Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn ánh xạ giả co chặt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀM THỊ HỒNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ VÔ HẠN ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀM THỊ HỒNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ VÔ HẠN ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÂM THÙY DƯƠNG THÁI NGUYÊN - 2016

M(cid:244)c l(cid:244)c

LŒi cam ﬁoan i

LŒi c¶m ‹n ii

M(cid:244)c l(cid:244)c iii

MØt sŁ k(cid:253) hi(cid:214)u v(cid:181) vi(cid:213)t t(cid:190)t iv

Mº ﬁ˙u 1

1 Ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222) 4

4 1.1. MØt sŁ kh‚i ni(cid:214)m cæa kh«ng gian Hilbert . . . . . . . . . . . .

4 5 1.1.1. §(cid:222)nh ngh(cid:220)a kh«ng gian Hilbert 1.1.2. MØt sŁ kh‚i ni(cid:214)m li“n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. B(cid:181)i to‚n ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng . . 1.3. B(cid:181)i to‚n ﬁ˘t kh«ng ch(cid:216)nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 . 11

1.3.1. Kh‚i ni(cid:214)m v(cid:210) b(cid:181)i to‚n ch(cid:216)nh v(cid:181) kh«ng ch(cid:216)nh . . 1.3.2. C‚c ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . 13

1.4. Nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh cho b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n . 1.4.1. B(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n . . . . . . . . . . . 17 . 17

. . . . . . . . . . . . . . . 22

. 1.4.2. Ph›‹ng ph‚p b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) . 1.4.3. Thu¸t to‚n nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh cho b˚t

ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng chung cho

mØt h(cid:228) v« h„n c‚c ‚nh x„ gi¶ co ch˘t 28

2.1. Ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng chung cho mØt h(cid:228) . v« h„n c‚c ‚nh x„ gi¶ co ch˘t . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2. Nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng chung cho . mØt h(cid:228) v« h„n c‚c ‚nh x„ gi¶ co ch˘t . . . . . . . . . . . . . 35

K(cid:213)t lu¸n 43

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o 44

i lŒi cam ﬁoan

T«i xin cam ﬁoan r»ng nØi dung tr(cid:215)nh b(cid:181)y trong lu¸n v¤n n(cid:181)y l(cid:181) trung thøc,

kh«ng tr(cid:239)ng l˘p v(cid:237)i c‚c ﬁ(cid:210) t(cid:181)i kh‚c v(cid:181) c‚c t(cid:181)i li(cid:214)u tr(cid:221)ch d(cid:201)n trong lu¸n v¤n ﬁ•

ﬁ›(cid:238)c ch(cid:216) r(cid:226) ngu(cid:229)n gŁc.

T‚c gi¶

§(cid:181)m Th(cid:222) H(cid:229)ng

ii lŒi c¶m ‹n

Lu¸n v¤n n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c ho(cid:181)n th(cid:181)nh t„i Tr›Œng §„i h(cid:228)c S› ph„m thuØc §„i h(cid:228)c

Th‚i Nguy“n d›(cid:237)i sø h›(cid:237)ng d(cid:201)n cæa TS. L'm Th(cid:239)y D›‹ng. T‚c gi¶ xin b(cid:181)y tÆ

l(cid:223)ng bi(cid:213)t ‹n s'u s(cid:190)c nh˚t t(cid:237)i c« ﬁ• ch(cid:216) b¶o t¸n t(cid:215)nh v(cid:181) cho nh(cid:247)ng (cid:253) ki(cid:213)n ﬁªng

gªp qu(cid:221) b‚u trong suŁt qu‚ tr(cid:215)nh h(cid:228)c t¸p v(cid:181) nghi“n cłu.

T‚c gi¶ xin ch'n th(cid:181)nh c¶m ‹n t(cid:237)i Ban Gi‚m hi(cid:214)u Tr›Œng §„i h(cid:228)c S› ph„m,

Ph(cid:223)ng sau ﬁ„i h(cid:228)c v(cid:181) Ban Chæ nhi(cid:214)m khoa To‚n Tr›Œng §„i h(cid:228)c S› ph„m -

§„i hoc Th‚i Nguy“n ﬁ• t„o m(cid:228)i ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n thu¸n l(cid:238)i cho t‚c gi¶ trong suŁt

thŒi gian l(cid:181)m lu¸n v¤n.

T‚c gi¶ xin ch'n th(cid:181)nh c¶m ‹n t(cid:237)i c‚c anh, ch(cid:222) em h(cid:228)c vi“n K22 ﬁ• trao

ﬁ(cid:230)i, ﬁØng vi“n v(cid:181) kh(cid:221)ch l(cid:214) t‚c gi¶ trong qu‚ tr(cid:215)nh h(cid:228)c t¸p, nghi“n cłu v(cid:181) l(cid:181)m

lu¸n v¤n.

T‚c gi¶ xin k(cid:221)nh t˘ng nh(cid:247)ng ng›Œi th'n y“u trong gia ﬁ(cid:215)nh cæa m(cid:215)nh ni(cid:210)m

vinh h„nh n(cid:181)y.

T‚c gi¶

§(cid:181)m Th(cid:222) H(cid:229)ng

iii

M(cid:244)c l(cid:244)c

MØt sŁ k(cid:253) hi(cid:214)u v(cid:181) vi(cid:213)t t(cid:190)t

kh«ng gian Hilbert thøc

(cid:104)., .(cid:105)

kh«ng gian Banach thøc

(cid:107).(cid:107)

t(cid:221)ch v« h›(cid:237)ng tr“n H

D(A)

chu¨n tr“n H

mi(cid:210)n x‚c ﬁ(cid:222)nh cæa ‚nh x„ A

N t¸p h(cid:238)p c‚c sŁ tø nhi“n

R t¸p h(cid:238)p c‚c sŁ thøc

∅

to‚n t(cid:246) ﬁ(cid:229)ng nh˚t

∀x

t¸p r(cid:231)ng

xn −→ x0

v(cid:237)i m(cid:228)i x

xn (cid:42) x0

d•y {xn} hØi t(cid:244) m„nh v(cid:210) x0

d•y {xn} hØi t(cid:244) y(cid:213)u v(cid:210) x0

Mº ﬁ˙u

B(cid:181)i to‚n t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa mØt ‚nh x„ T l(cid:181) b(cid:181)i to‚n cª nhi(cid:210)u łng d(cid:244)ng

trong gi¶i t(cid:221)ch, nh˚t l(cid:181) trong l(cid:253) thuy(cid:213)t c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh. Trong nhi(cid:210)u tr›Œng

h(cid:238)p, vi(cid:214)c gi¶i mØt ph›‹ng tr(cid:215)nh ﬁ›(cid:238)c quy v(cid:210) vi(cid:214)c t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa mØt

‚nh x„ th(cid:221)ch h(cid:238)p. Ch…ng h„n nh›, cho X l(cid:181) mØt kh«ng gian tuy(cid:213)n t(cid:221)nh, f l(cid:181)

f (x) = y l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ F x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi F (x) = x + f (x) − y.

‚nh x„ trong X, y l(cid:181) mØt ph˙n t(cid:246) cŁ ﬁ(cid:222)nh cæa X th(cid:215) nghi(cid:214)m cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh

Nh(cid:247)ng ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng n(cid:230)i ti(cid:213)ng ﬁ• xu˚t hi(cid:214)n tı ﬁ˙u th(cid:213) kß XX, trong

ﬁª ph¶i k(cid:211) ﬁ(cid:213)n: ’’ Nguy“n l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng Brouder (1912)’’, ’’ Nguy“n l(cid:253) ‚nh

x„ co Bannach (1922)’’ v(cid:181) c‚c k(cid:213)t qu¶ kinh ﬁi(cid:211)n n(cid:181)y ﬁ• ﬁ›(cid:238)c mº rØng ra l(cid:237)p

c‚c ‚nh x„ v(cid:181) kh«ng gian kh‚c nhau. H‹n n(cid:247)a, c‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) v(cid:210) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng

kh«ng ch(cid:216) cª łng d(cid:244)ng trong to‚n h(cid:228)c m(cid:181) c(cid:223)n cª nhi(cid:210)u łng d(cid:244)ng trong c‚c

l(cid:220)nh vøc kh‚c, nh› l(cid:181): x(cid:246) l(cid:253) t(cid:221)n hi(cid:214)u, x(cid:246) l(cid:253) ¶nh,... Do ﬁª, b(cid:181)i to‚n t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m

b˚t ﬁØng l(cid:181) mØt v˚n ﬁ(cid:210) ﬁ›(cid:238)c sø quan t'm cæa nhi(cid:210)u nh(cid:181) to‚n h(cid:228)c.

M(cid:244)c ﬁ(cid:221)ch cæa lu¸n v¤n l(cid:181) nghi“n cłu ph›‹ng ph‚p Nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244)

hi(cid:214)u ch(cid:216)nh ﬁ(cid:211) t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng chung cho mØt h(cid:228) c‚c ‚nh x„ gi¶ co ch˘t,

tr›Œng h(cid:238)p ri“ng l(cid:181) mØt h(cid:228) ‚nh x„ kh«ng gi•n, trong kh«ng gian Hilbert.

Kh‚i ni(cid:214)m ‚nh x„ gi¶ co ch˘t ﬁ›(cid:238)c c‚c nh(cid:181) to‚n h(cid:228)c F. E. Brouder v(cid:181) W.

V. Petryshyn [5] ﬁ›a ra n¤m 1967. H(cid:228) ﬁ• ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a r»ng, mØt ‚nh x„ T x‚c

ﬁ(cid:222)nh tr“n mØt t¸p l(cid:229)i ﬁªng C cæa kh«ng gian Hilbert H l(cid:181) λ - gi¶ co ch˘t n(cid:213)u

(cid:107) T (x) − T (y) (cid:107)2≤(cid:107) x − y (cid:107)2 +λ (cid:107) (I − T )(x) − (I − T )(y) (cid:107)2

‚nh x„ T thÆa m•n:

v(cid:237)i 0 ≤ λ < 1. Trong tr›Œng h(cid:238)p khi λ = 0 th(cid:215) ‚nh x„ 0 - gi¶ co ch˘t l(cid:181) mØt

i=1 tı mØt t¸p l(cid:229)i ﬁªng

‚nh x„ kh«ng gi•n.

i=1 F ix (Ti) (cid:54)= φ, º ﬁ'y

F ix (Ti) l(cid:181) t¸p ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ Ti.

Cho mØt h(cid:228) v« h„n c‚c ‚nh x„ λi - gi¶ co ch˘t, {Ti}∞ C cæa kh«ng gian Hilbert H v(cid:181)o H, sao cho F = (cid:84)∞

X—t b(cid:181)i to‚n: T(cid:215)m u∗ ∈ F.

Ph›‹ng ph‚p b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:210) xu˚t bºi Cohen [7] v(cid:181)o n¤m 1980 khi

nghi“n cłu b(cid:181)i to‚n tŁi ›u. N¤m 1988, Cohen [8] v¸n d(cid:244)ng ph›‹ng ph‚p

nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) ﬁ(cid:211) t(cid:215)m nghi(cid:214)m cho b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n c(cid:230) ﬁi(cid:211)n:

(cid:104)F (u∗) , v − u∗(cid:105) ≥ 0 v ∈ C,

T(cid:215)m u∗ ∈ C sao cho

(0.1)

v(cid:237)i F : C → H l(cid:181) ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u m„nh v(cid:181) li“n t(cid:244)c Lipschitz.

§Łi v(cid:237)i ph›‹ng ph‚p b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) ﬁ(cid:223)i hÆi ‚nh x„ F cª t(cid:221)nh ch˚t ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u

m„nh. V¸y khi ‚nh x„ F ch(cid:216) cª t(cid:221)nh ch˚t ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u th(cid:215) cª c‚ch n(cid:181)o ﬁ(cid:211) t(cid:215)m

nghi(cid:214)m cho b(cid:181)i to‚n (0.1) ﬁ›(cid:238)c kh«ng? §(cid:211) gi¶i quy(cid:213)t v˚n ﬁ(cid:210) n(cid:181)y, n¤m 2000,

J. Baasansuren v(cid:181) A. A. Khan [4] ﬁ• ﬁ(cid:210) xu˚t ph›‹ng ph‚p m(cid:237)i, l(cid:181) sø k(cid:213)t h(cid:238)p

gi(cid:247)a ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh Brouder-Tikhonov v(cid:237)i ph›‹ng ph‚p b(cid:181)i to‚n ph(cid:244)

v(cid:181) g(cid:228)i l(cid:181): ’’Ph›‹ng ph‚p nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh’’. V(cid:237)i ph›‹ng ph‚p

n(cid:181)y, thay cho vi(cid:214)c x‚c ﬁ(cid:222)nh ch(cid:221)nh x‚c nghi(cid:214)m u∗ cæa b(cid:181)i to‚n (0.1), h(cid:228) x‚c

ﬁ(cid:222)nh d•y nghi(cid:214)m x˚p x(cid:216) {zn}n≥0 cæa c‚c b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n ﬁ• ch(cid:216)nh hªa v(cid:181) chłng minh sø hØi t(cid:244) m„nh cæa d•y nghi(cid:214)m {zn}n≥0 t(cid:237)i nghi(cid:214)m u∗ cæa b(cid:181)i

to‚n (0.1).

Tr“n tinh th˙n ﬁ˘t ra nghi“n cłu, lu¸n v¤n ﬁ›(cid:238)c chia th(cid:181)nh 2 ch›‹ng:

Ch›‹ng 1: Ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222)

Trong ch›‹ng n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i nh(cid:190)c l„i mØt sŁ kh‚i ni(cid:214)m v(cid:181) t(cid:221)nh ch˚t cæa ‚nh

x„ trong kh«ng gian Hilbert. Tr(cid:215)nh b(cid:181)y kh‚i ni(cid:214)m b(cid:181)i to‚n ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng v(cid:181)

sø t(cid:229)n t„i ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng. Tr(cid:215)nh b(cid:181)y v(cid:210) b(cid:181)i to‚n ﬁ˘t kh«ng ch(cid:216)nh v(cid:181) mØt sŁ

ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh. M(cid:244)c cuŁi cæa ch›‹ng ch(cid:243)ng t«i gi(cid:237)i thi(cid:214)u ph›‹ng

ph‚p b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) v(cid:181) thu¸t to‚n nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh ﬁ(cid:211) gi¶i b(cid:181)i

to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n.

Ch›‹ng 2: Nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng chung

cho mØt h(cid:228) v« h„n c‚c ‚nh x„ gi¶ co ch˘t

• Ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng chung cho mØt h(cid:228) v« h„n c‚c

Trong ch›‹ng n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i chia l(cid:181)m hai ph˙n:

• Nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng chung cho mØt h(cid:228)

‚nh x„ gi¶ co ch˘t.

v« h„n c‚c ‚nh x„ gi¶ co ch˘t.

Ch›‹ng 1

Ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222)

1.1. MØt sŁ kh‚i ni(cid:214)m cæa kh«ng gian Hilbert

1.1.1. §(cid:222)nh ngh(cid:220)a kh«ng gian Hilbert

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.1

Cho X l(cid:181) mØt kh«ng gian tuy(cid:213)n t(cid:221)nh tr“n tr›Œng sŁ thøc R. MØt t(cid:221)ch v« h›(cid:237)ng

trong X l(cid:181) mØt ‚nh x„ (cid:104)·, ·(cid:105) : X × X → R thÆa m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n sau:

(i) (cid:104)x, y(cid:105) = (cid:104)y, x(cid:105), ∀ x, y ∈ X;

(ii) (cid:104)x + y, z(cid:105) = (cid:104)x, z(cid:105) + (cid:104)y, z(cid:105), ∀ x, y, z ∈ X;

(iii) (cid:104)λx, y(cid:105) = λ(cid:104)x, y(cid:105), ∀ x, y ∈ X; λ ∈ R;

(cid:104)x, x(cid:105) = 0 ⇔ x = 0.

(iv) (cid:104)x, x(cid:105) > 0, ∀ x (cid:54)= 0;

Kh«ng gian tuy(cid:213)n t(cid:221)nh X c(cid:239)ng v(cid:237)i t(cid:221)ch v« h›(cid:237)ng (cid:104)·, ·(cid:105) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) kh«ng

gian ti(cid:210)n Hilbert.

Chu¨n cæa ph˙n t(cid:246) x ∈ X, k(cid:221) hi(cid:214)u (cid:107)x(cid:107) v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh:

(cid:104)x, x(cid:105)

(cid:107)x(cid:107) =

(cid:113) (1.1)

Kh«ng gian ti(cid:210)n Hilbert ﬁ˙y ﬁæ v(cid:237)i metric sinh bºi chu¨n x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi (1.1)

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) kh«ng gian Hilbert.

n (cid:88)

(cid:104)x, y(cid:105) =

ξkηk

n=1

V(cid:221) d(cid:244) 1.1 Kh«ng gian Rn, v(cid:237)i t(cid:221)ch v« h›(cid:237)ng ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh:

trong ﬁª x = (ξ1, ξ2, . . . , ξk), y = (η1, η2, . . . , ηn) ∈ Rn, l(cid:181) kh«ng gian

Hilbert.

[a,b] g(cid:229)m t˚t c¶ c‚c h(cid:181)m li“n t(cid:244)c tr“n [a, b] v(cid:237)i c‚c

V(cid:221) d(cid:244) 1.2 Kh«ng gian C L2

ph—p to‚n tuy(cid:213)n t(cid:221)nh th«ng th›Œng v(cid:181) v(cid:237)i t(cid:221)ch v« h›(cid:237)ng:

(cid:104)f, g(cid:105) =

f (x) · g(x)dx.

(cid:90) b

[a,b], l(cid:181) kh«ng gian Hilbert.

trong ﬁª f, g ∈ C L2

M(cid:244)c ti(cid:213)p theo sau ﬁ'y ch(cid:243)ng t«i xin tr(cid:215)nh b(cid:181)y mØt sŁ kh‚i ni(cid:214)m kh‚c.

• Cho C l(cid:181) mØt t¸p con kh‚c r(cid:231)ng cæa kh«ng gian X.

(i) C ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) b(cid:222) ch˘n, n(cid:213)u ∃ M > 0 sao cho(cid:107)x(cid:107) ≤ M, ∀ x ∈ C.

(ii) C ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) l(cid:229)i ,n(cid:213)u ∀ x, y ∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1, ta cª:

x + (1 − λ) y ∈ C.

1.1.2. MØt sŁ kh‚i ni(cid:214)m li“n quan

(iii) C ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) compact, n(cid:213)u m(cid:231)i d•y {xn} ⊂ C ﬁ(cid:210)u chła d•y con

{xnk} hØi t(cid:244) t(cid:237)i mØt ﬁi(cid:211)m thuØc C.

(1.2)

Nh¸n x—t 1.1 M(cid:231)i t¸p con ﬁªng, b(cid:222) ch˘n C cæa mØt kh«ng gian Hilbert l(cid:181)

compact y(cid:213)u, tłc l(cid:181) m(cid:231)i d•y b(cid:222) ch˘n trong C cª th(cid:211) tr(cid:221)ch ra mØt d•y con hØi

• D•y {xn} g(cid:229)m c‚c ph˙n t(cid:246) xn ∈ X g(cid:228)i l(cid:181) hØi t(cid:244) m„nh t(cid:237)i ph˙n t(cid:246)

x ∈ X n(cid:213)u (cid:107)xn − x(cid:107) → 0 khi n → ∞.

t(cid:244) y(cid:213)u t(cid:237)i mØt ph˙n t(cid:246) cæa kh«ng gian n(cid:181)y.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.1 N(cid:213)u d•y {xn} ⊂ X hØi t(cid:244) m„nh t(cid:237)i x ∈ X th(cid:215):

(i) M(cid:231)i d•y con {xnk} ⊂ {xn} c(cid:242)ng hØi t(cid:244) t(cid:237)i x;

• D•y {xn} ⊂ X ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁæ hay d•y Cauchy, n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:228)i ε > 0, t(cid:229)n

(ii) M(cid:231)i d•y {(cid:107)xn − ξ(cid:107)} l(cid:181) b(cid:222) ch˘n, v(cid:237)i ξ ∈ X .

t„i n0(ε) sao cho (cid:107)xm − xn(cid:107) < ε, v(cid:237)i m(cid:228)i m ≥ n0(ε) v(cid:181)o n ≥ n0(ε).

N(cid:213)u m(cid:228)i d•y Cauchy trong X ﬁ(cid:210)u hØi t(cid:244) t(cid:237)i mØt ph˙n t(cid:246) x ∈ X th(cid:215) kh«ng

gian X ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) kh«ng gian ﬁæ.

‚nh x„ ϕ : X → R, v(cid:237)i R l(cid:181) t¸p h(cid:238)p c‚c sŁ thøc, ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt phi(cid:213)m

•

h(cid:181)m.

(i) ϕ(x1 + x2) = ϕ(x1) + ϕ(x2), ∀ x1, x2 ∈ X;

(ii) ϕ(αx) = αϕ(x), ∀ x ∈ X, α ∈ R.

•

Phi(cid:213)m h(cid:181)m ϕ : X → R ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) tuy(cid:213)n t(cid:221)nh, n(cid:213)u:

Phi(cid:213)m h(cid:181)m ϕ : X → R ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) b(cid:222) ch˘n, n(cid:213)u t(cid:229)n t„i M > 0 sao

|ϕ(x)| ≤ M (cid:107)x(cid:107), ∀ x ∈ X.

cho:

(1.3)

Gi‚ tr(cid:222) M nhÆ nh˚t thÆa m•n b˚t ﬁ…ng thłc (1.3) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) chu¨n cæa ϕ

v(cid:181) k(cid:221) hi(cid:214)u l(cid:181) (cid:107)ϕ(cid:107). T¸p h(cid:238)p t˚t c¶ c‚c phi(cid:213)m h(cid:181)m tuy(cid:213)n t(cid:221)nh li“n t(cid:244)c tr“n X

X, k(cid:221) hi(cid:214)u l(cid:181) X ∗.

• D•y {xn} ⊂ X g(cid:228)i l(cid:181) hØi t(cid:244) y(cid:213)u t(cid:237)i x ∈ X ( vi(cid:213)t l(cid:181) xn (cid:42) x) n(cid:213)u

(cid:104)ϕ, xn(cid:105) → (cid:104)ϕ, x(cid:105) v(cid:237)i ϕ ∈ X ∗.

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) kh«ng gian li“n h(cid:238)p ( hay kh«ng gian ﬁŁi ng(cid:201)u) cæa kh«ng gian

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2 N(cid:213)u d•y {xn} ⊂ X hØi t(cid:244) y(cid:213)u t(cid:237)i x ∈ X th(cid:215) d•y {(cid:107)xn(cid:107)} l(cid:181) b(cid:222)

•

ch˘n.

ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y), ∀ x, y ∈ X, t ∈ [0, 1] .

Phi(cid:213)m h(cid:181)m ϕ : X → R ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) l(cid:229)i, n(cid:213)u:

(1.4)

N(cid:213)u d˚u "=" x¶y ra khi v(cid:181) ch(cid:216) khi x = y, th(cid:215) phi(cid:213)m h(cid:181)m ϕ ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) l(cid:229)i

ch˘t.

ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) − t(1 − t)γ ((cid:107)x − y(cid:107))

N(cid:213)u t(cid:229)n t„i mØt h(cid:181)m li“n t(cid:244)c, t¤ng γ : [0, +∞) → R, γ(0) = 0 sao cho:

(1.5)

v(cid:237)i m(cid:228)i x, y ∈ X, t ∈ [0, 1], th(cid:215) phi(cid:213)m h(cid:181)m ϕ ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) l(cid:229)i ﬁ(cid:210)u v(cid:181) h(cid:181)m γ(t)

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) m«ﬁun l(cid:229)i cæa ϕ.

N(cid:213)u γ(t) = ct2 , v(cid:237)i c l(cid:181) h»ng sŁ d›‹ng, th(cid:215) phi(cid:213)m h(cid:181)m ϕ ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) l(cid:229)i

•

m„nh.

Phi(cid:213)m h(cid:181)m ϕ : X → R ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i t„i x0 ∈ X, n(cid:213)u

v(cid:237)i m(cid:231)i d•y xn ⊂ X sao cho xn → x0 ta cª:

ϕ(xn).

ϕ(x0) ≤ lim inf n→∞

(1.6)

N(cid:213)u xn ⊂ X hØi t(cid:244) y(cid:213)u t(cid:237)i x0 ∈ X v(cid:181) ϕ(x0) ≤ lim infn→∞ ϕ(xn) th(cid:215) ϕ

•

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i y(cid:213)u t„i x0 ∈ X.

x ∈ X n(cid:213)u gi(cid:237)i h„n

(cid:48)

= V

(x, h)

Phi(cid:213)m h(cid:181)m ϕ : X → R ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) kh¶ vi theo h›(cid:237)ng h t„i mØt ﬁi(cid:211)m

lim n→∞

ϕ(x + th) − ϕ(x) h

(1.7)

t(cid:229)n t„i v(cid:237)i m(cid:228)i h ∈ X.

(cid:48)

(x; h) = ϕ

(x).h,

N(cid:213)u gi(cid:237)i h„n (1.7) tuy(cid:213)n t(cid:221)nh li“n t(cid:244)c theo h, tłc l(cid:181):

th(cid:215) ϕ ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) kh¶ vi G'teaux ( hay kh¶ vi y(cid:213)u) t„i ﬁi(cid:211)m x ∈ X v(cid:181) ϕ(cid:48)(x)

•

g(cid:228)i l(cid:181) ﬁ„o h(cid:181)m G'teaux cæa ϕ t„i x.

Phi(cid:213)m h(cid:181)m ϕ : X → R ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) kh¶ vi Fr—chet (hay kh¶ vi m„nh)

t„i x ∈ X, n(cid:213)u t(cid:229)n t„i mØt to‚n t(cid:246) tuy(cid:213)n t(cid:221)nh li“n t(cid:244)c F : X → X ∗ sao cho

ϕ(x + h) − ϕ(x) = (cid:104)F (x), h(cid:105) + w(x, h)

v(cid:237)i m(cid:228)i x + h ∈ X ta cª:

= 0

lim h→ 0

trong ﬁª, w(x, h) = o((cid:107)h(cid:107)), ngh(cid:220)a l(cid:181):

w(x, h) ||h||

§„i l›(cid:238)ng F (x) = ϕ(cid:48)(x) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁ„o h(cid:181)m Fr—chet cæa h(cid:181)m ϕ t„i x.

Ch(cid:243) (cid:253) 1.1 : N(cid:213)u ϕ kh¶ vi Fr—chet t„i x0 ∈ X th(cid:215) kh¶ vi G'teaux t„i ﬁª. §i(cid:210)u

ng›(cid:238)c l„i kh«ng ﬁ(cid:243)ng. Tuy nhi“n, n(cid:213)u ﬁ„o h(cid:181)m G'teaux ϕ(cid:48) li“n t(cid:244)c trong l'n

• Cho X v(cid:181) Y l(cid:181) hai kh«ng gian Hilbert. ‚nh x„ A : X → Y ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i

c¸n cæa x0 ∈ X th(cid:215) c(cid:242)ng l(cid:181) ﬁ„o h(cid:181)m Fr—chet t„i x0.

(i) li“n t(cid:244)c t„i x0 ∈ X, n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:231)i d•y {xn} ⊆ X sao cho khi xn → x0

l(cid:181):

(ii) h - li“n t(cid:244)c t„i x0 ∈ X, n(cid:213)u A(x0 + tnh) (cid:42) A(x0) khi tn → 0 v(cid:237)i m(cid:231)i

th(cid:215) A(xn) → A(x0).

(iii) d - li“n t(cid:244)c t„i x0 ∈ X, n(cid:213)u m(cid:231)i d•y {xn} ⊆ X sao cho khi xn → x0

vect‹ h thÆa m•n x0 + tnh ∈ X v(cid:181) 0 ≤ tn ≤ t(x0).

(iv) li“n t(cid:244)c Lipschitz, n(cid:213)u t(cid:229)n t„i L ≥ 0 sao cho:

(cid:107)A(x) − A(y)(cid:107) ≤ L(cid:107)x − y(cid:107), ∀ x, y ∈ X.

(v) b(cid:222) ch˘n, n(cid:213)u nª bi(cid:213)n m(cid:231)i t¸p b(cid:222) ch˘n trong X th(cid:181)nh mØt t¸p b(cid:222) ch˘n

th(cid:215) A(xn) (cid:42) A(x0).

• Cho X l(cid:181) kh«ng gian Hilbert. ‚nh x„ A : X → X ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181):

(i) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u, n(cid:213)u

(cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ 0, ∀ x, y ∈ X.

trong Y .

9 N(cid:213)u d˚u "=" x¶y ra khi v(cid:181) ch(cid:216) khi x = y th(cid:215) ‚nh x„ A ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u

(ii) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u ﬁ(cid:210)u, n(cid:213)u t(cid:229)n t„i mØt h(cid:181)m kh«ng 'm δ(t), kh«ng gi¶m v(cid:237)i

t ≥ 0, δ(0) = 0 v(cid:181) thÆa m•n t(cid:221)nh ch˚t

(cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ δ((cid:107)x − y(cid:107)), ∀ x, y ∈ X.

ch˘t

N(cid:213)u δ(t) = ct2, v(cid:237)i c l(cid:181) h»ng sŁ d›‹ng, th(cid:215) A ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u

1.2. B(cid:181)i to‚n ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng

m„nh.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2 Cho X l(cid:181) mØt kh«ng gian m“tric b˚t kœ v(cid:181) T : X → X l(cid:181)

‚nh x„ li“n t(cid:244)c. B(cid:181)i to‚n t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng ﬁ›(cid:238)c ph‚t bi(cid:211)u nh› sau:

x∗ = T (x∗).

T(cid:215)m x∗ ∈ X sao cho

(1.8)

Trong tr›Œng h(cid:238)p T : X → 2X l(cid:181) mØt ‚nh x„ ﬁa tr(cid:222) th(cid:215) b(cid:181)i to‚n ﬁi(cid:211)m b˚t

ﬁØng ﬁ›(cid:238)c ph‚t bi(cid:211)u:

x∗ ∈ T (x∗).

T(cid:215)m x∗ ∈ X sao cho

T¸p h(cid:238)p nh(cid:247)ng ﬁi(cid:211)m x∗ ∈ X thÆa m•n (1.8) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) t¸p ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng

cæa T v(cid:181) k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) F ix(T ).

V(cid:221) d(cid:244) 1.3 Cho X = R v(cid:181) T (x) = x2 + 5x + 4.

Ta cª T (−2) = −2, do ﬁª F ix(T ) = {−2}.

Nguy“n l(cid:253) ‚nh x„ co cho ta bi(cid:213)t k(cid:213)t qu¶ cæa sø t(cid:229)n t„i ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng trong

kh«ng gian m“tric, th¸m ch(cid:221) c(cid:223)n l(cid:181) duy nh˚t. §(cid:211) tr(cid:215)nh b(cid:181)y Nguy“n l(cid:253) ‚nh x„

co, tr›(cid:237)c ti“n ta sˇ ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a ‚nh x„ co.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.3 (Xem [2]) MØt ‚nh x„ T tı kh«ng gian m“tric (X, d) v(cid:181)o

kh«ng gian m“tric (Y, ρ) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ‚nh x„ co n(cid:213)u t(cid:229)n t„i sŁ k ∈ [0, 1) sao

cho ρ (T x, T y) ≤ kd (x, y), v(cid:237)i m(cid:228)i x, y ∈ X.

Nh› v¸y, ta th˚y ‚nh x„ co l(cid:181) tr›Œng h(cid:238)p ri“ng cæa ‚nh x„ Lipschitz v(cid:181) hi(cid:211)n

nhi“n l(cid:181) ‚nh x„ li“n t(cid:244)c.

§(cid:222)nh l(cid:221) 1.1 (Xem [2]) Cho (X, d) l(cid:181) mØt kh«ng gian m“tric ﬁ˙y ﬁæ v(cid:181) T l(cid:181)

mØt ‚nh x„ co trong X. Khi ﬁª, t(cid:229)n t„i duy nh˚t x∗ ∈ X sao cho T (x∗) = x∗.

xn+1 = T (xn), ∀ n = 1, 2, . . .

Ngo(cid:181)i ra, v(cid:237)i m(cid:228)i x0 ∈ X, d•y l˘p {xn} x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

hØi t(cid:244) ﬁ(cid:213)n x∗.

Chłng minh. L˚y x0 t(cid:239)y (cid:253) trong X v(cid:181) ta cª xn+1 = T xn v(cid:237)i n = 1, 2 . . ..

d(x2, x1) = d(T (x1), T (x0)) ≤ kd(x1, x0)

d(x3, x2) = d(T (x2), T (x1)) ≤ kd(x2, x1) ≤ k2d(x1, x0)

. . . . . .

d(xn+1, xn) ≤ knd(x1, x0).

V(cid:215) T l(cid:181) ‚nh x„ co n“n t(cid:229)n t„i k ∈ [0, 1) sao cho

d (xn, xm) ≤ d (xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + . . . + d (xm−1, xm)

≤ knd(x0, x1) + kn+1d(x0, x1) + . . . + km−1d(x0, x1) ≤ (cid:0)kn + kn+1 + ... + km−1(cid:1) d (x0, x1) ≤ kn (cid:0)1 + k + ... + km−n−1 + ...(cid:1) d (x0, x1)

≤

d (x0, x1) .

kn 1 − k

L˚y m > n, ta cª

11 V(cid:215) k ∈ [0, 1) n“n kn → 0 khi n → ∞. Do ﬁª, {xn} l(cid:181) d•y Cauchy. M˘t

kh‚c (X, d) l(cid:181) mØt kh«ng gian m“tric ﬁ˙y ﬁæ n“n {xn} hØi t(cid:244) ﬁ(cid:213)n mØt ph˙n

t(cid:246) x∗ ∈ X.

0 ≤ d (x∗, T (x∗)) ≤ d (x∗, xn) + d (xn, T (x∗))

V(cid:237)i m(cid:231)i n ta cª

≤ d (x∗, xn) + d(T (xn−1), T (x∗))

≤ d (x∗, xn) + kd (xn−1, x∗) .

(1.9)

Cho n → ∞ ta ﬁ›(cid:238)c 0 ≤ d(x∗, T (x∗)) ≤ 0, tı ﬁª suy ra d (x∗, T x∗) = 0, tłc

l(cid:181) T (x∗) = x∗.

d (x∗, y∗) = d (T (x∗), T (y∗)) ≤ kd (x∗, y∗) .

Gi¶ s(cid:246) c(cid:223)n cª y∗ ∈ X m(cid:181) T (y∗) = y∗ th(cid:215) ta cª

V(cid:215) k ∈ [0, 1) n“n d (x∗, y∗) = 0, tłc l(cid:181) x∗ = y∗. V¸y ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa T

1.3. B(cid:181)i to‚n ﬁ˘t kh«ng ch(cid:216)nh

l(cid:181) duy nh˚t v(cid:181) nguy“n l(cid:253) ﬁ• ﬁ›(cid:238)c chłng minh.

1.3.1. Kh‚i ni(cid:214)m v(cid:210) b(cid:181)i to‚n ch(cid:216)nh v(cid:181) kh«ng ch(cid:216)nh

Kh‚i ni(cid:214)m v(cid:210) b(cid:181)i to‚n ch(cid:216)nh ﬁ›(cid:238)c J. Hadamard ﬁ›a ra khi nghi“n cłu ¶nh

h›ºng cæa c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n bi“n l“n nghi(cid:214)m cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh elliptic c(cid:242)ng nh›

parabolic.

Vi(cid:214)c t(cid:215)m nghi(cid:214)m x cæa b˚t kœ b(cid:181)i to‚n n(cid:181)o c(cid:242)ng ph¶i døa v(cid:181)o d(cid:247) ki(cid:214)n ban

ﬁ˙u f , cª ngh(cid:220)a x = R(f ). Ta sˇ coi nghi(cid:214)m c(cid:242)ng nh› c‚c d(cid:247) ki(cid:214)n ﬁª l(cid:181)

nh(cid:247)ng ph˙n t(cid:246) thuØc kh«ng gian X v(cid:181) Y v(cid:237)i c‚c ﬁØ ﬁo t›‹ng łng ρX(x1, x2)

v(cid:181) ρY (f1, f2), v(cid:237)i x1, x2 ∈ X; y1, y2 ∈ Y .

Gi¶ s(cid:246) ﬁ• cª mØt kh‚i ni(cid:214)m th(cid:213) n(cid:181)o l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa mØt b(cid:181)i to‚n. Khi ﬁª,

b(cid:181)i to‚n t(cid:215)m nghi(cid:214)m x = R(f ) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) (cid:230)n ﬁ(cid:222)nh tr“n c˘p kh«ng gian

12 (X, Y ), n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:231)i (cid:15) > 0 cª th(cid:211) t(cid:215)m ﬁ›(cid:238)c mØt sŁ δ((cid:15)) > 0, sao cho tı

ρY (f1, f2) ≤ δ((cid:15)) cho ta ρX(x1, x2) ≤ (cid:15), º ﬁ'y

x1 = R(f1), x2 = R(f2), x1, x2 ∈ X; y1, y2 ∈ Y

A(x) = f

X—t b(cid:181)i to‚n º d„ng ph›‹ng tr(cid:215)nh

(1.10)

º ﬁ'y, A l(cid:181) ‚nh x„ tı kh«ng gian m“tric X v(cid:181)o kh«ng gian m“tric Y v(cid:181) f l(cid:181)

ph˙n t(cid:246) thuØc Y .

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.4 (Xem [1] ) Cho A : X −→ Y l(cid:181) mØt ‚nh x„ tı kh«ng gian

m“tric X v(cid:181)o kh«ng gian m“tric Y . B(cid:181)i to‚n (1.10) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) b(cid:181)i to‚n ﬁ˘t

ch(cid:216)nh n(cid:213)u thÆa m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n sau:

1. ph›‹ng tr(cid:215)nh A(x) = f cª nghi(cid:214)m v(cid:237)i m(cid:228)i f ∈ Y ;

2. nghi(cid:214)m n(cid:181)y l(cid:181) duy nh˚t;

3. v(cid:181) nghi(cid:214)m n(cid:181)y ph(cid:244) thuØc li“n t(cid:244)c v(cid:181)o d(cid:247) ki(cid:214)n ban ﬁ˙u.

N(cid:213)u (cid:221)t nh˚t mØt trong ba ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n tr“n kh«ng thÆa m•n th(cid:215) b(cid:181)i to‚n (1.10)

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) b(cid:181)i to‚n ﬁ˘t kh«ng ch(cid:216)nh. §«i khi ng›Œi ta c(cid:223)n g(cid:228)i l(cid:181) b(cid:181)i to‚n ﬁ˘t

kh«ng ch(cid:221)nh quy ho˘c b(cid:181)i to‚n thi(cid:213)t l¸p kh«ng ﬁ(cid:243)ng ﬁ(cid:190)n.

C(cid:242)ng c˙n l›u (cid:253) r»ng, mØt b(cid:181)i to‚n cª th(cid:211) thi(cid:213)t l¸p kh«ng ﬁ(cid:243)ng ﬁ(cid:190)n tr“n

c˘p kh«ng gian metric n(cid:181)y, nh›ng l„i thi(cid:213)t l¸p ﬁ(cid:243)ng ﬁ(cid:190)n tr“n c˘p kh«ng gian

metric kh‚c.

§Łi v(cid:237)i b(cid:181)i to‚n t(cid:215)m nghi(cid:214)m x˚p x(cid:216) cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.10), v(cid:237)i d(cid:247) ki(cid:214)n

ban ﬁ˙u º ﬁ'y l(cid:181) A v(cid:181) v(cid:213) ph¶i f , trong nhi(cid:210)u ‚p d(cid:244)ng, thay cho gi‚ tr(cid:222) ch(cid:221)nh

x‚c (A, f ), ta ch(cid:216) bi(cid:213)t ﬁ›(cid:238)c c‚c x˚p x(cid:216) (Ah, fδ) cæa ch(cid:243)ng. Ta gi¶ s(cid:246) r»ng

‚nh x„ A cho tr›(cid:237)c mØt c‚ch ch(cid:221)nh x‚c, c(cid:223)n v(cid:213) ph¶i f cho bºi fδ thÆa m•n

13 ρY (fδ, f ) ≤ δ. Nh› v¸y, v(cid:237)i (fδ, δ) ta c˙n t(cid:215)m mØt ph˙n t(cid:246) xδ ∈ X hØi t(cid:244) ﬁ(cid:213)n

x0, nghi(cid:214)m ch(cid:221)nh x‚c cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.10), khi δ → 0. Ph˙n t(cid:246) xδ cª t(cid:221)nh

ch˚t nh› v¸y ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) nghi(cid:214)m x˚p x(cid:216) cæa b(cid:181)i to‚n kh«ng ch(cid:216)nh tr“n.

M(cid:244)c ti(cid:213)p theo sau ﬁ'y, ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y mØt sŁ ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh

ﬁ(cid:211) t(cid:215)m nghi(cid:214)m x˚p x(cid:216) xδ.

• Ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh Tikhonov

1.3.2. C‚c ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh

NØi dung cæa ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh Tikhonov l(cid:181) x'y døng nghi(cid:214)m hi(cid:214)u

α cæa phi(cid:213)m

ch(cid:216)nh cho ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.10) døa tr“n vi(cid:214)c t(cid:215)m ph˙n t(cid:246) cøc ti(cid:211)u xδ

h(cid:181)m Tikhonov

α(x) = (cid:107)A(x) − fδ(cid:107)2 + α (cid:107)x − x∗(cid:107)2 F δ

(1.11)

º ﬁ'y, α > 0 l(cid:181) tham sŁ hi(cid:214)u ch(cid:216)nh.

K(cid:213)t qu¶ cæa ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh Tikhonov l(cid:181) v(cid:237)i ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁ˘t cho ‚nh

α l(cid:181) x˚p x(cid:216) tŁt

x„ A v(cid:181) v(cid:237)i c‚ch ch(cid:228)n tham sŁ α th(cid:221)ch h(cid:238)p, ph˙n t(cid:246) cøc ti(cid:211)u xδ

cho nghi(cid:214)m x0 cæa b(cid:181)i to‚n (1.10). §(cid:222)nh l(cid:253) sau ﬁ'y ch(cid:216) ra r»ng b(cid:181)i to‚n cøc

ti(cid:211)u phi(cid:213)m h(cid:181)m Tikhonov l(cid:181) b(cid:181)i to‚n ﬁ˘t ch(cid:216)nh.

X v(cid:181)o kh«ng gian Hilbert Y , α > 0 l(cid:181) tham sŁ hi(cid:214)u ch(cid:216)nh v(cid:181) {xk} l(cid:181) mØt

§(cid:222)nh l(cid:221) 1.2 (Xem [10]) Cho A l(cid:181) mØt ‚nh x„ phi tuy(cid:213)n tı kh«ng gian Hilbert

d•y nghi(cid:214)m cæa cæa (1.11), v(cid:237)i fδ thay bºi fk sao cho fk → fδ. Khi ﬁª, t(cid:229)n

t„i mØt d•y con hØi t(cid:244) cæa d•y {xk} v(cid:181) gi(cid:237)i h„n cæa m(cid:228)i d•y con hØi t(cid:244) ﬁ(cid:210)u

l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa (1.11).

§(cid:222)nh l(cid:253) sau ﬁ'y l(cid:181) k(cid:213)t qu¶ hØi t(cid:244) cæa nghi(cid:214)m hi(cid:214)u ch(cid:216)nh t(cid:237)i x0 - nghi(cid:214)m

cæa b(cid:181)i to‚n (1.10)

§(cid:222)nh l(cid:221) 1.3 (Xem [10]) Cho A l(cid:181) mØt ‚nh x„ phi tuy(cid:213)n li“n t(cid:244)c v(cid:181) ﬁªng y(cid:213)u tı

14 kh«ng gian Hilbert X v(cid:181)o kh«ng gian Hilbert Y . Gi¶ s(cid:246) r»ng S0 = {x ∈ X :

Ax = f } (cid:54)= ∅, fδ ∈ Y thÆa m•n (cid:107)fδ − f (cid:107) ≤ δ v(cid:181) tham sŁ α(δ) ﬁ›(cid:238)c ch(cid:228)n

}, º ﬁ'y δk → 0,

→ 0 khi δ → 0. Khi ﬁª, m(cid:231)i d•y {xδk αk

δ2 α l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa (1.11), ﬁ(cid:210)u chła d•y con hØi t(cid:244). Gi(cid:237)i h„n

αk = α(δk) v(cid:181) xδk αk

sao cho α(δ) → 0,

cæa m(cid:228)i d•y con hØi t(cid:244) ﬁ(cid:210)u l(cid:181) nghi(cid:214)m x∗ - chu¨n nhÆ nh˚t cæa (1.10). Ngo(cid:181)i

xδ α(δ) = x0.

lim δ→0

ra, n(cid:213)u x0 cª x∗ - chu¨n nhÆ nh˚t l(cid:181) duy nh˚t th(cid:215)

A(x0) = f v(cid:181) (cid:107)x0 − x∗(cid:107) = min{(cid:107)x − x∗(cid:107) : A(x) = f }.

• Ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh Lavrentive

º ﬁ'y, nghi(cid:214)m x0 cª x∗ - chu¨n nhÆ nh˚t, ngh(cid:220)a l(cid:181) nghi(cid:214)m x0 thÆa m•n:

T› t›ºng chæ y(cid:213)u cæa thu¸t to‚n m(cid:181) M.M. Lavrentive ﬁ(cid:210) xu˚t l(cid:181) thay ph›‹ng

tr(cid:215)nh ﬁang x—t b»ng ph›‹ng tr(cid:215)nh x˚p x(cid:216) gi¶i ﬁ›(cid:238)c v(cid:237)i m(cid:228)i v(cid:213) ph¶i v(cid:181) nghi(cid:214)m

n(cid:181)y ph(cid:244) thuØc li“n t(cid:244)c v(cid:181)o v(cid:213) ph¶i trong kh«ng gian Hilbert thøc H. B»ng

ph›‹ng ph‚p n(cid:181)y nghi(cid:214)m hi(cid:214)u ch(cid:216)nh cæa b(cid:181)i to‚n (1.10) ﬁ›(cid:238)c x'y døng tr“n

c‹ sº cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh sau:

A(x) + α(x − x∗) = fδ.

(1.12)

Sø t(cid:229)n t„i nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (1.12) ﬁ›(cid:238)c tr(cid:215)nh b(cid:181)y trong ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) sau:

§(cid:222)nh l(cid:221) 1.4 (Xem [15]) Gi¶ s(cid:246) x0 ∈ D(A) l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.10)

v(cid:181) A : D(A) −→ H l(cid:181) ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u v(cid:181) kh¶ vi Fr—chet trong h(cid:215)nh c˙u

Br(x0) ⊂ D(A) v(cid:237)i b‚n k(cid:221)nh r = (cid:107)x0 − x∗(cid:107) +

δ α

. Khi ﬁª, ph›‹ng tr(cid:215)nh

α ∈ Br(x0).

(1.12) cª nghi(cid:214)m duy nh˚t xδ

α t(cid:237)i x0 - nghi(cid:214)m

§(cid:222)nh l(cid:253) sau ﬁ'y l(cid:181) k(cid:213)t qu¶ hØi t(cid:244) cæa nghi(cid:214)m hi(cid:214)u ch(cid:216)nh xδ

cæa b(cid:181)i to‚n (1.10).

15 §(cid:222)nh l(cid:221) 1.5 (Xem [15]) Gi¶ s(cid:246) x0 ∈ D(A) l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (1.10) v(cid:181)

xδ α ∈ Br(x0) l(cid:181) nghi(cid:214)m duy nh˚t cæa b(cid:181)i to‚n (1.12). H‹n n(cid:247)a, n(cid:213)u gi¶ thi(cid:213)t

(i) A l(cid:181) ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u, kh¶ vi Fr—chet;

(ii) t(cid:229)n t„i ph˙n t(cid:246) z ∈ X sao cho x0 − x∗ = A(cid:48)(x0)z;

(iii) t(cid:229)n t„i h»ng sŁ L ≥ 0 sao cho (cid:107)A(cid:48)(x) − A(cid:48)(x)(cid:107) ≤ L (cid:107)x − y(cid:107) v(cid:237)i

c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n sau thÆa m•n:

r = α (cid:107)z(cid:107).

m(cid:228)i x, y ∈ Br(x0), º ﬁ'y Br(x0) ⊂ D(A) l(cid:181) h(cid:215)nh c˙u t'm x0 b‚n k(cid:221)nh

+ ((cid:107)z(cid:107) +

(cid:107)z(cid:107)2)α.

Khi ﬁª, v(cid:237)i m(cid:228)i α > 0 ta cª:

α − x0

δ α

L 2

√

δ, th(cid:215)

(cid:13) (cid:13)xδ (cid:13) (cid:13) ≤

√

δ).

N(cid:213)u tham sŁ hi(cid:214)u ch(cid:216)nh α ﬁ›(cid:238)c ch(cid:228)n sao cho α ∼

α − x0

• Ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh Browder - Tikhonov

(cid:13) (cid:13) = O( (cid:13) (cid:13)xδ

Tr›(cid:237)c khi tr(cid:215)nh b(cid:181)y mØt sŁ k(cid:213)t qu¶ cæa ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh Browder -

Tikhonov cho b(cid:181)i to‚n ﬁ˘t kh«ng ch(cid:216)nh, ch(cid:243)ng t«i nh(cid:190)c l„i kh‚i ni(cid:214)m sau:

E. C¶ hai cª chu¨n ﬁ(cid:210)u ﬁ›(cid:238)c k(cid:221) hi(cid:214)u l(cid:181) (cid:107)·(cid:107). Ta vi(cid:213)t (cid:104)x∗, x(cid:105) thay cho x∗(x),

Cho E l(cid:181) mØt kh«ng gian Banach ph¶n x„, E∗ l(cid:181) kh«ng gian li“n h(cid:238)p cæa

v(cid:237)i x∗ ∈ E∗ v(cid:181) x ∈ E.

U s(x) = {x∗ ∈ E : (cid:104)x∗, x(cid:105) = (cid:107)x∗(cid:107)s−1 (cid:107)x(cid:107) = (cid:107)x(cid:107)s}, s ≥ 2

‚nh x„ U s : E −→ E∗ (nªi chung l(cid:181) ﬁa tr(cid:222)) ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a bºi:

(1.13)

g(cid:228)i l(cid:181) ‚nh x„ ﬁŁi ng(cid:201)u cæa E. Khi s = 2 th(cid:215) U s ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l(cid:181) U v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i

l(cid:181) ‚nh x„ ﬁŁi ng(cid:201)u chu¨n t(cid:190)c cæa E. Trong tr›Œng h(cid:238)p E l(cid:181) mØt kh«ng gian

Hilbert th(cid:215) U = I, º ﬁ'y I l(cid:181) ‚nh x„ ﬁ‹n v(cid:222) trong E.

Ta cª b(cid:230) ﬁ(cid:210) sau:

16 B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.1 (Xem[1]) Cho E l(cid:181) mØt kh«ng gian Banach thøc, E∗ l(cid:181) kh«ng gian

li“n h(cid:238)p cæa E, f ∈ E∗ v(cid:181) A : E −→ E∗ l(cid:181) ‚nh x„ h-li“n t(cid:244)c tı E v(cid:181)o E∗,

A(x + ht) (cid:42) Ax khi t → 0+, ∀ x, y ∈ E

tłc l(cid:181) ‚nh x„ A thÆa m•n t(cid:221)nh ch˚t:

(cid:104)A(x) − f, x − x0(cid:105) ≥ 0 ∀ x ∈ E

Khi ﬁª, n(cid:213)u t(cid:229)n t„i x0 ∈ E thÆa m•n b˚t ﬁ…ng thłc

th(cid:215) x0 l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh A(x) = f .

B(cid:230) ﬁ(cid:210) (1.1) g(cid:228)i l(cid:181) b(cid:230) ﬁ(cid:210) Minty, t“n mØt nh(cid:181) to‚n h(cid:228)c M(cid:252), ng›Œi ﬁ• chłng

minh sø ki(cid:214)n tr“n trong kh«ng gian Hilbert. Sau n(cid:181)y ch(cid:221)nh «ng v(cid:181) Browder ﬁ•

chłng minh mØt c‚ch ﬁØc l¸p cho kh«ng gian Banach

T› t›ºng cæa ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh do Browder ﬁ(cid:210) xu˚t n¤m 1966 cho

b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n (c(cid:223)n g(cid:228)i l(cid:181) ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh Browder

- Tikhonov) l(cid:181) ﬁ›a v(cid:181)o to‚n t(cid:246) M : E −→ E∗ cª t(cid:221)nh ch˚t h- li“n t(cid:244)c, ﬁ‹n

ﬁi(cid:214)u m„nh l(cid:181)m th(cid:181)nh ph˙n hi(cid:214)u ch(cid:216)nh. MØt d„ng cæa to‚n t(cid:246) M l(cid:181) ‚nh x„ ﬁŁi

ng(cid:201)u U s cæa E. B»ng ph›‹ng ph‚p n(cid:181)y, Alber [3] ﬁ• x'y døng nghi(cid:214)m hi(cid:214)u

ch(cid:216)nh cho ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.10) tr“n c‹ sº ph›‹ng tr(cid:215)nh

A(x) + αU s(x − x∗) = fδ.

(1.14)

Gi¶ s(cid:246) r»ng E l(cid:181) kh«ng gian Banach thøc cª t(cid:221)nh ch˚t Ephimov - Stechkin

(vi(cid:213)t t(cid:190)t l(cid:181) t(cid:221)nh ch˚t E - S), ngh(cid:220)a l(cid:181) trong E cª sø hØi t(cid:244) y(cid:213)u cæa c‚c ph˙n

t(cid:246) (xn (cid:42) x) v(cid:181) sø hØi t(cid:244) theo chu¨n ((cid:107)xn(cid:107) → (cid:107)x(cid:107)) lu«n k—o theo sø hØi t(cid:244)

m„nh ((cid:107)xn − x(cid:107) → 0), E∗ l(cid:181) kh«ng gian l(cid:229)i ch˘t. Ta cª k(cid:213)t qu¶ sau:

§(cid:222)nh l(cid:221) 1.6 (Xem [1]) Cho A : E −→ E∗ l(cid:181) mØt ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u v(cid:181) h-li“n

t(cid:244)c. Khi ﬁª, v(cid:237)i m(cid:231)i α > 0 v(cid:181) fδ ∈ E∗, ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.14) cª duy nh˚t

α. Ngo(cid:181)i ra, n(cid:213)u α, δ

α hØi t(cid:244) ﬁ(cid:213)n nghi(cid:214)m x0 cª x∗ -

α → 0 th(cid:215) xδ

nghi(cid:214)m xδ

1.4. Nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh cho b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n

chu¨n nhÆ nh˚t cæa b(cid:181)i to‚n (1.10).

1.4.1. B(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n

B(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n ﬁ›(cid:238)c gi(cid:237)i thi(cid:214)u l˙n ﬁ˙u ti“n bºi c‚c nh(cid:181)

to‚n h(cid:228)c Kinderlehrer v(cid:181) Stampacchia [12] v(cid:181)o n¤m 1980. Nh(cid:247)ng nghi“n cłu

ﬁ˙u ti“n v(cid:210) b(cid:181)i to‚n n(cid:181)y li“n quan ﬁ(cid:213)n vi(cid:214)c gi¶i c‚c b(cid:181)i to‚n ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n tŁi ›u

v(cid:181) c‚c b(cid:181)i to‚n bi“n cª d„ng cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh ﬁ„o h(cid:181)m ri“ng. Tı ﬁª b(cid:181)i to‚n

b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n cª nh(cid:247)ng b›(cid:237)c ph‚t tri(cid:211)n m„nh mˇ v(cid:181) trº th(cid:181)nh mØt

v˚n ﬁ(cid:210) ﬁ›(cid:238)c nhi(cid:210)u nh(cid:181) to‚n h(cid:228)c quan t'm nghi“n cłu. Sau ﬁ'y ch(cid:243)ng t«i ph‚t

• Ph‚t bi(cid:211)u b(cid:181)i to‚n

bi(cid:211)u b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n d›(cid:237)i d„ng c(cid:230) ﬁi(cid:211)n.

F : C −→ H l(cid:181) mØt ‚nh x„ li“n t(cid:244)c. B(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n c(cid:230) ﬁi(cid:211)n

Cho H l(cid:181) kh«ng gian Hilbert thøc, C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i ﬁªng cæa H v(cid:181)

cæa ‚nh x„ ﬁ‹n tr(cid:222), vi(cid:213)t t(cid:190)t l(cid:181) V I(F, C), ﬁ›(cid:238)c ph‚t bi(cid:211)u nh› sau:

(cid:104)F (x∗), x − x∗(cid:105) ≥ 0 ∀ x ∈ C.

T(cid:215)m x∗ ∈ C sao cho:

(1.15)

T¸p h(cid:238)p nh(cid:247)ng ﬁi(cid:211)m x∗ ∈ C thÆa m•n (1.15) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) t¸p nghi(cid:214)m cæa

• MŁi quan h(cid:214) gi(cid:247)a b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n v(cid:237)i mØt sŁ b(cid:181)i

b(cid:181)i to‚n V I(F, C).

to‚n kh‚c

B(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n V I(F, C) cª mŁi quan h(cid:214) m¸t thi(cid:213)t v(cid:237)i

mØt sŁ b(cid:181)i to‚n kh‚c trong gi¶i t(cid:221)ch, nh› l(cid:181): b(cid:181)i to‚n quy ho„ch l(cid:229)i, b(cid:181)i to‚n

18 b(cid:239) phi tuy(cid:213)n v(cid:181) b(cid:181)i to‚n ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng.

+) B(cid:181)i to‚n quy ho„ch l(cid:229)i

H v(cid:181) f : C −→ H l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n C. B(cid:181)i to‚n quy ho„ch l(cid:229)i ﬁ›(cid:238)c ph‚t

Cho H l(cid:181) mØt kh«ng gian Hilbert, C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng cæa

bi(cid:211)u nh› sau:

f (x∗) = min{f (x)|x ∈ C}.

T(cid:215)m x∗ ∈ C sao cho:

(1.16)

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau ﬁ'y cho bi(cid:213)t mŁi quan h(cid:214) gi(cid:247)a b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n

ph'n v(cid:181) b(cid:181)i to‚n quy ho„ch l(cid:229)i.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.3 ( Xem [12]) Cho C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i kh‚c r(cid:231)ng cæa kh«ng gian

Hilbert H v(cid:181) f : C −→ H l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i, kh¶ vi tr“n C. Khi ﬁª, x∗ ∈ C l(cid:181)

nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (1.16) khi v(cid:181) ch(cid:216) khi x∗ l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (1.15),

v(cid:237)i F (x) = f (cid:48)(x).

+) B(cid:181)i to‚n b(cid:239) phi tuy(cid:213)n

Tr›(cid:237)c khi ph‚t bi(cid:211)u b(cid:181)i to‚n b(cid:239) phi tuy(cid:213)n ch(cid:243)ng t«i c˙n nh(cid:190)c l„i mØt v(cid:181)i

kh‚i ni(cid:214)m sau:

MØt t¸p con C ⊂ H ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) nªn n(cid:213)u, v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ C v(cid:181) h»ng sŁ λ > 0

ta cª λx ∈ C.

MØt nªn ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) nªn l(cid:229)i n(cid:213)u nª ﬁ(cid:229)ng thŒi l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i. Nh› v¸y, mØt

(i) λC ⊆ C;

(ii) C + C ⊆ C.

t¸p l(cid:229)i C l(cid:181) mØt nªn l(cid:229)i khi v(cid:181) ch(cid:216) khi cª c‚c t(cid:221)nh ch˚t sau:

Cho C l(cid:181) mØt nªn l(cid:229)i trong kh«ng gian Hilbert H v(cid:181) F : C −→ H l(cid:181) mØt

‚nh x„ li“n t(cid:244)c. B(cid:181)i to‚n b(cid:239) phi tuy(cid:213)n cæa ‚nh x„ ﬁ‹n tr(cid:222) ﬁ›(cid:238)c ph‚t bi(cid:211)u nh›

(cid:104)F (x∗), x∗(cid:105) = 0,

T(cid:215)m x∗ ∈ C sao cho:

(1.17)

C ∗ := {x ∈ H : (cid:104)x, y(cid:105) ≥ 0, ∀ y ∈ C}.

trong ﬁª F (x∗) ∈ C ∗, v(cid:237)i C ∗ l(cid:181) nªn ﬁŁi ng(cid:201)u cæa C, ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a l(cid:181):

R(cid:226) r(cid:181)ng b(cid:181)i to‚n b(cid:239) phi tuy(cid:213)n l(cid:181) b(cid:181)i to‚n: T(cid:215)m x∗ ∈ C v(cid:181) F (x∗) ∈ C ∗ sao

C (cid:51) x∗ ⊥ F (x∗) ∈ C ∗

cho:

(1.18)

Ta cª m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau:

H th(cid:215), b(cid:181)i to‚n b(cid:239) (1.17) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.4 ( Xem [12]) N(cid:213)u C l(cid:181) mØt nªn l(cid:229)i ﬁªng trong kh«ng gian Hilbert

(1.15).

+) B(cid:181)i to‚n ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng

§(cid:210) ti(cid:214)n cho vi(cid:214)c tr(cid:215)nh b(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i xin nh(cid:190)c l„i kh‚i ni(cid:214)m b(cid:181)i to‚n ﬁi(cid:211)m

b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ ﬁ‹n tr(cid:222).

H v(cid:181) T : C −→ C l(cid:181) mØt ‚nh x„ li“n t(cid:244)c. B(cid:181)i to‚n ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng ﬁ›(cid:238)c ph‚t

Cho H l(cid:181) mØt kh«ng gian Hilbert, C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng cæa

bi(cid:211)u nh› sau:

x∗ = T (x∗).

T(cid:215)m x∗ ∈ C sao cho

(1.19)

Ta cª m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau

F (x) := x − T (x), ∀ x ∈ C

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.5 ( Xem [12]) N(cid:213)u ‚nh x„ F x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

20 th(cid:215) b(cid:181)i to‚n ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng (1.19) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n

• Sø t(cid:229)n t„i nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n

ph'n (1.15).

Sø t(cid:229)n t„i nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n V I(F, C) ph(cid:244)

thuØc v(cid:181)o h(cid:181)m F v(cid:181) mi(cid:210)n r(cid:181)ng buØc C. §(cid:222)nh l(cid:221) sau cho ta bi(cid:213)t ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n t(cid:229)n

t„i nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n V I(F, C) trong kh«ng gian Hilbert.

§(cid:222)nh l(cid:221) 1.7 (Xem [12]) Cho C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i, compact cæa kh«ng gian

Hilbert H v(cid:181) F : C −→ H l(cid:181) mØt ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u, li“n t(cid:244)c tr“n C. Khi ﬁª,

(cid:104)F (x∗), x − x∗(cid:105) ≥ 0 ∀ x ∈ C.

t(cid:229)n t„i x∗ ∈ C sao cho

R = {u : (cid:107)u(cid:107) ≤ R} l(cid:181) h(cid:215)nh c˙u ﬁªng t'm O ∈ H, b‚n k(cid:221)nh R.

H. K(cid:221) hi(cid:214)u (cid:80) Khi ﬁª, CR = C (cid:84) (cid:80)

R l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i compact. Theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:221) (1.7), ta cª:

xR ∈ CR : (cid:104)F (xR), x − xR(cid:105) ≥ 0 ∀ x ∈ CR.

Gi¶ s(cid:246) r»ng, C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i ﬁªng v(cid:181) kh‚c r(cid:231)ng cæa kh«ng gian Hilbert

§(cid:222)nh l(cid:253) ti(cid:213)p theo sau ﬁ'y l(cid:181) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n c˙n v(cid:181) ﬁæ cho sø t(cid:229)n t„i nghi(cid:214)m cæa

b(cid:181)i to‚n V I(F, C).

§(cid:222)nh l(cid:221) 1.8 (Xem [12]) Cho C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i ﬁªng v(cid:181) kh‚c r(cid:231)ng cæa kh«ng

gian Hilbert H v(cid:181) F : C −→ H l(cid:181) mØt ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u, li“n t(cid:244)c tr“n C. §i(cid:210)u

x∗ ∈ C : (cid:104)F (x∗), x − x∗(cid:105) ≥ 0 ∀ x ∈ C

ki(cid:214)n c˙n v(cid:181) ﬁæ cho sø t(cid:229)n t„i nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n

l(cid:181) t(cid:229)n t„i R > 0 sao cho cª (cid:221)t nh˚t mØt nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc

xR ∈ CR : (cid:104)F (xR), x − xR(cid:105) ≥ 0 ∀ x ∈ CR

bi(cid:213)n ph'n

thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (cid:107)xR(cid:107) < R.

H(cid:214) qu¶ 1.1 Cho C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i ﬁªng v(cid:181) kh‚c r(cid:231)ng cæa kh«ng gian

Hilbert H, F : C −→ H l(cid:181) mØt ‚nh x„ li“n t(cid:244)c tr“n C v(cid:181) thÆa m•n ﬁi(cid:210)u

∃ x ∈ C :

= +∞ ∀ x ∈ C.

lim (cid:107)x(cid:107)→∞

(cid:104)F (x) − F (y), x − y(cid:105) (cid:107)x − y(cid:107)

ki(cid:214)n:

(cid:104)F (x∗), x − x∗(cid:105) ≥ 0 ∀ x ∈ C.

Khi ﬁª, t(cid:229)n t„i x∗ ∈ C sao cho

Th«ng th›Œng nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n kh«ng ph¶i l(cid:181)

duy nh˚t. Tuy nhi“n v(cid:201)n cª ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁ(cid:211) ﬁ¶m b¶o cho sø duy nh˚t cæa nghi(cid:214)m.

Ta gi¶ s(cid:246) r»ng x(cid:48) v(cid:181) x(cid:48)(cid:48) l(cid:181) hai nghi(cid:214)m kh‚c nhau cæa b(cid:181)i to‚n V I(F, C). Khi

x(cid:48) ∈ C : (cid:104)F (x(cid:48)), x − x(cid:48)(cid:105) ≥ 0 ∀ x ∈ C,

ﬁª ta cª:

x(cid:48)(cid:48) ∈ C : (cid:104)F (x(cid:48)(cid:48)), x − x(cid:48)(cid:48)(cid:105) ≥ 0 ∀ x ∈ C.

v(cid:181)

Trong b˚t ﬁ…ng thłc thł nh˚t ta ch(cid:228)n x = x(cid:48)(cid:48) v(cid:181) trong b˚t ﬁ…ng thłc thł hai

(cid:104)F (x(cid:48)) − F (x(cid:48)(cid:48)), x(cid:48) − x(cid:48)(cid:48)(cid:105) ≤ 0.

ta ch(cid:228)n x = x(cid:48), sau ﬁª cØng v(cid:213) t›‹ng łng cæa hai b˚t ﬁ…ng thłc ta ﬁ›(cid:238)c:

(cid:104)F (x(cid:48)) − F (x(cid:48)(cid:48)), x(cid:48) − x(cid:48)(cid:48)(cid:105) > 0 ∀ x(cid:48), x(cid:48)(cid:48) ∈ C v(cid:181) x(cid:48) (cid:54)= x(cid:48)(cid:48).

Do ﬁª, ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁ(cid:211) b(cid:181)i to‚n V I(F, C) cª nghi(cid:214)m duy nh˚t l(cid:181):

(1.20)

V¸y ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (1.20) k—o theo t(cid:221)nh duy nh˚t cho nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng

thłc bi(cid:213)n ph'n V I(F, C). §i(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁª ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u ch˘t.

1.4.2. Ph›‹ng ph‚p b(cid:181)i to‚n ph(cid:244)

Ph›‹ng ph‚p b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:210) xu˚t bºi G. Cohen [7] v(cid:181)o n¤m 1980

khi nghi“n cłu c‚c b(cid:181)i to‚n tŁi ›u. N¤m 1988 [8] Cohen ﬁ›a ra k(cid:213)t qu¶ v¸n

d(cid:244)ng ph›‹ng ph‚p b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) ﬁ(cid:211) x‚c ﬁ(cid:222)nh nghi(cid:214)m cho b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n

ph'n. Sau ﬁ'y ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y ph›‹ng ph‚p b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) t(cid:230)ng qu‚t v(cid:181) k(cid:213)t

qu¶ v¸n d(cid:244)ng ph›‹ng ph‚p b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) ﬁ(cid:211) x‚c ﬁ(cid:222)nh nghi(cid:214)m cæa b˚t ﬁ…ng thłc

bi(cid:213)n ph'n.

H v(cid:181) f l(cid:181) mØt phi(cid:213)m h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n H.

Cho H l(cid:181) mØt kh«ng gian Hilbert, C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng cæa

Gi¶ thi(cid:213)t Λ

C sao cho (cid:107)uk(cid:107) → +∞ th(cid:215) f (uk) → +∞.

Ta nªi r»ng phi(cid:213)m h(cid:181)m f thÆa m•n gi¶ thi(cid:213)t Λ n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:228)i d•y {uk}k∈N ⊂

Hi(cid:211)n nhi“n phi(cid:213)m h(cid:181)m f thÆa m•n gi¶ thi(cid:213)t Λ n(cid:213)u C l(cid:181) mØt t¸p b(cid:222) ch˘n. Ta

k(cid:221) hi(cid:214)u f (cid:48)(u) l(cid:181) ﬁ„o h(cid:181)m G'teaux cæa phi(cid:213)m h(cid:181)m f t„i u. Ta x—t b(cid:181)i to‚n tŁi

›u sau:

f (u)

T(cid:215)m u∗ ∈ C sao cho:

(M P ) : min u∈C

(1.21)

º ﬁ'y, f l(cid:181) phi(cid:213)m h(cid:181)m l(cid:229)i, li“n t(cid:244)c v(cid:181) kh¶ vi G'teaux.

B(cid:230) ﬁ(cid:210) sau ﬁ'y cho ta k(cid:213)t qu¶ t(cid:229)n t„i nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (M P ).

(M P ) t(cid:229)n t„i (cid:221)t nh˚t mØt nghi(cid:214)m u∗. H‹n n(cid:247)a, nghi(cid:214)m u∗ l(cid:181) duy nh˚t n(cid:213)u f (cid:48)

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.2 (Xem [7] ) N(cid:213)u phi(cid:213)m h(cid:181)m f thÆa m•n gi¶ thi(cid:213)t Λ th(cid:215) b(cid:181)i to‚n

ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u m„nh.

V(cid:237)i m(cid:231)i v ∈ C v(cid:181) (cid:15) > 0, cho ϕ l(cid:181) mØt phi(cid:213)m h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) kh¶ vi G'teaux,

G : u (cid:55)→ ϕ(u) + (cid:104)(cid:15)f (cid:48)(v) − ϕ(cid:48)(v), u(cid:105) .

ta x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt phi(cid:213)m h(cid:181)m sau:

(1.22)

(G)(cid:48)(v) = (cid:15)f (cid:48)(v).

Khi ﬁª

Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.2, n(cid:213)u v l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (1.21) th(cid:215) v l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa

ϕ(u) + (cid:104)(cid:15)f (cid:48)(v) − ϕ(cid:48)(v), u(cid:105)

b(cid:181)i to‚n sau

min u∈C

(1.23)

Tı ﬁª d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n thu¸t to‚n sau:

Cho {ϕn}n∈N l(cid:181) c‚c phi(cid:213)m h(cid:181)m l(cid:229)i, kh¶ vi G'teaux v(cid:181) {(cid:15)n}n∈N l(cid:181) mØt d•y

sŁ thøc d›‹ng.

(i) T„i b›(cid:237)c k = 0, ch(cid:228)n t(cid:239)y (cid:253) (cid:15)0 v(cid:181) u0 ∈ C, gi¶i b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) sau

Thu¸t to‚n c‹ b¶n

ϕ(u) + (cid:104)(cid:15)0f (cid:48)(u0) − ϕ(cid:48)(u0), u(cid:105) .

min u∈C

(1.24)

(ii) T„i b›(cid:237)c k = n, bi(cid:213)t un v(cid:181) (cid:15)n, gi¶i b(cid:181)i to‚n ph(cid:244):

G(cid:228)i u1 l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (1.24).

ϕ(u) + (cid:104)(cid:15)nf (cid:48)(un) − ϕ(cid:48)(un), u(cid:105) .

(AP ) : min u∈C

(1.25)

(iii) Dıng, n(cid:213)u (cid:107)un+1 − un(cid:107) nhÆ h‹n mØt sai sŁ cho tr›(cid:237)c. Ng›(cid:238)c l„i, thay

n ← n + 1 v(cid:181) trº v(cid:210) b›(cid:237)c (ii).

G(cid:228)i un+1 l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (1.25).

Sø t(cid:229)n t„i nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n c‹ b¶n (M P ) v(cid:181) cæa b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) (AP )

ﬁ›(cid:238)c tr(cid:215)nh b(cid:181)y trong ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) sau:

(i) Phi(cid:213)m h(cid:181)m f thÆa m•n gi¶ thi(cid:213)t Λ;

§(cid:222)nh l(cid:221) 1.9 (Xem [7] ) Gi¶ s(cid:246) c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n sau ﬁ›(cid:238)c thÆa m•n:

24 (ii) f l(cid:181) mØt phi(cid:213)m h(cid:181)m l(cid:229)i, v(cid:237)i ﬁ„o h(cid:181)m G'teaux f (cid:48) li“n t(cid:244)c L - Lipschitz

(iii) ϕ l(cid:181) mØt phi(cid:213)m h(cid:181)m l(cid:229)i, v(cid:237)i ﬁ„o h(cid:181)m G'teaux ϕ(cid:48) li“n t(cid:244)c B - Lipschitz

tr“n C;

v(cid:181) b - ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u m„nh tr“n C.

Khi ﬁª, b(cid:181)i to‚n (M P ) t(cid:229)n t„i (cid:221)t nh˚t mØt nghi(cid:214)m u∗ v(cid:181) b(cid:181)i to‚n (AP ) cª

duy nh˚t nghi(cid:214)m un+1, ∀n ∈ N.

, v(cid:237)i α > 0, β > 0

Gi¶ s(cid:246) r»ng (cid:15)n thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n

α < (cid:15)n <

2b L + β

(1.26)

{f (u∗)} v(cid:181) m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m t(cid:244) y(cid:213)u cæa d•y {un} l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (M P ).

(iv) N(cid:213)u gi¶ thi(cid:213)t th“m r»ng f (cid:48) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u m„nh v(cid:237)i h»ng sŁ a tr“n C, th(cid:215)

th(cid:215) d•y {f (un)} gi¶m nghi“m ng˘t (trı khi un = u∗, ∀n ∈ N) v(cid:181) hØi t(cid:244) t(cid:237)i

d•y {un} hØi t(cid:244) m„nh t(cid:237)i nghi(cid:214)m duy nh˚t u∗ cæa b(cid:181)i to‚n (M P ).

Tı k(cid:213)t qu¶ cæa Cohen ﬁ• cª mØt sŁ c‚c mº rØng kh‚c nh›: G. Mastroeni

[13] ﬁ• v¸n d(cid:244)ng nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) ﬁ(cid:211) t(cid:215)m nghi(cid:214)m cho b(cid:181)i to‚n c'n b»ng

t(cid:230)ng qu‚t. N.E. Farouq [11] v¸n d(cid:244)ng nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) ﬁ(cid:211) chłng minh

cho sø hØi t(cid:244) m„nh t(cid:237)i nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi“n ph'n v(cid:237)i to‚n

t(cid:246) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u.

N¤m 2000, J. Baasansuren v(cid:181) A. A. Khan [4] l(cid:181) nh(cid:247)ng ng›Œi ﬁ˙u ti“n ﬁ(cid:210) xu˚t

thu¸t to‚n "Nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh", l(cid:181) sø h(cid:238)p gi(cid:247)a ph›‹ng ph‚p

hi(cid:214)u ch(cid:216)nh Browder-Tikhonov v(cid:237)i ph›‹ng ph‚p b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) ﬁ(cid:211) t(cid:215)m nghi(cid:214)m

x˚p x(cid:216) cho b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n. Sau ﬁ'y ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y thu¸t

to‚n nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh ﬁ(cid:211) x‚c ﬁ(cid:222)nh nghi(cid:214)m cho b(cid:181)i to‚n b˚t

ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n

25 1.4.3. Thu¸t to‚n nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh cho b˚t ﬁ…ng thłc

bi(cid:213)n ph'n

X—t b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n hi(cid:214)u ch(cid:216)nh sau:

T(cid:215)m xα ∈ C sao cho:

(cid:104)F (xα) + αxα, v − xα(cid:105) ≥ 0 ∀ v ∈ C.

(1.27)

Nghi(cid:214)m xα cæa b(cid:181)i to‚n (1.27) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) nghi(cid:214)m hi(cid:214)u ch(cid:216)nh cæa b(cid:181)i to‚n

(1.15). Sø t(cid:229)n t„i nghi(cid:214)m hi(cid:214)u ch(cid:216)nh xα ﬁ›(cid:238)c tr(cid:215)nh b(cid:181)y trong ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) sau.

§(cid:222)nh l(cid:221) 1.10 (Xem [4]) Cho H l(cid:181) mØt kh«ng gian Hilbert thøc v(cid:181) C l(cid:181) mØt

t¸p con l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng cæa H. Gi¶ s(cid:246) r»ng F : C −→ H l(cid:181) mØt ‚nh x„

(i) v(cid:237)i m(cid:231)i α > 0, b(cid:181)i to‚n (1.27) cª nghi(cid:214)m duy nh˚t xα. H‹n n(cid:247)a, n(cid:213)u F

ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u v(cid:181) h - li“n t(cid:244)c. Khi ﬁª,

(cid:107)xα − x∗(cid:107) = 0

lim α→0

li“n t(cid:244)c Lipchitz th(cid:215)

(ii) N(cid:213)u xαn v(cid:181) xαm l(cid:181) hai nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (1.27), t›‹ng łng v(cid:237)i c‚c

trong ﬁª, x∗ l(cid:181) nghi(cid:214)m duy nh˚t cæa b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n (1.15).

(cid:107)xαn − xαm(cid:107) ≤ M

|αn − αm| αn

tham sŁ hi(cid:214)u ch(cid:216)nh αn v(cid:181) αm, th(cid:215) ta cª:

v(cid:237)i M l(cid:181) h»ng sŁ.

V(cid:237)i m(cid:231)i v ∈ C ta x—t b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) sau:

(ϕ(u) + (cid:104)(cid:15)kF (v) − ϕ(cid:48)(v), u(cid:105))

min u∈C

(1.28)

º ﬁ'y, ϕ : H −→ R l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) kh¶ vi G'teaux, {(cid:15)k}k∈N l(cid:181) mØt d•y sŁ

d›‹ng.

L˚y (cid:15)0 > 0 v(cid:181) u0 t(cid:239)y (cid:253) thuØc C, ta gi¶i b(cid:181)i to‚n sau:

(ϕ(u) + (cid:104)(cid:15)0F (u0) − ϕ(cid:48)(u0), u(cid:105)).

min u∈C

(1.29)

G(cid:228)i u1 l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (1.29).

Ti(cid:213)p t(cid:244)c thay th(cid:213) u0, (cid:15)0 bºi u1 v(cid:181) (cid:15)1, ta gi¶i b(cid:181)i to‚n

(ϕ(u) + (cid:104)(cid:15)1F (u1) − ϕ(cid:48)(u1), u(cid:105)).

min u∈C

(1.30)

• Thu¸t to‚n I

(i) T„i b›(cid:237)c k = 0, b(cid:190)t ﬁ˙u v(cid:237)i u0 v(cid:181) (cid:15)0;

(ii) T„i b›(cid:237)c k = n, bi(cid:213)t un v(cid:181) (cid:15)n, gi¶i b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) sau:

G(cid:228)i u2 l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (1.30). Tı ﬁª d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n thu¸t to‚n sau.

(ϕ(u) + (cid:104)(cid:15)nF (un) − ϕ(cid:48)(un), u(cid:105)).

min u∈C

(1.31)

(iii) Dıng, n(cid:213)u (cid:107)un+1 − un(cid:107) nhÆ h‹n mØt sai sŁ cho tr›(cid:237)c. Ng›(cid:238)c l„i, thay

n ←− n + 1 v(cid:181) trº v(cid:210) b›(cid:237)c (ii).

G(cid:228)i un+1 l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (1.31).

Sau ﬁ'y, ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y thu¸t to‚n nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh,

l(cid:181) sø k(cid:213)t h(cid:238)p gi(cid:247)a Thu¸t to‚n I v(cid:237)i ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh Browder-Tikhonov,

• Thu¸t to‚n II

(i) T„i b›(cid:237)c k = 0, b(cid:190)t ﬁ˙u v(cid:237)i z0, (cid:15)0 v(cid:181) α0;

(ii) T„i b›(cid:237)c k = n, bi(cid:213)t zn, (cid:15)n v(cid:181) αn, gi¶i b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh sau:

ﬁ(cid:211) t(cid:215)m nghi(cid:214)m x˚p x(cid:216) cho b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n (1.15).

(ϕ(z) + (cid:104)(cid:15)n(F (zn) + αnzn) − ϕ(cid:48)(zn), z(cid:105));

min z∈C

(1.32)

(iii) Dıng, n(cid:213)u (cid:107)zn+1 − zn(cid:107) nhÆ h‹n mØt sai sŁ cho tr›(cid:237)c. Ng›(cid:238)c l„i, thay

n ←− n + 1 v(cid:181) trº v(cid:210) b›(cid:237)c (ii).

G(cid:228)i zn+1 l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (1.32).

27 Gi¶ s(cid:246) r»ng {(cid:15)n}n≥0 v(cid:181) {αn}n≥0 l(cid:181) hai d•y sŁ thøc thÆa m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n

n < ∞;

n=0 (cid:15)2

< ∞.

(i) 0 < (cid:15)n ≤ 1; 0 < αn+1 ≤ αn ≤ 1; αn → 0 khi n → ∞; (ii) (cid:80)∞ (iii) (cid:80)∞ n=0

n=0 (cid:15)nαn = ∞; (cid:80)∞ (αn − αn+1)2 α3 n(cid:15)n

§i(cid:210)u ki(cid:214)n Ψ

Ta cª ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) sau:

§(cid:222)nh l(cid:221) 1.11 (Xem [4]) Cho H l(cid:181) mØt kh«ng gian Hilbert thøc, C l(cid:181) mØt t¸p

con l(cid:229)i ﬁªng v(cid:181) kh‚c r(cid:231)ng cæa H. Cho F : C −→ H l(cid:181) mØt ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u

v(cid:181) h - li“n t(cid:244)c. Gi¶ s(cid:246) r»ng ϕ : H −→ R l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng, kh¶

vi G'teaux, v(cid:237)i ﬁ„o h(cid:181)m ϕ(cid:48) l(cid:181) mØt h(cid:181)m ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u m„nh v(cid:181) li“n t(cid:244)c Lipschitz.

Khi ﬁª, v(cid:237)i m(cid:231)i n ∈ N, b(cid:181)i to‚n (1.32) cª nghi(cid:214)m duy nh˚t zn+1.

H‹n n(cid:247)a, n(cid:213)u {(cid:15)n}n≥0 v(cid:181) {αn}n≥0 l(cid:181) hai d•y sŁ thøc thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n

lim (cid:107)zn+1 − x∗(cid:107) = 0

(Ψ) v(cid:181) F ‚nh x„ li“n t(cid:244)c Lipschitz th(cid:215):

trong ﬁª, x∗ l(cid:181) nghi(cid:214)m duy nh˚t cæa b(cid:181)i to‚n (1.15).

Ch›‹ng 2

Nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh t(cid:215)m

ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng chung cho mØt h(cid:228) v« h„n

c‚c ‚nh x„ gi¶ co ch˘t

Trong ch›‹ng n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh v(cid:181) nguy“n

l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh ﬁ(cid:211) t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng chung cho mØt h(cid:228) v« h„n c‚c

2.1. Ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng chung cho mØt h(cid:228) v«

h„n c‚c ‚nh x„ gi¶ co ch˘t

‚nh x„ gi¶ co ch˘t trong kh«ng gian Hilbert.

Trong m(cid:244)c n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh ﬁ(cid:211) t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m

b˚t ﬁØng chung cho mØt h(cid:228) v« h„n c‚c ‚nh x„ gi¶ co ch˘t trong kh«ng gian

Hilbert. Tr›(cid:237)c h(cid:213)t ch(cid:243)ng t«i n“u l„i kh‚i ni(cid:214)m ‚nh x„ gi¶ co ch˘t.

Cho H l(cid:181) mØt kh«ng gian Hilbert thøc, C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i ﬁªng kh‚c

r(cid:231)ng cæa H. ‚nh x„ T : C −→ H ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) λ-gi¶ co ch˘t, theo Browder-

Petryshyn [5], n(cid:213)u t(cid:229)n t„i mØt h»ng sŁ λ ∈ [0; 1) sao cho v(cid:237)i m(cid:228)i x, y ∈ C ta

(cid:107)T (x) − T (y)(cid:107)2 ≤ (cid:107)x − y(cid:107)2 + λ (cid:107)(I − T )(x) − (I − T )(y)(cid:107)2

cª:

(2.1)

º ﬁ'y I l(cid:181) ‚nh x„ ﬁ(cid:229)ng nh˚t trong H.

F ix(T ) = {u∗ ∈ C : u∗ = T (u∗)}.

K(cid:221) hi(cid:214)u F ix(T ) l(cid:181) t¸p ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ T , tłc l(cid:181):

B(cid:181)i to‚n t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ T t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i b(cid:181)i to‚n t(cid:215)m

nghi(cid:214)m cæa b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n sau:

T(cid:215)m u∗ ∈ C sao cho

(cid:104)A0(u∗), v − u∗(cid:105) ≥ 0 ∀ v ∈ C, A0 = I − T,

(2.2)

trong ﬁª, A0 l(cid:181) ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u v(cid:181) li“n t(cid:244)c Lipschitz tr“n C.

§(cid:211) gi¶i b(cid:181)i to‚n (2.2), ng›Œi ta gi¶i b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n x˚p x(cid:216)

T(cid:215)m u∗ ∈ C sao cho

(cid:104)A0(uα) + αuα, v − uα(cid:105) ≥ 0, ∀ v ∈ C,

(2.3)

º ﬁ'y, α l(cid:181) tham sŁ hi(cid:214)u ch(cid:216)nh ﬁæ nhÆ d˙n t(cid:237)i 0.

i=1 l(cid:181) mØt h(cid:228) v« h„n c‚c ‚nh x„ λi - gi¶ co ch˘t tı C v(cid:181)o H

H. Gi¶ s(cid:246) {Ti}∞ thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n F = (cid:84)∞

i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅. X—t b(cid:181)i to‚n sau:

Cho H l(cid:181) mØt kh«ng gian Hilbert, C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng cæa

T(cid:215)m u∗ ∈ F (2.4)

§(cid:211) t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng chung cho h(cid:228) v« h„n c‚c ‚nh x„ gi¶ co ch˘t, ta x'y

døng nghi(cid:214)m hi(cid:214)u ch(cid:216)nh uα tr“n c‹ sº gi¶i b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n

T(cid:215)m uα ∈ C sao cho

≥ 0 ∀ v ∈ C

γiAi(uα) + αuα, v − uα

i=1

(cid:43) (cid:42) ∞ (cid:88) (2.5)

i=1 l(cid:181)

trong ﬁª, Ai = I − Ti, α l(cid:181) tham sŁ hi(cid:214)u ch(cid:216)nh ﬁæ nhÆ d˙n t(cid:237)i 0 v(cid:181) {γi}∞

∞ (cid:88)

mØt d•y sŁ thøc thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n:

γi > 0;

= γ < ∞, (cid:101)λi =

1 − λi 2

γi (cid:101)λi

i=1

(2.6)

§(cid:211) tr(cid:215)nh b(cid:181)y k(cid:213)t qu¶ cho sø t(cid:229)n t„i nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (2.5), ch(cid:243)ng t«i c˙n

n“u l„i mØt sŁ k(cid:213)t qu¶ b(cid:230) tr(cid:238) sau:

G : C ×C −→ (−∞, +∞) l(cid:181) mØt song h(cid:181)m thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n G(u, u) = 0,

∀ u ∈ C. B(cid:181)i to‚n c'n b»ng ﬁ›(cid:238)c ph‚t bi(cid:211)u nh› sau:

Cho C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng cæa kh«ng gian Hilbert H v(cid:181)

G(u∗, v) ≥ 0 ∀ v ∈ C.

T(cid:215)m u∗ ∈ C sao cho

(2.7)

Gi¶ s(cid:246) r»ng h(cid:181)m G thÆa m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n sau:

(A1) G(u, v) + G(v, u) ≤ 0 ∀ (u, v) ∈ C × C;

(A2) V(cid:237)i m(cid:231)i u ∈ C, G(u, ·) : C → (−∞, +∞) l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) n(cid:246)a li“n

§i(cid:210)u ki(cid:214)n A:

(A3) limt→+0 G((1 − t)u + tz, v) ≤ G(u, v) ∀ (u, z, v) ∈ C × C × C.

t(cid:244)c d›(cid:237)i;

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.1 (Xem [9]). Cho C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng cæa kh«ng

gian Hilbert H v(cid:181) G : C × C → (−∞, +∞) l(cid:181) mØt h(cid:181)m x‚c ﬁ(cid:222)nh tr“n C × C

v(cid:181) thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (A). Cho r > 0 v(cid:181) x ∈ H t(cid:239)y (cid:253). Khi ﬁª, t(cid:229)n t„i z ∈ C

G(z, v) +

(cid:104)z − x, v − z(cid:105) ≥ 0 ∀ v ∈ C.

1 r

sao cho thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n sau;

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2 (Xem [9]). Cho C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng cæa kh«ng

gian Hilbert H v(cid:181) G : C × C → (−∞, +∞) l(cid:181) mØt h(cid:181)m x‚c ﬁ(cid:222)nh tr“n C × C

31 v(cid:181) thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (A). Cho r > 0 v(cid:181) x ∈ H t(cid:239)y (cid:253), ‚nh x„ Tr : H → C

(cid:104)z − x, v − z(cid:105) ≥ 0 ∀ v ∈ C}.

Tr(x) = {z ∈ K : G(z, v) +

1 r

x‚c ﬁ(cid:222)nh nh› sau:

(i) Tr l(cid:181) ‚nh x„ ﬁ‹n tr(cid:222);

(ii) Tr l(cid:181) ‚nh x„ kh«ng gi•n, tłc l(cid:181) v(cid:237)i x, y ∈ H ta cª:

(cid:107)Tr(x) − Tr(y)(cid:107)2 ≤ (cid:104)Tr(x) − Tr(y), x − y(cid:105) ;

(iii) F ix(Tr) = EP (G);

Khi ﬁª, ta cª:

(iv) EP (G) l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i v(cid:181) ﬁªng.

º ﬁ'y, EP (G) l(cid:181) t¸p ﬁi(cid:211)m nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n c'n b»ng (2.7).

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.3 (Xem [14]) Cho C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng cæa kh«ng

gian Hilbert H. Gi¶ s(cid:246) T : C −→ H l(cid:181) ‚nh x„ λ - gi¶ co ch˘t. Khi ﬁª, I − T

l(cid:181) ‚nh x„ demiclosed t„i 0; tłc l(cid:181), d•y {xn} trong C hØi t(cid:244) y(cid:213)u t(cid:237)i x ∈ C v(cid:181)

d•y {(I − T )(xn)} hØi t(cid:244) m„nh t(cid:237)i 0, th(cid:215) suy ra (I − T )(x) = 0.

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.4 (Xem [11]) Cho C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng cæa kh«ng

gian Hilbert H. Gi¶ s(cid:246) T : C −→ H l(cid:181) ‚nh x„ λ-gi¶ co ch˘t. Khi ﬁª, T l(cid:181)

1 + λ 1 − λ

. ‚nh x„ li“n t(cid:244)c Lipschitz, v(cid:237)i h»ng sŁ L =

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.5 (Xem [11]) Cho C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng cæa kh«ng

gian Hilbert H. Gi¶ s(cid:246) T : C −→ H l(cid:181) ‚nh x„ λ-gi¶ co ch˘t. Khi ﬁª, I − T

1 − λ 2

(cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥

(cid:107)A(x) − A(y)(cid:107)2 ;

1 − λ 2

; tłc l(cid:181), ∀ x, y ∈ C ta cª: l(cid:181) ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u m„nh v(cid:237)i h»ng sŁ (cid:101)λ =

º ﬁ'y, A = I − T .

§(cid:222)nh l(cid:253) sau ﬁ'y l(cid:181) k(cid:213)t qu¶ cho sø t(cid:229)n t„i nghi(cid:214)m hi(cid:214)u ch(cid:216)nh cæa b(cid:181)i to‚n

(2.5) v(cid:181) t(cid:221)nh hØi t(cid:244) m„nh t(cid:237)i nghi(cid:214)m u∗ cæa b(cid:181)i to‚n (2.4).

§(cid:222)nh l(cid:221) 2.1 (Xem [6]) Cho C l(cid:181) mØt t¸p con l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng cæa kh«ng

i=1 l(cid:181) mØt d•y sŁ

i=1 l(cid:181) mØt h(cid:228) v« h„n c‚c ‚nh x„ λi - gi¶ co ch˘t tı C i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅. Gi¶ s(cid:246) r»ng {γi}∞

gian Hilbert H v(cid:181) {Ti}∞ v(cid:181)o H sao cho F = (cid:84)∞

(i) V(cid:237)i m(cid:231)i α > 0, b(cid:181)i to‚n (2.5) cª duy nh˚t mØt nghi(cid:214)m uα;

(ii) limα→0 uα = u∗, u∗ ∈ F , (cid:107)u∗(cid:107) ≤ (cid:107)y(cid:107) ∀ y ∈ F ;

(cid:107)u∗(cid:107).

(iii) (cid:107)uα − uβ(cid:107) ≤

α − β α

thøc thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (2.6). Khi ﬁª, ta cª:

(i) G(cid:228)i y l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng chung cæa h(cid:228) c‚c ‚nh x„ λi - gi¶ co ch˘t {Ti}∞

i=1.

Chłng minh.

γi (cid:107)Ai(x)(cid:107) = γi (cid:107)Ai(x) − Ai(y) + Ai(y)(cid:107)

Khi ﬁª, v(cid:237)i x ∈ C ta cª:

≤ γi (cid:107)Ai(x) − Ai(y)(cid:107) + γi (cid:107)Ai(y)(cid:107) ;

(2.8)

º ﬁ'y, Ai = I − Ti.

V(cid:215) y ∈ F n“n Ti(y) = y, hay Ai(y) = 0. Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.5, A l(cid:181) ‚nh x„ ﬁ‹n

(cid:107)x − y(cid:107) =

(cid:107)x − y(cid:107) .

γi (cid:107)Ai(x)(cid:107) ≤ γi

γi (cid:101)λi

= γ < ∞, n“n suy ra ‚nh x„ B, ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh

ﬁi(cid:214)u m„nh n“n

2 1 − λi γi (cid:101)λi

Theo ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (2.6), (cid:80)∞ i=1

i=1 γiAi(x), hØi t(cid:244) tuy(cid:214)t ﬁŁi v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ C.

ngh(cid:220)a bºi B(x) = (cid:80)∞

M˘t kh‚c, v(cid:215) m(cid:231)i ‚nh x„ Ai l(cid:181) ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u v(cid:181) li“n t(cid:244)c Lipschitz n“n B

c(cid:242)ng l(cid:181) ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u v(cid:181) li“n t(cid:244)c Lipschitz v(cid:237)i h»ng sŁ LB = γ.

Gi(u, v) = (cid:104)γiAi(u), v − u(cid:105) , i ≥ 1.

§˘t

γiAi(uα), v − uα

+ α (cid:104)uα, v − uα(cid:105) ≥ 0 ∀ v ∈ C.

i=1

(cid:43) Tı (2.5) ta cª: (cid:42) ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

Gi(u, v) = (cid:104)B(u), v − u(cid:105)

Ta l„i ﬁ˘t

i=1

(cid:101)G(u, v) =

Gα(u, v) = (cid:101)G(u, v) + α (cid:104)u, v − u(cid:105)

v(cid:181)

Khi ﬁª b(cid:181)i to‚n (2.5) cª d„ng: T(cid:215)m uα ∈ C sao cho

Gα(uα, v) ≥ 0 ∀ v ∈ C.

(2.9)

= α > 0

V(cid:237)i m(cid:231)i i ≥ 1, h(cid:181)m Gi(u, v) thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (A). Do ﬁª, h(cid:181)m (cid:101)G(u, v)

1 r

c(cid:242)ng thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (A). Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.1 v(cid:181) B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2, v(cid:237)i

v(cid:181) x = 0, b(cid:181)i to‚n (2.9) cª nghi(cid:214)m duy nh˚t uα. §i(cid:210)u ﬁª chłng tÆ r»ng v(cid:237)i

(ii) Tr›(cid:237)c h(cid:213)t ch(cid:243)ng t«i chłng minh r»ng

m(cid:231)i α > 0, b(cid:181)i to‚n (2.5) cª nghi(cid:214)m duy nh˚t uα.

(cid:107)uα(cid:107) ≤ (cid:107)y(cid:107) ∀ y ∈ F.

(2.10)

Th¸t v¸y, v(cid:215) y ∈ F n“n Ai(y) = 0, i ≥ 1. Do ﬁª,

(cid:104)B(uα), y − uα(cid:105) + α (cid:104)uα, y − uα(cid:105) ≥ 0 ∀ y ∈ F.

(2.11)

(cid:104)γiAi(uα), y − uα(cid:105) ≥ 0 ∀ y ∈ F, i ≥ 1.

Nh›ng ‚nh x„ Ai l(cid:181) ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u n“n

(cid:104)uα, y − uα(cid:105) ≥ 0 ∀ y ∈ F.

Do ﬁª

(cid:107)uα(cid:107) ≤ (cid:107)y(cid:107) ∀ y ∈ F.

Hay

34 Tı ﬁª suy ra d•y {uα} b(cid:222) ch˘n. Khi ﬁª, t(cid:229)n t„i mØt d•y con {uαk} cæa d•y {uα} hØi t(cid:244) y(cid:213)u t(cid:237)i mØt ph˙n t(cid:246) u∗ ∈ C.

Ti(cid:213)p theo, ta c˙n chłng minh u∗ ∈ F .

Th¸t v¸y, theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.5, th(cid:215) Ai l(cid:181) c‚c ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u m„nh v(cid:237)i h»ng sŁ

1 − λi 2

, tłc l(cid:181) ∀ x, y ∈ C ta cª: (cid:101)λi =

(cid:107)Ai(x) − Ai(y)(cid:107)2 .

(cid:104)Ai(x) − Ai(y), x − y(cid:105) ≥

1 − λi 2

(2.12)

Do ﬁª, v(cid:237)i mØt ch(cid:216) sŁ l n(cid:181)o ﬁª th(cid:215) Al c(cid:242)ng l(cid:181) mØt ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u m„nh v(cid:237)i

1 − λl 2

0 < γl

(cid:107)Al(uαk)(cid:107)2 ≤ (cid:104)γlAl(uαk), uαk − y(cid:105)

1 − λl 2

∞ (cid:88)

≤

(cid:104)γiAi(uαk), uαk − y(cid:105)

i=1

h»ng sŁ . H‹n n(cid:247)a Al(y) = 0, n“n tı (2.12) suy ra:

≤ αk (cid:104)uαk, y − uαk(cid:105)

≤ αk (cid:104)y, y − uαk(cid:105)

≤ 2αk (cid:107)y(cid:107)2 −→ 0 khi k → ∞.

(2.13)

(cid:107)Al(uαk)(cid:107) = 0.

lim k→∞

V¸y

Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.3, suy ra Al(u∗) = 0, hay u∗ ∈ F ix(Tl). M˘t kh‚c, l„i theo

i=1 F ix(Ti) c(cid:242)ng

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2, v(cid:215) F ix(Ti) (i ≥ 1) l(cid:181) c‚c l¸p l(cid:229)i ﬁªng n“n F = (cid:84)∞

l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i ﬁªng. M˘t kh‚c, m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m t(cid:244) y(cid:213)u ﬁ(cid:210)u l(cid:181) nghi(cid:214)m cª chu¨n nhÆ

nh˚t, do v¸y l(cid:181) duy nh˚t. Do ﬁª, m(cid:228)i d•y con {uαk} hØi t(cid:244) y(cid:213)u t(cid:237)i u∗. Tı ﬁª suy ra d•y uα c(cid:242)ng hØi t(cid:244) y(cid:213)u t(cid:237)i u∗, khi α → 0.

Trong (2.10), ta thay y bºi u∗ v(cid:181) v¸n d(cid:244)ng t(cid:221)nh ch˚t E − S trong kh«ng

α → 0, tłc l(cid:181):

uα = u∗.

lim α→0

gian Hilbert, ta cª uα (cid:42) u∗ v(cid:181) (cid:107)uα(cid:107) → (cid:107)u∗(cid:107) th(cid:215) suy ra (cid:107)uα − u∗(cid:107) → 0 khi

(iii) Theo (2.11) v(cid:181) t(cid:221)nh ch˚t ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u cæa ‚nh x„ B, v(cid:237)i m(cid:231)i α, β > 0 ta

α (cid:104)uα, uβ − uα(cid:105) + β (cid:104)uβ, uα − uβ(cid:105) ≥ 0

⇔ β (cid:104)uβ, uα − uβ(cid:105) ≥ α (cid:104)uα, uβ − uα(cid:105)

(cid:107)u∗(cid:107).

⇒ (cid:107)uα − uβ(cid:107) ≤

(cid:107)uβ(cid:107) ≤

⇔ β (cid:104)uβ, uα − uβ(cid:105)−α (cid:104)uβ, uα − uβ(cid:105) ≥ α (cid:104)uα, uβ − uα(cid:105)−α (cid:104)uβ, uα − uβ(cid:105) ⇔ (β − α) (cid:104)uβ, uα − uβ(cid:105) ≥ α (cid:107)uα − uβ(cid:107)2 |α − β| |α − β| α α

cª:

(cid:107)u∗(cid:107) , v(cid:237)i α, β > 0.

(cid:107)uα − uβ(cid:107) ≤

|α − β| α

V¸y

2.2. Nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng chung cho

mØt h(cid:228) v« h„n c‚c ‚nh x„ gi¶ co ch˘t

§(cid:222)nh l(cid:253) ﬁ›(cid:238)c chłng minh.

Trong m(cid:244)c n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i x—t sø k(cid:213)t h(cid:238)p gi(cid:247)a b(cid:181)i to‚n hi(cid:214)u ch(cid:216)nh (2.5) v(cid:181)

thu¸t to‚n b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) ﬁ• tr(cid:215)nh b(cid:181)y trong Ch›‹ng 1 ﬁ(cid:211) thu ﬁ›(cid:238)c thu¸t to‚n

nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh sau:

Cho ϕ : H → R l(cid:181) mØt phi(cid:213)m h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng v(cid:181) kh¶ vi G'teaux, v(cid:237)i

ﬁ„o h(cid:181)m ϕ(cid:48) ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u m„nh v(cid:181) li“n t(cid:244)c Lipschitz; {(cid:15)n}n≥0, {αn}n≥0 l(cid:181) hai d•y

sŁ thøc d›‹ng thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n:

n < ∞;

n=0 (cid:15)2

< ∞.

(i) 0 < (cid:15)n ≤ 1; 0 < αn+1 ≤ αn ≤ 1; αn → 0 khi n → ∞; (ii) (cid:80)∞ (iii) (cid:80)∞ n=0

n=0 (cid:15)nαn = ∞; (cid:80)∞ (αn − αn+1)2 α3 n(cid:15)n

§i(cid:210)u ki(cid:214)n Ψ

Ta l˚y t(cid:239)y (cid:253) z0 ∈ C, α0 > 0 v(cid:181) (cid:15)0 > 0, x—t b(cid:181)i to‚n ph(cid:244):

{ϕ(z) + (cid:104)(cid:15)0(B(z0) + α0z0) − ϕ(cid:48)(z0), z(cid:105)},

min z∈C trong ﬁª B = (cid:80)∞

i=1 γiAi.

(2.14)

G(cid:228)i z1 l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (2.14). Thay z0, α0 v(cid:181) (cid:15)0 bºi z1, α1 v(cid:181) (cid:15)1

ﬁ(cid:211) t(cid:215)m z2. Ti(cid:213)p t(cid:244)c qu‚ tr(cid:215)nh ﬁª ta cª thu¸t to‚n nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u

• Thu¸t to‚n III

(i) T„i b›(cid:237)c k = 0, b(cid:190)t ﬁ˙u v(cid:237)i z0, (cid:15)0 v(cid:181) α0;

(ii) T„i b›(cid:237)c k = n, bi(cid:213)t zn, (cid:15)n v(cid:181) αn, gi¶i b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) sau:

ch(cid:216)nh sau:

T(cid:215)m z ∈ C sao cho:

(ϕ(z) + (cid:104)(cid:15)n(B(zn) + αnzn) − ϕ(cid:48)(zn), z(cid:105)),

min z∈C

(2.15)

i=1 γiAi.

º ﬁ'y, B = (cid:80)∞

(iii) Dıng, n(cid:213)u (cid:107)zn+1 − zn(cid:107) nhÆ h‹n mØt sai sŁ cho tr›(cid:237)c. Ng›(cid:238)c l„i, thay

n ←− n + 1 v(cid:181) trº v(cid:210) b›(cid:237)c (ii).

G(cid:228)i zn+1 l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (2.15).

Sau ﬁ'y l(cid:181) k(cid:213)t qu¶ cho sø t(cid:229)n t„i nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (2.15) v(cid:181) t(cid:221)nh hØi t(cid:244)

t(cid:237)i nghi(cid:214)m u∗ cæa b(cid:181)i to‚n (2.4).

i=1 l(cid:181) mØt h(cid:228) v« h„n c‚c ‚nh x„ λi-gi¶ co

§(cid:222)nh l(cid:221) 2.2 (Xem [6]) Cho H l(cid:181) mØt kh«ng gian Hilbert v(cid:181) C l(cid:181) mØt t¸p con

i=1 F ix(Ti) (cid:54)= ∅. Gi¶ s(cid:246) r»ng {γi}∞

i=1 l(cid:181) mØt d•y sŁ thøc thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (2.6) v(cid:181) ϕ : H −→ R l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh

l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng cæa H. G(cid:228)i {Ti}∞ ch˘t tı C v(cid:181)o H sao cho F = (cid:84)∞

th›Œng v(cid:181) kh¶ vi G'teaux tr“n H, v(cid:237)i ﬁ„o h(cid:181)m ϕ(cid:48) l(cid:181) mØt h(cid:181)m ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u m„nh

v(cid:181) li“n t(cid:244)c Lipschitz. Khi ﬁª, v(cid:237)i m(cid:231)i n ≥ 0, b(cid:181)i to‚n (2.15) cª duy nh˚t mØt

nghi(cid:214)m zn+1. H‹n n(cid:247)a, n(cid:213)u c‚c d•y sŁ {(cid:15)n}n≥0 v(cid:181) {αn}n≥0 thÆa m•n ﬁi(cid:210)u

zn = u∗ ∈ F.

lim n→∞

ki(cid:214)n (Ψ) th(cid:215)

Chłng minh.

B(cid:181)i to‚n (2.15) t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n sau:

T(cid:215)m zn+1 ∈ C sao cho:

(cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1) + (cid:15)n(B(zn) + αnzn) − ϕ(cid:48)(zn), v − zn+1(cid:105) ≥ 0 ∀ v ∈ C.

(2.16)

Theo gi¶ thi(cid:213)t ϕ(cid:48) l(cid:181) h(cid:181)m ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u m„nh v(cid:181) li“n t(cid:244)c Lipschitz, n“n b(cid:181)i to‚n

b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n (2.16) cª mØt nghi(cid:214)m duy nh˚t zn+1.

(cid:107)zn+1 − u∗(cid:107) ≤ (cid:107)zn+1 − uαn(cid:107) + (cid:107)uαn − u∗(cid:107) ,

S(cid:246) d(cid:244)ng b˚t ﬁ…ng thłc tam gi‚c ta cª:

º ﬁ'y, uαn l(cid:181) nghi(cid:214)m cæa b(cid:181)i to‚n (2.5), v(cid:237)i α = αn v(cid:181) αn → 0 khi n → ∞.

Do ﬁª, ﬁ(cid:211) chłng minh limn→∞ zn+1 = u∗ ta c˙n chłng minh

(cid:107)zn+1 − uαn(cid:107) = 0.

lim n→∞

(2.17)

Φ(u, z) = ϕ(u) − ϕ(z) − (cid:104)ϕ(cid:48)(z), u − z(cid:105) ,

MuŁn v¸y ta x—t mØt h(cid:181)m sau:

º ﬁ'y, u v(cid:181) z t›‹ng łng nh› l(cid:181) uαn v(cid:181) zn.

ϕ(u) − ϕ(z) ≥ (cid:104)ϕ(cid:48)(z), u − z(cid:105) +

(cid:107)u − z(cid:107)2

Theo gi¶ thi(cid:213)t, v(cid:215) ϕ(cid:48) l(cid:181) h(cid:181)m ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u m„nh, n“n v(cid:237)i m(cid:228)i u, v ∈ C ta cª:

m 2

(2.18)

trong ﬁª, m l(cid:181) h»ng sŁ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u m„nh cæa ϕ(cid:48) tr“n C.

ϕ(u) − ϕ(z) ≤ (cid:104)ϕ(cid:48)(z), u − z(cid:105) +

(cid:107)u − z(cid:107)2

V(cid:181) ϕ(cid:48) l(cid:181) h(cid:181)m li“n t(cid:244)c Lipschitz, n“n v(cid:237)i m(cid:228)i u, v ∈ C ta cª:

M 2

(2.19)

trong ﬁª, M l(cid:181) h»ng sŁ li“n t(cid:244)c Lipschitz cæa ϕ(cid:48) tr“n C.

(cid:107)u − z(cid:107)2 ≤ Φ(u, z) ≤

(cid:107)u − z(cid:107)2 .

m 2

M 2

Tı (2.18) v(cid:181) (2.19) suy ra:

(cid:52)n = (cid:13)

§˘t

(cid:13) (cid:13) . (cid:13)zn − uαn−1

n=0 b(cid:222) ch˘n. Th¸t v¸y, ta cª ﬁ‚nh

Sau ﬁ'y ta sˇ chłng minh r»ng d•y {(cid:52)n}∞

Φ(uαn−1, zn)−Φ(uαn, zn+1)

gi‚ sau

={ϕ(uαn−1) − ϕ(zn) − (cid:10)ϕ(cid:48)(zn), uαn−1 − zn

− {ϕ(uαn) − ϕ(zn+1) − (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1), uαn − zn+1(cid:105)}

=ϕ(uαn−1) − ϕ(uαn) + (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1), uαn − zn+1(cid:105) (cid:11) + ϕ(zn+1) − ϕ(zn) − (cid:10)ϕ(cid:48)(zn), uαn−1 − zn

=ϕ(uαn−1) − ϕ(uαn) + (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1), uαn − zn+1(cid:105)

(cid:11)}

+ ϕ(zn+1) − ϕ(zn) − (cid:104)ϕ(cid:48)(zn), zn+1 − zn(cid:105) − (cid:10)ϕ(cid:48)(zn), uαn−1 − zn+1

={ϕ(zn+1) − ϕ(zn) − (cid:104)ϕ(cid:48)(zn), zn+1 − zn(cid:105)}

(cid:11)

(cid:11)} (cid:11) + (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1), uαn − zn+1(cid:105)

≥

(cid:107)zn+1 − zn(cid:107)2 −

(cid:11) − (cid:104)ϕ(cid:48)(zn), uαn − zn+1(cid:105)

(cid:13) 2 (cid:13)

+ {ϕ(uαn−1) − ϕ(uαn) − (cid:10)ϕ(cid:48)(uαn−1), uαn−1 − uαn + (cid:10)ϕ(cid:48)(uαn−1), uαn−1 − uαn − (cid:10)ϕ(cid:48)(zn), uαn−1 − uαn M m (cid:13) (cid:13)uαn−1 − uαn 2 2 + (cid:10)ϕ(cid:48)(uαn−1) − ϕ(cid:48)(zn), uαn−1 − uαn

+ (cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1) − ϕ(cid:48)(zn), uαn − zn+1(cid:105)

(cid:11) (2.20)

Tı (2.5) thay v bºi zn+1 v(cid:181) thay α bºi αn ta ﬁ›(cid:238)c:

(cid:104)B(uαn) + αnuαn, zn+1 − uαn(cid:105) ≥ 0.

(2.21)

Tı (2.16) thay v bºi uαn ta ﬁ›(cid:238)c:

(cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1) + (cid:15)n(B(zn) + αnzn) − ϕ(cid:48)(zn), uαn − zn+1(cid:105) ≥ 0.

(2.22)

(cid:104)ϕ(cid:48)(zn+1) − ϕ(cid:48)(zn), uαn − zn+1(cid:105) ≥(cid:15)n (cid:104)B(uαn) + αnuαn, uαn − zn+1(cid:105)

− (cid:15)n (cid:104)B(zn) + αnzn, uαn − zn+1(cid:105) .

Tı c‚c b˚t ﬁ…ng thłc (2.21) v(cid:181) (2.22) suy ra:

L„i v(cid:215) B l(cid:181) ‚nh x„ li“n t(cid:244)c Lipschitz v(cid:237)i h»ng sŁ γ, n“n v(cid:237)i m(cid:228)i x1, x2 ∈ C

(cid:107)(B(x1) + αnx1) − (B(x2) + αnx2)(cid:107) = (cid:107)(B(x1) − B(x2)) + αn(x1 − x2)(cid:107)

≤ γ (cid:107)x1 − x2(cid:107) + αn (cid:107)x1 − x2(cid:107)

≤ (γ + α0) (cid:107)x1 − x2(cid:107) = L (cid:107)x1 − x2(cid:107) ,

ta cª:

v(cid:237)i L = γ + α0.

Tı ﬁª suy ra

Φ(uαn−1, zn) − Φ(uαn, zn+1) ≥ E1 + E2 + E3 + E4,

(2.23)

E1 =(cid:15)n (cid:104)(B(zn) + αnzn) − (B(uαn) + αnuαn), zn+1 − zn(cid:105)

(cid:107)zn − zn+1(cid:107)2

trong ﬁª

=(cid:15)n

m 2 (cid:10)(B(zn) + αnzn) − (B(uαn−1) + αnuαn−1), zn+1 − zn

(cid:11)

+ (cid:15)n

(cid:11) (cid:10)(B(uαn−1) + αnuαn−1) − (B(uαn) + αnuαn), zn+1 − zn

(cid:107)zn − zn+1(cid:107)2

≥

(cid:107)zn − zn+1(cid:107)2

m 2

−

m 4 (cid:107)zn − zn+1(cid:107)2

(cid:13) 2 − (cid:13) (cid:13) (cid:13)zn − uαn−1

m 4

≥

(cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1

m 2 (cid:107)zn − zn+1(cid:107)2 − nL2 (cid:15)2 m (cid:13) (cid:13)zn − uαn−1

(cid:13) 2 − (cid:13) (cid:13) 2 ; (cid:13) (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1

E2 =(cid:15)n

(cid:11)

=(cid:15)n

nL2 (cid:15)2 m (cid:13) 2 − (cid:13) nL2 (cid:15)2 L2 m m (cid:10)(B(zn) + αnzn) − (B(uαn) + αnuαn), zn − uαn−1 (cid:10)(B(zn) + αnzn) − (B(uαn−1) + αnuαn−1), zn − uαn−1

(cid:11)

+ (cid:15)n

≥r(cid:15)nαn

(cid:11)

(cid:15)nL2 M

M 4

(cid:13) 2 − (cid:13) (cid:13) 2 ; (cid:13) (cid:13) 2 − (cid:13) (cid:13) (cid:13)zn − uαn−1 (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 (cid:10)(B(uαn−1) + αnuαn−1) − (B(uαn) + αnuαn), zn − uαn−1 (cid:13) (cid:13)zn − uαn−1

v(cid:237)i 0 < r ≤ 1;

E3 =(cid:15)n

−

(cid:11)

(cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1

=(cid:15)n

(cid:11) (cid:10)(B(zn) + αnzn) − (B(uαn) + αnuαn), uαn−1 − uαn M 2 (cid:10)(B(zn) + αnzn) − (B(uαn−1) + αnuαn−1), uαn−1 − uαn

−

(cid:11)

+ (cid:15)n M 2

≥r(cid:15)nαn

(cid:13) 2 (cid:13) (cid:10)(B(uαn−1) + αnuαn−1) − (B(uαn) + αnuαn), uαn−1 − uαn (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1

L2(cid:15)2 n M

3M 4

(cid:13) 2 − (cid:13) (cid:13) 2 ; (cid:13) (cid:13) 2 − (cid:13) (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 (cid:13) (cid:13)zn − uαn−1

≥ − M (cid:13)

(cid:11)

(cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 E4 = (cid:10)ϕ(cid:48)(uαn−1) − ϕ(cid:48)(zn), uαn − uαn−1 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)uαn−1 − zn

;

≥ − c(cid:15)nαn

(cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 M 2 (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) 2 − (cid:13) (cid:13) (cid:13)uαn−1 − zn (cid:13)uαn − uαn−1 4c(cid:15)nαn

v(cid:237)i θ = r − c > 0.

Thay E1, E2, E3 v(cid:181) E4 v(cid:181)o (2.23) ta ﬁ›(cid:238)c:

Φ(uαn−1, zn)−Φ(uαn, zn+1)

≥θ(cid:15)nαn

L2(cid:15)2 n

−

(M + 2m) mM (cid:13) 2 + r(cid:15)nαn (cid:13)

(cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) 2 − (cid:13) (cid:13) (cid:13)uαn−1 − zn (cid:13) (cid:13)uαn−1 − zn

(M m + L2) m

≥θ(cid:15)nαn

(cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1

L2(cid:15)2 n

(cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)uαn−1 − zn (cid:13) (cid:13)uαn−1 − zn

−

(M m + L2)2 4rm2

(M + 2m) (cid:13) 2 − (cid:13) mM (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 (cid:15)nαn

(cid:13) 2 (cid:13)

Tı ﬁª suy ra

Φ(uαn, zn+1) ≤Φ(uαn−1, zn) + [θ(cid:15)nαn

(cid:13) 2 (cid:13)

];

+ C1(cid:15)2 n

(cid:13) 2 (cid:13) (cid:13) 2 + C2 (cid:13) (cid:13) (cid:13)uαn−1 − zn (cid:13) (cid:13)uαn−1 − zn (cid:13) (cid:13)uαn − uαn−1 (cid:15)nαn

(M + 2m)L2 mM

(M m + L2)2 4rm2

. trong ﬁª C1 = v(cid:181) C2 =

Tı b˚t ﬁ…ng thłc tr“n, cho n ch„y tı n = 0 t(cid:237)i n = N , l˚y t(cid:230)ng N b˚t ﬁ…ng

∞ (cid:88)

)(cid:52)2

) (cid:52)2

(

n+1 ≤(

1 +

[−θ(cid:15)nαn(cid:52)2 n

m 2

M 2

n=1

thłc ﬁª, r(cid:229)i k(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:237)i (2.20) ta thu ﬁ›(cid:238)c:

+ C1(cid:15)2

)2 · (cid:107)u∗(cid:107)2 ((cid:15)nαn)−1].

n (cid:52)2

n +C2(

(2.24)

n < ∞. M˘t kh‚c, theo

αn − αn+1 αn n=1 b(cid:222) ch˘n v(cid:181) (cid:80)∞

n=1 θ(cid:15)nαn(cid:52)2

V¸y suy ra d•y {(cid:52)n}∞

n=1 (cid:15)nαn = ∞ n“n tı ﬁ‚nh gi‚ tr“n suy ra

(cid:52)n = 0,

lim n→∞

ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (Ψ), (cid:80)∞

(cid:107)zn+1 − uαn(cid:107) = 0.

lim n→∞

hay

(cid:107)zn+1 − u∗(cid:107) = 0.

lim n→∞

Tı ﬁª suy ra

§(cid:222)nh l(cid:253) ﬁ›(cid:238)c chłng minh.

42 < k1 < 1 v(cid:181) k2 > 0 sao cho k1 + k2 < 1.

1 2

V(cid:221) d(cid:244) 2.1 L˚y

εn = (1 + n)−k1; αn = (1 + n)−k2,

D•y {εn} v(cid:181) {αn} ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh nh› sau:

Khi ﬁª d•y {εn} v(cid:181) {αn} thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n sau:

n < ∞;

n=0 (cid:15)2

< ∞.

(i) 0 < (cid:15)n ≤ 1; 0 < αn+1 ≤ αn ≤ 1; αn → 0 khi n → ∞; (ii) (cid:80)∞ (iii) (cid:80)∞ n=0

n=0 (cid:15)nαn = ∞; (cid:80)∞ (αn − αn+1)2 α3 n(cid:15)n

§i(cid:210)u ki(cid:214)n Ψ

K(cid:213)t lu¸n

• Tr(cid:215)nh b(cid:181)y l„i mØt sŁ ki(cid:213)n thłc c‹ b¶n cæa gi¶i t(cid:221)ch h(cid:181)m; Kh‚i ni(cid:214)m v(cid:210) b(cid:181)i

Lu¸n v¤n ﬁ• tr(cid:215)nh b(cid:181)y nh(cid:247)ng v˚n ﬁ(cid:210) sau:

to‚n t(cid:215)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng v(cid:181) sø t(cid:229)n t„i ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng trong kh«ng gian m“tric;

Kh‚i ni(cid:214)m v(cid:210) b(cid:181)i to‚n ch(cid:216)nh, b(cid:181)i to‚n ﬁ˘t kh«ng ch(cid:216)nh v(cid:181) mØt sŁ ph›‹ng ph‚p

• Tr(cid:215)nh b(cid:181)y kh‚i ni(cid:214)m v(cid:210) b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc bi(cid:213)n ph'n c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v(cid:181) thu¸t

hi(cid:214)u ch(cid:216)nh.

to‚n nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh t(cid:215)m nghi(cid:214)m cho b(cid:181)i to‚n b˚t ﬁ…ng thłc

• Tr(cid:215)nh b(cid:181)y ph›‹ng ph‚p hi(cid:214)u ch(cid:216)nh ﬁ(cid:211) x‚c ﬁ(cid:222)nh ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng chung cho

bi(cid:213)n ph'n c(cid:230) ﬁi(cid:211)n.

• Tr(cid:215)nh b(cid:181)y thu¸t to‚n nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh ﬁ(cid:211) x‚c ﬁ(cid:222)nh ﬁi(cid:211)m

mØt h(cid:228) v« h„n c‚c ‚nh gi¶ co ch˘t trong kh«ng gian Hilbert.

b˚t ﬁØng chung cho mØt h(cid:228) v« h„n c‚c ‚nh gi¶ co ch˘t trong kh«ng gian

Hilbert.

Do v˚n ﬁ(cid:210) ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:210) c¸p trong lu¸n v¤n l(cid:181) t›‹ng ﬁŁi phłc t„p, h‹n n(cid:247)a do

thŒi gian v(cid:181) kh¶ n¤ng cæa b¶n th'n c(cid:223)n h„n ch(cid:213) n“n m˘c d(cid:239) ﬁ• cª nhi(cid:210)u cŁ

g(cid:190)ng v(cid:181) n(cid:231) løc song ch(cid:190)c h…n lu¸n v¤n kh«ng tr‚nh khÆi nh(cid:247)ng thi(cid:213)u sªt. T‚c

gi¶ r˚t mong nh¸n ﬁ›(cid:238)c nh(cid:247)ng (cid:253) ki(cid:213)n ﬁªng gªp qu(cid:221) b‚u cæa th˙y c« gi‚o v(cid:181)

nh(cid:247)ng ng›Œi quan t'm ﬁ(cid:211) ﬁ(cid:210) t(cid:181)i ho(cid:181)n thi(cid:214)n h‹n.

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

T(cid:181)i li(cid:214)u ti(cid:213)ng Vi(cid:214)t

[1] Ph„m Kœ Anh, Nguy(cid:212)n B›Œng (2005), B(cid:181)i to‚n ﬁ˘t kh«ng ch(cid:216)nh, Nh(cid:181)

xu˚t b¶n §„i h(cid:228)c QuŁc gia H(cid:181) NØi.

[2] §(cid:231) H(cid:229)ng T'n (2003), C‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:221) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng, Nh(cid:181) xu˚t b¶n §„i h(cid:228)c

T(cid:181)i li(cid:214)u ti(cid:213)ng Anh

S› ph„m.

[3] Ya.I. Alber, I.P. Ryazantseva (2006), Nonlinear ill-posed problems of

monotone types, Springer Verlage.

[4] A.J. Baasansuren, A.A. Khan (2000), "Regularization auxiliary problem

principle for variational inequalities", Computers and Mathematics with

applications, 40, pp. 995 - 1002.

[5] F.E. Browder, W.V. Petryshyn (1967), "Construction of fixed points of

nonlinear mappings in Hilbert spaces", J. Math. Anal. Appl. , 20, pp. 197

- 228.

[6] Ng. Buong, L.T. Duong (2009), "Regularization Auxiliary Problem Algo-

rithm for Common fixed points of a countably infinite family of non-self

strictly pseudocontractive mappings", Int. Journal of Math. Ana., 3, No.

11, 535 - 547.

45 [7] G. Cohen (1980), "Auxiliary problem principle and decomposition of op-

timization problems", J. Optim. Theory and Appl, 32, pp. 277 - 305.

[8] G. Cohen (1988), "Auxiliary problem principle extended to variational

inequalities", J. Optim. Theory and Appl, 59, pp. 305 - 325 .

[9] P.L. Combettes, S.A. Hirstoaga (2005), "Equilibrium programming in

Hilbert spaces", Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 6 (1), pp.

117 - 136.

[10] H.W. Engl, M. Hanke and A. Neubauer (1996), Regularization of Inverse

Problems, Kluwer Dordrecht.

[11] N.E. Farouq (2011), "Psedomonotone variational inequalities: Conver-

gence of the auxiliary problem method", J. Optim. Theory and Appl.,

111, pp. 305 - 326.

[12] D. Kinderlehrer, G. Stampacchia (1980), An introduction to Variational

Inequalities and Their Applications, Academic Press.

[13] G. Mastroeni (2000), "On auxiliary principle for equilibrium problems",

Technical Report of the department of mathematics of Pisa University,

Italy, 3, pp. 1244 - 1258 .

[14] M.O. Osilike, A. Udomene (2001), "Demiclosedness principle and con-

vergence theorems for strictly pseudocontractive mappings", J. Math.

Anal. Appl., 256, pp. 431 - 445.

[15] U. Tautenhahn (2004), "Lavrentive regularization of nonlinear ill-posed

problem", Vietnam Journal of Mathematics, 32, pp. 29 - 41.

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn ánh xạ giả co chặt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀM THỊ HỒNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ VÔ HẠN ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀM THỊ HỒNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ VÔ HẠN ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÂM THÙY DƯƠNG THÁI NGUYÊN - 2016

M(cid:244)c l(cid:244)c

M(cid:244)c l(cid:244)c

MØt sŁ k(cid:253) hi(cid:214)u v(cid:181) vi(cid:213)t t(cid:190)t

Mº ﬁ˙u

Ch›‹ng 1

Ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222)

Ch›‹ng 2

Nguy“n l(cid:253) b(cid:181)i to‚n ph(cid:244) hi(cid:214)u ch(cid:216)nh t(cid:215)m

ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng chung cho mØt h(cid:228) v« h„n

c‚c ‚nh x„ gi¶ co ch˘t

K(cid:213)t lu¸n

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

Có thể bạn quan tâm

Luận văn Thạc sĩ: Quản lý hoạt động phát triển nhận thức cho trẻ mẫu giáo ở các trường mầm non, huyện Hoàng Su Phì, tỉnh Hà Giang

Bài giảng Giải tích 2: Chương 1 - Đại học Bách khoa Hà Nội

Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 - Đại học Bách khoa Hà Nội

Bài giảng Giải tích 2: Chương 3 - Đại học Bách khoa Hà Nội

Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 - Đại học Bách khoa Hà Nội

Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 - Đại học Bách khoa Hà Nội

Bài giảng Giải tích 2: Chương 6 - Đại học Bách khoa Hà Nội

Bài giảng Giải tích 1: Chương 1 - Đại học Bách khoa Hà Nội

Bài giảng Giải tích 1: Chương 2 - Đại học Bách khoa Hà Nội

Bài giảng Giải tích 1: Chương 3 - Đại học Bách khoa Hà Nội

Bài giảng Giải tích 3: Chương 1 - Đại học Bách khoa Hà Nội

Bài giảng Giải tích 3: Chương 2 - Đại học Bách khoa Hà Nội

Bài giảng Giải tích 3: Chương 3 - Đại học Bách khoa Hà Nội

Bài giảng Giải tích 2: Chương 1 - Đại học Bách khoa Hà Nội (MI1122)

Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 - Đại học Bách khoa Hà Nội (MI1122)

Bài giảng Giải tích 2: Chương 3 - Đại học Bách khoa Hà Nội (MI1122)

Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 - Đại học Bách khoa Hà Nội (MI1122)

Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 - Đại học Bách khoa Hà Nội (MI1122)

Luận văn Thạc sĩ tóm tắt: Pháp luật về điều kiện đầu tư kinh doanh trong lĩnh vực giáo dục, đào tạo ở Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Sự nghiệp nghiên cứu phê bình văn học của Hoài Thanh

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi