ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
DƢƠNG HUYỀN NHUNG
SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
DƢƠNG HUYỀN NHUNG SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG
THÁI NGUYÊN – 2016
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ
công trình nào.
Tác giả
Dương Huyền Nhung
ii
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán,
các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán
học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Chuyên Tỉnh Cao Bằng cùng các
đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và
hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên
để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2016
Tác giả
iii
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................ iii
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 1
3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 2
4. Bố cục của luận văn ......................................................................................... 2
Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................... 3
1.1. Hàm đa điều hoà dưới ................................................................................... 3
1.2. Toán tử Monge-Ampère phức ...................................................................... 5
1.3. Tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới ................................................. 8
1.4. Nguyên lý so sánh ....................................................................................... 12
1.5. Các lớp năng lượng Cegrell ........................................................................ 15
Chƣơng 2: SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG ............................................... 16
2.1. Sự hội tụ đối với các hàm đa điều hoà dưới bị chặn .................................. 16
2.2. Sự hội tụ trong lớp ............................................................................... 31
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 45
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khái niệm dung lượng đã được Bedford và Taylor giới thiệu năm 1982
trong [3]. Nó đóng vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết đa thế vị, là công
cụ rất hiệu quả trong việc nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới và toán tử
Monge-Ampère phức. Một trong những hướng nghiên cứu của lý thuyết đa thế
vị được nhiều người quan tâm hiện nay là tìm mối quan hệ giữa sự hội tụ theo
dung lượng của hàm đa điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo Monge-
Ampère phức tương ứng. Nghiên cứu kiểu hội tụ của độ đo Monge-Ampère
phức và sự hội tụ theo dung lượng của các hàm. Mối quan hệ giữa sự hội tụ
yếu của các độ đo Monge-Ampère phức với sự hội tụ theo dung lượng
của các hàm. Vì thế theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: “Sự hội
tụ theo dung lượng”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu về sự hội tụ theo dung lượng
của hàm đa điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo Monge-Ampère phức
tương ứng; mối quan hệ giữa sự hội tụ của độ đo Monge-Ampère phức và sự
hội tụ theo dung lượng cũng như dung lượng của các hàm. Nghiên
cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình Monge-Ampère.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
+ Nghiên cứu mối quan hệ giữa sự hội tụ theo dung lượng của hàm đa
điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo Monge-Ampère phức tương ứng.
2
+ Nghiên cứu mối quan hệ giữa sự hội tụ của độ đo Monge-Ampère phức
và sự hội tụ theo dung lượng cũng như dung lượng của các hàm.
+ Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình Monge-Ampère.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với phương pháp
của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 45 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kiến thức cơ sở của lý
thuyết đa thế vị cần thiết được sử dụng trong chương 2.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quả
nghiên cứu gần đây của Y. Xing về mối quan hệ giữa sự hội tụ theo dung lượng
của hàm đa điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo Monge-Ampère phức
tương ứng, một số dạng khác nhau của định lý về tính ổn định đối với nghiệm
của phương trình Monge-Ampère phức. Phần cuối của chương này chúng tôi
trình bày lại các kết quả của Xing đối với các lớp kiểu Cegrell các hàm
đa điều hòa dưới không bị chặn.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
3
Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hoà dƣới
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian tôpô, hàm
được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi tập hợp
là mở trong X.
Định nghĩa 1.1.2. Cho là một tập con mở của và là
một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên
thông nào của . Hàm được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi và
, hàm là điều hoà dưới hoặc trùng trên mỗi thành
phần của tập hợp . Trong trường hợp này, ta viết
. (ở đây kí hiệu là lớp hàm đa điều hoà dưới trong ).
Mệnh đề 1.1.3. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền
và
bị chặn, tức là nếu là một tập con mở liên thông bị chặn của
, thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi ,
.
Định nghĩa 1.1.4. Tập hợp được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm
đều có một lân cận của và một hàm sao cho
.
4
Định lý 1.1.5. Cho là một tập con mở trong . Khi đó
Họ là nón lồi, tức là nếu là các số không âm và
, thì .
Nếu là liên thông và là dãy giảm, thì
hoặc .
Nếu , và nếu hội tụ đều tới trên các
tập con compact của , thì .
Giả sử sao cho bao trên của nó là bị
chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên là đa điều
hoà dưới trong .
Định lý 1.1.6. Cho là một tập con mở của .
Cho là các hàm đa điều hoà dưới trong và . Nếu
là lồi, thì là đa điều hoà dưới trong .
Cho , , và trong . Nếu là
lồi và tăng dần, thì là đa điều hoà dưới trong .
Cho , trong , và trong . Nếu
là lồi và , thì .
Định nghĩa 1.1.7. Một miền bị chặn được gọi là miền siêu lồi nếu tồn
tại một hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục sao cho với
.
5
1.2. Toán tử Monge-Ampère phức
Cho là đa điều hoà dưới trên miền . Ký hiệu và
. Nếu thì toán tử:
,
với là yếu tố thể tích trong gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này
có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian các hàm liên tục với giá compact trên
.
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu là đa điều hoà dưới bị chặn
địa phương trên thì tồn tại dãy sao cho
và hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là:
.
Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy như trên, ta ký hiệu:
và gọi là toán tử Monge-Ampe của .
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe.
Mệnh đề 1.2.1. Giả sử là dãy các độ đo Radon trên tập mở hội
tụ yếu tới độ đo Radon . Khi đó
Nếu là tập mở thì .
Nếu là tập compact thì .
Nếu compact tương đối trong : thì .
6
Chứng minh. Ta có . Giả sử là tập
compact. Lấy , và trên . Khi đó
.
Từ đó .
. Giả sử là một lân Ta có
cận mở của và , và trên . Khi đó
.
Từ đó .
Viết . Khi đó
.
Mặt khác .
Từ đó .
Vậy .
Mệnh đề 1.2.2. Giả sử là miền bị chặn và
sao cho trên và . Giả sử là dòng
dương, đóng trên . Khi đó
.
Đặc biệt, nếu thì .
Chứng minh. Chú ý rằng và là các độ đo Borel dương
trên . Với , đặt . Khi đó và là hàm đa điều
7
hòa dưới trên và tăng tới 0 khi giảm về 0. Từ định lí hội tụ đơn điệu
Lebesgue ta có
và
.
Do nên là tập compact tương đối trong . Lấy
miền sao cho . Khi đó với đủ lớn,
và do giả thiết là dòng dương,
đóng trên nên là dòng dương, đóng với mọi
, suy ra
.
Nhưng hội tụ yếu tới . Khi đó
hội tụ yếu tới . Vậy
.
Từ đó cho suy ra . Cho ta được
bất đẳng thức cần chứng minh.
8
1.3. Tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dƣới
Phần này trình bày một kết quả quan trọng của lí thuyết đa thế vị. Đó là
chứng minh tính tựa liên tục cho lớp các hàm đa điều hòa dưới. Tính chất đó có
thể được mô tả đơn giản là, nếu một hàm đa điều hòa dưới trên miền
thì sau khi bỏ đi một tập “đủ bé” theo nghĩa của lí thuyết đa thế vị hàm
trở thành hàm liên tục trên phần còn lại. Để đi đến kết quả này, ta cần đưa ra
khái niệm dung lượng tương đối của một tập Borel theo nghĩa của Bedford-
Taylor.
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử là tập mở và là tập Borel. Dung
lượng tương đối của đối với , kí hiệu là hay có thể viết là
nếu không gặp phải sự hiểu lầm nào khác, là đại lượng cho bởi
.
Theo bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg là hữu hạn nếu .
Mệnh đề sau cho một số tính chất của dung lượng tương đối.
Mệnh đề 1.3.2. Nếu , ở đó thì
là độ đo Lebesgue của .
thì . Nếu
.
Nếu , ở thì
đó là hằng số.
Nếu và thì .
Chứng minh. Lấy . Khi đó
9
. Vậy . Nhưng
.
Do đó
.
Suy trực tiếp từ định nghĩa.
.
Nếu ta phủ bằng hữu hạn các hình cầu thuộc thì dùng và ta
đưa bài toán về trường hợp và .
Lấy và giả sử
thì trên và trên . Đặt
Theo định lí dán, ta có . Đặt . Khi đó
và trên .
Vậy
10
.
Do nên . Do đó
.
Ta cần các kết quả sau.
Mệnh đề 1.3.3. Nếu và thì
.
Chứng minh. Lấy tập mở sao cho và giả sử ,
. Khi đó
.
Từ đó
và được điều cần chứng minh.
Mệnh đề 1.3.4. Giả sử là dãy giảm hội tụ điểm trên
tới . Khi đó với mọi và ta có
.
Chứng minh. Phủ K bằng hữu hạn các hinh cầu và từ tính chất và của
Mệnh đề 1.3.2 có thể coi gần , ,
. Giả sử . Khi đó ta có
11
.
Số hạng cuối cùng dần tới 0 khi do định lí hội tụ đơn điệu Lebesgue.
Bây giờ ta chứng minh tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới.
Định lí 1.3.5. Giả sử là hàm đa điều hòa dưới trên tập mở . Khi đó
với mọi tồn tại tập mở với và liên tục trên
.
Chứng minh. Lấy tập mở bất kì . Chỉ cần chứng minh có tập mở
với và liên tục trên . Thật vậy, khi đó ta có thể chọn dãy
và các tập mở sao cho và liên
tục trên mỗi . Đặt . Khi đó là tập mở và
.
Và với mọi tập mở ta có với nào đó. Vậy liên
tục trên . Do đó liên tục trên .
Đặt , ở đây được chọn sao cho (do Mệnh
đề1.3.3). Đặt và giả sử là dãy giảm các hàm đa điều hòa
dưới liên tục xác định trên lân cận của giảm tới . Do Mệnh đề 1.3.4 với
tồn tại sao cho với
, ta có .
Đặt . Khi đó và trên ta có
. Vậy đều trên , do đó liên tục trên
12
. Nhưng trên thì . Vậy . Do đó liên tục trên
.
Sau đây là một ứng dụng quan trọng của tính tựa liên tục của hàm đa
điều hòa dưới. Đó là nguyên lí so sánh đối với hàm đa điều hòa dưới bị chặn
địa phương.
1.4. Nguyên lý so sánh
Định lý 1.4.1. Giả sử là miền bị chặn và sao
cho . Khi đó
. (1.1)
Chứng minh. Trước tiên, theo giả thiết có . Điều này
có nghĩa là với mọi tồn tại sao cho thì
. Hơn nữa khi thay bởi , thì
khi . Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng trên
thì cho suy ra (1.1) đúng trên . Vì vậy có thể giả
sử . Vậy .
Giả sử là các hàm liên tục. Khi đó là tập mở, liên
tục trên và trên . Với , đặt .
Từ giả thiết suy ra hay
với gần biên .
Vậy gần biên và trên . Theo công thức Stokes
ta có hay .
13
Vì nên . Vậy
.
Giả sử tùy ý và là miền sao cho . Tồn tại
hai dãy và các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của giảm tới
và sao cho trên với mọi . Có thể coi . Lấy
và giả sử là tập mở sao cho , là các hàm
liên tục trên . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên sao cho
trên . Ta có
.
và vì là tập mở nên Nhưng
,
vì và hội tụ yếu tới .
Từ và suy ra
.
Áp dụng vào các hàm liên tục và ta thu được
.
Do đó
14
.
Hơn nữa
và do là tập compact và nên ta có
.
Do tùy ý nên ta được
.
Từ đó với mọi ta có
.
Nhưng
và
khi . Do đó
.
Hệ quả 1.4.2. Giả sử là miền bị chặn và sao
cho và . Khi đó
.
Hệ quả 1.4.3. Giả sử là miền bị chặn và sao
. Giả sử trên . Khi đó cho
trên .
15
1.5. Các lớp năng lƣợng Cegrell
Định nghĩa 1.5.1
.
Định nghĩa 1.5.2
. ,
triệt tiêu trên các tập đa cực của .
16
Chƣơng 2
SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG
2.1. Sự hội tụ đối với các hàm đa điều hoà dƣới bị chặn
Trong phần này chúng tôi trình bày việc nghiên cứu dãy các hàm đa điều
hòa dưới bị chặn đều địa phương trong . Trước tiên là định lý hội tụ. Tiếp
theo là mối quan hệ giữa sự hội tụ yếu của các độ đo Monge-Ampère và sự hội
tụ theo dung lượng. Cuối cùng là một số dạng khác nhau của định lý về tính ổn
định đối với nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức. Các kết quả trong
chương này được viết dựa theo bài báo [12].
Định nghĩa 2.1.1. Cho là tập Borel, là một miền. Dung lượng
của đối với được xác định bởi
.
Xing đưa ra khái niệm dung lượng của tập Borel như sau:
Định nghĩa 2.1.2. dung lượng của tập con được xác định bởi
,
trong đó
.
Định lý hội tụ sau đây thuộc về Xing (xem[10]).
Định lý 2.1.3. [10] Cho và là các hàm đa điều hòa
bị chặn đều trong . Nếu theo dung lượng trên mỗi thì
yếu trong .
17
Định lý 2.1.3 sẽ được sử dụng trong một số chứng minh của chương này.
Chúng ta sẽ chứng minh một phiên bản mạnh hơn của Định lý 2.1.3 theo nghĩa
dung lượng. Sử dụng dung lượng ta có định lý sau đây.
Định lý 2.1.4. Cho là một miền giả lồi bị chặn và . Giả sử
là một dãy các hàm bị chặn đều địa phương trong
sao cho
yếu trong ;
đều với mọi ;
yếu trong .
Khi đó theo dung lượng trên mỗi .
Ta đã có một ví dụ chỉ ra rằng với giả thiết của Định lý 2.1.4, không thể
đòi hỏi có được sự hội tụ theo dung lượng của đến . Ta cần có thêm
một số điều kiện mạnh hơn so với sự hội tụ yếu của độ đo Monge-Ampère để
đảm bảo sự hội tụ theo dung lượng của các hàm. Ta có một vài kết quả
theo hướng này. Các kết quả đó giúp ta tìm nghiệm của các phương trình
Monge-Ampère và hơn nữa là xử lý tính ổn định của nghiệm. Gần đây, Cegrell
và Kolodziej đã chứng minh định lý ổn định sau.
Định lý 2.1.5 ([9]) Cho là một miền giả lồi chặt. Giả sử đối
với nào đó với đối với và
, và giả sử là hàm đo được với sao cho độ
đo hội tụ yếu tới . Với một hàm số liên tục trong , ký hiệu là
nghiệm duy nhất của bài toán Dirichlet
18
Khi đó : và trong trên .
Định lý ổn định đã được chứng minh lần đầu tiên trong một trường hợp
đặc biệt khi trơn, liên tục và có giá compact. Sau đây là kết quả tổng
quát hơn về tính ổn định.
Hệ quả 2.1.6. Cho là một miền bị chặn. Giả sử là một dãy các hàm bị
chặn đều địa phương trong sao cho
đều với mọi và ;
hội tụ yếu tới độ đo dương trong ;
tồn tại một độ đo dương triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực trong
sao cho trong với mọi .
Khi đó sao cho và theo
trên .
Hơn nữa, nếu bỏ qua giả thiết rằng tất cả độ đo Monge-Ampère bị trội bởi
một độ đo cố định nào đó triệt tiêu trên tất cả các tập con đa cực, ta có
Hệ quả 2.1.7. Cho là miền bị chặn. Giả sử là một dãy hàm bị chặn đều
địa phương trong sao cho
đều với mọi và ;
Tồn tại một độ đo dương trong sao cho hội tụ yếu tới
trong , đều đối với mọi với .
sao cho theo và Khi đó
trên .
19
Định nghĩa 2.1.8. Dãy các hàm được gọi là hội tụ tới hàm theo
dung lượng trên tập nếu với mỗi hằng số ta có
.
Chúng ta bắt đầu với định lý về sự hội tụ
Định lý 2.1.9. Giả sử và là các hàm đa điều hòa dưới bị
chặn đều địa phương trong . Khi đó với mỗi tập các hàm đa điều hòa bị
chặn đều địa phương trong , các khẳng định sau đây xảy ra:
Nếu theo dung lượng trên mỗi thì hội tụ
yếu tới với mỗi trong .
Nếu theo trên mỗi thì hội tụ yếu tới
trong đều với mọi , có nghĩa là với mỗi giá trị cho trước của
ta có đều với mọi .
Nếu trong trên mỗi và hội tụ yếu tới ,
thì hội tụ yếu tới trong .
Chứng minh. Khẳng định là hệ quả trực tiếp từ Định lý 2.1.3 và tính tựa liên
tục của hàm đa điều hòa dưới , xem [3].
Để chứng minh , theo Định lý 2.1.3 ta có yếu trong
, do đó ta có thể giả sử . Mặt khác, với mỗi
giá trị cho trước , bằng cách thay đổi giá trị của các hàm gần biên
, ta cũng giả sử rằng tất cả trùng với trong đối với một tập con
nào đó mà . Từ đó với mỗi tùy ý và mọi , tích
phân từng phần ta được
20
.
Cho , lấy một hằng số đủ lớn sao cho
,
ở đó . Với cả hai và ta có
,
ở đó tất cả ở phía bên phải đều tác động lên các hàm đa đa điều hòa dưới bị
chặn trong . Vì vậy tồn tại một hằng số phụ thuộc vào và sao cho
và
khi . Điều này kéo theo
khi đều trong .
Cuối cùng, để chứng minh ta viết
,
21
ở đó là các hàm đa điều hòa dưới trơn giảm dần đến . Với số hạng thứ 2
ở phía bên phải của đẳng thức cuối cùng hội tụ yếu đến khi đều với
mọi . Khi đó, với cố định đủ lớn, cả hai số hạng thứ nhất và thứ 3 hội tụ yếu
đến khi . Như vậy được chứng minh và việc chứng minh định lý
2.1.9 được hoàn tất.
Hệ quả 2.1.10. Giả sử độ đo dương hữu hạn địa phương triệt tiêu trên tất
cả các tập đa cực trong và là khả tích địa phương đối với
. Nếu hội tụ yếu tới hàm đa điều hòa dưới và
trong với mọi thì khi trên mọi .
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng tất cả và
trong . Vì triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực nên điều đó đủ để chứng
minh rằng khi với mọi .
Cho ta viết
ở đó, số hạng thứ nhất và thứ 3 phía tay phải bị trội bởi
,
nó tiến tới 0 khi . Mặt khác, theo Định lý 6.3 trong [6] tồn tại một hàm
đa điều hòa dưới bị chặn và một hàm khả tích không âm trong đối với
22
độ đo sao cho , trong đó là hàm đặc trưng
của . Do đó với tùy ý tồn tại sao cho:
.
Khi đó, lấy sao cho . Từ đó ta có
,
trong đó theo Định lý 2.1.9 tích phân cuối cùng tiến đến 0 khi và do đó
ta hoàn thành việc chứng minh Hệ quả 2.1.10.
Nhắc lại rằng đều với mọi có nghĩa là với một
hằng số bất kỳ, tồn tại sao cho xảy ra với
tùy ý và mọi .
Trước khi phát biểu và chứng minh Định lý 2.1.13 ta cần 2 bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.11.([10]) Nếu thỏa mãn
thì với mọi hàm bị chặn và với các hằng số
tùy ý, ta có bất đẳng thức
23
Bổ đề 2.1.12 Nếu , thì
như là các độ đo trên tập
Định lý 2.1.13 Giả sử là một miền giả lồi bị chặn, và là
dãy các hàm bị chặn đều địa phương trong sao cho
yếu trong ;
đều với mọi ;
yếu trong .
Khi đó theo trên mỗi .
Chứng minh. Giả sử . Đặt . Với tùy ý và
với theo định nghĩa của ta có
.
Vì trong , nên theo Bổ đề Hartog và tính tựa liên tục của
các hàm đa điều hòa dưới ([3]) ta có
24
.
Mặt khác, từ Bổ đề 2.1.11 suy ra
Lặp lại lập luận này lần ta được vế phải trong bất đẳng thức cuối
cùng không vượt quá
.
Vì đều với mọi , nên tồn tại một miền giả lồi chặt với
một hàm xác định sao cho
với mọi .
25
Lấy một hằng số đủ lớn sao cho
trên với mọi .
Khi đó với mỗi bất kỳ , chọn một miền con sao cho tất cả các tập
và
.
Đặt . Lấy một hàm với trên và
lấy một hằng số sao cho và
với mọi . Vì trong và bị chặn đều địa phương trong ,
nên theo Bổ đề Hartog với mọi đủ lớn ta nhận được tích phân cuối cùng bằng
26
khi và khi đó , trong đó đẳng thức ở gần cuối suy ra từ bất đẳng
thức và đẳng thức cuối cùng
suy ra từ Bổ đề 2.1.12. Như vậy ta được theo trên mỗi
và Định lý được chứng minh.
Với các giả thiết của Định lý 2.1.13 ta không thể hy vọng vào kết quả hội
tụ mạnh hơn theo trên mỗi . Ví dụ, theo [5] tồn tại các hàm
đa điều hòa dưới bị chặn đều trong sao cho yếu và
trong . Bằng cách thay đổi các giá trị của hàm ở gần biên
, ta có thể giả sử mọi đều trùng nhau bên ngoài tập con compac trong .
Từ đó dãy thỏa mãn các giả thiết trong Định lý 2.1.13, nhưng
trong trên mọi vì và Định lý 2.1.3. Do vậy, ta
cần một vài điều kiện mạnh hơn sự hội tụ yếu của các độ đo Monge-Ampere
để chắc chắn về sự hội tụ theo của các hàm đó. Để có kết quả tiếp theo, ta
cần phiên bản mạnh hơn của định lý so sánh. Đó là bổ đề sau đây
Bổ đề 2.1.14. [10] Giả sử thỏa mãn
. Khi đó với tùy ý và mọi với
ta có
.
Hơn nữa, nếu trong thì trong .
27
Định lý 2.1.15. Giả sử và là một dãy các hàm bị chặn đều
địa phương trong sao cho
yếu trong ;
đều với mọi ;
Tồn tại một độ đo dương sao cho hội tụ yếu tới
trong đều với mọi với .
Khi đó theo trên mỗi . Từ đó, nếu
đều với mọi thì theo trên .
Chứng minh. Giả sử . Lấy và với ta có
Từ Bổ đề Hartog và tính tựa liên tục của các hàm đa điều hòa dưới ([3]) suy ra
rằng . Theo ii) và Bổ đề 2.1.14 ta có
Cho , lấy các miền con sao cho trong
và với mọi . Một lần nữa từ tính tựa liên tục của các hàm
đa điều hòa dưới và Bổ đề Hartog suy ra tồn tại và với
sao cho với mọi . Chọn
28
với . Vì tất cả bị chặn đều trong ,
nên với tích phân cuối cùng không vượt quá
,
trong đó theo iii) và Hệ quả 2.1.10 hai tích phân cuối cùng tiến tới khi
Do đó ta chứng minh được theo trên mỗi . Khi
đó theo Định lý 2.1.3 ta nhận được và Định lý được chứng minh.
Ta viết nếu với bất kỳ, tồn tại
sao cho . Như là một hệ quả của Định lý 2.1.15 ta có
định lý ổn định nghiệm của các phương trình Monge-Ampère sau đây:
là dãy các hàm bị chặn đều địa Hệ quả 2.1.16. Giả sử
phương thỏa mãn:
đều với mọi ;
Tồn tại một độ đo dương trong sao cho hội tụ yếu tới
trong đều với mọi với .
Khi đó tồn tại sao cho và theo
trên
Chứng minh. Chỉ cần chứng minh rằng tồn tại sao cho từ
dãy con bất kỳ của dãy đã cho ta có thể trích ra dãy con của nó hội
tụ tới theo trên . Chọn từ dãy con tùy ý sao cho nó hội tụ yếu đến
một hàm đa điều hòa dưới trong . Khi đó từ Định lý 2.1.15 suy ra
29
theo trên và theo Định lý 2.1.3 ta có . Theo Bổ đề
2.1.14 hàm là duy nhất. Điều này hoàn tất việc chứng minh.
Định lý 2.1.17. Giả sử là dãy các hàm bị chặn đều địa
phương thỏa mãn
hội tụ yếu đến một hàm đa điều hòa dưới trong ;
đều với mọi ;
hội tụ yếu tới một độ đo dương ;
Tồn tại một độ đo dương triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực trong
sao cho trong với mọi .
Khi đó và theo trên mỗi .
Chứng minh. Cho và , tương tự với việc chứng minh Định lý
2.1.15 ta có với bất kỳ, tồn tại sao cho bất đẳng thức
xảy ra với mọi đủ lớn. Theo Hệ quả 2.1.10 tích phân cuối cùng tiến đến
khi . Do đó theo trên và việc chứng minh hoàn tất.
Như một hệ quả trực tiếp từ Định lý 2.1.17 ta có
Hệ quả 2.1.18. Giả sử là một dãy các hàm bị chặn đều
địa phương sao cho
đều với mọi ;
hội tụ yếu tới một độ đo dương trong ;
Tồn tại một độ đo dương triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực trong
sao cho trong với mọi .
Khi đó tồn tại sao cho và theo
dung lượng trên
30
Định lý 2.1.19. Giả sử dãy các hàm bị chặn đều địa
phương thỏa mãn
hội tụ yếu với một hàm đa điều hòa dưới trong ;
đều với mọi ;
hội tụ yếu tới một độ đo dương ;
Nếu tồn tại các hàm đa điều hòa dưới bị chặn đều địa phương trong sao
cho với mọi trong và hội tụ tới một hàm đa điều
hòa dưới nào đó theo trên mỗi , thì và
theo trên mỗi . Do đó, nếu đều với mọi thì
theo trên .
Ta bỏ qua việc chứng minh Định lý 2.1.19 vì nó hoàn toàn tương tự với
việc chứng minh Định lý 2.1.15. Như là một áp dụng, chúng tôi trình bày một
chứng minh cho kết quả đã biết của Kolodziej.
Hệ quả 2.1.20. Cho là miền giả lồi chặt. Giả sử thỏa
mãn với . Khi đó với một độ đo dương tùy
ý tồn tại sao cho và với
.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng . Lấy
một dãy giảm dần các hàm đa điều hoà dưới trơn trong sao cho
trong và . Theo Định lý Lebesgue-Randon-Nikodym ta có
, trong đó và khả tích đối với độ đo . Lấy
với sao cho , và khi đó lấy một
dãy con của dãy sao cho
31
với mọi
(dãy con này tồn tại vì hội tụ yếu tới trong ). Theo [2] tồn
tại sao cho
.
Từ định lý so sánh ta suy ra . Vì ta có thể trích lấy
một dãy con của sao cho nó hội tụ yếu tới một hàm đa điều hòa dưới
nào đó, nên theo Định lý 2.1.19 ta nhận được và .
Hệ quả được chứng minh.
2.2. Sự hội tụ trong lớp
Trong phần này chúng tôi trình bày các kết quả của Y. Xing đối với các
lớp kiểu Cegrell các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn, trên đó toán
tử Monge-Ampère được xác định, ở đó là miền siêu lồi.
Đối với các hàm trong , Cegrell đã chứng minh
Định lý 2.2.1. [7] Giả sử và . Nếu
theo trên mỗi thì yếu trong .
Với các giả thiết trong Định lý 2.2.1 chúng ta chứng minh rằng với mỗi
cố định các dòng hội tụ yếu tới trong
. Hơn nữa, trong trường hợp ta có sự hội tụ mạnh hơn của các
độ đo Monge-Ampère theo nghĩa sau đây
32
Định lý 2.2.2. Giả sử và thoả mãn
trong . Nếu theo trên mỗi thì hội tụ yếu tới
trong đều đối với tất cả các hàm đa điều hòa dưới với
.
Ta cũng chỉ ra rằng giả thiết về sự hội tụ theo dung lượng của Định lý
2.2.2 là rất chính xác bằng việc đưa ra một kết quả đảo ngược, mà kết quả đó là
sự khái quát hoá của Hệ quả 2.1.7 đối với các hàm trong .
Trước tiên chúng ta sẽ chứng minh định lý xấp xỉ đối với toán tử Monge-
Ampère trên lớp . Sau đó là định lý đảo, đó là tổng quát hóa các Định lý
2.1.13 và Định lý 2.1.15 cho các hàm trong lớp .
Trong suốt phần này ta luôn giả sử là một miền siêu lồi trong .
Định nghĩa 2.2.3. Dãy các độ đo dương được gọi là liên tục tuyệt đối đều
đối với dung lượng trong nếu với tùy ý, tồn tại sao cho
với mọi tập con Borell với bất đẳng thức xảy
ra với mọi .
Ta bắt đầu với một vài bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.4. Với và tuỳ ý các độ đo
liên tục tuyệt đối đều đối với dung lượng trong với mọi .
Chứng minh. Ta biểu diễn . Vì là nửa liên
tục trên và hội tụ yếu tới trong khi
, nên ta có
33
Mặt khác, lấy tích phân từng phần ta được
Do đó ta có
Do vậy, với bất kỳ theo Bổ đề 2.1.12 ta có
.
Do đó với bất kỳ , tồn tại và sao cho với mọi và
bất kỳ ta có
.
Từ bất đẳng thức
,
34
suy ra độ đo liên tục tuyệt đối đối với dung lượng trong , và
cùng với
ta nhận được là đủ bé khi đủ bé. Vì với mỗi độ
đo liên tục tuyệt đối đối với dung lượng, nên
ta chứng minh được rằng liên tục tuyệt đối đều
đối với dung lượng trong với mọi . Bổ đề được chứng minh.
Bây giờ ta chứng minh tổng quát hoá của Bổ đề 2.1.11 cho các hàm thuộc
lớp .
Bổ đề 2.2.5. Nếu và , thì ta có
.
Chứng minh. Đặt ,
và . Tương tự chứng minh của Bổ đề 2.1.11
ta có
.
Cho và theo Bổ đề Fatou ta nhận được
.
35
Theo Bổ đề 2.2.4 và tính tựa liên tục của các hàm đa điều hòa dưới, ta có thể
giả sử mà không mất đi tính tổng quát rằng là mở và là
đóng. Do đó, cho và do sự hội tụ yếu của dòng, nên ta có bất
đẳng thức
.
Áp dụng bất đẳng thức cuối cùng cho thay cho và khi đó cho
ta nhận được bất đẳng thức theo yêu cầu. Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.2.6. Các khẳng định sau xảy ra
Nếu thì các độ đo liên tục tuyệt đối đều
đối với dung lượng trong với mọi với và với
mọi với .
Nếu thì với mỗi cố định các độ đo
liên tục tuyệt đối đều đối với dung lượng trong
với mọi với .
Chứng minh. Để chứng minh a), từ suy ra . Kết quả là
tầm thường khi bị chặn. Nếu không thì với tuỳ ý và ta có
.
Mặt khác ta có đánh giá đối với tích phân cuối cùng
36
.
Từ Bổ đề 2.2.5 suy ra
.
Tiếp tục theo cách tương tự thêm lần ta nhận được tích phân cuối cùng bị
trội bởi
khi ,
vì . Do đó a) được chứng minh.
Để chứng minh b), dùng phương pháp tương tự như chứng minh a) với
tuỳ ý và ta nhận được bất đẳng thức
Vì nên suy ra độ đo liên tục tuyệt đối đối với
dung lượng trong và do đó tích phân cuối cùng tiến dần tới 0 khi
và b) được chứng minh. Bổ để được chứng minh hoàn toàn.
Định lý 2.2.7. Cho là một họ các hàm đa điều hòa dưới bị chặn đều địa
phương trong . Giả sử và các hàm thỏa mãn
37
. Nếu theo trên mỗi thì hội tụ yếu
tới trong đều với mọi . Hơn nữa, nếu hội tụ yếu tới
, thì hội tụ yếu tới trong .
Chứng minh. Ta có thể giả sử . Với bất kỳ ta viết
.
Từ Định lý 2.1.9 suy ra với mỗi xác định, các dòng hội tụ
yếu tới 0 trong đều với mọi . Mặt khác, với và
tuỳ ý ta viết và khi đó, theo chứng minh của
Định lý 2.1.9, dòng có thể được viết như là tổng của hữu hạn số hạng
có dạng trong đó là các hàm đa điều hòa dưới bị chặn đều địa
phương chỉ phụ thuộc vào . Do đó tồn tại một họ các hàm đa điều
hòa dưới bị chặn đều địa phương trong sao cho dòng bị trội bởi
với nào đó trong . Vì thế, lấy tích phân từng phần ta được
38
khi , đều với mọi theo Bổ đề 2.2.6 a). Tương tự, hội tụ
yếu với 0, đều với mọi . Do đó ta đã chứng minh được rằng
hội tụ yếu tới trong đều với mọi . Khẳng định thứ 2 suy ra
từ khẳng định thứ nhất, và Định lý được chứng minh.
Sử dụng chứng minh của Định lý 2.2.7 và dùng b) thay cho a) trong Bổ đề
2.2.6 ta có định lý sau đây là một phiên bản mạnh hơn Định lý 2.2.1, kết quả
thuộc về Cegrell [7]:
Định lý 2.2.8. Giả sử và thỏa mãn .
Nếu theo trên mỗi thì với mỗi cố định
ta có yếu trong .
Định nghĩa 2.2.9.
,
ở đó và thoả mãn với mọi .
triệt tiêu trên các tập đa cực của .
Rõ ràng, và . Ta cần bổ đề sau :
Bổ đề 2.2.10. Giả sử : và
với mọi . Khi đó nếu với thì
và . Hơn nữa, các độ đo liên tục tuyệt
đối đối với dung lượng trong đều với mọi với .
39
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử . Theo
định nghĩa của tồn tại sao cho trong .
Lấy một dãy sao cho và đặt . Khi
đó trong và mỗi trong . Ta sẽ buộc cho
với mỗi .
Nếu khẳng định này là đúng thì với bất kỳ, ta có
.
Theo Định lý 2.1 trong [8] ta có
với âm tuỳ ý và với .
Cho , vì yếu trong và là nửa liên tục
với âm bất kỳ trên, nên ta có
và do đó
.
Đặc biệt với , , ta có
40
, vì triệt tiêu trên . Điều này kéo theo khi
và các độ đo liên tục tuyệt đối đối với dung lượng
trong , đều với mọi với .
Vấn đề còn lại là phải chứng minh với mỗi .
Cho , vì với nên tồn tại một tập con đóng
sao cho với mọi
. Do đó theo định lý so sánh ta có
với mọi . Cho ta nhận được
.
Khi đó, cho , ta được
.
Lấy với . Dùng thay cho trong chứng minh
cuối cùng và vì ta nhận được . Bổ đề
được chứng minh.
Định lý 2.2.11. Giả sử : và
với mọi , sao cho trong yếu
trong . Khi đó các khẳng định sau xảy ra
41
Nếu hội tụ yếu tới trong , đều với mọi
với , thì theo dung lượng trên .
yếu trong , thì theo dung lượng Nếu
trên .
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.2.10 ta có và
.
Để chứng minh , ta đặt với . Khi đó
và . Do vậy, dùng đẳng thức
ta nhận được
khi
đều với mọi với . Vì
,
nên theo Định lý 8.1 trong [6] tồn tại sao cho
và với và .
Từ định lý so sánh ta suy ra
với .
Do đó theo Hệ quả 2.1.16 tồn tại sao cho
42
và theo trên khi .
khi nên với nào đó với Vì
trong . Từ đó suy ra , do đó
. Theo Bổ đề 2 trong [11] điều đó kéo theo trong .
Mặt khác, theo Bổ đề 5.14 trong [8] tồn tại sao cho
.
Do đó
. từ điều này và theo định lý so sánh ta có
Chọn một dãy các hàm sao cho trong và
.
Cho và với , theo định lý so sánh ta có
.
Cho và lấy cận trên đúng trên tất cả các như thế, ta nhận được
,
trong đó bất đẳng thức cuối cùng được suy ra từ chứng minh của Bổ đề 2.2.10.
Điều này kéo theo các hàm tiến đều tới 0 theo khi trên mỗi
. Cuối cùng, ta có
43
,
trong đó trên mỗi số hạng đầu tiên và thứ 3 trong tổng cuối cùng tiến
dần đến 0 theo khi đều với mọi , và với mỗi cố định số hạng
thứ 2 tiến dần tới 0 theo khi . Do vậy, ta có theo trên
mỗi và do đó a) được chứng minh. Ta bỏ qua chứng minh của b) vì nó
tương tự với chứng minh của a). Định lý được chứng minh.
44
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày:
+ Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều
hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère, tính tựa liên
tục của hàm đa điều hoà dưới, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor và các lớp
năng lượng Cegrell.
+ Các kết quả nghiên cứu gần đây của Y. Xing về mối quan hệ giữa sự hội
tụ theo dung lượng của hàm đa điều hoà dưới và sự hội tụ của các độ đo
Monge-Ampère phức tương ứng.
+ Một số dạng khác nhau của định lý về tính ổn định đối với nghiệm của
phương trình Monge-Ampère phức.
+ Một số kết quả của Xing đối với các lớp kiểu Cegrell các hàm đa
điều hòa dưới không bị chặn.
45
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Quang Diệu và Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa thế vị, Nxb
Đại Học sư phạm Hà Nội.
Tiếng Anh
[2] E. Bedford and B. A. Taylor (1976), “ The Dirichlet problem for the
complex Monge-Ampère operator” Inventer. Math. 37, p. 1-44.
[3] E. Bedford and B. A. Taylor (1982), “A new capacity for plurisubharmonic
funtions”, Acta Math. 149, p 1– 40.
[4] U. Cegrell (1983), “Discontinuité de l‟opérateur de Monge-Ampère
complexe”, Acad. Sci. Paris Ser I Math. 296, p.869-871.
[5] U. Cegrell (1988), Capacities incomplex analysis, Braunschweig/
Wiesbaden: Friedr. Vieweg and Sohn.
[6] U. Cegrell (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math. 180, No2, p187 – 217.
[7] U. Cegrell (2001), “ Convergence in capacity”, Isaac Newton Institute for
Math. Science P, Series NI01046-NPD, also available at arxiv.org: math.
CV/0505218.
[8] U. Cegrell (2004), „The general definition of the complex Monge-Ampère
operator”, Ann. Inst. Fourier 54, p.159-179.
[9] U. Cegrell and S. Kolodziej (2006), “ The equation of complex Monge-
Ampère type and stability of solutions”, Mat. Ann. 334, p.713-729.
[10] Y. Xing (1996), “Continuity of the complex Monge – Ampère”, Proc. of
Amer. Math. Soc. 124, p.457 – 467.
[11] Y. Xing (2000), “Complex Monge – Ampère measures of
plurisubharmonic functions with bounded values near the boundary”,
Canad. J. Math. 52, no.5, p. 1085 – 1100.
[12] Y. Xing (2008), “ Convergence in capacity”, Ann. Inst. Fuorier. Grenoble.
58, 5, p. 1839 – 1861.
[13] Y. Xing (2008), “Weak Convergence of Currents”, Math. Z. Vol 260 issue
2, p 253-264.
