zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Luận Văn - Báo Cáo

» Khoa học tự nhiên

Luận văn: Ứng dụng của đạo hàm để tìm cực trị của hàm số

Chia sẻ: Bfvhgfff Bfvhgfff | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:75

Báo xấu

447
lượt xem 105
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn: Ứng dụng của đạo hàm để tìm cực trị của hàm số nhằm nghiên cứu tài liệu, giáo trình liên quan đến đạo hàm và cực trị của hàm số để rút ra phương pháp giải cho một số dạng toán và ứng dụng của đạo hàm và tìm cực trị của hàm số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Ứng dụng của đạo hàm để tìm cực trị của hàm số

NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S Lêi c¶m ¬n Trong suèt thêi gian thùc hiÖn kho¸ luËn tèt nghiÖp ngoµi sù nç lùc cña b¶n th©n, t«i cßn nhËn ®−îc sù gióp ®ì, chØ b¶o tËn t×nh cña c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong Khoa To¸n - C«ng NghÖ, Tr−êng §¹i häc Hïng V−¬ng. §Æc biÖt t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi thÇy gi¸o TrÇn C«ng TÊn TÊn- Gi¶ng viªn Khoa To¸n - C«ng NghÖ, Tr−êng §¹i häc Hïng V−¬ng. ThÇy ®· dµnh nhiÒu thêi gian quý b¸u tËn t×nh h−íng dÉn t«i trong suèt qu¸ tr×nh thùc hiÖn kho¸ luËn tèt nghiÖp, ®ång thêi gióp t«i lÜnh héi ®−îc nh÷ng kiÕn thøc chuyªn m«n vµ rÌn luyÖn cho t«i t¸c phong nghiªn cøu khoa häc. Qua ®©y, t«i xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o trong Khoa To¸n – C«ng nghÖ, tíi gia ®×nh, b¹n bÌ lµ nh÷ng ng−êi lu«n s¸t c¸nh bªn t«i, ®· nhiÖt t×nh gióp ®ì, chia sÎ, ®éng viªn t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp còng nh− khi t«i thùc hiÖn vµ hoµn chØnh kho¸ luËn nµy. MÆc dï ®Ò tµi ®· ®−îc chuÈn bÞ vµ nghiªn cøu mét c¸ch kÜ l−ìng, vÒ thêi gian còng nh− néi dung nh−ng kh«ng khái cã nh÷ng thiÕu sãt. V× vËy t«i rÊt mong nhËn ®−îc sù gãp ý cña c¸c b¹n sinh viªn, vµ ®Æc biÖt lµ cña c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o ®ang gi¶ng d¹y bé m«n To¸n ®Ó kho¸ luËn ®−îc hoµn thiÖn h¬n. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! Phó Thä, th¸ng 05 n¨m 2010 Sinh viªn NguyÔn ThÞ HËu 2 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S M Đ U 1. Lý do ch n ñ tài Đ o hàm là m t trong nh ng ki n th c khá quen thu c ñ i v i h c sinh Trung h c ph thông cũng như sinh viên các trư ng Cao Đ ng và Đ i h c. N i dung này c a gi i tích ñư c ñ c p r t s m trong chương trình: Đ i s và gi i tích b c Trung h c ph thông và xuyên su t trong các năm h c Cao ñ ng và Đ i h c ti p theo. M c dù v y ñ n m v ng khái ni m, tính ch t c a ñ o hàm ñ ng th i ng d ng ñư c ñ o hàm vào gi i các bài toán trong gi i tích, v t lý, các bài toán v kinh t cũng như các bài toán th c t l i là m t v n ñ hoàn toàn không ñơn gi n. Trong nh ng năm h c Trung h c ph thông, h c sinh ñã làm quen v i khái ni m ñ o hàm, bư c ñ u ñã bi t v n d ng tìm c c tr c a hàm s m t bi n trong gi i tích và ng d ng trong v t lý tìm v n t c, gia t c c a m t chuy n ñ ng. Đó m i ch là nh ng bài toán ñơn gi n, chưa ph i là bài toán khó và ph c t p. Song nhi u h c sinh v n còn m c sai l m trong vi c gi i các bài toán dùng ng d ng c a ñ o hàm mà nguyên nhân chính là vi c h c sinh chưa n m v ng khái ni m ñ o hàm, chưa bi t kh o sát hàm s , chưa bi t cách làm m t bài toán ng d ng ñ o hàm… Đ o hàm và ng d ng c a nó ngày càng ñư c m r ng, ñ c bi t là trong các trư ng Cao ñ ng, Đ i h c. Không ch gi i h n trong vi c tìm c c tr c a hàm s m t bi n như Trung h c ph thông mà ñ o hàm ñư c ng d ng m r ng trong các bài toán tìm c c tr c a hàm s nhi u bi n, các bài toán c c tr có ñi u ki n c a hàm s nhi u bi n, hàm n. Lúc này, ñ gi i quy t các v n ñ ñó l i là m t bài toán khó. Yêu c u ngư i h c không ch v ng vàng v ki n th c cơ b n c a ñ o hàm như ñ nh nghĩa tính ch t, ng d ng, mà còn ñòi h i ngư i h c ph i có tư duy toán h c phát tri n, ñ ng th i ng d ng ñ o hàm m c ñ cao hơn, ph i bi t s d ng và k t h p m t cách khéo léo các công c trong ñ i s tuy n tính và hình h c gi i tích ñ h tr và phát tri n ng d ng ñó. Chính vì v y 3 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S không ít sinh viên ngành Toán nói chung và sinh viên Sư ph m Toán nói riêng còn g p nhi u khó khăn, còn lúng túng khi g p các bài toán ng d ng ñ o hàm ñ tìm c c tr hàm s . V i mong mu n: Làm sao ñ các sinh viên nói chung, ñ c bi t là các sinh viên Sư ph m Toán nói riêng ñư c trang b ñ y ñ các ki n th c trong vi c h c t p nghiên c u ng d ng c a ñ o hàm, t ñó m r ng các ng d ng ñó trong th c ti n gi ng d y, ñưa các ng d ng c a khoa h c vào ñ i s ng. Đ c bi t v i m c ñích ñưa ra m t h th ng t p chung, phân lo i ki n th c và nêu bài t p ng d ng nh m ñem l i thu n l i cho h c sinh, sinh viên trong quá trình h c t p và nghiên c u v ñ o hàm c a hàm s . Vì v y tôi m nh d n ch n ñ tài nghiên c u: “ ng d ng c a ñ o hàm ñ tìm c c tr hàm s ” cho khóa lu n t t nghi p c a mình. 2. Nhi m v nghiên c u - Nghiên c u nh ng tài li u, giáo trình liên quan ñ n ñ o hàm và c c tr c a hàm s ñ rút ra phương pháp gi i cho m t s d ng toán v ng d ng c a ñ o hàm vào tìm c c tr hàm s . - Nghiên c u m i liên h gi a c c tr hàm s và giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s . 3. Phương pháp nghiên c u - Phương pháp nghiên c u lý lu n: Đ c các giáo trình, tài li u liên quan t i ng d ng c a ñ o hàm vào tìm c c tr hàm s ñ phân lo i và h th ng hoá các ki n th c. - Phương pháp t ng k t kinh nghi m: T vi c nghiên c u tài li u, giáo trình rút ra ñư c kinh nghi m ñ tìm c c tr b ng phương pháp ñ o hàm. - Phương pháp l y ý ki n chuyên gia: L y ý ki n gi ng viên tr c ti p hư ng d n và các gi ng viên khác ñ hoàn thi n v m t n i dung cũng như hình th c c a khóa lu n. 4. Ý nghĩa khoa h c và th c ti n Khóa lu n có th tài li u tham kh o cho nh ng sinh viên chuyên ngành Toán c a trư ng Đ i h c Hùng Vương có mong mu n nghiên c u và tìm hi u 4 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S ng d ng c a ñ o hàm. V i b n thân tôi, nghiên c u v ng d ng c a ñ o hàm trong vi c gi i các bài toán c c tr giúp tôi hi u rõ hơn khái ni m và tính ch t c a ñ o hàm cũng như c a c c tr hàm s , cho th y m t trong nh ng ng d ng quan tr ng c a ñ o hàm và m i liên h r ng rãi c a nó v i các ph n khác nhau trong Toán h c. 5. B c c c a khóa lu n: Ngoài ph n m ñ u, k t lu n và tài li u tham kh o, n i dung chính c a khóa lu n g m 3 chương Chương 1. Các ki n th c b tr Trong chương 1 trình bày cơ s lý thuy t v ñ c ñi m c a ñ o hàm thông qua nh ng ñ c ñi m chung c a môn Toán, làm rõ tính tr u tư ng cao ñ và tính th c ti n ph d ng, tính lôgíc và tính th c nghi m. Đ ng th i, h th ng hóa các ki n th c cơ b n v ñ o hàm bao g m: - Đ nh nghĩa ñ o hàm c a hàm s m t bi n và ñ o hàm hàm s hai bi n. - Các quy t c tính ñ o hàm. - Các ñ nh lý cơ b n v hàm kh vi. Ngoài ra, trong chương này còn b sung thêm ý nghĩa c a ñ o hàm ñ tìm c c tr c a hàm s nh m ñưa ra cơ s lý lu n v ng ch c cho khóa lu n. Chương 2. ng d ng c a ñ o hàm ñ tìm c c tr hàm s m t bi n Trong chương này, vi c nh c l i các ki n th c cơ b n v c c tr , các quy t c dùng ñ o hàm ñ tìm c c tr c a hàm s m t bi n nh m c ng c ki n th c, t o n n t ng v ng ch c ñ ng d ng ñ o hàm vào tìm c c tr c a hàm s m t bi n. Đ ng th i chương này cũng ñưa ra h th ng, phân lo i các d ng bài t p theo các l p hàm, giúp cho vi c gi i quy t các bài t p m t cách thu n l i hơn và là cơ s ñ giúp cho vi c nghiên c u hàm nhi u bi n chương sau. Chương 3. ng d ng c a ñ o hàm ñ tìm c c tr hàm s nhi u bi n Chương 3 trình bày phương pháp ng d ng c a ñ o hàm ñ gi i quy t các bài toàn tìm: - C c tr c a hàm s hai bi n s . 5 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S - Giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s hai bi n s trong m t mi n ñóng b ch n. - C c tr có ñi u ki n. - C c tr hàm s ph thu c tham s . Hơn n a, ng d ng ñ o hàm ñ nghiên c u các tính ch t c a hàm s n, ñây là ph n ki n th c tương ñ i khó, tuy nhiên nó h tr r t ñ c l c cho vi c tìm c c tr c a hàm s nhi u bi n và ñ c bi t trong vi c tìm c c tr c a hàm n. trong chương này chúng ta cũng có h th ng các d ng bài t p tương ng, bám sát các ki n th c, các quy t c ñã ñư c trình bày, giúp ngư i ñ c hi u sâu s c hơn các ki n th c ñã h c và ghi nh các quy t c s d ng ñ o hàm ñ gi i quy t các bài toán trên. 6 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S CHƯƠNG 1. CÁC KI N TH C B TR 1.1. Đ c ñi m c a ñ o hàm 1.1.1. Tính tr u tư ng cao ñ và tính th c ti n ph d ng a) Tính tr u tư ng hoá: Tính tr u tư ng hoá c a Toán h c và c a môn Toán do chính ñ i tư ng c a môn Toán quy ñ nh. Theo Ăng ghen: “ Đ i tư ng c a Toán h c thu n tuý là hình d ng không gian và nh ng quan h s lư ng c a th gi i khách quan” (Trích theo Hoàng Chúng, tr.20). M c d u Toán h c hi n nay phát tri n m nh m , phát bi u n i ti ng trên v n còn hi u l c n u nh ng khái ni m hình h c không gian và quan h s lư ng ñư c hi u theo nh ng nghĩa r t khái quát. “Hình d ng không gian” có th bi u di n không ch trong không gian th c t ba chi u mà c trong nh ng không gian tr u tư ng khác nhau n a như không gian có s chi u là n ho c vô h n, không gian mà ph n t là nh ng hàm liên t c,... “Quan h s lư ng” không ch bó h p trong ph m vi các t p h p mà ñư c bi u hi n như phép toán và nh ng tính ch t c a chúng trên nh ng t p h p có nh ng ph n t là nh ng ñ i tư ng lo i tuỳ ý như ma tr n, t p h p, m nh ñ , phép bi n hình,… Đương nhiên tính ch t tr u tư ng không ph i ch có trong Toán h c mà là ñ c ñi m c a m i khoa h c. Nhưng trong Toán h c, cái tr u tư ng tách ra kh i m i ch t li u c a ñ i tư ng, “ch gi l i nh ng quan h s lư ng và hình d ng không gian, t c là nh ng quan h v c u trúc mà thôi’’ (Ph m Văn Hoàn,…1981, tr.21). trình ñ lý thuy t, nh n th c khoa h c nói chung, Toán h c nói riêng luôn ph i s d ng s tr u tư ng hoá. Toán h c là khoa h c s d ng nhi u s tr u tư ng nh t và m c ñ tr u tư ng cũng ñ t trình ñ cao nh t, trong lĩnh v c khoa h c này: “s tr u tư ng có s c m nh l n nh t’’. Tuy nhiên, cho dù s tr u tư ng có ñư c th c hi n “nghiêm túc’’, “ñúng ñ n” ñ n ñâu thì các tri th c nh n ñư c v n có kh năng xa r i hi n th c. Vì v y, ñ ñ m b o tính chân lý, t c l p lu n cho tính h p lý c a các tri th c nh n ñư c, chúng ta c n ph i xác l p cơ s c a chúng. Nhưng ñây m i ch là lý do th y u và tính 7 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S c p bách c a v n ñ n m ch khác. Sau phát hi n v ñ i lư ng bi n thiên c a Decarter, ngư i ta ñã s d ng phép tính tích phân và vi phân ñ nghiên c u v v n ñ ng. Ta có th mô t vi c nghiên c u này như sau: Ngư i ta s d ng hàm s : s = f ( t ) ñ bi u th v n ñ ng; v n t c t c th i t i m t th i ñi m c th t1 nào ñó là ñ o hàm b c nh t c a hàm s t i th i ñi m ñó: v ( t1 ) = f ' ( t1 ) . Gia t c t c th i c a v n ñ ng là ñ o hàm b c hai: a ( t1 ) = f '' ( t1 ) . Như v y, l n ñ u tiên ngư i ta ñã s d ng các công c toán h c, các phương pháp ch t ch , chính xác ñ nghiên c u v v n ñ ng nói riêng, v cái bi n ch ng khách quan nói chung. Đ c bi t là v i phương th c nghiên c u như v y, ngư i ta ñã thu nh n ñư c m t kh i lư ng ñ s các thành t u toán h c. Đ o hàm (vi phân) là lý thuy t v t c ñ c a s thay ñ i; liên h ñ n các hàm s , v n t c, gia t c, h s góc c a m t ñư ng cong t i m t ñi m cho trư c, c c ñ i và c c ti u c a các hàm. Khi nghiên c u ñ o hàm (vi phân), các nhà nghiên c u ñã ñ i m t và gi i quy t các v n ñ v m i quan h gi a liên t c và r i r c; gi a h u h n và vô h n; gi a chuy n ñ ng và ñ ng yên. Như v y có th th y ñ o hàm m t b ph n c a Toán h c có tính ch t tr u tư ng cao ñ . Tính tr u tư ng cao ñ ch che l p ch không h m t tính th c ti n c a Toán h c. b) Tính th c ti n ph d ng: Toán h c có ngu n g c th c ti n. S h c ra ñ i trư c h t là do nhu c u ñ m. Hình h c phát sinh do s c n thi t ph i ño l i ru ng ñ t bên b sông Nin (Ai C p) sau nh ng tr n lũ hàng năm. Khi nói ñ n ngu n g c th c ti n c a Toán h c cũng c n nh n m nh c ngu n g c th c ti n c a lôgíc hình th c ñư c s d ng trong Toán h c, Lê Nin vi t: “Nh ng hình th c và quy lu t lôgíc không ph i là cái v tr ng r ng mà là s ph n ánh th gi i khách quan ... th c ti n c a con ngư i ñư c l p ñi l p l i hàng nghìn tri u l n, s ñư c c ng c vào ý th c ngư i ta dư i nh ng hình th c c a lôgíc h c” (Lê Nin toàn t p, tr. 127 - 129, trích theo Ph m Văn Hoàn, ...1981, tr.23). Thành t u n i b t nh t c a th k XVII là s phát minh ra các phép tính 8 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S vi - tích phân vào cu i th k này c a Isaac Newton và Gottfried Wilhelm leibniz. S ra ñ i c a phép tính vi - tích phân ñã ñưa Toán h c sang m t giai ño n Toán cao c p, g n như k t thúc giai ño n c a Toán h c sơ c p. T ñ i tư ng nghiên c u là các s và hình d ng tĩnh t i, Toán h c bư c sang nghiên c u ñ i tư ng trong quá trình v n ñ ng và bi n ñ i. Phép tính vi phân và tích phân ñư c sáng t o ra là nh m gi i quy t b n v n ñ khoa h c c a th k th XVII như sau: V n ñ th nh t, cho v t chuy n ñ ng theo m t công th c là m t hàm s theo th i gian, hãy tìm v n t c và gia t c c a nó m t th i ñi m b t kì; ngư c l i, cho bi t gia t c c a m t v t th chuy n ñ ng là m t hàm s theo th i gian, hãy tìm v n t c và quãng ñư ng ñi ñư c. V n ñ này xu t phát t vi c nghiên c u chuy n ñ ng. Trong chuy n ñ ng thì v n t c và gia t c thay ñ i t th i ñi m này ñ n th i ñi m khác. Trong v t lý, ngư i ta c n bi t chính xác v n t c hay gia t c c a m t v t th chuy n ñ ng t i t ng th i ñi m. N u l y v n t c b ng quãng ñư ng ñi ñư c chia cho th i gian là v n t c trung bình ch chưa ph i v n t c chính xác t i m i th i ñi m thì th i gian chuy n ñ ng và v n t c ñ u b ng không, mà 0/0 là vô nghĩa. Đ i v i bài toán ngư c l i, thì g p m t khó khăn là n u bi t v n t c là m t hàm th i gian ta cũng không th tìm ñư c quãng ñư ng ñi ñư c c a v t th chuy n ñ ng vì v n t c thay ñ i t th i ñi m này ñ n th i ñi m khác. V n ñ th hai là v n ñ tìm ti p tuy n c a m t ñư ng cong. Bài toán này thu c v hình h c, nhưng nó có nh ng ng d ng quan tr ng trong khoa h c. Quang h c là ngành mà nhi u nhà khoa h c c a th k XVII quan tâm nghiên c u. Thi t k các th u kính là m i quan tâm ñ c bi t c a NewTon, Fermat, Descartes và Huygens. Đ nghiên c u ñư ng ñi c a ánh sáng qua th u kính ngư i ta ph i bi t góc mà ñó tia sáng ñ p vào th u kính ñ áp d ng ñ nh lu t khúc x . Góc c n chú ý là góc gi a tia sáng và pháp tuy n c a ñư ng cong, pháp tuy n thì vuông góc v i ti p tuy n. Đ xác ñ nh pháp tuy n, ngư i ta ph i xác ñ nh ti p tuy n. M t v n ñ có tính ch t khoa h c khác n a liên quan ñ n ti p tuy n c a m t ñư ng cong là nghiên c u chuy n ñ ng. Hư ng chuy n ñ ng c a 9 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S v t th chuy n ñ ng b t kì th i ñi m nào c a qu ñ o chính là hư ng c a ti p tuy n c a qu ñ o. V n ñ th ba là v n ñ tìm giá tr c c ñ i và c c ti u c a m t hàm s . Khi ñ n b n t súng th n công, kho ng cách ñi ñư c s ph thu c vào góc c a súng t o v i m t ñ t. V n ñ ñ t ra là tìm góc sao cho viên ñ n ñi xa nh t. Nghiên c u s chuy n ñ ng c a Hành Tinh liên quan ñ n các bài toán c c tr , ví d tìm kho ng cách ng n nh t và dài nh t c a m t Hành Tinh và M t Tr i. V n ñ th tư là tìm chi u dài ñư ng cong, ch ng h n như kho ng cách ñi ñư c c a m t Hành Tinh trong m t th i gian nào ñó; di n tích c a hình gi i h n b i các ñư ng cong; th tích c a nh ng kh i gi i h n b i nh ng m t,… Các nhà Toán h c c Hy L p ñã dùng phương pháp vét ki t m t cách r t khéo léo. Các nhà Toán h c th k XVII ñã c i ti n d n và h ñã nhanh chóng phát minh ra phép tính vi - tích phân. Toán h c có ng d ng r ng rãi trong th c ti n. Tính tr u tư ng cao ñ làm cho Toán h c có tính ph d ng, có th ng d ng ñư c trong r t nhi u lĩnh v c r t khác nhau c a ñ i s ng th c t . Ch ng h n, nh ng tri th c v tương quan t l thu n bi u th b i công th c y = kx có th ñư c ng d ng vào hình h c, ñi n h c, hoá h c…Vì m i tương quan này ph n ánh nh ng m i liên h trên các lĩnh v c ñó, ch ng h n như: - Di n tích S c a m t tam giác v i m t c nh a cho trư c t l thu n v i 1 ñư ng cao h ng v i c nh ñó: S = ah . 2 - Quãng ñư ng S ñi ñư c trong m t chuy n ñ ng ñ u v i v n t c cho trư c v t l thu n v i th i gian ñi t: S = vt . - Phương trình xác ñ nh li ñ trong chuy n ñ ng c a con l c là: x = a.cos ( wt + ϕ ) . T phương trình này ta th y n u l y ñ o hàm l n th nh t ta có: x ' = −aw sin ( wt + ϕ ) ñây chính là v n t c c a con l c th i ñi m t. N u l y ñ o hàm l n th hai ta có x '' = −aw 2 cos ( wt + ϕ ) ñây chính là gia t c c a con l c th i ñi m t c n tìm. 10 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S Tương t như v y, nh ng k t qu nghiên c u v nhóm có th ñem ng d ng cho nh ng ñ i tư ng có b n ch t r t khác nhau: s , véctơ, ma tr n, phép d i hình,… Đ o hàm m t b ph n c a Toán h c có ng d ng r t nhi u trong cu c s ng, c th : Trong các bài toán ñ ng t , v n t c là ñ o hàm c a quãng ñư ng ñi; gia t c là ñ o hàm c a v n t c. Trong bài toán ñi n, s c ñi n ñ ng c m ng là m t ñ o hàm c a t thông bi n thiên; trong t ñi n thì dòng ñi n là ñ o hàm c a ñi n áp; trong cu n c m thì ñi n áp là ñ o hàm c a dòng ñi n. Trong ngành cơ h c lưu ch t thì lưu lư ng là ñ o hàm c a kh i lư ng (ho c th tích) lưu ch t… Khi ta nói vào microphone, ñi n áp ra c a mic s b ng ñ o hàm c a sóng âm thanh; khi ampli khuy ch ñ i lên ñưa ra loa, rung ñ ng c a loa s b ng ñ o hàm c a ñi n áp ñ t vào; như v y t mic ñ n loa b n ñã l y ñ o hàm 2 l n… ng d ng c a ñ o hàm (vi phân) và tích phân vào th c t thì h u như ngành nào cũng có. T khoa h c t nhiên, kĩ thu t, công ngh , ñ n các bài toán trong các quá trình khoa h c xã h i...T t c các quá trình ñó ñ u có th mô ph ng b ng các kh i T l - tích phân - vi phân. Trư c khi máy vi tính ra ñ i, ngư i ta s d ng các m ch ñi n t ñ làm các kh i này. Các m ch ñi n t ñó g i là các b khuy ch ñ i thu t toán. H th ng s d ng các m ch mô ph ng y ñư c g i là máy tính tương t . Hi n nay ngư i ta dùng các ph n m m mô ph ng, ho c các ph n m m tuy n tính th i gian th c ñ thay th . Các m ch khuy ch ñ i thu t toán v n ñư c s n xu t ñ th c hi n r t nhi u ch c năng khác. S d ng các ph n m m mô ph ng này ngư i ta có th bi t ñư c tác ñ ng c a các bi n s ph c t p trong h th ng. 1.1.2. Tính lôgíc và tính th c nghi m Khi nghiên c u các quy lu t c a các hi n tư ng t nhiên và xã h i ngư i ta thư ng dùng suy di n logic tìm ra m i liên h gi a các ñ i lư ng ñang xét cùng v i các ñ o hàm (vi phân) c a chúng. Theo phương pháp ñó, xu t phát t các khái ni m nguyên thu (t c là các ñ i tư ng nguyên thu và quan h nguyên thu ) và các tiên ñ r i dùng quy t c lôgíc ñ ñ nh nghĩa các khái ni m khác và ch ng minh các m nh ñ khác. 11 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S Khi trình bày môn Toán nói chung và các bài toán liên quan ñ n ñ o hàm nói riêng trong các trư ng Đ i h c và Cao ñ ng, do ñ c thù và yêu c u c a c p h c là t h c, t nghiên c u mà ñòi h i ngư i h c khi gi i m t bài toán ho c áp d ng m t m nh ñ c n ph i ñư c ch ng minh và trình bày m t cách ch t ch v m t logic. Chúng ta c n chú ý r ng, n u trình bày nh ng k t qu ñã ñ t ñư c khi tính ñ o hàm thì ñó là s suy di n và tính logic n i b t lên. Nhưng n u nhìn ñ o hàm trong quá trình hình thành và phát tri n, trong quá trình tìm tòi phát minh, thì trong phương pháp c a nó v n có tìm tòi, d ñoán, v n có “th c nghi m” và quy n p. Như v y s th ng nh t gi a suy ñoán và suy di n ñư c coi là m t ñ c ñi m c a tư duy toán h c. C n chú ý c hai phương di n ñó m i có th hư ng d n h c sinh h c t t ñ o hàm cũng như h c toán, m i khai thác ñ y ñ ti m năng môn h c ñ th c hi n m c ñích giáo d c toàn di n. Ta xét m t s bài toán d n ñ n khái ni m ñ o hàm sau ñ th y rõ hơn nh ng ñ c ñi m trên c a ñ o hàm: Bài toán 1. Bài toán tính v n t c t c th i c a m t chuy n ñ ng th ng không ñ u Gi s ta có m t ch t ñi m chuy n ñ ng th ng theo m t quy lu t ñư c bi u th b i bi u th c: s = f ( t ) (1) ; trong ñó s là quãng ñư ng ñi ñư c c a ch t ñi m (k t ñi m g c ch n cho trư c) và t là th i gian ñ ñi ñư c ño n s. Trong trư ng h p chuy n ñ ng c a ch t ñi m là ñ u thì v n t c c a f ( t2 ) − f ( t1 ) chuy n ñ ng ñư c tính r t d dàng: v = (2) t2 − t1 Tuy nhiên, trong trư ng h p chuy n ñ ng không ñ u, công th c (2) không cho ta bi t gì v s nhanh ch m c a chuy n ñ ng t i m i th i ñi m. Khi ñó công th c (2) ch cho ta bi t v n t c trung bình c a chuy n ñ ng trong ño n ñư ng t f ( t1 ) ñ n f ( t2 ) thôi. Vì v y ñ gi i quy t bài toán xác ñ nh s nhanh ch m c a chuy n ñ ng t i m t th i ñi m t nào ñó ta ph i: 1. Đ nh nghĩa v n t c t c th i (bi u th ñ nhanh, ch m) c a chuy n ñ ng th ng không ñ u. 12 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S 2. Ta nh n th y r ng n u kho ng th i gian t − t0 càng bé thì v n t c trung f ( t ) − f ( t0 ) bình: vtb = cho ta hi u bi t càng chính xác v s nhanh ch m c a t − t0 chuy n ñ ng t i th i ñi m ñi m ñó. Do nh n xét ñó t nhiên ta ñi ñ n ñ nh nghĩa sau ñây v v n t c t c th i c a m t chuy n ñ ng th ng (không ñ u). f ( t ) − f ( t0 ) (3) Ta coi gi i h n: lim là v n t c t c th i c a chuy n ñ ng t →t0 t − t0 th ng s = f ( t ) t i th i ñi m t0 . N u kí hi u: t − t0 = ∆t , f ( t ) − f ( t0 ) = ∆f = ∆s ∆s (4) thì gi i h n (3) s ñư c vi t là: lim . ∆t →0 ∆t B i to¸n 2. B i to¸n tính t khèi ñ a phương c a m t thanh không ñång ch t Gi s ta có m t thanh th ng AB, ti t di n ngang nh và ñ ng nh t trên c chi u dài c a thanh. Ta bi t r ng m t thanh ñư c g i là ñ ng nh t n u hai ph n b t kì c a thanh có cùng m t chi u dài thì có kh i lư ng b ng nhau. Trong trư ng h p này t s d gi a kh i lư ng c a thanh và chi u dài c a nó (t c là kh i lư ng c a m t ñơn v dài c a thanh) là m t s không ñ i. T s d ñư c g i là t kh i c a thanh ñ ng ch t. Trong trư ng h p thanh không ñ ng ch t thì hai ph n cùng ñ dài nói chung có kh i lư ng khác nhau. ñây t kh i tính theo cách trên ñây (mà ta s g i là t kh i trung bình c a thanh) không cho ta bi t gì v s phân b v t ch t trên thanh. Đ gi i quy t v n ñ này, ta ph i ñưa ra m t khái ni m tương t t kh i ñ i v i m t thanh ñ ng ch t và s g i là t kh i ñ a phương. C th là: 1. Đ nh nghĩa t kh i ñ a phương c a m t thanh không ñ ng ch t t i m i ñi m c a nó. 2. Tìm cách tính t kh i ñ a phương ñó. Ta s ch n m t trong các ñ u mút c a thanh (ch ng h n A) làm g c quy chi u O và l y chi u t ñ u mút này ñ n ñ u mút kia (t A ñ n B) làm chi u dương thì m i ñi m trên thanh s hoàn toàn xác ñ nh b i hoành ñ c a ñi m ñó; lúc ñó kh i lư ng c a m c a ño n OM c a thanh là m t hàm c a x: 13 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S m = f ( x ) , OM = x .( ) Gi s mu n xét s phân b v t ch t t i ñi m x0 . Ta nh n th y r ng n u f ( x ) − f ( x0 ) chi u dài x − x0 càng bé thì t kh i trung bình (5) cho ta hi u x − x0 bi t càng chính xác v s phân b v t ch t c a thanh lân c n ñi m x0 . Vì v y t nhiên ta ñưa ra ñ nh nghĩa: f ( x ) − f ( x0 ) (6) Ta s coi gi i h n: lim là t kh i ñ a phương c a thanh x − x0 →0 x − x0 ∆f (7) th ng AB t i ñi m x0 . T s (6) có th vi t: lim n u kí hi u ∆x →0 ∆x ∆f = f ( x ) − f ( x0 ) ; ∆x = x − x0 . T (4) và (7) ta th y vi c tính v n t c t c th i c a m t chuy n ñ ng th ng không ñ u, tính t kh i ñ a phương c a m t thanh th ng không ñ ng ch t ñưa ñ n cùng m t bài toán là tính gi i h n c a t s gi a s gia c a hàm s và s gia c añ is . Do v y ñ gi i quy t ñ ng th i hai bài toán trên (và t t c nh ng bài toán tương t ) ngư i ta ñưa ra khái ni m ñ o hàm. 1.2. Các ki n th c cơ b n v ñ o hàm 1.2.1. Các khái ni m cơ b n Đ i v i hàm s m t bi n: ) Đ nh nghĩa ñ o hàm: Gi s y = f ( x ) là m t hàm s xác ñ nh trong kho ng (a;b) và x0 là m t ñi m tùy ý trong kho ng ñó. Ta thành l p t s : f (x0 + ∆x ) − f ( x0 ) (x0 + ∆x ∈ (a; b)) (1) ∆x N u t s ñó có gi i h n (h a h n) khi ∆x → 0 thì ta nói r ng hàm s f ( x ) có f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆y ñ o hàm t i x − x0 và vi t: f ' ( x0 ) = lim = lim (2) ; ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x trong ñó: ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) . Rõ ràng giá tr c a gi i h n (2) ph thu c vào x0 cho nên f ' là m t hàm 14 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S s . Mi n xác ñ nh c a hàm s f ' là t p h p m i ñi m x mà ñó t n t i gi i h n (2). Hàm s f ' ñư c g i là ñ o hàm c a hàm s f t i ñi m x = x0 , nó còn ñư c kí hi u như sau: f ' ( x0 ) =  f ( x )  'x = x0   Đ i v i hàm s hai bi n: Xét hàm s u = f ( x, y ) xác ñ nh trong mi n m D và ñi m P ( x, y ) ∈ D . Khi cho x s gia ∆x ( ∆x ñ nh sao cho: P ' ( x + ∆x, y ) ∈ D ) hàm s u nh n s gia: ∆ xu = f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y ) . Tương t , khi cho s gia ∆y ( ∆y ñ nh sao cho P ' ( x, y + ∆y ) ∈ D ), hàm s u nh n s gia: ∆ y u = f ( x, y + ∆y ) − f ( x, y ) . ) Đ nh nghĩa ñ o hàm riêng: ∆ xu f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y ) N u t n t i gi i h n lim = lim thì gi i h n ñó ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x s ñư c g i là ñ o hàm riêng c a hàm s u ñ i v i bi n s x t i ñi m ( x, y ) và ∂u ∂f ( x, y ) ∆u kí hi u là: = = f 'x ( x, y ) = lim x . ∂x ∂x ∆x →0 ∆x ∆ yu f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y ) Tương t , n u t n t i gi i h n lim = lim thì ∆y →0 ∆y ∆y →0 ∆y gi i h n ñó s ñư c g i là ñ o hàm riêng c a hàm s u ñ i v i bi n s y t i ñi m ∂u ∂f ( x, y ) ∆u ( x, y ) và kí hi u là: = = f ' y ( x, y ) = lim y . ∂y ∂y ∆y →0 ∆y Chú ý: +) Qua ñ nh nghĩa trên, ta th y r ng vi c tính ñ o hàm riêng th c ch t là tính ñ o hàm c a hàm s m t bi n s (khi ta coi bi n s kia là không ñ i). Do ñó, vi c tính ñ o hàm riêng không ñòi h i nh ng quy t c m i. +) Hoàn toàn tương t ta cũng có ñ nh nghĩa c a ñ o hàm riêng c a hàm ba (ho c nhi u hơn ba bi n s ): u = f (x,y,z). ∂u f ( x + ∆x, y, z ) − f ( x, y, z ) Ch ng h n: = lim . ∂x ∆x→0 ∆x 1.2.2. Các quy t c cơ b n ñ tính ñ o hàm ) Đ nh lý: Cho các hàm s f và g xác ñ nh trong kho ng (a;b) và có ñ o 15 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S hàm t i ñi m x 0 ∈ (a; b ) . Khi ñó f ± g, kf (k là s th c b t kì), f, g và fg cũng có ñ o hàm t i ñi m x0 và ta có: a) ( f ± g ) ' ( x0 ) = f ' ( x0 ) ± g ' ( x0 ) . b) ( kf ) ' ( x0 ) = kf ' ( x0 ) . c) ( fg ) ' ( x0 ) = f ' ( x0 ) .g ( x0 ) + f ( x0 ) .g ' ( x0 ) . f  f ' ( xo ) .g ( x0 ) − f ( x0 ) .g ' ( x0 ) d)   ' ( x0 ) = . g g 2 ( x0 ) ) Đ o hàm c a hàm s h p: N u hàm y = f ( x ) có ñ o hàm t i x = x0 còn z = g ( y ) xác ñ nh trong kho ng ch a ñi m y0 = f ( x0 ) có ñ o hàm t i y = y0 thì hàm h p z = g  f ( x )  có ñ o hàm t i x = x0 và ta có: z ' ( xo ) = g ' ( y0 ) . f ' ( xo ) .   ) Đ o hàm c a hàm s ngư c: Gi s cho hàm s y = f ( x ) liên t c và tăng nghiêm ng t trong kho ng ( a, b ) và gi thi t r ng x = ϕ ( y ) là hàm ngư c xác ñ nh trong lân c n c a ñi m y = y0 = f ( x0 ) , ( x0 ∈ ( a, b )) . Khi ñó n u hàm s y = f ( x ) có ñ o hàm t i x = x0 và f ' ( x0 ) ≠ 0 thì hàm s x = ϕ ( y ) có ñ o hàm 1 t i y = y0 và ta có: ϕ ' ( y0 ) = . f ' ( x0 ) 1.2.3. Các ñ nh lý cơ b n v hàm kh vi: ) M i quan h gi a ñ o hàm (tính kh vi) và tính liên t c: N u hàm s y = f ( x ) có ñ o hàm t i x0 thì nó liên t c t i ñi m ñó. Đi u ngư c l i không ñúng. ) Đ nh lý Fermat: Cho hàm s f ( x ) xác ñ nh liên t c trong kho ng ñóng [ a, b ] , khi ñó n u f ( x ) ñ t c c tr t i c ∈ ( a, b ) và n u f ( x ) kh vi t i c thì f '( c ) = 0 . ) Đ nh lý Rolle: Cho hàm s f ( x ) xác ñ nh liên t c trong kho ng ñóng [ a, b ] và kh vi trong kho ng m ( a, b ) ; khi ñó, n u f ( a ) = f ( b ) thì t n t i c ∈ ( a, b ) sao cho f ' ( c ) = 0 . 16 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S ) Đ nh lý Lagrange: Cho hàm s f ( x ) xác ñ nh liên t c trong kho ng ñóng [ a, b ] , kh vi trong kho ng m ( a, b ) ; khi ñó, t n t i c ∈ ( a, b ) sao cho f (b ) − f ( a ) = f ' ( c ) hay là f ( b ) − f ( a ) = f ' ( c )( b − a ) . b−a ) Đ nh lý Cauchy: Cho f ( x ) và g ( x ) là hai hàm s th a mãn gi thi t c a ñ nh lý Lagrange, ngoài ra, gi s g ' ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ( a, b ) , khi ñó t n t i c f (b ) − f ( a ) f '( c ) gi a a và b sao cho = . g (b ) − g ( a ) g '( c ) ) Công th c Taylor (m r ng ñ nh lý Lagrange): N u hàm s f ( x ) xác ñ nh liên t c trong kho ng ñóng [ a, b ] , kh vi ñ n ( n + 1) l n trong kho ng m ( a, b ) thì v i b t kỳ c ∈ ( a, b ) , có: f ( x) = f (c) + f '(c) ( x − c) + f '' ( c ) ( x − c ) + ... + 2 f n (c) ( x − c) + + n f( ) c n +1 () ( x − c) n +1 1! 2! n! ( n + 1)! v ic gi a x và c. T nh ng ki n th c ñ o hàm nêu trên không nh ng ñã giúp cho vi c gi i các bài toán v tìm v n t c t c th i, gia t c c a m t chuy n ñ ng th ng không ñ u trong v t lí ñư c gi i quy t m t cách ñơn gi n mà nó còn ñư c ng d ng m t cách có hi u qu vào vi c kh o sát các hàm s , ñ c bi t là vi c tìm các ñi m c c tr c a hàm s trên m t mi n xác ñ nh. T ñó có th tìm ñư c các giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s trên mi n xác ñ nh ñó. Vi c tìm c c tr hàm s nh ng d ng c a ñ o hàm không ch ñơn thu n v m t gi i các bài toán có liên quan t i Toán h c mà nó còn làm tăng thêm tính ng d ng c a Toán h c vào th c ti n và giúp cho ng d ng c a Toán h c vào th c ti n ña d ng hơn và r ng l n hơn. 1.3. Ý nghĩa c a ñ o hàm ñ tìm c c tr hàm s øng d ng c a ñ o hàm trong Toán h c cũng như trong th c ti n là vô cùng r ng l n, ñ o hàm ñư c ng d ng vào gi i các bài toán v phương trình vi phân, các bài toán tìm phương án t i ưu trong các bài toán kinh t , các bài toán 17 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S v tìm gia t c, v n t c t i các th i ñi m t c th i trong v t lý ... vv. Tuy nhiên ñây chúng ta ch ñ c p t i ph m vi ng d ng c a ñ o hàm m t góc ñ h p hơn n a là ng d ng c a ñ o hàm ñ tìm c c tr hàm s . Vi c tìm các ñi m c c tr c a hàm s là m t khâu không th thi u ñư c trong quá trình kh o sát và v ñ th hàm s , nó giúp cho vi c d ng ñ th hàm s ñư c d ràng và chính xác. Ta có th tìm c c tr hàm s d a vào ñ nh nghĩa. (Ch ng h n: V i hàm s m t bi n, ta có ñ nh nghĩa c c tr hàm s m t bi n như sau: Cho hàm s y = f ( x ) xác ñ nh trên t p X có mi n giá tr là t p Y. N u t p Y có s l n nh t (max Y) thì ta s g i s l n nh t ñó là c c ñ i tuy t ñ i hay giá tr l n nh t c a hàm s y = f ( x ) trên t p X (hay ta cũng b o hàm s này ñ t c c ñ i tuy t ñ i trên t p X)). Tương t , n u t p Y có s bé nh t (min Y) thì ta s g i s bé nh t ñó là c c ti u tuy t ñ i hay giá tr bé nh t c a hàm s y = f ( x ) trên t p X (và ta cũng nói r ng hàm s này ñ t c c ti u tuy t ñ i trên t p X). C c ñ i tuy t ñ i và c c ti u tuy t ñ i có tên chung là c c tr tuy t ñ i. Ví d : Xét hàm s : y = f ( x ) = x 2 − 2 x + 5 . Ta có: TXĐ c a hàm s là D = R. M t khác ta l i có: y = f ( x ) = x 2 − 2 x + 5 = ( x − 1) + 4 = f (1) . V y theo ñ nh nghĩa v c c tr hàm 2 s ta suy ra ñi m x = 1 là m t ñi m c c ti u c a hàm s và hàm s không có ñi m c c ñ i. Tuy r ng ta có th tìm ñư c các ñi m c c tr hàm s nh ñ nh nghĩa c c tr hàm s ñ i v i các hàm s tương ñ i ñơn gi n, nhưng v i các hàm s mà t i các ñi m trên t p xác ñ nh c a nó không t n t i các giá tr l n nh t, cũng như giá tr nh nh t mà các giá tr l n nh t hay nh nh t ch t n t i trong m t lân c n nào ñó c a t p xác ñ nh thì vi c ch ra các ñi m c c tr là tương ñ i ph c t p ho c có th d n t i b t c. Ví d : Xét hàm s cũng tương ñ i ñơn gi n: 3 4 y = f ( x ) = x 3 − x 2 − 3 x + . D th y hàm s cũng có TXĐ: D = R, nhưng trên 3 3 18 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S t p xác ñ nh c a nó hàm s không t n t i giá tr l n nh t hay giá tr nh nh t mà giá tr ñó ch t n t i trong m t lân c n nào ñó c a TXĐ. Vì v y mà không th d a vào ñ nh nghĩa c c tr ñ tìm các ñi m c c tr c a hàm s trên. Nhưng n u ng d ng ñ o hàm vào tìm c c tr thì v i bài toán trên vi c tìm các ñi m c c tr l i ñư c gi i quy t m t cách ng n g n và ñơn gi n. Th t v y ta có : f ' ( x ) = x 2 − 2 x − 3 . Cho f ' ( x ) = 0 ta ñư c x1 = −1 và x2 = 3 , ñ ng th i f ' ( x ) ñ i d u khi x d n qua x1 và x2 nên x1 và x2 chính là hai ñi m c c tr c n tìm. Giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s có m i liên h m t thi t v i c c tr hàm s , trên m t mi n xác ñ nh D nào ñó n u hàm s có giá tr l n nh t ho c nh nh t thì chưa ch c hàm s ñã có ñi m c c tr trên D. Ngư c l i n u hàm s t n t i các ñi m c c tr trên D thì ch c ch n trên m t lân c n nào ñó c a D hàm s s ñ t ñư c giá tr l n nh t và nh nh t trên lân c n ñó. V i vai trò ng d ng r ng rãi c a ñ o hàm, và ñ c bi t là ng d ng c a nó trong vi c kh o sát và v ñ th hàm s là m t khâu quan tr ng và không th thi u, v n ñ này s ñư c trình bày thông qua n i dung c a các bài toán trong chương 2 và chương 3. ******************************* K T LU N CHƯƠNG 1 Trong chương 1 trình bày cơ s lý thuy t v ñ c ñi m c a ñ o hàm thông qua nh ng ñ c ñi m chung c a môn Toán, làm rõ tính tr u tư ng cao ñ và tính th c ti n ph d ng, tính lôgíc và tính th c nghi m. Đ ng th i, h th ng hóa các ki n th c cơ b n v ñ o hàm bao g m: - Đ nh nghĩa ñ o hàm c a hàm s m t bi n và ñ o hàm hàm s hai bi n. - Các quy t c tính ñ o hàm. - Các ñ nh lý cơ b n v hàm kh vi. Ngoài ra, trong chương này còn b sung thêm ý nghĩa c a ñ o hàm ñ tìm c c tr c a hàm s nh m ñưa ra cơ s lý lu n v ng ch c cho khóa lu n. 19 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S CHƯƠNG 2. NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S M T BI N 2.1. Các ki n th c cơ b n 2.1.1. Đ nh nghĩa ) Đ nh nghĩa c c tr c a hàm s m t bi n: Cho hàm s y = f ( x ) xác ñ nh trên t p X có mi n giá tr là t p Y. N u t p Y có s l n nh t (max Y) thì ta s g i s l n nh t ñó là c c ñ i tuy t ñ i hay giá tr l n nh t c a hàm s y = f ( x ) trên t p X (hay ta cũng b o hàm s này ñ t c c ñ i tuy t ñ i trên X). Tương t , n u t p Y có s bé nh t (min Y) thì ta s g i s bé nh t ñó là c c ti u tuy t ñ i hay giá tr bé nh t c a hàm s y = f ( x ) trên t p X (và ta cũng nói r ng hàm s này ñ t c c ti u tuy t ñ i trên t p X). C c ñ i tuy t ñ i và c c ti u tuy t ñ i có tên chung là c c tr tuy t ñ i. Chú ý: có nhi u hàm s (nhi u khi r t ñơn gi n) không có c c tr . Ch ng h n hàm s : y = x không có c c ti u và không có c c ñ i trong kho ng (0;1). ) N u hàm f ( x ) kh vi t i ñi m c và t i ñó có c c tr thì f ' ( c ) = 0 . Các nghi m c a phương trình f ' ( x ) = 0 ñư c g i là các ñi m d ng. Các ñi m nghi ng có c c tr ph i k c các ñi m mà t i ñó ñ o hàm không t n t i. C hai lo i ñi m trên ñư c g i là các ñi m t i h n. 2.1.2. Quy t c tìm c c tr hàm s +) Quy t c dùng ñ o hàm ñ tìm c c tr hàm s m t bi n: ) Quy t c 1: Gi s hàm s y = f ( x ) liên t c có ñ o hàm trên mi n D thì ñi m x0 là ñi m c c tr c a hàm s n u: f ' ( x ) = 0 và f ' ( x ) ñ i d u khi x d n qua x0 . + x0 g i là ñi m c c ñ i n u x d n qua x0 thì f’(x) ñ i d u t dương sang âm (t c là f’(x) > 0 n u x < x0 và f’(x) < 0 n u x > x0 (v i x ñ g n x0)). + x0 g i là ñi m c c ti u n u x d n qua x0 thì f’(x) ñ i d u t âm sang dương (t c là f’(x) < 0 n u x < x0 và f’(x) > 0 n u x > x0 (v i x ñ g n x0)). 20 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu
NG D NG C A Đ O HÀM Đ TÌM C C TR HÀM S Tóm t t quy t c 1 b ng b ng sau: (D = (a ; b)) x -∞ a x0 b +∞ x -∞ a x0 b +∞ ‘ y - 0 + y‘ + 0 - y y CĐ CT Trong trư ng h p phương trình y ' = 0 có nghi m nhưng không xét d u ñư c y ' ta s d ng quy t c 2: ) Quy t c 2: Gi s hàm s y = f ( x ) có ñ o hàm liên t c ñ n c p hai t i x0, f’(x0) = 0 và f’’(x0) ≠ 0 thì x0 là ñi m c c tr c a hàm s và: + N u f’’(x0) > 0 thì x0 là ñi m c c ti u. + N u f’’(x0) < 0 th× x0 là ñi m c c ñ i. ) Quy t c 3: Gi s n là s t nhiên nào ñó và gi s hàm y = f ( x ) , trong lân c n nào ñó c a ñi m x0 có ñ o hàm c p (n - 1), còn chính t i ñi m có ñ o hàm b c n. Gi s t i ñi m x = c tho mãn h th c sau ñây: f’(c) = f’’(c) = …= f(n-1) (c) = 0; f(n) (x) ≠ 0. Khi ñó: N u n ch n thì hàm s y = f ( x ) có c c ñ i ñ a phương t i ñi m c, c th là: c c ñ i n u f(n) (c) < 0 và c c ti u n u f(n) (x) > 0. N u n l thì f ( x ) không ñ t c c tr t i x = c. +) Các bư c kh o sát hàm s : Đ ti n hành kh o sát hàm s , ngư i ta thư ng theo các bư c sau: ) Bư c 1: Tìm mi n xác ñ nh c a hàm s . ) Bư c 2: Xét chi u bi n thiên c a hàm s : +) Tính, xét d u c a ñ o hàm c p 1, t ñó suy ra s tăng, gi m c a hàm s . +) Tìm c c tr . +) Xét tính l i lõm và tìm ñi m u n c a ñư ng cong. ) Bư c 3: Tìm các ñư ng ti m c n. ) Bư c 4: L p b ng bi n thiên ( ghi các k t qu kh o sát trên). ) Bư c 5: D ng ñ th . 21 Sinh viªn: NguyÔn ThÞ HËu

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.11: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Tài Chính Ngân Hàng

172 tài liệu

841 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.