intTypePromotion=1
ADSENSE

Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 6) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Thị Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

150
lượt xem
22
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 6) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về nguyên hàm lượng giác thật hiệu quả.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 6) - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P6 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]  x   → dx ← → 1  1 + tan 2 x  dx  Dạng 7. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân d  tan  ←   2 x 2 2 2 cos 2 2 Cách giải: dx  Xét nguyên hàm I1 = ∫ A sin x + B cos x + C Để tính nguyên hàm trên ta xét hai trường hợp: → A sin x + B cos x + C = A sin x + B cos x ± A2 + B 2 = A2 + B 2 cos ( x + φ ) ± A2 + B 2  Nếu C = ± A2 + B 2  A2 + B 2 cos ( x + α ) Ở đây, ta đã biết phép biến đổi lượng giác A sin x + B cos x = A2 + B 2 cos ( x + β ) 1 dx A2 + B 2 ∫  x+α 2cos 2   dx 1 dx  2  Khi đó I1 = ∫ A + B cos ( x + α ) ± A + B 2 2 2 2 = A +B 2 2 ∫ cos ( x + α ) ± 1 = −1 dx A + B2 2 ∫  x+α 2sin 2    2  1 dx 1 x 2dt dt = = 1 + tan 2  dx  → dx = 2 cos 2 x 2  2 1+ t2 2 x 2t  Nếu C ≠ ± A2 + B 2 thì ta đặt t = tan  → sin x = 2 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 Thay vào ta tính được I1 là nguyên hàm theo ẩn t.  π  π sin x + cos x = 2 sin  x +  = 2 cos  x −   4  4  π  π Chú ý: Một số công thức tính nhanh: 3 sin x + cos x = 2 sin  x +  = 2 cos  x −   6  3  π  π sin x − 3 cos x = 2 sin  x −  = −2 cos  x +   3  6 Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: dx dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ sin x + cos x + 2 3 sin x − cos x − 2 dx dx c) I 3 = ∫ 3sin x + cos x + 1 d) I 4 = ∫ sin x − cos x − 1 Hướng dẫn giải: dx a) I1 = ∫ sin x + cos x + 2  1 1   π Ta có 12 + 12 = 2  → sin x + cos x = 2  sin x + cos x  = 2 cos  x −  .  2 2   4 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
  2. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  x π d −  I1 = ∫ dx 1 dx 1 dx 1  2 8  = 1 tan  x − π  + C.  π = ∫ 2 1 + cos x − π  = ∫ 2 2cos 2  x π  = ∫ 2 2 cos 2  x − π  2   2 8 2 cos  x −  + 2    −     4  4 2 8 2 8 1  x π Vậy I1 = tan  −  + C. 2 2 8 Bình luận: Trong nguyên hàm trên, ở biểu thức sinx + cosx ta thống nhất chuyển về hàm cos để sử dụng công thức lượng giác a dx dx 1 + cos a = 2 cos 2  2 →∫ 1 + cos a ∫= a 2 cos 2 2  3 1   π b) Ta có 3 sin x − cos x = 2  sin x − cos x  = −2cos  x +  .  2 2   3  x π d +   x π =− ∫  dx dx 1 dx 1 2 6 1 I2 = ∫ =∫ =− ∫ = − tan  +  + C. 3 sin x − cos x − 2  π −2cos  x +  − 2 2  1 + cos  x +  π 2  x π cos 2  +  2 2 6  3  3 2 6 x 1 dx 1 x 2dt c) Đặt t = tan ⇒ dt = = 1 + tan 2  dx  → dx = 2 2 cos 2 x 2 2 1+ t2 2 2t 1− t2 Ta có sin x = ; cos x = 1+ t2 1+ t2 2dt 1 + t2 2dt 2dt 1 d (6t + 2) 1 1 x Khi đó I 3 = ∫ =∫ =∫ = ∫ = ln 6t + 2 + C = ln 6 tan + 2 + C. 6t 1− t2 6t + 1 − t + 1 + t 2 2 6t + 2 3 6t + 2 3 3 2 + +1 1+ t2 1+ t2 x 1 dx 1 x 2dt d) Đặt t = tan ⇒ dt = = 1 + tan 2  dx  → dx = 2 2 cos 2 x 2 2 1+ t2 2 2t 1− t2 Ta có sin x = ; cos x = 1+ t2 1+ t2 2dt dx + t2 2dt dt x ∫ ∫ ∫ ∫ Khi đó I 4 = = 1 = = = ln t + C = ln tan + C. sin x − cos x − 1 2t 1− t 2 2t − 1 + t − 1 − t 2 2 t 2 − −1 1+ t 2 1+ t 2 Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: dx dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ 3sin x − cos x + 3 2sin x − cos x − 2 dx dx c) I 3 = ∫ d) I 4 = ∫ sin x − 3 cos x + 2 1 + sin x A sin x + B cos x + C  Xét nguyên hàm I 2 = ∫ A′ sin x + B′ cos x + C ′ dx Với dạng nguyên hàm này ta sẽ sử dụng phương pháp đồng nhất như với nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ đã xét A sin x + B cos x + C m ( A′ cos x − B′ sin x ) + n ( A′ sin x + B′ cos x + C ′ ) + p bằng việc phân tích: = A′ sin x + B′ cos x + C ′ A′ sin x + B′ cos x + C ′  A = −mB′ + nA′ m   Đồng nhất theo các hệ số của sinx và cosx ta được  B = mA′ + nB′  → n C = nC ′ + p p   Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
  3. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 A sin x + B cos x + C m ( A′ cos x − B′ sin x ) dx dx Từ đó ta được I 2 = ∫ A′ sin x + B′ cos x + C ′ dx = ∫ A′ sin x + B′ cos x + C ′ ∫ + n dx + p ∫ A′ sin x + B ′ cos x + C ′ = dx = m ln A′ sin x + B′ cos x + C ′ + nx + p ∫ A′ sin x + B′ cos x + C ′ Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: sin x + 3cos x − 1 7sin x − 5cos x a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx sin x + cos x + 2 ( 3sin x + 4cos x ) 2 Hướng dẫn giải: 1 = − A + B A =1 sin x + 3cos x − 1 A(cos x − sin x) + B (sin x + cos x + 2) + C   a) Ta có phân tích =  → 3 = A + B ⇔  B = 2 sin x + cos x + 2 sin x + cos x + 2  −1 = 2 B + C C = −5   (cos x − sin x) + 2(sin x + cos x + 2) − 5 (cos x − sin x)dx dx Từ đó I1 = ∫ dx = ∫ + 2 ∫ dx − 5∫ = sin x + cos x + 2 sin x + cos x + 2 sin x + cos x + 2 d (sin x + cos x + 2) =∫ + 2 x − 5 J = ln sin x + cos x + 2 + 2 x − 5 J . sin x + cos x + 2 1 dx 1 x 2dt dt = = 1 + tan 2  dx  → dx = 2 cos 2 x 2 2 1+ t2 2 dx x 2t Xét J = ∫ . Đặt t = tan  → sin x = sin x + cos x + 2 2 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 2dt dx 1 + t2 2dt 2dt 2d ( t + 1) Khi đó J = ∫ =∫ =∫ =∫ 2 =∫ = sin x + cos x + 2 1− t 2t + 1 − t + 2 + 2t t + 2t + 3 ( ( ) t + 1) + 2 2 2 2 2 2t 2 + + 2 1+ t2 1+ t2  x   x  2  t +1  tan 2 + 1   tan 2 + 1  = arctan   + C = 2 arctan   + C1  → I1 = ln sin x + cos x + 2 + 2 x − 5 2 arctan   + C. 2  2   2   2       43 A=− 7 sin x − 5cos x A ( 3cos x − 4sin x ) + B ( 3sin x + 4cos x ) 7 = −4 A + 3B  25 b) Ta có phân tích =  → ⇔ ( 3sin x + 4cos x ) ( 3sin x + 4cos x )  −5 = 3 A + 4 B 2 2 B = 1  25 43 1 − ( 3cos x − 4sin x ) + ( 3sin x + 4cos x ) 7sin x − 5cos x 25 25 Từ đó ta có I 2 = ∫ dx = ∫ dx = ( 3sin x + 4cos x ) ( 3sin x + 4cos x ) 2 2 43 ( 3cos x − 4sin x ) dx 1 dx 43 d ( 3sin x + 4cos x ) 1 dx =− ∫ 25 ( 3sin x + 4cos x ) 2 dx + ∫ 25 3sin x + 4cos x =− ∫ 25 ( 3sin x + 4cos x ) 2 + ∫ 25 3sin x + 4cos x = 43 1 = + J. 25 ( 3sin x + 4 cos x ) 25 1 dx 1 x 2dt dt = = 1 + tan 2  dx  → dx = 2 cos 2 x 2 2 1+ t2 2 dx x 2t Xét J = ∫ . Đặt t = tan  → sin x = 3sin x + 4 cos x 2 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
  4. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2dt dx 1+ t2 dt dt 1 (2t − 1) − 2(t + 2) J= ∫ 3sin x + 4cos x = ∫ 6t 4(1 − t ) 2 ∫ = 2t + 3t − 2 2 ∫ = (2t − 1)(t + 2) =− 5 ∫ (2t − 1)(t + 2) dt = − 1+ t2 1+ t2 x 2 tan − 1 1 2 dt 1 1 1 2t − 1 1 = − ln t + 2 + 5 ∫ 5 2t − 1 = − ln t + 2 + ln 2t − 1 + C1 = ln 5 5 5 t+2 + C = ln 5 x 2 + C1. tan + 2 2 x 2 tan − 1 43 1 2 Vậy I 2 = + ln + C. 25 ( 3sin x + 4cos x ) 125 x tan + 2 2 Ví dụ 4: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 8cos x − sin x + 3 5cos x − sin x + 2 a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx 3sin x + 2cos x + 3 sin x + cos x + 1 4sin x − 3cos x + 3 5sin x − 2 c) I 3 = ∫ dx b) I 4 = ∫ dx (2sin x + cos x + 2) 2 2sin x − cos x − 1 Ví dụ 5: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: sin x − 3cos x + 2 4cos x − 3sin x + 2 a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx 2sin x − cos x − 2 (sin x + 2cos x + 2)2 sin 2 x cos 2 x c) I 3 = ∫ dx d) I 4 = ∫ dx sin x + cos x sin x − 3 cos x sin x − cos x + 1 sin x + 3cos x − 1 e) I 5 = ∫ dx f) I 6 = ∫ dx sin x + 2cos x + 3 sin x + cos x + 2 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2