Lý thuyết và bài tập Điều kiện cần và đủ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời quý thầy cô và các em học sinh tham khảo tài liệu "Lý thuyết và bài tập Điều kiện cần và đủ". Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn kiến thức bổ ích giúp các em củng cố lại kiến thức trước khi bước vào kì thi sắp tới. Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và bài tập Điều kiện cần và đủ

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ “tailieumontoan.com” I. Lý ThuyêtDate Phương pháp điều kiện cần và điều kiện đủ thường tỏ ra II. Bài tâp hiệu quả cho lớp dạng toán “Tìm điều kiện tham số để: Dạng 1. PT, BPT, HPT có nghiệm duy nhất. Dạng 1: Sử dụng điều kiện cần và đủ trong giải phương trình tham số. Dạng 2. PT, BPT, HPT có nghiệm với mọi giá trị của tham số. Bài 1. Tìm m để phương trình (PT) sau có nghiệm duy nhất Dạng 3. PT, BPT, HPT có nghiệm với mọi x ∈ D . Dạng 4. PT, BPT, HPT tương đương với một phương trình x + 2−x = m ( 1) hoặc bất phương trình khác. Hướng dẫn Khi giải ta thực hiện các bước sau: Điều kiện cần: Trong PT (1) vai trò của x và 2 – x là như Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của PT, BPT, HPT có nhau. Vì vậy PT (1) có nghiệm là x o thì 2 − x o cũng là nghĩa. nghiệm của nó. Giả sử PT (1) có nghiệm duy nhất là x o thì Bước 2: Tìm điều kiện cần cho bài toán dựa trên việc đánh giá x 0 =2 − x o ⇔ x o =1. Thay vào (1) ta được m = 2. hay tính đối xứng của bài toán. Điều kiện đủ: Ta xét m = 2 thì PT (1) có dạng Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ, trong bước này cần có được một số kĩ năng cơ bản. x + 2−x = 2 (2) Cách 1. Điều kiện 0 ≤ x ≤ 2 ( * ) Chú ý viết tắt: Bình phương hai vế của PT (2) rồi rút gọn được PT: Phương trình x ( 2 − x ) =1 ⇔ ( x − 1 ) =0 ⇔ x =1 (thỏa mãn (*)) 2 BPT: Bất phương trình Cách 2. Áp dụng BĐT Bunhiacovski ta có: ( ) 2 HPT: hệ phương trình x + 2−x ≤ 2 ( x + 2 − x ) =4 ⇒ x + 2 − x ≤ 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2 − x ⇔ x = 1. Suy ra PT (2) có nghiệm duy nhất x = 1. Kết luận. Vậy với m = 2 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất. Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 4 x + 4 2−x + x + 2−x = m Hướng dẫn Điều kiện cần: Giả sử PT có nghiệm là x = x 0 ⇒ 2 − x 0 cũng là nghiệm của PT. Vậy PT có nghiệm duy nhất khi x 0 =2 − x 0 ⇔ x 0 =1. Thay x 0 = 1 vào PT ta được: m = 4 Đó chính là điều kiện cần để PT có nghiệm duy nhất. ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Điều kiện đủ: Với m = 4, khi đó PT có dạng: Điều kiện đủ: Với a = 1 và b = 0, khi đó (1) có dạng: 4 x + 4 2−x + x + 2−x = 4 (2) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovski ta có: x 2 + 1 − x 2 + 1 = 0 ⇔ 0 = 0 luôn đúng. Vậy với a = 1 và b = 0 phương trình nghiệm đúng với ∀x x + 2 − x ≤ 2 và 4 x + 4 2 − x ≤ 2  x + 2 − x = Bài 5. Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 2 Do đó ( 2 ) ⇔  ⇔x = 1 là nghiệm x 2 + (m 2 − 5m + 6 ) x = 0 (3 )  x + 2 − x = 2 4 4 0 (4) và x 2 + 2 (m − 3 ) x + m 2 − 7m + 12 = duy nhất của PT. Hướng dẫn Vậy với m = 4 thì PT có nghiệm duy nhất. Điều kiện cần: Giả sử PT (3) và PT(4) tương đương với nhau. Bài 3. Tìm m để Pt sau nghiệm đúng với ∀x ≥ 0 : Vì PT(3) luôn có nghiệm x = 0 nên PT (4) cũng phải là x + 2x − m + 2m + 4 = x + m − 2 2 2 ( 1) nghiệm x = 0. Vì vậy, ta phải có m = 3 hoặc m = 1 Hướng dẫn Điều kiện đủ. Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm ∀x ≥ 0 suy ra x = a) Nếu m = 3 thì PT(3) và (4) đều có dạng x 2 . Suy ra m = 3 0 là nghiệm của (1), khi đó: thì PT(3) tương đương với PT(4). b) Nếu m = 4 thì PT(3) và (4) đều có dạng x 2 + 2x = 0. ( 1) ⇔ −m + 2m + 4 = m − 2 2 Suy ra với m = 4 thì PT(3) tương đương với PT(4).  m −2 ≥ 0 ⇔ 2 2 ⇔m = 3. Kết luận. PT(3) tương đương với PT(4) khi và chỉ khi m = 3  −m + 2m + 4 = ( m − 2 ) hoặc m = 4. Đó chính là điều kiện cần để PT nghiệm đúng ∀x ≥ 0 Bài 6. Cho 2 phương trình:: Điều kiện đủ: Với m = 3, khi đó (1) có dạng: ( x + 5 )( 2 −= x) 3m x 2 + 3x + m − 1 ( 1) x ≥0 x 2 + 2x + 1 = x + 1 ⇔ x + 1 = x + 1 ⇔ 0 = 0 luôn x 4 + 6x 3 + 9x 2 − 16 = 0 (2) Tìm m để (1) và (2) tương đương đúng. Hướng dẫn Vậy, với m = 3 PT nghiệm đúng với ∀x ≥ 0 Giải (2) ta biến đổi: Chú ý: Với bài toán có nhiều hơn một tham số ta sẽ x= 1 ( 2 ) ⇔ ( x − 1 )( x + 4 ) ( x ) + 3x + 4 =0 ⇔  2 thấy tầm quan trọng của việc lựa chọn điểm thuận lợi x = −4 cùng với việc xác định các giá trị của tham số được thực Điều kiện cần: Giả sử (1) và (2) tương đương suy ra x = 1 là hiện tuần tự. Chúng ta đi xem xét ví dụ sau: nghiệm của (1), khi đó:  m >0 Bài 4. Tìm m để Pt sau nghiệm đúng với ∀x : ( 1 ) ⇔=6 3m m + 3 ⇔  ⇔= m 1 4 m (m + 3 ) 2 = a x 2 + 1 − x 2 + bx + 1 =0 ( 1) Vậy m = 1 là điều kiện cần để (1) và (2) tương đương. Hướng dẫn Điều kiện đủ: Với m = 1, khi đó (1) có dạng: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm ∀x ⇒ x =0 là −x 2 − 3x + 10 = 3 x 2 + 3x (3 ) () nghiệm của (1), khi đó: 1 ⇔ a − 1 = 0 ⇔ a = 1. Đặt t = x 2 + 3x (t ≥ 0 ) . Khi đó: Với a = 1: t = −5 (loai ) ( 1) ⇔ x2 += 1 x 2 + bx + 1 (3 ) ⇔ t+ 3t − 10 =0 ⇔  2  t = 2 ∀x ⇔ x 2 + 1 = x 2 + bx + 1 ⇔ bx = 0 ⇔ b = 0. x= 1 ⇔ x 2 + 3x =2 ⇔  Vậy a = 1 và b = 0 là điều kiện cần để Pt nghiệm đúng x = −4 với ∀x ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Tức là (1) và (2) tương đương. Bài 9. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: Vậy với m = 1 thì (1) và (2) tương đương. x = y − y + m ( * ) 2 Dạng 2: Sử dụng điều kiện cần và đủ   y = x − x + m 2 trong giải hệ phương trình tham số. Bài 7. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: Hướng dẫn Điều kiện cần: Nhận xét nếu hệ có nghiệm ( x 0 ; y 0 ) thì x + y =  m 2 2   x +y =  6 (y 0 ; x 0 ) cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy Hướng dẫn nhất khi x 0 = y 0 . (*) Điều kiện cần: Nhận xét nếu hệ có nghiệm ( x 0 ; y 0 ) thì Khi đó: ( * ) ⇔ x 0 = x 02 − x 0 + m ⇔ x 02 − 2x 0 + m = 0 ( 3 ) (y 0 ; x 0 ) cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy Do x 0 là nghiệm duy nhất nên PT (3) có nghiệm duy nhất nhất khi x 0 = y 0 . (*) ∆ '(3 ) = 0 ⇔ 1 − m = 0 ⇔ m = 1 2x = m 2 Điều kiện đủ: Với m = 1 hệ có dạng: Khi đó: (HPT ) ⇔  0 ⇒m = 18.  2x 0 = 6 x = y 2 − y + 1  ⇒ x + y = x2 + y2 −x −y +2  y = x − x + 1 2 Điều kiện đủ: Với m = 18 ta được: ⇔ ( x − 1 ) + ( y − 1 ) = 0 ⇔ x = y = 1. 2 2 x 2 + y 2 =18 x + y = 6 (HPT ) ⇔  x + y = ⇔  6  xy = 9 Nghiệm thỏa mãn hệ và là nghiệm duy nhất. ⇔ x = y = 3 là nghiệm duy nhất Vậy với m = 1 hệ có nghiệm duy nhất Bài 10. Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: Vậy với m = 18 hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Bài 8. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:  ( a x 2 + 1 + x =y)  x + y = 2 2 1 x + xy + y = m + 2  2 Hướng dẫn  x y + xy = m +1 2 Điều kiện cần. Giả sử hệ (I) có nghiệm duy nhất ( x 0 ; y 0 ) . Hướng dẫn Do ( x 0 ; y 0 ) là nghiệm của hện (I) nên suy ra Điều kiện cần: Nhận xét nếu hệ có nghiệm ( x 0 ; y 0 ) thì (y ; x 0 ) cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy ( −x 0 ; y 0 ) cũng là nghiệm của hệ (I). Từ tính duy nhất 0 nghiệm suy ra x =−x 0 ⇔ x 0 =0. nhất khi x 0 = y 0 . (*) a = y Khi đó: Thay vào hệ (I), ta được  suy ra a = -1 hoặc a = 1  y 2 = 1 x 02 + 2x 0 =m +2 Điều kiện đủ. (HPT ) ⇔   2x 0= m + 1 3  x = x 2 + 1 + y a) Nếu a = - 1 thì hệ (I) có dạng  2 (II )  x + y = 2  =m 2x 03 − 1 1 ⇔ 3 2x 0 − x 0 − 2x o + 1 = 2 0 Ta thấy hệ (II) có ít nhất hai nghiệm (x; y) = (1; -1) và 3 (x; y) = (0; -1) nên a = −1 không là giá trị cần tìm. ⇒m = 1, m = −3, m = − b) Nếu a = 1 thì hệ (I) có dạng 4  x + x =y − 1 2 Điều kiện đủ: Thay lại các giá trị m = 1, m = −3, 3 3  2 (III )  x + y = 2 m = − và giải ta thấy có giá trị m = 1, m = − là hệ 1 4 4 Từ y − 1 = x + x 2 suy ra y ≥ 1 , từ x 2 + y 2 = 1 suy thỏa mãn điều kiện có nghiệm duy nhất. 3 ra y ≤ 1 . Vậy ta có y = 1. Kết luận: Với m = 1, m = − là hệ thỏa mãn điều kiện có 4 nghiệm duy nhất. \ ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
x 2 + x =0 Bài 13. Tìm m để bất phương trình Thay y = 1 vào hệ (III) ta được   x = 0 2 ( 2 + x )( 4 − x ) ≤ x 2 − 2x + m ( 1) Vậy (x; y) = (0; 1) là nghiệm duy nhất của hệ (III). nghiệm đúng ∀x ∈ −  2;4  . Kết luận: Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a = 1. Hướng dẫn Bài 11. Tìm a sao cho với mọi giá trị của b hệ phương trình sau Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm có nghiệm: ∀x ∈ −  2;4  ⇒ x = 1 là nghiệm của (1), khi đó:  (a − 1 ) x 5 + y 5 = 1 3 ≤m −1 ⇔m ≥ 4  (IV ) 1 + (a + 1 ) bxy = a2 4 Đó là điều kiện cần để bất phương trình có nghiệm đúng Hướng dẫn với ∀x ∈ − 2;4  . Điều kiện cần: Giả sử hệ (IV) có nghiệm với mọi giá trị của Điều kiện đủ: Giả sử m ≥ 4 , khi đó: b suy ra với b = 0 hệ (IV) cũng có nghiệm, tức là hệ sau có Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế trái ta được: (a − 1 ) x 5 + y 5 = 1 2+x +4−x nghiệm:  (IV ) VT = ( 2 + x )( 4 − x ) ≤ = 3. a =1 2 2  Biến đổi vế phải về dạng: Suy ra a = 1 hoặc a = -1. (x − 1) + m − 1 ≥ 3 2 Điều kiện đủ, VP = x 2 − 2x + m =  y = 1 a) Với a = 1 thì hệ (IV) có dạng  5 Suy ra ( 2 + x )( 4 − x ) ≤ x − 2x + m 2 bx = 0 Vậy với m ≥ 4 bất phương trình có nghiệm đúng với Hệ này ít nhất có (x; y) = (0; 1) là nghiệm với mọi giá trị ∀x ∈ −  2;4  . của b. Suy ra hệ (IV) có nghiệm với mọi giá trị của b. −2x + y = 2 5 1 b) Với a = -1 hệ (IV) có dạng   1=1 Hệ này nhận ít nhất (x; y) = (0; 1) là nghiệm với mọi giá trị của b. Bài 1. Tìm a để các phương trình và hệ phương trình sau có Kết luận. Với a = 1 hoặc a = -1 thì hệ (IV) có nghiệm với nghiệm duy nhất mọi giá trị của b. a) x − 5 + 9 − x =a; Dạng 3: Sử dụng điều kiện cần và đủ trong giải bất phương trình tham số. b) x + 3 + 6 − x − ( 3 + x )( 6 − x ) =a ; Bài 12. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất: c ) 3 ( 2x + a ) + 3 ( 2x − a ) + 3 4x 2 + a 2 = 2 2 3 a; x − 2m ≤ mx 2 2 ( 1) xy + x + y = a + 2 Hướng dẫn d ) 2  x y + xy =+ a 1 2 Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm là x= x 0 ⇒ −x 0 cũng  x + 1 + y + 2 =a là nghiệm của (1), e)  Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi x 0 =−x o ⇔ x 0 =0.  x +y = 3a . Thay x 0 = 0 vào (1) ta được: m = 0 Bài 2. Tìm a để mọi giá trị của b hệ phương trình sau có Đó chính là điều kiện cần để bất phương trình có nghiệm duy nhất. ( ) a x 2 + y 2 + x + y = nghiệm:  b Điều kiện đủ: Giả sư m = 0 khi đó (1) có dạng:  y −x = b x2 ≤ 0 ⇔ x =0 là nghiệm duy nhất của bất phương Bài 3. Tìm m để hai phương trình sau đương đương trình. Vậy khi m = 0 bất phương trình có nghiệm duy nhất. (1 + m ) x 2 2 ( ) − 2 m2 − 1 x + m2 − 3 =0 và x 2 + (m − 1 ) x + m 2 − 3m + 1 =0 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗