Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự khả vi Fréchet của ánh xạ đa trị

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của đề tài là giới thiệu hướng nghiên cứu sự khả vi Fréchet của ánh xạ đa trị theo sơ đồ xây dựng khái niệm khả vi của ánh xạ đa trị. Luận văn sẽ tài liệu bổ ích cho các học viên Cao học các học phần Phép tính vi phân, Giải tích phi tuyến,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự khả vi Fréchet của ánh xạ đa trị

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH DƯƠNG THÙY TRANG SỰ KHẢ VI FRÉCHET CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2018
2 Mục lục Lời mở đầu 4 1 Ánh xạ đa trị 7 1.1 Ánh xạ đa trị, các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Ánh xạ affine 11 2.1 Định nghĩa, tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Ánh xạ liên hợp của ánh xạ đa trị affine . . . . . . . . . . . 15 2.3 Quá trình tuyến tính liên kết với ánh xạ đa trị affine . . . . 20 2.4 Một vài tính chất khác của ánh xạ đa trị affine . . . . . . . . 22 2.5 Ánh xạ đa trị affine không mở rộng được . . . . . . . . . . . 24 3 Sự khả vi Fréchet 27 3.1 Định nghĩa, tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Sự khả vi của ánh xạ và sự khả vi của hàm tựa của nó . . . . 30
3 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài Sự khả vi Fréchet của ánh xạ đa trị, do tôi thực hiện với sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của PGS. TS. Nguyễn Bích Huy, không sao chép của bất cứ ai. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các nguồn sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình.
4 Lời mở đầu Giải tích đa trị là một hướng nghiên cứu tương đối mới mặc dù từ những năm 30 của thế kỉ XX, các nhà toán học đã nhận ra tầm quan trọng của chúng. Sự ra đời của tạp chí quốc tế "Set- Valued Analysis" vào năm 1993 là một mốc lớn trong quá trình phát triển của hướng nghiên cứu này. Hơn nữa, ánh xạ đa trị được nghiên cứu có hệ thống trong Toán học vào những năm 1950-1960, do nhu cầu phát triển nội tại của Toán học cũng như do nhu cầu mô tả các nghiên cứu mô hình mới phát sinh trong quá trình phát triển của khoa học, kỹ thuật. Chúng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân và tích phân, Lí thuyết điều khiển, Tối ưu, Tin học lí thuyết,... Cũng giống như việc nghiên cứu các ánh xạ đơn trị phi tuyến được đưa về nghiên cứu các ánh xạ tuyến tính là đạo hàm của chúng; trong nghiên cứu các ánh xạ đa trị, các nhà Toán học cũng muốn xấp xỉ chúng bởi các ánh xạ đơn giản hơn, gọi là đạo hàm của chúng. Có ba hướng chính trong cách tiếp cận khái niệm khả vi của ánh xạ đa trị. Ở hướng nghiên cứu thứ nhất, ánh xạ đa trị F được đồng nhất với đồ thị gr F và đạo hàm của F tại điểm z0 thuộc gr F được định nghĩa là ánh xạ đa trị mà đồ thị của nó là nón tiếp xúc (theo một nghĩa nào đó) với gr F tại z0 . Trong hướng nghiên cứu thứ hai, các ánh xạ đa trị được xét như các ánh xạ đơn trị, nhận giá trị trong một không gian được xây dựng thích hợp, có cấu trúc không gian vectơ tôpô và đạo hàm của ánh xạ đơn trị tương ứng được lấy làm đạo hàm của ánh xạ đa trị ban đầu. Hướng thứ ba là sự mở rộng tự nhiên của phương pháp định nghĩa đạo hàm của ánh xạ đơn trị. Theo hướng này, đầu tiên ta định nghĩa khái niệm “tiếp xúc” trong lớp A các ánh xạ được xét và chọn lớp các ánh xạ “đơn giản” hơn các ánh xạ thuộc lớp A. Khi đó ánh xạ F thuộc lớp A gọi là khả vi nếu có một ánh xạ thuộc lớp B tiếp xúc với F. Hướng nghiên cứu thứ nhất và thứ hai về sự khả vi của ánh xạ đa trị đã được trình bày trong nhiều sách về Giải tích đa trị, trong khi đó, hướng thứ ba chưa được giới thiệu nhiều. Do đó việc thực hiện luận văn Thạc sĩ về
5 hướng này là tự nhiên và cần thiết. Mục tiêu của đề tài là giới thiệu hướng nghiên cứu sự khả vi Fréchet của ánh xạ đa trị theo sơ đồ xây dựng khái niệm khả vi của ánh xạ đa trị. Luận văn sẽ là tài liệu bổ ích cho các học viên Cao học khi học các học phần Phép tính vi phân, Giải tích phi tuyến,...
6 Lời cảm ơn Trong quá trình hoàn thành bài viết này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Bích Huy - Người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian vừa qua. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả quý Thầy Cô trong khoa Toán - Tin trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và nâng cao trình độ chuyên môn trong suốt quá trình học cao học. Và cũng cảm ơn các bạn học viên cao học K26 đã cùng chia sẻ với tôi rất nhiều về kinh nghiệm học tập, rèn luyện. Cuối cùng xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành công đến quý thầy cô, anh chị và các bạn trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh.
7 Chương 1 Ánh xạ đa trị 1.1 Ánh xạ đa trị, các khái niệm cơ bản Cho X và Y là các không gian vector định chuẩn có số chiều hữu hạn trên trường R. F : X ⇒ Y là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y. Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y. Như vậy với mỗi x ∈ X thì F (x) là một tập con của Y . Không loại trừ khả năng với một số phần tử x nào đó mà F (x) là một tập rỗng. Ta sẽ thường dùng ký hiệu F : X ⇒ Y để chỉ F là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y , thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi đó, thay cho ký hiệu F : X ⇒ Y người ta sử dụng ký hiệu quen thuộc F : X → Y . Ví dụ 1.1. Xét phương trình đa thức xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + ... + an−1 x + an = 0 Trong đó n ∈ N là số nguyên dương và ai ∈ R (i = 1, 2, ..., n) là các hệ số thực. Quy tắc cho tương ứng mỗi vector a = (a1 , ..., an ) ∈ Rn với tập nghiệm, ký hiệu bởi F (a), cho ta một ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ C từ không gian Euclide Rn vào tập số phức C . Theo định lý cơ bản của đại số, F (a) 6= ∅ với mọi a ∈ Rn và |F (a)| 6 n, ∀a ∈ Rn , ở đó |F (a)| ký hiệu lực lượng của tập hợp F (a). Nếu ta đồng nhất mỗi số phức x = u + iv ∈ C với cặp số thực (u, v) ∈ R2 thì ta có ánh xạ F : Rn → R2 .
8 Kí hiệu 1.1. Miền hữu hiệu dom F và đồ thị gr F của ánh xạ đa trị F đi từ X vào Y tương ứng được xác định bằng các công thức domF := { x ∈ X : F (x) 6= ∅} gr F := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} Các ký hiệu đó có nguồn gốc từ hai chữ tiếng Anh là “domain” và “graph”. Với F là ánh xạ đa trị trong ví dụ 1.1 ta có dom F = Rn và gr F = (a, x) ∈ Rn × C : xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + ... + an−1 x + an = 0 Ánh xạ ngược F −1 : Y ⇒ X của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được xác định bởi công thức F −1 (y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)} (y ∈ Y ) Định nghĩa 1.1. Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được gọi là đóng nếu gr F là tập đóng trong X × Y. Ánh xạ đa trị G : X ⇒ Y được gọi là một mở rộng (hạn chế) của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y nếu dom F ⊂ dom G (dom G ⊂ dom F ) và F (x) = G(x) với mọi x ∈ dom F (x ∈ dom G) Kí hiệu 1.2. bcc Y là tập hợp gồm các tập con lồi, đóng, bị chặn trong Y. bccY được trang bị hai phép toán gồm phép cộng và phép nhân với một số thực không âm là một không gian nửa tuyến tính. M + N := {y1 + y2 : y1 ∈ M, y2 ∈ N } với M, N ∈ bcc Y αM := {αy : y ∈ M } với M ∈ bcc Y, α ≥ 0 Định nghĩa 1.2. Ánh xạ dH : bcc Y × bcc Y → R xác định bởi dH (M, N ) := inf{α > 0 : M ⊂ N + αBY , N ⊂ M + αBY } được gọi là khoảng cách Hausdorff, khi đó xác định một cấu trúc của không gian metric trong bcc Y. Ở đây BY là quả cầu đơn vị, BY = {y ∈ Y :k y k6 1}. Trong bài viết này chúng ta sẽ xét ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y trong trường hợp F (x) ∈ bcc Y, với mọi x ∈ dom F. Điều này giúp ta giải thích hàm đa trị F : X ⇒ Y được xét dưới đây là một hàm đơn trị F : X → bcc Y. Xét X ∗ và Y ∗ lần lượt là không gian đối ngẫu của X và Y.
9 Kí hiệu 1.3. H(Y ∗ ) là không gian Banach của các ánh xạ thuần nhất dương p(λy ∗ ) = λp(y ∗ ), ∀y ∗ ∈ Y ∗ , ∀λ > 0 và các ánh xạ liên tục với những phép toán đại số và chuẩn được định nghĩa bởi kpk = max{|p(y ∗ )| : ky ∗ k = 1} Định nghĩa 1.3. Một ánh xạ thuần nhất dương p : Y ∗ → R được gọi là tuyến tính dưới nếu nó là cộng tính dưới, nghĩa là p(y1∗ + y2∗ ) 6 p(y1∗ ) + p(y2∗ ) , ∀y1∗ , y2∗ ∈ Y ∗ . CH(Y ∗ ) tập các ánh xạ tuyến tính dưới, là nón lồi trong H(Y ∗ ). Nón CH(Y ∗ ) là đóng trong topo chuẩn tắc của không gian Banach H(Y ∗ ). Bao tuyến tính DCH(Y ∗ ) = hCH(Y ∗ )i của nón CH(Y ∗ ) được gọi là không gian của những ánh xạ có dạng hiệu của hai ánh xạ tuyến tính dưới. Như vậy ánh xạ thuộc DCH(Y ∗ ) nếu và chỉ nếu p có thể được biểu diễn dưới dạng hiệu của hai ánh xạ tuyến tính dưới. Ánh xạ đơn trị P : Y ∗ → X ∗ được biểu diễn dưới dạng hiệu của hai ánh xạ tuyến tính dưới nếu với bất kì x ∈ X thì ánh xạ y ∗ → hx, P (y ∗ )i được biểu diễn dưới dạng hiệu của hai ánh xạ tuyến tính dưới. Với mỗi tập con M ∈ bcc Y ta xét hàm tựa sM (y ∗ ) = max{hy, y ∗ i : y ∈ M } hàm tựa này chính là phép đẳng cấu giữa không gian metric tuyến tính dưới và nón lồi CH(Y ∗ ) của ánh xạ tuyến tính dưới. Cho ánh xạ đa trị F : X → bcc Y. Ánh xạ sF : dom F × Y ∗ → R được xác định bởi sF (x, y ∗ ) := max{hy, y ∗ i : y ∈ F (x)} được gọi là hàm tựa của F. Vì tính đối ngẫu Minkowski nên có thể liên kết một ánh xạ đa trị F : X → bcc Y với một ánh xạ đơn trị F˜ : dom F → CH(Y ∗ ) sao cho F˜ (x) = sF (x, .) , ∀x ∈ dom F. Do CH(Y ∗ ) ⊂ DCH(Y ∗ ) ⊂ H(Y ∗ ) nên ta cũng có thể xét F˜ : dom F → DCH(Y ∗ ) hoặc F˜ : dom F → H(Y ∗ ).
10 1.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.4. F là nửa liên tục trên tại x¯ ∈ dom F nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (¯ x) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của x¯ sao cho F (x) ⊂ V, ∀x ∈ U. Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc dom F, thì F được gọi là nửa liên tục trên ở trong X. Định nghĩa 1.5. F là nửa liên tục dưới tại x ¯ ∈ dom F nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (¯ x) ∩ V 6= ∅ tồn tại lân cận mở U của x¯ sao cho F (x) ∩ V 6= ∅, ∀x ∈ U ∩ dom F. Nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc dom F, thì F được gọi là nửa liên tục dưới ở trong X. Định nghĩa 1.6. F là liên tục tại x ¯ ∈ dom F nếu F đồng thời là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x¯. Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc dom F, thì F được gọi là liên tục ở trên X.
11 Chương 2 Ánh xạ affine 2.1 Định nghĩa, tính chất cơ bản Xét X và Y là các không gian vector có số chiều hữu hạn trên trường R. Định nghĩa 2.1. Ánh xạ đa trị A : X → bcc Y được gọi là (i) lồi nếu ∀x1 , x2 ∈ dom A, ∀α ∈ [0, 1] thì αA(x1 ) + (1 − α)A(x2 ) ⊂ A (αx1 + (1 − α)x2 ) (1) (ii) affine nếu ∀x1 , x2 ∈ dom A, ∀α ∈ [0, 1] thì αA(x1 ) + (1 − α)A(x2 ) = A (αx1 + (1 − α)x2 ) (2) Lưu ý rằng với những hàm đơn trị thì bao hàm (1) và đẳng thức (2) là tương đương nhau. Ngoài ra, ta có phát biểu dưới đây. Mệnh đề 2.1. Cho A : X → bcc Y là một hàm đa trị lồi. Nếu A(x0 ) = {y 0 } với một điểm nào đó x0 ∈ ri(dom A) thì A : X → bcc Y là một ánh xạ đơn trị affine trên dom A. Với ri(dom A) là phần trong tương đối của dom A. Chứng minh. Xét x ∈ dom A. Vì x0 ∈ ri(dom A) nên với x ¯ ∈ dom A và 0 α ∈ (0, 1), ta có x = αx + (1 − α)¯ x. Do A là một hàm đa trị lồi nên với x, x¯ ∈ dom A ta được αA(x) + (1 − α)A(¯ x) ⊂ A(x0 ) = {y 0 } x) ⊂ A(αx + (1 − α)¯ Suy ra A(x) , A(¯ x) là những tập có duy nhất một giá trị. Vì x tùy ý trong dom A nên A(x) là đơn trị với mỗi x thuộc trong dom A, do đó theo lưu ý ở trên thì A là một ánh xạ đơn trị affine.
12 Tổng quát, những ánh xạ đa trị tạo thành những lớp con của lớp các ánh xạ đa trị lồi. Ta hãy xét ánh xạ đa trị A : R → bcc R với gr A := {(x, y) : |x| 6 y 6 − |x| + 2}. Không khó để nhận thấy rằng là lồi, nhưng không affine. Thật vậy, với x1 , x2 ∈ dom A, α ∈ [0, 1] ta xét y ∈ αA(x1 ) + (1 − α)A(x2 ). Khi đó tồn tại y1 ∈ A(x1 ), y2 ∈ A(x2 ) sao cho y = αy1 + (1 − α)y2 6 α(− |x1 | + 2) + (1 − α)(− |x2 | + 2) 6 −α |x1 | − (1 − α) |x2 | + 2 6 − |αx1 + (1 − α)x2 | + 2 Lại có |x1 | 6 y1 , |x2 | 6 y2 nên |αx1 + (1 − α)x2 | 6 α |x1 | + (1 − α) |x2 | 6 αy1 + (1 − α)y2 = y. Do đó |αx1 + (1 − α)x2 | 6 y 6 − |αx1 + (1 − α)x2 | + 2 Hay y ∈ A(αx1 + (1 − α)x2 ). Vậy A lồi. A không affine. Thật vậy, ta có |x| 6 1 nên dom A = [−1, 1]. 1 1 −1 Xét α = , x1 = , x2 = . 2 2 2 Khi đó 1 1 A (αx1 + (1 − α)x2 ) = A − = A(0) = [0, 2] 4 4 1 3 1 3 1 3 αA(x1 ) + (1 − α)A(x2 ) = , + , = , 4 4 4 4 2 2 1 3 Mà [0, 2] 6⊂ 2 , 2 nên A không affine. Cho sA (. , .) : X × Y ∗ → R là hàm tựa của ánh xạ đa trị A : X → bcc Y. Từ định nghĩa, những tính chất của các tập lồi và hàm tựa, chúng ta có những nét đặc trưng cho những ánh xạ đa trị lồi, affine. Mệnh đề 2.2. Ánh xạ đa trị A : X → bcc Y là lồi (affine) nếu và chỉ nếu sA (. , y ∗ ) : X → R, ∀y ∗ ∈ Y ∗ là ánh xạ lõm (affine) trên dom A. Chứng minh. Giả sử A : X → bcc Y là ánh xạ lồi. Xét x1 , x2 ∈ dom A, α ∈ [0, 1] . Lấy δ > 0 tùy ý. Từ định nghĩa của max < y, y ∗ > ta suy ra tồn tại yi ∈ A(xi ) (i = 1, 2) để y∈A(x) max hy, y ∗ i 6 hyi , y ∗ i + δ y∈A(xi )
13 Khi đó α max hy, y ∗ i 6 α hy1 , y ∗ i + αδ y∈A(x1 ) Tương tự (1 − α) max hy, y ∗ i 6 (1 − α) hy2 , y ∗ i + (1 − α)δ y∈A(x2 ) Do đó α max hy, y ∗ i + (1 − α) max hy, y ∗ i 6 α hy1 , y ∗ i + (1 − α) hy2 , y ∗ i + δ y∈A(x1 ) y∈A(x2 ) 6 hαy1 + (1 − α)y2 , y ∗ i + δ 6 max hy, y ∗ i + δ y∈αA(x1 )+(1−α)A(x2 ) 6 max hy, y ∗ i + δ y∈A(αx1 +(1−α)x2 ) Suy ra αsA (x1 , y ∗ ) + (1 − α)sA (x2 , y ∗ ) 6 sA (αx1 + (1 − α)x2 , y ∗ ) + δ Điều này chứng tỏ rằng αsA (x1 , y ∗ ) + (1 − α)sA (x2 , y ∗ ) 6 sA (αx1 + (1 − α)x2 , y ∗ ) và do đó sA là hàm lõm. Giả sử A : X → bcc Y là affine. Khi đó A là ánh xạ đa trị lồi và do đó sA (. , y ∗ ) : X → R, ∀y ∗ ∈ Y ∗ là ánh lõm trên dom A hay là ánh xạ lồi (theo định nghĩa của ánh xạ đa trị lồi). Mà sA (. , y ∗ ) : X → R, ∀y ∗ ∈ Y ∗ là ánh xạ đơn trị nên theo lưu ý trên thì sA là affine trên dom A. Ngược lại, giả sử sA (. , y ∗ ) : X → R, ∀y ∗ ∈ Y ∗ là ánh xạ lõm trên dom A. Ta chứng minh A là ánh xạ lồi. Xét y ∈ αA(x1 ) + (1 − α)A(x2 ). Khi đó tồn tại y1 ∈ A(x1 ), y2 ∈ A(x2 ) sao cho y = αy1 + (1 − α)y2 . Ta có max hy, y ∗ i = max hαy1 + (1 − α)y2 , y ∗ i y∈αA(x1 )+(1−α)A(x2 ) y1 ∈A(x1 ),y2 ∈A(x2 ) = max hαy1 , y ∗ i + max h(1 − α)y2 , y ∗ i y1 ∈A(x1 ) y2 ∈A(x2 ) = αsA (x1 , y ) + (1 − α)sA (x2 , y ∗ ) ∗ 6 sA (αx1 + (1 − α)x2 , y ∗ ) = max hy, y ∗ i y∈A(αx1 +(1−α)x2 )
14 Khi đó αA(x1 ) + (1 − α)A(x2 ) ⊂ A(αx1 + (1 − α)x2 ) Do đó A là lồi. Trong trường hợp sA (. , y ∗ ) : X → R, ∀y ∗ ∈ Y ∗ là ánh xạ affine trên dom A thì max hy, y ∗ i = max hαy1 + (1 − α)y2 , y ∗ i y∈αA(x1 )+(1−α)A(x2 ) y1 ∈A(x1 ),y2 ∈A(x2 ) = max hαy1 , y ∗ i + max h(1 − α)y2 , y ∗ i y1 ∈A(x1 ) y2 ∈A(x2 ) = αsA (x1 , y ∗ ) + (1 − α)sA (x2 , y ∗ ) = sA (αx1 + (1 − α)x2 , y ∗ ) = max hy, y ∗ i y∈A(αx1 +(1−α)x2 ) Khi đó αA(x1 ) + (1 − α)A(x2 ) = A(αx1 + (1 − α)x2 ) Vậy A là affine. Nhận xét 2.1. Cho A : X → bcc Y là một ánh xạ đa trị affine và (u, v) thuộc X × Y. Dễ thấy A1 : X → bcc Y định bởi gr A1 = gr A + (u, v) cũng là affine. Không mất tính tổng quát có thể giả sử 0 ∈ dom A. Chứng minh. ∀x1 , x2 ∈ dom A, ∀λ ∈ [0, 1]. Xét y ∈ αA1 (x1 ) + (1 − α)A1 (x2 ) = α (A(x1 ) + v) + (1 − α) (A(x2 ) + v) = αA(x1 ) + (1 − α)A(x2 ) + v = A (αx1 + (1 − α)x2 ) + v = A1 (αx1 + (1 − α)x2 ) y ∈ A1 (αx1 + (1 − α)x2 ) = A (αx1 + (1 − α)x2 ) + v = αA(x1 ) + (1 − α)A(x2 ) + αv + (1 − α)v = α (A(x1 ) + v) + (1 − α) (A(x2 ) + v) = αA1 (x1 ) + (1 − α)A1 (x2 ) Do đó αA1 (x1 ) + (1 − α)A1 (x2 ) = A1 (αx1 + (1 − α)x2 ) Vậy A1 là affine. Nhận xét 2.2. Cho A : X → bcc Y là một ánh xạ đa trị affine với 0 ∈ dom A và kí hiệu U là bao tuyến tính của dom A. Trong trường hợp int(dom A) = ∅ ta xác định một ánh xạ đa trị A1 : X → bcc Y định bởi A1 = A(P x) , ∀x ∈ X, trong đó P : X → U là ánh xạ chiếu từ X vào U.
15 Từ định nghĩa của A1 ta có dom A1 = dom A + ker P. Thật vậy, xét y ∈ dom A + ker P. Khi đó tồn tại t ∈ dom A, z ∈ ker P (suy ra A(t) 6= ∅, P (z) = 0) sao cho y = t + z. Ta có A1 (y) = A1 (t + z) = A (P (t + z)) = A (P (t) + P (z)) = A (P (t)) = A(t) 6= ∅ Do đó y ∈ dom A1 . Xét y ∈ dom A1 . Khi đó A1 (y) = A(P y) 6= ∅. Giả sử q ∈ A(P y), suy ra P (y) ∈ A−1 (q) ⇒ ∃z ∈ A−1 (q) : P (y) = z Vì q ∈ A(z) nên A(z) 6= ∅ và do đó z ∈ dom A, suy ra P (z) = z. Khi đó P (y) = P (z) hay y − z ∈ kerP. Vậy y ∈ dom A + kerP. dom A là tập con lồi của X. Vì ∀x, y ∈ dom A, ∀t ∈ (0, 1), ta có A af f ine A (tx + (1 − t)y) = tA(x) + (1 − t)A(y) 6= ∅ Như vậy dom A là tập con lồi của X và ta lại có số chiều của X hữu hạn nên ri(dom A) 6= ∅, do đó int(dom A1 ) 6= ∅. Ngoài ra A1 là ánh xạ đa trị affine. Thật vậy, với mọi x, y ∈ dom A, α ∈ [0, 1], ta có αA1 (x) + (1 − α)A2 (y) = αA(P x) + (1 − α)A(P y) A af f ine = A (αP (x) + (1 − α)P (y)) = A (P (αx + (1 − α)y)) = A1 (αx + (1 − α)y) Hơn nữa, ∀x ∈ dom A ta có P (x) = x nên A1 (x) = A(x). Vậy A có thể mở rộng đến miền hữu hạn mà phần trong của nó khác rỗng, bởi phép biến đổi affine. Từ những nhận xét trên, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử những ánh xạ đa trị affine được xét dưới đây có int(dom A) 6= ∅ và 0 ∈ int(dom A). Hơn nữa, chúng ta có thể giả sử (0, 0) ∈ gr A . 2.2 Ánh xạ liên hợp của ánh xạ đa trị affine Cho A : X → bccY là ánh xạ đa trị affine sao cho int(dom A) 6= ∅ và sA (. , .) : X × Y ∗ → R là hàm tựa của A.
16 Theo mệnh đề 2.2, ∀y ∗ ∈ Y ∗ thì sA (. , y ∗ ) : dom A → R là affine trên dom A. Vì int(dom A) 6= ∅ nên sA (. , y ∗ ) : dom A → R có thể mở rộng đến X bởi phép biến đổi affine. Do đó, ∀y ∗ ∈ Y ∗ có thể liên kết với một ánh xạ tuyến tính A∗ (y ∗ ) ∈ X ∗ sao cho sA (x, y ∗ ) = sA (x0 , y ∗ ) + x − x0 , A∗ (y ∗ ) , ∀x ∈ dom A với x0 là một điểm cố định tùy ý trong dom A. Vì vậy, mỗi hàm ánh xạ đa trị affine A : X → bccY thì xác định được ánh xạ đơn trị A∗ : Y ∗ → X ∗ mà chúng ta gọi là ánh xạ liên hợp của ánh xạ đa trị affine. Điều này quả thật có giá trị vì ánh xạ liên hợp A∗ : Y ∗ → X ∗ là đơn trị trong khi ánh xạ ban đầu A : X → bccY là đa trị. Ví dụ 2.1. Cho B : X → Y là một toán tử tuyến tính đơn trị và Q là một tập con lồi, compact trong Y. Không quá khó để thấy rằng ánh xạ đa trị A : x → Bx + Q là affine và ánh xạ liên hợp A∗ : Y ∗ → X ∗ trùng với toán tử tuyến tính B ∗ : Y ∗ → X ∗ . B ∗ chính là ánh xạ liên hợp của B trong trường hợp toán tử tuyến tính đơn trị. Thật vậy, A : x → Bx + Q là affine, xét ∀x, y ∈ dom A, ∀α ∈ [0, 1]. Vì B : X → Y là một toán tử tuyến tính đơn trị nên αB(x) + (1 − α)B(y) ⊂ B (αx + (1 − α)y) và do Q lồi nên αQ + (1 − α)Q ⊂ Q. Hơn nữa lại có Q ⊂ αQ, Q ⊂ (1 − α)Q nên Q ⊂ αQ + (1 − α)Q. Như vậy αA(x) + (1 − α)A(y) = α (B(x) + Q) + (1 − α) (B(y) + Q) = αB(x) + (1 − α)B(y) + αQ + (1 − α)Q ⊂ B (αx + (1 − α)y) + Q = A (αx + (1 − α)y) A (αx + (1 − α)y) = B (αx + (1 − α)y) + Q ⊂ αB(x) + (1 − α)B(y) + αQ + (1 − α)Q = α (B(x) + Q) + (1 − α) (B(y) + Q) = αA(x) + (1 − α)A(y)
17 Mệnh đề 2.3. Ánh xạ liên hợp A∗ : Y ∗ → X ∗ của ánh xạ đa trị affine A : X → bcc Y là một hiệu của hai ánh xạ tuyến tính dưới, nghĩa là A∗ là ánh xạ thuần nhất dương, liên tục và với mỗi h thuộc X thì ánh xạ y ∗ → hh, A∗ (y ∗ )i có thể được biểu diễn bởi hiệu của hai ánh xạ tuyến tính dưới. Hơn nữa, ánh xạ y ∗ → hh, A∗ (y ∗ )i là tuyến tính dưới với mỗi h ∈ X mà x0 + th ∈ dom A với x0 ∈ dom A và với mọi t ≥ 0. Cuối cùng, ánh xạ y ∗ → hh, A∗ (y ∗ )i là tuyến tính với mỗi h ∈ X mà x0 + th ∈ dom A với x0 ∈ dom A và với mọi t ∈ R. Chứng minh. Xét h ∈ X. Lấy x0 ∈ dom A và δ > 0 sao cho x0 + th ∈ dom A, ∀t ∈ (0, δ). Ta có sA (x, y ∗ ) = sA (x0 , y ∗ ) + x − x0 , A∗ (y ∗ ) , ∀x ∈ dom A Khi đó với x0 + th ∈ dom A thì sA (x0 + th, y ∗ ) = sA (x0 , y ∗ ) + hth, A∗ (y ∗ )i Suy ra hh, A∗ (y ∗ )i = t−1 sA (x0 + th, y ∗ ) − sA (x0 , y ∗ ) Do đó y ∗ → hh, A∗ (y ∗ )i có thể được biểu diễn bởi hiệu của hai ánh xạ tuyến tính dưới. Giả sử h ∈ X mà x0 + th ∈ dom A với x0 ∈ dom A và với mọi t > 0 . Vì với mỗi x ∈ dom A thì ánh xạ y ∗ → sA (x, y ∗ ) là cộng tính dưới nên ta có sA (x, y1∗ + y2∗ ) − sA (x, y1∗ ) − sA (x, y2∗ ) 6 0 , ∀y1∗ , y2∗ ∈ Y ∗ Suy ra sA (x0 , y1∗ + y2∗ ) + x − x0 , A∗ (y1∗ + y2∗ ) − sA (x0 , y1∗ ) − x − x0 , A∗ (y1∗ ) − sA (x0 , y2∗ ) + x − x0 , A∗ (y2∗ ) 6 0 Đặt x = x0 + th, ta được sA (x0 , y1∗ + y2∗ ) − sA (x0 , y1∗ ) − sA (x0 , y2∗ ) +t [hh, A∗ (y1∗ + y2∗ )i − hh, A∗ (y1∗ )i − hh, A∗ (y2∗ )i] 6 0, ∀t > 0 Do đó hh, A∗ (y1∗ + y2∗ )i − hh, A∗ (y1∗ )i − hh, A∗ (y2∗ )i 6 0. Vậy, ánh xạ y ∗ → hh, A∗ (y ∗ )i là cộng tính dưới. Do đó là tuyến tính dưới.
18 Để chứng minh ý cuối của mệnh đề, ta xét h ∈ X mà x0 + th ∈ dom A với x0 ∈ dom A và với mọi t ∈ R. Trong trường hợp này ta có x0 + th ∈ dom A và x0 + t(−h) ∈ dom A với mọi t ≥ 0. Do đó, cả hai ánh xạ y ∗ → hh, A∗ (y ∗ )i và y ∗ → − hh, A∗ (y ∗ )i là tuyến tính dưới. Vì vậy y ∗ → hh, A∗ (y ∗ )i là tuyến tính. Mệnh đề 2.4. Cho P : Y ∗ → X ∗ là ánh xạ được biểu diễn bởi hiệu của hai ánh xạ tuyến tinh dưới. Khi đó tồn tại một ánh xạ đa trị affine A : X → bcc Y sao cho A∗ = P, với A∗ : Y ∗ → X ∗ là ánh xạ liên hợp của A. Chứng minh. Giả sử {e1 , e2 , ..., em } là một cơ sở của X. Vì P : Y ∗ → X ∗ là ánh xạ được biểu diễn bởi hiệu của hai ánh xạ tuyến tinh dưới nên với bất kì h ∈ X thì ánh xạ y ∗ → hh, A∗ (y ∗ )i được biểu diễn dưới dạng hiệu của hai ánh xạ tuyến tính dưới. Do đó ánh xạ pi (.) : y ∗ → hei , P (y ∗ )i (i = 1, 2, ..., m) được biểu diễn dưới dạng hiệu của hai ánh xạ tuyến tính dưới. Giả sử pi (.) = pi (.) − pi (.) , i = 1, m , với pi (.), pi (.) là các ánh xạ tuyến tính dưới. m Xét ánh xạ q(.) : y ∗ → (pi (y ∗ )+pi (y ∗ )). Khi đó q(.) là tuyến tính dưới. P i=1 ∗ ∗ Ngoài ra, với mỗi y ∈ Y , ta có m X ∗ ∗ q(y ) + hx, P (y )i = [(1 + xi )pi (y ∗ ) + (1 − xi )pi (y ∗ )] i=1 với x1 , x2 , ..., xm là tọa độ của x đối với cơ sở {e1 , e2 , ..., em }. Thật vậy, m X ∗ ∗ q(y ) + hx, P (y )i = (pi (y ∗ )+pi (y ∗ )) + hx1 e1 + ... + xm em , P (y ∗ )i i=1 m X = (pi (y ∗ )+pi (y ∗ )) + hx1 e1 , P (y ∗ )i + ... + hxm em , P (y ∗ )i i=1 m X = (pi (y ∗ )+pi (y ∗ )) + x1 he1 , P (y ∗ )i + ... + xm hem , P (y ∗ )i i=1 Xm = (pi (y ∗ )+pi (y ∗ )) + x1 (p1 (y ∗ ) − p1 (y ∗ )) + ... + xm (pm (y ∗ ) − pm (y ∗ )) i=1 Xm = [(1 + xi )pi (y ∗ ) + (1 − xi )pi (y ∗ )] i=1
19 Suy ra, ánh xạ y ∗ → q(y ∗ ) + hx, P (y ∗ )i là tuyến tính dưới ∀x ∈ X với m P x= xi ei , |xi | 6 1, i = 1, m. i−1 Bây giờ xét A : X → bcc Y là một ánh xạ đa trị sao cho m X dom A := {x = xi ei , |xi | 6 1, i = 1, m} i−1 sA (x, y ∗ ) = q(y ∗ ) + hx, P (y ∗ )i . Từ mệnh đề 2.2 ta có A là affine. Hơn nữa, chúng ta có định nghĩa một ánh xạ liên hợp A∗ = P . Ví dụ 2.2. Xét ánh xạ đa trị A : R → bccR2 , đồ thị của A được cho bởi gr A := {(x, y) ∈ R × R2 : |y1 | 6 1 − x, |y2 | 6 1 + x}. Ta có dom A = [−1, 1] (vì −1 6 |y2 | − 1 6 x 6 1 − |y1 | 6 1) Mặt khác sA (x, y ∗ ) = max hy, y ∗ i = max h(y1 , y2 ), (y1∗ , y2∗ )i y∈A(x) y1 61−x, y2 61+x = (1 − x) |y1∗ | + (1 + x) |y2∗ | = (|y1∗ | + |y2∗ |) + x (− |y1∗ | + |y2∗ |) Suy ra, A là ánh xạ đa trị affine và ánh xạ liên hợp của A là A∗ : (y1∗ , y2∗ ) → − |y1∗ | + |y2∗ | ∈ R. Mệnh đề 2.5. Mọi ánh xạ đa trị lồi A : X → bcc Y với dom A = X là affine và có thể được biểu diễn dưới dạng A(x) = B(x) + A(0), ∀x ∈ X, với B : X → Y là toán tử tuyến tính đơn trị duy nhất. Chứng minh. Trước tiên ta có nhận xét sA (x, −y ∗ ) = − min hy, y ∗ i , ∀y ∗ ∈ Y ∗ , x ∈ X. y∈A(x) Do đó, mỗi y ∗ ∈ Y ∗ ánh xạ lõm x → sA (x, y ∗ ) được làm trội bởi ánh xạ lồi x → −sA (x, −y ∗ ), nghĩa là, với mỗi y ∗ ∈ Y ∗ thì −sA (x, −y ∗ ) 6 sA (x, y ∗ ), ∀x ∈ X.
20 Cố định y ∗ ∈ Y ∗ , xét x∗1 ∈ X ∗ , x∗2 ∈ X ∗ lần lượt là một subgradient tùy ý của ánh xạ x → sA (x, y ∗ ) tại x1 ∈ X và của ánh xạ x → −sA (x, −y ∗ ), tại x2 ∈ X. Từ đó ta có −sA (x1 , −y ∗ ) + hx∗1 , x − x1 i 6 −sA (x, −y ∗ ) 6 sA (x, y ∗ ) 6 sA (x∗2 , y ∗ ) + hx∗2 , x − x2 i , ∀x ∈ X Từ bất đẳng thức này suy ra ánh xạ affine u : x → hx∗2 − x∗1 , xi + sA (x2 , y ∗ ) + sA (x1 , −y ∗ ) + hx∗1 , x1 i − hx∗2 , x2 i là không âm trên X. Suy ra, với mỗi x ∈ X thì ánh xạ lõm x → sA (x, y ∗ ) chỉ có một subgradient. Hơn nữa, subgradient này không phụ thuộc vào x. Do đó, ánh xạ x → sA (x, y ∗ ) là affine. Do mệnh đề 2.2 nên A là một ánh xạ đa trị affine. Vì A : X → bcc Y là ánh xạ đa trị affine với dom A = X nên ánh xạ liên hợp của A là A∗ : Y ∗ → X ∗ thỏa sA (x, y ∗ ) = sA (0, y ∗ ) + hx, A∗ (y ∗ )i , ∀x ∈ X, y ∗ ∈ Y ∗ Hơn nữa, từ phát biểu cuối của mệnh đề 2.3 ta có ∀y ∗ ∈ Y ∗ thì ánh xạ y ∗ → hx, A∗ (y ∗ )i là tuyến tính. Do đó, A∗ : Y ∗ → X ∗ là toán tử tuyến tính đơn trị. Bây giờ xét B : X → Y là toán tử tuyến tính liên hợp của A∗ : Y ∗ → X ∗ trong trường hợp hx, A∗ (y ∗ )i = hBx, y ∗ i , ∀y ∗ ∈ Y ∗ , ∀x ∈ X. Do đó sA (x, y ∗ ) = sA (0, y ∗ ) + hBx, y ∗ i , ∀x ∈ X, y ∗ ∈ Y ∗ Suy ra A(x) = B(x) + A(0), ∀x ∈ X. 2.3 Quá trình tuyến tính liên kết với ánh xạ đa trị affine Ánh xạ đa trị R : X → bbc Y gọi là quá trình tuyến tính nếu thỏa hai điều kiện sau: (i). R là ánh xạ thuần nhất dương, nghĩa là: R(tx) = tR(x), ∀x ∈ dom R, ∀t > 0;