Môn học: Đánh giá trong giáo dục Toán - Cách viết câu hỏi trắc nghiệm khách quan

Chia sẻ: Mã Thiên Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

48
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Môn học: Đánh giá trong giáo dục Toán - Cách viết câu hỏi trắc nghiệm khách quan với mục tiêu nhằm giúp học sinh sử dụng các thông tin mà bài toán cho để thành lập một mô hình toán. Bước này liên quan đến khả năng tưởng tượng của các em học sinh, liên quan đến kiến thức cũng như hiểu biết của các em về hình dạng của hình nón, hình trụ cũng như hình trụ nội tiếp hình nón. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Môn học: Đánh giá trong giáo dục Toán - Cách viết câu hỏi trắc nghiệm khách quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ KHOA TOÁN -------- Sinh viên thực hiện: Trần Mỹ Kỳ Duyên MÔN HỌC: ĐÁNH GIÁ TRONG GIÁO DỤC TOÁN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc Lớp: Toán 4T Huế, tháng 04 năm 2017 1
§2. CÁCH VIẾT CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ĐỀ TÀI. BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN CÁC MẶT TRÒN XOAY Câu 1. Một lọ nước hoa thương hiệu Chloé được thiết kế như sau: vỏ là dạng hình nón có đỉnh 𝑆 và đáy là hình tròn tâm 𝑂, bán kính 𝑅, chiều cao của hình nón là ℎ; phần chứa dung dịch nước hoa lại là hình trụ nội tiếp hình nón trên. Hỏi các nhà thiết kế nên thiết kế như thế nào để vỏ nước hoa vẫn là hình nón như trên mà lọ nước hoa có thể chứa được nhiều dung dịch nước hoa nhất? Giải. Giả sử ta có hình trụ nội tiếp hình nón như hình vẽ. Đặt 𝑂𝐻 = 𝑥 là chiều cao của hình trụ (0 < 𝑥 < ℎ) Gọi 𝑟 là bán kính đường tròn đáy của hình trụ, 𝑉 là thể tích khối trụ. 2
Xét tam giác 𝑆𝑂𝐴 vuông tại 𝑂, ta có: 𝑟 𝑆𝐻 𝑆𝑂−𝑂𝐻 ℎ −𝑥 = = = 𝑅 𝑆𝑂 𝑆𝑂 ℎ 𝑅(ℎ−𝑥) Suy ra: 𝑟 = ℎ Thể tích của khối trụ được tính bởi công thức 𝑅(ℎ−𝑥) 2 𝜋𝑅 2 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ′ = 𝜋 ( ) . 𝑥 = 2 (ℎ − 𝑥)2 . 𝑥 ℎ ℎ Đưa bài toán đã cho trở thành bài toán: Tìm mối liên hệ giữa ℎ và 𝑥 để thể tích khối trụ là lớn nhất? Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ℎ − 𝑥, ℎ − 𝑥, 2𝑥 ta có: ℎ − 𝑥 + ℎ − 𝑥 + 2𝑥 3 ≥ ℎ − 𝑥 ℎ − 𝑥 . 2𝑥 3 2 (2ℎ )3 2 4ℎ 3 Suy ra: (ℎ − 𝑥) . 2𝑥 ≤ ⟹ (ℎ − 𝑥) . 𝑥 ≤ 27 27 𝜋𝑅 2 4ℎ 3 4𝜋𝑅 2 ℎ Do đó, ta có: 𝑉 ≤ . = ℎ2 27 27 4𝜋 𝑅 2 ℎ ℎ Vậy 𝑉 đạt giá trị lớn nhất là bằng khi và chỉ khi ℎ − 𝑥 = 2𝑥 ⟺ 𝑥 = . 27 3 Vậy các nhà thiết kế phải thiết kế hình trụ nội tiếp hình nón đã cho với tỉ lệ chiều cao 1 hình trụ và chiều cao hình nón là bằng . 3  Phân tích Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là sử dụng các thông tin mà bài toán cho để thành lập một mô hình toán. Bước này liên quan đến khả năng tưởng tượng của các em học sinh, liên quan đến kiến thức cũng như hiểu biết của các em về hình dạng của hình nón, hình trụ cũng như hình trụ nội tiếp hình nón. Ở bước này tối thiểu các em phải tưởng tượng được hình dạng mô hình toán mà bài toán đặt ra. Giả sử rằng học sinh có đủ kiến thức và khả năng này thì em đó sẽ vẽ một mô hình như sau. 3
Sau đó, học sinh phải nhận ra rằng em phải đưa bài toán đã cho về bài toán liên quan đến các mặt tròn xoay, cụ thể ở đây là chỉ ra được hình trụ nội tiếp hình nón có đỉnh 𝑆 và đáy là hình tròn tâm 𝑂, bán kính 𝑅, chiều cao của hình nón là ℎ sao cho khối trụ có thể tích lớn nhất. Học sinh phải nhận ra rằng em phải có những thông tin nào để tính thể tích của khối trụ và so sánh xem đề bài đã cho những gì. Nếu đề bài không cho thì chúng ta phải biết đặt ẩn phụ rồi tìm các mối liên hệ với các thông tin đề bài đã cho. Rồi học sinh phải gọi ra được công thức tính thể tích khối trụ là: 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ với ℎ là chiều cao của hình trụ, 𝑟 là bán kính đường tròn đáy của hình trụ. Học sinh biến đổi công thức này về dạng thích hợp, cố gắng biến đổi để tất cả đều được biểu diễn theo các thông tin mà đề đã cho và cuối cùng là tiến hành làm bài toán bất đẳng thức: tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑉. Ở đó khả năng giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức của học sinh sẽ được bộc lộ, mà cụ thể là kĩ thuật biến đổi tương đương, kĩ thuật phân tích hằng đẳng thức, kĩ thuật thêm bớt hằng số,…  Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương đương Giả sử những bước cơ bản đầu tiên học sinh đều đã thực hiện được, những bước đầu tiên chỉ kiểm tra được khả năng tương tượng cũng như đọc hiểu đề của học sinh. Đồng thời cũng kiểm tra khả năng thể hiện câu hỏi bằng lời thành hình vẽ. Tiếp theo, bài toán kiểm tra khả năng nhớ của học sinh về công thức tính thể tích của các mặt tròn xoay, cụ thể là thể tích của khối trụ. Ta có thể xây dựng một câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra khả năng đó như sau: 4
Ví dụ 1. Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn (𝑂, 𝑅) và (𝑂′ , 𝑅), hình trụ có chiều cao là ℎ. Gọi 𝑉 là thể tích của khối trụ đã cho. Hãy viết công thức tính 𝑉? A. 𝑉 = 2𝜋𝑅ℎ B. 𝑉 = 𝜋𝑅ℎ 1 C. 𝑉 = 𝜋𝑅2 ℎ D. 𝑉 = 𝜋𝑅 2 ℎ 3 Câu hỏi này chỉ ở mức độ nhận biết, với câu hỏi này học sinh chỉ cần nhớ kiến thức liên quan đến thể tích của khối trụ thì có thể dễ dàng chọn được đáp án chính xác là đáp án C. Tuy nhiên vẫn sẽ có học sinh chọn các phương án nhiễu, đặc biệt là phương án D, vì khi nhắc đến thể tích các em thường hay làm là 1 𝑉= 𝑆đá𝑦 . ℎ. 3 Bước tiếp theo của bài toán là khả năng giải quyết các bài toán liên quan đến hình học phẳng, cụ thể là giải bài toán trong tam giác 𝑆𝑂𝐴 vuông tại 𝑂. Tương tự, ở đây ta cũng có thể viết những câu hỏi trắc nghiệm khách quan liên quan đến khía cạnh này để kiểm tra khả năng đó của học sinh. Ví dụ 2. Cho các tam giác I, II, III, IV sau đây: (I) (II) (III) (IV) 5
Cho mệnh đề sau: Trong các tam giác I, II, III, IV thì tam giác có đủ thông tin để tính độ dài đoạn 𝐻𝐵 là: (1) Chỉ có hai tam giác I, II. (2) Chỉ có ba tam giác I, II, III. (3) Chỉ có hai tam giác III, IV. (4) Cả bốn tam giác I, II, III, IV. Số mệnh đề đúng là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu trả lời là cả bốn tam giác I, II, II, IV đều có đủ thông tin để tính độ dài đoạn 𝐻𝐵. Vậy phương án trả lời chính xác là phương án A: chỉ có mệnh đề (4) là mệnh đề đúng. Ở câu hỏi này, học sinh chỉ cần chú ý trong tam giác 𝑆𝑂𝐴 vuông tại 𝑂 có 𝐻𝐵//𝑂𝐴 thì có thể trả lời được câu hỏi này. Tuy nhiên phương án nhiễu ở câu hỏi này sẽ làm cho học sinh dễ nhầm lẫn, đặc biệt là khi chỉ đọc qua loa câu hỏi, học sinh sẽ chọn sai phương án trả lời. Bước tiếp theo là khả năng biểu diễn các thông tin đề cho về dạng kí hiệu và tìm ra mối liên hệ giữa các thông tin đề đã cho và những thông tin bài toán hỏi. Ta có thể xây dưng câu hỏi trắc nhiệm khách quan như sau: Ví dụ 3. Cho tam giác 𝑆𝑂𝐴 vuông tại 𝑂 có 𝑆𝑂 = ℎ, 𝑂𝐴 = 𝑅 (𝑅 > 0, ℎ > 0). Gọi điểm 𝐻, 𝐵 lần lượt thuộc cạnh 𝑆𝑂, 𝑆𝐴 sao cho 𝐻𝐵//𝑂𝐴. Đặt 𝑂𝐻 = 𝑥 (0 < 𝑥 < ℎ). Độ dài của đoạn 𝐻𝐵 được biểu diễn bởi biểu thức là: 𝑅(ℎ−𝑥) 𝑅ℎ A. 𝑟 = B. 𝑟 = ℎ ℎ −𝑥 𝑥 𝑅𝑥 C. 𝑟 = D. 𝑟 = 𝑅(ℎ−𝑥) ℎ Phương án trả lời là phương án A. Ở câu hỏi này, học sinh cần áp dụng định lí Thales trong tam giác 𝑆𝑂𝐴 thì học sinh sẽ chỉ ra được biểu thức biểu diễn độ dài của đoạn 𝐻𝐵. Trong các phương án nhiễu của câu hỏi này thì phương án D học sinh sẽ dễ nhầm lẫn nhất, vì nếu học sinh không để ý 𝑆𝐻 = 𝑆𝑂 − 𝑂𝐻 thì sẽ chọn đáp án D là câu trả lời. Tuy nhiên, các phương án nhiễu còn lại là phương án B và C cũng sẽ làm cho học sinh nhầm lẫn, vì sẽ có học sinh biến đổi nhầm hoặc áp dụng định lý Thales trong tam giác sai dẫn đến chọn phương án sai. 6
𝑅(ℎ−𝑥) Phương án đúng là phương án A. 𝑟 = ℎ Xét tam giác 𝑆𝑂𝐴 vuông tại 𝑂, ta có: 𝐻𝐵//𝑂𝐴. Suy ra: 𝑟 𝑆𝐻 𝑆𝑂−𝑂𝐻 ℎ −𝑥 = = = 𝑅 𝑆𝑂 𝑆𝑂 ℎ 𝑅(ℎ−𝑥) Suy ra: 𝑟 = ℎ Tiếp đến là khả năng về giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức của học sinh. Các bài toán liên quan đến bất đẳng thức thường sẽ gây ra rất nhiều khó khăn cho học sinh trong việc đi tìm cách giải quyết bài toán. Ta sẽ kiểm tra các kiến thức của học sinh về bất đẳng thức thông qua các câu hỏi trắc nghiệm khách quan sau: Ví dụ 3. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Bất đẳng thức sai là: 𝑎 3 +𝑏 3 +𝑐 3 3 A. ≥ 𝑎𝑏𝑐 B. 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 3 𝑎𝑏𝑐 3 (𝑎+𝑏+𝑐)3 𝑎 3 +𝑏 3 +𝑐 3 C. ≥ 𝑎𝑏𝑐 D. ≥ 𝑎𝑏𝑐 27 27 Ở câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải nắm rõ bất đẳng thức Cauchy cho ba số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Phương án trả lời của câu hỏi này là phương án D. Trong các phương án nhiễu thì phương án A sẽ được rất nhiều học sinh lựa chọn vì học sinh thường nhầm lẫn hoặc không chắc chắn phương án A có đúng hay không? Đa số học sinh sẽ nghĩ mẫu của phân số phải là 27 mới đúng nên học sinh thường chọn bất đẳng thức sai là phương án A, còn phương án D là bất đẳng thức đúng. Bước cuối cùng là khả năng giải quyết bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức bằng việc áp dụng các bất đẳng thức đã học, phổ biến nhất là bất đẳng thức Cauchy hoặc bất đẳng thức Bunyakovsky. Ta có thể xây dựng câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra khả năng đó: 7
Ví dụ 4. Cho các số thực dương ℎ, 𝑥 với 0 < 𝑥 < ℎ. Với giá trị nào của 𝑥 thì biểu thức 𝑃 = (ℎ − 𝑥)2 . 𝑥 đạt giá trị lớn nhất? 2ℎ ℎ A. 𝑥 = B. 𝑥 = 3 3 ℎ 3ℎ C. 𝑥 = D. 𝑥 = 2 2 Ở câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, cụ thể ở đây là dùng bất đẳng thức Cauchy cho ba số thực dương ℎ − 𝑥, ℎ − 𝑥, 2𝑥. Ta sẽ có được phương án trả lời chính xác là phương án B. Phương án nhiễu: ở câu hỏi này, phương án mà học sinh lựa chọn nhiều nhất thường sẽ là phương án C. Rất nhiều học sinh khi gặp bài toán này thường chỉ nghĩ tới áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số thực dương ℎ − 𝑥, 𝑥. Vì vậy, dấu " = " xảy ra ℎ khi và chỉ khi ℎ − 𝑥 = 𝑥 ⟺ 𝑥 = . 2 Cách giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ℎ − 𝑥, ℎ − 𝑥, 2𝑥 ta có: ℎ − 𝑥 + ℎ − 𝑥 + 2𝑥 3 ≥ ℎ − 𝑥 ℎ − 𝑥 . 2𝑥 3 2 (2ℎ )3 2 4ℎ 3 Suy ra: (ℎ − 𝑥) . 2𝑥 ≤ ⟹ (ℎ − 𝑥) . 𝑥 ≤ 27 27 4ℎ 3 Do đó, ta có: 𝑃 ≤ 27 4ℎ 3 ℎ Vậy 𝑃 đạt giá trị lớn nhất là bằng khi và chỉ khi ℎ − 𝑥 = 2𝑥 ⟺ 𝑥 = . 27 3 Câu 2. Một người có một dải ruy băng dài 130 𝑐𝑚, người đó cần bọc dải ruy băng đó quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 𝑐𝑚 của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ minh hoạ). Hỏi dải dây ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu? 8
Giải. Gọi 𝑥 𝑐𝑚 , 𝑦 𝑐𝑚 lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ (𝑥, 𝑦 > 0; 𝑥 < 30). Theo đề ra, ta có: độ dài dải ruy băng còn lại khi đã thắt nơ là 120 𝑐𝑚. Ta có: 2𝑥 + 𝑦 . 4 = 120 ⇔ 𝑦 = 30 − 2𝑥. Thể tích khổi của hộp quà là: 𝑉 = 𝜋. 𝑥 2 . 𝑦 = 𝜋. 𝑥 2 . (30 − 2𝑥) Yêu cầu bài toán là: tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑉? Xét hàm số 𝑦 = 𝑥 2 (30 − 2𝑥) với 0 < 𝑥 < 30. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số? Ta có: 𝑦 ′ = −6𝑥 2 + 60𝑥 𝑥 = 0 (𝑙𝑜ạ𝑖) 𝑦 ′ = 0 ⟺ −6𝑥 2 + 60𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 10 Ta có bảng biến thiên sau: Hàm số 𝑦 = 𝑥 2 (30 − 2𝑥) đạt giá trị lớn nhất là 1000 tại 𝑥 = 10 hay max 𝑦 = 𝑦(10) = 1000 (0;30) Vậy dải dây ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là: 𝑉 = 1000𝜋 𝑐𝑚3 .  Phân tích Ở bài toán thứ hai này, chúng ta cũng sẽ đi phân tích như ở bài toán thứ nhất. Giả sử học sinh đã có đủ khả năng để vẽ mô hình toán minh hoạ. Từ các thông tin đề cho, giả sử học sinh có thể diễn đạt bài toán bằng lời thành các biểu thức toán học cụ thể, có thể tìm ra các mối liên hệ giữa các thông tin đề cho và đề hỏi. Nếu đề bài không cho thì chúng ta phải biết đặt ẩn phụ rồi tìm các mối liên hệ với các thông tin đề bài đã cho. Rồi học sinh phải gọi ra được công thức tính thể tích khối trụ là: 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ với ℎ là chiều cao của hình trụ, 𝑟 là bán kính đường tròn đáy của hình trụ. Công việc hoàn toàn tương tự bài toán thứ nhất đã được phân tích ở trên khá rõ ràng. 9
Tuy nhiên, ở bước cuối cùng trong bài toán thứ nhất, học sinh biến đổi công thức thể tích về dạng thích hợp, cố gắng biến đổi để tất cả đều được biểu diễn theo các thông tin mà đề đã cho và cuối cùng là tiến hành làm bài toán bất đẳng thức: tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑉 thì ở bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một công cụ mạnh hơn rất nhiều, đó chính là khảo sát hàm số để tính giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑉.  Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương đương Ở bài toán này, ta sẽ làm một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan liên quan đến bước cuối cùng để giải quyết bài toán này. Bước cuối cùng là khả năng tính giá trị lớn nhất của một biểu thức bằng công cụ khảo sát hàm số. Ta có thể xây dựng những câu hỏi trắc nghiệm khách quan như sau: Ví dụ 1. Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 2 (30 − 2𝑥) liên tục trên (0;30). Bảng biến thiên của hàm số là bảng nào trong các bảng biến thiên dưới đây? A. B. C. D. Câu hỏi này chỉ kiểm tra khả năng vẽ bảng biến thiên của hàm số đã cho, ở đây chỉ kiểm tra khả năng hiểu và vận dụng thấp của học sinh. Nếu học sinh bình thường vẫn có thể trả lời đúng câu hỏi này, phương án đúng là phương án D. Tuy nhiên với phương án nhiễu là phương án A, vẫn sẽ có học sinh chọn phương án A vì khi xét dấu của đạo hàm 𝑦′, học sinh đó quên để ý đến dấu của hệ số 𝑎 = −2 < 0. 10
Ví dụ 2. Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 liên tục trên (0;30) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số đồng biến trên khoảng −1; 1 . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 15; 27 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;10). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (10;30). Phương án trả lời là phương án A. Học sinh chỉ cần dựa vào bảng biến thiên ở hình vẽ bên là có thể chọn được phương án trả lời đúng. Loại câu hỏi này chỉ ở mức độ nhận biết, do đó phương án nhiễu ở câu hỏi này không phát huy nhiều, câu hỏi này cũng sẽ không phân loại học sinh được. Tuy nhiên, câu hỏi này vẫn sẽ kiểm tra được khả năng hiểu và vẽ được bảng biến thiên của học sinh, hoặc từ bảng biến thiên suy ngược ra các thông tin. Bước cuối cùng là khả năng giải quyết bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức bằng việc áp dụng công cụ khảo sát hàm số. Ta có thể xây dựng câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra khả năng đó: Ví dụ 3. Tính giá trị lớn nhất của hàm số 𝑦 = 𝑥 2 (30 − 2𝑥) trên (0;30)? A. C. max 𝑦 = 0 max 𝑦 = 1000 (0;30) (0;30) B. D. max 𝑦 = 648 max 𝑦 = 76 (0;30) (0;30) Câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải nắm vững cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số bằng cách khảo sát hàm số đã được học ở đầu chương trình lớp 12 phần Đại số và Giải tích. Loại câu hỏi này ở mức độ đánh giá được khả năng vận dụng của các em học sinh vào việc giải quyết vấn đề. Phương án trả lời là phương án C. Ta có: 𝑦 = 𝑥 2 (30 − 2𝑥), 𝑥 ∈ (0;30) 𝑦 ′ = −6𝑥 2 + 60𝑥 𝑥 = 0 (𝑙𝑜ạ𝑖) 𝑦 ′ = 0 ⟺ −6𝑥 2 + 60𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 10 11
Ta có bảng biến thiên sau: Hàm số 𝑦 = 𝑥 2 (30 − 2𝑥) đạt giá trị lớn nhất là 1000 tại 𝑥 = 10 hay max 𝑦 = 𝑦(10) = 1000 (0;30) 12