Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự hội tụ theo dung lượng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu về sự hội tụ theo dung lượng của hàm đa điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo Monge-Ampère phức tương ứng; mối quan hệ giữa sự hội tụ của độ đo Monge-Ampère phức và sự hội tụ theo Cn- dung lượng cũng như Cn-1 - dung lượng của các hàm. Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình Monge-Ampère.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự hội tụ theo dung lượng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM DƢƠNG HUYỀN NHUNG SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM DƢƠNG HUYỀN NHUNG SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN – 2016
i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Dương Huyền Nhung
ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Chuyên Tỉnh Cao Bằng cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 04 năm 2016 Tác giả
iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii MỤC LỤC............................................................................................................ iii MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 1 3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 2 4. Bố cục của luận văn ......................................................................................... 2 Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................... 3 1.1. Hàm đa điều hoà dưới................................................................................... 3 1.2. Toán tử Monge-Ampère phức ...................................................................... 5 1.3. Tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới ................................................. 8 1.4. Nguyên lý so sánh....................................................................................... 12 1.5. Các lớp năng lượng Cegrell ........................................................................ 15 Chƣơng 2: SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG ............................................... 16 2.1. Sự hội tụ đối với các hàm đa điều hoà dưới bị chặn .................................. 16 a 2.2. Sự hội tụ trong lớp ............................................................................... 31 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 45
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khái niệm dung lượng đã được Bedford và Taylor giới thiệu năm 1982 trong [3]. Nó đóng vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết đa thế vị, là công cụ rất hiệu quả trong việc nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới và toán tử Monge-Ampère phức. Một trong những hướng nghiên cứu của lý thuyết đa thế vị được nhiều người quan tâm hiện nay là tìm mối quan hệ giữa sự hội tụ theo dung lượng của hàm đa điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo Monge- Ampère phức tương ứng. Nghiên cứu kiểu hội tụ của độ đo Monge-Ampère phức và sự hội tụ theo dung lượng Cn của các hàm. Mối quan hệ giữa sự hội tụ yếu của các độ đo Monge-Ampère phức với sự hội tụ theo C n 1  dung lượng của các hàm. Vì thế theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: “Sự hội tụ theo dung lượng”. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu về sự hội tụ theo dung lượng của hàm đa điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo Monge-Ampère phức tương ứng; mối quan hệ giữa sự hội tụ của độ đo Monge-Ampère phức và sự hội tụ theo Cn  dung lượng cũng như C n 1  dung lượng của các hàm. Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình Monge-Ampère. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: + Nghiên cứu mối quan hệ giữa sự hội tụ theo dung lượng của hàm đa điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo Monge-Ampère phức tương ứng.
2 + Nghiên cứu mối quan hệ giữa sự hội tụ của độ đo Monge-Ampère phức và sự hội tụ theo Cn  dung lượng cũng như C n 1  dung lượng của các hàm. + Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình Monge-Ampère. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 45 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kiến thức cơ sở của lý thuyết đa thế vị cần thiết được sử dụng trong chương 2. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quả nghiên cứu gần đây của Y. Xing về mối quan hệ giữa sự hội tụ theo dung lượng của hàm đa điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo Monge-Ampère phức tương ứng, một số dạng khác nhau của định lý về tính ổn định đối với nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức. Phần cuối của chương này chúng tôi trình bày lại các kết quả của Xing đối với các lớp kiểu Cegrell ( ) các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
3 Chƣơng 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dƣới Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian tôpô, hàm u : X , được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi tập hợp x X : u(x ) là mở trong X. n Định nghĩa 1.1.2. Cho là một tập con mở của và u : , là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên thông nào của . Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a và n b , hàm u(a b) là điều hoà dưới hoặc trùng trên mỗi thành phần của tập hợp :a b . Trong trường hợp này, ta viết u PSH ( ) . (ở đây kí hiệu PSH ( ) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong ). Mệnh đề 1.1.3. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền n bị chặn, tức là nếu là một tập con mở liên thông bị chặn của và u PSH ( ) , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z , u(z ) sup lim sup u(y ) . y y n Định nghĩa 1.1.4. Tập hợp E được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm a E đều có một lân cận V của a và một hàm u PSH (V ) sao cho E V z V : u(z ) .
4 n Định lý 1.1.5. Cho là một tập con mở trong . Khi đó (i ) Họ PSH ( ) là nón lồi, tức là nếu , là các số không âm và u, v PSH ( ) , thì u v PSH ( ) . (ii ) Nếu là liên thông và uj PSH ( ) là dãy giảm, thì j u lim u j PSH ( ) hoặc u . j (iii ) Nếu u : , và nếu u j PSH ( ) hội tụ đều tới u trên các j tập con compact của , thì u PSH ( ) . (iv ) Giả sử u A PSH ( ) sao cho bao trên của nó u sup u là bị A chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u * là đa điều hoà dưới trong . n Định lý 1.1.6. Cho là một tập con mở của . (i ) Cho u, v là các hàm đa điều hoà dưới trong và v 0 . Nếu : là lồi, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong . (ii ) Cho u PSH ( ) , v PSH ( ) , và v 0 trong . Nếu : là lồi và tăng dần, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong . (iii ) Cho u, v PSH ( ) , u 0 trong , và v 0 trong . Nếu : 0, 0, là lồi và (0) 0 , thì v (u / v) PSH ( ) . n Định nghĩa 1.1.7. Một miền bị chặn được gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục : ( , 0) sao cho với c 0 c z : (z ) c .
5 1.2. Toán tử Monge-Ampère phức n Cho u là đa điều hoà dưới trên miền . Ký hiệu d và dc i( ) . Nếu u C 2( ) thì toán tử: 2 c n c c n u dd u dd u ... dd u 4 n ! det dV , z j zk n 1 j ,k n n với dV là yếu tố thể tích trong gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 ( ) trên n C0 dd cu . Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên thì tồn tại dãy um PSH ( ) C ( ) sao cho m 1 n um u và dd cum hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là: n lim dd cum d , C0 . m Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy um như trên, ta ký hiệu: (dd cu)n và gọi là toán tử Monge-Ampe của u . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe. n Mệnh đề 1.2.1. Giả sử j là dãy các độ đo Radon trên tập mở hội tụ yếu tới độ đo Radon . Khi đó i ) Nếu G là tập mở thì (G ) lim inf j (G ) . j ii ) Nếu K là tập compact thì (K ) lim sup j (K ) . j iii ) Nếu E compact tương đối trong : ( E) 0 thì (E ) lim j (E ) . j
6 Chứng minh. i ) Ta có (G ) sup (K ) : K G . Giả sử K G là tập compact. Lấy C 0(G ) , 0 1 và 1 trên K . Khi đó (K ) ( ) lim j ( ) lim inf j (G ) . j j Từ đó (G ) lim inf j (G ) . j ii ) Ta có (K ) inf (V ) : V K ,V ,V V 0 . Giả sử V là một lân cận mở của K và C 0(V ) , 0 1 và 1 trên K . Khi đó (V ) ( ) lim j ( ) lim sup j (K ) . j j Từ đó (K ) lim sup j (K ) . j iii ) Viết E IntE E . Khi đó (E ) (int E ) lim inf j (int E ) lim inf j (E ) . j j Mặt khác (E ) lim sup j (E ) lim sup j (E ) . j j Từ đó (E ) lim sup j (E ) . j Vậy (E ) lim j (E ) . j n Mệnh đề 1.2.2. Giả sử là miền bị chặn và u, v PSH ( ) Lloc ( ) sao cho u, v 0 trên và lim u(z ) 0 . Giả sử T là (n 1, n 1) dòng z dương, đóng trên . Khi đó vdd cu T udd cv T . Đặc biệt, nếu lim v(z ) 0 thì vdd cu T udd cv T . z Chứng minh. Chú ý rằng dd cu T và dd cv T là các độ đo Borel dương trên . Với 0 , đặt u max u, . Khi đó u 0 và là hàm đa điều
7 hòa dưới trên và u tăng tới 0 khi giảm về 0. Từ định lí hội tụ đơn điệu Lebesgue ta có udd cv T lim (u u )dd cv T và 0 (u u )dd cv T lim (u u) 1/ j dd cv T . 0 Do lim u (z ) 0 nên u u 0 là tập compact tương đối trong . Lấy z ' miền sao cho u u 0 . Khi đó với j đủ lớn, (u u) 1/ j C0 và do giả thiết T là (n 1, n 1) dòng dương, đóng trên nên dd cu T là (n, n) dòng dương, đóng với mọi u PSH ( ) Lloc ( ) , suy ra (u u) dd cv T 1/ j vdd c ((u u) 1/ j ) T vdd c ((u u) 1/ j ) T vdd c ((u u) 1/ j ) T ' ' \ vdd c (u 1/ j ) T vdd c ((u ) 1/ j ) T ' ' vdd c (u 1/ j ) T. ' Nhưng dd c (u 1/ j ) T dd c (u 1/ j T ) hội tụ yếu tới dd cu T . Khi đó vdd c (u 1/ j ) T hội tụ yếu tới vdd cu T . Vậy vdd cu T lim inf vdd c (u 1/ j ) T (u u )dd cv T . j ' ' ' Từ đó cho 0 suy ra vdd cu T vdd cu T . Cho ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
8 1.3. Tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dƣới Phần này trình bày một kết quả quan trọng của lí thuyết đa thế vị. Đó là chứng minh tính tựa liên tục cho lớp các hàm đa điều hòa dưới. Tính chất đó có thể được mô tả đơn giản là, nếu một hàm u đa điều hòa dưới trên miền n thì sau khi bỏ đi một tập “đủ bé” theo nghĩa của lí thuyết đa thế vị hàm u trở thành hàm liên tục trên phần còn lại. Để đi đến kết quả này, ta cần đưa ra khái niệm dung lượng tương đối của một tập Borel theo nghĩa của Bedford- Taylor. n Định nghĩa 1.3.1. Giả sử là tập mở và E là tập Borel. Dung lượng tương đối của E đối với , kí hiệu là C n (E, ) hay có thể viết là C n (E ) nếu không gặp phải sự hiểu lầm nào khác, là đại lượng cho bởi C n (E ) C n (E, ) sup{ (dd cu)n : u PSH ( ). 1 u }. E Theo bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg C n (E ) là hữu hạn nếu E . Mệnh đề sau cho một số tính chất của dung lượng tương đối. Mệnh đề 1.3.2. i ) Nếu (z 0, R) thì C n (E, ) 4n n ! R 2n n (E ) , ở đó n n (E ) là độ đo Lebesgue của E . ii ) Nếu E1 E2 1 2 thì C n E1, 2 C n E 2, 1 . iii ) C n Ej, Cn E j , . j 1 j 1 n iv ) Nếu E 1 2 thì C n (E, 1 ) c( , 1 , 2 )C n (E , 2 ), ở đó c( , 1 , ) là hằng số. v ) Nếu E j và E j E thì lim C n (E j ) C n (E ) . j 2 Chứng minh. i ) Lấy u(z ) z z 0 / R2 1 . Khi đó
9 u PSH ( ), 1 u 0 . Vậy C n (E, ) (dd cu )n . Nhưng E 2 (dd cu )n R 2n dd c z z0 n R 2n 4n n !dV . Do đó C n (E, ) 4n n ! R 2n n (E ) . ii ) Suy trực tiếp từ định nghĩa. iii ) C n ( Ej, ) sup{ (dd cu)n : 1 u 0} j 1 Ej j 1 sup{ (dd cu)n : 1 u 0} j 1 E j sup{ (dd cu)n : 1 u 0} C n (E j , ) . j 1 Ej j 1 iv ) Nếu ta phủ bằng hữu hạn các hình cầu thuộc 1 thì dùng ii ) và iii ) ta đưa bài toán về trường hợp (z 0, r ) và 1 (z 0, R1 ) . 2 Lấy u PSH ( 1), 1 u 0 và giả sử (z ) (R12 r 2) 1 z z0 R12 thì 0 trên 1 và 1 trên . Đặt max{u, } trên 1 u trên 2 \ 1 u a Theo định lí dán, ta có u PSH ( 2 ) . Đặt v a, a . Khi đó a 1 2 v PSH ( 2 ), 1 v 0 và (dd cv)n (a 1) n (dd cu)n trên . Vậy C n (E, 1 ) sup{ (dd cu )n : u PSH ( 1), 1 u 0} E
10 sup{ (a 1)n (dd cv)n : u PSH ( 1), 1 u 0} E (a 1)n sup{ (dd cv)n : v PSH ( 2 ), 1 v 0} E (a 1)nC n (E, 2 ). Do E j E nên C n (E, 2 ) . Do đó lim C n (E j ) sup (dd cu)n C n (E ) . j j ,u Ej Ta cần các kết quả sau. Mệnh đề 1.3.3. Nếu v PSH ( ) và K G thì lim C n (K {v j }, ) 0. j Chứng minh. Lấy tập mở sao cho K và giả sử u PSH ( ) , 1 u 0 . Khi đó 1 1 (dd cu)n v (dd cu)n C (K , ) v . K {v j} j K j n L1 ( ) Từ đó 1 C n (K {v j }, ) C (K , ) v j n L1 ( ) và được điều cần chứng minh. Mệnh đề 1.3.4. Giả sử {v j } PSH ( ) Lloc ( ) là dãy giảm hội tụ điểm trên tới v PSH ( ) Lloc ( ) . Khi đó với mọi K và 0 ta có lim C n (K {v j v }, ) 0. j Chứng minh. Phủ K bằng hữu hạn các hinh cầu và từ tính chất ii ) và iv ) của Mệnh đề 1.3.2 có thể coi v j v A gần , (z 0, R) ,A 0, 2 (z ) z z0 R2 . Giả sử u PHS ( ), 1 u 0 . Khi đó ta có
11 1 (n 1)! (dd cu )n n 1 (v j v )n 1(dd cu )n n 1 (v j v )(dd cv )n . K {v j v Số hạng cuối cùng dần tới 0 khi j do định lí hội tụ đơn điệu Lebesgue. Bây giờ ta chứng minh tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới. n Định lí 1.3.5. Giả sử v là hàm đa điều hòa dưới trên tập mở . Khi đó với mọi 0 tồn tại tập mở G với C n (G, ) và v liên tục trên \G . Chứng minh. Lấy tập mở bất kì . Chỉ cần chứng minh có tập mở G với C n (G, ) và v liên tục trên \G . Thật vậy, khi đó ta có thể chọn dãy { j }, j , j và các tập mở G j j sao cho C n (G j , ) và v liên 2j tục trên mỗi j \ G j . Đặt G G j . Khi đó G là tập mở và j 1 C n (G, ) C n (G j , ) . j 1 Và với mọi tập mở U ta có U \ G j \ G j với j nào đó. Vậy v liên tục trên U \ G . Do đó v liên tục trên \G . Đặt G1 {v j } , ở đây j được chọn sao cho C n (G1, ) (do Mệnh 2 đề1.3.3). Đặt v max{v, j } và giả sử {vk } là dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới liên tục xác định trên lân cận của giảm tới v . Do Mệnh đề 1.3.4 với j 2, 3,... tồn tại k ( j ) sao cho với j G {vk ( j ) v } , ta có C n (G j , ) 2 . Đặt Gj j 1 Gj . Khi đó C n (G, ) và trên \G ta có 0 vk ( j ) v . Vậy vk ( j ) v đều trên \G , do đó v liên tục trên
12 \G . Nhưng trên \G thì v j j . Vậy v v . Do đó v liên tục trên \G . Sau đây là một ứng dụng quan trọng của tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới. Đó là nguyên lí so sánh đối với hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương. 1.4. Nguyên lý so sánh n Định lý 1.4.1. Giả sử là miền bị chặn và u, v PSH ( ) L ( ) sao cho lim inf(u(z ) v(z )) 0 . Khi đó z (dd cv )n (dd cu )n . (1.1) u v u v Chứng minh. Trước tiên, theo giả thiết có lim inf(u(z ) v(z )) 0 . Điều này z có nghĩa là với mọi 0 tồn tại K sao cho z \ K thì u(z ) v(z ) . Hơn nữa khi thay u bởi u , >0 , thì u v u v khi 0 . Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng trên u v thì cho 0 suy ra (1.1) đúng trên u v . Vì vậy có thể giả sử lim infz (u(z ) v(z )) 0 . Vậy u v . a ) Giả sử u, v là các hàm liên tục. Khi đó u v là tập mở, u, v liên tục trên và u v trên . Với 0 , đặt u max u ,v . Từ giả thiết lim inf(u(z ) v(z )) suy ra u(z ) v(z ) hay z u(z ) v(z ) v(z ) với z gần biên . Vậy u u(z ) gần biên và u v trên . Theo công thức Stokes ta có (dd cu )n (dd cu)n hay (dd cu )n (dd cu )n . u v u v
13 Vì u v nên (dd cu )n (dd cv)n . Vậy (dd cv )n lim inf (dd cu )n (dd cu)n . 0 u v u v u v b ) Giả sử u, v tùy ý và là miền sao cho u v /2 . Tồn tại hai dãy u j và vk các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của giảm tới u và v sao cho u j vk trên với mọi i, k . Có thể coi 1 u j , vk 0 . Lấy 0 và giả sử G là tập mở sao cho C n G, , u, v là các hàm liên tục trên \G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên sao cho v trên F \ G . Ta có (dd cv)n lim (dd cv)n . j u v uj v Nhưng u j v uj G và vì u j là tập mở nên (dd cv )n (dd cv )n (dd cv )n lim (dd cvk )n , k uj v uj G uj v vì C n G, và (dd cvk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n . Từ uj uj v G và u j v uj vk suy ra (dd cvk )n (dd cvk )n (dd cvk )n (dd cvk )n . uj uj v G u j vk Áp dụng a ) vào các hàm liên tục u j và vk ta thu được (dd cvk )n (dd cu j )n . u j vk u j vk Do đó (dd cv)n lim inf lim inf (dd cu j )n 2 j k u v uj vj
14 lim sup (dd cu j )n 2 . j uj v Hơn nữa (dd cu j )n (dd cu j )n uj v uj v F và do u v F là tập compact và u j v u v nên ta có lim sup (dd cu j )n (dd cu )n (dd cu )n . j uj v F u v F u v Do 0 tùy ý nên ta được (dd cv )n (dd cu )n . u v u v Từ đó với mọi 0 ta có (dd cv )n (dd c (u ))n (dd cu)n . u v u v u v Nhưng u v u v và u v u v khi 0 . Do đó (dd cv )n (dd cu )n . u v u v n Hệ quả 1.4.2. Giả sử là miền bị chặn và u, v PSH ( ) L ( ) sao cho u v và lim u(z ) lim v(z ) 0 . Khi đó z z (dd cv )n (dd cu )n . ( ) ( ) n Hệ quả 1.4.3. Giả sử là miền bị chặn và u, v PSH ( ) L ( ) sao cho lim inf(u(z ) v(z )) 0 . Giả sử (dd cu)n (dd cv)n trên . Khi đó u v z trên .
15 1.5. Các lớp năng lƣợng Cegrell Định nghĩa 1.5.1 0 ( ) PSH ( ) L ( ) : lim (z ) 0, (dd c )n . z Định nghĩa 1.5.2 ( ) PSH ( ) : { j } 0 ( ), j , sup (dd c j )n . j a ( ) u ( ) : (dd cu)n triệt tiêu trên các tập đa cực của .