29

𝑞

𝑞 + ‖𝜀(w)‖

𝑞 ≔ ‖𝐷w‖𝐿𝑞(Ω)

−

𝑞 𝑝)

𝐿𝑞(Ω,𝜔

. ‖w‖𝑊

Ta sẽ khái quát điều kiện biên được đưa vào trong (2.12) cho các trọng tùy ý.

Ta định nghĩa không gian con như sau:

}. 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(Ω, 𝑝, 𝜔) = {v ∈ 𝑉(Ω, 𝑝, 𝜔) ∶ ∫ 𝐷w ∶ curl v = 0, ∀ w ∈ 𝑊(Ω, 𝑝, 𝜔) Ω

Trên thực tế, dễ dàng để kiểm tra tọa độ tích là tọa độ giữa hai ma trận, được

ký hiệu với hai điểm, tích bằng không nếu một cái là đối xứng và cái kia là

phản đối xứng. Vì vậy,

Ω

: (𝐷w)𝑎, ∫ Curl v : 𝐷w = ∫ (Curl v)𝑠 Ω : (𝐷w)𝑠+ ∫ (Curl v)𝑎 Ω

với chỉ số 𝑠 và 𝑎 theo thứ tự là phần đối xứng và phản đối xứng của ma trận.

Do đó,

Ω

. ∫ Curl v : 𝐷w = ∫ (Curl v)𝑠 Ω : 𝜀(w)+ ∫ div v . ( Ω 0 −1 ) ∶ (𝐷w)𝑎 ⏟ 0 1 rot(w)

Sử dụng bất đẳng thức Schwarz ta thu được:

Ω

| ≤ |∫ Curl v : 𝐷w

2×2 + ‖div v‖𝐿𝑝(Ω)‖rot(w)‖𝐿𝑞(Ω)

−

𝐿𝑞(Ω,𝜔

𝑝 𝑞)

‖(Curl v)𝑠‖𝐿𝑝(Ω,𝜔)‖𝜀(w)‖

≤ 𝐶‖v‖𝑉‖w‖𝑊. Ta có thể viết 𝑉 = 𝑉(Ω, 𝑝, 𝜔), 𝑊 = 𝑊(Ω, 𝑝, 𝜔) và 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(Ω, 𝑝, 𝜔).

Trong phần trước ta đã định nghĩa không gian 𝑉 có hàm trọng khác với không

gian 𝑉 trong phần này , mặc dù cả hai không gian đều được giới thiệu để tìm

được một định nghĩa rõ ràng của toán tử phân kỳ và nghịch đảo của nó.

Ta sẽ xây dựng một biến thể mới của bài toán divergence có hàm trọng và bất

đẳng thức Korn trên miền phẳng bị chặn bất kỳ. Cho Ω ⊂ ℝ𝑛 là một miền bị

chặn và 𝜔 = Ω → ℝ là hàm trọng bị chặn thỏa mãn (4.1) và 1 < 𝑝 < ∞.

30

Ta nói rằng (Ω, 𝑝, 𝜔) thỏa mãn tính chất divergence (4.2) nếu cho 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(Ω) với giá trị trung bình bằng không thì tồn tại trường v ∈ 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 sao cho div v = 𝑓 và ‖v‖𝑉 ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω), (4.2)

với 𝐶 chỉ phụ thuộc vào Ω.

Mặt khác, ta nói rằng (Ω, 𝑝, 𝜔) thỏa mãn tính chất Korn (4.2) nếu tồn tại

hằng số 𝐶 phụ thuộc Ω sao cho

−

𝐿𝑞(Ω,𝜔

𝑞 𝑝)

, (4.3) ‖w − z‖𝑊 ≤ 𝐶‖𝜀(w)‖ inf 𝑧∈𝒩

∀w ∈ 𝑊, 𝒩 = {z ∈ 𝑊 ∶ 𝜀(z) = 0} .

Nhận thấy rằng tính chất mới (4.2) và (4.3) tương đương với tính chất tiêu

chuẩn trên miền Lipschitz với 𝜔 ≡ 1.

4.1.1. Bài toán divergence kéo theo bất đẳng thức Korn

Trong mệnh đề tiếp theo ta sẽ chứng minh tính chất divergence (4.2) kéo theo

tính chất Korn (4.3) khi 𝑝 = 2.

Mệnh đề 4.1 ([4]) Cho Ω ⊂ ℝ𝑛 là một miền bị chặn và 𝜔 = Ω → (0, ∞) là

hàm trọng bị chặn sao cho (Ω, 2, 𝜔) thỏa mãn tính chất divergence (4.2), khi

đó (Ω, 2, 𝜔) thỏa mãn bất đẳng thức Korn (4.3).

𝜕w1 𝜕𝑥2

𝜕w2 𝜕𝑥1

Chứng minh. Cho w ∈ 𝑊 và ta giả sử rằng rot(w) ≔ − + có tích

phân bằng không. Do đó, từ (4.2) tồn tại v ∈ 𝑉 sao cho div v = rot(w) và

‖v‖𝑉 ≤ 𝐶‖rot(w)‖𝐿2(Ω).

Bằng tính toán đơn giản ta có thể nhận thấy rằng

𝜀(w) = 𝐷w − rot(w) ( ). 0 −1 0 1 1 2

Do div v = rot(w) ta có

𝜀(w): (𝐷w − Curl v) = (𝐷w − rot(w) ( )) ∶ (𝐷w − Curl v) 0 −1 0 1 1 2

31

= 𝐷w : 𝐷w − 𝐷w : Curl v − rot(w) ( ) 0 −1 0 1 1 2

1

∶ (𝐷w − Curl v)

2

= 𝐷w : 𝐷w − 𝐷w : Curl v − rot(w)(rot(𝐰) − div v)

= 𝐷w : 𝐷w − 𝐷w : Curl v.

Vì v ∈ 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 và 𝜔 bị chặn nên

2 ‖𝐷w‖𝐿2(Ω)

Ω

Ω

= ∫ 𝜀(w): (𝐷w − Curl v) + ∫ 𝐷w : Curl v

≤ ‖𝜀(w)‖𝐿2(Ω,𝜔−1)(‖𝐷w‖𝐿2(Ω,𝜔) + ‖Curl v‖𝐿2(Ω,𝜔))

≤ 𝐶‖𝜀(w)‖𝐿2(Ω,𝜔−1)(‖𝐷w‖𝐿2(Ω,𝜔) + ‖v‖𝑉)

≤ 𝐶‖𝜀(w)‖𝐿2(Ω,𝜔−1)‖𝐷w‖𝐿2(Ω,𝜔).

Chia cho ‖𝐷w‖𝐿2(Ω) ta có

‖w‖𝑉 ≤ 𝐶‖𝜀(w)‖𝐿2(Ω,𝜔−1)

∀w ∈ 𝑊 sao cho rot(w) có giá trị trung bình bằng không.

Với bất kỳ z ∈ 𝒩 ta viết được z = (𝑎𝑦 + 𝑏, −𝑎𝑥 + 𝑐) với 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ. Do đó,

cho tùy ý w ∈ 𝑊 tồn tại z ∈ 𝒩 sao cho ∫ rot(w−z)= 0.

Kết quả ta có

‖w − z‖𝑉 ≤ 𝐶‖𝜀(w − z)‖𝐿2(Ω,𝜔−1) = 𝐶‖𝜀(w)‖𝐿2(Ω,𝜔−1),

Suy ra điều phải chứng minh.

4.1.2. Bất đẳng thức Korn kéo theo bài toán divergence

Ta sẽ chứng minh (4.3) kéo theo (4.2) với 1 < 𝑝 < ∞. Đặc biệt, với 𝑝 = 2 ta

có thể khẳng định kết quả là tương đương.

Mệnh đề 4.2 ([4]) Cho Ω ⊂ ℝ𝑛 là một miền bị chặn liên thông hoàn toàn,

𝜔 = Ω → (0, ∞) là hàm trọng bị chặn thỏa (4.1) và 1 < 𝑝 < ∞ sao cho

(Ω, 𝑝, 𝜔) thỏa mãn tính chất Korn (4.3), khi đó (Ω, 𝑝, 𝜔) thỏa mãn tính chất

(4.2).

Chứng minh. Lấy u ∈ 𝑊1,𝑝(Ω)2 sao cho

32

div u = 𝑓

và

‖u‖𝑊1,𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω).

Vì 𝜔 bị chặn nên u ∈ 𝑉(Ω, 𝑝, 𝜔) và

‖u‖𝑉 ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω).

Do đó tồn tại v ∈ 𝑉 với div v = 0 thỏa mãn

u − v ∈ 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(Ω, 𝑝, 𝜔)

và

‖v‖𝑉 ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω).

Áp dụng

Ω

2×2

𝑞

𝑇(𝜏) ≔ ∫ Curl u : 𝐷w

có thể viết 𝜏 = 𝜀(w) với w ∈ 𝑊(Ω, 𝑝, 𝜔). (Ω, 𝜔−𝑝/𝑞) với mọi 𝜏 ∈ 𝐿𝑠𝑦𝑚

Khi div u có giá trị trung bình bằng 0 nghĩa là có 𝑇 được xác định. Hơn

2×2

nữa, áp dụng tính chất Korn (4.3) ta thu được tính liên tục của 𝑇 trong

𝑞 𝐿𝑠𝑦𝑚

như sau: (Ω, 𝜔−𝑝/𝑞)

| |𝑇(𝜏)| = |∫ Curl u : 𝐷w Ω

‖𝐷(w − v)‖𝐿𝑞(Ω) ≤ ‖Curl u‖𝐿𝑝(Ω) inf 𝑧∈𝒩

−

𝑞 𝑝)

𝐿2(Ω,𝜔

≤ 𝐶‖Curl u‖𝐿𝑝(Ω) ‖𝜀(w)‖

−

𝑞 𝑝)

𝐿2(Ω,𝜔

. = 𝐶‖Curl u‖𝐿𝑝(Ω)‖𝜏‖

2×2

𝑞

Theo định thể được mở rộng lí Hanhn-Banach hàm 𝑇 có

2×2

, do đó theo định lí biểu diễn Riesz tồn tại 𝜎 ∈ (Ω, 𝜔−𝑝/𝑞) thành 𝐿𝑠𝑦𝑚

𝑞 𝐿𝑠𝑦𝑚

sao cho (Ω, 𝜔−𝑝/𝑞)

33

2×2

𝑞

Ω

𝑇(𝜏) ≔ ∫ 𝜎 ∶ 𝜏 (Ω, 𝜔−𝑝/𝑞) ∀𝜏 ∈ 𝐿𝑠𝑦𝑚

và

‖𝜎‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) ≤ 𝐶‖Curl u‖𝐿𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω),

với 𝐶 phụ thuộc vào Ω, 𝜔. Đặc biệt,

Ω

∀w ∈ 𝑊. (4.4) = ∫ Curl u : 𝐷w, ∫ 𝜎 ∶ 𝜀(w) Ω

1 (Ω). Ta chứng minh rằng Div σ =

Khi đó, vì 𝜎 đối xứng nên ta có thể thay 𝜀(w) trong (4.4) bằng 𝐷w.

Vì 𝜔 thỏa mãn điều kiện (4.1) nên 𝜎 ∈ 𝐿𝑙𝑜𝑐

0. Ta có:

Ω

∞(Ω)𝑛 và do đó Div 𝜎 = 0.

0, ∫ Curl v ∶ 𝐷r = ∫ Div Curl v ∙ r = Ω Ω

1,𝑝(Ω)2 sao cho

∫ Div 𝜎 ∙ r = − ∫ 𝜎 ∶ 𝐷r = Ω với mọi r ∈ 𝐶0

Từ Bổ đề 2.5, tồn tại v ∈ 𝑊𝑙𝑜𝑐

Curl v = 𝜎.

Do đó

‖𝐷v‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) = ‖Curl v‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) = ‖𝜎‖𝐿𝑝(Ω,𝜔).

Ta kiểm tra div v = 0, vì 𝜎 là tenso đối xứng ta có

div v = + = −𝜎12 + 𝜎21 = 0. 𝜕v1 𝜕𝑥1 𝜕v2 𝜕𝑥2

Do đó v ∈ 𝑉 với

‖v‖𝑉 = ‖𝐷v‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) = ‖𝜎‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω)

Từ (4.4) ta có u − v ∈ 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(Ω, 𝑝, 𝜔)

Suy ra điều phải chứng minh. □

4.2. Ứng dụng vào phương trình Stokes

Mục đích của phần này là chỉ ra sự tồn tại của các nghịch đảo phải của

bài toán divergence trong không gian Sobolev có hàm trọng.

Xét phương trình Stokes

34

(4.5)

−∆u + ∇𝑝 = f trong Ω { div u = 0 trong Ω u = 0 trên 𝜕Ω Với miền bị chặn Ω là Lipschitz, nếu f ∈ 𝐻−1(Ω)𝑛 thì tồn tại nghiệm duy

2 (Ω)

nhất

1(Ω)𝑛 × 𝐿0 Hơn nữa, đánh giá tiên nghiệm sau chỉ ra rằng

(u, 𝑝) ∈ 𝐻0

‖u‖𝐻1(Ω)𝑛 + ‖𝑝‖𝐿2(Ω) ≤ 𝐶‖f‖𝐻−1 (Ω),

với hằng số 𝐶 phụ thuộc vào miền Ω.

Ω

Phát biểu yếu hơn của (4.5) có thể viết như sau

(4.6) 𝑎(u, v) − 𝑏(v, 𝑝) = ∫ f ∙ v ∀v ∈ 𝑉 { 𝑏(u, 𝑞) = 0 ∀𝑞 ∈ 𝑄,

với

Ω

𝑎(u, v) = ∫ 𝐷u : 𝐷v

và

Ω

𝑏(v, 𝑞) = ∫ 𝑝 div v ,

𝑛 𝑖,𝑗=1

với v ∈ 𝐻1(Ω)𝑛, 𝐷v là ma trận vi phân của v , cho hai ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) và 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) trong ℝ𝑛×𝑛, 𝐴 ∶ 𝐵 = ∑ 𝑏𝑖𝑗. 𝑎𝑖𝑗

Sự tồn tại và duy nhất của (4.6) khi 𝑎 và 𝑏 là các chuẩn song tuyến tính liên

tục, 𝑎 là coercive trên nhân của toán tử 𝐵 ∶ 𝑉 → 𝑄′ liên hợp với 𝑏, và 𝑏 thỏa

mãn điều kiện inf-sup

1(Ω)𝑛 và

> 0. inf 0≠𝑞∈𝑄 sub 0≠v∈𝑉 𝑏(v, 𝑞) ‖𝑞‖𝑄‖v‖𝑉

2 (Ω), tính liên tục của các dạng song tuyến tính và coercivity của 𝑎

Trong trường hợp bài toán Stokes, nếu ta chọn không gian 𝑉 = 𝐻0

𝑄 = 𝐿0

35

sinh ra bởi bất đẳng thức Schwarz và Poincare. Vì vậy, bài toán đưa về chứng

minh điều kiện inf-sup cho 𝑏 xác định như sau

‖𝑞‖

2(Ω)

1(Ω)𝑛

1(Ω)

𝐻0

∫ 𝑞 div v Ω 2(Ω)‖v‖ 𝐿0

> 0. (4.7) inf 0≠𝑞∈𝐿0 sub 0≠v∈𝐻0

Ngoài ra điều kiện này tương đương với sự tồn tại nghiệm của div v = 𝑓, với

2 (Ω), u ∈ 𝐻0

2(Ω) ≤ 𝐶, nó không đúng trên

1(Ω)𝑛 thỏa mãn ‖u‖𝐿0

bất kỳ 𝑓 ∈ 𝐿0

các miền có các đỉnh bên ngoài.

Với các miền mà (4.7) không đúng, ta sẽ thay thế điều kiện này bằng một

điều kiện yếu hơn. Do đó ta sẽ làm việc với các chuẩn trọng.

Ω

với 𝑞 ∈ Xét không gian 𝐿2(Ω, 𝜔−1) ⊂ 𝐿1(Ω) với 𝜔 ∈ 𝐿1(Ω) và ∫ 𝑞𝜔 = 0

𝐿2(Ω, 𝜔). Do đó ta có thể xác định không gian

2 𝐿𝜔,0

Ω

}. (Ω, 𝜔) = {𝑞 ∈ 𝐿2(Ω, 𝜔) ∶ ∫ 𝑞𝜔 = 0

1(Ω)𝑛 sao cho div u = 𝑓 và

Định lí 4.3 ([7]) Cho 𝜔 ∈ 𝐿1(Ω) là một hàm trọng dương. Giả sử rằng với bất

2 (Ω, 𝜔−1) tồn tại u ∈ 𝐻0

2

kỳ 𝑓 ∈ 𝐿0

1(Ω)𝑛 × 𝐿𝜔,0

‖u‖𝐻1(Ω) ≤ 𝐶1‖𝑓‖𝐿2(Ω,𝜔−1), với hằng số 𝐶1 phụ thuộc Ω và 𝜔. Khi đó, với bất kỳ f ∈ 𝐻−1(Ω)𝑛 tồn tại duy (Ω, 𝜔) của bài toán Stokes (4.5). Hơn nhất nghiệm (u, 𝑝) ∈ 𝐻0

nữa,

‖u‖𝐻1(Ω) + ‖𝑝‖𝐿2(Ω,𝜔) ≤ 𝐶2‖f ‖𝐻−1(Ω),

với 𝐶2 phụ thuộc 𝐶1 và Ω.

2

Chứng minh.

(Ω, 𝜔) với chuẩn ‖𝑞‖𝑄 = Xét về áp suất ta xét không gian 𝑄 = 𝐿𝜔,0

‖𝑞‖𝐿2(Ω,𝜔).

Vì chúng ta đang thay đổi không gian áp suất, chúng ta phải mở rộng chuẩn

𝐻1 của không gian vận tốc để bảo toàn tính liên tục của dạng song tuyến

𝑏. Khi đó, ta xét

36

1(Ω)𝑛 ∶ div u ∈ 𝐿2(Ω, 𝜔−1)}

2

𝑉 = {v ∈ 𝐻0

2 = ‖v‖𝐻1(Ω)

2 + ‖div v‖𝐿2(Ω,𝜔−1)

. với ‖v‖𝑉

Vì ‖v‖𝐻1(Ω) ≤ ‖v‖𝑉, sử dụng bất đẳng thức Schwarz ta có tính liên tục của

𝑎 trong 𝑉 × 𝑉. Ngoài ra, từ định nghĩa của các không gian dễ dàng thấy rằng

𝑏 liên tục trong 𝑉 × 𝑄.

Mặt khác, coercivity của 𝑎 theo chuẩn của 𝑉 trên nhân của toán tử 𝐵 sinh ra

từ bất đẳng thức Poincare bởi vì nhân này chứa các trường vecto tự do phân

kỳ.

Ta chứng minh

> 0. (4.8) inf 0≠𝑞∈𝑄 sub 0≠v∈𝑉

∫ 𝑞 div v Ω ‖𝑞‖𝑄‖v‖𝑉 1(Ω)𝑛 sao cho div u = 𝑞𝜔 và Thật vậy, cho 𝑞 ∈ 𝑄 tồn tại u ∈ 𝐻0

‖u‖𝐻1(Ω) ≤ 𝐶1‖ 𝑞𝜔‖𝐿2(Ω,𝜔−1) = 𝐶1‖𝑞‖𝑄.

Hơn nữa, vì ‖div u ‖𝐿2(Ω,𝜔−1) = ‖𝑞‖𝑄 ta có

‖u‖𝑉 ≤ 𝐶‖𝑞‖𝑄 ,

với 𝐶 chỉ phụ thuộc vào 𝐶1.

Khi đó,

≤ 𝐶 ‖𝑞‖𝑄 = ∫ 𝑞 𝑞𝜔 Ω ‖𝑞‖𝑄 ∫ 𝑞 div u Ω . ‖u‖𝑉

Do đó ta có (4.8).

37

38

KẾT LUẬN

Luận văn này đã khảo sát tính chính quy nghiệm của phương trình dạng

Divergence trên các không gian hàm có trọng. Cụ thể, khảo sát tính chính quy

nghiệm của phương trình div u = 𝑓 trên miền Holder−𝛼 với lớp hàm trọng

là lớp hàm lũy thừa của khoảng cách hoặc lớp hàm trọng Muckenhoupt 𝐴𝑝.

Kết quả chính là các định lí 2.1, định lí 2.6, định lí 2.9, định lí 2.10, định lí

3.1.

Kết quả này ứng dụng vào để chứng minh bất đẳng thức Korn với tính

chính quy nghiệm của phương trình Stokes. Kết quả này được trình bày trong

định lí 4.3.

39

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] G. Acosta, R.G. Duran and A. Lombardi, Weighted Poincare and Korn

inequalities for Holder- domains, Math. Meth. Appl. Sci. 29 (2006) 387-

400.

[2] G. Acosta, R.G. Duran and F. Lopez Garcia, Korn inequality and

divergence operator: Counterexamples and optimality of weighted

estimates, Proceedings of the American Mathematical Society 141

(2013), 217-232.

[3] G. Acosta R.G. Duran and M. A. Muschietti, Solutions of the divergence

operator on John Domains, Advances in Mathematics 206 (2006) 373-

401.

[4] R. Duran and F. Lopez Garcia, Solutions of the divergence and analysis

of the Stokes equations in planar domains, Math. Mod. Meth. Appl. Sci.

20 (1) (2010) 95-120.

[5] R. Duran and F. Lopez Garcia, Solutions of the divergence and Korn

inequalities on domains with an external cusp, Ann. Acad. Sci. Fenn.

Math. 35 (2010), 421-438.

[6] R.G. Duran and M. A. Muschietti, An explicit right inverse of the

divergence operator which is continuous in weighted norms, Studia

Math. 148 (2001) 207-219.

[7] G. P. Galdi, An introduction to the Mathematical theory of the Navier-

Stokes equations, Linearized steady problems I, Springer (1994).